专题05 平面直角坐标系中面积求法三大类型专练-2024-2025学年人教版七年级数学下册【高分必刷】专练

【同步高分必练】专题05 平面直角坐标系中面积求法（解析版） （3大类型精选30题） 1．（24-25七年级下·重庆长寿·阶段练习）三角形与三角形在平面直角坐标系中的位置如图所示． (1)分别写出下列各点的坐标： ______，______，______； (2)三角形是由三角形经过怎样的平移得到的？ (3)若点是三角形内部一点，求三角形内部的对应点的坐标； (4)求三角形的面积． 【答案】(1)； (2)向左平移个单位长度，向下平移个单位长度得到； (3)的坐标为； (4)三角形的面积为． 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、已知点平移前后的坐标，判断平移方式、利用网格求三角形面积 【分析】本题考查了坐标与图形变换-平移，三角形面积公式等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据的位置写出坐标即可； （2）根据平移规律判断即可； （3）根据平移的性质即可得出答案； （4）利用割补法即可求出三角形的面积． 【详解】（1）解：由图知得：， 故答案为：； （2）解：由图可得：三角形是由三角形向左平移个单位长度，向下平移个单位长度得到； （3）解：由题意和（3）可得，的坐标为； （4）解：三角形的面积． 2．（24-25七年级下·广东广州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，,，若把向上平移3个单位长度，再向左平移1个单位长度得到，点A，B，C的对应点分别为． (1)在图中画出平移后的，并写出点的坐标； (2)求的面积． 【答案】(1)，， (2)7 【知识点】平移(作图)、由平移方式确定点的坐标、坐标与图形综合 【分析】本题考查了作图-平移变换：确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离．作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形． （1）先根据平移的性质找出各点，然后用线段顺次连接即可； （2）用一个长方形的面积分别减去三个直角三角形的面积即可． 【详解】（1）解：平移后的图形如图所示，，， （2）的面积． 3．（24-25七年级下·重庆·阶段练习）在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，三角形的三个顶点的位置如图所示．现将三角形平移，向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度，点A、B、C平移后的对应顶点分别是D、E、F． (1)画出平移后的三角形，并写出平移后、、的坐标； (2)求出三角形的面积． 【答案】(1)图见解析， (2)7 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、平移(作图)、利用网格求三角形面积 【分析】本题考查作图—平移变换，在网格中求三角形的面积．利用数形结合的思想是解题关键． （1）先确定点、、的位置，然后顺次连接D，E，F三点即可画出平移后的三角形，再写出、、的坐标；； （2）用正方形的面积减去3个三角形的面积即可解答． 【详解】（1）解：如图，三角形即为所求，， （2）解：三角形的面积． 4．（24-25七年级下·重庆南川·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，位置如图所示． (1)画出向上平移个单位，再向左平移个单位后得到的（标出对应字母）； (2)写出三个顶点的坐标； (3)求的面积． 【答案】(1)画图见解析； (2)，，； (3)． 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、平移(作图) 【分析】本题考查了坐标与图形，作图——平移，求三角形面积等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据向上平移个单位，再向左平移个单位，找出对应点，，即可求解， （）根据平面直角坐标系的特征即可求解； （）利用长方形面积减去三个直角三角形面积即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：由题意得，，，； （3）解：的面积为 ． 5．（19-20七年级下·河南濮阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知是三角形的边上的一点，把三角形平移后得到三角形，点P的对应点为． (1)写出D，E，F三点的坐标； (2)画出三角形； (3)求三角形的面积． 【答案】(1) (2)见解析 (3)7 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、平移(作图)、由平移方式确定点的坐标、利用网格求三角形面积 【分析】本题考查利用平移写出点坐标，平面直角坐标系画出图形，网格求三角形面积． （1）根据题意可知三角形向左边平移2个单位长度，向下平移4个单位长度后得到三角形，继而可分别写出D，E，F三点的坐标； （2）依次连接D，E，F三点即可得到三角形； （3）先补全成一个长方形，再减去周边三角形面积即可． 【详解】（1）解：∵是三角形的边上的一点，，点P的对应点为， ∴三角形向左边平移2个单位长度，向下平移4个单位长度后得到三角形， ∵， ∴； （2）解：由（1）知：，依次连接如下图： （3）解：． 6．（22-23七年级下·重庆江津·期中）已知，在平面直角坐标系中的位置如图所示 (1)写出A、B、C三点的坐标； (2)求的面积； (3)中任意一点经平移后对应点为，将作同样的平移得到，画出． 【答案】(1)，， (2)11.5 (3)见解析 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、平移(作图)、已知点平移前后的坐标，判断平移方式、利用网格求三角形面积 【分析】（1）根据平面坐标系得出A、B、C三点的坐标即可； （2）根据各点坐标，利用梯形面积与三角形面积公式求出即可； （3）根据点经平移后对应点为判断出平移方式，然后画出三个顶点的对应点即可． 【详解】（1）如图所示：A、B、C三点的坐标分别为：，，； （2）的面积 ； （3）∵点经平移后对应点为， ∴把向右平移4个单位，再向下平移3个单位得． 如图， 【点睛】此题考查了平移的性质，以及平移图形的画法和三角形面积求法，根据平移的性质正确平移对应顶点是解题关键． 7．（18-19七年级下·广东汕头·期末）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，．若把向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到，点，，的对应点分别为，，．    (1)直接写出点，，的坐标； (2)在图中中出平移后的； (3)求的面积． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【知识点】坐标与图形、平移(作图)、已知图形的平移，求点的坐标 【分析】（1）根据题意，将的坐标的横坐标减1，纵坐标加3，即可求解； （2）根据（1）的坐标，画出平移后的； （3）根据长方形的面积减去三个三角形的面积即可求解． 【详解】（1）解：三个顶点的坐标分别为，，．若把向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到， ∴ （2）解：如图所示    （3） 【点睛】本题考查了平移作图，坐标与图形，熟练掌握平移的性质是解题的关键． 8．（22-23七年级下·重庆九龙坡·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，．若向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度得到，且点，，的对应点分别是，，．    (1)画出，直接写出点的坐标：（ ， ），的坐标：（ ， ），的坐标：（ ， ）； (2)若线段上有一点经过上述平移后的对应点为，则点的坐标为（ ， ）． (3)求的面积． 【答案】(1)，1；1，，，5 (2)， (3)10 【知识点】坐标与图形、由平移方式确定点的坐标 【分析】（1）根据坐标画出图形也可以利用平移的性质画出图形，进而根据平移规律写出坐标即可． （2）根据平移规律写出坐标即可． （3）利用分割法把三角形面积看成矩形面积减去周围三个三角形面积即可． 【详解】（1）解：如图所示： 点的坐标；点的坐标，点的坐标； 故答案为：，1；1，，，5；    （2）由平移规律可知，点的坐标为， 故答案为：，； （3）的面积． 【点睛】本题考查作图平移变换，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握平移变换的性质，属于中考常考题型． 9．（24-25七年级下·重庆潼南·期中）如图，在正方形网格中，每个小方格的边长为1个单位长度，三角形的顶点，的坐标分别为，． (1)请在图中建立平面直角坐标系，并写出点的坐标． (2)平移三角形，使点移动到点． ①画出平移后的三角形，其中点与点对应，点与点对应（不写画法）． ②求三角形的面积． 【答案】(1)坐标系见解析，点坐标为 (2)①见解析；② 【知识点】利用平移的性质求解、利用网格求三角形面积、坐标与图形综合 【分析】本题考查坐标与图形，图形的平移以及割补法求面积，正确找出平移后的对应点是解题关键． （1）根据点和点的坐标即可建立坐标系，根据点的位置即可写出坐标； （2）①先确定平移方式，再确定点和点的位置，顺次连接即可；②利用割补法求解即可． 【详解】（1）解：∵点，的坐标分别为，， ∴如图所示，建立平面直角坐标系， 由坐标系可知：点坐标为． （2）解：①如图，即为所求， ②． 10．（24-25七年级下·重庆·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，三角形三个顶点的坐标分别为，，，为坐标平面内另一点． (1)将三角形进行平移，使点，，的对应点分别为，，，画出平移后的三角形； (2)的坐标为________，的坐标为________； (3)顺次连接、、、四个点围成的四边形，则这个四边形的面积为________． 【答案】(1)见解析 (2)， (3) 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、平移(作图)、坐标与图形综合 【分析】（1）根据，可得平移方向为向右平移个单位，向上平移个单位，找到的对应点，顺次连接，即可求解； （2）根据坐标系写出点的坐标，即可求解； （3）根据长方形的面积减去3个三角形的面积即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，三角形即为所求 （2）解：的坐标为，的坐标为 故答案为：，． （3）解：四边形为 故答案为：． 11．（24-25七年级下·重庆·期中）平面直角坐标系中，三角形的顶点坐标分别是，，，． (1)三角形向右平移个单位长度得到三角形，请在图中画出平移后的三角形； (2)求三角形的面积； (3)点在轴的负半轴上，连接，交于点，是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)，理由见解析 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、平移(作图)、利用网格求三角形面积 【分析】本题主要考查平面直角坐标系中图形的变换，掌握坐标与图形，图形的平移，“割补法”求不规则图形的面积等知识是解题的关键． （1）根据图形平移的规律即可求解； （2）运用“割补法”求不规则图形的面积即可； （3）连接，设，分别求得，，进而根据图形可得，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，三角形即为所求， （2）解：三角形的面积为 （3）解：如图所示， 连接，设， ∴ ∵ ∵ ∴ 解得： ∴ 12．（24-25七年级下·北京·期中）如图，在平面直角坐标系中，三角形三个顶点的坐标分别为，，，若把三角形向上平移3个单位长度，再向左平移1个单位长度得到三角形，点的对应点分别为． (1)写出点的坐标为______； (2)在图中画出平移后的三角形； (3)三角形的面积为______； (4)已知点在轴上，以、、为顶点的三角形面积为3，直接写出点的坐标为______． 【答案】(1) (2)见解析 (3)7 (4)或 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、平移(作图)、由平移方式确定点的坐标、利用网格求三角形面积 【分析】本题考查了平移作图及坐标与图形、三角形面积，掌握平移作图是关键． （1）根据平移方式即可得到点的坐标； （2）同理找到，的坐标，再依次连接，画图即可； （3）利用割补法求解三角形的面积即可； （4）设，根据，即可解答． 【详解】（1）解：根据题意得，点的坐标为，即； （2）解：如图，三角形即为所求． （3）解：三角形的面积为； （4）解：设， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得：或， ∴点的坐标为或． 13．（24-25七年级下·河北张家口·期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，格点三角形（顶点是网格线的交点）的顶点B，C的坐标分别是，． (1)请在图中画出平面直角坐标系，并写出点A的坐标； (2)求三角形的面积； (3)在（1）中所画的平面点角坐标系中，若y轴上的点P满足三角形的面积是三角形的面积的2倍，求点P的坐标． 【答案】(1)图见解析， (2) (3)或 【知识点】坐标与图形综合 【分析】本题主要考查了坐标与图形，正确建立正确的坐标系是解题的关键． （1）根据点B和点C的坐标可确定原点和坐标轴的位置，据此建立坐标系并求出点A的坐标即可； （2）利用割补法求解即可； （3）根据（2）所求得到三角形的面积，再根据三角形面积计算公式求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：坐标系如下图所示，则点A的坐标为； （2）解：由题意得，； （3）解：∵y轴上的点P满足三角形的面积是三角形的面积的2倍， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴点P的坐标为或． 14．（24-25七年级下·湖北孝感·期中）已知，其中． (1)求点C的坐标； (2)在x轴正半轴上找一点D，使以A，B，D三点为顶点的三角形的面积为10； (3)在（2）的条件下，连接． ①将线段沿直线平移，使点C平移到点D处，点D平移到点E处，求三角形的面积； ②在直线上，是否存在点F，使得三角形的面积是三角形面积的2倍？若存在，直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)①；②存在，或 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、利用平移的性质求解、利用网格求三角形面积、坐标系中的平移 【分析】题目主要考查绝对值及算术平方根的非负性、坐标与图形，三角形中线的性质，平移的性质，根据题意，作出相应图形，进行求解即可． （1）根据绝对值及算术平方根的非负性即可求解确定点的坐标； （2）设点D的坐标为，根据题意得出，结合图形利用面积得出方程求解即可； （3）①根据题意画图，然后利用三角形中线的性质即可得出面积；②连接，得出，根据①中方法，利用平移的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴； （2）设点D的坐标为， ∵， ∴， ∴， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴； （3）①如图所示： 由平移得：， ∴； ②连接如图所示， ∴， 由①中平移得：将线段CD向上平移，使得点C与点D重合， ∴点， 同理向下平移得点， ∴综上可得：点F的坐标为或． 15．（24-25七年级下·河南商丘·期中）如图1，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标为，将线段向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度得到对应线段，连接，，． (1)点的坐标为_____，点的坐标为_____； (2)在轴上是否存在一点，使得三角形的面积等于三角形面积的一半？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，若是射线上的一个动点，连接，，当点运动时，请求出之间的数量关系． 【答案】(1) (2)存在，点的坐标为或 (3)当点在线段上时，；当点在的延长线上时， 【知识点】根据平行线判定与性质证明、由平移方式确定点的坐标、坐标与图形综合 【分析】本题主要考查了平移变换，坐标与图形，平行线的性质等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键． （1）直接根据平移规律即可解答； （2）先求出，再根据三角形的面积等于三角形面积的一半列方程求得，然后再根据点的坐标确定点的坐标即可； （3）点在线段上，的延长线上两种情况，分别做辅助线，构造平行线并运用平行线的性质即可解答． 【详解】（1）解：根据题意可得，点的横坐标为，纵坐标为，即点的坐标为；点的横坐标为，纵坐标为，即点的坐标为． 故答案为：． （2）解：存在． 由（1）可知，点到轴的距离为3，． ． 点到轴的距离为3， ． ． 点的坐标为， 点的横坐标为或． 点的坐标为或． （3）解：如图1，当点在线段上时，过点作轴，则． ． 又， ． 如图2，当点在的延长线上时，过点作轴，则，连接． ． 又， ． 综上，当点在线段上时，；当点在的延长线上时，． 16．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，已知在平面直角坐标系中，，，三角形的面积是6；    (1)求三角形ABC三个顶点A、B、C三点的坐标； (2)点的坐标是，连接、，并用含字母的式子表示的面积； (3)在（2）问的条件下，是否存在点，使的面积等于的面积的，如果存在，请求出的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为， (2) (3)或 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、写出直角坐标系中点的坐标、函数解析式 【分析】此题考查了求函数解析式、坐标与图形、一元一次方程的应用等知识，分类讨论是解题的关键． （1）根据三角形的面积得到，解得，即可求出答案； （2）作于点，分三种情况画出图形分别进行解答即可； （3）根据（2）列方程解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵三角形的面积是6 ∴ 解得 ∴， ∴点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为， （2）作于点， 如图，当时， 如图，当时， 如图，当时， 综上可知， （3）当时， 或， 解得或， ∴点P的坐标为或 17．（24-25七年级下·广东阳江·期中）如图1，在平面直角坐标系中，点，点，且满足，过点A作轴于点B． (1)______，_______，______． (2)如图2，过点B作交y轴于点D，且分别平分，，，求的度数． (3)在y轴上是否存在点P，使得?若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；；20 (2) (3)点的坐标为或． 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、角平分线的有关计算、根据平行线判定与性质求角度、坐标与图形综合 【分析】本题主要考查的是三角形的综合应用，涉及到坐标与图形性质，平行线的性质，非负数的性质：偶次方与算术平方根，角平分线的定义，直角坐标系中求三角形的面积等知识，解题的关键是正确的作出辅助线，掌握割补法求面积． （1）先依据非负数的性质可求得、的值，从而可得到点和点的坐标，接下来，再求得点的坐标，最后，依据三角形的面积公式求解即可； （2）过作，首先依据平行线的性质可知，，接下来，依据平行公理的推理可得到，然后，依据平行线的性质可得到，，然后，依据角平分线的性质可得到，，最后，依据求解即可； （3）分两种情况，当点在轴正半轴时和点在轴负半轴时，根据三角形面积公式进行计算即可． 【详解】（1）解：， ，， ，， ， ，，， 的面积为； 故答案为：；；20； （2）解：∵轴，， ，，， 过作交轴于点，如图所示： ， ， 、分别平分、， ，， ； （3）解：存在．理由如下： 当在轴正半轴上时，如图． 设点，分别过点作轴，轴，轴，交于点，则，，． ， ， ． 解得，即点的坐标为； 当在轴负半轴上时，如图作辅助线， 设点，则，，． ， 同理，． 解得，即点的坐标为． 综上所述，点的坐标为或． 18．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）在平面直角坐标系中，． (1)求点，点坐标； (2)如图1，将线段平移，使点平移到，点平移到在线段上， 过作轴于点，延长至使，若三角形的面积等于10，求点坐标； (3)如图2，将线段平移使点平移到，点平移到，点在直线上，且，直接写出点坐标． 【答案】(1)， (2) (3)或 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、写出直角坐标系中点的坐标、利用平移的性质求解 【分析】本题考查了算术平方根的非负性，坐标与图形，平移的性质，数形结合是解题的关键； （1）根据算术平方根的非负性得出，进而得出，即可求解； （2）根据平移可得，设，根据得出，过点，分别作的平行线，交于点，则，连接，根据得出，即可求解； （3）设，当在轴的右侧时，过点分别作轴的垂线，根据，得出，根据得出，进而求得,当在轴的左侧时，同理可得的坐标． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∴ ∴， （2）∵使点平移到，平移到，， ∴平移方式为向右平移5个单位，向下平移5个单位， ∴， 设， ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 解得： 如图所示，过点，分别作的平行线，交于点，则，连接 ∵ ∴ 解得： ∴ （3）将线段平移使点平移到，点平移到， 设 当在轴的右侧时，过点分别作轴的垂线， ∴ ∵， ∴即 如图， 过点分别作的垂线交于点，连接， ∵ ∴， ∴ 即 将代入得 解得： ∴ ∴ 当在轴的左侧时，如图 ∵ ∴， ∴ 即， 如图，过点分别作的垂线与过点平行于的直线交于点，则 ∴ ∵， ∴即 代入，得 解得： ∴ ∴ 综上所述，或． 19．（24-25七年级下·广东江门·期中）在平面直角坐标系中，O为原点，点．将点B向右平移7个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到对应点D． (1)的面积为_______． (2)若线段的长为5，求点D到直线的距离； (3)点x轴上是否存在一点P，使的面积等于的面积的，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)9 (2) (3)或 【知识点】由平移方式确定点的坐标、坐标与图形综合 【分析】本题考查坐标与图形变化－平移，三角形的面积等知识． （1）判断出的长，利用三角形面积公式求解． （2）根据题意得，过点作轴于点轴于点，利用分割法把三角形面积看成矩形面积减去周围三个三角形面积即可． （3）设，利用三角形面积公式，构建方程求解即可． 【详解】（1）解：∵， ， ， ； （2）解：根据题意得， 过点作轴于点轴于点，如图， ， ， ， ， 设的边上的高为，则有：， ， ， 解得，， 即点到直线的距离为； （3）解：设点，根据题意得，， 解得，， ∴点的坐标为或． 20．（24-25七年级下·天津西青·期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别是，现同时将点向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度，得到的对应点．连接． (1)点的坐标为_______，点的坐标为_______，四边形的面积为_______； (2)在轴上是否存在一点，使得三角形的面积是三角形面积的倍？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)在轴上存在一点或，使得三角形的面积是三角形面积的倍， 【知识点】由平移方式确定点的坐标、坐标与图形综合 【分析】（）根据平移的性质解答即可求解； （）设点的坐标为，则，可得，解方程求出即可求解； 本题考查了点平移，坐标与图形，掌握平移的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：由平移得，点的坐标为，点的坐标为， ∵， ∴四边形的面积， 故答案为：，，； （2）解：在轴上存在一点或，使得三角形的面积是三角形面积的倍，理由如下： 设点的坐标为，则， ∵， ∴， ∵三角形的面积是三角形面积的倍， ∴， ∴， 解得或， ∴点的坐标为或． 21．（24-25七年级下·广东东莞·期中）如图，平面直角坐标系中，长方形的顶点A、C坐标分别为、，且轴，交y轴于M点，交x轴于N，一动点P从A出发，以个单位/秒的速度沿折线向终点D运动． (1)B点坐标为_________，D点坐标为_________，长方形的面积为_________； (2)如图1，当点P在线段上时，连接，试探究之间的数量关系，并说明理由； (3)是否存在某一时刻t，使三角形的面积等于长方形面积的？若存在，求t的值；若不存在说明理由． 【答案】(1)，；30； (2)，理由见解析 (3)存在，或24 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、写出直角坐标系中点的坐标、根据平行线的性质探究角的关系 【分析】本题考查坐标与图形，平行线的性质，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键： （1）根据长方形的性质，结合点的坐标，求出的坐标，进而求出的长，利用面积公式求出长方形的面积即可； （2）作，根据平行线的性质，进行求解即可； （3）分P在线段上，P在线段上，P在线段上，三种情况进行求解即可． 【详解】（1）解：∵长方形， ∴，，， ∵轴， ∴轴，轴， ∵点A、C坐标分别为、， ∴，， ∴， ∴长方形的面积为； （2），理由如下： 作， ， ， ， ， 即； （3）存在． ①当P在线段段时， 由题意，得：， ， 三角形的面积等于长方形面积的， ； ②当P在线段段时，三角形的面积不变，不等于长方形面积的，不合题意，舍去 ③当P在线段段时， ， ， 三角形的面积等于长方形面积的， ， 解得； 或24． 22．（24-25七年级下·吉林·期中）如图①，长方形的顶点为平面直角坐标系的原点，，点是边的中点，连接． (1)点的坐标为 ； (2)求三角形的面积； (3)如图②，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿着的路线运动到点停止，设点的运动时间为，连接，当为何值时，三角形的面积是三角形面积的一半？ 并直接写出此时点的坐标． 【答案】(1) (2)12 (3)或 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、坐标与图形综合 【分析】此题考查动点问题，解题关键是将速度乘时间表示动点运动的距离，然后根据数量关系列方程进行求解． （1）求出，，即可求解； （2）直接根据三角形的面积公式解答，即可求解； （3）先求出三角形的面积，然后分三种情况讨论：当点P在边上时，当点P在边上时，当点P在边上时，即可求解． 【详解】（1）解：∵长方形的顶点为平面直角坐标系的原点，， ∴， ∵点是边的中点， ∴， ∴点的坐标为； 故答案为： （2）解：由（1）得：，， ∴三角形的面积为； （3）解：∵三角形的面积是三角形面积的一半， ∴三角形的面积为， 当点P在边上时，，此时， ∴三角形的面积为， ∴，解得：， 此时点P的坐标为； 当点P在边上时，此时， ∴， ∴， ∴三角形的面积为 ∴， 此时（不符合题意）； 当点P在边上时，此时， 此时， 三角形的面积为， ∴， 解得：， ∴， ∴， 此时点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或． 23．（24-25七年级下·天津·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，，且a，b满足，现同时将点A，B分别向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度，分别得到点A，B的对应点C，D，连接，． (1)请写出A，B，C，D四点坐标； (2)在y轴上是否存在点M，使三角形的面积与三角形的面积相等？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，试说明理由． (3)如图2，点是线段上的一个动点，点是线段的中点，连接，，当点在线段上移动时（不与重合），请直接写出，，的数量关系． 【答案】(1)，，，； (2)存在，点的坐标为或 (3) 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、根据平行线判定与性质证明、由平移方式确定点的坐标、坐标与图形综合 【分析】（）利用非负数的性质求出的值，得出点的坐标，再根据点的坐标的平移规律即可 （）先求出的面积为，设点的坐标为，则，再根据三角形的面积公式可得，解方程即可求解； （）如图，过作 ，可得，再根据平行线的性质即可得出结论； 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∵将点分别向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，分别得到点的对应点， ∴，； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵点在轴上，设点的坐标为，则， ∴， 当三角形的面积与三角形的面积相等时，， 解得或， ∴点的坐标为或； （3）解：，理由如下： 如图，过作 ， 由题意可知， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了图形与坐标，非负数的性质，点平移的规律，一元一次方程的几何应用，平行线的性质及平行公理的推论，掌握以上知识点是解题的关键． 24．（24-25七年级下·广东惠州·期中）如图1，在平面直角坐标系中，，且，过A，B两点分别作y轴，x轴的垂线交于C点． (1)请直接写出A，B，C三点的坐标． (2)P，Q为两动点，P，Q同时出发，其中点P从C点出发，在线段CB，上以3个单位长度每秒的速度沿着C→B→O运动，到达O点P停止运动；点Q从B点出发以1个单位长度每秒速度沿着线段向O点运动，到O点Q停止运动，设运动时间为t，当P在上时，t取何值时，P，Q，C三点构成的三角形面积为2？ (3)如图2，连接，点在线段上，且m，n满足，M到x轴的距离为1，点N在y轴负半轴上，连接交x轴于K点，记M，B，K三点构成的三角形面积为，记N，O，K三点构成的三角形面积分别记为，若，请直接写出N点的坐标． 【答案】(1)、， (2)当P在上时，取或或7时，，，三点构成的三角形面积为2； (3) 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、坐标系中的动点问题（不含函数） 【分析】此题是三角形综合题，主要考查了三角形的面积，坐标与图形的性质，也考查了同学们综合运用所学知识的能力，是一道综合性较好的题目． （1）先利用非负性求出，进而得出点，坐标，利用垂直确定出点坐标； （2）由题意可得点运动的时间，点运动的时间，当时，分时，时两种情况，用含的式子表示出，分别求解即可； （3）连接，过M点作轴，垂直于x轴，根据的面积得到，，结合，得到的面积为16，从而可计算出的长，即可得到点N的坐标． 【详解】（1）解：， ，， ，， 、， 、， 过，两点分别做轴，轴的垂线交于点， ； （2）解：由题意得：，， 点运动的时间，点运动的时间， 当当P在上时，即， 此时点运动的距离，即，此时点在线段上， ①时，此时点在线段上，未到达点， 点的横坐标为，点的横坐标为， ， ， ，解得：或； ②时，此时点已到达点， 点的横坐标为，点的横坐标为， ， ， ，解得：； 当P在上时，取或或7时，，，三点构成的三角形面积为2； （3）解：如图，连接，过M点作轴，垂直于x轴， = ∵M到x轴的距离为1，M在第二象限， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 25．（24-25七年级下·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，将线段向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到线段，连接． (1)直接写出点的坐标； (2)分别是线段上的动点，点从点出发向点运动，速度为每秒1个单位长度，点从点出发向点运动，速度为每秒0.5个单位长度，若两点同时出发，求几秒后轴； (3)若是轴上的一个动点，当三角形的面积是三角形面积的2倍时，求点的坐标． 【答案】(1) (2)秒 (3)点的坐标为或 【知识点】由平移方式确定点的坐标、坐标与图形综合 【分析】本题考查坐标与图形变化平移，解题的关键是掌握平移变换的性质，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． （1）利用平移变换的性质求解； （2）设运动时间为秒，由点与点的纵坐标相同，构建方程，求解即可； （3）设点的坐标为，由进行分类讨论并分别求解即可． 【详解】（1）解：由题意点的坐标分别为，将线段向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到线段， ，； （2）解：设运动时间为秒，当轴时，点与点的纵坐标相同， 即， 解得， 点同时出发，秒后轴； （3）解：设点的坐标为， ， 当在的左侧时， ， 解得， 此时； 当在到3之间时， ， 解得， 此时； 当在3的右侧时， ， 解得（舍）． 综上所述，点的坐标为或． 26．（24-25七年级下·重庆北碚·期中）如图，在平面直角坐标系中，点、且实数满足，过点作轴交轴于点．点从点出发，以每秒3个单位长度的速度向轴负方向运动．点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向轴正方向运动． (1)直接写出点的坐标______；点的坐标______； (2)动点、分别在射线、上运动，连接、，当时，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)或 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、几何问题(一元一次方程的应用)、写出直角坐标系中点的坐标 【分析】本题主要非负数的性质、坐标与图形、一元一次方程的应用等知识，解题的关键是： （1）根据算术平方根和偶次方的非负性求出的值，从而得到点的坐标； （2）表示出秒时点和点的坐标，用含的式子表示出和的面积，根据题意列出关于的方程，求出的值即可确定点的坐标． 【详解】（1）解：∵， 又∵，， ∴，， 解得，， ∴的坐标，的坐标． 故答案为：，； （2）解：∵轴交轴于点，， ∴，， 设运动时间为秒，则，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 解得或， ∴或， ∴或， ∴点的坐标为或． 27．（24-25七年级下·山东临沂·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为．将线段向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到线段，连接，． (1)填空：点C的坐标是 ，点D的坐标是 ； (2)，分别是线段，上的动点，点从点出发向点运动，速度为每秒1个单位长度，点从点出发向点运动，速度为每秒0.5个单位长度，若两点同时出发，点运动至点时，点即停止运动，点继续运动至点时点即停止，设运动时间为秒． ①当轴时，求点M，N的坐标； ②以点，，，为顶点围成的四边形面积等于四边形面积的时，求点M，N的坐标． 【答案】(1)， (2)①点M的坐标为，点N的坐标为；②点M的坐标为，点N的坐标为或点M的坐标为，点N的坐标为 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、由平移方式确定点的坐标、坐标与图形综合 【分析】本题考查坐标与图形变化-平移，一元一次方程的实际应用，解题的关键是掌握平移变换的性质，属于中考常考题型， （1）利用平移变换的性质求解； （2）①设秒后轴，根据轴时，点的纵坐标相等构建方程求解； ②算出，列方程求出，再求出坐标． 【详解】（1）解：点，的坐标分别为，，将线段向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度， ，； （2）解：①设秒后轴， ． 解得：， ． ∴点M的坐标为，点N的坐标为； ②， ， 第一种情况，点M未停止时， ， 解得：． ∴点M的坐标为，点N的坐标为． 第二种情况，点停止时，点还在运动． ， 解得：． ∴点M的坐标为，点N的坐标为． 28．（24-25八年级上·江西抚州·期中）如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点A、C分别在x轴、y轴上，轴，轴，点B的坐标为，且． (1)直接写出点A的坐标为______，点B的坐标为______． (2)若动点P从原点O出发，沿y轴以每秒1个长度单位的速度向上运动，在运动过程中形成的三角形的面积是长方形面积的的时，点P停止运动，求点P的运动时间； (3)在（2）的条件下，在x轴上是否存在一点Q，使三角形的面积与长方形的面积相等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)点P的运动时间为3秒 (3)存在，或 【知识点】绝对值非负性、几何问题(一元一次方程的应用)、写出直角坐标系中点的坐标、坐标与图形综合 【分析】本题考查了绝对值，平方的非负性，坐标与图形，一元一次方程的应用，解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． （1）由，可得，解得，则，； （2）设，则，由题意知，，则，解得，（秒）； （3）由（2）可知设，得，由列方程，求出n的值即可． 【详解】（1）解：， ，， 解得，， ，． 故答案为：；； （2）解：设，则， 由题意知，， ， 解得， （秒）， 点P的运动时间为3秒； （3）解：由（2）可知 设，则，， ， 解得或， 或 29．（24-25七年级下·广东广州·期中）已知，在平面直角坐标系中，轴于点，点满足．平移线段使点与原点重合，点的对应点为点． (1)直接写出点的坐标为______，点坐标为______，点坐标为______； (2)如图（），点是线段上的一个动点． ①连接，利用，，的面积关系，可以得到、满足一个固定的关系式，请求出这个关系式； ②过点作直线轴，在上取点，使得，若的面积为，请求出点的坐标． (3)如图（），以为边作，交线段于点，是线段上一动点，连接交于点，当点在线段上运动过程中，试说明的值是定值，并求出该定值． 【答案】(1)，， (2)①；② (3)的值是定值，定值为 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、利用平移的性质求解、坐标系中的平移、坐标与图形综合 【分析】（）利用非负数的性质可得，，进而可得点的坐标，再根据平移可求出点坐标； （）①如图（），过点分别作轴于点，轴于点，根据列出关系式即可；②分点在点的左侧和右侧两种情况，分别画出图形解答即可； （）过、分别作，，可得，再根据平行线的性质解答即可； 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∴， ∵轴于点， ∴， ∵平移线段使点与原点重合，点的对应点为点， ∴点坐标为，即， 故答案为：，，； （2）解：①如图（），过点分别作轴于点，轴于点， 连接，由题可知，， 轴于点，且点三点的坐标分别为，，， ，，，， ， 又， ， ， 、满足的关系式为； ②当点在点的左侧时，如图，设直线交轴于，连接，，设， ， ， ， ， 解得，     ； 当点在点的右侧时，如图，，连接、， ∵， 此时不存在符合题意的点； 综上所述，满足条件的点的坐标为； （3）解：∵线段是由线段平移得到， 过、分别作，， 则， 设，则， ， ， 同理可证，， ，， ， ∴的值是定值，定值为． 【点睛】本题考查了非负数的性质，坐标与图形，图形的平移，平行线的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． 30．（23-24七年级下·湖北恩施·期中）如图，在平面直角坐标系中，三角形的三个顶点为，，，且满足，线段交y轴于点D．点E为y轴上一动点（点E不与点O重合）． (1)求点A，B，C的坐标； (2)若点E在y轴负半轴上，过点E作，分别作，的平分线交于点G．试问在点E的运动过程中，的度数是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出的度数； (3)在y轴上是否存在这样的点E，使三角形的面积等于三角形面积的？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)的度数不变化， (3)存在，点的坐标为：或 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、坐标与图形、角平分线的有关计算、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查的是平行线的性质、三角形的面积计算、非负数的性质，角平分线的定义，掌握平行线的性质定理、三角形的面积公式是解题的关键 （1）根据非负数的性质分别求出a、b、c，得到点A、B、C的坐标； （2）过点G作，根据平行线的性质得到，，根据直角三角形的性质，结合角平分线的定义计算，得到答案； （3）分两种情况①当点E在x轴下方时；②当点E在线段OP上时，分别设出点E的坐标，表示出的面积和的面积，根据题意列出方程，解方程即可 【详解】（1）解：由题意可知：，，， ∴，，， 解得：，，． ∴，，； （2）的度数不变化，理由如下： 如图：过点G作， ∴， 又∵， ∴． ∴， ∴， 同理， 又∵分别是，的平分线， ∴， 的度数不变化，； （3）存在． ①当点E在x轴下方时：如图，过点E作轴，过点P作轴，过点A作轴， 设点，因为，，， 所以，． ， ∴，即，得：，则． 因为点E在x轴下方， ∴． ②当点E在线段OP上时：如图，过点P经过C，作轴，过点A作轴， 设点， ， ， ∴，即，得：，则． ∴． 若点E在点P上方的y轴上时，不存在这样的点． 综上所述，点E的坐标为：或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【同步高分必练】专题05 平面直角坐标系中面积求法（原卷版） （3大类型精选30题） 类型一：直接割补求面积 类型二：方程思想求面积 类型三：动点与面积问题 类型一：直接割补求面积 1．（24-25七年级下·重庆长寿·阶段练习）三角形与三角形在平面直角坐标系中的位置如图所示． (1)分别写出下列各点的坐标： ______，______，______； (2)三角形是由三角形经过怎样的平移得到的？ (3)若点是三角形内部一点，求三角形内部的对应点的坐标； (4)求三角形的面积． 2．（24-25七年级下·广东广州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，,，若把向上平移3个单位长度，再向左平移1个单位长度得到，点A，B，C的对应点分别为． (1)在图中画出平移后的，并写出点的坐标； (2)求的面积． 3．（24-25七年级下·重庆·阶段练习）在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，三角形的三个顶点的位置如图所示．现将三角形平移，向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度，点A、B、C平移后的对应顶点分别是D、E、F． (1)画出平移后的三角形，并写出平移后、、的坐标； (2)求出三角形的面积． 4．（24-25七年级下·重庆南川·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，位置如图所示． (1)画出向上平移个单位，再向左平移个单位后得到的（标出对应字母）； (2)写出三个顶点的坐标； (3)求的面积． 5．（19-20七年级下·河南濮阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知是三角形的边上的一点，把三角形平移后得到三角形，点P的对应点为． (1)写出D，E，F三点的坐标； (2)画出三角形； (3)求三角形的面积． 6．（22-23七年级下·重庆江津·期中）已知，在平面直角坐标系中的位置如图所示 (1)写出A、B、C三点的坐标； (2)求的面积； (3)中任意一点经平移后对应点为，将作同样的平移得到，画出． 7．（18-19七年级下·广东汕头·期末）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，．若把向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到，点，，的对应点分别为，，．    (1)直接写出点，，的坐标； (2)在图中中出平移后的； (3)求的面积． 8．（22-23七年级下·重庆九龙坡·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，．若向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度得到，且点，，的对应点分别是，，．    (1)画出，直接写出点的坐标：（ ， ），的坐标：（ ， ），的坐标：（ ， ）； (2)若线段上有一点经过上述平移后的对应点为，则点的坐标为（ ， ）． (3)求的面积． 9．（24-25七年级下·重庆潼南·期中）如图，在正方形网格中，每个小方格的边长为1个单位长度，三角形的顶点，的坐标分别为，． (1)请在图中建立平面直角坐标系，并写出点的坐标． (2)平移三角形，使点移动到点． ①画出平移后的三角形，其中点与点对应，点与点对应（不写画法）． ②求三角形的面积． 10．（24-25七年级下·重庆·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，三角形三个顶点的坐标分别为，，，为坐标平面内另一点． (1)将三角形进行平移，使点，，的对应点分别为，，，画出平移后的三角形； (2)的坐标为________，的坐标为________； (3)顺次连接、、、四个点围成的四边形，则这个四边形的面积为________． 类型二：方程思想求面积 11．（24-25七年级下·重庆·期中）平面直角坐标系中，三角形的顶点坐标分别是，，，． (1)三角形向右平移个单位长度得到三角形，请在图中画出平移后的三角形； (2)求三角形的面积； (3)点在轴的负半轴上，连接，交于点，是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 12．（24-25七年级下·北京·期中）如图，在平面直角坐标系中，三角形三个顶点的坐标分别为，，，若把三角形向上平移3个单位长度，再向左平移1个单位长度得到三角形，点的对应点分别为． (1)写出点的坐标为______； (2)在图中画出平移后的三角形； (3)三角形的面积为______； (4)已知点在轴上，以、、为顶点的三角形面积为3，直接写出点的坐标为______． 13．（24-25七年级下·河北张家口·期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，格点三角形（顶点是网格线的交点）的顶点B，C的坐标分别是，． (1)请在图中画出平面直角坐标系，并写出点A的坐标； (2)求三角形的面积； (3)在（1）中所画的平面点角坐标系中，若y轴上的点P满足三角形的面积是三角形的面积的2倍，求点P的坐标． 14．（24-25七年级下·湖北孝感·期中）已知，其中． (1)求点C的坐标； (2)在x轴正半轴上找一点D，使以A，B，D三点为顶点的三角形的面积为10； (3)在（2）的条件下，连接． ①将线段沿直线平移，使点C平移到点D处，点D平移到点E处，求三角形的面积； ②在直线上，是否存在点F，使得三角形的面积是三角形面积的2倍？若存在，直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 15．（24-25七年级下·河南商丘·期中）如图1，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标为，将线段向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度得到对应线段，连接，，． (1)点的坐标为_____，点的坐标为_____； (2)在轴上是否存在一点，使得三角形的面积等于三角形面积的一半？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，若是射线上的一个动点，连接，，当点运动时，请求出之间的数量关系． 16．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，已知在平面直角坐标系中，，，三角形的面积是6；    (1)求三角形ABC三个顶点A、B、C三点的坐标； (2)点的坐标是，连接、，并用含字母的式子表示的面积； (3)在（2）问的条件下，是否存在点，使的面积等于的面积的，如果存在，请求出的坐标，若不存在，请说明理由． 17．（24-25七年级下·广东阳江·期中）如图1，在平面直角坐标系中，点，点，且满足，过点A作轴于点B． (1)______，_______，______． (2)如图2，过点B作交y轴于点D，且分别平分，，，求的度数． (3)在y轴上是否存在点P，使得?若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 18．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）在平面直角坐标系中，． (1)求点，点坐标； (2)如图1，将线段平移，使点平移到，点平移到在线段上， 过作轴于点，延长至使，若三角形的面积等于10，求点坐标； (3)如图2，将线段平移使点平移到，点平移到，点在直线上，且，直接写出点坐标． 19．（24-25七年级下·广东江门·期中）在平面直角坐标系中，O为原点，点．将点B向右平移7个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到对应点D． (1)的面积为_______． (2)若线段的长为5，求点D到直线的距离； (3)点x轴上是否存在一点P，使的面积等于的面积的，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 20．（24-25七年级下·天津西青·期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别是，现同时将点向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度，得到的对应点．连接． (1)点的坐标为_______，点的坐标为_______，四边形的面积为_______； (2)在轴上是否存在一点，使得三角形的面积是三角形面积的倍？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 类型三：动点与面积问题 21．（24-25七年级下·广东东莞·期中）如图，平面直角坐标系中，长方形的顶点A、C坐标分别为、，且轴，交y轴于M点，交x轴于N，一动点P从A出发，以个单位/秒的速度沿折线向终点D运动． (1)B点坐标为_________，D点坐标为_________，长方形的面积为_________； (2)如图1，当点P在线段上时，连接，试探究之间的数量关系，并说明理由； (3)是否存在某一时刻t，使三角形的面积等于长方形面积的？若存在，求t的值；若不存在说明理由． 22．（24-25七年级下·吉林·期中）如图①，长方形的顶点为平面直角坐标系的原点，，点是边的中点，连接． (1)点的坐标为 ； (2)求三角形的面积； (3)如图②，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿着的路线运动到点停止，设点的运动时间为，连接，当为何值时，三角形的面积是三角形面积的一半？ 并直接写出此时点的坐标． 23．（24-25七年级下·天津·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，，且a，b满足，现同时将点A，B分别向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度，分别得到点A，B的对应点C，D，连接，． (1)请写出A，B，C，D四点坐标； (2)在y轴上是否存在点M，使三角形的面积与三角形的面积相等？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，试说明理由． (3)如图2，点是线段上的一个动点，点是线段的中点，连接，，当点在线段上移动时（不与重合），请直接写出，，的数量关系． 24．（24-25七年级下·广东惠州·期中）如图1，在平面直角坐标系中，，且，过A，B两点分别作y轴，x轴的垂线交于C点． (1)请直接写出A，B，C三点的坐标． (2)P，Q为两动点，P，Q同时出发，其中点P从C点出发，在线段CB，上以3个单位长度每秒的速度沿着C→B→O运动，到达O点P停止运动；点Q从B点出发以1个单位长度每秒速度沿着线段向O点运动，到O点Q停止运动，设运动时间为t，当P在上时，t取何值时，P，Q，C三点构成的三角形面积为2？ (3)如图2，连接，点在线段上，且m，n满足，M到x轴的距离为1，点N在y轴负半轴上，连接交x轴于K点，记M，B，K三点构成的三角形面积为，记N，O，K三点构成的三角形面积分别记为，若，请直接写出N点的坐标． 25．（24-25七年级下·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，将线段向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到线段，连接． (1)直接写出点的坐标； (2)分别是线段上的动点，点从点出发向点运动，速度为每秒1个单位长度，点从点出发向点运动，速度为每秒0.5个单位长度，若两点同时出发，求几秒后轴； (3)若是轴上的一个动点，当三角形的面积是三角形面积的2倍时，求点的坐标． 26．（24-25七年级下·重庆北碚·期中）如图，在平面直角坐标系中，点、且实数满足，过点作轴交轴于点．点从点出发，以每秒3个单位长度的速度向轴负方向运动．点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向轴正方向运动． (1)直接写出点的坐标______；点的坐标______； (2)动点、分别在射线、上运动，连接、，当时，求点的坐标． 27．（24-25七年级下·山东临沂·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为．将线段向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到线段，连接，． (1)填空：点C的坐标是 ，点D的坐标是 ； (2)，分别是线段，上的动点，点从点出发向点运动，速度为每秒1个单位长度，点从点出发向点运动，速度为每秒0.5个单位长度，若两点同时出发，点运动至点时，点即停止运动，点继续运动至点时点即停止，设运动时间为秒． ①当轴时，求点M，N的坐标； ②以点，，，为顶点围成的四边形面积等于四边形面积的时，求点M，N的坐标． 28．（24-25八年级上·江西抚州·期中）如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点A、C分别在x轴、y轴上，轴，轴，点B的坐标为，且． (1)直接写出点A的坐标为______，点B的坐标为______． (2)若动点P从原点O出发，沿y轴以每秒1个长度单位的速度向上运动，在运动过程中形成的三角形的面积是长方形面积的的时，点P停止运动，求点P的运动时间； (3)在（2）的条件下，在x轴上是否存在一点Q，使三角形的面积与长方形的面积相等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 29．（24-25七年级下·广东广州·期中）已知，在平面直角坐标系中，轴于点，点满足．平移线段使点与原点重合，点的对应点为点． (1)直接写出点的坐标为______，点坐标为______，点坐标为______； (2)如图（），点是线段上的一个动点． ①连接，利用，，的面积关系，可以得到、满足一个固定的关系式，请求出这个关系式； ②过点作直线轴，在上取点，使得，若的面积为，请求出点的坐标． (3)如图（），以为边作，交线段于点，是线段上一动点，连接交于点，当点在线段上运动过程中，试说明的值是定值，并求出该定值． 30．（23-24七年级下·湖北恩施·期中）如图，在平面直角坐标系中，三角形的三个顶点为，，，且满足，线段交y轴于点D．点E为y轴上一动点（点E不与点O重合）． (1)求点A，B，C的坐标； (2)若点E在y轴负半轴上，过点E作，分别作，的平分线交于点G．试问在点E的运动过程中，的度数是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出的度数； (3)在y轴上是否存在这样的点E，使三角形的面积等于三角形面积的？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 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