18 第五章 四边形--2025年中考数学一轮复习【精讲精练+分层练习】（全国通用）

1．每一个外角都是的正多边形为（   ） A．正三角形 B．正四边形 C．正五边形 D．正六边形 2．如图，四边形的对角线与相交于点O，已知，若要证明四边形为平行四边形，则还需要添加一个条件是（   ） A． B． C． D． 3．若一个正多边形的外角和是其内角和的，则这个多边形的边数为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 4．如图，在中，对角线与相交于点．添加下列条件，不能判定四边形是矩形的为（    ） A． B． C． D． 5．如图，平行四边形的对角线相交于点，点分别是线段的中点．若，的周长是，则的长为（    ） A． B． C． D． 6．如图，已知矩形中，，，点E为的中点，连接，交对角线于点F，则（   ） A． B． C． D． 7．如图，在菱形中，E是边上的点，连接交于点F，若，，则的长是（   ） A．12 B．8 C．6 D．4 8．如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边，，上，满足，，连接． ①当时，四边形为矩形； ②当平分时，四边形为菱形； ③当△ABC为等腰直角三角形时，四边形为正方形． 上述说法正确的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 9．如图，在中，，分别以B，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线，交对角线于点O，交于点E，F，连接．下列说法错误的是（　　） A． B．的周长等于6 C． D．四边形是菱形 10．如图，在正方形中，点是上一点，连接，过点作的垂线交对角线于点，垂足为，若，则的长为（   ） A． B． C． D． 11．小益将平放在桌面上的正五边形磁力片和正六边形磁力片拼在一起（一边重合），如图所示则形成的么 度． 12．如图，在中，点E在边上，，的延长线交于点F，若，，则 ． 13．如图，在矩形中，，，将矩形绕点B按顺时针方向旋转得到矩形，点A恰好落在边上的点G处．则图中阴影部分的面积等于 ． 14．如图，在菱形中，，，是菱形的高．若是的中点，连接，则的周长是 ． 15．如图，已知四边形是边长为6的正方形，为延长线上一点，以为边，在直线上方作正方形，连接，取的中点，连接．若，则 ． 16．如图，在菱形中，对角线交于点，过点作于点，延长到点，使，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，求的长度． 17．在初中数学的学习过程当中，我们掌握了许多关于中点的基础知识，比如特殊三角形的中线的性质、倍长中线法构造全等、中位线定理等等，也积累了很多解决中点问题的活动经验，灵活运用这些经验和技能，可以帮助我们解决很多问题． 如图 1，点是正方形的边上的点，以为边，在正方形右侧作正方形，连接，为线段的中点，连接． (1)猜想：图 1 中线段和线段的位置关系为： ，数量关系为： （直接写出结论，无需证明）； (2)以为旋转中心将正方形顺时针旋转，旋转角为，则（1）中结论是否仍然成立？若成立，以图 2 中情形为例证明你的结论；若不成立，说明理由； (3)若正方形的边长为2，正方形的边长为1，则在正方形旋转一周的过程中，当点、点、点三点共线时，直接写出的长． 18．如图，正六边形中，直线，分别经过边，上一点；且．则的值是（   ） A． B． C． D． 19．如图1，在平行四边形中，，已知点在边上，以的速度从点向点运动，点在边上，以的速度从点向点运动．若点同时出发，当点到达点时，点恰好到达点处，此时两点都停止运动．图2是的面积与点的运动时间（s）之间的函数关系图象（为图象的最高点），则平行四边形的面积为（　　） A．6 B．12 C． D．24 20．如图，在正方形纸片中，是边的中点，将正方形纸片沿折叠，点落在点处，延长交于点，连接并延长交于点．给出以下结论： ①为等腰三角形；②四边形AECF是平行四边形 ③；④．其中正确的结论是（    ） A．①② B．①②④ C．②③④ D．①②③ 21．如图，是矩形的对角线上一点，于点，于点，连接，则的最小值为 ． 22．如图，在正方形中，点是边上的动点(不与点重合)，，交延长线于点于点，连结交于点，点是的中点，连结．求： ①的度数为 ②当时， ．(用的代数式表示) 23．【问题情境】在矩形中，点E为边上一个动点，连接．将沿翻折，使点B恰好落在对角线上点F处，交于点G． 【探究发现】 （1）如图1，若，求的度数； （2）如图2，当，且时，求的长． 【拓展延伸】 （3）若矩形满足，点E为边上一个动点，将矩形沿进行翻折，点C的对应点为，当点E，，D三点共线时，求的正切值． 第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一讲 平行四边形与特殊的平行四边形 教材知识 中考考点 课标要求 多边形 多边形的有关计算 1.了解多边形的概念及多边形的顶点、边、内角、外角与对角线； 2.探索并掌握多边形的内角和及外角和公式； 平行四边形 平行四边形的有关证明与计算 3.理解平行四边形的概念； 4.探索并证明平行四边形的性质定理及其判定定理； 菱形 菱形的有关证明与计算 5.理解菱形的概念； 6.探索并证明菱形的性质定理及其判定定理； 矩形 矩形的有关证明与计算 7.理解矩形的概念； 8.探索并证明矩形的性质定理及其判定定理； 正方形 正方形的有关证明与计算 9.理解正方形的概念； 10.探索并证明正方形的性质定理及其判定定理； 命题点1 多边形及其性质 1、多边形 在平面内，由三条或三条以上的线段首位顺次相接组成的封闭图形叫做多边形.各个角相等，各条边也相等的多边形叫做正多边形. 2、多边形的性质 设多边形的边数，边形的性质如下： 类别 性质 内角和 边形的内角和等于 外角和 边形的外角和等于 对角线 过边形一个顶点可引条对角线，它们将边形分成个三角形，边形共有条对角线 3、正多边形的性质 类别 性质 边 正边形的各边相等 内角 正边形的每个内角都相等，等于 外角 正边形的每个外角都相等，等于 对称轴 正边形有条对称轴 【要点解读】 如果正多边形有偶数条边，那么它既是轴对称图形，又是中心对称图形；如果正多边形有奇数条边，那么它是轴对称图形，不是中心对称图形. 1．（2024·云南）一个七边形的内角和等于（   ） A． B． C． D． 2．（2024·河北）直线l与正六边形的边分别相交于点M，N，如图所示，则（    ） A． B． C． D． 3．（2024·山东济宁）如图，边长为2的正六边形内接于，则它的内切圆半径为（    ）    A．1 B．2 C． D． 4．（2024·山东）如图，已知，，是正边形的三条边，在同一平面内，以为边在该正边形的外部作正方形．若，则的值为（    ） A．12 B．10 C．8 D．6 5．（2024·安徽）在凸五边形中，，，F是的中点．下列条件中，不能推出与一定垂直的是（    ） A． B． C． D． 6．（2012·贵州）若一个多边形的每一个外角都等于40°，则这个多边形的边数是 ． 7．（2024·山东威海）如图，在正六边形中，，，垂足为点I．若，则 ． 8．（2023·吉林长春）如图，将正五边形纸片折叠，使点与点重合，折痕为，展开后，再将纸片折叠，使边落在线段上，点的对应点为点，折痕为，则的大小为 度．    命题点2 平行四边形的判定与性质 1、平行四边形 图① 如图①，两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，用“▱”表示，记作“▱ABCD”，其中AC，BD叫做平行四边形的对角线. 【要点解读】 用字母表示平行四边形时，一定要按照顺时针或逆时针方向依次注明各顶点. 2、平行四边形的性质 类别 性质 表示（见图①） 边 两组对边分别平行且相等 角 对角相等，邻角互补 对角线 两条对角线相互平分 对称性 是中心对称图形 （对称中心是两条对角线的交点） －－ 【要点解读】 对角线AC和BD把平行四边形分成四个面积相等的三角形. 3、平行四边形的判定 类别 判定 表示（见图①） 边 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 四边形ABCD是平行四边形 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 四边形ABCD是平行四边形 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 四边形ABCD是平行四边形 角 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 四边形ABCD是平行四边形 对角线 对角线相互平分的四边形是平行四边形 四边形ABCD是平行四边形 9．（2024·贵州）如图，的对角线与相交于点O，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（2024·四川乐山）下列条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（  ） A． B． C． D． 11．（2024·四川巴中）如图，的对角线相交于点，点是的中点，．若的周长为12，则的周长为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 12．（2024·山东）如图，点为的对角线上一点，，，连接并延长至点，使得，连接，则为（    ） A． B．3 C． D．4 13．（2024·山东威海）如图，在中，对角线，交于点，点在上，点在上，连接，，，交于点．下列结论错误的是（    ） A．若，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，则 14．（2024·山东济宁）如图，四边形的对角线，相交于点O，，请补充一个条件 ，使四边形是平行四边形． 15．（2023·山西）如图，在中，．以点为圆心，以的长为半径作弧交边于点，连接．分别以点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，交边于点，则的值为 ．    16．（2024·吉林）如图，在中，点O是的中点，连接并延长，交的延长线于点E，求证：． 17．（2024·湖北武汉）如图，在中，点，分别在边，上，． (1)求证：； (2)连接．请添加一个与线段相关的条件，使四边形是平行四边形．（不需要说明理由） 18．（2024·湖南）如图，在四边形中，，点E在边上， ．请从“①；②，”这两组条件中任选一组作为已知条件，填在横线上（填序号），再解决下列问题： (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，，，求线段的长． 19．（2024·江西）追本溯源： 题（1）来自于课本中的习题，请你完成解答，提炼方法并完成题（2）． （1）如图1，在△ABC中，平分，交于点D，过点D作的平行线，交于点E，请判断的形状，并说明理由． 方法应用： （2）如图2，在中，平分，交边于点E，过点A作交的延长线于点F，交于点G． ①图中一定是等腰三角形的有（    ） A．3个　B．4个　C．5个　D．6个 ②已知，，求的长． 命题点3 菱形的判定与性质 1、菱形 图② 如图②，有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 2、菱形的性质 类别 性质 表示（见图②） 边 对边平行，四条边都相等 角 对角相等，邻角互补 对角线 两条对角线相互垂直平分， 且每一条对角线平分一组对角 面积 面积等于两条对角线乘积的一半 对称性 既是中心对称图形又是轴对称图形 （有两条对称轴） －－ 【要点解读】 ①菱形具有平行四边形的所有性质. ②对角线AC和BD把菱形分成四个全等的直角三角形. 3、菱形的判定 类别 判定方法 表示（见图②） 边 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 在▱ABCD中，AB=BC▱ABCD是菱形 四条边相等的四边形是菱形 在四边形ABCD中，AD=BC=AB=DC四边形ABCD是菱形 对角线 对角线相互垂直的平行四边形是菱形 在▱ABCD中，AC⊥BD▱ABCD是菱形 20．（2024·山东济宁）如图，菱形的对角线，相交于点O，E是的中点，连接．若，则菱形的边长为（    ）    A．6 B．8 C．10 D．12 21．（2024·黑龙江绥化）如图，四边形是菱形，，，于点，则的长是（    ） A． B． C． D． 22．（2024·黑龙江大兴安岭地）如图，菱形中，点是的中点，，垂足为，交于点，，，则的长为（    ）    A． B． C． D． 23．（2024·山西）在四边形中，点，，，分别是边，，，的中点，，交于点．若四边形的对角线相等，则线段与一定满足的关系为(　　) A．互相垂直平分 B．互相平分且相等 C．互相垂直且相等 D．互相垂直平分且相等 24．（2023·黑龙江齐齐哈尔）如图，在四边形中，，于点．请添加一个条件： ，使四边形成为菱形．    25．（2024·贵州）如图，在菱形中，点E，F分别是，的中点，连接，．若，，则的长为 ． 26．（2024·广东）如图，菱形的面积为24，点E是的中点，点F是上的动点．若的面积为4，则图中阴影部分的面积为 ． 27．（辽宁省沈阳市铁西区2021-2022学年九年级上学期期末数学试题）如图，在菱形ABCD中，点E，F分别是边AB和BC上的点，且BE＝BF．求证：∠DEF＝∠DFE． 28．（2024·四川雅安）如图，点O是对角线的交点，过点O的直线分别交，于点E，F． (1)求证：； (2)当时，，分别连接，，求此时四边形的周长． 命题点4 矩形的判定与性质 1、矩形 图③ 如图③，有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，也叫做长方形. 2、矩形的性质 类别 性质 表示（见图③） 边 两组对边分别平行且相等 角 四个角都是直角 对角线 两条对角线相互平分且相等 对称性 既是中心对称图形又是轴对称图形 （有两条对称轴） －－ 【要点解读】 ①矩形具有平行四边形的所有性质 ②对角线AC和BD把矩形分成四个面积相等的等腰三角形 3、矩形的判定 类别 判定方法 表示（见图③） 角 有一个角是直角的平行四边形是矩形 在▱ABCD中，▱ABCD是矩形 有三个角是直角的四边形是矩形 在四边形ABCD中，AD=BC=AB=DC四边形ABCD是矩形 对角线 对角线相等的平行四边形是矩形 在▱ABCD中，▱ABCD是矩形 29．（2024·四川成都）如图，在矩形中，对角线与相交于点，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 30．（2023·湖北黄冈）如图，矩形中，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于长为半径画弧交于点P，作射线，过点C作的垂线分别交于点M，N，则的长为（    ）    A． B． C． D．4 31．（2023·浙江宁波）如图，以钝角三角形的最长边为边向外作矩形，连结，设，，的面积分别为，若要求出的值，只需知道(   )    A．的面积 B．的面积 C．的面积 D．矩形的面积 32．（2024·江苏连云港）如图，将一张矩形纸片上下对折，使之完全重合，打开后，得到折痕EF，连接BF．再将矩形纸片折叠，使点B落在BF上的点H处，折痕为AG．若点G恰好为线段BC最靠近点B的一个五等分点，，则BC的长为 ．    33．（2023·陕西）如图，在矩形中，，．点在边上，且，、分别是边、上的动点，且，是线段上的动点，连接，．若．则线段的长为 ．    34．（2024·贵州）如图，四边形的对角线与相交于点O，，，有下列条件： ①，②．    (1)请从以上①②中任选1个作为条件，求证：四边形是矩形； (2)在（1）的条件下，若，，求四边形的面积． 35．（2024·四川遂宁）康康在学习了矩形定义及判定定理1后，继续探究其它判定定理． (1)实践与操作    ①任意作两条相交的直线，交点记为O； ②以点为圆心，适当长为半径画弧，在两条直线上分别截取相等的四条线段； ③顺次连结所得的四点得到四边形． 于是可以直接判定四边形是平行四边形，则该判定定理是：______． (2)猜想与证明 通过和同伴交流，他们一致认为四边形是矩形，于是猜想得到了矩形的另外一种判定方法：对角线相等的平行四边形是矩形．并写出了以下已知、求证，请你完成证明过程． 已知：如图，四边形是平行四边形，．求证：四边形是矩形．    命题点5 正方形的判定与性质 1、正方形 图④ 如图④，有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形. 2、正方形的性质 类别 性质 表示（见图④） 边 对边平行，四条边都相等 角 四个角都是直角 对角线 两条对角线相互垂直平分且相等， 且每一条对角线平分一组对角 对称性 既是中心对称图形又是轴对称图形 （有四条对称轴） －－ 【要点解读】 ①正方形具有平行四边形、菱形、矩形的所有性质. ②对角线AC和BD把正方形分成四个全等的等腰直角三角形. 3、正方形的判定 类别 判定方法 表示（见图④） 边、角 有一组邻边相等，并且有一角是直角 的平行四边形是正方形 在▱ABCD中， ▱ABCD是正方形 边 有一组邻边相等的矩形是正方形 在矩形ABCD中，矩形ABCD是正方形 角 有一个叫是直角的菱形是正方形 在菱形ABCD中，菱形ABCD是正方形 对角线 对角线相互垂直的矩形是正方形 在矩形ABCD中，矩形ABCD是正方形 对角线相等的菱形是正方形 在菱形ABCD中，菱形ABCD是正方形 对角线相互垂直且相等的平行四边形 是正方形 在▱ABCD中，▱ABCD是正方形 4、平行四边形与特殊平行四边形之间的关系 36．（2024·陕西）如图，正方形的顶点G在正方形的边上，与交于点H，若，，则的长为（    ） A．2 B．3 C． D． 37．（2024·重庆）如图，在边长为4的正方形中，点是上一点，点是延长线上一点，连接，，平分．交于点．若，则的长度为（　　） A．2 B． C． D． 38．（2021·黑龙江）如图，在矩形中，对角线相交于点，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件 ，使矩形是正方形． 39．（2024·福建）如图，正方形的面积为4，点，，，分别为边，，，的中点，则四边形的面积为 ．    40．（2024·江苏常州）如图，在平面直角坐标系中，正方形的对角线相交于原点O．若点A的坐标是，则点C的坐标是 ． 41．（2023·山东）如图，点E是正方形内的一点，将绕点B按顺时针方向旋转得到△CBF．若，则 度．    42．（2024·北京）如图，在正方形中，点在上，于点，于点．若，，则的面积为 ． 43．（2024·广东广州）如图，点，分别在正方形的边，上，，，．求证：． 44．（2023·湖北十堰）如图，的对角线交于点，分别以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，连接．    (1)试判断四边形的形状，并说明理由； (2)请说明当的对角线满足什么条件时，四边形是正方形？ 45．（2023·山东日照）如图1，△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=4，∠C=90°，M，N分别是边AC，BC上的点，以CM，CN为邻边作矩形PMCN，交AB于E，F．设CM=a，CN=b，若ab=8．    (1)判断由线段AE，EF，BF组成的三角形的形状，并说明理由； (2)①当a=b时，求∠ECF的度数； ②当a≠b时，①中的结论是否成立？并说明理由． 1．（2024·四川乐山）下列多边形中，内角和最小的是（      ） A． B． C． D． 2．（2024·内蒙古通辽）如图，的对角线，交于点，以下条件不能证明是菱形的是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·甘肃）如图，在矩形中，对角线，相交于点O，，，则的长为（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 4．（2024·四川遂宁）佩佩在“黄娥古镇”研学时学习扎染技术，得到了一个内角和为的正多边形图案，这个正多边形的每个外角为（    ） A． B． C． D． 5．（2024·辽宁）如图，的对角线，相交于点，，，若，，则四边形的周长为（    ）    A．4 B．6 C．8 D．16 6．（2024·四川眉山）如图，在中，点是的中点，过点，下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．（2024·河南）如图，在中，对角线，相交于点O，点E为的中点，交于点F．若，则的长为（    ） A． B．1 C． D．2 8．（2024·宁夏）如图，在正五边形的内部，以边为边作正方形，连接，则 ． 9．（2024·广东广州）如图，中，，点在的延长线上，，若平分，则 ． 10．（2024·黑龙江大兴安岭地）已知菱形中对角线相交于点O，添加条件 可使菱形成为正方形． 11．（2024·广西）如图，两张宽度均为的纸条交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为，则重合部分构成的四边形的周长为 ． 12．（2024·内蒙古包头）如图，在菱形中，，，是一条对角线，是上一点，过点作，垂足为，连接．若，则的长为 ． 13．（2024·山东威海）将一张矩形纸片（四边形）按如图所示的方式对折，使点C落在上的点处，折痕为，点D落在点处，交于点E．若，，，则 ． 14．（2024·吉林）如图，正方形的对角线相交于点O，点E是的中点，点F是上一点．连接．若，则的值为 ． 15．（2024·宁夏）如图，在中，点在边上，，连接并延长交的延长线于点，连接并延长交的延长线于点F．求证：．小丽的思考过程如下： 参考小丽的思考过程，完成推理． 16．（2024·北京）如图，在四边形中，是的中点，，交于点，，.    (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，，，求的长. 17．（2024·黑龙江大庆）如图，平行四边形中，、分别是，的平分线，且E、F分别在边，上． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求的面积． 18．（2023·云南）如图，平行四边形中，分别是的平分线，且分别在边上，．    (1)求证：四边形是菱形； (2)若，的面积等于，求平行线与间的距离． 19．（2024·甘肃兰州）如图，在△ABC中，，D是的中点，，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求的长． 20．（2023·浙江绍兴）如图，在正方形中，是对角线上的一点（与点不重合），分别为垂足．连接，并延长交于点．    (1)求证：． (2)判断与是否垂直，并说明理由． 21．（2024·四川眉山）如图，在矩形中，，，点在上，把△ADE沿折叠，点恰好落在边上的点处，则的值为（    ） A． B． C． D． 22．（2024·湖南长沙）如图，在菱形中，，，点E是边上的动点，连接，，过点A作于点F．设，，则y与x之间的函数解析式为（不考虑自变量x的取值范围）（    ） A． B． C． D． 23．（2024·四川达州）如图，由8个全等的菱形组成的网格中，每个小菱形的边长均为2，，其中点，，都在格点上，则的值为（    ） A．2 B． C． D．3 24．（2023·四川宜宾）如图，边长为6的正方形中，M为对角线上的一点，连接并延长交于点P．若，则的长为（　　）    A． B． C． D． 25．（2024·山东烟台）如图，在正方形中，点E，F分别为对角线的三等分点，连接并延长交于点G，连接，若，则用含α的代数式表示为（    ） A． B． C． D． 26．（2024·四川宜宾）如图，正五边形的边长为4，则这个正五边形的对角线的长是 ．    27．（2024·四川眉山）如图，菱形的边长为6，，过点作，交的延长线于点，连结分别交，于点，，则的长为 ． 28．（2024·四川遂宁）如图，在正方形纸片中，是边的中点，将正方形纸片沿折叠，点落在点处，延长交于点，连结并延长交于点．给出以下结论：①为等腰三角形；②为的中点；③；④．其中正确结论是 ．（填序号） 29．（2024·湖南长沙）如图，在中，对角线，相交于点O，． (1)求证：； (2)点E在边上，满足．若，，求的长及的值． 30．（2023·内蒙古）已知正方形，是对角线上一点．    (1)如图1，连接，．求证：； (2)如图2，是延长线上一点，交于点，．判断的形状并说明理由； (3)在第（2）题的条件下，．求的值． 第1页，共2页 第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1．C 2．C 3．C 4．D 5．C 6．D 7．B 8．A 9．C 10．B 11．132 12． 13．9 14．/ 15． 16．(1)证明见解析；(2) 17．(1)；；(2)成立，见解析；(3)或 18．B 19．A 20．B 21． 22．； 23．（1）；（2）；（3）或． 1．每一个外角都是的正多边形为（   ） A．正三角形 B．正四边形 C．正五边形 D．正六边形 【答案】C 【知识点】正多边形的外角问题 【分析】本题考查正多边形的外角及外角和，熟练掌握正多边形的外角和是解题的关键； 根据正多边形的每个外角相等，且外角和为，即可求解． 【详解】解：（边）， ∴这个正多边形是正五边形． 故选：C． 2．如图，四边形的对角线与相交于点O，已知，若要证明四边形为平行四边形，则还需要添加一个条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】添一个条件成为平行四边形 【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键．根据平行四边形的判定，逐项分析即可判断． 【详解】解：A、添加无法证明四边形为平行四边形，不符合题意； B、添加无法证明四边形为平行四边形，不符合题意； C、因为，，所以四边形为平行四边形，符合题意； D、添加无法证明四边形为平行四边形，不符合题意； 故选：C． 3．若一个正多边形的外角和是其内角和的，则这个多边形的边数为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、多边形内角和与外角和综合 【分析】本题考查了多边形的内角和与外角和的问题，设这个多边形的边数为n，根据“正多边形的外角和是其内角和的”列方程求解即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为n， 根据题意，得， 解得， 故选：C． 4．如图，在中，对角线与相交于点．添加下列条件，不能判定四边形是矩形的为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】添一条件使四边形是矩形 【分析】本题考查了矩形的判定定理，解题的关键是熟练掌握矩形的判定方法．根据矩形的判定方法即可一一判断． 【详解】解：A、∵， ， 平行四边形为矩形，不符合题意； B、∵， 平行四边形是矩形，不符合题意； C．∵在中， ∴ ∵， ∴ 平行四边形是矩形，不符合题意； D、∵在中， ∴四边形是菱形，不能证明是矩形，符合题意． 故选：D． 5．如图，平行四边形的对角线相交于点，点分别是线段的中点．若，的周长是，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用平行四边形的性质求解、与三角形中位线有关的求解问题 【分析】此题考查了平行四边形的性质，三角形中位线的性质，熟记平行四边形的性质是解题的关键．根据平行四边形的性质得到，求出的值，由的周长求出，根据三角形中位线的性质求出的长． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ， ， ， ∵的周长是， ， ， ∵点分别是线段的中点， ， 故选：C． 6．如图，已知矩形中，，，点E为的中点，连接，交对角线于点F，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，利用矩形的性质，结合勾股定理求出的长，证明，列出比例式，进行求解即可． 【详解】解：∵矩形，，，点E为的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选D． 7．如图，在菱形中，E是边上的点，连接交于点F，若，，则的长是（   ） A．12 B．8 C．6 D．4 【答案】B 【知识点】利用菱形的性质证明、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查了菱形的性质，相似三角形的性质和判定， 根据菱形的性质得，再说明，可得，然后代入数值可得答案． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 故选：B． 8．如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边，，上，满足，，连接． ①当时，四边形为矩形； ②当平分时，四边形为菱形； ③当△ABC为等腰直角三角形时，四边形为正方形． 上述说法正确的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】A 【知识点】证明四边形是平行四边形、证明四边形是矩形、证明四边形是菱形、证明四边形是正方形 【分析】此题考查了平行四边形的定义，菱形、矩形、正方形的判定，先由两组对边分别平行的四边形为平行四边形得出为平行四边形，当，根据推出的平行四边形，利用有一个角为直角的平行四边形为矩形可得出①正确；若平分，得到一对角相等，再根据两直线平行内错角相等又得到一对角相等，等量代换可得，利用等角对等边可得一组邻边相等，根据邻边相等的平行四边形为菱形可得出②正确；当为等腰直角三角形时，，但不一定等于，∴平行四边形不一定是正方形，③不正确． 【详解】解：∵，， 四边形是平行四边形， 又∵； ∴， 平行四边形为矩形，选项①正确； 若平分， ， 又， ， ， ， 平行四边形为菱形，选项②正确； 当为等腰直角三角形时， ∴平行四边形为矩形，但平行四边形不一定是正方形，选项③错误， 则其中正确的是①②． 故选：A． 9．如图，在中，，分别以B，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线，交对角线于点O，交于点E，F，连接．下列说法错误的是（　　） A． B．的周长等于6 C． D．四边形是菱形 【答案】C 【知识点】全等的性质和SSS综合（SSS）、线段垂直平分线的性质、利用平行四边形的性质求解、证明四边形是菱形 【分析】利用线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质一一判断即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， 根据作图可知：垂直平分， ∴，故选项A正确； ∴点O为的对称中心， ∴， ∴的周长，故选项B正确； 设的高为h，则的高为h， ∵点O为的对称中心， ∴是中点， ∴， ∵等底，的高为， ∴的高为， ∴的高为， ∵等底， ∴，故C错误； ∵， ∴， ∴， ∵在四边形中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形，故D正确； 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，线段垂直平分线的性质，菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，掌握菱形的判定与性质是解答本题的关键． 10．如图，在正方形中，点是上一点，连接，过点作的垂线交对角线于点，垂足为，若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长 【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，由正方形的性质可得，，由勾股定理可得，从而得出，证明，得出，即可得解． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 11．小益将平放在桌面上的正五边形磁力片和正六边形磁力片拼在一起（一边重合），如图所示则形成的么 度． 【答案】132 【知识点】平面镶嵌、正多边形的内角问题 【分析】本题考查了多边形的内角和，正多边形的内角问题，熟记多边形的内角和公式是解题的关键． 先求出正五边形和正六边形的内角，再由即可． 【详解】解：如图： 由题意得：，， ∴， 故答案为：132． 12．如图，在中，点E在边上，，的延长线交于点F，若，，则 ． 【答案】 【知识点】利用平行四边形的性质求解、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，关键是由，推出．由平行四边形的性质得到，，推出，得到，而，于是得到，进一步可得答案． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，，， ， ， ， ． ∴， 故答案为：8． 13．如图，在矩形中，，，将矩形绕点B按顺时针方向旋转得到矩形，点A恰好落在边上的点G处．则图中阴影部分的面积等于 ． 【答案】9 【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查旋转的性质，矩形的性质，勾股定理，旋转得到，勾股定理求出的长，利用矩形的面积减去直角三角形的面积求出阴影部分的面积即可． 【详解】解：∵旋转， ∴， ∵矩形， ∴， 在中，， ∴阴影部分的面积等于； 故答案为：9． 14．如图，在菱形中，，，是菱形的高．若是的中点，连接，则的周长是 ． 【答案】/ 【知识点】二次根式的应用、等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长 【分析】本题考查了菱形的性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的性质是解题关键．连接，先根据菱形的性质可得，，，再证出和都是等边三角形，则可求出，然后利用勾股定理可得，证出是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，由此即可得． 【详解】解：如图，连接， ∵在菱形中，，， ∴，，， ∴△ABC和都是等边三角形， ∵是菱形的高，是的中点， ∴，，， ∴， 又∵是菱形的高，， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴的周长是， 故答案为：． 15．如图，已知四边形是边长为6的正方形，为延长线上一点，以为边，在直线上方作正方形，连接，取的中点，连接．若，则 ． 【答案】 【知识点】等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长 【分析】本题主要考查正方形的性质和勾股定理，连接，根据正方形的性质得出，求出，根据勾股定理得出，再根据勾股定理得出． 【详解】解：连接，如图， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴ ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 16．如图，在菱形中，对角线交于点，过点作于点，延长到点，使，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，求的长度． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】根据矩形的性质求线段长、证明四边形是矩形、利用菱形的性质求线段长、利用菱形的性质证明 【分析】本题考查了菱形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理等，掌握菱形的性质、矩形的判定和性质是解题的关键． （）证明，可得，进而由得到，即可求证； （）连接，由菱形的性质可得，即得，得到，再根据矩形的性质得，，最后利用勾股定理解答即可求解； 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：连接， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴． 17．在初中数学的学习过程当中，我们掌握了许多关于中点的基础知识，比如特殊三角形的中线的性质、倍长中线法构造全等、中位线定理等等，也积累了很多解决中点问题的活动经验，灵活运用这些经验和技能，可以帮助我们解决很多问题． 如图 1，点是正方形的边上的点，以为边，在正方形右侧作正方形，连接，为线段的中点，连接． (1)猜想：图 1 中线段和线段的位置关系为： ，数量关系为： （直接写出结论，无需证明）； (2)以为旋转中心将正方形顺时针旋转，旋转角为，则（1）中结论是否仍然成立？若成立，以图 2 中情形为例证明你的结论；若不成立，说明理由； (3)若正方形的边长为2，正方形的边长为1，则在正方形旋转一周的过程中，当点、点、点三点共线时，直接写出的长． 【答案】(1)； (2)成立，见解析 (3)或 【知识点】全等三角形综合问题、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质证明、根据旋转的性质求解 【分析】（1）连接，由正方形，，得，，，进而可得，证明，，可得，，，即可得结论； （2）作，与的延长线交于点，连接，，，证明，得，，进而可得，再证明，可得，， ，根据等腰三角形和直角三角形的性质即可得结论； （3）分两种情况：①当在线段上时，②当在线段的延长上时，连接，利用勾股定理及线段和差关系即可得解． 【详解】（1）解：如图，连接， 正方形，， ，， ， 为线段的中点， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， （2）解：成立，理由如下， 如图，作，与的延长线交于点，连接，，， ，， ， ， ，， ， ， 正方形， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ，； （3）解：①如图，当在线段上时，连接， 正方形的边长为2， ， ， 中，， 由（1）、（2）知，， ， ； ②如图，当在线段的延长上时，连接， 正方形的边长为2， ， ， 中，， 由（1）、（2）知，， ， ； 综上所述，当点、点、点三点共线时，的长为或． 【点睛】本题考查四边形综合应用，涉及正方形的性质，全等三角形的判断与性质，直角三角形中线性质定理、等腰三角形的性质和判定、勾股定理等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形． 18．如图，正六边形中，直线，分别经过边，上一点；且．则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角形的外角的定义及性质、正多边形的外角问题 【分析】本题考查了平行线的性质、多边形外角和、三角形外角的性质，延长交直线于点，根据多边形的外角和是，正多边形的每个外角度数都相等，可以求出，根据平行线的性质可得，根据三角形外角的性质可得． 【详解】解：如图所示，延长交直线于点， ， ， 六边形是正六边形， ， 在中，， ， ． 故选：B． 19．如图1，在平行四边形中，，已知点在边上，以的速度从点向点运动，点在边上，以的速度从点向点运动．若点同时出发，当点到达点时，点恰好到达点处，此时两点都停止运动．图2是的面积与点的运动时间（s）之间的函数关系图象（为图象的最高点），则平行四边形的面积为（　　） A．6 B．12 C． D．24 【答案】A 【知识点】动点问题的函数图象、y=ax²+bx+c的最值、利用平行四边形的性质求解 【分析】此题考查平行四边形的性质，二次函数与几何图形综合问题，二次函数最值问题，由题意可知，设，则．过点作的延长线于点．由，得．计算的面积，根据函数最大值得到，由此得到的长度，过点作的延长线于点，求出，即可求出平行四边形的面积． 【详解】解：∵点在边上，以的速度从点向点运动，点在边上，以的速度从点向点运动．若点同时出发，当点到达点时，点恰好到达点处，此时两点都停止运动， ∴， 设，则． 如图，过点作的延长线于点．由，得． ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴ 在中， ， ∵， ∴ ， 化简，得， 由二次函数图象可知，， 解得，则． 如图，过点作的延长线于点． 在中，， ， ． 故选A． 20．如图，在正方形纸片中，是边的中点，将正方形纸片沿折叠，点落在点处，延长交于点，连接并延长交于点．给出以下结论： ①为等腰三角形；②四边形AECF是平行四边形 ③；④．其中正确的结论是（    ） A．①② B．①②④ C．②③④ D．①②③ 【答案】B 【知识点】全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定、根据正方形的性质证明、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查了正方形与折叠问题，解直角三角形，全等三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 设正方形的边长为，，根据折叠的性质得出，根据中点的性质得出，即可判断①，证明四边形是平行四边形，即可判断②，求得，设，则，勾股定理得出，进而判断③，进而求得，，勾股定理求得，进而即可判断④，即可求解． 【详解】解：如图所示， ∵为的中点， ∴， 设正方形的边长为， 则， ∵折叠， ∴，， ∴， ∴是等腰三角形，故①正确； 设， ∴ ∴ ∴ ∴ 又∵ ∴四边形是平行四边形，故②正确； ∴， ∴，即是的中点， ∵，， ∴， 在中，， ∵， ∴， 设，则， ∴ ∴ ∴， ∴，故③错误； ∴， ∴， 连接，如图所示， ∵，，， 又， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故④正确； 综上分析可知：正确的为：①②④． 故选：B． 21．如图，是矩形的对角线上一点，于点，于点，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长 【分析】本题考查的知识点是矩形的判定与性质、勾股定理解直角三角形，解题关键是熟练掌握矩形的判定与性质． 连接，根据矩形的性质得到，的最小值即为的最小值，当，，三点共线时，的值最小，且为的长度，根据勾股定理得到，于是得到结论． 【详解】解：连接， 四边形是矩形， ， ，， 四边形是矩形， ， 的最小值即为的最小值， 当，，三点共线时，的值最小，且为的长度， 四边形是矩形， ， 的最小值为． 故答案为：． 22．如图，在正方形中，点是边上的动点(不与点重合)，，交延长线于点于点，连结交于点，点是的中点，连结．求： ①的度数为 ②当时， ．(用的代数式表示) 【答案】 【知识点】根据正方形的性质证明、同弧或等弧所对的圆周角相等、90度的圆周角所对的弦是直径、相似三角形的判定与性质综合 【分析】先证明，得出是等腰直角三角形，根据点是的中点，得出，进而根据得出四点共圆，根据同弧所对的圆周角相等得出；根据题意设，，则，连接，延长交的延长线于点，由，则点在上，证明得出，设，则，证明，得出，进而代入，即可求解． 【详解】∵四边形是正方形， ，， ， ，， ， 四边形是矩形， 在与中， ； ，， ， ， ， ， ， 四边形是正方形， 四边形是正方形， ， 且， ， ， 即． 是等腰直角三角形， 又点是的中点， ，， ， ， 四点共圆， ； ②四边形都是正方形，共线， ， ，设，，则， 如图所示，连接，延长交的延长线于点， ， ，则点在上， ， ， ， 又， ，即， ， ， 设，则， ， ， 即， 解得：，即， ， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了直角所对的圆周角是直径，同弧所对的圆周角相等，正方形的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识的解题的关键． 23．【问题情境】在矩形中，点E为边上一个动点，连接．将沿翻折，使点B恰好落在对角线上点F处，交于点G． 【探究发现】 （1）如图1，若，求的度数； （2）如图2，当，且时，求的长． 【拓展延伸】 （3）若矩形满足，点E为边上一个动点，将矩形沿进行翻折，点C的对应点为，当点E，，D三点共线时，求的正切值． 【答案】（1）；（2）；（3）或． 【知识点】用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）由矩形的性质和锐角三角函数定义，得，再由折叠性质得：，故是等边三角形，即可得结论； （2）由折叠性质得：，，则，再证，根据相似的性质可得的长； （3）分类讨论且结合作图，当点E在B、C之间时，得，运用勾股定理得，，故；当E与C重合时，，，即可作答． 【详解】解：（1）四边形是矩形， ，， ， ， ， ， 由折叠的性质得：， 是等边三角形， ， ； （2）由折叠的性质得：，， ， ， ， ， 四边形是矩形， ，， ，， ， ， ， ，即， （负值已舍去）， 即的长为； （3）设，， 分两种情况：当点E在B、C之间时， 由折叠的性质得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中， ，， ∴； 当E与C重合时，， ∴； 综上所述，的正切值为或． 【点睛】本题考查了矩形的性质，解直角三角形的相关运算，勾股定理，相似三角形的判定与性质，折叠性质，难度适中，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一讲 平行四边形与特殊的平行四边形 教材知识 中考考点 课标要求 多边形 多边形的有关计算 1.了解多边形的概念及多边形的顶点、边、内角、外角与对角线； 2.探索并掌握多边形的内角和及外角和公式； 平行四边形 平行四边形的有关证明与计算 3.理解平行四边形的概念； 4.探索并证明平行四边形的性质定理及其判定定理； 菱形 菱形的有关证明与计算 5.理解菱形的概念； 6.探索并证明菱形的性质定理及其判定定理； 矩形 矩形的有关证明与计算 7.理解矩形的概念； 8.探索并证明矩形的性质定理及其判定定理； 正方形 正方形的有关证明与计算 9.理解正方形的概念； 10.探索并证明正方形的性质定理及其判定定理； 命题点1 多边形及其性质 1、多边形 在平面内，由三条或三条以上的线段首位顺次相接组成的封闭图形叫做多边形.各个角相等，各条边也相等的多边形叫做正多边形. 2、多边形的性质 设多边形的边数，边形的性质如下： 类别 性质 内角和 边形的内角和等于 外角和 边形的外角和等于 对角线 过边形一个顶点可引条对角线，它们将边形分成个三角形，边形共有条对角线 3、正多边形的性质 类别 性质 边 正边形的各边相等 内角 正边形的每个内角都相等，等于 外角 正边形的每个外角都相等，等于 对称轴 正边形有条对称轴 【要点解读】 如果正多边形有偶数条边，那么它既是轴对称图形，又是中心对称图形；如果正多边形有奇数条边，那么它是轴对称图形，不是中心对称图形. 1．（2024·云南）一个七边形的内角和等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】多边形内角和问题 【分析】本题考查多边形的内角和，根据边形的内角和为求解，即可解题． 【详解】解：一个七边形的内角和等于， 故选：B． 2．（2024·河北）直线l与正六边形的边分别相交于点M，N，如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用邻补角互补求角度、正多边形的内角问题 【分析】本题考查了多边形的内角和，正多边形的每个内角，邻补角，熟练掌握知识点是解决本题的关键． 先求出正六边形的每个内角为，再根据六边形的内角和为即可求解的度数，最后根据邻补角的意义即可求解． 【详解】解：正六边形每个内角为：， 而六边形的内角和也为， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 3．（2024·山东济宁）如图，边长为2的正六边形内接于，则它的内切圆半径为（    ）    A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【知识点】等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、三角形内切圆与外接圆综合、正多边形和圆的综合 【分析】本题考查了正多边形与圆，等边三角形的判定和性质，勾股定理； 连接，，作于G，证明是等边三角形，可得，然后利用勾股定理求出即可． 【详解】解：如图，连接，，作于G，    ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 即它的内切圆半径为， 故选：D． 4．（2024·山东）如图，已知，，是正边形的三条边，在同一平面内，以为边在该正边形的外部作正方形．若，则的值为（    ） A．12 B．10 C．8 D．6 【答案】A 【知识点】正多边形的外角问题 【分析】本题考查的是正多边形的性质，正多边形的外角和，先求解正多边形的1个内角度数，得到正多边形的1个外角度数，再结合外角和可得答案. 【详解】解：∵正方形， ∴， ∵， ∴， ∴正边形的一个外角为， ∴的值为； 故选A 5．（2024·安徽）在凸五边形中，，，F是的中点．下列条件中，不能推出与一定垂直的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】全等的性质和SSS综合（SSS）、全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形“三线合一”性质的应用，熟练掌握全等三角形的判定的方法是解题的关键． 利用全等三角形的判定及性质对各选项进行判定，结合根据等腰三角形“三线合一”的性质即可证得结论． 【详解】解：A、连接，    ∵，，， ∴， ∴     又∵点F为的中点 ∴，故不符合题意； B、连接，    ∵，，， ∴， ∴， 又∵点F为的中点， ∴， ∵, ∴， ∴， ∴， ∴，故不符合题意； C、连接，    ∵点F为的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，故不符合题意； D、，无法得出题干结论，符合题意； 故选：D． 6．（2012·贵州）若一个多边形的每一个外角都等于40°，则这个多边形的边数是 ． 【答案】9 【知识点】正多边形的外角问题 【详解】解：360÷40=9，即这个多边形的边数是9． 故答案为：9． 7．（2024·山东威海）如图，在正六边形中，，，垂足为点I．若，则 ． 【答案】/50度 【知识点】两直线平行同旁内角互补、三角形内角和定理的应用、正多边形的内角问题 【分析】本题考查了正六边形的内角和、平行线的性质及三角形内角和定理，先求出正六边形的每个内角为，即，则可求得的度数，根据平行线的性质可求得的度数，进而可求出的度数，再根据三角形内角和定理即可求出的度数． 【详解】解：∵正六边形的内角和， 每个内角为：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 8．（2023·吉林长春）如图，将正五边形纸片折叠，使点与点重合，折痕为，展开后，再将纸片折叠，使边落在线段上，点的对应点为点，折痕为，则的大小为 度．    【答案】 【知识点】三角形内角和定理的应用、正多边形的内角问题、折叠问题 【分析】根据题意求得正五边形的每一个内角为，根据折叠的性质求得在中，根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵正五边形的每一个内角为， 将正五边形纸片折叠，使点与点重合，折痕为， 则， ∵将纸片折叠，使边落在线段上，点的对应点为点，折痕为， ∴，， 在中，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了折叠的性质，正多边形的内角和的应用，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 命题点2 平行四边形的判定与性质 1、平行四边形 图① 如图①，两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，用“▱”表示，记作“▱ABCD”，其中AC，BD叫做平行四边形的对角线. 【要点解读】 用字母表示平行四边形时，一定要按照顺时针或逆时针方向依次注明各顶点. 2、平行四边形的性质 类别 性质 表示（见图①） 边 两组对边分别平行且相等 角 对角相等，邻角互补 对角线 两条对角线相互平分 对称性 是中心对称图形 （对称中心是两条对角线的交点） －－ 【要点解读】 对角线AC和BD把平行四边形分成四个面积相等的三角形. 3、平行四边形的判定 类别 判定 表示（见图①） 边 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 四边形ABCD是平行四边形 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 四边形ABCD是平行四边形 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 四边形ABCD是平行四边形 角 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 四边形ABCD是平行四边形 对角线 对角线相互平分的四边形是平行四边形 四边形ABCD是平行四边形 9．（2024·贵州）如图，的对角线与相交于点O，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用平行四边形的性质求解 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，掌握平行四边形的对边平行且相等，对角线互相平分是解题的关键． 【详解】解：∵是平行四边形， ∴， 故选B． 10．（2024·四川乐山）下列条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断能否构成平行四边形 【分析】根据平行四边形的判定定理分别进行分析即可． 【详解】解：A、∵， ∴四边形是平行四边形，故此选项不合题意； B、∵， ∴四边形是平行四边形，故此选项不合题意； C、∵， ∴四边形是平行四边形，故此选项不合题意； D、∵，不能得出四边形是平行四边形，故此选项符合题意； 故选：D． 【点睛】此题主要考查平行四边形的判定，解题的关键是熟知平行四边形的判定定理． 11．（2024·四川巴中）如图，的对角线相交于点，点是的中点，．若的周长为12，则的周长为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】B 【知识点】利用平行四边形的性质求解、与三角形中位线有关的求解问题 【分析】本题考查了平行四边形的性质和三角形的中位线的性质．由平行四边形的性质和三角形的中位线的性质可求得答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴O是中点， 又∵E是中点， ∴OE是的中位线， ∴，， ∵的周长为12，， ∴， ∴的周长为． 故选：B. 12．（2024·山东）如图，点为的对角线上一点，，，连接并延长至点，使得，连接，则为（    ） A． B．3 C． D．4 【答案】B 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、利用平行四边形的性质求解、由平行截线求相关线段的长或比值、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理，平行证明相似等知识点，正确作辅助线是解题关键． 解法一：延长和，交于点，先证，得到，再证，得到，即可求得结果； 解法二：作交于点H，证明出，得到，，然后证明出四边形是平行四边形，得到． 【详解】解：解法一：延长和，交于点， ∵四边形是平行四边形， ∴，即， ∴ ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴ ∵， ∴． 解法二：作交于点H ∴，， 又∵， ∴， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴． 故选：B． 13．（2024·山东威海）如图，在中，对角线，交于点，点在上，点在上，连接，，，交于点．下列结论错误的是（    ） A．若，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】D 【知识点】等腰三角形的性质和判定、利用平行四边形的性质求解、证明四边形是菱形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，菱形的性质与判定，垂直平分线的性质，全等三角形的性质与判定；根据相似三角形的性质与判定即可判断A，根据题意可得四边形是的角平分线，进而判断四边形是菱形，证明可得则垂直平分，即可判断B选项，证明四边形是菱形，即可判断C选项，D选项给的条件，若加上，则成立，据此，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴ A. 若，即，又， ∴ ∴ ∴，故A选项正确， B. 若，，， ∴是的角平分线， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴四边形是菱形， ∴ 在中， ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴，故B选项正确， C. ∵， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴四边形是菱形， ∴， 又∵ ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴ ∴，故C选项正确； D. 若，则四边形是菱形， 由，且时， 可得垂直平分， ∵ ∴，故D选项不正确 故选：D． 14．（2024·山东济宁）如图，四边形的对角线，相交于点O，，请补充一个条件 ，使四边形是平行四边形． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、添一个条件成为平行四边形 【分析】本题考查平行四边形的判定，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可求解． 【详解】解：添加条件：， 证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴ ∴， ∴四边形是平行四边形． 故答案为：（答案不唯一） 15．（2023·山西）如图，在中，．以点为圆心，以的长为半径作弧交边于点，连接．分别以点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，交边于点，则的值为 ．    【答案】 【知识点】作角平分线(尺规作图)、等边三角形的判定和性质、利用平行四边形的性质证明、求角的正切值 【分析】证明，，，再利用正切函数的定义求解即可． 【详解】解：∵在中，， ∴，， 由作图知平分，， ∴是等边三角形，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，尺规作图—作角平分线，等边三角形的判定和性质，正切函数的定义，求得是解题的关键． 16．（2024·吉林）如图，在中，点O是的中点，连接并延长，交的延长线于点E，求证：． 【答案】证明见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、利用平行四边形的性质证明 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质，先根据平行四边形对边平行推出，再由线段中点的定义得到，据此可证明，进而可证明． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵点O是的中点， ∴， ∴， ∴． 17．（2024·湖北武汉）如图，在中，点，分别在边，上，． (1)求证：； (2)连接．请添加一个与线段相关的条件，使四边形是平行四边形．（不需要说明理由） 【答案】(1)见解析 (2)添加（答案不唯一） 【知识点】利用平行四边形性质和判定证明、添一个条件成为平行四边形、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，全等三角形的判定； （1）根据平行四边形的性质得出，，结合已知条件可得，即可证明； （2）添加，依据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵， ∴即， 在与中， ， ∴； （2）添加（答案不唯一） 如图所示，连接． ∵四边形是平行四边形， ∴，即， 当时，四边形是平行四边形． 18．（2024·湖南）如图，在四边形中，，点E在边上， ．请从“①；②，”这两组条件中任选一组作为已知条件，填在横线上（填序号），再解决下列问题： (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，，，求线段的长． 【答案】(1)①或②，证明见解析； (2)6 【知识点】用勾股定理解三角形、证明四边形是平行四边形、利用平行四边形性质和判定证明 【分析】题目主要考查平行四边形的判定和性质，勾股定理解三角形，理解题意，熟练掌握平行四边形的判定和性质是解题关键． （1）选择①或②，利用平行四边形的判定证明即可； （2）根据平行四边形的性质得出，再由勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：选择①， 证明：∵， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形； 选择②， 证明：∵，， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形； （2）解：由（1）得， ∵，， ∴． 19．（2024·江西）追本溯源： 题（1）来自于课本中的习题，请你完成解答，提炼方法并完成题（2）． （1）如图1，在△ABC中，平分，交于点D，过点D作的平行线，交于点E，请判断的形状，并说明理由． 方法应用： （2）如图2，在中，平分，交边于点E，过点A作交的延长线于点F，交于点G． ①图中一定是等腰三角形的有（    ） A．3个　B．4个　C．5个　D．6个 ②已知，，求的长． 【答案】（1）是等腰三角形；理由见解析；（2）①B；②． 【知识点】等腰三角形的性质和判定、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查了平行四边形的性质和等腰三角形的判定和性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质和等腰三角形的判定是解题的关键； （1）利用角平分线的定义得到，利用平行线的性质得到，推出，再等角对等边即可证明是等腰三角形； （2）①同（1）利用等腰三角形的判定和性质可以得到四个等腰三角形； ②由①得，利用平行四边形的性质即可求解． 【详解】解：（1）是等腰三角形；理由如下： ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）①∵中， ∴，， 同（1）， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴，，， ∴，，， 即、、、是等腰三角形；共有四个， 故选：B． ②∵中，，， ∴，， 由①得， ∴． 命题点3 菱形的判定与性质 1、菱形 图② 如图②，有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 2、菱形的性质 类别 性质 表示（见图②） 边 对边平行，四条边都相等 角 对角相等，邻角互补 对角线 两条对角线相互垂直平分， 且每一条对角线平分一组对角 面积 面积等于两条对角线乘积的一半 对称性 既是中心对称图形又是轴对称图形 （有两条对称轴） －－ 【要点解读】 ①菱形具有平行四边形的所有性质. ②对角线AC和BD把菱形分成四个全等的直角三角形. 3、菱形的判定 类别 判定方法 表示（见图②） 边 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 在▱ABCD中，AB=BC▱ABCD是菱形 四条边相等的四边形是菱形 在四边形ABCD中，AD=BC=AB=DC四边形ABCD是菱形 对角线 对角线相互垂直的平行四边形是菱形 在▱ABCD中，AC⊥BD▱ABCD是菱形 20．（2024·山东济宁）如图，菱形的对角线，相交于点O，E是的中点，连接．若，则菱形的边长为（    ）    A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】A 【知识点】斜边的中线等于斜边的一半、利用菱形的性质求线段长 【分析】根据菱形的性质可得，根据“直角三角形斜边中线等于斜边的一半”可得，即可得解． 本题主要考查了菱形的性质和“直角三角形中斜边中线等于斜边一半”的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是菱形， ， ∵E是的中点， ， ∴。 故选：A． 21．（2024·黑龙江绥化）如图，四边形是菱形，，，于点，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求面积 【分析】本题考查了勾股定理，菱形的性质，根据勾股定理求得，进而得出，进而根据等面积法，即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形，，， ∴，，， 在中，， ∴， ∵菱形的面积为， ∴， 故选：A． 22．（2024·黑龙江大兴安岭地）如图，菱形中，点是的中点，，垂足为，交于点，，，则的长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】解直角三角形的相关计算、利用菱形的性质求线段长、斜边的中线等于斜边的一半、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了解三角形，菱形的性质、直角三角形斜边中线等于斜边一半． 先由菱形性质可得对角线与交于点O，由直角三角形斜边中线等于斜边一半可得，进而由菱形对角线求出边长，由解三角形即可求出，． 【详解】解：连接，如图，    ∵菱形中，与互相垂直平分， 又∵点是的中点， ∴A、O、C三点在同一直线上， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 23．（2024·山西）在四边形中，点，，，分别是边，，，的中点，，交于点．若四边形的对角线相等，则线段与一定满足的关系为(　　) A．互相垂直平分 B．互相平分且相等 C．互相垂直且相等 D．互相垂直平分且相等 【答案】A 【知识点】与三角形中位线有关的证明、证明四边形是菱形 【分析】本题主要考查了中点四边形、菱形的判定与性质及三角形的中位线定理，根据题意画出示意图，得出中点四边形的形状与原四边形对角线之间的关系即可解决问题． 【详解】解：如图所示， 连接，， 点和点分别是和的中点， 是的中位线， ． 同理可得， ， ，， 四边形是平行四边形． ， ，且， ， 平行四边形是菱形， 与互相垂直平分． 故选：A． 24．（2023·黑龙江齐齐哈尔）如图，在四边形中，，于点．请添加一个条件： ，使四边形成为菱形．    【答案】（答案不唯一） 【知识点】添一个条件成为平行四边形、证明四边形是菱形 【分析】根据题意，先证明四边形是平行四边形，根据，可得四边形成为菱形． 【详解】解：添加条件 ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形成为菱形． 添加条件 ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形成为菱形． 添加条件 ∵， ∴ ∵，， ∴ ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形成为菱形． 添加条件 在与中， ∴ ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形成为菱形． 故答案为：（或或等）． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，菱形的判定，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键． 25．（2024·贵州）如图，在菱形中，点E，F分别是，的中点，连接，．若，，则的长为 ． 【答案】/ 【知识点】全等三角形综合问题、利用菱形的性质证明、解直角三角形的相关计算 【分析】延长，交于点M，根据菱形的性质和中点性质证明，，过E点作交N点，根据三角函数求出，，，，在中利用勾股定理求出，根据菱形的性质即可得出答案． 【详解】延长，交于点M， 在菱形中，点E，F分别是，的中点， ，，，， 在和中 ， ， ， 在和中 ， ， ，， ， ， 过E点作于N点， ，， ，， ， ， 在中 ， 即， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，运用三角函数解直角三角形，勾股定理等，正确添加辅助线构造直角三角形是解本题的关键． 26．（2024·广东）如图，菱形的面积为24，点E是的中点，点F是上的动点．若的面积为4，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】10 【知识点】利用菱形的性质求面积 【分析】本题考查了菱形的性质，三角形中线的性质，利用菱形的性质、三角形中线的性质求出，，根据和菱形的面积求出，，则可求出的面积，然后利用求解即可． 【详解】解：连接， ∵菱形的面积为24，点E是的中点，的面积为4， ∴，， 设菱形中边上的高为h， 则，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：10． 27．（辽宁省沈阳市铁西区2021-2022学年九年级上学期期末数学试题）如图，在菱形ABCD中，点E，F分别是边AB和BC上的点，且BE＝BF．求证：∠DEF＝∠DFE． 【答案】见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定、利用菱形的性质证明 【分析】根据菱形的性质可得AB=BC=CD=AD，∠A=∠C，再由BE=BF，可推出AE=CF，即可利用SAS证明△ADE≌△CDF得到DE=DF，则∠DEF=∠DFE． 【详解】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=BC=CD=AD，∠A=∠C， ∵BE=BF， ∴AB-BE=BC-BF，即AE=CF， ∴△ADE≌△CDF（SAS）， ∴DE=DF， ∴∠DEF=∠DFE． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握菱形的性质． 28．（2024·四川雅安）如图，点O是对角线的交点，过点O的直线分别交，于点E，F． (1)求证：； (2)当时，，分别连接，，求此时四边形的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、利用平行四边形性质和判定证明、证明四边形是菱形 【分析】本题主要考查了平行四边形和菱形．熟练掌握平行四边形的判定和性质，菱形的判定，全等三角形的判定和性质，是解决问题的关键． （1）由题目中的中，O为对角线的中点，可以得出，，结合，可以证得两个三角形全等，进而得出结论； （2）由（1）中得到的结论可以得到，结合得出四边形是平行四边形，进而利用证明出四边形为菱形，根据即可求出菱形的周长． 【详解】（1）∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵点O是对角线的交点， ∴， 在△和中，， ∴． （2）由（1）知，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴是菱形， ∴， ∴， ∴四边形的周长为． 命题点4 矩形的判定与性质 1、矩形 图③ 如图③，有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，也叫做长方形. 2、矩形的性质 类别 性质 表示（见图③） 边 两组对边分别平行且相等 角 四个角都是直角 对角线 两条对角线相互平分且相等 对称性 既是中心对称图形又是轴对称图形 （有两条对称轴） －－ 【要点解读】 ①矩形具有平行四边形的所有性质 ②对角线AC和BD把矩形分成四个面积相等的等腰三角形 3、矩形的判定 类别 判定方法 表示（见图③） 角 有一个角是直角的平行四边形是矩形 在▱ABCD中，▱ABCD是矩形 有三个角是直角的四边形是矩形 在四边形ABCD中，AD=BC=AB=DC四边形ABCD是矩形 对角线 对角线相等的平行四边形是矩形 在▱ABCD中，▱ABCD是矩形 29．（2024·四川成都）如图，在矩形中，对角线与相交于点，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】矩形性质理解 【分析】本题考查矩形的性质，根据矩形的性质逐项判断即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，，则， ∴选项A中不一定正确，故不符合题意； 选项B中不一定正确，故不符合题意； 选项C中一定正确，故符合题意； 选项D中不一定正确，故不符合题意， 故选：C． 30．（2023·湖北黄冈）如图，矩形中，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于长为半径画弧交于点P，作射线，过点C作的垂线分别交于点M，N，则的长为（    ）    A． B． C． D．4 【答案】A 【知识点】角平分线的性质定理、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合 【分析】由作图可知平分，设与交于点O，与交于点R，作于点Q，根据角平分线的性质可知，进而证明，推出，设，则，解求出．利用三角形面积法求出，再证，根据相似三角形对应边成比例即可求出． 【详解】解：如图，设与交于点O，与交于点R，作于点Q，   矩形中，， ， ． 由作图过程可知，平分， 四边形是矩形， ， 又， ， 在和中， ， ， ， ， 设，则， 在中，由勾股定理得， 即， 解得， ． ． ， ． ，， ， ，即， 解得． 故选A． 【点睛】本题考查角平分线的作图方法，矩形的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质等，涉及知识点较多，有一定难度，解题的关键是根据作图过程判断出平分，通过勾股定理解直角三角形求出． 31．（2023·浙江宁波）如图，以钝角三角形的最长边为边向外作矩形，连结，设，，的面积分别为，若要求出的值，只需知道(   )    A．的面积 B．的面积 C．的面积 D．矩形的面积 【答案】C 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、根据矩形的性质与判定求面积 【分析】过点作，交的延长线于点，的延长线于点，易得：，利用矩形的性质和三角形的面积公式，可得，再根据，得到，即可得出结论． 【详解】解：过点作，交的延长线于点，的延长线于点，    ∵矩形， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， ∴只需要知道的面积即可求出的值； 故选C． 【点睛】本题考查矩形的性质，求三角形的面积．解题的关键是得到 32．（2024·江苏连云港）如图，将一张矩形纸片上下对折，使之完全重合，打开后，得到折痕EF，连接BF．再将矩形纸片折叠，使点B落在BF上的点H处，折痕为AG．若点G恰好为线段BC最靠近点B的一个五等分点，，则BC的长为 ．    【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查矩形折叠，勾股定理，解直角三角形，设与交于点，，则：，勾股定理求出，等积法求出，根据，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设与交于点， ∵矩形， ∴， ∵翻折， ∴，， 设，则：， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：，经检验是原方程的解， ∴； 故答案为：．    33．（2023·陕西）如图，在矩形中，，．点在边上，且，、分别是边、上的动点，且，是线段上的动点，连接，．若．则线段的长为 ．    【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题 【分析】由题意知是等腰直角三角形，作点关于的对称点，则在直线上，连接，，．即，，，所以此时、、三点共线且，点在的中点处，，可求出． 【详解】解：， 是等腰直角三角形， 作点关于的对称点，则在直线上，连接，如图：   ． ，即， 此时、、三点共线且，点在的中点处， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查矩形的性质和等腰直角三角形的性质，作出适当的辅助线是解题关键． 34．（2024·贵州）如图，四边形的对角线与相交于点O，，，有下列条件： ①，②．    (1)请从以上①②中任选1个作为条件，求证：四边形是矩形； (2)在（1）的条件下，若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】证明四边形是矩形、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查矩形的判定，勾股定理，掌握矩形的判定定理是解题的关键． （1）先根据条件利用两组对边平行或一组对边平行且相等证明是平行四边形，然后根据矩形的定义得到结论即可； （2）利用勾股定理得到长，然后利用矩形的面积公式计算即可． 【详解】（1）选择①， 证明：∵，， ∴是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形； 选择②， 证明：∵，， ∴是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形； （2）解：∵， ∴， ∴矩形的面积为． 35．（2024·四川遂宁）康康在学习了矩形定义及判定定理1后，继续探究其它判定定理． (1)实践与操作    ①任意作两条相交的直线，交点记为O； ②以点为圆心，适当长为半径画弧，在两条直线上分别截取相等的四条线段； ③顺次连结所得的四点得到四边形． 于是可以直接判定四边形是平行四边形，则该判定定理是：______． (2)猜想与证明 通过和同伴交流，他们一致认为四边形是矩形，于是猜想得到了矩形的另外一种判定方法：对角线相等的平行四边形是矩形．并写出了以下已知、求证，请你完成证明过程． 已知：如图，四边形是平行四边形，．求证：四边形是矩形．    【答案】(1)对角线互相平分的四边形是平行四边形 (2)证明见解析 【知识点】证明四边形是平行四边形、证明四边形是矩形 【分析】（1）由作图结合对角线互相平分的四边形是平行四边形可得答案； （2）先证明，再证明，可得，从而可得结论． 【详解】（1）解：由作图可得：，， ∴四边形是平行四边形， 该判定定理是：对角线互相平分的四边形是平行四边形； （2）∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形． 【点睛】本题考查的是平行四边形的判定与性质，矩形的判定，全等三角形的判定与性质，掌握平行四边形与矩形的判定方法是关键． 命题点5 正方形的判定与性质 1、正方形 图④ 如图④，有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形. 2、正方形的性质 类别 性质 表示（见图④） 边 对边平行，四条边都相等 角 四个角都是直角 对角线 两条对角线相互垂直平分且相等， 且每一条对角线平分一组对角 对称性 既是中心对称图形又是轴对称图形 （有四条对称轴） －－ 【要点解读】 ①正方形具有平行四边形、菱形、矩形的所有性质. ②对角线AC和BD把正方形分成四个全等的等腰直角三角形. 3、正方形的判定 类别 判定方法 表示（见图④） 边、角 有一组邻边相等，并且有一角是直角 的平行四边形是正方形 在▱ABCD中， ▱ABCD是正方形 边 有一组邻边相等的矩形是正方形 在矩形ABCD中，矩形ABCD是正方形 角 有一个叫是直角的菱形是正方形 在菱形ABCD中，菱形ABCD是正方形 对角线 对角线相互垂直的矩形是正方形 在矩形ABCD中，矩形ABCD是正方形 对角线相等的菱形是正方形 在菱形ABCD中，菱形ABCD是正方形 对角线相互垂直且相等的平行四边形 是正方形 在▱ABCD中，▱ABCD是正方形 4、平行四边形与特殊平行四边形之间的关系 36．（2024·陕西）如图，正方形的顶点G在正方形的边上，与交于点H，若，，则的长为（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】B 【知识点】根据正方形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质．证明，利用相似三角形的性质列式计算即可求解． 【详解】解：∵正方形，， ∴， ∵正方形，， ∴， ∴， 由题意得， ∴， ∴，即， 解得， 故选：B． 37．（2024·重庆）如图，在边长为4的正方形中，点是上一点，点是延长线上一点，连接，，平分．交于点．若，则的长度为（　　） A．2 B． C． D． 【答案】D 【知识点】全等三角形综合问题、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，先由正方形的性质得到，再证明得到，进一步证明得到，设，则， 在中，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， 故选：D． 38．（2021·黑龙江）如图，在矩形中，对角线相交于点，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件 ，使矩形是正方形． 【答案】AC⊥BD（答案不唯一） 【知识点】添一个条件使四边形是正方形 【分析】根据正方形的判定定理可直接进行求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴根据“一组邻边相等的矩形是正方形”可添加：或或或， 根据“对角线互相垂直的矩形是正方形”可添加：AC⊥BD， 故答案为AC⊥BD（答案不唯一）． 【点睛】本题主要考查正方形的判定定理，熟练掌握正方形的判定是解题的关键． 39．（2024·福建）如图，正方形的面积为4，点，，，分别为边，，，的中点，则四边形的面积为 ．    【答案】2 【知识点】根据正方形的性质求线段长 【分析】本题考查正方形性质，线段中点的性质，根据正方形性质和线段中点的性质得到，进而得到，同理可得，最后利用四边形的面积正方形的面积个小三角形面积求解，即可解题． 【详解】解：正方形的面积为4， ，， 点，，，分别为边，，，的中点， ， ， 同理可得， 四边形的面积为． 故答案为：2． 40．（2024·江苏常州）如图，在平面直角坐标系中，正方形的对角线相交于原点O．若点A的坐标是，则点C的坐标是 ． 【答案】 【知识点】根据正方形的性质求线段长、求关于原点对称的点的坐标 【分析】本题考查坐标与图形，根据正方形的对角线互相垂直平分，得到关于原点对称，即可得出结果． 【详解】解：∵正方形的对角线相交于原点O， ∴， ∴关于原点对称， ∵点A的坐标是， ∴点C的坐标是； 故答案为：． 41．（2023·山东）如图，点E是正方形内的一点，将绕点B按顺时针方向旋转得到△CBF．若，则 度．    【答案】80 【知识点】三角形的外角的定义及性质、等边对等角、根据正方形的性质求角度、根据旋转的性质求解 【分析】先求得和的度数，再利用三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∵绕点B按顺时针方向旋转得到 ∴，， ∴， ∴， 故答案为：80． 【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，旋转图形的性质和三角形外角的性质，利用旋转图形的性质求解是解题的关键． 42．（2024·北京）如图，在正方形中，点在上，于点，于点．若，，则的面积为 ． 【答案】 【知识点】根据正方形的性质证明、解直角三角形的相关计算 【分析】根据正方形的性质，得，，得到，结合，得到,，，求得的长，解答即可. 本题考查了正方形的性质，解直角三角形的相关计算，熟练掌握解直角三角形的相关计算是解题的关键. 【详解】解：根据正方形的性质，得，， ∴， ∵， ∴, ， ， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为； 故答案为：． 43．（2024·广东广州）如图，点，分别在正方形的边，上，，，．求证：． 【答案】见解析 【知识点】根据正方形的性质证明、相似三角形的判定综合 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解题关键．根据正方形的性质，得出，，进而得出，根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似即可证明． 【详解】解：，， ， 四边形是正方形， ，， ，， 又， ． 44．（2023·湖北十堰）如图，的对角线交于点，分别以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，连接．    (1)试判断四边形的形状，并说明理由； (2)请说明当的对角线满足什么条件时，四边形是正方形？ 【答案】(1)平行四边形，见解析 (2)且 【知识点】利用平行四边形性质和判定证明、添一个条件使四边形是正方形 【分析】（1）根据平行四边形的性质，得到，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形判定即可． （2）根据对角线相等、平分且垂直的四边形是正方形判定即可． 【详解】（1）四边形是平行四边形．理由如下： ∵的对角线交于点， ∴， ∵以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点， ∴ ∴四边形是平行四边形． （2）∵对角线相等、平分且垂直的四边形是正方形， ∴且时，四边形是正方形． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，正方形的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 45．（2023·山东日照）如图1，△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=4，∠C=90°，M，N分别是边AC，BC上的点，以CM，CN为邻边作矩形PMCN，交AB于E，F．设CM=a，CN=b，若ab=8．    (1)判断由线段AE，EF，BF组成的三角形的形状，并说明理由； (2)①当a=b时，求∠ECF的度数； ②当a≠b时，①中的结论是否成立？并说明理由． 【答案】(1)直角三角形，理由见解析 (2)①45°；②成立，理由见解析 【知识点】等腰三角形的性质和判定、判断三边能否构成直角三角形、根据正方形的性质与判定求线段长、根据旋转的性质求解 【分析】（1）分别表示出AE，BF及EF，计算出AE2+BF2及EF2，从而得出结论； （2）①连接PC，可推出PC⊥AB，可推出AE=PE=PF=BF，从而得出ME=EG=GF=NF，进而得出CE平分∠PCF，CF平分∠BCP，从而得出结果； ②将△BCF逆时针旋转90°至△ACD，连接DE，可推出DE=EF，进而推出△DCF≌△FCE，进一步得出结果． 【详解】（1）解：线段AE，EF，BF组成的是直角三角形，理由如下： ∵AM=AC-CM=4-a，BN=4-b， ∴AE=AM= (4−a)，BE= (4−b)， ∴AE2+BF2=2（4-a）2+2（4-b）2=2（a2+b2-8a-8b+32）， AC=4， ∴EF=AB-AE-BF= [4-（4-a）-（4-b）]， ∵ab=8， EF2=2（a+b-4）2=2（a2+b2-8a-8b+16+2ab）=2（a2+b2-8a-8b+32）， ∴AE2+BF2=EF2， ∴线段AE，EF，BF组成的是直角三角形； （2）解：①如图1，    连接PC交EF于G， ∵a=b， ∴ME=AM=BN=NF， ∵四边形CNPM是矩形， ∴矩形CNPM是正方形， ∴PC平分∠ACB， ∴CG⊥AB， ∴∠PEG=90°， ∵CM=CN=PM=PN， ∴PE=PF， ∵△AEM，△BNF，△PEF是等腰直角三角形， EF2=AE2+BF2，EF2=PE2+PF2， ∴PE=AE=PF=BF， ∴ME=EG=FG=FN， ∴∠MCE=∠GCE，∠NCF=∠GCF， ∵∠ACB=90°， ∴∠ECG+∠FCG=∠ACB=45°； ②如图2，    仍然成立，理由如下： 将△BCF逆时针旋转90°至△ACD，连接DE， ∴∠DAC=∠B=45°，AD=BF， ∴∠DAE=∠DAC+∠CAB=90°， ∴DE2=AD2+AE2=BF2+AE2， ∵EF2=BF2+AE2， ∴DE=EF， ∵CD=CF，CE=CE， ∴△DCF≌△FCE（SSS）， ∴∠ECF=∠DCF=∠DCF=×90°=45°． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形性质，正方形判定和性质，勾股定理的逆定理，全等三角形的判定和性质，旋转的性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形． 1．（2024·四川乐山）下列多边形中，内角和最小的是（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】多边形内角和问题 【分析】边数为n的多边形的内角和，分别求出三角形，四边形，五边形，六边形的内角和，即可得到． 【详解】解：三角形的内角和等于 四边形的内角和等于 五边形的内角和等于 六边形的内角和等于 所以三角形的内角和最小 故选：A． 【点睛】本题考查了多边形的内角和，能熟记边数为n的多边形的内角和是解此题的关键． 2．（2024·内蒙古通辽）如图，的对角线，交于点，以下条件不能证明是菱形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断三边能否构成直角三角形、添一个条件使四边形是菱形 【分析】本题主要考查了菱形的判定，勾股定理的逆定理，等腰三角形的判定．根据菱形的判定，勾股定理的逆定理，等腰三角形的判定，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴是菱形，故本选项不符合题意； B、∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴是菱形，故本选项不符合题意； C、∵， ∴，即， ∵四边形是平行四边形， ∴是菱形，故本选项不符合题意； D、∵， ∴，无法得到是菱形，故本选项符合题意； 故选：D 3．（2024·甘肃）如图，在矩形中，对角线，相交于点O，，，则的长为（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】C 【知识点】等边三角形的判定和性质、根据矩形的性质求线段长 【分析】根据矩形的性质，得，结合，得到是等边三角形，结合，得到，解得即可． 本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键． 【详解】根据矩形的性质，得， ∵， ∴是等边三角形， ∵， ∴， 解得． 故选C． 4．（2024·四川遂宁）佩佩在“黄娥古镇”研学时学习扎染技术，得到了一个内角和为的正多边形图案，这个正多边形的每个外角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】正多边形的外角问题、多边形内角和与外角和综合 【分析】本题考查了正多边形的外角，设这个正多边形的边数为，先根据内角和求出正多边形的边数，再用外角和除以边数即可求解，掌握正多边形的性质是解题的关键． 【详解】解：设这个正多边形的边数为， 则， ∴， ∴这个正多边形的每个外角为， 故选：． 5．（2024·辽宁）如图，的对角线，相交于点，，，若，，则四边形的周长为（    ）    A．4 B．6 C．8 D．16 【答案】C 【知识点】利用平行四边形的判定与性质求解 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 由四边形是平行四边形得到，，再证明四边形是平行四边形，则，即可求解周长． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴周长为：， 故选：C． 6．（2024·四川眉山）如图，在中，点是的中点，过点，下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】利用平行四边形的性质求解 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，根据平行四边形的对边平行，对角线互相平分，对角相等等性质进行判断即可 【详解】解：四边形是平行四边形， ，，，故①③正确， ，， 点是的中点， ， 又，，， ， ，，故②不正确， ，， ， 即，故④正确， 综上所述，正确结论的个数为3个， 故选：C． 7．（2024·河南）如图，在中，对角线，相交于点O，点E为的中点，交于点F．若，则的长为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【知识点】利用平行四边形的性质求解、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质等知识，利用平行四边形的性质、线段中点定义可得出，证明，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解∶∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点E为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 故选：B． 8．（2024·宁夏）如图，在正五边形的内部，以边为边作正方形，连接，则 ． 【答案】81 【知识点】等边对等角、正多边形的内角问题、根据正方形的性质求角度 【分析】本题考查正多边形的内角问题，正方形的性质，等腰三角形的性质等．先根据正多边形内角公式求出，进而求出，最后根据求解． 【详解】解：正五边形中，，， 正方形中，，， ，， ， ， 故答案为：81． 9．（2024·广东广州）如图，中，，点在的延长线上，，若平分，则 ． 【答案】5 【知识点】根据等角对等边求边长、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，掌握平行四边形的性质是解题关键．由平行四边形的性质可知，，，进而得出，再由等角对等边的性质，得到，即可求出的长． 【详解】解：在中，， ，， ， 平分， ， ， ， ， 故答案为：5． 10．（2024·黑龙江大兴安岭地）已知菱形中对角线相交于点O，添加条件 可使菱形成为正方形． 【答案】或 【知识点】添一个条件使四边形是正方形 【分析】本题主要考查的是菱形和正方形的判定，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键，依据正方形的判定定理进行判断即可. 【详解】解：根据对角线相等的菱形是正方形，可添加：； 根据有一个角是直角的菱形是正方形，可添加的：； 故添加的条件为：或． 11．（2024·广西）如图，两张宽度均为的纸条交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为，则重合部分构成的四边形的周长为 ． 【答案】 【知识点】解直角三角形的相关计算、证明四边形是菱形、证明四边形是平行四边形 【分析】本题考查了平行四边形的判定，菱形的判定和性质，菱形的周长，过点作于，于，由题意易得四边形是平行四边形，进而由平行四边形的面积可得，即可得到四边形是菱形，再解可得，即可求解，得出四边形是菱形是解题的关键． 【详解】解：过点作于，于，则， ∵两张纸条的对边平行， ∴，， ∴四边形是平行四边形， 又∵两张纸条的宽度相等， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是菱形， 在中，，， ∴， ∴四边形的周长为， 故答案为：． 12．（2024·内蒙古包头）如图，在菱形中，，，是一条对角线，是上一点，过点作，垂足为，连接．若，则的长为 ． 【答案】 【知识点】含30度角的直角三角形、等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长 【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理等知识，过D作于H，先判断，都是等边三角形，得出，，，利用含的直角三角形的性质可得出，进而求出，，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解∶过D作于H， ∵菱形中，，， ∴，， ∴，都是等边三角形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 故答案为：． 13．（2024·山东威海）将一张矩形纸片（四边形）按如图所示的方式对折，使点C落在上的点处，折痕为，点D落在点处，交于点E．若，，，则 ． 【答案】 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题 【分析】本题考查矩形的折叠问题，全等三角形的判定和性质，勾股定理，先根据勾股定理求出，然后证明，得到，，即可得到，，然后在中，利用解题即可． 【详解】解：在中，， 由折叠可得，， 又∵是矩形， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴，， 设，则， 在中，，即， 解得：， 故答案为． 14．（2024·吉林）如图，正方形的对角线相交于点O，点E是的中点，点F是上一点．连接．若，则的值为 ． 【答案】 【知识点】根据正方形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，正方形的性质，先由正方形的性质得到，，再证明，进而可证明，由相似三角形的性质可得，即． 【详解】解：∵正方形的对角线相交于点O， ∴，， ∵点E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 故答案为：． 15．（2024·宁夏）如图，在中，点在边上，，连接并延长交的延长线于点，连接并延长交的延长线于点F．求证：．小丽的思考过程如下： 参考小丽的思考过程，完成推理． 【答案】见解析 【知识点】利用平行四边形的性质证明、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查的是平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，先证明，可得，同理可得：，再进一步证明即可． 【详解】证明：四边形是平行四边形 ，， ， 同理可得，， ∴ 又， 即， 又， ． 16．（2024·北京）如图，在四边形中，是的中点，，交于点，，.    (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，，，求的长. 【答案】(1)见详解 (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、利用平行四边形性质和判定证明、与三角形中位线有关的证明、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）根据三角形的中位线定理得到，而，即可求证； （2）解求得，由三角形的中位线定理和平行四边形的性质得到，最后对运用勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵是的中点，， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形； （2）解：∵， ∴， 在中，，， ∴， ∵是的中点， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴在中，由勾股定理得． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，三角形的中位线定理，解直角三角形，勾股定理，熟练掌握知识点是解决本题的关键． 17．（2024·黑龙江大庆）如图，平行四边形中，、分别是，的平分线，且E、F分别在边，上． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)． 【知识点】等边三角形的判定和性质、利用平行四边形性质和判定证明、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）由平行四边形的性质得到，，结合角平分线的条件得到，由得到，，根据平行线的判定得到，根据平行四边形的判定即可得到是平行四边形； （2）求得是等边三角形，得到，，证明，求得，作于点，在中，求得，据此求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵分别是、的平分线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：由（1）得，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 作于点， 在中，，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质，勾股定理，平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定和性质．正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 18．（2023·云南）如图，平行四边形中，分别是的平分线，且分别在边上，．    (1)求证：四边形是菱形； (2)若，的面积等于，求平行线与间的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、利用平行四边形性质和判定证明、证明四边形是菱形、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）先证，再证，从而四边形是平行四边形，又，于是四边形是菱形； （2）连接，先求得，再证，，于是有，得，再证，从而根据面积公式即可求得． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵分别是的平分线， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （2）解：连接，    ∵，， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴，， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∵的面积等于， ∴， ∴平行线与间的距离． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定及性质，菱形的判定，角平分线的定义，等腰三角形的判定，三角函数的应用以及平行线间的距离，熟练掌握平行四边形的判定及性质，菱形的判定，角平分线的定义，等腰三角形的判定，三角函数的应用以及平行线间的距离等知识是解题的关键． 19．（2024·甘肃兰州）如图，在△ABC中，，D是的中点，，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】三线合一、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长、证明四边形是矩形 【分析】本题主要考查了矩形的判定以及性质，三腰三角形三线合一的性质，勾股定理等知识，掌握这些性质是解题的关键． （1）由等腰三角形三线合一的性质得出，有平行线的性质得出，结合已知条件可得出，即可证明四边形是矩形． （2）由（1）可知四边形是矩形．由矩形的性质得出，，，由已知条件可得出，由勾股定理求出，最后根据等面积法可得出，即可求出． 【详解】（1）证明：∵， D是BC的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是矩形． （2）由（1）可知四边形是矩形． ∴，，， ∵D是的中点， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴ 即， ∴． 20．（2023·浙江绍兴）如图，在正方形中，是对角线上的一点（与点不重合），分别为垂足．连接，并延长交于点．    (1)求证：． (2)判断与是否垂直，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)与垂直，理由见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、证明四边形是矩形、根据正方形的性质证明 【分析】（1）由正方形的性质，得到，结合垂直于同一条直线的两条直线平行，可得，再根据平行线的性质解答即可； （2）连接交于点，由证明，再根据全等三角形对应角相等得到，继而证明四边形为矩形，最后根据矩形的性质解答即可． 【详解】（1）解：在正方形中， ∴， ∴． （2）与垂直，理由如下． 连接交于点． ∵为正方形的对角线， ∴， 又∵， ∴， ∴． 在正方形中，， 又∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查正方形的性质、平行线的性质、全等三角形的判断与性质、矩形的判定与性质等知识，综合性较强，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 21．（2024·四川眉山）如图，在矩形中，，，点在上，把△ADE沿折叠，点恰好落在边上的点处，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题、求角的余弦值 【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，求角的三角函数等知识点，正确利用折叠的性质是解题的关键． 根据折叠的性质，可求得，，从而求得，，在中，由勾股定理，得，即可求得结果． 【详解】解：四边形是矩形， ，， 把沿折叠，点恰好落在边上的点处， ，， ， ， 在中， ， 由勾股定理，得， ， ， ， ， 故选：A． 22．（2024·湖南长沙）如图，在菱形中，，，点E是边上的动点，连接，，过点A作于点F．设，，则y与x之间的函数解析式为（不考虑自变量x的取值范围）（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】含30度角的直角三角形、利用菱形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查菱形的性质、含30度角的直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的性质求解x、y的关系式是解答的关键．过D作，交延长线于H，则，根据菱形的性质和平行线的性质得到，，，进而利用含30度角的直角三角形的性质，证明得到，然后代值整理即可求解． 【详解】解：如图，过D作，交延长线于H，则， ∵在菱形中，，， ∴，，， ∴，， 在中，， ∵， ∴，又， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：C． （法二：同理，，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：C．） 23．（2024·四川达州）如图，由8个全等的菱形组成的网格中，每个小菱形的边长均为2，，其中点，，都在格点上，则的值为（    ） A．2 B． C． D．3 【答案】B 【知识点】利用菱形的性质求线段长、求角的正切值、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查了菱形的性质，解直角三角形，延长交格点于点，连接，分别在格点上，根据菱形的性质，进而得出，解直角三角形求得的长，根据对顶角相等，进而根据正切的定义，即可求解． 【详解】解：如图所示，延长交格点于点，连接，分别在格点上， 依题意，， ∴ ∴ 又， ∴ ∴ 故选：B． 24．（2023·四川宜宾）如图，边长为6的正方形中，M为对角线上的一点，连接并延长交于点P．若，则的长为（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二次根式的加减运算、含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长 【分析】先根据正方形的性质、三角形全等的判定证出，根据全等三角形的性质可得，再根据等腰三角形的性质可得，从而可得，然后利用勾股定理、含30度角的直角三角形的性质求解即可得． 【详解】解：四边形是边长为6的正方形， ， 在和中，， ， ， ， ， ， 又， ， 设，则，， ， 解得， ，， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形的性质、勾股定理、含30度角的直角三角形的性质、等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握正方形的性质是解题关键． 25．（2024·山东烟台）如图，在正方形中，点E，F分别为对角线的三等分点，连接并延长交于点G，连接，若，则用含α的代数式表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三角形的外角的定义及性质、等边对等角、根据正方形的性质证明、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形的外角性质．证明，求得，证明，证得，推出，得到，据此求解即可． 【详解】解：∵正方形中，点E，F分别为对角线的三等分点， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵点E，F分别为对角线的三等分点， ∴， ∵正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 26．（2024·四川宜宾）如图，正五边形的边长为4，则这个正五边形的对角线的长是 ．    【答案】/ 【知识点】根据等角对等边求边长、正多边形的内角问题、相似三角形的判定与性质综合 【分析】此题考查了正五边形以及等腰三角形的性质和相似三角形的判定与性质．根据正五边形以及等腰三角形的性质得出，再证明，根据相似三角形的性质求出，最后由线段和差即可求出的长． 【详解】解：如图，连接交于点，    ∵五边形是正五边形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， 解得或（舍去）， ∴， 故答案为：． 27．（2024·四川眉山）如图，菱形的边长为6，，过点作，交的延长线于点，连结分别交，于点，，则的长为 ． 【答案】/ 【知识点】用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合 【分析】此题考查了菱形的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 首先根据菱形的性质得到，，，然后勾股定理求出，，然后证明出，得到，求出，然后证明出，得到，求出，进而求解即可． 【详解】解：菱形的边长为6，， ，，， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 28．（2024·四川遂宁）如图，在正方形纸片中，是边的中点，将正方形纸片沿折叠，点落在点处，延长交于点，连结并延长交于点．给出以下结论：①为等腰三角形；②为的中点；③；④．其中正确结论是 ．（填序号） 【答案】①②③ 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、正方形折叠问题、解直角三角形的相关计算 【分析】设正方形的边长为，，根据折叠的性质得出，根据中点的性质得出，即可判断①，证明四边形是平行四边形，即可判断②，求得，设，则，勾股定理得出，进而判断③，进而求得，，勾股定理求得，进而根据余弦的定义，即可判断④，即可求解． 【详解】解：如图所示， ∵为的中点， ∴ 设正方形的边长为， 则 ∵折叠， ∴， ∴ ∴是等腰三角形，故①正确； 设， ∴ ∴ ∴ ∴ 又∵ ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴，即是的中点，故②正确； ∵， ∴ 在中，， ∵ ∴ 设，则， ∴ ∴ ∴，， ∴，故③正确； 连接，如图所示， ∵，， 又 ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 在中， ∴，故④不正确 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查了正方形与折叠问题，解直角三角形，全等三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 29．（2024·湖南长沙）如图，在中，对角线，相交于点O，． (1)求证：； (2)点E在边上，满足．若，，求的长及的值． 【答案】(1)见解析 (2)， 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长、求角的正切值 【分析】本题考查矩形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质、锐角三角函数等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解答的关键． （1）直接根据矩形的判定证明即可； （2）先利用勾股定理结合矩形的性质求得，．进而可得，再根据等腰三角形的判定得到，过点O作于点F，根据等腰三角形的性质，结合勾股定理分别求得，，，然后利用正切定义求解即可． 【详解】（1）证明：因为四边形是平行四边形，且， 所以四边形是矩形． 所以； （2）解：在中，，， 所以， 因为四边形是矩形， 所以，． 因为，所以． 过点O作于点F，则， 所以， 在中，， 所以． 30．（2023·内蒙古）已知正方形，是对角线上一点．    (1)如图1，连接，．求证：； (2)如图2，是延长线上一点，交于点，．判断的形状并说明理由； (3)在第（2）题的条件下，．求的值． 【答案】(1)见解析 (2)是等腰三角形，理由见解析 (3) 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定、根据正方形的性质与判定证明、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）利用正方形的性质得出，，进而即可得到； （2）先判断出，进而判断出，即可得到结论； （3）先求出的长，可证明是等腰直角三角形．从而得到的长，再利用，，可证得，进而得到，从而可得到答案． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形，是对角线， ∴，， 在和中 ∴． （2）解：是等腰三角形，理由如下： ∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形．    （3）解：∵，， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形． ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查四边形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形，等腰三角形以及相似三角形，熟练掌握等腰三角形以及全等三角形的判定与性质是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$