精品解析：天津外国语大学附属滨海外国语学校2024-2025学年高二下学期5月期中考试数学试卷

天津外国语大学附属滨海外国语学校 2024-2025学年度第二学期期中高二年级数学试卷 （时间：120分钟 分值：150分） 一、单选题（1-10题每题4分，11-14题每题5分，共60分） 1. 设，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出函数的导数，结合已知条件，即得答案. 【详解】由，得， 故由，得， 故选：B 2. 某公司现准备针对某区域市场开发一款手机软件，而软件的运行需要有相应的手机系统，目前主要的手机系统有6种，在该区域使用的主要有3种，如果公司要选2种系统，那么合适的选择方法种数为（ ） A. 3 B. 6 C. 15 D. 30 【答案】A 【解析】 【分析】求从3种系统中选择2种系统的组合数即可得. 【详解】区域使用的主要有3种，公司要选用2种系统， 从3种系统中选择2种系统的组合数为：. 故选：A. 3. 电脑调色板有红、绿、蓝三种基本颜色，每种颜色的色号均为.在电脑上绘画可以分别从三种颜色的色号中各选一个配成一种颜色，那么在电脑上可配成的颜色种数为（ ） A. B. 27 C. D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】根据分步乘法计数原理易得答案. 【详解】分3步取色，第一、第二、第三次都有256种取法，根据分步乘法计数原理得，共可配成种颜色. 故选：A. 4. 已知函数，其导函数的图象如图所示，则对于函数的描述正确的是（ ） A. 在上单调递减 B. 在处取得极大值 C. 在上单调递减 D. 在处取得最小值 【答案】BC 【解析】 【分析】由导函数图象得到的取值（正负）情况，从而得到的单调性与极值点. 【详解】由导函数的图象可知，当时，当时， 当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极大值，在处取得极小值，在处取得极大值. 故正确的有BC. 故选：BC 5. 函数，则（ ） A. B. C. D. 关系不确定 【答案】C 【解析】 【分析】求得，结合导数的符号，即可求得的单调区间,进而可判断结果. 【详解】解：由已知可得， 令，解得． 当时，；当时，； 故在上单调递减，在上单调递增． 因为，所以. 故选：C 6. 学校要求学生从物理､历史､化学､生物､政治､地理这6科中选3科参加考试，规定先从物理和历史中任选1科，然后从其他4科中任选2科，不同的选法种数为（ ） A. 5 B. 12 C. 20 D. 120 【答案】B 【解析】 【分析】先从物理和历史中选一科，再从剩下4科中选一科，进而用分布计数原理得到答案. 【详解】从物理和历史中任选1科，有种，然后从其他4科中任选2科，有种， 共有种. 故选：B. 7. 由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数共有（ ） A. 120个 B. 480个 C. 288个 D. 240个 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可分为两类：个位数字为0和个位数字为2或4，结合排列、组合数的公式，即可求解. 【详解】根据题意可分为两类：个位数字为0和个位数字为2或4， 当个位数字为0时，小于的偶数有个； 当个位数字为2或4时，小于的偶数有个， 所以小于的偶数共有个. 故选：D. 8. 从标有1，2，3，4，5，6的六张卡片中不放回地抽取两次，每次抽取1张，则在第一次抽到的卡片所标数字为奇数的条件下，第二次抽到的卡片所标数字仍为奇数的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由条件概率计算公式求解即可. 【详解】记“第一次抽到的卡片所标数字为奇数”，“第二次抽到的卡片所标数字为奇数”， 由题意得，， 所以． 故选：C 9. 已知函数，若在上单调递增，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用求导思想，把函数单调递增转化为导数值恒大于或等于0，再用分离参变量思想就可以解决问题. 【详解】由求导可得：， 因为在上单调递增，所以在时，， 即，而当时，，所以， 故选：A. 10. 五种不同商品在货架上排成一排，其中两种必须连排，而两种不能连排，则不同的排法共有（ ）种. A. 24种 B. 36种 C. 72种 D. 120种 【答案】A 【解析】 【分析】根据相邻问题捆绑以及不相邻问题插空法，即可求解. 【详解】由题意，设五种商品编号分别为， 其中两种必须连排，两种不能连排， 将两种看作一种商品与进行排列，共有（种）， 共形成3个空，选择2个空，将插入，共有（种）， 则不同的排法共有：（种）， 故选：A 11. 甲、乙两人同时解答一道数学题，两人各自独立思考互不影响、已知甲能正确解答的概率为，乙能正确解答的概率为，则此题被正确解答的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据对立事件概率及条件概率公式求解即可. 【详解】两人都没有正确解答这道题的概率为； 此题被正确解答的概率为. 故选：D. 12. 现要从6名学生中选4名代表班级参加学校4×100m接力赛，其中已确定甲跑第1棒或第4棒，乙和丙2人只能跑第2、3棒，丁不能跑第1棒，那么合适的选择方法种数为（ ） A. 56 B. 60 C. 84 D. 120 【答案】B 【解析】 【分析】特殊位置优先排，甲很特殊，所以分当甲排第1棒时和当甲排第4棒时两类进行讨论求解可得. 【详解】由题设六人中确定甲跑第1棒或第4棒，乙、丙只能跑第2，3棒，丁不能跑第1棒 当甲排第1棒时，乙、丙均不参与则有种，乙、丙至少有一人参与则有种； 当甲排第4棒时，乙、丙均不参与则有种，乙、丙至少有一人参与则有种． 故合适的选择方法种数为种． 故选：B． 13. 若，则取最大值时的值为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 【答案】B 【解析】 【分析】令，，且，结合组合数公式求出的值即可． 【详解】令，，且， 解得，，且， 所以时，， 而，， 所以，且， 故取最大值时的值为9． 故选：B． 14. 已知函数，有如下3个结论： ①当时，在区间上单调递减； ②当时，有两个极值点； ③当时，有最大值. 其中，正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】①求出函数的导数，根据已知求得，即可求得说法正确； ②根据已知将问题转化为两个函数与的图象交点问题，作出图象，求得两个图象有两个交点，从而求得有两个极值点，则说法正确； ③结合图象，时，可求得，则单增无最大值，故说法错误. 【详解】，， 对于①，因为，所以， 当时，，则在区间上单调递减，所以①正确. 对于②，令，得，令，， 当，则，当，则， 所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以当，， 又当趋近于时，趋近于，，当趋近于时，趋近于0， 所以可作出函数的大致图象如图所示，     由图可知，当时，直线与的图象有两个交点， 即方程有两个不等实根， 当或时，， 当时，， 则在和上单调递增，在上单调递减， 所以是函数的极大值点，是函数的极小值点， 故有两个极值点，所以②正确. 对于③，当时，，即恒成立，则函数在上单调递增， 所以函数无最大值，所以③错误. 则说法正确的个数为， 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题②的关键在于求导后分离参数，再次构造函数求导分析单调性和最值. 二、填空题（每小题5分，共40分） 15. _________． 【答案】0 【解析】 【分析】根据排列数的定义计算． 【详解】. 故答案为：0. 16. 曲线在点处的切线方程为__________. 【答案】 【解析】 【分析】求出的值，利用点斜式可得出所求切线的方程. 【详解】因为，则，所以，， 所以，曲线在点处的切线方程为，即. 故答案为：. 17. 中国是瓷器的故乡，瓷器的发明是中华民族对世界文明的伟大贡献，瓷器传承着中国文化，有很高的欣赏和收藏价值．现有一批同规格的瓷器，由甲、乙、丙三家瓷器厂生产，其中甲、乙、丙瓷器厂分别生产400件、400件、200件，而且甲、乙、丙瓷器厂的次品率依次为．现从这批瓷器中任取一件，取到次品的概率是____________，若取到的是次品，则其来自甲厂的概率为____________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】设任取一件产品来自甲厂为事件、来自乙厂为事件、来自丙厂为事件，根据题意求出各自的概率，然后利用全概率公式可求出从中任取一件，取到次品的概率，利用条件概率公式可求出取得零件是次品，则它是来自甲厂生产的概率. 【详解】设任取一件产品来自甲厂为事件、来自乙厂为事件、来自丙厂为事件，则彼此互斥，且, ，，， 设任取一件产品，取到的是次品为事件， 则 ， 如果取得零件是次品，那么它是来自甲厂生产的概率为 , 故答案为：； 18. 展开式中的系数为_________. 【答案】42 【解析】 【分析】先将原式分解为2个代数式之和，运用二项式定理分别计算 项的系数，再求和即可. 【详解】 ， 先计算第一个式子 项的系数为=35 ， 再计算第二个式子的 项的系数为 ， 所以原式 项的系数为35+7=42； 故答案为：42. 19. 已知在一次降雨过程中，某地降雨量（单位：mm）与时间（单位：mm）的函数关系可近似表示为，则在时的瞬时降雨强度（某一时刻降雨量的瞬间变化率）为__________mm/min. 【答案】## 【解析】 【分析】将函数关于求导，再将代入上式的导函数，即可求解． 【详解】解：因为 ， ． 故在时的瞬时降雨强度（某一时刻降雨量的瞬间变化率）为mm/min. 故答案为： 20. 设函数有两个极值点，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【详解】由题意，1+x＞0 f′（x）==， ∵f（x）=mx3+x恰有有两个极值点， ∴方程f′（x）=0必有两个不等根， 即2x2+2x+m=0在（﹣1，+∞）有两个不等根 ∴ 解得0＜m＜ 故答案为． 点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路 (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决； (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 21. 现安排甲､乙､丙､丁､戊这5名同学参加志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，且每人只安排一个工作，则下列说法正确的序号是________. ①不同安排方案的种数为 ②若每项工作至少有1人参加，则不同安排方案的种数为 ③若司机工作不安排，其余三项工作至少有1人参加，则不同安排方案的种数为 ④若每项工作至少有1人参加，甲不能从事司机工作，则不同安排方案的种数为 【答案】②④ 【解析】 【分析】根据分步乘法计数原理即可求解①，根据分组分配问题即可求解②③④. 【详解】若每人都安排一项工作，每人有4种安排方法，则不同安排方案的种数为，故①错误；先将5人分为4组，再将分好的4组全排列，安排4项工作， 则不同安排方案的种数为，故②正确； 先将5人分为3组，有种分组方法， 将分好的三组安排翻译､导游､礼仪三项工作，有种情况， 则不同安排方案的种数是，故③错误； 对④，第一类，先从乙，丙，丁，戊中选出1人从事司机工作，再将剩下的4人分成三组， 安排翻译､导游､礼仪三项工作，则不同安排方案的种数为； 第二类，先从乙，丙，丁，戊中选出2人从事司机工作， 再将剩下的3人安排翻译、导游、礼仪三项工作， 则不同安排方案的种数为，所以不同安排方案的种数是，故④正确. 故答案为：②④. 22. 定义在区间上的函数，若存在正数，使得不等式对任意成立，则称函数在区间满足条件；已知，若函数在区间上满足条件，则的最小值是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据函数的单调性以及条件进行分析，从而求得的取值范围，进而求得的最小值. 【详解】对于函数，， 当时，，在区间上单调递增. 不妨设,则， 在区间上满足条件， 所以不等式对任意成立， 所以不等式对任意成立， 即对任意成立， 即在上单调递减， 则在上恒成立， 所以在上恒成立， 所以，所以的最小值为. 故答案为： 【点睛】思路点睛： 对于判断函数是否满足条件的问题，根据新定义，先对函数求导，分析函数的单调性，然后根据条件中不等式的形式，结合函数单调性进行转化，构造新的函数，再根据新函数的单调性与导数的关系，建立关于的不等式，通过求函数在给定区间上的最值来确定的取值范围.当函数单调递减时，其导数为非正数（在区间内某点处导数可以为0），利用这一性质将函数单调性问题转化为不等式恒成立问题，进而求解参数范围. 三、解答题（本题共50分） 23. 二项式展开式前三项的二项式系数和为22. （1）求n的值； （2）求展开式中各项的二项式系数和及各项的系数和； （3）求展开式中的常数项. 【答案】（1）6 （2）64，4096 （3）960 【解析】 【分析】（1）利用前三项二项式系数和为22，可列方程求得的值； （2）令即可求得各项系数和； （3）由二项式定理可得展开式的通项，令的系数为0求得的值，再将代入通项即可得到常数项. 【小问1详解】 展开式前三项的二项式系数和为22， ， 或（舍）， 故n的值为6. 【小问2详解】 展开式中各项的二项式系数和为. 令，则展开式各项系数和为. 【小问3详解】 由题意得，展开式通项， 令，得， 所以常数项为960. 24. 设，曲线在点处的切线与轴相交于点，求函数的极值． 【答案】， 【解析】 【分析】求出函数的导函数，即可表示出函数在的切线方程，根据切线过点，求出，即可得到函数解析式，再利用导数求出函数的极值. 【详解】因为， 所以，则， 又， 所以在点处的切线方程为， 由点在切线上，可得，解得. 所以，则定义域为， 所以， 令，解得或， 所以、、的关系如下表所示： 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 由表可知，的单调递增区间为和，的单调递减区间为, 所以， . 25. 已知函数，． （1）求函数的单调区间； （2）求在区间上的最小值. 【答案】（1）①当时，在上为增函数；②当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为；③当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为． （2）当时，的最小值为；当时，的最小值头；当时，的最小值为． 【解析】 【分析】(1)根据导函数的零点个数即大小分类讨论可得； (2)利用(1)中结论讨论函数在上的单调性，由单调性可得最小值. 【小问1详解】 根据题意，函数，其导数． ①当时，，则在上为增函数； ②当时，令，解得或，则的单调递增区间为和，单调递减区间为； ③当时，令，解得或，则的单调递增区间为和，单调递减区间为． 【小问2详解】 由（1）可得，当或，． ①当，即时，在上单调递增，此时在区间上的最小值为； ②当，即时，在上单调递减，在内单调递增，此时在区间上的最小值为； ③当，即时，在上单调递减，此时在区间上的最小值为． 综上可得：当时，的最小值为；当时，的最小值头；当时，的最小值为． 26. 已知函数，若其定义域为，且满足对一切恒成立，则称为一个“逆构造函数”. （1）设，判断是否为“逆构造函数”，并说明理由； （2）若函数是“逆构造函数”，求实数的取值范围； （3）已知“逆构造函数”满足对任意的，都有，且. 求证：对任意实数，关于的方程无解. 【答案】（1）是“逆构造函数”，理由为： 由于， 故对有.     所以是“逆构造函数”. （2） （3） 证明：设，          则， 故在上单调递增. 一方面，对，有. 所以对任意，有；            另一方面，对， 假设，则根据及零点存在定理，存在使得. 再由条件， 知，矛盾. 所以对任意，有. 假设存在使得，则根据及零点存在定理，存在使得. 从而对任意，有. 但由，知，矛盾. 所以对任意，都有.            综合两方面可知，对任意的，都有. 所以对任意，关于的方程一定无解. 【解析】 【分析】（1）直接根据“逆构造函数”定义验证即得； （2）由条件，结合定义可得对任意成立，设，利用导数求函数的最小值，由此可得的取值范围； （3）分情况讨论，并证明对任意的都有，即可推出相应的结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由于， 故.   因为函数是“逆构造函数”， 所以对任意成立， 对任意成立， 也即对任意成立. 令，，则， 令，可得， 当时，，则在单调递减； 当时，，则在上单调递增. 故， 所以，则 综上，的取值范围是. 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于对“逆构造函数”定义的理解，只有理解了定义，方可解决相应问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津外国语大学附属滨海外国语学校 2024-2025学年度第二学期期中高二年级数学试卷 （时间：120分钟 分值：150分） 一、单选题（1-10题每题4分，11-14题每题5分，共60分） 1. 设，若，则（ ） A. B. C. D. 2. 某公司现准备针对某区域市场开发一款手机软件，而软件的运行需要有相应的手机系统，目前主要的手机系统有6种，在该区域使用的主要有3种，如果公司要选2种系统，那么合适的选择方法种数为（ ） A. 3 B. 6 C. 15 D. 30 3. 电脑调色板有红、绿、蓝三种基本颜色，每种颜色的色号均为.在电脑上绘画可以分别从三种颜色的色号中各选一个配成一种颜色，那么在电脑上可配成的颜色种数为（ ） A. B. 27 C. D. 6 4. 已知函数，其导函数的图象如图所示，则对于函数的描述正确的是（ ） A. 在上单调递减 B. 在处取得极大值 C. 在上单调递减 D. 在处取得最小值 5. 函数，则（ ） A. B. C. D. 关系不确定 6. 学校要求学生从物理､历史､化学､生物､政治､地理这6科中选3科参加考试，规定先从物理和历史中任选1科，然后从其他4科中任选2科，不同的选法种数为（ ） A. 5 B. 12 C. 20 D. 120 7. 由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数共有（ ） A. 120个 B. 480个 C. 288个 D. 240个 8. 从标有1，2，3，4，5，6的六张卡片中不放回地抽取两次，每次抽取1张，则在第一次抽到的卡片所标数字为奇数的条件下，第二次抽到的卡片所标数字仍为奇数的概率为（ ） A. B. C. D. 9. 已知函数，若在上单调递增，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 10. 五种不同商品在货架上排成一排，其中两种必须连排，而两种不能连排，则不同的排法共有（ ）种. A. 24种 B. 36种 C. 72种 D. 120种 11. 甲、乙两人同时解答一道数学题，两人各自独立思考互不影响、已知甲能正确解答的概率为，乙能正确解答的概率为，则此题被正确解答的概率为（ ） A. B. C. D. 12. 现要从6名学生中选4名代表班级参加学校4×100m接力赛，其中已确定甲跑第1棒或第4棒，乙和丙2人只能跑第2、3棒，丁不能跑第1棒，那么合适的选择方法种数为（ ） A. 56 B. 60 C. 84 D. 120 13. 若，则取最大值时的值为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 14. 已知函数，有如下3个结论： ①当时，在区间上单调递减； ②当时，有两个极值点； ③当时，有最大值. 其中，正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题（每小题5分，共40分） 15. _________． 16. 曲线在点处的切线方程为__________. 17. 中国是瓷器的故乡，瓷器的发明是中华民族对世界文明的伟大贡献，瓷器传承着中国文化，有很高的欣赏和收藏价值．现有一批同规格的瓷器，由甲、乙、丙三家瓷器厂生产，其中甲、乙、丙瓷器厂分别生产400件、400件、200件，而且甲、乙、丙瓷器厂的次品率依次为．现从这批瓷器中任取一件，取到次品的概率是____________，若取到的是次品，则其来自甲厂的概率为____________． 18. 展开式中的系数为_________. 19. 已知在一次降雨过程中，某地降雨量（单位：mm）与时间（单位：mm）的函数关系可近似表示为，则在时的瞬时降雨强度（某一时刻降雨量的瞬间变化率）为__________mm/min. 20. 设函数有两个极值点，则实数的取值范围是__________． 21. 现安排甲､乙､丙､丁､戊这5名同学参加志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，且每人只安排一个工作，则下列说法正确的序号是________. ①不同安排方案的种数为 ②若每项工作至少有1人参加，则不同安排方案的种数为 ③若司机工作不安排，其余三项工作至少有1人参加，则不同安排方案的种数为 ④若每项工作至少有1人参加，甲不能从事司机工作，则不同安排方案的种数为 22. 定义在区间上的函数，若存在正数，使得不等式对任意成立，则称函数在区间满足条件；已知，若函数在区间上满足条件，则的最小值是__________. 三、解答题（本题共50分） 23. 二项式展开式前三项的二项式系数和为22. （1）求n的值； （2）求展开式中各项的二项式系数和及各项的系数和； （3）求展开式中的常数项. 24. 设，曲线在点处的切线与轴相交于点，求函数的极值． 25. 已知函数，． （1）求函数的单调区间； （2）求在区间上的最小值. 26. 已知函数，若其定义域为，且满足对一切恒成立，则称为一个“逆构造函数”. （1）设，判断是否为“逆构造函数”，并说明理由； （2）若函数是“逆构造函数”，求实数的取值范围； （3）已知“逆构造函数”满足对任意的，都有，且. 求证：对任意实数，关于的方程无解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $