精品解析：湖北省荆州市成丰学校2025学年高一下学期期中考试数学试题

荆州成丰学校2025年春季学期期中考试 高一年级数学试卷 考试时长：120分钟 满分：150分 命题人：沈探 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设复数满足，则它的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，以及虚部的定义，即可求解． 【详解】， 复数的虚部为． 故选：B． 2. 已知，，且，，则的坐标为（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的坐标运算即可求解. 【详解】设，由，得 ， 所以. 故选：C 3. 已知向量，在上的投影向量为，则（ ） A. B. 8 C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由数量积的几何意义可判断选项正误. 【详解】由得，根据在上的投影向量为，可知在上的投影的数量为， 故根据数量积的几何意义，等于与在上的投影的数量的乘积， 故． 故选：A． 4. 已知在中，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用余弦定理求出，再根据数量积的定义计算可得. 【详解】在中由余弦定理，即， 解得， 所以. 故选：B 5. 已知，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】把已知条件展开联立方程组即可得到. 【详解】由， ， 联立方程组，可得，， 又由， 故选：B. 【点晴】此题考两角和与差的三角函数公式，属于简单题. 6. 定义运算如下:设函数，则该函数的图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数新定义求得函数解析式，再根据一次函数和二次函数得图像即可的解. 【详解】解：由的定义可知 因为，所以函数图象过点，排除A，B； 当时，，排除D，只有C符合. 故选：C. 7. 若，当时，的大小关系是（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由幂函数，指数函数，对数函数单调性可判断选项正误. 【详解】当时， 由于是一个减函数，故有， 由于是一个递增的幂函数，故， 由于是递减的对数函数，故， 综上. 故选：B. 8. 秦九韶（1208年~1268年），字道古，祖籍鲁郡（今河南省范县），出生于普州（今四川安岳县）．南宋著名数学家，与李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家.1247年秦九韶完成了著作《数书九章》，其中的大衍求一术（一次同余方程组问题的解法，也就是现在所称的中国剩余定理）、三斜求积术和秦九韶算法（高次方程正根的数值求法）是有世界意义的重要贡献．设的三个内角，，所对的边分别为，，，面积为，秦九韶提出的“三斜求积术”公式为，若，，则由“三斜求积术”公式可得的面积为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，结合正弦定理和余弦定理，求得，，结合“三斜求积术”的公式，代入即可求解. 【详解】因为，由正弦定理得，所以， 又因为，由余弦定理得， 可得， 所以. 故选：B． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知奇函数在上是减函数，且在区间上值域为，则在区间上（ ） A. 有最大值4 B. 有最小值 C. 有最大值3 D. 有最小值 【答案】BC 【解析】 【分析】根据奇函数的图象关于原点对称可得． 【详解】是奇函数，因此在上仍然是减函数，且值域为，最小值是，最大值是3． 故选：BC． 10. 将图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再将所得图象向右平移个单位长度得到的图象，则（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 函数的单调递增区间为 C. 在上恰有3个零点 D. 在上有2个最大值点，2个最小值点 【答案】BC 【解析】 【分析】先利用二倍角公式得到，再利用伸缩变换和平移变换得到，再逐项判断. 【详解】解：， 则． 由，，可得，故A错误． 由，，解得，， 所以函数的单调递增区间为，故B正确． 由，可得，则在上恰有3个零点，2个最大值点，1个最小值点，故C正确，D错误． 故选：BC 11. 如图，甲船从出发以每小时25海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船出发时，乙船位于甲船的南偏西方向的处，此时两船相距海里．当甲船航行12分钟到达处时，乙船航行到甲船的南偏西方向的处，此时两船相距5海里，下面结论正确的是（ ） A. 乙船的行驶速度与甲船相同 B. 乙船的行驶速度是海里/时 C. 甲、乙两船相遇时，甲船行驶了小时 D. 甲、乙两船不可能相遇 【答案】AD 【解析】 【分析】根据三角形的边角关系可得是正三角形，进而根据余弦定理可得，进而可求解速度，即可判定AB，分别计算甲乙两船到达的时间即可判定CD. 【详解】如图，连接． 依题意，（海里），而海里，， 则是正三角形，所以海里． 在中，海里， 由余弦定理得 （海里）， 则有，所以，所以， 所以乙船的行驶速度是（海里/时），故A正确，B不正确． 延长与交于点O，显然有，即， 易得海里，海里，海里， 甲船从出发到点O用时（小时）， 乙船从出发到点O用时（小时）， ，即甲船先到达点O，所以甲、乙两船不可能相遇，C不正确，D正确． 故选：AD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若，则的值等于________. 【答案】-i. 【解析】 【分析】 先计算，再利用计算的周期性，整理化简即可. 【详解】因为， 所以 故答案为：. 【点睛】本题考查计算的周期性，属基础题，易错题. 13. 已知关于 的不等式的解集为，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】不等式等价于的解集是，分和两种情况讨论求实数的取值范围. 【详解】恒成立， 不等式等价于的解集是， 当时，不成立，解集是， 当时， ，解得：， 综上：. 故答案为： 【点睛】本题考查根据不等式的解集求参数的取值范围，意在考查分类讨论和计算能力，属于基础题型. 14. 为庆祝我校建校120周年，数学学科以“南开”首字母“”为灵感设计了一款纪念胸章，如图所示，，则____________． 【答案】18 【解析】 【分析】以点为原点建立平面直角坐标系，根据平面向量坐标运算求解即可． 【详解】以点为原点建立平面直角坐标系，如图所示， 由已知得，， 所以， 所以， 故答案为：18． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知复数，复数，其中i是虚数单位，为实数． （1）若，求的值； （2）若， ①求的值； ②若复数在复平面内对应的点在第二象限，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）①；②． 【解析】 【分析】（1），利用模长公式得到； （2）①根据得到方程组，求出的值； ②，根据所在象限得到不等式组，求出 【小问1详解】 当时，， 所以， 所以． 【小问2详解】 ①若，则， 所以，解得； ②，，所以， 又在复平面内对应的点在第二象限，所以， 解得，所以． 所以实数的取值范围为． 16. 某社区规划在小区内建立一个如图所示的圆形休闲区，经调研确定，该圆内接四边形ABCD为儿童娱乐设施建筑用地，． （1）求和 （2）求儿童娱乐设施建筑用地的面积 （3）若A，C，D不动，在圆弧 上取一点E，使得儿童娱乐设施的新建筑用地AECD的面积最大，并求出最大值． 【答案】（1）． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意可得 ，则，由余弦定理可得答案； （2）四边形面积为，由三角形面积公式及（1）可得答案； （3）由（1）结合余弦定理可得，然后由重要不等式可得 ，据此可得答案. 【小问1详解】 连接AC，由题意可得 ， 则．① 由余弦定理可得， 则．② 由①②可得，从而． 【小问2详解】 故四边形ABCD的面积为 ． 【小问3详解】 由余弦定理可得． 由（1）可得， 由余弦定理可得，则， 当且仅当时取等号， 从而△AEC的面积． 由（1）可知△ACD面积为 ， 则儿童娱乐设施的新建筑用地AECD的面积为． 17. 已知，且的图象上相邻两条对称轴之间的距离为． （1）求函数的解析式； （2）求函数的单调递增区间； （3）若锐角的内角的对边分别为，且，求面积的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据数量积运算结合三角恒等变换化简表达式，结合周期公式求解； （2）根据正弦函数的单调性求解； （3）先求出，然后用正弦定理得出，利用三角形面积公式表示出，结合的取值范围求解. 【小问1详解】 ， 由的图象上相邻两条对称轴之间的距离为，有，又，解得， 所以． 【小问2详解】 令，解得， 所以函数的单调递增区间为． 【小问3详解】 已知，由，得， 由正弦定理，得， ， 由是锐角三角形，有， 得，则， 所以， 即面积的取值范围是． 18. 已知向量，函数． （1）求函数的解析式； （2）若，且，求的值； （3）已知，将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象．在的图象上是否存在一点，使得？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，． 【解析】 【分析】（1）根据数量积的坐标表示及二倍角公式、两角和的正弦公式化简； （2）依题意可得，结合角的范围得到，再由及两角差的正弦公式计算可得； （3）求出，设，由垂直关系利用向量列出方程，令，结合，得到，求出点的坐标. 【小问1详解】 因为，，函数， 所以 . 【小问2详解】 依题意， 因为，所以，而， 所以， 所以， 所以 ； 【小问3详解】 将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象， 则， 假设的图象上存在点使得， 因为， 因为， 所以 ， 令， 因为，所以， 当且仅当时取等， 所以存唯一解，此时，点， 综上，符合条件的点坐标为． 19. “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知的内角所对的边分别为， （1）若， ①求； ②若，设点为的费马点，求； （2）若，设点为的费马点，，求实数的最小值． 【答案】（1）①；② （2）. 【解析】 【分析】（1）①利用正弦定理角化边，然后利用余弦定理来求解；②利用等面积法列方程，结合向量数量积运算求得正确答案； （2）由（1）结论可得，设，推出，利用余弦定理以及勾股定理即可推出，再结合基本不等式即可求得答案. 【小问1详解】 ①由正弦定理得，即， 所以，又， 所以； ②由①，所以三角形的三个角都小于， 则由费马点定义可知：， 设，由得： ，整理得， 则 ； 【小问2详解】 因为， 所以， 所以，即， 所以或， 当时，，为直角三角形， 当， 则， 得，在三角形中不可能成立， 所以为的直角三角形， 因为点为费马点，则， 设， 则由得； 由余弦定理得， ， ， 故由得， 即，而，故， 当且仅当，结合，解得时，等号成立， 又，即有，解得或（舍去）， 故实数的最小值为. 【点睛】关键点点睛：解答本题首先要理解费马点的含义，从而结合（1）的结论可解答第二问，解答第二问的关键在于设，推出，结合费马点含义，利用余弦定理推出，然后利用基本不等式即可求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 荆州成丰学校2025年春季学期期中考试 高一年级数学试卷 考试时长：120分钟 满分：150分 命题人：沈探 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设复数满足，则它的虚部为（ ） A. B. C. D. 2. 已知，，且，，则的坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，在上的投影向量为，则（ ） A. B. 8 C. 4 D. 4. 已知中，，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 定义运算如下:设函数，则该函数的图象是（ ） A. B. C. D. 7. 若，当时，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 秦九韶（1208年~1268年），字道古，祖籍鲁郡（今河南省范县），出生于普州（今四川安岳县）．南宋著名数学家，与李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家.1247年秦九韶完成了著作《数书九章》，其中大衍求一术（一次同余方程组问题的解法，也就是现在所称的中国剩余定理）、三斜求积术和秦九韶算法（高次方程正根的数值求法）是有世界意义的重要贡献．设的三个内角，，所对的边分别为，，，面积为，秦九韶提出的“三斜求积术”公式为，若，，则由“三斜求积术”公式可得的面积为（ ） A. B. C. D. 1 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知奇函数在上是减函数，且在区间上的值域为，则在区间上（ ） A. 有最大值4 B. 有最小值 C. 有最大值3 D. 有最小值 10. 将图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再将所得图象向右平移个单位长度得到的图象，则（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 函数的单调递增区间为 C. 在上恰有3个零点 D. 在上有2个最大值点，2个最小值点 11. 如图，甲船从出发以每小时25海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船出发时，乙船位于甲船的南偏西方向的处，此时两船相距海里．当甲船航行12分钟到达处时，乙船航行到甲船的南偏西方向的处，此时两船相距5海里，下面结论正确的是（ ） A. 乙船的行驶速度与甲船相同 B. 乙船的行驶速度是海里/时 C 甲、乙两船相遇时，甲船行驶了小时 D. 甲、乙两船不可能相遇 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若，则的值等于________. 13. 已知关于 不等式的解集为，则实数的取值范围是__________. 14. 为庆祝我校建校120周年，数学学科以“南开”首字母“”为灵感设计了一款纪念胸章，如图所示，，则____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知复数，复数，其中i是虚数单位，为实数． （1）若，求的值； （2）若， ①求的值； ②若复数在复平面内对应的点在第二象限，求实数的取值范围． 16. 某社区规划在小区内建立一个如图所示的圆形休闲区，经调研确定，该圆内接四边形ABCD为儿童娱乐设施建筑用地，． （1）求和 （2）求儿童娱乐设施建筑用地的面积 （3）若A，C，D不动，在圆弧 上取一点E，使得儿童娱乐设施的新建筑用地AECD的面积最大，并求出最大值． 17. 已知，且的图象上相邻两条对称轴之间的距离为． （1）求函数的解析式； （2）求函数的单调递增区间； （3）若锐角的内角的对边分别为，且，求面积的取值范围． 18. 已知向量，函数． （1）求函数的解析式； （2）若，且，求的值； （3）已知，将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象．在的图象上是否存在一点，使得？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，说明理由． 19. “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知的内角所对的边分别为， （1）若， ①求； ②若，设点为的费马点，求； （2）若，设点为费马点，，求实数的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$