清单05 立体几何初步（考点清单，知识导图+16个考点清单+题型解读）-2024-2025学年高一数学下学期期末考点大串讲（苏教版2019必修第二册）

清单05 立体几何初步 （16个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】棱柱的结构特征 1、定义：一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱．在棱柱中，两个相互平行的面叫做棱柱的底面，简称底；其余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱．侧面与底的公共顶点叫做棱柱的顶点．棱柱中不在同一平面上的两个顶点的连线叫做棱柱的对角线．过不相邻的两条侧棱所形成的面叫做棱柱的对角面． 2、棱柱的分类：底面是三角形、四边形、五边形、……的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱…… 3、棱柱的表示方法： ①用表示底面的各顶点的字母表示棱柱，如下图，四棱柱、五棱柱、六棱柱可分别表示为、、； ②用棱柱的对角线表示棱柱，如上图，四棱柱可以表示为棱柱或棱柱等；五棱柱可表示为棱柱、棱柱等；六棱柱可表示为棱柱、棱柱、棱柱等． 4、棱柱的性质：棱柱的侧棱相互平行． 【清单02】棱锥的结构特征 1、定义：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥．这个多边形面叫做棱锥的底面．有公共顶点的各个三角形叫做棱锥的侧面．各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点．相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱； 2、棱锥的分类：按底面多边形的边数，可以分为三棱锥、四棱锥、五棱锥 ……；S S D D C C B B A A E C B A S 3、棱锥的表示方法：用表示顶点和底面的字母表示，如四棱锥． 【清单03】圆柱的结构特征 1、定义：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱．旋转轴叫做圆柱的轴．垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的底面．平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面．无论旋转到什么位置不垂直于轴的边都叫做圆柱的母线． 2、圆柱的表示方法：用表示它的轴的字母表示，如圆柱 【清单04】圆锥的结构特征 1、定义：以直角三角形的直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转而成的曲面所围成的几何体叫做圆锥．旋转轴叫做圆锥的轴． 垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆锥的底面．不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面．无论旋转到什么位置不垂直于轴的边都叫做圆锥的母线． 2、圆锥的表示方法：用表示它的轴的字母表示，如圆锥． 【清单05】棱台和圆台的结构特征 １、定义：用一个平行于棱锥（圆锥）底面的平面去截棱锥（圆锥），底面和截面之间的部分叫做棱台（圆台）；原棱锥（圆锥）的底面和截面分别叫做棱台（圆台）的下底面和上底面；原棱锥（圆锥）的侧面被截去后剩余的曲面叫做棱台（圆台）的侧面；原棱锥的侧棱被平面截去后剩余的部分叫做棱台的侧棱；原圆锥的母线被平面截去后剩余的部分叫做圆台的母线；棱台的侧面与底面的公共顶点叫做棱台的顶点；圆台可以看做由直角梯形绕直角边旋转而成，因此旋转的轴叫做圆台的轴． 2、棱台的表示方法：用各顶点表示，如四棱台； 3、圆台的表示方法：用表示轴的字母表示，如圆台； 【清单06】球的结构特征 1、定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体叫做球体，简称球．半圆的半径叫做球的半径．半圆的圆心叫做球心．半圆的直径叫做球的直径． 2、球的表示方法：用表示球心的字母表示，如球O． （1）用一个平面去截一个球，截面是一个圆面．如果截面经过球心，则截面圆的半径等于球的半径；如果截面不经过球心，则截面圆的半径小于球的半径． （2）若半径为的球的一个截面圆半径为，球心与截面圆的圆心的距离为，则有． 【清单07】特殊的棱柱、棱锥、棱台 特殊的棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱称为斜棱柱；垂直于底面的棱柱称为直棱柱；底面是正多边形的直棱柱是正棱柱；底面是矩形的直棱柱叫做长方体；棱长都相等的长方体叫做正方体； 特殊的棱锥：如果棱锥的底面是正多边形，且各侧面是全等的等腰三角形，那么这样的棱锥称为正棱锥；侧棱长等于底面边长的正三棱锥又称为正四面体； 特殊的棱台：由正棱锥截得的棱台叫做正棱台； 【清单08】简单组合体的结构特征 1、组合体的基本形式：①由简单几何体拼接而成的简单组合体；②由简单几何体截去或挖去一部分而成的几何体； 2、常见的组合体有三种：①多面体与多面体的组合；②多面体与旋转体的组合；③旋转体与旋转体的组合． ①多面体与多面体的组合体 由两个或两个以上的多面体组成的几何体称为多面体与多面体的组合体．如下图（1）是一个四棱柱与一个三棱柱的组合体；如图（2）是一个四棱柱与一个四棱锥的组合体；如图（3）是一个三棱柱与一个三棱台的组合体． ②多面体与旋转体的组合体 由一个多面体与一个旋转体组合而成的几何体称为多面体与旋转体的组合体如图（1）是一个三棱柱与一个圆柱组合而成的；如图（2）是一个圆锥与一个四棱柱组合而成的；而图（3）是一个球与一个三棱锥组合而成的． ③旋转体与旋转体的组合体 由两个或两个以上的旋转体组合而成的几何体称为旋转体与旋转体的组合体．如图（1）是由一个球体和一个圆柱体组合而成的；如图（2）是由一个圆台和两个圆柱组合而成的；如图（3）是由一个圆台、一个圆柱和一个圆锥组合而成的． 【清单09】几何体中的计算问题 几何体的有关计算中要注意下列方法与技巧： （1）在正棱锥中，要掌握正棱锥的高、侧面、等腰三角形中的斜高及高与侧棱所构成的两个直角三角形，有关证明及运算往往与两者相关． （2）正四棱台中要掌握其对角面与侧面两个等腰梯形中关于上、下底及梯形高的计算，有关问题往往要转化到这两个等腰梯形中．另外要能够将正四棱台、正三棱台中的高与其斜高、侧棱在合适的平面图形中联系起来． （3）研究圆柱、圆锥、圆台等问题的主要方法是研究它们的轴截面，这是因为在轴截面中，易找到所需有关元素之间的位置、数量关系． （4）圆柱、圆锥、圆台的侧面展开是把立体几何问题转化为平面几何问题处理的重要手段之一． （5）圆台问题有时需要还原为圆锥问题来解决． （6）关于球的问题中的计算，常作球的一个大圆，化“球”为“圆”，应用平面几何的有关知识解决；关于球与多面体的切接问题，要恰当地选取截面，化“空间”为平面． 【清单10】斜二测画法保留了原图形中的三个性质 ①平行性不变，即在原图中平行的线在直观图中仍然平行；②共点性不变，即在原图中相交的直线仍然相交；③平行于x，z轴的长度不变． 【清单11】圆台的表面积 （1）圆台的侧面积：如上图（2）所示，圆台的侧面展开图是一个扇环．如果圆台的上、下底面半径分别为r＇、r，母线长为，那么这个扇形的面积为，即圆台的侧面积为S圆台侧=． （2）圆台的表面积：． 【清单12】柱体、锥体、台体的体积 1、柱体的体积公式 棱柱的体积：棱柱的体积等于它的底面积S和高h的乘积，即V棱柱=Sh． 圆柱的体积：底面半径是r，高是h的圆柱的体积是V圆柱=Sh=πr2h．综上，柱体的体积公式为V=Sh． 2、锥体的体积公式 棱锥的体积：如果任意棱锥的底面积是S，高是h，那么它的体积． 圆锥的体积：如果圆锥的底面积是S，高是h，那么它的体积；如果底面积半径是r，用πr2表示S，则． 综上，锥体的体积公式为． 3、台体的体积公式 棱台的体积：如果棱台的上、下底面的面积分别为S＇、S，高是h，那么它的体积是． 圆台的体积：如果圆台的上、下底面半径分别是r＇、r，高是h，那么它的体积是 ． 综上，台体的体积公式为． 【清单13】球的表面积和体积 1、球的表面积 （1）球面不能展开成平面，要用其他方法求它的面积． （2）球的表面积 设球的半径为R，则球的表面积公式S球=4πR2．即球面面积等于它的大圆面积的四倍． 2、球的体积 设球的半径为R，它的体积只与半径R有关，是以R为自变量的函数．球的体积公式为． 【清单14】异面直线 1、定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线． 2、画法： 3、两异面直线所成角的常用方法 平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下： （1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； （2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； （3）计算：求该角的值，常利用解三角形； （4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角． 【清单15】空间平行关系的注意事项 直线与平面平行，平面与平面平行的判定定理、性质定理，揭示了线线平行、线面平行、面面平行之间的转化关系，具体转化过程如图所示． 【清单16】有关垂直（1）判定定理的条件中：“平面内的两条相交直线”是关键性词语，不可忽视． （2）要判定一条已知直线和一个平面是否垂直，取决于在这个平面内能否找出两条相交直线和已知直线垂直，至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点，则无关紧要． 相关的重要结论 ①过一点与已知直线垂直的平面有且只有一个；过一点与已知平面垂直的直线有且只有一条． ②如果两条平行线中的一条与一个平面垂直，那么另一条也与这个平面垂直． ③如果两个平行平面中的一个与一条直线垂直，那么另一个也与这条直线垂直． 【考点题型一】简单几何体的组合体 技巧：解决简单几何体的判定问题，需要对简单几何体的有关结构特征熟练掌握， 如侧棱与底面的关系，底面、侧面的形状、截面形状等， 同时还要会计算棱柱、棱锥、棱台的顶点数、棱数及面数． 【例1】如图所示，该几何体是从一个水平放置的正方体中挖去一个内切球（正方体各个面均与球面有且只有一个公共点）以后而得到的．现用一竖直的平面去截这个几何体，则截面图形不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，用竖直的平面截正方体，该平面过球心，且过正方体四个面的中心，即可得到截面图形A，如图； 对于B，用竖直的平面截正方体，该平面为正方体的对角面,过球心，及正方体两个侧面的对角线的中心，即可得到截面图形B； 对于CD，用竖直的平面截正方体，该平面过正方体一个侧面的中心，如图，切点在截面的边CD的中点处，且CD为长方形中较短的线段，即可得到D. 故选：C 【变式1-1】如图所示的平面中阴影部分绕中间轴旋转一周，形成的几何体形状为（    ）． A．一个球体 B．一个球体中间挖去一个圆柱 C．一个圆柱 D．一个球体中间挖去一个长方体 【答案】B 【解析】中间轴是圆的直径所在直线，且是中间矩形的对称轴，绕它旋转一周，中间矩形形成圆柱，圆形成球，所以几何体是一个球体中间挖去一个圆柱． 故选：B． 【变式1-2】请描述如图所示的几何体是如何形成的． 【解析】①是由一个圆锥和一个圆台拼接而成的组合体； ②是由一个长方体截去一个三棱锥后得到的几何体； ③是由一个圆柱挖去一个三棱锥后得到的几何体． 【变式1-3】一个三棱锥的各棱长均相等，其内部有一个内切球，即球与三棱锥的各面均相切，过一条侧棱和对边的中点作三棱锥的截面，所得截面图形是 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图所示，设三棱锥的各棱长均相等，球是它的内切球， 设为底面的中心，根据对称性可得内切球的球心在三棱锥的高上， 由确定的平面交于，连接，得到截面， 截面就是经过侧棱与中点的截面， 平面与内切球相交，截得的球大圆如图所示， 因为中，圆分别与相切于点，且，圆与相离， 所对照各个选项，可得只有B项的截面符合题意，故选B. 【考点题型二】简单几何体的表面展开与折叠问题 技巧：（1）立体几何中的翻折（展开）问题截图的关键是：翻折（展开）过程中的不变量； （2）立体几何中距离的最值一般处理方式： ①几何法：通过位置关系，找到取最值的位置（条件），直接求最值； ②代数法：建立适当的坐标系，利用代数法求最值． 【例2】如图，三棱柱中，底面，，是上一动点，则的最小值是_______． 【答案】 【解析】把平面沿着展开与在同一平面上， 连接，则的最小值是， 因为，三棱柱是直三棱柱， ，， ， 因为，所以， 所以， 所以， 由余弦定理得， 所以，故的最小值是. 故答案为： 【变式2-1】如图，某圆柱的高为，底面圆的半径为，则在此圆柱侧面上，从圆柱的左下点A到右上点B的路径中，最短路径的长度为______． 【答案】 【解析】如图，将圆柱侧面展开， ， 则在圆柱侧面的展开图上，最短路径的长度为． 故答案为：. 【变式2-2】如图，在正三棱锥中，，，一只虫子从点出发，绕三棱锥的三个侧面爬行一周后，又回到点，则虫子爬行的最短距离是（    ） A．4 B． C． D． 【答案】A 【解析】如图， 连接与分别交于两点， 将三棱锥由展开，则， 为虫子爬行从点沿侧面到棱上的点处，再到棱上的点处， 然后回到点的最短距离， ∵， ∴由勾股定理可得， 所以虫子爬行的最短距离4， 故选：A. 【变式2-3】在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝6，BC＝4，AA1＝2，P、Q分别为棱AA1，C1D1的中点则从点P出发，沿长方体表面到达点Q的最短路径的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】依题意在长方体中，分别为棱，的中点， 若按照如下方式展开，则 若按照如下方式展开，则 若按照如下方式展开，则 所以 故选：C 【考点题型三】与直观图还原有关的计算问题 技巧：由于斜二测画法中平行于x轴的线段的长度在直观图中长度不变，而平行于y轴的线段在直观图中长度要减半，同时要倾斜45°，因此平面多边形的直观图中的计算需注意两点． （1）直观图中任何一点距x′轴的距离都为原图形中相应点距x轴距离的sin45°＝倍． （2）S直观图＝S原图． 由直观图计算原图形中的量时，注意上述两个结论的转换． 【例3】一平面四边形OABC的直观图O′A′B′C′如图所示，其中O′C′⊥x′轴，A′B′⊥x′轴，B′C′∥y′轴，则四边形OABC的面积为（　　） A． B．3 C．3 D． 【答案】B 【解析】设轴与交点为D，因O′C′⊥x′轴，A′B′⊥x′轴，则，又B′C′∥y′轴，则四边形为平行四边形，故.又，结合A′B′⊥x′轴，则，故. 则四边形面积为，因四边形面积是四边形OABC的面积的倍，则四边形OABC的面积为. 故选：B 【变式3-1】用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的直角梯形，其中，则原平面图形的面积为（    ） A． B． C．3 D．6 【答案】C 【解析】 如图，过点作于点， 因为,所以， 原平面图形中,作原平面图形如下， 则原平面图形的面积为, 故选:C. 【变式3-2】如图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形是一个边长为1的正方形，则原图形的形状是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】在直观图中，其一条对角线在y轴上且长度为， 所以在原图形中其中一条对角线必在y轴上，且长度为， 故选：A． 【变式3-3】如图，是的直观图，其中，，那么是一个（    ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．无法确定 【答案】A 【解析】 将直观图还原，则，，所以是正三角形. 故选：A. 【考点题型四】棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积 技巧：1、多面体的表面积转化为各面面积之和． 2、解决有关棱台的问题时，常用两种解题思路： 一是把基本量转化到梯形中去解决；二是把棱台还原成棱锥，利用棱锥的有关知识来解决． 3、常见的求几何体体积的方法 ①公式法：直接代入公式求解．②等积法：如四面体的任何一个面都可以作为底面， 只需选用底面积和高都易求的形式即可．③分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积． 4、求几何体体积时需注意的问题 柱、锥、台的体积的计算，一般要找出相应的底面和高，要充分利用截面、 轴截面，求出所需要的量，最后代入公式计算． 【例4】边长为3的正方体切成27个全等的小正方体，则表面积之和比原来增加了（    ） A．36 B．72 C．108 D．240 【答案】C 【解析】由已知，边长为3的正方体分成27个全等的小正方体，则小正方体的边长为1， 边长为3的正方体表面积为， 每个小正方体的表面积为，27个小正方体的表面积之和为， ，所以表面积之和比原来增加了， 故选：C． 【变式4-1】为了给热爱朗读的师生提供一个安静独立的环境，某学校修建了若干“朗读亭”．如图所示，该朗读亭的外形是一个正六棱柱和正六棱锥的组合体，正六棱柱两条相对侧棱所在的轴截面为正方形，若正六棱锥与六棱柱的高的比值为1∶3，则正六棱锥与正六棱柱的侧面积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意 设正六边形的边长为a，设六棱柱的高为3b，六棱锥的高为b， 正六棱柱的侧面积， 正六棱锥的母线长为 ∴正六棱锥的侧面积， ∵正六棱柱两条相对侧棱所在的轴截面为正方形， ∴， ∴ ∴， 故选：B． 【变式4-2】已知四棱台的上、下底面分别是边长为和的正方形，侧面均为腰长为的等腰梯形，则该四棱台的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设在正四棱台中，取侧面， 则，，，如下图所示： 分别过点、在侧面内作，，垂足分别为、， 因为，，， 所以，，， 因为，，，故四边形为矩形，故， 所以，，， 因此，该四棱台的表面积为. 故选：C. 【变式4-3】已知正四棱锥的高为3，底面边长为，则该棱锥的体积为（    ） A．6 B． C．2 D． 【答案】C 【解析】根据棱锥的体积公式得该棱锥的体积为 故选：C. 变式3．（2023·全国·高一专题练习）陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一，也称陀罗.图1是一种木陀螺，可近似地看作是一个圆锥和一个圆柱的组合体，其直观图如图2所示，其中分别是上､下底面圆的圆心，且，底面圆的半径为2，则该陀螺的体积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】已知底面圆的半径，由，则， 故该陀螺的体积. 故选：D. 【变式4-4】如图是一个棱长为2的正方体被过棱、的中点、，顶点和过点顶点、的两个截面截去两个角后所得的几何体，则该几何体的体积为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【解析】如图将正方体还原可得如下图形： 则，，， 所以该几何体的体积. 故选：C 【考点题型五】圆柱、圆锥、圆台的表面积与体积 技巧：（求旋转体表面积注意事项） 旋转体中，求面积应注意侧面展开图，上下面圆的周长是展开图的弧长．圆台通常还要还原为圆锥． （求几何体积的常用方法） （1）公式法：直接代入公式求解． （2）等积法：例如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的几何体即可． （3）补体法：将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱，棱台补成棱锥等． （4）分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积． 【例5】已知圆锥的母线长为3，若轴截面为等腰直角三角形，则圆锥的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】依题意，圆锥的母线长为3，轴截面为等腰直角三角形， 所以圆锥的底面半径为， 所以圆锥的表面积为. 故选：B 【变式5-1】平行于圆锥底面的截面将圆锥分为体积相等的两部分，则圆锥侧面被截面分成上、下两部分的面积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设原来的圆锥体积为V，底面半径为R，高为H，侧面积为S，母线长为L， 被截面分截后，上面小圆锥的体积为，底面半径为r，高为h，侧面积为 ，母线长为l， 因为 ,即有, 又因为,所以,即有,且, 而， 故圆锥侧面被截面分成上、下两部分的面积之比为 ， 故选：D 【变式5-2】已知一个圆台的上、下底面半径分别为2，4，它的侧面展开图扇环的圆心角为90°，则圆台的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】圆台母线长为， 圆台的表面积. 故选：B 【变式5-3】已知圆柱的全面积为，圆柱内有一平行于圆柱轴的截面，截面面积为，且截面上的两条母线将圆柱侧面分成两部分的表面积之比为，则圆柱的体积是______. 【答案】 【解析】因为截面上的两条母线将圆柱侧面分成两部分的表面积之比为， 可知由圆柱底面圆心向截面与底面的两个交点连线形成的圆心角，即弦所对的圆心角为， 设底面半径为，则弦， 设圆柱的高为，则， 解得或（舍去）， 所以圆柱的体积. 故答案为： 【变式5-4】在如图所示的斜截圆柱中，已知圆柱底面的直径为40cm，母线长最短50cm，最长80cm，则斜截圆柱的体积为__． 【答案】26000πcm3 【解析】 将相同的两个几何体，对接为圆柱，则所求几何体的体积是新圆柱体积的一半，所求体积为：． 故答案为：26000πcm3． 【考点题型六】球的表面积与体积 技巧：1、正方体的内切球 球与正方体的六个面都相切，称球为正方体的内切球，此时球的半径为r1＝，过在一个平面上的四个切点作截面 2、球与正方体的各条棱相切球与正方体的各条棱相切于各棱的中点，过球心作正方体的对角面有r2＝， 3、长方体的外接球 长方体的八个顶点都在球面上，称球为长方体的外接球，根据球的定义可知，长方体的体对角线是球的直径，若长方体过同一顶点的三条棱长为a，b，c，则过球心作长方体的对角面有球的半径为r3＝， 4、正方体的外接球正方体棱长a与外接球半径R的关系为2R＝a． 5、正四面体的外接球正四面体的棱长a与外接球半径R的关系为：2R＝a． 6、有关球的截面问题常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面中圆的有关问题解决． 【例6】已知正方体外接球的体积是，那么正方体的体对角线等于（    ） A． B．4 C． D．. 【答案】B 【解析】正方体外接球的直径即为正方体的体对角线，设外接球的半径为， 则，解得，所以正方体的体对角线等于； 故选：B 【变式6-1】已知正三棱锥的四个顶点都在球O的球面上，其侧棱长为，底面边长为4，则球O的表面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图所示： 设为正三角形的中心，连接， 则平面，球心在上， 设球的半径为，连接， ∵正三角形的边长为4，∴， 又∵， ∴在中，， 在中，，，， ∴，解得， ∴球的表面积为． 故选：D． 【变式6-2】已知，，三点均在球的表面上，，且球心到平面的距离等于球半径的，则下列结论正确的为（    ） A．球的外切正方体的棱长为 B．球的表面积为 C．球的内接正方体的棱长为 D．球的半径为 【答案】A 【解析】设球O的半径为，的外接圆半径为，则， 因为球心O到平面的距离等于球O半径的， 所以，得，即，故D错误； 球O的外切正方体的棱长b满足，故A正确； 所以球O的表面积，故B错误； 球O的内接正方体的棱长a满足，即，故C错误. 故选：A. 【变式6-3】轴截面为正三角形的圆锥称为等边圆锥，已知一等边圆锥的母线长为，则该圆锥的内切球体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】轴截面如图所示，设内切球的半径为，则， 由题意可得，， 在中，， 所以，即， 所以内切球体积为， 故选：D 【考点题型七】几何体的直观图画法 技巧：（画空间几何体的直观图的注意事项） （1）首先在原几何体上建立空间直角坐标系Oxyz，并且把它们画成对应的x′轴与y′轴，两轴交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°（或135°），它们确定的平面表示水平面，再作z′轴与平面x′O′y′垂直． （2）作空间图形的直观图时平行于x轴的线段画成平行于x′轴的线段并且长度不变． （3）平行于y轴的线段画成平行于y′轴的线段，且线段长度画成原来的一半． （4）平行于z轴的线段画成平行于z′轴的线段并且长度不变． 【例7】已知一棱柱的底面是边长为的正方形，各侧面都是矩形，且侧棱长为，试用斜二测画法画出此棱柱的直观图. 【解析】（1）画轴.画出轴、轴轴，三轴相交于点，使，. （2）画底面.以点为中点，在轴上画，在轴上画，分别过点，作轴的平行线，过点，作轴的平行线，设它们的交点分别为，，，，则四边形就是该棱柱的底面. （3）画侧棱.过点，，，分别作轴的平行线，并在这些平行线上分别截取长的线段，，，，如图①所示. （4）成图.连接，，，，并加以整理（去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线），就得到该棱柱的直观图，如图②所示. 【考点题型八】简单几何体的结构特征 技巧：有两个面互相平行，其余各个面都是平行四边形，这些面围成的几何体不一定是棱柱． 如下图所示的几何体满足“有两个面互相平行，其余各个面都是平行四边形”这一条件，但它不是棱柱． 判定一个几何体是否是棱柱时，除了看它是否满足：“有两个面互相平行， 其余各个面都是平行四边形”这两个条件外，还要看其余平行四边形中“每两个 相邻的四边形的公共边都互相平行”即“侧棱互相平行”这一条件，不具备这一条件的几何体不是棱柱． 圆锥：（1）用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面是一个比底面小的圆面． （2）经过圆锥的轴的截面是一个等腰三角形，其底边是圆锥底面的直径，两腰是圆锥侧面的两条母线． （3）圆锥底面圆周上任意一点与圆锥顶点的连线都是圆锥侧面的母线． 【例8】下列命题中不正确的是（    ） A．圆柱､圆锥､圆台的底面都是圆面 B．正四棱锥的侧面都是正三角形 C．用平行于圆锥底面的平面截圆锥，截面与底面之间的部分是圆台 D．以直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，另一腰和两底边旋转一周所围成的几何体是圆台 【答案】B 【解析】对于A：圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面，故A正确； 对于B：正四棱锥的侧面都是等腰三角形，不一定是正三角形，故B错误； 对于C：用平行于圆锥底面的平面截圆锥，截面与底面之间的部分是圆台，故C正确； 对于D：以直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，另一腰和两底边旋转一周所围成的几何体是圆台，故D正确． 故选：B． 【变式8-1】用平面截正方体，截面不可能是（    ） A．菱形 B．等腰梯形 C．正五边形 D．正六边形 【答案】C 【解析】对于A项，当截面与正方体表面平行，且与正方体相交时，截面为正方形，即截面可能是菱形，故A项正确； 对于B项，如图1，当时，有，且，此时截面为等腰梯形，故B项正确； 对于C项，假若截面是正五边形，则截面中的截线必然分别在5个面内，由于正方体有6个面，分成两两平行的三对，故必然有一对平行面中有两条截线，而根据面面平行的性质定理，可知这两条截线互相平行，但正五边形的边中是不可能有平行的边的，故截面的形状不可能是正五边形，故C项错误； 对于D项，如图2，分别为各边的中心，易证共面，且为正六边形，故D项正确. 故选：C. 【变式8-2】若一个棱锥的每条侧棱在底面的射影长相等，则此棱锥（    ） A．是正四面体 B．是正棱锥 C．不是正棱锥 D．不一定是正棱锥 【答案】D 【解析】若一个棱锥的每条侧棱在底面的射影长相等,则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心， 但底面不一定是正多边形，故此棱锥不一定是正棱锥， 故选：D 【考点题型九】基本图形位置关系 技巧：1、判定两直线异面的常用方法 （1）定义法：由定义判断两直线不可能在同一平面内； （2）排除法（反证法）：排除两直线共面（平行或相交）的情况 2、直线与平面位置关系的解题思路 解决此类问题首先要搞清楚直线与平面各种位置关系的特征，利用其定义作出判断，要有画图意识，并借助空间想象能力进行细致的分析． 3、平面与平面位置关系的解题思路 判断线线、线面、面面的位置关系，要牢牢地抓住其特征与定义、要有画图的意识，结合空间想象能力全方位、多角度地去考虑问题，作出判断．常借助长方体模型进行判断． 【例9】设为平面，点，则下列结论正确的是（    ） A．过点有且只有一条直线与平行 B．过点没有直线与平行 C．过点有且只有一个平面与平行 D．过点有无数个平面与平行 【答案】C 【解析】因为点，故过点有无数条直线与平行，故错误； 过点有且只有一个平面与平行，故正确，错误. 故选：. 【变式9-1】平面∥平面，，则直线和的位置关系（    ） A．平行 B．平行或异面 C．平行或相交 D．平行或相交或异面 【答案】B 【解析】∵平面平面，∴平面与平面没有公共点 ∵，，∴直线，没有公共点 ∴直线，的位置关系是平行或异面， 故选：B. 【变式9-2】在空间中，给出下列说法：①平行于同一个平面的两条直线是平行直线；②垂直于同一条直线的两个平面是平行平面；③若平面内有不共线的三点到平面的距离相等，则；④过平面的一条斜线，有且只有一个平面与平面垂直.其中正确的是（    ） A．①③ B．②④ C．①④ D．②③ 【答案】B 【解析】①平行于同一个平面的两条直线可能平行、相交或异面，不正确；易知②正确；③若平面内有不共线的三点到平面的距离相等，则与可能平行，也可能相交，不正确；易知④正确.故选B. 【变式9-3】直线a与平面不平行，则内与a平行的直线有（    ） A．无数条 B．0条 C．1条 D．以上均不对 【答案】D 【解析】因为直线与平面不平行，所以直线与平面的关系有两种，即以及直线与平面相交. 当时，显然在内与a平行的直线有无数条； 当直线与平面相交时，设. 当，且时，此时，即直线、相交； 当，且时，可知直线、异面. 综上所述，当直线与平面相交时，内与a平行的直线有0条. 所以，直线a与平面不平行，则内与a平行的直线有无数条或0条. 故选：D. 【变式9-4】若一直线上有一点在已知平面外，则下列结论中正确的是（    ） A．直线与平面平行 B．直线与平面相交 C．直线上至少有一个点在平面内 D．直线上有无数多个点都在平面外 【答案】D 【解析】对于A，若直线与平面相交，此时除交点外，其余点都在平面外，A错误； 对于BC，若直线与平面平行，则所有点都在平面外，BC错误； 对于D，直线无论与平面相交还是平行，则都有无数个点在平面外，D正确. 故选：D. 【变式9-5】如图，在长方体中，则下列结论正确的是（    ） A．点平面 B．直线平面 C．直线与直线是相交直线 D．直线与直线是异面直线 【答案】D 【解析】在长方体中， 直线平面，点，且不重合，即点平面，A不正确； 点平面，点平面，即直线平面，B不正确； 直线平面，则与平面无公共点，直线平面， 所以直线与直线没有公共点，C不正确； 直线平面，即直线与平面无公共点，直线平面， 则直线与直线没有公共点，又，直线，即直线与直线不平行， 因此直线与直线是异面直线，D正确. 故选：D 【变式9-6】如图， 在正方体中， 直线与平面的位置关系为（    ） A．直线在平面内 B．直线与平面相交但不垂直 C．直线与平面相交且垂直 D．直线与平面平行 【答案】B 【解析】由正方体的性质知：面即为面，而直线与面交于，但不垂直. 故选：B 1 / 1 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单05 立体几何初步 （16个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】棱柱的结构特征 1、定义：一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱．在棱柱中，两个相互平行的面叫做棱柱的底面，简称底；其余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱．侧面与底的公共顶点叫做棱柱的顶点．棱柱中不在同一平面上的两个顶点的连线叫做棱柱的对角线．过不相邻的两条侧棱所形成的面叫做棱柱的对角面． 2、棱柱的分类：底面是三角形、四边形、五边形、……的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱…… 3、棱柱的表示方法： ①用表示底面的各顶点的字母表示棱柱，如下图，四棱柱、五棱柱、六棱柱可分别表示为、、； ②用棱柱的对角线表示棱柱，如上图，四棱柱可以表示为棱柱或棱柱等；五棱柱可表示为棱柱、棱柱等；六棱柱可表示为棱柱、棱柱、棱柱等． 4、棱柱的性质：棱柱的侧棱相互平行． 【清单02】棱锥的结构特征 1、定义：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥．这个多边形面叫做棱锥的底面．有公共顶点的各个三角形叫做棱锥的侧面．各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点．相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱； 2、棱锥的分类：按底面多边形的边数，可以分为三棱锥、四棱锥、五棱锥 ……；S S D D C C B B A A E C B A S 3、棱锥的表示方法：用表示顶点和底面的字母表示，如四棱锥． 【清单03】圆柱的结构特征 1、定义：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱．旋转轴叫做圆柱的轴．垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的底面．平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面．无论旋转到什么位置不垂直于轴的边都叫做圆柱的母线． 2、圆柱的表示方法：用表示它的轴的字母表示，如圆柱 【清单04】圆锥的结构特征 1、定义：以直角三角形的直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转而成的曲面所围成的几何体叫做圆锥．旋转轴叫做圆锥的轴． 垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆锥的底面．不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面．无论旋转到什么位置不垂直于轴的边都叫做圆锥的母线． 2、圆锥的表示方法：用表示它的轴的字母表示，如圆锥． 【清单05】棱台和圆台的结构特征 １、定义：用一个平行于棱锥（圆锥）底面的平面去截棱锥（圆锥），底面和截面之间的部分叫做棱台（圆台）；原棱锥（圆锥）的底面和截面分别叫做棱台（圆台）的下底面和上底面；原棱锥（圆锥）的侧面被截去后剩余的曲面叫做棱台（圆台）的侧面；原棱锥的侧棱被平面截去后剩余的部分叫做棱台的侧棱；原圆锥的母线被平面截去后剩余的部分叫做圆台的母线；棱台的侧面与底面的公共顶点叫做棱台的顶点；圆台可以看做由直角梯形绕直角边旋转而成，因此旋转的轴叫做圆台的轴． 2、棱台的表示方法：用各顶点表示，如四棱台； 3、圆台的表示方法：用表示轴的字母表示，如圆台； 【清单06】球的结构特征 1、定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体叫做球体，简称球．半圆的半径叫做球的半径．半圆的圆心叫做球心．半圆的直径叫做球的直径． 2、球的表示方法：用表示球心的字母表示，如球O． （1）用一个平面去截一个球，截面是一个圆面．如果截面经过球心，则截面圆的半径等于球的半径；如果截面不经过球心，则截面圆的半径小于球的半径． （2）若半径为的球的一个截面圆半径为，球心与截面圆的圆心的距离为，则有． 【清单07】特殊的棱柱、棱锥、棱台 特殊的棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱称为斜棱柱；垂直于底面的棱柱称为直棱柱；底面是正多边形的直棱柱是正棱柱；底面是矩形的直棱柱叫做长方体；棱长都相等的长方体叫做正方体； 特殊的棱锥：如果棱锥的底面是正多边形，且各侧面是全等的等腰三角形，那么这样的棱锥称为正棱锥；侧棱长等于底面边长的正三棱锥又称为正四面体； 特殊的棱台：由正棱锥截得的棱台叫做正棱台； 【清单08】简单组合体的结构特征 1、组合体的基本形式：①由简单几何体拼接而成的简单组合体；②由简单几何体截去或挖去一部分而成的几何体； 2、常见的组合体有三种：①多面体与多面体的组合；②多面体与旋转体的组合；③旋转体与旋转体的组合． ①多面体与多面体的组合体 由两个或两个以上的多面体组成的几何体称为多面体与多面体的组合体．如下图（1）是一个四棱柱与一个三棱柱的组合体；如图（2）是一个四棱柱与一个四棱锥的组合体；如图（3）是一个三棱柱与一个三棱台的组合体． ②多面体与旋转体的组合体 由一个多面体与一个旋转体组合而成的几何体称为多面体与旋转体的组合体如图（1）是一个三棱柱与一个圆柱组合而成的；如图（2）是一个圆锥与一个四棱柱组合而成的；而图（3）是一个球与一个三棱锥组合而成的． ③旋转体与旋转体的组合体 由两个或两个以上的旋转体组合而成的几何体称为旋转体与旋转体的组合体．如图（1）是由一个球体和一个圆柱体组合而成的；如图（2）是由一个圆台和两个圆柱组合而成的；如图（3）是由一个圆台、一个圆柱和一个圆锥组合而成的． 【清单09】几何体中的计算问题 几何体的有关计算中要注意下列方法与技巧： （1）在正棱锥中，要掌握正棱锥的高、侧面、等腰三角形中的斜高及高与侧棱所构成的两个直角三角形，有关证明及运算往往与两者相关． （2）正四棱台中要掌握其对角面与侧面两个等腰梯形中关于上、下底及梯形高的计算，有关问题往往要转化到这两个等腰梯形中．另外要能够将正四棱台、正三棱台中的高与其斜高、侧棱在合适的平面图形中联系起来． （3）研究圆柱、圆锥、圆台等问题的主要方法是研究它们的轴截面，这是因为在轴截面中，易找到所需有关元素之间的位置、数量关系． （4）圆柱、圆锥、圆台的侧面展开是把立体几何问题转化为平面几何问题处理的重要手段之一． （5）圆台问题有时需要还原为圆锥问题来解决． （6）关于球的问题中的计算，常作球的一个大圆，化“球”为“圆”，应用平面几何的有关知识解决；关于球与多面体的切接问题，要恰当地选取截面，化“空间”为平面． 【清单10】斜二测画法保留了原图形中的三个性质 ①平行性不变，即在原图中平行的线在直观图中仍然平行；②共点性不变，即在原图中相交的直线仍然相交；③平行于x，z轴的长度不变． 【清单11】圆台的表面积 （1）圆台的侧面积：如上图（2）所示，圆台的侧面展开图是一个扇环．如果圆台的上、下底面半径分别为r＇、r，母线长为，那么这个扇形的面积为，即圆台的侧面积为S圆台侧=． （2）圆台的表面积：． 【清单12】柱体、锥体、台体的体积 1、柱体的体积公式 棱柱的体积：棱柱的体积等于它的底面积S和高h的乘积，即V棱柱=Sh． 圆柱的体积：底面半径是r，高是h的圆柱的体积是V圆柱=Sh=πr2h．综上，柱体的体积公式为V=Sh． 2、锥体的体积公式 棱锥的体积：如果任意棱锥的底面积是S，高是h，那么它的体积． 圆锥的体积：如果圆锥的底面积是S，高是h，那么它的体积；如果底面积半径是r，用πr2表示S，则． 综上，锥体的体积公式为． 3、台体的体积公式 棱台的体积：如果棱台的上、下底面的面积分别为S＇、S，高是h，那么它的体积是． 圆台的体积：如果圆台的上、下底面半径分别是r＇、r，高是h，那么它的体积是 ． 综上，台体的体积公式为． 【清单13】球的表面积和体积 1、球的表面积 （1）球面不能展开成平面，要用其他方法求它的面积． （2）球的表面积 设球的半径为R，则球的表面积公式S球=4πR2．即球面面积等于它的大圆面积的四倍． 2、球的体积 设球的半径为R，它的体积只与半径R有关，是以R为自变量的函数．球的体积公式为． 【清单14】异面直线 1、定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线． 2、画法： 3、两异面直线所成角的常用方法 平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下： （1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； （2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； （3）计算：求该角的值，常利用解三角形； （4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角． 【清单15】空间平行关系的注意事项 直线与平面平行，平面与平面平行的判定定理、性质定理，揭示了线线平行、线面平行、面面平行之间的转化关系，具体转化过程如图所示． 【清单16】有关垂直（1）判定定理的条件中：“平面内的两条相交直线”是关键性词语，不可忽视． （2）要判定一条已知直线和一个平面是否垂直，取决于在这个平面内能否找出两条相交直线和已知直线垂直，至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点，则无关紧要． 相关的重要结论 ①过一点与已知直线垂直的平面有且只有一个；过一点与已知平面垂直的直线有且只有一条． ②如果两条平行线中的一条与一个平面垂直，那么另一条也与这个平面垂直． ③如果两个平行平面中的一个与一条直线垂直，那么另一个也与这条直线垂直． 【考点题型一】简单几何体的组合体 技巧：解决简单几何体的判定问题，需要对简单几何体的有关结构特征熟练掌握， 如侧棱与底面的关系，底面、侧面的形状、截面形状等， 同时还要会计算棱柱、棱锥、棱台的顶点数、棱数及面数． 【例1】如图所示，该几何体是从一个水平放置的正方体中挖去一个内切球（正方体各个面均与球面有且只有一个公共点）以后而得到的．现用一竖直的平面去截这个几何体，则截面图形不可能是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】如图所示的平面中阴影部分绕中间轴旋转一周，形成的几何体形状为（    ）． A．一个球体 B．一个球体中间挖去一个圆柱 C．一个圆柱 D．一个球体中间挖去一个长方体 【变式1-2】请描述如图所示的几何体是如何形成的． 【变式1-3】一个三棱锥的各棱长均相等，其内部有一个内切球，即球与三棱锥的各面均相切，过一条侧棱和对边的中点作三棱锥的截面，所得截面图形是 A． B． C． D． 【考点题型二】简单几何体的表面展开与折叠问题 技巧：（1）立体几何中的翻折（展开）问题截图的关键是：翻折（展开）过程中的不变量； （2）立体几何中距离的最值一般处理方式： ①几何法：通过位置关系，找到取最值的位置（条件），直接求最值； ②代数法：建立适当的坐标系，利用代数法求最值． 【例2】如图，三棱柱中，底面，，是上一动点，则的最小值是_______． 【变式2-1】如图，某圆柱的高为，底面圆的半径为，则在此圆柱侧面上，从圆柱的左下点A到右上点B的路径中，最短路径的长度为______． 【变式2-2】如图，在正三棱锥中，，，一只虫子从点出发，绕三棱锥的三个侧面爬行一周后，又回到点，则虫子爬行的最短距离是（    ） A．4 B． C． D． 【变式2-3】在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝6，BC＝4，AA1＝2，P、Q分别为棱AA1，C1D1的中点则从点P出发，沿长方体表面到达点Q的最短路径的长度为（    ） A． B． C． D． 【考点题型三】与直观图还原有关的计算问题 技巧：由于斜二测画法中平行于x轴的线段的长度在直观图中长度不变，而平行于y轴的线段在直观图中长度要减半，同时要倾斜45°，因此平面多边形的直观图中的计算需注意两点． （1）直观图中任何一点距x′轴的距离都为原图形中相应点距x轴距离的sin45°＝倍． （2）S直观图＝S原图． 由直观图计算原图形中的量时，注意上述两个结论的转换． 【例3】一平面四边形OABC的直观图O′A′B′C′如图所示，其中O′C′⊥x′轴，A′B′⊥x′轴，B′C′∥y′轴，则四边形OABC的面积为（　　） A． B．3 C．3 D． 【变式3-1】用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的直角梯形，其中，则原平面图形的面积为（    ） A． B． C．3 D．6 【变式3-2】如图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形是一个边长为1的正方形，则原图形的形状是（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】如图，是的直观图，其中，，那么是一个（    ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．无法确定 【考点题型四】棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积 技巧：1、多面体的表面积转化为各面面积之和． 2、解决有关棱台的问题时，常用两种解题思路： 一是把基本量转化到梯形中去解决；二是把棱台还原成棱锥，利用棱锥的有关知识来解决． 3、常见的求几何体体积的方法 ①公式法：直接代入公式求解．②等积法：如四面体的任何一个面都可以作为底面， 只需选用底面积和高都易求的形式即可．③分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积． 4、求几何体体积时需注意的问题 柱、锥、台的体积的计算，一般要找出相应的底面和高，要充分利用截面、 轴截面，求出所需要的量，最后代入公式计算． 【例4】边长为3的正方体切成27个全等的小正方体，则表面积之和比原来增加了（    ） A．36 B．72 C．108 D．240 【变式4-1】为了给热爱朗读的师生提供一个安静独立的环境，某学校修建了若干“朗读亭”．如图所示，该朗读亭的外形是一个正六棱柱和正六棱锥的组合体，正六棱柱两条相对侧棱所在的轴截面为正方形，若正六棱锥与六棱柱的高的比值为1∶3，则正六棱锥与正六棱柱的侧面积之比为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】已知四棱台的上、下底面分别是边长为和的正方形，侧面均为腰长为的等腰梯形，则该四棱台的表面积为（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】已知正四棱锥的高为3，底面边长为，则该棱锥的体积为（    ） A．6 B． C．2 D． 变式3．（2023·全国·高一专题练习）陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一，也称陀罗.图1是一种木陀螺，可近似地看作是一个圆锥和一个圆柱的组合体，其直观图如图2所示，其中分别是上､下底面圆的圆心，且，底面圆的半径为2，则该陀螺的体积是（    ） A． B． C． D． 【变式4-4】如图是一个棱长为2的正方体被过棱、的中点、，顶点和过点顶点、的两个截面截去两个角后所得的几何体，则该几何体的体积为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【考点题型五】圆柱、圆锥、圆台的表面积与体积 技巧：（求旋转体表面积注意事项） 旋转体中，求面积应注意侧面展开图，上下面圆的周长是展开图的弧长．圆台通常还要还原为圆锥． （求几何体积的常用方法） （1）公式法：直接代入公式求解． （2）等积法：例如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的几何体即可． （3）补体法：将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱，棱台补成棱锥等． （4）分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积． 【例5】已知圆锥的母线长为3，若轴截面为等腰直角三角形，则圆锥的表面积为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】平行于圆锥底面的截面将圆锥分为体积相等的两部分，则圆锥侧面被截面分成上、下两部分的面积之比为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】已知一个圆台的上、下底面半径分别为2，4，它的侧面展开图扇环的圆心角为90°，则圆台的表面积为（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】已知圆柱的全面积为，圆柱内有一平行于圆柱轴的截面，截面面积为，且截面上的两条母线将圆柱侧面分成两部分的表面积之比为，则圆柱的体积是______. 【变式5-4】在如图所示的斜截圆柱中，已知圆柱底面的直径为40cm，母线长最短50cm，最长80cm，则斜截圆柱的体积为__． 【考点题型六】球的表面积与体积 技巧：1、正方体的内切球 球与正方体的六个面都相切，称球为正方体的内切球，此时球的半径为r1＝，过在一个平面上的四个切点作截面 2、球与正方体的各条棱相切球与正方体的各条棱相切于各棱的中点，过球心作正方体的对角面有r2＝， 3、长方体的外接球 长方体的八个顶点都在球面上，称球为长方体的外接球，根据球的定义可知，长方体的体对角线是球的直径，若长方体过同一顶点的三条棱长为a，b，c，则过球心作长方体的对角面有球的半径为r3＝， 4、正方体的外接球正方体棱长a与外接球半径R的关系为2R＝a． 5、正四面体的外接球正四面体的棱长a与外接球半径R的关系为：2R＝a． 6、有关球的截面问题常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面中圆的有关问题解决． 【例6】已知正方体外接球的体积是，那么正方体的体对角线等于（    ） A． B．4 C． D．. 【变式6-1】已知正三棱锥的四个顶点都在球O的球面上，其侧棱长为，底面边长为4，则球O的表面积是（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】已知，，三点均在球的表面上，，且球心到平面的距离等于球半径的，则下列结论正确的为（    ） A．球的外切正方体的棱长为 B．球的表面积为 C．球的内接正方体的棱长为 D．球的半径为 【变式6-3】轴截面为正三角形的圆锥称为等边圆锥，已知一等边圆锥的母线长为，则该圆锥的内切球体积为（    ） A． B． C． D． 【考点题型七】几何体的直观图画法 技巧：（画空间几何体的直观图的注意事项） （1）首先在原几何体上建立空间直角坐标系Oxyz，并且把它们画成对应的x′轴与y′轴，两轴交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°（或135°），它们确定的平面表示水平面，再作z′轴与平面x′O′y′垂直． （2）作空间图形的直观图时平行于x轴的线段画成平行于x′轴的线段并且长度不变． （3）平行于y轴的线段画成平行于y′轴的线段，且线段长度画成原来的一半． （4）平行于z轴的线段画成平行于z′轴的线段并且长度不变． 【例7】已知一棱柱的底面是边长为的正方形，各侧面都是矩形，且侧棱长为，试用斜二测画法画出此棱柱的直观图. 【考点题型八】简单几何体的结构特征 技巧：有两个面互相平行，其余各个面都是平行四边形，这些面围成的几何体不一定是棱柱． 如下图所示的几何体满足“有两个面互相平行，其余各个面都是平行四边形”这一条件，但它不是棱柱． 判定一个几何体是否是棱柱时，除了看它是否满足：“有两个面互相平行， 其余各个面都是平行四边形”这两个条件外，还要看其余平行四边形中“每两个 相邻的四边形的公共边都互相平行”即“侧棱互相平行”这一条件，不具备这一条件的几何体不是棱柱． 圆锥：（1）用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面是一个比底面小的圆面． （2）经过圆锥的轴的截面是一个等腰三角形，其底边是圆锥底面的直径，两腰是圆锥侧面的两条母线． （3）圆锥底面圆周上任意一点与圆锥顶点的连线都是圆锥侧面的母线． 【例8】下列命题中不正确的是（    ） A．圆柱､圆锥､圆台的底面都是圆面 B．正四棱锥的侧面都是正三角形 C．用平行于圆锥底面的平面截圆锥，截面与底面之间的部分是圆台 D．以直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，另一腰和两底边旋转一周所围成的几何体是圆台 【变式8-1】用平面截正方体，截面不可能是（    ） A．菱形 B．等腰梯形 C．正五边形 D．正六边形 【变式8-2】若一个棱锥的每条侧棱在底面的射影长相等，则此棱锥（    ） A．是正四面体 B．是正棱锥 C．不是正棱锥 D．不一定是正棱锥 【考点题型九】基本图形位置关系 技巧：1、判定两直线异面的常用方法 （1）定义法：由定义判断两直线不可能在同一平面内； （2）排除法（反证法）：排除两直线共面（平行或相交）的情况 2、直线与平面位置关系的解题思路 解决此类问题首先要搞清楚直线与平面各种位置关系的特征，利用其定义作出判断，要有画图意识，并借助空间想象能力进行细致的分析． 3、平面与平面位置关系的解题思路 判断线线、线面、面面的位置关系，要牢牢地抓住其特征与定义、要有画图的意识，结合空间想象能力全方位、多角度地去考虑问题，作出判断．常借助长方体模型进行判断． 【例9】设为平面，点，则下列结论正确的是（    ） A．过点有且只有一条直线与平行 B．过点没有直线与平行 C．过点有且只有一个平面与平行 D．过点有无数个平面与平行 【变式9-1】平面∥平面，，则直线和的位置关系（    ） A．平行 B．平行或异面 C．平行或相交 D．平行或相交或异面 【变式9-2】在空间中，给出下列说法：①平行于同一个平面的两条直线是平行直线；②垂直于同一条直线的两个平面是平行平面；③若平面内有不共线的三点到平面的距离相等，则；④过平面的一条斜线，有且只有一个平面与平面垂直.其中正确的是（    ） A．①③ B．②④ C．①④ D．②③ 【变式9-3】直线a与平面不平行，则内与a平行的直线有（    ） A．无数条 B．0条 C．1条 D．以上均不对 【变式9-4】若一直线上有一点在已知平面外，则下列结论中正确的是（    ） A．直线与平面平行 B．直线与平面相交 C．直线上至少有一个点在平面内 D．直线上有无数多个点都在平面外 【变式9-5】如图，在长方体中，则下列结论正确的是（    ） A．点平面 B．直线平面 C．直线与直线是相交直线 D．直线与直线是异面直线 【变式9-6】如图， 在正方体中， 直线与平面的位置关系为（    ） A．直线在平面内 B．直线与平面相交但不垂直 C．直线与平面相交且垂直 D．直线与平面平行 1 / 1 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$