专题03 机械能守恒定律（考点清单）-2024-2025学年高一物理下学期期末考点大串讲（粤教版2019）

专题03 机械能守恒定律 考点1　功的分析与计算 考点2　功率的分析与计算 考点3　机车启动的两种方式 考点4　重力做功的特点 考点5　重力势能的理解 考点6　弹性势能的理解 考点7　动能定理的理解 考点8　动能定理的应用 考点9　机械能守恒条件及判断 考点10　机械能守恒定律的应用 考点11　实验：验证机械能守恒定律 考点12　利用动能定理分析多过程问题 考点13　功能关系 知识点一　功 1．内容：力对物体所做的功，等于力的大小、位移的大小、力与位移夹角的余弦这三者的乘积。 2．公式：W＝Flcos_α。 3．功是标量(选填“标量”或“矢量”)。 4．功的单位：在国际单位制中，功的单位是焦耳，简称焦，符号是J。 5．功的单位物理意义：1 J等于1_N的力使物体在力的方向上发生1 m位移的过程中所做的功，即1 J＝1 N×1 m＝1_N·m。 知识点二　正功和负功 1．正功和负功。 α的取值 W的取值 含义 α＝ W＝0 力F不做功 0≤α＜ W＞0 力F对物体做正功 ＜α≤π W＜0 力F对物体做负功 2．总功。 当一个物体在几个力的共同作用下发生一段位移时，这几个力对物体所做的总功，是各个力分别对物体所做功的代数和，即W总＝W1＋W2＋W3＋…＋Wn。 知识点三　功率 1．定义。 力对物体所做的功W与完成这些功所用时间t的比值。 2．定义式。 P＝。 3．单位。 在国际单位制中，功率的单位是瓦特，简称瓦，用符号W表示。 4．意义。 功率是标量，它是表示物体做功快慢的物理量。 5．功率与速度。 (1)关系：当一个力与物体运动方向在同一直线上时，这个力对物体做功的功率等于这个力与物体速度的乘积。 (2)关系式：P＝Fv。 ①若v是物体的平均速度，则P＝Fv为对应时间t内的平均功率。 ②若v是瞬时速度，则P表示该时刻的瞬时功率。 (3)应用：从P＝Fv可以看出，汽车、火车等交通工具，当发动机的功率P一定时，牵引力F与速度成反比，要增大牵引力，就要减小速度。 知识点四　重力做的功 1．重力做功公式WG＝mgΔh的推导。 (1)设一个质量为m的物体，从与地面高度为h1的位置A竖直向下运动到高度为h2的位置B(图甲)。这个过程中重力所做的功为WG＝mgΔh＝mgh1－mgh2。 (2)质量为m的物体，从与地面高度为h1的位置A沿着一个斜面向下运动到高度为h2的位置B′，再水平运动到B(图乙)。物体沿斜面运动的距离为l，则这个过程中重力做的功WG＝(mgcos_θ)l＝mgΔh＝mgh1－mgh2。　 甲　　　　　　　　　乙 知识点五　重力势能 1．意义：mgh的特殊意义在于一方面与重力做的功密切相关，另一方面它随着高度的增加而增加、随着质量的增加而增加，我们把mgh叫作重力势能。 2．表达式：Ep＝mgh。 3．重力势能是标量(选填“矢量”或“标量”)。 4．单位：焦耳，符号J。 1 J＝1 kg·m·s－2·m＝1_N·m。 5．重力做功与重力势能的关系。 (1)WG＝Ep1－Ep2(其中Ep1表示物体在初位置的重力势能，Ep2表示物体在末位置的重力势能)。 (2)两种情况： ①物体由高处运动到低处时，重力做正功，重力势能减少，即WG＞0，Ep1＞Ep2。 ②物体由低处运动到高处时，重力做负功，重力势能增加，即WG＜0，Ep1＜Ep2。 6．重力势能的相对性。 (1)参考平面：物体的重力势能总是相对于某一水平面来说的，在参考平面上，物体的重力势能取作0。 (2)相对性：选择不同的参考平面，物体重力势能的数值不同(选填“相同”或“不同”)。 (3)正负的含义：参考平面上方物体的重力势能是正值，参考平面下方物体的重力势能是负值。 知识点六　弹性势能 1．定义：发生弹性形变的物体的各部分之间，由于有弹力的相互作用，也具有势能，这种势能叫作弹性势能。 2．弹簧的弹性势能：弹簧的长度为原长时，弹性势能为零；弹簧被压缩或被拉长时，就具有了弹性势能。 3．弹力做功与弹性势能的变化。 弹簧弹力做正功，弹簧的弹性势能减小；弹簧弹力做负功，弹簧的弹性势能增大。 4．弹性势能大小的相关因素。 (1)弹簧的劲度系数。 (2)弹簧的形变量。 知识点七　动能 1．定义： 物体由于运动而具有的能量叫动能，用符号Ek表示。 2．表达式： Ek＝mv2。 3．单位： 与功的单位相同，国际单位为焦耳。 1 kg·(m/s)2＝1_N·m＝1_J。 4．动能是标量(选填“矢量”或“标量”)，只有大小没有方向。 知识点八　动能定理 1．动能定理的内容： 力在一个过程中对物体做的功，等于物体在这个过程中动能的变化。 2．动能定理的表达式： (1)W＝mv－mv。 (2)W＝Ek2－Ek1。 说明：式中W为合力做的功，它等于各力做功的代数和。 说明：力对物体做的功是指物体所受的一切外力合外力对它做的功。 3．动能定理的适用范围： 不仅适用于恒力做功和直线运动，也适用于变力做功和曲线运动情况。 知识点九　动能与势能的相互转化 1．重力势能与动能：只有重力做功时，若重力对物体做正功，则物体的重力势能减少，动能增加，重力势能转化成了动能；若重力做负功，则动能转化为重力势能。 2．弹性势能与动能：只有弹簧弹力做功时，若弹力做正功，则弹簧弹性势能减少，物体的动能增加，弹性势能转化为动能。 3．机械能：重力势能、弹性势能和动能都是机械运动中的能量形式，统称为机械能。表达式为E＝Ek＋Ep。 知识点十　机械能守恒定律 1．内容。 在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以相互转化，而总的机械能保持不变。 2．守恒定律表达式。 (1)Ek2－Ek1＝Ep1－Ep2，即ΔEk增＝ΔEp减。 (2)Ek2＋Ep2＝Ek1＋Ep1。 (3)E2＝E1。 3．守恒条件。 物体系统内只有重力或弹力做功。 实验：验证机械能守恒定律 一、实验思路 机械能守恒的前提是“只有重力或弹力做功”，因此设计实验时要考虑满足这一条件的情形。 情形1：自由下落的物体只受到重力作用，满足机械能守恒的条件。 情形2：物体沿光滑斜面下滑时，虽然受到重力和斜面的支持力，但支持力与物体位移方向垂直，对物体不做功，也满足机械能守恒的条件。 二、物理量的测量 根据重力势能和动能的定义，需要测量的物理量有物体的质量、物体所处位置的高度以及物体的运动速度。 1．质量的测量：可用天平测量。 2．高度的测量：可用刻度尺测量。 3．瞬时速度的测量。 (1)用打点计时器打下的纸带测量： 测出打n点前、后相邻两段相等时间T内物体运动的距离xn和xn＋1(或测出hn－1和hn＋1)，由公式vn＝即可得到打n点时物体的瞬时速度，如图所示。 说明：由匀变速直线运动的规律可知，物体某段时间中间时刻的瞬时速度等于这段时间内的平均速度。 (2)用光电门测量： 遮光条通过光电门时的瞬时速度等于遮光条通过光电门时的平均速度，则根据遮光条的宽度l和遮光时间Δt，可以算出物体经过光电门时的速度v＝。 三、数据分析 方法1：计算物体在选定位置上动能与势能的和是否满足 mv＋mgh2＝mv＋mgh1， ① 方法2：计算重物在某两点间的动能变化和势能变化是否满足 mv－mv＝mgh1－mgh2， ② 若在误差允许范围内，等式①(或②)满足，即可验证机械能守恒。 根据上述情况，有两种方案可以验证物体的机械能守恒。 方案Ⅰ　研究自由下落物体的机械能 1．实验器材 铁架台(带铁夹)、打点计时器、重物(带夹子)、纸带、复写纸、导线、毫米刻度尺、低压交流电源(约为8 V)。 2．实验步骤 (1)安装实验装置： 如图所示，将检查、调整好的打点计时器竖直固定在铁架台上，用导线将打点计时器与低压交流电源相连接。 (2)进行实验： ①将纸带的一端用夹子固定在重物上，另一端穿过打点计时器的限位孔。用手提着纸带使重物静止在靠近打点计时器的地方。先接通电源，后松开纸带，让重物带着纸带自由下落，打点结束后立即关闭打点计时器电源。 ②更换纸带，重复做3～5次实验。 (3)选取纸带(分两种情况)： ①如果根据mgh＝mv2验证，应选点迹清晰，所打点在同一条直线上，且第1、2两点间距离略小于2 mm的纸带。(根据h＝gt2，当t＝0.02 s时h＝1.96 mm，说明重物是在打第一个点时开始下落的。) ②如果根据mgΔh＝mv－mv验证，由于重力势能的相对性，处理纸带时，选择适当的点为基准点，这样纸带上打出的第1、2两点间的距离是否略小于2 mm就无关紧要了，只要后面的点迹清晰就可选用。 3．数据处理 方法1：利用起始点和第n点计算。 代入mghn和mv，如果在实验误差允许的范围内mghn和mv相等，即可验证机械能守恒定律。 方法2：任取两点计算。 (1)任取两点A、B，测出hAB，计算出mghAB。 (2)计算出mv－mv的值。 (3)在实验误差允许的范围内，若mghAB＝mv－mv成立，即可验证机械能守恒定律。 方法3：图像法。 从纸带上选取多个点，测量从第一个点到选取各点的下落高度h，并计算出各点速度的二次方v2，然后以v2为纵轴，以h为横轴，根据实验数据绘出v2­h图线。若在误差允许的范围内图线是一条过原点且斜率为g的直线，则验证了机械能守恒定律。 4．实验中的注意事项 (1)注意将打点计时器接在低压交流电源上，调节好振针的高度，使打出的点点迹清晰。 (2)应先接通电源，待打点计时器工作稳定后再释放纸带。 (3)选择点迹清晰的纸带，最好是第1点和第2点间距离略小于2 mm的纸带。 说明：实验中要根据纸带求出重物实际下落的速度，而不能利用v＝或v＝gt计算。同样的道理， 重物下落的高度h也只能用刻度尺直接测量，而不能用h＝gt2或h＝计算。 5．误差分析 (1)在进行长度测量时，测量及读数不准确造成误差。 (2)重物下落要克服阻力做功，部分机械能转化成内能，下落高度越大，机械能损失越多，所以实验数据出现了各计数点对应的机械能依次略有减小的现象。 (3)由于交流电的周期不稳定，造成打点时间间隔变化而产生误差。 方案Ⅱ　研究沿斜面下滑物体的机械能 利用气垫导轨和数字计时器记录物体沿光滑斜面下滑的运动过程。 实验装置如图所示。 (1)先非常仔细地把气垫导轨调成水平，然后用垫块把导轨的一端垫高h1。 质量为m的滑块上面装有宽为l的挡光片，让它由导轨上端任一处滑下，测出它通过光电门G1和G2时的时间Δt1和Δt2，就可算出它由G1到G2这段过程中动能的增加量ΔEk＝m。 (2)由图可知＝，由已知的L值和所取的h1、s值可算出Δh值，然后可以求出滑块由G1到G2这段过程中重力势能的减少量ΔEp＝mgΔh。 (3)由实验结果可看出在误差允许的范围内ΔEp＝ΔEk，从而验证了机械能守恒定律。 考点1　功的分析与计算 1．力对物体是否做功，决定于两个因素。 ①做功的力；②物体在力的方向上发生的位移。而与其他因素，诸如物体运动的快慢、运动的性质、接触面是否光滑、物体质量的大小等均无关系。 2．判断力做正、负功的方法。 (1)根据力F的方向与物体位移l的方向的夹角α判断——常用于恒力做功的情形。 如图所示： ①若夹角α是锐角，力对物体做正功。 ②若夹角α是钝角，力对物体做负功。 ③若夹角α是直角，力对物体不做功。 (2)根据力F的方向与物体瞬时速度方向的夹角α判断——常用于曲线运动的情形。 3．对W＝Flcosα的理解。 (1)W＝Flcos α仅适用于计算恒力的功。 (2)F表示力的大小，l表示力的作用点相对于地面的位移的大小(l也常常说是物体相对于地面的位移大小)，α表示力与位移方向间的夹角，0°≤α≤180°。 注意：表达式W＝Flcosα可理解为“功等于沿力F方向的分位移与力的乘积”，也可以理解为“功等于位移与沿位移方向的分力的乘积”。 4．总功的计算。 (1)先由W＝Flcos α计算各个力对物体所做的功W1、W2、W3…，然后求所有力做功的代数和，即W合＝W1＋W2＋W3＋…。 (2)先由力的合成或根据牛顿第二定律求出合力F合，然后由W合＝F合lcos α计算总功，此时α为F合的方向与l的方向间的夹角。 注意：当在一个过程中几个力作用的位移不相同时，只能用方法(1)。 例1．(2024年宿迁期末)如图所示，力F大小相等，物体运动的位移l与速度v方向相同，物体运动的位移大小l也相等，下列关于F做功的几种说法正确的是(　　) A．因为有摩擦力存在，图甲中力F做的功不能用W＝Flcos 0°计算 B．图乙中力F做的功W＝Flcos 150° C．图丙中力F做的功W＝Flcos 30° D．图丁中力F做的功W＝Flcos 30° 答案D　 解析 力做的功为W＝Fl cos θ，与是否有摩擦力无关，A错误；力做的功为W＝Fl cos θ，其中θ为力与运动方向的夹角，故图乙中力F做的功W＝Flcos 30°，B错误；力做的功为W＝Fl cos θ，其中θ为力与运动方向的夹角，故图丙中力F做的功W＝Flcos 150°，C错误；力做的功为W＝Fl cos θ，其中θ为力与运动方向的夹角，故图丁中力F做的功W＝Flcos 30°，D正确． 例2．以一定的初速度竖直向上抛出一个质量为m的小球，小球上升的最大高度为h.空气阻力大小恒为f，则从抛出点到返回至原出发点的过程中，下列说法正确的是(　　) A．重力对小球做的功为零，克服空气阻力对小球做的功为2fh B．重力对小球做的功为mgh，空气阻力对小球做的功为fh C．重力对小球做的功为零，空气阻力对小球做的功为零 D．重力对小球做的功为2mgh，空气阻力对小球做的功为－2fh 答案A　 解析 从抛出点至落回到原出发点的过程中，重力为恒力，小球的位移为零，则重力做功为零，上升过程中，空气阻力对小球做功为W1＝－fh，下落过程中，空气阻力对小球做功为W2＝－fh，则从抛出到落回到抛出点的过程中，空气阻力对小球做的功为W＝W1＋W2＝－2fh，则克服空气阻力对小球做的功为2fh，故选A. 变式1．(2024年潮州期末)如图所示，将一可以视为质点的质量为m的铁块放在一长为L、质量为M的长木板的最左端，整个装置放在光滑的水平面上，现给铁块一水平向右的初速度，当铁块运动到长木板的最右端时，长木板沿水平方向前进的距离为x(x>L)，如图所示．已知铁块与长木板之间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g.下列说法正确的是(　　) A．摩擦力对长木板所做的功为μmg(x＋L) B．摩擦力对长木板所做的功为μmgx C．摩擦力对长木板所做的功为μmgL D．摩擦力对长木板所做的功为μmg(x－L) 答案 B　 解析 根据功的定义，摩擦力对长木板所做的功等于摩擦力与木板对地位移的乘积，即W＝μmgx，故B正确，A、C、D错误． 考点2　功率的分析与计算 1．公式P＝和P＝Fv的比较。 公式 定义式P＝ 计算式P＝Fv 适用条件 适用于任何情况下功率的计算 适用于F与v同向的情况 应用 求某个过程中的平均功率。当时间t→0时，可由定义式求瞬时功率 若v表示物体在时间t内的平均速度，则功率P表示力F在时间t内的平均功率；若v表示物体在某一时刻的瞬时速度，则功率P表示力F在该时刻的瞬时功率 公式理解 功率可以用P＝来表示，但功率并不由W、t决定 P一定时，F与v成反比；v一定时，F与P成正比；F一定时，v与P成正比 2．功率的计算。 (1)平均功率的计算： ①利用P＝。 ②利用P＝Fcos α，其中为物体运动的平均速度。 (2)瞬时功率的计算： ①利用公式P＝Fvcos α，其中v为瞬时速度。 ②利用公式P＝FvF，其中vF为物体的速度在力F方向上的分速度。 ③利用公式P＝Fvv，其中Fv为物体受的外力在速度v方向上的分力。 例3．(2024年十堰一模)在杭州亚运会男子百米决赛中，中国一选手夺冠．假设他的心脏在比赛状态下每分钟搏动150次，在一次搏动中泵出的血液约为 120 cm3，推动血液流动的平均压强约为 2.0×104 Pa.则他的心脏在比赛状态下搏动的平均功率约为(　　) A．6 W　 B．60 W C．3．6 W　 D．360 W 答案A　 解析 设这名选手的心脏每次推动血液前进的位移为L，血液受到心脏的压力为F，由p＝，可知，心脏起搏一次对血液所做的功W＝FL＝pSL＝pV，V是心脏跳动一次输送的血液体积，代入数据解得W′＝npV＝150×2.0×104×120×10-6 J＝360 J，则他的心脏在比赛状态下搏动的平均功率P＝＝ W＝6 W，故选A. 例4．假设一只花盆从15楼(距地面高度为h＝45 m)的窗台上静止坠下，忽略空气阻力．已知花盆的质量m＝2 kg，重力加速度g取10 m/s2，求： (1)在花盆下落到地面的过程中，重力对花盆做的功； (2)花盆下落3 s时重力的瞬时功率； (3)花盆下落第3 s内重力的平均功率． 解析(1)在花盆下落到地面的过程中，重力对花盆做的功为W＝mgh＝2×10×45 J＝900 J. (2)花盆在t＝3 s时的速度v＝gt＝30 m/s，重力的瞬时功率P＝mgv＝600 W. (3)花盆下落第3 s内的位移为 x＝gt－gt＝×10×(32－22) m＝25 m，重力做的功W′＝mgx＝500 J， 下落第3 s内重力的平均功率P′＝＝500 W． 变式2．(2024年佛山一中段测)如图甲，一台起重机将质量m＝200 kg的重物由静止开始竖直向上匀加速提升，4 s末达到额定功率，之后保持该功率继续提升重物，5 s末重物达到最大速度vm.整个过程中重物的v－t图像如图乙所示．g取10 m/s2，不计额外功率．求： (1)匀加速阶段起重机的牵引力； (2)0～4 s内重物克服重力做功的平均功率； (3)起重机的额定功率和重物的最大速度． 　 解析(1)根据v－t图像可知，匀加速阶段的加速度大小为a＝ m/s2＝0.5 m/s2， 根据牛顿第二定律可得F－mg＝ma， 匀加速阶段的牵引力为F＝mg＋ma＝2 100 N. (2)0～4 s内重物上升的高度为h1＝×4 m＝4 m， 0～4 s内重物克服重力做功为 WG＝mgh1＝200×10×4＝8 000 J， 平均功率为P＝＝2 000 W. (3)4 s未达到额定功率，则有P额＝Fv＝2 100×2 W＝4.2×103 W， 当牵引力等于重物重力时，重物速度达到最大，则有 vm＝＝＝ m/s＝2.1 m/s. 考点3　机车启动的两种方式 1．机车两种启动方式的过程分析。 两种方式 以恒定功率启动 以恒定加速度启动 P­t图v­t图和F­t图 OA段 过程分析 v⇒F＝ ⇒a＝ a＝不变⇒F不变P＝Fv直到P额＝Fv1 运动性质 加速度减小的加速直线运动 匀加速直线运动、维持时间t0＝　 AB段 过程分析 F＝F阻⇒a＝0⇒F阻＝ v⇒F＝⇒a＝　 运动性质 以vm做匀速直线运动 加速度减小的加速直线运动 BC段 － F＝F阻⇒a＝0⇒F阻＝，以vm做匀速直线运动 2．汽车启动问题中几个物理量的求法。 (1)汽车的最大速度vmax的求法： 汽车做匀速运动时速度最大，此时牵引力F等于阻力Ff，故vmax＝＝。 (2)匀加速启动时，做匀加速运动的时间t的求法： 牵引力F＝ma＋Ff，匀加速运动的最大速度v′max＝，时间t＝。 (3)瞬时加速度a的求法： 根据F＝求出牵引力，则瞬时加速度a＝。 例5.在平直路面上运动的汽车的额定功率为60 kW，若其总质量为5 t，在水平路面上所受的阻力为5×103 N。 (1)求汽车所能达到的最大速度。 (2)若汽车以0.5 m/s2的加速度由静止开始做匀加速运动，则这一过程能维持多长时间？ (3)若汽车以额定功率启动，则汽车车速v′＝2 m/s时其加速度为多大？ [思路点拨]　①汽车速度达到最大的条件是a＝0，即F＝Ff。 ②汽车以恒定加速度a匀加速运动的“收尾”条件是：P＝P额，此时的速度为匀加速运动的最大速度。 ③汽车速度为v′时牵引力F＝。 答案　(1)12 m/s　(2)16 s　(3)5 m/s2 解析　(1)当汽车速度达到最大时，牵引力F＝Ff， 则由P＝Fv得汽车所能达到的最大速度 vmax＝＝m/s＝12 m/s。 ① (2)设汽车以恒定的加速度a做匀加速运动，能够达到的最大速度为v，则有－Ff＝ma， ② 得v＝＝ m/s＝8 m/s， ③ 由v＝at得这一过程维持的时间t＝＝ s＝16 s。 (3)当汽车以额定功率启动达到2 m/s的速度时，牵引力 F′＝＝ N＝3×104 N， 由牛顿第二定律得汽车的加速度 a＝＝ m/s2＝5 m/s2。 例6．(多选)(2024年珠海期中)电动汽车能实现更精确的运动控制，有一电动汽车由静止启动并沿直线运动，其速度与时间图像(v－t图像)如图所示，O到t1段图像为倾斜直线，t1到t2段图像为曲线，t2时刻以后的图像为与时间轴平行的直线，则下列选项正确的是(　　) A．O～t1内，牵引力的功率保持不变 B．t1时刻起，牵引力的功率可能保持不变 C．t1～t2内，牵引力大小保持不变 D．t2时刻起，牵引力与阻力大小相等 答案 BD　 解析 O到t1段图像为倾斜直线，则汽车做匀加速直线运动，牵引力不变，由P＝Fv，可知，牵引力的功率增大，故A错误；t1～t2内，加速度减小，则牵引力减小，而速度在增加，所以牵引力的功率可能保持不变，故B正确，C错误；t2时刻起，汽车做匀速直线运动，牵引力与阻力平衡，保持不变，故D正确． 机车启动动态分析思路 分析机车启动全过程必须抓住三点： (1)正确分析其物理过程。 (2)抓住两个基本公式：功率公式P＝Fv，P是机车的功率，F是机车的牵引力，v是机车的速度；当机车匀速运动时F＝Ff，当机车匀变速运动时，由牛顿第二定律，得F－Ff＝ma。 (3)正确分析公式中各个物理量在各个过程中的变化情况。 变式3．节能环保的电动汽车已成为许多城市出租车的标配，某品牌电动汽车纯电续航约400公里，最大功率为90 kW，电池容量为81 kW·h，快充时间为1.5小时。某次测试中，汽车由静止开始沿平直公路做匀加速直线运动，其运动的速度—时间图像如图所示，在t＝25 s时达到最大功率，之后保持功率不变，在t′时刻达到最大速度，汽车和乘客的总质量为2.5×103 kg，重力加速度g取10 m/s2。求： (1)汽车快速充电过程中充电的平均功率P1； (2)汽车的最大速度； (3)当车速为30 m/s时，汽车的加速度a′。 答案　(1)54 kW　(2)36 m/s　(3)0.2 m/s2 解析　(1)汽车快速充电过程中，有P1＝， 代入数据可得P1＝＝ kW＝54 kW。 (2)由题图可知，在匀加速阶段，0～25 s内汽车的加速度为a＝ m/s2＝0.8 m/s2， 匀加速阶段汽车的牵引力大小为 F＝＝ N＝4.5×103 N， 设汽车所受阻力为f，根据牛顿第二定律有 F－f＝ma， 代入数据可得f＝2.5×103 N。 当速度达到最大时，牵引力与阻力大小相等，可得最大速度为vm＝＝ m/s＝36 m/s。 (3)车速为30 m/s时，汽车的牵引力为 F′＝＝ N＝3×103 N， 根据牛顿第二定律可得 a′＝＝ m/s2＝0.2 m/s2。 考点4　重力做功的特点 1．做功表达式：WG＝mgΔh＝mgh1－mgh2，式中Δh指初位置与末位置的高度差；h1、h2分别指初位置、末位置的高度。 2．做功的正负：物体下降时重力做正功；物体被举高时重力做负功。 3．做功的大小：重力对物体做功的大小只跟物体的起点与终点的高度有关，与物体运动的路径无关。 [特别提示]　恒力做功均与路径无关,重力做功的特点可以推广到任一恒力做功，即恒力做功的特点是与具体路径无关，只跟始、末位置有关，恒力做功等于恒力与沿着恒力方向的位移的乘积。 例7．福建土楼兼具居住和防御的功能，承启楼是圆形土楼的典型代表，如图甲所示．承启楼外楼共四层，各楼层高度如图乙所示．同一楼层内部通过直径约50 m的圆形廊道连接．若将质量为100 kg的防御物资先从二楼仓库搬到四楼楼梯口M处，再用100 s沿廊道运送到N处，如图丙所示．重力加速度g取10 m/s2，则(　　) 甲　承启楼 　　 乙　剖面图　　　　　丙　四楼平面图 A.该物资从二楼地面被运送到四楼M处的过程中，克服重力所做的功为5 400 J B．该物资从M处被运送到N处的过程中，克服重力所做的功为78 500 J C．从M处沿圆形廊道运动到N处，位移大小为78.5 m D．从M处沿圆形廊道运动到N处，平均速率为0.5 m/s 答案 A　 解析 该物资从二楼地面被运送到四楼M处的过程中，克服重力所做的功WG＝mgΔh＝100×10×(2.7＋2.7) J＝5 400 J，A正确；该物资从M处被运送到N处的过程中，由于M、N高度差为零，所以克服重力做功为零，B错误；从M处沿圆形廊道运动到N处，位移大小为50 m，C错误；从M处沿圆形廊道运动到N处，平均速率为v＝＝＝ m/s＝0.785 m/s，D错误． 例8．某游客领着孩子游泰山时，孩子不小心将手中质量为m的皮球滑落，球从A点滚到了山脚下的B点，高度标记如图所示，则下列说法正确的是(　　) A．从A到B的曲线轨迹长度不知道，无法求出此过程重力做的功 B．从A到B过程中阻力大小不知道，无法求出此过程重力做的功 C．从A到B重力做功mg(H＋h) D．从A到B重力做功mgH 答案D　 解析 重力做功与物体的运动路径无关，只与物体初、末位置的高度差有关。从A到B的高度差是H，故从A到B重力做的功是mgH，选项D正确。 变式4．如图所示，质量为m的小球从高为h处的斜面上的A点滚下，经过水平面BC后，再滚上另一斜面，当它到达高为的D点时，速度为零，在这个过程中，重力做功为(　　) A． B．　 C．mgh　 D．0 答案A　 解析 A、D间的高度差为Δh＝h－h＝h，则重力做功为W＝mgΔh＝mgh，故A正确，B、C、D错误。 考点5　重力势能的理解 1．重力做功与重力势能的关系。 比较 重力做功 重力势能 物理意义 重力对物体做功 由物体与地球的相互作用产生，且由它们之间的相对位置决定的能 表达式 WG＝mgΔh Ep＝mgh 影响大小的因素 重力mg和初、末位置的高度差Δh 重力mg和相对参考平面的高度h 特点 只与初、末位置的高度差有关，与路径及参考平面的选择无关 与参考平面的选择有关，同一位置的物体，选择不同的参考平面，其重力势能的值不同 WG＝Ep1－Ep2＝－ΔEp。 2．重力势能的“四性”。 (1)标量性：重力势能是标量，只有大小，没有方向，但有正、负。 重力势能正、负的含义：正、负值分别表示物体处于参考平面上方和下方。 (2)相对性：选取不同的水平面作为参考平面，其重力势能具有不同的数值，即重力势能的大小与参考平面的选取有关。 (3)绝对性：物体在两个高度不同的位置时，由于高度差一定，重力势能之差也是一定的，即物体的重力势能的变化与参考平面的选取无关。 (4)系统性：重力是地球对物体吸引而产生的，如果没有地球对物体的吸引，就不会有重力，也不存在重力势能，所以重力势能是这个系统共同具有的，平时所说的“物体”的重力势能只是一种简化的说法。 例9．(多选)西双湖风景区内的十七孔桥(如图甲)是除水晶塔之外的又一标志性建筑，它不仅是南北两湖的分界点，更是联系东西两方景区的交通要冲，其模型可简化为图乙。已知孔桥的拱高为h，A、B两点在同一水平面上。一游客在由A点运动到B点的过程中，以下说法正确的是(　　) 甲　　　　　　　　　　　乙 A．游客的重力势能先增大后减小，重力先做负功后做正功 B．游客的重力势能先减小后增大，重力先做负功后做正功 C．游客的重力势能先增大后减小，重力先做正功后做负功 D．游客在整个运动过程中重力做功为零 答案AD　 解析 游客由A到桥顶，重力做负功，重力势能增加，由桥顶到B，重力做正功，重力势能减小，整个过程游客的重力势能先增大后减小，由于A、B等高，则整个过程中重力做功为零，重力势能变化量为零，故A、D正确，B、C错误。 例10．中国制造的某一型号泵车如图所示，表中列出了其部分技术参数。已知混凝土密度为2.4×103 kg/m3，假设泵车的泵送系统以150 m3/h的输送量给30 m 高处输送混凝土，g取10 m/s2，则每小时泵送系统对混凝土做的功至少为(　　) 发动机最大输出功率/kW 332 最大输送高度/m 63 整车满载质量/kg 5.4×104 最大输送量/(m3·h－1) 180 A．1．08×107 J　　　　 B．5.04×107 J C．1.08×108 J D．2.72×108 J 答案C　 解析 泵车的泵送系统以150 m3/h的输送量给30 m高处输送混凝土，每小时泵送系统对混凝土做的功W＝ρVgh＝2.4×103×150×10×30 J＝1.08×108 J，故选C。 (1)计算物体的重力势能，必须首先选定零势能面。 (2)零势能面以下的重力势能均为负值，“＋”“－”号代表重力势能的大小，因此，比较大小时，一定要带着“＋”“－”号进行比较。 变式5．(2024年深圳实验学校段考)如图所示，一质量为0.2 kg的苹果，从树上高1.8 m的某处先落到地面，又滚入深2.2 m的沟底处停下．该苹果落地前瞬间，重力的瞬时功率和全过程中减少的重力势能为(重力加速度g取10 m/s2)(　　) A．12 W和8 J B．6 W和8 J C．1．2 W和3．6 J D．0.6 W和3.6 J 答案A　 解析 由运动学公式v2＝2gh，故落地前瞬间的速度为v＝＝ m/s＝6 m/s，瞬时功率P＝mgv＝12 W，全过程中重力做功W＝mg(h1＋h2)＝0.2×10×(1.8＋2.2) J＝8 J，即为减少的重力势能，A正确． 考点6　弹性势能的理解 1．弹性势能的产生原因： (1)物体发生了弹性形变， (2)各部分间有弹力作用。 2．弹性势能的影响因素： (1)弹簧的形变量x， (2)弹簧的劲度系数k。 注：同一弹簧无论压缩还是伸长，形变量相同，弹性势能相同。 3．弹性势能与弹力做功的关系。 如图所示，O为弹簧的原长处。 (1)弹力做负功时：如物体由O向A运动(压缩)或者由O向A′运动(伸长)时，弹性势能增大，其他形式的能转化为弹性势能。 (2)弹力做正功时：如物体由A向O运动，或者由A′向O运动时，弹性势能减小，弹性势能转化为其他形式的能。 (3)弹力做功与弹性势能变化的关系为W弹＝－ΔEp。 例11．早期的弹弓，一般用“Y”形的树枝制作，如图所示。在树枝的两头分别系上两根相同的橡皮筋，两皮筋之间用一包裹弹丸的皮块连接。将弹丸包裹在皮块间，水平向后拉皮块到某一位置后释放，弹丸被水平射出。下列说法正确的是(　　) A．橡皮筋被拉伸的过程中，橡皮筋的弹力做负功 B．橡皮筋被拉伸的过程中，橡皮筋的弹力做正功 C．弹丸被射出的过程中，橡皮筋的弹性势能不变 D．弹丸被射出的过程中，皮块对弹丸做负功 答案A　 解析 在橡皮筋拉伸的过程中，橡皮筋的弹力与橡皮筋的位移方向相反，则橡皮筋的弹力做负功，故A正确，B错误；弹丸被射出的过程中，橡皮筋的形变量减小，则弹性势能减小，故C错误；弹丸被射出的过程中，皮块对弹丸的力与弹丸的位移方向相同，则皮块对弹丸做正功，故D错误。 例12．(2024年清远质检)如图所示，取一支按压式圆珠笔，将笔的按压式小帽朝下按在桌面上，放手后笔将会向上弹起一定的高度．圆珠笔运动过程中始终处于竖直状态．下列说法正确的是(　　) A．下压圆珠笔的过程中，弹簧的弹性势能减小 B．下压圆珠笔过程中，重力对圆珠笔做负功 C．圆珠笔向上运动的过程中重力势能一直增大 D．圆珠笔向上运动的过程中速度一直减小 答案 C　 解析 下压圆珠笔的过程中，弹簧的压缩量逐渐增大，弹性势能增大，A错误；下压圆珠笔的过程中，重力方向向下，位移方向向下，重力对圆珠笔做正功，B错误；圆珠笔向上运动的过程中，圆珠笔的重力做负功，重力势能增大，C正确；圆珠笔向上先做加速直线运动，当弹簧的弹力与笔的重力相等时加速度变为0，此时速度最大，之后再减速直线运动，则速度先增加再减小，D错误． 变式6．一根弹簧的弹力—位移图线如图所示，那么弹簧由伸长量8 cm变到伸长量4 cm的过程中(　　) A．弹力所做的功是3.6 J，弹性势能减少了3.6 J B．弹力所做的功是1.8 J，弹性势能减少了1.8 J C．弹力所做的功是－3.6 J，弹性势能增加了3.6 J D．弹力所做的功是－1.8 J，弹性势能增加了1.8 J 答案 B　 解析 根据弹簧的弹力—位移图线可知图像的面积表示弹力所做的功，由图像可得弹力所做的功为W＝ J＝1.8 J，由功能关系可知，弹簧弹力做了多少正功，弹性势能就减小多少，所以弹性势能减小了1.8 J，故B正确，A、C、D错误． 考点7　动能定理的理解 1．对动能定理的理解。 (1)表达式W＝ΔEk中的W为外力对物体做的总功。 (2)动能定理描述了做功和动能变化的两种关系。 ①等值关系：物体动能的变化量等于合力对它做的功。 ②因果关系：合力对物体做功是引起物体动能变化的原因，做功的过程实质上是其他形式的能与动能相互转化的过程，转化了多少由合力做的功来度量。 2．对动能定理的两点说明。 (1)动能定理的表达式是一个标量式，不能在某一方向上应用动能定理，动能没有负值，但动能的变化ΔEk有正负之分。 (2)应用动能定理涉及“一个过程”和“两个状态”。所谓“一个过程”是指做功过程，应明确该过程合力所做的总功；“两个状态”是指初、末两个状态物体的动能。 例13．有一质量为m的木块，从半径为r的圆弧曲面上的a点滑向b点，如图所示。如果由于摩擦使木块的运动速率保持不变，则以下叙述正确的是(　　) A．木块所受的合力为零 B．因木块所受的力对其都不做功，所以合力做功为零 C．重力和摩擦力的合力做的功为零 D．重力和摩擦力的合力为零 答案C　 解析 物体做曲线运动，速度方向变化，加速度不为零，故合力不为零，A错误；速率不变，动能不变，由动能定理知，合力做的功为零，而支持力始终不做功，重力做正功，所以重力做的功与摩擦力做的功的代数和为零，但重力和摩擦力的合力不为零，C正确，B、D错误。 例14．(多选)(2024年广州天河期中)如图，无人机以恒定拉力F将重力为G的物体从地面提升到一定高度，若不计空气阻力，则此过程中(　　) A．F所做的功等于物体动能的增加 B．F所做的功等于物体动能和势能的增加 C．F和G的合力所做的功等于物体动能的增加 D．F和G的合力所做的功等于物体机械能的增加 答案BC　 解析 物体上升的过程中，受到向上的拉力、向下的重力，故可得F所做的功等于物体动能和势能的增加，A错误，B正确；根据动能定理可知，F和G的合力所做的功等于物体动能的增加，D错误，C正确． 对W＝ΔEk的认识 (1)动能定理说明，合力做功是物体动能变化的原因，物体动能的变化用合力的功来度量。 (2)式中W＞0，ΔEk＞0(动力做功使动能增加)；W＜0，ΔEk<0(阻力做功使动能减少)。 (3)W＝ΔEk，既适用于直线运动，也适用于曲线运动，既适用于恒力做功，也适用于变力做功。 变式7．(2024年清远质检)某游乐场中的水滑梯如图所示，可视为由倾斜的光滑轨道和水平的阻力轨道组成．若人(视为质点)从距水平轨道7.2 m高的水滑梯的顶端滑下，人在水平轨道上受到的平均阻力为其所受重力的.出于安全考虑，要求人不能碰撞水平轨道的末端，则水平轨道的长度至少为(　　) A．12 m B．18 m C．25 m D．36 m 答案D　 解析 对人从距水平轨道7.2 m高的水滑梯的顶端滑下到水平轨道的末端时由动能定理可知mgh－mgx＝0，得x＝5h＝36 m，即水平轨道的长度至少为36 m，故选D． 考点8　动能定理的应用 1．动能定理与牛顿运动定律的比较。 比较项目 牛顿运动定律与运动学公式结合法 动能定理 适用条件 只能研究在恒力作用下物体做直线运动的情况 对于物体在恒力或变力作用下，物体做直线运动或曲线运动均适用 应用方法 要考虑运动过程的每一个细节 只考虑各力的做功情况及初、末状态的动能 运算方法 矢量运算 代数运算 相同点 确定研究对象，对物体进行受力分析和运动过程分析 2．优先考虑应用动能定理的情况。 (1)不涉及物体运动过程中的加速度和时间的问题。 (2)变力做功或曲线运动问题。 动能定理提供了一种计算变力做功的简便方法。功的计算公式W＝Flcos α只能求恒力做的功，不能求变力做的功，而动能定理说明了一个物体的动能变化ΔEk与合外力对物体做的功具有等量代换关系，因此，已知(或求出)物体的动能变化ΔEk＝Ek2－Ek1，就可以间接求得变力做的功。 (3)涉及F、l、m、v、W、Ek等物理量的问题。 (4)有多个运动过程且不需要研究整个过程的中间状态的问题。 由于不用注意过程中运动状态变化的细节，且功和动能都是标量，无方向性，故应用动能定理解题更简单，不易出错。 例15．(多选)(2024年广州天河期中)幼儿园滑梯(如图甲所示)是孩子们喜欢的游乐设施之一，滑梯可以简化为如图乙所示模型．一质量为m的小朋友(可视为质点)，从竖直面内、半径为r的圆弧形滑道的A点由静止开始下滑，利用速度传感器测得小朋友到达圆弧最低点B时的速度大小为(g为重力加速度).已知过A点的切线与竖直方向的夹角为30°，过B点的切线水平，滑道各处动摩擦因数相同，则小朋友在沿着AB下滑的过程中(　　) 　　 A．处于先失重后超重状态 B．克服摩擦力做功为 C．机械能的减少量大于重力势能的减少量 D．在最低点B时对滑道的压力大小为mg 答案AD　 解析 小朋友在A点时速度为0，加速度沿着切线向下，处于失重状态，到最低点时加速度竖直向上，处于超重状态，A正确；在整个运动过程中，由动能定理得mgr(1－cos 60°)－Wf＝mv2－0，联立可得克服摩擦力做功为Wf＝mgr，故B错误；克服摩擦力做功即为机械能的减少量，为mgr，而重力势能的减少量为mgr，故C错误；在B点，根据牛顿第二定律得FN－mg＝m，解得FN＝mg，结合牛顿第三定律得小朋友在最低点B时对滑道的压力大小为F′N＝FN＝mg，故D正确． 例16．(多选)如图所示，轻质弹簧的左端固定，并处于自然状态．小物块的质量为m，从A点向左沿水平地面运动，压缩弹簧后被弹回，运动到A点恰好静止．物块向左运动的最大距离为s，与地面间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，弹簧未超出弹性限度．在上述过程中(　　) A．弹簧的最大弹力为μmg B．物块克服摩擦力做的功为2μmgs C．弹簧的最大弹性势能为μmgs D．物块在A点的初速度为 答案BC　 解析 物块向左运动压缩弹簧，弹簧最短时，物块具有向右的加速度，弹力大于摩擦力，即F＞μmg，A错误；根据功的公式，物块克服摩擦力做的功W＝μmgs＋μmgs＝2μmgs，B正确；根据能量守恒，弹簧弹开物块的过程中，弹簧的弹性势能通过摩擦力做功转化为内能，故Epm＝μmgs，C正确；根据能量守恒，在整个过程中，物体的初动能通过摩擦力做功转化为内能，即mv2＝2μmgs，所以v＝2，D错误． 应用动能定理解题的步骤 (1)确定研究对象和研究过程(研究对象一般为单个物体或相对静止的物体组成的系统)。 (2)对研究对象进行受力分析(注意哪些力做功或不做功)。 (3)确定合外力对物体做的功(注意功的正负)。 (4)确定物体的初、末动能(注意动能增量是末动能减初动能)。 (5)根据动能定理列式、求解。 变式8．(2024年湛江一中期中)北京冬奥会冰球比赛在五棵松体育中心场馆举行，绿色环保电车主要用于北京冬奥会冰球比赛场馆的冰务、体育、媒体等领域．有一辆额定功率P＝50 kW、质量m＝2 000 kg的绿色环保电车在水平路面上沿直线行驶时，受到的阻力Ff是车重的0.1倍，重力加速度g取10 m/s2，若电车从静止开始，保持额定功率做加速运动，50 s后达到最大速度，试求： (1)环保电车的最大速度大小； (2)此过程中电车的位移大小． 解析(1)当电车速度达到最大时，电车的牵引力与阻力平衡，即F＝Ff， 受到的阻力Ff＝kmg＝2 000 N， 由电车功率P＝Ffvm， 得电车在此路面上行驶所能达到的最大速度为vm＝＝25 m/s. (2)从静止到达到最大速度整个过程牵引力与阻力做功，由动能定理得Pt－Ffx＝mv， 此过程中电车的位移大小为 x＝937.5 m． 考点9　机械能守恒条件及判断 机械能守恒的几种常见情况。 做功情况 例证 只有重力做功 所有做抛体运动的物体(不计空气阻力)机械能守恒；物体沿固定的光滑平面或曲面运动时机械能守恒 只有弹力做功 轻质弹簧拉着物块在光滑水平面上做往复运动，物块和弹簧组成的系统机械能守恒 只有重力和系统内弹力做功 如图，不计空气阻力，球在运动过程中，只有重力和弹簧与球间的弹力做功，球与弹簧组成的系统机械能守恒。但对球(或者弹簧)来说，机械能不守恒 如图，所有摩擦不计，A在B上自由下滑的过程中，只有重力和A、B间弹力做功，A、B组成的系统机械能守恒。但对B来说，A对B的弹力做正功，这个力对B来说是外力，B的机械能不守恒，同理A的机械能也不守恒 有其他力做功，但做功代数和为0 如图，忽略绳的质量与摩擦，在A、B运动过程中，只有重力和细绳的拉力FA和FB做功，FA做负功，FB做正功，且WA＋WB＝0，故A、B组成的系统机械能守恒。但A(或B)的机械能不守恒，A的机械能减小，B的机械能增加 例17．下列各种运动过程中，物体(弓、过山车、石块、圆珠笔)机械能守恒的是(忽略空气阻力)(　　) 　　 　　 A．将箭搭在弦上，拉弓的整个过程 B．过山车在动力作用下从轨道上缓慢上行的过程 C．在一根细线的中央悬挂着一个石块，双手拉着细线慢慢分开的过程 D．手握内有弹簧的圆珠笔，笔帽抵在桌面放手后圆珠笔弹起的过程 答案D　 解析 将箭搭在弦上，拉弓的整个过程中，拉力对弦做功，故弓机械能不守恒，A错误；过山车在动力作用下从轨道上缓慢上行的过程，动能不变，重力势能变大，故机械能不守恒，B错误；在一根细线的中央悬挂着一个石块，双手拉着细线慢慢分开的过程，动能不变，重力势能增加，故机械能不守恒，C错误；笔帽抵在桌面放手后圆珠笔弹起的过程中，只有重力和圆珠笔弹力做功，故圆珠笔机械能守恒，D正确． 例18．奥运会比赛项目撑竿跳高如图所示，下列说法不正确的是(　　) A．加速助跑过程中，运动员的动能增加 B．起跳上升过程中，竿的弹性势能一直增加 C．起跳上升过程中，运动员的重力势能增加 D．越过横竿后下落过程中，运动员的重力势能减少，动能增加 答案B　 解析 加速助跑过程中速度增大，动能增加，A对；撑竿从开始形变到撑竿恢复形变时，先是运动员部分动能转化为竿的弹性势能，后弹性势能转化为运动员的动能与重力势能，竿的弹性势能不是一直增加，B错；起跳上升过程中，运动员的高度在不断增加，所以运动员的重力势能增加，C对；当运动员越过横竿下落的过程中，他的高度降低、速度增大，重力势能转化为动能，即重力势能减少，动能增加，D对。 判断机械能守恒的方法。 (1)做功分析法(常用于单个物体)。 (2)能量分析法(常用于多个物体组成的系统)。 变式9．如图所示，一轻弹簧固定于O点，另一端系一重物，将重物从与悬点O在同一水平面且弹簧保持原长的A点无初速度地释放，让它自由摆下，不计空气阻力。在重物由A点摆向最低点B的过程中，下列说法正确的是(　　) A．重物的机械能守恒 B．重物的机械能增加 C．重物的重力势能与弹簧的弹性势能之和不变 D．重物与弹簧组成的系统机械能守恒 答案D　 解析 重物由A点摆到B点的过程中，弹簧被拉长，弹簧的弹力对重物做了负功，所以重物的机械能减少，故选项A、B错误；此过程中，由于只有重力和弹簧的弹力做功，所以重物与弹簧组成的系统机械能守恒，即重物减少的重力势能，等于重物获得的动能与弹簧的弹性势能之和，故选项C错误，D正确。 考点10　机械能守恒定律的应用 1．机械能守恒定律的不同表达式。 比较项目 表达式 物理意义 说明 从不同状态看 守恒式：Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2或E初＝E末 初状态的机械能等于末状态的机械能 必须选零势能面 从转化角度看 转化式：Ek2－Ek1＝Ep1－Ep2或ΔEk＝－ΔEp 过程中动能的增加量等于势能的减少量 不必选零势能面 从转移角度看 增量式：EA2－EA1＝EB1－EB2或ΔEA＝－ΔEB 系统只有A、B两物体时，A增加的机械能等于B减少的机械能 2．应用机械能守恒定律的解题步骤。 (1)选取研究对象(物体或系统)。 (2)明确研究对象的运动过程，分析研究对象在运动过程中的受力情况，弄清各力的做功情况，判断机械能是否守恒。 (3)选取恰当的参考平面，确定研究对象在初、末状态的机械能。 (4)选取机械能守恒的某种表达式，列方程求解。 角度1 单个物体的机械能守恒 例19.假设运动员从雪道的最高点A(如图所示)由静止开始滑下，不借助其他器械，沿光滑雪道到达跳台的B点时速度多大？当他落到离B点竖直高度为10 m的雪地C点时，速度又是多大？(设这一过程中运动员没有做其他动作，忽略摩擦和空气阻力，g取10 m/s2) 答案　8.9 m/s　16.7 m/s 解析　方法一　由Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2求解(必须选择参考平面) 滑雪过程中只有重力做功，运动员的机械能守恒。取B点所在水平面为参考平面，由A到B的过程中，由机械能守恒定律得：mv＝mgh1， h1＝5 m－1 m＝4 m， 得vB＝＝4 m/s≈8.9 m/s； 从B点到C点的过程由机械能守恒定律得 mv＝－mgh2＋mv， 其中h2＝10 m，故vC＝＝2 m/s≈16.7 m/s。 方法二　由ΔEk＝－ΔEp求解(不需要选择参考平面) 滑雪过程中，只有重力做功，运动员的机械能守恒， 由A到B过程中，由机械能守恒定律得： mghAB＝mv hAB＝5 m－1 m＝4 m， 得vB≈8.9 m/s； 由B到C过程中，由机械能守恒定律得： mghBC＝mv－mv， hBC＝10 m， 得vC≈16.7 m/s。 变式10．(多选)(2024年广州实验外语学校期中)某马戏团上演的飞车节目如图所示．在竖直平面内有半径为R的固定圆轨道．表演者骑着摩托车在圆轨道内做圆周运动．已知人和摩托车的总质量为m，重力加速度大小为g.摩托车以的速度通过圆轨道的最高点B，关闭摩托车的动力，不计摩擦，忽略空气阻力，人和摩托车整体可视为质点．下列说法正确的是(　　) A．摩托车经过B点时对轨道的压力大小为2mg B．摩托车经过A点时的速度大小为 C．摩托车从B点到A点的过程中，重力的功率先增大后减小 D．摩托车从B点到A点的过程中，先超重后失重 答案 BC　 解析 由题意可知，摩托车在B点时，有FB＋mg＝m，解得FB＝mg，由牛顿第三定律可知，摩托车经过B点时对轨道的压力大小为mg，A错误；摩托车从B点到A点的过程中，由机械能守恒定律有2mgR＋mv＝mv，其中vB＝，解得vA＝，B正确；摩托车从B点到A点的过程中，竖直速度vy先增大后减小，重力的功率P＝mgvy，重力的功率先增大后减小，C正确；摩托车从B点到A点的过程中，加速度竖直分量先向下后向上，即先失重后超重，D错误． 角度2 多物体的机械能守恒 例20.如图所示，质量分别为3 kg和5 kg的物体A、B，用轻绳连接跨在一个定滑轮两侧，轻绳正好拉直，且A物体底面与地面接触，B物体距地面0.8 m，求：(g取10 m/s2) (1)放开B物体，当B物体着地时A物体的速度大小； (2)B物体着地后A物体还能上升多高？ [思路点拨]　(1)在B下落过程中，A与B的速率时刻相等。 (2)在B下落过程中，A、B组成的系统机械能守恒。 (3)当B落地后，A的机械能是守恒的。 答案　(1)2 m/s　(2)0.2 m 解析　(1)方法一　由E1＝E2求解 对于A、B组成的系统，当B下落时系统机械能守恒，以地面为重力势能参考平面，则mBgh＝mAgh＋(mA＋mB)v2， 解得v＝＝ m/s＝2 m/s。 方法二　由ΔEk＝－ΔEp求解 对于A、B组成的系统， 有(mA＋mB)v2＝－(mAgh－mBgh)， 解得v＝2 m/s。 方法三　由ΔEA＝－ΔEB求解 对A、B组成的系统，有 mAgh＋mAv2＝－， 解得v＝2 m/s。 (2)当B落地后，A以2 m/s的速度竖直上抛，则A上升的高度由机械能守恒定律可得mAgh′＝mAv2， 解得h′＝＝ m＝0.2 m。 应用机械能守恒定律解题的几点技巧 (1)应用机械能守恒定律求解多过程问题，要根据题目条件灵活选取研究过程，注意该过程一定要满足机械能守恒的条件。 (2)不论分阶段列式还是整个过程列式，只需考虑该过程的初、末状态，而不需要分析中间过程的复杂变化。 (3)分析多个物体组成系统的机械能是否守恒时，要注意准确处理用绳或杆相连的物体间的速度关系和高度变化的关系。 (4)灵活选择机械能守恒定律的表达式，优先选用ΔEp减＝ΔEk增或ΔEA减＝ΔEB增，以使问题简化。 变式11．(多选)(2024年珠海质检)如图甲所示轻弹簧竖直放置，下端固定在水平地面上，一质量为m的小球从弹簧正上方某一高度处由静止释放，落到弹簧上瞬间粘连(无能量损失)并压缩弹簧至最低处．设弹簧一直在弹性限度内，空气阻力忽略不计，以地面为参考平面，小球的动能随高度变化(由h5下落至h1)的图像如图乙所示．已知h1～h4段图像为曲线，h4～h5段为直线，下列说法正确的是(　　) A．小球向下运动到最低点的过程中，小球和弹簧的系统总机械能守恒 B．小球在h3高度时加速度为0 C．弹簧的劲度系数为 D．小球在h2高度时动能为mg(h2－h1) 答案 AB　 解析 忽略空气阻力，小球向下运动到最低点的过程中，只有重力和弹簧弹力做功，所以小球和弹簧的系统总机械能守恒，故A正确；由图乙可知，小球在h3高度时，动能最大，则速度最大，此时重力与弹簧弹力平衡，小球的加速度为零，故B正确；小球运动到距地面距离为h3时动能最大，根据牛顿第二定律有mg＝kx，其中x＝h4－h3则弹簧的劲度系数为k＝，故C错误；h5～h4过程为直线，故该过程为小球做自由落体运动，到达h4时小球动能为Ek＝mg(h5－h4)，由图可知h2和h4时，小球动能相等，所以小球的高度为h2时，动能为mg(h5－h4)，故D错误． 考点11 实验：验证机械能守恒定律 角度1　实验原理与操作 例21.如图甲为验证“机械能守恒定律”的实验装置示意图。现有的器材为：带铁夹的铁架台、电磁打点计时器、纸带、带铁夹的重锤、天平。回答下列问题： 甲 (1)为完成此实验，除了所给的器材外，还需要的器材有________。(填入正确选项前的字母) A．刻度尺 B．秒表 C．0～12 V的直流电源 D．0～12 V的交流电源 (2)下面列举了该实验的几个操作步骤： A．按照图示的装置安装器材 B．将打点计时器接到电源的“直流输出”上 C．用天平测出重锤的质量 D．先接通电源，后释放纸带，打出一条纸带 E．测量纸带上某些点间的距离 F．根据测量的结果计算重锤下落过程中减少的重力势能是否等于增加的动能 其中操作错误的步骤是________。 (3)实验中误差产生的原因有_______________(写出两个原因)。 (4)利用这个装置也可以测量重锤下落的加速度a的数值。根据打出的纸带，选取纸带上连续的五个点A、B、C、D、E，测出各点之间的距离如图乙所示。使用交流电源的频率为f，则计算重锤下落的加速度的表达式a＝________。(用x1、x2、x3、x4及f表示) 乙 答案　(1)AD　(2)B (3)纸带与打点计时器之间有摩擦力以及空气阻力；用刻度尺测量纸带上点的位置时读数有误差；计算重力势能变化时，选取初、末两点距离过近；交流电源频率不稳定(任选两个便可) (4) 解析　(1)为完成此实验，除了所给的器材外，还需要刻度尺、0～12 V的交流电源。 (2)其中操作错误的步骤是将打点计时器接到电源的“直流输出”上，打点计时器需要交流电源。 (3)纸带与打点计时器之间有摩擦力以及空气阻力；用刻度尺测量纸带上点的位置时读数有误差；计算重力势能变化时，选取初、末两点距离过近；交流电源频率不稳定等。 (4)由Δx＝aT2得： a＝＝。 变式12．(2024年珠海质检)如图甲所示为“用打点计时器验证机械能守恒定律”的实验装置． (1)为了尽量减小实验误差，应使用密度较__________(填“大”或“小”)的重物． (2)某次实验得到的一条纸带如图乙所示．在纸带上选取计数点A、B、C，测得它们到起始点O的距离分别为hA、hB、hC，相邻两个计数点之间还有1个点未画出．重锤质量为m，重力加速度为g，打点计时器打点的周期为T，从打下O点到打下B点的过程中，重锤重力势能的减少量ΔEp＝__________；若已测得B点速度为v，则动能的增加量ΔEk＝__________(可用v表示). (3)由于打点计时器两限位孔不在同一竖直线上，使纸带通过时受到的阻力较大，这样会导致实验结果的动能增加量__________(填“<”“＝”或“>”)重力势能减少量． 答案(1)大　(2)mghB　mv2　(3) < 解析(1)为了尽量减小实验误差，应使用密度较大，体积较小的重物． (2)从打下O点到打下B点的过程中，重锤重力势能的减少量ΔEp＝mghB，B点速度为v，则打B点时重锤的动能为Ek＝mv2，动能增量为ΔEk＝Ek－0＝mv2. (3)重锤下落时还要克服纸带受到的阻力做功，所以动能增加量小于重力势能减少量． 角度2　数据处理与分析 例22.在“验证机械能守恒定律”的实验中，打点计时器所用电源频率为50 Hz，当地重力加速度的值为9.80 m/s2，测得所用重物的质量为1.0 kg。甲、乙、丙三个学生分别用同一装置打出三条纸带，量出各纸带上第1、2两点间的距离分别为0.18 cm、0.18 cm和0.25 cm，可看出其中肯定有一个学生在操作上出现了问题，出现的问题可能是_____________。若按实验要求正确地选出纸带如图 所示(相邻计数点的打点时间间隔为0.02 s)，那么： (1)纸带的________(选填“左”或“右”)端与重物相连。 (2)打点计时器打下计数点B时，重物的速度vB＝______m/s。 (3)从起点O到打下计数点B的过程中重物重力势能的减少量ΔEp＝___J，此过程中重物动能的增加量ΔEk＝________J。 (4)通过计算，数值上ΔEp________(选填“＞”“＝”或“＜”)ΔEk，这是因为_____________。 (5)实验的结论是___________。 (6)若实验中所用电源的频率f<50 Hz，实验结果将会受到什么影响？________。 答案　先释放纸带后接通电源　(1)左 (2)0.98　 (3)0.49　0.48　(4)＞　实验中存在阻力，重物的重力势能不能完全转化为动能　(5)在误差允许的范围内重物的机械能守恒　(6)ΔEk可能大于ΔEp 解析　如果重物做自由落体运动，第1、2两点间的距离应小于0.2 cm，而丙同学的纸带上第1、2两点间的距离大于这个值，说明重物在打第1个点时已有速度，故丙同学在操作时出现的问题可能是先释放纸带后接通电源。 (1)纸带左端相邻两点之间的距离较小，故纸带左端与重物相连。 (2)B点对应的速度vB＝＝0.98 m/s。 (3)ΔEp＝mghOB≈0.49 J，ΔEk＝mv≈0.48 J。 (4)ΔEp＞ΔEk，在实验中存在阻力，重物的重力势能不能完全转化为动能。 (5)在实验误差允许的范围内，重物的机械能守恒。 (6)若f<50 Hz，则vB的计算值偏大，ΔEk可能大于ΔEp。 变式13．(2024年东莞期中)某同学做“验证机械能守恒定律”实验时，在打出的纸带上截取一段，如图所示，纸带上各相邻计时点间的距离已测出标在图中．已知各相邻计时点的时间间隔为T，重物质量为m，重力加速度为g. (1)在打计时点2时重物的速度v2＝______，在打计时点5时重物的速度为v5，从打计时点2到打计时点5的过程中重物的动能增加量大小ΔEk＝__________________(用m、v2、v5表示)，重力势能减少量大小ΔEp＝________________，若ΔEk＝ΔEp，可验证机械能守恒定律成立． (2)但在正确的实验操作过程中，发现结果总有ΔEk<ΔEp，其原因是__________________． 答案(1)　mv－mv　mg(s2＋s3＋s4)　(2) 实验中重物要克服阻力做功 解析(1)匀变速运动中，中间时刻的瞬时速度等于这一段过程中的平均速度，因此可得v2＝，动能增加量等于末动能减初动能，因此可得ΔEk＝mv－mv，重力势能减少量等于重力乘以高度差ΔEp＝mg(s2＋s3＋s4). (2)在正确的实验操作过程中，发现结果总有ΔEk<ΔEp，其原因是物体在运动过程中需要克服阻力做功． 角度3　创新实验设计 例23.利用气垫导轨验证机械能守恒定律，实验装置示意图如图所示。 (1)实验步骤： ①将气垫导轨放在水平桌面上，桌面高度不低于1 m，将导轨调至水平； ②用游标卡尺测量挡光条的宽度为l＝9.30 mm； ③由导轨标尺读出两光电门中心之间的距离x＝____________cm； ④将滑块移至光电门1左侧某处，待砝码静止不动时，释放滑块，要求砝码落地前挡光条已通过光电门2； ⑤从数字计时器(图中未画出)上分别读出挡光条通过光电门1和光电门2所用的时间Δt1和Δt2； ⑥用天平称出滑块和挡光条的总质量M，再称出托盘和砝码的总质量m。 (2)用表示直接测量量的字母写出下列所示物理量的表达式： ①滑块通过光电门1和光电门2时的瞬时速度分别为v1＝________和v2＝________。 ②当滑块通过光电门1和光电门2时，系统(包括滑块、挡光条、托盘和砝码)的总动能分别为Ek1＝________和Ek2＝________。 ③在滑块从光电门1运动到光电门2的过程中，系统势能的减少量ΔEp减＝ _____(重力加速度为g)。 (3)如果ΔEp减＝________，则可认为验证了机械能守恒定律。 答案　(1)③60.00　(2)①　 ②(M＋m)　(M＋m) ③mgx　(3)Ek2－Ek1 解析　(1)③由导轨标尺读出两光电门中心之间的距离x＝80.30 cm－20.30 cm＝60.00 cm。 (2)①由于挡光条宽度很小，因此将挡光条通过光电门时的平均速度看作瞬时速度，挡光条的宽度l可用游标卡尺测量，挡光时间Δt可从数字计时器读出，因此，滑块通过光电门的瞬时速度为，则通过光电门1时瞬时速度为，通过光电门2时瞬时速度为。 ②由于质量事先已用天平测出，由公式Ek＝mv2，可得滑块通过光电门1时系统动能Ek1＝(M＋m)，滑块通过光电门2时系统动能 Ek2＝(M＋m)。 末动能减初动能可得动能的增加量。 ③两光电门中心之间的距离x为砝码和托盘下落的高度，系统势能的减小量ΔEp减＝mgx (3)最后对比Ek2－Ek1与ΔEp减数值大小，若在误差允许的范围内相等，就验证了机械能守恒定律。 变式14．如图甲所示，一同学利用光电计时器等器材做验证机械能守恒定律的实验。有一直径为d、质量为m的金属小球从A处由静止释放，下落过程中能通过A处正下方、固定于B处的光电门，测得A、B间的高度差为H(H≫d)，光电计时器记录下小球通过光电门的时间为t，当地的重力加速度为g。则： 甲　　　　　　　乙 (1)多次改变H，重复上述实验，作出H随的变化图像如图乙所示，当图中已知量t0、H0和重力加速度g及小球的直径d满足表达式_____________时，可判断小球下落过程中机械能守恒。 (2)实验中，因受空气阻力的影响，小球动能增加量ΔEk总是稍小于重力势能减少量ΔEp，适当降低下落高度后，ΔEp－ΔEk将________(选填“增加”“减少”或“不变”)。 答案　(1)H0＝·(或2gH0t＝d2)(2)减少 解析　(1)若小球减少的重力势能等于增加的动能，可以认为小球的机械能守恒，则有 mgH＝mv2，即2gH0＝，解得H0＝·。 (2)由于该过程中有空气阻力做功，而A、B之间高度差越大，空气阻力做功越多，故适当减小下落高度后，ΔEp－ΔEk将减少。 考点12　利用动能定理分析多过程问题 一个物体的运动如果包含多个运动阶段，可以选择分段或全程应用动能定理。 1．分段应用动能定理时，将复杂的过程分割成一个个子过程，对每个子过程的做功情况和初、末动能进行分析，然后针对每个子过程应用动能定理列式，然后联立求解。 2．全程应用动能定理时，分析整个过程中出现过的各力的做功情况，分析每个力做的功，确定整个过程中合外力做的总功，然后确定整个过程的初、末动能，针对整个过程利用动能定理列式求解。 当题目不涉及中间量时，选择全程应用动能定理更简单，更方便。 1．竖直面内一倾斜轨道与一足够长的水平轨道通过一小段光滑圆弧平滑连接，小物块B静止于水平轨道的最左端，如图甲所示。t＝0时刻，小物块A在倾斜轨道上从静止开始下滑，一段时间后与B发生弹性碰撞(碰撞时间极短)；当A返回到倾斜轨道上的P点(图中未标出)时，速度减为0，此时对其施加一外力，使其在倾斜轨道上保持静止。物块A运动的v­t图像如图乙所示，图中的v1和t1均为未知量。 例24.已知A的质量为m，初始时A与B的高度差为H，重力加速度大小为g，不计空气阻力。 在图乙所描述的整个运动过程中，求物块A克服摩擦力所做的功。 甲　　　　　　　　乙 答案　mgH 解析　在题图乙所描述的运动中，设物块A与轨道间的滑动摩擦力大小为f，下滑过程中所走过的路程为s1，返回过程中所走过的路程为s2，P点的高度为h，整个过程中克服摩擦力所做的功为W。由动能定理有 mgH－fs1＝mv－0， ① －(fs2＋mgh)＝0－m， ② 从题图乙所给出的v­t图像可知s1＝v1t1， ③ s2＝··(1.4t1－t1)， ④ 由几何关系＝。 ⑤ 物块A在整个过程中克服摩擦力所做的功为 W＝fs1＋fs2， ⑥ 联立①②③④⑤⑥式可得W＝mgH。 变式15.如图甲所示为2022年北京冬奥会跳台滑雪场馆“雪如意”的效果图。如图乙所示为由助滑区、空中飞行区、着陆缓冲区等组成的依山势而建的赛道示意图。运动员保持蹲踞姿势从A点由静止出发沿直线向下加速运动，经过距离A点s＝20 m处的P点时，运动员的速度为v1＝50.4 km/h。运动员滑到B点时快速后蹬，以v2＝90 km/h的速度飞出，经过一段时间的空中飞行，以v3＝126 km/h的速度在C点着地。已知BC两点间的高度差h＝80 m，运动员的质量m＝60 kg，重力加速度g取9.8 m/s2，计算结果均保留两位有效数字。求： 甲　　　　　　　　　乙 (1)A到P过程中运动员的平均加速度大小； (2)以B点为零势能参考点，求到C点时运动员的机械能； (3)从B点起跳后到C点落地前的飞行过程中，运动员克服阻力做的功。 答案　(1)4.9 m/s2　(2)－1.0×104 J (3)2.9×104 J 解析　(1)v1＝50.4 km/h＝14 m/s， 由速度位移的关系式得v＝2as， 代入数据解得a＝4.9 m/s2。 (2)v2＝90 km/h＝25 m/s， v3＝126 km/h＝35 m/s， 以B点为零势能参考点，到C点时运动员的机械能为 E＝－mgh＋mv， 代入数据解得E≈－1.0×104 J。 (3)从B点起跳后到C点落地前的飞行过程中，由动能定理得 mgh－W＝mv－mv， 代入数据解得W≈2.9×104 J。 考点13　功能关系 1．功是能量转化的量度。 不同形式的能量之间的转化是通过做功实现的。做功的过程就是各种形式的能量之间转化(或转移)的过程。且做了多少功，就有多少能量发生转化(或转移)，因此，功是能量转化的量度。 2．常见的几种功能关系。 功 能的变化 表达式 重力做功 正功 重力势能减少 重力势能变化 WG＝－ΔEp或WG＝Ep1－Ep2 负功 重力势能增加 弹力做功 正功 弹性势能减少 弹性势能变化 W弹＝－ΔEp或W弹＝Ep1－Ep2 负功 弹性势能增加 合力做功 正功 动能增加 动能变化 W合＝ΔEk或W合＝Ek2－Ek1 负功 动能减少 除重力及系统内弹力外其他力做功　 正功 机械能增加 机械能变化 W其他＝ΔE或W其他＝E2－E1 负功 机械能减少 两物体间滑动摩擦力对物体系统做功 内能变化(增加) Q热＝Ff·x相对 例25.(多选)一物块在高3.0 m、长5.0 m的斜面顶端从静止开始沿斜面下滑，其重力势能和动能随下滑距离s的变化如图中直线Ⅰ、Ⅱ所示，重力加速度取10 m/s2。则(　　) A．物块下滑过程中机械能不守恒 B．物块与斜面间的动摩擦因数为0.5 C．物块下滑时加速度的大小为6.0 m/s2 D．当物块下滑2.0 m时机械能损失了12 J [思路点拨]　根据能量图像分析受力情况。物块在下滑过程中重力势能减少，动能增加，故Ⅰ为重力势能随下滑距离s的变化图线，Ⅱ为动能随下滑距离s的变化图线。 答案AB　 解析 由题图可知，初状态时物块的机械能为E1＝30 J，末状态时物块的机械能为E2＝10 J，故物块下滑过程中机械能不守恒，A正确；物块下滑过程损失的机械能转化为克服摩擦力做功产生的内能，设斜面倾角为θ，物块质量为m，由功能关系得μmgcos θ·s＝E1－E2，由几何知识知cos θ＝，物块开始下滑时Ep＝E1＝mgh，由以上各式解得μ＝0.5，m＝1 kg，B正确；由牛顿第二定律得mgsin θ－μmgcos θ＝ma，解得a＝2.0 m/s2，C错误；由功能关系得，物块下滑2.0 m时损失的机械能为ΔE＝μmgcos θ·s1＝8 J，D错误。 变式16.如图所示，遥控电动赛车(可视为质点)从A点由静止出发，经过时间t后关闭电动机，赛车继续前进至B点后进入固定在竖直平面内的圆形光滑轨道，通过轨道最高点P后又进入水平轨道CD上。已知赛车在水平轨道AB部分和CD部分运动时受到的阻力恒为车重的0.5 倍，即k＝＝0.5，赛车的质量m＝0.4 kg，通电后赛车的电动机以额定功率P＝2 W工作，轨道AB的长度L＝2 m，圆形轨道的半径R＝0.5 m，空气阻力可以忽略，取重力加速度g＝10 m/s2。某次比赛，要求赛车在运动过程中既不能脱离轨道，又要在CD轨道上运动的路程最短。在此条件下。求： (1)赛车在CD轨道上运动的最短路程； (2)赛车电动机工作的时间。 答案　(1)2.5 m　(2)4.5 s 解析　(1)要求赛车在运动过程中既不能脱离轨道，又要在CD轨道上运动的路程最短，则赛车经过圆轨道P点时速度最小，此时赛车对轨道的压力为零，重力提供向心力mg＝m 赛车在C点的速度为vC，由机械能守恒定律可得： mg·2R＋mv＝mv， 由上述两式联立，代入数据可得 vC＝5 m/s， 设赛车在CD轨道上运动的最短路程为x， 由动能定理可得－kmgx＝0－mv， 代入数据可得x＝2.5 m。 (2)由于竖直圆轨道光滑，由机械能守恒定律可知： vB＝vC＝5 m/s，从A点到B点的运动过程中，由能量守恒定律可得 Pt＝kmgL＋mv， 代入数据可得t＝4.5 s。 1．(2024年福建部分地市高三质检)如图所示，金铙山主峰白石顶海拔为1 858 m，有“东南秀起第一巅”之称．一质量为60 kg的游客从海拔1 200 m处先乘缆车，后步行约3 600 m登上白石顶，共用时2小时．重力加速度g取10 m/s2，则该游客从乘缆车到登顶的过程中(　　) A．位移大小约为658 m B．平均速度大小约为0.50 m/s C．克服重力所做的功约为3.95×105 J D．克服重力所做功的平均功率约为1.98×105 W 答案C　 解析 根据题意无法确定游客的初末位置间的距离，所以位移不确定，而游客的竖直位移为658 m，A错误；由于位移不确定，不能计算平均速度，B错误；克服重力所做的功W＝mgh＝60×10×658 J＝3.95×105 J，C正确；克服重力所做功的平均功率约为P＝＝ W＝54.8 W，D错误． 2．一辆汽车在水平路面上由静止启动，在前5 s内做匀加速直线运动，5 s末达到额定功率，之后保持额定功率运动，其v－t图像如图所示．已知汽车的质量为m＝2×103 kg，汽车受到地面的阻力为车重的，g取10 m/s2，则(　　) A．汽车在前5 s内的阻力为200 N B．汽车在前5 s内的牵引力为6×103 N C．汽车的额定功率为40 kW D．汽车的最大速度为20 m/s 答案B　 解析 汽车受到地面的阻力为车重的，则阻力Ff＝mg＝×2×103×10 N＝2 000 N，A错误；由题图知前5 s的加速度a＝＝2 m/s2，由牛顿第二定律知前5 s内的牵引力F＝Ff＋ma，得F＝(2 000＋2×103×2)N＝6×103 N，B正确；5 s末达到额定功率P额＝Fv5＝6×103×10 W＝6×104 W＝60 kW，最大速度vmax＝＝ m/s＝30 m/s，C、D错误． 3．一台起重机从静止开始匀加速提起质量为m的重物，当重物的速度为v1时，起重机的有用功率达到最大值P以后，起重机保持该功率不变，继续提升重物，直到以最大速度v2匀速上升为止，则整个过程中，下列说法错误的是(　　) A．起重机对货物的最大拉力为 B．起重机对货物的最大拉力为 C．重物的最大速度v2＝ D．重物做匀加速运动的时间为 答案 B　 解析 匀加速提升重物时钢绳拉力最大，且等于匀加速结束时的拉力，由P＝Fv，得Fm＝，故A正确，B错误；重物以最大速度为v2匀速上升时，F＝mg，所以v2＝＝，故C正确；重物做匀加速运动的加速度a＝＝，则匀加速的时间为t＝＝，故D正确． 4．如图所示，一质量为m＝500 g，静止于地面位置1的足球被球员踢出后落到地面的位置3，在空中达到的最高点2的高度为h＝3 m．以地面为参考平面，则足球在最高点2时的重力势能为(g取10 m/s2)(　　) A．15 J　 B．20 J　 C．500 J　 D．1 500 J 答案A　 解析以地面为零势能参考平面，可得足球在最高点2时的重力势能为Ep＝mgh＝0.5×10×3 J＝15 J，A正确． 5．如图所示，一个质量为M的物体，放在水平地面上，物体上方安装一个长度为L、劲度系数为k的轻弹簧处于原长，现用手拉着弹簧上端的P点缓慢向上移动，直到物体离开地面一段距离，在这一过程中，P点的位移(开始时弹簧处于原长)是H，则物体重力势能的增加量为(　　) A．MgH B．MgH＋ C．MgH－ D．MgH－ 答案C　 解析 物体离开地面时，弹簧伸长x＝，重物上升的高度h＝H－x，重力势能增加量Ep＝Mgh＝MgH－，故C正确。 6．如图所示，撑竿跳是运动会中常见的比赛项目，用于撑起运动员的竿要求具有很好的弹性，下列关于运动员撑竿跳起过程的说法正确的是(　　) A．运动员撑竿刚刚触地时，竿弹性势能最大 B．运动员撑竿跳起到达最高点时，竿弹性势能最大 C．运动员撑竿触地后上升到最高点之前某时刻，竿弹性势能最大 D．以上说法均有可能 答案C　 解析 竿形变量最大时，弹性势能最大，竿刚触地时没有形变，人到最高点时，竿已由弯曲到基本完全伸直，故选项C正确。 7．如图所示，质量为m的物体在水平恒力F的推动下，从山坡底部A处由静止运动至高为h的坡顶B，获得速度为v，AB的水平距离为s.下列说法正确的是(　　) A．物体重力所做的功是mgh B．合力对物体做的功是mv2＋mgh C．推力对物体做的功是Fs－mgh D．阻力对物体做的功是mv2＋mgh－Fs 答案 D　 解析 重力做功WG＝mgΔh＝mg(hA－hB)＝－mgh，故物体克服重力做功为mgh，故A错误；对物体从A运动到B的过程中运用动能定理得W合＝mv2，故B错误；推力F是恒力，在力的方向上的位移为 s，所以W＝Fs，故C错误；根据动能定理可得，WF＋W阻＋WG＝mv2，解得阻力做功W阻＝mv2＋mgh－Fs，故D正确． 8．(多选)如图甲，物体在水平恒力F作用下沿粗糙水平地面由静止开始运动，在t＝1 s时刻撤去恒力F，物体运动的图像如图乙，g取10 m/s2，则(　　) A．物体在3 s内的位移s＝3 m B．恒力F与摩擦力f大小之比F∶f＝3∶1 C．物体与地面间的动摩擦因数为μ＝0.3 D．3 s内恒力做功与克服摩擦力做功之比WF∶W克f＝3∶2 答案 BC　 解析 根据v－t图像与时间轴所围的面积表示位移，可得物体在3 s内的位移s＝ m＝9 m，故A错误；物体在第1 s内和后2 s内的位移分别为s1＝×6×1 m＝3 m，s2＝ m＝6 m，对整个过程，由动能定理，得Fs1－fs＝0，解得F∶f＝3∶1，故B正确；对后2 s内物体的运动过程，由动能定理，得－μmgs2＝0－mv2，解得μ＝0.3，故C正确；对整个过程，由动能定理，得WF－W克f＝0，可得WF∶W克f＝1∶1，故D错误． 9．如图所示，质量为m的物体(可视为质点)以速度v0离开桌面，不计空气阻力，若以桌面为零势能面，则当物体经过A处时，它所具有的机械能是(重力加速度为g)(　　) A．mv B．mv＋mgh C．mv＋mg(H＋h) D．mv＋mgH 答案 A　 解析 由题意知选择桌面为零势能面，则开始时物体机械能为E＝0＋mv，由于不计空气阻力，物体运动过程中机械能守恒，故当物体经过A处时，它所具有的机械能是mv，A正确，B、C、D错误． 10．如图所示，质量为m的小球以某一速度经过固定光滑圆弧轨道的最低点，已知小球经过圆弧轨道最低点时对轨道的压力大小为7mg，不计空气阻力，则小球通过最高点时对轨道的压力大小为(　　) A．0　 B．mg　 C．2mg　 D．3mg 答案 B　 解析 小球经过圆弧轨道最低点时对轨道的压力大小为7mg，根据牛顿第三定律可知，轨道对小球的支持力大小也为7mg，则在最低点有FN－mg＝，由机械能守恒可得mv＝mg·2R＋mv，在最高点有mg＋FN′＝，联立可得在最高点轨道对小球的压力为FN′＝mg，根据牛顿第三定律可知，通过最高点时，小球对轨道的压力大小也为mg.故选B. 11．如图所示，质量为m和3m的小球A和B，系在长为L的细线两端，桌面水平光滑，高为h(h<L)，A球无初速从桌边滑下，落在沙地上静止不动，则B球离开桌边的速度为(　　) A． B． C． D． 答案A　 解析 A球落地之前，对于A、B组成的系统，只有重力做功，系统的机械能守恒，则有mgh＝(m＋3m)v2，解得v＝，A球落地后，B球做匀速直线运动，故B球离开桌面时的速度仍为，选项A正确。 12．(多选)如图所示，在地面上以速度v0抛出质量为m的物体，抛出后物体落到比地面低h的海平面上。若以地面为零势能面，不计空气阻力，则下列说法中正确的是(　　) A．物体到海平面时的重力势能为mgh B．物体到海平面之前任一位置机械能为mv－mgh C．物体在海平面上的动能为mv＋mgh D．物体在海平面上的机械能为mv 答案CD　 解析 物体到达海平面时位于参考平面以下，重力势能为－mgh，A错误；物体运动过程中，只有重力做功，机械能为mv，B错误，D正确；根据机械能守恒定律，可知物体在海平面上的动能Ek＝mv2＝mgh＋mv，C正确。 13．(多选)如图所示，倾角为θ＝30°的粗糙斜面固定在地面上，长为l、质量为m、粗细均匀、质量分布均匀的软绳置于斜面上，其上端与斜面顶端平齐，用细线将物块与软绳连接，物块由静止释放后向下运动，直到软绳刚好全部离开斜面(此时物块未到达地面)，在此过程中(　　) A．物块的机械能逐渐增加 B．软绳重力势能共减少了mgl C．物块减少的重力势能等于软绳克服摩擦力所做的功 D．软绳减少的重力势能小于其增加的动能与克服摩擦力所做的功之和 答案BD　 解析 以物块为研究对象。细线对物块做负功，物块机械能减少，选项A错误；开始时软绳的重心在最高点下端lsin 30°＝处，物块由静止释放后向下运动。当软绳刚好全部离开斜面时，软绳重心在最高点下端处，故软绳的重心下降了l。软绳重力势能共减少了mgl，所以选项B正确；根据功能关系，细线对软绳做的功与软绳重力势能的减少量之和等于其动能的增加与克服摩擦力所做的功之和，物块减少的重力势能等于克服细线拉力所做的功及其动能的增加，所以选项D正确，C错误。 14．如图甲所示是用“落体法”验证机械能守恒定律的实验装置．(g取9.80 m/s2) 甲 (1)选出一条清晰的纸带如图乙所示．其中O点为打点计时器打下的第一个点，A、B、C为三个计数点，打点计时器通以频率为50 Hz的交变电流．用分度值为1 mm的刻度尺测得OA＝12.41 cm，OB＝18.90 cm，OC＝27.06 cm，在计数点A和B、B和C之间还各有一个点．重锤的质量为1.00 kg.甲同学根据以上数据算出：当打点计时器打到B点时重锤的重力势能比开始下落时减少了______J；此时重锤的速度vB＝______m/s.此时重锤的动能比开始下落时增加了________J.(结果均保留三位有效数字) 乙 (2)某同学利用他自己实验时打出的纸带，测量出了各计数点到打点计时器打下的第一个点的距离h，算出了各计数点对应的速度v，然后以h为横轴、以v2为纵轴作出了如图丙所示的图线．图线的斜率近似等于(　　) A．19.6　 B．9.8　 C．4．90 图线未过原点O的原因是___________________________________________． 丙 答案 (1)1.85　1.83　1.67　(2)B　先释放了纸带，后合上打点计时器的开关 解析(1)当打点计时器打到B点时，重锤的重力势能减小量ΔEp＝mg·OB＝1.00×9.80×18.90×10-2 J≈1.85 J；打到B点时重锤的速度vB＝＝ m/s≈1.83 m/s，此时重锤的动能增加量ΔEk＝mv＝×1.00×1.832 J≈1.67 J. (2)由机械能守恒定律，有mv2＝mgh，可得v2＝gh，由此可知图线的斜率近似等于重力加速度g，B正确．由图线可知h＝0时，重锤的速度不等于零，原因是该同学做实验时先释放了纸带，然后才合上打点计时器的开关． 15.(2024年惠州期末)红军长征途中，为了突破敌方关隘，战士爬上陡峭的山头，居高临下向敌方工事内投掷手榴弹，如图所示．若战士某次将质量为m的手榴弹水平抛出，手榴弹从投出的位置到落地点的高度差为h，水平位移大小为L，忽略空气阻力，重力加速度为g，求： (1)手榴弹在空中运动的时间t； (2)抛出手榴弹过程中，战士至少要做多少功； (3)手榴弹落地前瞬间，手榴弹重力的功率． 解析(1)手榴弹在竖直方向上做自由落体运动，可得h＝gt2，解得t＝. (2)手榴弹在水平方向上做匀速直线运动，有v0＝， 手榴弹刚被抛出时的初动能Ek＝mv. 由功能关系得，战士至少做功为W＝mv＝. (3)落地前瞬间，手榴弹竖直方向的速度大小vy＝gt＝， 落地前瞬间，手榴弹重力的功率为PG＝mgvy， 解得PG＝mg. 16．如图所示，半径为R的光滑半圆弧轨道与高为10R的光滑斜轨道放在同一竖直平面内，两轨道之间由一条光滑水平轨道CD相连，水平轨道与斜轨道间有一段圆弧过渡。在水平轨道上，轻质弹簧被a、b两小球挤压但不与两球连接，处于静止状态。同时释放两个小球，a球恰好能通过圆弧轨道的最高点A，b球恰好能到达斜轨道的最高点B。已知a球质量为m1，b球质量为m2，重力加速度为g。求： (1)a球离开弹簧时的速度大小va； (2)b球离开弹簧时的速度大小vb； (3)释放小球前弹簧的弹性势能Ep。 答案　(1)　(2)2 (3)gR 解析　(1)由a球恰好能到达A点知： m1g＝m1， 由机械能守恒定律得 m1v－m1v＝m1g·2R， 解得va＝。 (2)对于b球由机械能守恒定律得m2v＝m2g·10R， 解得vb＝2。 (3)由机械能守恒定律得Ep＝m1v＋m2v， 解得Ep＝gR。 17．为了研究过山车的原理，某兴趣小组提出了下列设想：取一个与水平方向夹角为37°、长为L＝2.0 m的粗糙倾斜轨道AB，通过水平轨道BC与半径为R＝0.2 m的竖直圆轨道相连，出口为水平轨道DE，整个轨道除AB段以外都是光滑的。其中AB与BC轨道以微小圆弧相接，如图所示。一个质量为m＝1 kg的小物块以初速度v0＝5.0 m/s从A点沿倾斜轨道滑下，小物块到达C点时速度为vC＝4.0 m/s。g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。 (1)求小物块到达C点时对圆轨道压力的大小； (2)求小物块从A到B运动过程中摩擦力所做的功； (3)为了使小物块不离开轨道，并从轨道DE滑出，求竖直圆轨道的半径应满足什么条件？ 答案　(1)90 N　(2)－16.5 J　(3)R≤0.32 m 解析　(1)设小物块到达C点时受到圆轨道的支持力大小为FN，根据牛顿第二定律有 FN－mg＝m， 解得FN＝90 N， 根据牛顿第三定律，小物块对圆轨道压力的大小为90 N。 (2)由于水平轨道BC光滑，无摩擦力做功，所以可将研究小物块从A到B的运动过程转化为研究从A到C的过程。 物块从A到C的过程中，根据动能定理有 mgLsin 37°＋Wf＝mv－mv， 解得Wf＝－16.5 J。 (3)设小物块进入圆轨道到达最高点时速度大小为v，根据牛顿第二定律有 FN＋mg＝m，FN＝0时小物块的速度为最小值，则v≥， 小物块从圆轨道最低点到最高点的过程中，根据机械能守恒定律有 mv＝mv2＋2mgR， 联立得R≤， 解得R≤0.32 m。 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 机械能守恒定律 考点1　功的分析与计算 考点2　功率的分析与计算 考点3　机车启动的两种方式 考点4　重力做功的特点 考点5　重力势能的理解 考点6　弹性势能的理解 考点7　动能定理的理解 考点8　动能定理的应用 考点9　机械能守恒条件及判断 考点10　机械能守恒定律的应用 考点11　实验：验证机械能守恒定律 考点12　利用动能定理分析多过程问题 考点13　功能关系 知识点一　功 1． 内容：力对物体所做的功，等于_____、_____的大小、力与位移夹角 的_____这三者的乘积。 2．公式：W＝_____。 3．功是_____(选填“标量”或“矢量”)。 4．功的单位：在国际单位制中，功的单位是焦耳，简称焦，符号是J。 5．功的单位物理意义：1 J等于_____使物体在_____发生1 m位移的过程中所做的功，即1 J＝1 N×1 m＝_____。 知识点二　正功和负功 1．正功和负功。 α的取值 W的取值 含义 α＝ W＝0 力F_____ 0≤α＜ W_____0 力F对物体做_____ ＜α≤π W_____0 力F对物体做_____ 2．总功。 当一个物体在几个力的共同作用下发生一段位移时，这几个力对物体所做的总功，是各个力分别对物体所做功的_____，即W总＝_____。 知识点三　功率 1．定义。 力对物体所做的_____与完成这些功所用_____的比值。 2．定义式。 P＝_____。 3．单位。 在国际单位制中，功率的单位是_____，简称瓦，用符号W表示。 4．意义。 功率是标量，它是表示物体做功_____的物理量。 5．功率与速度。 (1)关系：当一个力与物体运动方向在同一直线上时，这个力对物体做功的功率等于这个力与_____的乘积。 (2)关系式：P＝Fv。 ①若v是物体的平均速度，则P＝Fv为对应时间t内的_____。 ②若v是瞬时速度，则P表示该时刻的_____。 (3)应用：从P＝Fv可以看出，汽车、火车等交通工具，当发动机的功率P一定时，牵引力F与速度成_____，要增大牵引力，就要减小速度。 知识点四　重力做的功 1．重力做功公式WG＝mgΔh的推导。 (1)设一个质量为m的物体，从与地面高度为h1的位置A竖直向下运动到高度为h2的位置B(图甲)。这个过程中重力所做的功为WG＝_____＝mgh1－mgh2。 (2)质量为m的物体，从与地面高度为h1的位置A沿着一个斜面向下运动到高度为h2的位置B′，再水平运动到B(图乙)。物体沿斜面运动的距离为l，则这个过程中重力做的功WG＝_____＝_____＝mgh1－mgh2。　 甲　　　　　　　　　乙 知识点五　重力势能 1． 意义：mgh的特殊意义在于一方面与_____密切相关，另一方面它随 着_____的增加而增加、随着质量的增加而增加，我们把mgh叫作_____。 2．表达式：Ep＝_____。 3．重力势能是_____(选填“矢量”或“标量”)。 4．单位：_____，符号_____。 1 J＝1 kg·m·s－2·m＝_____。 5．重力做功与重力势能的关系。 (1)WG＝_____(其中Ep1表示物体在初位置的重力势能，Ep2表示物体在末位置的重力势能)。 (2)两种情况： ①物体由高处运动到低处时，重力做_____，重力势能_____，即WG_____0，Ep1_____Ep2。 ②物体由低处运动到高处时，重力做负功，重力势能增加，即WG_____0，Ep1_____Ep2。 6．重力势能的相对性。 (1)参考平面：物体的重力势能总是相对于某一_____来说的，在参考平面上，物体的重力势能取作_____。 (2)相对性：选择不同的参考平面，物体重力势能的数值_____(选填“相同”或“不同”)。 (3)正负的含义：参考平面上方物体的重力势能是_____，参考平面下方物体的重力势能是负值。 知识点六　弹性势能 1．定义：发生_____的物体的各部分之间，由于有_____的相互作用，也具有势能，这种势能叫作弹性势能。 2．弹簧的弹性势能：弹簧的长度为原长时，弹性势能为_____；弹簧被_____或被_____时，就具有了弹性势能。 3．弹力做功与弹性势能的变化。 弹簧弹力做正功，弹簧的弹性势能_____；弹簧弹力做负功，弹簧的弹性势能_____。 4．弹性势能大小的相关因素。 (1)弹簧的_____。 (2)弹簧的_____。 知识点七　动能 1．定义： 物体由于_____而具有的能量叫动能，用符号_____表示。 2．表达式： Ek＝_____。 3．单位： 与功的单位相同，国际单位为_____。 1 kg·(m/s)2＝_____＝_____。 4．动能是_____(选填“矢量”或“标量”)，只有大小没有方向。 知识点八　动能定理 1．动能定理的内容： 力在一个过程中对物体做的功，等于物体在这个过程中_____。 2．动能定理的表达式： (1)W＝_____。 (2)W＝_____。 说明：式中W为_____，它等于各力做功的_____。 说明：力对物体做的功是指物体所受的一切外力合外力对它做的功。 3．动能定理的适用范围： 不仅适用于恒力做功和直线运动，也适用于变力做功和曲线运动情况。 知识点九　动能与势能的相互转化 1．重力势能与动能：只有重力做功时，若重力对物体做正功，则物体的重力势能_____，动能_____，_____转化成了动能；若重力做负功，则动能转化为_____。 2．弹性势能与动能：只有弹簧弹力做功时，若弹力做正功，则弹簧弹性势能_____，物体的动能_____，弹性势能转化为动能。 3．机械能：_____、弹性势能和_____都是机械运动中的能量形式，统称为机械能。表达式为E＝Ek＋Ep。 知识点十　机械能守恒定律 1．内容。 在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以_____，而总的机械能_____。 2．守恒定律表达式。 (1)Ek2－Ek1＝_____，即ΔEk增＝_____。 (2)Ek2＋Ep2＝_____。 (3)E2＝_____。 3．守恒条件。 物体系统内只有_____或_____做功。 实验：验证机械能守恒定律 一、实验思路 机械能守恒的前提是“只有重力或弹力做功”，因此设计实验时要考虑满足这一条件的情形。 情形1：自由下落的物体只受到重力作用，满足机械能守恒的条件。 情形2：物体沿光滑斜面下滑时，虽然受到重力和斜面的支持力，但支持力与物体位移方向垂直，对物体不做功，也满足机械能守恒的条件。 二、物理量的测量 根据重力势能和动能的定义，需要测量的物理量有物体的质量、物体所处位置的高度以及物体的运动速度。 1．质量的测量：可用天平测量。 2．高度的测量：可用刻度尺测量。 3．瞬时速度的测量。 (1)用打点计时器打下的纸带测量： 测出打n点前、后相邻两段相等时间T内物体运动的距离xn和xn＋1(或测出hn－1和hn＋1)，由公式vn＝即可得到打n点时物体的瞬时速度，如图所示。 说明：由匀变速直线运动的规律可知，物体某段时间中间时刻的瞬时速度等于这段时间内的平均速度。 (2)用光电门测量： 遮光条通过光电门时的瞬时速度等于遮光条通过光电门时的平均速度，则根据遮光条的宽度l和遮光时间Δt，可以算出物体经过光电门时的速度v＝。 三、数据分析 方法1：计算物体在选定位置上动能与势能的和是否满足 mv＋mgh2＝mv＋mgh1， ① 方法2：计算重物在某两点间的动能变化和势能变化是否满足 mv－mv＝mgh1－mgh2， ② 若在误差允许范围内，等式①(或②)满足，即可验证机械能守恒。 根据上述情况，有两种方案可以验证物体的机械能守恒。 方案Ⅰ　研究自由下落物体的机械能 1．实验器材 铁架台(带铁夹)、打点计时器、重物(带夹子)、纸带、复写纸、导线、毫米刻度尺、低压交流电源(约为8 V)。 2．实验步骤 (1)安装实验装置： 如图所示，将检查、调整好的打点计时器竖直固定在铁架台上，用导线将打点计时器与低压交流电源相连接。 (2)进行实验： ①将纸带的一端用夹子固定在重物上，另一端穿过打点计时器的限位孔。用手提着纸带使重物静止在靠近打点计时器的地方。先接通电源，后松开纸带，让重物带着纸带自由下落，打点结束后立即关闭打点计时器电源。 ②更换纸带，重复做3～5次实验。 (3)选取纸带(分两种情况)： ①如果根据mgh＝mv2验证，应选点迹清晰，所打点在同一条直线上，且第1、2两点间距离略小于2 mm的纸带。(根据h＝gt2，当t＝0.02 s时h＝1.96 mm，说明重物是在打第一个点时开始下落的。) ②如果根据mgΔh＝mv－mv验证，由于重力势能的相对性，处理纸带时，选择适当的点为基准点，这样纸带上打出的第1、2两点间的距离是否略小于2 mm就无关紧要了，只要后面的点迹清晰就可选用。 3．数据处理 方法1：利用起始点和第n点计算。 代入mghn和mv，如果在实验误差允许的范围内mghn和mv相等，即可验证机械能守恒定律。 方法2：任取两点计算。 (1)任取两点A、B，测出hAB，计算出mghAB。 (2)计算出mv－mv的值。 (3)在实验误差允许的范围内，若mghAB＝mv－mv成立，即可验证机械能守恒定律。 方法3：图像法。 从纸带上选取多个点，测量从第一个点到选取各点的下落高度h，并计算出各点速度的二次方v2，然后以v2为纵轴，以h为横轴，根据实验数据绘出v2­h图线。若在误差允许的范围内图线是一条过原点且斜率为g的直线，则验证了机械能守恒定律。 4．实验中的注意事项 (1)注意将打点计时器接在低压交流电源上，调节好振针的高度，使打出的点点迹清晰。 (2)应先接通电源，待打点计时器工作稳定后再释放纸带。 (3)选择点迹清晰的纸带，最好是第1点和第2点间距离略小于2 mm的纸带。 说明：实验中要根据纸带求出重物实际下落的速度，而不能利用v＝或v＝gt计算。同样的道理， 重物下落的高度h也只能用刻度尺直接测量，而不能用h＝gt2或h＝计算。 5．误差分析 (1)在进行长度测量时，测量及读数不准确造成误差。 (2)重物下落要克服阻力做功，部分机械能转化成内能，下落高度越大，机械能损失越多，所以实验数据出现了各计数点对应的机械能依次略有减小的现象。 (3)由于交流电的周期不稳定，造成打点时间间隔变化而产生误差。 方案Ⅱ　研究沿斜面下滑物体的机械能 利用气垫导轨和数字计时器记录物体沿光滑斜面下滑的运动过程。 实验装置如图所示。 (1)先非常仔细地把气垫导轨调成水平，然后用垫块把导轨的一端垫高h1。 质量为m的滑块上面装有宽为l的挡光片，让它由导轨上端任一处滑下，测出它通过光电门G1和G2时的时间Δt1和Δt2，就可算出它由G1到G2这段过程中动能的增加量ΔEk＝m。 (2)由图可知＝，由已知的L值和所取的h1、s值可算出Δh值，然后可以求出滑块由G1到G2这段过程中重力势能的减少量ΔEp＝mgΔh。 (3)由实验结果可看出在误差允许的范围内ΔEp＝ΔEk，从而验证了机械能守恒定律。 考点1　功的分析与计算 1．力对物体是否做功，决定于两个因素。 ①做功的力；②物体在力的方向上发生的位移。而与其他因素，诸如物体运动的快慢、运动的性质、接触面是否光滑、物体质量的大小等均无关系。 2．判断力做正、负功的方法。 (1)根据力F的方向与物体位移l的方向的夹角α判断——常用于恒力做功的情形。 如图所示： ①若夹角α是锐角，力对物体做正功。 ②若夹角α是钝角，力对物体做负功。 ③若夹角α是直角，力对物体不做功。 (2)根据力F的方向与物体瞬时速度方向的夹角α判断——常用于曲线运动的情形。 3．对W＝Flcosα的理解。 (1)W＝Flcos α仅适用于计算恒力的功。 (2)F表示力的大小，l表示力的作用点相对于地面的位移的大小(l也常常说是物体相对于地面的位移大小)，α表示力与位移方向间的夹角，0°≤α≤180°。 注意：表达式W＝Flcosα可理解为“功等于沿力F方向的分位移与力的乘积”，也可以理解为“功等于位移与沿位移方向的分力的乘积”。 4．总功的计算。 (1)先由W＝Flcos α计算各个力对物体所做的功W1、W2、W3…，然后求所有力做功的代数和，即W合＝W1＋W2＋W3＋…。 (2)先由力的合成或根据牛顿第二定律求出合力F合，然后由W合＝F合lcos α计算总功，此时α为F合的方向与l的方向间的夹角。 注意：当在一个过程中几个力作用的位移不相同时，只能用方法(1)。 例1．(2024年宿迁期末)如图所示，力F大小相等，物体运动的位移l与速度v方向相同，物体运动的位移大小l也相等，下列关于F做功的几种说法正确的是(　　) A．因为有摩擦力存在，图甲中力F做的功不能用W＝Flcos 0°计算 B．图乙中力F做的功W＝Flcos 150° C．图丙中力F做的功W＝Flcos 30° D．图丁中力F做的功W＝Flcos 30° 例2．以一定的初速度竖直向上抛出一个质量为m的小球，小球上升的最大高度为h.空气阻力大小恒为f，则从抛出点到返回至原出发点的过程中，下列说法正确的是(　　) A．重力对小球做的功为零，克服空气阻力对小球做的功为2fh B．重力对小球做的功为mgh，空气阻力对小球做的功为fh C．重力对小球做的功为零，空气阻力对小球做的功为零 D．重力对小球做的功为2mgh，空气阻力对小球做的功为－2fh 变式1．(2024年潮州期末)如图所示，将一可以视为质点的质量为m的铁块放在一长为L、质量为M的长木板的最左端，整个装置放在光滑的水平面上，现给铁块一水平向右的初速度，当铁块运动到长木板的最右端时，长木板沿水平方向前进的距离为x(x>L)，如图所示．已知铁块与长木板之间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g.下列说法正确的是(　　) A．摩擦力对长木板所做的功为μmg(x＋L) B．摩擦力对长木板所做的功为μmgx C．摩擦力对长木板所做的功为μmgL D．摩擦力对长木板所做的功为μmg(x－L) 考点2　功率的分析与计算 1．公式P＝和P＝Fv的比较。 公式 定义式P＝ 计算式P＝Fv 适用条件 适用于任何情况下功率的计算 适用于F与v同向的情况 应用 求某个过程中的平均功率。当时间t→0时，可由定义式求瞬时功率 若v表示物体在时间t内的平均速度，则功率P表示力F在时间t内的平均功率；若v表示物体在某一时刻的瞬时速度，则功率P表示力F在该时刻的瞬时功率 公式理解 功率可以用P＝来表示，但功率并不由W、t决定 P一定时，F与v成反比；v一定时，F与P成正比；F一定时，v与P成正比 2．功率的计算。 (1)平均功率的计算： ①利用P＝。 ②利用P＝Fcos α，其中为物体运动的平均速度。 (2)瞬时功率的计算： ①利用公式P＝Fvcos α，其中v为瞬时速度。 ②利用公式P＝FvF，其中vF为物体的速度在力F方向上的分速度。 ③利用公式P＝Fvv，其中Fv为物体受的外力在速度v方向上的分力。 例3．(2024年十堰一模)在杭州亚运会男子百米决赛中，中国一选手夺冠．假设他的心脏在比赛状态下每分钟搏动150次，在一次搏动中泵出的血液约为 120 cm3，推动血液流动的平均压强约为 2.0×104 Pa.则他的心脏在比赛状态下搏动的平均功率约为(　　) A．6 W　 B．60 W C．3．6 W　 D．360 W 例4．假设一只花盆从15楼(距地面高度为h＝45 m)的窗台上静止坠下，忽略空气阻力．已知花盆的质量m＝2 kg，重力加速度g取10 m/s2，求： (1)在花盆下落到地面的过程中，重力对花盆做的功； (2)花盆下落3 s时重力的瞬时功率； (3)花盆下落第3 s内重力的平均功率． 变式2．(2024年佛山一中段测)如图甲，一台起重机将质量m＝200 kg的重物由静止开始竖直向上匀加速提升，4 s末达到额定功率，之后保持该功率继续提升重物，5 s末重物达到最大速度vm.整个过程中重物的v－t图像如图乙所示．g取10 m/s2，不计额外功率．求： (1)匀加速阶段起重机的牵引力； (2)0～4 s内重物克服重力做功的平均功率； (3)起重机的额定功率和重物的最大速度． 　 考点3　机车启动的两种方式 1．机车两种启动方式的过程分析。 两种方式 以恒定功率启动 以恒定加速度启动 P­t图v­t图和F­t图 OA段 过程分析 v⇒F＝ ⇒a＝ a＝不变⇒F不变P＝Fv直到P额＝Fv1 运动性质 加速度减小的加速直线运动 匀加速直线运动、维持时间t0＝　 AB段 过程分析 F＝F阻⇒a＝0⇒F阻＝ v⇒F＝⇒a＝　 运动性质 以vm做匀速直线运动 加速度减小的加速直线运动 BC段 － F＝F阻⇒a＝0⇒F阻＝，以vm做匀速直线运动 2．汽车启动问题中几个物理量的求法。 (1)汽车的最大速度vmax的求法： 汽车做匀速运动时速度最大，此时牵引力F等于阻力Ff，故vmax＝＝。 (2)匀加速启动时，做匀加速运动的时间t的求法： 牵引力F＝ma＋Ff，匀加速运动的最大速度v′max＝，时间t＝。 (3)瞬时加速度a的求法： 根据F＝求出牵引力，则瞬时加速度a＝。 例5.在平直路面上运动的汽车的额定功率为60 kW，若其总质量为5 t，在水平路面上所受的阻力为5×103 N。 (1)求汽车所能达到的最大速度。 (2)若汽车以0.5 m/s2的加速度由静止开始做匀加速运动，则这一过程能维持多长时间？ (3)若汽车以额定功率启动，则汽车车速v′＝2 m/s时其加速度为多大？ [思路点拨]　①汽车速度达到最大的条件是a＝0，即F＝Ff。 ②汽车以恒定加速度a匀加速运动的“收尾”条件是：P＝P额，此时的速度为匀加速运动的最大速度。 ③汽车速度为v′时牵引力F＝。 例6．(多选)(2024年珠海期中)电动汽车能实现更精确的运动控制，有一电动汽车由静止启动并沿直线运动，其速度与时间图像(v－t图像)如图所示，O到t1段图像为倾斜直线，t1到t2段图像为曲线，t2时刻以后的图像为与时间轴平行的直线，则下列选项正确的是(　　) A．O～t1内，牵引力的功率保持不变 B．t1时刻起，牵引力的功率可能保持不变 C．t1～t2内，牵引力大小保持不变 D．t2时刻起，牵引力与阻力大小相等 机车启动动态分析思路 分析机车启动全过程必须抓住三点： (1)正确分析其物理过程。 (2)抓住两个基本公式：功率公式P＝Fv，P是机车的功率，F是机车的牵引力，v是机车的速度；当机车匀速运动时F＝Ff，当机车匀变速运动时，由牛顿第二定律，得F－Ff＝ma。 (3)正确分析公式中各个物理量在各个过程中的变化情况。 变式3．节能环保的电动汽车已成为许多城市出租车的标配，某品牌电动汽车纯电续航约400公里，最大功率为90 kW，电池容量为81 kW·h，快充时间为1.5小时。某次测试中，汽车由静止开始沿平直公路做匀加速直线运动，其运动的速度—时间图像如图所示，在t＝25 s时达到最大功率，之后保持功率不变，在t′时刻达到最大速度，汽车和乘客的总质量为2.5×103 kg，重力加速度g取10 m/s2。求： (1)汽车快速充电过程中充电的平均功率P1； (2)汽车的最大速度； (3)当车速为30 m/s时，汽车的加速度a′。 考点4　重力做功的特点 1．做功表达式：WG＝mgΔh＝mgh1－mgh2，式中Δh指初位置与末位置的高度差；h1、h2分别指初位置、末位置的高度。 2．做功的正负：物体下降时重力做正功；物体被举高时重力做负功。 3．做功的大小：重力对物体做功的大小只跟物体的起点与终点的高度有关，与物体运动的路径无关。 [特别提示]　恒力做功均与路径无关,重力做功的特点可以推广到任一恒力做功，即恒力做功的特点是与具体路径无关，只跟始、末位置有关，恒力做功等于恒力与沿着恒力方向的位移的乘积。 例7．福建土楼兼具居住和防御的功能，承启楼是圆形土楼的典型代表，如图甲所示．承启楼外楼共四层，各楼层高度如图乙所示．同一楼层内部通过直径约50 m的圆形廊道连接．若将质量为100 kg的防御物资先从二楼仓库搬到四楼楼梯口M处，再用100 s沿廊道运送到N处，如图丙所示．重力加速度g取10 m/s2，则(　　) 甲　承启楼 　　 乙　剖面图　　　　　丙　四楼平面图 A.该物资从二楼地面被运送到四楼M处的过程中，克服重力所做的功为5 400 J B．该物资从M处被运送到N处的过程中，克服重力所做的功为78 500 J C．从M处沿圆形廊道运动到N处，位移大小为78.5 m D．从M处沿圆形廊道运动到N处，平均速率为0.5 m/s 例8．某游客领着孩子游泰山时，孩子不小心将手中质量为m的皮球滑落，球从A点滚到了山脚下的B点，高度标记如图所示，则下列说法正确的是(　　) A．从A到B的曲线轨迹长度不知道，无法求出此过程重力做的功 B．从A到B过程中阻力大小不知道，无法求出此过程重力做的功 C．从A到B重力做功mg(H＋h) D．从A到B重力做功mgH 变式4．如图所示，质量为m的小球从高为h处的斜面上的A点滚下，经过水平面BC后，再滚上另一斜面，当它到达高为的D点时，速度为零，在这个过程中，重力做功为(　　) A． B．　 C．mgh　 D．0 考点5　重力势能的理解 1．重力做功与重力势能的关系。 比较 重力做功 重力势能 物理意义 重力对物体做功 由物体与地球的相互作用产生，且由它们之间的相对位置决定的能 表达式 WG＝mgΔh Ep＝mgh 影响大小的因素 重力mg和初、末位置的高度差Δh 重力mg和相对参考平面的高度h 特点 只与初、末位置的高度差有关，与路径及参考平面的选择无关 与参考平面的选择有关，同一位置的物体，选择不同的参考平面，其重力势能的值不同 WG＝Ep1－Ep2＝－ΔEp。 2．重力势能的“四性”。 (1)标量性：重力势能是标量，只有大小，没有方向，但有正、负。 重力势能正、负的含义：正、负值分别表示物体处于参考平面上方和下方。 (2)相对性：选取不同的水平面作为参考平面，其重力势能具有不同的数值，即重力势能的大小与参考平面的选取有关。 (3)绝对性：物体在两个高度不同的位置时，由于高度差一定，重力势能之差也是一定的，即物体的重力势能的变化与参考平面的选取无关。 (4)系统性：重力是地球对物体吸引而产生的，如果没有地球对物体的吸引，就不会有重力，也不存在重力势能，所以重力势能是这个系统共同具有的，平时所说的“物体”的重力势能只是一种简化的说法。 例9．(多选)西双湖风景区内的十七孔桥(如图甲)是除水晶塔之外的又一标志性建筑，它不仅是南北两湖的分界点，更是联系东西两方景区的交通要冲，其模型可简化为图乙。已知孔桥的拱高为h，A、B两点在同一水平面上。一游客在由A点运动到B点的过程中，以下说法正确的是(　　) 甲　　　　　　　　　　　乙 A．游客的重力势能先增大后减小，重力先做负功后做正功 B．游客的重力势能先减小后增大，重力先做负功后做正功 C．游客的重力势能先增大后减小，重力先做正功后做负功 D．游客在整个运动过程中重力做功为零 例10．中国制造的某一型号泵车如图所示，表中列出了其部分技术参数。已知混凝土密度为2.4×103 kg/m3，假设泵车的泵送系统以150 m3/h的输送量给30 m 高处输送混凝土，g取10 m/s2，则每小时泵送系统对混凝土做的功至少为(　　) 发动机最大输出功率/kW 332 最大输送高度/m 63 整车满载质量/kg 5.4×104 最大输送量/(m3·h－1) 180 A．1．08×107 J　　　　 B．5.04×107 J C．1.08×108 J D．2.72×108 J (1)计算物体的重力势能，必须首先选定零势能面。 (2)零势能面以下的重力势能均为负值，“＋”“－”号代表重力势能的大小，因此，比较大小时，一定要带着“＋”“－”号进行比较。 变式5．(2024年深圳实验学校段考)如图所示，一质量为0.2 kg的苹果，从树上高1.8 m的某处先落到地面，又滚入深2.2 m的沟底处停下．该苹果落地前瞬间，重力的瞬时功率和全过程中减少的重力势能为(重力加速度g取10 m/s2)(　　) A．12 W和8 J B．6 W和8 J C．1．2 W和3．6 J D．0.6 W和3.6 J 考点6　弹性势能的理解 1．弹性势能的产生原因： (1)物体发生了弹性形变， (2)各部分间有弹力作用。 2．弹性势能的影响因素： (1)弹簧的形变量x， (2)弹簧的劲度系数k。 注：同一弹簧无论压缩还是伸长，形变量相同，弹性势能相同。 3．弹性势能与弹力做功的关系。 如图所示，O为弹簧的原长处。 (1)弹力做负功时：如物体由O向A运动(压缩)或者由O向A′运动(伸长)时，弹性势能增大，其他形式的能转化为弹性势能。 (2)弹力做正功时：如物体由A向O运动，或者由A′向O运动时，弹性势能减小，弹性势能转化为其他形式的能。 (3)弹力做功与弹性势能变化的关系为W弹＝－ΔEp。 例11．早期的弹弓，一般用“Y”形的树枝制作，如图所示。在树枝的两头分别系上两根相同的橡皮筋，两皮筋之间用一包裹弹丸的皮块连接。将弹丸包裹在皮块间，水平向后拉皮块到某一位置后释放，弹丸被水平射出。下列说法正确的是(　　) A．橡皮筋被拉伸的过程中，橡皮筋的弹力做负功 B．橡皮筋被拉伸的过程中，橡皮筋的弹力做正功 C．弹丸被射出的过程中，橡皮筋的弹性势能不变 D．弹丸被射出的过程中，皮块对弹丸做负功 例12．(2024年清远质检)如图所示，取一支按压式圆珠笔，将笔的按压式小帽朝下按在桌面上，放手后笔将会向上弹起一定的高度．圆珠笔运动过程中始终处于竖直状态．下列说法正确的是(　　) A．下压圆珠笔的过程中，弹簧的弹性势能减小 B．下压圆珠笔过程中，重力对圆珠笔做负功 C．圆珠笔向上运动的过程中重力势能一直增大 D．圆珠笔向上运动的过程中速度一直减小 变式6．一根弹簧的弹力—位移图线如图所示，那么弹簧由伸长量8 cm变到伸长量4 cm的过程中(　　) A．弹力所做的功是3.6 J，弹性势能减少了3.6 J B．弹力所做的功是1.8 J，弹性势能减少了1.8 J C．弹力所做的功是－3.6 J，弹性势能增加了3.6 J D．弹力所做的功是－1.8 J，弹性势能增加了1.8 J 考点7　动能定理的理解 1．对动能定理的理解。 (1)表达式W＝ΔEk中的W为外力对物体做的总功。 (2)动能定理描述了做功和动能变化的两种关系。 ①等值关系：物体动能的变化量等于合力对它做的功。 ②因果关系：合力对物体做功是引起物体动能变化的原因，做功的过程实质上是其他形式的能与动能相互转化的过程，转化了多少由合力做的功来度量。 2．对动能定理的两点说明。 (1)动能定理的表达式是一个标量式，不能在某一方向上应用动能定理，动能没有负值，但动能的变化ΔEk有正负之分。 (2)应用动能定理涉及“一个过程”和“两个状态”。所谓“一个过程”是指做功过程，应明确该过程合力所做的总功；“两个状态”是指初、末两个状态物体的动能。 例13．有一质量为m的木块，从半径为r的圆弧曲面上的a点滑向b点，如图所示。如果由于摩擦使木块的运动速率保持不变，则以下叙述正确的是(　　) A．木块所受的合力为零 B．因木块所受的力对其都不做功，所以合力做功为零 C．重力和摩擦力的合力做的功为零 D．重力和摩擦力的合力为零 例14．(多选)(2024年广州天河期中)如图，无人机以恒定拉力F将重力为G的物体从地面提升到一定高度，若不计空气阻力，则此过程中(　　) A．F所做的功等于物体动能的增加 B．F所做的功等于物体动能和势能的增加 C．F和G的合力所做的功等于物体动能的增加 D．F和G的合力所做的功等于物体机械能的增加 对W＝ΔEk的认识 (1)动能定理说明，合力做功是物体动能变化的原因，物体动能的变化用合力的功来度量。 (2)式中W＞0，ΔEk＞0(动力做功使动能增加)；W＜0，ΔEk<0(阻力做功使动能减少)。 (3)W＝ΔEk，既适用于直线运动，也适用于曲线运动，既适用于恒力做功，也适用于变力做功。 变式7．(2024年清远质检)某游乐场中的水滑梯如图所示，可视为由倾斜的光滑轨道和水平的阻力轨道组成．若人(视为质点)从距水平轨道7.2 m高的水滑梯的顶端滑下，人在水平轨道上受到的平均阻力为其所受重力的.出于安全考虑，要求人不能碰撞水平轨道的末端，则水平轨道的长度至少为(　　) A．12 m B．18 m C．25 m D．36 m 考点8　动能定理的应用 1．动能定理与牛顿运动定律的比较。 比较项目 牛顿运动定律与运动学公式结合法 动能定理 适用条件 只能研究在恒力作用下物体做直线运动的情况 对于物体在恒力或变力作用下，物体做直线运动或曲线运动均适用 应用方法 要考虑运动过程的每一个细节 只考虑各力的做功情况及初、末状态的动能 运算方法 矢量运算 代数运算 相同点 确定研究对象，对物体进行受力分析和运动过程分析 2．优先考虑应用动能定理的情况。 (1)不涉及物体运动过程中的加速度和时间的问题。 (2)变力做功或曲线运动问题。 动能定理提供了一种计算变力做功的简便方法。功的计算公式W＝Flcos α只能求恒力做的功，不能求变力做的功，而动能定理说明了一个物体的动能变化ΔEk与合外力对物体做的功具有等量代换关系，因此，已知(或求出)物体的动能变化ΔEk＝Ek2－Ek1，就可以间接求得变力做的功。 (3)涉及F、l、m、v、W、Ek等物理量的问题。 (4)有多个运动过程且不需要研究整个过程的中间状态的问题。 由于不用注意过程中运动状态变化的细节，且功和动能都是标量，无方向性，故应用动能定理解题更简单，不易出错。 例15．(多选)(2024年广州天河期中)幼儿园滑梯(如图甲所示)是孩子们喜欢的游乐设施之一，滑梯可以简化为如图乙所示模型．一质量为m的小朋友(可视为质点)，从竖直面内、半径为r的圆弧形滑道的A点由静止开始下滑，利用速度传感器测得小朋友到达圆弧最低点B时的速度大小为(g为重力加速度).已知过A点的切线与竖直方向的夹角为30°，过B点的切线水平，滑道各处动摩擦因数相同，则小朋友在沿着AB下滑的过程中(　　) 　　 A．处于先失重后超重状态 B．克服摩擦力做功为 C．机械能的减少量大于重力势能的减少量 D．在最低点B时对滑道的压力大小为mg 例16．(多选)如图所示，轻质弹簧的左端固定，并处于自然状态．小物块的质量为m，从A点向左沿水平地面运动，压缩弹簧后被弹回，运动到A点恰好静止．物块向左运动的最大距离为s，与地面间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，弹簧未超出弹性限度．在上述过程中(　　) A．弹簧的最大弹力为μmg B．物块克服摩擦力做的功为2μmgs C．弹簧的最大弹性势能为μmgs D．物块在A点的初速度为 应用动能定理解题的步骤 (1)确定研究对象和研究过程(研究对象一般为单个物体或相对静止的物体组成的系统)。 (2)对研究对象进行受力分析(注意哪些力做功或不做功)。 (3)确定合外力对物体做的功(注意功的正负)。 (4)确定物体的初、末动能(注意动能增量是末动能减初动能)。 (5)根据动能定理列式、求解。 变式8．(2024年湛江一中期中)北京冬奥会冰球比赛在五棵松体育中心场馆举行，绿色环保电车主要用于北京冬奥会冰球比赛场馆的冰务、体育、媒体等领域．有一辆额定功率P＝50 kW、质量m＝2 000 kg的绿色环保电车在水平路面上沿直线行驶时，受到的阻力Ff是车重的0.1倍，重力加速度g取10 m/s2，若电车从静止开始，保持额定功率做加速运动，50 s后达到最大速度，试求： (1)环保电车的最大速度大小； (2)此过程中电车的位移大小． 考点9　机械能守恒条件及判断 机械能守恒的几种常见情况。 做功情况 例证 只有重力做功 所有做抛体运动的物体(不计空气阻力)机械能守恒；物体沿固定的光滑平面或曲面运动时机械能守恒 只有弹力做功 轻质弹簧拉着物块在光滑水平面上做往复运动，物块和弹簧组成的系统机械能守恒 只有重力和系统内弹力做功 如图，不计空气阻力，球在运动过程中，只有重力和弹簧与球间的弹力做功，球与弹簧组成的系统机械能守恒。但对球(或者弹簧)来说，机械能不守恒 如图，所有摩擦不计，A在B上自由下滑的过程中，只有重力和A、B间弹力做功，A、B组成的系统机械能守恒。但对B来说，A对B的弹力做正功，这个力对B来说是外力，B的机械能不守恒，同理A的机械能也不守恒 有其他力做功，但做功代数和为0 如图，忽略绳的质量与摩擦，在A、B运动过程中，只有重力和细绳的拉力FA和FB做功，FA做负功，FB做正功，且WA＋WB＝0，故A、B组成的系统机械能守恒。但A(或B)的机械能不守恒，A的机械能减小，B的机械能增加 例17．下列各种运动过程中，物体(弓、过山车、石块、圆珠笔)机械能守恒的是(忽略空气阻力)(　　) 　　 　　 A．将箭搭在弦上，拉弓的整个过程 B．过山车在动力作用下从轨道上缓慢上行的过程 C．在一根细线的中央悬挂着一个石块，双手拉着细线慢慢分开的过程 D．手握内有弹簧的圆珠笔，笔帽抵在桌面放手后圆珠笔弹起的过程 例18．奥运会比赛项目撑竿跳高如图所示，下列说法不正确的是(　　) A．加速助跑过程中，运动员的动能增加 B．起跳上升过程中，竿的弹性势能一直增加 C．起跳上升过程中，运动员的重力势能增加 D．越过横竿后下落过程中，运动员的重力势能减少，动能增加 判断机械能守恒的方法。 (1)做功分析法(常用于单个物体)。 (2)能量分析法(常用于多个物体组成的系统)。 变式9．如图所示，一轻弹簧固定于O点，另一端系一重物，将重物从与悬点O在同一水平面且弹簧保持原长的A点无初速度地释放，让它自由摆下，不计空气阻力。在重物由A点摆向最低点B的过程中，下列说法正确的是(　　) A．重物的机械能守恒 B．重物的机械能增加 C．重物的重力势能与弹簧的弹性势能之和不变 D．重物与弹簧组成的系统机械能守恒 考点10　机械能守恒定律的应用 1．机械能守恒定律的不同表达式。 比较项目 表达式 物理意义 说明 从不同状态看 守恒式：Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2或E初＝E末 初状态的机械能等于末状态的机械能 必须选零势能面 从转化角度看 转化式：Ek2－Ek1＝Ep1－Ep2或ΔEk＝－ΔEp 过程中动能的增加量等于势能的减少量 不必选零势能面 从转移角度看 增量式：EA2－EA1＝EB1－EB2或ΔEA＝－ΔEB 系统只有A、B两物体时，A增加的机械能等于B减少的机械能 2．应用机械能守恒定律的解题步骤。 (1)选取研究对象(物体或系统)。 (2)明确研究对象的运动过程，分析研究对象在运动过程中的受力情况，弄清各力的做功情况，判断机械能是否守恒。 (3)选取恰当的参考平面，确定研究对象在初、末状态的机械能。 (4)选取机械能守恒的某种表达式，列方程求解。 角度1 单个物体的机械能守恒 例19.假设运动员从雪道的最高点A(如图所示)由静止开始滑下，不借助其他器械，沿光滑雪道到达跳台的B点时速度多大？当他落到离B点竖直高度为10 m的雪地C点时，速度又是多大？(设这一过程中运动员没有做其他动作，忽略摩擦和空气阻力，g取10 m/s2) 变式10．(多选)(2024年广州实验外语学校期中)某马戏团上演的飞车节目如图所示．在竖直平面内有半径为R的固定圆轨道．表演者骑着摩托车在圆轨道内做圆周运动．已知人和摩托车的总质量为m，重力加速度大小为g.摩托车以的速度通过圆轨道的最高点B，关闭摩托车的动力，不计摩擦，忽略空气阻力，人和摩托车整体可视为质点．下列说法正确的是(　　) A．摩托车经过B点时对轨道的压力大小为2mg B．摩托车经过A点时的速度大小为 C．摩托车从B点到A点的过程中，重力的功率先增大后减小 D．摩托车从B点到A点的过程中，先超重后失重 角度2 多物体的机械能守恒 例20.如图所示，质量分别为3 kg和5 kg的物体A、B，用轻绳连接跨在一个定滑轮两侧，轻绳正好拉直，且A物体底面与地面接触，B物体距地面0.8 m，求：(g取10 m/s2) (1)放开B物体，当B物体着地时A物体的速度大小； (2)B物体着地后A物体还能上升多高？ [思路点拨]　(1)在B下落过程中，A与B的速率时刻相等。 (2)在B下落过程中，A、B组成的系统机械能守恒。 (3)当B落地后，A的机械能是守恒的。 应用机械能守恒定律解题的几点技巧 (1)应用机械能守恒定律求解多过程问题，要根据题目条件灵活选取研究过程，注意该过程一定要满足机械能守恒的条件。 (2)不论分阶段列式还是整个过程列式，只需考虑该过程的初、末状态，而不需要分析中间过程的复杂变化。 (3)分析多个物体组成系统的机械能是否守恒时，要注意准确处理用绳或杆相连的物体间的速度关系和高度变化的关系。 (4)灵活选择机械能守恒定律的表达式，优先选用ΔEp减＝ΔEk增或ΔEA减＝ΔEB增，以使问题简化。 变式11．(多选)(2024年珠海质检)如图甲所示轻弹簧竖直放置，下端固定在水平地面上，一质量为m的小球从弹簧正上方某一高度处由静止释放，落到弹簧上瞬间粘连(无能量损失)并压缩弹簧至最低处．设弹簧一直在弹性限度内，空气阻力忽略不计，以地面为参考平面，小球的动能随高度变化(由h5下落至h1)的图像如图乙所示．已知h1～h4段图像为曲线，h4～h5段为直线，下列说法正确的是(　　) A．小球向下运动到最低点的过程中，小球和弹簧的系统总机械能守恒 B．小球在h3高度时加速度为0 C．弹簧的劲度系数为 D．小球在h2高度时动能为mg(h2－h1) 考点11 实验：验证机械能守恒定律 角度1　实验原理与操作 例21.如图甲为验证“机械能守恒定律”的实验装置示意图。现有的器材为：带铁夹的铁架台、电磁打点计时器、纸带、带铁夹的重锤、天平。回答下列问题： 甲 (1)为完成此实验，除了所给的器材外，还需要的器材有________。(填入正确选项前的字母) A．刻度尺 B．秒表 C．0～12 V的直流电源 D．0～12 V的交流电源 (2)下面列举了该实验的几个操作步骤： A．按照图示的装置安装器材 B．将打点计时器接到电源的“直流输出”上 C．用天平测出重锤的质量 D．先接通电源，后释放纸带，打出一条纸带 E．测量纸带上某些点间的距离 F．根据测量的结果计算重锤下落过程中减少的重力势能是否等于增加的动能 其中操作错误的步骤是________。 (3)实验中误差产生的原因有_______________(写出两个原因)。 (4)利用这个装置也可以测量重锤下落的加速度a的数值。根据打出的纸带，选取纸带上连续的五个点A、B、C、D、E，测出各点之间的距离如图乙所示。使用交流电源的频率为f，则计算重锤下落的加速度的表达式a＝________。(用x1、x2、x3、x4及f表示) 乙 变式12．(2024年珠海质检)如图甲所示为“用打点计时器验证机械能守恒定律”的实验装置． (1)为了尽量减小实验误差，应使用密度较__________(填“大”或“小”)的重物． (2)某次实验得到的一条纸带如图乙所示．在纸带上选取计数点A、B、C，测得它们到起始点O的距离分别为hA、hB、hC，相邻两个计数点之间还有1个点未画出．重锤质量为m，重力加速度为g，打点计时器打点的周期为T，从打下O点到打下B点的过程中，重锤重力势能的减少量ΔEp＝__________；若已测得B点速度为v，则动能的增加量ΔEk＝__________(可用v表示). (3)由于打点计时器两限位孔不在同一竖直线上，使纸带通过时受到的阻力较大，这样会导致实验结果的动能增加量__________(填“<”“＝”或“>”)重力势能减少量． 角度2　数据处理与分析 例22.在“验证机械能守恒定律”的实验中，打点计时器所用电源频率为50 Hz，当地重力加速度的值为9.80 m/s2，测得所用重物的质量为1.0 kg。甲、乙、丙三个学生分别用同一装置打出三条纸带，量出各纸带上第1、2两点间的距离分别为0.18 cm、0.18 cm和0.25 cm，可看出其中肯定有一个学生在操作上出现了问题，出现的问题可能是_____________。若按实验要求正确地选出纸带如图 所示(相邻计数点的打点时间间隔为0.02 s)，那么： (1)纸带的________(选填“左”或“右”)端与重物相连。 (2)打点计时器打下计数点B时，重物的速度vB＝______m/s。 (3)从起点O到打下计数点B的过程中重物重力势能的减少量ΔEp＝___J，此过程中重物动能的增加量ΔEk＝________J。 (4)通过计算，数值上ΔEp________(选填“＞”“＝”或“＜”)ΔEk，这是因为_____________。 (5)实验的结论是___________。 (6)若实验中所用电源的频率f<50 Hz，实验结果将会受到什么影响？________。 变式13．(2024年东莞期中)某同学做“验证机械能守恒定律”实验时，在打出的纸带上截取一段，如图所示，纸带上各相邻计时点间的距离已测出标在图中．已知各相邻计时点的时间间隔为T，重物质量为m，重力加速度为g. (1)在打计时点2时重物的速度v2＝______，在打计时点5时重物的速度为v5，从打计时点2到打计时点5的过程中重物的动能增加量大小ΔEk＝__________________(用m、v2、v5表示)，重力势能减少量大小ΔEp＝________________，若ΔEk＝ΔEp，可验证机械能守恒定律成立． (2)但在正确的实验操作过程中，发现结果总有ΔEk<ΔEp，其原因是__________________． 角度3　创新实验设计 例23.利用气垫导轨验证机械能守恒定律，实验装置示意图如图所示。 (1)实验步骤： ①将气垫导轨放在水平桌面上，桌面高度不低于1 m，将导轨调至水平； ②用游标卡尺测量挡光条的宽度为l＝9.30 mm； ③由导轨标尺读出两光电门中心之间的距离x＝____________cm； ④将滑块移至光电门1左侧某处，待砝码静止不动时，释放滑块，要求砝码落地前挡光条已通过光电门2； ⑤从数字计时器(图中未画出)上分别读出挡光条通过光电门1和光电门2所用的时间Δt1和Δt2； ⑥用天平称出滑块和挡光条的总质量M，再称出托盘和砝码的总质量m。 (2)用表示直接测量量的字母写出下列所示物理量的表达式： ①滑块通过光电门1和光电门2时的瞬时速度分别为v1＝________和v2＝________。 ②当滑块通过光电门1和光电门2时，系统(包括滑块、挡光条、托盘和砝码)的总动能分别为Ek1＝________和Ek2＝________。 ③在滑块从光电门1运动到光电门2的过程中，系统势能的减少量ΔEp减＝ _____(重力加速度为g)。 (3)如果ΔEp减＝________，则可认为验证了机械能守恒定律。 变式14．如图甲所示，一同学利用光电计时器等器材做验证机械能守恒定律的实验。有一直径为d、质量为m的金属小球从A处由静止释放，下落过程中能通过A处正下方、固定于B处的光电门，测得A、B间的高度差为H(H≫d)，光电计时器记录下小球通过光电门的时间为t，当地的重力加速度为g。则： 甲　　　　　　　乙 (1)多次改变H，重复上述实验，作出H随的变化图像如图乙所示，当图中已知量t0、H0和重力加速度g及小球的直径d满足表达式_____________时，可判断小球下落过程中机械能守恒。 (2)实验中，因受空气阻力的影响，小球动能增加量ΔEk总是稍小于重力势能减少量ΔEp，适当降低下落高度后，ΔEp－ΔEk将________(选填“增加”“减少”或“不变”)。 考点12　利用动能定理分析多过程问题 一个物体的运动如果包含多个运动阶段，可以选择分段或全程应用动能定理。 1．分段应用动能定理时，将复杂的过程分割成一个个子过程，对每个子过程的做功情况和初、末动能进行分析，然后针对每个子过程应用动能定理列式，然后联立求解。 2．全程应用动能定理时，分析整个过程中出现过的各力的做功情况，分析每个力做的功，确定整个过程中合外力做的总功，然后确定整个过程的初、末动能，针对整个过程利用动能定理列式求解。 当题目不涉及中间量时，选择全程应用动能定理更简单，更方便。 1．竖直面内一倾斜轨道与一足够长的水平轨道通过一小段光滑圆弧平滑连接，小物块B静止于水平轨道的最左端，如图甲所示。t＝0时刻，小物块A在倾斜轨道上从静止开始下滑，一段时间后与B发生弹性碰撞(碰撞时间极短)；当A返回到倾斜轨道上的P点(图中未标出)时，速度减为0，此时对其施加一外力，使其在倾斜轨道上保持静止。物块A运动的v­t图像如图乙所示，图中的v1和t1均为未知量。 例24.已知A的质量为m，初始时A与B的高度差为H，重力加速度大小为g，不计空气阻力。 在图乙所描述的整个运动过程中，求物块A克服摩擦力所做的功。 甲　　　　　　　　乙 变式15.如图甲所示为2022年北京冬奥会跳台滑雪场馆“雪如意”的效果图。如图乙所示为由助滑区、空中飞行区、着陆缓冲区等组成的依山势而建的赛道示意图。运动员保持蹲踞姿势从A点由静止出发沿直线向下加速运动，经过距离A点s＝20 m处的P点时，运动员的速度为v1＝50.4 km/h。运动员滑到B点时快速后蹬，以v2＝90 km/h的速度飞出，经过一段时间的空中飞行，以v3＝126 km/h的速度在C点着地。已知BC两点间的高度差h＝80 m，运动员的质量m＝60 kg，重力加速度g取9.8 m/s2，计算结果均保留两位有效数字。求： 甲　　　　　　　　　乙 (1)A到P过程中运动员的平均加速度大小； (2)以B点为零势能参考点，求到C点时运动员的机械能； (3)从B点起跳后到C点落地前的飞行过程中，运动员克服阻力做的功。 考点13　功能关系 1．功是能量转化的量度。 不同形式的能量之间的转化是通过做功实现的。做功的过程就是各种形式的能量之间转化(或转移)的过程。且做了多少功，就有多少能量发生转化(或转移)，因此，功是能量转化的量度。 2．常见的几种功能关系。 功 能的变化 表达式 重力做功 正功 重力势能减少 重力势能变化 WG＝－ΔEp或WG＝Ep1－Ep2 负功 重力势能增加 弹力做功 正功 弹性势能减少 弹性势能变化 W弹＝－ΔEp或W弹＝Ep1－Ep2 负功 弹性势能增加 合力做功 正功 动能增加 动能变化 W合＝ΔEk或W合＝Ek2－Ek1 负功 动能减少 除重力及系统内弹力外其他力做功　 正功 机械能增加 机械能变化 W其他＝ΔE或W其他＝E2－E1 负功 机械能减少 两物体间滑动摩擦力对物体系统做功 内能变化(增加) Q热＝Ff·x相对 例25.(多选)一物块在高3.0 m、长5.0 m的斜面顶端从静止开始沿斜面下滑，其重力势能和动能随下滑距离s的变化如图中直线Ⅰ、Ⅱ所示，重力加速度取10 m/s2。则(　　) A．物块下滑过程中机械能不守恒 B．物块与斜面间的动摩擦因数为0.5 C．物块下滑时加速度的大小为6.0 m/s2 D．当物块下滑2.0 m时机械能损失了12 J [思路点拨]　根据能量图像分析受力情况。物块在下滑过程中重力势能减少，动能增加，故Ⅰ为重力势能随下滑距离s的变化图线，Ⅱ为动能随下滑距离s的变化图线。 变式16.如图所示，遥控电动赛车(可视为质点)从A点由静止出发，经过时间t后关闭电动机，赛车继续前进至B点后进入固定在竖直平面内的圆形光滑轨道，通过轨道最高点P后又进入水平轨道CD上。已知赛车在水平轨道AB部分和CD部分运动时受到的阻力恒为车重的0.5 倍，即k＝＝0.5，赛车的质量m＝0.4 kg，通电后赛车的电动机以额定功率P＝2 W工作，轨道AB的长度L＝2 m，圆形轨道的半径R＝0.5 m，空气阻力可以忽略，取重力加速度g＝10 m/s2。某次比赛，要求赛车在运动过程中既不能脱离轨道，又要在CD轨道上运动的路程最短。在此条件下。求： (1)赛车在CD轨道上运动的最短路程； (2)赛车电动机工作的时间。 1．(2024年福建部分地市高三质检)如图所示，金铙山主峰白石顶海拔为1 858 m，有“东南秀起第一巅”之称．一质量为60 kg的游客从海拔1 200 m处先乘缆车，后步行约3 600 m登上白石顶，共用时2小时．重力加速度g取10 m/s2，则该游客从乘缆车到登顶的过程中(　　) A．位移大小约为658 m B．平均速度大小约为0.50 m/s C．克服重力所做的功约为3.95×105 J D．克服重力所做功的平均功率约为1.98×105 W 2．一辆汽车在水平路面上由静止启动，在前5 s内做匀加速直线运动，5 s末达到额定功率，之后保持额定功率运动，其v－t图像如图所示．已知汽车的质量为m＝2×103 kg，汽车受到地面的阻力为车重的，g取10 m/s2，则(　　) A．汽车在前5 s内的阻力为200 N B．汽车在前5 s内的牵引力为6×103 N C．汽车的额定功率为40 kW D．汽车的最大速度为20 m/s 3．一台起重机从静止开始匀加速提起质量为m的重物，当重物的速度为v1时，起重机的有用功率达到最大值P以后，起重机保持该功率不变，继续提升重物，直到以最大速度v2匀速上升为止，则整个过程中，下列说法错误的是(　　) A．起重机对货物的最大拉力为 B．起重机对货物的最大拉力为 C．重物的最大速度v2＝ D．重物做匀加速运动的时间为 4．如图所示，一质量为m＝500 g，静止于地面位置1的足球被球员踢出后落到地面的位置3，在空中达到的最高点2的高度为h＝3 m．以地面为参考平面，则足球在最高点2时的重力势能为(g取10 m/s2)(　　) A．15 J　 B．20 J　 C．500 J　 D．1 500 J 5．如图所示，一个质量为M的物体，放在水平地面上，物体上方安装一个长度为L、劲度系数为k的轻弹簧处于原长，现用手拉着弹簧上端的P点缓慢向上移动，直到物体离开地面一段距离，在这一过程中，P点的位移(开始时弹簧处于原长)是H，则物体重力势能的增加量为(　　) A．MgH B．MgH＋ C．MgH－ D．MgH－ 6．如图所示，撑竿跳是运动会中常见的比赛项目，用于撑起运动员的竿要求具有很好的弹性，下列关于运动员撑竿跳起过程的说法正确的是(　　) A．运动员撑竿刚刚触地时，竿弹性势能最大 B．运动员撑竿跳起到达最高点时，竿弹性势能最大 C．运动员撑竿触地后上升到最高点之前某时刻，竿弹性势能最大 D．以上说法均有可能 7．如图所示，质量为m的物体在水平恒力F的推动下，从山坡底部A处由静止运动至高为h的坡顶B，获得速度为v，AB的水平距离为s.下列说法正确的是(　　) A．物体重力所做的功是mgh B．合力对物体做的功是mv2＋mgh C．推力对物体做的功是Fs－mgh D．阻力对物体做的功是mv2＋mgh－Fs 8．(多选)如图甲，物体在水平恒力F作用下沿粗糙水平地面由静止开始运动，在t＝1 s时刻撤去恒力F，物体运动的图像如图乙，g取10 m/s2，则(　　) A．物体在3 s内的位移s＝3 m B．恒力F与摩擦力f大小之比F∶f＝3∶1 C．物体与地面间的动摩擦因数为μ＝0.3 D．3 s内恒力做功与克服摩擦力做功之比WF∶W克f＝3∶2 9．如图所示，质量为m的物体(可视为质点)以速度v0离开桌面，不计空气阻力，若以桌面为零势能面，则当物体经过A处时，它所具有的机械能是(重力加速度为g)(　　) A．mv B．mv＋mgh C．mv＋mg(H＋h) D．mv＋mgH 10．如图所示，质量为m的小球以某一速度经过固定光滑圆弧轨道的最低点，已知小球经过圆弧轨道最低点时对轨道的压力大小为7mg，不计空气阻力，则小球通过最高点时对轨道的压力大小为(　　) A．0　 B．mg　 C．2mg　 D．3mg 11．如图所示，质量为m和3m的小球A和B，系在长为L的细线两端，桌面水平光滑，高为h(h<L)，A球无初速从桌边滑下，落在沙地上静止不动，则B球离开桌边的速度为(　　) A． B． C． D． 12．(多选)如图所示，在地面上以速度v0抛出质量为m的物体，抛出后物体落到比地面低h的海平面上。若以地面为零势能面，不计空气阻力，则下列说法中正确的是(　　) A．物体到海平面时的重力势能为mgh B．物体到海平面之前任一位置机械能为mv－mgh C．物体在海平面上的动能为mv＋mgh D．物体在海平面上的机械能为mv 13．(多选)如图所示，倾角为θ＝30°的粗糙斜面固定在地面上，长为l、质量为m、粗细均匀、质量分布均匀的软绳置于斜面上，其上端与斜面顶端平齐，用细线将物块与软绳连接，物块由静止释放后向下运动，直到软绳刚好全部离开斜面(此时物块未到达地面)，在此过程中(　　) A．物块的机械能逐渐增加 B．软绳重力势能共减少了mgl C．物块减少的重力势能等于软绳克服摩擦力所做的功 D．软绳减少的重力势能小于其增加的动能与克服摩擦力所做的功之和 14．如图甲所示是用“落体法”验证机械能守恒定律的实验装置．(g取9.80 m/s2) 甲 (1)选出一条清晰的纸带如图乙所示．其中O点为打点计时器打下的第一个点，A、B、C为三个计数点，打点计时器通以频率为50 Hz的交变电流．用分度值为1 mm的刻度尺测得OA＝12.41 cm，OB＝18.90 cm，OC＝27.06 cm，在计数点A和B、B和C之间还各有一个点．重锤的质量为1.00 kg.甲同学根据以上数据算出：当打点计时器打到B点时重锤的重力势能比开始下落时减少了______J；此时重锤的速度vB＝______m/s.此时重锤的动能比开始下落时增加了________J.(结果均保留三位有效数字) 乙 (2)某同学利用他自己实验时打出的纸带，测量出了各计数点到打点计时器打下的第一个点的距离h，算出了各计数点对应的速度v，然后以h为横轴、以v2为纵轴作出了如图丙所示的图线．图线的斜率近似等于(　　) A．19.6　 B．9.8　 C．4．90 图线未过原点O的原因是___________________________________________． 丙 15.(2024年惠州期末)红军长征途中，为了突破敌方关隘，战士爬上陡峭的山头，居高临下向敌方工事内投掷手榴弹，如图所示．若战士某次将质量为m的手榴弹水平抛出，手榴弹从投出的位置到落地点的高度差为h，水平位移大小为L，忽略空气阻力，重力加速度为g，求： (1)手榴弹在空中运动的时间t； (2)抛出手榴弹过程中，战士至少要做多少功； (3)手榴弹落地前瞬间，手榴弹重力的功率． 16．如图所示，半径为R的光滑半圆弧轨道与高为10R的光滑斜轨道放在同一竖直平面内，两轨道之间由一条光滑水平轨道CD相连，水平轨道与斜轨道间有一段圆弧过渡。在水平轨道上，轻质弹簧被a、b两小球挤压但不与两球连接，处于静止状态。同时释放两个小球，a球恰好能通过圆弧轨道的最高点A，b球恰好能到达斜轨道的最高点B。已知a球质量为m1，b球质量为m2，重力加速度为g。求： (1)a球离开弹簧时的速度大小va； (2)b球离开弹簧时的速度大小vb； (3)释放小球前弹簧的弹性势能Ep。 17．为了研究过山车的原理，某兴趣小组提出了下列设想：取一个与水平方向夹角为37°、长为L＝2.0 m的粗糙倾斜轨道AB，通过水平轨道BC与半径为R＝0.2 m的竖直圆轨道相连，出口为水平轨道DE，整个轨道除AB段以外都是光滑的。其中AB与BC轨道以微小圆弧相接，如图所示。一个质量为m＝1 kg的小物块以初速度v0＝5.0 m/s从A点沿倾斜轨道滑下，小物块到达C点时速度为vC＝4.0 m/s。g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。 (1)求小物块到达C点时对圆轨道压力的大小； (2)求小物块从A到B运动过程中摩擦力所做的功； (3)为了使小物块不离开轨道，并从轨道DE滑出，求竖直圆轨道的半径应满足什么条件？ 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$