专题03 实数 （7大考点经典基础练+优选提升练）（湖南专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年七年级数学下学期期末真题分类汇编

专题03 实数 题型概览 题型01求一个数的平方根和算术平方根 题型02无理数 题型03求一个数的立方根 题型04实数与数轴 题型05实数的混合运算 题型06实数的大小比较 题型07新定义下的实数运算 ( 题型01 ) 求一个数的平方根和算术平方根 1．（23-24七年级下·湖南长沙一中广雅中学·期末）下列各式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·湖南长沙长郡芙蓉中学·期末）若和的和是单项式，则的平方根是（    ） A．8 B． C． D． 3．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）下列各数中，无理数是（   ） A．0 B． C． D． 4．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）实数 16 的算术平方根是（   ） A．8 B． C．4 D． 5．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）16的算术平方根为（    ） A．16 B． C．4 D． 6．（23-24七年级下·湖南衡阳县井头中学·期末）81的算术平方根是（    ） A．9 B． C．3 D． ( 题型02 ) 无理数 7．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）在实数，2，，中，无理数是（    ） A． B．2 C． D． 8．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）下列各数中，是无理数的是（    ） A． B． C． D．0.13133 9．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）在，，0.3，，，3.14159265中，无理数共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．（23-24七年级下·湖南益阳市资阳区·期末）实数，，，，其中无理数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 11．（23-24七年级下·湖南长沙一中广雅中学·期末）下列各数中是无理数的是（    ） A． B． C．0.24 D．2024 ( 题型03 ) 求一个数的立方根 12．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）在实数，，，中，是无理数的是（　　） A． B． C． D． 13．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）公元6世纪，毕达哥拉斯学派认为“万物皆数”，即一切量都可以用整数或整数的比（分数）表示，后来，这一学派中的希帕索斯发现，边长为1的正方形的对角线的长度不能用整数或整数的比表示，从而发现了无理数．下列各数中不是无理数的有（    ） A． B． C． D． 14．（23-24七年级下·湖南衡阳·期末）在，，，，1.01001000100001…这五个数中，无理数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 15．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）下列说法中，正确的是（    ） ①的立方根是；②49的算术平方根是7；③的平方根为；④的平方根是 A．①② B．②③ C．③④ D．②④ 16．（23-24七年级下·湖南长沙一中双语实验学校·期末）计算∶ 17．（23-24七年级下·湖南永州市冷水滩区杨村甸乡中学·期末）一个正数x的两个不同的平方根分别是和． (1)求a和x的值； (2)求的立方根． ( 题型0 4 )实数与数轴 18．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）如图，若数轴上点表示的数为无理数，则该无理数可能是（    ） A．2.7 B． C． D． 19．（23-24七年级下·湖南长沙一中双语实验学校·期末）如图，将面积为6的正方形和面积为9的正方形分别绕原点O顺时针旋转，使落在数轴上，点A，D在数轴上对应的数字分别为a、b，则 ．    ( 题型0 5 )实数的混合运算 20．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）计算：． 21．（23-24七年级下·湖南衡阳·期末）计算： (1) (2) (3) (4) 22．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）计算：． 23．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）计算：． 24．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）计算：． 25．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）计算：． 26．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）计算：． 27．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）计算：． ( 题型0 6 )实数的大小比较 28．（23-24七年级下·湖南长沙雅礼教育集团联考·期末）比较大小： 2（填“”“”或“”）． 29．（23-24七年级下·湖南永州·期末）比较大小： （填“”或“”）． ( 题型0 7 )新定义下的实数运算 30．（23-24七年级下·湖南长沙望城区·期末）若实数a，b满足，我们就说a与b是关于6的“如意数”，则与是关于6的“如意数”是（   ） A． B． C． D． 31．（23-24七年级下·湖南衡阳·期末）新定义：对非负数x“四舍五入”到个位的值记为，即当n为非负数时，若，则.反之，当n为非负整数时，如果，则. 例如，，，，…若关于x的方程的解是正整数，且为正整数，则m的取值范围是 . 32．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）定义：关于的二元一次方程（其中）中的常数项与未知数系数互换，得到的方程叫“变更方程”，例如：的”变更方程”为． (1)方程与它的“变更方程”组成的方程组的解为______； (2)已知关于的二元一次方程的系数满足，且与它的“变更方程”组成的方程组的解恰好是关于的二元一次方程的一个解，求代数式的值； (3)已知整数满足条件，并且是关于的二元一次方程的“变更方程”，求的值． 33．（23-24七年级下·湖南醴陵市龙门街道中心学校·期末）对数的定义：一般地，若，那么x叫做以a为底N的对数，记作：．比如指数式可以转化为，对数式，可以转化为．我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：．理由如下：设，，则，由对数的定义得，又，，类似还可以证明对数的另一个性质：．请利用以上内容计算 ． 34．（23-24七年级下·湖南浏阳市·期末）若一个四位正整数满足：，我们就称该数是“等等数”．比如：四位数，，是 “等等数”；四位数，，不是“等等数”． （1）直接写出最小的“等等数” ． （2）若一个“等等数”，满足个位上的数字是百位上的数字的两倍，且千位上的数字与十位上的数字之和为8，则所有满足条件的“等等数” ． 一、单选题 1．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）下列各数中，是无理数的是（   ） A．2 B． C． D． 2．（23-24七年级下·湖南永州市冷水滩区·期末）若和是实数m的平方根，则的值为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 3．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）若的算术平方根为，的立方根为，是平方根等于本身的数，则的值为 ． 4．（23-24七年级下·湖南湘西·期末）物体自由下落的高度h（单位：米）与下落时间t（单位：秒）的关系是．有一物体从米高的建筑物上自由落下，到达地面需要的时间为 秒． 5．（23-24七年级下·湖南湘西·期末）一个正数的两个平方根分别是a、b，则 ． 6．（23-24七年级下·湖南长沙华益中学·期末）若实数a、b满足，则的算术平方根是 ． 三、解答题 7．（23-24七年级下·湖南永州市冷水滩区仁湾镇中学·期末）对于任意有理数a、b、c、d，定义一种新运算：． (1) ； (2)对于有理数x、y，若是一个完全平方式，则k ； (3)对于有理数x、y，若． ①求的值； ②将长方形和长方形按照如图方式进行放置，其中点B、C、G在同一条直线上，点E在边上，连接、．若，，，，图中阴影部分的面积为45，求n的值． 8．（23-24七年级下·湖南长沙市广雅中学·期末）计算: 9．（23-24七年级下·湖南宁乡市·期末）已知的立方根是3，的算术平方根是4，c是的整数部分． (1)求a，b，c的值； (2)求的平方根． 10．（23-24七年级下·湖南衡阳县井头中学·期末）规定：若P（x，y）是以x，y为未知数的二元一次方程ax+by=c的整数解，则称此时点P为二元一次方程ax+by=c的“理想点”．请回答以下关于x，y的二元一次方程的相关问题． (1)已知A（−1，2），B（4，−3），C（−3，4），请问哪个点是方程2x+3y=6的“理想点”，哪个点不是方程2x+3y=6的“理想点”并说明理由； (2)已知m，n为非负整数，且，若P（，）是方程2x+y=8的“理想点”，求的平方根． (3)已知k是正整数，且P（x，y）是方程2x+y=1和的“理想点”，求点P的坐标． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 实数 题型概览 题型01求一个数的平方根和算术平方根 题型02无理数 题型03求一个数的立方根 题型04实数与数轴 题型05实数的混合运算 题型06实数的大小比较 题型07新定义下的实数运算 ( 题型01 ) 求一个数的平方根和算术平方根 1．（23-24七年级下·湖南长沙一中广雅中学·期末）下列各式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根．直接利用算术平方根的性质对各选项进行判断即可． 【详解】解：A、，故本选项不符合题意； B、，故本选项符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项不符合题意； 故选：B． 2．（23-24七年级下·湖南长沙长郡芙蓉中学·期末）若和的和是单项式，则的平方根是（    ） A．8 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可得和是同类项，从而得到，再代入，即可求解． 【详解】解：∵和的和是单项式， ∴和是同类项， ∴， ∴， ∴的平方根是． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了合并同类项，求一个数的平方根，熟练掌握根据题意得到和是同类项是解题的关键． 3．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）下列各数中，无理数是（   ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查无理数的识别．利用无理数的定义逐个分析判断即可． 【详解】解：A、0不是无理数，故本选项不符合题意； B、不是无理数，故本选项不符合题意； C、不是无理数，故本选项不符合题意； D、是无理数，故本选项符合题意； 故选：D 4．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）实数 16 的算术平方根是（   ） A．8 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】根据算术平方根的定义进行判断即可．本题考查算术平方根，理解算术平方根的定义是解决问题的关键． 【详解】解：， 的算术平方根为4， 故选：C． 5．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）16的算术平方根为（    ） A．16 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】本题考查了算术平方根，根据正的平方根是算术平方根，进行作答即可． 【详解】解：16的算术平方根为4； 故选：C． 6．（23-24七年级下·湖南衡阳县井头中学·期末）81的算术平方根是（    ） A．9 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了算术平方根的定义，根据算术平方根的定义解答即可． 【详解】∵， ∴81的算术平方根为． 故选：A． ( 题型02 ) 无理数 7．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）在实数，2，，中，无理数是（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了无理数的定义； 根据无理数的定义：无限不循环小数叫无理数，进行判断即可． 【详解】解：在实数，2，3.1415926，中，无理数是， 故选：A． 8．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）下列各数中，是无理数的是（    ） A． B． C． D．0.13133 【答案】A 【分析】此题主要考查了无理数的定义，无限不循环的小数叫无理数．注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式． 根据无理数、有理数的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、是无理数，故此选项符合题意； B、是分数，不是无理数，故此选项不符合题意； C、是整数，不是无理数，故此选项不符合题意； D、0.13133是有限小数，是有理数，不是无理数，故此选项不符合题意； 故选：A． 9．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）在，，0.3，，，3.14159265中，无理数共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有：①π类，如2π，等；②开方开不尽的数，如，等；③具有特殊结构的数，如0.1010010001…（两个1之间依次增加1个0），0.2121121112…（两个2之间依次增加1个1）． 【详解】解：在，，0.3，，，3.14159265中，无理数有，，共2个． 故选B． 10．（23-24七年级下·湖南益阳市资阳区·期末）实数，，，，其中无理数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】此题主要考查了无理数的定义，无限不循环小数为无理数．解题的关键是掌握无理数的定义．分别根据无理数、有理数的定义即可判定选择项． 【详解】解：，是有理数，，是分数，是有理数， 所以无理数有：，两个， 故答案为：A． 11．（23-24七年级下·湖南长沙一中广雅中学·期末）下列各数中是无理数的是（    ） A． B． C．0.24 D．2024 【答案】B 【分析】本题主要考查了无理数的定义，根据无理数的定义即可进行解答． 【详解】解：无限不循环小数是无理数，则无理数是， 故选：B． ( 题型03 ) 求一个数的立方根 12．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）在实数，，，中，是无理数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了无理数的概念，求算术平方根和立方根，解题关键是熟记常见无理数的种类，常见无理数的三种情况：①开方开不尽的数；②含有与有理数的和差积商；③有规律但无限不循环的小数．根据相关概念，以及开平方、开立方运算判断各项，即可解题． 【详解】解：A、是有理数，不符合题意； B、是有理数，不符合题意； C、是无理数，符合题意； D、是有理数，不符合题意； 故选：C． 13．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）公元6世纪，毕达哥拉斯学派认为“万物皆数”，即一切量都可以用整数或整数的比（分数）表示，后来，这一学派中的希帕索斯发现，边长为1的正方形的对角线的长度不能用整数或整数的比表示，从而发现了无理数．下列各数中不是无理数的有（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了无理数的定义，熟练掌握无理数的定义是解题的关键． 根据“不能用整数或整数的比表示的数”是无理数判断各项，即可得出答案． 【详解】A．是分数，不是无理数，故该选项符合题意； B．不能用整数或整数的比表示，是无理数，故此选项不符合题意； C．不能用整数或整数的比表示，是无理数，故此选项不符合题意； D．是无限不循环小数，不能用整数或整数的比表示，是无理数，故此选项不符合题意； 故选：A． 14．（23-24七年级下·湖南衡阳·期末）在，，，，1.01001000100001…这五个数中，无理数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了求一个数的立方根，无理数的定义；先根据立方根的定义化简，再根据无理数的概念判断即可． 【详解】解：， ∴在，，，，1.01001000100001…这五个数中， 无理数有：，，1.01001000100001…3个， 故选：C． 15．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）下列说法中，正确的是（    ） ①的立方根是；②49的算术平方根是7；③的平方根为；④的平方根是 A．①② B．②③ C．③④ D．②④ 【答案】A 【分析】本题考查立方根与平方根和算术平方根的相关知识，关键是掌握平方根和立方根的定义． 如果，那么叫作的立方根，根据立方根的定义，如，即可对①进行判断；再根据平方根及算术平方根的定义对②③④进行判断，即可得出答案． 【详解】解：根据立方根的定义可知：的立方根为，所以①正确； 49的算术平方根是7，没有平方根，的平方根是，所以②正确，③错误，④错误； 即说法正确的只有①、②． 故选：A． 16．（23-24七年级下·湖南长沙一中双语实验学校·期末）计算∶ 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，属于基本题目，熟练掌握实数的混合运算法则是解题的关键．根据有理数的乘方，立方根，绝对值分别运算，再想加减即可． 【详解】解：原式 17．（23-24七年级下·湖南永州市冷水滩区杨村甸乡中学·期末）一个正数x的两个不同的平方根分别是和． (1)求a和x的值； (2)求的立方根． 【答案】(1)， (2)3 【分析】（1）根据正数的两个不同的平方根互为相反数，列一元一次方程，即可求解； （2）将（1）中结论带入，求出的值，再求立方根即可． 【详解】（1）解：∵一个正数的两个不同的平方根互为相反数， ∴， 解得：， ∴； （2）解：， ， ∴的立方根为3． 【点睛】本题主要考查平方根和立方根，根据“正数的两个不同的平方根互为相反数”求出a的值是解题的关键． ( 题型0 4 )实数与数轴 18．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）如图，若数轴上点表示的数为无理数，则该无理数可能是（    ） A．2.7 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了无理数与数轴，估算出，，结合数轴即可得出答案，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：解：∵2.7是有理数，，，， 由图可知，点表示的数为无理数，且点表示的数在和之间， ∴点表示的无理数为， 故选：D． 19．（23-24七年级下·湖南长沙一中双语实验学校·期末）如图，将面积为6的正方形和面积为9的正方形分别绕原点O顺时针旋转，使落在数轴上，点A，D在数轴上对应的数字分别为a、b，则 ．    【答案】/ 【分析】本题考查实数与数轴，算术平方根的应用，根据题意求出两个正方形的边长，利用两点间的距离，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴表示的数分别为， ∴； 故答案为：． ( 题型0 5 )实数的混合运算 20．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）计算：． 【答案】10 【分析】本题考查了实数运算，熟练掌握运算法则是解题的关键； 利用算术平方根、乘方、绝对值的代数意义和立方根的定义计算即可得到答案． 【详解】 ． 21．（23-24七年级下·湖南衡阳·期末）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了实数的混合运算，整式的运算，掌握算术平方根、立方根的性质以及完全平方公式、平方差公式是解题关键． （1）根据算术平方根的定义和乘方的定义即可计算求值； （2）根据算术平方根的定义和立方根的定义即可计算求值； （3）根据平方差公式计算即可求解． （4）根据完全平方公式计算即可求解． 【详解】（1）解： （2） （3） （4） 22．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的计算，利用立方根，算术平方根，绝对值的定义进行计算即可． 【详解】解： 23．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查实数的混合运算，分别化简各项后，再进行加减运算即可． 【详解】解： 24．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查实数的混合运算，原式先计算乘方和立方根以及化简绝对值，再计算乘法，最后进行加减运算即可 【详解】解： 25．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查实数混合运算，熟练掌握实数混合运算法则是解题的关键． 先计算乘方与开方，并去绝对值符号，再计算加减即可． 【详解】解：原式                 ． 26．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，先算乘方、开方和绝对值，再算加减． 【详解】原式． 27．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查实数的混合运算．熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 先计算乘方、绝对值、算术平方根和立方根，再计算加减法即可得到答案． 【详解】解： ． ( 题型0 6 )实数的大小比较 28．（23-24七年级下·湖南长沙雅礼教育集团联考·期末）比较大小： 2（填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了实数的大小比较．由即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 29．（23-24七年级下·湖南永州·期末）比较大小： （填“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查的是实数的大小比较，掌握无理数的估算方法是解题的关键．由得到，即可求解． 【详解】∵ ∴． 故答案为：． ( 题型0 7 )新定义下的实数运算 30．（23-24七年级下·湖南长沙望城区·期末）若实数a，b满足，我们就说a与b是关于6的“如意数”，则与是关于6的“如意数”是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了新定义下的实数运算，准确理解新定义是解题的关键．直接根据“如意数”的概念进行求解即可． 【详解】∵ ∴与是关于6的“如意数”． 故选：A． 31．（23-24七年级下·湖南衡阳·期末）新定义：对非负数x“四舍五入”到个位的值记为，即当n为非负数时，若，则.反之，当n为非负整数时，如果，则. 例如，，，，…若关于x的方程的解是正整数，且为正整数，则m的取值范围是 . 【答案】 【分析】本题考查了新定义下的运算问题，掌握新定义下的运算规则是解题的关键．先解方程求得，再根据方程的解是正整数解，即可求出非负实数m的取值范围． 【详解】解：， ， ， ∵方程的解为正整数， ∴或2， ①当时，， ∴， 即； ②当时，， ∵为正整数， ∴此时不符合题意； 综上分析可知：． 32．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）定义：关于的二元一次方程（其中）中的常数项与未知数系数互换，得到的方程叫“变更方程”，例如：的”变更方程”为． (1)方程与它的“变更方程”组成的方程组的解为______； (2)已知关于的二元一次方程的系数满足，且与它的“变更方程”组成的方程组的解恰好是关于的二元一次方程的一个解，求代数式的值； (3)已知整数满足条件，并且是关于的二元一次方程的“变更方程”，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查二元一次方程（组）的新定义，加减消元法，代入消元法解二元一次方程组的方法，理解“变更方程”的定义，掌握解二元一次方程（组）的方法是解题的关键． （1）根据“变更方程”的定义可得，联立方程组求解即可； （2）根据题意，先联立方程组，结合求出，代入二元一次方程得，，代入代数式化简求值即可； （3）根据题意可得，分别求出，根据可得，由此可求出，结合整数即可求解． 【详解】（1）解：与它的“变更方程”为， ∴联立方程组为， 解得，， 故答案为：； （2）解：根据题意，的”变更方程”为， ∴联立方程组得，， 解得，， ∵，则， ∴，即， ∵是二元一次方程的一个解， ∴，则， ∴ ； （3）解：是关于的二元一次方程的“变更方程”， ∴， ①②得，，整理得，， 把代入①得，，整理得，， ∵， ∴， 解得，， ∵， ∴，则， ∵是整数， ∴． 33．（23-24七年级下·湖南醴陵市龙门街道中心学校·期末）对数的定义：一般地，若，那么x叫做以a为底N的对数，记作：．比如指数式可以转化为，对数式，可以转化为．我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：．理由如下：设，，则，由对数的定义得，又，，类似还可以证明对数的另一个性质：．请利用以上内容计算 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了新定义，根据新定义把原式变形为，进一步变形得到，据此求解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 34．（23-24七年级下·湖南浏阳市·期末）若一个四位正整数满足：，我们就称该数是“等等数”．比如：四位数，，是 “等等数”；四位数，，不是“等等数”． （1）直接写出最小的“等等数” ． （2）若一个“等等数”，满足个位上的数字是百位上的数字的两倍，且千位上的数字与十位上的数字之和为8，则所有满足条件的“等等数” ． 【答案】 或或 【分析】本题主要考查了实数的运算，理解新定义，并将其转化为实数的运算是解题的关键． （1）根据是千位上的数，以及最小的正整数是1和最小的四位数百位上是0，可求出和的值，结合题意即可求解 （2）根据题意得到：，，结合题意推得，分别写出满足等式的所有情况，结合题意分析即可求解． 【详解】解：（1）∵是四位正整数中千位上的数字，故若使得四位正整数是最小的“等等数”； 则取最小的正整数，取最小的整数， ∵， 故，． ∴最小的“等等数”是． 故答案为：； （2）根据题意知：，， ∵， ∴， 即当，，此时，；∵，则这个“等等数”是； 或当，，此时，；∵，则这个“等等数”是； 或当，，此时，；则这个“等等数”是； ∴满足条件的“等等数”是或或． 故答案为：或或． 一、单选题 1．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）下列各数中，是无理数的是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了无理数的定义，无理数是无限不循环小数，理解无理数定义和正确化简各数是解答本题的关键． 无理数是无限不循环小数，在初中阶段它的表现形式有三类∶①无限不循环小数；②开方开不尽的数；③，首先化简各数，再利用无理数的定义分析得出答案． 【详解】A．2是有理数，故本选项不符合题意； B．，是有理数，故本选项不符合题意； C．是无限不循环小数，是无理数，故本选项符合题意； D．，是有理数，故本选项不符合题意； 故选：C． 2．（23-24七年级下·湖南永州市冷水滩区·期末）若和是实数m的平方根，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一个正数的平方根有两个，且互为相反数，求出，从而即可得解． 【详解】解：∵和是实数的平方根， ∴， 解得， ∴， ∴， ， ∴， 故选A． 【点睛】本题考查了平方根，熟练掌握一个一个正数的平方根有两个，且互为相反数是解题的关键． 二、填空题 3．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）若的算术平方根为，的立方根为，是平方根等于本身的数，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根，平方根，立方根概念，根据算术平方根，平方根，立方根的定义求出的，，的值，代入计算即可得出答案，熟练掌握算术平方根，平方根，立方根概念及运算是解题的关键． 【详解】∵的算术平方根为， ∴， ∵的立方根为， ∴， ∵是平方根等于本身的数， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（23-24七年级下·湖南湘西·期末）物体自由下落的高度h（单位：米）与下落时间t（单位：秒）的关系是．有一物体从米高的建筑物上自由落下，到达地面需要的时间为 秒． 【答案】5 【分析】本题主要考查了算术平方根的应用，解决实际问题时字母取值一般都是大于等于0． 把代入求得t的值即可． 【详解】解：把代入中可得：，则， ∵25的算术平方根为5，即， ∴到达地面需要的时间为5秒． 故答案为：5． 5．（23-24七年级下·湖南湘西·期末）一个正数的两个平方根分别是a、b，则 ． 【答案】0 【分析】本题主要考查了平方根，掌握一个正数的两个平方根互为相反数成为解题的关键． 根据一个正数的两个平方根互为相反数即可解答． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根互为相反数， ∴． 故答案为0． 6．（23-24七年级下·湖南长沙华益中学·期末）若实数a、b满足，则的算术平方根是 ． 【答案】2 【分析】根据题意得，，计算得，，即可求出结果． 【详解】解：， ，， ，， 则的算术平方根是：， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了绝对值，算术平方根，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点． 三、解答题 7．（23-24七年级下·湖南永州市冷水滩区仁湾镇中学·期末）对于任意有理数a、b、c、d，定义一种新运算：． (1) ； (2)对于有理数x、y，若是一个完全平方式，则k ； (3)对于有理数x、y，若． ①求的值； ②将长方形和长方形按照如图方式进行放置，其中点B、C、G在同一条直线上，点E在边上，连接、．若，，，，图中阴影部分的面积为45，求n的值． 【答案】(1) (2)2或 (3)①56；②2 【分析】（1）根据，得解答即可； （2）根据完全平方式有和差两种形式，解答即可． （3）①根据定义，得，化简后代入计算即可； ②根据题意，得化简计算即可． 【详解】（1）解：根据， 得． 故答案为：． （2）解：根据， 得，是一个完全平方式， 故， 解得． 故答案为：． （3）解：①根据定义，得 ， 当时， 原式． ②解：根据题意，得 ． 又图中阴影部分的面积为45，， 故， 解得． 【点睛】本题考查了实数的新定义，完全平方公式的应用，解方程，图形的面积表示，熟练掌握新定义，完全平方公式，分割法求面积是解题的关键． 8．（23-24七年级下·湖南长沙市广雅中学·期末）计算: 【答案】 【分析】先计算幂的乘方、绝对值、立方根、算术平方根，再进行加减计算即可． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题考查实数的混合运算、幂的乘方、绝对值、立方根、算术平方根，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 9．（23-24七年级下·湖南宁乡市·期末）已知的立方根是3，的算术平方根是4，c是的整数部分． (1)求a，b，c的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）根据立方根和算术平方根的定义即可求出a、b，估算出的范围即可求出c； （2）将a、b、c的值代入所求式子计算，再根据平方根的定义解答． 【详解】（1）∵的立方根是3，的算术平方根是4， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵c是的整数部分， ∴． （2）将，，代入得：， ∴的平方根是． 【点睛】本题考查了算术平方根、平方根和立方根的定义，属于基础题型，熟练掌握这三者的概念是关键． 10．（23-24七年级下·湖南衡阳县井头中学·期末）规定：若P（x，y）是以x，y为未知数的二元一次方程ax+by=c的整数解，则称此时点P为二元一次方程ax+by=c的“理想点”．请回答以下关于x，y的二元一次方程的相关问题． (1)已知A（−1，2），B（4，−3），C（−3，4），请问哪个点是方程2x+3y=6的“理想点”，哪个点不是方程2x+3y=6的“理想点”并说明理由； (2)已知m，n为非负整数，且，若P（，）是方程2x+y=8的“理想点”，求的平方根． (3)已知k是正整数，且P（x，y）是方程2x+y=1和的“理想点”，求点P的坐标． 【答案】(1)点C是方程2x+3y＝6的“理想点”，点A，点B不是方程2x+3y＝6的“理想点” (2)2m−n的平方根为±4 (3)点P的坐标为 【分析】(1 )根据“理想点"定义进行判断即可； (2)根据题意求出m和n的值，进一步求解即可； (3)解二元一次方程组，得出 ，再根据“理想点”定义求出x和y的值即可． 【详解】（1）， ∴点C是方程2x+3y＝6的“理想点”，点A，点B不是方程2x+3y＝6的“理想点”． （2）把代入方程，得，又∵ 解得， 因为为非负整数，所以 （3）由题意得，解得 ∵x是整数， ∵y是整数，或 当时，； 当时，； 当时，； 当时， 所以点P的坐标为 【点睛】本题考查了二元一次方程组与新定义的综合，理解“理想点”的含义并灵活运用是解题的关键． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$