专题04 一元一次不等式（组）（8大考点经典基础练+优选提升练）（湖南专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年七年级数学下学期期末真题分类汇编

专题04 一元一次不等式（组） 题型概览 题型01不等式的基本性质 题型02求一元一次不等式的解集 题型03在数轴上表示一元一次不等式的解集 题型04求一元一次不等式的整数解 题型05求不等式组的解集 题型06不等式组的整数解 题型07由不等式组的解集求参数 题型08一元一次不等式（组）的实际应用 ( 题型01 ) 不等式的基本性质 1．（23-24七年级下·湖南衡阳·期末）若，则下列不等式中，不成立的是（  ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）我们定义表示不小于实数的最小整数，例如：．现给出下列结论： ①；②若，则；③若，则；④若，，则． 以上选项中，所有正确的序号是 ． 3．（23-24七年级下·湖南湘西·期末）商场种服装的标价高于种服装的标价，如果都打八折出售，那么还是种服装价格高．这体现下面哪个知识？（    ） A．不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变 B．不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变 C．不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向不变 D．不等式两边乘（或除以）同一个数，不等号的方向不变 4．（23-24七年级下·湖南益阳市资阳区·期末）已知，则下列四个不等式不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 5．（23-24七年级下·湖南长沙望城区·期末）由，得，则x的值可能是（    ） A．1 B． C．0 D． 6．（23-24七年级下·湖南永州市京华中学·期末）下列判断不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 ( 题型02 ) 求一元一次不等式的解集 7．（23-24七年级下·湖南长沙梅溪湖中学·期末）不等式的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 8．（23-24七年级下·湖南衡山县·期末）不等式的解集为 ． 9．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）已知关于x、y的方程组； (1)若方程组的解也是方程的一个解，求a的值； (2)若方程组的解满足， 求a的取值范围． 10．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）定义一种新运算“”：当时，；当时，． (1)计算：__________；___________． (2)解方程组：． (3)当整数，满足和时，有序数对恰好有对，求的值． 11．（23-24七年级下·湖南湘西·期末）在方程组中，若未知数，满足，则的取值范围为 ． 12．（23-24七年级下·湖南衡阳市船山实验中学·期末）定义新运算“”如下：当时，；当时，． (1)求的值． (2)若，求x的取值范围． ( 题型03 ) 在数轴上表示一元一次不等式的解集 13．（23-24七年级下·湖南衡山县·期末）如图，用不等式表示数轴上所示的解集，正确的是（    ） A．或 B．或 C． D． 14．（23-24七年级下·湖南浏阳市·期末）解不等式：，并把它的解集在数轴上表示出来． 15．（23-24七年级下·湖南湘西·期末）解不等式：，并把其解集在数轴上表示出来． ( 题型0 4 )求一元一次不等式的整数解 16．（23-24七年级下·湖南衡阳·期末）不等式的正整数解有（   ）个 A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 17．（23-24七年级下·湖南衡阳·期末）不等式的最大整数解是 ． 18．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）不等式的最小整数解为 ． 19．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）求不等式的非负整数解． ( 题型0 5 )求不等式组的解集 20．（23-24七年级下·湖南衡阳·期末）解不等式组并把解集在数轴上表示出来． 21．（23-24七年级下·湖南衡阳·期末）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 22．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）解一元一次不等式组：． 23．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）解不等式（组）： (1) (2) 24．（23-24七年级下·湖南常德·期末）（1）解不等式：； （2）解不等式组：． ( 题型0 6 )不等式组的整数解 25．（23-24七年级下·湖南永州市冷水滩区杨村甸乡中学·期末）解不等式组，并写出它的所有整数解． 26．（23-24七年级下·湖南长沙青竹湖湘外国语学校·期末）不等式组的整数解的和是 ． 27．（23-24七年级下·湖南衡阳县井头中学·期末）不等式组的所有整数解的和是 ． 28．（23-24七年级下·湖南长沙长郡芙蓉中学·期末）解不等式组：，并写出所有整数解． ( 题型0 7 )由不等式组的解集求参数 29．（23-24七年级下·湖南衡阳市第三中学·期末）不等式组无解，则m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 30．（23-24七年级下·湖南永州市冷水滩区高齐市中学·期末）若关于x的不等式组的解集为，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 31．（23-24七年级下·湖南澧县·期末）若关于的不等式组有且仅有两个整数解，则的取值范围为 ． 32．（23-24七年级下·湖南长沙梅溪湖中学·期末）关于x的不等式组恰有三个整数解，则m的取值范围是 ． 33．（23-24七年级下·湖南衡阳·期末）若不等式组有解，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 34．（23-24七年级下·湖南衡南县·期末）定义：给定两个不等式组P和Q，若不等式组P的任意一个解，都是不等式组Q的一个解，则称不等式组P为不等式组Q的“子集”．例如：不等式组：是的子集． (1)若不等式组：，，则其中不等式组________是不等式组的“子集”（填A或B）； (2)若关于x的不等式组是不等式组的“子集”，则a的取值范围是________； (3)已知a，b，c，d为互不相等的整数．其中，，下列三个不等式组：，，满足：A是B的“子集”且B是C的“子集”，则的值为________． (4)已知不等式组有解，且是不等式组M的“子集”，请分别写出m、n满足的条件：________． ( 题型0 8 )一元一次不等式（组）的实际应用 35．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）为了加强对校内外安全监控，创建平安校园，某学校计划增加15台监控摄像设备，现有甲、乙两种型号的设备，其中每台价格，有效监控半径如表所示，经调查，购买1台甲型设备比购买1台乙型设备多150元，购买2台甲型设备比购买3台乙型设备少400元． 甲型 乙型 价格（元/台） a b 有效半径（米/台） 150 100 (1)求a、b的值． (2)若购买该批设备的资金不超过11000元，且两种型号的设备均要至少买一台，学校有哪几种购买方案？ (3)在（2）问的条件下，若要求监控半径覆盖范围不低于1600米，为了节约资金，请你设计一种最省钱的购买方案． 36．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）总书记曾指出“保护生态环境就是保护生产力，改善生态环境就是发展生产力”，我市自践行科学生态观以来，全市生态环境持续优化．已知去年我市空气质量良好（二级以上）的天数与全年天数（365）之比达到，如果明年（365天）这样的比值要超过，那么明年空气质量良好的天数比去年至少要增加多少？ 37．（23-24七年级下·湖南衡阳·期末）为建设“秀美幸福之市”，我市绿化提质改造工程正如火如荼地进行，某施工队计划购买甲、乙两种树苗共400棵，对外环路的某标段道路进行绿化改造，已知甲种树苗每棵200元，乙种树苗每棵300元． (1)若购买两种树苗的总金额为90000元，求需购买甲种树苗多少棵? (2)若购买甲种树苗的金额不少于购买乙种树苗的金额，至少应购买甲种树苗多少棵？ 38．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）新能源汽车因其环保、节能，被越来越多的家庭所喜爱，老宁车行销售甲、乙两种型号的新能源汽车，十月的第一周售出3辆甲型车和2辆乙型车，销售额为98万元；第二周售出5辆甲型车和4辆乙型车，销售额为174万元． (1)求每辆甲型车和乙型车的售价各为多少万元？ (2)湖湘科技发展有限公司准备向老宁车行购买甲、乙两种型号的新能源汽车共12辆，其购车费用不少于216万元，且不超过225万元，问有哪几种购车方案？ 39．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）下面是某数学兴趣小组探究用方程解决实际问题的讨论片段，请仔细阅读，并解决相应的问题．如图是练习册上的一道例题，墨水覆盖了条件的一部分． 排球是体育中考的一个重要项目，某中学为此专门开设了“排球大课间活动”，学校现决定购买种品牌的排球25个，种品牌的排球50个，共花费4500元，已知，求、两种品牌排球的单价． [情境引入] 小明通过查看例题的解析发现：“设种品牌排球的单价为元，则列出一元一次方程： ”． （1）根据题意，例题中被覆盖的条件是___________（填序号）． ①种品牌排球的单价比种品牌排球的单价低30元； ②种品牌排球的单价比种品牌排球的单价高30元． [迁移类比] （2）小军看了解析后，认为用二元一次方程组求解也非常方便，请你列出方程组并求、两种品牌排球的单价． [拓展探究] （3）老师在例题的条件下，增设了一个问题：根据需要，学校决定再次购进、两种品牌的排球共50个，总费用不超过3250元，且购买种品牌的排球不少于23个，学校共有哪几种购买方案？ 一、单选题 1．（23-24七年级下·湖南衡阳·期末）若关于的不等式有三个正整数解，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）关于x，y的方程组  的解满足，则k 的取值范围是（  ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）若，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）若，则下列各式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24七年级下·湖南永州市冷水滩区杨村甸乡中学·期末）如果，那么下列正确的是（  ） A． B． C． D． 6．（23-24七年级下·湖南湘西·期末）若不等式组的解集为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、解答题 7．（23-24七年级下·湖南衡阳·期末）某中学开学初到商场购买、两种品牌的足球，购买种品牌的足球个，种品牌的足球个，共花费元，已知购买一个种品牌的足球比购买一个钟品牌的足球多花元． (1)求购买一个种品牌、一个种品牌的足球各需多少元． (2)学校为了响应习总书记“足球进校园”的号召，决定再次购进、两种品牌足球共个，正好赶上商场对商品价格进行调整，品牌足球售价比第一次购买时提高元，品牌足球按第一次购买时售价的折出售，如果学校此次购买、两种品牌足球的总费用不超过第一次花费的%，且保证这次购买的种品牌足球不少于个，则这次学校有哪几种购买方案？ (3)请你求出学校在第二次购买活动中最多需要多少资金？ 8．（23-24七年级下·湖南衡阳·期末）已知关于x、y的方程组，且满足的值大于且小于2，求m的取值范围． 9．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）已知关于x、y的二元一次方程． (1)若和都是二元一次方程的解，求的值； (2)①若，，，求二元一次方程的整数解； ②当a每取一个值，都可得到一个方程，若，，求这些方程的公共解； (3)当，且是二元一次方程的解时，若也是方程的解，其中m、n满足且，求t的取值范围． 10．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）如果两个不等式存在公共解，那么称这两个不等式互为“友好不等式”． (1)在不等式①，②，③中，与不等式互为“友好不等式”的是________；（填序号） (2)若关于的不等式与不是“友好不等式”，求的取值范围； (3)若，关于的不等式与不等式互为“友好不等式”，求的取值范围． 11．（23-24七年级下·湖南衡阳·期末）衡阳市某商场准备购进A、B两种类型的便携式风扇出售．已知2台A型风扇和5台B型风扇进价共100元，3台A型风扇和2台B型风扇进价共62元． (1)求A型风扇、B型风扇进货的单价各是多少元？ (2)商场准备购进这两种风扇共100台，根据市场调查发现，A型风扇销售情况比B型风扇好，商场准备多购进A型风扇，但数量不超过B型风扇数量的3倍，购进A、B两种风扇的总金额不超过1170元．根据以上信息，商场共有几种进货方案？ (3)在（2）中哪种进货方案的费用最低？最低费用为多少元？ 12．（23-24七年级下·湖南衡阳·期末）已知方程组中x为非正数，y为负数． (1)求a的取值范围； (2)化简：； (3)在（1）的范围中，当a为何整数时，不等式的解集为 13．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）我们约定：若一元一次方程的解在一元一次不等式组的解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“包含方程”．例如：方程的解为，而不等式组 的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组 的“包含方程”．请根据约定，解答下列问题． (1)在一元一次方程；；中，不等式组 的“包含方程”是 （填序号）； (2)若关于 x 的方程 是不等式组 的“包含方程”，求k 的取值范围； (3)若关于x 的方程 是关于 x 的不等式组 的“包含方程”，且此时该不等式组恰好有7个整数解，试求 m 的取值范围． 14．（23-24七年级下·湖南长沙华益中学·期末）解不等式组并把它的解集在数轴上表示出来． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 一元一次不等式（组） 题型概览 题型01不等式的基本性质 题型02求一元一次不等式的解集 题型03在数轴上表示一元一次不等式的解集 题型04求一元一次不等式的整数解 题型05求不等式组的解集 题型06不等式组的整数解 题型07由不等式组的解集求参数 题型08一元一次不等式（组）的实际应用 ( 题型01 ) 不等式的基本性质 1．（23-24七年级下·湖南衡阳·期末）若，则下列不等式中，不成立的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查不等式的性质，掌握不等式的性质是解题的关键． 直接利用不等式的性质逐一判断即可． 【详解】解：， A、，故原不等式成立，不符合题意； B、，故原不等式成立，不符合题意； C、，故原不等式成立，不符合题意； D、，故原不等式不成立，符合题意， 故选：D． 2．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）我们定义表示不小于实数的最小整数，例如：．现给出下列结论： ①；②若，则；③若，则；④若，，则． 以上选项中，所有正确的序号是 ． 【答案】①③④ 【分析】本题考查了新定义，不等式的性质 ，理解新定义得出不等式是解题的关键． 根据表示不少于实数必的最小整数，即可解答． 【详解】根据定义表示不少于实数的最小整数，可得①结论正确； 若，根据的意义，得，结论②错误； 若，则，结论③正确； 当，时，有，，，或6，结论④是正确． 综上所述：①③④正确． 故答案为：①③④． 3．（23-24七年级下·湖南湘西·期末）商场种服装的标价高于种服装的标价，如果都打八折出售，那么还是种服装价格高．这体现下面哪个知识？（    ） A．不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变 B．不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变 C．不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向不变 D．不等式两边乘（或除以）同一个数，不等号的方向不变 【答案】B 【分析】本题考查了不等式的性质，熟记不等式的性质是解题的关键．根据题意得，打八折出售，得到，即可求解． 【详解】解：商场种服装的标价高于种服装的标价， ， 都打八折出售，那么还是种服装价格高， ， 又， 不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变， 故选：B． 4．（23-24七年级下·湖南益阳市资阳区·期末）已知，则下列四个不等式不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查不等式的性质，根据不等式的性质逐一进行判断即可． 【详解】解：A．当时，，故此选项符合题意； B．不等式的两边同时除以一个正数（），不等号的方向不变，即，故此选项不符合题意； C．不等式的两边同时乘，不等号的方向改变，即，故此选项不符合题意； D．不等式的两边同时减去2，不等号的方向不变，即，故此选项不符合题意． 故选：A． 5．（23-24七年级下·湖南长沙望城区·期末）由，得，则x的值可能是（    ） A．1 B． C．0 D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的性质，解题的关键是掌握不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号方向改变，据此即可解答． 【详解】解：∵由，得， ∴，只有D选项是负数， 故选：D． 6．（23-24七年级下·湖南永州市京华中学·期末）下列判断不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】本题主要考查不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．根据不等式的性质即可得到答案． 【详解】解：若，则，故选项A正确； 若，则，故选项B正确； 若，则，故选项C 不正确； 若，则，故选项D正确． 故选C． ( 题型02 ) 求一元一次不等式的解集 7．（23-24七年级下·湖南长沙梅溪湖中学·期末）不等式的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了解一元一次不等式，以及在数轴上表示不等式的解集．把的系数化为1，再在数轴上表示出来即可． 【详解】解：不等式， 系数化为1得：， 解集表示在数轴上，如图所示： 故选：B． 8．（23-24七年级下·湖南衡山县·期末）不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】此题考查了求一元一次不等式的解集，系数化为1即可得到答案． 【详解】解： 系数化为1得， 故答案为：． 9．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）已知关于x、y的方程组； (1)若方程组的解也是方程的一个解，求a的值； (2)若方程组的解满足， 求a的取值范围． 【答案】(1)2 (2) 【分析】本题考查二元一次方程的解、解二元一次方程组、解一元一次不等式； （1）利用加减消元法求得，再代入求解即可； （2）由（1）得，是原方程组的解，代入，求解即可． 【详解】（1）解：， 由得，， 解得， 把代入①得，， 解得， ∴是原方程组的解， ∵是的一个解， 把代入得，， 解得； （2）解：由（1）得，是原方程组的解， ∵方程组的解满足， ∴， 解得． 10．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）定义一种新运算“”：当时，；当时，． (1)计算：__________；___________． (2)解方程组：． (3)当整数，满足和时，有序数对恰好有对，求的值． 【答案】(1)； (2) (3)满足题意的不存在 【分析】本题考查了新定义运算，二元一次方程组，一元一次不等式的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据新定义运算将式子化为加减运算，从而计算即可． （2）分和两种情况，再根据新定义运算将式子化为普通的二元一次方程，从而解方程组，判断所得结果是否分别满足和两种情况即可，即可求解． （3）分和两种情况，再根据新定义运算和可分别得到二元一次方程不等式组，解得的结果分情况判断其整数对的个数即可． 【详解】（1）解：∵，当时，， ∴， ∵，当时，， ∴， 故答案为，． （2）①当时，原方程组化为：， 解得：满足，符合题意．             ②当时，原方程组化为：， 解得：，不满足时，舍去． 综上所述：原方程组的解为． （3）①当时，由可得：， 又由知：， ， 解得：有无数整数解，不符合题意．     ②当时，由可得：， 又由知：， ， 解得：，                                整数对有对， 有个整数值，为，，， ，解得，                 ，都是整数，且， 也是整数， ．                                      故当时，符合题意； 但当时，若，则由①可知：， 得，且，整数对 有无数对，故不符合题意． 综上所述：满足题意的不存在． 11．（23-24七年级下·湖南湘西·期末）在方程组中，若未知数，满足，则的取值范围为 ． 【答案】/ 【分析】题考查解二元一次方程组和一元一次不等式．将两方程相加可得，由得到关于的不等式，解之即可． 【详解】解： 得： ， ， ， ， ， 解得：， 故答案为：． 12．（23-24七年级下·湖南衡阳市船山实验中学·期末）定义新运算“”如下：当时，；当时，． (1)求的值． (2)若，求x的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题是新定义题，考查实数运算和解一元一次不等式，读懂定义和运用分类讨论思想是解题的关键． （1）可判断出，因此可用运算即可； （2）无法直接判断4和的大小，因此利用新定义分情况讨论． 【详解】（1）解：由题意知， ， ； （2）， 当，即时 ， 解得， ； 当，即时 解得， ， 综上所述：x的取值范围是． ( 题型03 ) 在数轴上表示一元一次不等式的解集 13．（23-24七年级下·湖南衡山县·期末）如图，用不等式表示数轴上所示的解集，正确的是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，根据数轴表示解集的规律即可求解，熟练掌握数轴表示解集的规律是解题的关键． 【详解】解：根据数轴得：， 故选D． 14．（23-24七年级下·湖南浏阳市·期末）解不等式：，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】，在数轴上表示见解析 【分析】本题考查一元一次不等式的解法，在数轴上表示不等式的解集， 根据一元一次不等式的解法，去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1即可得解，然后在数轴上表示出来即可． 【详解】 去分母得， 去括号得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得，， 在数轴上表示如图： 15．（23-24七年级下·湖南湘西·期末）解不等式：，并把其解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴表示见解析 【分析】本题主要考查了解不等式、在数轴上表示解集等知识点，正确求得不等式的解集成为解题的关键． 先求出不等式的解集，然后在数轴上表示出来即可． 【详解】解：， ， ， ， ， 在数轴上表示如下： ( 题型0 4 )求一元一次不等式的整数解 16．（23-24七年级下·湖南衡阳·期末）不等式的正整数解有（   ）个 A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】A 【分析】本题考查的是解一元一次不等式，解答本题的关键是掌握好解一元一次不等式的一般步骤：去分母，移项，合并同类项，系数化为1．注意系数化为1时，若未知数系数为负，不等号的方向要改变．先去分母，再移项，系数化为1，即可得到不等式的解集，从而得到正整数解． 【详解】解：， ∴， ∴， 解得：， ∴不等式的正整数解有，，，共3个； 故选A 17．（23-24七年级下·湖南衡阳·期末）不等式的最大整数解是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求不等式的最大整数解，按照移项，系数化为1的步骤求出不等式的解集，进而求出其最大整数解即可． 【详解】解： 移项得：， 系数化为1得：， ∴原不等式的最大整数解是， 故答案为：． 18．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）不等式的最小整数解为 ． 【答案】 【分析】本题考查解不等式、确定最大整数解等知识点，正确求解不等式是解题的关键．先解不等式求出不等式的解集，然后确定最大整数解即可得答案． 【详解】解： 去括号得：， 移项、合并同类项得：， 解得：， ∴不等式的最小整数解为， 故答案为： 19．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）求不等式的非负整数解． 【答案】不等式的非负整数解为0或1 【分析】本题考查了一元一次不等式的解法，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解答本题的关键．按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求出不等式的解集，然后找出其中的非负整数解即可． 【详解】， 去分母得， 去括号得， 移项合并得， 解得． 原不等式的非负整数解为：或1． ( 题型0 5 )求不等式组的解集 20．（23-24七年级下·湖南衡阳·期末）解不等式组并把解集在数轴上表示出来． 【答案】数轴见解析， 【分析】本题考查解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解题关键．先解出每个不等式的解集，再取公共解集，最后在数轴上表示出来即可． 【详解】解：， 解不等式： ， 解不等式： ， 在数轴上表示为： 不等式组的解集为． 21．（23-24七年级下·湖南衡阳·期末）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】，见解析 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集等知识点，正确求出不等式组的解集是解题的关键． 首先分别解两个不等式，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”的原则确定该不等式组的解集，然后把解集在数轴上表示出来即可． 【详解】解：， 解不等式①，可得： ， 解不等式②，可得 ：， 该不等式组的解集为： ， 将该解集在数轴上表示出来，如下图所示： 22．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）解一元一次不等式组：． 【答案】 【分析】本题主要考查解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解题的关键．将每一个不等式的取值先计算出来，再联立起来即可． 【详解】解： 解不等式①，得， 解不等式②，得， 所以该不等式组的解集为. 23．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）解不等式（组）： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解一元一次不等式和不等式组． （1）先去分母，再去括号整理，移项，合并同类项，系数化为1即可； （2）分别求解两个不等式，再找到其解集的公共部分即可． 【详解】（1）解： （2）解： 解可得， 解可得， ∴不等式组的解集为 24．（23-24七年级下·湖南常德·期末）（1）解不等式：； （2）解不等式组：． 【答案】（1）；（2） 【分析】此题考查了以及解一元一次不等式组及求不等式的解集，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）根据去分母、去括号，移项合并同类项、系数化为1，计算求解即可； （2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可． 【详解】解：（1） 去分母得：， 去括号得：， 移项、合并同类项得： 系数化为1得：； （2）， 由得：， 由得：， 则不等式组的解集为． ( 题型0 6 )不等式组的整数解 25．（23-24七年级下·湖南永州市冷水滩区杨村甸乡中学·期末）解不等式组，并写出它的所有整数解． 【答案】，整数解为0，1，2，3． 【分析】本题考查一元一次不等式组的整数解，解一元一次不等式组等知识，解题的关键是掌握解不等式组的方法．求出各个不等式的解集，再寻找解集的公共部分即可． 【详解】解：， 由①得，， ， 由②得，， ， ， ， 不等式组的整数解为0，1，2，3． 26．（23-24七年级下·湖南长沙青竹湖湘外国语学校·期末）不等式组的整数解的和是 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了求不等式组的解集及其最大整数解，正确求出不等式组的解集是解题的关键． 分别求出两个不等式的解集，然后再求出不等式组的解集，即可求出整数解，进而求出所有的整数解的和． 【详解】解：由，得：； 由，得：， 不等式组的解集为：； 整数解是、、、、， 整数解之和为． 故答案为：5． 27．（23-24七年级下·湖南衡阳县井头中学·期末）不等式组的所有整数解的和是 ． 【答案】7 【分析】先分别解不等式组中的两个不等式，得到不等式组的解集，再确定整数解，最后求和即可． 【详解】解：， 由①得：， ∴， 解得：； 由②得：， 整理得：， 解得：， ∴不等式组的解集为：， ∴不等式组的整数解为：，，0，1，2，3，4； ∴， 故答案为：7 【点睛】本题考查的是求解一元一次不等式组的整数解，熟悉解一元一次不等式组的方法与步骤是解本题的关键． 28．（23-24七年级下·湖南长沙长郡芙蓉中学·期末）解不等式组：，并写出所有整数解． 【答案】1＜x≤4；整数解为2，3，4 【分析】根据解一元一次不等式组的方法，分别求解，再根据“大取大小取小、大小小大中间找、大大小小无解了”得出解集． 【详解】解： 解不等式得：， 解不等式得：， 不等式组的解集为， 不等式组的所有整数解为，，． 【点睛】本题考查一元一次不等式组的解法，掌握不等式组解集的取法“大取大小取小、大小小大中间找、大大小小无解了”是解决问题的关键． ( 题型0 7 )由不等式组的解集求参数 29．（23-24七年级下·湖南衡阳市第三中学·期末）不等式组无解，则m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法．先求出两个不等式的解集，根据已知即可得出关于的不等式，求出不等式的解集即可． 【详解】解：解不等式得，， 解不等式得，， 不等式组无解， ， ． 故选：B． 30．（23-24七年级下·湖南永州市冷水滩区高齐市中学·期末）若关于x的不等式组的解集为，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别求出各不等式的解集，再根据不等式组的解集是求出a的取值范围即可． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵关于的不等式组的解集为， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 31．（23-24七年级下·湖南澧县·期末）若关于的不等式组有且仅有两个整数解，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是由一元一次不等式组的解集求参数，解题关键是熟练掌握由一元一次不等式组的解集求参数的方法． 根据题意得到不等式组的两整数解后即可推出的取值范围． 【详解】解：依题得：有且仅有两个整数解， 则整数解为，， ． 故答案为：． 32．（23-24七年级下·湖南长沙梅溪湖中学·期末）关于x的不等式组恰有三个整数解，则m的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查解不等式组，可先用表示出不等式组的解集，再根据恰有三个整数解可得到关于的不等式组，可求得的取值范围．求得不等式组的解集是解题的关键． 【详解】解： 解不等式①可得， 解不等式②可得， 由题意可知原不等式组有解， 原不等式组的解集为， 该不等式组恰好有三个整数解， 整数解为1，2，3， ． 故答案为：． 33．（23-24七年级下·湖南衡阳·期末）若不等式组有解，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了不等式组的求解，已知不等式的解集求参数，根据不等式有解即可解答． 【详解】解：不等式组有解， ， 故选：A． 34．（23-24七年级下·湖南衡南县·期末）定义：给定两个不等式组P和Q，若不等式组P的任意一个解，都是不等式组Q的一个解，则称不等式组P为不等式组Q的“子集”．例如：不等式组：是的子集． (1)若不等式组：，，则其中不等式组________是不等式组的“子集”（填A或B）； (2)若关于x的不等式组是不等式组的“子集”，则a的取值范围是________； (3)已知a，b，c，d为互不相等的整数．其中，，下列三个不等式组：，，满足：A是B的“子集”且B是C的“子集”，则的值为________． (4)已知不等式组有解，且是不等式组M的“子集”，请分别写出m、n满足的条件：________． 【答案】(1)A (2) (3) (4) 【分析】本题考查解一元一次不等式组以及定义运算，读懂题干“子集”的定义以及能求出不等式组的解集是解答此题的关键． （1）根据题意求出不等式组A与B的解集，进而利用题中的新定义判断即可； （2）由题意根据“子集”的定义确定出a的范围即可； （3）由题意根据“子集”的定义得到，再根据a、b、c、d都是整数确定出各自的值，代入原式计算即可求出值； （4）由题意根据“子集”的定义确定出所求即可． 【详解】（1）解：A：的解集为，B：的解集为，M：的解集为， ∴不等式组A是不等式组M的子集，不等式组B不是不等式组M的子集， 故答案为：A； （2）解：不等式组的解集为， ∵关于x的不等式组是不等式组的“子集”， ∴， 故答案为：； （3）解：∵a，b，c，d为互不相等的整数，其中， ∵A：，B：，C：满足：A是B的“子集”且B是C的“子集”， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （4）解：解不等式组M：得：， ∵不等式组M有解， ∴， ∵N：是不等式组的“子集”， ∴，， ∴， 故答案为：． ( 题型0 8 )一元一次不等式（组）的实际应用 35．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）为了加强对校内外安全监控，创建平安校园，某学校计划增加15台监控摄像设备，现有甲、乙两种型号的设备，其中每台价格，有效监控半径如表所示，经调查，购买1台甲型设备比购买1台乙型设备多150元，购买2台甲型设备比购买3台乙型设备少400元． 甲型 乙型 价格（元/台） a b 有效半径（米/台） 150 100 (1)求a、b的值． (2)若购买该批设备的资金不超过11000元，且两种型号的设备均要至少买一台，学校有哪几种购买方案？ (3)在（2）问的条件下，若要求监控半径覆盖范围不低于1600米，为了节约资金，请你设计一种最省钱的购买方案． 【答案】(1) (2)学校有三种购买方案：方案一：购买甲型设备1台，购买乙型设备台方案二：购买甲型设备2台，购买乙型设备台；方案三：购买甲型设备3台，购买乙型设备台； (3)购买甲型设备2台，购买乙型设备台最省钱 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用； （1）根据“购买1台甲型设备比购买1台乙型设备多150元，购买2台甲型设备比购买3台乙型设备少400元”列方程组，求解即可； （2）设购买甲型设备x台，则购买乙型设备台，根据“购买该批设备的资金不超过11000元”列不等式，求出不等式的正整数解即可得出答案； （3）首先分别计算出三种方案的监控半径覆盖范围是否满足要求，再计算所需资金，进行比较即可． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得：； （2）设购买甲型设备x台，则购买乙型设备台， 由题意得：， 解得：， ∵两种型号的设备均要至少买一台， ∴，2，3， ∴学校有三种购买方案： 方案一：购买甲型设备1台，购买乙型设备台； 方案二：购买甲型设备2台，购买乙型设备台； 方案三：购买甲型设备3台，购买乙型设备台； （3）方案一的监控半径覆盖范围为：，不满足要求； 方案二的监控半径覆盖范围为：，满足要求， 此时购买设备所需资金为（元）； 方案三的监控半径覆盖范围为：，满足要求， 此时购买设备所需资金为（元）； ∵， ∴方案二：购买甲型设备2台，购买乙型设备台最省钱． 36．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）总书记曾指出“保护生态环境就是保护生产力，改善生态环境就是发展生产力”，我市自践行科学生态观以来，全市生态环境持续优化．已知去年我市空气质量良好（二级以上）的天数与全年天数（365）之比达到，如果明年（365天）这样的比值要超过，那么明年空气质量良好的天数比去年至少要增加多少？ 【答案】37天 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用，正确列出不等式是解题关键． 根据题意表示出明年空气质量良好的天数比去年要增加的天数进而得出不等式求出答案． 【详解】解：设明年空气质量良好的天数比去年要增加天，根据题意可得： ， 解得：， 为整数， ， 答：明年空气质量良好的天数比去年至少要增加37天． 37．（23-24七年级下·湖南衡阳·期末）为建设“秀美幸福之市”，我市绿化提质改造工程正如火如荼地进行，某施工队计划购买甲、乙两种树苗共400棵，对外环路的某标段道路进行绿化改造，已知甲种树苗每棵200元，乙种树苗每棵300元． (1)若购买两种树苗的总金额为90000元，求需购买甲种树苗多少棵? (2)若购买甲种树苗的金额不少于购买乙种树苗的金额，至少应购买甲种树苗多少棵？ 【答案】(1)购买甲种树苗300棵 (2)至少应购买甲种树苗240棵 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、一元一次不等式的应用，理解题意，正确列出方程和不等式是解此题的关键． （1）设购买甲种树苗棵，则购买乙种树苗棵，根据“购买两种树苗的总金额为90000元”列出一元一次方程，解方程即可得出答案； （2）设应购买甲种树苗棵，则购买乙种树苗棵，根据“购买甲种树苗的金额不少于购买乙种树苗的金额”列出一元一次不等式，解不等式即可得出答案． 【详解】（1）解：设购买甲种树苗棵，则购买乙种树苗棵， 由题意，得， 解得：．     答：购买甲种树苗300棵． （2）解：设应购买甲种树苗棵，则购买乙种树苗棵， 由题意，得， 解得：． 答：至少应购买甲种树苗240棵． 38．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）新能源汽车因其环保、节能，被越来越多的家庭所喜爱，老宁车行销售甲、乙两种型号的新能源汽车，十月的第一周售出3辆甲型车和2辆乙型车，销售额为98万元；第二周售出5辆甲型车和4辆乙型车，销售额为174万元． (1)求每辆甲型车和乙型车的售价各为多少万元？ (2)湖湘科技发展有限公司准备向老宁车行购买甲、乙两种型号的新能源汽车共12辆，其购车费用不少于216万元，且不超过225万元，问有哪几种购车方案？ 【答案】(1)每辆甲型车的售价为22万元，每辆乙型车的售价为16万元 (2)两种购车方案：方案一：购买甲型车4辆，购买乙型车8辆；方案二：购买甲型车5辆，购买乙型车7辆 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及一元一次不等式的应用： （1）设每辆甲型车的售价为x万元，每辆乙型车的售价为y万元，根据“第一周售出3辆甲型车和2辆乙型车，销售额为98万元；第二周售出5辆甲型车和4辆乙型车，销售额为174万元”列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买甲型车a辆，则购买乙型车为辆，根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可求解． 【详解】（1）解：设每辆甲型车的售价为x万元，每辆乙型车的售价为y万元，根据题意得： 解得：， 答：每辆甲型车的售价为22万元，每辆乙型车的售价为16万元； （2）解：设购买甲型车a辆，则购买乙型车为辆，依题意得： ， 解得： ∵a为正整数， ∴a取4或5． ∴有两种购车方案： 方案一：购买甲型车4辆，购买乙型车8辆； 方案二：购买甲型车5辆，购买乙型车7辆． 39．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）下面是某数学兴趣小组探究用方程解决实际问题的讨论片段，请仔细阅读，并解决相应的问题．如图是练习册上的一道例题，墨水覆盖了条件的一部分． 排球是体育中考的一个重要项目，某中学为此专门开设了“排球大课间活动”，学校现决定购买种品牌的排球25个，种品牌的排球50个，共花费4500元，已知，求、两种品牌排球的单价． [情境引入] 小明通过查看例题的解析发现：“设种品牌排球的单价为元，则列出一元一次方程： ”． （1）根据题意，例题中被覆盖的条件是___________（填序号）． ①种品牌排球的单价比种品牌排球的单价低30元； ②种品牌排球的单价比种品牌排球的单价高30元． [迁移类比] （2）小军看了解析后，认为用二元一次方程组求解也非常方便，请你列出方程组并求、两种品牌排球的单价． [拓展探究] （3）老师在例题的条件下，增设了一个问题：根据需要，学校决定再次购进、两种品牌的排球共50个，总费用不超过3250元，且购买种品牌的排球不少于23个，学校共有哪几种购买方案？ 【答案】（1）②  （2）种品牌排球的单价为80元．种品牌排球的单价为50元   （3）共有3种购买方案，方案1：购买种品牌的排球23个，种品牌的排球27个；方案2：购买种品牌的排球24个，种品牌的排球26个；方案3：购买种品牌的排球25个，种品牌的排球25个． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用， （1）根据所列方程得到题意； （2）设A种品牌足球的单价是x元，B种品牌足球的单价是y元，根据“购买A种品牌的足球个，B种品牌的足球个，共花费元；A种品牌足球的单价比B种品牌足球的单价高元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （3）设购买种品牌的排球个，则购买种品牌的排球个，，根据“购买、两种品牌足球的总费用不超过元，且购买种品牌的足球不少于个”，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，结合为正整数，即可得出共有种购买方案，再求出各方案所需总费用，比较后即可得出结论． 【详解】解：（1）根据方程可知，表示的是品牌足球的单价， ∵种品牌足球的单价比种品牌足球的单价高元， ∴例题中被覆盖的条件是②， 故答案为：②；                                （2）根据题意得             解得                                  答：种品牌排球的单价为80元．种品牌排球的单价为50元； （3）解：设购买种品牌的排球个，则购买种品牌的排球个， 依题意得：          解得：，                         又为正整数， 可以为23，24，25，                      共有3种购买方案， 方案1：购买种品牌的排球23个，种品牌的排球27个； 方案2：购买种品牌的排球24个，种品牌的排球26个； 方案3：购买种品牌的排球25个，种品牌的排球25个． 一、单选题 1．（23-24七年级下·湖南衡阳·期末）若关于的不等式有三个正整数解，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了解不一元一次不等式，由不等式的解集求参数，解不等式得出，再根据的不等式有三个正整数解可得出三个正整数解是1，2，3，则，即可解出a的取值范围． 【详解】解：， 则， ∵关于的不等式有三个正整数解， ∴三个正整数解是1，2，3 ∴， 解得：， 故选：C． 2．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）关于x，y的方程组  的解满足，则k 的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查二元一次方程组和一元一次不等式的解法，由①②可得出，则，将将转化为关于k的一元一次不等式，可求得k的取值范围． 【详解】解： 由①②可得出：， 整理得：， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 3．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）若，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据，应用不等式的性质，逐项判断即可．此题主要考查了不等式的性质：（1）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个式子，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 【详解】解：， ， 选项A不符合题意； ， ， 选项B符合题意； ， ， 选项C不符合题意； ， ， 选项D不符合题意． 故选：B． 4．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）若，则下列各式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是不等式的基本性质； 不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变；不等式两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，据此逐项判断即可． 【详解】解：若，则，，，， ∴B正确，A，C，D错误， 故选：B． 5．（23-24七年级下·湖南永州市冷水滩区杨村甸乡中学·期末）如果，那么下列正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查不等式的性质，利用不等式的性质逐项判断即可． 【详解】解：如果，两边同时加上5得，则A不符合题意； 如果，两边同时减去5得，则B不符合题意； 如果，两边同时乘5得，则C符合题意； 如果，两边同时乘得，则D不符合题意； 故选：C． 6．（23-24七年级下·湖南湘西·期末）若不等式组的解集为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查的是不等式组的解集，掌握不等式组的解集是解题的关键．化简不等式组得，根据不等式组的解集为，即可得出的取值范围． 【详解】解：， 解不等式①： ， ， ， ， ， 不等式组的解集为， ， 故选：D． 二、解答题 7．（23-24七年级下·湖南衡阳·期末）某中学开学初到商场购买、两种品牌的足球，购买种品牌的足球个，种品牌的足球个，共花费元，已知购买一个种品牌的足球比购买一个钟品牌的足球多花元． (1)求购买一个种品牌、一个种品牌的足球各需多少元． (2)学校为了响应习总书记“足球进校园”的号召，决定再次购进、两种品牌足球共个，正好赶上商场对商品价格进行调整，品牌足球售价比第一次购买时提高元，品牌足球按第一次购买时售价的折出售，如果学校此次购买、两种品牌足球的总费用不超过第一次花费的%，且保证这次购买的种品牌足球不少于个，则这次学校有哪几种购买方案？ (3)请你求出学校在第二次购买活动中最多需要多少资金？ 【答案】(1)购买一个A种品牌的足球需要50元，购买一个B种品牌的足球需要80元 (2)见解析 (3)学校在第二次购买活动中最多需要元资金 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用， （1）设A种品牌足球的单价为元，种品牌足球的单价为元，根据“总费用买种足球费用买种足球费用，以及种足球单价比种足球多花元”可得出关于、的二元一次方程组，解方程组即可得出结论； （2）设第二次购买种足球个，则购买种足球个，根据“总费用买种足球费用买种足球费用，以及种足球不小于个”可得出关于的一元一次不等式组，解不等式组可得出的取值范围，由此即可得出结论； （3）分析第二次购买时，、种足球的单价，即可得出哪种方案花钱最多，求出花费最大值即可得出结论． 【详解】（1）解：设种品牌足球的单价为元，种品牌足球的单价为元， 依题意得：，解得：． 答：购买一个种品牌的足球需要元，购买一个种品牌的足球需要元． （2）解：设第二次购买种足球个，则购买种足球个， 依题意得：， 解得：． 故这次学校购买足球有五种方案： 方案一：购买A种足球个，B种足球个； 方案二：购买A种足球个，B种足球个； 方案三：购买A种足球个，B种足球个． 方案四：购买A种足球个，B种足球个． 方案五：购买A种足球个，B种足球个． （3）解：∵第二次购买足球时，A种足球单价为(元)，B种足球单价为(元)， ∴当购买方案中B种足球最多时，费用最高，即方案一花钱最多． ∴(元)． 答：学校在第二次购买活动中最多需要元资金． 8．（23-24七年级下·湖南衡阳·期末）已知关于x、y的方程组，且满足的值大于且小于2，求m的取值范围． 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，二元一次方程的解；先利用加减消元法得到，然后得到不等式组求解即可． 【详解】解：， 由得， ∴， ∵满足的值大于且小于2， ∴ 解得． 9．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）已知关于x、y的二元一次方程． (1)若和都是二元一次方程的解，求的值； (2)①若，，，求二元一次方程的整数解； ②当a每取一个值，都可得到一个方程，若，，求这些方程的公共解； (3)当，且是二元一次方程的解时，若也是方程的解，其中m、n满足且，求t的取值范围． 【答案】(1)2024 (2)①；② (3) 【分析】（1）根据题意得，由得，，再代入求值即可； （2）①由题意得，由x、y均为整数求解即可； ②把等式变形得，可得，进而可得，再由无论a为何值，这些方程有公共解，可得，再求解即可； （3）把方程的解代入得，可得，由，并结合等量代换和不等式的性质可得，即可求解． 【详解】（1）解：∵和都是二元一次方程的解， ∴把和代入得，， 由得，， ∴； （2）解：①∵，，， ∴， ∴， ∵x、y均为整数， ∴当时，， ∴二元一次方程的整数解为； ②∵，即， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∵无论a为何值，这些方程有公共解， 即该公共解与a的值无关， ∴， 解得， ∴这些方程的公共解为； （3）解：∵， ∴， 又∵是二元一次方程的解， ∴， ∴， ∵也是方程的解， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， 由得，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查二元一次方程的解、代数式求值、不等式的性质、解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程的解和解二元一次方程组是解题的关键． 10．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）如果两个不等式存在公共解，那么称这两个不等式互为“友好不等式”． (1)在不等式①，②，③中，与不等式互为“友好不等式”的是________；（填序号） (2)若关于的不等式与不是“友好不等式”，求的取值范围； (3)若，关于的不等式与不等式互为“友好不等式”，求的取值范围． 【答案】(1)②③ (2) (3)或 【分析】本题主要考查解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键． （1）根据“友好不等式”的定义即可求解； （2）解不等式可得，解不等式得，再根据“友好不等式”的定义可得，解不等式即可求解； （3）分两种情况讨论根据“友好不等式”的定义得到含a的不等式，解得即可． 【详解】（1）解：①的解集为，②，③的解集为， 不等式和没有公共解，故①不是不等式的“友好不等式”； 不等式不等式和有公共解，故②是不等式的“友好不等式”； 不等式不等式和有公共解，故③是不等式的“友好不等式”； 故答案为：②③； （2）解不等式可得， 解不等式得， ∵关于x的不等式不是的“友好不等式”， ∴， 解得， 故m的取值范围是； （3）解不等式，得到；解不等式，得到 ①当时，即时，依题意有，即，故； ②当时，即时，始终符合题意，故； 综上，a的取值范围为或． 11．（23-24七年级下·湖南衡阳·期末）衡阳市某商场准备购进A、B两种类型的便携式风扇出售．已知2台A型风扇和5台B型风扇进价共100元，3台A型风扇和2台B型风扇进价共62元． (1)求A型风扇、B型风扇进货的单价各是多少元？ (2)商场准备购进这两种风扇共100台，根据市场调查发现，A型风扇销售情况比B型风扇好，商场准备多购进A型风扇，但数量不超过B型风扇数量的3倍，购进A、B两种风扇的总金额不超过1170元．根据以上信息，商场共有几种进货方案？ (3)在（2）中哪种进货方案的费用最低？最低费用为多少元？ 【答案】(1)A型风扇进货的单价是10元，B型风扇进货的单价是16元 (2)共有4种进货方案 (3)方案4：购进A型风扇75台，B型风扇25台的费用最低，最低费用为1150元 【分析】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式组的实际应用．根据题意找出数量关系，列出方程或不等式组是解题关键． （1）设A型风扇进货的单价是x元，B型风扇进货的单价是y元，根据题意可列出关于x、y的二元一次方程组，解出x、y即可； （2）设购进A型风扇m台，则购进B型风扇台，根据题意可列出关于m的一元一次不等式组，求出m的解集，结合m的实际意义，即可确定m的值，即得出几种方案． （3）最后根据A、B的进货单价，先判断最低费用的方案，再计算即可． 【详解】（1）解：设A型风扇进货的单价是x元，B型风扇进货的单价是y元， 依题意，得：， 解得：． 答：A型风扇进货的单价是10元，B型风扇进货的单价是16元； （2）解：设购进A型风扇m台，则购进B型风扇台， 依题意，得：， 解得：， 又∵m为正整数， ∴m可以取72、73、74、75， ∴共有4种进货方案， 方案1：购进A型风扇72台，B型风扇28台； 方案2：购进A型风扇73台，B型风扇27台； 方案3：购进A型风扇74台，B型风扇26台； 方案4：购进A型风扇75台，B型风扇25台． 答：共有4种进货方案． （3）解：∵B型风扇进货的单价大于A型风扇进货的单价， ∴方案4：购进A型风扇75台，B型风扇25台的费用最低， 最低费用为元． 答：方案4：购进A型风扇75台，B型风扇25台的费用最低，最低费用为1150元． 12．（23-24七年级下·湖南衡阳·期末）已知方程组中x为非正数，y为负数． (1)求a的取值范围； (2)化简：； (3)在（1）的范围中，当a为何整数时，不等式的解集为 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先求出方程组的解，即可得出不等式组，求出不等式组的解集即可； （2）根据，再化简绝对值即可； （3）根据不等式的解集求出的范围，即可得出答案． 【详解】（1）解：解方程组得：， 方程组中为非正数，为负数， ， 解得：， 即的取值范围是； （2）解：∵， ∴， ∴, ∴ ； （3）解：， ∴， 要使不等式的解集为， 必须， 解得：， ，为整数， ， 所以当为时，不等式的解集为． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式或解一元一次不等式组，化简绝对值等知识点，能求出的取值范围是解此题的关键． 13．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）我们约定：若一元一次方程的解在一元一次不等式组的解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“包含方程”．例如：方程的解为，而不等式组 的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组 的“包含方程”．请根据约定，解答下列问题． (1)在一元一次方程；；中，不等式组 的“包含方程”是 （填序号）； (2)若关于 x 的方程 是不等式组 的“包含方程”，求k 的取值范围； (3)若关于x 的方程 是关于 x 的不等式组 的“包含方程”，且此时该不等式组恰好有7个整数解，试求 m 的取值范围． 【答案】(1)②③ (2) (3)． 【分析】（1）先求出方程的解和不等式组的解集，再判定即可； （2）先求出方程的解为，再求出不等式组的解集，根据“包含方程”的定义列出关于的方程组，求解即可； （3）先求出方程的解为，再求出不等式组的解集，根据“包含方程”的定义列出关于的方程组，可求得的一个取值范围；再根据不等式组有7个整数解求得的另一个取值范围，再求取值范围的公共部分即可得到最终的取值范围． 本题考查一元一次不等式组和一元一次方程的解，理解题中的“包含方程”是解题的关键． 【详解】（1）解：解方程①得，；解方程②得，；解方程③得，； 解不等式组得，． 由此可知不等式组的“包含方程”是②③， 故填：②③； （2）解：解方程得，解不等式组得， 由题意可知：， 解得； （3）解方程得， 解不等式组得， 关于的方程是关于的不等式组的“包含方程”， ，解得， 不等式组恰好有7个整数解， ，解得， 综上，的取值范围为． 14．（23-24七年级下·湖南长沙华益中学·期末）解不等式组并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴表示如图． 【分析】本题考查求不等式组的解集，先求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分，即为不等式组的解集，进而在数轴上表示出解集即可． 【详解】解：， 由①，得：； 由②，得：； ∴不等式组的解集为：； 数轴表示如图： 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$