精品解析：广东省深圳市盐田高级中学等校2024-2025学年高二下学期5月期中联考数学试题

2024—2025学年度高二年级5月联考 数学试题 本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知离散型随机变量X的分布列为，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知离散型随机变量X满足，且，则（ ） A. 1 B. 0.1 C. 0.01 D. 1.01 3. 已知为椭圆上一点，则C的焦距为（ ） A. 1 B. C. D. 4. 某高校的教授为了完成一个课题，将4名研究生助理分配到3个实验室进行为期一周的实验来共同协助该教授完成该课题，要求每名研究生助理只去1个实验室进行实验，且每个实验室至少安排1名研究生助理，则不同的安排方法的种数为（ ） A. 72 B. 54 C. 48 D. 36 5. 二项式展开式中含项的系数为（ ） A. B. 80 C. D. 40 6. 已知某正三棱锥的侧面均为直角三角形，且其各个顶点均在球O的表面上，若该三棱锥的体积与球O的表面积在数值上相等，则该三棱锥的侧棱长为（ ） A. B. C. D. 7. 研究表明某生物种群的数量Q（单位：千只）与时间t（，单位：年）的关系近似的符合，且在研究刚开始时，该生物种群的数量为5000只.则该生物种群数量的增长速度（ ） A. 先增大后减小 B. 先减小后增大 C. 逐年减小 D. 逐年增大 8. 记为数列的前项和，满足，，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 现用共5个数字组成四位数，则（ ） A. 可以组成84个无重复数字的四位数 B. 可以组成404个有重复数字的四位数 C. 可以组成54个无重复数字四位偶数 D. 可以组成120个百位为奇数的四位偶数 10. 已知方程组有且仅有一个复数解z，则实数k的可能取值有（ ） A. B. C. D. 11. 某汽车零件制造厂使用最新技术对某款汽车零件制造工艺进行改进，抽取部分汽车零件由智能检测系统进行筛选，其中部分次品汽车零件会被淘汰，筛选后的汽车零件进入流水线由工人进行检验.记事件“抽取的某汽车零件通过智能检测系统筛选”，事件“抽取的某汽车零件经人工检验后合格”，且改进生产工艺后，这款汽车零件的抗压质量指标服从正态分布，现从中随机抽取M个，这M个汽车零件中恰有m个的抗压质量指标位于区间，则（ ） 参考数据： A. B. C. D. 当取得最大值时，M的估计值为53 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知曲线在点处切线斜率为，则_______. 13. 一枪手进行射击训练，共射击6次，每次命中概率相同，且每次射击相互独立，总共命中2次的概率和总共脱靶3次的概率相同，则其命中的概率为_______. 14. 定义在R上函数满足对于任意实数均有，且，则_______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知二项式. （1）求展开式中常数项； （2）求展开式中二项式系数最大项. 16. 某高中为了了解同学们对我国四大名著相关文学的掌握情况，从高二年级的学生中随机抽取了20名同学分成两个小组进行了相关测试（满分为100分），测试结束后统计成绩如下表： A 76 78 83 84 85 90 92 95 98 99 B 63 72 73 75 80 81 84 85 92 99 （1）分别计算A组成绩的极差和B组成绩的第30百分位数； （2）若对于本次测试，规定：成绩分时为优秀，从A组中随机抽取1名学生，再从B组中随机抽取1名学生，用随机变量X表示这两人的成绩为优秀的人数，求X的分布列和数学期望. 17. 如图，长方体中，，. （1）证明：平面平面； （2）求二面角的正弦值. 18. 甲和乙两人进行足球射门比赛.规定先赢满三局的人获胜，且不存在平局.已知每局比赛中，甲赢乙的概率为p，其中. （1）记比赛结束时，甲赢的次数为X，求X的分布列； （2）记为甲和乙进行了4局比赛分出胜负的情况下甲获胜的概率，为甲和乙进行了5局比赛分出胜负的情况下甲获胜的概率.若，求p的取值范围. 19. 若两个集合M，N满足：，，且，，则称M，N互为对偶集．已知函数，定义，． （1）若，，，证明：； （2）证明：存在，使得无论t取何值，与均互为对偶集； （3）若，求b的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年度高二年级5月联考 数学试题 本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知离散型随机变量X的分布列为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据分布列的性质，列出方程，即可求解. 【详解】由离散型随机变量X的分布列为， 可得，解得. 故选：C. 2. 已知离散型随机变量X满足，且，则（ ） A. 1 B. 0.1 C. 0.01 D. 1.01 【答案】A 【解析】 【分析】应用方差的性质求目标方差. 【详解】由题得，所以. 故选：A 3. 已知为椭圆上一点，则C的焦距为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将点代入C的方程得，故，再根据焦距概念得解. 【详解】因为点在C上，代入C的方程得，解得，故， 所以C的焦距为. 故选：C. 4. 某高校的教授为了完成一个课题，将4名研究生助理分配到3个实验室进行为期一周的实验来共同协助该教授完成该课题，要求每名研究生助理只去1个实验室进行实验，且每个实验室至少安排1名研究生助理，则不同的安排方法的种数为（ ） A 72 B. 54 C. 48 D. 36 【答案】D 【解析】 【分析】根据分组分配及分步计算原理，先将4人分成3组，再分配到3个实验室可解. 【详解】将4名研究生助理分成3组，有种方法，再将3个组分配到3个实验室有种方法. 故选：D. 5. 二项式展开式中含项系数为（ ） A. B. 80 C. D. 40 【答案】B 【解析】 【分析】求得展开式通项为，令，得到，代入即可求解. 【详解】由题意，二项式展开式通项为， 令，可得，则， 即含项的系数为. 故选：B. 6. 已知某正三棱锥的侧面均为直角三角形，且其各个顶点均在球O的表面上，若该三棱锥的体积与球O的表面积在数值上相等，则该三棱锥的侧棱长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意设，求出三棱锥的体积，结合其结构特征判断正三棱锥的外接球即为以为棱的正方体的外接球，求出外接球的表面积，列出方程求解即得. 【详解】设该正三棱锥，侧棱， 因其侧面均为直角三角形，则两两垂直，故边长均为， 则该正三棱锥的体积为. 因两两垂直，则该三棱锥的外接球即为以为棱的正方体的外接球， 而正方体的外接球直径等于该正方体的体对角线长度，故球O的半径， 则球的表面积，依题意有，解得. 故选：D. 7. 研究表明某生物种群的数量Q（单位：千只）与时间t（，单位：年）的关系近似的符合，且在研究刚开始时，该生物种群的数量为5000只.则该生物种群数量的增长速度（ ） A. 先增大后减小 B. 先减小后增大 C. 逐年减小 D. 逐年增大 【答案】A 【解析】 【分析】利用初始值求出参数的值，通过求导，利用复合函数的单调性判断导函数的单调性，即可判断该生物种群数量增长速度的快慢. 【详解】对于，由题意，解得，则， 故， 令，则，因在上单调递减，在上单调递增， 利用复合函数的单调性，可知在上单调递减且为正数，在上单调递增且为正数， 则函数在上单调递增，在上单调递减， 故该生物种群数量的增长速度先增大后减小. 故选：A. 8. 记为数列的前项和，满足，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对下标赋值易知，故，递推得到. 赋值，解得，.再赋值，解得，得到. 【详解】易知，故，即，， 故. 而，， 故， 当，时，. 故 ， 而当时，，，联立解得，. 当时，，解得，于是. 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 现用共5个数字组成四位数，则（ ） A. 可以组成84个无重复数字的四位数 B. 可以组成404个有重复数字的四位数 C. 可以组成54个无重复数字的四位偶数 D. 可以组成120个百位为奇数的四位偶数 【答案】BD 【解析】 【分析】根据选项要求，运用两个计数原理和排列组合数公式列式计算即可. 【详解】对于A，可以组成无重复数字的四位数个，故A错误； 对于B，可以组成有重复数字的四位数个，故B正确； 对于C，若个位数为0，则有个；若个位数不为0，则有个， 则可以组成无重复数字的四位偶数个，故C错误； 对于D，依次选择千位、百位、十位、个位的数字， 则可以组成百位为奇数的四位偶数个，故D正确. 故选：BD. 10. 已知方程组有且仅有一个复数解z，则实数k的可能取值有（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】结合复数的几何意义， 问题等价于以为圆心，5为半径的圆与点与所连线段的垂直平分线相切，利用点到直线的距离公式计算即可判断. 【详解】结合复数的几何意义，由，可知复数对应的点的轨迹为以为圆心，5为半径的圆， 由，可知复数对应的点的轨迹为由点与所连线段的垂直平分线， 而方程组有且仅有一个复数解，即直线与圆相切. 由与知线段的中点，直线的斜率为， 则线段的垂直平分线，即， 由圆心到直线的距离为， 即，解得或. 故选：AC. 11. 某汽车零件制造厂使用最新技术对某款汽车零件制造工艺进行改进，抽取部分汽车零件由智能检测系统进行筛选，其中部分次品汽车零件会被淘汰，筛选后的汽车零件进入流水线由工人进行检验.记事件“抽取的某汽车零件通过智能检测系统筛选”，事件“抽取的某汽车零件经人工检验后合格”，且改进生产工艺后，这款汽车零件的抗压质量指标服从正态分布，现从中随机抽取M个，这M个汽车零件中恰有m个的抗压质量指标位于区间，则（ ） 参考数据： A. B. C. D. 当取得最大值时，M的估计值为53 【答案】ABD 【解析】 【分析】由条件概率的定义，可判定A正确；由，得到，再由，求得，结合，可判定B正确；由正态分布曲线的性质，可判定C错误；由，得到，设，结合和，求得的范围，进而可判定D正确. 【详解】对于A中，由条件概率的定义，可得，所以A正确； 对于B中，因为，所以，其中， 所以，又因为， 所以，即， 即， 因为，所以，即，所以B正确； 对于C中，指标服从正态分布，可得， 则， 因为， 所以，所以C错误； 对于D中，由，可得， 设，由，解得，故； 令，解得， 即，所以取得最大值时，的估计值为，所以D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知曲线在点处的切线斜率为，则_______. 【答案】 【解析】 【分析】对函数求导，根据在处的斜率，即可求得. 【详解】由题意可得，所以. 故答案为：. 13. 一枪手进行射击训练，共射击6次，每次命中概率相同，且每次射击相互独立，总共命中2次的概率和总共脱靶3次的概率相同，则其命中的概率为_______. 【答案】 【解析】 【分析】依题意，判断这是伯努利概型，利用二项分布概率公式列式计算即得. 【详解】设枪手命中的概率为p，因总共命中2次的概率和总共脱靶3次的概率相同， 则， 因，化简得：，解得. 故答案为：. 14. 定义在R上的函数满足对于任意实数均有，且，则_______. 【答案】4050 【解析】 【分析】令，则，再令，即可求得，再代入解析式即可求得. 【详解】令，则可变形为，则， 又，解得， 于是. 故答案为：4050. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知二项式. （1）求展开式中的常数项； （2）求展开式中二项式系数最大的项. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由二项式的通项确定值，再代入通项即可求得； （2）根据二项式定理性质，结合，即可确定二项式系数最大的项为第四项，即可求得. 【小问1详解】 易得二项式的通项公式为： ，. 令，解得， 故该二项式的展开式中的常数项为. 【小问2详解】 因，二项展开式共有7项， 由二项式定理性质知二项式系数最大的项为第四项， 即. 16. 某高中为了了解同学们对我国四大名著相关文学的掌握情况，从高二年级的学生中随机抽取了20名同学分成两个小组进行了相关测试（满分为100分），测试结束后统计成绩如下表： A 76 78 83 84 85 90 92 95 98 99 B 63 72 73 75 80 81 84 85 92 99 （1）分别计算A组成绩的极差和B组成绩的第30百分位数； （2）若对于本次测试，规定：成绩分时为优秀，从A组中随机抽取1名学生，再从B组中随机抽取1名学生，用随机变量X表示这两人的成绩为优秀的人数，求X的分布列和数学期望. 【答案】（1）23，74 （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）先分别计算中 组成绩的极差和 组成绩的第 30百分位数； （2）再确定随机变量 的取值，计算其对应概率得到分布列，最后计算数学期望. 【小问1详解】 由表格可知A组成绩的极差为， 由于为整数， 故B组成绩的第30百分位数为. 【小问2详解】 根据题意，A组中优秀的学生有5人，B组中优秀的学生有2人，故X的可能取值为. 则， 所以X的分布列为： X 0 1 2 P 因此，X的数学期望 17. 如图，长方体中，，. （1）证明：平面平面； （2）求二面角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，证得，取中点M，由四边形为正方形，得到，再由平面，得到，利用线面垂直的判定定理，证得平面，得到，进而证得平面，结合面面垂直的判定定理，即可证得平面平面. （2）以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，分别求得平面和平面的法向量为和，结合向量的夹角公式，即可求解. 【小问1详解】 证明：在长方体中，可得平面， 因为平面，所以， 在直角中，可得， 同理可得， 故，所以，，即，所以， 取中点M，连接， 因为分别为的中点，故，所以四点共面， 又因为四边形为正方形，可得， 因为平面，且平面，所以， 又因为，平面，所以平面， 因为平面，所以， 又因为，平面，所以平面， 因为平面，故平面平面. 【小问2详解】 解：以D为坐标原点，以分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系， 如图所示，则， 可得， 设平面的一个法向量，则， 取，可得，所以， 设平面的一个法向量，则， 取，可得，所以， 则，可得， 故二面角的正弦值为. 18. 甲和乙两人进行足球射门比赛.规定先赢满三局的人获胜，且不存在平局.已知每局比赛中，甲赢乙的概率为p，其中. （1）记比赛结束时，甲赢的次数为X，求X的分布列； （2）记为甲和乙进行了4局比赛分出胜负的情况下甲获胜的概率，为甲和乙进行了5局比赛分出胜负的情况下甲获胜的概率.若，求p的取值范围. 【答案】（1）分布列见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由题意，可得X所有可能的取值为，分别求出各可能值对应概率值，列出分布列即可‘ （2）设事件B为“进行了4局比赛分出胜负”，求得，设A为“甲获胜”，求出，利用条件概率公式求得“进行了4局比赛分出胜负的情况下甲获胜”的概率为；再设事件为“进行了5局比赛分出胜负”，求得，继而求得，同理求得，再由，列出不等式，求解即得. 【小问1详解】 根据题意，则X所有可能的取值为， 于是， ， ， 故X的分布列为： X 0 1 2 3 P 【小问2详解】 记事件B为“进行了4局比赛分出胜负”， 则， 记事件A为“甲获胜”，则事件表示“进行了4局比赛以后甲获胜”， 则， 故进行了4局比赛分出胜负的情况下，甲获胜的概率为 ； 记事件为“进行了5局比赛分出胜负”， 则， 则表示“进行了5局比赛以后甲获胜”， 则， 故进行了5局比赛分出胜负的情况下，甲获胜的概率为 . 依题意，， 解得，故p的取值范围为. 19. 若两个集合M，N满足：，，且，，则称M，N互为对偶集．已知函数，定义，． （1）若，，，证明：； （2）证明：存在，使得无论t取何值，与均互为对偶集； （3）若，求b的取值范围． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）在，时，，求导判断函数的单调性，求出和，结合，即可得证； （2）观察发现，取，证明与互为对偶集即可； （3）构造函数，将条件，转化为的充分必要条件为，假设，分析产生矛盾，故得，代入解得，再分和两情况讨论，推出时，符合题意，即得b的取值范围. 【小问1详解】 由题意知，， 则， 因此在上单调递减． ， ， 又，故． 【小问2详解】 观察发现，， 取，下证与互为对偶集， ，，则， 即， 由定义知． 同理可知，，． 故当时，与互为对偶集． 【小问3详解】 构造函数， 则，即的充分必要条件为， 若，又，由于的图象在上连续不断， 故，使得， 则与矛盾， 因此，代入解得． 若，则，不符合题意，舍去． 若，此时在上恒成立， 此时在上单调递增，则在上单调递增， 又，所以在上恒成立，符合题意． 综上，b的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$