专题03 平行四边形（考题猜想，10种易错重难点与解题模型47题）-2024-2025学年八年级数学下学期期末考点大串讲（人教版）

专题03 平行四边形 （考题猜想，10种易错重难点与解题模型47题） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 题型一：证明平行四边形（易错） 1．（23-24八年级下·山西临汾·期末）如图，在中，，交于点O，于E，交于F，求证：四边形是矩形． 【答案】见解析 【知识点】证明四边形是矩形、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、利用平行四边形性质和判定证明 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定、平行四边形的判定和性质；熟练掌握矩形的判定，证明三角形全等是解决问题的关键． 由证明，得出对应边相等，证出四边形为平行四边形，再由求出，根据矩形的判定得出即可． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ， ， 在和中， ， ， ， ， 四边形为平行四边形， ， ， 四边形为矩形． 2．（22-23八年级下·北京朝阳·期中）如图，在中，、分别是、的中点，求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【知识点】利用平行四边形性质和判定证明 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质．平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．由四边形是平行四边形，即可得，，又由、分别为边、的中点，可得四边形是平行四边形，进而得出答案． 【详解】证明：因为四边形是平行四边形， 所以，． 又因为、分别是、的中点， 所以，， 则． 又， 所以四边形是平行四边形． 3．（24-25八年级上·山东淄博·期末）如图，平行四边形的对角线相交于点O，平分，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)5 【知识点】根据矩形的性质与判定求线段长、证明四边形是菱形、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查的是平行四边形的性质，菱形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理的应用，熟记菱形的判定与性质是解本题的关键； （1）证明，结合平行四边形的性质证明，可得，从而可得结论； （2）证明，四边形是矩形，从而可得答案． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴ ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形； （2）解：∵平行四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形 ∵， ∴四边形是矩形， ∴． 4．（23-24八年级下·云南昆明·期末）如图，在矩形中，点是的中点，延长至点，使得，连接，的延长线与的延长线交于点，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若平分，，求菱形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】根据矩形的性质求线段长、根据菱形的性质与判定求面积、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形 【分析】（1）由矩形的性质可得，，，由两直线平行内错角相等可得，利用线段中点的有关计算及已知条件可得，由对顶角相等可得，利用可证得，于是可得，进而可证得四边形是平行四边形，由于，于是结论得证； （2）由平分可得，由矩形的性质可得，，，，由两直线平行内错角相等可得，进而可得，由等角对等边可得，利用线段中点的有关计算及已知条件可得，于是可得，利用勾股定理可得，进而可得，由（1）可得，于是可得，利用菱形的性质可得，据此即可得出答案． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ，，， ， 点是的中点，， ， 又， ， ， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是菱形； （2）解：平分， ， 四边形是矩形， ，，，， ， ， ， 点是的中点，， ， ， ， ， 由（1）可得：， ， 菱形的面积． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，两直线平行内错角相等，线段中点的有关计算，对顶角相等，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，菱形的判定与性质，等角对等边，线段的和与差，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键． 5．（23-24八年级下·新疆乌鲁木齐·期末）如图，在平行四边形中，过点D作于点E，点F在边上，且，连接．    (1)求证：四边形是矩形； (2)若平分，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【知识点】利用平行四边形性质和判定证明、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质，矩形的判定和性质，等腰三角形的判定，勾股定理，角平分线的定义等知识，熟练掌握矩形和等腰三角形的判定是解答的关键． （1）先证明四边形是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，即可得证； （2）先证明，由平行四边形的性质，得到，再利用勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形； （2）∵平行四边形， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 由（1）知：四边形是矩形， ∴， ∴， 在中，． 6．（23-24八年级下·广东江门·期中）综合与实践 如图，在中，，过点C的直线，D为边上一点，过点D作，交直线于点E，垂足为点F，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当D在AB中点时，四边形是什么特殊四边形？说明你的理由； (3)在（2）的条件下，当_____时，四边形是正方形． 【答案】(1)见解析 (2)四边形是菱形；理由见解析 (3)45 【知识点】利用平行四边形性质和判定证明、证明四边形是平行四边形、证明四边形是正方形、证明四边形是菱形 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、正方形的判定、等腰三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关性质定理成为解题的关键． （1）由题意得出，结合即可证明四边形是平行四边形； （2）先证明四边形是平行四边形，结合即可得出四边形是菱形； （3）当时，求出，结合菱形的性质求出即可解答． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在中，，过点C的直线， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． （2）解：四边形是菱形；理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，D在的中点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （3）解：当时，四边形是正方形；理由如下： ∵， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是正方形． 答案为：45． 题型二：60°菱形问题（易错） 7．（23-24八年级下·广西桂林·期末）如图，在四边形中，，，对角线交于点O，若四边形是矩形，交于点F． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求菱形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】利用矩形的性质证明、证明四边形是菱形、含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查平行四边形的判定，矩形的性质，菱形的判定和性质： （1）先证明四边形是平行四边形，矩形的性质得到，即可得证； （2）根据矩形的性质，结合含30度角的直角三角形的性质，求出的长，利用菱形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2）∵四边形是矩形， ∴， ∵四边形是菱形，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴菱形的面积 8．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期末）如图，在菱形中，为对角线，是上的点，连接，． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、利用菱形的性质证明、等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形 【分析】（1）利用菱形的性质中每一条对角线平分一组对角且四条边都相等证得即可求解； （2）连接交于点，利用菱形的性质推得是等边三角形，通过勾股定理求得，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出，即可求出的长． 【详解】（1）解：四边形是菱形，为对角线， ，， 在和中， ， ， ． （2）解：如图，连接交于点， 四边形是菱形， ，，，， ， 是等边三角形， ，， 在中，， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理等，熟练掌握菱形的性质等知识是解题关键． 9．（23-24八年级下·山东威海·期末）如图，点是菱形对角线上任意一点，连接，，．点是延长线上一点，连接，交于点，且． (1)求的度数； (2)若，请直接写出，，的数量关系，不需要证明． 【答案】(1) (2) 【知识点】等边三角形的判定和性质、等腰三角形的性质和判定、利用菱形的性质求线段长、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、菱形的性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）连接，证明得出，再由等边对等角得出，由平行线的性质结合三角形内角和定理得出，即可得出答案； （2）在上截取，连接，证明，得出，，再证明为等边三角形，得出，即可得解． 【详解】（1）解：如图，连接， ， ∵四边形是菱形， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：， 如图，在上截取，连接， ， ∵四边形是菱形，， ∴，，， ∴、为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ． 10．（23-24八年级下·河北承德·期末）如图，已知菱形的边长为2，，点、分别是边、上的两个动点，，连接． (1)是等边三角形吗？如是，请证明；如不是，请说明理由． (2)在运动的过程中，四边形的面积是否发生变化？若不变化，求出面积的值；若变化，说明理由． 【答案】(1)是，证明见解析 (2)不发生变化， 【知识点】等边三角形的判定和性质、利用菱形的性质证明、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． （1）连接，证明，推出 可得结论； （2）利用全等三角形的性质得到四边形的面积是边长为2的等边三角形的面积即可得到结论． 【详解】（1）是，理由如下： 如图，连接，      ∵四边形是菱形， ∴，， ∴，都是等边三角形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形； （2）四边形的面积不发生变化， 由（1）得：， ∴， ∴， ∴， 即四边形的面积是边长为2的等边三角形的面积， ∴不发生变化，    过点A作于点H， 由（1）得：是等边三角形，则有：， 在中，由勾股定理得：， ∴ 11．（23-24八年级下·陕西咸阳·期末）在中，，是的中点，过点作，且，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、证明四边形是菱形、利用平行四边形性质和判定证明、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】此题考查了平行四边形的性质，菱形的判定，勾股定理，直角三角形斜边中线性质，熟练掌握各定理是解题的关键： （1）根据一组邻边相等的平行四边形是菱形进行证明； （2）过E作交的延长线于F，根据菱形的性质及，得到是等边三角形，求得，利用勾股定理在中， 求出，在中，求出． 【详解】（1）证明：∵，且， ∴四边形是平行四边形， ∵在中，，是的中点， ∴， ∴四边形是菱形； （2）过E作交的延长线于F， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴， 在中，，， ∴． 题型三：四边形中折叠问题（难点） 12．（24-25八年级上·甘肃张掖·期末）如图．将长方形沿着对角线折叠，使点C落在处，交于点E． (1)试判断的形状，并说明理由； (2)若，求的面积． 【答案】(1)是等腰三角形，理由见详解 (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题 【分析】本题主要考查矩形的折叠、勾股定理，等腰三角形的性质和判定，熟记矩形的性质并根据勾股定理列方程求解是解题关键． （1）利用折叠的性质及等角对等边解决问题即可． （2）设，则，在中，利用勾股定理构建方程即可解决问题． 【详解】（1）解：是等腰三角形，理由如下： 由折叠可知，， ∵在长方形中，， ， ， ， 即是等腰三角形； （2）解：设，则， 在中，由勾股定理得： 即， 解得：， ∴， ∴； 13．（23-24八年级下·福建厦门·期末）在矩形中，若点E是线段上的一动点，将沿直线翻折，C点的对应点为F点．    (1)若点F落在矩形内，且满足，请用尺规在图1中作出F点（尺规作图，要求保留作图痕迹，不必写作法）． (2)如图2，已知，，若点F恰好落在线段上，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)． 【知识点】勾股定理与折叠问题、矩形与折叠问题、二次根式的混合运算、作线段(尺规作图) 【分析】（1）分别以为圆心，长为半径作弧，两弧交于点，F点即为所作； （2）设，过作于点，交于点，求出，，然后在中，利用勾股定理构建方程，求解即可． 【详解】（1）解：所作图形如图所示， ； （2）解：由折叠的性质得，， 设，则，， 在中，， ∴， 在中，， ， 解得：， 即． 【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，尺规作图，二次根式的混合运算等知识，作出合适的辅助线，构造出直角三角形是解题的关键． 14．（23-24八年级下·辽宁大连·期末）如图1，矩形，以边为底向内作等腰，，延长与边交于点，连接，把沿翻折，点的对应点恰好落在上． (1)①　　；（用含的式子表示） ②若，，求的长； (2)如图2，以边为底向外作等腰，且，连接、，将沿翻折，点得对应点恰好落在上，．求得长． 【答案】(1)①② (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题、二次根式的混合运算、根据矩形的性质求线段长 【分析】本题主要考查了翻折变换（折叠问题），全等三角形的判定与性质，矩形的性质，勾股定理，解答本题的关键是作出辅助线，构造直角三角形解决问题． （1）①首先推导出，，利用，得到，进一步解答即可； ②设，，得到，同理，利用勾股定理求得，，，解答即可得解； （2）过点作，在上截取，连接，推导出，进而得到，继续推导出，，得到，，，，在中，利用勾股定理得：，，在中，根据勾股定理得：． 【详解】（1）①四边形是矩形， ， ， ， 由折叠的性质可知，， ， ， ； 故答案为：； ②设，， ， 在矩形中，，，，同理， 在中，， 根据勾股定理得：， ， ， 解得：， 的长为； （2）过点作，在上截取，连接， 是为底等腰三角形，且， ，， ， ， 四边形是矩形， ，， ； ， ， 将沿翻折，得到， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 又，， ，， 在中，根据勾股定理得： ，， 在中， 根据勾股定理得： 15．（23-24八年级下·河南周口·期末）如图，矩形中，，，为上一点，将沿翻折至，与相交于点，且，与相交于点G． (1)求证：； (2)求线段 的长． 【答案】(1)见解析 (2)3.2 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、矩形与折叠问题、用勾股定理解三角形 【分析】（1）由折叠的性质得出，，，由证明，得出，，即可得出结论； （2）设，则，，求出、，根据勾股定理得出方程，解方程求出，即可得出的长． 【详解】（1）证明四边形是矩形， ，，， 由折叠可得：， ，，， 在和中，， ， ，， ， ； （2）解：设，则，， ，， 根据勾股定理得：， 即， 解得：， ， ． 【点睛】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握翻折变换和矩形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键． 16．（23-24八年级下·云南昆明·期末）如图①，在正方形中，是上的点（不与、重合），连接，把沿折叠得到，延长交于点，连接． (1)求证：； (2)如图②，过点作的垂线，交的延长线于点，连接，求证：； (3)在图②中，判断和的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)，理由见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、正方形折叠问题、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质证明 【分析】（1）沿折叠得到，则，，，，用即可证明； （2）证明，而，则为等腰直角三角形，即可求解； （3）证明，则． 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定定理和性质定理，等腰直角三角形的性质，解决本题的关键是利用正方形的性质得到相等的边和相等的角，证明三角形全等，作出辅助线也是解决本题的关键． 【详解】（1）证明：沿折叠得到，则，， ，， ∴， ∴； （2）证明：，则， ∵， ∴，则， ， ∴为等腰直角三角形， ∴； （3）解：，理由： 设正方形的边长为， 在上取，则， 则， ，， ， ，则， ∴． 17．（23-24八年级下·陕西安康·期末）综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动． 【操作判断】 (1)如图①，在正方形中，点是的中点，交于点．点是边上的一点，连接，将正方形纸片沿所在直线折叠，点的对应点落在上．已知，则的度数为______； 【深入探究】 (2)如图②，在图①的基础上继续折叠，点是边上的一点，连接，将正方形纸片沿所在直线折叠，点的对应点落在上．试探究与之间的数量关系； 【拓展应用】 (3)如图③，在图②的基础上，点，分别是，的中点，顺次连接、、、，若，求点，之间的距离． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【知识点】全等三角形综合问题、利用平行四边形的判定与性质求解、用勾股定理解三角形、正方形折叠问题 【分析】（1）根据正方形的性质和折叠的性质可得，，从而推出，即可得到答案； （2）根据正方形的性质和折叠的性质，同（1）可得，，可证，即可得到； （3）由和正方形的性质可证四边形是平行四边形，结合点、分别是、的中点，从而推出四边形是平行四边形，得到，设，则，然后由，，得到，从而得到，利用勾股定理得到，结合是的中点得到，从而得到方程，解之即可． 【详解】（1）解：四边形ABCD是正方形， 根据折叠可知，， 故答案为：． （2）解：四边形是正方形 ， ， 根据折叠可知， 同理 在和中 （3）解：如图，连接 由（2）可知， ， 正方形中， 四边形是平行四边形 点、分别是、的中点 四边形是平行四边形 设， 则 ， 点是的中点 解得： 即点、之间的距离为． 【点睛】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，直角三角形两锐角互余等，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 18．（23-24八年级下·山东威海·期末）我们定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做“神奇四边形”． (1)在我们学过的下列四边形①平行四边形②矩形③菱形④正方形中，是“神奇四边形”的是 （填序号）； (2)如图， 在正方形中， E为上一点， 连接， 过点B作于点H， 交于点G， 连，． 判断四边形是否为“神奇四边形”，并说明理由； 如图2， 点M，N，P，Q分别是，，，的中点． 判断四边形是否是“神奇四边形”，并说明理由： (3)如图3， 点F，R分别在正方形的边，上， 把正方形沿直线翻折，使得的对应边恰好经过点A，过点A作于点O，若，正方形的边长为6，求线段的长． 【答案】(1)④ (2)①四边形是“神奇四边形”，见解析；②四边形是“神奇四边形”，见解析 (3) 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据正方形的性质与判定证明、与三角形中位线有关的证明、正方形折叠问题 【分析】（1）根据平行四边形的性质、矩形的性质、菱形的性质及正方形的性质进行判断即可； （2）①根据正方形的性质可得，，利用等量代换可得，证得，可得，即可得证； ②根据三角形中位线定理可得，，，，从而证得四边形是平行四边形，再根据平行线的性质和等量代换可得，由①可得，，可得，证得四边形是正方形，再根据正方形的性质即可得证； （3）延长交于点S，由勾股定理求出的长，设，则，再由勾股定理列方程求得，即可求解． 【详解】（1）解：∵平行四边形的对角线既不互相垂直，也不相等；矩形的对角线相等，但不垂直；菱形的对角线相互垂直，但不相等；正方形的对角线互相垂直且相等， ∴正方形是“神奇四边形”， 故答案为：④． （2）解：①四边形是“神奇四边形”，理由如下： ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是“神奇四边形”． ②四边形是“神奇四边形”，理由如下： ∵点M，N，P，Q分别是，，，的中点， ∴，，，， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由①可得，， ∴， ∴四边形是正方形， ∴，且， ∴四边形是“神奇四边形”． （3）解：延长交于点S， 由折叠的性质得，，，，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∴， 设，则， 在中，， 解得， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查新定义、折叠的性质、正方形的判定与性质、矩形的判定的与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理、三角形中位线定理、全等三角形的判定与性质，理解新定义“神奇四边形”，熟练掌握正方形的判定与性质与全等三角形的判定与性质是解题的关键． 19．（23-24八年级下·江西赣州·期末）综合与实践 数学活动课上，数学老师以“矩形纸片的折叠”为课题开展数学活动：将矩形纸片对折，使得点A、D重合，点B、C重合，折痕为，展开后沿过点B的直线再次折叠纸片，点A的对应点为点N，折痕为． （1）如图①，若，则当点N落在上时，和的数量关系是_______；的度数为_____； 思考探究： （2）在的条件下进一步进行探究，将沿所在的直线折叠，点M的对应点为点，当点落在上时，如图②，设、分别交于点J、K，若，请求出三角形的面积； 拓展应用： （3）如图③，在矩形纸片中，，，将纸片沿过点B的直线折叠，折痕为，点A的对应点为点N，展开后再将四边形沿所在的直线折叠，点A的对应点为点P，点M的对应点为点，连接、，若，请直接写出的长． 【答案】（1）；；（2）；（3） 【知识点】矩形与折叠问题、根据正方形的性质与判定求线段长、含30度角的直角三角形、正方形折叠问题 【分析】（1）根据折叠的性质得：，，根据直角三角形的性质可得，由直角三角形的两锐角互余可得结论； （2）由折叠得：，证明，可知，，得是等腰直角三角形，再证明四边形是正方形，分别计算，，由三角形面积公式可得结论； （3）如图，过点P作于G，于H，根据等腰三角形的三线合一可得，由折叠的性质和矩形的性质可得，，设，则，，根据，列方程可解答． 【详解】解：（1）由折叠得：，，， ， ， ， ， 故答案为：，； 思考探究： （2）由折叠得：， 四边形是矩形， ， ， ， ，， ， ， 是等腰直角三角形， 四边形是矩形，， 矩形是正方形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ； 拓展应用： （3）过点P作于G，于H， ， ， ， 四边形是矩形， ， 由折叠得：，， 在中，， ， 延长，交于L， 中，，， ， ，， ， 设，，， ， ， ， ． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了折叠的性质，含角的直角三角形的性质，矩形的性质和判定，正方形的判定和性质，三角函数等知识，掌握折叠的性质和正确作辅助线是解题的关键． 20．（23-24八年级下·湖南·期末）如图，取一张矩形的纸片进行折叠，具体操作过程如下： (1)【课本再现】 第一步：如图1，对折矩形纸片，使与重合，折痕为，把纸片展平； 第二步：在上选一点P，沿折叠纸片，使点A落在矩形内部的点M处，连接，根据以上操作，当点M在上时，___________； (2)【类比应用】 如图2，现将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：将正方形纸片按照（1）中的方式操作，并延长交于点Q，连接，当点M在上时，求的度数； (3)【拓展延伸】 在（2）的探究中，正方形纸片的边长为，改变点P在上的位置（点P不与点A，D重合），沿折叠纸片，使点A落在矩形内部的点M处，连接，并延长交于点Q，连接．当时，请求出的长． 【答案】(1)30 (2) (3)或 【知识点】矩形与折叠问题、正方形折叠问题、全等三角形综合问题、勾股定理与折叠问题 【分析】（）由折叠的性质得，，，，从而得到是等边三角形即可求解； （）同（1）可证，再利用折叠的性质和正方形的性质证明，推出，可得； （）分点Q在点F的下方、上方两种情况，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵对折矩形纸片，使与重合，折痕为， ∴垂直平分, ∴，， ∵沿折叠纸片，使点落在矩形内部的点处， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：如图， 同（1）可证， ∴， 在正方形中，，， 由折叠知，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴ （3）解：当点Q在点F的下方时，如图， ∵正方形中，， ∴， ∴， 由（2）知， ∴， 设，由折叠知， ∴，， 在中，， ∴， 解得，即； 当点Q在点F的上方时，如图， 则， ∴， ∴， 设， 则，， 在中，， ∴， 解得，即； 综上可知，的长为或． 【点睛】本题考查正方形折叠问题，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质等，掌握折叠前后对应角相等、对应边相等，注意分情况讨论是解题的关键． 题型四：四边形中最值问题（难点） 21．（22-23八年级下·江苏连云港·期末）定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形．根据以上定义，解决下列问题： (1)如图1，以菱形的一边为边向外作正方形，、分别是菱形和正方形的对角线交点，连接．    求证：四边形是“直等补”四边形． ②若，求四边形的面积． (2)如图2，已知四边形是“直等补”四边形，其中，，过点作于点且，连接，若点是线段上的动点，请你直接写出周长的最小值．    【答案】(1)①详见解析；②1 (2)周长的最小值： 【知识点】四边形中的线段最值问题、全等三角形综合问题、利用菱形的性质证明、根据正方形的性质与判定证明 【分析】（1）①由正方形的性质和菱形的性质可得，，，即可解答； ②过点作于点，交的延长线于点，“”可证，所以，即，由正方形的面积公式，即可解答； （2）先证四边形是正方形，利用勾股定理求出，，即可解答． 【详解】（1）证明：①如图1中，   四边形是菱形， ，， 四边形是正方形， ，， ，， 又， 四边形是“直等补”四边形； ②如图1中，过点作于点，交的延长线于点， ， 四边形是矩形， ， 即， ， 在和中，， ， ，， 四边形是正方形， ； （2）周长的最小值：； 延长到点，过作于点，   四边形是“直等补”四边形，，， ， ，即， ，， ，， 四边形是矩形， ， 又，， ， 在和中，， ， ， 矩形是正方形， ，； ∵， 即当点C、P、三点共线时，的最小值是， 在中，，， ，； 在中，，， ， 周长的最小值为：； 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，菱形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 22．（22-23八年级下·湖北鄂州·期末）【操作发现】由得，；如果两个正数a，b，即，，则有下面的不等式：，当且仅当时取到等号． 例如：已知，求式子的最小值． 解：令，，则由，得，当且仅当时，即时式子有最小值，最小值为4．    (1)【问题解决】请根据上面材料回答下列问题： 已知，当为多少时，代数式的最小值为； (2)【灵活运用】当时，求的最小值； (3)【学以致用】如图，民民同学想做一个菱形风筝，现在有一根长的竹竿，他准备把它截成两段做成风筝的龙骨即菱形的对角线，，请你帮他设计一下，当为多少时菱形的面积最大，最大值为（直接写出结果）． 【答案】(1)3，6； (2)4； (3)60，1800 【知识点】分式化简求值、利用菱形的性质求面积、利用算术平方根的非负性解题 【分析】（1）根据操作发现提供的方法，代入求解即可； （2）根据操作发现提供的方法，代入求解即可； （3）根据操作发现提供的方法，并结合菱形面积等于对角线乘积的一半，求解即可． 【详解】（1）解：令，，则由，得，当且仅当时，即时式子有最小值，最小值为6． （2）解：令，，，则由，得，当且仅当时，即时式子有最小值，最小值为4． （3）解：设这个菱形对角线，则， 则菱形的面积为， 由题意得：，即， 由得即， 当且仅当时，即时式子有最大值，最大值为1800， 所以当时菱形的面积最大，最大值为． 【点睛】此题主要考查了分式的乘除法，解题关键是理解操作发现中所提供的方法来解决问题． 23．（22-23八年级下·江苏泰州·期末）如图，矩形纸片，，，点P为边上一动点，将矩形纸片沿折叠，折叠后与相交于点E． (1)为何值时，点E与点A重合； (2)当长为何值时，的面积最大？并求出面积的最大值． 【答案】(1)为时，点E与点A重合 (2)当时，的面积最大值为10 【知识点】用勾股定理解三角形、根据等角对等边证明边相等、两直线平行内错角相等、矩形与折叠问题 【分析】（1）由折叠可知，当点E与点A重合时，即可求解； （2）由折叠可知，由平行线的性质可得，于是可得，，由，可知当最大时，的面积最大，而在中，只要当最大时，就最大，于是可得当最大时，最大，设，则，在中，利用勾股定理建立方程解得，再求出此时，的面积即可． 【详解】（1）解：当点E与点A重合时，如图， ∵四边形为矩形， ∴， 由折叠可知，， ∵， ∴， ∴为时，点E与点A重合； （2）解：如图， 由折叠知，， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∵，而的长度不变， ∴当最大时，的面积最大， 又∵， ∴最大时，的面积最大， 而在中，只要当最大时，就最大， ∴当最大时，最大， 设，则， 在中，， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴当时，的面积最大值为10． 【点睛】本题主要考查矩形的性质、折叠的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题关键． 24．（22-23八年级下·江苏泰州·期末）如图，已知菱形的边长为，，点、分别是边、上的两个动点，，连接．      (1)是等边三角形吗？如是，请证明；如不是，请说明理由． (2)在、运动的过程中，的面积存在最大值吗？如存在，请求出该最大值；如不存在，请说明理由． 【答案】(1)是，见解析； (2)存在，最大值为． 【知识点】等边三角形的判定和性质、利用菱形的性质求线段长 【分析】（1）连接，证明，推出 可得结论； （2）利用全等三角形的性质得到四边形的面积，推出的面积最小时，的面积最大，由是等边三角形，根据垂线段最短可知，时，的值最小，的面积最小． 【详解】（1）是，理由如下： 如图，连接，      ∵四边形是菱形， ∴，， ∴，都是等边三角形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形； （2）的面积存在最大值，理由如下： 由（1）得：， ∴， ∴， ∴ ， ∴不发生变化，      则的面积最小时，的面积最大， ∵是等边三角形，根据垂线段最短可知，时，的值最小，的面积最小, ∴， 由（1）得：是等边三角形，则有：， 在中，由勾股定理得：， ∴， 同理：， 在中，由勾股定理得： ∴，即：的面积最小值为， ∴的面积的最大值， 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 25．（22-23八年级下·重庆忠县·期末）在Rt△ABC中，，，点D为直线上一点，连接．        (1)如图1，当点D在线段AC上时，过点C作交的延长线于点E，连接，过点A作交于点F，当时，求的长； (2)如图2，延长至点G，使，作的平分线交于点H，交的延长线于点K．求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，取的中点M，连接、，当点D在直线上运动时，直接写出的最大值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】（1）令，，，，，，，证明，即可得，问题随之得解； （2）过点A作交的延长线于点Q，令，，，，，先证明在等腰中，AK垂直平分BG，即有，，再证明，即有，，进一步有是等腰直角三角形，问题随之得解； （3）根据（2）可得：△AQK是等腰直角三角形，，AK垂直平分BG，先证明，即可得，，即，即当最大时，有最大值；易知点G在以A点为圆心，为半径的圆上，即当点G在点，且时，最大，可得，问题随之得解． 【详解】（1）如图1，    令，，，， ，，， 由题意，，而， ∴， 又∵， ∴，， ∴， ∴， 在中，， ∴， 在中，利用勾股定理同理可得， ∴； （2）如图2，过点A作交的延长线于点Q，    令，，，，， ∵，，的平分线交于点H， ∴，， ∴在等腰中，AK垂直平分BG， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，又， ∴， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴． ∵， ∴； （3）如图，    根据（2）可得：△AQK是等腰直角三角形，，AK垂直平分BG， ∴，， ∴， ∵的中点为点M， ∴，， 即， ∴当最大时，有最大值， ∵， ∴点G在以A点为圆心，为半径的圆上， ∴当点G在点，且时，最大， ∴， ∴最大为， ∴， 即最大值为． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，作出科学的辅助线，掌握全等三角形的判定与性质，是解答本题的关键． 题型五：四边形中动点问题（难点） 26．（22-23八年级下·江西南昌·期中）如图，在四边形中，，，，，，点从点A出发，以的速度向点运动；点从点同时出发，以的速度向点运动.规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动.设点的运动时间为； (1)边的长度为________，的最大值为________； (2)当为何值时，四边形是矩形； (3)当时，判断此时四边形的形状，并说明理由； 【答案】(1)，； (2)； (3)四边形是菱形，理由见详解； 【知识点】根据矩形的性质与判定求线段长、用勾股定理解三角形、（特殊）平行四边形的动点问题 【分析】（1）过点作于，证明四边形是平行四边形，根据勾股定理即可求得，根据路程与速度关系分别求出两动点的时间，即可得到答案； （2）根据四边形是矩形可得，列方程求解即可得到答案； （3）将时的，表示出来即可判断； 【详解】（1）解：如图1，过点作于， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴（cm）， 根据勾股定理得， （cm）， ∵点在上运动， ， ∴， ∵点在上运动， ， ∴， ∴， 故答案为，； （2）解：∵，，且四边形要是矩形， ∴， 即， 解得：； （3）解：由题意可得， 当时， ，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴, ∴四边形是菱形； 【点睛】本题考查四边形上动点问题，矩形的判定与性质及平行四边形的判定与性质，解题的关键是根据性质列方程求解． 27．（22-23八年级下·浙江绍兴·期末）如图，已知正方形的边长为2，点是边上的一动点，平分交边于点．          (1)①当点恰好是边的中点时，求线段长；②当点恰好是边CD的中点时，求线段长． (2)猜想线段，，之间的数量关系，并说明理由． (3)直接写与面积和的最大值． 【答案】(1) (2)．理由见解析 (3)当点与点重合时，最大为，面积和最大值为 【知识点】全等三角形综合问题、（特殊）平行四边形的动点问题、根据平行线判定与性质证明、用勾股定理解三角形 【分析】（1）①延长，交于点，根据平行线的性质可得，根据全等三角形的判定和性质可得，设，则，，推得，根据勾股定理即可求得； ②设，由①可知，根据勾股定理求得，连结，设，根据即可求解； （2）延长到点，使，连结，根据全等三角形的判定和性质可得，，根据平行线的判定和性质可得，推得 （3）根据三角形的面积公式可得当最大时面积最大，即可求解． 【详解】（1）①如图，延长，交于点．    在正方形中， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴． 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，由，解得． ∴． ②设， ∵，由①可知， 在中，由， 解得：． ∴． 如图，连结，    设，由可得： ， 解得：， ∴． （2）． 理由如下： 如图，延长到点，使，连结．    在正方形中， ∴，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）， ∵不变， ∴当最大时面积最大， ∴当点与点重合时，最大为，面积和最大值为． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，平行线的判定和性质，三角形的面积公式等，熟练掌握以上判定和性质是解题的关键． 28．（22-23八年级下·广西桂林·期末）如图，在四边形中，，，，，，动点从点A出发，以的速度向终点运动，同时动点从点出发，以的速度沿折线向终点运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为秒． (1)用含的式子表示； (2)当为何值时，直线把四边形分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形？ (3)只改变点的运动速度，使运动过程中某一时刻四边形为菱形，则点的运动速度应为多少？ 【答案】(1) (2)或 (3) 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、（特殊）平行四边形的动点问题 【分析】本题考查了四边形的综合题，涉及到菱形的性质、平行四边形的判定及性质． （1）根据P点的速度以及时间结合的长表示即可； （2）只有Q点在上时，方能满足条件，分两种情况：①四边形是平行四边形，②四边形是平行四边形，进行解答即可； （3）设Q的速度为，Q在CD边上，此时可为菱形，满足，建立方程解决即可． 【详解】（1）P从A点以向B点运动 时， ； （2） Q在上运动时间为 运动时间最长为 时，在边上 此时，直线把四边形分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形，分两种情况： ①四边形是平行四边形，如图所示： 即 只需即可，由（1）知： 以的速度沿折线向终点运动， 运动时间为时， 解得：； ②四边形是平行四边形，如图所示： 同理 只需，四边形是平行四边形 由（1）知， 则 解得： 综上所述：当或时，直线把四边形分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形； （3）设Q的速度为，由（2）可知，Q在边上，此时四边形可为菱形 只需满足即可 由（1）知： 由（2）知：， ， 解得：， 当Q点的速度为时，四边形为菱形． 29．（22-23八年级下·四川宜宾·期末）已知，如图，O为坐标原点，四边形为矩形，，，点D是的中点，动点P在线段上以每秒2个单位长的速度由点C向B运动．设动点P的运动时间为t秒．    (1)当t为何值时，四边形是平行四边形？ (2)在直线上是否存在一点Q，使得O、D、Q、P四点为顶点的四边形是菱形？若存在，求t的值，并求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)2.5 (2)存在，，；，；， 【知识点】利用菱形的性质求线段长、用勾股定理解三角形、坐标与图形、（特殊）平行四边形的动点问题 【分析】（1），四边形是平行四边形时，列一元一次方程即可求解； （2）分Q点在P的右边，Q点在P的左边且在线段上，Q点在P的左边且在的延长线上三种情况，根据菱形的性质、勾股定理分别求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形为矩形，，， ∴，， ∵点D是的中点， ∴， 由运动知，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴； （2）解：①当Q点在P的右边时，如图1，    ∵四边形为菱形， ∴， ∴在中，由勾股定理得：， ∴， ∴， ∵，， ∴； ②当Q点在P的左边且在线段上时，如图2，    ∵四边形为菱形， ∴， ∴在中，由勾股定理得：， ∴， ∵， ∴， ∴； ③当Q点在P的左边且在的延长线上时，如图，    ∵四边形为菱形， ∴， ∴在中，由勾股定理得：， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上可知，O、D、Q、P四点为顶点的四边形是菱形时，有三种情况：，；，；，． 【点睛】本题考查矩形的性质，平行四边形的性质，勾股定理，菱形的存在性问题等，解题的关键是掌握特殊平行四边形的性质，注意分类讨论． 30．（22-23八年级下·吉林长春·期末）如图，在中，，，垂直平分于点．点从点出发，沿以每秒1个单位长度的速度向终点运动，同时动点从点出发沿射线以每秒3个单位长度的速度运动，点到达终点时，、同时停止运动．设点运动的时间为秒．    (1)的长为 　　 (2)用含的代数式表示线段的长． (3)当以点、、、为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值． (4)当为钝角三角形时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)8 (2)当点在线段上时，，当点在线段的延长线上时，； (3)或； (4)或或． 【知识点】（特殊）平行四边形的动点问题、一元一次不等式组的其他应用、线段垂直平分线的性质、用勾股定理解三角形 【分析】（1）由垂直平分线的性质可求，由勾股定理可求解； （2）分两种情况讨论，列出代数式即可； （3）由平行四边形的性质可得，列出方程可求解； （4）分三种情况讨论，列出不等式组即可求解． 【详解】（1）解：垂直平分于点， ，， ， ， 故答案为：8； （2）解：当点在线段上时，， 当点在线段的延长线上时，； （3）解：以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，且， ， 或， 解得：或； （4）解：当点在上，点在上时，则， ， ， 当在线段的延长线上时，点在上时， 当时，如图所示， ， 又， ∴， 解得：， ∴时，， 当点在线段的延长线上，点在上时，则， ， ， 综上所述：或或． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，不等式的应用，一元一次方程的应用，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 题型六：中点四边形模型（易错） 31．（22-23八年级下·山西吕梁·期中）如图，在四边形中，对角线，，且，垂足为O，顺次连接四边形各边的中点，得到四边形；再顺次连接四边形各边的中点，得到四边形，…如此下去得到四边形． (1)判断四边形的形状，并说明理由． (2)求四边形的面积． (3)直接写出四边形的面积（用含n的式子表示）． 【答案】(1)四边形是矩形，理由见解析 (2) (3) 【知识点】与三角形中位线有关的证明、中点四边形、根据矩形的性质与判定求面积 【分析】（1）根据中位线的性质可得，，，，，，，；即有，，证得四边形是平行四边形，结合，问题得解； （2）由（1）得四边形是矩形，，是的中位线，可得，从而得到，，再由矩形的面积公式计算，即可． （3）由三角形的中位线的性质可以推知，每得到一次四边形，它的面积变为原来的一半，即可求解． 【详解】（1）解：四边形是矩形，理由如下： 在四边形中，顺次连接四边形各边中点，得到四边形， ∴、分别为的中点， ∴是的中位线， ∴，， 同理可得：，，，，，； ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴平行多边形是矩形， （2）解：由（1）得四边形是矩形，，是的中位线， ∴． 又∵，， ∴，， ∴． （3）解：∵四边形中，，，且， ∴； 由三角形的中位线的性质可以推知，每得到一次四边形，它的面积变为原来的一半， 即四边形的面积是． 【点睛】本题考查三角形的中位线的性质，中点四边形，矩形的判定与性质，解题的关键是学会从特殊到一般，探究规律，利用规律解决问题． 32．（23-24八年级下·河北唐山·期末）如图①，在四边形中，，是对角线的中点，是的中点，是的中点．求证：． 【应用】如图②，连结图①中的，并取中点，连结、． （1）若，则四边形的周长为 ． （2）图③，若，且，则四边形的面积为 ． 【答案】见解析；（1）①四边形的周长为；（2） 【知识点】中点四边形、等腰三角形的性质和判定、与三角形中位线有关的求解问题、与三角形中位线有关的证明 【分析】运用三角形中位线定理和等腰三角形性质即可证得结论； （1）运用三角形中位线定理可得，，再由，可得，即可得出答案； （2）由（1）得，得出四边形是菱形，再证得，得出四边形是正方形，即可求得答案． 【详解】证明：如图①， 、、分别是、、的中点， 、分别是、的中位线，   ，， ， ， ． （1）如图②， 、、、分别是、、、的中点， ，，   ， ， 四边形的周长为16； （2）：如图③， 、、、分别是、、、的中点， ，，，， ，，   ， ， 四边形是菱形， ， ， ， 菱形是正方形， ． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了三角形的中位线定理，平行线的性质，菱形和正方形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握三角形中位线定理是解本题的关键． 33．（23-24八年级下·河北秦皇岛·期末）阅读下面材料： 在数学课上，老师请同学们思考如下问题：如图1，我们把一个四边形的四边中点E，F，G，H依次连接起来得到的四边形是平行四边形吗？ 小敏在思考问题时，有如下思路：连接． 结合小敏的思路作答： （1）若只改变图1中四边形的形状（如图2），则四边形还是平行四边形吗？请说明理由； 参考小敏思考问题的方法，解决以下问题： （2）如图2，在（1）的条件下，若连接，．当与满足什么关系时，四边形是正方形．直接写出结论． 【答案】（1）是，理由见解析；（2）且 【知识点】中点四边形、与三角形中位线有关的证明 【分析】本题考查了中点四边形，涉及了三角形的中位线定理、平行四边形的判定、菱形的判定、正方形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． （1）结论：四边形还是平行四边形．连接．根据中位线定理证明，即可； （2）利用（1）的结论，可知需要满足而且，由此可知当与满足且即可． 【详解】解：（1）结论：四边形还是平行四边形． 理由：如图2，连接． 、分别是、中点 ，， 同理：，， ，， 四边形是平行四边形． （2）结论：当且时，四边形是正方形． 理由：如图3中，由（1）四边形是平行四边形 、是、中点 同理： 平行四边形是菱形． ，， ， ， ， ， 四边形是正方形． 题型七：十字架模型（难点） 34．（22-23八年级下·辽宁大连·期末）如图1，为正方形内一点，点在边上（不与端点，重合），垂直平分交于点，连接．过点作交射线于点． (1)求的大小； (2)求证：； (3)如图2，连接，若，求的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解、用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定、四边形其他综合问题 【分析】（1）连接，由垂直平分可得，再作，等腰三角形的性质，可得，再由四边形内角和为可得的度数； （2）过点作于点，进而证明，根据全等三角形的性质，可得，从而求出答案即可． （3）结合（2）中的结论和已知条件可得 三角形和三角形都是等腰直角三角形可、、、之间的数量关系，在直角三角形中，利用勾股定理即可得、之间的数量关系． 【详解】（1）连接， 垂直平分， ， ，， 作于， 又， ， ， ， 即， 又， 而四边形内角和为， ， ，即； （2）证明：过点作于点，如图所示： ， 由（1）知：， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， ，即， ， ， ， ； （3）连接、， 由（1）可知， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ，， 由（2）知， ， ， ， ， ， ， ， 又为正方形对角线， ， 在中由勾股定理得： ， ， 解得：． 【点睛】本题考查四边形的综合题，正方形的性质，轴对称的性质，三角形的内角和定理，相似三角形的判定和性质，圆内接四边形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识添加辅助线，证明四点共圆是解决问题的关键． 35．（23-24八年级下·黑龙江双鸭山·期末）我们定义：对角线相等且互相垂直的四边形叫做“宁美四边形”． (1)在我们学过的下列四边形①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形中，是“宁美四边形”的是___________（填序号）； (2)如图，在正方形中，为上一点，连接，过点作于点，交于点，连、．求证：四边形是“宁美四边形”； 【答案】(1)④ (2)见解析 【知识点】矩形性质理解、利用平行四边形的性质求解、正方形性质理解、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】（1）由“宁美四边形”的定义，正方形的性质即可得出结论； （2）证，得，再由，结合 “宁美四边形”的定义即可得出结论； 【详解】（1）解：平行四边形的对角线互相平分，矩形的对角线互相平分且相等，菱形的对角线互相垂直平分，正方形的对角线互相垂直平分且相等， 正方形是“宁美四边形”， 故答案为：④． （2）证明：四边形是正方形， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 又， 四边形是“宁美四边形”； 【点睛】本题考查了新定义“宁美四边形”、折叠的性质、正方形的判定与性质、菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握正方形的判定与性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用参数解决问题． 36．（23-24八年级下·安徽六安·期末）已知正方形中，点E，F分别在边，上，连接，． (1)若E为的中点，于点O． ①如图1，求证：； ②如图2，连接，求的值． (2)如图3，若，，则的最小值为 ．（直接写出结果）． 【答案】(1)①证明见解析；②的值为 (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、全等的性质和SAS综合（SAS）、根据正方形的性质证明 【分析】（1）①证明，即可得； ②过点分别作于，于，先证明，再证明，由此可得，，即可得到； （2）连接，延长至，使得，连接，由垂直平分线性质得，再证明，得，从而的最小值为的长，由勾股定理求得即可． 【详解】（1）①解：四边形为正方形， ，， 又，， ， ， 又为的中点， ； ②证明：过点分别作于，于， ，， 为的中点， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ，， ， ，， ； （2）解：如图，连接，延长至，使得，连接， 垂直平分， ， ，，， ， ， ， ，， ． 故答案为：． 【点睛】本题是四边形的综合问题，主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、垂直平分线的性质、勾股定理、两点之间线段最短，解题的关键是掌握以上知识点． 题型八：中心直角模型（难点） 37．（22-23八年级下·山东临沂·期末）如图，点E为正方形对角线上一点，连接，．过点E作，交边于点F，以，为邻边作矩形． (1)求证：矩形是正方形； (2)连接，若正方形的边长为9，，求正方形的边长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】全等三角形综合问题、根据正方形的性质与判定证明、用勾股定理解三角形 【分析】（1）过点E作于点M，于点N，先根据正方形的性质证明四边形是矩形，进一步证明，可得，再根据正方形的判定，即可证得答案； （2）连接，先证明，可证明，并求得的长，进一步证明，并求得的长，再利用勾股定理可求得的长，最后在中，根据勾股定理即可求得答案． 【详解】（1）证明：过点E作于点M，于点N， 四边形是正方形， ，， 四边形是矩形， ， ， ，，， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， 矩形是正方形； （2）解：连接， 四边形和都是正方形， ，，，， ， ， ，， ， ， ，， ， ， ， ，， ， 正方形的边长为． 【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，构造全等三角形是解题的关键． 38．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）四边形为正方形，点为线段上一点，连接，过点作，交射线于点，以为邻边作矩形，连接． (1)如图1，求证：矩形是正方形； (2)若，，求的长度； (3)当线段与正方形的某条边的夹角是时，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【知识点】全等三角形综合问题、根据正方形的性质与判定证明、利用矩形的性质证明 【分析】（）作于，于，证明，得到，根据正方形的判定定理证明即可； （）由正方形的性质可得，，，，，由“”可证 ，可得； （）分两种情况：当与的夹角为时，当与的夹角为时，分别画出图形求出结果即可； 【详解】（1）证明：如图，作于，于，    ∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴矩形是正方形； （2）解：∵四边形是正方形，， ∴，， ， ∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴； （3）解：当与的夹角为时，如图，    ∴，， ∴， ∵， ∴， ②当与的夹角为时，如图， 过作于点，过作于点，    ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形为正方形， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 综上所述：或 ． 【点睛】本题考查了正方形的判定和性质，矩形的性质，全等三角形判定和性质，熟练掌握知识点的应用及分类讨论思想是解题的关键． 39．（23-24八年级下·河南郑州·期末）综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“正方形”为主题开展数学活动．将直角的顶点E放在正方形的对角线上（点E不与A、C重合），其中直角边与交于点F，直角边与交于点G． (1)发现：如图，当与垂直时，填空：________．（填“”、“”或“”） (2)探究：如图，当与不垂直时，请判断与之间的数量关系是否发生变化？若变化，请说明理由，若不变，请给出证明； (3)拓展：当与不垂直时，以、为邻边构造矩形，连接，请直接写出的度数． 【答案】(1)＝ (2)的结论不变，证明见解析 (3)或 【知识点】角平分线的性质定理、根据正方形的性质证明、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】（1）由正方形的性质得到，平分，又，，得到四边形是矩形，因此，根据角平分线的性质可得； （2）过点E作于点P，作于点Q，由正方形得到，平分，因此四边形是矩形，，进而有，从而，进而证得，得证； （3）分点在点的右侧，和左侧两种情况，过点H作于点J，作，交的延长线于点K，则，由题意可得四边形是正方形，从而，，根据和，得到，从而证得，得到，根据角平分线的判定得到平分，进而即可解答． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴，平分， ∵，， ∴ ∴四边形是矩形， ∴ ∴． 故答案为：； （2）解：的结论不变，理由如下： 过点E作于点P，作于点Q， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，平分， ∴四边形是矩形，， ∴， ∵ ∴，即 ∴ ∴； （3）解：当点在点的右下方时： 过点H作于点J，作，交的延长线于点K， 则， ∵由（2）有，且四边形是矩形， ∴四边形是正方形， ∴，， ∵在四边形中，， 即， ∴， ∵， ∴ ∴在和中 ， ∴， ∴， ∵， ， ∴平分， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴． 当点在点的左下方时：如图：过点H作于点J，作， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， 同法可得：， ∴， ∴四边形为正方形， ∴， 综上：或． 【点睛】本题考查正方形的判定及性质，角平分线的判定，全等三角形的判定及性质，正确作出辅助线，综合运用相关知识是解题的关键． 40．（23-24八年级下·辽宁抚顺·期末）【问题情境】 数学兴趣小组在探究与正方形有关的动点问题时，如图2，在正方形中，点为对角线上一动点，连接，过点作，交射线于点，以，为边作矩形． 【特例探究】 启智小组在探究过程中遵循由特殊到一般的探究规律：如图1，当时，点与点重合，此时可以证明矩形是正方形． 【探究发现】 (1)博学小组发现，如图2，当时，点落在边上，此时，过点作于点，于点，通过证明，进而可以证明出矩形是正方形，请你帮助博学小组完成证明． (2)奋发小组受博学小组的启发，进一步深入探究，如图3，当时，点落在的延长线上． ①此时矩形还是正方形吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由． ②当，且时，直接写出的长． 【答案】(1)见解析； (2)①矩形还是正方形，理由见解析；② 【知识点】用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据正方形的性质与判定证明 【分析】本题考查了正方形的性质及判定，全等三角形的性质及判定，矩形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握正方形性质与判定是解题关键． （1）利用正方形性质得出，，证明，得出，由正方形判定定理解答即可； （2）①过点作，，垂足分别为，利用（1）中方法解答即可； ②求出，过点作于点，由勾股定理可得出答案． 【详解】（1）解： 四边形是正方形， ，平分， ，， 四边形是正方形， ， ， ， ， 四边形是矩形， 四边形是正方形； （2）①矩形还是正方形，理由如下： 如图，过点作，，垂足分别为， ， 四边形是正方形， ，平分， ，， ， ， ， 矩形是正方形． ②四边形是正方形， ， ， ， 过点作于点，则是等腰直角三角形 ， ，， ， ， ． 题型九：外角平分线模型（难点） 41．（23-24八年级下·内蒙古呼和浩特·期末）综合与实践 【提出问题】 由课本一道复习题，小明进行改编探究：如图，正方形中，点E是边上的一个动点（不与点B，C重合），过点E作交正方形的外角的平分线于点F．求证：． （1）如图1，当点E在边上时，小明的证明思路如下： 在上截取，连接． 则易得在和中 ∴ ∴ 请补全小明的证明思路，横线处应填______． 【深入探究】 （2）如图2，在（1）的基础上，过点F作交直线于点G．以为斜边向右作等腰直角三角形，点H在射线上． ①求证：； ②当，时，请求出线段的长． 【答案】（1）或；（2）①见解析；② 【知识点】用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定、四边形其他综合问题、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识点．正确引出辅助线解决问题是解题的关键． （1）利用全等三角形的判定条件行填补即可； （2）在上截取，连接，证明，即可求解； （3）利用全等三角形的性质结合等腰直角三角形的性质即可求解． 【详解】（1）由题意，横线处应或． 故答案为：或； （2）证明：在上截取，连接， ∵ 则， ∵是等腰直角三角形， ∴，则， ∵， ， ∴， ∴； （3）∵， ∴在中， ∵， ∴， ∴， ∵，即， ∴，， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴； 42．（23-24八年级下·湖南长沙·期末）如图1，四边形是正方形，点是边上的点，且交正方形的外角的角平分线于点F． (1)求证：． (2)试猜想线段与线段存在怎样的数量关系，并证明你的结论． (3)如图2，线段与交于点N，若，连接，求的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 (3)的最小值为10 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、四边形其他综合问题、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质证明 【分析】本题考查了正方形的性质和全等三角形的判定与性质，要注意题目之间的联系，正确作出辅助线构造全等的三角形是本题的关键． （1）根据，即可得到，在直角中，利用三角形内角和定理得到，然后根据同角的余角相等，即可证得； （2）在上取一点，使，连接，根据即可证明，然后根据全等三角形的对应边相等即可证得； （3）连接，易得，则当A，N，G三点共线时，的值最小,据此求解即可． 【详解】（1）证明：， ， 又正方形中，， ； （2）解：，证明如下： 如图2，在上取一点，使，连接． ， ， ． ． 是外角平分线， ． ． ． 在和中， ， ． ； （3）如图，连接， ∵正方形， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 由正方形的对称性知， ∴， ， ， ∴， ∴， ∴， 当A，N，G三点共线时，， ∴的最小值为10． 43．（23-24八年级下·河南驻马店·期末）四边形是正方形，点是射线上的一个动点，连接，过点作交正方形的外角的平分线于点． 【提出问题】 （1）如图1，当点在边上时，与有怎样的数量关系？ 以下是乐乐的解题思路： 如图1，乐乐在上截取，连接． 通过证全等可得________（填“>”“<”或“=”）； 【深入探究】 （2）如图2，在（1）的基础上，过点作交直线于点．以为斜边向右作等腰直角三角形，点在射线上，求证：； 【思维拓展】 （3）过点作交直线于点．以为斜边向右作等腰直角三角形，点在射线上．当，时，直接写出线段的长． 【答案】（1）=；（2）证明见解析；（3）线段的长为4或12 【知识点】四边形其他综合问题、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质证明 【分析】（1）根据即可证明，然后根据全等三角形的对应边相等即可证得； （2）在上截取，连接，同理，即可求解； （3）利用全等三角形的性质结合等腰直角三角形的性质证明，再分当在线段上和当在延长线上时两种情况讨论，同上的方法即可求解． 【详解】解：（1）四边形是正方形， ，， ， ，， ， ， ，， ． ． ． 故答案为：； （2）证明：在上截取，连接． 则， 是等腰直角三角形， ，则，，， ， ； （3），则是等腰直角三角形， ， ， ， ； 当在线段上时， ，即， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ； 当在延长线上时，延长，使，连接， 则是等腰直角三角形， ，，，， ， ，， ， 是等腰直角三角形， ， ； 综上，线段的长为4或12． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识点．正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 题型十：半角模型（难点） 44．（22-23八年级上·江西宜春·期中）问题背景：“半角模型”问题．如图1，在四边形中，，，，点E，F分别是上的点，且，连接，探究线段之间的数量关系． (1)探究发现：小明同学的方法是延长到点G．使．连结，先证明，再证明，从而得出结论：_____________； (2)拓展延伸：如图2，在四边形中，，，E、F分别是边上的点，且，请问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由． (3)尝试应用：如图3，在四边形中，，，E、F分别是边延长线上的点，且，请探究线段具有怎样的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2)成立，理由见解析 (3)，证明见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】（1）延长到点G．使．连接，利用全等三角形的性质解决问题即可； （2）延长至M，使，连接．证明，由全等三角形的性质得出．，由全等三角形的性质得出，即，则可得出结论； （3）在上截取，使，连接．证明．由全等三角形的性质得出．证明，由全等三角形的性质得出结论． 【详解】（1）解：． 延长到点G．使．连接， ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． 又∵， ∴． ∴． ∵． ∴． 故答案为：； （2）解：（1）中的结论仍然成立． 证明：如图②中，延长至M，使，连接． ∵， ∴， 在与中， ， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴，即． 在与中， ， ∴． ∴，即， ∴； （3）解：结论：． 证明：如图③中，在上截取，使，连接． ∵， ∴． 在与中， ， ∴． ∴． ∴． ∴． ∵， ∴，   ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了三角形全等的判定和性质等知识，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形解决问题． 45．（23-24八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）【问题情境】神奇的半角模型 在几何图形中，共顶点处的两个角，其中较小的角是较大的角的一半时，我们称之为半角模型．截长补短法是解决这类问题常用的方法． 如图1，在正方形中，以A为顶点的，与分别交于E、F两点，为了探究之间的数量关系，小明的思路如下： 如图2，延长到点H，使，连接，先证明，再证明．从而得到之间的数量关系． (1)提出问题：之间的数量关系为________________． (2)知识应用：如图3，，，以A为顶点的，，与分别交于E、F两点，你认为（1）中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． (3)知识拓展：如图4，在四边形中，，，．与互补，与分别交于E、F两点，且，请直接写出的周长________________．（用含a、b、c的式子表示．） 【答案】(1) (2)（1）中的结论还成立，证明见解析 (3) 【知识点】根据正方形的性质证明、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，正确作出辅助线是解决此题的关键． （1）延长到点H，使，连接，先证明，再证明，即可解答； （2）延长到点M，使，连接，先证明，再证明，即可解答； （3）延长到点P，使，连接，先证明，再证明，可得，从而得到的周长，即可解答． 【详解】（1）解：延长到点H，使，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为： （2）解：（1）中的结论还成立，证明如下： 延长到点M，使，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：如图，延长到点P，使，连接， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴的周长． 故答案为： 46．（23-24八年级下·河南南阳·期末）【问题背景】 从正方形的一个顶点引出夹角为的两条射线，并连接它们与两对边的交点，构成的基本平面几何模型称为半角模型． 【问题发现】 （1）如图1，在正方形中，以A为顶点的，与边分别交于E，F两点．则之间的数量关系为_________． 【问题探究】 （2）如图2，在四边形中，，，，以A为顶点的，与边分别交于E，F两点，且，求五边形的周长． 【问题拓展】 （3）如图3，在四边形中，，与互补，点E，F分别在射线上，且．当，，时，请直接写出的周长．    【答案】（1）；（2）22；（3）18 【知识点】根据正方形的性质证明、根据旋转的性质求解、全等三角形综合问题 【分析】（1）利用旋转的性质，可得，则可得出答案，证明即可； （2）根据旋转的性质得到，推出三点共线，根据全等三角形的性质即可得到，据此求解即可； （3）证明和，即可求解． 【详解】解：（1）， 理由：如图，将绕点顺时针旋转得到，   ， ， ∴点在一条直线上， ∵四边形为正方形， ， ， ， ， 在和中 ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：将绕点顺时针旋转得到，   ， ， 三点共线， ， ， ， ， ， ， ， 五边形的周长； （3）解：在上截取，   ， ， 在和中 ， ， ， ， ， ， 在和中 ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题是四边形的综合题，主要考查全等三角形的性质与判定，正方形的性质，旋转的性质，补角的定义等知识点，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 47．（24-25八年级上·山东烟台·期末）如图1，在正方形中，是上一点，是延长线上一点，且，连接、． (1)求证：； (2)在图1中，若在上，且，连接，求证：； (3)根据你所学的知识，运用（1）、（2）解答中积累的经验，完成下列各题： ①如图2，在四边形中，，，，是的中点，且，求的长； ②如图3，在菱形中，，、分别在和上，且，连接．若，，请直接写出的长度________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)①；② 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、根据正方形的性质证明、用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长 【分析】（1）因为为正方形，所以，，又因为，则，即可求证； （2）因为，，则有，又因为，所以，，则，故成立； （3）①过点作交的延长线于点，利用勾股定理即可求得的长；②把旋转得到，过作于，根据旋转的性质和全等三角形的判定和性质可得到，，根据直角三角形的性质得到，，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）证明：在正方形中，，， ， 在和中， ， ， ； （2）证明：，， ， （已证）， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； （3）解：①如图，过点C作，交的延长线于点， 由（2）和题设知：， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， ， 解得， ； ②如图，把旋转得到，过作于， ，，，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了勾股定理、正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，菱形的性质，解决问题的关键是在直角三角形中运用勾股定理列方程求解． 6 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 平行四边形 （考题猜想，10种易错重难点与解题模型47题） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 题型一：证明平行四边形（易错） 1．（23-24八年级下·山西临汾·期末）如图，在中，，交于点O，于E，交于F，求证：四边形是矩形． 2．（22-23八年级下·北京朝阳·期中）如图，在中，、分别是、的中点，求证：四边形是平行四边形． 3．（24-25八年级上·山东淄博·期末）如图，平行四边形的对角线相交于点O，平分，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 4．（23-24八年级下·云南昆明·期末）如图，在矩形中，点是的中点，延长至点，使得，连接，的延长线与的延长线交于点，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若平分，，求菱形的面积． 5．（23-24八年级下·新疆乌鲁木齐·期末）如图，在平行四边形中，过点D作于点E，点F在边上，且，连接．    (1)求证：四边形是矩形； (2)若平分，，，求的长． 6．（23-24八年级下·广东江门·期中）综合与实践 如图，在中，，过点C的直线，D为边上一点，过点D作，交直线于点E，垂足为点F，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当D在AB中点时，四边形是什么特殊四边形？说明你的理由； (3)在（2）的条件下，当_____时，四边形是正方形． 题型二：60°菱形问题（易错） 7．（23-24八年级下·广西桂林·期末）如图，在四边形中，，，对角线交于点O，若四边形是矩形，交于点F． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求菱形的面积． 8．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期末）如图，在菱形中，为对角线，是上的点，连接，． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 9．（23-24八年级下·山东威海·期末）如图，点是菱形对角线上任意一点，连接，，．点是延长线上一点，连接，交于点，且． (1)求的度数； (2)若，请直接写出，，的数量关系，不需要证明． 10．（23-24八年级下·河北承德·期末）如图，已知菱形的边长为2，，点、分别是边、上的两个动点，，连接． (1)是等边三角形吗？如是，请证明；如不是，请说明理由． (2)在运动的过程中，四边形的面积是否发生变化？若不变化，求出面积的值；若变化，说明理由． 11．（23-24八年级下·陕西咸阳·期末）在中，，是的中点，过点作，且，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接，若，，求的长． 题型三：四边形中折叠问题（难点） 12．（24-25八年级上·甘肃张掖·期末）如图．将长方形沿着对角线折叠，使点C落在处，交于点E． (1)试判断的形状，并说明理由； (2)若，求的面积． 13．（23-24八年级下·福建厦门·期末）在矩形中，若点E是线段上的一动点，将沿直线翻折，C点的对应点为F点．    (1)若点F落在矩形内，且满足，请用尺规在图1中作出F点（尺规作图，要求保留作图痕迹，不必写作法）． (2)如图2，已知，，若点F恰好落在线段上，求线段的长． 14．（23-24八年级下·辽宁大连·期末）如图1，矩形，以边为底向内作等腰，，延长与边交于点，连接，把沿翻折，点的对应点恰好落在上． (1)①　　；（用含的式子表示） ②若，，求的长； (2)如图2，以边为底向外作等腰，且，连接、，将沿翻折，点得对应点恰好落在上，．求得长． 15．（23-24八年级下·河南周口·期末）如图，矩形中，，，为上一点，将沿翻折至，与相交于点，且，与相交于点G． (1)求证：； (2)求线段 的长． 16．（23-24八年级下·云南昆明·期末）如图①，在正方形中，是上的点（不与、重合），连接，把沿折叠得到，延长交于点，连接． (1)求证：； (2)如图②，过点作的垂线，交的延长线于点，连接，求证：； (3)在图②中，判断和的数量关系，并说明理由． 17．（23-24八年级下·陕西安康·期末）综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动． 【操作判断】 (1)如图①，在正方形中，点是的中点，交于点．点是边上的一点，连接，将正方形纸片沿所在直线折叠，点的对应点落在上．已知，则的度数为______； 【深入探究】 (2)如图②，在图①的基础上继续折叠，点是边上的一点，连接，将正方形纸片沿所在直线折叠，点的对应点落在上．试探究与之间的数量关系； 【拓展应用】 (3)如图③，在图②的基础上，点，分别是，的中点，顺次连接、、、，若，求点，之间的距离． 18．（23-24八年级下·山东威海·期末）我们定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做“神奇四边形”． (1)在我们学过的下列四边形①平行四边形②矩形③菱形④正方形中，是“神奇四边形”的是 （填序号）； (2)如图， 在正方形中， E为上一点， 连接， 过点B作于点H， 交于点G， 连，． 判断四边形是否为“神奇四边形”，并说明理由； 如图2， 点M，N，P，Q分别是，，，的中点． 判断四边形是否是“神奇四边形”，并说明理由： (3)如图3， 点F，R分别在正方形的边，上， 把正方形沿直线翻折，使得的对应边恰好经过点A，过点A作于点O，若，正方形的边长为6，求线段的长． 19．（23-24八年级下·江西赣州·期末）综合与实践 数学活动课上，数学老师以“矩形纸片的折叠”为课题开展数学活动：将矩形纸片对折，使得点A、D重合，点B、C重合，折痕为，展开后沿过点B的直线再次折叠纸片，点A的对应点为点N，折痕为． （1）如图①，若，则当点N落在上时，和的数量关系是_______；的度数为_____； 思考探究： （2）在的条件下进一步进行探究，将沿所在的直线折叠，点M的对应点为点，当点落在上时，如图②，设、分别交于点J、K，若，请求出三角形的面积； 拓展应用： （3）如图③，在矩形纸片中，，，将纸片沿过点B的直线折叠，折痕为，点A的对应点为点N，展开后再将四边形沿所在的直线折叠，点A的对应点为点P，点M的对应点为点，连接、，若，请直接写出的长． 20．（23-24八年级下·湖南·期末）如图，取一张矩形的纸片进行折叠，具体操作过程如下： (1)【课本再现】 第一步：如图1，对折矩形纸片，使与重合，折痕为，把纸片展平； 第二步：在上选一点P，沿折叠纸片，使点A落在矩形内部的点M处，连接，根据以上操作，当点M在上时，___________； (2)【类比应用】 如图2，现将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：将正方形纸片按照（1）中的方式操作，并延长交于点Q，连接，当点M在上时，求的度数； (3)【拓展延伸】 在（2）的探究中，正方形纸片的边长为，改变点P在上的位置（点P不与点A，D重合），沿折叠纸片，使点A落在矩形内部的点M处，连接，并延长交于点Q，连接．当时，请求出的长． 题型四：四边形中最值问题（难点） 21．（22-23八年级下·江苏连云港·期末）定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形．根据以上定义，解决下列问题： (1)如图1，以菱形的一边为边向外作正方形，、分别是菱形和正方形的对角线交点，连接．    求证：四边形是“直等补”四边形． ②若，求四边形的面积． (2)如图2，已知四边形是“直等补”四边形，其中，，过点作于点且，连接，若点是线段上的动点，请你直接写出周长的最小值．    22．（22-23八年级下·湖北鄂州·期末）【操作发现】由得，；如果两个正数a，b，即，，则有下面的不等式：，当且仅当时取到等号． 例如：已知，求式子的最小值． 解：令，，则由，得，当且仅当时，即时式子有最小值，最小值为4．    (1)【问题解决】请根据上面材料回答下列问题： 已知，当为多少时，代数式的最小值为； (2)【灵活运用】当时，求的最小值； (3)【学以致用】如图，民民同学想做一个菱形风筝，现在有一根长的竹竿，他准备把它截成两段做成风筝的龙骨即菱形的对角线，，请你帮他设计一下，当为多少时菱形的面积最大，最大值为（直接写出结果）． 23．（22-23八年级下·江苏泰州·期末）如图，矩形纸片，，，点P为边上一动点，将矩形纸片沿折叠，折叠后与相交于点E． (1)为何值时，点E与点A重合； (2)当长为何值时，的面积最大？并求出面积的最大值． 24．（22-23八年级下·江苏泰州·期末）如图，已知菱形的边长为，，点、分别是边、上的两个动点，，连接．      (1)是等边三角形吗？如是，请证明；如不是，请说明理由． (2)在、运动的过程中，的面积存在最大值吗？如存在，请求出该最大值；如不存在，请说明理由． 25．（22-23八年级下·重庆忠县·期末）在Rt△ABC中，，，点D为直线上一点，连接．        (1)如图1，当点D在线段AC上时，过点C作交的延长线于点E，连接，过点A作交于点F，当时，求的长； (2)如图2，延长至点G，使，作的平分线交于点H，交的延长线于点K．求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，取的中点M，连接、，当点D在直线上运动时，直接写出的最大值． 题型五：四边形中动点问题（难点） 26．（22-23八年级下·江西南昌·期中）如图，在四边形中，，，，，，点从点A出发，以的速度向点运动；点从点同时出发，以的速度向点运动.规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动.设点的运动时间为； (1)边的长度为________，的最大值为________； (2)当为何值时，四边形是矩形； (3)当时，判断此时四边形的形状，并说明理由； 27．（22-23八年级下·浙江绍兴·期末）如图，已知正方形的边长为2，点是边上的一动点，平分交边于点．          (1)①当点恰好是边的中点时，求线段长；②当点恰好是边CD的中点时，求线段长． (2)猜想线段，，之间的数量关系，并说明理由． (3)直接写与面积和的最大值． 28．（22-23八年级下·广西桂林·期末）如图，在四边形中，，，，，，动点从点A出发，以的速度向终点运动，同时动点从点出发，以的速度沿折线向终点运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为秒． (1)用含的式子表示； (2)当为何值时，直线把四边形分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形？ (3)只改变点的运动速度，使运动过程中某一时刻四边形为菱形，则点的运动速度应为多少？ 29．（22-23八年级下·四川宜宾·期末）已知，如图，O为坐标原点，四边形为矩形，，，点D是的中点，动点P在线段上以每秒2个单位长的速度由点C向B运动．设动点P的运动时间为t秒．    (1)当t为何值时，四边形是平行四边形？ (2)在直线上是否存在一点Q，使得O、D、Q、P四点为顶点的四边形是菱形？若存在，求t的值，并求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由． 30．（22-23八年级下·吉林长春·期末）如图，在中，，，垂直平分于点．点从点出发，沿以每秒1个单位长度的速度向终点运动，同时动点从点出发沿射线以每秒3个单位长度的速度运动，点到达终点时，、同时停止运动．设点运动的时间为秒．    (1)的长为 　　 (2)用含的代数式表示线段的长． (3)当以点、、、为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值． (4)当为钝角三角形时，直接写出的取值范围． 题型六：中点四边形模型（易错） 31．（22-23八年级下·山西吕梁·期中）如图，在四边形中，对角线，，且，垂足为O，顺次连接四边形各边的中点，得到四边形；再顺次连接四边形各边的中点，得到四边形，…如此下去得到四边形． (1)判断四边形的形状，并说明理由． (2)求四边形的面积． (3)直接写出四边形的面积（用含n的式子表示）． 32．（23-24八年级下·河北唐山·期末）如图①，在四边形中，，是对角线的中点，是的中点，是的中点．求证：． 【应用】如图②，连结图①中的，并取中点，连结、． （1）若，则四边形的周长为 ． （2）图③，若，且，则四边形的面积为 ． 33．（23-24八年级下·河北秦皇岛·期末）阅读下面材料： 在数学课上，老师请同学们思考如下问题：如图1，我们把一个四边形的四边中点E，F，G，H依次连接起来得到的四边形是平行四边形吗？ 小敏在思考问题时，有如下思路：连接． 结合小敏的思路作答： （1）若只改变图1中四边形的形状（如图2），则四边形还是平行四边形吗？请说明理由； 参考小敏思考问题的方法，解决以下问题： （2）如图2，在（1）的条件下，若连接，．当与满足什么关系时，四边形是正方形．直接写出结论． 题型七：十字架模型（难点） 34．（22-23八年级下·辽宁大连·期末）如图1，为正方形内一点，点在边上（不与端点，重合），垂直平分交于点，连接．过点作交射线于点． (1)求的大小； (2)求证：； (3)如图2，连接，若，求的值． 35．（23-24八年级下·黑龙江双鸭山·期末）我们定义：对角线相等且互相垂直的四边形叫做“宁美四边形”． (1)在我们学过的下列四边形①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形中，是“宁美四边形”的是___________（填序号）； (2)如图，在正方形中，为上一点，连接，过点作于点，交于点，连、．求证：四边形是“宁美四边形”； 36．（23-24八年级下·安徽六安·期末）已知正方形中，点E，F分别在边，上，连接，． (1)若E为的中点，于点O． ①如图1，求证：； ②如图2，连接，求的值． (2)如图3，若，，则的最小值为 ．（直接写出结果）． 题型八：中心直角模型（难点） 37．（22-23八年级下·山东临沂·期末）如图，点E为正方形对角线上一点，连接，．过点E作，交边于点F，以，为邻边作矩形． (1)求证：矩形是正方形； (2)连接，若正方形的边长为9，，求正方形的边长． 38．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）四边形为正方形，点为线段上一点，连接，过点作，交射线于点，以为邻边作矩形，连接． (1)如图1，求证：矩形是正方形； (2)若，，求的长度； (3)当线段与正方形的某条边的夹角是时，求的度数． 39．（23-24八年级下·河南郑州·期末）综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“正方形”为主题开展数学活动．将直角的顶点E放在正方形的对角线上（点E不与A、C重合），其中直角边与交于点F，直角边与交于点G． (1)发现：如图，当与垂直时，填空：________．（填“”、“”或“”） (2)探究：如图，当与不垂直时，请判断与之间的数量关系是否发生变化？若变化，请说明理由，若不变，请给出证明； (3)拓展：当与不垂直时，以、为邻边构造矩形，连接，请直接写出的度数． 40．（23-24八年级下·辽宁抚顺·期末）【问题情境】 数学兴趣小组在探究与正方形有关的动点问题时，如图2，在正方形中，点为对角线上一动点，连接，过点作，交射线于点，以，为边作矩形． 【特例探究】 启智小组在探究过程中遵循由特殊到一般的探究规律：如图1，当时，点与点重合，此时可以证明矩形是正方形． 【探究发现】 (1)博学小组发现，如图2，当时，点落在边上，此时，过点作于点，于点，通过证明，进而可以证明出矩形是正方形，请你帮助博学小组完成证明． (2)奋发小组受博学小组的启发，进一步深入探究，如图3，当时，点落在的延长线上． ①此时矩形还是正方形吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由． ②当，且时，直接写出的长． 题型九：外角平分线模型（难点） 41．（23-24八年级下·内蒙古呼和浩特·期末）综合与实践 【提出问题】 由课本一道复习题，小明进行改编探究：如图，正方形中，点E是边上的一个动点（不与点B，C重合），过点E作交正方形的外角的平分线于点F．求证：． （1）如图1，当点E在边上时，小明的证明思路如下： 在上截取，连接． 则易得在和中 ∴ ∴ 请补全小明的证明思路，横线处应填______． 【深入探究】 （2）如图2，在（1）的基础上，过点F作交直线于点G．以为斜边向右作等腰直角三角形，点H在射线上． ①求证：； ②当，时，请求出线段的长． 42．（23-24八年级下·湖南长沙·期末）如图1，四边形是正方形，点是边上的点，且交正方形的外角的角平分线于点F． (1)求证：． (2)试猜想线段与线段存在怎样的数量关系，并证明你的结论． (3)如图2，线段与交于点N，若，连接，求的最小值． 43．（23-24八年级下·河南驻马店·期末）四边形是正方形，点是射线上的一个动点，连接，过点作交正方形的外角的平分线于点． 【提出问题】 （1）如图1，当点在边上时，与有怎样的数量关系？ 以下是乐乐的解题思路： 如图1，乐乐在上截取，连接． 通过证全等可得________（填“>”“<”或“=”）； 【深入探究】 （2）如图2，在（1）的基础上，过点作交直线于点．以为斜边向右作等腰直角三角形，点在射线上，求证：； 【思维拓展】 （3）过点作交直线于点．以为斜边向右作等腰直角三角形，点在射线上．当，时，直接写出线段的长． 题型十：半角模型（难点） 44．（22-23八年级上·江西宜春·期中）问题背景：“半角模型”问题．如图1，在四边形中，，，，点E，F分别是上的点，且，连接，探究线段之间的数量关系． (1)探究发现：小明同学的方法是延长到点G．使．连结，先证明，再证明，从而得出结论：_____________； (2)拓展延伸：如图2，在四边形中，，，E、F分别是边上的点，且，请问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由． (3)尝试应用：如图3，在四边形中，，，E、F分别是边延长线上的点，且，请探究线段具有怎样的数量关系，并证明． 45．（23-24八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）【问题情境】神奇的半角模型 在几何图形中，共顶点处的两个角，其中较小的角是较大的角的一半时，我们称之为半角模型．截长补短法是解决这类问题常用的方法． 如图1，在正方形中，以A为顶点的，与分别交于E、F两点，为了探究之间的数量关系，小明的思路如下： 如图2，延长到点H，使，连接，先证明，再证明．从而得到之间的数量关系． (1)提出问题：之间的数量关系为________________． (2)知识应用：如图3，，，以A为顶点的，，与分别交于E、F两点，你认为（1）中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． (3)知识拓展：如图4，在四边形中，，，．与互补，与分别交于E、F两点，且，请直接写出的周长________________．（用含a、b、c的式子表示．） 46．（23-24八年级下·河南南阳·期末）【问题背景】 从正方形的一个顶点引出夹角为的两条射线，并连接它们与两对边的交点，构成的基本平面几何模型称为半角模型． 【问题发现】 （1）如图1，在正方形中，以A为顶点的，与边分别交于E，F两点．则之间的数量关系为_________． 【问题探究】 （2）如图2，在四边形中，，，，以A为顶点的，与边分别交于E，F两点，且，求五边形的周长． 【问题拓展】 （3）如图3，在四边形中，，与互补，点E，F分别在射线上，且．当，，时，请直接写出的周长．    47．（24-25八年级上·山东烟台·期末）如图1，在正方形中，是上一点，是延长线上一点，且，连接、． (1)求证：； (2)在图1中，若在上，且，连接，求证：； (3)根据你所学的知识，运用（1）、（2）解答中积累的经验，完成下列各题： ①如图2，在四边形中，，，，是的中点，且，求的长； ②如图3，在菱形中，，、分别在和上，且，连接．若，，请直接写出的长度________． 6 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$