专题03 概率的初步（考点清单，3考点10题型）-2024-2025学年七年级数学下学期期末考点大串讲（鲁教版）

专题03 概率初步 （3个考点梳理+10种题型解读+提升训练） 清单01 确定事件与随机事件 类别 定义 举例 确定事件 必然 事件 在一定条件下，有些事情我们事先肯定它一定发生，这些事情称为必然事件. 在一个只装有红球的袋子中摸球，摸出红球. 不可能事件 在一定条件下，有些事情我们事先肯定它一定不会发生，这些事情称为不可能事件. 在一个只装有红球的袋子中摸球，摸出白球. 不确定事件（随机事件） 在一定条件下，许多事情我们无法确定它会不会发生，这些事情称为不确定事件（又叫随机事件）. 在一个装有红球和白球的袋子中摸球，摸出白球. 清单02 概率 概率：一般地，对于一个随机事件A，把刻画其发生可能性大小的数值，称之为随机事件A发生的概率，记为P(A). 概率的意义：一个事件发生的概率是一个确定的数，它从数值上刻画了一个随机事件发生的可能性的大小. 概率的计算方法：一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率，即. 用求概率时，试验需满足的条件：1）在一次试验中，可能出现的结果只有有限个； 2）在一次试验中，各种结果出现的可能性相等. 概率的取值范围：当事件A为必然事件时，P(A)=1；当事件A为不可能事件时,P(A)=0；当事件A为随机事件时， 0＜P(A)＜1. 清单03 概率的计算方法 1.列举法 定义：在一次试验中，如果可能出现的结果只有有限个，且各种结果出现的可能性大小相等，我们可通过列举试验结果的方法，分析出随机事件发生的概率，这种方法称为列举法. 用列举法求概率的前提：1）所有可能出现的结果是有限个；2）每个结果出现的可能性相等. 2.列表法 定义：当事件中涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，用表格不重不漏地列出所有可能的结果，这种方法叫列表法. 列表法求概率的步骤： 1）把所有可能发生的试验结果列表表示出来； 2）把所求事件发生包含的可能结果都找出来； 3）利用概率公式，计算出事件的概率． 3.画树状图法 定义：当事件要经过多个步骤完成时，用树状图的形式不重不漏地列出所有可能的结果的方法叫画树状图法. 画树状图法求概率的步骤： 1）把所有可能发生的试验结果用树状图表示出来； 2）把所求事件发生包含的可能结果都找出来； 3）利用概率公式，计算出事件的概率． 4.用频率估计概率 一般地，在多次重复实验中，一个随机事件发生的频率会在某一个常数附近摆动，并且随着试验次数增多，摆动的幅度会减小.因此，当试验次数很大时，可以用一个事件发生的频率作为其概率的估计值. 【考点题型一】随机事件与确定事件的分类（） 1．（23-24七年级下·山东济南·期末）下列事件：（1）明天会下雨；（2）随机掷一枚均匀的硬币，正面朝上；（3）13名同学中一定有两人的出生月份相同；（4）同时抛掷两枚质地均匀的骰子，向上一面的点数之和为13．其中不确定事件有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查确定事件与不确定事件的判断，理解不确定事件的判断方法是解题关键．根据不确定事件及确定事件的区别依次判断即可． 【详解】解：①明天会下雨，是不确定事件，符合题意； ②随机掷一枚均匀的硬币，正面朝上，是不确定事件，符合题意； ③13名同学中一定有两人的出生月份相同，是确定事件，不符合题意； ④同时抛掷两枚质地均匀的骰子，向上一面的点数之和为13，是不可能事件，不符合题意； 故不确定事件有2个． 故选B． 2．（23-24七年级下·山东济南·期末）下列事件属于必然事件的是（   ） A．负数大于正数 B．经过红绿灯路口，遇到红灯 C．抛掷硬币时，正面朝上 D．任意画一个三角形，其内角和是 【答案】D 【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据相关概念逐项判断即可． 【详解】解：A、负数大于正数，是不可能事件，不符合题意； B、经过红绿灯路口，遇到红灯，随机事件，不符合题意； C、抛掷硬币时，正面朝上，随机事件，不符合题意； D、任意画一个三角形，其内角和是，是必然事件，符合题意； 故选：D． 3．（23-24七年级下·山东威海·期末）下列词语描述的事件，是随机事件的是（    ） A．守株待兔 B．水中捞月 C．瓜熟蒂落 D．偷天换日 【答案】A 【分析】本题考查了随机事件，根据确定事件和随机事件的定义来区分判断即可，必然事件和不可能事件统称确定性事件；必然事件：在一定条件下，一定会发生的事件称为必然事件；不可能事件：在一定条件下，一定不会发生的事件称为不可能事件；随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件．据此进行判断即可． 【详解】解：A．守株待兔，是随机事件，故选项符合题意； B．水中捞月，是不可能事件，故选项不符合题意； C．瓜熟蒂落，是必然事件，故选项不符合题意； D．偷天换日，是不可能事件，故选项不符合题意； 故选：A． 4．（23-24七年级下·山东烟台·期末）下列事件是随机事件的是（    ） A．任意画一个三角形，该三角形的内角和为 B．地球绕着太阳公转 C．成语“水中捞月”所描述的事件 D．一次抽奖活动的中奖概率为，抽奖20次中奖1次 【答案】D 【分析】本题主要考查的是必然事件、随机事件和不可能事件的概念，根据事件发生概率的可能性大小来确定答案． 【详解】解：A. 任意画一个三角形，该三角形的内角和为，是必然事件，故本选项不符合题意 B. 地球绕着太阳公转，是必然事件，故本选项不符合题意 C. 成语“水中捞月”所描述的事件，是不可能事件，故本选项不符合题意； D. 一次抽奖活动的中奖概率为，抽奖20次中奖1次，是随机事件，故该选项符合题意； 故选：D． 【考点题型二】判断事件发生可能性的大小（） 5．（22-23七年级下·山东菏泽·期末）某天气预报软件显示“菏泽市东明县明天的降水概率为”，对这条信息的下列说法中，正确的是（    ） A．东明县明天将有的时间下雨 B．东明县明天下雨的可能性较小 C．东明县明天下雨的可能性较大 D．东明县明天将有的地区下雨 【答案】C 【分析】根据概率反映随机事件出现的可能性大小，即可进行解答. 【详解】解：菏泽市东明县明天的降水概率为，表明东明县明天下雨的可能性较大， 故选：C. 【点睛】本题考查了概率的意义，熟练掌握概率的意义是解题的关键. 6．（22-23七年级下·山东威海·期末）一个不透明的盒子中装有 3个红球和 5个白球，它们除颜色外其它都相同．若从中随机摸出一个球，则下列叙述正确的是（   ） A．摸到白球是必然事件 B．摸到黑球是不可能事件 C．摸到红球比摸到白球的可能性大 D．摸到红球与摸到白球的可能性相等 【答案】B 【分析】根据事件的分类以及事件发生的可能性大小逐一进行判断即可． 【详解】解：A、摸到白球是随机事件，选项错误，不符合题意； B、摸到黑球是不可能事件，选项正确，符合题意； C、红球的数量比白球少，摸到红球比摸到白球的可能性少，选项错误，不符合题意； D、红球的数量比白球少，摸到红球比摸到白球的可能性少，选项错误，不符合题意； 故选B． 【点睛】本题考查事件的分类以及判断事件发生的可能性大小．熟练掌握事件的分类是解题的关键． 7．（22-23七年级下·山东青岛·期末）掷一枚质地均匀的硬币20次，下列说法正确的是（　　） A．每2次必有1次正面向上 B．必有10次正面向上 C．不可能有20次正面向上 D．可能有10次正面向上 【答案】D 【分析】根据事件发生可能性的大小逐项判断即得答案. 【详解】解：A、掷一枚质地均匀的硬币20次，每2次必有1次正面向上，说法错误； B、掷一枚质地均匀的硬币20次，必有10次正面向上，说法错误； C、掷一枚质地均匀的硬币20次，不可能有20次正面向上，说法错误； D、掷一枚质地均匀的硬币20次，可能有10次正面向上，说法正确； 故选：D. 【点睛】本题考查了事件发生的可能性的大小，正确理解题意是关键. 8．（21-22七年级下·山东济南·期末）下列事件属于必然事件的是（     ） A．掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是奇数 B．车辆随机经过一个路口，遇到红灯 C．任意画一个三角形，其内角和是180° D．有三条线段，将这三条线段首尾顺次相接可以组成一个三角形 【答案】C 【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可． 【详解】解：A、掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是奇数，是随机事件，不符合题意； B、车辆随机经过一个路口，遇到红灯，是随机事件，不符合题意； C、任意画一个三角形，其内角和是180°，是必然事件，符合题意； D、有三条线段，将这三条线段首尾顺次相接可以组成一个三角形，是随机事件，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 【考点题型三】概率的意义（） 9．（23-24七年级下·山东泰安·期末）下列说法正确的是（    ） A．随机事件发生的概率为 B．“买中奖率为的奖券100张，中奖”是必然事件 C．“水滴石穿”发生的概率为0 D．“水中捞月”发生的概率为0 【答案】D 【分析】本题主要考查了概率的意义以及必然事件、随机事件、不可能事件等知识，概率是反映事件发生机会的大小的概念，只是表示发生的机会的大小，机会大也不一定发生，机会小也有可能发生．正确掌握概率的意义是解题的关键． 利用概率的意义，必然事件、随机事件、不可能事件的意义对各选项进行判断即可． 【详解】解：A．随机事件发生的概率为，故此选项不符合题意； B．“买中奖率为的奖券100张，中奖”是随机事件，故此选项不符合题意； C．“水滴石穿”发生的概率为1，故此选项不符合题意； D．“水中捞月”是不可能事件，发生的概率为0，故此选项符合题意． 故选：D． 10．（23-24七年级下·山东济南·期末）下列说法正确的是(   ) A．投掷一枚质地均匀的硬币800次，正面向上的次数一定是400次 B．在只装有红球和绿球的袋子中摸出一个球，结果是黄球的可能性是很大的 C．篮球队员在罚球线上投篮一次，“投中”为随机事件 D．经过城市中某一有交通信号灯的路口，遇到绿灯是必然事件 【答案】C 【分析】本题考查可能性的大小、随机事件，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据事件发生的可能性大小判断即可． 【详解】解：A、投掷一枚质地均匀的硬币800次，正面向上的次数一定是400次是随机事件，说法错误，不符合题意； B、在只装有红球和绿球的袋子中摸出一个球，结果是黄球的可能性是没有的，说法错误，不符合题意； C、篮球队员在罚球线上投篮一次，“投中”为随机事件，说法正确，符合题意； D、经过城市中某一个有交通信号灯的路口，遇到绿灯是随机事件，不符合题意； 故选：C． 11．（22-23七年级下·山东东营·期末）下列说法合理的是（    ） A．某彩票的中奖机会是，那么如果买100张彩票一定会有3张中奖 B．在一次课堂进行的实验中，甲、乙两组同学估计硬币落地后，正面朝上的频率分别为和 C．抛掷一枚正六面体骰子，出现2的概率是的意思是，每6次就有1次掷得2 D．任意画一个三角形，其内角和是是随机事件 【答案】B 【分析】直接利用概率的意义分别分析得出答案． 【详解】解：A、某彩票的中奖机会是，那么如果买100张彩票不一定会有3张中奖，故原选项不合题意； B、在一次课堂进行的实验中，甲、乙两组同学估计硬币落地后，正面朝上的频率分别为和，故原选项符合题意； C、抛掷一枚正六面体骰子，出现2的概率是不代表每6次就有1次掷得2，故原选项不合题意； D、任意画一个三角形，其内角和是是不可能事件，故原选项不合题意； 故选：B． 【点睛】此题主要考查了概率和频率的意义，正确理解概率的意义是解题关键． 12．（22-23七年级下·山东烟台·期末）下列说法中正确的是（   ） A．小明在装有红绿灯的十字路口，“遇到红灯”是随机事件 B．确定事件发生的概率是1 C．抛掷一枚质地均匀的正方体骰子600次，点数为1与点数为6的频率相同 D．从某校1000名男生中随机抽取2名进行引体向上测试，其中有一名成绩不及格，说明该校的男生引体向上成绩不及格 【答案】A 【分析】根据事件的分类，频率和概率分别判断即可． 【详解】解：A. 小明在装有红绿灯的十字路口，“遇到红灯”是随机事件,故正确，符合题意； B. 确定事件发生的概率是1或0，故错误，不合题意； C. 抛掷一枚质地均匀的正方体骰子600次，点数为1与点数为6的频率不一定相同，故错误，不合题意； D. 从某校1000名男生中随机抽取2名进行引体向上测试，其中有一名成绩不及格，但抽取的人数太少，不能说明该校的男生引体向上成绩不及格，故错误，不合题意； 故选：A． 【点睛】此题主要考查了事件的分类，概率的意义，频率，解答此题要明确事件类型和概率的关系． 【考点题型四】根据概率公式计算概率（） 13．（23-24七年级下·山东烟台·期末）一个口袋中有4个白球，5个红球，6个黄球，每个球除颜色外都相同，搅匀后随机从袋中摸出一个球，这个球是白球的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是概率的公式，可先求出总的球的个数，再用白球的个数除以总的球的个数即可得出本题的答案． 【详解】共有球个，白球有4个， 因此摸出的球是白球的概率为：． 故选：B． 14．（23-24七年级下·山东威海·期末）在一个不透明的袋子中装有若干个黑球、白球、红球，它们除颜色外其他都相同．已知黑球和白球共有个，黑球和红球共个，白球和红球共个．若随机摸球摸到黑球的概率（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设黑球有个，白球有个，红球有个，根据题意列方程组解方程组可知黑球有个，白球有个，红球有个，最后利用概率公式即可解答．本题考查了三元一次方程组与实际问题，概率的公式，审清题意找出数量关系和等量关系是解题的关键． 【详解】解：设黑球有个，白球有个，红球有个， 由题意得：， 解得：， 即黑球有个，白球有个，红球有个， ∴随机摸球摸到黑球的概率为， 故选：． 15．（23-24七年级下·山东菏泽·期末）动物园准备了100张刮刮乐，打算送给开幕当日的前100名游客每人一张，其中可刮中奖品的刮刮乐共有32张，下表为奖品的种类及数量： 奖品 北极熊玩偶 狮子玩偶 造型马克杯 纪念钥匙圈 数量/个 1 1 10 20 若小柏为开幕当日的第一名游客，且每张刮刮乐被小柏拿到的机会相等，则小柏刮中玩偶的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了概率公式：表示该试验中所有可能出现的基本结果的总数目，表示事件包含的试验基本结果数，这种定义概率的方法称为概率的定义，难度适中． 由表可知共有100张刮刮乐，其中玩偶有2个，利用概率公式：求解，即用玩偶的个数除以刮刮乐的总张数． 【详解】解：∵共有100张刮刮乐，其中玩偶有2个， ∴小柏刮中玩偶的概率是． 故选：D． 16．（23-24七年级下·山东烟台·期末）已知数据：，，，，，，．从中随机抽取一个数是无理数的概率为 ． 【答案】 【分析】本题考查了概率公式以及有理数和无理数，直接由概率公式求解即可．概率所求情况数与总情况数之比．熟记概率公式是解题的关键． 【详解】解：7个数据：，，，，，，，其中，，，，是无理数，有5个， 从中随机抽取一个数是无理数的概率为， 故答案为：． 17．（23-24七年级下·山东青岛·期末）现有四条线段，每条线段被抽到的可能性都相同，从中任意抽取三条线段，则能够围成三角形的概率是 ． 【答案】/0.5 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式、三角形三边关系，熟练掌握概率公式、三角形三边关系是解答本题的关键．根据题意可得出所有等可能的结果以及能够围成三角形的结果，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：从中任意抽取三条线段，所有等可能的结果有：，，，，，，，，，，，，共4种， 其中能够围成三角形的结果有：，，，，，，共2种， 能够围成三角形的概率是． 故答案为：． 18．（23-24七年级下·山东·期末）如图， 从四个格点中任选一点，与点，构成的三角形与 全等的概率是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了概率公式和全等三角形的判定，根据全等三角形的判定找到符合条件的点的个数，再根据概率公式计算可得． 【详解】解：要使与全等，点的位置可以是两个， 从四个格点中任选一点，与点，构成的三角形与全等的概率是． 故答案为：． 19．（23-24七年级下·山东烟台·期末）某商场的打折活动规定：凡在本商场购物，可转动如图所示的转盘一次，并根据所转结果付账． (1)分别求出打九折，打八折的概率； (2)小红和小明分别购买了价值200元的商品，活动后一共付钱360元，请你分析他俩获得优惠的情况． 【答案】(1)， (2)①一个不打折，一个打八折；②都打九折；两种情况 【分析】（1）根据概率的计算方法，可得答案； （2）根据已知条件他俩获得优惠的情况分为两种情况，于是得到结论． 本题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 【详解】（1）解：根据题意可得，；； （2）解：（元）， （元）， （元）， （元）， 他俩获得优惠的情况分为：①一个不打折，一个打八折；②都打九折；两种情况． 【考点题型五】已知概率计算数量（） 20．（22-23七年级下·山东青岛·期末）一个不透明的口袋中装有4个红球和若干个白球，每个球除颜色外都相同．若从中任意摸出一个球是白球的概率是，则口袋中白球的数量是（    ） A．20 B．24 C．30 D．36 【答案】A 【分析】设白球的个数是，根据概率公式列出方程，求得答案即可． 【详解】解：设白球的个数是， 根据题意得：， 解得：，经检验是原方程的解， 即：口袋中的白球有20个， 故选：A． 【点睛】本题考查概率的求法：如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种可能，那么事件的概率． 21．（20-21七年级下·山东济南·期末）一个袋中装有红、黑、黄三种颜色小球共15个，这些球除颜色外均相同，其中红色球有5个，若从袋中任意取出一个球，取到黄色球的概率为，则黑色球个数为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】根据取到黄球的概率求出黄球个数，总数减去红黄球个数，即可得到黑球个数． 【详解】根据题意可求得黄球个数为：15×=3个， 所以黑球个数为：15-5-3=7个， 故选：C． 【点睛】本题考查的是概率计算相关知识，熟记概率公式是解答此题的关键． 22．（2022·山东济南·一模）在一个不透明的袋子中装有3个红球和若干个白球．每个球除颜色外其余均相同，若从袋中随机摸出一个球是红球的概率为，则袋中白球的个数为 ． 【答案】9 【分析】本题考查概率公式，先根据摸到红球的概率求出袋子里球的总数，减去红球的个数即为白球的个数． 【详解】解：袋子里球的总数为， 袋中白球的个数为， 故答案为：9． 23．（2023·四川资阳·二模）一个袋中装有m个红球，n个白球，6个黄球，每个球除颜色外其余都相同，任意摸出一个球，摸到黄球的概率为，则的值为 ． 【答案】6 【分析】根据概率公式进行计算即可得． 概率=所求情况数与总情况数之比． 【详解】解：∵一共有个球，黄球有6个，摸到黄球的概率为 ， ∴， 解得：， 故答案为：6． 【点睛】本题主要考查了已知概率，求参数，解题的关键是掌握概率公式，概率=所求情况数与总情况数之比． 24．（23-24七年级下·山东济南·期末）一个不透明的盒子中装有3个白色乒乓球，2个黄色乒乓球，1个红色乒乓球，这些乒乓球除颜色外形状和大小完全一样，小颖同学从盒子中任意摸出一个乒乓球． (1)小颖同学摸出红球是____，摸出黑球是_____（从“随机事件”、“必然事件”、“不可能事件”选一个填入） (2)你认为小颖同学摸出的球，最有可能摸到的颜色是______色 (3)在上述盒子中再放入n个形状和大小完全相同的红色乒乓球，小颖同学从盒子中任意摸出一个乒乓球，摸到黄色乒乓球的概率为，则______． (4)在（3）的条件下，小颖和小英同学一起做游戏，小颖从上述盒子中任意摸一个乒乓球，如果摸到红球，小颖获胜，否则小英获胜．这个游戏对双方公平吗？为什么？（利用概率的知识进行说明） 【答案】(1)随机事件，不可能事件 (2)白 (3)4 (4)公平；理由见解析 【分析】（1）根据随机事件，不可能事件的含义可得答案； （2）由，可得摸到白色球的机会最大； （3）利用概率公式建立方程求解即可； （4）分别求解小颖获胜与小英获胜的概率即可． 【详解】（1）解：小颖同学摸出红球是随机事件，摸出黑球是不可能事件； （2）解：∵ ∴摸到白色小球的可能性最大； ∴小颖同学摸出的球，最有可能摸到的颜色是白色； （3）解：∵摸到黄色乒乓球的概率为， ∴， 解得：，经检验符合题意； （4）解：∵一个不透明的盒子中装有3个白色乒乓球，2个黄色乒乓球，5个红色乒乓球， ∴摸到红球，小颖获胜的概率为，小英获胜的概率为； ∴这个游戏对双方公平； 【点睛】本题考查的是事件的分类与判定，简单随机事件的概率的计算，已知概率求解数量，分式方程的解法，理解题意是关键. 【考点题型六】几何概率（） 25．（22-23八年级下·山东烟台·期末）如图，地板由方砖组成，一个小球在地板上自由滚动并随机地停在某块方砖上，则小球落在阴影部分的概率最小的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查几何概率．根据几何概率的求法：小球落在阴影部分的概率就是阴影的面积与总面积的比值，逐项计算，即可． 【详解】解：对于A选项，小球落在阴影部分的概率为； 对于B选项，小球落在阴影部分的概率为； 对于C选项，小球落在阴影部分的概率为； 对于D选项，小球落在阴影部分的概率为； ∵， ∴小球落在阴影部分的概率最小的是选项B． 故选：B 26．（23-24七年级下·山东烟台·期末）七巧板是我国古代劳动人民的一项发明，被誉为“东方模板”，它由五块等腰直角三角形、一块正方形、一块平行四边形（对边平行且相等）组成．如图，某同学利用七巧板拼成的正方形玩“滚小球游戏”，小球可以在该正方形上自由滚动，并随机地停留在某块板上（停留在拼接缝隙处不计），则小球停留在阴影部分的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查几何概率，以及七巧板特点，熟练掌握几何概率的计算方法是解题的关键．设大正方形的边长为，先求出阴影部分的面积，然后根据概率公式即可得到答案． 【详解】解：设大正方形的边长为， 根据七巧板特点有， 又大正方形的面积为：， 小球停留在阴影部分的概率是：， 故选：． 27．（22-23七年级下·山东烟台·期末）将一个小球在如图所示的正六边形地板上自由滚动，小球随机停在正六边形地板内的某一点上．若小球停在阴影部分的概率为，停在空白部分的概率为，则与的大小关系为（    ）    A． B． C． D．无法判断 【答案】B 【分析】先根据正六边形的性质知阴影部分的面积与空白部分的相等，再根据其面积占六边形面积的比值，即可得出结论． 【详解】解：由图可知，阴影部分的面积与空白部分的相等，各占六边形面积的， ∴， ∴ 故选：B． 【点睛】本题考查的是几何概率，用到的知识点为：几何概率=相应的面积与总面积之比． 28．（23-24七年级下·山东济南·期末）如图所示，在中，点D是边上的中点，E、F是上的两个点，连接、、、．在纸片上作随机扎针试验，针头扎在阴影区域内的概率为 ． 【答案】 【分析】本题考查了几何概率，掌握等底等高的两个三角形的面积相等是解答本题的关键．作交延长线于点H，作于点G．证明得，从而与的面积相等，进而根据概率公式可得答案． 【详解】解：作交延长线于点H，作于点G． ∵点D是边上的中点， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴与是两个同底等高的两个三角形， ∴与的面积相等， ∴阴影区域的面积等于的面积， 又∵与的面积相等， ∴针头扎在阴影区域内的概率为 故答案为：． 【考点题型七】列举法求概率（） 29．（23-24七年级下·山东烟台·期末）如图，在边长为1的小正方形组成的的网格中有A，B两个格点，在网格的格点上任取一点C（点A，B除外），恰能使为等腰三角形的概率是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了几何图形中的概率计算，解决此题的关键是：正确找出恰好能使为等腰三角形的点． 按照题意分别找出点C所在的位置：当时，符合条件的点C有3个；当时，符合条件的点C有1个；当时，符合条件的点C有1个；当根据概率公式求出概率． 【详解】解：如图， 可以找到5个恰能使为等腰三角形的点， 概率为：， 故答案为：． 30．（23-24七年级下·山东泰安·期末）实数5与6，7，8中任意一个数组成的两位数是奇数的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查用概率公式求概率，熟练掌握概率公式是解答本题的关键． 根据题意可得出所有等可能的结果数以及组成的两位数是奇数的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：实数5与6，7，8中任意一个数组成的两位数的所有等可能的结果为：56，65，57，75，58，85，共6种结果， 其中是奇数的结果有：65，57，75，85，共4种， 实数5与6，7，8中任意一个数组成的两位数是奇数的概率为． 故选：D． 31．（22-23七年级下·山东菏泽·期末）现有长度分别为和的木棒，用5根长度为、、、、的木棒分别与之围成三角形，则能围成三角形的概率为 ． 【答案】/ 【分析】根据三角形的三边关系得出第三根木棒的长度的取值范围，再根据概率公式即可得出答案． 【详解】解：∵两根木棒的长分别是和， ∴第三根木棒的长度大于，小于， ∴能围成三角形的是：、、的木棒， ∴能围成三角形的概率为． 故答案为：． 【点睛】此题考查了列举法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 32．（22-23七年级下·山东青岛·期末）小丽与妈妈用一个如图所示的六等分、可以自由转动的转盘来玩游戏；将转盘随机转一次，指针指向的数字如果是能被整除妈妈获胜，如果是不能被整除，则小丽获胜（指针指到线上则重转）．求：    (1)转完转盘后指针指向数字是的倍数概率是多少？ (2)这个游戏公平吗？请你说明理由． 【答案】(1) (2)公平，理由见解析 【分析】（1）列举出所有可能出现的结果，进而求出指针指向数字为的概率； （2）分别求出妈妈获胜和小丽获胜的概率，通过比较得出结论． 【详解】（1）解：将转盘随机转一次，指针指向的数字所有可能的结果有，，，，，，共六种，且每种出现可能性相等， 因此指向数字的倍数概率为：， 答：转完转盘后指针指向数字的倍数概率是； （2）这个游戏公平，理由如下： 能够被4整除的结果数有3种，所有等可能的结果数有6种， 妈妈获胜的概率为：，小丽获胜的概率为：， 游戏公平． 【点睛】本题考查随机事件发生的概率，列举出所有可能出现的结果是解决问题的前提． 【考点题型八】列表法或树状图法求概率（） 33．（24-25九年级上·山东威海·期末）如图，在所给的电路图中，同时闭合两个开关能让小灯泡发光的概率为 ． 【答案】/ 【分析】此题考查了列表法与树状图法求概率的知识．根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与能够让灯泡发光的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】解：设、、、分别用1、2、3、4表示， 画树状图得： ∵共有12种等可能的结果，能够让灯泡发光的有6种结果， ∴能够让灯泡发光的概率为：， 故答案为：． 34．（24-25九年级上·山东烟台·期末）围棋起源于中国，棋子分黑白两色．一个不透明的盒子中装有1个黑色棋子和2个白色棋子，每个棋子除颜色外都相同，从中随机摸出一个棋子，记下颜色后放回搅匀，再从中随机摸出一个棋子，则两次摸到相同颜色的棋子的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了列表法与树状图法求概率等知识点，先画树状图展示所有种等可能的结果，再找出两次摸到相同颜色的棋子的结果数，然后根据概率公式计算，熟练掌握其画图或列表得出所有可能结果数是解决此题的关键． 【详解】画树状图为： 共有种等可能的结果，其中两次摸到相同颜色的棋子的结果数为种， ∴两次摸到相同颜色的棋子的概率为， 故选：C． 35．（24-25九年级上·山东烟台·期末）化学实验课上，张老师带来了（镁），（铝）（锌），（铜）四种金属材料及其元素卡片（如图，除正面信息不同外，其余均相同），将四张元素卡片背面朝上洗匀，让学生随机抽取一张，然后用抽取到的金属与盐酸反应来制取氢气．（根据金属活动顺序可知：、、可以置换出氢气，而不能置换出氢气） (1)小云随机从中抽取一张卡片，抽到“”的概率为______； (2)小云随机从中抽取两张卡片，请用列表或画树状图的方法求小云抽到的两种金属均能置换出氢气的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了用树状图或列表法求概率，掌握树状图或列表法是解题的关键． （1）根据概率公式计算即可求解； （2）列出表格，根据表格可求解； 【详解】（1）解：∵一共有（镁），（铝）（锌），（铜）四种金属元素卡片， ∴小云随机从中抽取一张卡片，抽到“”的概率为 （2）解：列表如下： 共有12种等可能的结果，其中小云和小南抽到的金属均能置换出氢气的结果有：，，，，，，共6种， 小云和小南抽到的金属均能置换出氢气的概率为． 36．（24-25九年级上·山东济南·期末）一只不透明的袋子中装有三个乒乓球，球面上分别标有数字3、4、5，这些乒乓球除所标数字不同外其余都相同． (1)搅匀后从中任意摸出一个乒乓球，求摸出的乒乓球的球面上恰好标有数字3的概率； (2)搅匀后先从袋子中任意摸出一个球，将球面上所标数字作为一个两位数的十位数字，不放回，再从袋中余下的球中任意摸出一个球，将球面上所标数字作为这个两位数的个位数字，求这个两位数恰好是奇数的概率．（请用画树状图或列表等方法说明理由） 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）根据共有3种等可能情况即可求解； （2）列表可得出所有等可能的结果数以及这个两位数恰好是奇数的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】（1）解：∵搅匀后从中任意摸出一个乒乓球，摸出的乒乓球的球面上的数字共有3种情况，即分别为3、4、5， ∴摸出的乒乓球的球面上恰好标有数字3的概率为； （2）解：列表如下： 3 4 5 3 34 35 4 43 45 5 53 54 共有6种等可能的结果，其中这个两位数恰好是奇数的结果有：35，43，45，53，共4种， 故这个两位数恰好是奇数的概率为． 【考点题型九】由频率估计概率（） 37．（23-24七年级下·山东烟台·期末）老师将本题答案制作了一个二维码，并打印成面积为的正方形（如图所示），为了估计图中黑色部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入白色部分的频率稳定在0.4左右，据此可以估计黑色部分的面积约是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．总面积乘以落入黑色部分的频率稳定值即可． 【详解】解：估计黑色部分的面积约为， 故答案为：． 38．（21-22九年级上·浙江嘉兴·期末）随机抽取一批毛衫的合格情况，得到如下的频数表. 抽取件数（件） 1000 合格频数 950 合格频率 估计出厂的2000件毛衫中，次品大约有 件. 【答案】 【分析】本题主要考查频率分布表和利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用最终频率的稳定值即可估计其概率，再用总数乘以次品对应的频率即可． 【详解】解：由表格知，任意抽一件衬衣是合格品的概率为； 估计次品的数量为（件）， 故答案为：． 39．（23-24七年级下·山东·期末）某数学兴趣小组在做“频率的稳定性”试验时，根据试验结果绘制了如图所示的折线统计图，则符合这一统计结果的试验最有可能是（      ） A．一副扑克牌去掉大小王后，从中任抽一张牌是红桃 B．任意掷一枚质地均匀的硬币，结果是正面朝上 C．从标有数字，，的三张卡片中任抽一张，抽出的卡片标有数字 D．任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是偶数 【答案】C 【分析】本题考查了频率估计概率，根据大量的实验后，事件发生的频率逐步稳定在一个固定值的附近，这个固定值大致约等于这个事件发生的概率，观察图象，找出四个选项中的概率为左右的符合条件，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：、一副扑克牌去掉大小王后， 从中任抽一张牌是红桃的概率是，不符合题意； 、任意掷一枚质地均匀的硬币，结果是正面朝上的概率是，不符合题意； 、从标有数字，，的三张卡片中任抽一张，抽出的卡片标有数字的概率是，符合题意； 、任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是偶数的概率是，不符合题意； 故选：． 40．（23-24八年级下·江苏淮安·期中）在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球共20个，这些球除颜色外其余完全相同．为了估计黑球和白球的个数，我们将球搅匀后，从盒子里随机摸出一个球记下颜色，再把球放回盒子中，多次重复上述过程，得到下表中的一组统计数据： 摸球的次数n 50 100 300 500 800 1000 2000 摸到白球的次数m 14 33 95 155 241 298 602 摸到白球的频率                                    (1)请你估计，当n很大时，摸到白球的频率将会接近 （精确到）； (2)若先从袋子中取出个黑球，再从袋子中随机摸出1个球，若“摸出白球”为必然事件，则 ； (3)若先从袋子中取出x个白球，再放入x个一样的黑球并摇匀，随机摸出1个白球的概率为，求x的值． 【答案】(1) (2)14 (3)1 【分析】此题考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率，用到的知识点为：部分的具体数目=总体数目×相应频率． （1）由表中摸球次数逐渐增大后，摸到白球的频率逐渐靠近于， （2）根据白球的频率逐渐靠近于，从而得出摸到白球的概率，再用总球的个数乘以白球的概率即可得出盒子里白球的数量；根据盒子里有14个黑球，再根据“摸出白球”为必然事件，从而得出； （3）根据概率公式列出算式，再进行计算即可得出答案． 【详解】（1）解：当n很大时，摸到白球的频率将会接近， 故答案为：； （2）由（1）得白球的概率为， 故盒子里白球的数量为：(个)， ∴盒子里有个黑球， ∵若先从袋子中取出个黑球，再从袋子中随机摸出1个球，盒子里有14个黑球，“摸出白球”为必然事件， ， 故答案为：14； （3）由（2）知白球6个，黑球14个， 根据题意得： 解得：， 则的值为1． 【考点题型十】游戏公平性（） 41．（23-24七年级下·山东济南·期末）在数学实践活动课上，小明和小红玩转盘游戏，分别转动如下的两个转盘（每个转盘都被分成3等份） (1)转动转盘①时，该转盘指针指向“3”的概率是______； (2)若同时转动两个转盘，规定：转盘停止指针指向的两个数字之和为奇数时小明获胜；两个数字之和为偶数时小红胜，你觉得此游戏对双方是否公平？请说明理由． 【答案】(1) (2)不公平，理由见解析 【分析】本题主要考查了概率公式及游戏的公平性，判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． （1）根据概率公式求解即可； （2）画出树状图，分别求得两种情况的概率，比较后即可确定答案． 【详解】（1）①转盘被均分为3份，标有3的只有1份， ∴转动转盘①时，该转盘指针指向“3”的概率是， 故答案为：； （2）解：该游戏对双方不公平，理由如下： 如图， 共有9种等可能的结果数，其中两次数字之和为奇数的结果数5，两次数字之和为偶数的结果数为4， 一共有9种情况：5、6、7；6、7、8；7、8、9； ∴P（和为奇数）；P（和为偶数）， ∴不公平． 42．（23-24七年级下·山东济南·期末）2024年4月23日是第29个世界读书日．为了营造多读书、读好书的氛围，我校举办了第十届校园读书节．在班级组织的“读书分享会”活动中，小明和小华都想当主持人，但只有一个名额、小华建议用游戏的方法来选人，如图，现有一个圆形转盘被平均分成份，分别标有、、、、、这六个数字，转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字（若指针指向分界线，则重新转），求： (1)转动转盘一次，转出的数字为的概率是______； (2)若小明转动两次后转到的数字分别是和，小明再转动一次，转出的数字与前两次转出的数字分别作为三条线段的长度（长度单位均相同），则这三条线段能构成等腰三角形的概率是______； (3)自由转动转盘，若转出的数字是偶数，小明参加；若转出的数字大于，小华参加；你认为这个游戏公平吗？请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不公平，理由见解析 【分析】本题考查概率公式，游戏的公平性，三角形的三边关系， （1）直接根据概率公式求解即可； （2）小明再转动一次，转出的数字共有6种等可能结果，其中与前两次转出的数字分别作为三条线段能构成等腰三角形的有4、5这2种结果，再根据概率公式求解即可； （3）因为自由转动转盘共有6种等可能解雇，其中转出的数字是偶数的有2、4这2种结果，转出的数字大于4的有5、7、9这3种结果，再求出小明与小华参加的概率，继而可得答案． 【详解】（1）解：（1）转动转盘一次，转出的数字为3的概率是， 故答案为：； （2）小明再转动一次，转出的数字共有6种等可能结果，其中与前两次转出的数字分别作为三条线段能构成等腰三角形的有4、5这2种结果， 所以这三条线段能构成等腰三角形的概率是， 故答案为：； （3）这个游戏不公平，理由如下： 因为自由转动转盘共有6种等可能解雇，其中转出的数字是偶数的有2、4这2种结果，转出的数字大于4的有5、7、9这3种结果， 所以小明参加的概率为，小华参加的概率为， 因为， 所以这个游戏不公平． 43．（22-23七年级下·山东青岛·期末）材料一：甲、乙两个人做游戏：在一个不透明的口袋中装有张纸牌除数字外完全相同，它们分别标有数字，，，，，，，，从中随机摸出一张纸牌，若摸出纸牌上的数字是的倍数，则甲胜；若摸出纸牌上的数字是的倍数，则乙胜，请比较甲和乙谁获胜的概率大？ _________填，或 材料二：如图，某商场为吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘转盘被等分成个扇形，并规定：顾客每购买元的商品，就能获得一次转动转盘的机会，若转盘停止后，指针正好对准红、绿或黄色区域，顾客就可以分别获得元、元、元的购物券，则顾客转动一次转盘获得元购物券的概率是_________． 材料三：图是一个可以自由转动的转盘，转动转盘，停止后指针落在区域的概是_________．    【答案】材料一：；材料二：；材料三： 【分析】材料一：在，，，，，，，中，的倍数有个，的倍数有个，分别求得摸到的倍数与摸到的倍数的概率；即可得答案； 材料二：根据转盘被等分成份，转盘停止后，指针对准每分的可能性相同，可得顾客转动一次转盘获得元购物券的概率是， 材料三：用扇形区域的圆心角除以即可得到答案． 【详解】解：材料一：在，，，，，，，中，的倍数有个，的倍数有个， 摸出每张纸牌的可能性相同， 摸到的倍数，摸到的倍数； 出纸牌上的数字是的倍数，则甲胜；若摸出纸牌上的数字是的倍数，则乙胜， ， 故答案为：； 材料二：转盘被等分成份， 转盘停止后，指针对准每分的可能性相同， 转盘停止后，指针对准绿色区域，顾客就可以获得元的购物券， 顾客转动一次转盘获得元购物券的概率是； 故答案为：． 材料三：由图形可知，扇形区域的圆心角为， 转盘停止后指针落在区域的概率是 故答案为：． 【点睛】本题考查概率的应用，解题的关键是掌握概率公式求概率． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 概率初步 （3个考点梳理+10种题型解读+提升训练） 清单01 确定事件与随机事件 类别 定义 举例 确定事件 必然 事件 在一定条件下，有些事情我们事先肯定它一定发生，这些事情称为必然事件. 在一个只装有红球的袋子中摸球，摸出红球. 不可能事件 在一定条件下，有些事情我们事先肯定它一定不会发生，这些事情称为不可能事件. 在一个只装有红球的袋子中摸球，摸出白球. 不确定事件（随机事件） 在一定条件下，许多事情我们无法确定它会不会发生，这些事情称为不确定事件（又叫随机事件）. 在一个装有红球和白球的袋子中摸球，摸出白球. 清单02 概率 概率：一般地，对于一个随机事件A，把刻画其发生可能性大小的数值，称之为随机事件A发生的概率，记为P(A). 概率的意义：一个事件发生的概率是一个确定的数，它从数值上刻画了一个随机事件发生的可能性的大小. 概率的计算方法：一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率，即. 用求概率时，试验需满足的条件：1）在一次试验中，可能出现的结果只有有限个； 2）在一次试验中，各种结果出现的可能性相等. 概率的取值范围：当事件A为必然事件时，P(A)=1；当事件A为不可能事件时,P(A)=0；当事件A为随机事件时， 0＜P(A)＜1. 清单03 概率的计算方法 1.列举法 定义：在一次试验中，如果可能出现的结果只有有限个，且各种结果出现的可能性大小相等，我们可通过列举试验结果的方法，分析出随机事件发生的概率，这种方法称为列举法. 用列举法求概率的前提：1）所有可能出现的结果是有限个；2）每个结果出现的可能性相等. 2.列表法 定义：当事件中涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，用表格不重不漏地列出所有可能的结果，这种方法叫列表法. 列表法求概率的步骤： 1）把所有可能发生的试验结果列表表示出来； 2）把所求事件发生包含的可能结果都找出来； 3）利用概率公式，计算出事件的概率． 3.画树状图法 定义：当事件要经过多个步骤完成时，用树状图的形式不重不漏地列出所有可能的结果的方法叫画树状图法. 画树状图法求概率的步骤： 1）把所有可能发生的试验结果用树状图表示出来； 2）把所求事件发生包含的可能结果都找出来； 3）利用概率公式，计算出事件的概率． 4.用频率估计概率 一般地，在多次重复实验中，一个随机事件发生的频率会在某一个常数附近摆动，并且随着试验次数增多，摆动的幅度会减小.因此，当试验次数很大时，可以用一个事件发生的频率作为其概率的估计值. 【考点题型一】随机事件与确定事件的分类（） 1．（23-24七年级下·山东济南·期末）下列事件：（1）明天会下雨；（2）随机掷一枚均匀的硬币，正面朝上；（3）13名同学中一定有两人的出生月份相同；（4）同时抛掷两枚质地均匀的骰子，向上一面的点数之和为13．其中不确定事件有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（23-24七年级下·山东济南·期末）下列事件属于必然事件的是（   ） A．负数大于正数 B．经过红绿灯路口，遇到红灯 C．抛掷硬币时，正面朝上 D．任意画一个三角形，其内角和是 3．（23-24七年级下·山东威海·期末）下列词语描述的事件，是随机事件的是（    ） A．守株待兔 B．水中捞月 C．瓜熟蒂落 D．偷天换日 4．（23-24七年级下·山东烟台·期末）下列事件是随机事件的是（    ） A．任意画一个三角形，该三角形的内角和为 B．地球绕着太阳公转 C．成语“水中捞月”所描述的事件 D．一次抽奖活动的中奖概率为，抽奖20次中奖1次 【考点题型二】判断事件发生可能性的大小（） 5．（22-23七年级下·山东菏泽·期末）某天气预报软件显示“菏泽市东明县明天的降水概率为”，对这条信息的下列说法中，正确的是（    ） A．东明县明天将有的时间下雨 B．东明县明天下雨的可能性较小 C．东明县明天下雨的可能性较大 D．东明县明天将有的地区下雨 6．（22-23七年级下·山东威海·期末）一个不透明的盒子中装有 3个红球和 5个白球，它们除颜色外其它都相同．若从中随机摸出一个球，则下列叙述正确的是（   ） A．摸到白球是必然事件 B．摸到黑球是不可能事件 C．摸到红球比摸到白球的可能性大 D．摸到红球与摸到白球的可能性相等 7．（22-23七年级下·山东青岛·期末）掷一枚质地均匀的硬币20次，下列说法正确的是（　　） A．每2次必有1次正面向上 B．必有10次正面向上 C．不可能有20次正面向上 D．可能有10次正面向上 8．（21-22七年级下·山东济南·期末）下列事件属于必然事件的是（     ） A．掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是奇数 B．车辆随机经过一个路口，遇到红灯 C．任意画一个三角形，其内角和是180° D．有三条线段，将这三条线段首尾顺次相接可以组成一个三角形 【考点题型三】概率的意义（） 9．（23-24七年级下·山东泰安·期末）下列说法正确的是（    ） A．随机事件发生的概率为 B．“买中奖率为的奖券100张，中奖”是必然事件 C．“水滴石穿”发生的概率为0 D．“水中捞月”发生的概率为0 10．（23-24七年级下·山东济南·期末）下列说法正确的是(   ) A．投掷一枚质地均匀的硬币800次，正面向上的次数一定是400次 B．在只装有红球和绿球的袋子中摸出一个球，结果是黄球的可能性是很大的 C．篮球队员在罚球线上投篮一次，“投中”为随机事件 D．经过城市中某一有交通信号灯的路口，遇到绿灯是必然事件 11．（22-23七年级下·山东东营·期末）下列说法合理的是（    ） A．某彩票的中奖机会是，那么如果买100张彩票一定会有3张中奖 B．在一次课堂进行的实验中，甲、乙两组同学估计硬币落地后，正面朝上的频率分别为和 C．抛掷一枚正六面体骰子，出现2的概率是的意思是，每6次就有1次掷得2 D．任意画一个三角形，其内角和是是随机事件 12．（22-23七年级下·山东烟台·期末）下列说法中正确的是（   ） A．小明在装有红绿灯的十字路口，“遇到红灯”是随机事件 B．确定事件发生的概率是1 C．抛掷一枚质地均匀的正方体骰子600次，点数为1与点数为6的频率相同 D．从某校1000名男生中随机抽取2名进行引体向上测试，其中有一名成绩不及格，说明该校的男生引体向上成绩不及格 【考点题型四】根据概率公式计算概率（） 13．（23-24七年级下·山东烟台·期末）一个口袋中有4个白球，5个红球，6个黄球，每个球除颜色外都相同，搅匀后随机从袋中摸出一个球，这个球是白球的概率是（   ） A． B． C． D． 14．（23-24七年级下·山东威海·期末）在一个不透明的袋子中装有若干个黑球、白球、红球，它们除颜色外其他都相同．已知黑球和白球共有个，黑球和红球共个，白球和红球共个．若随机摸球摸到黑球的概率（　　） A． B． C． D． 15．（23-24七年级下·山东菏泽·期末）动物园准备了100张刮刮乐，打算送给开幕当日的前100名游客每人一张，其中可刮中奖品的刮刮乐共有32张，下表为奖品的种类及数量： 奖品 北极熊玩偶 狮子玩偶 造型马克杯 纪念钥匙圈 数量/个 1 1 10 20 若小柏为开幕当日的第一名游客，且每张刮刮乐被小柏拿到的机会相等，则小柏刮中玩偶的概率为（    ） A． B． C． D． 16．（23-24七年级下·山东烟台·期末）已知数据：，，，，，，．从中随机抽取一个数是无理数的概率为 ． 17．（23-24七年级下·山东青岛·期末）现有四条线段，每条线段被抽到的可能性都相同，从中任意抽取三条线段，则能够围成三角形的概率是 ． 18．（23-24七年级下·山东·期末）如图， 从四个格点中任选一点，与点，构成的三角形与 全等的概率是 ． 19．（23-24七年级下·山东烟台·期末）某商场的打折活动规定：凡在本商场购物，可转动如图所示的转盘一次，并根据所转结果付账． (1)分别求出打九折，打八折的概率； (2)小红和小明分别购买了价值200元的商品，活动后一共付钱360元，请你分析他俩获得优惠的情况． 【考点题型五】已知概率计算数量（） 20．（22-23七年级下·山东青岛·期末）一个不透明的口袋中装有4个红球和若干个白球，每个球除颜色外都相同．若从中任意摸出一个球是白球的概率是，则口袋中白球的数量是（    ） A．20 B．24 C．30 D．36 21．（20-21七年级下·山东济南·期末）一个袋中装有红、黑、黄三种颜色小球共15个，这些球除颜色外均相同，其中红色球有5个，若从袋中任意取出一个球，取到黄色球的概率为，则黑色球个数为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 22．（2022·山东济南·一模）在一个不透明的袋子中装有3个红球和若干个白球．每个球除颜色外其余均相同，若从袋中随机摸出一个球是红球的概率为，则袋中白球的个数为 ． 23．（2023·四川资阳·二模）一个袋中装有m个红球，n个白球，6个黄球，每个球除颜色外其余都相同，任意摸出一个球，摸到黄球的概率为，则的值为 ． 24．（23-24七年级下·山东济南·期末）一个不透明的盒子中装有3个白色乒乓球，2个黄色乒乓球，1个红色乒乓球，这些乒乓球除颜色外形状和大小完全一样，小颖同学从盒子中任意摸出一个乒乓球． (1)小颖同学摸出红球是____，摸出黑球是_____（从“随机事件”、“必然事件”、“不可能事件”选一个填入） (2)你认为小颖同学摸出的球，最有可能摸到的颜色是______色 (3)在上述盒子中再放入n个形状和大小完全相同的红色乒乓球，小颖同学从盒子中任意摸出一个乒乓球，摸到黄色乒乓球的概率为，则______． (4)在（3）的条件下，小颖和小英同学一起做游戏，小颖从上述盒子中任意摸一个乒乓球，如果摸到红球，小颖获胜，否则小英获胜．这个游戏对双方公平吗？为什么？（利用概率的知识进行说明） 【考点题型六】几何概率（） 25．（22-23八年级下·山东烟台·期末）如图，地板由方砖组成，一个小球在地板上自由滚动并随机地停在某块方砖上，则小球落在阴影部分的概率最小的是（    ） A． B． C． D． 26．（23-24七年级下·山东烟台·期末）七巧板是我国古代劳动人民的一项发明，被誉为“东方模板”，它由五块等腰直角三角形、一块正方形、一块平行四边形（对边平行且相等）组成．如图，某同学利用七巧板拼成的正方形玩“滚小球游戏”，小球可以在该正方形上自由滚动，并随机地停留在某块板上（停留在拼接缝隙处不计），则小球停留在阴影部分的概率是（    ） A． B． C． D． 27．（22-23七年级下·山东烟台·期末）将一个小球在如图所示的正六边形地板上自由滚动，小球随机停在正六边形地板内的某一点上．若小球停在阴影部分的概率为，停在空白部分的概率为，则与的大小关系为（    ）    A． B． C． D．无法判断 28．（23-24七年级下·山东济南·期末）如图所示，在中，点D是边上的中点，E、F是上的两个点，连接、、、．在纸片上作随机扎针试验，针头扎在阴影区域内的概率为 ． 【考点题型七】列举法求概率（） 29．（23-24七年级下·山东烟台·期末）如图，在边长为1的小正方形组成的的网格中有A，B两个格点，在网格的格点上任取一点C（点A，B除外），恰能使为等腰三角形的概率是 ． 30．（23-24七年级下·山东泰安·期末）实数5与6，7，8中任意一个数组成的两位数是奇数的概率为（    ） A． B． C． D． 31．（22-23七年级下·山东菏泽·期末）现有长度分别为和的木棒，用5根长度为、、、、的木棒分别与之围成三角形，则能围成三角形的概率为 ． 32．（22-23七年级下·山东青岛·期末）小丽与妈妈用一个如图所示的六等分、可以自由转动的转盘来玩游戏；将转盘随机转一次，指针指向的数字如果是能被整除妈妈获胜，如果是不能被整除，则小丽获胜（指针指到线上则重转）．求：    (1)转完转盘后指针指向数字是的倍数概率是多少？ (2)这个游戏公平吗？请你说明理由． 【考点题型八】列表法或树状图法求概率（） 33．（24-25九年级上·山东威海·期末）如图，在所给的电路图中，同时闭合两个开关能让小灯泡发光的概率为 ． 34．（24-25九年级上·山东烟台·期末）围棋起源于中国，棋子分黑白两色．一个不透明的盒子中装有1个黑色棋子和2个白色棋子，每个棋子除颜色外都相同，从中随机摸出一个棋子，记下颜色后放回搅匀，再从中随机摸出一个棋子，则两次摸到相同颜色的棋子的概率是（   ） A． B． C． D． 35．（24-25九年级上·山东烟台·期末）化学实验课上，张老师带来了（镁），（铝）（锌），（铜）四种金属材料及其元素卡片（如图，除正面信息不同外，其余均相同），将四张元素卡片背面朝上洗匀，让学生随机抽取一张，然后用抽取到的金属与盐酸反应来制取氢气．（根据金属活动顺序可知：、、可以置换出氢气，而不能置换出氢气） (1)小云随机从中抽取一张卡片，抽到“”的概率为______； (2)小云随机从中抽取两张卡片，请用列表或画树状图的方法求小云抽到的两种金属均能置换出氢气的概率． 36．（24-25九年级上·山东济南·期末）一只不透明的袋子中装有三个乒乓球，球面上分别标有数字3、4、5，这些乒乓球除所标数字不同外其余都相同． (1)搅匀后从中任意摸出一个乒乓球，求摸出的乒乓球的球面上恰好标有数字3的概率； (2)搅匀后先从袋子中任意摸出一个球，将球面上所标数字作为一个两位数的十位数字，不放回，再从袋中余下的球中任意摸出一个球，将球面上所标数字作为这个两位数的个位数字，求这个两位数恰好是奇数的概率．（请用画树状图或列表等方法说明理由） 【考点题型九】由频率估计概率（） 37．（23-24七年级下·山东烟台·期末）老师将本题答案制作了一个二维码，并打印成面积为的正方形（如图所示），为了估计图中黑色部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入白色部分的频率稳定在0.4左右，据此可以估计黑色部分的面积约是 ． 38．（21-22九年级上·浙江嘉兴·期末）随机抽取一批毛衫的合格情况，得到如下的频数表. 抽取件数（件） 1000 合格频数 950 合格频率 估计出厂的2000件毛衫中，次品大约有 件. 39．（23-24七年级下·山东·期末）某数学兴趣小组在做“频率的稳定性”试验时，根据试验结果绘制了如图所示的折线统计图，则符合这一统计结果的试验最有可能是（      ） A．一副扑克牌去掉大小王后，从中任抽一张牌是红桃 B．任意掷一枚质地均匀的硬币，结果是正面朝上 C．从标有数字，，的三张卡片中任抽一张，抽出的卡片标有数字 D．任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是偶数 40．（23-24八年级下·江苏淮安·期中）在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球共20个，这些球除颜色外其余完全相同．为了估计黑球和白球的个数，我们将球搅匀后，从盒子里随机摸出一个球记下颜色，再把球放回盒子中，多次重复上述过程，得到下表中的一组统计数据： 摸球的次数n 50 100 300 500 800 1000 2000 摸到白球的次数m 14 33 95 155 241 298 602 摸到白球的频率                                    (1)请你估计，当n很大时，摸到白球的频率将会接近 （精确到）； (2)若先从袋子中取出个黑球，再从袋子中随机摸出1个球，若“摸出白球”为必然事件，则 ； (3)若先从袋子中取出x个白球，再放入x个一样的黑球并摇匀，随机摸出1个白球的概率为，求x的值． 【考点题型十】游戏公平性（） 41．（23-24七年级下·山东济南·期末）在数学实践活动课上，小明和小红玩转盘游戏，分别转动如下的两个转盘（每个转盘都被分成3等份） (1)转动转盘①时，该转盘指针指向“3”的概率是______； (2)若同时转动两个转盘，规定：转盘停止指针指向的两个数字之和为奇数时小明获胜；两个数字之和为偶数时小红胜，你觉得此游戏对双方是否公平？请说明理由． 42．（23-24七年级下·山东济南·期末）2024年4月23日是第29个世界读书日．为了营造多读书、读好书的氛围，我校举办了第十届校园读书节．在班级组织的“读书分享会”活动中，小明和小华都想当主持人，但只有一个名额、小华建议用游戏的方法来选人，如图，现有一个圆形转盘被平均分成份，分别标有、、、、、这六个数字，转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字（若指针指向分界线，则重新转），求： (1)转动转盘一次，转出的数字为的概率是______； (2)若小明转动两次后转到的数字分别是和，小明再转动一次，转出的数字与前两次转出的数字分别作为三条线段的长度（长度单位均相同），则这三条线段能构成等腰三角形的概率是______； (3)自由转动转盘，若转出的数字是偶数，小明参加；若转出的数字大于，小华参加；你认为这个游戏公平吗？请说明理由． 43．（22-23七年级下·山东青岛·期末）材料一：甲、乙两个人做游戏：在一个不透明的口袋中装有张纸牌除数字外完全相同，它们分别标有数字，，，，，，，，从中随机摸出一张纸牌，若摸出纸牌上的数字是的倍数，则甲胜；若摸出纸牌上的数字是的倍数，则乙胜，请比较甲和乙谁获胜的概率大？ _________填，或 材料二：如图，某商场为吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘转盘被等分成个扇形，并规定：顾客每购买元的商品，就能获得一次转动转盘的机会，若转盘停止后，指针正好对准红、绿或黄色区域，顾客就可以分别获得元、元、元的购物券，则顾客转动一次转盘获得元购物券的概率是_________． 材料三：图是一个可以自由转动的转盘，转动转盘，停止后指针落在区域的概是_________．    3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $