专题02 万有引力与宇宙航行（考点清单）-2024-2025学年高一物理下学期期末考点大串讲（粤教版2019）

专题02 万有引力与宇宙航行 考点1　开普勒定律的应用 考点2　中心天体质量和密度的估算 考点3　卫星运行规律分析 考点4　卫星或天体的追及和相遇问题 考点5　卫星变轨与对接问题 考点6　双星或多星模型 一、开普勒三定律 定律 内容 图示或公式 开普勒第一定律(轨道定律) 所有行星绕太阳运动的轨道都是_____，太阳处在_____的一个焦点上 开普勒第二定律(面积定律) 对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的_____相等 开普勒第三定律(周期定律) 所有行星轨道的半长轴的_____跟它的公转周期的_____的比都相等 ＝k，k是一个与行星无关的常量 适用条件：适用于宇宙中一切环绕同一中心天体的运动。 二、万有引力定律及应用 1．内容：自然界中任何两个物体都是相互吸引的，引力的大小 与__________成正比，与___________________成反比。 2．公式：F＝_____，其中G为引力常量，G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，其值由卡文迪什通过扭秤实验测得。公式中的r是两个物体之间的_____。 3．适用条件：适用于两个_____或均匀球体；r为两质点或均匀球体球心间的距离。 三、天体或卫星运动问题分析 1．将天体或卫星的运动看成_____运动，其所需向心力由_____提供。 2．表达式 G＝ma＝m＝mrω2＝_____。 四、宇宙速度 1．第一宇宙速度 (1)第一宇宙速度又叫_____速度，其数值为_____km/s。 (2)第一宇宙速度是人造卫星在_____附近环绕地球做匀速圆周运动时具有的速度。 (3)第一宇宙速度是人造卫星的最小_____速度，也是人造卫星的最大_____速度。 2．第二宇宙速度(脱离速度) 使物体挣脱_____引力束缚的最小发射速度，其数值为_____km/s。 3．第三宇宙速度(逃逸速度) 使物体挣脱_____引力束缚的最小发射速度，其数值为_____km/s。 五、相对论时空观与牛顿力学的局限性 1．相对论时空观 (1)爱因斯坦的两个假设：①在不同的惯性参考系中，物理规律的形式都是 _____的。 ②真空中的光速在不同的惯性参考系中大小都是_____的。 (2)爱因斯坦假设的结果 ①时间延缓效应 如果相对于地面以v运动的惯性参考系上的人观察到与其一起运动的物体完成某个动作的时间间隔为Δτ，地面上的人观察到该物体完成这个动作的时间间隔为Δt，那么两者之间的关系是Δt＝_____。 ②长度收缩效应 如果与杆相对静止的人测得杆长是l0，沿着杆的方向，以v相对杆运动的人测得杆长是l，那么两者之间的关系是l＝_____。 2．牛顿力学的成就与局限性 牛顿力学适用于宏观物体，低速运动。 考点1　开普勒定律的应用 1．行星绕太阳的运动通常按圆轨道处理。 2．由开普勒第二定律可得v1·Δt·r1＝v2·Δt·r2，解得＝，即行星在两个位置的速度之比与到太阳的距离成反比，近日点速度最大，远日点速度最小。 3．开普勒第三定律＝k中，k值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k值不同。该定律只能用在同一中心天体的两星体之间。 例1.德国天文学家开普勒对第谷观测的行星数据进行多年研究，得出著名的开普勒行星三定律.设太阳系的行星绕太阳做匀速圆周运动的半径的立方与周期的平方的比值为k1，土星的卫星绕土星做匀速圆周运动的半径的立方与周期的平方的比值为k2，地球的卫星绕地球做匀速圆周运动的半径的立方与周期的平方的比值为k3.已知M太阳＞M土星＞M地球，则（　　） A.k1＝k2＝k3 B.k1＞k2＞k3 C.k1＜k2＜k3 D.k1＞k2＝k3 例2.如图所示，是某小行星绕太阳运动的椭圆轨道，M、N、P是小行星依次经过的三个位置，F1、F2为椭圆的两个焦点。小行星由M到N和由N到P的过程中，通过的路程相等，小行星与太阳中心的连线扫过的面积分别为S1和S2。已知由M到N过程中，太阳的引力对小行星做正功。下列判断正确的是(　　) A．太阳位于焦点F1处 B．S1>S2 C．在M和N处，小行星的动能EkM>EkN D．在N和P处，小行星的加速度aN>aP 变式1.2023年4月12日，水星抵达今年第一次东大距的位置。由于水星是地内行星，平时都在太阳附近难以观察，从地球看出去，水星和太阳的最大夹角θ(也称距角，即“大距”)时，观测时机最佳，如图所示。若将水星与地球的公转均视为圆周运动，地球公转周期约为水星公转周期的4倍，则水星东大距时的距角θ的正弦值sin θ为(　　) A． B． C． D． 考点2　中心天体质量和密度的估算 使用方法 已知量 利用公式 表达式 备注 质量 的计算 利用运行天体（天体环绕法） r、T G＝mr M＝ 只能得到中心天体的质量 r、v G＝m M＝ v、T G＝m G＝mr M＝ 利用天体表面重力加速度（重力加速度法） g、R mg＝ M＝ “黄金代换”GM＝gR2 密度 的计算 利用运行天体（天体环绕法） r、T、R G＝mr M＝ρ·πR3 ρ＝，当r＝R时ρ＝ 利用近地卫星只需测出其运行周期 利用天体表面重力加速度（重力加速度法） g、R mg＝ M＝ρ·πR3 ρ＝ 例3.在地球上观察，月球和太阳的角直径（直径对应的张角）近似相等，如图所示.若月球绕地球运动的周期为T1，地球绕太阳运动的周期为T2，地球半径是月球半径的k倍，则地球与太阳的平均密度之比约为（　　） A.k3（）2 B.k3（）2 C.（）2 D.（）2 例4.截至2023年3月，“祝融号”火星车在火星表面已累计行驶1921m，向地球传回大量科学探究的数据.如果着陆前探测器近火星绕行的周期为100min.已知地球平均密度为5.5×103kg/m3，地球近地卫星的周期为85min.估算火星的平均密度约为（　　） A．3．8×103kg/m3 B.4.0×103kg/m3 C．4．2×103kg/m3 D.4.5×103kg/m3 估算天体质量和密度时应注意的问题 (1)利用万有引力提供天体做圆周运动的向心力估算天体质量时，估算的只是中心天体的质量，并非环绕天体的质量。 (2)区别天体半径R和卫星轨道半径r，只有在天体表面附近运动的卫星才有r≈R；计算天体密度时，V＝πR3中的R只能是中心天体的半径。 (3)在考虑中心天体自转问题时，只有在两极处才有＝mg。 变式2.(多选)中国新闻网宣布：在摩洛哥坠落的陨石被证实来自火星。某同学想根据平时收集的部分火星资料计算出火星的密度，再与这颗陨石的密度进行比较。下列计算火星密度的公式正确的是(引力常量G已知，忽略火星自转的影响)(　　) A．ρ＝ B．ρ＝ C．ρ＝ D．ρ＝ 考点3卫星运行规律分析 1．卫星运动遵循的规律：卫星绕地球沿椭圆轨道运动时，地心在椭圆的一个焦点上，卫星的周期和半长轴的关系遵循开普勒第三定律。 2．卫星轨道的圆心：卫星绕地球沿圆形轨道运动时，因为地球对卫星的万有引力提供了卫星绕地球运动的向心力，而万有引力指向地心，所以地心是卫星圆轨道的圆心。 3．卫星的轨道：卫星的轨道平面可以在赤道平面内（如同步卫星），可以通过两极上空（如极地卫星），也可以和赤道平面成任意角度。 4．运行参量 （1）由 得 ， 越大，轨道半径越大，线速度越小。 （2）由 得 ， 越大，轨道半径越大，角速度越小。 （3）由 得 ， 越大，轨道半径越大，周期越大。 （4）由 得 ， 越大，轨道半径越大，向心加速度越小。 例5.（2024陕西榆林三校联考）2023年5月30日，神舟十六号载人飞船进入太空并成功与天和核心舱对接.若天和核心舱做匀速圆周运动的轨道半径是地球半径的k倍，天和核心舱与地球中心的连线在单位时间内扫过的面积为S0，已知地球半径为R，引力常量为G.下列说法正确的是（　　） A.天和核心舱的环绕周期为 B.地球的质量为 C.天和核心舱处的重力加速度大小为 D.地球的密度为 例6.根据宇宙大爆炸理论，密度较大区域的物质在万有引力作用下，不断聚集可能形成恒星.恒星最终的归宿与其质量有关，如果质量为太阳质量的1～8倍将坍缩成白矮星，质量为太阳质量的10～20倍将坍缩成中子星，质量更大的恒星将坍缩成黑洞.设恒星坍缩前后可看成质量均匀分布的球体，质量不变，体积缩小，自转变快.不考虑恒星与其他物体的相互作用.已知逃逸速度为第一宇宙速度的倍，中子星密度大于白矮星.根据万有引力理论，下列说法正确的是（　　） A.同一恒星表面任意位置的重力加速度相同 B.恒星坍缩后表面两极处的重力加速度比坍缩前的大 C.恒星坍缩前后的第一宇宙速度不变 D.中子星的逃逸速度小于白矮星的逃逸速度 变式3.嫦娥五号返回器从月球归来初入大气层时的速度可以接近第二宇宙速度，为避免高速带来的高温过载风险，采用了“半弹道跳跃式返回”减速技术.如图所示，返回器从a点第一次进入大气层，调整返回器姿态，使其经b点升高，再从c点“跳”出大气层，在太空中潇洒地打个“水漂”，升高到距地面高度为h的d点后，再次从e点进入大气层返回地球.假设返回器从c点到e点的过程为无动力飞行.已知地球表面重力加速度为g，地球的半径为R，引力常量为G.结合以上信息，下列说法正确的是（　　） A.从a点到c点的过程中，返回器机械能守恒 B.在d点，返回器的速度大于第一宇宙速度 C.在d点，返回器的加速度大小为 D.在e点返回器处于超重状态 考点4 卫星或天体的追及和相遇问题 1．问题简述：天体运动中的“相遇”是指两天体运行过程中相距最近，如图甲所示，而图乙时刻，地球和行星相距最远。 2．解题关键：从图甲开始分析两天体转过的角度或圈数。 3．卫星或天体相距最近或相距最远的条件 角度关系 相距最近 ω1t－ω2t＝n·2π(n＝1,2,3，…)(同向)，或ω1t＋ω2t＝2nπ(n＝1,2,3，…)(反向) 相距最远 ω1t′－ω2t′＝(2n－1)π(n＝1,2,3，…)(同向)，或ω1t′＋ω2t′＝(2n－1)π(n＝1,2,3，…)(反向) 圈数关系 相距最近 －＝n(n＝1,2,3，…)(同向)，或＋＝n(n＝1,2,3，…)(反向) 相距最远 －＝n－(n＝1,2,3，…)(同向)，或＋＝n－(n＝1,2,3，…)(反向) 例7.某卫星绕地心的运动视为匀速圆周运动，其周期为地球自转周期T的，运行的轨道与地球赤道不共面，如图所示.t0时刻，卫星恰好经过地球赤道上P点正上方.地球的质量为M，半径为R，引力常量为G.则（　　） A.卫星距地面的高度为－R B.卫星与位于P点处物体的向心加速度大小比值为 C.从t0时刻到下一次卫星经过P点正上方时，卫星绕地心转过的角度为20π D.每次经最短时间实现卫星距P点最近到最远的行程，卫星绕地心转过的角度比地球的多7π 例8.如图，火星与地球近似在同一平面内.绕太阳沿同一方向做匀速圆周运动，火星的轨道半径大约是地球的1.5倍.地球上的观测者在大多数的时间内观测到火星相对于恒星背景由西向东运动，称为顺行；有时观测到火星由东向西运动，称为逆行.当火星、地球、太阳三者在同一直线上，且太阳和火星位于地球两侧时，称为火星冲日.忽略地球自转，只考虑太阳对行星的引力，下列说法正确的是（　　） A.火星的公转周期大约是地球的倍 B.在冲日处，地球上的观测者观测到火星的运动为顺行 C.在冲日处，地球上的观测者观测到火星的运动为逆行 D.在冲日处，火星相对于地球的速度最小 变式4.如图所示，A、B为地球的两个轨道共面的人造卫星，运行方向相同，A为地球同步卫星，A、B两卫星的轨道半径的比值为k，地球自转周期为T0。某时刻A、B两卫星距离达到最近，从该时刻起到A、B间距离最远所经历的最短时间为(　　) A． B． C． D． 考点5　卫星变轨与对接问题 图示 轨道 轨道Ⅰ（圆） 轨道Ⅱ（椭圆） 轨道Ⅲ（圆） 近地点A 远地点B 变轨起因 在A点速度变大，由轨道Ⅰ变为轨道Ⅱ；在A点速度变小，由轨道Ⅱ变为轨道Ⅰ 在B点速度变大，由轨道Ⅱ变为轨道Ⅲ；在B点速度变小，由轨道Ⅲ变为轨道Ⅱ 速度 在A点加速，vAⅡ＞vAⅠ；从A点到B点，引力做负功，速度一直减小；在B点再加速，vBⅢ＞vBⅡ；由于卫星在圆形轨道Ⅰ上的速度大于在圆形轨道Ⅲ上的速度，所以有vAⅡ＞vAⅠ＞vBⅢ＞vBⅡ 加速度 根据a＝知，加速度大小与r有关，可得aAⅠ＝aAⅡ＞aBⅡ＝aBⅢ 周期 根据开普勒第三定律知，＝＝，可得TⅠ＜TⅡ＜TⅢ.从A点到B点的时间tAB＝TⅡ 机械能 由轨道Ⅰ变为轨道Ⅱ，要消耗其他能量，转化为动能，则EⅠ＜EⅡ，同理，由轨道Ⅱ变为轨道Ⅲ，有EⅡ＜EⅢ，故EⅠ＜EⅡ＜EⅢ（俗称“高轨高能”） 例9.空间站在地球外层的稀薄大气中绕行，因气体阻力的影响，轨道高度会发生变化.空间站安装有发动机，可对轨道进行修正.图中给出了国际空间站在2020.02～2020.08期间离地高度随时间变化的曲线，则空间站（　　） A.绕地运行速度约为2.0km/s B.绕地运行速度约为8.0km/s C.在4月份绕行的任意两小时内机械能可视为守恒 D.在5月份绕行的任意两小时内机械能可视为守恒 命题拓展1. 图中给出了国际空间站在2020.05～2020.06期间离地高度随时间变化的图线，则空间站（　　） A.动能变小 B.能量变大 C.加速度变大 D.周期变大 例10.（2024湘豫名校联考）2023年5月30日，神舟十六号在酒泉卫星发射中心发射升空，成功将航天员景海鹏、朱杨柱、桂海潮顺利送入太空.发射入轨后，神舟十六号与天宫空间站进行交会对接，停靠于空间站核心舱的径向端口，对接后的组合体仍在空间站原轨道上运行.对接前，天宫空间站与神舟十六号的轨道如图所示，则下列说法正确的是（　　） A.对接前，神舟十六号与天宫空间站绕地球做圆周运动的方向相反 B.对接前，神舟十六号绕地球做圆周运动的线速度大小比天宫空间站的大 C.神舟十六号需要运动到天宫空间站后下方变轨才能实现对接 D.神舟十六号需要运动到天宫空间站正下方变轨才能实现对接 变式5.如图为我国发射北斗卫星的示意图，先将卫星发射到半径为r1＝r的圆轨道上做匀速圆周运动，到A点时使卫星加速进入椭圆轨道，到椭圆轨道的远地点B点时，再次改变卫星的速度，使卫星进入半径为r2＝2r的圆轨道上做匀速圆周运动.已知卫星在椭圆轨道时距地心的距离与速度的乘积为定值，卫星在椭圆轨道上A点时的速度为v，卫星的质量为m，地球质量为M，引力常量为G，则发动机在A点对卫星做的功与在B点对卫星做的功之差为（不计卫星的质量变化）（　　） A.mv2＋ B.mv2－ C.mv2＋ D.mv2－ 考点6　双星或多星模型 1．双星模型 （1）各自需要的向心力由彼此间的万有引力提供，即 ＝m1r1，＝m2r2. （2）两颗星的周期及角速度都相同，即 T1＝T2，ω1＝ω2. （3）两颗星的轨道半径与它们之间的距离关系为r1＋r2＝L. （4）推论：两颗星到轨道圆心的距离r1、r2与两颗星质量的关系为＝. （5）推论：双星的运行周期T＝2π. （6）推论：双星的总质量m1＋m2＝. 2．多星模型 分析处理多星问题，必须明确所研究星体所受的万有引力的合力提供其做圆周运动的向心力.除中心星体 外，各星体的角速度和周期相等. （1）已观测到稳定的三星系统存在的形式有： ①三颗星位于同一直线上，两颗环绕星体围绕中心星体在同一半径为R的圆形轨道上运行，如图甲所示. ②三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点上，如图乙所示. （2）宇宙中存在一些离其他恒星很远的四颗恒星组成的四星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用.稳定的四星系统存在多种形式： ①四颗质量相等的恒星位于正方形的四个顶点上，沿外接于该正方形的圆形轨道做匀速圆周运动，如图丙所示. ②三颗恒星始终位于等边三角形的三个顶点上，另一颗恒星位于等边三角形的中心O点，外围三颗恒星绕O点做匀速圆周运动，如图丁所示. 例11.（2024山东日照高三校联考开学考试）2023年6月21日，国际学术期刊《自然》刊载：“中国天眼FAST”发现了一个名为PSRJ1953＋1844（M71E）的双星系统，其轨道周期仅为53分钟，是目前发现轨道周期最短的脉冲星双星系统.假设双星系统中两颗脉冲星在演化过程中，质量较大的脉冲星不断“吸食”质量较小的脉冲星，直至完全吞并.某双星系统中的两颗脉冲星a和b的质量分别为m1、m2，其中m2＝14m1，轨道周期为T，万有引力常量为G.根据提供的信息，下列说法正确的是（　　） A.两颗脉冲星的距离为 B.脉冲星a的线速度大小为 C.脉冲星b的密度为 D.若在演化过程中双星间的距离保持不变，则双星间的引力逐渐减小 例12.宇宙中存在一些离其他恒星较远的三星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用，三星质量也相同。现已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星做圆周运动，如图甲所示；另一种是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行，如图乙所示。设两种系统中三个星体的质量均为m，且两种系统中各星间的距离已在图中标出，引力常量为G，则下列说法中正确的是(　　) A．直线三星系统中星体做圆周运动的线速度大小为 B．直线三星系统中星体做圆周运动的周期为2π C．三角形三星系统中每颗星做圆周运动的角速度为2 D．三角形三星系统中每颗星做圆周运动的加速度大小为 变式6.双星的运动是产生引力波的来源之一，假设宇宙中有一双星系统由a、b两颗星组成，这两颗星绕它们连线的某一点在万有引力作用下做匀速圆周运动，测得a星的周期为T，a、b两颗星的距离为l，a、b两颗星的轨道半径之差为Δr（a星的轨道半径大于b星的轨道半径），则（　　） A.b星的周期为T B.a星的线速度大小为 C.a、b两颗星的轨道半径的比值为 D.a、b两颗星的质量的比值为 1．（2024湖北荆州模拟）长征七号A运载火箭于2023年1月9日在中国文昌航天发射场点火升空，托举实践二十三号卫星直冲云霄，随后卫星进入预定轨道，发射取得圆满成功.已知地球表面的重力加速度大小为g，地球的半径为R，实践二十三号卫星距地面的高度为h（小于同步卫星距地面的高度），入轨后绕地球做匀速圆周运动，则（　　） A.该卫星的线速度大于7.9km/s B.该卫星的动能大于同步卫星的动能 C.该卫星的加速度大小等于g D.该卫星的角速度大于同步卫星的角速度 2．在星球表面发射探测器，当发射速度为v时，探测器可绕星球表面做匀速圆周运动；当发射速度达到v时，可摆脱星球引力束缚脱离该星球.已知地球、火星两星球的质量比约为10∶1，半径比约为2∶1，下列说法正确的有（　　） A.探测器的质量越大，脱离星球所需要的发射速度越大 B.探测器在地球表面受到的引力比在火星表面的大 C.探测器脱离两星球所需要的发射速度相等 D.探测器脱离星球的过程中，势能逐渐增大 3．（2024安徽安庆模拟）我国首次执行火星探测任务的“天问一号”探测器已于2021年2月10日成功环绕火星飞行.已知火星公转轨道半径是地球公转轨道半径的，火星的半径为地球半径的，火星的质量为地球质量的，探测器在一定高度绕火星做匀速圆周运动的运行周期为T，火星和地球绕太阳公转的轨道都可近似为圆轨道，地球和火星可视为均匀球体，则（　　） A.火星的平均密度为 B.火星的公转周期和地球的公转周期之比为 C.火星第一宇宙速度与地球第一宇宙速度之比为 D.火星表面的重力加速度与地球表面的重力加速度之比为 4．（2024江西名校联考）如图，神舟十六号载人飞船与天和核心舱对接前经B点由椭圆轨道Ⅰ变轨至圆形轨道Ⅱ，A、B两点分别为椭圆轨道Ⅰ的近地点和远地点，飞船在A点时对地球的张角（在同一平面内，从A点向地球作两条切线，这两条切线的夹角就是飞船在A点对地球的张角）为2α，在B点时对地球的张角为2β，飞船在轨道Ⅰ上A点加速度为a1、运动周期为T1，在轨道Ⅱ上B点加速度为a2、运动周期为T2，下列关系正确的是（　　） A.a1：a2＝sin2α：sin2β B.a1：a2＝sin2β：sin2α C.＝ D.＝ 5．（2024安徽滁州开学考）为了实现人类登陆火星的梦想，我国宇航员王跃正与俄罗斯宇航员一起进行“模拟登火星”实验活动.已知火星半径是地球半径的，质量是地球质量的，自转周期基本相同.地球表面重力加速度是g，若王跃在地面上能向上跳起的最大高度是h，在忽略自转影响的条件下，下列说法正确的是（　　） A.王跃以相同的初速度在火星上起跳时，跳起的最大高度是 B.火星表面的重力加速度是g C.火星的平均密度是地球平均密度的 D.王跃在火星表面受的万有引力是在地球表面受万有引力的 6．（2024江苏海安高级中学阶段测试）2022年11月12日，天舟五号与空间站天和核心舱成功对接，此次发射任务从点火发射到完成交会对接（如图），全程仅用2个小时，创世界最快交会对接纪录，标志着我国航天交会对接技术取得了新突破.在交会对接的最后阶段，天舟五号与空间站处于同一轨道上同向运动，两者的运行轨道均视为圆周.要使天舟五号在同一轨道上追上空间站实现对接，天舟五号喷射燃气的方向可能正确的是（　　） A. B. C. D. 7．如图所示，1、2轨道分别是天宫二号飞船在变轨前、后的轨道，下列说法正确的是（　　） A.飞船从1轨道变到2轨道要点火加速 B.飞船在1轨道的周期大于2轨道的 C.飞船在1轨道的速度大于2轨道的 D.飞船在1轨道的加速度大于2轨道的 8．（2024江苏靖江中学校考）若将地球和月球看成一个双星系统，两者间距离为L，它们绕着两者连线上的某点做匀速圆周运动，运行周期为T，从漫长的宇宙演化来看，两者质量都不断减小，将导致月地间距离变大.若引力常量为G，则下列说法正确的是（　　） A.当前月球和地球的动能相等 B.当前该双星系统的总质量为 C.在将来的演化过程中，该双星系统运转的周期将逐渐减小 D.在将来的演化过程中，该双星系统的总动能将逐渐增大 9．（2024湖南师大附中校考）为简化“天问一号”探测器在火星软着陆的问题，可以认为地球和火星在同一平面上绕太阳做匀速圆周运动，如图1所示.火星探测器在火星附近的A点减速后，被火星捕获进入了1号椭圆轨道，紧接着在B点进行了一次“侧手翻”，即从与火星赤道平行的1号椭圆轨道，调整为经过火星两极的2号轨道，将探测器绕火星飞行的路线从“横着绕”变成“竖着绕”，从而实现对火星表面的全面扫描，如图2所示.以火星为参考系，质量为M1的探测器沿1号椭圆轨道到达B点时速度为v1，为了实现“侧手翻”，此时启动发动机，在极短的时间内喷出部分气体，假设气体为一次性喷出，喷气后探测器质量变为M2、速度变为与v1垂直的v2.已知地球的公转周期为T1，火星的公转周期为T2，地球公转轨道半径为r1，以下说法正确的是（　　） A.火星公转轨道半径为r2＝（r1 B.喷出气体速度u的大小为 C.假设实现“侧手翻”的能量全部来源于化学能，化学能向动能转化比例为k（k＜1），此次“侧手翻”消耗的化学能ΔE＝ D.考虑到飞行时间和节省燃料，地球和火星处于图1中相对位置时是在地球上发射火星探测器的最佳时机，则在地球上相邻两次发射火星探测器最佳时机的时间间隔为Δt＝ 10.万有引力定律揭示了天体运行规律与地上物体运动规律具有内在的一致性. （1）用弹簧秤称量一个相对于地球静止的小物体的重力，随称量位置的变化可能会有不同的结果.已知地球质量为M，自转周期为T，引力常量为G.将地球视为半径为R、质量均匀分布的球体，不考虑空气的影响.设在地球北极地面称量时，弹簧秤的读数是F0. a.若在北极上空高出地面h处称量，弹簧秤读数为F1，求比值的表达式，并就h＝1.0％R的情形算出具体数值（计算结果保留2位有效数字）. b.若在赤道地面称量，弹簧秤读数为F2，求比值的表达式. （2）设想地球绕太阳公转的圆周轨道半径r、太阳的半径RS和地球的半径R三者均减小为现在的1.0％，而太阳和地球的密度均匀且不变.仅考虑太阳和地球之间的相互作用，以现实地球的1年为标准，计算“设想地球”的1年将变为多长. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 万有引力与宇宙航行 考点1　开普勒定律的应用 考点2　中心天体质量和密度的估算 考点3　卫星运行规律分析 考点4　卫星或天体的追及和相遇问题 考点5　卫星变轨与对接问题 考点6　双星或多星模型 一、开普勒三定律 定律 内容 图示或公式 开普勒第一定律(轨道定律) 所有行星绕太阳运动的轨道都是_椭圆　，太阳处在_椭圆　的一个焦点上 开普勒第二定律(面积定律) 对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的_面积　相等 开普勒第三定律(周期定律) 所有行星轨道的半长轴的_三次方　跟它的公转周期的_二次方　的比都相等 ＝k，k是一个与行星无关的常量 适用条件：适用于宇宙中一切环绕同一中心天体的运动。 二、万有引力定律及应用 1．内容：自然界中任何两个物体都是相互吸引的，引力的大小与_两物体质量的乘积__成正比，与_两物体间距离的二次方__成反比。 2．公式：F＝_G　，其中G为引力常量，G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，其值由卡文迪什通过扭秤实验测得。公式中的r是两个物体之间的_距离__。 3．适用条件：适用于两个_质点__或均匀球体；r为两质点或均匀球体球心间的距离。 三、天体或卫星运动问题分析 1．将天体或卫星的运动看成_匀速圆周__运动，其所需向心力由_万有引力__提供。 2．表达式 G＝ma＝m＝mrω2＝_mr2　。 四、宇宙速度 1．第一宇宙速度 (1)第一宇宙速度又叫_环绕__速度，其数值为_7.9__km/s。 (2)第一宇宙速度是人造卫星在_地球表面__附近环绕地球做匀速圆周运动时具有的速度。 (3)第一宇宙速度是人造卫星的最小_发射__速度，也是人造卫星的最大_环绕__速度。 2．第二宇宙速度(脱离速度) 使物体挣脱_地球__引力束缚的最小发射速度，其数值为_11.2__km/s。 3．第三宇宙速度(逃逸速度) 使物体挣脱_太阳__引力束缚的最小发射速度，其数值为_16.7__km/s。 五、相对论时空观与牛顿力学的局限性 1．相对论时空观 (1)爱因斯坦的两个假设：①在不同的惯性参考系中，物理规律的形式都是_相同__的。 ②真空中的光速在不同的惯性参考系中大小都是_相同__的。 (2)爱因斯坦假设的结果 ①时间延缓效应 如果相对于地面以v运动的惯性参考系上的人观察到与其一起运动的物体完成某个动作的时间间隔为Δτ，地面上的人观察到该物体完成这个动作的时间间隔为Δt，那么两者之间的关系是Δt＝_　。 ②长度收缩效应 如果与杆相对静止的人测得杆长是l0，沿着杆的方向，以v相对杆运动的人测得杆长是l，那么两者之间的关系是l＝_l0　。 2．牛顿力学的成就与局限性 牛顿力学适用于宏观物体，低速运动。 考点1　开普勒定律的应用 1．行星绕太阳的运动通常按圆轨道处理。 2．由开普勒第二定律可得v1·Δt·r1＝v2·Δt·r2，解得＝，即行星在两个位置的速度之比与到太阳的距离成反比，近日点速度最大，远日点速度最小。 3．开普勒第三定律＝k中，k值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k值不同。该定律只能用在同一中心天体的两星体之间。 例1.德国天文学家开普勒对第谷观测的行星数据进行多年研究，得出著名的开普勒行星三定律.设太阳系的行星绕太阳做匀速圆周运动的半径的立方与周期的平方的比值为k1，土星的卫星绕土星做匀速圆周运动的半径的立方与周期的平方的比值为k2，地球的卫星绕地球做匀速圆周运动的半径的立方与周期的平方的比值为k3.已知M太阳＞M土星＞M地球，则（　　） A.k1＝k2＝k3 B.k1＞k2＞k3 C.k1＜k2＜k3 D.k1＞k2＝k3 答案B 解析　由万有引力提供向心力有G＝mr，则＝k＝，式中的k只与中心天体的质量有关，由于M太阳＞M土星＞M地球，因此k1＞k2＞k3，故B正确. 例2.如图所示，是某小行星绕太阳运动的椭圆轨道，M、N、P是小行星依次经过的三个位置，F1、F2为椭圆的两个焦点。小行星由M到N和由N到P的过程中，通过的路程相等，小行星与太阳中心的连线扫过的面积分别为S1和S2。已知由M到N过程中，太阳的引力对小行星做正功。下列判断正确的是(　　) A．太阳位于焦点F1处 B．S1>S2 C．在M和N处，小行星的动能EkM>EkN D．在N和P处，小行星的加速度aN>aP 答案　B 解析　已知由M到N过程中，太阳的引力对小行星做正功，说明小行星靠近太阳运动，所以太阳位于焦点F2处，A错误；根据开普勒行星运动定律可知小行星由M到P的过程中速度逐渐增大，小行星由M到N和由N到P的过程中，通过的路程相等，所以小行星由M到N运动时间大于由N到P的运动时间，由开普勒第二定律可知S1>S2，B正确；由动能定理，由M到N过程中，万有引力做正功，则动能增大，即EkM<EkN，C错误；根据万有引力公式F＝G，可知小行星在N处的引力小于在P处的引力，由牛顿第二定律F＝ma，得aN<aP，D错误。 变式1.2023年4月12日，水星抵达今年第一次东大距的位置。由于水星是地内行星，平时都在太阳附近难以观察，从地球看出去，水星和太阳的最大夹角θ(也称距角，即“大距”)时，观测时机最佳，如图所示。若将水星与地球的公转均视为圆周运动，地球公转周期约为水星公转周期的4倍，则水星东大距时的距角θ的正弦值sin θ为(　　) A． B． C． D． 答案　B 解析　根据开普勒第三定律＝，根据几何关系sin θ＝，联立解得sin θ＝，故选B。 考点2　中心天体质量和密度的估算 使用方法 已知量 利用公式 表达式 备注 质量 的计算 利用运行天体（天体环绕法） r、T G＝mr M＝ 只能得到中心天体的质量 r、v G＝m M＝ v、T G＝m G＝mr M＝ 利用天体表面重力加速度（重力加速度法） g、R mg＝ M＝ “黄金代换”GM＝gR2 密度 的计算 利用运行天体（天体环绕法） r、T、R G＝mr M＝ρ·πR3 ρ＝，当r＝R时ρ＝ 利用近地卫星只需测出其运行周期 利用天体表面重力加速度（重力加速度法） g、R mg＝ M＝ρ·πR3 ρ＝ 例3.在地球上观察，月球和太阳的角直径（直径对应的张角）近似相等，如图所示.若月球绕地球运动的周期为T1，地球绕太阳运动的周期为T2，地球半径是月球半径的k倍，则地球与太阳的平均密度之比约为（　　） A.k3（）2 B.k3（）2 C.（）2 D.（）2 答案D 解析　 例4.截至2023年3月，“祝融号”火星车在火星表面已累计行驶1921m，向地球传回大量科学探究的数据.如果着陆前探测器近火星绕行的周期为100min.已知地球平均密度为5.5×103kg/m3，地球近地卫星的周期为85min.估算火星的平均密度约为（　　） A．3．8×103kg/m3 B.4.0×103kg/m3 C．4．2×103kg/m3 D.4.5×103kg/m3 答案B 解析　卫星在行星表面绕行星做匀速圆周运动时，根据万有引力提供向心力可得＝mR，设行星密度为ρ，则有M＝ρ·R3，联立可得ρ＝，则有＝，解得火星的平均密度约为ρ火＝ρ地＝×5.5×103 kg/m3≈4.0×103 kg/m3，B正确，A、C、D错误. 估算天体质量和密度时应注意的问题 (1)利用万有引力提供天体做圆周运动的向心力估算天体质量时，估算的只是中心天体的质量，并非环绕天体的质量。 (2)区别天体半径R和卫星轨道半径r，只有在天体表面附近运动的卫星才有r≈R；计算天体密度时，V＝πR3中的R只能是中心天体的半径。 (3)在考虑中心天体自转问题时，只有在两极处才有＝mg。 变式2.(多选)中国新闻网宣布：在摩洛哥坠落的陨石被证实来自火星。某同学想根据平时收集的部分火星资料计算出火星的密度，再与这颗陨石的密度进行比较。下列计算火星密度的公式正确的是(引力常量G已知，忽略火星自转的影响)(　　) A．ρ＝ B．ρ＝ C．ρ＝ D．ρ＝ 答案　ACD 解析　设近火卫星的质量为m，火星的质量为M，对近火卫星，火星的万有引力提供其做匀速圆周运动的向心力，则有＝·，可得M＝，可得火星的密度为ρ＝＝，将M＝代入上式可得ρ＝，故C、D正确；又火星对近火卫星的万有引力近似等于近火卫星的重力，则有mg0＝G，解得M＝，因此火星的密度为ρ＝＝＝，A正确，B错误。 考点3卫星运行规律分析 1．卫星运动遵循的规律：卫星绕地球沿椭圆轨道运动时，地心在椭圆的一个焦点上，卫星的周期和半长轴的关系遵循开普勒第三定律。 2．卫星轨道的圆心：卫星绕地球沿圆形轨道运动时，因为地球对卫星的万有引力提供了卫星绕地球运动的向心力，而万有引力指向地心，所以地心是卫星圆轨道的圆心。 3．卫星的轨道：卫星的轨道平面可以在赤道平面内（如同步卫星），可以通过两极上空（如极地卫星），也可以和赤道平面成任意角度。 4．运行参量 （1）由 得 ， 越大，轨道半径越大，线速度越小。 （2）由 得 ， 越大，轨道半径越大，角速度越小。 （3）由 得 ， 越大，轨道半径越大，周期越大。 （4）由 得 ， 越大，轨道半径越大，向心加速度越小。 例5.（2024陕西榆林三校联考）2023年5月30日，神舟十六号载人飞船进入太空并成功与天和核心舱对接.若天和核心舱做匀速圆周运动的轨道半径是地球半径的k倍，天和核心舱与地球中心的连线在单位时间内扫过的面积为S0，已知地球半径为R，引力常量为G.下列说法正确的是（　　） A.天和核心舱的环绕周期为 B.地球的质量为 C.天和核心舱处的重力加速度大小为 D.地球的密度为 答案B 解析　由几何关系得S0＝π(kR)2，所以天和核心舱的环绕周期T＝，选项A错误；由万有引力提供向心力得G＝mkR，解得地球的质量M＝，选项B正确；由万有引力等于重力得G＝mg，所以天和核心舱处的重力加速度大小g＝，选项C错误；由ρ＝、V＝πR3可得地球的密度ρ＝，选项D错误. 例6.根据宇宙大爆炸理论，密度较大区域的物质在万有引力作用下，不断聚集可能形成恒星.恒星最终的归宿与其质量有关，如果质量为太阳质量的1～8倍将坍缩成白矮星，质量为太阳质量的10～20倍将坍缩成中子星，质量更大的恒星将坍缩成黑洞.设恒星坍缩前后可看成质量均匀分布的球体，质量不变，体积缩小，自转变快.不考虑恒星与其他物体的相互作用.已知逃逸速度为第一宇宙速度的倍，中子星密度大于白矮星.根据万有引力理论，下列说法正确的是（　　） A.同一恒星表面任意位置的重力加速度相同 B.恒星坍缩后表面两极处的重力加速度比坍缩前的大 C.恒星坍缩前后的第一宇宙速度不变 D.中子星的逃逸速度小于白矮星的逃逸速度 答案B 解析　恒星自转万有引力F万有两个效果 从赤道到两极F向↓，mg↑，A错 两极g极＝R↓，g极↑，B对 第一宇宙速度v＝v↑，C错 逃逸速度v'＝v＝v'＝（πG3M2ρD错 变式3.嫦娥五号返回器从月球归来初入大气层时的速度可以接近第二宇宙速度，为避免高速带来的高温过载风险，采用了“半弹道跳跃式返回”减速技术.如图所示，返回器从a点第一次进入大气层，调整返回器姿态，使其经b点升高，再从c点“跳”出大气层，在太空中潇洒地打个“水漂”，升高到距地面高度为h的d点后，再次从e点进入大气层返回地球.假设返回器从c点到e点的过程为无动力飞行.已知地球表面重力加速度为g，地球的半径为R，引力常量为G.结合以上信息，下列说法正确的是（　　） A.从a点到c点的过程中，返回器机械能守恒 B.在d点，返回器的速度大于第一宇宙速度 C.在d点，返回器的加速度大小为 D.在e点返回器处于超重状态 答案C 解析　嫦娥五号返回器从a点到c点的过程中，空气阻力做功，机械能不守恒，A错误；嫦娥五号返回器经过d点后做近心运动，有G＞m，即v＜，又因为第一宇宙速度为v1＝，故v＜v1，B错误；在d点，由牛顿第二定律有G＝ma，又GM＝gR2，联立可得a＝，C正确；在e点返回器加速度有向下的分量，故返回器处于失重状态，D错误. 考点4 卫星或天体的追及和相遇问题 1．问题简述：天体运动中的“相遇”是指两天体运行过程中相距最近，如图甲所示，而图乙时刻，地球和行星相距最远。 2．解题关键：从图甲开始分析两天体转过的角度或圈数。 3．卫星或天体相距最近或相距最远的条件 角度关系 相距最近 ω1t－ω2t＝n·2π(n＝1,2,3，…)(同向)，或ω1t＋ω2t＝2nπ(n＝1,2,3，…)(反向) 相距最远 ω1t′－ω2t′＝(2n－1)π(n＝1,2,3，…)(同向)，或ω1t′＋ω2t′＝(2n－1)π(n＝1,2,3，…)(反向) 圈数关系 相距最近 －＝n(n＝1,2,3，…)(同向)，或＋＝n(n＝1,2,3，…)(反向) 相距最远 －＝n－(n＝1,2,3，…)(同向)，或＋＝n－(n＝1,2,3，…)(反向) 例7.某卫星绕地心的运动视为匀速圆周运动，其周期为地球自转周期T的，运行的轨道与地球赤道不共面，如图所示.t0时刻，卫星恰好经过地球赤道上P点正上方.地球的质量为M，半径为R，引力常量为G.则（　　） A.卫星距地面的高度为－R B.卫星与位于P点处物体的向心加速度大小比值为 C.从t0时刻到下一次卫星经过P点正上方时，卫星绕地心转过的角度为20π D.每次经最短时间实现卫星距P点最近到最远的行程，卫星绕地心转过的角度比地球的多7π 答案BCD 解析　对卫星由万有引力提供向心力有G＝m(R＋h)，解得h＝－R，A错误；对卫星有m(R＋h)＝ma，对地球赤道上P点处的物体有m'R＝m'a'，联立解得＝，B正确；设从t0时刻到卫星经过P点正上方的时间为t，假设下一次卫星经过P点正上方时是在地球的另一侧关于球心对称的位置，则卫星运动的圈数和地球运动的圈数均为整数 圈加半圈，又地球运动的半周期为0.5T，卫星运动的半周期为0.15T，则有＝2k －1，＝2k'－1，k、k'均为正整数，联立得6k'＝20k－7，显然假设不成立，故下 一次卫星经过P点正上方时还是在t0时刻的位置，则卫星运动的圈数和地球运动的圈 数均为整数圈，又地球运动的周期为T，卫星运动的周期为0.3T，则有＝n，＝ n'，n、n'均为正整数，联立得3n'＝10n，得最小的满足条件的n'＝10，即从t0时刻到 下一次卫星经过P点正上方的过程，卫星运动了10圈，所以卫星绕地心转过的角度 为θ＝10×2π＝20π，C正确；设实现卫星距P点最近到最远的时间为t'，则有＝2n1－1、＝n2或＝n3、＝2n4－1，n1、n2、n3、n4均为正整数，解得最小的满足条件的n1＝2、n2＝5，此时t'＝1.5T，即实现卫星距P点最近到最远的最短时间为1.5T，故卫星绕地心转过的角度比地球的多2π(－)＝7π，D正确. 例8.如图，火星与地球近似在同一平面内.绕太阳沿同一方向做匀速圆周运动，火星的轨道半径大约是地球的1.5倍.地球上的观测者在大多数的时间内观测到火星相对于恒星背景由西向东运动，称为顺行；有时观测到火星由东向西运动，称为逆行.当火星、地球、太阳三者在同一直线上，且太阳和火星位于地球两侧时，称为火星冲日.忽略地球自转，只考虑太阳对行星的引力，下列说法正确的是（　　） A.火星的公转周期大约是地球的倍 B.在冲日处，地球上的观测者观测到火星的运动为顺行 C.在冲日处，地球上的观测者观测到火星的运动为逆行 D.在冲日处，火星相对于地球的速度最小 答案CD 解析　由开普勒第三定律可知，由于火星轨道半径大于地球轨道半径，所以火星公转周期一定大于地球公转周期(也可根据＝，r火≈1.5r地，得出T火＝T地)，A项错误；火星与地球均绕太阳做匀速圆周运动，即G＝m，解得v＝，所以火星公转速度小于地球公转速度，因此在冲日处，地球上的观测者观测到火星相对于地球由东向西运动，为逆行，B项错误、C项正确；火星和地球运行的线速度大小不变，且在冲日处，地球与火星速度方向相同，故此时火星相对于地球的速度最小，D项正确. 变式4.如图所示，A、B为地球的两个轨道共面的人造卫星，运行方向相同，A为地球同步卫星，A、B两卫星的轨道半径的比值为k，地球自转周期为T0。某时刻A、B两卫星距离达到最近，从该时刻起到A、B间距离最远所经历的最短时间为(　　) A． B． C． D． 答案　C 解析　由开普勒第三定律得＝，设两卫星至少经过时间t距离最远，即B比A多转半圈，－＝，又由A是地球同步卫星知TA＝T0，联立解得t＝，故选C。 考点5　卫星变轨与对接问题 图示 轨道 轨道Ⅰ（圆） 轨道Ⅱ（椭圆） 轨道Ⅲ（圆） 近地点A 远地点B 变轨起因 在A点速度变大，由轨道Ⅰ变为轨道Ⅱ；在A点速度变小，由轨道Ⅱ变为轨道Ⅰ 在B点速度变大，由轨道Ⅱ变为轨道Ⅲ；在B点速度变小，由轨道Ⅲ变为轨道Ⅱ 速度 在A点加速，vAⅡ＞vAⅠ；从A点到B点，引力做负功，速度一直减小；在B点再加速，vBⅢ＞vBⅡ；由于卫星在圆形轨道Ⅰ上的速度大于在圆形轨道Ⅲ上的速度，所以有vAⅡ＞vAⅠ＞vBⅢ＞vBⅡ 加速度 根据a＝知，加速度大小与r有关，可得aAⅠ＝aAⅡ＞aBⅡ＝aBⅢ 周期 根据开普勒第三定律知，＝＝，可得TⅠ＜TⅡ＜TⅢ.从A点到B点的时间tAB＝TⅡ 机械能 由轨道Ⅰ变为轨道Ⅱ，要消耗其他能量，转化为动能，则EⅠ＜EⅡ，同理，由轨道Ⅱ变为轨道Ⅲ，有EⅡ＜EⅢ，故EⅠ＜EⅡ＜EⅢ（俗称“高轨高能”） 例9.空间站在地球外层的稀薄大气中绕行，因气体阻力的影响，轨道高度会发生变化.空间站安装有发动机，可对轨道进行修正.图中给出了国际空间站在2020.02～2020.08期间离地高度随时间变化的曲线，则空间站（　　） A.绕地运行速度约为2.0km/s B.绕地运行速度约为8.0km/s C.在4月份绕行的任意两小时内机械能可视为守恒 D.在5月份绕行的任意两小时内机械能可视为守恒 答案D 解析　根据万有引力提供向心力有＝m，其中r＝R＋h，解得v＝，轨道离地高度约为420 km，地球半径R约为6 400 km，代入数据解得空间站绕地球运行速度约为7.75 km/s，不可能大于地球的第一宇宙速度7.9 km/s，故A、B错误；题图中可以看到在4月份的一较短时间内其轨道离地高度从421 km下降到 419 km，气体阻力消耗了较多的机械能，故任意两小时内机械能不可视为守恒，C错误；在5月份轨道高度几乎不变，所以任意两小时内机械能可以认为守恒，D正确. 命题拓展1. 图中给出了国际空间站在2020.05～2020.06期间离地高度随时间变化的图线，则空间站（　　） A.动能变小 B.能量变大 C.加速度变大 D.周期变大 答案C 解析　国际空间站在2020.05～2020.06期间因气体阻力影响，轨道高度降低，则其能量变小，B错误.由＝得v＝，空间站速度变大，动能变大，A错误.由＝ma得a＝，空间站加速度变大，C正确.由＝m()2r得T＝，空间站周期变小，D错误. 例10.（2024湘豫名校联考）2023年5月30日，神舟十六号在酒泉卫星发射中心发射升空，成功将航天员景海鹏、朱杨柱、桂海潮顺利送入太空.发射入轨后，神舟十六号与天宫空间站进行交会对接，停靠于空间站核心舱的径向端口，对接后的组合体仍在空间站原轨道上运行.对接前，天宫空间站与神舟十六号的轨道如图所示，则下列说法正确的是（　　） A.对接前，神舟十六号与天宫空间站绕地球做圆周运动的方向相反 B.对接前，神舟十六号绕地球做圆周运动的线速度大小比天宫空间站的大 C.神舟十六号需要运动到天宫空间站后下方变轨才能实现对接 D.神舟十六号需要运动到天宫空间站正下方变轨才能实现对接 答案BC 解析　对接前，神舟十六号与天宫空间站绕地球做圆周运动的方向相同，选项A错误；由万有引力提供向心力可知G＝m，解得v＝，所以对接前，神舟十六号绕地球做圆周运动的线速度大小比天宫空间站的大，选项B正确；由图可知，对接前，神舟十六号的轨道半径小于天宫空间站的轨道半径，要想完成对接，需要神舟十六号加速做离心运动，则神舟十六号需要运动到天宫空间站后下方变轨才能实现对接，选项C正确，选项D错误. 变式5.如图为我国发射北斗卫星的示意图，先将卫星发射到半径为r1＝r的圆轨道上做匀速圆周运动，到A点时使卫星加速进入椭圆轨道，到椭圆轨道的远地点B点时，再次改变卫星的速度，使卫星进入半径为r2＝2r的圆轨道上做匀速圆周运动.已知卫星在椭圆轨道时距地心的距离与速度的乘积为定值，卫星在椭圆轨道上A点时的速度为v，卫星的质量为m，地球质量为M，引力常量为G，则发动机在A点对卫星做的功与在B点对卫星做的功之差为（不计卫星的质量变化）（　　） A.mv2＋ B.mv2－ C.mv2＋ D.mv2－ 答案D 解析　当卫星在r1＝r的圆轨道上运行时，有G＝m，解得在圆轨道上运行时通过A点的速度为v0＝，所以发动机在A点对卫星做的功为W1＝mv2－m＝mv2－；当卫星在r2＝2r的圆轨道上运行时，有G＝m，解得在圆轨道上运行时通过B点的速度为v'0＝，而根据题意可知在椭圆轨道上通过B点时的速度为v1＝v＝v，故发动机在B点对卫星做的功为W2＝mv'20－m＝－mv2，所以W1－W2＝mv2－，D正确. 考点6　双星或多星模型 1．双星模型 （1）各自需要的向心力由彼此间的万有引力提供，即 ＝m1r1，＝m2r2. （2）两颗星的周期及角速度都相同，即 T1＝T2，ω1＝ω2. （3）两颗星的轨道半径与它们之间的距离关系为r1＋r2＝L. （4）推论：两颗星到轨道圆心的距离r1、r2与两颗星质量的关系为＝. （5）推论：双星的运行周期T＝2π. （6）推论：双星的总质量m1＋m2＝. 2．多星模型 分析处理多星问题，必须明确所研究星体所受的万有引力的合力提供其做圆周运动的向心力.除中心星体 外，各星体的角速度和周期相等. （1）已观测到稳定的三星系统存在的形式有： ①三颗星位于同一直线上，两颗环绕星体围绕中心星体在同一半径为R的圆形轨道上运行，如图甲所示. ②三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点上，如图乙所示. （2）宇宙中存在一些离其他恒星很远的四颗恒星组成的四星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用.稳定的四星系统存在多种形式： ①四颗质量相等的恒星位于正方形的四个顶点上，沿外接于该正方形的圆形轨道做匀速圆周运动，如图丙所示. ②三颗恒星始终位于等边三角形的三个顶点上，另一颗恒星位于等边三角形的中心O点，外围三颗恒星绕O点做匀速圆周运动，如图丁所示. 例11.（2024山东日照高三校联考开学考试）2023年6月21日，国际学术期刊《自然》刊载：“中国天眼FAST”发现了一个名为PSRJ1953＋1844（M71E）的双星系统，其轨道周期仅为53分钟，是目前发现轨道周期最短的脉冲星双星系统.假设双星系统中两颗脉冲星在演化过程中，质量较大的脉冲星不断“吸食”质量较小的脉冲星，直至完全吞并.某双星系统中的两颗脉冲星a和b的质量分别为m1、m2，其中m2＝14m1，轨道周期为T，万有引力常量为G.根据提供的信息，下列说法正确的是（　　） A.两颗脉冲星的距离为 B.脉冲星a的线速度大小为 C.脉冲星b的密度为 D.若在演化过程中双星间的距离保持不变，则双星间的引力逐渐减小 答案ABD 解析　两颗脉冲星a和b构成双星系统，两颗脉冲星的角速度和周期相同，设两者间距离为L，轨道半径分别为r1、r2，有＝m1r1，＝m2r2，r1＋r2＝L，联立解得L＝，故A正确；根据m2＝14m1，可得＝＝，可得r1＝L，则脉冲星a的线速度大小为v1＝·r1＝，故B正确；因脉冲星b的半径未知，故无法求出其密度，故C错误；若在演化过程中双星间的距离L保持不变，而质量较大的脉冲星不断“吸食”质量较小的脉冲星，直至完全吞并，则两颗脉冲星的质量乘积逐渐减小，故双星间的引力F＝会逐渐减小，D正确. 例12.宇宙中存在一些离其他恒星较远的三星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用，三星质量也相同。现已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星做圆周运动，如图甲所示；另一种是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行，如图乙所示。设两种系统中三个星体的质量均为m，且两种系统中各星间的距离已在图中标出，引力常量为G，则下列说法中正确的是(　　) A．直线三星系统中星体做圆周运动的线速度大小为 B．直线三星系统中星体做圆周运动的周期为2π C．三角形三星系统中每颗星做圆周运动的角速度为2 D．三角形三星系统中每颗星做圆周运动的加速度大小为 答案　D 解析　直线三星系统中星体做圆周运动，万有引力提供向心力；根据星体受到另两个星体的引力作用可得＋G＝m，星体做圆周运动的线速度大小为v＝，故A错误；直线三星系统中星体做圆周运动，星体做圆周运动的周期为T＝＝4πL，故B错误；根据几何关系可得：三角形三星系统中星体受另外两个星体的引力作用，圆周运动的轨道半径为R＝＝L，由万有引力提供向心力得2cos 30°＝mω2R，解得三角形三星系统中每颗星做圆周运动的角速度为ω＝，故C错误；三角形三星系统中每颗星做圆周运动的加速度大小为a＝ω2R＝，故D正确。 变式6.双星的运动是产生引力波的来源之一，假设宇宙中有一双星系统由a、b两颗星组成，这两颗星绕它们连线的某一点在万有引力作用下做匀速圆周运动，测得a星的周期为T，a、b两颗星的距离为l，a、b两颗星的轨道半径之差为Δr（a星的轨道半径大于b星的轨道半径），则（　　） A.b星的周期为T B.a星的线速度大小为 C.a、b两颗星的轨道半径的比值为 D.a、b两颗星的质量的比值为 答案B 解析　双星系统中的两颗星靠相互间的万有引力提供向心力，角速度大小相等，则周期相等，所以b星的周期也为T，故A错误；根据题意可知ra＋rb＝l，ra－rb＝Δr，解得ra＝，rb＝，则a星的线速度大小va＝＝，＝，故B正确，C错误；对a、b两颗星，有maω2ra＝mbω2rb，解得＝＝，故D错误. 1．（2024湖北荆州模拟）长征七号A运载火箭于2023年1月9日在中国文昌航天发射场点火升空，托举实践二十三号卫星直冲云霄，随后卫星进入预定轨道，发射取得圆满成功.已知地球表面的重力加速度大小为g，地球的半径为R，实践二十三号卫星距地面的高度为h（小于同步卫星距地面的高度），入轨后绕地球做匀速圆周运动，则（　　） A.该卫星的线速度大于7.9km/s B.该卫星的动能大于同步卫星的动能 C.该卫星的加速度大小等于g D.该卫星的角速度大于同步卫星的角速度 答案D 解析　7.9 km/s是第一宇宙速度，即卫星绕地球做匀速圆周运动时的最大环绕速度，则该卫星的线速度不大于7.9 km/s，A错误；该卫星与同步卫星的质量大小关系无法确定，根据动能Ek＝mv2可知，该卫星的动能与同步卫星的动能大小关系也无法确定，B错误；对该卫星根据牛顿第二定律有＝ma，解得a＝＜＝g，可知该卫星的加速度大小小于g，C错误；根据万有引力提供向心力有＝mω2r，解得ω＝，由于该卫星的轨道半径小于同步卫星的轨道半径，则该卫星的角速度大于同步卫星的角速度，D正确. 2．在星球表面发射探测器，当发射速度为v时，探测器可绕星球表面做匀速圆周运动；当发射速度达到v时，可摆脱星球引力束缚脱离该星球.已知地球、火星两星球的质量比约为10∶1，半径比约为2∶1，下列说法正确的有（　　） A.探测器的质量越大，脱离星球所需要的发射速度越大 B.探测器在地球表面受到的引力比在火星表面的大 C.探测器脱离两星球所需要的发射速度相等 D.探测器脱离星球的过程中，势能逐渐增大 答案BD 解析　由G＝m得v＝，v＝，可知探测器脱离星球所需要的发射速度与探测器的质量无关，A错误；由F＝G 及地球与火星的质量之比、半径之比可知，探测器在地球表面受到的引力比在火星表面的大，B正确；由v＝可知，探测器脱离两星球所需的发射速度不相等，C错误；探测器在脱离两星球的过程中，万有引力做负功，势能逐渐增大，D正确. 3．（2024安徽安庆模拟）我国首次执行火星探测任务的“天问一号”探测器已于2021年2月10日成功环绕火星飞行.已知火星公转轨道半径是地球公转轨道半径的，火星的半径为地球半径的，火星的质量为地球质量的，探测器在一定高度绕火星做匀速圆周运动的运行周期为T，火星和地球绕太阳公转的轨道都可近似为圆轨道，地球和火星可视为均匀球体，则（　　） A.火星的平均密度为 B.火星的公转周期和地球的公转周期之比为 C.火星第一宇宙速度与地球第一宇宙速度之比为 D.火星表面的重力加速度与地球表面的重力加速度之比为 答案BCD 解析　探测器绕火星做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力有G＝mr探，火星的体积V火＝π，火星的平均密度ρ＝，联立可得ρ＝，A错误；根据开普勒第三定律得＝＝，B正确；由G＝可得星球的第一宇宙速度v＝，则＝＝，C正确；黄金代换式GM＝gR2可得星球表面的重力加速度g＝，则＝＝，D正确. 4．（2024江西名校联考）如图，神舟十六号载人飞船与天和核心舱对接前经B点由椭圆轨道Ⅰ变轨至圆形轨道Ⅱ，A、B两点分别为椭圆轨道Ⅰ的近地点和远地点，飞船在A点时对地球的张角（在同一平面内，从A点向地球作两条切线，这两条切线的夹角就是飞船在A点对地球的张角）为2α，在B点时对地球的张角为2β，飞船在轨道Ⅰ上A点加速度为a1、运动周期为T1，在轨道Ⅱ上B点加速度为a2、运动周期为T2，下列关系正确的是（　　） A.a1：a2＝sin2α：sin2β B.a1：a2＝sin2β：sin2α C.＝ D.＝ 答案AC 解析　根据题意，设地球的半径为R，A点到地心距离为r1，B点到地心距离为r2，由几何关系有r1＝，r2＝，由万有引力提供向心力有G＝Ma，解得a＝，则a1：a2＝ sin 2α： sin 2β，故A正确，B错误；根据题意，由开普勒第三定律可得＝，解得＝，故C正确，D错误. 5．（2024安徽滁州开学考）为了实现人类登陆火星的梦想，我国宇航员王跃正与俄罗斯宇航员一起进行“模拟登火星”实验活动.已知火星半径是地球半径的，质量是地球质量的，自转周期基本相同.地球表面重力加速度是g，若王跃在地面上能向上跳起的最大高度是h，在忽略自转影响的条件下，下列说法正确的是（　　） A.王跃以相同的初速度在火星上起跳时，跳起的最大高度是 B.火星表面的重力加速度是g C.火星的平均密度是地球平均密度的 D.王跃在火星表面受的万有引力是在地球表面受万有引力的 答案ABC 解析　根据万有引力定律F＝G，知＝＝×22＝，王跃在火星表面受的万有引力是在地球表面受万有引力的，选项D错误.根据G＝mg，可得＝＝×22＝，则火星表面重力加速度为g，故B正确.根据ρ＝，可得＝＝×23＝，故C正确.因为火星表面的重力加速度是地球表面重力加速度的，根据h＝知，火星上跳起的高度是地球上跳起高度的倍，为h，故A正确. 6．（2024江苏海安高级中学阶段测试）2022年11月12日，天舟五号与空间站天和核心舱成功对接，此次发射任务从点火发射到完成交会对接（如图），全程仅用2个小时，创世界最快交会对接纪录，标志着我国航天交会对接技术取得了新突破.在交会对接的最后阶段，天舟五号与空间站处于同一轨道上同向运动，两者的运行轨道均视为圆周.要使天舟五号在同一轨道上追上空间站实现对接，天舟五号喷射燃气的方向可能正确的是（　　） A. B. C. D. 答案A 解析　要使天舟五号与空间站在同一轨道上对接，则需使天舟五号加速，与此同时不能脱离原轨道，根据F＝m可知，必须增加向心力，即天舟五号喷气时产生的推力必有沿轨道向前的分量和指向地心的分量，喷气产生的推力与喷气方向相反，故A正确，B、C、D错误. 7．如图所示，1、2轨道分别是天宫二号飞船在变轨前、后的轨道，下列说法正确的是（　　） A.飞船从1轨道变到2轨道要点火加速 B.飞船在1轨道的周期大于2轨道的 C.飞船在1轨道的速度大于2轨道的 D.飞船在1轨道的加速度大于2轨道的 答案ACD 解析　飞船从低轨道向高轨道变轨时，需要点火加速，A对；由“高轨低速大周期”的卫星运动规律可知，飞船在1轨道上的线速度、角速度、向心加速度均大于在2轨道上的，在1轨道上的周期小于在2轨道上的，B错，CD对. 8．（2024江苏靖江中学校考）若将地球和月球看成一个双星系统，两者间距离为L，它们绕着两者连线上的某点做匀速圆周运动，运行周期为T，从漫长的宇宙演化来看，两者质量都不断减小，将导致月地间距离变大.若引力常量为G，则下列说法正确的是（　　） A.当前月球和地球的动能相等 B.当前该双星系统的总质量为 C.在将来的演化过程中，该双星系统运转的周期将逐渐减小 D.在将来的演化过程中，该双星系统的总动能将逐渐增大 答案B 解析　 9．（2024湖南师大附中校考）为简化“天问一号”探测器在火星软着陆的问题，可以认为地球和火星在同一平面上绕太阳做匀速圆周运动，如图1所示.火星探测器在火星附近的A点减速后，被火星捕获进入了1号椭圆轨道，紧接着在B点进行了一次“侧手翻”，即从与火星赤道平行的1号椭圆轨道，调整为经过火星两极的2号轨道，将探测器绕火星飞行的路线从“横着绕”变成“竖着绕”，从而实现对火星表面的全面扫描，如图2所示.以火星为参考系，质量为M1的探测器沿1号椭圆轨道到达B点时速度为v1，为了实现“侧手翻”，此时启动发动机，在极短的时间内喷出部分气体，假设气体为一次性喷出，喷气后探测器质量变为M2、速度变为与v1垂直的v2.已知地球的公转周期为T1，火星的公转周期为T2，地球公转轨道半径为r1，以下说法正确的是（　　） A.火星公转轨道半径为r2＝（r1 B.喷出气体速度u的大小为 C.假设实现“侧手翻”的能量全部来源于化学能，化学能向动能转化比例为k（k＜1），此次“侧手翻”消耗的化学能ΔE＝ D.考虑到飞行时间和节省燃料，地球和火星处于图1中相对位置时是在地球上发射火星探测器的最佳时机，则在地球上相邻两次发射火星探测器最佳时机的时间间隔为Δt＝ 答案CD 解析　根据开普勒第三定律可知＝，解得r2＝(r1，选项A错误；根据动量守恒定律，在v1方向上有M1v1＝(M1－M2)u1，在与v1垂直的方向上有M2v2＝(M1－M2)u2，解得u1＝，u2＝，喷出气体速度u的大小为u＝＝，选项B错误；以探测器和喷出气体组成的系统为研究对象，喷气前的总动能为Ek1＝M1，喷气后的总动能为Ek2＝M2＋(M1－M2)u2，可得消耗的化学能为ΔE＝＝，选项C正确；在地球上相邻两次发射火星探测器最佳时机的时间间隔Δt内，地球比火星多转一周，则有－＝1，解得Δt＝，选项D正确. 10.万有引力定律揭示了天体运行规律与地上物体运动规律具有内在的一致性. （1）用弹簧秤称量一个相对于地球静止的小物体的重力，随称量位置的变化可能会有不同的结果.已知地球质量为M，自转周期为T，引力常量为G.将地球视为半径为R、质量均匀分布的球体，不考虑空气的影响.设在地球北极地面称量时，弹簧秤的读数是F0. a.若在北极上空高出地面h处称量，弹簧秤读数为F1，求比值的表达式，并就h＝1.0％R的情形算出具体数值（计算结果保留2位有效数字）. b.若在赤道地面称量，弹簧秤读数为F2，求比值的表达式. （2）设想地球绕太阳公转的圆周轨道半径r、太阳的半径RS和地球的半径R三者均减小为现在的1.0％，而太阳和地球的密度均匀且不变.仅考虑太阳和地球之间的相互作用，以现实地球的1年为标准，计算“设想地球”的1年将变为多长. 答案　（1）a.＝　0.98　b.＝1－ （2）“设想地球”的1年与现实地球的1年时间相同 解析　（1）设小物体的质量为m a.在地球北极地面有G＝F0 在北极上空高出地面h处有G＝F1 解得＝ 当h＝1.0％R时，得＝＝0.98 b.在赤道地面，小物体随地球自转做匀速圆周运动，受到万有引力和弹簧秤的作用力，有G－F2＝mR 解得＝1－ （2）地球绕太阳做匀速圆周运动，受到太阳的万有引力作用.设太阳质量为MS，地球公转周期为TE，有 G＝Mr 解得TE＝＝ 其中ρ为太阳的密度.由上式可知，地球公转周期TE仅与太阳的密度、地球公转轨道半径与太阳半径之比有关.因此“设想地球”的1年与现实地球的1年时间相同. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$