精品解析：山东省淄博第五中学2024-2025学年高一下学期期中阶段检测考试数学试题

淄博五中2024-2025学年度高一第二学期期中阶段检测考试 （数学试题） 一、单选题（共40分） 1. 设复数满足（虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，，与的夹角为，那么（ ） A. 2 B. 6 C. D. 12 3. 设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 4. 把函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，再把所得曲线向左平移个单位长度，得到函数的图像，则（     ） A. B. C. D. 5. 的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的形状是（ ） A. 等腰非直角三角形 B. 直角非等腰三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 6. 若底面半径为r，母线长为l的圆锥的表面积与直径为l的球的表面积相等，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图所示，棱柱的侧面是矩形，D是上的动点，若平面，则的值为（ ） A. B. C. D. 1 8. 2025年蛇年春晚，电视剧《新白娘子传奇》两位主演的出场，瞬间唤醒了无数人的记忆．剧中的雷峰塔，位于浙江省杭州市西湖区，是“西湖十景”之一，也是中国九大名塔之一，是中国首座彩色铜雕宝塔．某同学为测量雷峰塔的高度AB（塔底视为点B，塔顶视为点A），在山脚下选取了两点C，D（其中A，B，C，D四点在同一个铅垂平面内），在点C处测得点A的仰角为，在点D处测得点A，B的仰角分别为，，测得，则按此法测得的雷峰塔塔高为（ ） A. 68m B. 70m C. 72m D. 74m 二、多选题（共18分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若互为共轭复数，则为实数 B. 对于复数，若，则 C. 若是关于x的二次方程的根，则也是该方程的根 D. 复数z满足，则的最大值为 10. 下列结论正确的是（ ） A. 由五个面围成的多面体只能是三棱柱 B. 棱台各侧棱延长线交于一点 C. 圆柱侧面上平行于轴的直线段都是圆柱的母线 D. 各个面都是正方形的四棱柱一定是正方体 11. 在长方体中，已知，，，分别为，的中点，则（ ） A. 平面 B. 若为对角线上动点（包含端点），则三棱锥的体积为定值 C. 棱锥的外接球的体积为 D. 若点为长方形内一点（包含边界），且平面，则的最小值为2 三、填空题（共15分） 12. 已知，则___________． 13. 如图，为水平放置的的直观图，其中，则的面积为__________. 14. 如图，在正三棱柱中，，为的中点，为线段上的点.则的最小值为__________ 四、解答题（共77分） 15. 已知函数． （1）求的值； （2）若，，求的值． 16. 在中，，为边上一点，与相交于点P， （1）若，求实数的值； （2）若，，，求的余弦值． 17. 如图所示，四边形中，，， （1）求四边形绕旋转一周所成几何体的表面积； （2）求四边形绕旋转一周所成几何体的体积. 18. 在中，设A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知. （1）求角B的值； （2）若，判断的形状； （3）若为锐角三角形，且，求的面积S的取值范围. 19. 如图，在四棱锥中，平面为的中点，为的中点． （1）证明：平面． （2）证明：平面． （3）求直线与平面所成角的正弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 淄博五中2024-2025学年度高一第二学期期中阶段检测考试 （数学试题） 一、单选题（共40分） 1. 设复数满足（为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的乘除法运算即可得到答案. 【详解】. 故选：A. 2. 已知，，与的夹角为，那么（ ） A. 2 B. 6 C. D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的数量积的运算公式和向量的模的运算公式计算即可. 【详解】因为|， 所以. 故选：C. 3. 设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】A 【解析】 【分析】由面面平行的性质可得A正确；由线面的位置关系可得B，C，D错误. 【详解】对于A，若则由面面平行的性质可得A正确； 对于B，若则或者异面，故B错误； 对于C，若则或，故C错误； 对于D，若则或异面，故D错误. 故选：A 4. 把函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，再把所得曲线向左平移个单位长度，得到函数的图像，则（     ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正弦函数压缩拉伸和平移原则即可得到答案. 【详解】函数图象上所有点横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，解析式为， 再将其向左平移个单位长度，得到函数. 故选：A. 5. 的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的形状是（ ） A. 等腰非直角三角形 B. 直角非等腰三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】A 【解析】 【分析】由利用正弦定理边角互换可得，代入可得，然后利用余弦定理代入可得，然后可得答案. 【详解】因为，所以，整理得， 又，所以， 即，即， 又，所以，得， 因为，所以，所以，故为等腰非直角三角形. 故选：A 6. 若底面半径为r，母线长为l的圆锥的表面积与直径为l的球的表面积相等，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据圆锥表面积公式和球的表面公式得到，解出即可. 【详解】圆锥的表面积为，球的表面积为， 故，即，故（负舍）． 故选：D． 7. 如图所示，棱柱的侧面是矩形，D是上的动点，若平面，则的值为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据线面平行的性质将平面转化为线线平行，然后集合位置关系求解即可； 【详解】 连接交于，连接， 因为平面，平面平面, 所以,又因为是的中点， 所以D是上的中点，即 故选：B. 8. 2025年蛇年春晚，电视剧《新白娘子传奇》两位主演的出场，瞬间唤醒了无数人的记忆．剧中的雷峰塔，位于浙江省杭州市西湖区，是“西湖十景”之一，也是中国九大名塔之一，是中国首座彩色铜雕宝塔．某同学为测量雷峰塔的高度AB（塔底视为点B，塔顶视为点A），在山脚下选取了两点C，D（其中A，B，C，D四点在同一个铅垂平面内），在点C处测得点A的仰角为，在点D处测得点A，B的仰角分别为，，测得，则按此法测得的雷峰塔塔高为（ ） A. 68m B. 70m C. 72m D. 74m 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用直角三角形的边角关系列式，结合差角的正切公式求解. 【详解】令直线的延长线交于点，则. 依题意，，， 而, 所以，解得， 又， 所有， 而， 所以. 故选：C. 二、多选题（共18分） 9. 下列说法正确是（ ） A. 若互为共轭复数，则为实数 B. 对于复数，若，则 C. 若是关于x的二次方程的根，则也是该方程的根 D. 复数z满足，则的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，设，则，利用复数乘法法则得到，A正确；B选项，举出反例得到B错误；C选项，实系数的一元二次方程虚根成对（互为共轭复数），C正确；D选项，利用复数几何意义得到z对应的点的轨迹，从而得到的最大值为. 【详解】对于A选项，设，则， 为实数，A对； 对于B，若，例如，满足， 但，，即，故B错误； 对于C，实系数的一元二次方程虚根成对（互为共轭复数）， 所以为一元二次方程的两根，C对； 对于D，由复数的几何意义，可知z对应的点的轨迹为以为圆心，以1为半径的圆， 表示圆周上的点到点的距离，所以的最大值为，故D对． 故选：ACD 10. 下列结论正确的是（ ） A. 由五个面围成的多面体只能是三棱柱 B. 棱台各侧棱的延长线交于一点 C. 圆柱侧面上平行于轴的直线段都是圆柱的母线 D. 各个面都是正方形的四棱柱一定是正方体 【答案】BCD 【解析】 【分析】举出反例判断选项A,，根据定义进行判断选项B,C,D. 【详解】由五个面围成的多面体也可以是四棱锥，判断A错误； 根据棱台的定义判断出B正确； 根据圆柱的母线定义判断C正确； 根据正方体的定义判断D正确． 故选：BCD. 11. 在长方体中，已知，，，分别为，的中点，则（ ） A. 平面 B. 若为对角线上的动点（包含端点），则三棱锥的体积为定值 C. 棱锥的外接球的体积为 D. 若点为长方形内一点（包含边界），且平面，则的最小值为2 【答案】BC 【解析】 【分析】对于选项A：假设垂直平面，会推出，进而垂直.又因垂直能证垂直平面，得到垂直，但实际不垂直，矛盾，所以不垂直平面. 对于选项B：平行平面，上点到平面距离相等，三棱锥体积不变，且，所以三棱锥体积为定值. 对于选项C：以，，构造长方体，其外接球和三棱锥外接球一样，根据长方体体对角线求半径，再用公式求球体积. 对于选项D：取中点连线段得平面平行平面，点轨迹是线段，在中作垂线求最小值，用余弦定理求角的余弦，再求正弦，进而得长度. 【详解】对于选项A，若平面，根据线面垂直的性质，可得. 因为，根据平行线的传递性，所以. 又因为，且，平面，根据线面垂直的判定定理，可证平面，所以. 但在正方体中不垂直于，这相互矛盾，所以不垂直于平面，故A错误. 对于选项B，易知平面，根据线面平行的性质，可知上的点到平面的距离相等. 三棱锥的体积（为点到平面的距离），由于上点到平面距离相等，所以不变. 又因为，所以三棱锥的体积为定值，故B正确. 对于选项C，分别以，，为长、宽、高构造长方体，由于长方体的外接球直径就是长方体的体对角线，且该长方体的外接球与三棱锥的外接球相同. 设外接球半径为，已知，，的值，根据长方体体对角线公式（为体对角线，分别为长方体的长、宽、高），可得，则. 根据球的体积公式，可得，故C正确. 对于选项D，取的中点，取的中点，连接，，，易知平面平面. 因为点为长方形内一点，所以点的运动轨迹为线段. 在中，过点作，此时取得最小值. 由题意可知，，，. 根据余弦定理. 再根据，可得. 所以，故D错误. 故选：BC. 三、填空题（共15分） 12. 已知，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用倍角公式和诱导公式，得到，再利用条件，即可求解. 【详解】因为， 又，所以， 故答案为：. 13. 如图，为水平放置的的直观图，其中，则的面积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用斜二测画法求出的面积. 【详解】在直观图中，，取的中点，连接， 则，而，于是， 则，由斜二测画法规则作出，如图， ， 所以的面积为. 故答案为： 14. 如图，在正三棱柱中，，为的中点，为线段上的点.则的最小值为__________ 【答案】 【解析】 【分析】将侧面沿展开，使得侧面与侧面在同一平面内，根据平面上两点间线段最短可求得答案. 【详解】 解：将侧面沿展开，使得侧面与侧面在同一平面内， 如图，连接交于，则的最小值为此时的， ， 的最小值为. 故答案为：. 四、解答题（共77分） 15. 已知函数． （1）求的值； （2）若，，求的值． 【答案】（1）2；（2）． 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式化简函数为求解； （2）由，得到，，再由，利用两角差的余弦公式求解. 【详解】（1）因为， ， ， 所以． （2）由，得，， 所以， . 16. 在中，，为边上一点，与相交于点P， （1）若，求实数的值； （2）若，，，求的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据平面向量线性运算法则及平面向量基本定理计算可得； （2）解法：将看成向量、两向量的夹角，根据向量的线性运算法则及平面向量基本定理，用、表示、，再利用已知条件求两向量夹角余弦值即可；解法：建立平面直角坐标系，求出各点坐标再利用坐标方法求解. 【小问1详解】 因为，故 又因为与共线，设，则， 由题意知，故，所以，实数的值为. 【小问2详解】 解法1：因为，，所以，， 所以 ， ， ， 所以； 解法2：以为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系， 因为，，，， 所以，，，， 而，即为的中点，故， ，， ， 故，， 故． 17. 如图所示，在四边形中，，， （1）求四边形绕旋转一周所成几何体的表面积； （2）求四边形绕旋转一周所成几何体的体积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分析旋转体的结构特征，结合圆锥、圆台的侧面积公式运算求解； （2）根据题意结合锥体、台体的体积公式运算求解. 【小问1详解】 由题意可知，四边形绕旋转一周所成几何体为圆台挖去一个圆锥的组合体， 过点作，垂足分别为，如下图所示： 易知，所以， 又，所以，可得； 故圆台的上底面半径为，下底面半径为，高为， 母线长；高，母线长， 所以圆台的侧面积为， 圆锥的侧面积为，圆台的下底面面积为， 所以几何体的表面积为． 【小问2详解】 易知几何体的体积等于圆台体积减去圆锥体积， 即， 所以几何体的体积为． 18. 在中，设A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知. （1）求角B的值； （2）若，判断的形状； （3）若为锐角三角形，且，求的面积S的取值范围. 【答案】（1）60°； （2）等边三角形； （3）. 【解析】 【分析】（1）将角化边进行化简，然后结合余弦定理求解即可；（2）将边化角，将正切变成正弦和余弦再进行化简即可判断；（3）根据条件表示边，再利用三角形的面积公式即可求解面积的取值范围. 【小问1详解】 ∵， ∴由正弦定理得， 即， 即， 即， 由余弦定理得， ∵， ∴； 【小问2详解】 ∵ ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形. 【小问3详解】 因为, 由正弦定理,得 所以 因为为锐角三角形,则, 从而, 所以. 19. 如图，在四棱锥中，平面为的中点，为的中点． （1）证明：平面． （2）证明：平面． （3）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）连接，设与交于点，连接，可证为的中位线，则，从而得证平面； （2）根据题意，可知平面，所以，又，从而得证平面； （3）由（2）得即为直线与平面所成的角，求解即可． 【小问1详解】 如图，连接，设与交于点，连接， 由题意可得，所以四边形为平行四边形，所以为的中点． 又因为为的中点，所以为的中位线，则． 因平面平面，所以平面． 【小问2详解】 因为，所以． 因平面平面，所以． ，平面PAD，所以平面． 平面，所以． 因为为的中点，所以． ，平面PCD,所以平面． 【小问3详解】 由（2）得平面，所以即为直线与平面所成的角． 易得， 所以，即直线与平面所成角的正弦值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$