精品解析：黑龙江省哈尔滨市第三中学校2024-2025学年高二下学期期中考试数学试卷

哈三中2024-2025学年度下学期 高二学年期中考试 数学试卷 考试说明：（1）本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分.考试时间为120分钟； （2）第I卷，第Ⅱ卷试题答案均答在答题卡上，交卷时只交答题卡. 第I卷 （选择题，共58分） 一、选择题（共58分）（一）单项选择题（共8小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知复数与互为共轭复数，则复数的虚部为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由复数的除法运算化简，结合共轭复数的概念即可求得答案. 【详解】由题意可得， 因为z与互为共轭复数， 所以，即z虚部为1， 故选：A. 2. 下列求导运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由导数的运算法则和基本初等函数的导数公式求解即可. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D错误. 故选：C. 3. 中，角、、的对边分别为、、，已知，，，则（ ） A. 60° B. 120° C. 60°或120° D. 30°或150° 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件，利用正弦定理求出的值，再结合边的大小关系确定的具体度数. 【详解】已知中， ，，，可得：. 又已知，在三角形中，大边对大角，所以. 而且，满足这个条件的有两个值，即或. 故选：C. 4. 在各项均为正数的等差数列中，若，则的最小值为（ ） A. B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列的性质求得，然后由“1”的代换应用基本不等式求得最小值． 【详解】由题意， ∴， 当且仅当，即时等号成立． 故选：B. 5. 若函数在上单调递增，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得在上恒成立，即，令，求出即可得出答案. 【详解】因为函数在上单调递增， 所以在上恒成立， 所以，因为在上单调递增， 所以，所以. 故选：B. 6. 已知，是椭圆上两点，，分别在的左、右焦点，，，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，由椭圆的定义求出，再由勾股定理求出，又由，即可求出答案. 【详解】设， 由椭圆的定义可得：， 所以， 因为，所以， 所以，所以， 化简可得：，解得：， 所以， 又因为，所以， 所以. 故选：D. 7. 高二学生小张计划将每年的压岁钱存入银行，从2025年起，每年3月1日到银行新存入2000元（一年定期），若年利率为2%保持不变，且每年到期存款均自动转为新的一年定期，到2035年3月1日将之前所有存款及利息全部取回，他可取回的钱数约为（ ）（单位：万元） 参考数据：，， A. 2.5 B. 2.0 C. 2.2 D. 2.6 【答案】C 【解析】 【分析】本题是复利计息问题，逐年分析寻找规律，然后根据等比数列的求和公式即可求解. 【详解】由题意，2025年存的2000元共存了10年，本息和为万元， 2026年存的2000元共存了9年，本息和为万元， 2034年存的2000元共存了1年，本息和为万元， 所以到2035年3月1日将之前所有存款及利息全部取回，他可取回的钱数约为万元， 故选：C. 8. 已知函数的定义域为，其导函数为，若对任意的，均有恒成立，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知条件构造一个函数，再利用的单调性求解不等式即可. 【详解】由，可得， 即，令， 则. 令，， 所以在上是单调递减函数. 不等式， 等价于， 即，， 所求不等式即， 由于在上是单调递减函数， 所以，解得， 且，即， 故不等式的解集为. 故选：A. （二）多项选择题（共3小题，每小题6分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知公差为1的等差数列满足，，成等比数列，则（ ） A. B. 的前项和为 C. 的前2025项和为 D. 的前10项和为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据等比中项的性质求出，即可得到的通项公式，即可判断A，根据等差数列求和公式判断B，利用并项求和法判断C，利用裂项相消法判断D. 【详解】由题意设等差数列的公差为，则， 因为，，成等比数列，所以， 所以， 解得：，所以， 对于A，，故A正确； 对于B，的前项和为，故B错误； 对于C，因为， 所以的前2025项和为，故C正确； 对于D，因为， 所以的前10项和为，故D正确. 故选：ACD 10. 已知函数，则以下结论正确的是（ ） A. 在上单调递减，在上单调递增 B. 函数的极大值点为 C. D. 不存在实数，使得方程有4个实数解 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A：求导，利用导数判断函数单调性；对于B：根据函数极值点的定义分析判断；对于C：根据函数单调性分析判断；对于D：分和两种情况，构建，利用导数判断其单调性和极值，结合图象分析判断. 【详解】对于选项A：由题意可知：函数的定义域为， 因为， 当，则；当，则； 可知在上单调递减，在上单调递增，故A正确； 对于选项B：当时，函数的取得极小值， 所以函数的极小值点为，故B错误； 对于选项C：因为，且在上单调递增， 所以，故C正确； 对于选项D：令，则， 若，，方程成立； 若，则， 构建，则， 当时，；当或时，； 可知在内单调递减，在内单调递增，且， 当x趋近于负无穷，趋近于0， 可得的图象如图所示： 当时，则与有3个交点， 即方程有3个根； 综上所述：存在实数k，使得方程有4个实数解，故D错误； 故选：AC. 11. 已知双曲线的左右顶点分别为，，双曲线的右焦点为，点是双曲线上在第一象限内的点，直线交双曲线右支于点，交轴于点，且，.设直线，的倾斜角分别为，，则（ ） A. 点到双曲线的两条渐近线的距离之积为 B. 设，则的最小值为4 C. D. 当取最小值时，的面积为 【答案】BC 【解析】 【分析】由点到直线的距离公式代入计算，即可判断A，结合双曲线的定义代入计算即可判断B，联立直线与双曲线的方程然后由向量关系表示出代入计算，即可判断C，结合基本不等式即可得到取最小值时点的坐标，从而判断D. 【详解】 由题意可得，设， 对于A，由可得双曲线的渐近线方程为， 由点到直线的距离公式可得， 点到双曲线的两条渐近线的距离之积为， 将代入双曲线方程可得，则， 代入上式可得，故A错误； 对于B，设双曲线的左焦点为，， 由双曲线的定义可得， 则，当三点共线时，最小， 且， 故的最小值为，故B正确； 对于C，设直线方程为，联立直线与双曲线方程消去可得， ，由韦达定理可得， 由直线方程，令，则，即， 则，，，， 由可得，则， 由可得，则， 则 ，故C正确； 对于D，由条件可得， 则 ， 当且仅当时，即时，等号成立， 此时，则，故D错误； 故选：BC. 第Ⅱ卷 （非选择题，共92分） 二、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.将答案填在答题卡相应的位置上） 12. 在中，，，，现以所在直线为轴旋转一周，所得几何体的表面积为______________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得是以为直角的直角三角形，可得以所在直线为轴旋转一周得到的几何体为圆锥，据此计算可求几何体的表面积． 【详解】因为在中，， 所以， 所以是以为直角的直角三角形， 故以所在直线为轴旋转一周得到的几何体为圆锥， 所以圆锥底面半径为4，母线长为5，所以底面周长为， 侧面积为，所以几何体的表面积为． 故答案为：. 13. 已知为正项等比数列的前项和，且，，则的值为______________. 【答案】4 【解析】 【分析】根据题意，利用等比数列的性质，得到也成等比数列，列出方程，即可求解． 【详解】由正项等比数列满足， 当等比数列的公比时，，解得， 则，，故不满足题意； 所以，根据等比数列的性质，可得也成等比数列， 即， 得， 解得或（舍去）． 故答案为：4. 14. “曼哈顿距离（Manhattan Distance）”是由19世纪赫尔曼-闵可夫斯基所创词汇，表示两个点在空间（或平面）直角坐标系中的“绝对轴距”总和.例如：在空间直角坐标系中，点，之间的曼哈顿距离为.现已知在空间直角坐标系中，点为坐标原点，动点满足，则动点围成的几何体的体积为______________. 【答案】 【解析】 【分析】设，利用用曼哈顿距离的定义列式，考查时点所围图形，再利用对称性即得几何体，进而求出体积. 【详解】设，依题意，， 当时，设， ， 因此，点共面， 点围成的图形是边长为的正三角形及内部， 由对称性知，动点围成的几何体是正八面体，每个面都是边长为的正三角形， 所以动点P围成的几何体的体积. 故答案为：. 三、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 设函数.已知曲线在处的切线与直线平行. （1）求实数的值； （2）求函数的极值. 【答案】（1） （2）极小值为，极大值为. 【解析】 【分析】（1）对求导，由导数的几何意义可知，由此求出实数的值； （2）由（1）求出，对求导，讨论与0的正负，再由极值的定义求解即可. 【小问1详解】 因为，所以， 因为曲线在处的切线与直线平行， 所以，所以. 【小问2详解】 由（1）知，，的定义域为， ， 令，解得：或， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 所以当时，取得极小值为， 当时，取得极大值为. 16. 已知数列的前项和为，且，. （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先利用时，求得，进而得到数列为公比为3的等比数列，最后根据首项和公比写出通项公式即可； （2）根据裂项相消求和计算即可. 【小问1详解】 由， 可得时，， 解得， 时，，又， 两式相减可得， 即有， 数列是首项为3，公比为3的等比数列， 所以； 【小问2详解】 数列满足， 所以． 17. 如图1，等腰梯形是由三个边长为2的等边三角形拼成，现将沿翻折至，使得，如图2所示. （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）试问在内是否存在一点，使得平面？若存在，求的长度；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析； （2）； （3）不存在，理由见解析； 【解析】 【分析】（1）根据全等三角形性质，利用线面垂直判定定理可证明平面，再由线面垂直性质可得； （2）利用空间向量，求出平面法向量以及直线的方向向量，根据线面角与空间向量之间的关系即可求得结果； （2）设， 利用向量法能求出点的坐标，从而求出的长度． 【小问1详解】 图1连接交于点， 在图2中，知、都是等边三角形， 得，，又，平面， 可得平面； 又直线平面， 所以. 【小问2详解】 因为，，则在中，由， 由余弦定理得，作，垂足，连接，得，， 如图，以的中点为原点，，，分别为轴正方向，建立空间直角坐标系，      则，，，， 因此， 设平面的法向量为， 则，解得，令，则； 即向量， 设直线与平面所成角为，则， 直线与平面所成角的正弦值为， 【小问3详解】 假设在内存在点，使得平面成立，， 设，，， ， 由，得， 解得，不满足题意，所以不存在使得平面成立； 18. 已知函数. （1）若，求函数的单调区间； （2）若时，总有成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为 （2） 【解析】 【分析】（1）对进行求导，利用导数即可直接得到函数的单调区间； （2）对进行求导，分和两种情况进行讨论即可求得a范围. 【小问1详解】 当时，， ， 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增； 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为； 【小问2详解】 由题意得， 当时，函数在单调递减，在单调递增， 即，解得,所以; 当时，函数在恒单调递增，即， 所以也满足题意； 综上：. 19. 已知抛物线的焦点为.为其准线上一点，过引抛物线的两条切线，切点分别为、. （1）求抛物线的标准方程； （2）求证：、、三点的横坐标成等差数列； （3）求的外接圆面积的最小值. 【答案】（1）； （2）证明见解析； （3） 【解析】 【分析】（1）根据抛物线焦点坐标求得，代入方程即可求解； （2）设出，，三点坐标，结合导数的几何意义，求出抛物线的切线方程，可得、是方程的两根，最后结合韦达定理与等差数列的性质进行证明即可； （3）由（2）所得可得，再计算出与可得，即可得的外接圆直径为，再结合两点间距离公式可用表示出，即可构造函数，通过导数计算得到最小值，即可得的外接圆面积的最小值. 【小问1详解】 因为抛物线的焦点为， 所以，即抛物线方程为：； 【小问2详解】 设， 由得，得， 所以，， 因此直线的方程为，直线的方程为， 所以，， 故、是方程，即的两根， 故，所以，，三点的横坐标成等差数列； 【小问3详解】 由，则， ，， 则，故， 则的外接圆直径为， ， 令，， 则， 则当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 故， 故，则的外接圆半径， 故的外接圆面积的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 哈三中2024-2025学年度下学期 高二学年期中考试 数学试卷 考试说明：（1）本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分.考试时间为120分钟； （2）第I卷，第Ⅱ卷试题答案均答在答题卡上，交卷时只交答题卡. 第I卷 （选择题，共58分） 一、选择题（共58分）（一）单项选择题（共8小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知复数与互为共轭复数，则复数的虚部为（ ） A. 1 B. C. D. 2. 下列求导运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 中，角、、对边分别为、、，已知，，，则（ ） A. 60° B. 120° C. 60°或120° D. 30°或150° 4. 在各项均为正数的等差数列中，若，则的最小值为（ ） A. B. C. 4 D. 5. 若函数在上单调递增，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，是椭圆上两点，，分别在的左、右焦点，，，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 7. 高二学生小张计划将每年的压岁钱存入银行，从2025年起，每年3月1日到银行新存入2000元（一年定期），若年利率为2%保持不变，且每年到期存款均自动转为新的一年定期，到2035年3月1日将之前所有存款及利息全部取回，他可取回的钱数约为（ ）（单位：万元） 参考数据：，， A 2.5 B. 2.0 C. 2.2 D. 2.6 8. 已知函数的定义域为，其导函数为，若对任意的，均有恒成立，且，则不等式的解集为（ ） A B. C. D. （二）多项选择题（共3小题，每小题6分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知公差为1的等差数列满足，，成等比数列，则（ ） A. B. 的前项和为 C. 的前2025项和为 D. 的前10项和为 10. 已知函数，则以下结论正确的是（ ） A. 在上单调递减，在上单调递增 B. 函数的极大值点为 C. D. 不存实数，使得方程有4个实数解 11. 已知双曲线的左右顶点分别为，，双曲线的右焦点为，点是双曲线上在第一象限内的点，直线交双曲线右支于点，交轴于点，且，.设直线，的倾斜角分别为，，则（ ） A. 点到双曲线的两条渐近线的距离之积为 B. 设，则的最小值为4 C. D. 当取最小值时，的面积为 第Ⅱ卷 （非选择题，共92分） 二、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.将答案填在答题卡相应的位置上） 12. 在中，，，，现以所在直线为轴旋转一周，所得几何体的表面积为______________. 13. 已知为正项等比数列的前项和，且，，则的值为______________. 14. “曼哈顿距离（Manhattan Distance）”是由19世纪赫尔曼-闵可夫斯基所创词汇，表示两个点在空间（或平面）直角坐标系中的“绝对轴距”总和.例如：在空间直角坐标系中，点，之间的曼哈顿距离为.现已知在空间直角坐标系中，点为坐标原点，动点满足，则动点围成的几何体的体积为______________. 三、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 设函数.已知曲线在处的切线与直线平行. （1）求实数的值； （2）求函数的极值. 16. 已知数列的前项和为，且，. （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 17. 如图1，等腰梯形是由三个边长为2的等边三角形拼成，现将沿翻折至，使得，如图2所示. （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）试问在内是否存在一点，使得平面？若存在，求的长度；若不存在，请说明理由. 18 已知函数. （1）若，求函数的单调区间； （2）若时，总有成立，求实数的取值范围. 19. 已知抛物线的焦点为.为其准线上一点，过引抛物线的两条切线，切点分别为、. （1）求抛物线的标准方程； （2）求证：、、三点的横坐标成等差数列； （3）求的外接圆面积的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$