精品解析：河北省衡水市阜城县阜城实验中学2024-2025学年高一下学期5月月考数学试题

2025年5月高一月考数学测试卷 一、单选题 1. 一球体的表面积为，该球体的体积为（ ） A. B. C. D. 2. 在正六边形ABCDEF中，设，则下列向量中与不共线的是（ ） A. B. C. D. 3 若，则（ ） A. B. C. D. 4. 如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，则平面图形的面积为（ ） A. B. 2 C. 3 D. 5. 已知的内角的对边分别为，若，，，则（ ） A. 4 B. C. D. 6. 将函数的图象上所有点向右平移个单位后得到的图象关于原点对称，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图所示，中，点是线段BC的中点，是线段AD的靠近的三等分点，则（ ） A. B. C. D. 8. 函数的部分图象如图所示，则下列结论不正确的是（ ） A. B. C. 是函数的一条对称轴 D. 是函数的对称中心 二、多选题 9. 正方体中，与棱异面的棱有（ ） A. B. C. D. 10 已知复数，则（ ） A. B. C. 为纯虚数 D. 在复平面内对应的点位于第四象限 11. 若，则（     ） A. B. C. D. 三、填空题 12. 在正四棱台中，，则该棱台的体积为______. 13. 在复平面上，如果，对应的复数分别是，，那么对应的复数为________. 14. 已知单位向量，满足，则与夹角为______． 四、解答题 15. 如图所示的几何体的上部是一个正四棱锥，下部是一个正方体，其中正四棱锥的高为是等边三角形，. （1）求该几何体的表面积； （2）求该几何体的体积. 16. （1）已知，若与平行，求； （2）已知与的夹角为，若与垂直，求实数的值． 17. 已知圆锥半径，母线长为． （1）求圆锥的表面积和体积； （2）如图，过AO的中点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，求剩下几何体的体积和表面积． 18. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c， ． （1）求角的大小； （2）若，的面积为，求的周长． 19 已知函数． （1）求的单调递增区间； （2）若函数的零点为，求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年5月高一月考数学测试卷 一、单选题 1. 一球体的表面积为，该球体的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出球体的半径，结合球体体积公式可得结果. 【详解】设球体半径为，则该球的表面积为，可得， 因此，该球的体积为. 故选：B. 2. 在正六边形ABCDEF中，设，则下列向量中与不共线的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据共线向量的定义即可. 【详解】因为共线向量是指向量所在直线共线或平行的向量，O为正六边形的中心， 所以与所在直线平行，所以是共线向量，故A错误； 与所在直线平行，所以是共线向量，故B错误； 与所在直线既不共线也不平行，所以不是共线向量，故C正确； 与所在直线共线，所以是共线向量，故D错误. 故选：C. 3. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，利用复数的运算法则，化简得到，结合共轭复数的概念，即可求解. 【详解】由，可得， 所以. 故选：D． 4. 如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，则平面图形的面积为（ ） A. B. 2 C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】运用斜二测画法得到原图，再用梯形面积公式计算即可. 【详解】如图，作平面直角坐标系，使A与O重合，在x轴上，且，在轴上，且，    过作，且，连接，则直角梯形为原平面图形，其面积为． 故选：C. 5. 已知的内角的对边分别为，若，，，则（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由三角形内角和求，由正弦定理即可求. 【详解】因为，， 所以， 由得. 故选：B 6. 将函数的图象上所有点向右平移个单位后得到的图象关于原点对称，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用平移变换的意义求得变换后的解析式为，进而根据图象关于原点对称，可得，求解即可. 【详解】将函数的图象上所有点向右平移个单位后得到的图象的解析式为， 因为的图象关于原点对称，所以，解得， 因为，所以. 故选：B. 7. 如图所示，中，点是线段BC的中点，是线段AD的靠近的三等分点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意结合向量的线性运算求解即可. 【详解】因为点是线段BC的中点，是线段AD的靠近的三等分点， 则，， 所以. 故选：A． 8. 函数的部分图象如图所示，则下列结论不正确的是（ ） A. B. C. 是函数的一条对称轴 D. 是函数的对称中心 【答案】B 【解析】 【分析】对于A，由图可知，求出周期，再利用周期公式可求出进行判断，对于B，由图可知的图象过点，代入函数解析中可求出的值，对于C，根据图象进行判断，对于D， 【详解】对于A，由图可知，得，所以，得，所以A正确， 对于B，由选项可知，由图可知的图象过点， 所以，所以，得， 因为，所以，所以B错误， 对于C，由的图象可知是函数的一条对称轴，所以C正确， 对于D，由选项AB的解析可知，由， 得，所以是函数的对称中心，所以D正确. 故选：B 二、多选题 9. 正方体中，与棱异面的棱有（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】先作出符合题意的正方体，再利用正方体的性质求解即可. 【详解】如图，我们作出符合题意的正方体， 由正方体的性质得与棱异面的棱有，，，，共4条， 而本题中符合题意的有和，故C，D正确. 故选：CD 10. 已知复数，则（ ） A. B. C. 为纯虚数 D. 在复平面内对应点位于第四象限 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据复数的乘法求出复数，再根据复数的相关知识逐项判断即可. 【详解】， ，A正确； ，B正确； 不是纯虚数，C错误； 在复平面内对应点位于第四象限，D正确. 故选：ABD. 11. 若，则（     ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】将弦化切，即可求出，即可判断A，再由同角三角函数的基本关系求出，即可判断B，利用二倍角公式判断C，D. 【详解】对于A ：因为，所以，解得，故A正确； 对于B：因为，解得或，故B错误； 对于C：因为，所以，故C正确； 对于D： 或，故D正确. 故选：ACD 三、填空题 12. 在正四棱台中，，则该棱台的体积为______. 【答案】 【解析】 【分析】连接，过点作，垂足分别为，根据正四棱台的性质，求得棱台的高，结合棱台的体积公式，即可求解. 【详解】如图所示，连接，过点作，垂足分别为， 因为，可得，所以， 在， 在直角中，由，可得， 即正四棱台的高为， 又由正四棱台上、下底面面积分别为， 所以正四棱台的体积为：. 故答案为：. 13. 在复平面上，如果，对应的复数分别是，，那么对应的复数为________. 【答案】 【解析】 【分析】 由，得对应的复数为对应复数的差，即可求解. 【详解】对应的复数分别是， 对应的复数为. 故答案为：. 【点睛】本题考查复数和复数减法的几何意义，考查数形结合思想，属于基础题. 14. 已知单位向量，满足，则与的夹角为______． 【答案】 【解析】 【分析】两边平方，得到即可求出答案． 【详解】由单位向量，满足，得， 即，则，所以与的夹角为． 故答案为：． 四、解答题 15. 如图所示的几何体的上部是一个正四棱锥，下部是一个正方体，其中正四棱锥的高为是等边三角形，. （1）求该几何体的表面积； （2）求该几何体的体积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设是的中点，连接，进而可证明，从而可得计算正四棱锥的侧面积与正方体的五个面积求解； （2）根据锥体与正方体体积求解即可. 小问1详解】 设是的中点，连接. 因为是边长为6的正三角形， 所以，且， 所以该几何体的表面积. 【小问2详解】 连接，设交点为，连接，则是四棱锥的高， 则，所以. 又正方体的体积为， 所以该几何体的体积. 16. （1）已知，若与平行，求； （2）已知与的夹角为，若与垂直，求实数的值． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）先求出，，由平行向量的坐标表示求出，再由模长公式求解即可； （2）由数量积的定义求出，再由数量积的运算律结合与垂直即可得出答案. 【详解】（1）因为， 且与平行， 所以，解得， 所以， 所以． （2）已知与的夹角为， 所以， 因为与垂直， 所以 所以． 17. 已知圆锥的半径，母线长为． （1）求圆锥表面积和体积； （2）如图，过AO的中点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，求剩下几何体的体积和表面积． 【答案】（1）表面积，体积 （2）体积，表面积 【解析】 【分析】（1）设圆锥的高为h，分别应用表面积和体积公式，求出表面积和体积即可得到答案. （2）先求出圆锥的体积，为的中点，利用相似比求出圆柱的底面半径，即可求出圆柱的体积，剩下几何体的体积为圆锥体积减去圆柱体积，根据圆锥表面积和圆柱侧面积即可得到剩下几何体的表面积，即可得到答案. 【小问1详解】 设圆锥的高为h， 由题意得： 圆锥侧面积， 圆锥的底面积， 圆锥的表面积； 圆锥的体积为． 【小问2详解】 由（1）可得：圆锥的体积为 又圆柱底面半径为，高（母线）为 圆柱的体积为 剩下几何体的体积为； 由（1）得圆锥的表面积； 18. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c， ． （1）求角的大小； （2）若，的面积为，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理化简条件，利用余弦定理求出，即可得出答案； （2）由三角形面积公式求得，利用余弦定理列出方程求解即可． 【小问1详解】 由题意及正弦定理知， ，，，． 【小问2详解】 由得， 由余弦定理得， ，， 的周长为． 19. 已知函数． （1）求的单调递增区间； （2）若函数的零点为，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由降幂公式和辅助角公式化简，结合整体法可求的单调递增区间； （2）由题意知，再通过“配角”并运用诱导公式求解即可. 【小问1详解】 ， 令，解得， 所以的单调递增区间为. 【小问2详解】 由（1）得， 因为函数的零点为，所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$