2.2用配方法求解一元二次方程课件2024-2025学年 北师大版九年级数学上册

预习导航 归类探究 当堂测评 分层训练 2　用配方法求解一元二次方程 第2课时　二次项系数不为1的一元二次方程的配方法 用配方法解二次项系数不为1的方程 步　　骤：（1）把原方程化为一般形式； （2）化二次项系数为1； （3）移项，把常数项移到右边，使方程左边只含二次项和一次项； （4）配方，方程的两边都加上变形后的一次项系数一半的平方； （5）将方程整理为（ x ＋ n ）2＝ p （ p ≥0）的形式； （6）降次：若 p ≥0，则由 x ＋ n ＝± 求出 x 的值；若 p ＜0， 则原方程无实数解. 课件导航 目录页 尾页 预习导航 类型之一　用配方法解一元二次方程 　用配方法解方程：2 x2＋1＝3 x . 解：移项，得2 x2－3 x ＝－1， 二次项系数化为1，得 x2－ x ＝－ ， 配方，得 x2－ x ＋ ＝－ ＋ ， 即 ＝ ，则 x － ＝± ， 解得 x1＝1， x2＝ . 归类探究 课件导航 目录页 尾页 类型之二　一元二次方程在生活中的应用 　如图，某市区南北走向的北京路与东西走向的喀什路相交于点 O 处.甲沿着喀什路以4m/s的速度由西向东走，乙沿着北京路以3m/s的速度由南向北走.当乙走到点 O 以北50m处时，甲恰好到点 O 处.若两人继续向前行走，求两个人相距85m时各自的位置. 归类探究 课件导航 目录页 尾页 解：设经过 x s时两人相距85m. 由题意，得（4 x ）2＋（50＋3 x ）2＝852， 化简，得 x2＋12 x －189＝0， 配方，得（ x ＋6）2＝225， 开方，得 x ＋6＝±15， 解得 x1＝9， x2＝－21（舍去）. 当 x ＝9时，4 x ＝36，50＋3 x ＝77， 即两人相距85m时，此时甲在点 O 以东36m处，乙在点 O 以北77m处. 归类探究 课件导航 目录页 尾页 1. 用配方法解2 x2－3 x －6＝0，第一步是（　D　） A. 方程两边加上一次项系数一半的平方 B. 方程两边加上 C. 方程两边都加上 D. 方程两边都除以2 D 当堂测评 课件导航 目录页 尾页 2. [2023秋·沈阳沈河区月考]将方程3 x2－9 x ＋2＝0配方成（ x ＋ m ）2＝ n 的形式为（　A　） ＝ B. （ x －3）2＝ （ x ＋3）2＝ D. ＝ 3. 用配方法将方程－5 x2＋ x ＝－1变形为（ x ＋ h ）2＝ k 的形式为 ⁠ ⁠. 4. 方程2 x2＋5 x －3＝0的解是 ⁠. A ＝ 　 x1＝－3， x2＝ 　 当堂测评 课件导航 目录页 尾页 1. 用配方法解下列方程： （1）3 x2－4 x －2＝0； 解：原方程可化为 x2－ x ＝ ， ∴ x2－ x ＋ ＝ ，即 ＝ ， ∴ x － ＝± ， ∴ x1＝ ， x2＝ . 分层训练 课件导航 目录页 尾页 （2）6 x2－2 x －1＝0. 解：原方程可化为 x2－ x ＝ ， ∴ x2－ x ＋ ＝ ，即 ＝ ， ∴ x － ＝± ， ∴ x1＝ ， x2＝ . 分层训练 课件导航 目录页 尾页 2. 把一个小球从地面竖直向上射出， t s后该小球的高度 h （m）适用公式 h ＝20 t －5 t2. （1）经过多少秒，小球回到地面？ 解：当 h ＝0时，20 t －5 t2＝0， 解得 t ＝0（舍去）或4. ∴经过4s，小球回到地面. （2）经过多少秒时，小球的高度为15m？ 解：由题意，得20 t －5 t2＝15， 解得 t ＝1或3. ∴经过1s或3s时，小球的高度为15m. 分层训练 课件导航 目录页 尾页 （3）小球的高度是否能够达到21m？请说明理由. 解：不能.理由如下： 将 h ＝21代入公式，得21＝20 t －5 t2， 即5 t2－20 t ＋21＝0， 配方，得（ t －2）2＝－ ，即原方程无实数解， ∴小球无法达到21m的高度. 分层训练 课件导航 目录页 尾页 3. 如图，在矩形 ABCD 中，点 P 从点 A 开始沿 AB 向点 B 以每秒2cm的速度移动，点 Q 从点 B 开始沿 BC 向点 C 以每秒1cm的速度移动， AB ＝6cm， BC ＝4cm.若 P ， Q 两点分别从点 A ， B 同时出发，几秒后， P ， Q 两点之间的距离为 2 cm？ 解：设 x s后， P ， Q 两点之间的距离为2 cm. ∵ PB ＝（6－2 x ）cm， BQ ＝ x cm， ∴（6－2 x ）2＋ x2＝（2 ）2，解得 x1＝2， x2＝2.8. 经检验，均符合题意. ∴ 2s或2.8s后， P ， Q 两点之间的距离为2 cm. 分层训练 课件导航 目录页 尾页 4. (创新意识)[2024·沈阳浑南期中改编]如果关于x的一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)有两个实数根,其中一个实数根是另一个实数根的2倍,则称该方程为“倍根方程”.例如,x²-6x+8=0的两个根是x1=2,x2=4,4是2的2倍,则方程x2-6x+8=0是“倍根方程”. (1)通过计算,判断下列方程是否是“倍根方程”. ①x²-3x+2=0;②x²-3x-18=0. 解:①解方程x²-3x+2=0，得x1=1,x₂=2. ∴x2 =2x1,∴x²-3x十2=0 是“倍根方程”. ②解方程x²-3x-18=0,得x1=6,x2=-3. ∵x1≠2x2,x2≠2x1， ∴x²-3x-18=0 不是“倍根方程”. 分层训练 课件导航 目录页 尾页 （2）若关于x的方程（）是“倍根方程”，求代数式的值． 解：解方程，得，． ∵该方程是“倍根方程”，∴或， ∴或，即或． 当时，即，， 当时，即，， ∴的值为或． 分层训练 课件导航 目录页 尾页 (3)已知m是正整数,若关于x的一元二次方程x²-(m+3)x +2m+2=0是“倍根方程”,且关于x的一元二次方程x2-7x十3m=0总有两个不相等的实数根,求m的值. 解：∵，∴，∴． ∵总有两个不相等的实数根， ∴，∴. ∵m是正整数，∴. ∵方程是“倍根方程”， ∴2= 或2，∴3． 分层训练 课件导航 目录页 尾页 15 $$ 预习导航 归类探究 当堂测评 分层训练 2　用配方法求解一元二次方程 第1课时　二次项系数为1的一元二次方程的配方法 1. 直接开平方法 定　　义：对于形如（ x ＋ m ）2＝ n （ n ≥0）的一元二次方程，方程的解为 x ＝－ m ± （ n ≥0）. 注　　意：当 n ＜0时，则方程（ x ＋ m ）2＝ n 无实数根，因为负数没有平方根. 预习导航 课件导航 目录页 尾页 2. 用配方法解二次项系数为1的方程 步　　骤：（1）移项：把方程的常数项移到方程右边，使方程左边只含二次项和一次项； （2）配方：方程左右两边都加上 的平方，把原方程化为（ x ＋ m ）2＝ n （ n ≥0）的形式； （3）用直接开平方法求出方程的解. 一次项系数一半　 预习导航 课件导航 目录页 尾页 类型之一　用配方法解一元二次方程 　用配方法解下列方程： （1） x2－2 x －2＝0； 解：移项，得 x2－2 x ＝2， 配方，得 x2－2 x ＋1＝3，即（ x －1）2＝3， 开方，得 x －1＝± ， 解得 x1＝1＋ ， x2＝1－ . 归类探究 课件导航 目录页 尾页 （2） a2－5 a －2＝0； 解：移项，得 a2－5 a ＝2， 配方，得 ＝ ， 开方，得 a － ＝± ， 解得 a1＝ ， a2＝ . 归类探究 课件导航 目录页 尾页 （3） x2－ x ＝0. 解：配方，得 ＝ ， 开方，得 x － ＝± ， 解得 x1＝ ， x2＝0. 归类探究 课件导航 目录页 尾页 类型之二　一元二次方程的应用 　如图，一个长为3m的梯子 AB 斜靠在墙上，梯子的顶端到地面的距离 AO 为2.4m，如果梯子的顶端向下滑动0.4m到点A'，那么梯子的底端也向后滑动0.4m吗？试列出方程解答此问题，并论证前面的结论. 归类探究 课件导航 目录页 尾页 解：设梯子的底端向后滑动 x m. 由勾股定理，得 OB ＝ ＝1.8. 根据题意可列方程为（2.4-0.4）2＋（1.8＋ x ）2＝32，即（ x ＋1.8）2＝5， ∴ x1＝， x2＝－ （不合题意，舍去）， ∴ x ＝ ， 即梯子的底端向后滑动m，故此结论不成立. 归类探究 课件导航 目录页 尾页 [2023·赤峰]用配方法解方程 x2－4 x －1＝0时，配方后正确的 是（　C　） A. （ x ＋2）2＝3 B. （ x ＋2）2＝17 C. （ x －2）2＝5 D. （ x －2）2＝17 2. [2024秋·沈阳月考]用配方法解方程 x2＋6 x ＋4＝0，为了便于配方，经常将常数项移到方程右边，得 x2＋6 x ＝ ，配方得 x2＋6 x ＋ ＝－4＋ ，即（ x ＋ ）2＝ ，由此得 x1＝ 　 －， x2＝ 　－3－ 　. 3. [2022·荆州]一元二次方程 x2－4 x ＋3＝0配方为（ x －2）2＝ k ，则 k 的值是 ⁠. C －4　 9　 9　 3　 5　 －3＋ 　 －3－ 　 1　 当堂测评 课件导航 目录页 尾页 1. 用适当的数填空： （1） x2－3 x ＋ 　 　＝ （x － ）2； （2） x2－3 mx ＋ 　 　＝ ； （3） a ＝ a . 　 　 分层训练 课件导航 目录页 尾页 2. 解下列方程： （1） x2－5＝ ； 解：x2－5＝ ， x2＝ ， 解得 x1＝ ， x2＝－ . （2）（ x －2）2＝125； 解：（ x －2）2＝125， x －2＝±5 ， 解得 x1＝2＋5 ， x2＝2－5 . 分层训练 课件导航 目录页 尾页 （3）（2 x ＋3）2＝（3 x ＋2）2. 解：（2 x ＋3）2＝（3 x ＋2）2， 开方，得2 x ＋3＝3 x ＋2或2 x ＋3＝－3 x －2， 解得 x1＝1， x2＝－1. 分层训练 课件导航 目录页 尾页 3. 用配方法解下列一元二次方程： （1）[2022·无锡] x2－2 x －5＝0； 解：x2－2 x －5＝0， x2－2 x ＝5， x2－2 x ＋1＝5＋1， （ x －1）2＝6， x －1＝± ，解得 x1＝1＋ ， x2＝1－ . （2） x2－5 x ＋6＝0. 解：x2－5 x ＋6＝0， x2－5 x ＝－6， x2－5 x ＋ ＝－6＋ ， ＝ ， x － ＝± ，解得 x1＝2， x2＝3. 分层训练 课件导航 目录页 尾页 4. 某校团体操表演队伍有6行8列，后又增加了51人，使得团体操表演队伍增加的行、列数相同，问增加了多少行多少列？ 解：设增加了 x 行，则增加的列数为 x . 根据题意，得（6＋ x ）（8＋ x ）－6×8＝51， 整理，得 x2＋14 x －51＝0， 解得 x1＝3， x2＝－17（舍去）. 故增加了3行3列. 分层训练 课件导航 目录页 尾页 5. （模型观念、应用意识）（1）[2023·沈阳皇姑区期中]在皇姑区新开河“口袋公园”的建设过程中，规划将一块长18m、宽10m的矩形场地建设成绿化广场，如图所示，内部修建三条宽相等的小路，其中一条路与广场的长平行，另两条路与广场的宽平行，其余区域种植绿化，使绿化区域的面积为广场总面积的80％，则该小路的宽为 ⁠. 1m　 分层训练 课件导航 目录页 尾页 【解析】 设该小路的宽为 x m，则种植绿化的部分可合成长为（18－2 x ）m，宽为 （10－ x ）m的矩形. 依题意，得（18－2 x ）（10－ x ）＝18×10×80％， 整理，得 x2－19 x ＋18＝0， 解得 x1＝1， x2＝18（不合题意，舍去）， ∴该小路的宽为1m. 分层训练 课件导航 目录页 尾页 （2）如图，某广场有一块矩形绿地，长18m，宽15m，在绿地中开辟三条道路后，剩余绿地面积为224m2，则图中x的值等于 ． 1 分层训练 课件导航 目录页 尾页 $$