2 重庆市2024年初中学业水平暨高中招生考试(B卷)-【智乐星中考】2025年重庆中考数学真题汇编（Word)

2．重庆市2024年初中学业水平暨高中招生考试(B卷) (全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟) 参考公式：抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的顶点坐标为(－，)，对称轴为x＝－. 一、选择题：(本大题10个小题，每小题4分，共40分)在每个小题的下面，都给出了代号为A，B，C，D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案填在对应的括号里． 1．下列四个数中，最小的数是( ) A．－1 B．0 C．1 D．2 2．下列标点符号中，是轴对称图形的是( ) 3．反比例函数y＝－的图象一定经过的点是( ) A．(1，10) B．(－2，5) C．(2，5) D．(2，8) 4．如图，AB∥CD.若∠1＝125°，则∠2的度数为( ) 4题图 A．35° B．45° C．55° D．125° 5．若两个相似三角形的相似比为1∶4，则这两个三角形面积的比是　( ) A．1∶2 B．1∶4 C．1∶8 D．1∶16 6．估计(＋)的值应在( ) A．8和9之间 B．9和10之间 C．10和11之间 D．11和12之间 7．用菱形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有2个菱形，第②个图案中有5个菱形，第③个图案中有8个菱形，第④个图案中有11个菱形，…，按此规律，则第⑧个图案中，菱形的个数是( ) 7题图 A．20 B．21 C．23 D．26 8．如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB交⊙O于点C，D是⊙O上一点，连接BD，CD.若∠D＝28°，则∠OAB的度数为( ) 8题图 A．28° B．34° C．56° D．62° 9．如图，在边长为4的正方形ABCD中，E是BC上一点，F是CD延长线上一点，连接AE，AF，AM平分∠EAF交CD于点M.若BE＝DF＝1，则DM的长度为( ) 9题图 A．2 B. C. D. 10．已知整式M：anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0，其中n，an－1，…，a0为自然数，an为正整数，且n＋an＋an－1＋…＋a1＋a0＝5.下列说法： ①满足条件的整式M中有5个单项式； ②不存在任何一个n，使得满足条件的整式M有且只有3个； ③满足条件的整式M共有16个． 其中正确的个数是( ) A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题：(本大题8个小题，每小题4分，共32分)请将每小题的答案直接填在对应的横线上． 11．计算：|－2|＋30＝______． 12．甲、乙两人分别从A，B，C三个景区中随机选取一个景区前往游览，则他们恰好选择同一景区的概率为________． 13．若正多边形的一个外角是45°，则这个正多边形的边数为______． 14．重庆在低空经济领域实现了新的突破．今年第一季度低空飞行航线安全运行了200架次，预计第三季度低空飞行航线安全运行将达到401架次．设第二、第三两个季度安全运行架次的平均增长率为x.根据题意，可列方程为__________________． 15．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D.若BC＝2，则AD的长度为______． 15题图 16．若关于x的一元一次不等式组的解集为x≤4，且关于y的分式方程－＝1的解均为负整数，则所有满足条件的整数a的值之和是________． 17．如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，点B为切点．连接AC交⊙O于点D，E是⊙O上一点，连接BE，DE，过点A作AF∥BE交BD的延长线于点F.若BC＝5，CD＝3，∠F＝∠ADE，则AB的长度是__________；DF的长度是__________． 17题图 18．一个各数位均不为0的四位自然数M＝abcd，若满足a＋d＝b＋c＝9，则称这个四位数为“友谊数”．例如：四位数1 278.∵1＋8＝2＋7＝9，∴1 278是“友谊数”．若abcd是一个“友谊数”，且b－a＝c－b＝1，则这个数为______；若M＝abcd是一个“友谊数”，设F(M)＝，且是整数，则满足条件的M的最大值是______． 三、解答题：(本大题8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分)解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形(包括辅助线)，请将解答过程书写在对应的位置上． 19．计算： (1)a(3－a)＋(a－1)(a＋2)； (2)(1＋)÷. 20．数学文化有利于激发学生数学兴趣．某校为了解学生数学文化知识掌握的情况，从该校七、八年级学生中各随机抽取10名学生参加了数学文化知识竞赛，并对数据(百分制)进行整理、描述和分析(成绩均不低于70分，用x表示，共分三组：A.90≤x≤100，B.80≤x＜90，C.70≤x＜80)，下面给出了部分信息： 七年级10名学生的竞赛成绩是76，78，80，82，87，87，87，93，93，97. 八年级10名学生的竞赛成绩在B组中的数据是80，83，88，88. 七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 86 87 b 八年级 86 a 90 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：a＝________，b＝________，m＝________； (2)根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生数学文化知识较好？请说明理由；(写出一条理由即可) (3)该校七年级学生有500人，八年级学生有400人．估计该校七、八年级学生中数学文化知识为“优秀”(x≥90)的总共有多少人？ 20题图 21．在学习了矩形与菱形的相关知识后，小明同学进行了更深入地研究，他发现，过矩形的一条对角线的中点作这条对角线的垂线，与矩形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是菱形，可利用证明三角形全等得到此结论．根据他的想法与思路，完成以下作图与填空： (1)如图，在矩形ABCD中，点O是对角线AC的中点．用尺规过点O作AC的垂线，分别交AB，CD于点E，F，连接AF，CE.(不写作法，保留作图痕迹) (2)已知：矩形ABCD，点E，F分别在AB，CD上，EF经过对角线AC的中点O，且EF⊥AC.求证：四边形AECF是菱形． 证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥CD， ∴①________________，∠OCF＝∠OAE. ∵点O是AC的中点， ∴②____________， ∴△CFO≌△AEO(AAS)， ∴③____________． 又∵OA＝OC， ∴四边形AECF是平行四边形． ∵EF⊥AC， ∴四边形AECF是菱形． 进一步思考，如果四边形ABCD是平行四边形呢？请你模仿题中表述，写出你猜想的结论：④________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________. 21题图 22．某工程队承接了老旧小区改造工程中1 000平方米的外墙粉刷任务，选派甲、乙两人分别用A，B两种外墙漆各完成总粉刷任务的一半．据测算需要A，B两种外墙漆各300千克，购买外墙漆总费用为15 000元，已知A种外墙漆每千克的价格比B种外墙漆每千克的价格多2元． (1)求A，B两种外墙漆每千克的价格各是多少元； (2)已知乙每小时粉刷外墙面积是甲每小时粉刷外墙面积的，乙完成粉刷任务所需时间比甲完成粉刷任务所需时间多5小时．问甲每小时粉刷外墙的面积是多少平方米？ 23．如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝8，P为AB上一点，过点P作PQ∥BC交AC于点Q.设AP的长度为x，点P，Q的距离为y1，△ABC的周长与△APQ的周长之比为y2. (1)请直接写出y1，y2分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数y1，y2的图象；请分别写出函数y1，y2的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出y1＞y2时x的取值范围．(近似值保留一位小数，误差不超过0.2) 23题图 24.如图，A，B，C，D分别是某公园四个景点，B在A的正东方向，D在A的正北方向，且在C的北偏西60°方向，C在A的北偏东30°方向，且在B的北偏西15°方向，AB＝2千米．(参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45) (1)求BC的长度；(结果精确到0.1千米) (2)甲、乙两人从景点D出发去景点B，甲选择的路线为D－C－B，乙选择的路线为D－A－B.请计算说明谁选择的路线较近？ 24题图 25．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx－3与x轴交于A(－1，0)，B两点，交y轴于点C，抛物线的对称轴是直线x＝. (1)求抛物线的表达式； (2)点P是直线BC下方对称轴右侧抛物线上一动点，过点P作PD∥x轴交抛物线于点D，作PE⊥BC于点E，求PD＋PE的最大值及此时点P的坐标； (3)将抛物线沿射线BC方向平移个单位长度，在PD＋PE取得最大值的条件下，点F为点P平移后的对应点，连接AF交y轴于点M，点N为平移后的抛物线上一点，若∠NMF－∠ABC＝45°，请直接写出所有符合条件的点N的坐标． 26．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点B作BD∥AC. (1)如图1，若点D在点B的左侧，连接CD，过点A作AE⊥CD交BC于点E.若点E是BC的中点，求证：AC＝2BD； (2)如图2，若点D在点B的右侧，连接AD，点F是AD的中点，连接BF并延长交AC于点G，连接CF.过点F作FM⊥BG交AB于点M，CN平分∠ACB交BG于点N，求证：AM＝CN＋BD； (3)若点D在点B的右侧，连接AD，点F是AD的中点，且AF＝AC.点P是直线AC上一动点，连接FP，将FP绕点F逆时针旋转60°得到FQ，连接BQ，点R是直线AD上一动点，连接BR，QR.在点P的运动过程中，当BQ取得最小值时，在平面内将△BQR沿直线QR翻折得到△TQR，连接FT.在点R的运动过程中，直接写出的最大值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2．重庆市2024年初中学业水平暨高中 招生考试(B卷) 1 2 3 4 5 A A B C D 6 7 8 9 10 C C B D D 1．A　【考点】有理数的大小比较． 【解析】根据有理数比较大小的方法，可得 －1＜0＜1＜2， ∴四个数中，最小的数是－1. 2．A　【考点】轴对称图形的判别． 【解析】A选项是轴对称图形；B，C，D选项不是轴对称图形． 3．B　【考点】反比例函数图象上点的坐标特征． 【解析】当x＝1时，y＝－10， ∴图象不经过(1，10)，故A选项错误； 当x＝－2时，y＝5，∴图象经过(－2，5)，故B选项正确； 当x＝2时，y＝－5，∴图象不经过(2，5)，(2，8)，故C选项、D选项错误． 4．C　【考点】平行线的性质． 【解析】如图． ∵∠1＋∠3＝180°，∠1＝125°，∴∠3＝55°. ∵AB∥CD，∴∠2＝∠3＝55°. 5．D　【考点】相似三角形的性质． 【解析】∵两个相似三角形的相似比为1∶4， ∴这两个三角形面积的比是1∶16. 6．C　【考点】无理数的估算、二次根式的运算． 【解析】原式＝＋6＝2＋6. ∵4<<5，∴10<2＋6<11. 7．C　【考点】图形变化规律的探索． 【解析】由题图可知 第①个图案中，菱形的个数为2＝1×3－1； 第②个图案中，菱形的个数为5＝2×3－1； 第③个图案中，菱形的个数为8＝3×3－1； 第④个图案中，菱形的个数为11＝4×3－1； … ∴第n个图案中，菱形的个数为(3n－1)个， ∴当n＝8时，3n－1＝23(个)， 即第⑧个图案中，菱形的个数为23. 8．B　【考点】圆周角定理、垂径定理、圆心角、弧、弦的关系． 【解析】∵∠D＝28°，∴∠BOC＝2∠D＝56°. ∵OC⊥AB，∴点C为的中点， ∴＝，∴∠AOC＝∠BOC＝56°， ∴∠AOB＝2×56°＝112°. ∵OA＝OB， ∴∠OAB＝∠OBA＝×(180°－112°)＝34°. 9．D　【考点】正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理． 【解析】∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABE＝∠ADC＝∠ADF＝∠C＝90°， AB＝AD＝CD＝BC＝4. 又∵BE＝DF＝1，∴△ABE≌△ADF(SAS)， ∴AE＝AF. ∵AM平分∠EAF，∴∠EAM＝∠FAM. 又∵AM＝AM，∴△AEM≌△AFM(SAS)，∴EM＝FM. 设DM＝x， 则EM＝FM＝DM＋DF＝x＋1，CM＝CD－DM＝4－x. 在Rt△CEM中，由勾股定理得EM2＝CE2＋CM2， ∴(x＋1)2＝32＋(4－x)2，解得x＝，∴DM＝. 10．D　【考点】整式的规律探究． 【解析】∵n，an－1，…，a0为自然数，an为正整数，且n＋an＋an－1＋…＋a1＋a0＝5， ∴0≤n≤4. 当n＝4时，则4＋a4＋a3＋a2＋a1＋a0＝5， ∴a4＝1，a3＝a2＝a1＝a0＝0， 满足条件的整式有x4； 当n＝3时，则3＋a3＋a2＋a1＋a0＝5， ∴(a3，a2，a1，a0)＝(2，0，0，0)，(1，1，0，0)，(1，0，1，0)，(1，0，0，1)， 满足条件的整式有2x3，x3＋x2，x3＋x，x3＋1； 当n＝2时，则2＋a2＋a1＋a0＝5， ∴(a2，a1，a0)＝(3，0，0)，(2，1，0)，(2，0，1)，(1，2，0)，(1，0，2)，(1，1，1)， 满足条件的整式有3x2，2x2＋x，2x2＋1，x2＋2x，x2＋2，x2＋x＋1； 当n＝1时，则1＋a1＋a0＝5， ∴(a1，a0)＝(4，0)，(3，1)，(2，2)，(1，3)， 满足条件的整式有4x，3x＋1，2x＋2，x＋3； 当n＝0时，0＋a0＝5， 满足条件的整式有5， ∴满足条件的单项式有x4，2x3，3x2，4x，5，故①符合题意； 不存在任何一个n，使得满足条件的整式M有且只有3个，故②符合题意； 满足条件的整式M共有1＋4＋6＋4＋1＝16个，故③符合题意． 11．3　【考点】实数的运算． 【解析】原式＝2＋1＝3. 12.　【考点】用列表法或画树状图法求概率． 【解析】画树状图如下． 由图可知，共有9种等可能的情况，他们恰好选择同一景区的结果有3种， ∴他们恰好选择同一景区的概率是＝. 13．8　【考点】多边形的外角和． 【解析】∵多边形的外角和是360°，正多边形的一个外角是45°， ∴360°÷45°＝8， ∴这个正多边形的边数是8. 14．200(1＋x)2＝401　【考点】一元二次方程的实际应用． 【解析】由题意得200(1＋x)2＝401. 【核心素养】应用意识 应用意识主要是指有意识地利用数学的概念、原理和方法解释现实世界中的现象与规律，解决现实世界中的问题．两个季度安全运行架次的增长率中蕴含着数量关系，可以用数学的方法予以解决．用学过的一元二次方程的实际应用相关的知识和方法建立等量关系，解决简单的实际问题．有助于养成理论联系实际的习惯，发展实践能力． 15．2　【考点】等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质． 【解析】∵在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°， ∴∠C＝∠ABC＝＝72°. ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD＝∠ABC＝36°， ∴∠A＝∠ABD，∠BDC＝∠A＋∠ABD＝72°＝∠C， ∴AD＝BD，BD＝BC， ∴AD＝BC＝2. 16．12　【考点】解分式方程、解一元一次不等式组． 【解析】 解不等式①得x≤4， 解不等式②得x<a＋2 . ∵不等式组的解集为x≤4，∴a＋2>4， ∴a>2. 解分式方程－＝1得y＝. ∵关于y的分式方程－＝1的解均为负整数， ∴<0且是整数且y＋2＝＋2≠0， ∴a<10且a≠6且a是偶数， ∴2<a<10且a≠6且a是偶数， ∴满足题意的a的值为4或8， ∴所有满足条件的整数a的值之和是4＋8＝12. 17.　　【考点】切线的性质、解直角三角形． 【解析】∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝∠BDC＝90°. 在Rt△BDC中，由勾股定理得BD＝＝4， ∴cos C＝＝. ∵BC是⊙O的切线，∴∠ABC＝90°， ∴∠C＋∠CBD＝∠CBD＋∠ABD＝90°， ∴∠C＝∠ABD. 在Rt△ABD中，AB＝＝＝. 如图，连接AE. ∵AF∥BE，∴∠BAF＝∠ABE. ∵∠F＝∠ADE，∠ADE＝∠ABE， ∴∠F＝∠BAF，∴BF＝AB＝， ∴DF＝BF－BD＝－4＝. 18．3 456　6 273　【考点】新定义运算． 【解析】∵abcd是一个“友谊数”， ∴a＋d＝b＋c＝9. 又∵b－a＝c－b＝1，∴b＝4，c＝5， ∴a＝3，d＝6，∴这个数为3 456. ∵M＝abcd是一个“友谊数”， ∴M＝1 000a＋100b＋10c＋d ＝1 000a＋100b＋10(9－b)＋9－a ＝999a＋90b＋99， ∴F(M)＝＝111a＋10b＋11，∴ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝9a＋8＋. ∵是整数， ∴9a＋8＋是整数，即是整数， ∴3a＋b＋6是13的倍数． ∵a，b，c，d都是不为0的正整数，且a＋d＝b＋c＝9， ∴a≤8， ∴当a＝8时，31≤3a＋b＋6≤38，此时不满足3a＋b＋6是13的倍数，不符合题意； 当a＝7时，28≤3a＋b＋6≤35，此时不满足3a＋b＋6是13的倍数，不符合题意； 当a＝6时，25≤3a＋b＋6≤32，此时可以满足3a＋b＋6是13的倍数，即b＝2，则d＝3，c＝7. ∵要使M最大，则一定要满足a最大， ∴满足条件的M的最大值为6 273. 19．【考点】整式的计算、分式的化简． 解：(1)原式＝3a－a2＋a2－a＋2a－2 ＝4a－2.4分 (2)原式＝÷ ＝· ＝.8分 20．【考点】数据分析、用样本估计总体、扇形统计图． 解：(1)88　87　403分 (2)八年级学生数学文化知识较好．理由如下： ∵两个年级10名学生竞赛成绩的平均数相同，均为86，但是八年级学生竞赛成绩的中位数88大于七年级学生竞赛成绩的中位数87， ∴八年级学生数学文化知识较好．(答案不唯一) 7分 (3)500×＋400×40%＝310(人)． 答：估计该校七、八年级学生中数学文化知识为“优秀”(x≥90)的总共有310人.10分 【命题特点】 重庆市中考数学统计与概率题命题特点 考查点： (1)平均数、中位数、众数等的相关计算； (2)用样本估计总体． 考查形式： (1)第一小问通常为求未知数的值，第二问一般为比较两者之间哪个情况更好，注意比较数据； (2)统计图的分析与数据分析、用样本估计总体等综合考查，一般作为第20题，设立3问，题位较固定． 21．【考点】矩形的性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定、尺规作图． 解：(1)作图如下． 6分 (2)①∠OFC＝∠OEA；②OA＝OC；③OF＝OE；④过平行四边形的一条对角线的中点作这条对角线的垂线，与平行四边形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是菱形.10分 22．【考点】分式方程的实际应用、一元一次方程的实际应用． 解：(1)设A种外墙漆每千克的价格为x元，则B种外墙漆每千克的价格为(x－2)元． 由题意得300x＋300(x－2)＝15 000， 解得x＝26，∴x－2＝24. 答：A种外墙漆每千克的价格为26元，B种外墙漆每千克的价格为24元.5分 (2)设甲每小时粉刷外墙的面积为y平方米，则乙每小时粉刷外墙的面积是y平方米． 由题意得－5＝，解得y＝25， 经检验，y＝25是原方程的根，且符合题意． 答：甲每小时粉刷外墙的面积是25平方米． 10分 23．【考点】一次函数与反比例函数综合、相似三角形的判定与性质． 解：(1)y1＝x(0≤x≤6)，y2＝(0<x≤6)． 4分 (2)如图，即为所求． 6分 性质：当0<x<6时，y1随x的增大而增大；当0<x<6时，y2随x的增大而减小．(答案不唯一)8分 (3)2.1<x≤6.10分 24．【考点】解直角三角形的实际应用． 解：(1)如图，过点B作BE⊥AC于点E.　 由题意得∠CAB＝90°－30°＝60°， ∠ABC＝90°－15°＝75°， ∴∠ACB＝180°－∠CAB－∠ABC＝45°. 在Rt△ABE中，∠AEB＝90°，AB＝2千米， ∴BE＝AB·sin∠BAE＝2·sin 60°＝(千米)． 在Rt△BCE中， BC＝＝＝≈2.5(千米)， ∴BC的长度约为2.5千米.5分 (2)如图，过点C作CF⊥AD于点F. 在Rt△ABE中，AE＝AB·cos∠BAE＝2·cos 60°＝1(千米)， ∴AC＝AE＋CE＝(1＋)千米． 在Rt△AFC中，CF＝AC·sin∠CAF＝(1＋)·sin 30°＝(千米)， AF＝AC·cos∠CAF＝(1＋)·cos 30°＝(千米)． 在Rt△DCF中，∠DCF＝30°，∠DFC＝90°， ∴DF＝CF·tan∠DCF＝·tan 30°＝(千米)， CD＝2DF＝千米， ∴CD＋BC＝＋≈4.03(千米)，AD＋AB＝DF＋AF＋AB＝＋＋2≈5.15(千米)． ∵4.03<5.15， ∴甲选择的路线较近.10分 25．【考点】二次函数的综合． 解：(1)∵抛物线y＝ax2＋bx－3与x轴交于A(－1，0)，B两点，交y轴于点C，抛物线的对称轴是直线x＝， ∴解得 ∴y＝x2－x－3.3分 (2)如图，过点P作PH∥y轴交BC于点H. ∵当y＝x2－x－3＝0时， 解得x1＝－1，x2＝6， ∴B(6，0)． 当x＝0时，y＝－3， ∴C(0，－3)， ∴BC＝＝3， ∴sin∠BCO＝＝＝. ∵PD∥x轴，∴∠PHE＝∠BCO， ∴sin∠PHE＝＝，∴PE＝PH. 设直线BC的表达式为y＝kx－3. ∵B(6，0)，∴6k－3＝0，解得k＝， ∴直线BC的表达式为y＝x－3. 设P(m，m2－m－3)， ∴H(m，m－3)，∴PH＝－m2＋3m. ∵抛物线y＝m2－m－3的对称轴为直线m＝， ∴PD＝2m－5， ∴PD＋PE＝2m－5＋×(－m2＋3m) ＝－m2＋5m－5＝－(m－5)2＋. ∵－＜0， ∴当m＝5时，PD＋PE取得最大值，最大值为，此时P(5，－3).7分 (3)点N的坐标为(，4－)或(1＋，).10分 提示：∵抛物线沿射线BC方向平移个单位长度，即把抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度， ∴新的抛物线的表达式为y＝x2－x－7，F(3，－4)． 如图，当点N在y轴的左侧时，过点N作NK⊥y轴于点K. ∵A(－1，0)，F(3，－4)， ∴直线AF的表达式为 y＝－x－1. 当x＝0时，y＝－1， ∴M(0，－1)， ∴∠AMO＝∠OAM＝45°＝∠FMK. ∵∠NMF－∠ABC＝45°， ∴∠NMK＋45°－∠ABC＝45°， ∴∠NMK＝∠ABC， ∴tan∠NMK＝tan∠ABC＝. 设N(n，n2－n－7)， ∴＝＝， 解得n＝(不符合题意的根已舍去)， ∴N(，4－)； 如图，当点N在y轴的右侧时，过点M作y轴的垂线MT，过点N′作N′T⊥MT于点T. 同理可得∠N′MT＝∠ABC. 设N′(n，n2－n－7)，则T(n，－1)， 同理可得＝， ∴n＝1＋(不符合题意的根已舍去)， ∴N′(1＋，)． 综上所述，点N的坐标为(，4－)或(1＋，)． 【命题特点】 重庆市中考数学二次函数综合题特点 考查点： (1)二次函数的图象与性质、抛物线的平移； (2)特殊角相等； (3)分类讨论思想、推理能力、应用意识等． 考查形式： (1)以解答压轴题形式出现，结合特殊三角形或特殊四边形的存在性进行考查； (2)一般设3小问，1小问一般考查二次函数的表达式； (3)2小问一般考查线段的最大值或最小值，三角形面积的最大值或最小值； (4)3小问为求角度存在性，常与抛物线平移相结合． 26．【考点】几何综合． (1)证明：∵∠ACB＝90°，BD∥AC， ∴∠CBD＝180°－∠ACB＝90°. ∵AE⊥CD，∴∠ACD＋∠CAE＝90°. ∵∠ACD＋∠BCD＝90°，∴∠CAE＝∠BCD. 又∵AC＝CB，∠CBD＝∠ACE＝90°， ∴△ACE≌△CBD(ASA)， ∴BD＝CE. ∵点E是BC的中点，∴BC＝2CE＝2BD， ∴AC＝2BD.4分 (2)证明：如图，过点G作GH⊥AB于点H，连接HF. ∵BD∥AC，∴∠FBD＝∠FGA，∠D＝∠FAG. ∵点F是AD的中点，∴AF＝DF， ∴△AGF≌△DBF(AAS)，∴AG＝BD，BF＝GF. ∵AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠CAB＝∠ABC＝45°. ∵GH⊥AH， ∴△AHG是等腰直角三角形，∴AH＝AG＝BD. ∵∠BHG＝∠BCG＝90°，BF＝GF， ∴FH＝FC＝BF＝BG， ∴∠FBH＝∠FHB，∠FBC＝∠FCB， ∴∠GFH＝∠FBH＋∠FHB＝2∠FBH，∠GFC＝∠FBC＋∠FCB＝2∠FBC， ∴∠HFC＝∠GFH＋∠GFC＝2∠FBH＋2∠FBC＝2∠ABC＝90°. ∵FM⊥BG，∴∠BFM＝90°， ∴∠HFM＝∠CFN. 设∠CBG＝x，则∠ABG＝45°－x，∠CGB＝90°－x， ∴∠HMF＝∠BFM＋∠FBM＝135°－x. ∵CN平分∠ACB，∴∠GCN＝∠ACB＝45°， ∴∠CNF＝∠CGN＋∠GCN＝135°－x， ∴∠HMF＝∠CNF，∴△HFM≌△CFN(AAS)，∴HM＝CN. ∵AM＝HM＋AH，∴AM＝CN＋BD.8分 (3)解：10分 提示：如图，过点D作DH⊥AC交AC延长线于点H，连接FH. ∵BD∥AC，∠ACB＝90°，∴∠BCH＝∠CBD＝90°. ∵DH⊥AC，∴四边形BCHD是矩形，∴BC＝DH＝AC. ∵点F是AD的中点，且AF＝AC， ∴AD＝2AF＝2DH＝2FH＝2DF， ∴△FDH是等边三角形，∴∠DFH＝∠FDH＝60°， ∴∠BDA＝∠DAH＝30°，∴∠FHA＝∠FAH＝30°. 由旋转的性质可得FQ＝FP，∠PFQ＝60°＝∠DFH， ∴∠DFQ＝∠HFP， ∴△DFQ≌△HFP(SAS)，∴∠FDQ＝∠FHP＝30°， ∴点Q在直线DQ上运动． 设直线DQ交FH于点K，则DK⊥FH，FK＝FH，∠FDK＝∠FDH＝30°，∴∠BDQ＝60°. 由垂线段最短可知当BQ⊥DQ时，BQ有最小值， ∴∠DBQ＝30°. 设AC＝DH＝6a，则AH＝DH＝6a， ∴BD＝CH＝AH－AC＝6a－6a， ∴DQ＝BD＝3a－3a，∴BQ＝DQ＝9a－3a. 在Rt△DFK中，FK＝FH＝DH＝3a， ∴DK＝＝3a，∴QK＝DK－DQ＝3a. 在Rt△FQK中，由勾股定理得FQ＝＝3a. ∵△DFQ≌△HFP， ∴PH＝DQ＝3a－3a，∴CP＝CH－PH＝3a－3a. 由折叠的性质可得TQ＝BQ＝9a－3a. ∵FT≤FQ＋TQ，∴≤， ∴当点Q在线段FT上时，此时有最大值，最大值为， ∴的最大值为＝＝.　 【错题反思】 难度系数 对应题号 命中注定送给你 T1，T2，T3，T4，T5，T6，T7，T11，T12，T13，T19，T20 再接再厉鼓舞你 T8，T14，T15，T21，T22 伤筋动骨磨炼你 T9，T16，T17，T23，T24 学霸登顶恭喜你 T10，T18，T25，T26 核对完答案后，将错题做重点反思．对应的考点如果还有不明白的地方，可回到教材或复习资料中再深入学习一遍． 学科网（北京）股份有限公司 $$