专题05 平面内的两条直线（14大考点经典基础练+优选提升练）（湖南专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年七年级数学下学期期末真题分类汇编

专题05 平面内的两条直线 题型概览 题型01对顶角相等 题型02同位角、内错角、同旁内角 题型03图形的平移 题型04利用平移的性质求解 题型05利用平移解决实际问题 题型06平移作图 题型07平行线的性质 题型08平行中的折叠问题 题型09利用平行线的性质探究角的关系 题型10利用平行线的性质求角的度数 题型11平行线的判定与性质 题型12垂直及计算 题型13垂线段最短 题型14两条平行线间的距离 ( 题型01 ) 对顶角相等 1．（23-24七年级下·湖南株洲市隆兴中学·期末）如图，直线a、b相交，，则 度． 2．（23-24七年级下·湖南湘西·期末）如图，直线，相交于点，小明说“若已知的度数，则的大小也等于这个度数．”你知道这是什么数学道理吗？（    ） A．对顶角相等 B．对顶角互补 C．邻补角相等 D．邻补角互补 3．（23-24七年级下·湖南临湘市·期末）如图，直线，相交于点，平分，若，则的大小为（    ）    A． B． C． D． ( 题型02 ) 同位角、内错角、同旁内角 4．（23-24七年级下·湖南永州市冷水滩区·期末）如图，∠1的同位角共有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（23-24七年级下·湖南郴州·期末）如图，直线，被直线所截，交点分别是点M，N，则与是（    ） A．同位角 B．同旁内角 C．内错角 D．对顶角 6．（23-24七年级下·湖南临湘市·期末）下列图形中，与是同位角的是（　　） A．   B．   C．   D．   7．（23-24七年级上·湖南长沙·期末）如图，直线，被所截，则的同旁内角是 ． 8．（23-24七年级下·湖南株洲市隆兴中学·期末）如图，给出下列结论：①与是同旁内角；②与是同位角；③与是内错角；④与是同位角；⑤与是对顶角．其中说法正确的是 ．（填序号）    ( 题型03 ) 图形的平移 9．（23-24七年级下·湖南宁乡市·期末）在下列各组由运动项目的图标组成的图形中，能将其中一个图形只经过平移得到另一个图形的是（　　） A． B． C． D． 10．（23-24七年级下·湖南师大附中博才实验中学·期末）甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，能用其中一部分平移得到的是（   ） A．比 B．立 C．秝 D．鼎 11．（23-24七年级下·湖南邵阳·期末）下列四幅名车标志设计中能用平移得到的是 （只填序号）． ①   ②    ③    ④ 12．（23-24七年级下·湖南湘郡铭志学校·期末）下列四个图形中，不能通过其中一个四边形平移得到的是（    ） A． B． C． D． ( 题型0 4 )利用平移的性质求解 13．（23-24七年级下·湖南衡阳·期末）如图，将周长为的沿方向向右平移得到，则四边形的周长为（  ） A． B． C． D． 14．（23-24七年级下·湖南永州·期末）如图，在三角形中，，将三角形沿BC方向平移得到三角形，其中，，，则阴影部分的面积是（    ） A．15 B．18 C．21 D．24 15．（23-24七年级下·湖南娄底第二中学·期末）如图，沿方向平移得到．若，，则的长是 ． 16．（23-24七年级下·湖南娄底第二中学·期末）如图，直角三角形沿着的方向平移到直角三角形的位置．若，，，则阴影部分的面积为（   ） A．12 B．16 C．28 D．24 17．（23-24七年级下·湖南娄底·期末）如图，将沿方向平移后，到达的位置，若，，则的度数为（    ）    A．30° B．40° C．50° D．60° ( 题型0 5 )利用平移解决实际问题 18．（23-24七年级下·湖南株洲·期末）如图是石峰公园里一处长方形风景欣赏区，长米，宽米，为方便游人观赏，公园特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分），小路的宽均为2米，那么小童沿着小路的中间，从出口A到出口B所走的路线 （图中虚线）长为（   ） A．108米 B．106米 C．104米 D．102米 19．（23-24七年级下·湖南衡阳第三中学·期末）如图，在长方形地块内修筑同样宽的两条“相交”的道路，余下部分作绿化，当道路宽为2米时，绿化的面积为 平方米． ( 题型0 6 )平移作图 21．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）如图，在的方格纸中，每个小正方形的边长都为1，将按照某方向经过一次平移后得到，图中标出了点的对应点． (1)画出平移以后的； (2)连接，则这两条线段的关系是______； (3)求线段AB在平移过程中扫过区域的面积？ 22．（23-24七年级下·湖南郴州·期末）在所给网格图（每小格均为边长是的正方形）中完成下列各题． (1)画出三角形（顶点均在格点上）关于直线对称的三角形； (2)画出三角形向下平移个单位的三角形． 23．（23-24七年级下·湖南株洲隆兴中学·期末）如图，正方形网格中每个小正方形的边长均为个单位，的三个顶点都在格点上． (1)在网格中画出向下平移个单位得到的； (2)在网格中画出关于直线对称的． 24．（23-24七年级下·湖南衡阳市船山实验中学·期末）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点A，B，C都在格点上（两条网格线的交点叫格点）． (1)平移，使点A移动到点，请在网格纸上画出平移后的； (2)在（1）的条件下，求平移过程中，线段扫过的面积． 25．（23-24七年级下·湖南衡阳市华新实验中学·期末）如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位，的三个顶点都在格点上． (1)在网格中画出向下平移3个单位得到的； (2)在网格中画出关于直线对称的； (3)在直线上画一点，使得的值最小． ( 题型0 7 )平行线的性质 26．（23-24七年级下·湖南醴陵市渌江中学·期末）如图，已知，，则（    ） A． B． C． D． 27．（23-24七年级下·湖南邵阳·期末）如图，在四边形中，，若，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 28．（23-24七年级下·湖南益阳市资阳区·期末）随着科技发展，骑行共享单车这种“低碳”生活方式已融入人们的日常生活，如图是共享单车车架的示意图，线段，，分别为前叉、下管和立管（点C在上），为后下叉、已知，，，，的度数为（    ） A． B． C． D． 29．（23-24七年级下·湖南永州市冷水滩区仁湾镇中学·期末）如图，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 30．（23-24七年级下·湖南湘郡铭志学校·期末）如图，直线，l是的截线，如果，那么 度．    31．（23-24七年级下·湖南永州市冷水滩区仁湾镇中学·期末）如图，，，． (1)求的度数； (2)若平分，求的度数． ( 题型0 8 )平行中的折叠问题 32．（23-24七年级下·湖南树德初级中学·期末）如图，折叠一张长方形纸片，已知，则的度数是（ ） A． B． C． D． 33．（23-24七年级下·湖南长沙望城区·期末）用一张等宽的纸条折成如图所示的图案，若，则的度数为 度． 34．（23-24七年级下·湖南双牌县·期末）如图，把一张长方形纸条沿EF折叠，若，则 °． 35．（23-24七年级下·湖南桑植县·期末）如图，把长方形沿折叠后，点D，C分别落在，的位置．若，则是（    ） A． B． C． D． 36．（23-24七年级下·湖南华新实验中学·期末）已知，在长方形中，，，，点E在线段上，点F在线段上，将长方形沿折叠后，点D的对应点是M，点C的对应点是N． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，将四边形沿继续折叠，点N的对应点为G，探索与的数量关系，并证明你的结论； (3)如图3，P是直线和线段的交点，将四边形沿折叠，点A的对应点是O，点B的对应点是Q．请直接写出和的数量关系． ( 题型0 9 )利用平行线的性质探究角的关系 37．（23-24七年级下·湖南慈利县·期末）如图，，，设，，则与之间的数量关系正确的是（   ） A． B． C． D．与没有数量关系 38．（23-24七年级下·湖南张家界市永定区·期末）观察下列图形：若，在第个图中，可得，则按照以上规律， ． 39．（23-24七年级下·湖南娄底第二中学·期末）如图，已知直线，直线和直线交于点和，点是直线上的一个动点．    (1)如图1，点在段段上，，则______； (2)如果点运动到之间时，试探究之间的关系，并说明理由； (3)若点在两点的外则运动时（点与点不重合），之间的关系是否发生改变？请说明理由． 40．（23-24七年级下·湖南怀化·期末）“怀化国际陆港”让怀化和世界更紧密，怀化国际陆港现已开拓了北部湾铁路联运、中老铁路、中越铁路、中缅铁路等4条国际物流大通道，为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯，如图1所示，灯A射线从开始顺时针旋转至便立即回转，灯B射线从开始顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是每秒2度，灯B转动的速度是每秒1度，假定主道路是平行的，即，且． (1)填空：______； (2)如图2，若灯B射线先转动29秒，灯A射线才开始转动，灯A射线与交于点，灯B射线与交于点，在灯B射线到达之前，设灯A转动t秒（），当时，求t的值． (3)如图3，若两灯同时转动，在灯A射线到达之前，若射出的光束交于点C，过C作交于点D，且，则在转动过程中，请探究与的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由． ( 题型 10 )利用平行线的性质求角的度数 41．（23-24七年级下·湖南永州市冷水滩区杨村甸乡中学·期末）如图，已知，平分，交于点． (1)求证：； (2)若于点，，求的度数． 43．（23-24七年级下·湖南邵阳·期末）如图，有一副三角板，和，，，，，在同一直线上． (1)如图1，与点重合．将绕点按顺时针方向进行旋转，当与首次平行，求此时的度数； (2)如图2，若点在边上（不与、重合），再将绕点按顺时针方向进行旋转（如图3），边交边于，当时，求边旋转的度数； (3)将从图2初始位置开始，绕点顺时针方向以每秒的速度进行旋转，当第一次与直线平行时停止运动．设运动时间为秒，当线段与的一条边平行，求满足条件的的值（请直接写出结果）． 44．（23-24七年级下·湖南岳阳·期末）如图1，小明将一个含的直角三角板（其中，）按图1所示放置，使得直角三角板的一边落在直线上．过顶点 P作直线，作直线，分别交直线，于点G，H．    (1)如图1， 求的度数为 °； (2)如图2，将直角三角板绕顶点 M逆时针旋转，旋转角为β，且，在旋转过程中，直线，位置保持不变，直线随着点P的运动位置发生变化． ①当点P在直线下方时，试猜想和的数量关系，并说明理由； ②当直角三角板的一边与直线平行时，求旋转角β的度数． (3)如图3，在（2）的条件下，已知直角三角板的旋转速度是每秒，旋转时间为t秒，作平分 ，作平分，当射线平分时， 求t的值． 45．（23-24七年级下·湖南树德初级中学·期末）综合与探究 在综合与实践课上，老师让同学们以“两条平行线和一副三角板的摆放”为主题展开活动．    (1)如图1，将两块三角板的一直角边重合，含有角的直角三角板的斜边与重合，含角的直角三角板的一个顶点在直线上，已知，求的度数． (2)如图2，在图1的基础上，直角三角板固定不动，让直角三角板绕着点逆时针方向旋转，使得点恰好在上，边与交于点，猜想与之间的数量关系，并说明理由． (3)在图1的基础上，如图3，仍然让直角三角板固定不动，直角三角板绕着点逆时针旋转（旋转度数小于），设边（或的延长线）与相交于点，当斜边与另一直角三角板的某一边平行时，直接写出（即）的度数． ( 题型 11 )平行线的判定与性质 46．（23-24七年级下·湖南树德初级中学·期末）如图，，为上一点，，且平分，过点作于点，且，则下列结论：①；② ；③平分；④平分． 其中正确结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 47．（23-24七年级下·湖南衡阳县井头中学·期末）如图，下列条件中，不能判断直线的是（    ） A． B． C． D． 48．（23-24七年级下·湖南湘西·期末）中国汉字博大精深，方块文字智慧灵秀，奥妙无穷．如图①所示的是一个“互”字，如图②所示的是由图①抽象的几何图形，其中，．点E，M，F在同一直线上，点G，N，H在同一直线上，且． (1)与平行吗？请说明理由； (2)试说明：． 49．（24-25七年级上·湖南衡阳·期末）填空：如图，，，，求的度数． 解：∵， ∴________，（两直线平行，同位角相等）． 又∵， ∴（等量代换）， ∴（________）， ∴________（两直线平行，同旁内角互补）． ∵， ∴________． 50．（23-24七年级下·湖南邵阳·期末）如图，，点B在上（点B与点A不重合），点C在上（点C与点D不重合），． (1)那么吗？试说明理由． (2)若平行移动，保持；点E、F在上，且满足，平分．求的度数． 51．（23-24七年级下·湖南娄底·期末）（1）已知：如图1，直线，求证：； （2）如图2，如果点在与之内，线段的左侧，其它条件不变，这三个角之间有怎样的数量关系？并加以证明； （3）如图3，如果点在与之外，其他条件不变，请直接写出这三个角之间有怎样的数量关系． ( 题型 12 )垂直及计算 52．（23-24七年级下·湖南邵阳·期末）如图，直线，，若，则等于 ． 53．（23-24七年级下·湖南永州·期末）如图，直线与相交于点，则的度数为 ． 54．（23-24七年级下·湖南邵阳·期末）如图，，点D、E分别在线段，上，、分别与交于点M、N，若，，求证：（请完善解答过程，并在括号内填写相应的依据，请将答案按序号填在答卷相应的位置，符号“∵”表示“因为”，“．”表示“所以”） 证明：∵，（已知） 又∵，（①___________） ∴②_____（等量代换） ∴．（③____________） ∴④_____（两直线平行，同位角相等） ∵，（已知） ∴（⑤_____________） ∴⑥_____________（内错角相等，两直线平行） ∴．（⑦__________） ∵，（已知） ∴ ∴ ∴．（⑧______________） 55．（23-24七年级下·湖南株洲·期末）如图，直线相交于点O，，若，试求的度数． ( 题型 13 )垂线段最短 56．（23-24七年级下·湖南临湘市·期末）如图，计划把水渠中的水引到水池中，可过点作的垂线，然后沿开渠，则能使新开的渠道最短，这种设计方案的数学根据是 ． 57．（23-24七年级下·湖南娄底第二中学·期末）如图，直线表示一段河道，点表示村庄，现要从河向村庄引水，图中有四种方案，其中沿线段路线开挖的水渠长最短，理由是 ． 58．（23-24七年级下·湖南邵阳·期末）俗话说“要想福先修路”，希望村计划在家乡河上建一座桥，如图所示的方案中，在处建桥最合适，理由是 ． 59．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）如图，体育老师在用皮尺测量跳远成绩时，皮尺要与起跳线垂直，这样做的依据是（    ） A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线 C．过一点有且只有一条直线与已知直线重直 D．垂线段最短 ( 题型 14 )两条平行线间的距离 60．（23-24七年级下·湖南岳阳·期末）在同一平面内，已知直线，，互相平行，直线与的距离是厘米，直线与的距离是厘米，那么直线与的距离是（    ） A．厘米 B．厘米 C．厘米或厘米 D．不能确定 61．（23-24七年级下·湖南永州·期末）已知在同一平面内，直线，，互相平行，直线与之间的距离是，直线与之间的距离是，那么直线与的距离是 ． 62．（23-24七年级下·湖南益阳·期末）如图，，，且三角形的面积为，则点到直线的距离为 ． 63．（23-24七年级下·湖南岳阳·期末）如图， ， 的面积等于， ， ，则的面积是 . 一、单选题 1．（23-24七年级下·湖南娄底·期末）如图，两直线，点为之间的四点，则的度数之和为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·湖南株洲·期末）如图，若，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 3．（23-24七年级下·湖南湘潭·期末）如图中，，将沿边向右平移4个单位得到，则四边形的周长为 ． 4．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）一杆古秤在称物体时的状态如图所示，已知，则的度数是 ． 5．（23-24七年级下·湖南株洲·期末）折纸是一门古老而有趣的艺术，现代数学家们甚至为折纸建立了一套完整的“折纸几何学公理”．如图，小明在课余时间把一张长方形纸片沿折叠，，则 °． 6．（23-24七年级下·湖南岳阳市岳阳楼区·期末）如图，直线，点，位于直线上，点，位于直线上，且，如果的面积为，那么的面积为 ．    7．（23-24七年级下·湖南株洲·期末）如图，，平分，平分，且，下列结论∶①平分；②；③；④；⑤，其中结论正确的有 （填写序号）． 三、解答题 8．（23-24七年级下·湖南邵阳·期末）如图，直线，D、A分别在、上，点E为两平行线内部一点． (1) 问题情境：如图1，探究的数量关系，并说明理由； 以下是小明的解题过程，请补充完整：（请完善解答过程，并在括号内填写相应的依据，请将答案按序号填在答卷相应的位置，符号“∵”表示“因为”，“∴”表示“所以”） 解：过点E作 ∵（已知） ∵ ∴①_______， ②_______（③_______） ∴ 即④_______． (2)问题迁移： （a）小明进一步思考么之间的数量关系，由于与与均互补，很容易得到之间的数量关系是：________．（只写结果，不需要证明） （b）如图2，一副直角三角板包括，其中，，（符号“”表示“三角形”）若按如图2摆放（点E、C、F、A在同一直线上），则________； (3)知识应用：如图3，若和的角平分线交于点F，且，直接利用前面的结论，求的度数． 9．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）填空并完成以下证明： 已知：点在直线上，． 求证：． 证明：，（已知） ______．（______） ______．（______） 又，（已知） ， ______， ______（等式的性质） ．（______） ．（______） 10．（23-24七年级下·湖南张家界·期末）推理填空，如图，已知，试说明． 解：（已知）， __________（__________） __________（__________） 又（已知）， __________（__________） __________． 11．（23-24七年级下·湖南张家界·期末）如图，直线，点C是之间（不在直线上）的一个动点． (1)若与都是锐角，如图1，求证：． (2)把一块三角尺（）按如图2放置，点D，E，F是三角尺的边与平行线的交点，若，求的度数； (3)将图2中的三角尺进行适当转动，如图3，直角顶点C始终在两条平行线之间，点G在线段上，连接，且有，有的值不变，求出其不变的值． 12．（23-24七年级下·湖南株洲·期末）已知如图，，．    (1)试判断与的位置关系，并说明理由； (2)若于点D，若平分，，求的度数． 13．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）根据提示填空（或填上每步推理的依据） 如图，已知于，于，，．求证： ． 证明：∵，， ∴（______） ∴（__________________） ∴（______） ∵（已知） ∴________（______________） ∴（______） ∴______（两直线平行，同位角相等） ∵（已知） ∴______（等量代换） ∴（内错角相等，两直线平行） 14．（23-24七年级下·湖南·期末）如图，点、在线段上，点在线段上，点在线段上，与的延长线交于点，，． (1)求证：； (2)若，且，求的度数． 15．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）如图，已知，射线交于点F，交于点D，从D点引一条射线，若． 求证： 证明：∵（已知），且（   ）， ∴______（等量代换），∴______（____________）， ∴______（____________）， 又∵（已知）， ∴______（____________）， ∴． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 平面内的两条直线 题型概览 题型01对顶角相等 题型02同位角、内错角、同旁内角 题型03图形的平移 题型04利用平移的性质求解 题型05利用平移解决实际问题 题型06平移作图 题型07平行线的性质 题型08平行中的折叠问题 题型09利用平行线的性质探究角的关系 题型10利用平行线的性质求角的度数 题型11平行线的判定与性质 题型12垂直及计算 题型13垂线段最短 题型14两条平行线间的距离 ( 题型01 ) 对顶角相等 1．（23-24七年级下·湖南株洲市隆兴中学·期末）如图，直线a、b相交，，则 度． 【答案】140 【分析】本题主要考查了对顶角的性质，掌握对顶角相等成为解题的关键． 先根据对顶角相等和已知条件求得，再根据平角的性质列式计算即可． 【详解】解：∵，（对顶角相等）， ， ． 故答案为：140． 2．（23-24七年级下·湖南湘西·期末）如图，直线，相交于点，小明说“若已知的度数，则的大小也等于这个度数．”你知道这是什么数学道理吗？（    ） A．对顶角相等 B．对顶角互补 C．邻补角相等 D．邻补角互补 【答案】A 【分析】本题考查了对顶角和邻补角的定义，掌握相关的定义是解题的关键．有公共端点且两条边互为反向延长线的两个角互为对顶角，对顶角与对顶角相等；两个角有一条公共边，它们的另一条边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，叫做邻补角； 根据上述定义即可求解． 【详解】解：根据题意可得与互为对顶角，对顶角相等， 故选：A． 3．（23-24七年级下·湖南临湘市·期末）如图，直线，相交于点，平分，若，则的大小为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了对顶角相等，角平分线的有关计算， 首先根据对顶角相等得到，然后由平分求解即可． 【详解】∵ ∴ ∵平分， ∴． 故选：B． ( 题型02 ) 同位角、内错角、同旁内角 4．（23-24七年级下·湖南永州市冷水滩区·期末）如图，∠1的同位角共有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了同位角的定义据五条直线相交关系分别讨论：被b所截，与成同位角的角的有1个；被 所截，与∠1成同位角的角的有1个；被所截，与成同位角的角的有1个．共计3个． 【详解】解：据同位角定义，被b所截，与成同位角的角的有； 被所截，与成同位角的角的有； 被所截，与成同位角的角的有．一共有3个， 故选：C． 5．（23-24七年级下·湖南郴州·期末）如图，直线，被直线所截，交点分别是点M，N，则与是（    ） A．同位角 B．同旁内角 C．内错角 D．对顶角 【答案】A 【分析】本题考查了同位角、同旁内角、内错角、对顶角的识别，熟记相关定义即可求解． 【详解】解：由图可知：与是同位角， 故选：A ． 6．（23-24七年级下·湖南临湘市·期末）下列图形中，与是同位角的是（　　） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】本题主要考查了同位角的定义，解题时注意：三线八角中的某两个角是不是同位角、内错角或同旁内角，完全由那两个角在图形中的相对位置决定．两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角． 【详解】解：根据同位角的定义，可得D选项中，与在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，故是同位角， 而A选项中，与是两条直线被第三条直线所截形成的同旁内角， B选项中，与是两条直线被第三条直线所截形成的内错角， C选项中，与是对顶角． 故选：D． 7．（23-24七年级上·湖南长沙·期末）如图，直线，被所截，则的同旁内角是 ． 【答案】 【分析】本题考查了同旁内角的含义．根据两直线被第三条直线所截，根据角位于两直线的中间，截线的同一侧是同旁内角，可得同旁内角是解题的关键． 【详解】解：的同旁内角是， 故答案为：． 8．（23-24七年级下·湖南株洲市隆兴中学·期末）如图，给出下列结论：①与是同旁内角；②与是同位角；③与是内错角；④与是同位角；⑤与是对顶角．其中说法正确的是 ．（填序号）    【答案】①②⑤ 【分析】根据角的性质判断即可. 【详解】解：与是同旁内角，①说法正确； 与是同位角，②说法正确； 与不是内错角，③说法错误； 与不是同位角，④说法错误； 与是对顶角，⑤说法正确； 故答案为：①②⑤. 【点睛】本题主要考查角的性质，属于考试中常考的题型. ( 题型03 ) 图形的平移 9．（23-24七年级下·湖南宁乡市·期末）在下列各组由运动项目的图标组成的图形中，能将其中一个图形只经过平移得到另一个图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平移的性质，掌握平移的性质是解题的关键，根据平移的性质即可得出答案． 【详解】解：A、图形不是由平移得到，故选项不符合题意； B、图形不是由平移得到，故选项不符合题意； C、图形不是由平移得到，故选项不符合题意； D、图形是由平移得到，故选项符合题意； 故选：D． 10．（23-24七年级下·湖南师大附中博才实验中学·期末）甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，能用其中一部分平移得到的是（   ） A．比 B．立 C．秝 D．鼎 【答案】A 【分析】本题考查了平移的性质，平移，是指在同一平面内，将一个图形上的所有点都按照某个直线方向做相同距离的移动，这样的图形运动叫做图形的平移运动，根据四个选项的甲骨文，比字的甲骨文是能用其中一部分平移得到的，即可作答． 【详解】解：结合平移的性质，观察四个选项， 唯有是能用其中一部分平移得到的， 故选：A． 11．（23-24七年级下·湖南邵阳·期末）下列四幅名车标志设计中能用平移得到的是 （只填序号）． ①   ②    ③    ④ 【答案】② 【分析】本题考查了平移的定义，熟练掌握平移的定义：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形是解题关键，根据平移的定义结合图形进行判断． 【详解】解：根据平移的定义可知，只有②是由一个圆作为基本图形，经过平移得到． 故答案为：②． 12．（23-24七年级下·湖南湘郡铭志学校·期末）下列四个图形中，不能通过其中一个四边形平移得到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了图形的平移，平移只会改变图形的位置，不改变图形的大小，方向和形状，据此逐一判断即可得到答案． 【详解】解：A、能通过其中一个四边形平移得到，不符合题意； B、能通过其中一个四边形平移得到，不符合题意； C、能通过其中一个四边形平移得到，不符合题意； D、不能通过其中一个四边形平移得到，符合题意． 故选D． ( 题型0 4 )利用平移的性质求解 13．（23-24七年级下·湖南衡阳·期末）如图，将周长为的沿方向向右平移得到，则四边形的周长为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查图形的平移有关计算，熟练掌握平移的性质是解题的关键，根据平移的性质得到，，利用周长的定义即可计算出四边形的周长． 【详解】解：∵将周长为的沿方向向右平移得到， ∴，， ∴四边形的周长为： ． 故选：D． 14．（23-24七年级下·湖南永州·期末）如图，在三角形中，，将三角形沿BC方向平移得到三角形，其中，，，则阴影部分的面积是（    ） A．15 B．18 C．21 D．24 【答案】B 【分析】本题主要考查平移的性质，掌握平移前后对应线段平行且相等，根据平移得出，是解题的关键． 由平移的性质可知：，，从而得出，，根据，得出，根据梯形面积公式求出结果即可． 【详解】解：由平移的性质可知：，， ∴，， ∴， ∴． 故选：B 15．（23-24七年级下·湖南娄底第二中学·期末）如图，沿方向平移得到．若，，则的长是 ． 【答案】5 【分析】本题考查平移的性质，解题的关键是根据平移的性质求出． 根据沿方向平移得到求出，从而可求出，即可求得． 【详解】解：∵沿方向平移得到， ， ， ， ， 故答案为：5． 16．（23-24七年级下·湖南娄底第二中学·期末）如图，直角三角形沿着的方向平移到直角三角形的位置．若，，，则阴影部分的面积为（   ） A．12 B．16 C．28 D．24 【答案】C 【分析】本题考查了平移的性质，根据平移的性质得到，则利用得到，然后根据梯形的面积公式求解． 【详解】解：沿着的方向平移到的位置， ，， ， ， ， 故选：C． 17．（23-24七年级下·湖南娄底·期末）如图，将沿方向平移后，到达的位置，若，，则的度数为（    ）    A．30° B．40° C．50° D．60° 【答案】A 【分析】由平移得，根据平角的性质求出． 【详解】解：由平移得， ∵， ∴， 故选：A． 【点睛】此题考查了平移的性质：平移的前后的图形对应边相等，对应角相等，正确理解平移的性质是解题的关键． ( 题型0 5 )利用平移解决实际问题 18．（23-24七年级下·湖南株洲·期末）如图是石峰公园里一处长方形风景欣赏区，长米，宽米，为方便游人观赏，公园特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分），小路的宽均为2米，那么小童沿着小路的中间，从出口A到出口B所走的路线 （图中虚线）长为（   ） A．108米 B．106米 C．104米 D．102米 【答案】C 【分析】本题主要考查了生活中的平移现象，根据已知得出所走路径是解题的关键．根据已知可以得出此图形可以分为横向与纵向分析，计算即可． 【详解】解：根据已知可以得出此图形可以分为横向与纵向分析， 横向距离等于，纵向距离等于， 长米，宽米， 故从出口A到出口B所走的路线长为：（米）， 故选C． 19．（23-24七年级下·湖南衡阳第三中学·期末）如图，在长方形地块内修筑同样宽的两条“相交”的道路，余下部分作绿化，当道路宽为2米时，绿化的面积为 平方米． 【答案】540 【分析】本题主要考查了平移的应用，确定绿化部分的长变为米，宽为米的长方形，进而求出面积即可． 【详解】解：绿化的面积为（平方米 ）． 故答案为：540． ( 题型0 6 )平移作图 21．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）如图，在的方格纸中，每个小正方形的边长都为1，将按照某方向经过一次平移后得到，图中标出了点的对应点． (1)画出平移以后的； (2)连接，则这两条线段的关系是______； (3)求线段AB在平移过程中扫过区域的面积？ 【答案】(1)见解析 (2)平行且相等 (3)20 【分析】本题考查作图平移变换，平移的性质，平行四边形的面积，熟练掌握平移的性质是解答本题的关键． （1）根据平移的性质作图即可． （2）根据平移的性质可得答案． （3）求出四边形的面积即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解：由平移的性质得，， ∴这两条线段的关系是平行且相等． 故答案为：平行且相等． （3）解：线段在平移过程中扫过区域的面积为． 答：线段AB在平移过程中扫过区域的面积为20． 22．（23-24七年级下·湖南郴州·期末）在所给网格图（每小格均为边长是的正方形）中完成下列各题． (1)画出三角形（顶点均在格点上）关于直线对称的三角形； (2)画出三角形向下平移个单位的三角形． 【答案】(1)画图见解析图； (2)画图见解析图． 【分析】（）利用轴对称的性质分别作出，，的对应点，，即可； （）利用平移变换的性质分别作出，，的对应点，，即可； 本题考查作图——轴对称变换，平移变换等知识，解题的关键是掌握轴对称变换，平移变换的性质． 【详解】（1）如图， ∴三角形即为所求； （2）如图， ∴三角形即为所求． 23．（23-24七年级下·湖南株洲隆兴中学·期末）如图，正方形网格中每个小正方形的边长均为个单位，的三个顶点都在格点上． (1)在网格中画出向下平移个单位得到的； (2)在网格中画出关于直线对称的． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 【分析】本题考查平移作图，作轴对称图形， （1）根据平移的性质分别作出点、、平移后的对应点、、，再顺次连接即可得； （2）根据轴对称的性质分别作出点、、关于直线的对称点、、，再顺次连接即可得； 解题的关键是掌握平移变换，轴对称变换的性质． 【详解】（1）解：如图，即为所作； （2）解：如图，即为所作． 24．（23-24七年级下·湖南衡阳市船山实验中学·期末）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点A，B，C都在格点上（两条网格线的交点叫格点）． (1)平移，使点A移动到点，请在网格纸上画出平移后的； (2)在（1）的条件下，求平移过程中，线段扫过的面积． 【答案】(1)见解析； (2)线段扫过的面积是16． 【分析】此题主要考查平移的作图与应用，解题的关键是熟知平移的性质． （1）利用点A和的位置确定平移的方向与距离，然后利用此平移规律画出B、C的对应点即可； （2）线段扫过的部分为平行四边形，然后利用平行四边形的面积公式计算即可． 【详解】（1）根据点的平移特征：向右平移4个单位，再向下平移1个单位，画出B、C的对应点，连线即得． （2） 根据图形平移的性质，可知，线段扫过的部分为平行四边形， 线段扫过的面积为． 25．（23-24七年级下·湖南衡阳市华新实验中学·期末）如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位，的三个顶点都在格点上． (1)在网格中画出向下平移3个单位得到的； (2)在网格中画出关于直线对称的； (3)在直线上画一点，使得的值最小． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了平移作图、轴对称作图及利用轴对称性质作图， （1）根据平移的性质作图即可； （2）根据轴对称的特点作图即可； （3）根据两点间线段最短，连接交直线m于点P，问题得解； 熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； （3）解：由两点间线段最短，连接交直线于点，则点即为所求点． ( 题型0 7 )平行线的性质 26．（23-24七年级下·湖南醴陵市渌江中学·期末）如图，已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据对顶角的性质求出的度数，再由平行线的定义即可得出结论， 【详解】解：∵与是对顶角，， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查对顶角和平行线的性质：两直线平行，同位角相等．灵活运用平行线的性质是解题的关键． 27．（23-24七年级下·湖南邵阳·期末）如图，在四边形中，，若，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，由垂直可得，进而可得，再根据平行的性质即可求解，掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：． 28．（23-24七年级下·湖南益阳市资阳区·期末）随着科技发展，骑行共享单车这种“低碳”生活方式已融入人们的日常生活，如图是共享单车车架的示意图，线段，，分别为前叉、下管和立管（点C在上），为后下叉、已知，，，，的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，根据两直线平行，内错角相等即可求得结果，掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， 故选：D． 29．（23-24七年级下·湖南永州市冷水滩区仁湾镇中学·期末）如图，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．先根据“两直线平行，同旁内角互补”，得到，再根据“两直线平行，内错角相等”，即可得到答案． 【详解】， ， ， ， ， ． 故选B． 30．（23-24七年级下·湖南湘郡铭志学校·期末）如图，直线，l是的截线，如果，那么 度．    【答案】125 【分析】由分别与，相交，得，又由于直线，得 ，即可求解． 【详解】解：如图，    分别与，相交，， ， ∵直线， ． 故答案为：125． 【点睛】本题考查平行线的性质，对顶角的性质，熟练掌握平行线的性质和对顶角的性质是解题的关键． 31．（23-24七年级下·湖南永州市冷水滩区仁湾镇中学·期末）如图，，，． (1)求的度数； (2)若平分，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据，，得出，根据，得出即可； （2）根据平分，，得出，根据平行线的性质，得出答案即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵平分，， ∴， ∵， ∴ 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握两直线平行内错角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行同位角相等． ( 题型0 8 )平行中的折叠问题 32．（23-24七年级下·湖南树德初级中学·期末）如图，折叠一张长方形纸片，已知，则的度数是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了平行线的性质，折叠的性质，根据两直线平行同位角相等得到，再利用折叠的性质得到，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】由题意得：， ∴， ∴， 故选：B． 33．（23-24七年级下·湖南长沙望城区·期末）用一张等宽的纸条折成如图所示的图案，若，则的度数为 度． 【答案】130 【分析】本题主要考查了平行线的性质，折叠的性质，先由折叠的性质得到，再由平角的定义得到，则由平行线的性质可得． 【详解】解：由折叠的性质可得， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 34．（23-24七年级下·湖南双牌县·期末）如图，把一张长方形纸条沿EF折叠，若，则 °． 【答案】 【分析】本题考查平行线的性质、翻折变换，先根据图形翻折的性质求出的度数，再根据平行线的性质即可得出结论．解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 【详解】解：∵把一张长方形纸条沿EF折叠，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 35．（23-24七年级下·湖南桑植县·期末）如图，把长方形沿折叠后，点D，C分别落在，的位置．若，则是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了折叠的性质，平行线的性质．熟练掌握折叠的性质，平行线的性质，明确角度之间的数量关系是解题的关键． 由折叠的性质可知，，，由，可得，根据，计算求解即可． 【详解】解：由折叠的性质可知，，， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 36．（23-24七年级下·湖南华新实验中学·期末）已知，在长方形中，，，，点E在线段上，点F在线段上，将长方形沿折叠后，点D的对应点是M，点C的对应点是N． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，将四边形沿继续折叠，点N的对应点为G，探索与的数量关系，并证明你的结论； (3)如图3，P是直线和线段的交点，将四边形沿折叠，点A的对应点是O，点B的对应点是Q．请直接写出和的数量关系． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】（1）根据折叠得出，根据平行线的性质得出； （2）过点M作，证明，再证明，得出； （3）根据折叠可知：，，，，，，， 设，，，得出，，即可得出，求出结果即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 根据折叠可知：， ∵， ∴； （2）解：，理由如下： 过点M作，如图所示： ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 根据折叠可知：， ∵， ∴， ∴； （3）解：，理由如下： 根据折叠可知：，，，，，，， 设，， 则， 又∵， 即， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， 在中，， 设， ， ∴， 在四边形中，， 即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，折叠的性质，解题的关键是数形结合，熟练掌握平行线的性质． ( 题型0 9 )利用平行线的性质探究角的关系 37．（23-24七年级下·湖南慈利县·期末）如图，，，设，，则与之间的数量关系正确的是（   ） A． B． C． D．与没有数量关系 【答案】A 【分析】过C作∥，得到∥，因此，，由垂直的定义得到，由邻补角的性质即可得到答案． 【详解】解：过C作∥， ∥， ， ，， ， ， ， ， ，    故选：A． 【点睛】本题考查平行线的性质，关键是过C作，得到，由平行线的性质来解决问题． 38．（23-24七年级下·湖南张家界市永定区·期末）观察下列图形：若，在第个图中，可得，则按照以上规律， ． 【答案】 【分析】本题考查的是平行线的性质，根据题意作出辅助线，利用两直线平行，同旁内角互补是解答此题的关键．分别过作直线a的平行线，由平行线的性质可得出：于是得到，，，根据规律得到结果． 【详解】解：如图，过作， 同理可得，， 如图，分别过作直线a的平行线， ∵， ∴． 由平行线的性质可得出： ∴第1个图中：， 第2个图中：， 第3个图中：， 第4个图中：， ……， ∴第n个图中：． 故答案为：． 39．（23-24七年级下·湖南娄底第二中学·期末）如图，已知直线，直线和直线交于点和，点是直线上的一个动点．    (1)如图1，点在段段上，，则______； (2)如果点运动到之间时，试探究之间的关系，并说明理由； (3)若点在两点的外则运动时（点与点不重合），之间的关系是否发生改变？请说明理由． 【答案】(1) (2)，见解析 (3)不成立，或，理由见解答 【分析】本题主要考查了平行㦱的性质，解题时注意：两直线平行，内错角相等．解决问题的关键是过点P作平行线，构造内错角． （1）过点作，根据平行线的性质即可得到，，根据，即； （2）过点作，根据平行线的性质即可得到，，根据，可得； （3）根据（1）的方法，过点作，根据平行线的性质，可得，图2中根据，可得；图3中，根据，可得． 【详解】（1）解：如图1，过点作，   ， ， ， ， ， ； 故答案为：； （2）结论：， 证明：如图1，过点作， ， ， ， ， ， ； （3）不成立， 如图2； 理由：过点P作，   ， ， ， ， ， ， ②如图3： ， 理由：过点作，   ， ， ， ， ， 即； 综上，或． 40．（23-24七年级下·湖南怀化·期末）“怀化国际陆港”让怀化和世界更紧密，怀化国际陆港现已开拓了北部湾铁路联运、中老铁路、中越铁路、中缅铁路等4条国际物流大通道，为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯，如图1所示，灯A射线从开始顺时针旋转至便立即回转，灯B射线从开始顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是每秒2度，灯B转动的速度是每秒1度，假定主道路是平行的，即，且． (1)填空：______； (2)如图2，若灯B射线先转动29秒，灯A射线才开始转动，灯A射线与交于点，灯B射线与交于点，在灯B射线到达之前，设灯A转动t秒（），当时，求t的值． (3)如图3，若两灯同时转动，在灯A射线到达之前，若射出的光束交于点C，过C作交于点D，且，则在转动过程中，请探究与的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不变， 【分析】本题考查了平行线的性质，动点问题，找出角度之间的数量关系是解题关键． （1）根据平角的定义求解即可； （2）设灯A转动t秒（），则灯B转动秒，由题意得：，，根据平行线的性质，推出，进而列方程，求出t的值即可； （3）设灯射线转动时间为t秒，由题意得：，，进而得到，再根据平行线的性质，得出，从而得到，即可得出结论． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：； （2）解：设灯A转动t秒（），则灯B转动秒， 由题意得：，， ， ， ， ， ， 解得：， 即当时，求t的值为； （3）解：和关系不会变化，理由如下： 设灯射线转动时间为t秒， 由题意得：，， ， ， ，， ， ， ， ， ， 即， 和关系不会变化． ( 题型 10 )利用平行线的性质求角的度数 41．（23-24七年级下·湖南永州市冷水滩区杨村甸乡中学·期末）如图，已知，平分，交于点． (1)求证：； (2)若于点，，求的度数． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】此题主要考查了平行线的性质，熟记“两直线平行，内错角相等”及“两直线平行，同旁内角互补”是解题的关键． （1）由角平分线的定义得到，由可得，根据等量代换可得； （2）由垂直的定义得出，可得，由平行线的性质得出，根据角平分线的定义即可得解． 【详解】（1）证明：平分， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ． 43．（23-24七年级下·湖南邵阳·期末）如图，有一副三角板，和，，，，，在同一直线上． (1)如图1，与点重合．将绕点按顺时针方向进行旋转，当与首次平行，求此时的度数； (2)如图2，若点在边上（不与、重合），再将绕点按顺时针方向进行旋转（如图3），边交边于，当时，求边旋转的度数； (3)将从图2初始位置开始，绕点顺时针方向以每秒的速度进行旋转，当第一次与直线平行时停止运动．设运动时间为秒，当线段与的一条边平行，求满足条件的的值（请直接写出结果）． 【答案】(1) (2) (3)3或或12． 【分析】本题考查了平行线的性质，角度的相关计算知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题， (1)利用平行线的性质和角度和差关系求解即可； (2)过点F作，则，求得，即有，同理：，结合题意即可求得，利用旋转角为求解即可； (3)分3种情形分别画出图形，求出对应的旋转角度再除以10，可得结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）如图，过点F作， 则， ∵， ∴， ∴， 同理：， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴边旋转了． （3）如图：当时， ∵， ∴， 如图：当时， 则， ∴， 由（2）知 则 ∴， 当时， 则， ∵， ∴， 综上所述，满足条件的t的值为：3，或12． 44．（23-24七年级下·湖南岳阳·期末）如图1，小明将一个含的直角三角板（其中，）按图1所示放置，使得直角三角板的一边落在直线上．过顶点 P作直线，作直线，分别交直线，于点G，H．    (1)如图1， 求的度数为 °； (2)如图2，将直角三角板绕顶点 M逆时针旋转，旋转角为β，且，在旋转过程中，直线，位置保持不变，直线随着点P的运动位置发生变化． ①当点P在直线下方时，试猜想和的数量关系，并说明理由； ②当直角三角板的一边与直线平行时，求旋转角β的度数． (3)如图3，在（2）的条件下，已知直角三角板的旋转速度是每秒，旋转时间为t秒，作平分 ，作平分，当射线平分时， 求t的值． 【答案】(1) (2)①，证明见解析；②或 (3) 【分析】本题主要考查三角形的综合题，熟练掌握平行线的性质，三角形内角和等知识是解题的关键． （1）直接利用平行线的性质结合三角形内角和即可求解； （2）①设与交于点，由，可得，再利用补角和三角形内角和得出即可； ②由（1）可知，然后分情况讨论：当时；当时；当时；三种情况分别得出结论即可； （3）先找出满足题中给出条件时的图形，利用平分，平分，设，再利用平分和列式求出即可计算． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：①，理由如下： 如图所示，设与交于点，    ∵， ∴， ∵， ∴； ②由（1）可知，， 当时，如图所示，设与交于点，    ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 当时，如图所示，    ∵， ∴， ∴； 当时，（舍， 综上，或； （3）解：当点在直线下方时，如图，    此时在外部，故不存在平分， 当点在直线上方时，如图，    ∵平分，平分， ∴设， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴旋转角， ∴旋转时间． 45．（23-24七年级下·湖南树德初级中学·期末）综合与探究 在综合与实践课上，老师让同学们以“两条平行线和一副三角板的摆放”为主题展开活动．    (1)如图1，将两块三角板的一直角边重合，含有角的直角三角板的斜边与重合，含角的直角三角板的一个顶点在直线上，已知，求的度数． (2)如图2，在图1的基础上，直角三角板固定不动，让直角三角板绕着点逆时针方向旋转，使得点恰好在上，边与交于点，猜想与之间的数量关系，并说明理由． (3)在图1的基础上，如图3，仍然让直角三角板固定不动，直角三角板绕着点逆时针旋转（旋转度数小于），设边（或的延长线）与相交于点，当斜边与另一直角三角板的某一边平行时，直接写出（即）的度数． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，三角板中角度的计算； （1）过点作，则，，根据，进而根据平行线的性质，即可求解； （2）过点作，得出，根据，即可求解； （3）分三种情况讨论，分别画出图形，，，，根据平行线的性质即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点作，    ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴ ∴ （2），理由如下， 过点作，    ∵， ∴ ∴，， ∴ 即， ∵， ∴，即， ∴， ∴， （3）解：如图所示，当时，则    ∵ ∴ ∴ ∴； 当时，如图所示，延长交于点，过点作    ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴， 当时如图所示，    此时旋转度数大于，不合题意 综上所述，或 ( 题型 11 )平行线的判定与性质 46．（23-24七年级下·湖南树德初级中学·期末）如图，，为上一点，，且平分，过点作于点，且，则下列结论：①；② ；③平分；④平分． 其中正确结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】延长交于点I，根据角平分线的定义，直角三角形的两个锐角互余和平行线的性质即可解答． 此题考查了角平分线的定义和平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质． 【详解】解：延长交于点I， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得； 故①正确； ∴， 故②正确； ∵， ∴， 无法判定， 故③错误； ∵， ∴， 无法判定， 故④错误, 故选：B． 47．（23-24七年级下·湖南衡阳县井头中学·期末）如图，下列条件中，不能判断直线的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定，根据同位角相等，两直线平行、内错角相等，两直线平行、同旁内角互补，两直线平行，进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：∵， ∴，故A选项不符合题意； ∵， ∴，故C选项不符合题意； ∵， ∴，故D选项不符合题意； ∵， ∴不一定平行，故B选项符合题意， 故选：B． 48．（23-24七年级下·湖南湘西·期末）中国汉字博大精深，方块文字智慧灵秀，奥妙无穷．如图①所示的是一个“互”字，如图②所示的是由图①抽象的几何图形，其中，．点E，M，F在同一直线上，点G，N，H在同一直线上，且． (1)与平行吗？请说明理由； (2)试说明：． 【答案】(1)，见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键， （1）根据平行线的判定和性质即可证明； （2）根据平行线的性质结合邻补角的定义即可证明． 【详解】（1）解：．理由如下： 因为， 所以． 因为， 所以， 所以； （2）证明：如图，延长交于点． 因为， 所以． 因为， 所以， 所以． 因为， 所以． 49．（24-25七年级上·湖南衡阳·期末）填空：如图，，，，求的度数． 解：∵， ∴________，（两直线平行，同位角相等）． 又∵， ∴（等量代换）， ∴（________）， ∴________（两直线平行，同旁内角互补）． ∵， ∴________． 【答案】；内错角相等，两直线平行；；． 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，由，得到，从而得到，则，即可求解，掌握平行线的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴（两直线平行，同位角相等）， 又∵， ∴（等量代换）， ∴（内错角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，同旁内角互补）， ∵， ∴， 故答案为：；内错角相等，两直线平行；；． 50．（23-24七年级下·湖南邵阳·期末）如图，，点B在上（点B与点A不重合），点C在上（点C与点D不重合），． (1)那么吗？试说明理由． (2)若平行移动，保持；点E、F在上，且满足，平分．求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题考查平行线的判定与性质、角平分线的定义，（1）根据平行线的性质可得，再利用等量代换可得，由平行线的判定即可得证； （2）根据平行线的性质可得，再根据角平分线的定义可得，即可求解． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵，平分， ∴． 51．（23-24七年级下·湖南娄底·期末）（1）已知：如图1，直线，求证：； （2）如图2，如果点在与之内，线段的左侧，其它条件不变，这三个角之间有怎样的数量关系？并加以证明； （3）如图3，如果点在与之外，其他条件不变，请直接写出这三个角之间有怎样的数量关系． 【答案】（1）；（2），证明见解析；（3） 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定： （1）过点P作，则，由平行线的性质可得，再根据角的和差关系可得答案； （2）过点P作，则，同理可得，再根据平角的定义即可得到结论； （3）过P作，则，由平行线的性质可得， 再根据角的和差关系可得答案． 【详解】解：（1）如图所示，过点P作， ∵， ∴， ∴， ∴； （2），证明如下： 如图所示，过点P作， 同理可得， ∵， ∴， ∴； （3）过P作，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ( 题型 12 )垂直及计算 52．（23-24七年级下·湖南邵阳·期末）如图，直线，，若，则等于 ． 【答案】/59度 【分析】本题考查了垂线的定义，角度的计算，找出角度之间的数量关系是解题关键．由垂直可知，，再根据，即可求出的度数． 【详解】解：，， ， ， ， ， 故答案为：． 53．（23-24七年级下·湖南永州·期末）如图，直线与相交于点，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了垂线的定义，对顶角相等，先根据垂直的定义求出的度数，进而根据对顶角相等得出，即可求解． 【详解】解：∵ ∴ ∵ ∴， 故答案为：． 54．（23-24七年级下·湖南邵阳·期末）如图，，点D、E分别在线段，上，、分别与交于点M、N，若，，求证：（请完善解答过程，并在括号内填写相应的依据，请将答案按序号填在答卷相应的位置，符号“∵”表示“因为”，“．”表示“所以”） 证明：∵，（已知） 又∵，（①___________） ∴②_____（等量代换） ∴．（③____________） ∴④_____（两直线平行，同位角相等） ∵，（已知） ∴（⑤_____________） ∴⑥_____________（内错角相等，两直线平行） ∴．（⑦__________） ∵，（已知） ∴ ∴ ∴．（⑧______________） 【答案】①对顶角相等；②∠3；③同位角相等，两直线平行；④；⑤等量代换；⑥；⑦两直线平行，内错角相等；⑧垂直的定义 【分析】本题考查垂线的定义、对顶角相等、平行线的判定与性质，根据对顶角相等、平行线的判定与性质及垂线的定义进行证明即可． 【详解】解：证明如下： ∵，（已知） 又∵，（①对顶角相等）， ∴②（等量代换） ∴．（③同位角相等，两直线平行） ∴④（两直线平行，同位角相等） ∵，（已知） ∴（⑤等量代换） ∴⑥（内错角相等，两直线平行） ∴．（⑦两直线平行，内错角相等） ∵，（已知） ∴ ∴ ∴．⑧垂直的定义． 故答案为：①对顶角相等；②∠3；③同位角相等，两直线平行；④；⑤等量代换；⑥；⑦两直线平行，内错角相等；⑧垂直的定义． 55．（23-24七年级下·湖南株洲·期末）如图，直线相交于点O，，若，试求的度数． 【答案】 【分析】本题考查的是垂直的定义，对顶角的性质，先证明，结合，再进一步可得答案 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴ ( 题型 13 )垂线段最短 56．（23-24七年级下·湖南临湘市·期末）如图，计划把水渠中的水引到水池中，可过点作的垂线，然后沿开渠，则能使新开的渠道最短，这种设计方案的数学根据是 ． 【答案】垂线段最短 【分析】本题是垂线段最短在实际生活中的应用，过直线外一点作直线的垂线，这一点与垂足之间的线段就是垂线段，且垂线段最短．体现了数学的实际运用价值． 【详解】解：根据垂线段定理，连接直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短， ∴沿开渠，能使所开的渠道最短． 故答案为：垂线段最短． 57．（23-24七年级下·湖南娄底第二中学·期末）如图，直线表示一段河道，点表示村庄，现要从河向村庄引水，图中有四种方案，其中沿线段路线开挖的水渠长最短，理由是 ． 【答案】垂线段最短 【分析】本题考查垂线段最短，理解“从直线外一点，到直线上任意一点所引的线段中，垂直线段最短”是解题的关键．根据“垂线段最短”进行解答即可． 【详解】解：沿线段路线开挖的水渠长最短，理由是垂线段最短． 故答案为：垂线段最短． 58．（23-24七年级下·湖南邵阳·期末）俗话说“要想福先修路”，希望村计划在家乡河上建一座桥，如图所示的方案中，在处建桥最合适，理由是 ． 【答案】垂线段最短 【分析】本题考查垂线段的性质，根据垂线段的性质求解即可． 【详解】解：由图可得，， 在处建桥最合适，理由是垂线段最短， 故答案为：垂线段最短． 59．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）如图，体育老师在用皮尺测量跳远成绩时，皮尺要与起跳线垂直，这样做的依据是（    ） A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线 C．过一点有且只有一条直线与已知直线重直 D．垂线段最短 【答案】D 【分析】本题考查了垂线段最短，在所有连接直线外一点与直线上各点的线段中，垂线段最短，据此即可求解． 【详解】解：皮尺要与起跳线垂直，这样做的依据是垂线段最短 故选：D ． ( 题型 14 )两条平行线间的距离 60．（23-24七年级下·湖南岳阳·期末）在同一平面内，已知直线，，互相平行，直线与的距离是厘米，直线与的距离是厘米，那么直线与的距离是（    ） A．厘米 B．厘米 C．厘米或厘米 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题主要考查对平行线之间的距离的理解和掌握，能求出所有情况是解此题的关键．画出图形（1）（2），根据图形进行计算即可． 【详解】解：有两种情况，如图：    （1）直线与的距离是厘米； （2）直线与的距离是厘米； 故选：C 61．（23-24七年级下·湖南永州·期末）已知在同一平面内，直线，，互相平行，直线与之间的距离是，直线与之间的距离是，那么直线与的距离是 ． 【答案】或 【分析】本题考查平行线间的距离，分直线在直线之间，和直线在直线的外侧，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：当直线在直线之间时，直线与的距离是； 当直线在直线的外侧时，直线与的距离是； 故答案为：或． 62．（23-24七年级下·湖南益阳·期末）如图，，，且三角形的面积为，则点到直线的距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的面积，平行线之间的距离；先利用三角形的面积，求出其边上的高，再利用平行线间距离处处相等，得到C到的距离为． 【详解】解：如图，过作于， ∵三角形面积为，， ∴， ∴， ∵， ∴点到的距离是， 故答案为：． 63．（23-24七年级下·湖南岳阳·期末）如图， ， 的面积等于， ， ，则的面积是 . 【答案】 【分析】此题考查了平行线间的距离和三角形面积求法，过作于点，过作于点，根据平行线间的距离相等得出，最后由等底等高的三角形面积相等即可，解题的关键是熟练掌握平行线间的距离和等底等高的三角形面积相等． 【详解】如图，过作于点，过作于点， ∵， ∴， ∴，， ∵的面积等于，， ， ∴， ∴， 故答案为：． 一、单选题 1．（23-24七年级下·湖南娄底·期末）如图，两直线，点为之间的四点，则的度数之和为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，过点E、F、G、H、N分别作的平行线，则，根据两直线平行，同旁内角互补进行求解即可． 【详解】解：如图所示，过点E、F、G、H、N分别作的平行线， ∵， ∴， ∴，，，，， ∴ ， 故选：D． 2．（23-24七年级下·湖南株洲·期末）如图，若，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线的性质，注意掌握数形结合是解答此题的关键．首先过点作，由，可得，利用平行线的性质，即可求得与的度数，继而求得答案． 【详解】解：过点作， ， ，， ， 故选：D 二、填空题 3．（23-24七年级下·湖南湘潭·期末）如图中，，将沿边向右平移4个单位得到，则四边形的周长为 ． 【答案】18 【分析】本题考查了平移的性质，利用了对应边相等、对应点的距离等于平移距离求解即可． 【详解】∵将沿边向右平移4个单位得到， ∴，， ∴四边形的周长为， 故答案为：． 4．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）一杆古秤在称物体时的状态如图所示，已知，则的度数是 ． 【答案】/度 【分析】本题主要考查了平行线的性质，平角的定义，先根据两直线平行，内错角相等得到，再根据平角的定义求解即可． 【详解】解：如图所示，由题意得，， ∴， ∴， 故答案为：． 5．（23-24七年级下·湖南株洲·期末）折纸是一门古老而有趣的艺术，现代数学家们甚至为折纸建立了一套完整的“折纸几何学公理”．如图，小明在课余时间把一张长方形纸片沿折叠，，则 °． 【答案】 【分析】根据折叠的性质和平行线的性质，平角的定义解答即可．本题考查了折叠的性质和平行线的性质，平角的定义，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：根据折叠的性质，得， 故； 由长方形纸片， ∴， ∴， 故答案为：70． 6．（23-24七年级下·湖南岳阳市岳阳楼区·期末）如图，直线，点，位于直线上，点，位于直线上，且，如果的面积为，那么的面积为 ．    【答案】20 【分析】本题主要考查了平行线的性质，根据平行线间间距相等可得点C到与点B到的距离相等，设点C到与点B到的距离为h，则可得到，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴点C到与点B到的距离相等， 设点C到与点B到的距离为h， ∵， ∴， ∵的面积为， ∴的面积为20， 故答案为：20． 7．（23-24七年级下·湖南株洲·期末）如图，，平分，平分，且，下列结论∶①平分；②；③；④；⑤，其中结论正确的有 （填写序号）． 【答案】①②③④ 【分析】根据平行线的性质、角平分线定义和垂直的定义求出，然后对各个结论进行判断即可．本题考查了平行线的性质和判定，垂直定义，角平分线定义，能综合运用性质进行推理是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故③正确； ∴， ∴平分，， 故①④正确； ∵， ∴， 故②正确； 无法证明， 故答案为：①②③④． 三、解答题 8．（23-24七年级下·湖南邵阳·期末）如图，直线，D、A分别在、上，点E为两平行线内部一点． (1) 问题情境：如图1，探究的数量关系，并说明理由； 以下是小明的解题过程，请补充完整：（请完善解答过程，并在括号内填写相应的依据，请将答案按序号填在答卷相应的位置，符号“∵”表示“因为”，“∴”表示“所以”） 解：过点E作 ∵（已知） ∵ ∴①_______， ②_______（③_______） ∴ 即④_______． (2)问题迁移： （a）小明进一步思考么之间的数量关系，由于与与均互补，很容易得到之间的数量关系是：________．（只写结果，不需要证明） （b）如图2，一副直角三角板包括，其中，，（符号“”表示“三角形”）若按如图2摆放（点E、C、F、A在同一直线上），则________； (3)知识应用：如图3，若和的角平分线交于点F，且，直接利用前面的结论，求的度数． 【答案】(1)①；②；③两直线平行，内错角相等；④； (2)（a）；（b）； (3)． 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线定义等知识，解题的关键是： （1）过点E作，利用平行线的传递性可得出，利用平行线的性质可得出，，然后利用角的和差关系即可得出结论； （2）（a）过点E作，利用平行线的传递性可得出，利用平行线的性质可得出，，然后利用角的和差关系即可得出结论； （b）过F作，利用平行线的传递性可得出，利用平行线的性质可得出，，然后利用角的和差关系即可求解； （3）由（1）可知：，，结合已知条件可求，然后利用平角定义求出即可． 【详解】（1）解：过点E作 ∵（已知） ∴ ∴， （两直线平行，内错角相等） ∴ 即． 故答案为∶ ；；两直线平行，内错角相等；； （2）解：（a）过点E作 ∵（已知） ∴ ∴， ∴，即 故答案为：； （b）过F作， ∵ ∴ ∴， ∵ ∴ 故答案为：； （3）解：由（1）可知：， ∵ ∴ ∵和的角平分线交于点F ∴， ∴ ∵， ∴ ∴． 9．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）填空并完成以下证明： 已知：点在直线上，． 求证：． 证明：，（已知） ______．（______） ______．（______） 又，（已知） ， ______， ______（等式的性质） ．（______） ．（______） 【答案】；同旁内角互补，两直线平行；；两直线平行，内错角相等；；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等 【分析】本题主要考查平行线的判定与性质，解答的关键是熟记平行线的判定条件与性质并灵活运用． 由已知条件可得，则可得到，从而可证得，则有，得． 【详解】解：（已知）， （同旁内角互补，两直线平行）， （两直线平行，内错角相等）， 又（已知）， ， ， （等式的性质）， （内错角相等，两直线平行）， （两直线平行，内错角相等）． 故答案为：；同旁内角互补，两直线平行；；两直线平行，内错角相等；；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等． 10．（23-24七年级下·湖南张家界·期末）推理填空，如图，已知，试说明． 解：（已知）， __________（__________） __________（__________） 又（已知）， __________（__________） __________． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了平行线的判定、平行线的性质等知识点，掌握平行线的判定定理、性质定理成为解题的关键． 根据平行线的判定、性质定理逐步分析即可． 【详解】解：（已知）， （内错角相等，两直线平行）， （两直线平行，内错角相等）， 又（已知）， （等量代换）， （同位角相等，两直线平行）． 11．（23-24七年级下·湖南张家界·期末）如图，直线，点C是之间（不在直线上）的一个动点． (1)若与都是锐角，如图1，求证：． (2)把一块三角尺（）按如图2放置，点D，E，F是三角尺的边与平行线的交点，若，求的度数； (3)将图2中的三角尺进行适当转动，如图3，直角顶点C始终在两条平行线之间，点G在线段上，连接，且有，有的值不变，求出其不变的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)2 【分析】本题主要考查了平行线的性质、对顶角、三角板中的角度计算等知识点，作辅助线构造平行线是解题的关键． （1）如图1，过作，根据平行线的性质即可解答； （2）根据（1）中的结论可得，，再根据对顶角相等即可解答； （3）设，得到，再根据（1）中的结论可得，再根据对顶角相等即可得出，然后代入计算即可． 【详解】（1）解：如图1，过作， , ∴， ， ． （2）解：， ， 由（1）可得，， ， ． （3）解：设，则， 由（1）可得，， ， ， （定值），即的值不变，值为2． 12．（23-24七年级下·湖南株洲·期末）已知如图，，．    (1)试判断与的位置关系，并说明理由； (2)若于点D，若平分，，求的度数． 【答案】(1)，见解析 (2) 【分析】（1）根据，得，结合，得到，即可得到； （2）根据，得，结合平分，得到，结合，得到． 本题考查了平行线的判定和性质，角的平分线的定义，直角三角形的特征量，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：．理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 13．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）根据提示填空（或填上每步推理的依据） 如图，已知于，于，，．求证： ． 证明：∵，， ∴（______） ∴（__________________） ∴（______） ∵（已知） ∴________（______________） ∴（______） ∴______（两直线平行，同位角相等） ∵（已知） ∴______（等量代换） ∴（内错角相等，两直线平行） 【答案】垂直定义；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；，等量代换；内错角相等，两直线平行；；． 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，根据平行线的判定与性质即可求证，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． 【详解】证明：∵，， ∴（垂直定义） ∴（同位角相等，两直线平行） ∴（两直线平行，同位角相等） ∵（已知） ∴（等量代换） ∴（内错角相等，两直线平行） ∴（两直线平行，同位角相等） ∵（已知） ∴（等量代换） ∴（内错角相等，两直线平行）， 故答案为：垂直定义；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；，等量代换；内错角相等，两直线平行；；． 14．（23-24七年级下·湖南·期末）如图，点、在线段上，点在线段上，点在线段上，与的延长线交于点，，． (1)求证：； (2)若，且，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查的是平行线的判定与性质，二元一次方程组的解法应用，熟练的利用平行线的判定与性质证明角之间的关系是解本题的关键． （1）证明，可得，再证明，可得结论； （2）由，可得，，则，证明，可得，结合，从而可得结论 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：由（1）得，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 15．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）如图，已知，射线交于点F，交于点D，从D点引一条射线，若． 求证： 证明：∵（已知），且（   ）， ∴______（等量代换），∴______（____________）， ∴______（____________）， 又∵（已知）， ∴______（____________）， ∴． 【答案】对顶角相等，，，同位角相等，两直线平行；，，两直线平行，内错角相等 【分析】此题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．先证明，得到，证明，利用等量代换即可证明结论． 【详解】证明：∵（已知），且（对顶角相等）， ∴（等量代换）， ∴（同位角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，同旁内角互补）， 又∵（已知）， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∴． 故答案为：对顶角相等，，，同位角相等，两直线平行；，，两直线平行，内错角相等 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$