专题6 期末复习题题组——平行线的判定与性质（30题）2024—2025学年人教版数学七年级下册　

专题6 期末复习题题组——平行线的判定与性质（30题）（原卷版） 目录 类型1 平行线的判定 1 类型2 平行线的判定与性质 4 类型3 平行的性质与判定在生活中的实际应用 12 类型1 平行线的判定 1．（2025春长寿区校级期中）完成下面的证明： 已知：如图，AB和CD交于点O，∠C＝∠COA，∠D＝∠BOD，过点O作OM⊥BD于点M，延长MO交AC于点N，求证：ON⊥AC． 证明：∵OM⊥BD（已知）， ∴∠OMB＝90°（　 　 ）， ∵∠C＝∠COA，∠D＝∠BOD（已知）， 又∵∠COA＝∠BOD（　 　 ）， ∴∠C＝　 　 （等量代换）， ∴　 　 ∥AC，（　 　 ）． ∴　 　 ＝∠OMB（　 　 ）， ∴∠ONA＝90°， ∴ON⊥AC（　 　 ）． 2．（2024秋丹巴县期末）已知：如图，点F在AB上，EF交BD于G，交CD于E，∠1＝∠2，∠3＝∠ABE，∠ADC+∠C＝180°． 求证：AD∥EF． 3．（2025春榆林期中）如图，在四边形ABCD中，点O在边CD上，连接AO并延长交BC的延长线于点E，已知∠DAE＝∠E，∠B＝∠D，求证：AB∥CD． 4．（2025春顺德区期中）如图，已知点E、F在直线AB上，点N在线段CD上，ED与FN交于点M，∠C＝∠1，∠2＝∠3．求证：AB∥CD． 5．（2024秋兴庆区校级期末）如图，点O在直线AB上，OC平分∠AOF，OD平分∠BOF，F是DE上一点，连接OF． （1）求证：OC⊥OD； （2）若∠D与∠1互余，求证：ED∥AB． 6．（2025春莱阳市期中）如图，点D、E、F分别在△ABC的三条边上，点G在EF上，如果∠1＝∠2，∠3＝∠C，那么DE与BC平行吗？请说明理由． 7．（2025春临潼区期中）如图，在四边形ABCD中，∠A＝59°，∠D＝121°，点P，F分别在边BC，CD上，连接PF，连接BF并延长至点E，连接CE，∠ABE＝3∠DCE，∠DCE＝24°． （1）求∠DFE的度数； （2）若∠BFP＝48°，请判断CE与PF是否平行，并说明理由． 8．（2025春大连期中）如图，点D，E，F，G都在三角形ABC的边上，BD∥EF，∠BEF+∠BDG＝180°． （1）求证：DG∥BC； （2）若∠EFC＝120°，DG平分∠ADB，求∠C的度数． 9．（2025春大连期中）如图，平行直线AB，CD与EF相交，交点分别为E，F． （1）若∠AEF＝50°，求∠CFE的度数； （2）若EG平分∠BEF，FH平分∠CFE，试判断EG与FH的位置关系，并说明理由． 类型2 平行线的判定与性质 10．（2025春中山市期中）如图1，已知CD∥EF，A，B分别是CD和EF上一点，BC平分∠ABE，BD平分∠ABF． （1）求证：BC⊥BD； （2）如图2，若点G是BF上一点，且∠BAG＝50°，作∠DAG的平分线交BD于点P，求∠DAP与∠ABP的数量关系； （3）如图3，过点A作AN⊥EF于点N，作AQ∥BC交EF于点Q，AP平分∠BAN交BF于点P，求∠PAQ的度数． 11．（2025春商丘期中）（1）如图1，AB∥CD，点E，F分别在直线CD，AB上，∠BEC＝3∠BEF，过点A作AG⊥EF交EF于点G，FK平分∠AFE，AK平分∠PAG，FK与AK交于点K． ①∠AKF＝　 　 °； ②若，求∠FBE； （2）如图2将②中确定的△BEF绕着点F以每秒4°的速度逆时针旋转，旋转时间为t，△AFG保持不变，当边BF与射线FA重合时停止，则在旋转过程中，△BEF的边BE所在的直线与△AFG的某一边所在的直线垂直时，直接写出此时t的值． 12．（2025春海淀区校级期中）如图，点E、F分别在线段CD和AB上，且AE⊥BC于G，DF⊥BC于H，∠1＝∠2． （1）求证：AB∥CD； （2）连接AC，若∠ACB＝48°，∠CAB＝3∠BCD+32°，求∠B． 13．（2025春周至县期中）如图，已知△ABC，点D在AB上，DF交AC于点E，连接CF，若DF∥BC，∠B＝∠F． （1）求证：AB∥CF； （2）若∠B＝50°，CA平分∠BCF，求∠A的度数． 14．（2025春淮安区校级期中）【创设情境】在初一数学活动课上，老师带领学生用一副直角三角尺进行“玩转三角尺”的探究活动．老师让同学们将两把直角三角尺EFG和HMN（∠GEF＝∠MHN＝90°，∠MNH＝60°，∠HMN＝30°，∠EGF＝∠EFG＝45°）”，已知AB∥CD．如图①，把三角尺EFG的直角顶点E放在直线CD上，把三角尺HMN的直角顶点H放在直线AB上，HM经过点E． （1）若∠GEM＝120°，∠DEF＝20°，求∠AHN的度数； 【操作探究】 （2）如图②，绕点H逆时针旋转三角尺HMN，恰好可以使得点G与点N重合，此时测得∠FGM＝20°，请你说明∠AHG与∠DEF之间的数量关系； 【深度探究】 （3）在（1）的条件下，将三角尺GEF绕E点以每秒3°的速度按逆时针方向，同时将三角尺HMN绕H点以每秒2°的速度按顺时针方向旋转，设旋转时间为t（0≤t≤60）．请直接写出当HN与△EGF的一边平行时t的值． 15．（2025春周至县期中）【问题提出】 （1）如图①，AB∥CD，∠D＝15°，∠GAB＝70°，求∠P的度数； （2）如图②，AB∥CD，点E在直线CD上，点P在直线AB上方，连接PA，PE，请写出∠PAB，∠CEP，∠APE之间的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图③，AB∥CD，点E在直线CD上，点P在直线AB上方，连接PA，PE，∠PED的平分线EQ与∠PAB的平分线AF所在直线交于点Q，求2∠AQE+∠APE的值． 16．（2025春嘉定区期中）问题情境 我们知道，“两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补”，所以在某些探究性问题中通过“构造平行线”可以起到转化的作用． 已知三角板ABC中，∠BAC＝60°，∠B＝30°，∠C＝90°，长方形DEFG中，DE∥GF． 问题初探 （1）如图（1），若将三角板ABC的顶点A放在长方形的边GF上，BC与DE相交于点M，AB⊥DE于点N，求∠EMC的度数． 分析：过点C作CH∥GF．则有CH∥DE，从而得∠CAF＝∠HCA，∠EMC＝∠MCH，从而可以求得∠EMC的度数． 由分析得，请你直接写出：∠CAF的度数为 　 　 ，∠EMC的度数为 　 　 ． 类比再探 （2）若将三角板ABC按图（2）所示方式摆放（AB与DE不垂直），请你猜想写∠CAF与∠EMC的数量关系，并说明理由． （3）请你总结（1），（2）解决问题的思路，在图（3）中探究∠BAG与∠BMD的数量关系？并说明理由． 17．（2025春西城区校级期中）直线AB∥CD，EF分别交AB、CD于点M、N，NP平分∠MND． （1）如图1，若MR平分∠EMB，则MR∥NP．请你把下面的解答过程补充完整： 解：∵AB∥CD；（已知） ∴∠EMB＝∠END．（　 　 ） ∵MR平分∠EMB，NP平分∠MND；（已知） ∴∠EMR∠EMB，∠MNP∠MND．（　 　 ） ∴∠EMR＝　 　 ； ∴MR∥/NP．（　 　 ） （2）如图2，若MR平分∠AMN，则MR与NP有怎样的位置关系？请说明理由． （3）如图3，若MR平分∠BMN，则MR与NP有怎样的位置关系？请在横线上写出你猜想的结论：　 　 ． 18．（2025春重庆期中）经过平行线中的拐点作平行线是解决与平行线有关问题的常用思路． （1）如图1，AB∥CD，∠BEP＝25°，∠PFD＝30°，则∠EPF＝ 　 　 ； （2）如图2，AB∥CD，点P在直线AB上方（∠AEP＞∠CFP），探究∠BEP、∠PFD，∠EPF的数量关系，并证明． （3）如图3，AB∥CD，点P在直线AB上方，∠AEP的角平分线EM所在的直线和∠DFP的角平分线FN所在的直线交于点G（点G在直线CD的下方），请写出∠EPF和∠EGF之间的数量关系，并证明． 19．（2025春芙蓉区校级月考）已知AB∥CD，M，N分别在AB，CD上，点E在直线AB与直线CD之间． （1）如图1，求证：∠E＝∠1+∠2； （2）如图2，若F在AB，CD之间，∠EMF＝5∠BMF，NF平分∠END，若∠1＝∠2，求∠E与∠F的数量关系； （3）如图3，射线ME从MA开始，绕点M以10°每秒的速度逆时针旋转，同时射线NF从ND开始，绕点N以20°每秒的速度逆时针旋转，直线ME与直线NF交于点P，若直线ME与直线NF相交所夹的锐角为30°，直接写出运动时间t秒（0≤t≤18）的值为 　 　 ． 20．（2025春双流区校级期中）经过平行线中的“拐点”作平行线是解决与平行线有关问题的常用思路．已知AB∥CD，点E，F分别在直线AB，CD上，点M在AB，CD之间． （1）如图1，过点M作MP∥AB，利用平行线的性质可以得出∠1，∠2，∠EMF之间的数量关系为 　 　 ． （2）①如图2，若∠1＝30°，∠2：∠3＝1：2，试判断ME与MF的位置关系，并说明理由； ②如图3，若∠1＝30°，点F在点E的右侧，N为直线CD下方一点，EM平分∠AEN，FC平分∠MFN，求∠EMF+∠ENF的大小． 21．（2024秋松北区期末）【阅读理解】 我们经常过某个点作已知直线的平行线，以便利用平行线的性质来解决问题． 例如：如图①，已知AB∥CD，点E、F分别在直线AB、CD上，点P在直线AB、CD之间，设∠AEP＝∠α，∠CFP＝∠β，求证：∠P＝∠α+∠β． 证明：如图②，过点P作PQ∥AB，∴∠EPQ＝∠AEP＝∠α， ∵PQ∥AB，AB∥CD，∴PQ∥CD，∴∠FPQ＝∠CFP＝∠β， ∴∠EPF＝∠EPQ+∠FPQ＝∠α+∠β，即∠EPF＝∠α+∠β． 可以运用以上结论解答下列问题：【类比应用】 （1）如图③，已知AB∥CD，∠D＝15°，∠GAB＝70°，求∠P的度数． （2）如图④，已知AB∥CD，点E在直线CD上，点P在直线AB上方，连接PA、PE，则∠PAB，∠CEP，∠APE之间有何数量关系？请说明理由． 【拓展应用】 （3）如图⑤，已知AB∥CD，点E在直线CD上，点P在直线AB上方，连接PA、PE，∠PED的平分线与∠PAB的平分线所在直线交于点Q，求∠APE+2∠AQE的值． 22．（2025春西城区校级期中）已知a∥b，点A，B在直线a上，点C，D在直线b上，且AD⊥BC于E． （1）如图1，求证：∠ABC+∠ADC＝90°； （2）如图2，BF平分∠ABC交AD于点F，DG平分∠ADC交BC于点G，求∠AFB+∠CDG的度数； （3）如图3，P为线段AB上一点，I为线段BC上一点，连接PI，N为∠IPB的角平分线上一点，且∠NCD∠BCN，则∠CIP，∠IPN，∠CNP之间的数量关系是 　 　 ． 类型3 平行的性质与判定在生活中的实际应用 23．（2025春城关区校级期中）阅读题目，完成下面推理过程． 问题：中国汉字博大精深，方块文字智慧灵秀，奥妙无穷．如图①是一个“互”字，如图②是由图①抽象的几何图形，其中AB∥CD，MG∥FN，点E，M，F在同一直线上，点G，N，H在同一直线上，且∠AEF＝∠GHD．求证：∠EFN＝∠G． 证明：如图（2），延长EF交CD于点P． ∵AB∥CD（已知）， ∴∠AEF＝∠EPD（　 　 ） 又∵∠AEF＝∠GHD（　 　 ）， ∴∠EPD＝∠　 　 （等量代换）， ∴EP∥GH（　 　 ）， ∴∠EFN+∠FNG＝180°（　 　 ）． 又∵MG∥FN（已知）， ∴∠FNG+∠G＝180°（两直线平行，同旁内角互补）， ∴∠EFN＝∠G（　 　 ）． 24．（2025春东莞市校级期中）【问题初探】 （1）数学活动课上，王老师给出如下问题：如图1，AB∥CD，点E在AB，CD之间且点E在点A右侧，求证：∠AEC＝∠BAE+∠DCE； 【类比探究】 （2）李明对王老师给出的问题进行了改编：如图2，AB∥CD，点E在AB，CD之间且点E在点A左侧，直接写出∠AEC，∠BAE，∠DCE之间的数量关系； 【学以致用】 （3）如图3是超市购物车，图4是其侧面示意图，已知AB∥CD，FD⊥CD，测量得知∠ABE＝75°，∠DFE＝115°，求∠BEF的度数． 25．（2025春香洲区校级期中）在科学实验课上，小明发现：1．光线在不同介质中的传播速度是不一样的，当光线从一种介质射向另一种介质时，折射现象便会发生；2．经过实验，小明还发现凸透镜能让与主光轴平行的光线汇聚在主光轴上的某一点．基于这些发现，小明设计了以下三个问题： （1）如图1，这是一块玻璃的a，b两面，且a∥b．现有一束光线CD从玻璃射向空气时发生折射，光线变成DE，F为射线CD上的一点．已知∠1＝135°，∠2＝23°，求∠3的度数； （2）如图2，箭头所画的是光线的方向，F是凸透镜的焦点，BD∥CE∥OF．若∠BDF＝150°，∠CEF＝160°，求∠DFE的度数； （3）联想拓展：如图3，BD∥CE∥OF，若∠BDF的邻补角∠MDF的角平分线与∠CEF的邻补角∠NEF的角平分线交于点Q，请直接写出∠BDF，∠CEF与∠Q的数量关系． 26．（2025春介休市期中）如图1是某品牌自行车放在水平地面的实物图，图2是其示意图，其中AB∥CD∥PQ，∠ABC＝60°，CF⊥PQ，求∠BCF的度数． 27．（2025春介休市期中）【阅读理解】 “两条平行线被第三条直线所截”是平行线中的一个重要的“基本图形”．与平行线有关的角都存在着这个“基本图形”中，当发现题目的图形“不完整”时要添加适当的辅助线将其补充完整．将“非基本图形”转化为“基本图形”这体现了转化思想． 【建立模型】 （1）如图①，已知AB∥CD，点E在直线AB、CD之间，∠EAB＝135°，∠AEC＝95°，则∠ECD＝ 　 　 °． （2）如图②，已知AB∥CD，点E在直线AB、CD之间，请写出∠AEC与∠BAE、∠DCE之间的关系，并说明理由． 【解决问题】 （3）奥运会过后掀起一股滑雪的热潮，很多同学纷纷来到滑雪场，想亲身感受一下奥运健儿在赛场上风驰电掣的感觉，但是第一次走进滑雪场的你，学会正确的滑雪姿势是最重要的，正确的滑雪姿势是上身挺直略前倾，与小腿平行，使脚的根部处于微微受力的状态，如图所示，AB∥CD，如果人的小腿CD与地面的夹角∠CDE＝60°，求出身体BA与水平线的夹角∠BAF的度数． 28．（2025春金山区期中）科技改变世界，为提高快递包裹的分拣效率，物流公司引进了快递自动分拣流水线．如图（1）所示，图（2）是将部分流水线抽象而成的数学模型示意图．如图（2），∠EOF+∠OFC＝180°，OE平分∠AOC，CF平分∠OCD．求证：AB∥CD． 29．（2025春东莞市期中）台灯作为一种照明工具，适合于书桌、床头等需要局部照明的地方，它能够集中光线，使得周围环境适合于阅读、学习或工作，对于保护眼睛健康也具有重要意义．如图1是一盏可折叠台灯．图2是其平面示意图，底座MN位于水平位置，支架AB、BC为固定支撑杆，支架OC可绕点C旋转，从而调节灯光照射方向．已知灯体顶角∠DOE＝52°，∠DOE的平分线OP始终与OC垂直． （1）求∠COD的度数； （2）如图2，当支架OC旋转至水平位置时，OD恰好与BC平行，求支架BC与水平方向上夹角∠CBF的度数． 30． （2025春南海区校级月考）如图1，是我国西北地区农村使用的太阳能烧水器，其原理是利用凹面镜的聚光技术．如图2是图1的轴截面示意图，太阳光线AB∥CD，经过凹面镜的反射后，反射光线BE，DF交于一点P. （1）如图2，若∠ABP＝60°和∠CDP＝55°，则∠BPD＝ 　 　 ； （2）如图2，写出∠BPD，∠ABP和∠CDP三个角之间存在的数量关系，并说明理由； （3）如图3，已知AB∥CD，点M，N分别在AB，CD上，点P是AB，AB，CD之间，MN右侧任意一点，连接PM，PN，则∠P，∠AMP，∠CNP的数量关系为 　 　 ；（不需要写解答过程） （4）如图4，在（3）条件下，AB，CD之间，MN左侧再取一点Q，连接QM，QN，若使得，，求∠P与∠Q的数量关系．（用n表示） 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题6 期末复习题题组——平行线的判定与性质（30题）（解析版） 目录 类型1 平行线的判定 1 类型2 平行线的判定与性质 7 类型3 平行的性质与判定在生活中的实际应用 29 类型1 平行线的判定 1．（2025春长寿区校级期中）完成下面的证明： 已知：如图，AB和CD交于点O，∠C＝∠COA，∠D＝∠BOD，过点O作OM⊥BD于点M，延长MO交AC于点N，求证：ON⊥AC． 证明：∵OM⊥BD（已知）， ∴∠OMB＝90°（　 　 ）， ∵∠C＝∠COA，∠D＝∠BOD（已知）， 又∵∠COA＝∠BOD（　 　 ）， ∴∠C＝　 　 （等量代换）， ∴　 　 ∥AC，（　 　 ）． ∴　 　 ＝∠OMB（　 　 ）， ∴∠ONA＝90°， ∴ON⊥AC（　 　 ）． 【解答】证明：∵OM⊥BD（已知）， ∴∠OMB＝90°（ 垂直的性质）， ∵∠C＝∠COA，∠D＝∠BOD（已知）， 又∵∠COA＝∠BOD（ 对顶角相等）， ∴∠C＝∠D（等量代换）， ∴BD∥AC，（ 内错角相等，两直线平行）． ∴∠ANO＝∠OMB（两直线平行，内错角相等 ）， ∴∠ONA＝90°， ∴ON⊥AC（ 垂直的定义）． 故答案为：垂直的性质，对顶角相等，∠D，BD，内错角相等，两直线平行，∠ANO，两直线平行，内错角相等，垂直的定义． 2．（2024秋丹巴县期末）已知：如图，点F在AB上，EF交BD于G，交CD于E，∠1＝∠2，∠3＝∠ABE，∠ADC+∠C＝180°． 求证：AD∥EF． 【解答】证明：∵∠1＝∠2， ∴∠ABE＝∠DBC， 又∵∠3＝∠ABE， ∴∠3＝∠DBC， ∴EF∥BC， ∵∠ADC+∠C＝180°， ∴AD∥BC， ∴AD∥EF． 3．（2025春榆林期中）如图，在四边形ABCD中，点O在边CD上，连接AO并延长交BC的延长线于点E，已知∠DAE＝∠E，∠B＝∠D，求证：AB∥CD． 【解答】证明：由条件可知AD∥BE， ∴∠D＝∠DCE， ∴∠B＝∠DCE， ∴AB∥CD． 4．（2025春顺德区期中）如图，已知点E、F在直线AB上，点N在线段CD上，ED与FN交于点M，∠C＝∠1，∠2＝∠3．求证：AB∥CD． 【解答】证明：∵∠2＝∠3， ∴CP∥FN， ∴∠C＝∠FND， 又∵∠C＝∠1， ∴∠1＝∠FND， ∴AB∥CD． 5．（2024秋兴庆区校级期末）如图，点O在直线AB上，OC平分∠AOF，OD平分∠BOF，F是DE上一点，连接OF． （1）求证：OC⊥OD； （2）若∠D与∠1互余，求证：ED∥AB． 【解答】（1）证明：∵OC平分∠AOF，OD平分∠BOF， ∴，， ∴， ∴OC⊥OD； （2）证明：∵∠COD＝90°， ∴∠1+∠BOD＝90°， ∵∠D与∠1互余， ∴∠1+∠D＝90°， ∴∠D＝∠BOD， ∴ED∥AB． 6．（2025春莱阳市期中）如图，点D、E、F分别在△ABC的三条边上，点G在EF上，如果∠1＝∠2，∠3＝∠C，那么DE与BC平行吗？请说明理由． 【解答】解：DE∥BC，理由如下： ∵∠1＝∠2， ∴DG∥AC， ∴∠3＝∠AED， ∵∠3＝∠C， ∴∠C＝∠AED， ∴DE∥BC． 7．（2025春临潼区期中）如图，在四边形ABCD中，∠A＝59°，∠D＝121°，点P，F分别在边BC，CD上，连接PF，连接BF并延长至点E，连接CE，∠ABE＝3∠DCE，∠DCE＝24°． （1）求∠DFE的度数； （2）若∠BFP＝48°，请判断CE与PF是否平行，并说明理由． 【解答】解：（1）∵∠ABE＝3∠DCE，∠DCE＝24°， ∴∠ABE＝72°， ∵∠A＝59°，∠D＝121°，59°+121°＝180°， ∴AB∥CD， ∴∠DFE＝∠ABE＝72°； （2）CE∥PD，理由如下： 由（1）知，∠DFE＝72°， ∴∠BFC＝∠DFE＝72°， ∵∠BFP＝48°， ∴∠PFC＝∠BFC﹣∠BFP＝72°﹣48°＝24°， 又∵∠DCE＝24°， ∴∠DCE＝∠PFC， ∴CE∥PD． 8．（2025春大连期中）如图，点D，E，F，G都在三角形ABC的边上，BD∥EF，∠BEF+∠BDG＝180°． （1）求证：DG∥BC； （2）若∠EFC＝120°，DG平分∠ADB，求∠C的度数． 【解答】（1）证明：∵BD∥EF， ∴∠BEF+∠DBC＝180°， ∵∠BEF+∠BDG＝180°， ∴∠DBC＝∠BDG， ∴DG∥BC； （2）解：∵∠EFC＝120°，∠EFC+∠EFA＝180°， ∴∠EFA＝60°， ∵BD∥EF， ∴∠ADB＝∠EFA＝60°， ∵DG平分∠ADB， ∴∠ADG∠ADB＝30°， ∵DG∥BC， ∴∠C＝∠ADG＝30°． 9．（2025春大连期中）如图，平行直线AB，CD与EF相交，交点分别为E，F． （1）若∠AEF＝50°，求∠CFE的度数； （2）若EG平分∠BEF，FH平分∠CFE，试判断EG与FH的位置关系，并说明理由． 【解答】解：（1）∵AB∥CD， ∴∠AEF+∠CFE＝180°， ∵∠AEF＝50°， ∴∠CFE＝180°﹣∠AEF＝130°； （2）EG∥FH，理由如下： ∵AB∥CD， ∴∠BEF＝∠CFE， ∵EG平分∠BEF，FH平分∠CFE， ∴∠GEF∠BEF，∠EFH∠CFE， ∴∠GEF＝∠EFH， ∴EG∥FH． 类型2 平行线的判定与性质 10．（2025春中山市期中）如图1，已知CD∥EF，A，B分别是CD和EF上一点，BC平分∠ABE，BD平分∠ABF． （1）求证：BC⊥BD； （2）如图2，若点G是BF上一点，且∠BAG＝50°，作∠DAG的平分线交BD于点P，求∠DAP与∠ABP的数量关系； （3）如图3，过点A作AN⊥EF于点N，作AQ∥BC交EF于点Q，AP平分∠BAN交BF于点P，求∠PAQ的度数． 【解答】（1）证明：∵BC平分∠ABE，BD平分∠ABF， ∴，， ∵∠ABE+∠ABF＝180°， ∴， ∴BD⊥BC； （2）解；∵CD∥EF， ∴∠BAD+∠ABG＝180°（两直线平行，同旁内角互补）， ∴∠DAG+∠BAG+∠ABG＝180°， ∵∠BAG＝50°， ∴∠DAG+∠ABG＝180°﹣∠BAG＝180°﹣50°＝130°， ∵AP平分∠DAG， ∴， 由（1）得， ∴； （3）解：设∠CBE＝x°， ∵BC平分∠ABE， ∴∠CBE＝∠ABC＝x°，∠ABE＝2∠CBE＝2x°， ∵CD∥EF， ∴∠DAB＝∠ABE＝2x°，∠DAQ＝∠AQB，∠ANE＝∠DAN（两直线平行，内错角相等）， ∵AQ∥BC， ∴∠CBE＝∠AQB＝∠DAQ＝x°（两直线平行，同位角相等）， ∵AN⊥EF， ∴∠ANE＝∠DAN＝90°， ∴∠NAQ＝90°﹣x°，∠BAN＝2x°﹣90°， ∵AP平分∠BAN， ∴； ∴∠PAQ＝∠PAN+∠NAQ＝x°﹣45°+90°﹣x°＝45°，即∠PAQ的度数为45°． 11．（2025春商丘期中）（1）如图1，AB∥CD，点E，F分别在直线CD，AB上，∠BEC＝3∠BEF，过点A作AG⊥EF交EF于点G，FK平分∠AFE，AK平分∠PAG，FK与AK交于点K． ①∠AKF＝　 　 °； ②若，求∠FBE； （2）如图2将②中确定的△BEF绕着点F以每秒4°的速度逆时针旋转，旋转时间为t，△AFG保持不变，当边BF与射线FA重合时停止，则在旋转过程中，△BEF的边BE所在的直线与△AFG的某一边所在的直线垂直时，直接写出此时t的值． 【解答】解：（1）①∵FK平分∠AFE，AK平分∠PAG， ∴∠EFH＝∠HFA，∠GAK＝∠KAP， ∵AG⊥EF， ∴∠EFH+∠HFA+∠FAG＝90°， 又∵∠GAK+∠KAP+∠FAG＝180°， 故∠EFH+∠HFA+∠FAG+∠GAK+∠KAP+∠FAG＝180°+90°＝270°， 即2∠HFA+2∠GAK+2∠FAG＝270°， ∴∠HFA+∠GAK+∠FAG＝135°， ∠AKF＝180°﹣∠HFA﹣∠GAK﹣∠FAG＝180°﹣135°＝45°， 故答案为：45； ②∵， ∴， ∵AB∥CD， ∴∠CEF＝∠EFH+∠HFA， 又∵∠CEF＝∠BEC+∠BEF，∠BEC＝3∠BEF， ∴∠CEF＝4∠BEF， 故， 解得：∠BEF＝20°， 故∠BEC＝3∠BEF＝60°， ∴∠FBE＝∠BEC＝60°； （2）解：由②可得∠FBE＝60°，∠BEF＝20°，，∠AFG＝80°，∠BFE＝100°， 当B′E′⊥EF时，如图： ∵∠FE′B′＝20°， ∴∠EFE′＝90°﹣20°＝70°，∠B′FE＝100°﹣70°＝30°， ∴∠BFB′＝100°﹣∠B′FE＝70°， 此时旋转时间为； 当B′E′⊥AF时，如图： ∵∠FE′B′＝20°，∠FAG＝10°， ∴∠AFE′＝90°﹣20°＝70°，∠B′FA＝100°﹣70°＝30°， ∴∠BFB′＝180°﹣∠B′FA＝150°， 此时旋转时间为； 当B′E′⊥AG时，如图： ∵∠FAG＝10°， ∴∠B′HA＝90°﹣10°＝80°， ∵∠FE′B′＝20°， ∴∠E′FA＝180°﹣80°﹣20°＝80°，∠B′FA＝100°﹣80°＝20°， ∴∠BFB′＝180°﹣∠B′FA＝160°， 此时旋转时间为； 综上，符合条件的t的值为17.5秒或37.5秒或40秒． 12．（2025春海淀区校级期中）如图，点E、F分别在线段CD和AB上，且AE⊥BC于G，DF⊥BC于H，∠1＝∠2． （1）求证：AB∥CD； （2）连接AC，若∠ACB＝48°，∠CAB＝3∠BCD+32°，求∠B． 【解答】（1）证明：∵AE⊥BC，DF⊥BC， ∴∠AGB＝∠FHB＝90°， ∴AE∥DF， ∴∠1＝∠D， ∵∠1＝∠2， ∴∠D＝∠2， ∴AB∥CD； （2）解：如图， ∵AB∥CD， ∴∠B＝∠BCD， ∵∠CAB＝3∠BCD+32°， ∴∠CAB＝3∠B+32°， ∵∠ACB+∠CAB+∠B＝180°，∠ACB＝48°， ∴48°+3∠B+32°+∠B＝180°， ∴∠B＝25°． 13．（2025春周至县期中）如图，已知△ABC，点D在AB上，DF交AC于点E，连接CF，若DF∥BC，∠B＝∠F． （1）求证：AB∥CF； （2）若∠B＝50°，CA平分∠BCF，求∠A的度数． 【解答】（1）证明：∵DF∥BC， ∴∠ADF＝∠B（两直线平行，同位角相等）， ∵∠B＝∠F， ∴∠ADF＝∠F（等量代换）， ∴AB∥CF（内错角相等，两直线平行）； （2）解：∵∠B＝50°，∠B＝∠F， ∴∠F＝50°， ∵DF∥BC， ∴∠∠BCF＝180°﹣∠F＝180°﹣50°＝130°， ∵CA平分∠BCF， ∴， ∵AB∥CF， ∴∠A＝∠ACF＝65°． 14．（2025春淮安区校级期中）【创设情境】在初一数学活动课上，老师带领学生用一副直角三角尺进行“玩转三角尺”的探究活动．老师让同学们将两把直角三角尺EFG和HMN（∠GEF＝∠MHN＝90°，∠MNH＝60°，∠HMN＝30°，∠EGF＝∠EFG＝45°）”，已知AB∥CD．如图①，把三角尺EFG的直角顶点E放在直线CD上，把三角尺HMN的直角顶点H放在直线AB上，HM经过点E． （1）若∠GEM＝120°，∠DEF＝20°，求∠AHN的度数； 【操作探究】 （2）如图②，绕点H逆时针旋转三角尺HMN，恰好可以使得点G与点N重合，此时测得∠FGM＝20°，请你说明∠AHG与∠DEF之间的数量关系； 【深度探究】 （3）在（1）的条件下，将三角尺GEF绕E点以每秒3°的速度按逆时针方向，同时将三角尺HMN绕H点以每秒2°的速度按顺时针方向旋转，设旋转时间为t（0≤t≤60）．请直接写出当HN与△EGF的一边平行时t的值． 【解答】解：（1）∵∠GEM＝120°， ∴∠GEH＝180°﹣120°＝60°， ∵∠GEF＝90°， ∴∠FEH＝90°﹣60°＝30°， ∵∠DEF＝20°， ∴∠DEH＝∠DEF+∠FEH＝20°+30°＝50°， ∵AB∥CD， ∴∠AHM＝∠DEH＝50°（两直线平行，内错角相等）， ∵∠MHN＝90°， ∴∠AHN＝90°﹣50°＝40°； （2）结论：∠DEF﹣∠AHG＝5°． 理由：设∠DEF＝x． ∵∠FEG＝90°， ∴∠CEG＝90°﹣x， ∵∠FGM＝20°，∠MGH＝60°， ∴∠FGH＝60°﹣20°＝40°， ∵∠EGF＝45°， ∴∠EGH＝∠EGF+∠FGH＝85°， ∵AB∥CD， ∴∠AHG+∠CEG＝∠EGH， ∴∠AHG＝85°﹣（90°﹣x）＝x﹣5°， ∴∠DEF﹣∠AHG＝5°； （3）由（1）可得，∠AHN＝40°，∠DEF＝20°， 当时，∠AHN＝（40﹣3t）°，当t＜10时，∠FED＝（20﹣2t）°； ①当NH∥GF时，如图，设直线FG分别交AB，CD于点S，T，过点F作FK∥CD， ∵AB∥CD， ∴FK∥AB（平行于同一条直线的两条直线平行）， ∴∠KFT＝∠STE＝∠HST＝∠NHS＝（40﹣3t）°， ∵∠GFE＝45°， 则∠EFT＝135°， ∵FK∥CD， ∴∠KFE+∠FET＝180°， ∴40﹣3t+135+20﹣2t＝180， 解得：t＝3； ②当NH∥EF时，如图， ∵AB∥CD， ∴∠AHN＝∠FED， 当时，∠AHN＝（40﹣3t）°，∠FED＝（2t﹣20）°， ∴40﹣3t＝2t﹣20， 解得：t＝12； ③当NH∥EG时，如图， 当时，∠AHN＝（3t﹣40）°，∠FED＝（2t﹣20）°， ∵AB∥CD， ∴∠AHG＝∠GED（两直线平行，内错角相等）， ∵∠GED+∠FED＝90°， ∴∠AHG+∠FED＝90°， ∴3t﹣40+2t﹣20＝90， 解得：t＝30， 综上，t＝3或t＝12或t＝30． 15．（2025春周至县期中）【问题提出】 （1）如图①，AB∥CD，∠D＝15°，∠GAB＝70°，求∠P的度数； （2）如图②，AB∥CD，点E在直线CD上，点P在直线AB上方，连接PA，PE，请写出∠PAB，∠CEP，∠APE之间的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图③，AB∥CD，点E在直线CD上，点P在直线AB上方，连接PA，PE，∠PED的平分线EQ与∠PAB的平分线AF所在直线交于点Q，求2∠AQE+∠APE的值． 【解答】解：（1）如图，过点P作PH∥AB， ∵AB∥CD，PH∥AB， ∴∠GAB＝∠APH，CD∥PH， ∴∠D＝∠DPH， ∵∠GAB＝70°，∠D＝15°， ∴∠APD＝∠APH+∠DPH＝∠GAB+∠D＝85°； （2）∠CEP+∠PAB﹣∠APE＝180°，理由如下： 如图，过点P作PM∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥PM， ∴∠MPE＝∠CEP，∠APM+∠PAB＝180°， ∴∠CEP＝∠APM+∠APE， 即∠CEP＝180°﹣∠PAB+∠APE， ∴∠CEP+∠PAB﹣∠APE＝180°； （3）如图，过点Q作QG∥AB， ∵AB∥CD，QG∥AB， ∴AB∥CD∥QG， ∴∠AQG＝∠BAQ，∠EQG＝∠DEQ， ∴∠AQE＝∠AQG+∠EQG＝∠BAQ+∠DEQ， ∴2∠AQE＝2∠BAQ+2∠DEQ＝2（180°﹣∠BAF）+2∠DEQ， 又∵EQ，AF分别是∠PED与∠PAB的平分线， ∴2∠DEQ＝∠PED，2∠BAF＝∠PAB， ∴2∠AQE＝360°﹣∠PAB+∠PED， 由（2）知∠CEP+∠PAB﹣∠APE＝180°， ∴∠APE＝∠CEP+∠PAB﹣180°， ∴2∠AQE+∠APE＝360°﹣∠PAB+∠PED+∠CEP+∠PAB﹣180°＝360°+180°﹣180°＝360°， 即2∠AQE+∠APE＝360°． 16．（2025春嘉定区期中）问题情境 我们知道，“两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补”，所以在某些探究性问题中通过“构造平行线”可以起到转化的作用． 已知三角板ABC中，∠BAC＝60°，∠B＝30°，∠C＝90°，长方形DEFG中，DE∥GF． 问题初探 （1）如图（1），若将三角板ABC的顶点A放在长方形的边GF上，BC与DE相交于点M，AB⊥DE于点N，求∠EMC的度数． 分析：过点C作CH∥GF．则有CH∥DE，从而得∠CAF＝∠HCA，∠EMC＝∠MCH，从而可以求得∠EMC的度数． 由分析得，请你直接写出：∠CAF的度数为 　 　 ，∠EMC的度数为 　 　 ． 类比再探 （2）若将三角板ABC按图（2）所示方式摆放（AB与DE不垂直），请你猜想写∠CAF与∠EMC的数量关系，并说明理由． （3）请你总结（1），（2）解决问题的思路，在图（3）中探究∠BAG与∠BMD的数量关系？并说明理由． 【解答】解：（1）由题可得，∠CAF＝∠BAF﹣∠BAC＝90°﹣60°＝30°， ∠EMC＝∠BCH＝90°﹣30°＝60°； 故答案为：30°，60°； （2）∠EMC+∠CAF＝90°，理由： 证明：如图， 过C作CH∥GF，则∠CAF＝∠ACH， ∵DE∥GF，CH∥GF， ∴CH∥DE， ∴∠EMC＝∠HCM， ∴∠EMC+∠CAF＝∠MCH+∠ACH＝∠ACB＝90°； （3）∠BAG﹣∠BMD＝30°，理由： 证明：如图， 过B作BK∥GF，则∠BAG＝∠KBA， ∵BK∥GF，DE∥GF， ∴BK∥DE， ∴∠BMD＝∠KBM， ∴∠BAG﹣∠BMD＝∠ABK﹣∠KBM＝∠ABC＝30°． 17．（2025春西城区校级期中）直线AB∥CD，EF分别交AB、CD于点M、N，NP平分∠MND． （1）如图1，若MR平分∠EMB，则MR∥NP．请你把下面的解答过程补充完整： 解：∵AB∥CD；（已知） ∴∠EMB＝∠END．（　 　 ） ∵MR平分∠EMB，NP平分∠MND；（已知） ∴∠EMR∠EMB，∠MNP∠MND．（　 　 ） ∴∠EMR＝ 　 ； ∴MR∥/NP．（　 　 ） （2）如图2，若MR平分∠AMN，则MR与NP有怎样的位置关系？请说明理由． （3）如图3，若MR平分∠BMN，则MR与NP有怎样的位置关系？请在横线上写出你猜想的结论：　 　 ． 【解答】解：（1）∵AB∥CD（已知）， ∴∠EMB＝∠END（两直线平行，同位角相等）， ∵MR平分∠EMB，NP平分∠MND（已知）， ∴∠EMR∠EMB，∠MNP∠MND（角平分线的定义）， ∴∠EMR＝∠MNP， ∴MR∥NP（同位角相等，两直线平行）， 故答案为：两直线平行，同位角相等；角平分线的定义；∠MNP；同位角相等，两直线平行； （2）MR∥NP，理由如下： ∵AB∥CD（已知）， ∴∠AMN＝∠DNM（两直线平行，内错角相等）， ∵MR平分∠AMN，NP平分∠MND（已知）， ∴∠NMR∠AMN，∠MNP∠MND（角平分线定义）， ∴∠NMR＝∠MNP， ∴MR∥NP（内错角相等，两直线平行）； （3）如图3，MR交NP于点O， ∵AB∥CD（已知）， ∴∠BMN+∠DNM＝180°（两直线平行，同旁内角互补）， ∵MR平分∠BMN，NP平分∠MND（已知）， ∴∠NMR∠BMN，∠MNP∠MND（角平分线定义）， ∴∠NMR+∠MNP＝90°， ∴∠MON＝90°， ∴MR⊥NP， 故答案为：MR⊥NP． 18．（2025春重庆期中）经过平行线中的拐点作平行线是解决与平行线有关问题的常用思路． （1）如图1，AB∥CD，∠BEP＝25°，∠PFD＝30°，则∠EPF＝ 　 　 ； （2）如图2，AB∥CD，点P在直线AB上方（∠AEP＞∠CFP），探究∠BEP、∠PFD，∠EPF的数量关系，并证明． （3）如图3，AB∥CD，点P在直线AB上方，∠AEP的角平分线EM所在的直线和∠DFP的角平分线FN所在的直线交于点G（点G在直线CD的下方），请写出∠EPF和∠EGF之间的数量关系，并证明． 【解答】解：（1）过点P作PM∥AB， ∵AB∥PM，AB∥CD， ∴PM∥CD， ∴∠BEP＝∠MPE，∠PFD＝∠MPF， ∴∠EPF＝∠BEP+∠DFP＝25°+30°＝55°． 故答案为：55°． （2）∠BEP+∠EPF＝∠PFD，理由如下： 过点P作PN∥AB， ∵PN∥AB，AB∥CD， ∴PN∥CD， ∴∠NPF＝∠PFD，∠NPE＝∠PEB． ∵∠NPE+∠EPF＝∠NPF， ∴∠BEP+∠EPF＝∠PFD． （3）∠EPF+2∠EGF＝180°，理由如下： ∵EM平分∠AEP，FN平分∠DFP， ∴∠AEM＝∠PEM，∠PFN＝∠DFN． 设∠AEM＝∠PEM＝∠1，∠PFN＝∠DFN＝∠2， 则∠AEP＝2∠1，∠DFP＝2∠2，∠CFP＝180°﹣2∠2． 过点P作PH∥AB，过点G作KL∥AB， 由（2）知， ∠EPF＝∠PFD﹣∠BEP ＝180°﹣∠CFP﹣（180°﹣∠AEP） ＝∠AEP﹣∠CFP ＝2∠1﹣（180°﹣2∠2） ＝2（∠1+∠2）﹣180°． ∵KL∥AB， ∴∠KGE＝∠AEM＝∠1． ∵AB∥CD， ∴KL∥CD， ∴∠LGN＝∠DFN＝∠2， ∴∠EGF＝180°﹣∠KGE﹣∠LGN＝180°﹣（∠1+∠2）． ∵180°﹣2[180°﹣（∠1+∠2）]＝2（∠1+∠2）﹣180°， ∴180°﹣2∠EGF＝∠EPF， ∴∠EPF+2∠EGF＝180°． 19．（2025春芙蓉区校级月考）已知AB∥CD，M，N分别在AB，CD上，点E在直线AB与直线CD之间． （1）如图1，求证：∠E＝∠1+∠2； （2）如图2，若F在AB，CD之间，∠EMF＝5∠BMF，NF平分∠END，若∠1＝∠2，求∠E与∠F的数量关系； （3）如图3，射线ME从MA开始，绕点M以10°每秒的速度逆时针旋转，同时射线NF从ND开始，绕点N以20°每秒的速度逆时针旋转，直线ME与直线NF交于点P，若直线ME与直线NF相交所夹的锐角为30°，直接写出运动时间t秒（0≤t≤18）的值为 　 　 ． 【解答】（1）证明：作EF平行AB， 又∵AB∥CD， ∴EF∥CD， 由条件可知∠1＝∠MEF， 又∵EF∥CD， ∴∠2＝∠FEN， ∴∠1+∠2＝∠MEF+∠FEN， 即∠E＝∠1+∠2； （2）解：设∠BMF＝y°，则∠EMF＝5y°，设∠ENF＝∠DNF＝x°， ∴∠1＝180°﹣6y°，∠2＝180°﹣2x， ∵∠1＝∠2， ∴3y°＝x°， 由（1）得∠F＝∠BMF+∠DNF＝y+x，∠E＝∠1+∠2＝360°﹣6y°﹣2x°； ∴∠F＝4y，∠E＝360°﹣12y°， ∴3∠F+∠E＝360°； （3）解：①过点P向左作PQ∥AB，可得20°t﹣10°t＝30°，t＝3． ②过点P向左作PQ∥AB，可得20°t﹣180°+180°﹣10°t＝150°，t＝15． 故答案为：3或15． 20．（2025春双流区校级期中）经过平行线中的“拐点”作平行线是解决与平行线有关问题的常用思路．已知AB∥CD，点E，F分别在直线AB，CD上，点M在AB，CD之间． （1）如图1，过点M作MP∥AB，利用平行线的性质可以得出∠1，∠2，∠EMF之间的数量关系为 　 　 ． （2）①如图2，若∠1＝30°，∠2：∠3＝1：2，试判断ME与MF的位置关系，并说明理由； ②如图3，若∠1＝30°，点F在点E的右侧，N为直线CD下方一点，EM平分∠AEN，FC平分∠MFN，求∠EMF+∠ENF的大小． 【解答】解：（1）∵AB∥CD， ∴PM∥CD， ∴∠1＝∠PME，∠2＝∠PMF， ∴∠1+∠2＝∠PME+∠PMF， ∴∠1+∠2＝∠EMF， ∴∠1，∠2，∠EMF 之间的数量关系为：∠1+∠2＝∠EMF， 故答案为：∠1+∠2＝∠EMF； （2）①ME⊥MF，理由如下： ∵∠2：∠3＝1：2，∠2+∠3＝180°， ∴∠2＝60°， 由（1）知：∠M＝∠2+∠1＝60°+30°＝90°， ∴ME⊥MF； ②由（1）得：∠M＝∠1+∠2＝30°+∠2， ∵ME平分∠AEN， ∴∠AEN＝2∠1＝60°， ∵AB∥CD， ∴∠EKD＝∠AEN＝60°， ∴∠N＝60°﹣∠CFN， ∵FC平分∠MFN， ∴∠2＝∠CFN， ∴∠EMF+∠ENF＝90°． 21．（2024秋松北区期末）【阅读理解】 我们经常过某个点作已知直线的平行线，以便利用平行线的性质来解决问题． 例如：如图①，已知AB∥CD，点E、F分别在直线AB、CD上，点P在直线AB、CD之间，设∠AEP＝∠α，∠CFP＝∠β，求证：∠P＝∠α+∠β． 证明：如图②，过点P作PQ∥AB，∴∠EPQ＝∠AEP＝∠α， ∵PQ∥AB，AB∥CD，∴PQ∥CD，∴∠FPQ＝∠CFP＝∠β， ∴∠EPF＝∠EPQ+∠FPQ＝∠α+∠β，即∠EPF＝∠α+∠β． 可以运用以上结论解答下列问题：【类比应用】 （1）如图③，已知AB∥CD，∠D＝15°，∠GAB＝70°，求∠P的度数． （2）如图④，已知AB∥CD，点E在直线CD上，点P在直线AB上方，连接PA、PE，则∠PAB，∠CEP，∠APE之间有何数量关系？请说明理由． 【拓展应用】 （3）如图⑤，已知AB∥CD，点E在直线CD上，点P在直线AB上方，连接PA、PE，∠PED的平分线与∠PAB的平分线所在直线交于点Q，求∠APE+2∠AQE的值． 【解答】解：（1）如图③，延长BA至H， ∵AB∥CD， ∴∠APD＝∠HAP+∠D， ∵∠HAP＝∠GAB，∠GAB＝70°， ∴∠HAP＝70°， ∵∠D＝15°， ∴∠APD＝85°； （2）∠CEP+∠PAB﹣∠APE＝180°，理由如下： 如图④，过P点作PM∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥PM， ∴∠MPE＝∠CEP，∠MPA+∠PAB＝180°， ∴∠MPE﹣∠MPA﹣∠PAB＝∠CEP﹣180°， 即∠APE﹣∠PAB＝∠CEP﹣180°， ∴∠CEP+∠PAB﹣∠APE＝180°； （3）由示例知，∵AB∥CD， ∴∠AQE＝∠BAQ+∠DEQ， ∴2∠AQE＝2∠BAQ+2∠DEQ＝2（180°﹣∠BAF）+2∠DEQ， 又∵QE，AF分别是∠PED与∠PAB的角平分线， ∴2∠BAF＝∠PAB，2∠DEQ＝∠PED， ∴2∠AQE＝360°﹣∠PAB+∠PED， 由（2）知，∠CEP+∠PAB﹣∠APE＝180°， ∴∠APE＝∠CEP+∠PAB﹣180°， ∴2∠BAF+∠APE＝360°﹣∠PAB+∠PED+∠CEP+∠PAB﹣180°＝180°+180°＝360°， 即2∠BAF+∠APE＝360°． 22．（2025春西城区校级期中）已知a∥b，点A，B在直线a上，点C，D在直线b上，且AD⊥BC于E． （1）如图1，求证：∠ABC+∠ADC＝90°； （2）如图2，BF平分∠ABC交AD于点F，DG平分∠ADC交BC于点G，求∠AFB+∠CDG的度数； （3）如图3，P为线段AB上一点，I为线段BC上一点，连接PI，N为∠IPB的角平分线上一点，且∠NCD∠BCN，则∠CIP，∠IPN，∠CNP之间的数量关系是 　 　 ． 【解答】（1）证明：如图1中，过E作EF∥a， ∵a∥b， ∴a∥b∥EF， ∵AD⊥BC， ∴∠BED＝90°， ∵EF∥a， ∴∠ABE＝∠BEF， ∵EF∥b， ∴∠ADC＝∠DEF， ∴∠ABC+∠ADC＝∠BED＝90°； （2）解：如图2中，作FM∥a，GN∥b， 设∠ABF＝∠EBF＝x，∠ADG＝∠CDG＝y， 由（1）知，2x+2y＝90°，x+y＝45°， ∵FM∥a∥b， ∴∠BFD＝2y+x， ∴∠AFB＝180°﹣（2y+x）， 同理：∠CGD＝180°﹣（2x+y）， ∴∠AFB+∠CGD＝360°﹣（3x+3y） ＝360°﹣3×45° ＝225°； （3）解：如图，设PN交CD于E， 当点N在∠DCB内部时， ∵∠CIP＝∠PBC+∠IPB， ∴∠CIP+∠IPN＝∠PBC+∠BPN+2∠IPE， ∵PN平分∠IPB， ∴∠EPB＝∠EPI， ∵AB∥CD， ∴∠NPB＝∠CEN，∠ABC＝∠BCE， ∵， ∴∠CIP+∠IPN＝3∠PEC+3∠NCE＝3（∠NCE+∠NEC）＝3∠CNP， 当点N′在直线CD的下方时， ∵∠CIP＝∠PBC+∠IPB， ∴∠CIP+∠IPN＝∠PBC+∠BPN'+2∠IPE， ∵PN'平分∠IPB， ∴∠EPB＝∠EPI， ∵AB∥CD， ∴∠NPB＝∠CEP，∠ABC＝∠BCE， ∵， ∴∠CIP+∠CNP＝3∠IPN， 综上所述：3∠CNP＝∠CIP+∠IPN或3∠IPN＝∠CIP+∠CNP． 类型3 平行的性质与判定在生活中的实际应用 23．（2025春城关区校级期中）阅读题目，完成下面推理过程． 问题：中国汉字博大精深，方块文字智慧灵秀，奥妙无穷．如图①是一个“互”字，如图②是由图①抽象的几何图形，其中AB∥CD，MG∥FN，点E，M，F在同一直线上，点G，N，H在同一直线上，且∠AEF＝∠GHD．求证：∠EFN＝∠G． 证明：如图（2），延长EF交CD于点P． ∵AB∥CD（已知）， ∴∠AEF＝∠EPD（　 　 ） 又∵∠AEF＝∠GHD（　 　 ）， ∴∠EPD＝∠　 　 （等量代换）， ∴EP∥GH（　 　 ）， ∴∠EFN+∠FNG＝180°（　 　 ）． 又∵MG∥FN（已知）， ∴∠FNG+∠G＝180°（两直线平行，同旁内角互补）， ∴∠EFN＝∠G（　 　 ）． 【解答】证明：∵AB∥CD（已知）， ∴∠AEF＝∠EPD（两直线平行，内错角相等）， ∴∠EPD＝∠GHD（等量代换）， ∴EP∥GH（同位角相等，两直线平行）， ∴∠EFN+∠FNG＝180°（两直线平行，同旁内角互补）． 又∵MG∥FN（已知）， ∴∠FNG+∠G＝180°（两直线平行，同旁内角互补）， ∴∠EFN＝∠G（等量代换）． 故答案为：两直线平行，内错角相等；已知；GHD；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；等量代换． 24．（2025春东莞市校级期中）【问题初探】 （1）数学活动课上，王老师给出如下问题：如图1，AB∥CD，点E在AB，CD之间且点E在点A右侧，求证：∠AEC＝∠BAE+∠DCE； 【类比探究】 （2）李明对王老师给出的问题进行了改编：如图2，AB∥CD，点E在AB，CD之间且点E在点A左侧，直接写出∠AEC，∠BAE，∠DCE之间的数量关系； 【学以致用】 （3）如图3是超市购物车，图4是其侧面示意图，已知AB∥CD，FD⊥CD，测量得知∠ABE＝75°，∠DFE＝115°，求∠BEF的度数． 【解答】（1）证明：如图1，过点E作EF∥AB，则∠BAE＝∠AEF， ∵AB∥CD， ∴EF∥CD， ∴∠DCE＝∠CEF， ∵∠AEC＝∠AEF+∠CEF， ∴∠AEC＝∠BAE+∠DCE； （2）如图2，过点E作EF∥AB，则∠BAE+∠AEF＝180°， ∵AB∥CD， ∴EF∥CD， ∴∠BAE+∠AEF+∠CEF+∠DCE＝180°+180°， 即∠BAE+∠AEC+∠DCE＝360°； （3）如图4，过点E作EM∥AB，过点F作FN∥CD， ∴∠BEM＝∠ABE＝75°，∠NFD+∠FDC＝180°， ∵FD⊥CD， ∴∠FDC＝90°， ∴∠NFD＝90°， ∵∠DFE＝115°， ∴∠EFN＝115﹣90°＝25°， 由条件可知EM∥FN， ∴∠FEM＝∠EFN＝25°， ∴∠BEF＝∠BEM+∠FEM＝75°+25°＝100°． 25．（2025春香洲区校级期中）在科学实验课上，小明发现：1．光线在不同介质中的传播速度是不一样的，当光线从一种介质射向另一种介质时，折射现象便会发生；2．经过实验，小明还发现凸透镜能让与主光轴平行的光线汇聚在主光轴上的某一点．基于这些发现，小明设计了以下三个问题： （1）如图1，这是一块玻璃的a，b两面，且a∥b．现有一束光线CD从玻璃射向空气时发生折射，光线变成DE，F为射线CD上的一点．已知∠1＝135°，∠2＝23°，求∠3的度数； （2）如图2，箭头所画的是光线的方向，F是凸透镜的焦点，BD∥CE∥OF．若∠BDF＝150°，∠CEF＝160°，求∠DFE的度数； （3）联想拓展：如图3，BD∥CE∥OF，若∠BDF的邻补角∠MDF的角平分线与∠CEF的邻补角∠NEF的角平分线交于点Q，请直接写出∠BDF，∠CEF与∠Q的数量关系． 【解答】解：（1）∵a∥b，∠1＝135°， ∴∠GDF＝∠1＝135°（两直线平行，同位角相等）， ∴∠HDF＝180°﹣∠GDF＝180°﹣135°＝45°， ∵∠2＝23°， ∴∠3＝45°﹣∠2＝45°﹣23°＝22°； （2）∵BD∥CE∥OF， ∴∠BDF+∠DFO＝180°，∠CEF+∠EFO＝180°， ∵∠BDF＝150°，∠CEF＝160°， ∴∠DFO＝30°，∠EFO＝20°， ∴∠DFE＝30°﹣20°＝10°； （3）∠BDF+2Q＝∠CEF． 26．（2025春介休市期中）如图1是某品牌自行车放在水平地面的实物图，图2是其示意图，其中AB∥CD∥PQ，∠ABC＝60°，CF⊥PQ，求∠BCF的度数． 【解答】解：由条件可知∠BCD＝∠ABC＝60°． ∵CD∥PQ， ∴∠DCF+∠CFQ＝180°． ∴∠CFQ＝90°， ∴∠DCF＝90°， ∴∠BCF＝60°+90°＝150°． 27．（2025春介休市期中）【阅读理解】 “两条平行线被第三条直线所截”是平行线中的一个重要的“基本图形”．与平行线有关的角都存在着这个“基本图形”中，当发现题目的图形“不完整”时要添加适当的辅助线将其补充完整．将“非基本图形”转化为“基本图形”这体现了转化思想． 【建立模型】 （1）如图①，已知AB∥CD，点E在直线AB、CD之间，∠EAB＝135°，∠AEC＝95°，则∠ECD＝ 　 　 °． （2）如图②，已知AB∥CD，点E在直线AB、CD之间，请写出∠AEC与∠BAE、∠DCE之间的关系，并说明理由． 【解决问题】 （3）奥运会过后掀起一股滑雪的热潮，很多同学纷纷来到滑雪场，想亲身感受一下奥运健儿在赛场上风驰电掣的感觉，但是第一次走进滑雪场的你，学会正确的滑雪姿势是最重要的，正确的滑雪姿势是上身挺直略前倾，与小腿平行，使脚的根部处于微微受力的状态，如图所示，AB∥CD，如果人的小腿CD与地面的夹角∠CDE＝60°，求出身体BA与水平线的夹角∠BAF的度数． 【解答】解：（1）如图，过点E作EF∥AB， 由条件可得EF∥AB∥CD， ∴∠A+∠AEF＝180°，∠C+∠CEF＝180°， ∵∠EAB＝135°，∠AEC＝95°， ∴∠AEF＝45°，∠CEF＝95°﹣45°＝50°， ∴∠ECD＝180°﹣∠CEF＝130°， 故答案为：130°； （2）∠AEC＝∠BAE+∠ECD，理由如下： 如图，过E作直线EF∥AB， 由条件可得AB∥EF∥CD， ∴∠BAE＝∠AEF，∠ECD＝∠CEF， ∴∠AEC＝∠AEF+∠CEF＝∠BAE+∠ECD； （3）如图，延长AB交直线ED于点H， 由条件可得∠CDE＝∠DHA＝60°， ∵AF∥EH， ∴∠BAF＝∠DHA＝60°． 28．（2025春金山区期中）科技改变世界，为提高快递包裹的分拣效率，物流公司引进了快递自动分拣流水线．如图（1）所示，图（2）是将部分流水线抽象而成的数学模型示意图．如图（2），∠EOF+∠OFC＝180°，OE平分∠AOC，CF平分∠OCD．求证：AB∥CD． 【解答】解：∵∠EOF+∠OFC＝180°， ∴OE∥CF， ∴∠COE＝∠OCF， ∵OE平分∠AOC，CF平分∠OCD， ∴∠AOC＝2∠COE，∠OCD＝2∠OCF， ∴∠AOC＝∠OCD， ∴AB∥CD． 29．（2025春东莞市期中）台灯作为一种照明工具，适合于书桌、床头等需要局部照明的地方，它能够集中光线，使得周围环境适合于阅读、学习或工作，对于保护眼睛健康也具有重要意义．如图1是一盏可折叠台灯．图2是其平面示意图，底座MN位于水平位置，支架AB、BC为固定支撑杆，支架OC可绕点C旋转，从而调节灯光照射方向．已知灯体顶角∠DOE＝52°，∠DOE的平分线OP始终与OC垂直． （1）求∠COD的度数； （2）如图2，当支架OC旋转至水平位置时，OD恰好与BC平行，求支架BC与水平方向上夹角∠CBF的度数． 【解答】解：（1）∵OP平分∠DOE， ∴∠DOP∠DOE52°＝26°， ∵OP⊥OC， ∴∠COP＝90°， ∴∠COD＝∠DOP+∠COP＝116°； （2）∵OD∥BC， ∴∠BCO＝180°﹣∠DOC＝64°， ∵OC∥BF， ∴∠OCB＝∠CBF＝64°． 30． （2025春南海区校级月考）如图1，是我国西北地区农村使用的太阳能烧水器，其原理是利用凹面镜的聚光技术．如图2是图1的轴截面示意图，太阳光线AB∥CD，经过凹面镜的反射后，反射光线BE，DF交于一点P. （1）如图2，若∠ABP＝60°和∠CDP＝55°，则∠BPD＝ 　 　 ； （2）如图2，写出∠BPD，∠ABP和∠CDP三个角之间存在的数量关系，并说明理由； （3）如图3，已知AB∥CD，点M，N分别在AB，CD上，点P是AB，AB，CD之间，MN右侧任意一点，连接PM，PN，则∠P，∠AMP，∠CNP的数量关系为 　 　 ；（不需要写解答过程） （4）如图4，在（3）条件下，AB，CD之间，MN左侧再取一点Q，连接QM，QN，若使得，，求∠P与∠Q的数量关系．（用n表示） 【解答】解：（1）过点P作PR∥AB（点R在点P的左侧），如图2所示： ∵AB∥CD， ∴AB∥PR∥CD， ∴∠BPR＝∠ABP＝60°，∠DPR＝∠CDP＝55°， ∴∠BPR+∠DPR＝60°+55°＝115°， ∵∠BPD＝∠BPR+∠DPR， ∴∠BPD＝115°， 故答案为：115°； （2）∠BPD，∠ABP和∠CDP之间的数量关系是：∠BPD＝∠ABP+∠CDP，理由如下： 如图2所示，由（1）可知：∠BPR＝∠ABP，∠DPR＝∠CDP， ∴∠BPR+∠DPR＝∠ABP+∠CDP， ∵∠BPD＝∠BPR+∠DPR， ∴∠BPD＝∠ABP+∠CDP； （3）∠MPN，∠AMP，∠CNP的数量关系为：∠MPN+∠AMP+∠CNP＝360°，理由如下： 过点P作PS∥AB（点S在点P的左侧），如图3所示： ∵AB∥CD， ∴AB∥PS∥CD， ∴∠MPS+∠AMP＝180°，∠NPS+∠CNP＝180°， ∴∠MPS+∠AMP+∠NPS+∠CNP＝360°， ∵∠MPN＝∠MPS+∠NPS， ∴∠MPN+∠AMP+∠CNP＝360°； （4）设∠AMQ＝α，∠CNQ＝β， ∵∠AMQ∠AMP，∠CNQ∠CNP， ∴∠AMP＝n∠AMQ＝nα，∠CNQ＝n∠CNQ＝nβ， 由（2）的结论得：∠Q＝∠AMQ+∠CNQ＝α+β， 由（3）的结论得：∠P+∠AMP+∠CNP＝360°， ∴∠P+nα+nβ＝360°， ∴∠P+n（α+β）＝360°， ∴∠P+n∠Q＝360°． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$