精品解析：广东省汕头市潮阳区河溪中学2024-2025学年高二下学期4月期中考试数学试题

广东省汕头市潮阳区河溪中学2024-2025学年高二下学期4月期中考试数学试题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由交集的运算，即可得到结果. 【详解】因为集合， 则. 故选：D 2. 已知为虚数单位，若，则（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由复数的运算及共轭复数的定义即可求出结果. 【详解】因为，所以， . 故选：B. 3. 用0，1，2，3，4，5可组成无重复数字的三位数的个数为（ ） A. 98 B. 99 C. 100 D. 101 【答案】C 【解析】 【分析】由分步乘法计数原理代入计算，即可得到结果. 【详解】先填百位数，有种选法， 再填十位数，有种选法， 最后填个位数，有种选法， 由分步乘法计数原理可得， 一共可以组成无重复数字的三位数个. 故选：C 4. 若，，且，则的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【详解】将展开利用基本不等式求得最小值可得答案. 【分析】因为且，所以， ， 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为2. 故选：A. 5. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意首先确定函数的奇偶性，然后考查函数在特殊点的函数值排除错误选项即可确定函数的图象. 【详解】由函数的解析式可得：，则函数为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项CD错误； 当时，，选项B错误. 故选：A. 【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项． 6. 已知是夹角为的两个单位向量，若向量在向量上的投影向量为，则（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由投影向量计算公式可得答案. 【详解】在向量上的投影向量为. . 故选：A 7. 在二项式展开式中，下列说法不正确的是（ ） A. 第三项的二项式系数为15 B. 所有项的二项式系数之和为64 C. 有理项共有3项 D. 常数项为第五项 【答案】C 【解析】 【分析】结合二项展开式的通项公式可判断ACD的真假，利用二项式系数的性质可判断B的真假. 【详解】设展开式的第项为， 则：. 所以的二项式系数为，故A正确； 由为整数，可得的值可以为，故展开式中有理项为4项，故C错误； 由，所以为常数项，故D正确； 对B：根据二项式系数的性质可得：所有项的二项式系数之和为，故B正确. 故选：C 8. 函数的单调增区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】对求导后，解不等式即可. 【详解】因为(), 所以, 令,解得：, 故函数()的单调增区间是 . 故选：B. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知某种产品的加工需要经过5道工序，则下列说法正确的是（ ） A. 若其中某道工序不能放在最后，有96种加工顺序 B. 若其中某2道工序既不能放在最前，也不能放在最后，有72种加工顺序 C. 若其中某2道工序必须相邻，有48种加工顺序 D. 若其中某2道工序不能相邻，有36种加工顺序 【答案】AC 【解析】 【分析】对AB：根据分步计数原理，先安排特殊的工序，再安排其它工序即可；对C：采用捆绑法，再根据分步计数原理即可求得结果；对D：采用插空法，再根据分步计数原理即可求得结果. 【详解】假设有甲乙丙丁戊，这5道工序. 对A：假设甲工序不能放到最后，则甲有4种安排方式，根据分步计数原理， 所有的安排顺序有：种，故A正确； 对B：假设甲乙2道工序不能放到最前，也不能放到最后， 先安排甲乙，则共有种安排方式；再安排剩余3道工序，共有种； 根据分步计数原理，则所有的安排顺序有：种，故B错误； 对C：假设甲乙工序相邻，将甲和乙捆绑为一道工序，和剩余3道工序放在一起排序， 则共有种加工顺序，故C正确； 对D：假设甲乙工序不能相邻，则先安排剩余3道工序，在形成的4个空中，安排甲乙， 故共有：种加工顺序，故D错误. 故选：AC. 10. 下列说法中正确的有（ ） A. 若，则成等差数列 B. 若，则成等比数列 C. 若三角形的三个内角成等差数列，则 D. 若直角三角形的三边成等差数列，则最小角的正弦值是 【答案】ACD 【解析】 【分析】由等差数列定义判断A；举反例判断B；由等差数列性质结合三角形内角和求得B，判断C；由等差数列性质结合勾股定理求得的关系，可判断D. 【详解】对于A，若，则，则成等差数列，正确； 对于B，若，若，满足条件，但不成等比数列，B错误； 对于C，若三角形的三个内角成等差数列，则，且， 故，则，C正确； 对于D，设直角三角形的三边从小到大依次为，则, 由题意知且，则， 可得，则（舍）或，故， 故，D正确， 故选：ACD 11. 已知，则下列描述正确的是（ ） A. 偶数项的二项式系数和为128 B. 除以5所得的余数是1 C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】根据奇数项和偶数项的二项式系数的关系判断A的真假；利用二项式定理探索余数问题判断B的真假；利用赋值法判断C的真假；利用导数的运算，结合赋值法可判断D的真假. 【详解】对A：根据二项式系数的性质可得，所有项的二项式系数和为，并且奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等，均为，故A正确； 对B：因为，所以除以5所得的余数是1.故B正确； 对C：因为，，，，均为正数，，，，均为负数，令，则： ， 再令得：，所以，故C错误； 对D：因为， 令得：； 令得：. 所以，故D错误. 故选：AB 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在3名女生和2名男生中任选2人参加一项交流活动，其中至少有1名男生的概率为__________． 【答案】0.7## 【解析】 【分析】计算出选出的男生人数有人及人的概率即可得. 【详解】设选中的男生人数为， 则. 故答案为：. 13. 若函数的最小正周期为，其图象关于点中心对称，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由三角函数的周期公式求出，再由正弦型函数的对称中心即可求出. 【详解】由得，，所以， 又的图象关于点中心对称， 所以,解得，又， 所以，. 故答案为： 14. 的展开式中的系数为________． 【答案】40 【解析】 【分析】由，写出展开式的通项，再由通项计算可得. 【详解】因为， 又展开式的通项为（且）， 所以的展开式中含的项为， 故展开式中的系数为. 故答案为： 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 坛子里放着5个相同大小，相同形状的咸鸭蛋，其中有3个是绿皮的，2个是白皮的．如果不放回地依次拿出2个鸭蛋，求： (1)第一次拿出绿皮鸭蛋的概率； (2)第1次和第2次都拿到绿皮鸭蛋的概率； (3)在第1次拿出绿皮鸭蛋的条件下，第2次拿出绿皮鸭蛋的概率． 【答案】(1);(2);(3). 【解析】 【分析】设第一次拿出绿皮鸭蛋为事件，第2次拿到绿皮鸭蛋为事件，则第1次和第2次都拿到绿皮鸭蛋为事件， （1）从5个鸭蛋不放回地依次拿出2个鸭蛋基本事件数为，，由古典概型可得结果； （2）求得，利用古典概型求解即可； （3）利用（1）、（2），根据条件概率公式可得结果. 【详解】设第一次拿出绿皮鸭蛋为事件，第2次拿到绿皮鸭蛋为事件， 则第1次和第2次都拿到绿皮鸭蛋为事件， （1）从5个鸭蛋不放回地依次拿出2个鸭蛋基本事件数为， ， （2）因为， 所以， （3）由（1）（2）可得，在第一次拿出绿皮鸭蛋的条件下， 第二次拿出绿皮鸭蛋的概率为. 16. 已知等差数列与正项等比数列满足，且是和的等差中项. （1）求数列和的通项公式； （2）求数列的前项和； （3）设，记的前项和，求． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先求出等差数列的公差，然后再根据是与的等差中项求出等比数列的公比，即可求得数列和数列的通项公式； （2）裂项相消法即可求得数列的前项和； （3）错位相减法即可求得数列的前项和. 【小问1详解】 设等差数列的公差，等比数列的公比为， 由可知：，所以，，， 又因为是与的等差中项， 所以，即， 所以. 【小问2详解】 因为， 所以. 【小问3详解】 ， ①， ②， ②-①得：. 17. 在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的正方形，为CD的中点，二面角为直二面角． （1）求证：； （2）求直线PC与平面PAB所成角的正弦值； 【答案】（1）证明如下： 因为，O为CD的中点， 所以． 又因为平面平面ABCD，平面平面，平面PCD， 所以平面ABCD． 因为，，，所以． 取的中点，连接，则， 以点O为坐标原点，OD，OE，OP所在直线分别为x，y，z轴，如图建立空间直角坐标系， 则，，，，，． ，， 因为， 所以． （2） 【解析】 【分析】（1）证明出，平面ABCD，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，计算出，得到垂直关系； （2）求出平面的法向量，利用线面角求解公式得到答案； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设平面PAB的一个法向量为， 则，即， 解得，令，则，则． 设直线PC与平面PAB所成的角为， 又， 则， 所以直线PC与平面PAB所成的角的正弦值为． 18. 已知动点(其中)到定点的距离比点到轴的距离大1. （1）求点的轨迹的方程； （2）过椭圆的右顶点作直线交曲线于､两点，其中为坐标原点 ①求证：； ②设､分别与椭圆相交于点､，证明：原点到直线的距离为定值. 【答案】（1）； （2）①证明：设过椭圆的右顶点的直线的方程为. 代入抛物线方程，得. 设､，则 ∴. ∴. ②证明：设､，直线的方程为， 代入，得. 于是，. 从而 ∵，∴. 代入，整理得. ∴原点到直线的距离为定值. 【解析】 【分析】（1）根据题意有，化简可得答案. （2）直线的方程为,与抛物线方程联立， ①由，将韦达定理代入可证明. ②由①可得，设､，直线的方程为，则，由方程联立，韦达定理可得，再由点到直线的距离公式可证明. 【详解】（1）设由题意， 两边平方，整理得： 所以所求点的轨迹方程为. （2）①略 ②略 【点睛】本题考查求轨迹方程，考查方程联立韦达定理的应用，考查“设而不求”方法的应用，属于中档题. 19. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论的单调性. 【答案】（1） （2）当时，在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减. 【解析】 【分析】（1）当时，先求确定切点，再求确定切线斜率，利用直线方程的点斜式可得切线方程. （2）求导，分，，讨论导函数的符号，可得函数的单调区间. 【小问1详解】 当时，，则， 从而，， 故所求切线方程为，即（或）. 【小问2详解】 由题意可得. 当，即时，由，得或，由，得， 则在和上单调递增，在上单调递减； 当，即时，恒成立，则在上单调递增； 当，即时，由，得或，由，得，则在和上单调递增，在上单调递减. 综上，当时，在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东省汕头市潮阳区河溪中学2024-2025学年高二下学期4月期中考试数学试题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知为虚数单位，若，则（ ） A. B. 2 C. D. 3. 用0，1，2，3，4，5可组成无重复数字的三位数的个数为（ ） A. 98 B. 99 C. 100 D. 101 4. 若，，且，则的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 5. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 6. 已知是夹角为的两个单位向量，若向量在向量上的投影向量为，则（ ） A. B. 2 C. D. 7. 在二项式展开式中，下列说法不正确的是（ ） A. 第三项的二项式系数为15 B. 所有项的二项式系数之和为64 C. 有理项共有3项 D. 常数项为第五项 8. 函数的单调增区间是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知某种产品的加工需要经过5道工序，则下列说法正确的是（ ） A. 若其中某道工序不能放在最后，有96种加工顺序 B. 若其中某2道工序既不能放在最前，也不能放在最后，有72种加工顺序 C. 若其中某2道工序必须相邻，有48种加工顺序 D. 若其中某2道工序不能相邻，有36种加工顺序 10. 下列说法中正确的有（ ） A. 若，则成等差数列 B. 若，则成等比数列 C. 若三角形的三个内角成等差数列，则 D. 若直角三角形的三边成等差数列，则最小角的正弦值是 11. 已知，则下列描述正确的是（ ） A. 偶数项的二项式系数和为128 B. 除以5所得的余数是1 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在3名女生和2名男生中任选2人参加一项交流活动，其中至少有1名男生的概率为__________． 13. 若函数的最小正周期为，其图象关于点中心对称，则______． 14. 的展开式中的系数为________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 坛子里放着5个相同大小，相同形状的咸鸭蛋，其中有3个是绿皮的，2个是白皮的．如果不放回地依次拿出2个鸭蛋，求： (1)第一次拿出绿皮鸭蛋的概率； (2)第1次和第2次都拿到绿皮鸭蛋的概率； (3)在第1次拿出绿皮鸭蛋的条件下，第2次拿出绿皮鸭蛋的概率． 16. 已知等差数列与正项等比数列满足，且是和的等差中项. （1）求数列和的通项公式； （2）求数列的前项和； （3）设，记的前项和，求． 17. 在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的正方形，为CD的中点，二面角为直二面角． （1）求证：； （2）求直线PC与平面PAB所成角的正弦值； 18. 已知动点(其中)到定点的距离比点到轴的距离大1. （1）求点的轨迹的方程； （2）过椭圆的右顶点作直线交曲线于､两点，其中为坐标原点 ①求证：； ②设､分别与椭圆相交于点､，证明：原点到直线的距离为定值. 19. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论的单调性. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $