精品解析：福建省恒一教育集团联考2024-2025学年高二下学期5月期中考试数学试题

2024-2025学年高二下学期期中考试 数学试题 考试时间：120分钟 命题人：李浩宁 审题人：曾桂英 联考学校：福州恒一高级中学、福州中加学校、厦门央美恒一高级中学、福州匠心恒一教育 一、单项单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 下列求导运算结果不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用初等函数的导数公式以及导数的运算法则求解可判断每个选项的正误. 【详解】，故A错误； ，故B正确； ，故C正确； ，故D正确. 故选：A. 2. 2025年U-20男足亚洲杯足球赛于2月份在深圳举行，东道主中国所在的A组共有四支球队，四支球队之间进行单循环比赛，共进行的比赛的场数为（ ）． A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用组合计数问题列式计算. 【详解】四支球队之间进行单循环比赛，共进行的比赛的场数为. 故选：B 3. 函数在处的切线斜率为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求导，根据导数的几何意义即可得解. 【详解】由，则，， 所以函数在处的切线斜率为， 故选：C 4. 已知函数的导函数的图象如图所示，则极小值点的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据导函数的图象得到与轴的交点横坐标为，分别判断左右两侧的符号变化情况可得结论. 【详解】由图象，设与轴的交点横坐标为，其中， 由图象可得时，，当时，，所以是极小值点， 当时，，所以不是极值点， 当时，，所以是极大值点， 时，，所以是极小值点， 故极小值点的个数为2. 故选：C. 5. 小王每次通过英语听力测试的概率是，且每次通过英语听力测试相互独立，他连续测试3次，那么其中恰有1次通过的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用次独立重复试验中事件恰好发生次概率计算公式求解. 【详解】小王每次通过英语听力测试的概率是，且每次通过英语听力测试相互独立，他连续测试3次，那么其中恰有1次通过的概率是, 故选：A 6. 设袋中有8个红球，4个白球，若从袋中任取4个球，则其中有且只有3个红球的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，摸出的红球个数服从超几何分布，根据超几何分布的概率分布列计算即可. 【详解】从袋中任取4个球，其中红球的个数X 服从参数为的超几何分布， 故有3个红球的概率为 故选： C. 7. 若随机变量，则（ ） A. 3.8 B. 4.8 C. 8.6 D. 9.6 【答案】D 【解析】 【分析】由二项分布的计算公式即可求解. 【详解】因为， 所以， 所以， 故选：D 8. 曲线上的点到直线的最短距离是（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】令求得，由导数的几何意义知在点的切线斜率为3，然后利用点到线距离公式求出最小距离. 【详解】直线的斜率为， 所以，令得，， 将代入可得，则在点的切线斜率为， 所以切点到直线的距离为：. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知二项式的展开式中各二项式系数和为，则下列说法正确的是（ ） A. 展开式共有项 B. 二项式系数最大的项是第项 C. 展开式的常数项为 D. 展开式中各项的系数和为 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，根据条件得到，即可求解；对于B，利用二项式系数的性质，即可求解；对于C，利用二项式的展开式的通项公式，即可求解；对于D，根据条件，通过赋值，即可求解. 【详解】由题知，得到，所以展开式共有项，故选项A错误， 对于选项B，因为，由二项式系数的性质知二项式系数最大的项是第项，所以选项B正角， 对于选项C，二项式的展开式的通项公式为， 由，得到，所以展开式的常数项为，所以选项C错误， 对于选项D，令，则，所以展开式中各项的系数和为，故选项D正确， 故选：BD. 10. 某同学将收集到的六对数据制作成散点图如下，得到其经验回归方程为 计算其相关系数为r₁，决定系数为R².经过分析确定点F为“离群点”，把它去掉后，再利用剩下的五对数据计算得到经验回归方程为 相关系数为r₂，决定系数为.下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据散点图对相关性的强弱的影响即可判断四个选项. 【详解】由图可知两变量呈现正相关，故，去掉“离群点”后，相关性更强，所以 故 故A 正确，B不正确. 根据图象当去掉F点后，相关性更强，点A，B，C，D，E会更靠近直线，直线的倾斜程度会略向x轴偏向，故斜率会变小， 因此可判断，故C正确，D错误. 故选： AC. 11. 甲箱中有2个白球和3个黑球，乙箱中有3个白球和2个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，以，分别表示由甲箱中取出的是白球和黑球；再从乙箱中随机取出一球，以B表示从乙箱中取出的是白球，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，由古典概型可得结果；对于B，由样本空间点可得结果；对于C，先求出， 再由条件概率的定义可得；对于D，由全概率公式可算得. 【详解】对于A，由古典概型可知，故A错误； 对于B，由条件概率可知表示在由甲箱中取出的是白球的条件下，从乙箱中取出的是白球的概率， 当甲箱中取出的是白球放入乙箱后，乙箱中有4个白球和2个黑球，由古典概型可知； 对于C，由B选项分析同理可得， 由条件概率的定义可知，故C正确； 对于D，由全概率公式可得，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在某项测量中，测量结果服从正态分布，若在内取值的概率为，则在内取值的概率为______________． 【答案】## 【解析】 【分析】由条件结合正态分布的性质可得，， 由此可求，再求即可. 【详解】因为在内取值的概率为，服从正态分布， 所以，且， 所以， 所以， 所以在内取值的概率为， 故答案为：. 13. 假设生产某产品的一个部件来自三个供应商，供货占比分别是、、，而它们的良品率分别是、、，则该部件的总体良品率是______________． 【答案】 【解析】 【分析】由全概率公式即可求解. 【详解】由题意可知该部件的总体良品率是： ， 故答案为： 14. 函数，若关于x的不等式的解集为，则实数a的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】分和两种情况讨论，当时，根据二次函数的图象得到，当时，分和两种情况讨论，时，将转化为，然后借助函数的单调性和最值解不等式即可. 【详解】由题意知，当时，； 当时，；当时，． 当时，， 结合图象知；当时，，当时，显然成立； 当时，， 令，则， 所以在单调递增，在单调递减， 所以，所以． 综上，实数a的取值范围为． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求单调区间； （2）求在区间上的最大值和最小值. 【答案】（1）递增区间为，递减区间为； （2）最大值为2，最小值为. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，再解导函数大于0、小于0的不等式得解. （2）由（1）的结论，确定在区间上单调性，进而求出最值. 【小问1详解】 函数的定义域为R，求导得， 由，得或；由，得， 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为. 【小问2详解】 由（1）知，在上单调递增，在上单调递减， 而，， 则，， 所以在区间上的最大值和最小值分别为. 16. 某人工智能公司从2018至2024年的利润情况如下表所示： 年份 2018 2019 2020 2021 2022 2023 2024 年份代码x 1 2 3 4 5 6 7 利润y（单位：亿元） 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9 （1）根据表中的数据，推断变量y与x之间是否线性相关．计算y与x之间的相关系数（精确到0.01），并推断它们的相关程度； （2）求出y关于x的经验回归方程，并预测该人工智能公司2025年的利润； 参考数据： 参考公式：对于一组数据，①相关系数为：; ②经验回归直线x的斜率和截距的最小二乘估计公式分别， 【答案】（1）y与x线性相关，，相关程度很强 （2），6.3亿元 【解析】 【分析】（1）用题目给的、、的值代入算 r ，再依据 r 的值和正负判断变量关系．  （2）把已知的和的值代入计算，得到涉及的系数，进而得到方程．再 把给定 x 值代入回归方程算出 y 值． 【小问1详解】 由题设，易知y与x线性相关，且， ， 由于，可以推断变量y与x成正线性相关且相关程度很强． 【小问2详解】 由题设，，， 所以，因此y关于x的回归方程为， 当时，，即预测该人工智能公司2025的利润为6.3亿元． 17. 近年来，“家长辅导孩子作业”已成为家长朋友圈里的一个热门话题．某研究机构随机调查了该区有孩子正在就读小学的140名家长，以研究辅导孩子作业与家长性别的关系，得到下面的数据表： （1）请将下列列联表填写完整，并判断能否在犯错误的概率不超过0．05的前提下，认为是否辅导孩子作业与家长性别有关? 是否辅导 家长性别 辅导 不辅导 合计 男 50 女 40 合计 70 （2）若从被调查的50名爸爸中任选2名爸爸，并用A表示事件“至少1名爸爸辅导”，用B表示事件“2名爸爸都辅导”，求． 参考公式：其中． 参考数据： 0.15 0.10 0.05 0.025 2.072 2.706 3.841 5.024 【答案】（1）列联表见解析，不能在犯错误的概率不超过的前提下，认为辅导孩子作业与家长性别有关；（2）. 【解析】 【分析】（1）根据题中条件，将表补齐，利用公式求得的值，与临界值比较即可得结果；（2）根据题意，求得对应的基本事件数，结合条件概率公式求得结果. 【详解】（1）列联表填写如下图所示： 是否辅导 家长性别 辅导 不辅导 合计 男 30 20 50 女 40 50 90 合计 70 70 140 ， 所以不能在犯错误的概率不超过的前提下，认为辅导孩子作业与家长性别有关； （2）至少一名爸爸辅导的可能情况有种； 两名爸爸辅导的情况有种； 所以. 【点睛】该题考查的是有关概率统计的问题，涉及到的知识点有列联表，独立性检验，条件概率公式，属于简单题目. 18. 设随机变量X的概率分布列为 （1）确定常数m的值. （2）写出X的分布列. （3）计算 【答案】（1）； （2） 1 2 3 4 （3） 【解析】 【分析】（1）由随机变量的概率分布的性质得到：，由此能求出常数． （2）由（1）分别求出，，，，由此能求出的分布列． （3），由此能求出结果． 【详解】解：（1）随机变量的概率分布为． ， 解得． （2）由（1）可得，，， ， 的分布列为： 1 2 3 4 （3）． 19. 已知函数. （1）当时，求曲线在处的切线与坐标轴围成的三角形的面积. （2）若函数有两个零点，求实数的取值范围. （3）若不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用导函数求出切线斜率，结合切点坐标得到直线的点斜式方程，再计算与坐标轴围成三角形的面积； （2）利用分离参数法，将零点个数转化成直线与函数图象交点个数，利用导函数分析函数单调性，得出函数的大致图象，数形结合即可得出结论； （3）根据（2）小问中的结论，分类讨论得到实数的取值范围，最后取交集即可. 【小问1详解】 当时，，所以. 又，所以，则切线方程为. 令得，令得， 所以切线与坐标轴围成三角形的面积为. 【小问2详解】 由得，显然不是方程的解，所以. 设函数， 则， 令得或；令得或. 所以在上单调递增，在和单调递减，在上单调递增. 又当时，，当时，， 当时，，当时，. 所以的大致图象如图： 若函数有两个零点，则直线与函数的图象有两个交点， 由图象可知，或，即的取值范围为. 【小问3详解】 由得， 显然当时，不等式恒成立. 当时，有恒成立，由（2）可得； 当时，有恒成立，由（2）可得. 综上，，即的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年高二下学期期中考试 数学试题 考试时间：120分钟 命题人：李浩宁 审题人：曾桂英 联考学校：福州恒一高级中学、福州中加学校、厦门央美恒一高级中学、福州匠心恒一教育 一、单项单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 下列求导运算结果不正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 2025年U-20男足亚洲杯足球赛于2月份在深圳举行，东道主中国所在的A组共有四支球队，四支球队之间进行单循环比赛，共进行的比赛的场数为（ ）． A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 3. 函数在处的切线斜率为（　　） A. B. C. D. 4. 已知函数的导函数的图象如图所示，则极小值点的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 5. 小王每次通过英语听力测试的概率是，且每次通过英语听力测试相互独立，他连续测试3次，那么其中恰有1次通过的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 设袋中有8个红球，4个白球，若从袋中任取4个球，则其中有且只有3个红球的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 若随机变量，则（ ） A. 3.8 B. 4.8 C. 8.6 D. 9.6 8. 曲线上的点到直线的最短距离是（ ） A. B. C. D. 1 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知二项式的展开式中各二项式系数和为，则下列说法正确的是（ ） A. 展开式共有项 B. 二项式系数最大的项是第项 C. 展开式的常数项为 D. 展开式中各项的系数和为 10. 某同学将收集到的六对数据制作成散点图如下，得到其经验回归方程为 计算其相关系数为r₁，决定系数为R².经过分析确定点F为“离群点”，把它去掉后，再利用剩下的五对数据计算得到经验回归方程为 相关系数为r₂，决定系数为.下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 甲箱中有2个白球和3个黑球，乙箱中有3个白球和2个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，以，分别表示由甲箱中取出的是白球和黑球；再从乙箱中随机取出一球，以B表示从乙箱中取出的是白球，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在某项测量中，测量结果服从正态分布，若在内取值的概率为，则在内取值的概率为______________． 13. 假设生产某产品的一个部件来自三个供应商，供货占比分别是、、，而它们的良品率分别是、、，则该部件的总体良品率是______________． 14. 函数，若关于x的不等式的解集为，则实数a的取值范围为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求单调区间； （2）求在区间上的最大值和最小值. 16. 某人工智能公司从2018至2024年的利润情况如下表所示： 年份 2018 2019 2020 2021 2022 2023 2024 年份代码x 1 2 3 4 5 6 7 利润y（单位：亿元） 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9 （1）根据表中的数据，推断变量y与x之间是否线性相关．计算y与x之间的相关系数（精确到0.01），并推断它们的相关程度； （2）求出y关于x的经验回归方程，并预测该人工智能公司2025年的利润； 参考数据： 参考公式：对于一组数据，①相关系数为：; ②经验回归直线x的斜率和截距的最小二乘估计公式分别， 17. 近年来，“家长辅导孩子作业”已成为家长朋友圈里的一个热门话题．某研究机构随机调查了该区有孩子正在就读小学的140名家长，以研究辅导孩子作业与家长性别的关系，得到下面的数据表： （1）请将下列列联表填写完整，并判断能否在犯错误的概率不超过0．05的前提下，认为是否辅导孩子作业与家长性别有关? 是否辅导 家长性别 辅导 不辅导 合计 男 50 女 40 合计 70 （2）若从被调查的50名爸爸中任选2名爸爸，并用A表示事件“至少1名爸爸辅导”，用B表示事件“2名爸爸都辅导”，求． 参考公式：其中． 参考数据： 0.15 0.10 0.05 0.025 2.072 2.706 3.841 5.024 18. 设随机变量X的概率分布列为 （1）确定常数m的值. （2）写出X的分布列. （3）计算 19. 已知函数. （1）当时，求曲线在处的切线与坐标轴围成的三角形的面积. （2）若函数有两个零点，求实数的取值范围. （3）若不等式恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $