专题04 实数估算与新定义三大类型专练-2024-2025学年人教版七年级数学下册【高分必刷】专练

同步高分必练专题04 实数估算与新定义专练（解析版） （3大类型精选30题） 1．（24-25七年级下·广西玉林·期中）阅读材料： 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗? 事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 又例如：因为，即，所以的整数部分为2，小数部分为． 请解答下列问题： (1)的整数部分是_____，小数部分是_____； (2)如果的小数部分为，的整数部分为，求的值； (3)已知，其中是整数，且，求的相反数． 【答案】(1)， (2)3 (3) 【知识点】无理数的大小估算、无理数整数部分的有关计算、二次根式的加减运算 【分析】本题考查了无理数的估算，正确掌握无理数的估算方法是解此题的关键． （1）估算出，即可得出答案； （2）估算出，，即可得出的值，代入进行计算即可； （3）估算出，得出，从而得出的值，计算即可得出答案． 【详解】（1）解：， ，即， 的整数部分是，小数部分是， 故答案为：4，； （2）解：， ，即， ， ， ，即， ， ； （3）解：， ，即， ． ，其中m是整数，且， ，， ， ∴的相反数为． 2．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）实数由整数部分和小数部分组成，若一个实数是一个开不尽方的正数的算术平方根，其整数部分和小数部分可根据算术平方根的相邻两个正整数来确定． 例如：因为，即，所以的整数部分为3，小数部分为． (1)的整数部分是______，小数部分是______； (2)若小数部分是p，小数部分是q，且，请求出满足条件的x的值． 【答案】(1)8， (2)或 【知识点】利用平方根解方程、无理数整数部分的有关计算 【分析】本题考查了无理数的估算，利用平方根解方程． （1）找出与被开方数相邻的两个完全平方数，从而估计实数的整数部分，再根据小数部分=实数-整数部分即可得解； （2）由得出，估算出得出，再代入得出，最后利用平方根解方程即可． 【详解】（1）解：，即， 的整数部分为8． ， ， 的小数部分为． 故答案为：8，； （2）由（1）知， 又∵， ， ， 的小数部分； ，即， ∵1的平方根是1和， 或， 故可得或． 3．（24-25七年级下·广东中山·期中）下面是小茗同学的学习笔记，请认真阅读，并完成相应的任务． 因为是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此，的小数部分我们不能全部写出来，就用来表示的小数部分．原因是的整数部分为1，将这个数减去其整数部分，差就是它的小数部分， 又如： ． ． 的整数部分为2，小数部分为． 任务： (1)根据小茗笔记内容可知，的整数部分是________，小数部分是_________； (2)已知：，其中x是整数，且，求的平方根． 【答案】(1)6， (2) 【知识点】求一个数的平方根、无理数的大小估算、无理数整数部分的有关计算 【分析】本题考查了估算无理数的大小． （1）先估算出的范围，即可得出答案； （2）先估算出的范围，求出x、y的值，再代入求解即可． 【详解】（1）解∶∵， ∴，即， ∴的整数部分是6， 小数部分是， 故答案为∶6，； （2）解：∵， ∴，即， ∴，即 ∵，其中x是整数，且， ∴，， ∴， ∴的平方根是． 4．（24-25七年级下·吉林·期中）【阅读材料】 是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是用来表示的小数部分． 解答下列问题， (1)的整数部分是____，小数部分是___； (2)如果的小数部分为，的整数部分为，求的值； (3)已知，其中是整数，且，直接写出的相反数． 【答案】(1)5； (2)2 (3) 【知识点】无理数整数部分的有关计算、实数的混合运算 【分析】本题考查了无理数的大小估算、实数的混合运算，熟练掌握无理数的大小估算是解题的关键． （1）根据无理数的估算可得，结合题意即可求解； （2）根据无理数的估算可得，，结合题意得到的值，即可求解； （3）根据无理数的估算可得，结合题意得到，，再计算的相反数，即可求解． 【详解】（1）解：， ， 的整数部分是5，小数部分是， 故答案为：5；． （2）解：， ， 的小数部分为， ， ， 的整数部分为， ． （3）解：， ， ， 的整数部分是12，小数部分是， 由题意得，，， ， 的相反数为． 5．（24-25八年级上·江苏南京·期中）阅读下面的文字，解答问题： 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？ 事实上，小明的表示方法是有道理，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：∵，即，∴的整数部分为，小数部分为． 请解答： (1)如果的小数部分为，的整数部分为，求的值； (2)已知：，其中x是整数，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】无理数的大小估算、无理数整数部分的有关计算 【分析】本题考查无理数的估算，结合已知条件估算无理数是解题的关键； （1）仿照材料求出，，再代入计算即可； （2）求出，，再代入计算即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ； ； 的值是； （2）解：， ， ， ，， ， 的值为． 6．（24-25七年级下·陕西延安·期中）大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，事实上，小明的表示方法是有道理的，因为，所以的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 请根据上述材料解答： (1)已知的立方根是2，b是的整数部分，求的平方根； (2)已知，其中x是整数，且，请你求出的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】无理数整数部分的有关计算、求一个数的平方根、求一个数的立方根、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查了立方根的定义、无理数的估算、平方根的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）先根据立方根的定义求出，估算出得出，求出的值，再根据平方根的定义求解即可； （2）先求出，再求出，代入所求式子即可得解． 【详解】（1）解：∵的立方根是2， ∴， 解得， ∵， ∴的整数部分是3， ∴， ∴， ∵4的平方根为， ∴的平方根为； （2）解：∵，其中x是整数，且，而， ∴， ∴， ∴， ∴，则的值为． 7．（24-25七年级下·山西朔州·期中）综合与探究 下面是小明同学学习了实数后的感悟，请认真阅读，并完成相应的任务： 7是有理数，当一个正方形的面积为7时，它的边长是，而是无理数．无理数是无限不循环小数，下面是小明确定的整数部分和小数部分的方法． 如：确定的小数部分，首先要明确7在完全平方数4和9之间，再求解． ∵，∴（依据）． ∴． ∴的整数部分是2，小数部分是． 任务一： （1）小明的感悟中，依据是：被开方数越大，其算术平方根__________； （2）已知的小数部分为a，的整数部分为b，求的值； （3）直接比较和的大小； 任务二： （4）设，a是整数，b满足，求的值． 【答案】（1）越大；（2）5；（3）；（4） 【知识点】无理数的大小估算、实数的混合运算 【分析】本题考查无理数整数部分及小数部分的计算： （1）根据算术平方根的性质求解即可； （2）仿照题干中的做法求出a和b的值，再代入求值； （3）仿照题干中的做法求出和的范围，即可求解； （4）求出的整数部分a和小数部分b，再代入求值． 【详解】解：（1）被开方数越大，其算术平方根越大， 故答案为：越大； （2）∵， ∴，即， ∴的整数部分为2， ∴的小数部分， ∵， ∴，即， ∴的整数部分， ∴； （3）∵， ∴，即， ∴，即， ∵， ∴，即， ∴； （4）∵， ∴，即， ∴，即， ∵，a是整数，b满足， ∴，， ∴ ． 8．（24-25七年级下·安徽淮南·阶段练习）实数由整数部分和小数部分组成，若一个实数是一个开不尽方的正数的算术平方根，其整数部分和小数部分可根据算术平方根的相邻的两个正整数确定． 例如：因为，即，所以的整数部分为3，小数部分为． (1)的整数部分是______； (2)若的小数部分是，的小数部分是，且，请求出满足条件的的值． 【答案】(1)8； (2)或． 【知识点】利用平方根解方程、无理数整数部分的有关计算 【分析】本题考查了无理数的估算，利用平方根解方程． （1）估算出即可得解； （2）估算出得出，估算出得出，再代入得出，最后利用平方根解方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴的整数部分是； （2）解：因为， 所以， 所以， 所以的小数部分． 因为， 所以的小数部分， 所以，即， 因为1的平方根是1和， 所以或， 故可得或． 9．（24-25七年级下·辽宁大连·期中）阅读下面的文字，解答问题： 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：，即，的整数部分为2，小数部分为．根据以上材料，请解答下列问题： (1)求整数部分和小数部分； (2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的算术平方根； (3)已知：，其中x是整数，且，求的相反数． 【答案】(1)的整数部分为3，小数部分为 (2)1 (3) 【知识点】求一个数的算术平方根、无理数的大小估算、无理数整数部分的有关计算 【分析】本题考查了无理数的整数部分和小数部分的表示方法，首先估算这个无理数的大小，即它处在哪个连续的整数范围内，那么它的整数部分就是比它小的那个整数，小数部分就是用它减去它的整数部分． （1）根据材料提示，即，由此即可求解； （2）根据材料提示可得，，代入计算即可求解； （3）根据材料提示可得，由此可得的值，代入计算即可求解． 【详解】（1）解：∵，即， ∴的整数部分为3，小数部分为； （2）解：∵，即， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴其算术平方根为1； （3）解：∵的整数部分为， ∴， ∵是整数，，且， ∴， ∴， ∴的相反数为． 10．（24-25七年级下·广东广州·期中）阅读材料：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，用减去其整数部分，差就是小数部分．根据以上材料，解答下列问题： (1)如果，其中是整数，且，那么_____，______； (2)已知，，且为的整数部分，为的小数部分，比较与的大小． 【答案】(1)3， (2)，理由见解析 【知识点】无理数的大小估算、无理数整数部分的有关计算 【分析】本题主要考查的是无理数的估算，熟知估算无理数大小要用逼近法是解题的关键． （1）根据无理数的估算方法即可得到答案； （2）根据无理数的估算方法求出，计算即可． 【详解】（1）解：， ， ，是整数，且， ，， 故答案为：3，； （2）解：， ， 为的整数部分，为的小数部分， ，， ， ． 11．（24-25七年级下·安徽淮北·期中）对于任意实数，定义一种新运算：，等式右边是通常的加减运算，例如：． (1)的立方根为________； (2)若关于的不等式组解集中恰有3个整数解，求的取值范围． 【答案】(1)3； (2)． 【知识点】求一个数的立方根、新定义下的实数运算、由不等式组解集的情况求参数 【分析】本题主要考查了新定义，求一个数的立方根，解一元一次不等式组，正确理解新定义是解题的关键． （1）根据新定义计算出，再根据立方根的定义可得答案； （2）根据新定义可得，解不等式组得到，再由不等式组恰有3个整数解得到，解不等式组即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴的立方根为； （2）解：∵， ∴根据题中的新定义化简得：， 解得：， ∵不等式组的解集中恰有个整数解， ∴不等式组的整数解为， ∴， 解得： 12．（24-25七年级下·福建福州·期中）【阅读理解】公元前5世纪，毕达哥拉斯学派中的一名成员希伯索斯发现了无理数，导致了第一次数学危机． 定义：可以表示为两个互质整数的商的形式的数称为有理数，整数可以看做分母为1的有理数；反之为无理数．如不能表示为两个互质的整数的商，所以是无理数．可以这样证明： 设，与是互质的两个整数，且， 则，即 ① ． 因为是整数且不为0， 所以是不为0的偶数． 设（是整数，且），则． 所以 ② ． 所以也是偶数，与是互质的整数矛盾． 所以是无理数． 【解决问题】 (1)写出①，②表示的代数式，使证明过程完整； (2)证明：是无理数． 【答案】(1)①；② (2)见解析 【知识点】求一个数的立方根、无理数、实数的分类 【分析】本题主要考查了无理数的概念，解题的关键是根据所给事例模仿去做，做到举一反三． （1）根据等式性质得出结论即可； （2）类比是无理数的证明进行证明即可． 【详解】（1）解：设，a与b是互质的两个整数，且， 则 即． 因为b是整数且不为0， 所以a是不为0的偶数． 设（n是整数，且）， 则． 所以． 所以b也是偶数，与a，b是互质的整数矛盾． 所以是无理数． （2）设，a与b是互质的两个整数，且，则， 所以， ∵a，b是整数且不为0， ∴a为6的倍数． 设（n是整数）， ∴， ∴， ∴b也是6的倍数，与a与b是互质的整数矛盾， ∴是无理数． 13．（24-25七年级下·山东临沂·阶段练习）定义：若正整数和满足，则称的“共同体区间”为，例如：因为，所以的“共同体区间”为．请回答下列问题： (1)的“共同体区间”为_____； (2)若的“共同体区间”为，求的“共同体区间”． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】有理数的乘方运算、估计算术平方根的取值范围、新定义下的实数运算 【分析】本题考查了算术平方根、无理数的大小估算、新定义下的实数运算等知识点，掌握相关知识是解题的关键． （1）仿照题干中的方法，根据“共同体区间”的定义求解； （2）先根据无理数的“共同体区间”求出a的取值范围，再求出的取值范围，再根据“共同体区间”的定义求解． 【详解】（1）解：， 的“共同体区间”是， 故答案为：； （2）解：∵无理数的“共同体区间”为， ， 即， ∴， 的“共同体区间”为． 14．（24-25七年级下·北京·期中）【定义】用表示一个数对，其中为任意数，．记，，将数对和称为数对的一对“开方对称数对”．例如：数对的开方对称数对为和． 【知识运用】 (1)直接写出数对的开方对称数对_______； (2)若数对的一个开方对称数对是，求，的值； (3)若数对的一个开方对称数对是，求的值． 【答案】(1)， (2) (3)或 【知识点】求一个数的算术平方根、利用算术平方根的非负性解题、已知一个数的立方根，求这个数、新定义下的实数运算 【分析】本题考查了新定义运算，涉及立方根和算术平方根的概念理解，理解新定义是解题的关键． （）根据新定义运算解答即可求解； （）先得到，，再根据新定义即可求解； （）根据新定义，分两种情况解答即可求解； 【详解】（1）解：，， ∴数对的开方对称数对，； （2）解：∵，，将数对和称为数对的一对“开方对称数对”， ∴， ∵数对的一个开方对称数对是， ∴，； （3）解：若，， 则，， ∴； 若，， 则，， ∴； 的值为或． 15．（24-25七年级下·福建福州·期中）【生活发现】 （1）如图1，把两个面积为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就得到了一个面积为2的大正方形，则大正方形边长为______． 根据有理数的定义：可以表示为两个互质整数的商的形式的数称为有理数，整数可以看作分母为1的有理数；反之为无理数． 【提出猜想】 通过不断估算，发现不能表示为两个互质（没有相同的因数）的整数的商．因此，提出猜想：不是有理数． 【数学证明】 假设：为有理数，那么存在（与是互质的两个整数，且）， 则，即． 是整数且不为0， 是2的倍数． 设（是整数，且）， 则． ． 也是2的倍数，与，是互质的整数矛盾． 不是有理数． 【类比迁移】 （2）如图2，是一个顶点与原点重合的正方形，且该正方形面积为5，请你利用尺规，在数轴上标出表示的点； （3）请你模仿上述过程，证明：不是有理数． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析 【知识点】算术平方根的实际应用、实数与数轴 【分析】本题主要考查算术平方根的应用，熟练掌握算术平方根是解题的关键． （1）根据大正方形的面积等于两个小面积之和，进而问题可求解； （2）该正方形面积为5，则边长为，对角线长为； （3）依照例题求解即可． 【详解】解：（1）由题意可知：两个小正方形的面积分别为1， ∴大正方形的面积之和为：2， ∴大正方形的边长为； 故答案为：； （2）如图，点即为所作； ； （3）假设：为有理数，那么存在（与是互质的两个整数，且）， 则，即． 是整数且不为0， 是10的倍数． 设（是整数，且）， 则． ． 也是2的倍数，与，是互质的整数矛盾． 不是有理数． 16．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）定义：若无理数的被开方数（为正整数）满足（其中为正整数），则称无理数的“共同体区间”为．例如：因为，所以的“共同体区间”为．请回答下列问题： (1)的“共同体区间”为________； (2)若无理数的“共同体区间”为，求的“共同体区间”； (3)若整数，满足关系式：，求的“共同体区间”． 【答案】(1) (2) (3)或 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、无理数的大小估算、新定义下的实数运算 【分析】本题考查了算术平方根、无理数的大小估算、新定义下的实数运算等知识点． （1）仿照题干中的方法，根据“共同体区间”的定义求解； （2）先根据无理数的“共同体区间”求出a的取值范围，再求出的取值范围，再根据“共同体区间”的定义求解； （3）先根据已知得，进而得出或或，分别代入求值，再根据“共同体区间”的定义即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴的“共同体区间”是， 故答案为：； （2）解：∵无理数的“共同体区间”为， ∴，即， ∴，即， ∴， ∴的“共同体区间”为； （3）解：∵整数，满足关系式：， ∴或， 解得或或， 分以下三种情况： 当，时，， ∵， ∴的“共同体区间”为； 当，时，， ∵， ∴的“共同体区间”为； 当，时，， ∵， ∴的“共同体区间”为； 综上，的“共同体区间”为或． 17．（24-25七年级下·广东阳江·期中）定义：若点满足，则称这个点为“理想点”．例如，，故点是“理想点”． (1)点，，中，不是“理想点”的是_____． (2)若点是“理想点”，求x的值． (3)是否存在点，使点M是“理想点”？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)和 (2)； (3)的值为0或． 【知识点】算术平方根的实际应用 【分析】本题主要考查了算术平方根应用，理解题意，掌握“理想点”的定义是解题的关键． （1）根据“理想点”的定义，计算即可判断； （2）根据“理想点”的定义，列出方程，解方程即可求解； （3）根据“理想点”的定义，求得的值，再代入计算即可求解． 【详解】（1）解：∵，， 又∵， ∴点是“理想点”； ∵，， 又∵， ∴点不是“理想点”； ∵，， 又∵， ∴点是“理想点”； 故答案为：和； （2）解：∵点是“理想点”， ∴， ∴， 解得； （3）解：∵点是“理想点”， ∴，整理可得， ∴或， 当时，， 当时，． 综上所述，的值为0或． 18．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）观察下列两个等式：，给出定义如下：我们称使成立的一对有理数为“共生有理数对”，记为，如数对都是“共生有理数对”． (1)判断数对是否为“共生有理数对”，并说明理由； (2)若是“共生有理数对”，且，求的值； (3)若是“共生有理数对”，且，求的值． 【答案】(1)不是，理由见详解 (2)64 (3)16 【知识点】有理数的乘方运算、新定义下的实数运算、已知式子的值，求代数式的值、幂的乘方运算 【分析】（1）根据题目中的定义，可以计算出数对是否为“共生有理数对”； （2）根据是“共生有理数对”，且，可以求得的值； （3）根据是“共生有理数对”，且，可以求得的值； 本题考查新定义，已知式子的值求代数式的值，幂的乘方，解答本题的关键是明确题意，利用新定义解答． 【详解】（1）解：不是“共生有理数对”， 理由：，， 不是“共生有理数对”； （2）是“共生有理数对”，且， ， 解得， ； （3）解：∵是“共生有理数对”，且， ∴， ∴， 则． 19．（24-25七年级下·广东佛山·阶段练习）定义，如．已知，已知（为常数） (1)若，求的值； (2)若的代数式中不含的一次项，当时，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】新定义下的实数运算、已知多项式乘积不含某项求字母的值、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题主要考查了新定义，完全平方公式，正确理解新定义是解题的关键． （1）根据新定义可得方程，解方程即可得到答案； （2）根据新定义计算出A的展开结果，再根据的代数式中不含的一次项求出n的值，再求出A、B的值即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得； （2）解：∵， ∴ ， ∵的代数式中不含的一次项， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵ ， ， ∴． 20．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）对数运算是数学中常用的一种重要手段，它的定义为，如果，那么数叫做以为底的对数，记作：，例如，则，其中的对数叫作常用对数，此时可记为，当，且时，． (1)解方程． (2)计算． 【答案】(1) (2) 【知识点】有理数乘方逆运算、求一个数的算术平方根 【分析】本题主要考查了有理数的乘方，及其乘方的逆用，求一个数的算术平方根，解答本题的关键是理解给出的对数的定义和运算法则． （1）根据对数运算法则即可求解． （2）根据对数运算法则即可求解． 【详解】（1）解：由得，， ， ． （2）解： ． 21．（24-25七年级下·四川南充·阶段练习）【问题情景】 数学活动课上，陈老师出示了一组题，阅读下列解题过程，探求规律： ；；；… 【实践探究】 (1)按照此规律，计算：__________． (2)计算：； 【迁移应用】 (3)若符合上述规律，请直接写出x的值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】求一个数的算术平方根、数字类规律探索 【分析】本题主要考查算术平方根的规律问题，熟练掌握算术平方根是解题的关键． （1）根据所给算式总结规律计算即可； （2）利用题中所给规律可进行求解； （3）由题中所给规律可进行求解． 【详解】（1）解：； ； ； …； ∴，的正整数， ∴． 故答案为：； （2）解： ； （3）解：∵符合， ∴， ∴， ∴． 22．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）先观察下列等式，再回答问题： ①；②；③ (1)请写出第④个等式：_________； (2)猜想第n个等式：________；（用含n的式子表示） (3)根据上述规律计算： 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】与实数运算相关的规律题、用代数式表示数、图形的规律 【分析】本题考查了数字的变化规律，掌握题干规律是解答本题的关键． （1）观察所给的几个等式直接写出第④个等式即可； （2）观察所给的几个等式的规律直接写出第n个等式即可； （3）根据（2）中规律化简即可． 【详解】（1）解：∵①；②；③ 根据以上规律可得第④个等式是：． （2）解：根据以上规律可得第n个等式是：． （3）解： ． 23．（2025七年级下·全国·专题练习）按要求填空： (1)填表并观察规律： a 4 400 (2)根据你发现的规律填空： 已知：，则______； 已知：，，则______； (3)从以上问题的解决过程中，你发现了什么规律，试简要说明． 【答案】(1)见解析 (2)，68 (3)求一个数的算术平方根时，当被开方数的小数点向左（或右）每移动2位，则它的算术平方根的小数点向左（或右）移动1位 【知识点】与算术平方根有关的规律探索题 【分析】本题考查了与算术平方根有关的规律问题，熟练掌握算术平方根的性质是解题关键． （1）先求出每个数的算术平方根，再填表即可； （2）根据（1）可得规律：求一个数的算术平方根时，当被开方数的小数点向左（或右）每移动2位，则它的算术平方根的小数点向左（或右）移动1位，由此即可得； （3）根据（1）解题过程找出规律即可． 【详解】（1）解：∵，，，， ∴，，，， 填表如下： 4 400 2 20 （2）解：由（1）可知，求一个数的算术平方根时，当被开方数的小数点向左（或右）每移动2位，则它的算术平方根的小数点向左（或右）移动1位， ∵， ∴被开方数的小数点向右移动2位得到580，则它的算术平方根的小数点向右移动1位，即； ∵，， ∴将被开方数的小数点向右移动4位即可得到， ∴； 故答案为：，68． （3）解：从以上问题的解决过程中，发现的规律：求一个数的算术平方根时，当被开方数的小数点向左（或右）每移动2位，则它的算术平方根的小数点向左（或右）移动1位． 24．（24-25七年级下·云南昭通·阶段练习）先观察下列等式，再回答问题： 第一个等式； 第二个等式； 第三个等式． (1)根据上述三个等式提供的信息，请你猜想第六个等式； (2)请按照上面各等式反映的规律，试写出第个等式（为正整数）； (3)对于任何实数，表示不超过的最大整数，如，，计算：的值． 【答案】(1) (2) (3)2025 【知识点】有理数加法运算律、与算术平方根有关的规律探索题、分式加减混合运算 【分析】本题考查了与算术平方根有关的规律探索，正确找到题中的规律是解题关键． （1）根据题中所给信息可判结果； （2）根据第一问的结果用字母代替数字即可； （3）根据规律将原式进行正确变形求解． 【详解】（1）解：∵第一个等式； 第二个等式； 第三个等式， ∴根据规律可猜测第六个等式为． （2）解：根据（1）总结规律可得：第个等式为． （3）解：根据规律可化简 ． 25．（24-25七年级下·广西南宁·期中）完善下面表格，发现平方根和立方根的规律，并运用规律解决问题． x … 64 6400 64000 … … 8 m … … n 40 … (1)表格中的______，______； (2)已知，估计和的值；(结果保留四位小数) (3)若，估计的值．（参考数据：)．（结果保留四位小数） 【答案】(1)80，4 (2)， (3) 【知识点】求一个数的算术平方根、与算术平方根有关的规律探索题、求一个数的立方根、与立方根有关的规律探索 【分析】本题考查了算术平方根，立方根的计算，及其规律的发现，熟练掌握计算方法和规律是解题的关键． （1）根据算术平方根的意义计算，根据立方根的规律求解． （2）根据表格得出算术平方根的规律，即可求解． （3）根据（2）中规律求出a，根据表格得出立方根的规律，然后求出b，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：80，4； （2）解：从表格数字中可以发现：开算术平方根时，被开方数的小数点每向左（或向右）移动两位，它的算术平方根的小数点随即向左（或向右）移动一位． ∵， ∴，； （3）解：根据平方根的变化规律得： ∵， ∴ 又， ∴， 从表格数字中可以发现：被开方数的小数点每向左（或向右）移动三位，它的立方根的小数点随即向左（或向右）移动一位． ∵ ∴， ∴． 26．（24-25七年级下·江苏南通·期中）观察下列式子：①；②；③；④． 根据上述等式反映的规律，回答如下问题： (1)根据上述等式的规律，写出一个类似的等式：__________； (2)由等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳出一个这样的结论：对于任意两个不相等的有理数a，b，若__________，则，反之也成立； (3)根据（2）中的结论，解答问题：若与的值互为相反数，求x的值； (4)若与的值互为相反数，且，求a的值． 【答案】(1)（答案不唯一）； (2)； (3)； (4)． 【知识点】利用平方根解方程、与实数运算相关的规律题 【分析】本题考探索数字规律及立方根的含义，利用平方根的含义解方程，解题的关键是观察阅读材料得到规律，掌握立方根的定义． （1）观察规律，写出一个类似的等式即可； （2）用含、的式子表达规律即可得答案； （3）根据相反数的定义列方程求出的值． （4）根据相反数的定义可得，结合，再进一步可得答案． 【详解】（1）解：（答案不唯一）； （2）解：当时，则，反之也成立； （3）解：∵与的值互为相反数， 则， 解得． （4）解：与的值互为相反数， ， ， ， ， ， ． 27．（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）综合与实践 【思考尝试】 先观察下列等式，再回答下列问题： ①； ②； ③． （1）请你根据上面三个等式提供的信息，猜想的结果，并验证； 【实践探究】 （2）请你按照上面各等式反映的规律，试写出用含n的式子表示的等式（n为正整数）； 【拓展延伸】 （3）根据上述规律，我们给出一些数，，，．请计算． 【答案】（1），验证见解析；（2）；（3） 【知识点】与实数运算相关的规律题、利用二次根式的性质化简 【分析】本题主要考查了二次根式的化简，数字的变化类规律型及有理数加减混合运算，根据题意，理解题目所给的规律，并应用规律进行计算是解决本题的关键． （1）根据题目所给的例题可知可化为，计算即可得出答案； （2）利用根据前面等式的规律求解； （3）先代入得，根据题意可化为，根据有理数加法计算即可得出答案． 【详解】（1）解：猜想：； 验证：， ∴猜想正确． （2）解：第n个式子为：； （3）解： ． 28．（23-24七年级下·湖北荆州·阶段练习）【问题情境】数学活动课上，陈老师出示了一组题，阅读下列解题过程，探求规律： ；；；… 【实践探究】 （1）按照此规律，计算：______； （2）计算：； 【迁移应用】 （3）若符合上述规律，请直接写出x的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【知识点】与算术平方根有关的规律探索题 【分析】本题主要考查算术平方根的规律问题，熟练掌握算术平方根是解题的关键． （1）根据所给算式总结规律计算即可； （2）利用题中所给规律可进行求解； （3）由题中所给规律可进行求解． 【详解】解：（1）； ； ； …； ∴， ∴． 故答案为：； （2） ； （3）∵符合， ∴， ∴， ∴． 29．（24-25八年级上·河南南阳·期末）观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律： 第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：； …… 规律发现： (1)根据上述规律，直接写出下列算式的值： ①______________________； ②_________________． (2)用含n（n为正整数）的代数式表示出第n个等式：__________． (3)根据上述规律计算：． 【答案】(1)①4；②100 (2) (3) 【知识点】求一个数的算术平方根、数字类规律探索 【分析】本题考查了算术平方根、数字类规律探索，正确得出规律是解此题的关键． （1）①根据已知算式得出规律，即可得出答案；②根据已知算式得出规律，即可得出答案； （2）根据已知算式得出规律，即可得出答案； （3）根据，计算即可得出答案． 【详解】（1）解：①由题意得：； ②； （2）解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：； …… 第个等式：； （3）解： ． 30．（24-25八年级上·湖南衡阳·阶段练习）先观察等式，再解答问题： ①；②； ③． (1)请你根据以上三个等式提供的信息，猜想______； (2)请你按照以上各等式反映的规律，写出用含的式子表示的等式：____（为正整数）； (3)应用上述结论，请计算的值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】与实数运算相关的规律题 【分析】本题考查了实数运算相关的规律的探究． （1）利用题中等式的计算规律得到的结果为； （2）第n个等式的左边为，等式右边为1与的和； （3）根据规律得到，，，，，相加即可求解． 【详解】（1）解：的结果为； 故答案为：； （2）解：∵①； ②； ③， ∴， 故答案为：； （3）解：∵， ， ， ， ， ∴ ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 同步高分必练专题04 实数估算与新定义专练（原卷版） （3大类型精选30题） 类型一：无理数整数及小数部分估算 类型二：新定义问题 类型三：实数中的规律问题 类型一：无理数整数及小数部分估算 1．（24-25七年级下·广西玉林·期中）阅读材料： 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗? 事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 又例如：因为，即，所以的整数部分为2，小数部分为． 请解答下列问题： (1)的整数部分是_____，小数部分是_____； (2)如果的小数部分为，的整数部分为，求的值； (3)已知，其中是整数，且，求的相反数． 2．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）实数由整数部分和小数部分组成，若一个实数是一个开不尽方的正数的算术平方根，其整数部分和小数部分可根据算术平方根的相邻两个正整数来确定． 例如：因为，即，所以的整数部分为3，小数部分为． (1)的整数部分是______，小数部分是______； (2)若小数部分是p，小数部分是q，且，请求出满足条件的x的值． 3．（24-25七年级下·广东中山·期中）下面是小茗同学的学习笔记，请认真阅读，并完成相应的任务． 因为是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此，的小数部分我们不能全部写出来，就用来表示的小数部分．原因是的整数部分为1，将这个数减去其整数部分，差就是它的小数部分， 又如： ． ． 的整数部分为2，小数部分为． 任务： (1)根据小茗笔记内容可知，的整数部分是________，小数部分是_________； (2)已知：，其中x是整数，且，求的平方根． 4．（24-25七年级下·吉林·期中）【阅读材料】 是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是用来表示的小数部分． 解答下列问题， (1)的整数部分是____，小数部分是___； (2)如果的小数部分为，的整数部分为，求的值； (3)已知，其中是整数，且，直接写出的相反数． 5．（24-25八年级上·江苏南京·期中）阅读下面的文字，解答问题： 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？ 事实上，小明的表示方法是有道理，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：∵，即，∴的整数部分为，小数部分为． 请解答： (1)如果的小数部分为，的整数部分为，求的值； (2)已知：，其中x是整数，且，求的值． 6．（24-25七年级下·陕西延安·期中）大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，事实上，小明的表示方法是有道理的，因为，所以的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 请根据上述材料解答： (1)已知的立方根是2，b是的整数部分，求的平方根； (2)已知，其中x是整数，且，请你求出的值． 7．（24-25七年级下·山西朔州·期中）综合与探究 下面是小明同学学习了实数后的感悟，请认真阅读，并完成相应的任务： 7是有理数，当一个正方形的面积为7时，它的边长是，而是无理数．无理数是无限不循环小数，下面是小明确定的整数部分和小数部分的方法． 如：确定的小数部分，首先要明确7在完全平方数4和9之间，再求解． ∵，∴（依据）． ∴． ∴的整数部分是2，小数部分是． 任务一： （1）小明的感悟中，依据是：被开方数越大，其算术平方根__________； （2）已知的小数部分为a，的整数部分为b，求的值； （3）直接比较和的大小； 任务二： （4）设，a是整数，b满足，求的值． 8．（24-25七年级下·安徽淮南·阶段练习）实数由整数部分和小数部分组成，若一个实数是一个开不尽方的正数的算术平方根，其整数部分和小数部分可根据算术平方根的相邻的两个正整数确定． 例如：因为，即，所以的整数部分为3，小数部分为． (1)的整数部分是______； (2)若的小数部分是，的小数部分是，且，请求出满足条件的的值． 9．（24-25七年级下·辽宁大连·期中）阅读下面的文字，解答问题： 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：，即，的整数部分为2，小数部分为．根据以上材料，请解答下列问题： (1)求整数部分和小数部分； (2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的算术平方根； (3)已知：，其中x是整数，且，求的相反数． 类型二：新定义问题 10．（24-25七年级下·广东广州·期中）阅读材料：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，用减去其整数部分，差就是小数部分．根据以上材料，解答下列问题： (1)如果，其中是整数，且，那么_____，______； (2)已知，，且为的整数部分，为的小数部分，比较与的大小． 11．（24-25七年级下·安徽淮北·期中）对于任意实数，定义一种新运算：，等式右边是通常的加减运算，例如：． (1)的立方根为________； (2)若关于的不等式组解集中恰有3个整数解，求的取值范围． 12．（24-25七年级下·福建福州·期中）【阅读理解】公元前5世纪，毕达哥拉斯学派中的一名成员希伯索斯发现了无理数，导致了第一次数学危机． 定义：可以表示为两个互质整数的商的形式的数称为有理数，整数可以看做分母为1的有理数；反之为无理数．如不能表示为两个互质的整数的商，所以是无理数．可以这样证明： 设，与是互质的两个整数，且， 则，即 ① ． 因为是整数且不为0， 所以是不为0的偶数． 设（是整数，且），则． 所以 ② ． 所以也是偶数，与是互质的整数矛盾． 所以是无理数． 【解决问题】 (1)写出①，②表示的代数式，使证明过程完整； (2)证明：是无理数． 13．（24-25七年级下·山东临沂·阶段练习）定义：若正整数和满足，则称的“共同体区间”为，例如：因为，所以的“共同体区间”为．请回答下列问题： (1)的“共同体区间”为_____； (2)若的“共同体区间”为，求的“共同体区间”． 14．（24-25七年级下·北京·期中）【定义】用表示一个数对，其中为任意数，．记，，将数对和称为数对的一对“开方对称数对”．例如：数对的开方对称数对为和． 【知识运用】 (1)直接写出数对的开方对称数对_______； (2)若数对的一个开方对称数对是，求，的值； (3)若数对的一个开方对称数对是，求的值． 15．（24-25七年级下·福建福州·期中）【生活发现】 （1）如图1，把两个面积为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就得到了一个面积为2的大正方形，则大正方形边长为______． 根据有理数的定义：可以表示为两个互质整数的商的形式的数称为有理数，整数可以看作分母为1的有理数；反之为无理数． 【提出猜想】 通过不断估算，发现不能表示为两个互质（没有相同的因数）的整数的商．因此，提出猜想：不是有理数． 【数学证明】 假设：为有理数，那么存在（与是互质的两个整数，且）， 则，即． 是整数且不为0， 是2的倍数． 设（是整数，且）， 则． ． 也是2的倍数，与，是互质的整数矛盾． 不是有理数． 【类比迁移】 （2）如图2，是一个顶点与原点重合的正方形，且该正方形面积为5，请你利用尺规，在数轴上标出表示的点； （3）请你模仿上述过程，证明：不是有理数． 16．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）定义：若无理数的被开方数（为正整数）满足（其中为正整数），则称无理数的“共同体区间”为．例如：因为，所以的“共同体区间”为．请回答下列问题： (1)的“共同体区间”为________； (2)若无理数的“共同体区间”为，求的“共同体区间”； (3)若整数，满足关系式：，求的“共同体区间”． 17．（24-25七年级下·广东阳江·期中）定义：若点满足，则称这个点为“理想点”．例如，，故点是“理想点”． (1)点，，中，不是“理想点”的是_____． (2)若点是“理想点”，求x的值． (3)是否存在点，使点M是“理想点”？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 18．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）观察下列两个等式：，给出定义如下：我们称使成立的一对有理数为“共生有理数对”，记为，如数对都是“共生有理数对”． (1)判断数对是否为“共生有理数对”，并说明理由； (2)若是“共生有理数对”，且，求的值； (3)若是“共生有理数对”，且，求的值． 19．（24-25七年级下·广东佛山·阶段练习）定义，如．已知，已知（为常数） (1)若，求的值； (2)若的代数式中不含的一次项，当时，求的值． 20．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）对数运算是数学中常用的一种重要手段，它的定义为，如果，那么数叫做以为底的对数，记作：，例如，则，其中的对数叫作常用对数，此时可记为，当，且时，． (1)解方程． (2)计算． 类型三：实数中的规律问题 21．（24-25七年级下·四川南充·阶段练习）【问题情景】 数学活动课上，陈老师出示了一组题，阅读下列解题过程，探求规律： ；；；… 【实践探究】 (1)按照此规律，计算：__________． (2)计算：； 【迁移应用】 (3)若符合上述规律，请直接写出x的值． 22．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）先观察下列等式，再回答问题： ①；②；③ (1)请写出第④个等式：_________； (2)猜想第n个等式：________；（用含n的式子表示） (3)根据上述规律计算： 23．（2025七年级下·全国·专题练习）按要求填空： (1)填表并观察规律： a 4 400 (2)根据你发现的规律填空： 已知：，则______； 已知：，，则______； (3)从以上问题的解决过程中，你发现了什么规律，试简要说明． 24．（24-25七年级下·云南昭通·阶段练习）先观察下列等式，再回答问题： 第一个等式； 第二个等式； 第三个等式． (1)根据上述三个等式提供的信息，请你猜想第六个等式； (2)请按照上面各等式反映的规律，试写出第个等式（为正整数）； (3)对于任何实数，表示不超过的最大整数，如，，计算：的值． 25．（24-25七年级下·广西南宁·期中）完善下面表格，发现平方根和立方根的规律，并运用规律解决问题． x … 64 6400 64000 … … 8 m … … n 40 … (1)表格中的______，______； (2)已知，估计和的值；(结果保留四位小数) (3)若，估计的值．（参考数据：)．（结果保留四位小数） 26．（24-25七年级下·江苏南通·期中）观察下列式子：①；②；③；④． 根据上述等式反映的规律，回答如下问题： (1)根据上述等式的规律，写出一个类似的等式：__________； (2)由等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳出一个这样的结论：对于任意两个不相等的有理数a，b，若__________，则，反之也成立； (3)根据（2）中的结论，解答问题：若与的值互为相反数，求x的值； (4)若与的值互为相反数，且，求a的值． 27．（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）综合与实践 【思考尝试】 先观察下列等式，再回答下列问题： ①； ②； ③． （1）请你根据上面三个等式提供的信息，猜想的结果，并验证； 【实践探究】 （2）请你按照上面各等式反映的规律，试写出用含n的式子表示的等式（n为正整数）； 【拓展延伸】 （3）根据上述规律，我们给出一些数，，，．请计算． 28．（23-24七年级下·湖北荆州·阶段练习）【问题情境】数学活动课上，陈老师出示了一组题，阅读下列解题过程，探求规律： ；；；… 【实践探究】 （1）按照此规律，计算：______； （2）计算：； 【迁移应用】 （3）若符合上述规律，请直接写出x的值． 29．（24-25八年级上·河南南阳·期末）观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律： 第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：； …… 规律发现： (1)根据上述规律，直接写出下列算式的值： ①______________________； ②_________________． (2)用含n（n为正整数）的代数式表示出第n个等式：__________． (3)根据上述规律计算：． 30．（24-25八年级上·湖南衡阳·阶段练习）先观察等式，再解答问题： ①；②； ③． (1)请你根据以上三个等式提供的信息，猜想______； (2)请你按照以上各等式反映的规律，写出用含的式子表示的等式：____（为正整数）； (3)应用上述结论，请计算的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$