第01讲 整式的乘除（思维导图+7知识点+12考点+复习提升）-【暑假自学课】2025年新八年级数学暑假提升精品讲义（北师大版2024）

第01讲 整式的乘除 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 1.同底数幂的乘法： 2.幂的乘方： 3.积的乘方： 4.整式的乘法： 5.平方差公式： 6.完全平方公式 7.同底数幂的除法： 考点一：整式运算正误的判断 例1．（24-25八年级上·福建厦门·期末）下列计算正确的是（ ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25八年级上·河北沧州·期末）下列各式计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25九年级上·山西大同·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（24-25八年级上·河北石家庄·期末）下列运算中结果正确的是（   ） A． B． C． D． 考点二：幂的运算之选填题 例2.（24-25八年级上·青海海东·期末）计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【变式2-1】（23-24七年级上·上海青浦·期末） ． 【变式2-2】（24-25八年级上·重庆九龙坡·期末）计算： ． 【变式2-3】（24-25八年级上·河北沧州·期末）化简： ． 考点三：科学记数法表示绝对值小于1的数 例3. （24-25八年级上·江苏南通·期末）“墙角数枝梅，凌寒独自开”是我们耳熟能详的诗句．已知某种梅花的花粉直径约为，将数据0.000029用科学记数法表示为__________． 【变式3-1】（24-25八年级上·辽宁大连·期末）据报道，在处理“量子随机线路取样”问题时，全球其他最快的超级计算机用时2.3秒的计算量，我国研制的超导量子计算原型机“祖冲之二号”用时大约为0.00000023秒，把数字0.00000023用科学记数法表示为 ． 【变式3-2】（24-25八年级上·河南省直辖县级单位·期末）“燕山雪花大如席，片片吹落轩辕台．”这是唐代诗人李白的《北风行》中的诗句．据测定，5000~10000片雪花约有1克，一般新雪的密度为每立方厘米克~0.1克，这说明一片雪花是非常轻的．数据“克”用科学记数法表示为 千克． 【变式3-3】（24-25八年级上·河北廊坊·期末）“燕山雪花大如席，片片吹落轩辕台．”这是诗仙李白眼里的雪花．单片雪花的重量很轻，只有左右，用科学记数法可表示为 ． 考点四：已知多项式乘积不含某项求字母的值 例4. （23-24七年级下·山东东营·期末）若关于x的多项式的乘积化简后不含项，则 ． 【变式4-1】（24-25八年级上·山东济宁·期末）已知式子的计算结果中不含x的一次项，则a的值为 ． 【变式4-2】（24-25八年级上·吉林松原·期末）若的计算结果中的二次项的系数为，则 ． 【变式4-3】（24-25七年级上·重庆·期末）将展开得到一个关于的多项式，若此关于的多项式中不含二次项和一次项，则 ． 考点五：求完全平方式中的字母系数 例5. （24-25八年级上·安徽淮南·期末）已知是一个完全平方式，则 ． 【变式5-1】（24-25八年级上·广东阳江·期末）已知 是完全平方式，则m的值是 ． 【变式5-2】（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）若是一个完全平方式，则的值等于 ． 【变式5-3】（24-25八年级上·四川广元·期末）给多项式添加一个单项式，使其成为一个完全平方式，则添加的这个单项式可以是 ．（填一个即可） 考点六：幂的混合运算 例6. （24-25八年级上·福建福州·期末）计算：． 【变式6-1】（24-25八年级上·广东广州·期末）计算：． 【变式6-2】（24-25八年级上·陕西安康·期末）计算：． 【变式6-3】（24-25八年级上·四川眉山·期末）计算：． 考点七：幂的逆运算 例7. （24-25八年级上·广东湛江·期末）（1）若，求m的值； （2）若n为正整数，且，求的值． 【变式7-1】（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）（阅读理解问题）认真阅读下面材料，回答问题： 例如：已知，求的值． 解：，． 回答问题： (1)若，求的值； (2)如果，求的值 【变式7-2】（23-24七年级下·安徽六安·期末）（1）已知，，求的值； （2）已知，求t的值． 【变式7-3】（23-24八年级上·陕西商洛·期末）（1）已知，，m，n为正整数，求的值． （2）已知，求的值． 考点八：零指数、负整数指数幂的运算 例8. （24-25八年级上·甘肃庆阳·期末）计算：． 【变式8-1】（24-25八年级上·湖南长沙·期末）计算：． 【变式8-2】（24-25八年级上·陕西西安·期末）计算：． 【变式8-3】（24-25八年级上·北京门头沟·期末）计算：． 考点九：整式的混合运算 例9. （24-25八年级上·湖北荆州·期末）计算： (1)； (2)． 【变式9-1】（24-25八年级上·广西河池·期末）计算：． 【变式9-2】（24-25八年级上·湖北黄冈·期末）化简： (1)； (2)． 【变式9-3】（24-25八年级上·四川南充·期末）计算： (1)； (2)． 考点十：整式的混合运算之化简求值 例10. （24-25八年级上·福建泉州·期末）先化简，再求值：，其中，． 【变式10-1】（24-25八年级上·江西上饶·期末）先化简，再求值：，其中，． 【变式10-2】（24-25八年级上·湖北孝感·期末）先化简，再求值： 其中． 【变式10-3】（24-25八年级上·河南洛阳·期末）先化简，再求值：已知a、b满足，求代数式： 的值． 考点十一：通过对完全平方公式变式求值 例11. （24-25八年级上·青海海北·期末）已知：，且． (1)求的值； (2)求的值． 【变式11-1】（24-25八年级上·内蒙古乌兰察布·期末）已知，且． (1)求的值； (2)求的值． 【变式11-2】（24-25八年级上·四川泸州·阶段练习）已知，，求： (1)的值； (2)的值． 【变式11-3】（24-25八年级上·河南商丘·期末）（1）已知，． 求的值； 求的值； （2）已知，求的值． 考点十二：乘法公式与几何图形 例12. （23-24七年级下·江苏扬州·期末）定义：对于任意四个有理数a、b、c、d，定义一种新运算：． (1) ； (2) ；若是完全平方式，则 ； (3)若有理数m、n满足，且． ① 求的值； ② 如图，四边形是长方形，点E、F、G、H分别在边上，连接交于点P，且将长方形分割成四个小长方形，若，，，，在①的条件下，求图中阴影部分的面积．    【变式12-1】（24-25八年级上·山西朔州·期末）综合与实践 从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图）． (1)上述操作可以得到一个公式：__________； (2)利用你得到的公式，计算：； (3)计算：． 【变式12-2】（24-25八年级上·安徽阜阳·期末）从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图①），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图②）． (1)上述操作能验证的等式是 ．（请选择“A”“B”“C”） A．          B．        C． (2)已知，，则的值为 ． (3)计算：． 【变式12-3】（24-25八年级上·辽宁抚顺·期末）【发现问题】 《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽著作，是数学发展史的一个里程碑．在该书的第2卷“几何与代数”部分，记载了很多利用几何图形来论证的代数结论． 【提出问题】 （1）观察下列图形，找出可以推出的代数公式．（下面各图形均满足推导各公式的条件，只需填写对应公式的序号） 公式①：； 公式②： 图1对应公式_________；图2对应公式_________． 【解决问题】 （2）利用《几何原本》中记载的图形所表示的乘法公式，能解决下面的问题吗？ 已知，求的值． 【能力拓展】 （3）如图3，在六边形ABCDEF中，对角线BE和CF相交于点G，当四边形ABGF和四边形CDEG都为正方形且对角线时，若，正方形和正方形的面积和为36，请求出阴影部分的面积．（提示：正方形的四条边都相等，四个角都是） 一、单选题 1．（2025·广东汕头·一模）下列运算结果为的是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·浙江金华·二模）下列运算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·安徽淮北·期中）若的结果中项的系数为，则a的值为（   ） A． B．1 C． D．0 4．（24-25七年级下·四川成都·期中）若，，，则、、的大小关系是（　　） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·全国·课后作业）从边长为a的正方形内去掉一个边长为b的小正方形（图①），然后将剩余部分剪拼成一个平行四边形（图②）．这样操作能验证的等式是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）“白日不到处，青春怡自来；苔花如米小，也学牡丹开．”这是清朝袁枚的一首《苔》，苔花的花粉直径约为0.000048米，则数据0.000048用科学记数法表示为 ． 7．（24-25七年级下·四川成都·期中）如果二次三项式是一个完全平方式，那么m的值是 ． 8．（2025·广东佛山·二模）若x、a为实数，则M、N的大小关系为 9．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）如图，现有正方形卡片A类，B类和长方形卡片C类若干张，若要拼一个长为，宽为的大长方形，则需C类卡片 张．    10．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）若，则x的值为 ． 三、解答题 11．（24-25七年级下·四川成都·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 12．（24-25七年级下·山东青岛·期中）先化简，再求值 ，其中． 13．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）利用整式乘法公式计算 (1)； (2)． 14．（24-25七年级下·四川成都·阶段练习）如果，那么我们规定．例如：因为，所以． (1)根据上述规定，填空：　 　； (2)记，，．试说明：． 15．（24-25七年级下·四川成都·期中）（1）若，求的值． （2）已知为正整数，且，求的值． 16．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）如图1是一个长为4a，宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成如图2的正方形． (1)由图2可以直接写出，，之间的一个等量关系是 ； (2)根据（1）中的结论，解决下列问题： ①两个正方形，如图3摆放，边长分别为．若，，求的值； ②求图中阴影部分的面积和． 17．（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．比如， 因为， 所以当时， 的值最小，最小值是0， 所以， 所以当时，即时的值最小，最小值是1， 即的最小值是1． 定义：一个正整数能表示成（，是正整数）的形式，则称这个数为“完美数”，例如，5是“完美数”，理由：因为，所以5是“完美数”． 【探究问题】 （1）①已知，则______． ②已知（，是整数，是常数），要使为“完美数”，试写出符合条件的一个值，并说明理由． 【拓展结论】 （2）已知实数，满足，当等于多少时，能取得最小值并求出最小值． 18．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）把完全平方公式适当的变形，可解决很多数学问题． 例如：若，求的值． 解：因为；所以；所以；得． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： 【初步应用】 （1）若，，则 ； 【类题探究】     （2）若m满足．求的值． 【拓展延伸】 （3）如图，点C在线段上，以为边向两边作正方形，若，两正方形的面积之和，求阴影部分的面积． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 整式的乘除 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 1.同底数幂的乘法： 2.幂的乘方： 3.积的乘方： 4.整式的乘法： 5.平方差公式： 6.完全平方公式 7.同底数幂的除法： 考点一：整式运算正误的判断 例1．（24-25八年级上·福建厦门·期末）下列计算正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】合并同类项、同底数幂相乘、积的乘方运算、计算单项式除以单项式 【分析】本题考查了整式的除法、同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方、合并同类项，熟练掌握各运算法则是解题的关键．根据同底数幂的乘法、单项式除以单项式、幂的乘方与积的乘方、合并同类项法则逐项计算判断即可． 【详解】解：A、，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，故此选项符合题意； D、与不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意； 故选：C． 【变式1-1】（24-25八年级上·河北沧州·期末）下列各式计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】同底数幂相乘、积的乘方运算、同底数幂的除法运算、计算单项式除以单项式 【分析】本题考查的是单项式除以单项式，积的乘方，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，掌握以上的运算法则是解题的关键．由积的乘方判断A，由同底数的除法判断B，由单项式除以单项式判断C，由同底数幂的乘法判断D． 【详解】解：A、，原式计算错误，所以A不符合题意； B、，原式计算错误，所以B不符合题意； C、，原式计算正确，所以C符合题意； D、，原式计算错误，所以D不符合题意． 故选：C． 【变式1-2】（24-25九年级上·山西大同·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】运用平方差公式进行运算、计算单项式除以单项式、积的乘方运算、合并同类项 【分析】根据整式的加减，多项式乘以多项式，单项式除以单项式，积的乘方解答即可． 【详解】解：A. ，此选项错误；不符合题意； B. ，此选项错误；不符合题意； C. ，此选项正确，符合题意；     D. ，此选项错误；不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了整式的加减，多项式乘以多项式，单项式除以单项式，积的乘方，平方差公式，熟练掌握公式和运算的法则是解题的关键． 【变式1-3】（24-25八年级上·河北石家庄·期末）下列运算中结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】同底数幂相乘、幂的乘方运算、积的乘方运算、计算单项式除以单项式 【分析】本题考查了同底数幂的乘法、单项式除以单项式，幂的乘方，积的乘方．解题的关键在于正确的计算． 根据同底数幂的乘法、单项式除以单项式，幂的乘方，积的乘方等的运算规则求解即可． 【详解】解：A中，错误，故不符合题意； B中，错误，故不符合题意； C中，正确，故符合题意； D中，错误，故不符合题意； 故选：C． 考点二：幂的运算之选填题 例2.（24-25八年级上·青海海东·期末）计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】计算单项式除以单项式 【分析】根据单项式除以单项式法则：系数与系数相除，同底数幂与同底数幂相除，进行计算即可 本题主要考查了整式的除法运算，解题关键是熟练掌握单项式除以单项式法则：系数与系数相除，同底数幂与同底数幂相除． 【详解】解： 故选：A 【变式2-1】（23-24七年级上·上海青浦·期末） ． 【答案】 【知识点】幂的乘方运算、积的乘方运算 【分析】本题考查了积的乘方运算和幂的乘方运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据积的乘方运算法则和幂的乘方运算法则求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式2-2】（24-25八年级上·重庆九龙坡·期末）计算： ． 【答案】 【知识点】幂的乘方运算、积的乘方运算 【分析】本题主要考查了积的乘方和幂的乘方运算，解题的关键是正确运用积的运算法则进行计算． 根据幂的乘方与积的乘方法则计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【变式2-3】（24-25八年级上·河北沧州·期末）化简： ． 【答案】/ 【知识点】整式的混合运算 【分析】本题主要考查了整式的乘除混合运算，熟练掌握整式乘除运算的法则是解题的关键． 先运用积的乘方和幂的乘方进行化简，然后分子分母约去公因式即可得出结果． 【详解】解： 故答案为：． 考点三：科学记数法表示绝对值小于1的数 例3. （24-25八年级上·江苏南通·期末）“墙角数枝梅，凌寒独自开”是我们耳熟能详的诗句．已知某种梅花的花粉直径约为，将数据0.000029用科学记数法表示为__________． 【答案】 【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数 【分析】此题考查了科学记数法，关键是理解运用科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，据此求解即可． 【详解】数据0.000029用科学记数法表示为． 故答案为：． 【变式3-1】（24-25八年级上·辽宁大连·期末）据报道，在处理“量子随机线路取样”问题时，全球其他最快的超级计算机用时2.3秒的计算量，我国研制的超导量子计算原型机“祖冲之二号”用时大约为0.00000023秒，把数字0.00000023用科学记数法表示为 ． 【答案】 【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 【详解】解：． 故答案为：． 【变式3-2】（24-25八年级上·河南省直辖县级单位·期末）“燕山雪花大如席，片片吹落轩辕台．”这是唐代诗人李白的《北风行》中的诗句．据测定，5000~10000片雪花约有1克，一般新雪的密度为每立方厘米克~0.1克，这说明一片雪花是非常轻的．数据“克”用科学记数法表示为 千克． 【答案】 【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数 【分析】本题主要考查科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数． 【详解】克千克千克． 故答案为：． 【变式3-3】（24-25八年级上·河北廊坊·期末）“燕山雪花大如席，片片吹落轩辕台．”这是诗仙李白眼里的雪花．单片雪花的重量很轻，只有左右，用科学记数法可表示为 ． 【答案】 【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，熟练掌握其一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定是解题的关键．左起第一个不为零的数为，前面有个零，故，即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 考点四：已知多项式乘积不含某项求字母的值 例4. （23-24七年级下·山东东营·期末）若关于x的多项式的乘积化简后不含项，则 ． 【答案】 【知识点】计算多项式乘多项式、已知多项式乘积不含某项求字母的值 【分析】本题考查整式的混合运算，解题的关键在于熟练掌握相关运算法则；根据整式的混合运算顺序，先去括号，再合并同类项后，根据不含项，则该项的系数为0，即可求得a的值． 【详解】解： ， 关于x的多项式的乘积化简后不含项， ， 解得， 故答案为：． 【变式4-1】（24-25八年级上·山东济宁·期末）已知式子的计算结果中不含x的一次项，则a的值为 ． 【答案】 【知识点】已知多项式乘积不含某项求字母的值 【分析】本题主要考查了多项式乘法中无关问题， 先根据整式乘法法则计算，再整理得出x的一次项，然后根据一次项系数等于0，求出解即可． 【详解】解：. ∵式子的计算结果中不含x的一次项， ∴， 解得． 故答案为：． 【变式4-2】（24-25八年级上·吉林松原·期末）若的计算结果中的二次项的系数为，则 ． 【答案】 【知识点】已知多项式乘积不含某项求字母的值 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，根据多项式乘以多项式进行计算，根据的二次项的系数为，即可求解． 【详解】解： ∵的二次项的系数为， ∴ 解得：， 故答案为：． 【变式4-3】（24-25七年级上·重庆·期末）将展开得到一个关于的多项式，若此关于的多项式中不含二次项和一次项，则 ． 【答案】 【知识点】整式加减中的无关型问题、已知多项式乘积不含某项求字母的值 【分析】本题考查了整式的混合运算，整式的无关项问题，掌握整式的混合运算法则，无关项的含义是解题的关键． 先根据整式的混合运算化简，再根据无关项得到关于的多项式中二次项和一次项的系数，使其为零，可解出的值的，代入计算即可． 【详解】解： ， ∵关于的多项式中不含二次项和一次项， ∴， 解得，， ∴， 故答案为： ． 考点五：求完全平方式中的字母系数 例5. （24-25八年级上·安徽淮南·期末）已知是一个完全平方式，则 ． 【答案】9 【知识点】求完全平方式中的字母系数 【分析】根据完全平方公式的结构特征进行求解． 本题考查了完全平方式，掌握完全平方式的结构特点是解题的关键． 【详解】解：∵完全平方式的特征是：首平方，尾平方，两倍乘积放中央， ∴m等于的一半的平方． ∴． 故答案为：9． 【变式5-1】（24-25八年级上·广东阳江·期末）已知 是完全平方式，则m的值是 ． 【答案】 【知识点】求完全平方式中的字母系数 【分析】本题考查了完全平方公式．解题的关键在于熟练掌握：． 根据，计算求解即可． 【详解】解：是完全平方式， ，解得， 故答案为：． 【变式5-2】（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）若是一个完全平方式，则的值等于 ． 【答案】5或 【知识点】求完全平方式中的字母系数 【分析】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方式特点是解题的关键，注意完全平方式有两种形式，故不要漏掉答案．根据完全平方公式的特征判断即可得到的值． 【详解】解：∵是完全平方式， ， 或， 故答案为：5或． 【变式5-3】（24-25八年级上·四川广元·期末）给多项式添加一个单项式，使其成为一个完全平方式，则添加的这个单项式可以是 ．（填一个即可） 【答案】或 【知识点】求完全平方式中的字母系数 【分析】本题主要考查了完全平方式，可以把和9看作两平方项，则一次项可以为，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，， 则给多项式添加一个单项式，使其成为一个完全平方式，添加的这个单项式可以是， 故答案为：或． 考点六：幂的混合运算 例6. （24-25八年级上·福建福州·期末）计算：． 【答案】 【知识点】整式四则混合运算 【分析】本题考查整式的四则混合运算，先根据完全平方公式、整式的除法的运算法则计算，最后再合并同类项． 【详解】解： ． 【变式6-1】（24-25八年级上·广东广州·期末）计算：． 【答案】 【知识点】计算单项式乘单项式、计算单项式除以单项式 【分析】本题考查了整式的除法，合并同类项，单项式乘单项式．先根据单项式乘单项式、单项式除以单项式的法则计算，再合并同类项即可． 【详解】解： ． 【变式6-2】（24-25八年级上·陕西安康·期末）计算：． 【答案】 【知识点】整式四则混合运算 【分析】本题考查了整式的混合运算，先根据单项式与单项式的除法、积的乘方，再算括号，后算除法． 【详解】解：原式      ． 【变式6-3】（24-25八年级上·四川眉山·期末）计算：． 【答案】 【知识点】合并同类项、幂的乘方运算、积的乘方运算、计算单项式除以单项式 【分析】本题考查了积的乘方、幂的乘方、同底数幂乘除及合并同类项，熟练掌握运算法则是解题的关键．先算积的乘方及幂的乘方，再算同底数幂相乘除，最后合并同类项即可． 【详解】解： ． 考点七：幂的逆运算 例7. （24-25八年级上·广东湛江·期末）（1）若，求m的值； （2）若n为正整数，且，求的值． 【答案】（1）m的值为15；（2）512 【知识点】同底数幂相乘、幂的乘方的逆用、积的乘方运算、同底数幂的除法运算 【分析】本题考查的是幂的运算中幂的乘方的逆运算，同底数幂的乘法与除法，积的乘方，掌握相关知识点是解题关键． （1）利用幂的乘方逆运算和同底数幂的乘除法得到，再解方程即可； （2）先利用幂的乘方逆运算，将原式化为，再代入求值． 【详解】（1）解：原式 即，则，即， ∴m的值为15； （2）解：原式． ∴的值为512． 【变式7-1】（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）（阅读理解问题）认真阅读下面材料，回答问题： 例如：已知，求的值． 解：，． 回答问题： (1)若，求的值； (2)如果，求的值 【答案】(1)； (2) 【知识点】同底数幂乘法的逆用、幂的乘方的逆用、同底数幂除法的逆用 【分析】（）由可得，再仿照阅读材料解答即可求解； （）利用幂的乘方和同底数幂乘法的逆运算可得，进而即可求解； 本题考查了幂的乘方、同底数幂的乘法和除法的逆应用，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴． 【变式7-2】（23-24七年级下·安徽六安·期末）（1）已知，，求的值； （2）已知，求t的值． 【答案】（1）（2） 【知识点】合并同类项、同底数幂相乘、同底数幂的除法运算 【分析】本题考查同底数幂的除法和乘法运算和整式的加减运算， （1）根据同底数幂除法的运算法则进行计算即可得到答案； （2）根据同底数幂乘法和整式的加减运算法则进行化简，得到一元一次方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：（1）， ∵，， ∴； （2）∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式7-3】（23-24八年级上·陕西商洛·期末）（1）已知，，m，n为正整数，求的值． （2）已知，求的值． 【答案】（1）（2）1 【知识点】同底数幂乘法的逆用、幂的乘方的逆用、同底数幂的除法运算、零指数幂 【分析】本题考查了幂的运算，根据已知，选择适当的公式及其公式的逆运算是解题的关键． （1）根据幂的乘方逆运算，同底数幂的乘法的逆运算解答即可． （2）根据，结合，计算即可． 【详解】（1）∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）∵，， ∴． 考点八：零指数、负整数指数幂的运算 例8. （24-25八年级上·甘肃庆阳·期末）计算：． 【答案】 【知识点】有理数的乘方运算、零指数幂、负整数指数幂 【分析】本题考查了实数的混合运算，根据负整数指数幂，有理数乘方，零指数幂运算法则进行计算即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ． 【变式8-1】（24-25八年级上·湖南长沙·期末）计算：． 【答案】 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、有理数四则混合运算、零指数幂、负整数指数幂 【分析】本题考查了零指数幂、负指数幂、绝对值和有理数的加减运算，掌握“任何不等于0的数的0次幂都等于1”、“当是正整数时，”是解题关键． 根据零指数幂与负指数幂的公式进行计算即可． 【详解】解： ． 【变式8-2】（24-25八年级上·陕西西安·期末）计算：． 【答案】 【知识点】零指数幂、负整数指数幂 【分析】本题考查零次指数幂、负整数指数幂，由负整数指数幂、零指数幂进行计算 即可求出答案． 【详解】 【变式8-3】（24-25八年级上·北京门头沟·期末）计算：． 【答案】5 【知识点】求一个数的绝对值、有理数四则混合运算、零指数幂、负整数指数幂 【分析】本题考查有理数混合运算．熟练掌握零指数幂、负整数指数幂，绝对值运算，的运算，运算法则及运算顺序，是解决问题的关键． 根据零指数幂，负整数指数幂，绝对值运算，的运算，分别求解后，利用有理数的混合运算法则求解即可得到结论． 【详解】解：原式          ． 考点九：整式的混合运算 例9. （24-25八年级上·湖北荆州·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】整式乘法混合运算、整式四则混合运算 【分析】本题主要考查了整式混合运算，熟练掌握整式混合运算法则，是解题的关键． （1）根据积的乘方运算法则和平方差公式进行计算即可； （2）根据多项式乘多项式运算法则，多项式除以单项式运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式9-1】（24-25八年级上·广西河池·期末）计算：． 【答案】 【知识点】整式四则混合运算 【分析】本题考查整式的混合运算，先根据多项式乘多项式，多项式除以单项式进行计算，再合并同类项即可解答． 【详解】解：原式 =． 【变式9-2】（24-25八年级上·湖北黄冈·期末）化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】合并同类项、整式四则混合运算、运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查整式的混合运算，涉及整式的乘方、加减乘除混合运算及整式乘法公式等知识，熟练掌握整式混合运算法则是解决问题的关键． （1）先计算整式的乘方，再计算整式的乘除运算，最后合并同类项即可得到答案； （2）先由平方差公式、完全平方差公式展开，再去括号，最后合并同类项即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式9-3】（24-25八年级上·四川南充·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】整式四则混合运算、整式的混合运算 【分析】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握整式运算的法则和平方差公式是正确解题的关键． （1）根据运算顺序先算乘方，再算乘除，最后算加减即可． （2）先计算单项式乘多项式、运用平方差公式计算，再合并即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 考点十：整式的混合运算之化简求值 例10. （24-25八年级上·福建泉州·期末）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、整式的混合运算、运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了整式的混合运算﹣化简求值，涉及完全平方公式，平方差公式，先利用完全平方公式，平方差公式计算括号里，再由多项式除以单项式算括号外，然后把，代入化简后的式子进行计算，即可解答．准确熟练地进行整式混合运算是解题的关键． 【详解】解： ， 当，时，原式． 【变式10-1】（24-25八年级上·江西上饶·期末）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、整式的混合运算 【分析】本题考查整式的混合运算，涉及完全平方公式，平方差公式，多项式乘以单项式，多项式除以单项式，解题的关键是正确化简． 先根据完全平方公式，平方差公式，多项式乘以单项式，多项式除以单项式的运算法则进行化简，再将，代入计算即可． 【详解】解： ， 当，时，原式． 【变式10-2】（24-25八年级上·湖北孝感·期末）先化简，再求值： 其中． 【答案】． 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、整式的混合运算 【分析】本题主要考查整式的化简求值．首先根据平方差公式和多项式乘以多项式的法则把括号里的部分展开，然后再根据合并同类项的法则合并同类项，得到：原式，利用乘法分配律把括号外面的分式与括号里面的各项分另相乘，可得结果为，再把整体代入求值即可． 【详解】解： ， 当时， 原式． 【变式10-3】（24-25八年级上·河南洛阳·期末）先化简，再求值：已知a、b满足，求代数式： 的值． 【答案】，2025 【知识点】整式的混合运算 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据平方差公式，完全平方公式，单项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项，再根据多项式除以单项式的计算法则化简，最后利用整体代入法求解即可． 【详解】解： ， ∵ ∴，即原式． 考点十一：通过对完全平方公式变式求值 例11. （24-25八年级上·青海海北·期末）已知：，且． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】多项式乘多项式——化简求值、通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题考查了多项式乘多项式，完全平方公式，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据多项式乘多项式法则将展开，再将代入即可求解； （2）根据完全平方公式将变形为，再将，代入即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解： ， ∵，， ∴原式． 【变式11-1】（24-25八年级上·内蒙古乌兰察布·期末）已知，且． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)2 (2)15 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、计算多项式乘多项式、通过对完全平方公式变形求值 【分析】此题考查了多项式乘法和完全平方公式的变形求值． （1）把原式展开变形得到，把代入即可求出的值； （2）把原式变形为，整体代入求值即可． 【详解】（1）解：， ∵ ∴ ， （2）． 【变式11-2】（24-25八年级上·四川泸州·阶段练习）已知，，求： (1)的值； (2)的值． 【答案】(1)26 (2)36 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、通过对完全平方公式变形求值 【分析】（1）把变形为，再把，代入计算； （2）把变形为，再把，代入计算． 本题考查了完全平方公式的变形求值，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键． 【详解】（1）解：，， ； （2）解：，， ． 【变式11-3】（24-25八年级上·河南商丘·期末）（1）已知，． 求的值； 求的值； （2）已知，求的值． 【答案】（）；；（）． 【知识点】通过对完全平方公式变形求值 【分析】（）根据完全平方公式及其变形即可求出答案； 根据完全平方公式及其变形即可求出答案； （）根据完全平方公式及其变形即可求出答案； 本题考查了完全平方公式，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：（）∵，，， ∴ ； ∵，，， ∴ ； （）∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 考点十二：乘法公式与几何图形 例12. （23-24七年级下·江苏扬州·期末）定义：对于任意四个有理数a、b、c、d，定义一种新运算：． (1) ； (2) ；若是完全平方式，则 ； (3)若有理数m、n满足，且． ① 求的值； ② 如图，四边形是长方形，点E、F、G、H分别在边上，连接交于点P，且将长方形分割成四个小长方形，若，，，，在①的条件下，求图中阴影部分的面积．    【答案】(1)11 (2)； (3)①2；② 【知识点】多项式乘多项式——化简求值、求完全平方式中的字母系数、完全平方式在几何图形中的应用 【分析】本题考查了新定义，完全平方公式的变形求解，熟练掌握新定义和完全平方公式是解答本题的关键． （1）根据计算即可； （2）根据计算，再根据完全平方式的特征求解即可； （3）①根据得出，再结合即可求出； ②根据图象可得，化简后代入，即可求解； 【详解】（1）解：； （2）解：； 若是完全平方式，则； （3）解：①∵ ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ②由题意可知： ， 将，代入可得，原式． 【变式12-1】（24-25八年级上·山西朔州·期末）综合与实践 从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图）． (1)上述操作可以得到一个公式：__________； (2)利用你得到的公式，计算：； (3)计算：． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【知识点】平方差公式与几何图形 【分析】（）求出图、阴影部分面积即可求解； （）利用（）中公式即可求解； （）利用（）中公式即可求解； 本题考查了平方差公式几何背景的应用，熟练掌握是解题的关键． 【详解】（1）解：图阴影部分面积为，图阴影部分面积为， 则述操作可以得到一个公式：， 故答案为：； （2）解：由（）得： ； （3）解：原式 ． 【变式12-2】（24-25八年级上·安徽阜阳·期末）从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图①），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图②）． (1)上述操作能验证的等式是 ．（请选择“A”“B”“C”） A．          B．        C． (2)已知，，则的值为 ． (3)计算：． 【答案】(1)B (2)3 (3) 【知识点】运用平方差公式进行运算、平方差公式与几何图形 【分析】本题考查了平方差公式的几何背景，熟练掌握平方差公式是解本题的关键． （1）根据图中阴影部分面积的两种不同表示方法即可解决问题； （2）根据（1）中的发现即可解决问题； （3）根据（1）中的发现，将将平方差的形式改写成两数之和乘以两数之差的形式即可解； 【详解】（1）解：由题知， 图①中阴影部分的面积为， 图②中阴影部分的面积为， 又图②由图①中的阴影部分剪拼而得， 所以． 故选：B． （2）解：由（1）可知， ， 又，， 所以． 故答案为：3． （3）解：原式 ． 【变式12-3】（24-25八年级上·辽宁抚顺·期末）【发现问题】 《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽著作，是数学发展史的一个里程碑．在该书的第2卷“几何与代数”部分，记载了很多利用几何图形来论证的代数结论． 【提出问题】 （1）观察下列图形，找出可以推出的代数公式．（下面各图形均满足推导各公式的条件，只需填写对应公式的序号） 公式①：； 公式②： 图1对应公式_________；图2对应公式_________． 【解决问题】 （2）利用《几何原本》中记载的图形所表示的乘法公式，能解决下面的问题吗？ 已知，求的值． 【能力拓展】 （3）如图3，在六边形ABCDEF中，对角线BE和CF相交于点G，当四边形ABGF和四边形CDEG都为正方形且对角线时，若，正方形和正方形的面积和为36，请求出阴影部分的面积．（提示：正方形的四条边都相等，四个角都是） 【答案】（1）②，①；（2）；（3） 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题考查了完全平方公式，正确理解题意是解题的关键： （1）根据图形即可得出图1对应公式是；图2对应公式是； （2）先求出，得出，再根据即可得出答案； （3）设正方形的边长为，正方形的边长为，则根据题意，得，再得出求出，进而可得出答案． 【详解】（1）解：图1对应公式是；图2对应公式是， 故答案为：②；①； （2）， ， ， ． （3）设正方形的边长为，正方形的边长为， 则根据题意，得， ， ， ． 一、单选题 1．（2025·广东汕头·一模）下列运算结果为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】同底数幂的除法运算、合并同类项、同底数幂相乘、幂的乘方运算 【分析】本题考查了同底数幂乘除法、合并同类项，幂的乘方，根据相关运算法则逐一计算即可． 【详解】解：A、，不符合题意； B、，不符合题意； C、和不是同类项，不能合并，不符合题意； D、，符合题意； 故选：D． 2．（2025·浙江金华·二模）下列运算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】同底数幂的除法运算、运用完全平方公式进行运算、合并同类项、积的乘方运算 【分析】本题主要考查合并同类项，同底数幂除法，积的乘方和幂的乘方以及完全平方公式，运用相关知识计算出各选项的结果再进行判断即可． 【详解】解：A. ，原选项计算错误，不符合题意； B. ，计算正确，符合题意； C. ，原选项计算错误，不符合题意； D. ，原选项计算错误，不符合题意； 故选：B． 3．（24-25七年级下·安徽淮北·期中）若的结果中项的系数为，则a的值为（   ） A． B．1 C． D．0 【答案】C 【知识点】计算多项式乘多项式 【分析】本题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式利用多项式乘多项式法则计算，根据结果中项的系数为，确定出a的值即可． 【详解】解： ， ∵的结果中项的系数为， ∴， ∴， 故选：C． 4．（24-25七年级下·四川成都·期中）若，，，则、、的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】零指数幂、负整数指数幂、有理数大小比较 【分析】本题考查了零指数幂的意义、负整数指数幂的意义，先根据零指数幂的意义、负整数指数幂的意义化简，然后比较大小即可． 【详解】解：∵，，，， ∴， 故选：B． 5．（24-25七年级下·全国·课后作业）从边长为a的正方形内去掉一个边长为b的小正方形（图①），然后将剩余部分剪拼成一个平行四边形（图②）．这样操作能验证的等式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】平方差公式与几何图形 【分析】本题考查了平方差公式与图形面积，熟练掌握平方差公式是解题关键．根据图①可得剩余部分的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，根据图②可得剩余部分的面积等于长为，宽为的矩形的面积，由此即可得． 【详解】解：由图①可知，剩余部分的面积为， 由图②可知，拼成的平行四边形矩形的底为，高为， 则剩余部分的面积为， 所以能验证的等式是， 故选：D． 二、填空题 6．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）“白日不到处，青春怡自来；苔花如米小，也学牡丹开．”这是清朝袁枚的一首《苔》，苔花的花粉直径约为0.000048米，则数据0.000048用科学记数法表示为 ． 【答案】 【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法．根据科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 【详解】解：数据0.000048用科学记数法表示为， 故答案为：． 7．（24-25七年级下·四川成都·期中）如果二次三项式是一个完全平方式，那么m的值是 ． 【答案】或/或8 【知识点】求完全平方式中的字母系数 【分析】本题考查了完全平方式，解题的关键是知道常数项是一次项系数一半的平方． 根据完全平方式特点列式求解，即可解题． 【详解】解：二次三项式是一个完全平方式， ， 即或， 解得或； 故答案为：或． 8．（2025·广东佛山·二模）若x、a为实数，则M、N的大小关系为 【答案】/ 【知识点】整式加减的应用、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了整式的加减，完全平方公式的应用，计算，进而即可求解． 【详解】解：∵ ∴ ∴， 故答案为：． 9．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）如图，现有正方形卡片A类，B类和长方形卡片C类若干张，若要拼一个长为，宽为的大长方形，则需C类卡片 张．    【答案】7 【知识点】多项式乘多项式与图形面积 【分析】此题主要考查了多项式乘多项式的运算方法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据长方形的面积＝长×宽，求出长为，宽为的大长方形的面积是多少，然后的系数即为C类卡片的张数． 【详解】解：∵， ∴系数为7， 故需要C类卡片7张， 故答案为：7． 10．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）若，则x的值为 ． 【答案】或4 【知识点】有理数的乘方运算、零指数幂 【分析】本题主要考查了零指数次幂，乘方的性质， 根据或或（n为偶数），解答即可． 【详解】解：当，且时， 解得； 当时，； 当时，，不符合题意． 所以x的值是或4． 故答案为：或4． 三、解答题 11．（24-25七年级下·四川成都·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】同底数幂相乘、计算单项式乘单项式、零指数幂、负整数指数幂 【分析】本题考查整式的运算，实数的混合运算，熟练掌握整式的运算法则、积的乘方、幂的乘方、同底数幂的乘除法法则、逆用同指数幂的乘法法则，零指数幂的运算是解题的关键． （1）根据同底数幂的乘法进行计算即可； （2）根据单项式乘以单项式，同底数幂的积的乘法进行计算即可； （3）根据单项式乘单项式，单项式除单项式进行计算即可求解； （4）根据负整数指数幂，零指数幂和化简绝对值进行计算即可求解． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 12．（24-25七年级下·山东青岛·期中）先化简，再求值 ，其中． 【答案】， 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、整式的混合运算 【分析】本题考查整式化简求值，熟练掌握整式混合运算法则是解题的关键． 先根据整式混合运算法则化简，再把x、y值代入化简式计算即可． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 13．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）利用整式乘法公式计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】运用完全平方公式进行运算、运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查平方差公式，完全平方公式，正确计算是解题的关键； （1）将变形为，再根据完全平方公式计算即可； （2）将式子变形为，再根据平方差公式计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 14．（24-25七年级下·四川成都·阶段练习）如果，那么我们规定．例如：因为，所以． (1)根据上述规定，填空：　 　； (2)记，，．试说明：． 【答案】(1)3 (2)． 【知识点】有理数乘方逆运算、同底数幂相乘 【分析】本题考查了有理数的乘方的新定义，解题的关键是认真读懂题意掌握新定义，利用新定义解决问题． （1）认真读懂题意，利用新定义的运算法则计算； （2）利用新定义计算并证明． 【详解】（1）解：； 故答案为：3； （2）解：∵，，， ∴，，， ∵， ∴，即， ∴． 15．（24-25七年级下·四川成都·期中）（1）若，求的值． （2）已知为正整数，且，求的值． 【答案】（1）；（2）160 【知识点】幂的乘方运算、幂的乘方的逆用、同底数幂相乘 【分析】本题考查的是幂的运算中幂的乘方的逆运算，同底数幂的乘法，掌握相关知识点是解题关键． （1）利用幂的乘方逆运算和同底数幂的乘法法则得到，再解方程即可； （2）先利用幂的乘方逆运算，将原式化为，再代入求值． 【详解】解：∵ ， 又， ∴， ∴； （2）∵， ∴ ． 16．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）如图1是一个长为4a，宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成如图2的正方形． (1)由图2可以直接写出，，之间的一个等量关系是 ； (2)根据（1）中的结论，解决下列问题： ①两个正方形，如图3摆放，边长分别为．若，，求的值； ②求图中阴影部分的面积和． 【答案】(1) (2)①的值为；②图中阴影部分的面积和为 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，利用图形面积之间的关系得到，，之间的等量关系式是解题的关键． （1）根据大正方形的面积等于4个小长方形和小正方形面积之和，可得结论； （2）①利用（1）中关系式计算可得结论； ②利用三角形的面积公式计算出阴影部分的面积，然后整体代入即可． 【详解】（1）解：∵大正方形的面积等于4个小长方形和小正方形面积之和， ∴． ∴． 故答案为：； （2）①∵，为正方形，边长分别为， ∴，． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴， ∴． ∵， ∴， ②． 17．（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．比如， 因为， 所以当时， 的值最小，最小值是0， 所以， 所以当时，即时的值最小，最小值是1， 即的最小值是1． 定义：一个正整数能表示成（，是正整数）的形式，则称这个数为“完美数”，例如，5是“完美数”，理由：因为，所以5是“完美数”． 【探究问题】 （1）①已知，则______． ②已知（，是整数，是常数），要使为“完美数”，试写出符合条件的一个值，并说明理由． 【拓展结论】 （2）已知实数，满足，当等于多少时，能取得最小值并求出最小值． 【答案】（1）①；②，理由见解析；（2）当时，有最小值，最小值为1． 【知识点】运用完全平方公式进行运算 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，非负数的性质，熟知完全平方公式是解题的关键． （1）①已知等式利用完全平方公式配方后，根据非负数的性质求出与的值，即可求出的值； ②根据为“完美数”，利用完全平方公式配方，确定出的值即可； （2）由已知等式表示出，代入中，配方后再利用非负数的性质求出最小值即可． 【详解】（1）①∵， ∴， ∴， ，， ，， 解得：，， ∴； ②当时，为“完美数”， 理由如下： ， ，是整数， ，也是整数， 是一个“完美数”； （2）∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴当时，有最小值，最小值为1． 18．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）把完全平方公式适当的变形，可解决很多数学问题． 例如：若，求的值． 解：因为；所以；所以；得． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： 【初步应用】 （1）若，，则 ； 【类题探究】     （2）若m满足．求的值． 【拓展延伸】 （3）如图，点C在线段上，以为边向两边作正方形，若，两正方形的面积之和，求阴影部分的面积． 【答案】（1）3；（2）；（3）． 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题考查完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式及其变形是解题的关键． （1）由完全平方公式即可计算； （2）由完全平方公式即可计算； （3）由正方形，三角形的面积，利用完全平方公式求出，，即可求解 【详解】解：（1）∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）设，则，，， ∴，即， ∴， ∴， ∴； （3）设， ∵， ∴， ∵， ∴， 由完全平方公式可得，， ∴， 解得：， ∴阴影部分的面积． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$