精品解析：2025年山东省济宁市鱼台县中考 二模数学试题

2024—2025学年度九年级第二次模拟考试 数学试题 一、选择题：（本大题共10个小题．每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 某同学去商场购买一种体育用品，他看到该体育用品的商标如图所示．若这位同学任意买一只该种体育用品，则这个体育用品最大质量可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查正、负数的应用，熟练掌握正、负数的意义是解题的关键．利用正、负数的意义得出这种体育用品的质量范围是大于等于，小于等于，即可求解． 【详解】解：∵体育用品的质量为， ∴这种体育用品的质量范围是大于等于，小于等于， ∴这位同学任意买一只该种体育用品，则这个体育用品最大质量可能是， 故选：A． 2. 近年来，随着环保意识的提升，越来越多的消费者选择购买新能源汽车，以实现更加节能的出行方式．下列图案是我国四款新能源汽车的标志，其中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．根据轴对称图形，中心对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A、图形不是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B、图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C、图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D、图形是轴对称图形，是中心对称图形，符合题意， 故选：D． 3. 2025年1月29号《哪吒之魔童闹海》在我国首映，截止3月10号全球累计票房已超过149亿元，目前位列全球影史票房第6名．其中149亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，解题的关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：亿， ， 故选：． 4. 如图①．用一个平面截长方体，得到如图②的几何体，它在我国古代数学名著《九章算术》中被称为“堑堵”．图②“堑堵”的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据几何体的俯视图是从上面看进行判断解答即可． 【详解】解：由图可知，该“堑堵”的俯视图是 ， 故选：C． 【点睛】本题考查几何体的俯视图，理解俯视图的概念是解答的关键． 5. 如图，直线，分别经过（）的顶点，．若，，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，角度的和差，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．利用平行得出，再利用，求解即可． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 6. 下面各式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查因式分解的定义（把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做这个多项式的因式分解），牢记因式分解的定义是解题的关键．根据因式分解的定义，逐项判断即可． 【详解】解：A、等式右边不是乘积形式，不是因式分解，不符合题意； B、不是因式分解，不符合题意； C、等式右边不是乘积形式，不是因式分解，不符合题意； D、是因式分解，符合题意； 故选：D． 7. 关于x的一元二次方程在实数范围内有实数根，则m的取值范围是（ ） A. 且 B. C. D. 且 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义、一元二次方程根的判别式，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据一元二次方程的定义得到，根据一元二次方程有实数根得到，即可求出m的取值范围． 【详解】解：关于x的一元二次方程在实数范围内有实数根， ， 解得：且． 故选：A． 8. 某小区有的护栏上有一块宣传版面（如图1所示），其形状是扇形的一部分．图2是其平面示意图，和都是半径的一部分，测得，，，则这块宣传版面的面积（单位：）是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是求解扇形的面积，等边三角形的判定与性质，勾股定理的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键． 延长交于点O，证明是等边三角形，过作于，则，可得，再利用割补法求解面积即可． 【详解】解：延长交于点O， 由题可知，点O是圆弧所在圆的圆心， ∵， ∴， ∴是等边三角形， 又， ∴，， 过作于，则， ∴， ∵， ∴， ∴这块宣传版面的面积为： ． 故选：D 9. 某老板统计了自家经营的饭店“五一”期间5月1日至5月5日每天的用水量（单位：吨），并绘制了日用水量折线统计图．则下列说法正确的是（ ） ①这5天用水量的平均数是6；②这5天用水量的众数是7； ③这5天用水量的极差是8；④这5天用水量的中位数是11； A. ①② B. ③④ C. ②③ D. ①④ 【答案】C 【解析】 【分析】从折线统计图获取相关信息，由平均数、众数、极差和中位数的求法逐项求解即可得到答案． 【详解】解：如图所示： 第1天用水量为5吨、第2天用水量为7吨、第3天用水量为11吨、第4天用水量为3吨、第5天用水量为7吨， 则这5天用水量的平均数是，故①错误； 这5天用水量的众数是7，故②正确； 这5天用水量的极差是，故③正确； 将这5天用水量按照从小到大排序，则中位数是7，故④错误； 综上所述，说法正确的是②③， 故选：C． 【点睛】本题考查统计综合，涉及折线统计图、平均数、众数、极差和中位数等知识，看懂折线统计图相关信息，掌握平均数、众数、极差和中位数的求法是解决问题的关键． 10. 干支纪年法是中国历法上的传统文化，干支是天干和地支的总称．干支纪年法的组合方式是天干在前，地支在后，以十天干和十二地支循环配合（如对照表），60年为一个循环．我们把天干、地支按顺序排列，且给它们编上序号，天干的计算方法是：年份减3，除以10所得的余数对应天干栏中的汉字即为天干；地支的计算方法是：年份减3，除以12所得的余数对应地支栏中的汉字即为地支；属相的计算方法与地支一致． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 … 天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 … 地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 … 属相 鼠 牛 虎 兔 龙 蛇 马 羊 猴 鸡 狗 猪 … 依据上述规律推断，2037年为（ ） A. 戊酉鸡 B. 丁巳蛇 C. 丙申猴 D. 己辰龙 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查找规律，根据题意，理解天干、地支和属相的计算方法，利用有理数混合运算法则计算即可得到答案．理解题意，掌握题中描述的规律是解决问题的关键． 【详解】解：天干的计算方法是：年份减3，除以10所得的余数对应天干栏中的汉字即为天干， ，则天干是丁； 地支的计算方法是：年份减3，除以12所得的余数对应地支栏中的汉字即为地支， ，则地支是巳； 属相的计算方法与地支一致， ，则属相是蛇； 综上所述，2037年为丁巳蛇， 故选：B． 二、填空题：（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 函数的自变量x的取值范围是___． 【答案】 【解析】 【详解】解：在实数范围内有意义， 则；解得 故答案为 12. 已知，且，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式的约分，分式的值，熟练掌握分式的约分是解题的关键．先得出，再将代入，化简即可． 【详解】解：∵， ∴， 将代入， 得：， 故答案为：． 13. 如图，中，是上一点，连接．请你补充一个条件______，使． 【答案】（或或或）（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查两个相似三角形的判定定理，涉及两角分别相等的两个三角形相似、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似判定即可得到答案．熟记两个相似三角形的判定定理是解决问题的关键． 【详解】解：在和中，， 是的一个外角， ， 即，且， ， 当时，；或当时，；或当时，； 故答案为：（或或或）（答案不唯一）． 14. 如图，中，，且点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，若，则k的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，反比例函数比例系数的几何意义，解直角三角形，掌握知识点的应用是解题的关键． 过点，作轴， 轴，垂足分别为，，通过同角的余角相等证明，再证明，，，又，再根据反比例函数比例系数的几何意义，得出，然后求出的值即可． 【详解】解：过点，作轴， 轴，垂足分别为，， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 15. 如图，E是矩形内部一动点，且，．在点E运动过程中，当所在直线与以点B为圆心，的长为半径的圆相切时，设此时，，则代数式的值是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了几何动态中的最值或特定位置关系的处理，涉及矩形的性质、直线与圆相切的条件、相似三角形的性质及判定、等腰三角形的性质以及方程的求解．当所在直线与以点B为圆心，的长为半径的圆相切时，与垂直，作于，证明，建立方程得成比例的线段求解即可． 【详解】解：作于， ， ， ， 当所在直线与以点B为圆心，的长为半径的圆相切时，， ， 矩形中，， ， ， ， ，，， ， ，， ， 故答案为：． 三、解答题：（本大题共8小题，共75分） 16. （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】本题考查了负整数指数幂、二次根式的运算、分式的化简与求值，熟练掌握二次根式和分式的运算法则是解题的关键． （1）利用负整数指数幂、二次根式、绝对值的性质化简，再合并即可； （2）先利用分式的运算法则化简，再代入的值到化简后的式子计算即可． 【详解】解：（1） ； （2） ， 代入，原式． 17. “少年自当扶摇上，揽星弦月逐日光”．值2025年学业水平考试临近，某中学为减轻学生备考压力，让学生以轻松的姿态迎接学业水平考试，举行五一假期研学游活动，选取了A（微山湖），B（水泊梁山），C（金乡羊山），D（嘉祥武氏祠）四个研学基地，参加活动的每名中学生必选取且只能选取其中一个研学基地．为了解该校学生对四个基地的选取情况，随机抽取部分学生进行调查，并将统计数据整理后，绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图． （1）在扇形统计图中，A所在的扇形的圆心角的度数为______，若该中学有1000名中学生参加本次活动，则选择嘉祥武氏祠研学基地的学生大约有______人； （2）请将条形统计图补充完整； （3）甲、乙两位同学计划从A，B，C，D四个研学基地任意选择一个参加研学游活动，请用列表法或画树状图的方法求两人恰好选取同一个研学基地的概率． 【答案】（1）；160 （2） 补充条形统计图如下： （3） 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图与条形统计图的信息关联、用样本估计总体、概率的计算，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）先求出抽取的学生人数，利用A的占比乘以得到圆心角的度数，利用D的占比乘以1000即可估计选择嘉祥武氏祠研学基地的学生人数； （2）先求出选取B研学基地的学生人数，即可补充条形统计图； （3）根据题意列出表格，得出所有等可能的结果数和符合题意的情况，再根据概率的计算公式即可求解． 【小问1详解】 解：抽取的学生人数为（人）， A所在的扇形的圆心角的度数为， （人）， 选择嘉祥武氏祠研学基地的学生大约有160人． 故答案为：；160． 【小问2详解】 解：（人）； 【小问3详解】 解：列表如下： 由表格可得，共有16种等可能的结果，两人恰好选取同一个研学基地的情况有4种， 两人恰好选取同一个研学基地的概率． 答：两人恰好选取同一个研学基地的概率为． 18. 如图，平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点，与y轴交于点． （1）尺规作图：作直线，使，与反比例函数图象在第一象限内交于点；（要求：不写作法，保留作图痕迹） （2）求（1）中点的坐标． 【答案】（1） 如图所示：直线即为所求； （2） 【解析】 【分析】（1）利用基本尺规作图-作两个角相等，由两条直线平行的判定即可得到答案； （2）根据题意，由待定系数法求出函数表达式，再联立方程组求一次函数与反比例函数图象交点即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点， 将代入一次函数，得到， 解得， 一次函数为， 一次函数为的图象与反比例函数的图象交于点， 将代入一次函数为，得到， 解得，则， ， 反比例函数为， 由（1）知，则直线， 联立，解得或（为负值，舍去）， 点的坐标． 【点睛】本题考查基本尺规作图-作两个角相等、平行线的判定与性质、待定系数法确定函数表达式、求函数图象的交点坐标等知识，熟练掌握基本尺规作图-作两个角相等、一次函数与反比例函数综合是解决问题的关键． 19. 根据以下素材，探索完成任务． 为落实《健康中国行动（2019—2030）》等文件精神，某学校准备购进一批排球和足球促进校园体育活动，请你根据以下素材，探索完成任务： 素材1 某体育器材店每个排球的价格比足球的价格少元，用元购买的排球数量与元购买的足球数量相等． 素材2 该学校决定购买排球和足球共个，且购买足球的数量不少于排球的数量，同时该体育器材店为支持该学校体育活动，对排球给折优惠，足球给予8折优惠． 问题解决 任务1 探求商品单价 请求出每个排球和足球的价格． 任务2 确定购买方案 运用数学知识，确定该学校本次购买排球和足球所需费用最少的方案，并求出最少费用． 【答案】任务1：每个排球元，每个足球元；任务2：购买方案为：个排球，个足球时费用最小，最小费用为元 【解析】 【分析】本题考查了分式方程以及一次函数在实际问题中的营养，正确理解题意是解题关键． 任务1：设排球的单价为x元，则足球的单价是；根据题意，得，据此即可求解； 任务2：设排球购买m个，则足球购买了个，根据题意得，解得 ；设总费用为w元，根据 即可求解； 【详解】任务1解：设排球的单价为x元，则足球的单价是； 根据题意，得， 解得 经检验，是原方程的根， 足球的单价：， 答：每个排球元，每个足球元； 任务2解：设排球购买m个，则足球购买了个， 根据题意得， 解得 设总费用为w元，根据题意 因为，所以w随m的增大而减小， ∴当时，w最小元， 所以购买方案为：个排球，个足球时费用最小，最小费用为元． 20. 综合与实践：小星学习解直角三角形知识后，结合光的折射规律进行了如下综合性学习． 【实验操作】 第一步：将长方体空水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边沿A处投射到底部B处，入射光线与水槽内壁的夹角为； 第二步：向水槽注水，水面上升到的中点E处时，停止注水．（直线为法线，为入射光线，为折射光线．） 【测量数据】 如图，点A，B，C，D，E，F，O，N，在同一平面内，测得，，折射角． 【问题解决】 根据以上实验操作和测量的数据，解答下列问题： （1）求的长； （2）求B，D之间的距离（结果精确到0.1cm）． （参考数据：，，） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）根据等腰三角形的性质计算出的值； （2）利用锐角三角函数求出长，然后根据计算即可． 【小问1详解】 解：在中，， ∴， ∴， 【小问2详解】 解：由题可知， ∴， 又∵， ∴， ∴． 21. 如图，是的直径，点C在上，的平分线交于点D，过点D的直线，分别交的延长线于点E，F． （1）猜想直线与的位置关系，并证明你的猜想； （2）若，，求的长． 【答案】（1）解：是的切线； 证明：连接． ∵， ∴． ∵平分， ∴． ∴． ∴． ∴． ∵是的直径， ∴． ∵， ∴． ∴． 即． ∴直线是的切线． （2） 【解析】 【分析】（1）连接．由角平分线的性质与等腰三角形的性质证明，可得，证明，结合，进一步可得答案； （2）设的半径为r，则，证明，可得在中，，可得，进一步求解可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， 设的半径为r，则． ∵， ∴． ∵， 在中，． 即． ∴． ∴． ∴． 【点睛】本题考查的是平行线的性质，切线的判定，圆周角定理的应用，锐角三角函数的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键． 22. 已知抛物线（，为实数）． （1）当，时，抛物线的顶点恰好在直线上． ①求的值； ②若抛物线与直线有两个交点，设两个交点分别为，，求证：； （2）若，，直线与抛物线相交于和两点，其中．当时，求二次函数的最大值． 【答案】（1）①； ②证明：将代入，可得， 又∵， ，整理得， ∴， ∴抛物线与直线有恒两个交点， ∴；， ∴，即； （2）当时，最大值为；当时，最大值为，当时，最大值为 【解析】 【分析】（1）①当，时，二次函数的解析式为，可以求出二次函数的顶点坐标为，因为二次函数的顶点恰好在直线上，可得，从而求出的值；②将代入，可得，因为二次函数与直线有两个交点，所以方程有两个不相等的实数根，根据一元二次方程根与系数的关系可得；，再利用计算求值即可； （2）根据点在二次函数和上，可得，解方程求出的值，再根据求出抛物线的对称轴，进而由与抛物线的对称轴所在的位置之间的关系，利用二次函数的图象与性质分类讨论求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：①当，时，二次函数的解析式为， 当时，， ∴二次函数的顶点坐标为， 抛物线的顶点恰好在直线上， ， 解得； ②略 【小问2详解】 解：∵直线与抛物线相交于， ∴，， 则，即， 解得或， ， ∴， ∴二次函数的解析式为，则抛物线的对称轴， 当时，二次函数开口向下， （Ⅰ）当对称轴时，， ∴， 如图所示： 此时二次函数在上的图象，随的增大而增大， ∴在时，y取得最大值为； （Ⅱ）当时，， 如图所示： 此时二次函数在上的图象，当时取得最大值； （Ⅲ）当对称轴时，， 如图所示： 此时二次函数在上的图象，随的增大而减小， ∴当时，取最大值为； 综上所述：当时，最大值为；当时，最大值为，当时，最大值为． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质、二次函数与一次函数的综合、一元二次方程根与系数的关系、二次根式性质、分类讨论的思想，解决本题的关键是利用分类讨论的思想，分情况求解． 23. 【经典再现】 人教（2013年版）八年级数学下册教科书69页14题，原文如下：如图1，四边形是正方形，是边的中点，且交正方形外角的平分线于点． 求证：．（提示：取的中点，连接．） （1）请你写出证明过程； 【类比探究】 （2）将图1中的“四边形是正方形”换成“四边形是矩形，且”，其它条件不变（如图2所示）．猜想与的数量关系，并证明你的猜想； 【综合应用】 （3）将图2中“”换成“”，其它条件不变，增加条件“为边上一点，，”（如图3所示）．请你直接写出的长． 【答案】 （1）证明：取的中点，连接，如图1所示： ∵四边形是正方形， ∴， ∵是的中点， ∴， 在中，，，则， 是正方形外角的平分线， ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ； （2）， 证明：在上截取，连接，如图2所示： ∵是的中点， ， 不妨设，则， ， ，则， 由（1），同理可得， ∴， ∴，即与的数量关系是； （3） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，如图1所示，由正方形性质、中点定义、等腰直角三角形的判定与性质、角平分线定义得到相关角度与线段关系，再由两个三角形全等的判定与性质即可得证； （2）在上截取，连接，如图2所示，不妨设，则，由得，，同（1）得到，再由三角形相似的判定与性质即可得证； （3）延长，交于点，作，交延长线于，交的延长线与，作于，如图所示，可设，则，可证得，从而，可证得，从而得出，，由（2），同理可得，则，从而得出，从而，根据勾股定理得到，解一元二次方程即可得到答案． 【详解】解：（1）略 （2）略 （3）在上截取，连接，延长，交于点，作，交延长线于，交的延长线与，作于，如图所示： ∴ ∴四边形是矩形， ∴ ∵， ∴可设，则， ， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 由（1），同理可得， ∵， ∴， ， ，， ， ， ∴， ∴， ∴， 由（2），同理可得，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ， 在中，由勾股定理可得，则， ，解得或（舍去）， ∴． 【点睛】本题考查四边形综合，难度较大，涉及正方形的性质、中点定义、角平分线定义、等腰直角三角形的判定与性质、矩形的性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、解一元二次方程等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形及相似三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度九年级第二次模拟考试 数学试题 一、选择题：（本大题共10个小题．每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 某同学去商场购买一种体育用品，他看到该体育用品的商标如图所示．若这位同学任意买一只该种体育用品，则这个体育用品最大质量可能是（ ） A. B. C. D. 2. 近年来，随着环保意识的提升，越来越多的消费者选择购买新能源汽车，以实现更加节能的出行方式．下列图案是我国四款新能源汽车的标志，其中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 2025年1月29号《哪吒之魔童闹海》在我国首映，截止3月10号全球累计票房已超过149亿元，目前位列全球影史票房第6名．其中149亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图①．用一个平面截长方体，得到如图②的几何体，它在我国古代数学名著《九章算术》中被称为“堑堵”．图②“堑堵”的俯视图是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，直线，分别经过（）的顶点，．若，，则的大小为（ ） A. B. C. D. 6. 下面各式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 7. 关于x的一元二次方程在实数范围内有实数根，则m的取值范围是（ ） A. 且 B. C. D. 且 8. 某小区有的护栏上有一块宣传版面（如图1所示），其形状是扇形的一部分．图2是其平面示意图，和都是半径的一部分，测得，，，则这块宣传版面的面积（单位：）是（ ） A. B. C. D. 9. 某老板统计了自家经营的饭店“五一”期间5月1日至5月5日每天的用水量（单位：吨），并绘制了日用水量折线统计图．则下列说法正确的是（ ） ①这5天用水量的平均数是6；②这5天用水量的众数是7； ③这5天用水量的极差是8；④这5天用水量的中位数是11； A. ①② B. ③④ C. ②③ D. ①④ 10. 干支纪年法是中国历法上的传统文化，干支是天干和地支的总称．干支纪年法的组合方式是天干在前，地支在后，以十天干和十二地支循环配合（如对照表），60年为一个循环．我们把天干、地支按顺序排列，且给它们编上序号，天干的计算方法是：年份减3，除以10所得的余数对应天干栏中的汉字即为天干；地支的计算方法是：年份减3，除以12所得的余数对应地支栏中的汉字即为地支；属相的计算方法与地支一致． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 … 天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 … 地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 … 属相 鼠 牛 虎 兔 龙 蛇 马 羊 猴 鸡 狗 猪 … 依据上述规律推断，2037年为（ ） A. 戊酉鸡 B. 丁巳蛇 C. 丙申猴 D. 己辰龙 二、填空题：（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 函数的自变量x的取值范围是___． 12. 已知，且，则的值为______． 13. 如图，中，是上一点，连接．请你补充一个条件______，使． 14. 如图，中，，且点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，若，则k的值为______． 15. 如图，E是矩形内部一动点，且，．在点E运动过程中，当所在直线与以点B为圆心，的长为半径的圆相切时，设此时，，则代数式的值是______． 三、解答题：（本大题共8小题，共75分） 16. （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 17. “少年自当扶摇上，揽星弦月逐日光”．值2025年学业水平考试临近，某中学为减轻学生备考压力，让学生以轻松的姿态迎接学业水平考试，举行五一假期研学游活动，选取了A（微山湖），B（水泊梁山），C（金乡羊山），D（嘉祥武氏祠）四个研学基地，参加活动的每名中学生必选取且只能选取其中一个研学基地．为了解该校学生对四个基地的选取情况，随机抽取部分学生进行调查，并将统计数据整理后，绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图． （1）在扇形统计图中，A所在的扇形的圆心角的度数为______，若该中学有1000名中学生参加本次活动，则选择嘉祥武氏祠研学基地的学生大约有______人； （2）请将条形统计图补充完整； （3）甲、乙两位同学计划从A，B，C，D四个研学基地任意选择一个参加研学游活动，请用列表法或画树状图的方法求两人恰好选取同一个研学基地的概率． 18. 如图，平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点，与y轴交于点． （1）尺规作图：作直线，使，与反比例函数图象在第一象限内交于点；（要求：不写作法，保留作图痕迹） （2）求（1）中点的坐标． 19. 根据以下素材，探索完成任务． 为落实《健康中国行动（2019—2030）》等文件精神，某学校准备购进一批排球和足球促进校园体育活动，请你根据以下素材，探索完成任务： 素材1 某体育器材店每个排球的价格比足球的价格少元，用元购买的排球数量与元购买的足球数量相等． 素材2 该学校决定购买排球和足球共个，且购买足球的数量不少于排球的数量，同时该体育器材店为支持该学校体育活动，对排球给折优惠，足球给予8折优惠． 问题解决 任务1 探求商品单价 请求出每个排球和足球的价格． 任务2 确定购买方案 运用数学知识，确定该学校本次购买排球和足球所需费用最少的方案，并求出最少费用． 20. 综合与实践：小星学习解直角三角形知识后，结合光的折射规律进行了如下综合性学习． 【实验操作】 第一步：将长方体空水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边沿A处投射到底部B处，入射光线与水槽内壁的夹角为； 第二步：向水槽注水，水面上升到的中点E处时，停止注水．（直线为法线，为入射光线，为折射光线．） 【测量数据】 如图，点A，B，C，D，E，F，O，N，在同一平面内，测得，，折射角． 【问题解决】 根据以上实验操作和测量的数据，解答下列问题： （1）求的长； （2）求B，D之间的距离（结果精确到0.1cm）． （参考数据：，，） 21. 如图，是的直径，点C在上，的平分线交于点D，过点D的直线，分别交的延长线于点E，F． （1）猜想直线与的位置关系，并证明你的猜想； （2）若，，求的长． 22. 已知抛物线（，为实数）． （1）当，时，抛物线的顶点恰好在直线上． ①求的值； ②若抛物线与直线有两个交点，设两个交点分别为，，求证：； （2）若，，直线与抛物线相交于和两点，其中．当时，求二次函数的最大值． 23. 【经典再现】 人教（2013年版）八年级数学下册教科书69页14题，原文如下：如图1，四边形是正方形，是边的中点，且交正方形外角的平分线于点． 求证：．（提示：取的中点，连接．） （1）请你写出证明过程； 【类比探究】 （2）将图1中的“四边形是正方形”换成“四边形是矩形，且”，其它条件不变（如图2所示）．猜想与的数量关系，并证明你的猜想； 【综合应用】 （3）将图2中“”换成“”，其它条件不变，增加条件“为边上一点，，”（如图3所示）．请你直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $