精品解析：四川省内江市第六中学2024-2025 学年高二下学期期中考试数学试题

内江六中2024—2025学年（下）高2026届半期考试 数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 第Ⅰ卷 选择题（满分60分） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1 已知函数，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 2. 已知数列是等差数列，，，则（ ） A. B. C. D. 3. 函数的单调递增区间为（ ） A. B. C. D. 4. 记等比数列的前项和为，若，则公比（ ） A. B. C. 或1 D. 或1 5. 有四名男生，三名女生排队照相，七个人排成一排，则下列说法错误的是（ ） A. 如果四名男生必须连排在一起，那么有种不同排法 B. 如果三名女生必须连排在一起，那么有种不同排法 C. 如果三个女生中任何两个均不能排在一起，那么有种不同排法 D. 如果女生不能站在两端，那么有种不同排法 6. 已知数列满足条件，则数列的通项公式为（ ） A. B. C. D. 7. 定义在上的函数是的导函数，且成立，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，若有且只有两个整数解使成立，则实数的取值范围为（ ） A B. C. D. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 从40个能歌善舞的人中选择15个人参加艺术节表演，其中7个人唱歌，8个人跳舞，共有多少种选择方式，下列各式表述正确的为（ ） A. B. C. D. 10. 记数列的前项和为，且，则（ ） A. B. 数列是公差为1的等差数列 C. 数列的前项和为 D. 数列的前2025项的和为 11. 若函数有两个极值点，，（）则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 非选择题（满分92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中偶数的个数为__________． 13. 过点作曲线切线的斜率为______． 14. 现有n个串联的信号处理器单向传输信号，处理器的工作为：接收信号——处理并产生新信号——发射新信号．当处理器接收到一个A类信号时，会产生一个A类信号和一个B类信号并全部发射至下一个处理器；当处理器接收到一个B类信号时，会产生一个A类信号和两个B类信号，产生的B类信号全部发射至下一个处理器，但由接收B类信号直接产生的所有A类信号只发射一个至下一个处理器．当第一个处理器只发射一个A类信号至第二个处理器，按上述规则依次类推，若第n个处理器发射的B类信号数量记作，即，则______，数列的通项公式______． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知是等差数列，是各项都为正数的等比数列．且，，，． （1）求，通项公式； （2）求数列的前项和； 16. 已知函数在处取得极值. （1）求实数，的值 （2）求函数在区间上的最大值和最小值 17. 已知数列中，，且满足． （1）证明：数列为等比数列； （2）求的通项公式； （3）令，为数列的前n项和，证明：． 18. 已知． （1）讨论函数在单调性； （2）当时，若恒成立，求b的取值范围． 19. 已知函数． （1）若函数在单调递减，求a的范围； （2）若恒成立，求a的值； （3）求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 内江六中2024—2025学年（下）高2026届半期考试 数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 第Ⅰ卷 选择题（满分60分） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知函数，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出导函数，把代入导函数求解即可. 【详解】由， 则， 所以， 故选：A 2. 已知数列是等差数列，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设等差数列的公差为，结合等差数列通项公式由条件列方程求，再结合条件求. 【详解】设等差数列的公差为， ，， ，则， ， 故选：B． 3. 函数的单调递增区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求得函数的定义域，然后利用导数求得函数的单调递增区间. 【详解】依题意，函数的定义域为， 求导，解得：，所以函数单调递增区间为． 故选：C． 4. 记等比数列的前项和为，若，则公比（ ） A. B. C. 或1 D. 或1 【答案】A 【解析】 【分析】利用等比数列片段和性质可求公比. 【详解】由，得，解得， 故选: A． 5. 有四名男生，三名女生排队照相，七个人排成一排，则下列说法错误的是（ ） A. 如果四名男生必须连排在一起，那么有种不同排法 B. 如果三名女生必须连排在一起，那么有种不同排法 C. 如果三个女生中任何两个均不能排在一起，那么有种不同排法 D. 如果女生不能站在两端，那么有种不同排法 【答案】D 【解析】 【分析】根据捆绑法、插空法和特殊位置法计算，依次判断选项可得答案. 【详解】A. 如果四名男生必须连排在一起，将这四名男生捆绑，形成一个整体， 此时有种不同排法，选项A正确. B. 如果三名女生必须连排在一起，将这三名女生捆绑，形成一个整体， 此时有种不同排法，选项B正确. C. 如果三个女生中任何两个均不能排在一起，将女生插入四名男生所形成的5个空中， 此时有种不同排法，选项C正确. D. 如果女生不能站在两端，则两端安排男生，其他位置的安排没有限制， 此时有种不同排法，选项D错误. 故选：D. 6. 已知数列满足条件，则数列的通项公式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据公式即可求出． 【详解】由题意可设①， 当时，，∴； 当时，② ①－②相减可得，，∴． 当时，不满足上式． 综上可知，数列的通项公式为． 故选：B． 7. 定义在上的函数是的导函数，且成立，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由条件可得，考虑构造函数，结合导数运算公式和导数与函数的单调性的关系由条件证明函数在上的单调递减，再根据函数的单调性比较函数值的大小即可. 【详解】因为时，， 所以可化为，即，设， 则， 所以当时，， 所以函数在上的单调递减，因为，所以 所以，即， 所以， 故选：B. 8. 已知，若有且只有两个整数解使成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】计算可得，分、两种情况讨论，令，利用导数分析函数的单调性，数形结合可求得实数的取值范围. 【详解】因为， ①当时，由可得，令， 则，由，可得或（舍）， 当时，，此时函数单调递减， 当时，，此时函数单调递增， 且，无解； ②当时，由可得， 令，则， 由，可得（舍）或， 当时，，此时函数单调递增， 当时，，此时函数单调递减， 因为，因为，，如下图所示： 因为有且只有两个整数解使成立， 所以，，即. 综上所述，. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题考查利用函数不等式的整数解的个数，解题的关键在于利用参变量分离法以及数形结合思想可得出参数的取值范围. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 从40个能歌善舞的人中选择15个人参加艺术节表演，其中7个人唱歌，8个人跳舞，共有多少种选择方式，下列各式表述正确的为（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】应用分步乘法原理结合组合数计算即可. 【详解】从40个能歌善舞的人中选择15个人参加艺术节表演，其中7个人唱歌，8个人跳舞， 先从40个能歌善舞人中选择15个人有种选择，再从15个人参加艺术节表演中选择7个人唱歌有种选择，剩下的8人跳舞，共有种选择方式，A选项正确； 先从40个能歌善舞的人中选择7个人唱歌有种选择，再从剩下33个人中选择8个人跳舞有种选择，共有种选择方式，B选项正确； 先从40个能歌善舞的人中选择8个人跳舞有种选择，再从剩下32个人中选择7个人跳舞有种选择，共有种选择方式，C选项正确； 不能满足从40个能歌善舞的人中选择15个人参加艺术节表演，其中7个人唱歌，8个人跳舞，D选项错误； 故选：ABC. 10. 记数列的前项和为，且，则（ ） A. B. 数列是公差为1的等差数列 C. 数列的前项和为 D. 数列的前2025项的和为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据前项和求，利用通项公式判断A，求出判断B，利用裂项相消法求和判断C，利用分组求和判断D. 【详解】数列的前项和， 当时，， 而满足上式，因此. 对于A，，A正确； 对于B，，， 则数列是公差为的等差数列，B错误； 对于C，， 数列的前项和为，C正确； 对于D，， 则数列的前2025项的和为，D正确. 故选：ACD. 11. 若函数有两个极值点，，（）则下列说法正确的是（ ） A B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，求导，令得，构造，，求导，得到其单调性和图象走势，得到，解得；BC选项，，数形结合得到的单调性，从而得到，；D选项，证明对数平均不等式，结合，得到，故. 【详解】A选项，，令得， 令，，则与有两个不同的交点， ， 令得，令得， 所以在上单调递增，在上单调递减，且，， 当时，恒成立， 要想与有两个不同的交点，则，解得，A正确； BC选项，因为，所以， 画出与的图象如下： 令得， 令得， 故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以，，B错误，C正确； D选项，，故， 先证明，理由如下： 因为，不等式变形为， 即，令， 则，令，， 则恒成立， 故在上单调递减， 故，所以，结论得证， 故， 结合A选项，，D正确. 故选： 【点睛】对数平均不等式为，在处理函数极值点偏移问题上经常用到，可先证明，再利用对数平均不等式解决相关问题，证明的方法是结合，换元后将二元问题一元化，利用导函数进行证明 第Ⅱ卷 非选择题（满分92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中偶数的个数为__________． 【答案】48 【解析】 【分析】先确定五位数中的个位需为偶数的情况，再将其他数字进行全排列即可. 【详解】从2，4这两个字数字中选一个排在个位数，有 种，然后将剩余4个数字在其他位置全排列，有 种， 所以偶数的个数为个， 故答案为：48 . 13. 过点作曲线的切线的斜率为______． 【答案】2 【解析】 【分析】设切点坐标，由导数得几何意义求得切线方程，代入即可求解； 【详解】，设切点横坐标为， 故曲线在处的切线方程为l：， 将，代入，得， 解得，∴， 故答案为：2 14. 现有n个串联的信号处理器单向传输信号，处理器的工作为：接收信号——处理并产生新信号——发射新信号．当处理器接收到一个A类信号时，会产生一个A类信号和一个B类信号并全部发射至下一个处理器；当处理器接收到一个B类信号时，会产生一个A类信号和两个B类信号，产生的B类信号全部发射至下一个处理器，但由接收B类信号直接产生的所有A类信号只发射一个至下一个处理器．当第一个处理器只发射一个A类信号至第二个处理器，按上述规则依次类推，若第n个处理器发射的B类信号数量记作，即，则______，数列的通项公式______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】设第个处理器发射的类信号数量记作，易得当时，第个处理器发射的类信号数量为，从而可求出数列的通项，由题意可得当时，，根据递推公式即可求出，再利用构造法即可求出数列的通项. 【详解】设第个处理器发射的类信号数量记作， 则， 由题意，当时，第个处理器发射的类信号数量为， 即当时，， 当时，， 则， 故当时，， 可得， 又， 所以数列从第二项开始是以为首项，为公比的等比数列， 所以，所以， 当时，上式不成立， 所以. 故答案为：；. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知是等差数列，是各项都为正数的等比数列．且，，，． （1）求，的通项公式； （2）求数列的前项和； 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）设公差为，公比为，得，，解出后即可得到数列的通项公式； （2），利用乘公比错位相减法求和. 【小问1详解】 是等差数列，是各项都为正数的等比数列，设公差为，公比为， 由，，，，可得，， 解得：（负值舍去）， 则，； 【小问2详解】 ，所以数列前项和， ， 两式相减可得， 即. 16. 已知函数在处取得极值. （1）求实数，的值 （2）求函数在区间上的最大值和最小值 【答案】（1）， （2）最大值为，最小值为 【解析】 【分析】（1）先求导，根据已知列方程组即可求解； （2）由（1）知，根据导函数判断函数的单调性和极值，再求解区间端点处的函数值与极值比较即可求解最值. 【小问1详解】 因为，所以， 因为在处取得极值， 所以，所以， 解得，经检验，符合题意， 所以，； 【小问2详解】 由（1）知，所以， 令，得或， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 所以函数的极小值为，极大值为， 又，， 所以函数在区间上的最大值为，最小值为. 17. 已知数列中，，且满足． （1）证明：数列为等比数列； （2）求的通项公式； （3）令，为数列的前n项和，证明：． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由题意，可得，结合等比数列的定义即可证明； （2）由（1），根据等比数列的通项公式计算即可求解； （3）由（2）可得，利用裂项相消求和法可得，结合作差法即可证明. 【小问1详解】 由题意知，所以， 由于，故， 故， 故数列是以3为首项，公比为3的等比数列； 【小问2详解】 由（1）知，数列是以3为首项，公比为3的等比数列， 所以，故 【小问3详解】 由（2）知．， 所以，- 故 由于，故， 18. 已知． （1）讨论函数在的单调性； （2）当时，若恒成立，求b的取值范围． 【答案】（1）答案见解析 （2）． 【解析】 【分析】（1）求出，就、分类讨论后可得函数的单调性. （2）方法一，分离参数，令，利用导函数判断单调性求出最值即可，方法二，分离参数，令，则，利用导函数求出最值即可 【小问1详解】 由题可得，令，得． ①若，则，即， 故当时，，在上单调递减． ②若则，即， 当时，，故在上单调递增， 当时，，在上单调递减．- 【小问2详解】 法一：当时，即恒成立， 令，则， 令，则， 所以在上单调递增， 又， 所以存在唯一的，使得（☆）， 当时，，即，则在上单调递减， 当时，，即，则在上单调递增， 则． 由（☆）得， 设，则，易知在上单调递增， 所以，得， 由，得，故， 故， 因此，故b的取值范围为．- 法二：当时，即恒成立， 令，则， 而，- 令，则， 令，得， 当时，，上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以，故，即， 当且仅当时取等号． 所以，即， 所以，当且仅当时等号成立． 令，则在上单调递增，又， 所以存在，使得，当时，取得最小值1． 因此，故的取值范围为． 19. 已知函数． （1）若函数在单调递减，求a的范围； （2）若恒成立，求a的值； （3）求证：． 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据函数在区间上单调递减，则导函数对于任意恒成立，分离参数求出最值即可. （2）分、讨论函数的单调性与最值情况，可得参数值； （3）利用放缩法，由，可知若证，即证，再根据，可得证. 【小问1详解】 由题意得对于任意恒成立，则恒成立，所以， 从而． 【小问2详解】 由题意得， ①当时，，所以在上单调递增， 所以当时，，与矛盾 ②当时，当时，单调递减， 当时，，单调递增， 所以， 因为恒成立，所以． 记， 当时，单调递增，当时，单调递减， 所以，所以． 又，所以，所以． 【小问3详解】 先证，设，则， 所以在区间上单调递减，所以，即． 所以， 再证． 由（2）可知，当时等号成立， 令，则，即， 所以， 累加可得， 所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$