专题01相交线与平行线（19种经典基础题+优选提升题）-【好题汇编】备战2024-2025学年七年级数学下学期期末真题分类汇编（人教版2024，吉林专用）

专题01 相交线与平行线 题型概览 题型01对顶角相等 题型02利用邻补角互补求角度 题型03垂线的定义理解 题型04垂线段最短 题型05点到直线的距离 题型06平行公理的应用 题型07同位角相等两直线平行 题型08同旁内角互补两直线平行 题型09在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行 题型10两直线平行同位角相等 题型11两直线平行内错角相等 题型12两直线平行同旁内角互补 题型13根据平行线的性质探究角的关系 题型14根据平行线的性质求角的度数 题型15根据平行线判定与性质求角度 题型16根据平行线判定与性质证明 题型17判断命题真假 题型18图形的平移 题型19利用平移的性质求解 ( 题型01 ) 对顶角相等 1．（23-24七年级上·吉林长春·期末）一种对顶角量角器如图所示，它所测量的角的度数是，用它测量角的数学道理是 ． 2．（22-23七年级上·吉林长春·期末）如图，直线、相交于点，．若与的度数之比为，则的度数是 ．    3.（22-23七年级上·吉林长春·期末）如图，直线和相交于点O，，平分，． (1)求的度数； (2)求的度数． ( 题型0 2 ) 利用邻补角互补求角度 1.（23-24七年级上·吉林白城·期末）如图，已知是直线上一点，，平分，则 ． 2．（23-24七年级下·吉林·期末）如图，相交于点O，，则的度数为 ． 3．（24-25七年级上·吉林·期末）已知点O是直线上一点．，射线是的平分线． 【提出问题】 （1）如图①，若，则 度； 【类比分析】 （2）如图②，设，求的度数（用含的代数式表示）； 【变式探索】 （3） 如图③，若，求的度数． ( 题型0 3 ) 垂线的定义理解 1．（22-23七年级上·吉林长春·期末）如图，直线与直线相交，交点为，，平分，若则的度数为（    ） A． B． C． D． 2.（24-25七年级上·吉林长春·期末）如图，直线相交于点O，于点O， 度． 3.（23-24七年级上·吉林长春·期末）如图，直线、相交于点，平分，．若，求的度数． ( 题型0 4 ) 垂线段最短 1.（23-24七年级下·吉林松原·期末）如图，某地进行城市规划，在一条新修公路旁有一超市，现要建一个汽车站，为了使超市距离车站最近，请你在公路上选一点来建汽车站，应建在点C，依据是（    ） A．两点之间线段最短 B．垂线段最短 C．过一点可以作无数条直线 D．两点确定一条直线 2.（23-24七年级下·吉林白山·期末）掷实心球是一项快速发力并且对身体协调性要求全面的中考体育项目．小赵站在投掷线前将实心球奋力一投，实心球落在点处（如图所示），你认为小赵的成绩是线段 ．    3.（23-24七年级上·吉林长春·期末）在如图所示的方格中，点A、B、C均为网格点，按要求画图并回答问题：    (1)画直线． (2)过点C画线段的垂线，垂足为点D． (3)点C与直线上各点连结的所有线段中，线段最短的数学道理是 ． A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线 C．垂线段最短 ( 题型0 5 ) 点到直线的距离 1.（23-24七年级上·吉林长春·期末）如图，点A，D在直线m上，点B，C在直线n上，，，，点A到直线的距离是（　　） A．线段的长度 B．线段的长度 C．线段的长度 D．线段的长度 2.（24-25七年级上·吉林长春·期末）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，点、、、均在格点上，只用直尺在给定的网格中，按下列要求作图． (1)作线段，作射线； (2)点到直线的距离为线段________的长度； (3)在线段上找一点，使它到、、、四个点的距离之和最小，作图的理由为________． ( 题型0 6 ) 平行公理的应用 1.（21-22七年级上·吉林长春·期末）下列说法：①两点之间的所有连线中，线段最短． ②在数轴上与表示－1的点距离是3的点表示的数是2 ；③ 相等的角是对顶角；④过一点有且仅有一条直线与已知直线平行；⑤若AC=BC，则点C是线段AB的中点，其中错误的有（  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（22-23七年级下·吉林·阶段练习）下列命题中，是假命题的是（    ） A．对顶角相等 B．同一平面内，若，，则 C．同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 D．如果，那么 ( 题型0 7 ) 同位角相等两直线平行 1.（20-21七年级下·吉林四平·期末）如图，不添加辅助线，请写出一个能判定ADBC的条件 ． 2.（21-22七年级下·吉林延边·期末）如图，能判定/的条件是 （用图中的符号表示，填一个即可）． 3．（22-23七年级上·吉林长春·期末）如图，是的平分线，若，，求证：    ( 题型 8 ) 同旁内角互补两直线平行 1.（24-25七年级上·吉林长春·期末）利用下列尺规作图中，不一定能判定直线平行于直线的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·吉林白城·阶段练习）如图，不能判定的条件是（    ） A． B． C． D． ( 题型 9 ) 在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行 1.（21-22七年级上·吉林长春·期末）如图，已知BC⊥AE，DE⊥AE，∠2＋∠3＝180°．若∠1＝66°，BC平分∠ABD，则∠ACH＝ °． 2.（20-21七年级下·吉林·期末）在一次数学活动课上，老师让同学们用两个大小、形状都相同的三角板画平行线、，并说出自己做法的依据。小琛、小萱、小冉三位同学的做法如下： 小琛说：“我的做法的依据是内错角相等，两直线平行” 小琛说的是否正确？______（回答正确或错误） 小萱做法的依据是__________________ 小冉做法的依据是__________________． ( 题型 10 ) 两直线平行同位角相等 1.（23-24七年级下·吉林四平·期末）如图，，是上一点，直线与的夹角，要使，直线绕点逆时针旋转的最小角度为 度． 2．（22-23七年级下·吉林·期末）如图，直线，直线分别交直线和于点A和点B，直线经过点A，若，则的度数为 ．    3.（22-23七年级下·吉林·期末）如图，直线与，分别交于点，，若，射线是的平分线，，求的度数． ( 题型 11 ) 两直线平行内错角相等 1.（20-21七年级下·吉林延边·期末）如图，已知，点E在上，连接，作平分交于点F，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2.（23-24七年级上·吉林·期末）如图，一把长方形直尺沿直线断开并错位摆放，点、、、在同一条直线上，若，则的度数为 ． 3.（24-25七年级上·吉林长春·期末）如图是的正方形网格，每个小正方形的边长为，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上，请按要求画图（要求：作图只用无刻度的直尺）． (1)在图中，过点作直线的垂线，垂足为点； (2)在图中，作，使； (3)在图中，作点，使点在线段上且的长度最小． ( 题型 12 ) 两直线平行同旁内角互补 1.（21-22七年级下·吉林长春·期末）如图①，在△ABC中，，．如图②，将图①中的边CB边绕点C按逆时针方向旋转一周回到原来的位置 ，得到线段．在整个旋转的过程中，若，则的大小为（    ） A．73° B．107° C．73°或107° D．42°或107° 2.（20-21七年级下·吉林·期末）如图，若，，则 ． 3.（21-22七年级上·吉林长春·期末）如图，已知ABCD，BE平分∠ABC，∠CDE = 150°，求∠C的度数． ( 题型 13 ) 根据平行线的性质探究角的关系 1.（20-21七年级上·吉林长春·期末）填空：(将下面的推理过程及依据补充完整) 如图，已知：平分，，，求证：平分 ． 证明：平分(已知)， ∴（角平分线的定义）， ∵（已知）， ∴ ， ∴（等量代换）， ∵（已知）， ∴ （            ）， （                 ）， ∴ （等量代换）， ∴平分 （    ）． 2.（24-25七年级上·吉林·期末）已知，直线，点为平面内一点，连接与． (1)如图1，当点在直线，之间，且时，则_____ (2)如图2，当点在直线，之间，且与的角平分线相交于点，写出与之间的数量关系，并说明理由． (3)如图3，当点在下方时，与的角平分线相交于点（在下方），且，，直接写出的大小（用含和的代数式表示）． ( 题型 14 ) 根据平行线的性质求角的度数 1.（24-25七年级上·吉林长春·期末）在同一平面内，将直尺、含角的三角尺和木工角尺（）按如图方式摆放．若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 2．（22-23七年级下·吉林·期末）如图，，若，则的度数是 ． 3.（23-24七年级下·吉林松原·期末）健康骑行越来越受到老百姓的喜欢，自行车（图1）的示意图如图2所示，其中，．若，，求的度数． ( 题型 15 ) 根据平行线判定与性质求角度 1.（22-23七年级下·吉林四平·期末）如图，，，则等于（    ）    A． B． C． D． 2.（24-25七年级上·吉林长春·期末）如图，直线、被直线、所截，若，则的大小是 度． 3.（24-25七年级上·吉林长春·期末）【探究】如图①，已知， （1）若，，求的度数； （2）求证：； 【应用】如图②，已知，若，，，则_____________． ( 题型 16 ) 根据平行线判定与性质证明 1．（24-25七年级上·吉林长春·期末）如图，已知，和互余，于点，则和相等吗？阅读下面的解答过程，并填空．（理由或数学式） 解：（已知）， （垂直的定义）， _____， 又和互余（已知）， _____， _____（_____）， （已知）， ______（等量代换）， ______（_____）， （ ）． 2．（24-25七年级上·吉林长春·期末）如图，，点E在上，点F在上，．那么吗？阅读下面的推理过程，并填空（理由或数学式）． 解：∵（已知）， （________________________）， ∴（等量代换）． ∴________∥________（________________________）， ∴（两直线平行，同位角相等）． ∵（已知）， ∴（________________________）． ∴________=________（等量代换）． ( 题型 17 ) 判断命题真假 1.（22-23七年级下·吉林长春·期末）下列命题中，是真命题的是（    ） A．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 B．同旁内角互补 C．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行 D．互补的角是邻补角 2.（21-22七年级下·吉林·期末）“同位角相等” （填“是真命题”或“是假命题”或“不是命题”）． ( 题型 18 ) 图形的平移 1.（23-24七年级下·吉林白城·期末）如图是亚运会的吉祥物“琮琮”，通过平移“琮琮”可以得到的图形是（    ） A． B． C． D． 2.（20-21七年级下·吉林长春·期末）如图，小船经过一次平移，到了新的位置． （1）在图中画出缺少的部分． （2）测量出小船平移的距离为 　 　厘米（以答题卡上的图形为准，精确到0.1厘米）． ( 题型 19 ) 利用平移的性质求解 1.（22-23七年级下·吉林长春·期末）如图，直角三角形沿着的方向平移到直角三角形的位置．若，，，则阴影部分的面积为（   ） A．12 B．16 C．28 D．24 2.（23-24七年级下·吉林长春·期末）如图，将周长为的沿方向平移得到，连结，若四边形的周长是，则平移的距离是 cm． 3.（20-21七年级下·吉林长春·期末）如图，在三角形中，，，沿方向平移至，若，． （1）求的长； （2）求四边形的周长． 一、单选题 1．（24-25七年级上·吉林长春·期末）在下列图中，与属于对顶角的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·吉林长春·期末）下列四个已学的几何知识中，不属于基本事实的是（    ） A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短 C．垂线段最短 D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 3．（23-24七年级上·吉林长春·期末）平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等，如图①，一束光线m射到平面镜a上，被a反射后的光线为n，则．如图②，一束光线先后经平面镜、反射后，反射光线与平行．若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 4．（22-23七年级下·吉林长春·期末）如图，的周长为，若将沿射线方向平移后得到，与相交点G，连结，则与的周长和为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 5．（23-24七年级上·吉林长春·期末）如图，，直线经过点，，，则 ． 6．（24-25七年级上·吉林·期末）如图，，平分，平分，点、、在一条直线上，点、、、在一条直线上，，，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的是 ． 7．（24-25七年级上·吉林长春·期末）图①是某自行车的实物图，图②是图①的示意图．经测得，且都与地面平行，．有如下四个结论：①；②若，则；③若，则；④若，则．在这四个结论中正确的序号为 ． 三、解答题 8．（24-25七年级上·吉林长春·期末）如图，已知，，求证：． 阅读下面的解答过程，并填空（理由）． 证明：（已知）， （   ） 又（已知）， （   ） （   ） 9．（24-25七年级上·吉林长春·期末）图①、图②、图③均是正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点A在格点上，格点B在边上，按下列要求在给定的网格中画图： (1)在图①中画的一个补角； (2)在图②中画的一个余角； (3)在图③中射线的右侧画，使． 10．（23-24七年级上·吉林长春·期末）【阅读理解】如图①，与的边与互相平行，另一组边、交于点E，且点E在、之间，且在直线右侧，试说明：． 老师在黑板中写出了部分求解过程，请你完成下面的求解过程，并填空（理由或数学式）． 解：如图②，过点E作． ∴（    ）． ∵（    ） ∴（    ）． ∴． ∴．（    ） ∴． ［理解应用]如图③，当图①中的点E在直线右侧时，其它条件不变，若．求与的和． ［拓展] 与的边与互相平行，且点B、D在直线同侧，另一组边、交于点E，且点E在、之间．若的角平分线与的角平分线交于点F，设，请借助图①和图③，用含的代数式直接写出的度数． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 相交线与平行线 题型概览 题型01对顶角相等 题型02利用邻补角互补求角度 题型03垂线的定义理解 题型04垂线段最短 题型05点到直线的距离 题型06平行公理的应用 题型07同位角相等两直线平行 题型08同旁内角互补两直线平行 题型09在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行 题型10两直线平行同位角相等 题型11两直线平行内错角相等 题型12两直线平行同旁内角互补 题型13根据平行线的性质探究角的关系 题型14根据平行线的性质求角的度数 题型15根据平行线判定与性质求角度 题型16根据平行线判定与性质证明 题型17判断命题真假 题型18图形的平移 题型19利用平移的性质求解 ( 题型01 ) 对顶角相等 1．（23-24七年级上·吉林长春·期末）一种对顶角量角器如图所示，它所测量的角的度数是，用它测量角的数学道理是 ． 【答案】对顶角相等 【分析】本题主要考查对顶角相等，理解图示，掌握对顶角的性质是解题的关键．根据量角器的使用方法，对顶角的性质即可求解． 【详解】解：一种对顶角量角器如图所示，它所测量的角的度数是，用它测量角的数学道理是对顶角相等， 故答案为：对顶角相等． 2．（22-23七年级上·吉林长春·期末）如图，直线、相交于点，．若与的度数之比为，则的度数是 ．    【答案】120 【分析】根据题意求得，进而根据对顶角相等得出，根据即可求解． 【详解】，与的度数之比为， ， 直线、相交于点， ， ， ， 故答案为：120． 【点睛】本题考查了对顶角相等，几何图形中角度的计算，数形结合是解题的关键． 3.（22-23七年级上·吉林长春·期末）如图，直线和相交于点O，，平分，． (1)求的度数； (2)求的度数． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）根据余角的定义求得的度数，根据对顶角相等即可求解； （2）根据角平分线的定义求出的度数，计算即可． 【详解】（1）解：∵，，则， ∴， ∴； （2）解：∵， ∵平分， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了对顶角、余角的概念和性质以及角平分线的定义，掌握对顶角相等是解题的关键． ( 题型0 2 ) 利用邻补角互补求角度 1.（23-24七年级上·吉林白城·期末）如图，已知是直线上一点，，平分，则 ． 【答案】/105度 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，几何图形中角的计算，解题的关键是熟练掌握角平分线的定义． 【详解】解：， ， 平分， ， ． 故答案为：． 2．（23-24七年级下·吉林·期末）如图，相交于点O，，则的度数为 ． 【答案】/110度 【分析】本题考查了对顶角相等的性质，平角的定义，准确识图是解题的关键．依据、、相交于点，，即可得到，再根据对顶角相等，即可得出． 【详解】解：、、相交于点，， ， 又与是对顶角， ， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·吉林·期末）已知点O是直线上一点．，射线是的平分线． 【提出问题】 （1）如图①，若，则 度； 【类比分析】 （2）如图②，设，求的度数（用含的代数式表示）； 【变式探索】 （3）如图③，若，求的度数． 【答案】（1）（2）（3） 【分析】本题考查了邻补角，一元一次方程的几何运用，几何图形的角度运算，与角平分线有关的运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先运用邻补角性质得，结合角平分线的定义得，再运用角的和差关系列式计算，即可作答． （2）先表示，因为射线是的平分线，故，再根据邻补角性质，即可作答． （3）设，则，再分别表示，，然后代入，进行计算，即可作答． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵射线是的平分线． ∴， 则； （2）∵，， ∴ ∵射线是的平分线， ∴ ∴； （3）设， ∵射线是的平分线， ∴， 则 ∵， ∴ ∵， ∴ 解得 即． ( 题型0 3 ) 垂线的定义理解 1．（22-23七年级上·吉林长春·期末）如图，直线与直线相交，交点为，，平分，若则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对顶角相等及角平分线的定义得出，再根据垂直的定义及角的和差即可得出答案． 【详解】 平分， 故选B． 【点睛】本题考查了对顶角、角平分线的定义、垂直的定义，根据图找到角的和差关系是解题的关键． 2.（24-25七年级上·吉林长春·期末）如图，直线相交于点O，于点O， 度． 【答案】 【分析】此题主要考查了垂线的性质．根据垂直定义可得的度数，然后再根据可得． 【详解】解：， ， ， ． 故答案为：． 3.（23-24七年级上·吉林长春·期末）如图，直线、相交于点，平分，．若，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查角的计算以及角平分线的定义． 先根据题意得到的度数，进而根据角平分线的定义得到的度数，再结合题意进行运算即可求解． 【详解】解：， ， 平分， ， ， ， ( 题型0 4 ) 垂线段最短 1.（23-24七年级下·吉林松原·期末）如图，某地进行城市规划，在一条新修公路旁有一超市，现要建一个汽车站，为了使超市距离车站最近，请你在公路上选一点来建汽车站，应建在点C，依据是（    ） A．两点之间线段最短 B．垂线段最短 C．过一点可以作无数条直线 D．两点确定一条直线 【答案】B 【分析】本题考查了垂线段最短的应用．熟练掌握：在连接直线外一点与直线上的所有点的连线中，垂线段最短是解题的关键．根据垂线段最短作答即可． 【详解】解：由题意知，依据为垂线段最短， 故选：B． 2.（23-24七年级下·吉林白山·期末）掷实心球是一项快速发力并且对身体协调性要求全面的中考体育项目．小赵站在投掷线前将实心球奋力一投，实心球落在点处（如图所示），你认为小赵的成绩是线段 ．    【答案】/ 【分析】本题主要考查了垂线段最短．根据“垂线段最短”，即可求解． 【详解】解：根据“垂线段最短”得：小赵的成绩是线段． 故答案为： 3.（23-24七年级上·吉林长春·期末）在如图所示的方格中，点A、B、C均为网格点，按要求画图并回答问题：    (1)画直线． (2)过点C画线段的垂线，垂足为点D． (3)点C与直线上各点连结的所有线段中，线段最短的数学道理是 ． A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线 C．垂线段最短 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)C 【分析】本题考查画直线，垂线，垂线段最短． （1）画出直线即可； （2）取网格点E，如图，画直线交于点D，则为线段的垂线，垂足为点D； （3）根据垂线段最短，作答即可； 掌握相关定义和性质，是解题的关键． 【详解】（1）如图，过A，C画直线，直线即为所求；    （2）取网格点E，如图，画直线交于点D，则为线段的垂线，垂足为点D． （3）因为点到直线，垂线段最短， 所以点C与直线上各点连结的所有线段中，线段最短； 故选C． ( 题型0 5 ) 点到直线的距离 1.（23-24七年级上·吉林长春·期末）如图，点A，D在直线m上，点B，C在直线n上，，，，点A到直线的距离是（　　） A．线段的长度 B．线段的长度 C．线段的长度 D．线段的长度 【答案】A 【分析】本题主要考查点到直线的距离，解答的关键是明确点到直线的距离的定义．根据点到直线的距离可得结论． 【详解】解：∵， ∴点A到直线的距离是线段的长度． 故选：A． 2.（24-25七年级上·吉林长春·期末）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，点、、、均在格点上，只用直尺在给定的网格中，按下列要求作图． (1)作线段，作射线； (2)点到直线的距离为线段________的长度； (3)在线段上找一点，使它到、、、四个点的距离之和最小，作图的理由为________． 【答案】(1)见解析 (2) (3)两点之间线段最短 【分析】本题主要考查了网络作图．熟练掌握画线段，画射线，点到直线的距离，两点之间线段最短，是解题的关键． （1）连接画出线段，连接并延长画出射线即可； （2）根据可得点到直线的距离为线段的长度； （3）根据两点之间线段最短，可得的最小值为的长，得点到、、、四个点的距离之和最小值为． 【详解】（1）连接，连接并延长，即得． （2）点到直线的距离为线段的长度 故答案为： （3）连接，交于点， 则， 当点O运动到上时，，最小， 则，最小． 故答案为：两点之间线段最短． ( 题型0 6 ) 平行公理的应用 1.（21-22七年级上·吉林长春·期末）下列说法：①两点之间的所有连线中，线段最短． ②在数轴上与表示－1的点距离是3的点表示的数是2 ；③ 相等的角是对顶角；④过一点有且仅有一条直线与已知直线平行；⑤若AC=BC，则点C是线段AB的中点，其中错误的有（  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】根据线段最短可判断①，根据数轴上两点距离以及绝对值的意义可以判断②，根据对等角的定义判断③，根据平行公理判断④，根据线段中点的性质判断⑤ 【详解】解：①中所述两点之间的所有连线中，直线段最短，故①正确； ②在数轴上与表示-1的点距离是3的点表示的数是2和-4，故②错误； ③相等的角不一定是对顶角，但对顶角相等，故③错误； ④过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线平行，故④错误； ⑤点C在线段AB上，若AC=BC，则点C是线段AB的中点，故⑤错误．②③④⑤四个说法错误． 故选：D． 【点睛】本题考查了线段的性质，绝对值的意义，对等角，平行公理，线段中点的性质，掌握以上知识是解题的关键． 2．（22-23七年级下·吉林·阶段练习）下列命题中，是假命题的是（    ） A．对顶角相等 B．同一平面内，若，，则 C．同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 D．如果，那么 【答案】D 【分析】根据对顶角相等，同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行，同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行及根式的定义逐个判断即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， 对顶角相等，故A不符合题意； 同一平面内，若，，则，故B不符合题意； 同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，故C不符合题意； 如果且大于0，那么，如果，那么、不存在，故D选项符合题意， 故选D； 【点睛】本题考查命题真假判断，解题的关键是熟练掌握对顶角相等，同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行，同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行及根式的定义． ( 题型0 7 ) 同位角相等两直线平行 1.（20-21七年级下·吉林四平·期末）如图，不添加辅助线，请写出一个能判定ADBC的条件 ． 【答案】∠EAD=∠B 【分析】根据平行线的判定进行分析，可以从同位角相等或同旁内角互补的方面写出结论． 【详解】解：∵AD和BC被BE所截， ∴当∠EAD=∠B时，AD∥BC． 故答案为：∠EAD=∠B． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定，解决问题的关键是掌握平行线的判断方法． 2.（21-22七年级下·吉林延边·期末）如图，能判定/的条件是 （用图中的符号表示，填一个即可）． 【答案】 【分析】根据平行线的判定定理求解即可． 【详解】解：当时， DEBC， 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理“同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行”是解题的关键． 3．（22-23七年级上·吉林长春·期末）如图，是的平分线，若，，求证：    【答案】见解析 【分析】本题考查与角平分线有关的计算，平行线的判定，角平分线得到，进而得到，即可得证． 【详解】证明：∵是的平分线，， ∴， ∵， ∴， ∴（同位角相等，两直线平行）． ( 题型 8 ) 同旁内角互补两直线平行 1.（24-25七年级上·吉林长春·期末）利用下列尺规作图中，不一定能判定直线平行于直线的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了尺规作图，平行线的判定．根据作图痕迹，结合平行线的判定方法逐项分析即可． 【详解】解：A、根据同位角相等，两直线平行，可判定直线平行于直线，故不符合题意； B、根据内错角相等，两直线平行，可判定直线平行于直线，故不符合题意； C、根据同旁内角相等，不能判定直线平行于直线，故符合题意； D、根据对顶角相等和同位角相等，两直线平行，可判定直线平行于直线，故不符合题意； 故选：C． 2．（23-24七年级下·吉林白城·阶段练习）如图，不能判定的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定，即同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；内错角相等，两直线平行；据此逐项判断即可． 【详解】A. ∵， ∴（同位角相等，两直线平行）， 故该选项不符合题意； B. ∵， ∴（同旁内角互补，两直线平行）， 故该选项不符合题意； C. ， ∴, 故该选项符合题意； D. ， ∴（内错角相等，两直线平行）， 故该选项不符合题意； 故选：C． ( 题型 9 ) 在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行 1.（21-22七年级上·吉林长春·期末）如图，已知BC⊥AE，DE⊥AE，∠2＋∠3＝180°．若∠1＝66°，BC平分∠ABD，则∠ACH＝ °． 【答案】57 【分析】根据角平分线得出∠HBC=∠DBC=，根据垂直得出BC∥DE，得出∠3+∠DBC=180°，结合∠2＋∠3＝180°，得出∠DBC=∠3，证出CH∥BD即可． 【详解】解：∵BC平分∠ABD， ∴∠HBC=∠DBC=， ∵BC⊥AE，DE⊥AE， ∴BC∥DE， ∴∠3+∠DBC=180°， ∵∠2＋∠3＝180°， ∴∠DBC=∠2， ∴CH∥BD， ∴∠DBA=∠1=66°， ∴∠DBC=∠2=， ∴∠ACH=∠ACB-∠2=90°-33°=57°． 故答案为：57． 【点睛】本题考查角平分线有关的计算，平行线判定与性质，求余角，掌握角平分线有关的计算，平行线判定与性质，余角性质是解题关键． 2.（20-21七年级下·吉林·期末）在一次数学活动课上，老师让同学们用两个大小、形状都相同的三角板画平行线、，并说出自己做法的依据。小琛、小萱、小冉三位同学的做法如下： 小琛说：“我的做法的依据是内错角相等，两直线平行” 小琛说的是否正确？______（回答正确或错误） 小萱做法的依据是__________________ 小冉做法的依据是__________________． 【答案】正确；同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行或（垂直于同一直线的两条直线平行） 【分析】根据平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行去判定即可. 【详解】解：小琛的说法正确，理由如下 小琛的做法的依据是内错角相等，两直线平行，故正确； 小萱做法的依据是同位角相等两直线平行； 小冉做法的依据是内错角相等两直线平行（垂直于同一条直线的两直线平行）； 故答案为：正确；同位角相等两直线平行或同旁内角互补两直线平行；内错角相等两直线平行（垂直于同一条直线的两直线平行）． 【点睛】本题考查平行线的判定，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． ( 题型 10 ) 两直线平行同位角相等 1.（23-24七年级下·吉林四平·期末）如图，，是上一点，直线与的夹角，要使，直线绕点逆时针旋转的最小角度为 度． 【答案】13 【分析】本题考查平行线的知识．根据平行线的性质，得到，则，据此计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴． 故答案为：． 2．（22-23七年级下·吉林·期末）如图，直线，直线分别交直线和于点A和点B，直线经过点A，若，则的度数为 ．    【答案】/30度 【分析】根据平行线得到，再利用对顶角相等得到求解即可． 【详解】解：如图，    ∵，， ∴， ∴ ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同位角相等． 3.（22-23七年级下·吉林·期末）如图，直线与，分别交于点，，若，射线是的平分线，，求的度数． 【答案】 【分析】先证明，可得，再结合角平分线的定义可得答案． 【详解】解：∵，， ∴（两直线平行，同位角相等）， ∴（邻补角定义）， ∵是的平分线， ∴（角平分线定义）． 【点睛】本题考查的是平行线的性质，角平分线的定义，熟记平行线的性质是解本题的关键． ( 题型 11 ) 两直线平行内错角相等 1.（20-21七年级下·吉林延边·期末）如图，已知，点E在上，连接，作平分交于点F，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据两直线平行内错角相等得出，再利用角平分线的意义得出，最后再根据平角的意义进行求解即可． 【详解】∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵ ∴ 故选：A． 【点睛】本题考查了平行线的性质和角平分线的意义，熟练运用知识点是解题的关键． 2.（23-24七年级上·吉林·期末）如图，一把长方形直尺沿直线断开并错位摆放，点、、、在同一条直线上，若，则的度数为 ． 【答案】/49度 【分析】本题主要考查了平行线的性质，邻补角的定义．先根据邻补角的性质求得的度数，再根据平行线的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 3.（24-25七年级上·吉林长春·期末）如图是的正方形网格，每个小正方形的边长为，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上，请按要求画图（要求：作图只用无刻度的直尺）． (1)在图中，过点作直线的垂线，垂足为点； (2)在图中，作，使； (3)在图中，作点，使点在线段上且的长度最小． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)见解析． 【分析】（）根据网格线的特征画图； （）根据网格线的特征画图； （）根据两点之间线段最短求解； 本题考查格点作图，作平行线，两点之间线段最短，掌握相关知识的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：如图，根据网格特征可知，， ∴即为所求； （2）解：根据网格特征可知：如图， ∵， ∴， ∴即为所求； （3）解：根据两点之间线段最短，如图， 连接交于点， ∴点即为所求． ( 题型 12 ) 两直线平行同旁内角互补 1.（21-22七年级下·吉林长春·期末）如图①，在△ABC中，，．如图②，将图①中的边CB边绕点C按逆时针方向旋转一周回到原来的位置 ，得到线段．在整个旋转的过程中，若，则的大小为（    ） A．73° B．107° C．73°或107° D．42°或107° 【答案】C 【分析】分两种情况画出图形求解即可． 【详解】解：如图， ∵， ∴． ∵， ∴， 如图， ∵， ∴． ∵， ∴． 综上所述：或73°． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，以及平行线的性质，运用分类讨论思想是解决问题的关键． 2.（20-21七年级下·吉林·期末）如图，若，，则 ． 【答案】130°/130度 【分析】根据“内错角相等，两直线平行”证得AB∥CD，求出∠C的度数，再根据“两直线平行，同旁内角互补”求解∠B即可． 【详解】解：∵，， ∴AB∥CD，∠C=90°－∠D=50°， ∴∠B+∠C=180°， ∴∠B=180°－∠C=180°－50°=130°， 故答案为：130°． 【点睛】本题考查平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解答的关键． 3.（21-22七年级上·吉林长春·期末）如图，已知ABCD，BE平分∠ABC，∠CDE = 150°，求∠C的度数． 【答案】∠C的度数为120° 【分析】首先由∠CDE=150°和平角的概念得到∠CDB=30°；然后根据两直线平行，内错角相等得到∠ABD=∠CDB=30°，进而根据角平分线的定义求出∠ABC=60°，最后根据两直线平行，同旁内角互补即可求出∠C的度数． 【详解】解：∵∠CDE=150°， ∴∠CDB=180°-∠CDE=30°， 又∵ABCD， ∴∠ABD=∠CDB=30°， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABC=2∠ABD=60°， ∵ABCD， ∴∠C=180°-∠ABC=120°． 【点睛】本题考查平行线基本性质与邻补角关系，基础知识牢固是本题解题关键． ( 题型 13 ) 根据平行线的性质探究角的关系 1.（20-21七年级上·吉林长春·期末）填空：(将下面的推理过程及依据补充完整) 如图，已知：平分，，，求证：平分 ． 证明：平分(已知)， ∴（角平分线的定义）， ∵（已知）， ∴ ， ∴（等量代换）， ∵（已知）， ∴ （            ）， （                 ）， ∴ （等量代换）， ∴平分 （    ）． 【答案】；；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等；；；角平分线的定义 【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质并灵活运用是解题的关键．根据平行线的性质和角平分线的定义即可解答． 【详解】证明：平分(已知)， ∴（角平分线的定义）， ∵（已知）， ∴， ∴（等量代换）， ∵（已知）， ∴（两直线平行，内错角相等）， （两直线平行，同位角相等）， ∴（等量代换）， ∴平分 （角平分线的定义）． 故答案为：；；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等；；；角平分线的定义． 2.（24-25七年级上·吉林·期末）已知，直线，点为平面内一点，连接与． (1)如图1，当点在直线，之间，且时，则_____ (2)如图2，当点在直线，之间，且与的角平分线相交于点，写出与之间的数量关系，并说明理由． (3)如图3，当点在下方时，与的角平分线相交于点（在下方），且，，直接写出的大小（用含和的代数式表示）． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义的运用，解决问题的关键是作平行线构造内错角，依据两直线平行，内错角相等进行计算． （1）先过作，根据平行线的性质即可得到，，再根据进行计算即可； （2）过作，根据，可得，，进而得到，同理可得，，再根据角平分线的定义，得出，进而得到； （3）过作，根据，可得，，进而得到，，再根据角平分线的定义，得出，进而得到，即可求解． 【详解】（1）解：如图1，过作， ∵， ， ，， ， 故答案为：80； （2）解：，理由如下： 如图2，过作， ∵， ， ，， ， 过作， ∵， ∴， ，， ， ， 与的角平分线相交于点， ， ； （3）如图3，过作， ∵， ∴， ∴，， ∴， 过作， ∵， ∴， ，， ， ， ∵与的角平分线相交于点K， ∴，， ∴， ∴， ∴． ( 题型 14 ) 根据平行线的性质求角的度数 1.（24-25七年级上·吉林长春·期末）在同一平面内，将直尺、含角的三角尺和木工角尺（）按如图方式摆放．若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质，垂线，关键是由平行线的性质推出．由平行线的性质推出，由垂直的定义得到，由平角定义即可求出的度数． 【详解】解：如图： ， ， ， ． 故选：B． 2．（22-23七年级下·吉林·期末）如图，，若，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键． 根据“两直线平行，内错角相等”以及平角的定义，即可求解． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 3.（23-24七年级下·吉林松原·期末）健康骑行越来越受到老百姓的喜欢，自行车（图1）的示意图如图2所示，其中，．若，，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的性质．根据，可得，，再由，可得，即可求解． 【详解】解：，，， ，， ， ， ． ( 题型 15 ) 根据平行线判定与性质求角度 1.（22-23七年级下·吉林四平·期末）如图，，，则等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据，得出，再根据平行线的性质即可求出． 根据平行线的判定与性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴∠3=∠4， ∵， ∴， 故选：A． 【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，熟记“内错角相等，两直线平行”、“两直线平行，同位角相等”是解题的关键． 2.（24-25七年级上·吉林长春·期末）如图，直线、被直线、所截，若，则的大小是 度． 【答案】 【分析】本题考查了查了平行线的判定和性质．熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 先根据同位相等，两直线平行得出，由邻补角的定义求出的度数，根据两直线平行，同位角相等得即可得出答案． 【详解】解：如图： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 3.（24-25七年级上·吉林长春·期末）【探究】如图①，已知， （1）若，，求的度数； （2）求证：； 【应用】如图②，已知，若，，，则_____________． 【答案】（1）；（2）见解析；【应用】． 【分析】本题考查的是平行公理的应用，平行线的性质，利用平行公理作出辅助线是解本题的关键． （1）如图所示，过点P作，首先得到，求出，然后证明出，即可得到； （2）根据得到，根据得到，进而求解即可； 应用：过点P作，延长到点M，由（2）得，进而得到，同理得到，进而求解即可． 【详解】解：（1）如图所示，过点P作， ∵， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴， ∴； （2）∵， ∴； ∵， ∴， ∴； 应用：如图所示，过点P作，延长到点M， 由（2）得，， ∵，， ∴， ∴； ∵， ∴； 由（2）得，， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：138． ( 题型 16 ) 根据平行线判定与性质证明 1．（24-25七年级上·吉林长春·期末）如图，已知，和互余，于点，则和相等吗？阅读下面的解答过程，并填空．（理由或数学式） 解：（已知）， （垂直的定义）， _____， 又和互余（已知）， _____， _____（_____）， （已知）， ______（等量代换）， ______（_____）， （ ）． 【答案】，，，同角的余角相等，，，内错角相等，两直线平行，两直线平行，内错角相等 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解答本题的关键． 先证明，再证明，进而由平行线的判定得，然后由平行线的性质即可得出结论． 【详解】解：（已知）， （垂直的定义）， ， 又和互余（已知）， ， （同角的余角相等）， （已知）， （等量代换）， （内错角相等，两直线平行）， （两直线平行，内错角相等）， 故答案为：；；；同角的余角相等；；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等． 2．（24-25七年级上·吉林长春·期末）如图，，点E在上，点F在上，．那么吗？阅读下面的推理过程，并填空（理由或数学式）． 解：∵（已知）， （________________________）， ∴（等量代换）． ∴________∥________（________________________）， ∴（两直线平行，同位角相等）． ∵（已知）， ∴（________________________）． ∴________=________（等量代换）． 【答案】对顶角相等；AF；DE；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；； 【分析】本题考查平行线的判定与性质，对顶角的性质知识点，解题的关键是熟练掌握平行线的判定定理和性质定理以及对顶角相等这一性质． 先根据对顶角性质得到，结合已知进行等量代换推出，再利用平行线性质得到与与的关系，最后通过等量代换得出与的关系． 【详解】解：∵（已知），（对顶角相等）， ∴（等量代换）． ∴（同位角相等，两直线平行） ∴（两直线平行，同位角相等）． ∵（已知）， ∴（两直线平行，内错角相等）． ∴（等量代换）． 故答案为：对顶角相等；；；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；；． ( 题型 17 ) 判断命题真假 1.（22-23七年级下·吉林长春·期末）下列命题中，是真命题的是（    ） A．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 B．同旁内角互补 C．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行 D．互补的角是邻补角 【答案】C 【分析】根据邻补角和对顶角的概念以及平行线的判定定理判断即可． 【详解】解：A、两条平行的直线被第三条直线所截，同位角相等，则原命题错误，是假命题，故本选项不符合题意； B、两直线平行，同旁内角互补，则原命题错误，是假命题，故本选项不符合题意； C、在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行原命题正确，是真命题，符合题意； D、互补的角不一定是邻补角，则原命题错误，是假命题，故本选项不符合题意； 故选：C 【点睛】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题，判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 2.（21-22七年级下·吉林·期末）“同位角相等” （填“是真命题”或“是假命题”或“不是命题”）． 【答案】是假命题 【分析】根据平行线的性质进行判断即可． 【详解】解：根据平行线的性质知：两直线平行，同位角相等， 故原命题错误，是假命题， 故答案为：是假命题． 【点睛】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行线的性质 ( 题型 18 ) 图形的平移 1.（23-24七年级下·吉林白城·期末）如图是亚运会的吉祥物“琮琮”，通过平移“琮琮”可以得到的图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平移的定义，根据平移的定义：“在平面内，将一个图形上的所有点都按照某个直线方向做相同距离的移动，这样的图形运动叫做图形的平移，”进行判断即可． 【详解】解：由题意得，通过平移“琮琮”可以得到的图形是， 故选：C． 2.（20-21七年级下·吉林长春·期末）如图，小船经过一次平移，到了新的位置． （1）在图中画出缺少的部分． （2）测量出小船平移的距离为 　 　厘米（以答题卡上的图形为准，精确到0.1厘米）． 【答案】（1）画图见解析；（2）6.1 【分析】（1）根据平移的定义确定平移之后的对应点，即可画出图形； （2）找到两个对应点，测量即可． 【详解】解：（1）平移后图形如下： ； （2）测量船上旗子顶点间的距离，可得平移距离为6.1厘米． 【点睛】本题考查图形的平移，能够确定平移后的对应点是解题的关键． ( 题型 19 ) 利用平移的性质求解 1.（22-23七年级下·吉林长春·期末）如图，直角三角形沿着的方向平移到直角三角形的位置．若，，，则阴影部分的面积为（   ） A．12 B．16 C．28 D．24 【答案】C 【分析】本题考查了平移的性质，根据平移的性质得到，则利用得到，然后根据梯形的面积公式求解． 【详解】解：沿着的方向平移到的位置， ，， ， ， ， 故选：C． 2.（23-24七年级下·吉林长春·期末）如图，将周长为的沿方向平移得到，连结，若四边形的周长是，则平移的距离是 cm． 【答案】1 【分析】由题意可得，，再结合周长求出的长，即可得到平移距离， 本题考查了，平移的基本性质，解题的关键是：熟练掌握平移的基本性质． 【详解】解：由平移的性质可知，，， 的周长为，四边形的周长为， ，， ， ，即移的距离为， 故答案为：1． 3.（20-21七年级下·吉林长春·期末）如图，在三角形中，，，沿方向平移至，若，． （1）求的长； （2）求四边形的周长． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据平移的性质可得AD＝BE＝CF，BC＝EF＝3cm，然后根据AE、BD的长度求解即可； （2）根据平移的性质可得EF＝BC，CF＝AD，然后根据四边形的周长的定义列式计算即可得解． 【详解】解：（1）∵ABC沿AB方向向右平移得到DEF， ∴AD＝BE＝CF，BC＝EF＝3cm， ∵AE＝8cm，DB＝2cm， ∴AD＝BE＝CF＝＝3cm， 即； （2）由平移的特征及（1）得 ，． ∵，， ∴四边形的周长． 【点睛】本题考查平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等． 一、单选题 1．（24-25七年级上·吉林长春·期末）在下列图中，与属于对顶角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了对顶角的定义，熟记有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角是解答此题的关键．运用对顶角的定义逐一判断即可得解． 【详解】在选项A中，与的两边都不互为反向延长线，B，C选项中，与没有公共点，所以都不是对顶角，是对顶角的只有选项D． 故选：D． 2．（23-24七年级上·吉林长春·期末）下列四个已学的几何知识中，不属于基本事实的是（    ） A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短 C．垂线段最短 D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】C 【分析】本题考查了初中几何中的基本事实，熟记基本事实是解题的关键．根据基本事实逐项判断即可． 【详解】A． 两点确定一条直线，是基本事实，不符合题意； B． 两点之间，线段最短，是基本事实，不符合题意； C． 垂线段最短，不是基本事实，符合题意； D． 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，是基本事实，不符合题意； 故选：C． 3．（23-24七年级上·吉林长春·期末）平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等，如图①，一束光线m射到平面镜a上，被a反射后的光线为n，则．如图②，一束光线先后经平面镜、反射后，反射光线与平行．若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，平面镜反射光线的规律，熟练掌握两直线平行，同旁内角互补是解题的关键．由题意得，，根据平角的定义可求出的度数，再根据两直线平行，同旁内角互补求出的度数，从而求出的度数． 【详解】解：由题意知，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 4．（22-23七年级下·吉林长春·期末）如图，的周长为，若将沿射线方向平移后得到，与相交点G，连结，则与的周长和为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平移的性质，平移后，，与的周长相加即可转换为的周长，即可解题． 【详解】解：沿方向平移得到， ，， ， 与的周长和为（）， 故选：C． 二、填空题 5．（23-24七年级上·吉林长春·期末）如图，，直线经过点，，，则 ． 【答案】/75度 【分析】此题考查了平行线的性质，先根据平角得到的度数，进而根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：由题意得， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 6．（24-25七年级上·吉林·期末）如图，，平分，平分，点、、在一条直线上，点、、、在一条直线上，，，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的是 ． 【答案】①②③ 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，垂直定义等，熟练掌握知识点是解题的关键，根据角平分线的意义和平角的定义即可判断①；根据两直线平行，内错角相等得出，，再根据角的和差即可判断②；根据平行线的性质即可判断③；根据角的和差计算即可判断④． 【详解】解：∵平分，平分， ∴， ∵， ∴， ∴，①正确； ∵，， ∴，，， ∴， ∴， ∴，②正确； ∵， ∴， ∴，③正确； ∵， ∴，④错误； 综上所述：正确的结论有①②③． 故答案为：①②③． 7．（24-25七年级上·吉林长春·期末）图①是某自行车的实物图，图②是图①的示意图．经测得，且都与地面平行，．有如下四个结论：①；②若，则；③若，则；④若，则．在这四个结论中正确的序号为 ． 【答案】①②④ 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定与性质定理是解题的关键． 根据平行线的判定与性质定理逐项分析判断即可． 【详解】解：， ， ， ， 故结论①正确； 当时， ， ， 又， ， ， 故结论②正确； 当时， ， ， 与不平行， 故结论③错误； 当时， 则， ， 故结论④正确； 综上，正确的结论有：， 故答案为：． 三、解答题 8．（24-25七年级上·吉林长春·期末）如图，已知，，求证：． 阅读下面的解答过程，并填空（理由）． 证明：（已知）， （   ） 又（已知）， （   ） （   ） 【答案】同旁内角互补，两直线平行；如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；两直线平行，同位角相等． 【分析】本题考查平行线的判定与性质，首先根据同旁内角互补，两直线平行证明，然后根据平行公理的推论得到，进而得到． 【详解】证明：（已知）， （同旁内角互补，两直线平行） 又（已知）， （如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行） （两直线平行，同位角相等）． 9．（24-25七年级上·吉林长春·期末）图①、图②、图③均是正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点A在格点上，格点B在边上，按下列要求在给定的网格中画图： (1)在图①中画的一个补角； (2)在图②中画的一个余角； (3)在图③中射线的右侧画，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了余角、补角、平行线的性质等知识，正确理解题意是解题的关键． （1）延长即可； （2）取格点，连接并延长即可； （3）取格点，连接并延长即可． 【详解】（1）解：如下图，即为所求； （2）如图，即为所求； （3）如图，即为所求． 10．（23-24七年级上·吉林长春·期末）【阅读理解】如图①，与的边与互相平行，另一组边、交于点E，且点E在、之间，且在直线右侧，试说明：． 老师在黑板中写出了部分求解过程，请你完成下面的求解过程，并填空（理由或数学式）． 解：如图②，过点E作． ∴（    ）． ∵（    ） ∴（    ）． ∴． ∴．（    ） ∴． ［理解应用]如图③，当图①中的点E在直线右侧时，其它条件不变，若．求与的和． ［拓展] 与的边与互相平行，且点B、D在直线同侧，另一组边、交于点E，且点E在、之间．若的角平分线与的角平分线交于点F，设，请借助图①和图③，用含的代数式直接写出的度数． 【答案】[阅读理解]两直线平行，内错角相等；已知；平行线的传递性；等式性质；；[理解应用]；[拓展] 或 【分析】本题主要考查了平行线的判断与性质， 解答此类问题的关键所在是作出辅助线． [阅读理解] 过点E作，利用平行线的传递性可得，利用平行线的性质可得， ，然后利用等式的性质即可得证 [理解应用] 过点E作，类似[阅读理解]可得出，然后代入的度数求解即可； [拓展]分点E在直线左侧和点E在直线右侧两种情况讨论即可． 【详解】解：[阅读理解]如图②，过点E作． ∴（两直线平行，内错角相等）． ∵（已知） ∴（平行线的传递性）． ∴． ∴．（等式性质） ∴． 故答案为：两直线平行，内错角相等；已知；平行线的传递性；等式性质； [理解应用] 如图，过点E E作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， 又 ∴； [拓展] 如图，当点E在直线左侧时， 由[阅读理解]可知：， 同理可证， ∵、分别是、的角平分线， ∴，， ∴ ， 又， ∴； 点E在直线右侧 由[理解应用]可知， ∴， 又，，， ∴， ∴， 又， ∴， 综上，的度数为或． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$