专题8 一次函数与选择方案（考点解码舱 题型透视镜 双阶训练场）-2024-2025学年八年级下学期数学人教版期末复习登顶手册：三维突破指南

八年级下册期末登顶手册：三维突破指南 专题8 一次函数与选择方案 第1部分 考点解码舱 知 识知 点知 1.正比例函数的定义 一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数. 正比例函数y=kx必须满足k≠0，x的次数为1，没有常数项（即常数项为0）这三个条件. 【例1】（24-25八年级上·贵州贵阳·期末）下列函数关系式中，y是x的正比例函数的是（　　） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）已知y是x的正比例函数，其表达式为． (1)求出m的值； (2)请你通过计算判断点是否在该函数图象上． 【变式1-2】（24-25七年级上·山东淄博·期末）下列函数（其中x是自变量）中，是正比例函数的个数有（   ） ①；②；③（k是常数）；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【例2】（23-24八年级下·广西河池·期末）若y关于x的函数是正比例函数，则 ． 【变式2-1】（24-25七年级上·山东淄博·期末）若函数是正比例函数，则k满足的条件为 ． 知 识知 点知 2.正比例函数的图象和性质 一般地，正比例函数y=kx（k是常数，k≠0）的图象是一条经过原点的直线，我们称它为直线y=kx（k≠0）. 当k>0时，直线y=kx经过第三、第一象限，从左向右上升，即随着x的增大y也增大；当k<0时，直线y=kx经过第二、第四象限，从左向右下降，即随着x的增大y反而减小. 如下表 k的符号 k>0 k<0 图像 图像的形状 过原点，从左向右是上升的直线 过原点，从左向右是下降的直线 经过的象限 第一、第三象限 第二、第四象限 增减性 y随x的增大 而增大 y随x的增大 而减小 正比例函数的性质也可以逆用，如当正比例函数y=kx（k≠0）中y随的增大而增大时，k>0，反之，k<0：再比如，若正比例函数的图象过第一、三象限，则k>0等， 因为两点确定一条直线，所以可用两点法画正比例函数y=kx（k≠0）的图象.一般地，过原点和点（1，k）（k是常数，k≠0）的直线，即正比例函数y=kx（k≠0）的图象， 画正比例函数图象的一般步骤： （1）列表： x 0 1 y 0 k （2）描点：在平面直角坐标系内描出点（0.0）, （1.k）. （3）连线：过点（0，0），（1,k）连成一条直线，有时为了描点更方便、更准确，取横、纵坐标都是整数的两点.在正比例函数y=kx（k≠0）中， k越大，直线y=k越靠近y轴；越小，直线 y=k越靠近x轴 正比例函数图象上的每一个点的坐标都满足关系式y=kx（k≠0）：反之，满足关系式y=kx（k≠0）的点都在正比例函数图象上 【例3】（24-25八年级上·陕西西安·期末）在平面直角坐标系中，点的坐标为，过点作轴的垂线交直线于点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（24-25八年级上·山西太原·期末）若正比例函数中，的值随着值的增大而减小，则下列各点可能在该函数的图象上的是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（23-24八年级下·云南昆明·期末）已知正比例函数的解析式为，下列结论正确的是（    ） A．图象是一条线段 B．图象必经过点 C．图象经过第一、三象限 D．y随x的增大而减小 【变式3-3】（22-23八年级上·上海浦东新·期末）关于正比例函数的图象，下列叙述错误的是（   ） A．点在这个图象上 B．函数值随自变量的增大而减小 C．图象关于原点对称 D．图象经过一、三象限 知 识知 点知 3.一次函数的定义 一般地，形如y=kx+b（k，b是常数，k≠0）的函数，叫做一次函数.当b=0时，y=kx+b即y=kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数，一次函数包含正比例函数，但一次函数不一定是正比例函数。 （1）由一次函数的定义可知，函数是一次函数台其解析式可化为y=kx+b（k，b是常数，k≠0）的形式： （2）一次函数解析式y=kx+b（k，b是常数，k≠0）的结构特征：k≠0：②x的次数是1： ③常数项b可以是任意实数 【例4】（24-25八年级上·广西百色·期末）下列函数为一次函数的有（   ） ①；②；③；④；⑤； A．①②④ B．①③⑤ C．①②⑤ D．①② 【变式4-1】（24-25八年级上·安徽池州·期末）在下列函数解析式中，①；②；③；④；⑤，y一定是x的一次函数的有（   ）个． A．5 B．4 C．3 D．2 【例5】（23-24八年级下·四川内江·期中）若关于的函数是一次函数，则的值为（   ） A． B．2 C． D．1 【变式5-1】（24-25八年级上·贵州贵阳·期末）若y关于x的函数是一次函数，则m的值为（    ） A． B． C． D． 知 识知 点知 4.一次函数的图象和性质 一次函数y=kx+b（k，b是常数，k≠0）的图象是一条直线，我们称它为直线y=kx+b.特别地，正比例函数y=kx（k≠0）的图象是过（0，0）和（1，k）两点的一条直线 一次函数图象的画法与正比例函数图象的画法相同：它是过点（0，b）且与直线y=kx（k≠0）重合或平行的一条直线，在画关于实际问题的一次函数的图象时，要先明确自变量的取值范围，在自变量的取值范围内画函数的图象，函数的图象可能是直线、射线或线段。 当k>0时，直线y=kx+b从左向右上升， 当k<0时，直线y=kx+b从左向右下降. 由此可知，一次函数y=kx+b（k，b是常数，k≠0）具有如下性质： 当k>0时，y随的增天而增大； 当 k<0时，y随z的增大而减小， 直线y=kx+b在平面直角坐标系中的位置与k、b的关系如下表： k的符号 b的符号 经过的象限 图像 + + 一、二、三 + - 一、三、四 - + 一、二、四 - - 二、三、四 (1) 直线y=kx+b的位置是由k和b的符号决定的，其中决定直线从左到右呈上升趋势还是呈下降趋势（共两种情况）；决定直线与y轴交点的位置，是在y轴的正半轴、负半轴还是原点（共三种情况）。.k与b综合起来决定直线y=kx+b在直角坐标系中的位置. （2) y随的增大而增大，还是y随的增大而减小，只取决于k的符号，与b无关. （3）一次函数y=kx+b（k≠0）的自变量x的取值范国是全体实数. 其图象是一条直线，因此没有最大值与最小值. 但由实际问题得到的一次函数解析式，自变量的取值范围一般受到限制、则图象为线段或射线，根据函数的性质，就存在最大值或最小值问题. 【例6】（24-25八年级上·安徽合肥·期末）关于直线，下列说法正确的是（　　） A．直线在轴上的截距是 B．直线经过第二、三、四象限 C．随的增大而增大 D．点在直线l上 【变式6-1】（24-25八年级上·河南·期末）下列关于直线的说法不正确的是（    ） A．一定经过点 B．与轴交于点 C．随的增大而增大 D．图像过一，三，四象限 【例7】（23-24八年级下·安徽宣城·期末）两个一次函数与 ，它们在同一直角坐标系中的图象可能是（        ） A． B． C． D． 【变式7-1】（24-25八年级上·广东佛山·期末）在同一直角坐标系中，直线与直线可能是（   ） A．   B．   C．   D．   知 识知 点知 5.一次函数的图象的平移 一次函数y=kx+b（k≠0）的图象是过点（0.b）且和直线y=kx（k≠0）重合或平行的一条直线.直线y=kx+b（k≠0）可以由直线y=kx平移b个单位长度得到（当b>0时.向上平移；当b<0时，向下平移）， （1）当直线y=k1x+b1（k≠0）与y=kx2+b2平行时，则有k1=k2，且b1≠b2，反之亦成立， （2）当直线平行x于轴且与y轴交点的纵坐标为b时，这条直线的函数解析式为y=b；当直线平行于y轴且与轴交点的横坐标为a 时，这条直线的函数解析式为x=a （3）x轴，y轴分别表示为直线y=0，直线x=0. 【例8】（24-25八年级上·江苏扬州·期末）将函数的图像向上平移3个单位长度，所得图像对应的函数表达式是（   ） A． B． C． D． 【变式8-1】（24-25八年级上·四川成都·期末）将一次函数的图象沿y轴向下平移2个单位，得到一次函数的图象，则b的值为 ． 知 识知 点知 6.用待定系数法求一次函数的解析式 （1）定义：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而得出函数解析式的方法，叫做待定系数法。 （2）用待定系数法求一次函数解析式的一般步骤： ①设：根据已知条件设出含有待定系数的函 数解析式： ②代：把已知条件（自变量与函数的对应值） 代人上述函数解析式中，得到以待定系数为未知数的二元一次方程组； ③解：解方程（组），得到待定系数的值： ④回代：将求出的待定系数回代到所求的函数解析式中，即可得到所求的一次函数解析式 【例9】（24-25八年级上·浙江丽水·期末）已知一次函数的图象过，两点． (1)求一次函数表达式； (2)求该函数图象与坐标轴交点的坐标． 【变式9-1】（23-24八年级下·安徽淮南·期末）已知一次函数的图象经过，两点．求该一次函数的表达式． 知 识知 点知 7.一次函数与一元一次方程的关系 因为任何一个以x为未知数的一元一次方程都可以变形为ax+b=0（a≠0）的形式.所以解一元一次方程相当于在某个一次函数y=ax+b 的函数值为0时：求自变量的值；也相当于求直线y=ax+b与x轴交点的横坐标。 直线与坐标轴的交点坐标的求法： （1） 直线y=ax+b(a≠0)与x轴交点的横坐标是一元一次方程y=ax+b(a≠0)的解.令y=0，得到方程ax+b=0，解方程，得x=，即直线 y=ax+b与x轴的交点坐标为（,0）。 （2）直线y=ax+b与y轴交点的横坐标是 0，纵坐标就是当x=0时，一次函数y=ax+b的函数值b，即直线y=at十b与y轴的交点坐标为（0,b）. 【例10】（21-22八年级下·北京昌平·期中）已知一次函数的图象如图所示，则关于的方程的解为 ． 【变式10-1】（24-25九年级上·吉林长春·期末）直线分别与的负半轴和的正半轴交于点和点，若，，则关于的方程的解为（   ） A． B． C． D． 知 识知 点知 8.一次函数与一元一次不等式的关系 因为任何一个以x为未知数的一元一次不等式都可以变形为ax+b>0(a≠0) 或ax+b<0(a≠0)的形式，所以解元一次不等式相当于在某个一次函数y=ax+b 的函数值大于0或小于0时，求自变量x的取值范围. （1）一般地，一元一次不等式ax+b>0或ax+b<0的解集，就是使一次函数y=ax+b 的函数值大于0（或小于0）时自变量的取值范围 （2）从图象上看，ax+b>0的解集是直线y=ax+b 位于x轴上方的部分所对应的自变量的取值范围；ax+b<0的解集是直线y=ax+b 位于轴下方的部分所对应的自变量的取值范围. 用一次函数图象解一元一次不等式的步骤： （1）将一元一次不等式转化为ax+b>0或ax+b<0的形式； （2）画出一次函数y=ax+b的图象； （3）观察图象，根据上面总结的一次函数与元一次不等式的关系得出结论 直线y1=k1x+b1与直线y2=k2x+b2的交点的横坐标即为方程k1x+b1=k2x+b2的解；不等式（或 y1<y2）的解集就是直线y1=k1x+b1在直线y2=k2x+b2上（或下）方部分对应的x的取值范围.如图所示，方程k1x+b1=k2x+b2的解为x=a；不等式k1x+b1>k2x+b2的解集为x>a;不等式k1x+b1<k2x+b2的解集为x<a. 【例11】（24-25八年级上·江苏泰州·期末）如图，点A点的横坐标为a，根据图像，判断下列说法正确的是（   ） A．当时， B．当时， C．当时，y随x的增大而减小 D．当时， 【变式11-1】（24-25八年级上·浙江宁波·期末）一次函数的图象如图所示，当时，的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【例12】（23-24八年级下·广西河池·期末）已知一次函数与的图象如图所示，有下列结论：① ； ② ； ③关于x的方程的解为； ④当时，其中正确的结论有（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【变式12-1】（24-25八年级上·江苏泰州·期末）如图，直线与直线交于点A，当时，x的取值范围是 ． 知 识知 点知 9.一次函数与二元一次方程（组）的关系 一般地，因为每个含有未知数x和y的二元一次方程，都可以改写为y=kx+b（k，b是常数，k≠0）的形式，所以每个这样的方程都对应一个一次函数，于是也对应一条直线。这条直线上每个点的坐标（x，y）都是这个二元一次方程的解，由上可知，由含有未知数x和y的两个二元一次方程组成的每个二元一次方程组，都对应两个一次函数，于是也对应两条直线。从“数”的角度看，解这样的方程组，相当于求自变量为何值时相应的两个函数值相等，以及这个函数值是多少；从“形”的角度看，解这样的方程组，相当于确定两条相应直线交点的坐标。因此，我们可以用画一次函数图象的方法得到方程组的解 用图象法求二元一次方程组的近似解的一般方法： （1） 先把方程组中的两个二元一次方程化成一次函数的形式：y1=k1x+b1与y2=k2x+b2； （2） 建立平面直角坐标系，画出这两个一次函数的图象： （3）写出这条直线的交点的横、纵坐标，这两个数值就是二元一次方程组的解中的两个数值，横坐标为x，纵坐标为y。 （1）如果两个一次函数的图象平行（无交点），那么相应的二元一次方程组无解， （2）如果两个一次函数的图象重合，那么相应的二元一次方程组有无数解 （3）如果两个一次函数的图象相交（有一个交点），那么相应的二元一次方程组有唯一解。 【例13】（20-21八年级上·四川成都·期末）如图，一次函数和的图象相交于点，则关于x，y的方程组的解为（   ） A． B． C． D． 【变式13-1】（24-25八年级上·贵州毕节·期末）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示．小星根据图象得到如下结论：①在一次函数的图象中，y的值随着x值的增大而减小；②关于x，y的二元一次方程组的解为；③关于x的一元一次方程的解为；④当时，．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式13-2】（22-23八年级下·陕西商洛·期末）如图，直线与直线相交于点，则方程组的解是 ． 知 识知 点知 10.一次函数的应用 做一件事情，有时有不同的实施方案：比较这些方案，从中选择最佳方案作为行动计划，是非常必要的。在选择方案时，往往需要从数学角度进行分析，涉及变量的同题常用到函数。 用一次函数选择最佳方案的步骤： （1）从数学的角度分析实际问题、建立函数模型（往往有两个或两个以上的模型）； （2）列出不等式（方程），求出自变量在取不司值时对应的函数值的大小关系： （3）结合实际需求，选择最佳方案 （1）在实际生活中，常见的选择方案类型有利润问题、效益问题、分配问题等， （2）选择最佳方案实际上是在比较的基础上完成的它往往是先将全部方案都列出来，再根据题意选择个最优的方案， 【例14】（23-24八年级下·安徽宣城·期末）某乐队举行专场音乐会，为学校师生提供了两种优惠方案，教师票每张100元，学生票每张50元．方案一：购买一张教师票赠送1张学生票；方案二：按总价的付款．新星学校有4名教师与名学生购票听音乐会，若付款总金额为（元）． (1)分别写出两种方案中与的函数关系式； (2)至少有多少名学生参加时，选择方案二的购票方案比方案一便宜？ 【变式14-1】（24-25八年级上·四川成都·期末）2025年春节即将来临，某商场为满足顾客需求计划购进一批香蕉和橙子．已知购进2千克香蕉和3千克橙子共需46元；购进1千克香蕉和2千克橙子共需28元． (1)请问香蕉和橙子的进价分别是多少元？ (2)该商场准备购进香蕉和橙子共1000千克，已知香蕉的售价为12元/千克，橙子的售价为15元/千克，其中香蕉的进货量不低于350千克，且不高于450千克．在可以全部售出的情况下，请问总利润的最大值是多少？ 第2部分 题型透视镜 题型一 利用一次函数的定义求字母的值 【例1】（24-25八年级上·山东烟台·期末）一次函数的图象经过原点，则m的值为（   ） A． B． C． D．且 【变式1-1】（24-25八年级上·安徽马鞍山·期末）当 时，函数是一次函数． 【变式1-2】（23-24八年级下·内蒙古赤峰·期中）已知是关于的一次函数，则 ． 【变式1-3】（24-25七年级上·山东泰安·期末）已知函数． (1)m的取值满足什么条件时，y是x的一次函数？ (2)m，n的取值满足什么条件时，y是x的正比例函数？ (3)若函数的图象经过点和，求m，n的值． 题型二 用待定系数法求一次函数解析式 【例2】（24-25八年级上·河北邯郸·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线过点，且与x轴交于点A． (1)求的函数表达式； (2)将向下平移个单位长度得到直线，若平移后的直线经过点A关于y轴的对称点，求n的值． 【变式2-1】（24-25八年级上·江苏盐城·期末）已知与成正比例，当时，． (1)求y与x的函数表达式； (2)若点关于y轴的对称点恰好落在该函数的图象上，求m的值． 【变式2-2】（24-25八年级上·浙江宁波·期末）一次函数（，都是常数，）的图象经过，两点． (1)求这个一次函数的表达式． (2)判断是否在直线上？ 【变式2-3】（24-25八年级上·安徽亳州·期末）如图1，已知一次函数的图象与轴、轴的正半轴分别交于点，，点为轴负半轴上一点，且，． (1)求该一次函数的表达式； (2)求直线的函数表达式； (3)如图2，直线交直线于点，交直线于点，当时，求的值． 题型三 求三角形面积 【例3】（24-25八年级上·甘肃张掖·期末）一次函数的图象是直线，直线经过点． (1)求两条直线，的表达式； (2)求两条直线，与轴围成的三角形面积． 【变式3-1】（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴的交点为，与轴的交点为，且与正比例函数的图象交于点． (1)求的值及一次函数的表达式； (2)若是轴上一点，且的面积为6，求点的坐标； (3)观察图象，不等式组的解集是_______． 【变式3-2】（24-25八年级上·贵州贵阳·期末）如图，一次函数的图象与x轴交于点B，y轴交于点图象交于点，平面的角坐标系内有一动点P在线段和射线上运动． (1)求正比例函数的表达式； (2)求的面积； (3)是否存在点P，使的面积是的面积的？若存在，求此时点P的坐标；若不存在．请说明理由． 【变式3-3】（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图，平面直角坐标系中，，，A、C分别在x轴的正、负半轴上．过点C的直线绕点C旋转，交y轴于点D，交线段于点E． (1)直接写出A、C的坐标； (2)写出直线的解析式； (3)若与的面积相等，求点E的坐标． 题型四 一次函数图像与性质的应用 【例4】（24-25九年级上·四川泸州·期末）对于一次函数的相关性质，下列描述错误的是（　　） A．函数图象经过第一、二、四象限 B．若点在此函数图象上，则 C．函数值随增大而减小 D．图象与两坐标轴围成三角形的面积为 【变式4-1】（24-25八年级上·安徽亳州·期末）在同一平面直角坐标系中，正比例函数和一次函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（24-25八年级上·河南平顶山·期末）已知一次函数的图象如图所示，那么一次函数的图象经过（   ） A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限 C．第一、三、四象限 D．第一、二、四象限 【变式4-3】（24-25八年级上·贵州毕节·期末）关于函数，下列说法不正确的是（    ） A．它的图象过点 B．的值随着值的增大而增大 C．它的图象不经过第二象限 D．它的图象与轴交于点 【变式4-4】（24-25八年级上·浙江杭州·期末）已知，为直线上的两个点，且，则以下判断正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式4-5】（24-25八年级上·安徽亳州·期末）已知点，，都在直线上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【变式4-6】（24-25八年级上·贵州毕节·期末）已知一次函数，若y随x的增大而减小，那么m的取值范围是 ． 【变式4-7】（24-25八年级上·陕西宝鸡·期末）下列关于一次函数的判断，正确的是（   ） A．点，点在该函数的图象上，若，则 B．当时，该函数图象经过一、三、四象限 C．若关于x的方程的解是，则的图象恒过点 D．若该函数的图象向右平移2个单位后经过原点，则 题型五 费用最低问题 【例5】（24-25八年级上·广西贺州·期末）某中学决定在“文体周”为一个节目制作、两种道具，共80个，制作的道具需要甲、乙两种材料组合而成，现有甲种材料300件，乙种材料280件，已知组装、两种道具所需的甲、乙两种材料，如下表所示： 甲种材料（件） 乙种材料（件） 道具 3 4 道具 5 2 经过计算，制作一个道具的费用为5元，一个道具的费用为4元．设组装种道具个，所需总费用为元． (1)求与的函数表达式，并求出的取值范围； (2)问组装种道具多少个时，所需总费用最少，最少费用是多少？ 【变式5-1】（23-24八年级下·云南红河·期末）文化赋能乡村振兴，某县以文明实践引领乡村治理，在群众聚集地打造文化墙，以文化人、以文惠民、以文兴城，该县现欲购买、两种绘画工具用于打造文化手绘墙．已知每件种工具的单价比每件种工具便宜元，用元购买种工具的数量和用元购买种工具的数量相同． (1)求、两种工具的单价各是多少元． (2)该县计划购买、两种工具共件，且种工具的数量不大于种工具数量的倍，请你帮忙设计出最省钱的购买方案，并求出最低购买费用． 【变式5-2】（24-25八年级上·浙江杭州·期末）近年来光伏建筑一体化广受关注．某社区拟修建，两种光伏车棚．已知修建个A种光伏车棚需投资万元，个种光伏车棚需投资万元，若修建，两种光伏车棚共个，要求修建的种光伏车棚的数量不少于修建的种光伏车棚数量的倍．设修建种光伏车棚个，修建车棚总费用为万元． (1)求出（万元）关于（个）的函数关系式，并求出自变量的取值范围； (2)修建多少个种光伏车棚时，可使投资总额最少？最少投资总额为多少万元？ 题型六 利润最大问题 【例6】（24-25八年级上·山东青岛·期末）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车进行销售，已知3辆A型汽车和4辆B型汽车的进价共计120万元；4辆A型汽车和3辆B型汽车的进价共计132万元． (1)求A，B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若该公司计划正好用96万元购进以上两种型号的新能源汽车若干辆（两种型号的汽车均购买），请你帮助该公司设计购买方案； (3)若该汽车销售公司销售1辆A型汽车可获利4000元，销售1辆B型汽车可获利3000元，在（2）的购买方案中，当这些新能源汽车全部售出时，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？ 【变式6-1】（24-25八年级上·安徽安庆·期末）第19届亚运会已于2023年9月23日至10月8日在中国浙江杭州成功举行．这是党的二十大胜利召开之后我国举办的规模最大、水平最高的国际综合性体育赛事，举国关注，举世瞩目．杭州亚运会三个吉祥物分别取名“琮琮”“宸宸”“莲莲”．某专卖店购进，两种杭州亚运会吉祥物礼盒进行销售．种礼盒每个进价160元，售价220元；种礼盒每个进价120元，售价160元．现计划购进两种礼盒共100个，其中种礼盒不少于60个．设购进种礼盒个，两种礼盒全部售完，该专卖店获利元． (1)求与之间的函数关系式； (2)若购进100个礼盒的总费用不超过15000元，求该专卖店获得的最大利润为多少元？ 【变式6-2】（24-25八年级上·广东梅州·期末）某商场计划购进，两种服装共100件，这两种服装的进价、售价如表所示： 价格类型 进价（元/件） 售价（元/件） 30 50 50 75 (1)若商场预计用3400元进货，则这两种服装各购进多少件？ (2)若商场规定种服装进货不少于50件，应该怎样进货才能使商场销售完这批货时获利最多？此时利润为多少元？ 【变式6-3】（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）某博主在一段时间内制作并上传甲、乙两种作品共70篇，甲作品平均每篇获利110元，乙作品平均每篇获利150元，设该博主制作并上传甲作品篇，制作并上传这70篇作品共获利元． (1)求与之间的关系式． (2)若乙种作品的数量不超过甲种作品数量的，则该博主制作甲、乙两种作品各多少篇时获利最大？最大利润是多少？ (3)由于网络管理需要，有的乙种作品需要再进行处理，每篇的处理费用是元．若总获利随的增大而减小，请求出的取值范围． 题型七 合理决策问题 【例7】（24-25八年级上·广西百色·期末）随着人们生活水平的提高，大家更加注重周末娱乐生活的质量，而以“亲近自然”为主题的周末休闲生活方式深受人们喜爱．近期，又是到草莓上市的季节，各草莓园纷纷推出采摘草莓优惠活动．以下是两个草莓采摘园的活动情况． (1)若欣欣草莓园和乐乐草莓园的付款金额分别记为，元，请你直接写出两个草莓园付款金额，于采摘草莓的重量千克的函数表达式及自变量的取值范围． (2)佳佳一家人计划周末去草莓园进行采摘草莓体验．佳佳妈妈根据欣欣草莓园和乐乐草莓园的活动方案，认为去乐乐草莓园摘草莓更划算！请问：佳佳妈妈的说法正确吗？如果不正确请通过计算说明． 【变式7-1】（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）为绿化校园，重庆一中计划购进A、B两种树苗，若购买A树苗10棵，B树苗20棵，需要2300元，若购买A树苗20棵，B树苗10棵，需要2500元： (1)求A、B两种树苗单价各是多少？ (2)学校计划购买A、B两种树苗，共21棵，且购买B种树苗的数量少于A种树苗的数量，设购买B种树苗x棵，购买两种树苗所需费用为y元，请给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用． 【变式7-2】（24-25八年级上·全国·期末）某校为落实西宁市教育局“教育信息化行动计划”，搭建数字化校园平台，需要购买一批电子白板和平板电脑，若购买台电子白板和台平板电脑共需万元；购买3台电子白板和4 台平板电脑共需万元． (1)求电子白板和平板电脑的单价各是多少万元？ (2)结合学校实际，该校准备购买电子白板和平板电脑共台，其中电子白板不超过台，某商家给出了两种优惠方案，方案一：电子白板和平板电脑均打九折；方案二：买台电子白板，送台平板电脑．若购买电子白板台和平板电脑所需的费用为（万元），请根据两种优惠方案分别写出关于的函数表达式，并分析该校应选用哪种优惠方案购买更省钱． 题型八 一次函数中图表信息题 【例8】（24-25八年级上·浙江丽水·期末）甲、乙两人骑自行车匀速同向行驶，乙在甲前面处，同时出发去距离甲的目的地，甲的速度比乙快．设甲、乙之间的距离为，乙行驶的时间为，与之间的关系如图所示，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】（24-25八年级上·贵州贵阳·期末）某湖边公园有一条笔直的健步道，甲、乙两人从起点同方向匀速步行，先到终点的人休息．已知甲先出发3分钟．在整个过程中，甲、乙两人之间距离（米）与甲出发的时间（分钟）之间的关系如图所示，则下列结论：①甲步行的速度为75米/分钟；②起点到终点的距离为2700米；③乙行的速度为90米/分钟；④甲走完全程用了39分钟；⑤乙用15分钟追上甲．其中正确的结论有（　　） A．①③⑤ B．①②③ C．①③④ D．②④⑤ 【变式8-2】（24-25八年级上·浙江舟山·期末）年舟山群岛马拉松，吸引了来自个国家和地区的约名运动员参与，以“向海风许愿，在山海相见”为主题，展现了舟山“海上花园城”的独特魅力，促进了国际间的体育和文化交流．甲、乙两名业余选手参加了本次比赛，两人同时到达第一个补给点，乙在第一个补给点停留了一段时间．从第一个补给点到终点过程中，甲、乙两名选手距离第一个补给点的路程s（）与时间t（）之间的关系如图所示．根据图象回答下列问题： (1)直接写出乙在第一个补给点停留的时间与图中m的值． (2)在这段过程中，甲、乙两人的速度分别是多少？ (3)乙经过第一个补给点后多长时间，甲乙两名选手相距？ 【变式8-3】（24-25八年级上·浙江杭州·期末）一辆大客车和一辆小轿车沿同一公路同时从甲地出发去乙地，图中折线和线段分别表示小轿车和大客车离开甲地的路程与时间的关系，其中小轿车往返的速度相同．请结合图象解答下列问题： (1)分别求出小轿车和大客车速度； (2)点为与的交点，试求点的坐标，并说明点所表示的实际意义； (3)求出发后经过多少小时两车相距？ 题型九 一次函数与几何综合 【例9】（2023·安徽淮北·一模）如图，点A的坐标为，直线与x轴交于点C，与y轴交于点D，点B在直线上运动．当线段最短时，点B的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式9-1】（24-25八年级上·浙江金华·期末）定义：一次函数（且）和一次函数为“逆反函数”，如和为“逆反函数”．如图1，一次函数：的图象分别交轴、轴于点、． (1)请写出一次函数的“逆反函数”的解析式______；点在的函数图象上，则的值是______． (2)一次函数图象上一点又是它的“逆反函数”图象上的点， ①求出点坐标； ②求出的面积． (3)如图2，过点作轴的垂线段，垂足为，为轴上的一点，且，请直接写出直线的解析式． 【变式9-2】（24-25八年级下·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点B，直线与直线，x轴分别交于点，． (1)求直线的表达式． (2)若D，E分别是直线和y轴上的动点，是否存在点D，E，使得以A，B，D，E为顶点，为一边的四边形是平行四边形？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 第3部分 双阶训练场 基础训练场 一、单选题 1．（24-25八年级上·甘肃酒泉·期中）一次函数的图像不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（22-23九年级下·山东泰安·阶段练习）已知直线与的交点为，则方程组的解为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·山西·一模）将2×2的正方形网格如图所示的放置在平面直角坐标系中，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长都是1，正方形的顶点都在格点上，若直线与正方形有公共点，则不可能是（ ）.    A．3 B．2 C．1 D． 4．（21-22八年级下·河南信阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，若点A关于x轴的对称点B在直线上，则的值为（    ） A．-1 B．1 C．2 D．3 5．（21-22八年级上·安徽阜阳·阶段练习）已知一次函数y＝kx﹣b与y＝﹣kbx（k，b为常数，且kb≠0），则它们在同一平面直角坐标系内的图象可能为（　　） A． B． C． D． 6．（22-23八年级下·湖北武汉·期末）已知一次函数，那么下列结论正确的是（    ） A．y的值随x的值增大而增大 B．图象经过第一、二、三象限 C．图象必经过点 D．当时， 7．（22-23八年级下·河北廊坊·期末）如图，若直线与直线交于一点，则关于的不等式的解集是（    ）    A． B． C． D． 8．（22-23八年级下·四川南充·期末）已知，在平面直角坐标系中，点，点B在直线上．当A、B两点间的距离最小时，点B的坐标是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．（22-23八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）直线与直线互相平行，则常数的值为 ． 10．（2023·宁夏银川·一模）如图，在等边中，已知，，将沿平行于轴的直线向下平移，当点的对应点落在直线上时，点的对应点的坐标为 ． 11．（23-24八年级上·四川遂宁·期末）2021年5月15日07时18分，“天问一号”火星探测器成功登陆火星表面，开启了中国人自主探测火星之旅．已知华氏温度（）与摄氏温度（）之间的关系满足如表： 摄氏（单位℃） 华氏（单位℉） 若火星上的平均温度大约为，则此温度换算成华氏温度约为 ． 12．（23-24八年级下·福建莆田·期中），是一次函数图象上不同的两点，若满足，则的取值范围是 ． 三、解答题 13．（22-23八年级上·安徽亳州·阶段练习）已知一次函数y=(1-m)x+2m-3， （1）若函数图象经过原点，求m的值； （2）若y随x增大而减小，求m的取值范围 （3）若函数图象平行于y=2x-3，求这个函数的表达式． 14．（23-24八年级上·陕西西安·阶段练习）已知一次函数的图象经过点，求一次函数的表达式． 15．（22-23八年级下·山东聊城·期末）如图，直线的函数解析式为，且与x轴交于点D，直线经过点A，B，直线、交于点C．    (1)求直线的函数解析式； (2)求的面积； (3)在直线上是否存在点P，使得面积是面积的3倍？如果存在，请求出P坐标；如果不存在，请说明理由． 提高训练场 一、单选题 1．（2023·陕西西安·模拟预测）把直线y=-x+2向上平移a个单位后，与直线y=2x+3的交点在第二象限，则a的取值范围是（   ） A．a＞1 B．＜a＜0 C．＜a＜1 D．a＜1 2．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）下列各点在一次函数y=x+4图象上的是（ ） A．点（﹣7，3） B．点（3，7） C．点（4，﹣8） D．点（2.5，1.5） 3．（2024八年级下·全国·专题练习）函数y=|2x|的图象是(    ) A． B． C． D． 4．（22-23八年级上·山东济南·期中）如图，直线y＝kx（k≠0）与y＝x+2在第二象限交于A，y＝x+2交x轴，y轴分别于B、C两点．3S△ABO＝S△BOC，则方程组的解为（　　） A． B． C． D． 5．（22-23八年级上·陕西西安·阶段练习）直线y＝﹣3x+m与直线y＝2x+3的交点在第二象限，则m的取值范围是（　　） A．﹣＜m＜3 B．m＞ C．m＜3 D．m＜3或m＞- 6．（2024·四川·一模）若正比例函数y＝（a﹣4）x的图象经过第一、三象限，化简的结果是（　　） A．a﹣3 B．3﹣a C．（a﹣3）2 D．（3﹣a）2 7．（23-24八年级上·四川成都·期末）如图，已知点的坐标为，点的坐标为，点在直线上运动，当最小时，点的坐标为（  ） A． B． C． D． 8．（23-24八年级上·山西运城·阶段练习）如图，已知直线与轴、轴分别交于点和点，是线段上一点，若将沿折叠，点恰好落在x轴上的点处，则直线所对应的函数表达式是（    ）    A． B． C． D． 二、填空题 9．（2024·江苏苏州·一模）甲、乙两车从A地出发，匀速驶向B地，甲车以的速度行驶后，乙车才沿相同路线行驶．乙车先到达B地并停留后，再以原速按原路返回，直至与甲车相遇．在此过程中，两车之间的距离与乙车行驶时间之间的函数关系如图所示，给出下列说法：①乙车的速度是；②；③点H的坐标是；④．其中说法正确的有 ．（把你认为正确结论的序号都填上） 10．（2024·全国·模拟预测）现有甲、乙两个长方体蓄水池，将甲池中的水匀速注入乙池，甲、乙两个蓄水池中水的深度y（米）与注水时间x（时）之间的函数图象如图所示，当甲、乙两池中水的深度相同时，注水时间为 时． 11．（24-25八年级下·北京·期中）当，是正实数，且满足时，就称点为“完美点”．已知与点的坐标满足，且点是“完美点”，则点坐标为 ． 12．（23-24八年级上·山东济南·期中）正方形，，，…按如图所示放置，点，…和，…分别在直线和x轴上，则点的纵坐标是 ． 三、解答题 13．（23-24八年级上·江西萍乡·期末）在平面直角坐标系中，某一次函数的图象是由直线平移得到的，且经过点，交y轴于点B． (1)求此一次函数的表达式； (2)若点P为此一次函数图象上一点，且的面积为12，求点P的坐标． 14．（22-23八年级上·江苏泰州·期末）如图，正比例函数的图象与一次函数的图象交于点，一次函数图象经过点，与y轴的交点为D，与x轴的交点为C．    (1)求一次函数表达式； (2)求的面积． 15．（23-24八年级下·广东清远·期末）某汽车销售公司经销某品牌A 款汽车，随着汽车的普及，其价格也在不断下降．今年 5月份A 款汽车的售价比去年同期每辆降价1万元，如果卖出相同数量的A 款汽车， 去年销售额为100万元，今年销售额只有90万元． (1)今年5月份A 款汽车每辆售价多少万元? (2)为了增加收入，汽车销售公司决定再经销同品牌的B 款汽车，已知A款汽车每 辆进价为7.5万元，B 款汽车每辆进价为6万元，公司预计用不多于105万元且不少于102万元的资金购进这两款汽车共15辆，有几种进货方案?其中哪种进货方案所需资金最少? 学科网（北京）股份有限公司 $$ 八年级下册期末登顶手册：三维突破指南 专题8 一次函数与选择方案 第1部分 考点解码舱 知 识知 点知 1.正比例函数的定义 一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数. 正比例函数y=kx必须满足k≠0，x的次数为1，没有常数项（即常数项为0）这三个条件. 【例1】（24-25八年级上·贵州贵阳·期末）下列函数关系式中，y是x的正比例函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是正比例函数的定义，一般地，形如（k是常数，）的函数叫做正比例函数．根据正比例函数的定义解答即可． 【详解】解：A、，不是正比例函数，不符合题意； B、，不是正比例函数，不符合题意； C、，是正比例函数，符合题意； D、，不是正比例函数，不符合题意． 故选：C． 【变式1-1】（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）已知y是x的正比例函数，其表达式为． (1)求出m的值； (2)请你通过计算判断点是否在该函数图象上． 【答案】(1) (2)不在，理由见解析 【分析】本题考查的是正比例函数的定义，判断点是否在正比例函数图象上； （1）由正比例函数的定义可得且，从而可得答案； （2）由（1）可得正比例函数为，再计算当时的函数值即可得到答案. 【详解】（1）解：∵y是x的正比例函数，其表达式为， ∴且， 解得：； （2）解：∵， ∴正比例函数为：， 当时，， ∴点不在该函数图象上． 【变式1-2】（24-25七年级上·山东淄博·期末）下列函数（其中x是自变量）中，是正比例函数的个数有（   ） ①；②；③（k是常数）；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查正比例函数的判断，根据形如，这样的函数叫做正比例函数，进行判断即可． 【详解】解：，是正比例函数，故①正确； ，整理，得：，是正比例函数，故②正确； （k是常数），当时，不是正比例函数，故③错误； ，不是正比例函数，故④错误； 故选B． 【例2】（23-24八年级下·广西河池·期末）若y关于x的函数是正比例函数，则 ． 【答案】0 【分析】根据正比例函数的定义即可得解．一般地，对于两个变量x、y，若x、y之间的关系式可以表示成（其中k、b为常数，且）的形式，那么称y是 x的一次函数，特别的，当时，称y是 x的正比例函数.题中告诉我们是正比例函数，所以，即． 熟练掌握正比例函数的定义是解题的关键． 【详解】解：∵y关于x的函数是正比例函数， ∴, 故答案为：0． 【变式2-1】（24-25七年级上·山东淄博·期末）若函数是正比例函数，则k满足的条件为 ． 【答案】 【分析】本题考查正比例函数的定义，解题的关键是牢记正比例函数的表达式及系数的限制条件． 根据正比例函数的定义，确定其表达式中系数需满足的条件，进而求解的取值． 【详解】正比例函数的一般形式为（是常数，）， 对于函数，要使其为正比例函数，则， 解不等式，可得， 故答案为：． 知 识知 点知 2.正比例函数的图象和性质 一般地，正比例函数y=kx（k是常数，k≠0）的图象是一条经过原点的直线，我们称它为直线y=kx（k≠0）. 当k>0时，直线y=kx经过第三、第一象限，从左向右上升，即随着x的增大y也增大；当k<0时，直线y=kx经过第二、第四象限，从左向右下降，即随着x的增大y反而减小. 如下表 k的符号 k>0 k<0 图像 图像的形状 过原点，从左向右是上升的直线 过原点，从左向右是下降的直线 经过的象限 第一、第三象限 第二、第四象限 增减性 y随x的增大 而增大 y随x的增大 而减小 正比例函数的性质也可以逆用，如当正比例函数y=kx（k≠0）中y随的增大而增大时，k>0，反之，k<0：再比如，若正比例函数的图象过第一、三象限，则k>0等， 因为两点确定一条直线，所以可用两点法画正比例函数y=kx（k≠0）的图象.一般地，过原点和点（1，k）（k是常数，k≠0）的直线，即正比例函数y=kx（k≠0）的图象， 画正比例函数图象的一般步骤： （1）列表： x 0 1 y 0 k （2）描点：在平面直角坐标系内描出点（0.0）, （1.k）. （3）连线：过点（0，0），（1,k）连成一条直线，有时为了描点更方便、更准确，取横、纵坐标都是整数的两点.在正比例函数y=kx（k≠0）中， k越大，直线y=k越靠近y轴；越小，直线 y=k越靠近x轴 正比例函数图象上的每一个点的坐标都满足关系式y=kx（k≠0）：反之，满足关系式y=kx（k≠0）的点都在正比例函数图象上 【例3】（24-25八年级上·陕西西安·期末）在平面直角坐标系中，点的坐标为，过点作轴的垂线交直线于点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是等腰直角三角形的判定与性质，正比例函数的性质，根据题意可得，可得，再进一步解答即可． 【详解】解：如图， ∵直线，轴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：A 【变式3-1】（24-25八年级上·山西太原·期末）若正比例函数中，的值随着值的增大而减小，则下列各点可能在该函数的图象上的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正比例函数的图象与性质．根据正比例函数中，的值随着值的增大而减小，可知，所以可知直线过第二、四象限，根据各点所在的象限判断该点是否可能在该函数的图象上． 【详解】解：正比例函数中，的值随着值的增大而减小， ， 直线过第二、四象限， 点在第一象限， 不在该函数的图象上， 故A选项不符合题意； 点在轴上， 不在该函数的图象上， 故B选项不符合题意； 点在第三象限， 不在该函数的图象上， 故C选项不符合题意； 点在第二象限， 可能在该函数的图象上， 故D选项符合题意． 故选：D． 【变式3-2】（23-24八年级下·云南昆明·期末）已知正比例函数的解析式为，下列结论正确的是（    ） A．图象是一条线段 B．图象必经过点 C．图象经过第一、三象限 D．y随x的增大而减小 【答案】C 【分析】本题主要考查的是正比例函数的图象和性质．根据正比例函数的图象和性质逐一判断即可． 【详解】解：A、正比例函数，图象是一条直线，不符合题意； B、当时，，图象不经过点，不符合题意； C、，图象经过第一、三象限，符合题意； D、，y随x的增大而增大，不符合题意． 故选：C． 【变式3-3】（22-23八年级上·上海浦东新·期末）关于正比例函数的图象，下列叙述错误的是（   ） A．点在这个图象上 B．函数值随自变量的增大而减小 C．图象关于原点对称 D．图象经过一、三象限 【答案】B 【分析】此题主要考查了正比例函数的性质，分别应用正比例函数的性质分析即可选择． 【详解】解：A．当时，，所以点在这个图象上，故A选项不符合题意； B．由知，函数值y随自变量x的增大而增大，故B选项符合题意； C．正比例函数图象都经过原点，故C选项不符合题意； D．由知，图象经过一、三象限，故D选项不符合题意； 故选：B． 知 识知 点知 3.一次函数的定义 一般地，形如y=kx+b（k，b是常数，k≠0）的函数，叫做一次函数.当b=0时，y=kx+b即y=kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数，一次函数包含正比例函数，但一次函数不一定是正比例函数。 （1）由一次函数的定义可知，函数是一次函数台其解析式可化为y=kx+b（k，b是常数，k≠0）的形式： （2）一次函数解析式y=kx+b（k，b是常数，k≠0）的结构特征：k≠0：②x的次数是1： ③常数项b可以是任意实数 【例4】（24-25八年级上·广西百色·期末）下列函数为一次函数的有（   ） ①；②；③；④；⑤； A．①②④ B．①③⑤ C．①②⑤ D．①② 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数，根据一次函数的定义：形如（是常数，且）的函数是一次函数，逐项判断即可求解，掌握一次函数的定义是解题的关键． 【详解】解：①是一次函数，符合题意； ②，即，是一次函数，符合题意； ③不是一次函数，不合题意； ④不是一次函数，不合题意； ⑤是一次函数，符合题意； ∴一次函数的有①②⑤， 故选：． 【变式4-1】（24-25八年级上·安徽池州·期末）在下列函数解析式中，①；②；③；④；⑤，y一定是x的一次函数的有（   ）个． A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】根据一次函数的定义，对各个函数进行分析，即可求解， 本题主要考查了一次函数的定义，解题的关键是：一次函数的定义一般形如（，是常数，），其中是自变量，是因变量‌。． 【详解】解：①当时，不是一次函数， ②，是一次函数， ③，是一次函数， ④，是一次函数， ⑤，不是一次函数， 综上所述，②③④是一次函数，共3个， 故选：C． 【例5】（23-24八年级下·四川内江·期中）若关于的函数是一次函数，则的值为（   ） A． B．2 C． D．1 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的定义，根据一次函数形如，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵关于的函数是一次函数， ∴ ∴ 即 故选：C 【变式5-1】（24-25八年级上·贵州贵阳·期末）若y关于x的函数是一次函数，则m的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查的是一次函数的定义，掌握一次函数的定义是解题的关键． 一般地，形如，且k、b是常数的函数叫做一次函数．根据一次函数的定义进行求解即可． 【详解】解：关于x的函数是一次函数， ， ， 故选：D． 知 识知 点知 4.一次函数的图象和性质 一次函数y=kx+b（k，b是常数，k≠0）的图象是一条直线，我们称它为直线y=kx+b.特别地，正比例函数y=kx（k≠0）的图象是过（0，0）和（1，k）两点的一条直线 一次函数图象的画法与正比例函数图象的画法相同：它是过点（0，b）且与直线y=kx（k≠0）重合或平行的一条直线，在画关于实际问题的一次函数的图象时，要先明确自变量的取值范围，在自变量的取值范围内画函数的图象，函数的图象可能是直线、射线或线段。 当k>0时，直线y=kx+b从左向右上升， 当k<0时，直线y=kx+b从左向右下降. 由此可知，一次函数y=kx+b（k，b是常数，k≠0）具有如下性质： 当k>0时，y随的增天而增大； 当 k<0时，y随z的增大而减小， 直线y=kx+b在平面直角坐标系中的位置与k、b的关系如下表： k的符号 b的符号 经过的象限 图像 + + 一、二、三 + - 一、三、四 - + 一、二、四 - - 二、三、四 (1) 直线y=kx+b的位置是由k和b的符号决定的，其中决定直线从左到右呈上升趋势还是呈下降趋势（共两种情况）；决定直线与y轴交点的位置，是在y轴的正半轴、负半轴还是原点（共三种情况）。.k与b综合起来决定直线y=kx+b在直角坐标系中的位置. （2) y随的增大而增大，还是y随的增大而减小，只取决于k的符号，与b无关. （3）一次函数y=kx+b（k≠0）的自变量x的取值范国是全体实数. 其图象是一条直线，因此没有最大值与最小值. 但由实际问题得到的一次函数解析式，自变量的取值范围一般受到限制、则图象为线段或射线，根据函数的性质，就存在最大值或最小值问题. 【例6】（24-25八年级上·安徽合肥·期末）关于直线，下列说法正确的是（　　） A．直线在轴上的截距是 B．直线经过第二、三、四象限 C．随的增大而增大 D．点在直线l上 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征；一次函数的性质，熟练掌握该知识点是关键． 根据一次函数图象上点的坐标特征解答即可． 【详解】解：A、当时，， ∴直线在轴上的截距是，选项说法错误，不符合题意； B、，直线经过第二、三、四象限正确，符合题意； C、，随的增大而减小，选项说法错误，不符合题意； D、当时，，点不在直线l上，选项说法错误，不符合题意； 故选：B． 【变式6-1】（24-25八年级上·河南·期末）下列关于直线的说法不正确的是（    ） A．一定经过点 B．与轴交于点 C．随的增大而增大 D．图像过一，三，四象限 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数的图像与性质，理解并掌握一次函数的图像与性质是解题关键．对于直线，当，可得，易知直线一定经过点，即可判断选项A； 当，可得，，可知该直线与轴交于点，即可判断选项B；因为，易知随的增大而增大，即可判断选项C；结合，，可知该函数图像过一，三，四象限，即可判断选项D． 【详解】解：A. 对于直线，当，可得，即该直线一定经过点，本选项正确，不符合题意； B. 对于直线，当，可得，，即该直线与轴交于点，本选项不正确，符合题意； C. 对于直线，因为，所以随的增大而增大，本选项正确，不符合题意； D. 因为，，所以该函数图像过一，三，四象限，本选项正确，不符合题意． 故选：B． 【例7】（23-24八年级下·安徽宣城·期末）两个一次函数与 ，它们在同一直角坐标系中的图象可能是（        ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质是解题的关键； 观察题中所给选项，根据图象逐项判断m、n的正负，如果通过两个一次函数图象所判断的m、n的正负一致，即为正确选项； 【详解】解：A、由的图象可知，，即；由的图象可知，，，两结论相矛盾，故本选项错误，不符合题意； B、由的图象可知，，即；由的图象可知，，，两结论一致，故本选项正确，符合题意； C、由的图象可知，，即；由的图象可知，，，两结论相矛盾，故本选项错误，不符合题意； D、由的图象可知，，即；由的图象可知，，，两结论相矛盾，故本选项错误，不符合题意； 故选：B． 【变式7-1】（24-25八年级上·广东佛山·期末）在同一直角坐标系中，直线与直线可能是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】本本题主要考查正比例函数的性质，一次函数的性质，正确记忆相关知识点是解题关键． 根据正比例函数图象的位置确定的取值范围，再根据图象与系数的关系确定一次函数的位置即可得出答案． 【详解】A、由正比例函数图象得，则直线经过第一、二、三象限，所以该选项不符合题意； B、由正比例函数图象得，则直线经过第一、三、四象限，所以该选项不符合题意； C、由正比例函数图象得，则直线经过第一、二、三象限，所以该选项符合题意； D、由正比例函数图象得，则直线经过第一、三、四象限，所以该选项不符合题意． 故选：C． 知 识知 点知 5.一次函数的图象的平移 一次函数y=kx+b（k≠0）的图象是过点（0.b）且和直线y=kx（k≠0）重合或平行的一条直线.直线y=kx+b（k≠0）可以由直线y=kx平移b个单位长度得到（当b>0时.向上平移；当b<0时，向下平移）， （1）当直线y=k1x+b1（k≠0）与y=kx2+b2平行时，则有k1=k2，且b1≠b2，反之亦成立， （2）当直线平行x于轴且与y轴交点的纵坐标为b时，这条直线的函数解析式为y=b；当直线平行于y轴且与轴交点的横坐标为a 时，这条直线的函数解析式为x=a （3）x轴，y轴分别表示为直线y=0，直线x=0. 【例8】（24-25八年级上·江苏扬州·期末）将函数的图像向上平移3个单位长度，所得图像对应的函数表达式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是一次函数的图像与几何变换，掌握“上加下减”的平移原则是解题的关键．根据“上加下减”的原则进行解答即可． 【详解】解：由上加下减”的原则可知： 将函数的图像向上平移3个单位长度，所得图像对应的函数表达式是，即． 故选：C． 【变式8-1】（24-25八年级上·四川成都·期末）将一次函数的图象沿y轴向下平移2个单位，得到一次函数的图象，则b的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了一次函数的平移，根据一次函数平移的规律即可求解，掌握一次函数平移的规律是解题的关键． 【详解】解：将一次函数的图象沿y轴向下平移2个单位，得到， ∵一次函数的图象沿y轴向下平移2个单位，得到一次函数， ∴， ∴， 故答案为：． 知 识知 点知 6.用待定系数法求一次函数的解析式 （1）定义：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而得出函数解析式的方法，叫做待定系数法。 （2）用待定系数法求一次函数解析式的一般步骤： ①设：根据已知条件设出含有待定系数的函 数解析式： ②代：把已知条件（自变量与函数的对应值） 代人上述函数解析式中，得到以待定系数为未知数的二元一次方程组； ③解：解方程（组），得到待定系数的值： ④回代：将求出的待定系数回代到所求的函数解析式中，即可得到所求的一次函数解析式 【例9】（24-25八年级上·浙江丽水·期末）已知一次函数的图象过，两点． (1)求一次函数表达式； (2)求该函数图象与坐标轴交点的坐标． 【答案】(1) (2)与轴交点为，与轴交点为 【分析】本题考查了一次函数图象与坐标轴的交点问题，待定系数法求一次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先设一次函数的解析式为，把把，代入计算，即可作答． （2）根据一次函数与坐标轴交点，则分别把，代入，进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：设一次函数的解析式为， 把，代入， 得，解得， ∴一次函数的解析式为． （2）解：依题意，把代入， 解得， ∴与轴交点为． 把代入，得， 解得， ∴与轴交点为． 【变式9-1】（23-24八年级下·安徽淮南·期末）已知一次函数的图象经过，两点．求该一次函数的表达式． 【答案】 【分析】本题主要考求一次函数的解析式．利用待定系数法解答，即可求解． 【详解】解：一次函数的图象经过，两点， ，解得， 该一次函数的表达式为． 知 识知 点知 7.一次函数与一元一次方程的关系 因为任何一个以x为未知数的一元一次方程都可以变形为ax+b=0（a≠0）的形式.所以解一元一次方程相当于在某个一次函数y=ax+b 的函数值为0时：求自变量的值；也相当于求直线y=ax+b与x轴交点的横坐标。 直线与坐标轴的交点坐标的求法： （1） 直线y=ax+b(a≠0)与x轴交点的横坐标是一元一次方程y=ax+b(a≠0)的解.令y=0，得到方程ax+b=0，解方程，得x=，即直线 y=ax+b与x轴的交点坐标为（,0）。 （2）直线y=ax+b与y轴交点的横坐标是 0，纵坐标就是当x=0时，一次函数y=ax+b的函数值b，即直线y=at十b与y轴的交点坐标为（0,b）. 【例10】（21-22八年级下·北京昌平·期中）已知一次函数的图象如图所示，则关于的方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，方程的解即为一次函数的函数值为0时对应的的值，利用数形结合的思维解答是解题的关键． 【详解】解：由图象知，当时， ∴关于的方程的解为， 故答案为：． 【变式10-1】（24-25九年级上·吉林长春·期末）直线分别与的负半轴和的正半轴交于点和点，若，，则关于的方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数的图象，一次函数与一元一次方程的关系，根据直线与x轴的交点的横坐标即为关于x的方程的解解题即可． 【详解】解：∵直线分别与的负半轴交于点和点，， ∴与轴交点坐标为， ∴关于的方程的解为， 故选：B． 知 识知 点知 8.一次函数与一元一次不等式的关系 因为任何一个以x为未知数的一元一次不等式都可以变形为ax+b>0(a≠0) 或ax+b<0(a≠0)的形式，所以解元一次不等式相当于在某个一次函数y=ax+b 的函数值大于0或小于0时，求自变量x的取值范围. （1）一般地，一元一次不等式ax+b>0或ax+b<0的解集，就是使一次函数y=ax+b 的函数值大于0（或小于0）时自变量的取值范围 （2）从图象上看，ax+b>0的解集是直线y=ax+b 位于x轴上方的部分所对应的自变量的取值范围；ax+b<0的解集是直线y=ax+b 位于轴下方的部分所对应的自变量的取值范围. 用一次函数图象解一元一次不等式的步骤： （1）将一元一次不等式转化为ax+b>0或ax+b<0的形式； （2）画出一次函数y=ax+b的图象； （3）观察图象，根据上面总结的一次函数与元一次不等式的关系得出结论 直线y1=k1x+b1与直线y2=k2x+b2的交点的横坐标即为方程k1x+b1=k2x+b2的解；不等式（或 y1<y2）的解集就是直线y1=k1x+b1在直线y2=k2x+b2上（或下）方部分对应的x的取值范围.如图所示，方程k1x+b1=k2x+b2的解为x=a；不等式k1x+b1>k2x+b2的解集为x>a;不等式k1x+b1<k2x+b2的解集为x<a. 【例11】（24-25八年级上·江苏泰州·期末）如图，点A点的横坐标为a，根据图像，判断下列说法正确的是（   ） A．当时， B．当时， C．当时，y随x的增大而减小 D．当时， 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的图像与性质，一次函数与不等式的关系，熟练掌握知识点，利用数形结合思想是解题的关键． 根据一次函数与不等式的关系即可判断A、B、D，根据一次函数的性质即可判断C． 【详解】解：A、当时，，故A错误，不符合题意； B、当时，，故B错误，不符合题意； C、当时，y随x的增大而增大，故C错误，不符合题意； D、当时，，正确，符合题意， 故选：D． 【变式11-1】（24-25八年级上·浙江宁波·期末）一次函数的图象如图所示，当时，的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式，根据一次函数的图象，进行求解即可． 【详解】解：由图象可知，随的增大而减小，当时，， ∴当时，的取值范围是； 故选D． 【例12】（23-24八年级下·广西河池·期末）已知一次函数与的图象如图所示，有下列结论：① ； ② ； ③关于x的方程的解为； ④当时，其中正确的结论有（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】利用一次函数的性质对①②进行判断；利用两直线的交点的横坐标为3可对③进行判断；利用两直线的位置关系对④进行判断． 本题考查了一次函数图象的性质以及一次函数与与一元一次不等式组的关系，熟练掌握一次函数图象的性质及数形结合思想是解题的关键． 【详解】解：∵直线经过第一、二、四象限， ∴，， 所以①正确； ∵直线与y轴的交点在x轴下方， ∴， 所以②错误； ∵当时，， ∴关于x的方程的解为， 所以③正确； ∵当，直线在直线的下方， ∴时，． 所以④错误． 故答案为：C． 【变式12-1】（24-25八年级上·江苏泰州·期末）如图，直线与直线交于点A，当时，x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式，观察图象可知交点为，从交点向左函数的图象在的图象下方，进而得出取值范围． 【详解】解：观察图象可知， 当时，． 故答案为：． 知 识知 点知 9.一次函数与二元一次方程（组）的关系 一般地，因为每个含有未知数x和y的二元一次方程，都可以改写为y=kx+b（k，b是常数，k≠0）的形式，所以每个这样的方程都对应一个一次函数，于是也对应一条直线。这条直线上每个点的坐标（x，y）都是这个二元一次方程的解，由上可知，由含有未知数x和y的两个二元一次方程组成的每个二元一次方程组，都对应两个一次函数，于是也对应两条直线。从“数”的角度看，解这样的方程组，相当于求自变量为何值时相应的两个函数值相等，以及这个函数值是多少；从“形”的角度看，解这样的方程组，相当于确定两条相应直线交点的坐标。因此，我们可以用画一次函数图象的方法得到方程组的解 用图象法求二元一次方程组的近似解的一般方法： （1） 先把方程组中的两个二元一次方程化成一次函数的形式：y1=k1x+b1与y2=k2x+b2； （2） 建立平面直角坐标系，画出这两个一次函数的图象： （3）写出这条直线的交点的横、纵坐标，这两个数值就是二元一次方程组的解中的两个数值，横坐标为x，纵坐标为y。 （1）如果两个一次函数的图象平行（无交点），那么相应的二元一次方程组无解， （2）如果两个一次函数的图象重合，那么相应的二元一次方程组有无数解 （3）如果两个一次函数的图象相交（有一个交点），那么相应的二元一次方程组有唯一解。 【例13】（20-21八年级上·四川成都·期末）如图，一次函数和的图象相交于点，则关于x，y的方程组的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了两条直线的交点与方程组的解的关系， 先求出两个一次函数的交点坐标，再根据两条直线的交点的横纵坐标，即为两个函数关系式对应的方程组的解得出答案． 【详解】解：∵一次函数经过点， ， 解得：， ， ∴方程组的解是． 故选：A． 【变式13-1】（24-25八年级上·贵州毕节·期末）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示．小星根据图象得到如下结论：①在一次函数的图象中，y的值随着x值的增大而减小；②关于x，y的二元一次方程组的解为；③关于x的一元一次方程的解为；④当时，．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的图像，结合一次函数的性质和图象，逐一判断即可解答，熟知一次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：①由函数图象可知，直线从左至右呈下降趋势， 所以y的值随着x值的增大而减小，故①正确； ②由函数图象可知，一次函数一次函数与的图象交点坐标为， 所以方程组的解为，故②正确； ③由函数图象可知，直线与x轴的交点坐标为， 所以方程的解为，故③正确； ④由函数图象可知，直线过点， 所以当时，，故④正确； 故选：D． 【变式13-2】（22-23八年级下·陕西商洛·期末）如图，直线与直线相交于点，则方程组的解是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与二元一次方程(组)，熟知一次函数与二元一次方程组之间的关系是解题的关键．先求出点P的坐标，再根据二元一次方程组与一次函数之间的关系即可解决问题． 【详解】解∶将代入得，． 解得． 点P的坐标为． 方程组的解可看成函数与函数图象的交点坐标， 此方程组的解为 知 识知 点知 10.一次函数的应用 做一件事情，有时有不同的实施方案：比较这些方案，从中选择最佳方案作为行动计划，是非常必要的。在选择方案时，往往需要从数学角度进行分析，涉及变量的同题常用到函数。 用一次函数选择最佳方案的步骤： （1）从数学的角度分析实际问题、建立函数模型（往往有两个或两个以上的模型）； （2）列出不等式（方程），求出自变量在取不司值时对应的函数值的大小关系： （3）结合实际需求，选择最佳方案 （1）在实际生活中，常见的选择方案类型有利润问题、效益问题、分配问题等， （2）选择最佳方案实际上是在比较的基础上完成的它往往是先将全部方案都列出来，再根据题意选择个最优的方案， 【例14】（23-24八年级下·安徽宣城·期末）某乐队举行专场音乐会，为学校师生提供了两种优惠方案，教师票每张100元，学生票每张50元．方案一：购买一张教师票赠送1张学生票；方案二：按总价的付款．新星学校有4名教师与名学生购票听音乐会，若付款总金额为（元）． (1)分别写出两种方案中与的函数关系式； (2)至少有多少名学生参加时，选择方案二的购票方案比方案一便宜？ 【答案】(1)方案一中与的函数关系式为，方案二中与的函数关系式为 (2)至少有13名学生参加时，选择方案二的购票方案比方案一便宜 【分析】本题考查了一次函数的应用、一元一次不等式的应用，正确理解两种优惠方案是解题关键． （1）方案一：根据付款总金额4名教师的费用名学生的费用即可得；方案二：根据付款总金额（4名教师的费用名学生的费用）即可得； （2）结合（1）的答案，根据选择方案二的购票方案比方案一便宜建立一元一次不等式，解不等式求出的最小正整数解即可得． 【详解】（1）解：由题意得：方案一：， 方案二：， 答：方案一中与的函数关系式为，方案二中与的函数关系式为． （2）解：由题意得：， 解得， ∵为正整数， ∴的最小值为13， 答：至少有13名学生参加时，选择方案二的购票方案比方案一便宜． 【变式14-1】（24-25八年级上·四川成都·期末）2025年春节即将来临，某商场为满足顾客需求计划购进一批香蕉和橙子．已知购进2千克香蕉和3千克橙子共需46元；购进1千克香蕉和2千克橙子共需28元． (1)请问香蕉和橙子的进价分别是多少元？ (2)该商场准备购进香蕉和橙子共1000千克，已知香蕉的售价为12元/千克，橙子的售价为15元/千克，其中香蕉的进货量不低于350千克，且不高于450千克．在可以全部售出的情况下，请问总利润的最大值是多少？ 【答案】(1)香蕉的进价是8元，橙子的进价是10元 (2)总利润的最大值是元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式． （1）设香蕉的进价是x元，橙子的进价是y元，根据“购进2千克香蕉和3千克橙子共需46元；购进1千克香蕉和2千克橙子共需28元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进m千克香蕉，购进的香蕉和橙子全部售出后获得的总利润为w元，则购进千克橙子，利用总利润＝每千克香蕉的销售利润×购进香蕉的数量+每千克橙子的销售利润×购进橙子的数量，可找出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【详解】（1）解：设香蕉的进价是x元，橙子的进价是y元， 根据题意得：， 解得：． 答：香蕉的进价是8元，橙子的进价是10元； （2）设购进m千克香蕉，购进的香蕉和橙子全部售出后获得的总利润为w元，则购进千克橙子， 根据题意得：， 即， ∵， ∴w随m的增大而减小， 又∵， ∴当时，w取得最大值，最大值为（元）． 答：总利润的最大值是元． 第2部分 题型透视镜 题型一 利用一次函数的定义求字母的值 【例1】（24-25八年级上·山东烟台·期末）一次函数的图象经过原点，则m的值为（   ） A． B． C． D．且 【答案】C 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点以及一次函数的定义，将代入解析式，且，即可求解． 【详解】解：∵一次函数   的图象经过原点， ∴且 解得：， 故选：C． 【变式1-1】（24-25八年级上·安徽马鞍山·期末）当 时，函数是一次函数． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数的定义，一般地，形如（其中k、b是常数且）的函数叫做一次函数，据此求解即可． 【详解】解：∵函数是一次函数， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式1-2】（23-24八年级下·内蒙古赤峰·期中）已知是关于的一次函数，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了一次函数的定义．根据一次函数的定义得出，代入代数式求解即可．形如的函数为一次函数． 【详解】解：函数是关于x的一次函数 则， 解得 ∴， 故答案为：． 【变式1-3】（24-25七年级上·山东泰安·期末）已知函数． (1)m的取值满足什么条件时，y是x的一次函数？ (2)m，n的取值满足什么条件时，y是x的正比例函数？ (3)若函数的图象经过点和，求m，n的值． 【答案】(1) (2)，且， (3)的值分别为 【分析】本题考查的是正比例函数的定义，一次函数的定义． （1）根据y是x的一次函数，得到，求解即可； （2）根据y是x的正比例函数，得到，求解即可； （3）将点代入求出的值，再将代入即可求出的值． 【详解】（1）解：由题意得，即时， 函数是一次函数； （2）解：由题意得，且， 即得，且时，函数是正比例函数； （3）解：函数图象经过点 ，即． 又经过点， ， 解得， 故的值分别为． 题型二 用待定系数法求一次函数解析式 【例2】（24-25八年级上·河北邯郸·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线过点，且与x轴交于点A． (1)求的函数表达式； (2)将向下平移个单位长度得到直线，若平移后的直线经过点A关于y轴的对称点，求n的值． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式、一次函数的图象与性质、坐标与图形变化——轴对称，掌握相关知识点是解题的关键． （1）代入点到，利用待定系数法即可求解； （2）先求出点A的坐标，得出点A关于y轴的对称点的坐标，再根据一次函数的平移，设出的函数表达式，再代入对称点的坐标即可求出n的值． 【详解】（1）解：代入点，得， 解得：， 的函数表达式为． （2）解：令，则， 解得：， ， 点A关于y轴的对称点为， 将向下平移个单位长度得到直线， 设的函数表达式为， 代入得，， 解得：， n的值为2． 【变式2-1】（24-25八年级上·江苏盐城·期末）已知与成正比例，当时，． (1)求y与x的函数表达式； (2)若点关于y轴的对称点恰好落在该函数的图象上，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，关于y轴对称点的坐标特征等知识，解题的关键是： （1）设，把时，代入求解即可； （2）利用轴对称性求出对称点的坐标，然后代入求解即可． 【详解】（1）解： 与成正比例， ∴设， ∵当时，， ， ， ， ． （2）∵点是点关于y轴的对称点． ∴点为． 又∵点恰好落在该函数的图象上， ． 【变式2-2】（24-25八年级上·浙江宁波·期末）一次函数（，都是常数，）的图象经过，两点． (1)求这个一次函数的表达式． (2)判断是否在直线上？ 【答案】(1) (2)是 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握利用待定系数法求一次函数解析式的方法是解题的关键． （1）根据点A、B的坐标利用待定系数法即可求出一次函数的解析式； （2）把点的坐标代入解析式进行检验即可． 【详解】（1）解：把，代入得： ，解得， ∴一次函数的表达式为； （2）解：当时，， ∴在直线上． 【变式2-3】（24-25八年级上·安徽亳州·期末）如图1，已知一次函数的图象与轴、轴的正半轴分别交于点，，点为轴负半轴上一点，且，． (1)求该一次函数的表达式； (2)求直线的函数表达式； (3)如图2，直线交直线于点，交直线于点，当时，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，坐标与图形的性质，数形结合是解答本题的关键． （1）先求出，然后利用待定系数法求解即可； （2）先通过的面积求出E点的坐标，再通过A、E两点坐标即可得到函数表达式； （3）过点作轴于点，过点作轴于点．由得出，证明得．设点的坐标为，则点的坐标为．点的坐标代入求出，再将点的坐标代入即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴． 把，代入，得 解得 ∴该一次函数的表达式为． （2）解：由题意知，， ∴． ∵， ∴， 解得， ∴点的坐标为．     设直线的函数表达式为， 将点的坐标代入，得， 解得， ∴直线的函数表达式为． （3）解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点． 由（2）知，． ∵， ∴， 即， ∴．     在和中， ∴， ∴．     设点的坐标为，则点的坐标为． 将点的坐标代入，得， 解得， ∴点的坐标为． 将点的坐标代入，得， 解得， 即的值为． 题型三 求三角形面积 【例3】（24-25八年级上·甘肃张掖·期末）一次函数的图象是直线，直线经过点． (1)求两条直线，的表达式； (2)求两条直线，与轴围成的三角形面积． 【答案】(1)直线的表达式为：，直线的表达式为： (2) 【分析】本题考查一次函数的定义，直线与坐标轴围成的图形面积，根据一次函数的定义求参数，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据一次函数定义求出解析式，把代入即可求出的解析式； （2）分别求出与轴交点坐标、两直线交点坐标再求面积即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象是直线， ∴，解得， ∴直线， 把代入得， 解得， ∴直线； （2）解：∵直线，直线； 当时，， ∴与轴交点坐标为，与轴交点坐标为， ∵联立， 解得 ∴两条直线交点坐标为， ∴两条直线与轴围成的三角形面积为 【变式3-1】（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴的交点为，与轴的交点为，且与正比例函数的图象交于点． (1)求的值及一次函数的表达式； (2)若是轴上一点，且的面积为6，求点的坐标； (3)观察图象，不等式组的解集是_______． 【答案】(1)， (2)或； (3) 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与图形面积，不等式组等知识，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． （1）首先利用待定系数法把代入正比例函数中，计算出的值，进而得到点的坐标，再用待定系数法把两点坐标代入一次函数中，计算出的值，进而得到一次函数解析式； （2）先求解，设，再结合的面积为6，建立方程求解即可； （3）根据正比例函数的图象在轴的上方，在函数的图象的下方即可得到答案． 【详解】（1）解：∵点在正比例函数的图象上， ， ，        即点坐标为， ∵一次函数经过、点， ， 解得：， ∴一次函数的表达式为：； （2）解：当，则， ∴， 设，且的面积为6， ∴， ∵， ∴， ∴或， ∴或； （3）解：由图象可得不等式组的解集为：． 【变式3-2】（24-25八年级上·贵州贵阳·期末）如图，一次函数的图象与x轴交于点B，y轴交于点图象交于点，平面的角坐标系内有一动点P在线段和射线上运动． (1)求正比例函数的表达式； (2)求的面积； (3)是否存在点P，使的面积是的面积的？若存在，求此时点P的坐标；若不存在．请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在点P，P的坐标为或或 【分析】本题考查一次函数综合应用，涉及待定系数法，三角形面积等知识． （1）用待定系数法可得正比例函数的表达式为； （2）求出，，，即可得； （3）分两种情况：当P在上时，设，，当P在射线上时，设，，解方程可得答案． 【详解】（1）解：把代入得：， 解得， ∴正比例函数的表达式为； （2）解：把代入得：， 解得， ∴， 令得， ∴， ∴， ∴， 即的面积为12； （3）解：存在点P，使的面积是的面积的， 当P在上时，设， ∵的面积是的面积的， ∴， 解得， ∴； 当P在射线上时，设， ∵的面积是的面积的， ∴， 解得或， ∴或， 综上所述，P的坐标为或或． 【变式3-3】（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图，平面直角坐标系中，，，A、C分别在x轴的正、负半轴上．过点C的直线绕点C旋转，交y轴于点D，交线段于点E． (1)直接写出A、C的坐标； (2)写出直线的解析式； (3)若与的面积相等，求点E的坐标． 【答案】(1)、 (2) (3) 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，坐标与图形的性质，三角形的面积等知识点，数形结合是解此题的关键． （1）根据，求解即可； （2）用待定系数法即可求出直线的解析式； （3）推出和的面积相等，根据面积公式求出E的纵坐标． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴，； （2）解：设直线的解析式为． ∴ 解得 ∴直线的解析式为； （3）解：∵， ∴， 即， ∵点E在线段上， ∴点E在第一象限，且， ∴ ∴ 把代入直线的解析式得：   ∴ ∴． 题型四 一次函数图像与性质的应用 【例4】（24-25九年级上·四川泸州·期末）对于一次函数的相关性质，下列描述错误的是（　　） A．函数图象经过第一、二、四象限 B．若点在此函数图象上，则 C．函数值随增大而减小 D．图象与两坐标轴围成三角形的面积为 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数的性质，逐一分析四个选项的正误是解题的关键．根据一次函数的性质分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：A．，∴函数图象经过第一、二、四象限，正确，不符合题意； B．点在此函数图象上，∴，解得：，正确，不符合题意； C．，∴y的值随着x增大而减小，正确，不符合题意； D．令，可得，，令，， ∴函数图象与坐标轴围成的三角形面积，错误，符合题意， 故选：D． 【变式4-1】（24-25八年级上·安徽亳州·期末）在同一平面直角坐标系中，正比例函数和一次函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数、正比例函数的图象，根据正比例函数图象所在的象限判定的符号，根据的符号来判定一次函数图象所经过的象限．解题的关键是用数形结合的思想进行解答． 【详解】解：正比例函数与一次函数的自变量系数分别是和，而，则两直线不可能平行．故A、C不符合题意； B、正比例函数图象经过第二、四象限，则．则一次函数的图象应该经过第一、三、四象限，故本选项不符合题意； D、正比例函数图象经过第一、三象限，则．则一次函数的图象应该经过第一、二、四象限，故本选项符合题意； 故选：D． 【变式4-2】（24-25八年级上·河南平顶山·期末）已知一次函数的图象如图所示，那么一次函数的图象经过（   ） A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限 C．第一、三、四象限 D．第一、二、四象限 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数图象的性质，根据图示可得中，，由此即可求解 【详解】解：根据图象，中，， ∴的图象经过第一、二、四象限， 故选：D． 【变式4-3】（24-25八年级上·贵州毕节·期末）关于函数，下列说法不正确的是（    ） A．它的图象过点 B．的值随着值的增大而增大 C．它的图象不经过第二象限 D．它的图象与轴交于点 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． 根据一次函数的图象和性质逐项判断即可． 【详解】解：A．当时，，所以函数的图象过点，故该选项正确，不符合题意； B．对函数中，，所以的值随着值的增大而增大 ，故该选项正确，不符合题意； C．在函数中，，，所以它的图象经过一、三、四象限，不经过第二象限，故该选项正确，不符合题意； D．函数与轴的交点，令，将代入函数可得：，所以函数与轴的交点坐标为，而不是，故该选项错误，符合题意． 故选 D． 【变式4-4】（24-25八年级上·浙江杭州·期末）已知，为直线上的两个点，且，则以下判断正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的性质以及一次函数图象上点的坐标特征，掌握知识点的应用是解题的关键． 由直线的，则随的增大而增大，当时，，然后根据时，，即，所以，从而求解． 【详解】解：∵直线的， ∴随的增大而增大， ∵， ∴． ∵当时，，即， ∴，A选项正确，B选项错误； ∵当时，，即， ∴，C选项正确，D选项错误； 故选：． 【变式4-5】（24-25八年级上·安徽亳州·期末）已知点，，都在直线上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的增减性和实数的大小比较，熟知：时，y随x增大而增大；时，y随x增大而减小是解题的关键．根据，可得y随x增大而减小，即可解答． 【详解】解：∵直线中，， ∴y随x增大而减小， ∵点，，都在直线上，且， ∴， 故选：A． 【变式4-6】（24-25八年级上·贵州毕节·期末）已知一次函数，若y随x的增大而减小，那么m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 根据一次函数的性质得出，求解即可． 【详解】解：∵一次函数，若y随x的增大而减小， ∴， 解得：， 故答案为：． 【变式4-7】（24-25八年级上·陕西宝鸡·期末）下列关于一次函数的判断，正确的是（   ） A．点，点在该函数的图象上，若，则 B．当时，该函数图象经过一、三、四象限 C．若关于x的方程的解是，则的图象恒过点 D．若该函数的图象向右平移2个单位后经过原点，则 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的增减性，一次函数图象经过的象限，一次函数的性质和一次函数图象的平移问题，根据增减性可判断A；根据一次函数图象与其系数的关系可判断B；先根据方程的解的定义得到，则解析式为，据此可判断C；求出平移后的解析式，再利用待定系数法求出b的值即可判断D． 【详解】解；∵在中，， ∴y随x增大而减小， ∵点，点在该函数的图象上，且， ∴，故A错误，不符合题意； 当时，该函数图象经过二、三、四象限，故B错误，不符合题意； 若关于x的方程的解是，则，则，则的图象恒过点，故C正确，符合题意； 该函数的图象向右平移2个单位后的解析式为， 把代入中得，解得，故D错误，不符合题意； 故选：C． 题型五 费用最低问题 【例5】（24-25八年级上·广西贺州·期末）某中学决定在“文体周”为一个节目制作、两种道具，共80个，制作的道具需要甲、乙两种材料组合而成，现有甲种材料300件，乙种材料280件，已知组装、两种道具所需的甲、乙两种材料，如下表所示： 甲种材料（件） 乙种材料（件） 道具 3 4 道具 5 2 经过计算，制作一个道具的费用为5元，一个道具的费用为4元．设组装种道具个，所需总费用为元． (1)求与的函数表达式，并求出的取值范围； (2)问组装种道具多少个时，所需总费用最少，最少费用是多少？ 【答案】(1)， (2)当组装A道具50个时，所需费用最少，最少费用是370元 【分析】本题考查了一次函数的应用，关键是通过实际问题列出一次函数关系，然后根据一次函数的性质解决问题． （1）设组装A种道具x个，则B种道具个，根据“总费用种道具费用种道具费用”即可得出y与x的函数关系式；再根据题意列不等式组即可得出x的取值范围； （2）根据（1）的结论，结合一次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解： ． 根据题意，得 ． 解得 ∴的取值范围是． （2）解：由（1）得 ∵是的一次函数，且 ∴随着的增大而增大． ∴当时， 答：当组装A道具50个时，所需费用最少，最少费用是370元． 【变式5-1】（23-24八年级下·云南红河·期末）文化赋能乡村振兴，某县以文明实践引领乡村治理，在群众聚集地打造文化墙，以文化人、以文惠民、以文兴城，该县现欲购买、两种绘画工具用于打造文化手绘墙．已知每件种工具的单价比每件种工具便宜元，用元购买种工具的数量和用元购买种工具的数量相同． (1)求、两种工具的单价各是多少元． (2)该县计划购买、两种工具共件，且种工具的数量不大于种工具数量的倍，请你帮忙设计出最省钱的购买方案，并求出最低购买费用． 【答案】(1)种工具的单价是元，则种工具的单价是元 (2)最省钱的购买方案是购进种工具件，购进种工具件，最低购买费用为元． 【分析】本题考查分式方程和一元一次不等式的实际应用，利用一次函数的增减性求最值，读懂题意，列方程和不等式是解决问题的关键． （1）设种工具的单价是元，则种工具的单价是元，根据题意，列分式方程，解方程即可； （2）根据题意，列一元一次不等式，再根据一次函数的增减性进行求解即可． 【详解】（1）解：设种工具的单价是元，则种工具的单价是元，根据题意得， 解得： 经检验，是原方程的解且符合题意， 则种工具的单价是：元， 答：种工具的单价是元，则种工具的单价是元 （2）解：设够买种工具件，则购买种工具件，根据题意得， 解得：， 设购买费用为元，根据题意得， ∵ ∴随的增大而减小, ∴时，取的最小值，此时元， 购进种工具件， 答：最省钱的购买方案是购进种工具件，购进种工具件，最低购买费用为元． 【变式5-2】（24-25八年级上·浙江杭州·期末）近年来光伏建筑一体化广受关注．某社区拟修建，两种光伏车棚．已知修建个A种光伏车棚需投资万元，个种光伏车棚需投资万元，若修建，两种光伏车棚共个，要求修建的种光伏车棚的数量不少于修建的种光伏车棚数量的倍．设修建种光伏车棚个，修建车棚总费用为万元． (1)求出（万元）关于（个）的函数关系式，并求出自变量的取值范围； (2)修建多少个种光伏车棚时，可使投资总额最少？最少投资总额为多少万元？ 【答案】(1)（万元）关于（个）的函数关系式是（且为整数） (2)修建个种光伏车棚时，可使投资总额最少，最少投资总额为万元 【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数解析式，利用一次函数的性质求最值． （1）根据题意和题目中的数据，可以写出（万元）关于（个）的函数关系式，然后根据要求修建的种光伏车棚的数量不少于修建的种光伏车棚数量的倍．可以得到的取值范围； （2）根据（1）中的结果和一次函数的性质，可以求得的最小值，以及此时的值． 【详解】（1）解：由题意可得，， ∵要求修建的种光伏车棚的数量不少于修建的种光伏车棚数量的倍． ∴， 解得：， 即（万元）关于（个）的函数关系式是（且为整数）； （2）解：由（1）知：， ∴随的增大而增大， ∵且为整数， ∴当时，取得最小值，此时， 故修建个种光伏车棚时，可使投资总额最少，最少投资总额为万元． 题型六 利润最大问题 【例6】（24-25八年级上·山东青岛·期末）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车进行销售，已知3辆A型汽车和4辆B型汽车的进价共计120万元；4辆A型汽车和3辆B型汽车的进价共计132万元． (1)求A，B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若该公司计划正好用96万元购进以上两种型号的新能源汽车若干辆（两种型号的汽车均购买），请你帮助该公司设计购买方案； (3)若该汽车销售公司销售1辆A型汽车可获利4000元，销售1辆B型汽车可获利3000元，在（2）的购买方案中，当这些新能源汽车全部售出时，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)A，B两种型号的汽车每辆进价分别为24万元，12万元； (2)共3种购买方案：分别为购进A型车1辆，B型车6辆或购进A型车2辆，B型车4辆或购进A型车3辆，B型车2辆； (3)购进A型车1辆，B型车6辆获利最大，最大利润是22000元． 【分析】（1）设A型汽车每辆进价为x万元，B型汽车每辆进价为y万元，根据“辆A型汽车和3辆B型汽车的进价共计120万元；3辆A型汽车和4辆B型汽车的进价共计132万元”，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进A型汽车m辆，购进B型汽车n辆，解方程即可得到结论； （3）设在（）的条件下，这些新能源汽车全部售出时，获得利润为w元，根据总利润两种汽车利润之和列出函数解析式，再由函数的性质求最值． 【详解】（1）解：设A，B两种型号的汽车每辆进价分别为x万元，y万元， 根据题意得：， 解得， 答：A，B两种型号的汽车每辆进价分别为24万元，12万元； （2）解：设购进A型汽车m辆，B型汽车n辆，则， ， ，n均为正整数， 或或， 共3种购买方案：分别为购进A型车1辆，B型车6辆或购进A型车2辆，B型车4辆或购进A型车3辆，B型车2辆； （3）解：设在（）的条件下，这些新能源汽车全部售出时，获得利润为w元， 根据题意得：， ， 随m的增大而减小， 当时，w最大，最大值为22000， 此时， 购进A型车1辆，B型车6辆获利最大，最大利润是22000元． 【点睛】本题考查了一次函数、二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程组，二元一次方程，一次函数解析式． 【变式6-1】（24-25八年级上·安徽安庆·期末）第19届亚运会已于2023年9月23日至10月8日在中国浙江杭州成功举行．这是党的二十大胜利召开之后我国举办的规模最大、水平最高的国际综合性体育赛事，举国关注，举世瞩目．杭州亚运会三个吉祥物分别取名“琮琮”“宸宸”“莲莲”．某专卖店购进，两种杭州亚运会吉祥物礼盒进行销售．种礼盒每个进价160元，售价220元；种礼盒每个进价120元，售价160元．现计划购进两种礼盒共100个，其中种礼盒不少于60个．设购进种礼盒个，两种礼盒全部售完，该专卖店获利元． (1)求与之间的函数关系式； (2)若购进100个礼盒的总费用不超过15000元，求该专卖店获得的最大利润为多少元？ 【答案】(1) (2)5500元 【分析】本题考查了一次函数的应用，一元一次不等式组的应用． （1）根据利润等于单件利润乘以数量建立函数关系式即可； （2）先求出自变量的取值范围，再根据一次函数增减性求最值． 【详解】（1）解：由题知， 与的函数表达式为． （2）解：由题知 由（1）知 ， 随的增大而增大， 当时，有最大值，（元）． 【变式6-2】（24-25八年级上·广东梅州·期末）某商场计划购进，两种服装共100件，这两种服装的进价、售价如表所示： 价格类型 进价（元/件） 售价（元/件） 30 50 50 75 (1)若商场预计用3400元进货，则这两种服装各购进多少件？ (2)若商场规定种服装进货不少于50件，应该怎样进货才能使商场销售完这批货时获利最多？此时利润为多少元？ 【答案】(1)种服装件，种服装件 (2)购进种服装件、种服装件时获利最多，此时利润为元 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用（最大利润问题），二元一次方程组的应用（销售、利润问题）等知识点，读懂题意，根据题中的等量关系列出二元一次方程组及一次函数解析式，并利用一次函数的性质求解其最值是解题的关键． （1）设购进种服装件，种服装件，根据题意得，解方程组即可求出、的值； （2）设种服装进货为件，则种服装进货为件，总利润为元，根据“总利润（售价进价）销售数量”即可得出与的函数关系式，由题意即可得出的取值范围，然后根据一次函数的增减性即可求出最大利润． 【详解】（1）解：设购进种服装件，种服装件， 根据题意得： ， 解得：， 答：购进种服装件，种服装件； （2）解：设种服装进货为件，则种服装进货为件，总利润为元， 由题意得： ， ， 随的增大而减小， 商场规定种服装进货不少于件，购进，两种服装共件， ， 当时，取得最大值，， ， 答：当购进种服装件、种服装件时才能使商场销售完这批货时获利最多，此时利润为元． 【变式6-3】（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）某博主在一段时间内制作并上传甲、乙两种作品共70篇，甲作品平均每篇获利110元，乙作品平均每篇获利150元，设该博主制作并上传甲作品篇，制作并上传这70篇作品共获利元． (1)求与之间的关系式． (2)若乙种作品的数量不超过甲种作品数量的，则该博主制作甲、乙两种作品各多少篇时获利最大？最大利润是多少？ (3)由于网络管理需要，有的乙种作品需要再进行处理，每篇的处理费用是元．若总获利随的增大而减小，请求出的取值范围． 【答案】(1) (2)该博主制作甲篇、乙篇时获利最大，最大利润元 (3) 【分析】本题考查了一次函数的应用，一元一次不等式的应用； （1）等量关系式：获利甲作品的获利乙作品的获利，列出函数关系式，即可求解； （2）由不等关系求出，利用一次函数的性质，即可求解； （3）等量关系式：获利甲作品的获利乙作品的获利乙作品的处理费，列出函数关系式，利用一次函数的性质，即可求解； 理解、的实际意义，能找出等量关系式列出函数关系式，并能熟练利用一次函数的性质进行求解是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得 ， 故与之间的关系式：； （2）解：由题意得 ， 解得：， ，且为整数， ， 当时， （元）， （篇）， 该博主制作甲篇、乙篇时获利最大，最大利润元； （3）解：由题意得 ， 总获利随的增大而减小， ， 解得：， ． 题型七 合理决策问题 【例7】（24-25八年级上·广西百色·期末）随着人们生活水平的提高，大家更加注重周末娱乐生活的质量，而以“亲近自然”为主题的周末休闲生活方式深受人们喜爱．近期，又是到草莓上市的季节，各草莓园纷纷推出采摘草莓优惠活动．以下是两个草莓采摘园的活动情况． (1)若欣欣草莓园和乐乐草莓园的付款金额分别记为，元，请你直接写出两个草莓园付款金额，于采摘草莓的重量千克的函数表达式及自变量的取值范围． (2)佳佳一家人计划周末去草莓园进行采摘草莓体验．佳佳妈妈根据欣欣草莓园和乐乐草莓园的活动方案，认为去乐乐草莓园摘草莓更划算！请问：佳佳妈妈的说法正确吗？如果不正确请通过计算说明． 【答案】(1)， (2)佳佳妈妈的说法不正确，见解析 【分析】本题考查一次函数的应用-方案问题，解不等式，熟练掌握一次函数与不等式的关系是解题的关键． （1）根据付款金额=数量×单价或付款金额=数量×单价×打折率，列函数关系式，注意：计算欣欣草莓园付款金额时，分两种情况：当时，当时，分别求解； （2）根据当时，；当时， ；；；分别列不等式与方程求解，即可得出结论． 【详解】（1）解：由题意得：当时，， 当时，， ∴， ． （2）解：佳佳妈妈的说法不正确． 当时，， ∴ ∴去乐乐草莓园摘草莓更划算． 当时，当时，，解得 所以，当采摘草莓小于4千克时，去乐乐草莓园划算； 当时，，解得 所以，当采摘草莓大于4千克时，去欣欣草莓园摘草莓更划算． 当时，，解得 所以，当采摘草莓4千克时，两家一样划算． 综上，佳佳妈妈的说法不正确． 【变式7-1】（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）为绿化校园，重庆一中计划购进A、B两种树苗，若购买A树苗10棵，B树苗20棵，需要2300元，若购买A树苗20棵，B树苗10棵，需要2500元： (1)求A、B两种树苗单价各是多少？ (2)学校计划购买A、B两种树苗，共21棵，且购买B种树苗的数量少于A种树苗的数量，设购买B种树苗x棵，购买两种树苗所需费用为y元，请给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用． 【答案】(1)90元，70元 (2)A种树苗11棵，B种树苗10棵，1690元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用（其他问题），一次函数的实际应用（分配方案问题），一元一次不等式的应用等知识点，读懂题意，根据题中的数量关系正确列出函数解析式、方程组和不等式是解题的关键． （1）设A种树苗单价为a元，B种树苗单价为b元，列出方程组求解即可； （2）根据“所需费用种树苗的费用种树苗的费用”列出函数解析式，然后根据一次函数的增减性进行解答即可． 【详解】（1）解：设A种树苗单价为a元，B种树苗单价为b元， 由题意可得： ， 解得：， 答：A种树苗单价为90元，B种树苗单价为70元； （2）解：由题意可得： ， ， ， ， 随的增大而减小， 当时，元， 当购买A种树苗11棵，B种树苗10棵时费用最小，为1690元． 【变式7-2】（24-25八年级上·全国·期末）某校为落实西宁市教育局“教育信息化行动计划”，搭建数字化校园平台，需要购买一批电子白板和平板电脑，若购买台电子白板和台平板电脑共需万元；购买3台电子白板和4 台平板电脑共需万元． (1)求电子白板和平板电脑的单价各是多少万元？ (2)结合学校实际，该校准备购买电子白板和平板电脑共台，其中电子白板不超过台，某商家给出了两种优惠方案，方案一：电子白板和平板电脑均打九折；方案二：买台电子白板，送台平板电脑．若购买电子白板台和平板电脑所需的费用为（万元），请根据两种优惠方案分别写出关于的函数表达式，并分析该校应选用哪种优惠方案购买更省钱． 【答案】(1)电子白板的单价是万元，平板电脑的单价是万元； (2)当时，方案一更省钱；当时，两种方案花费一样；当时，方案二更省钱． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一次函数的应用，解答的关键是根据题意找出等量关系列出方程组或一次函数表达式，用分类讨论的方法确定优惠方案． （1）根据题意，列出相应的二元一次方程组，从而可以求得电子白板和平板电脑的单价各是多少万元； （2）根据题意，分别写出两种方案下，关于的函数关系式，再利用分类讨论的方法可以得到该校应选用哪种优惠方案购买更省钱． 【详解】（1）解：设购买电子白板的单价为x万元，平板电脑的单价是y万元， ， 解得： ， 答：电子白板的单价是万元，平板电脑的单价是万元； （2）由题意可得，方案一∶关于的函数表达式为∶， 方案二∶关于a的函数表达式为∶， 当时，得，即当时，选择方案一； 当时，得，即当时，方案一和方案二花费一样多； 当，得，即当时，选择方案二； 综上所述，当时，方案一更省钱，当时，两种方案花费一样，当时，方案二更省钱． 题型八 一次函数中图表信息题 【例8】（24-25八年级上·浙江丽水·期末）甲、乙两人骑自行车匀速同向行驶，乙在甲前面处，同时出发去距离甲的目的地，甲的速度比乙快．设甲、乙之间的距离为，乙行驶的时间为，与之间的关系如图所示，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查一次函数的应用，从图象中获得信息是解题的关键．根据图象，先求出乙的速度，再求出甲的速度，进而得出答案． 【详解】解：由图象可知，乙的速度为 ， 甲的速度比乙的速度快， 甲的速度为， 甲到达目的地的时间为， 此时甲乙之间的距离为， 则点C的坐标为． 故选：D． 【变式8-1】（24-25八年级上·贵州贵阳·期末）某湖边公园有一条笔直的健步道，甲、乙两人从起点同方向匀速步行，先到终点的人休息．已知甲先出发3分钟．在整个过程中，甲、乙两人之间距离（米）与甲出发的时间（分钟）之间的关系如图所示，则下列结论：①甲步行的速度为75米/分钟；②起点到终点的距离为2700米；③乙行的速度为90米/分钟；④甲走完全程用了39分钟；⑤乙用15分钟追上甲．其中正确的结论有（　　） A．①③⑤ B．①②③ C．①③④ D．②④⑤ 【答案】A 【分析】本题考查一次函数的应用，利用数形结合思想． ①根据速度路程时间计算即可； ②甲出发36分钟后距离乙270米（此时乙到达终点），据此计算起点到终点的距离即可； ③根据速度路程时间计算即可； ④根据时间路程速度计算即可； ⑤甲3分钟步行的路程除以两者速度差即可． 【详解】解：通过图像可以看出甲先走3分钟，甲乙之间相距225米， ∴甲的速度为：米/分钟， ∴①正确； ∵通过图像可知甲步行36分钟时，乙一共走的时间为：（分）到达终点， ∴甲步行36分钟时步行的路程距离终点还剩270米， ∴全长一共：（米）， ∴②不正确； ∴乙的速度为：米/分钟， ∴③正确； ∴甲走完全程时间：（分）， ∴④不正确； ∵（分）， ∴乙用15分钟追上甲， ∴⑤正确； 综上分析可知：正确的结论有①③⑤． 故选：A． 【变式8-2】（24-25八年级上·浙江舟山·期末）年舟山群岛马拉松，吸引了来自个国家和地区的约名运动员参与，以“向海风许愿，在山海相见”为主题，展现了舟山“海上花园城”的独特魅力，促进了国际间的体育和文化交流．甲、乙两名业余选手参加了本次比赛，两人同时到达第一个补给点，乙在第一个补给点停留了一段时间．从第一个补给点到终点过程中，甲、乙两名选手距离第一个补给点的路程s（）与时间t（）之间的关系如图所示．根据图象回答下列问题： (1)直接写出乙在第一个补给点停留的时间与图中m的值． (2)在这段过程中，甲、乙两人的速度分别是多少？ (3)乙经过第一个补给点后多长时间，甲乙两名选手相距？ 【答案】(1)， (2)甲的速度为，乙的速度为 (3)或或或 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，行程问题，从函数图象上有效地获取信息是解题的关键． （1）根据图象信息即可求得乙在第一个补给点停留的时间及m的值； （2）结合图象中的数据和速度公式即可计算出甲、乙两人的速度； （3）根据（2）中的数据和待定系数法可求出和的解析式，结合题意分情况讨论，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：由图象可知，乙在第一个补给点停留的时间为， 由直线可得，， 当时，； （2）由（1）得， ∵直线过点， ， ∴， ∴甲的速度为，乙的速度为； （3）由（2）可得，直线的解析式为：， 直线的解析式为：， 当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，解得． 综上所述，乙经过第一个补给点后或或或，甲乙两名选手相距． 【变式8-3】（24-25八年级上·浙江杭州·期末）一辆大客车和一辆小轿车沿同一公路同时从甲地出发去乙地，图中折线和线段分别表示小轿车和大客车离开甲地的路程与时间的关系，其中小轿车往返的速度相同．请结合图象解答下列问题： (1)分别求出小轿车和大客车速度； (2)点为与的交点，试求点的坐标，并说明点所表示的实际意义； (3)求出发后经过多少小时两车相距？ 【答案】(1)小轿车的速度为：，大客车的速度为：； (2)，两车出发小时后相遇，此时两车距离甲地； (3)小时或小时或小时 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握速度、时间和路程之间的关系是解题的关键． (1)分别根据速度路程时间计算即可； (2)根据路程速度时间分别写出线段、所在直线的函数关系式，列关于和的二元一次方程组并求解，从而得到点的坐标并写出其实际意义即可； (3)根据路程速度时间分别写出线段所在直线的函数关系式，按照的取值范围，当两车相距列关于的方程并求解即可． 【详解】（1）解：由图象可得， 小轿车的速度为：， 大客车的速度为：． （2）解：线段所在直线的函数关系式为， 线段所在直线的函数关系式为， 根据题意，得， 解得， 点的坐标为，其实际意义表示小轿车于出发后小时在从乙地返回甲地的途中与大客车相遇，此时两车距离甲地． （3）解：所在直线的函数关系式为， 小轿车离开甲地的路程与时间的函数关系式为 ， 当，两车相距时，得，解得； 当，两车相距时，得，解得(舍去)； 当，两车相距时，得，解得或； ∴出发后经过或或两车相距． 题型九 一次函数与几何综合 【例9】（2023·安徽淮北·一模）如图，点A的坐标为，直线与x轴交于点C，与y轴交于点D，点B在直线上运动．当线段最短时，点B的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，等腰直角三角形的性质与判定等待，当线段最短时，，判定出是等腰直角三角形，得出，作于点H，根据等腰三角形三线合一的性质和直角三角形斜边中线的性质，得出，进而得出，即点B的横坐标，然后把点B的横坐标代入，即可得出点B的坐标． 【详解】解：当线段最短时，， 在中，当时，；当时，， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴． 作于点H，则都是等腰直角三角形， ∴， ∴， 即点B的横坐标为， 把点B的横坐标代入，可得：， ∴． 故选：A． 【变式9-1】（24-25八年级上·浙江金华·期末）定义：一次函数（且）和一次函数为“逆反函数”，如和为“逆反函数”．如图1，一次函数：的图象分别交轴、轴于点、． (1)请写出一次函数的“逆反函数”的解析式______；点在的函数图象上，则的值是______． (2)一次函数图象上一点又是它的“逆反函数”图象上的点， ①求出点坐标； ②求出的面积． (3)如图2，过点作轴的垂线段，垂足为，为轴上的一点，且，请直接写出直线的解析式． 【答案】(1)；； (2)①；②； (3)，． 【分析】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到三角形全等、新定义、面积的计算，分类求解是解题的关键． （1）由新定义求出函数表达式，即可求解； （2）①一次函数图象上一点又是它的“逆反函数”图象上的点，即可求解； ②由的面积，即可求解； （3）当点M在点E的上方时，证明，得到，即可求解；当在点E下方时，则直线和关于对称，则的表达式为，即可求解． 【详解】（1）由新定义知，的解析式 ， 把点C的坐标代入上式得：，则， 故答案为：，； （2）①∵一次函数图象上一点又是它的“逆反函数”图象上的点， 则点D是两个函数的交点，即，则，即点； ②由两个函数表达式知，点A、C的坐标分别为：、，则 则的面积； （3）设直线交y轴于点K， 当点M在点E的上方时， 过点K作交的延长线于点N，过点N作y轴的平行线， 过点K作x轴的平行线交过点K和x轴的平行线于点G，交过点的延长线于点H， 由直线的表达式知，，即， ∵， 则，则为等腰直角三角形，设点， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴，，即且， 解得：，， 即点， 由点D、N的坐标得，直线的表达式为：， 当在E下方时， 则直线和关于对称，则的表达式为： 综上所述，或． 【变式9-2】（24-25八年级下·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点B，直线与直线，x轴分别交于点，． (1)求直线的表达式． (2)若D，E分别是直线和y轴上的动点，是否存在点D，E，使得以A，B，D，E为顶点，为一边的四边形是平行四边形？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，或 【分析】本题是一次函数综合题，考查待定系数法求函数的解析式，一次函数的图象及性质，平行四边形的性质，分类讨论是解题的关键． （1）由待定系数法求直线的解析式即可； （2）设，，再分两种情况讨论：当为平行四边形对角线时；当为平行四边形的对角线时；利用平行四边形对角线互相平分的性质求解即可． 【详解】（1）设直线的表达式为， ∵直线与直线，x轴分别交于点，， ∴解得 ∴直线的表达式为； （2）解：存在. ∵与x轴交于点B， ∴. 设，， ①当为平行四边形的对角线时， ∵，， ∴解得 ∴； ②当为平行四边形的对角线时， ∵，， ∴ 解得 ∴. 综上所述，点D的坐标为或． 第3部分 双阶训练场 基础训练场 一、单选题 1．（24-25八年级上·甘肃酒泉·期中）一次函数的图像不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】根据一次函数的性质可知一次函数y=x−3的图象经过哪几个象限，不经过哪个象限，从而可以解答本题． 【详解】解：∵一次函数y=x−3中，k=1，b=-3， ∴一次函数的图像经过一、三、四象限，不经过第二象限， 故选B． 【点睛】本题考查一次函数的性质和图象，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答． 2．（22-23九年级下·山东泰安·阶段练习）已知直线与的交点为，则方程组的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程的关系，解题的关键是理解二元一次方程组的解就是相应的一次函数图象的交点坐标．先由与坐标得交点坐标为，根据两条直线的交点坐标与二元一次方程组的解的关系，即可得出结论． 【详解】解：∵直线与的交点为， ∴． ∴交点坐标为． ∵两条直线的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解， 而方程组，即方程组， ∴方程组的解为． 故选：A． 3．（2024·山西·一模）将2×2的正方形网格如图所示的放置在平面直角坐标系中，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长都是1，正方形的顶点都在格点上，若直线与正方形有公共点，则不可能是（ ）.    A．3 B．2 C．1 D． 【答案】A 【分析】先求出A、C两点的坐标，再求出直线过A、C两点时k的值，进而可得出结论． 【详解】解：∵由图可知，A（1，2），C（2，1）， ∴当直线过点A时，； 当直线过点C时，，即， ∴， ∴k不可能是3． 故选A． 【点睛】本题考查正比例函数的性质．正比例函数所对应图形倾斜度与k有关． 4．（21-22八年级下·河南信阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，若点A关于x轴的对称点B在直线上，则的值为（    ） A．-1 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据关于x轴的对称点的坐标特点可得B（3，﹣m），然后再把B点坐标代入y＝﹣x+2可得m的值． 【详解】解：∵点A（3，m）， ∴点A关于x轴的对称点B（3，﹣m）， ∵点B在直线y＝﹣x+2上， ∴﹣m＝﹣3+2＝﹣1， ∴m＝1， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了关于x轴对称点的坐标，以及一次函数图象上点的坐标特点，关键是掌握凡是函数图象经过的点必能使解析式左右相等． 5．（21-22八年级上·安徽阜阳·阶段练习）已知一次函数y＝kx﹣b与y＝﹣kbx（k，b为常数，且kb≠0），则它们在同一平面直角坐标系内的图象可能为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一次函数的图象与系数的关系，由一次函数y＝kx﹣b图象分析可得k、b的符号，进而可得kb的符号，从而判断y＝﹣kbx的图象是否正确，进而比较可得答案． 【详解】解：A、由一次函数y＝kx﹣b图象可知k＞0，b＞0；即kb＞0，与正比例函数y＝﹣kbx的图象可知kb＜0，矛盾，故此选项错误； B、由一次函数y＝kx﹣b图象可知k＜0，b＜0；即kb＞0，与正比例函数y＝﹣kbx的图象可知kb＜0，矛盾，故此选项错误； C、由一次函数y＝kx﹣b图象可知k＞0，b＜0，kb＜0；正比例函数y＝﹣kbx的图象可知kb＞0，矛盾，故此选项错误； D、由一次函数y＝kx﹣b图象可知k＜0，b＜0；即kb＞0，与正比例函数y＝﹣kbx的图象可知kb＞0，故此选项正确； 故选：D． 【点睛】此题主要考查了一次函数图象，注意：一次函数y=kx+b的图象有四种情况： ①当k＞0，b＞0，函数y=kx+b的图象经过第一、二、三象限； ②当k＞0，b＜0，函数y=kx+b的图象经过第一、三、四象限； ③当k＜0，b＞0时，函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限； ④当k＜0，b＜0时，函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限． 6．（22-23八年级下·湖北武汉·期末）已知一次函数，那么下列结论正确的是（    ） A．y的值随x的值增大而增大 B．图象经过第一、二、三象限 C．图象必经过点 D．当时， 【答案】C 【分析】根据一次函数的性质逐项分析即可得到答案． 【详解】解：A.由于一次函数的，所以y的值随x的值增大而减小，故该选项错误，不符合题意； B.由于一次函数的，，所以图象经过第一、二、四象限，故该选项错误，不符合题意； C.将代入中得，等式成立，所以图象必经过点，故该选项正确，符合题意； D. 由于一次函数的，所以y的值随x的值增大而减小，所以当时，，故该选项错误，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的相关知识是解题的关键． 7．（22-23八年级下·河北廊坊·期末）如图，若直线与直线交于一点，则关于的不等式的解集是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据图形，找出直线在直线上方部分的的取值范围即可． 【详解】解：由图形可知， 当时，， 关于的不等式的解集是：， 故选：A． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式，根据函数图象在上方的函数值比函数图像在下方的函数值大，利用数形结合求解是解题的关键． 8．（22-23八年级下·四川南充·期末）已知，在平面直角坐标系中，点，点B在直线上．当A、B两点间的距离最小时，点B的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，等腰直角三角形的性质，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解本题的关键． 根据题意画出图形，过点A作直线于点B，则点B即为所求点，先求出，求出，证明是等腰直角三角形，求出，得出答案即可． 【详解】解：如图，过点A作直线于点B，过点B作轴于点E， ∵垂线段最短， ∴点B即为所求， 把代入得， 把代入得，解得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 二、填空题 9．（22-23八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）直线与直线互相平行，则常数的值为 ． 【答案】6 【分析】直接根据两直线平行的条件即可得出结论． 【详解】解：直线与直线平行， ． 故答案为：6． 【点睛】本题主要考查的是两条直线相交或平行问题，熟知若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即值相同，是解答此题的关键． 10．（2023·宁夏银川·一模）如图，在等边中，已知，，将沿平行于轴的直线向下平移，当点的对应点落在直线上时，点的对应点的坐标为 ． 【答案】 【分析】根据等边三角形表示出点的坐标，再根据平移的性质得到，代入一次函数解析式，从而得到的值，即可求得点的对应点的坐标． 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，等边三角形的性质，坐标与图形变化—平移，表示出的坐标是解题的关键． 【详解】解：等边中，，， ， 点的坐标为， 直线的解析式为， 当点的对应点落在直线上时，点的对应点的坐标为， 向下平移了个单位长度， 点的对应点的坐标为，即 故答案为： 11．（23-24八年级上·四川遂宁·期末）2021年5月15日07时18分，“天问一号”火星探测器成功登陆火星表面，开启了中国人自主探测火星之旅．已知华氏温度（）与摄氏温度（）之间的关系满足如表： 摄氏（单位℃） 华氏（单位℉） 若火星上的平均温度大约为，则此温度换算成华氏温度约为 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的应用，根据题意和表格中的数据，可以求得（）关于（）的函数表达式，将代入函数解析式，即可得到相应的华氏温度的值； 【详解】解：设（）关于（）的函数表达式为， 把（），（）代入得， ， 解得，， 即（）关于（）的函数表达式为； 当时， 故答案为：． 12．（23-24八年级下·福建莆田·期中），是一次函数图象上不同的两点，若满足，则的取值范围是 ． 【答案】＞ 【分析】先根据已知条件判断的符号，再判断函数的增减性可得到不等式，解不等式可得答案． 【详解】解：因为，所以＜0， 因为，所以 ＜0， 所以函数值随的增大而增大，从而＞0， 解得：＞． 所以答案为：＞． 【点睛】本题考查一次函数的增减性，正确理解题意是解题关键． 三、解答题 13．（22-23八年级上·安徽亳州·阶段练习）已知一次函数y=(1-m)x+2m-3， （1）若函数图象经过原点，求m的值； （2）若y随x增大而减小，求m的取值范围 （3）若函数图象平行于y=2x-3，求这个函数的表达式． 【答案】（1）；（2）m>1；（3）y=2x-5 【分析】（1）根据题意可知，一次函数经过点（0,0），将坐标代入解析式即可得到m的值； （2）y随x的增大而减小，即可得到一次函数的斜率小于0，求出m的范围即可； （3）根据函数图象平行于y=2x-3，即可得到两条直线的斜率相等，即可得到m的数值，从而得出答案. 【详解】（1）解：由题意得：2m-3=0，解得m= （2）解：由题意得：1-m<0，解得m>1； （3）解：由题意得：1-m=2，解得m=-1，故y=2x-5 【点睛】本题主要考查一次函数的图象和性质，掌握一次函数的图象和性质是解题的关键. 14．（23-24八年级上·陕西西安·阶段练习）已知一次函数的图象经过点，求一次函数的表达式． 【答案】 【分析】利用待定系数法求解一次函数的表达式即可． 【详解】解：∵一次函数的图象经过点， ∴，解得：， ∴一次函数的表达式为． 【点睛】本题考查求一次函数表达式、解二元一次方程组，熟练掌握待定系数法求一次函数表达式是解答的关键． 15．（22-23八年级下·山东聊城·期末）如图，直线的函数解析式为，且与x轴交于点D，直线经过点A，B，直线、交于点C．    (1)求直线的函数解析式； (2)求的面积； (3)在直线上是否存在点P，使得面积是面积的3倍？如果存在，请求出P坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)3 (3)存在，点的坐标为或 【分析】（1）根据点、的坐标利用待定系数法即可求出直线的函数解析式； （2）令求出值，即可得出点的坐标，联立两直线解析式成方程组，解方程组即可得出点的坐标，再根据三角形的面积公式即可得出结论； （3）假设存在点，使得面积是面积的3倍，根据两三角形面积间的关系得到，再利用待定系数法求出点的坐标． 【详解】（1）设直线的函数解析式为， 将、代入得： ， 解得：， 直线的函数解析式为． （2）联立两直线解析式成方程组得： ， 解得：， 点的坐标为． 当时，， 点的坐标为． ． （3）假设存在点，使得面积是面积的3倍． 面积是面积的3倍， ， 当时，， 此时点的坐标为； 当时，， 此时点的坐标为． 综上所述：在直线上存在点或，使得面积是面积的3倍． 【点睛】本题考查了两条直线相交或平行问题、一次函数图象上点的坐标特征以及待定系数法求一次函数解析式，根据给定点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键． 提高训练场 一、单选题 1．（2023·陕西西安·模拟预测）把直线y=-x+2向上平移a个单位后，与直线y=2x+3的交点在第二象限，则a的取值范围是（   ） A．a＞1 B．＜a＜0 C．＜a＜1 D．a＜1 【答案】C 【分析】直线y=-x+2向上平移a个单位后可得：y=-x+2+a，求出直线y=-x+2+a与直线y=2x+3的交点，再由此点在第二象限可得出a的取值范围． 【详解】解：直线y=-x+2向上平移a个单位后可得：y=-x+2+a，联立两直线解析式得：，解得：， 即交点坐标为（）． ∵交点在第二象限，∴，解得：＜a＜1． 故选C． 【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换、两直线的交点坐标，注意第二象限的点的横坐标小于0、纵坐标大于0． 2．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）下列各点在一次函数y=x+4图象上的是（ ） A．点（﹣7，3） B．点（3，7） C．点（4，﹣8） D．点（2.5，1.5） 【答案】B 【详解】试题分析：把各点分别代入一次函数y=x+4检验即可． 解：A、把x=﹣7代入y=x+4=﹣7+4=﹣3，错误； B、把x=3代入y=x+4=3+4=7，正确； C、把x=4代入y=x+4=4+4=8，错误； D、把x=2.5代入y=x+4=2.5+4=6.5，错误； 故选B 3．（2024八年级下·全国·专题练习）函数y=|2x|的图象是(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【详解】函数y=|2x|， 当x≥0时，y=2x； 当x≤0时，y=–2x， 故图象C符合， 故选C． 4．（22-23八年级上·山东济南·期中）如图，直线y＝kx（k≠0）与y＝x+2在第二象限交于A，y＝x+2交x轴，y轴分别于B、C两点．3S△ABO＝S△BOC，则方程组的解为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据可得B、C的坐标，进而确定OB、OC的长，然后根据3S△ABO＝S△BOC结合点A在第二象限确定A点的纵坐标，然后再根据点A在y＝x+2上，可确定点A的横坐标即可解答． 【详解】解：由可得B（﹣3，0），C（0，2）， ∴BO＝3，OC＝2， ∵3S△ABO＝S△BOC， ∴3××3×|yA|＝×3×2， 解得yA＝±， 又∵点A在第二象限， ∴yA＝， 当y＝时，＝x+2，解得x＝﹣2， ∴方程组的解为． 故答案为C． 【点睛】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组，理解方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标成为解答本题的关键． 5．（22-23八年级上·陕西西安·阶段练习）直线y＝﹣3x+m与直线y＝2x+3的交点在第二象限，则m的取值范围是（　　） A．﹣＜m＜3 B．m＞ C．m＜3 D．m＜3或m＞- 【答案】A 【分析】根据题意联立二元一次方程组求出交点的坐标然后根据交点在第二象限列出不等式组，从而求出m的取值范围. 【详解】根据题意得 解得 又因为交点在第二象限，则 即 解得 故答案选A 【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，二元一次方程组的解即这两个一次函数图像的交点坐标，正确理解一次函数与二元一次方程组的关系是解题的关键. 6．（2024·四川·一模）若正比例函数y＝（a﹣4）x的图象经过第一、三象限，化简的结果是（　　） A．a﹣3 B．3﹣a C．（a﹣3）2 D．（3﹣a）2 【答案】A 【分析】已知正比例函数y＝（a﹣4）x的图象经过第一、三象限，根据正比例函数的性质可得a-4>0，即a>4；由此可得3-a<0，再根据二次根式的性质化简即可. 【详解】∵正比例函数y＝（a﹣4）x的图象经过第一、三象限， ∴a-4>0， 即a>4； ∴3-a<0， ∴=a-3. 故选A. 【点睛】本题考查了正比例函数的性质及二次根式的性质，根据一次函数的性质求得a>4是解决问题的关键. 7．（23-24八年级上·四川成都·期末）如图，已知点的坐标为，点的坐标为，点在直线上运动，当最小时，点的坐标为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接AB，与直线的交点就是点C，此时最小，先求出直线AB的解析式，然后求出点C的坐标即可 【详解】解：根据题意，如图，连接AB，与直线的交点就是点C， 则此时最小， 设点A、B所在的直线为，则 ，解得：， ∴， ∴，解得：， ∴点C的坐标为：； 故选：A. 【点睛】本题考查了一次函数的图形和性质，以及最短路径问题，解题的关键是正确确定点C的位置，求出直线AB的解析式，进而求出点C. 8．（23-24八年级上·山西运城·阶段练习）如图，已知直线与轴、轴分别交于点和点，是线段上一点，若将沿折叠，点恰好落在x轴上的点处，则直线所对应的函数表达式是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题、折叠的性质、勾股定理、待定系数法求一次函数解析式，先求出，，得出，，，由折叠的性质可得：，，则，设，则，，由勾股定理可得，求出的值即可得出的坐标，最后由待定系数法求直线的解析式即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：在中，当时，，当时，，解得， ，， ，， ， 由折叠的性质可得：，， ， 设， ，则， ， ， 解得：， ， 设直线的解析式为， 将，代入解析式得， 解得：， 直线的解析式为， 故选：B． 二、填空题 9．（2024·江苏苏州·一模）甲、乙两车从A地出发，匀速驶向B地，甲车以的速度行驶后，乙车才沿相同路线行驶．乙车先到达B地并停留后，再以原速按原路返回，直至与甲车相遇．在此过程中，两车之间的距离与乙车行驶时间之间的函数关系如图所示，给出下列说法：①乙车的速度是；②；③点H的坐标是；④．其中说法正确的有 ．（把你认为正确结论的序号都填上） 【答案】①②③ 【分析】根据题意，两车距离为函数，由图象可知两车起始距离为80，从而得到乙车速度，根据图象变化规律和两车运动状态，得到相关未知量． 【详解】解：由图象可知，乙出发时，甲乙相距80km，2小时后，乙车追上甲．则说明乙每小时比甲快40km，则乙的速度为120km/h．①正确； 由图象第2-6小时，乙由相遇点到达B，用时4小时，每小时比甲快40km，则此时甲乙距离4×40=160km，则m=160，②正确； 当乙在B休息1h时，甲前进80km，则H点坐标为（7，80），③正确； 乙返回时，甲乙相距80km，到两车相遇用时80÷（120+80）=0.4小时，则n=6+1+0.4=7.4，④错误， 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，考查双动点条件下，两点距离与运动时间的函数关系，解答时既要注意图象变化趋势，又要关注动点的运动状态． 10．（2024·全国·模拟预测）现有甲、乙两个长方体蓄水池，将甲池中的水匀速注入乙池，甲、乙两个蓄水池中水的深度y（米）与注水时间x（时）之间的函数图象如图所示，当甲、乙两池中水的深度相同时，注水时间为 时． 【答案】/ 【分析】本题考查一次函数的应用，涉及待定系数法求一次函数表达式，一次函数的交点问题等内容；解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用一次函数的性质解答．根据函数图象中的数据可以求得相应的函数解析式；联立两个函数解析式，即可求交点P的横坐标，即为所求． 【详解】解：设为甲池中的水深度与注水时间x之间的函数表达式是， ∴， 解得：，即， 设乙池中的水深度与注水时间x之间的函数表达式是， ∴， 解得，即； 令，则， 解得：， ∴当甲、乙两池中水的深度相同时，则注水时间为时． 故答案为：． 11．（24-25八年级下·北京·期中）当，是正实数，且满足时，就称点为“完美点”．已知与点的坐标满足，且点是“完美点”，则点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算．先根据点A坐标确定一次函数的解析式为，设点，根据题意，，结合m，n是正实数，且满足m，n是正实数，得，得到，据此计算即可求解． 【详解】解：∵点与点B的坐标满足，且点B是“完美点”， ∴， 解得， ∴一次函数的解析式为， 设点， 根据题意，， ∵m，n是正实数，且满足m，n是正实数，， ∴，即， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 12．（23-24八年级上·山东济南·期中）正方形，，，…按如图所示放置，点，…和，…分别在直线和x轴上，则点的纵坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查平面直角坐标下点的规律探究．根据题意求出，进而找出坐标规律，进行求解即可． 【详解】当时， ， ∴点 的坐标为． ∵四边形为正方形， ∴点的坐标为，点的坐标为． 当时，， ∴点的坐标为． ∵为正方形， ∴点的坐标为，点的坐标为 ， 同理，可知：点的坐标为，点的坐标为， 点的坐标为，…， ∴点的坐标为（是正整数）， ∴点的纵坐标为； 故答案为：． 三、解答题 13．（23-24八年级上·江西萍乡·期末）在平面直角坐标系中，某一次函数的图象是由直线平移得到的，且经过点，交y轴于点B． (1)求此一次函数的表达式； (2)若点P为此一次函数图象上一点，且的面积为12，求点P的坐标． 【答案】(1)一次函数的表达式为 (2)点P的坐标为点P的坐标为或 【分析】本题主要考查了一次函数图象的平移，一次函数图象上点的坐标特征，以及待定系数法求一次函数解析式， （1）由该一次函数是由直线平移得到的，可设此一次函数的表达式为，再根据点A的坐标利用待定系数法求出一次函数解析式即可； （2）设点P的坐标为，将代入一次函数解析式中求出y值，由此即可得出的长度，再根据三角形的面积公式结合的面积为12， 即可得出关于m的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出m值，将其代入点P的坐标中即可得出结论． 【详解】（1）解：设此一次函数的表达式为：， 将代入， 得， 解得， ∴此一次函数的表达式为； （2）设点P的坐标为， 当时，， ∴点，   ∴， ∴， 解得或， 当时，， 当时，． ∴点P的坐标为或 ． 14．（22-23八年级上·江苏泰州·期末）如图，正比例函数的图象与一次函数的图象交于点，一次函数图象经过点，与y轴的交点为D，与x轴的交点为C．    (1)求一次函数表达式； (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）可求，把和代入一次函数，即可求解； （2）可求，由即可求解． 【详解】（1）解：正比例函数的图象与一次函数的图象交于点， ，， ， 把和代入一次函数，得 ， 解得， 一次函数解析式是； （2）解：由（1）知一次函数表达式是， 当时，， 当时，， 解得：， ，， ， ． 【点睛】本题主要考查了两直线交点及面积问题，待定系数法求一次函数解析式，掌握解法是解题的关键． 15．（23-24八年级下·广东清远·期末）某汽车销售公司经销某品牌A 款汽车，随着汽车的普及，其价格也在不断下降．今年 5月份A 款汽车的售价比去年同期每辆降价1万元，如果卖出相同数量的A 款汽车， 去年销售额为100万元，今年销售额只有90万元． (1)今年5月份A 款汽车每辆售价多少万元? (2)为了增加收入，汽车销售公司决定再经销同品牌的B 款汽车，已知A款汽车每 辆进价为7.5万元，B 款汽车每辆进价为6万元，公司预计用不多于105万元且不少于102万元的资金购进这两款汽车共15辆，有几种进货方案?其中哪种进货方案所需资金最少? 【答案】(1)今年5月份A款汽车每辆售价9万元 (2)所以有3种方案：方案一：A款汽车购进8辆；B款汽车购进7辆；方案二：A款汽车购进9辆；B款汽车购进6辆；方案三：A款汽车购进10辆；B款汽车购进5辆，方案一所需资金最小 【分析】（1）设今年5月份A款汽车每辆售价x万元，根据题意可得，去年销售额100万元与今年销售额90万元所卖的车辆数量相等，据此列方程求解； （2）设A款汽车购进y辆．则B款汽车每辆购进辆．关系式为：款汽车总价+B款汽车总价，设所需总资金为万元，，据此求解． 【详解】（1）解：设今年5月份A款汽车每辆售价x万元．根据题意得： ， 解得：， 经检验知，是原方程的解且符合题意． 所以今年5月份A款汽车每辆售价9万元； （2）设A款汽车购进y辆．则B款汽车每辆购进辆．根据题意得： ， 解得：， 所以有3种方案： 方案一：A款汽车购进8辆，B款汽车购进7辆； 方案二：A款汽车购进9辆，B款汽车购进6辆； 方案三：A款汽车购进10辆，B款汽车购进5辆． 设所需总资金为w万元， ， ∵， ∴当y最小时，w最小，即时，最大为102， 所以方案一所需资金最小． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式组的应用和一次函数的应用．关键是根据题意找到数量关系，列出方程与不等式组． 学科网（北京）股份有限公司 $$