专题02 二次根式（考题猜想，11大题型）-2024-2025学年八年级数学下学期期末考点大串讲（鲁教版）

专题02 二次根式（11大题型） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 题型一 二次根式有意义的条件 题型二 利用二次根式的性质化简 题型三 复合二次根式的化简 题型四 二次根式的混合运算 题型五 分母有理化 题型六 已知字母的值，化简求值 题型七 已知条件式，化简求值 题型八 比较二次根式的大小 题型九 二次根式的实际应用 题型十 与二次根式有关的新定义问题 题型十一 与二次根式有关的阅读材料类问题 题型一 二次根式有意义的条件 1．（24-25八年级上·山东滨州·期末）【阅读材料】 配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指把形如的二次三项式或（其一部分）配成完全平方式的方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即，配方法在解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等问题中都有着广泛应用． 例：求代数式的最小值． 解：， ，． 当时，的最小值为1． 【类比探究】 （1）按照上述方法，用配方法求代数式最小值； 【灵活运用】 （2）试说明：无论取何实数，二次根式都有意义． 2．（2025八年级下·全国·专题练习）阅读下面的解题过程，并回答问题．化简： ． 解：由，得， ， ∴原式． 按照上面的解法，解决下列问题． (1)． (2)若满足，求的值． 3．（23-24八年级下·山东滨州·期末）如图，矩形的边在轴的正半轴上，点坐标为，，，且满足．问取何值时是直角三角形？ 4．（23-24八年级下·山东济宁·期末）二次根式的双重非负性是指被开方数，其化简的结果，利用的双重非负性解决以下问题： (1)已知，则的值为_______； (2)若为实数，且，求的值； (3)若实数满足，求的值． 题型二 利用二次根式的性质化简 5．（23-24八年级下·山东烟台·期中）阅读理解： 我们解决某些数学题的时候，经常会遇到题目中的条件比较含糊，它们常常巧妙地隐蔽在题设的背后，不易被发现和运用，导致我们解题受阻，因此，挖掘题设中的隐含条件，应该成为我们必备的一种能力．请阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件，并依次解决所给的问题． 化简： 解：由题意可知隐含条件解得：， ∴， ∴． 启发应用： （1）按照上面的解法，化简：； 类比迁移： （2）已知的三边长分别为，，，请求出的周长．（用含有的代数式表示，结果要求化简） 拓展延伸： （3）若，请直接写出的取值范围． 6．（24-25八年级下·山东德州·期中）阅读下列例题． 在学习二次根式性质时我们知道； 例题求的值． 解：设，两边平方得：，即，， ． ，． (1)则的值是______． (2)请利用上述方法，求的值． (3)若，求n的值． 7．（24-25八年级下·山东泰安·期中）数学老师在课堂上提出一个问题：“通过探究知道：……，它是个无限不循环小数，也叫无理数，它的整数部分是1，那么有谁能说出它的小数部分是多少”，小明举手回答：它的小数部分我们无法全部写出来，但可以用来表示它的小数部分，吴老师夸奖小明真聪明，肯定了他的说法：现请你根据小明的说法解答： (1)的整数部分是__________，小数部分是__________． (2)a为的小数部分，b为的整数部分，求的值． (3)已知，其中x是一个正整数，，求的值． 8．（24-25八年级上·山东青岛·期中）已知． (1)计算：当时，___________，___________； 当时，___________，___________； 当时，___________，___________； (2)猜想：无论为任何非负数时，___________始终成立（填“”，“”，“”，“”或“”）； (3)请说明（）中猜想的合理性． 9．（24-25八年级上·山东青岛·期中）【激活经验】 小明在学习有理数运算时，通过具体运算发现： ，，，… 在学习二次根式运算时，小明根据学习有理数运算积累的活动经验，类比探究了二次根式的运算规律，请将探究过程补充完整： 特例1：； 特例2：； 特例3： ______（填写一个符合上述运算特征的式子）． 【发现规律】 ______（，且n为整数） 【应用规律】 （1）______； （2）如果的小数部分是，那么整数部分为______． 题型三 复合二次根式的化简 10．（24-25八年级上·湖南邵阳·期末）阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数．形如，如果你能找到两个数、，使，且，则可变形为．从而达到化去一层根号的目的．例如化简： 且，． (1)填上适当的数：｜__________｜__________； (2)当时，化简． 11．（21-22八年级下·山东济宁·期中）先阅读材料，然后回答问题： 小张同学在研究二次根式的化简时，遇到了个问题：化简，经过思考，小张解决这个问题的过程 如下： (1)在上述化简过程中，第 步出现了错误，化简的正确结果为 ； (2)请根据你从上述材料中得到的启发，化简； 12．（23-24八年级下·北京西城·开学考试）观察，思考，解答：，反之，，即．所以． (1)仿照上列，化简 ； (2)已知，求值．（结果需化为最简的二次根式） 13．（21-22八年级下·山东潍坊·期中）先阅读下面两段材料，然后解答问题： 材料一：在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如，，，一样的式子，分母中含有根号，其实我们还可以将其进一步化简：；；．以上这种化简的过程叫分母有理化． 解答问题： (1)化简：__________；__________；__________； (2)利用上面所提供的解法，请化简：． 材料二：形如的化简，只要我们找到两个正数a，b，使，使得，，那么便有： 例如：化简 解：首先把化为，这里，由于，即： ， 所以． 解答问题： (3)填空：__________，__________； (4)化简：（请写出化简过程）． 题型四 二次根式的混合运算 14．（24-25八年级上·山东济南·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 15．（22-23八年级下·山东济宁·期末）计算 (1) (2) 16．（22-23八年级下·山东聊城·期末）计算下列各题： (1)； (2)； (3)． 题型五 分母有理化 17．（23-24九年级下·山东烟台·期末）在解决问题“已知，求的值”时，小明是这样分析与解答的： 因为；所以， 所以，；所以， 所以． 请你根据小明的分析和解答过程，解决如下问题： (1)化简：（结果的分母中不含根号）； (2)若，求的值 18．（23-24八年级下·山东烟台·期末）【例题呈现】化简：． 思路点拨：将原式的分子、分母同乘一个代数式，使得分母不含根号，实现分母有理化． 解：将分子、分母同乘，得． 【类比应用】 (1)化简：； (2)宽与长的比为的矩形叫做黄金矩形．如图，已知黄金矩形的边，剪掉一个以为边的正方形后，得到新的矩形． ①求的长； ②通过计算说明矩形是否为黄金矩形． 19．（23-24九年级下·辽宁鞍山·期中）教材明确指出①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．二次根式运算中，要把计算结果化为最简二次根式 (1)化简：______； (2)我们思考“如何化简”的问题．为了使分母之中不含根号，我们想到平方差公式“”，其特点是先平方后作差，既可以把运算为整数，又不产生新的无理数：． 这样的计算过程数学上称之为“分母有理化”． 请你化简： (3)计算：． 题型六 已知字母的值，化简求值 20．（23-24八年级下·山东淄博·期末）已知，，求下列各式的值： (1)； (2) 21．（23-24八年级上·山东滨州·期末）阅读材料，并解决问题：定义：将分母中的根号化去的过程叫做分母有理化． 如：将分母有理化，解：原式． 运用以上方法解决问题： 已知：，． (1)化简m，n； (2)求的值． 22．（22-23八年级下·山东烟台·期末）求代数式的值，其中．如图是小明和小颖的解答过程：    (1)填空：_______________的解法是错误的； (2)求代数式的值，其中． 23．（24-25八年级下·山东德州·阶段练习）（1）已知，求下列各式的值： ① ②；③． ④ （2）已知，求代数式的值； 24．（21-22八年级下·山东泰安·期末）问题解决： 已知，求代数式的值． 小敏的做法是：根据得， ∴，得：． 把作为整体代入：得． 即：把已知条件适当变形，再整体代入解决问题． 迁移应用： 已知，求代数式的值； 题型七 已知条件式，化简求值 25．（20-21八年级下·山东烟台·期末）先化简，再求值：已知y=，求的值． 26．（23-24八年级下·山东烟台·期末）已知，先化简再求的值． 27．（24-25八年级下·山东威海·期中）已知实数x，y满足． (1)探究：x与y之间存在怎样的数量关系？并证明你的结论； (2)计算：求代数式的值． 题型八 比较二次根式的大小 28．（24-25八年级上·四川成都·期末）阅读下列材料，然后回答问题． 学习数学，最重要的是学习数学思想，其心一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知，求我们可以把和看成是一个整体，令，则这样，我们不用求出a，b，就可以得到最后的结果． (1)计算： (2)m是正整数，，，且，求m． (3)已知，求的值． 29．（22-23八年级上·山东青岛·期末）观察下列一组等式，然后解答问题： ， ， ， …… (1)观察以上规律，请写出第个等式：___________（为正整数）； (2)利用上面的规律，计算：； (3)请利用上面的规律，比较与的大小． 30．（24-25八年级下·山东淄博·期中）像，（，），两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为“有理化因式”，例如，（与、与，与等都是互为“有理化因式”，进行二次根式计算时，利用“有理化因式”可以化去分母中的根号． (1)化简：①______；②______． (2)计算：． (3)已知，，，试比较a，b，c的大小，并说明理由． 题型九 二次根式的实际应用 31．（22-23八年级下·山东威海·期末）古希腊的几何学家海伦在他的《度量》一书中给出了利用三角形的三边求三角形面积的“海伦公式”：如果一个三角形的三边长分别为、、，设，则三角形的面积．我国南宋著名的数学家秦九韶，曾提出利用三角形的三边求面积的“秦九韶公式”（三斜求积术）：如果一个三角形的三边长分别为、、，则三角形的面积．依据上述公式解决下列问题： (1)若一个三角形的三边长分别是5，6，7，则这个三角形的面积等于______； (2)若一个三角形的三边长分别是，3，，求这个三角形的面积． 32．（22-23八年级下·山东烟台·期末）某居民小区有块形状为长方形绿地，长为米，宽为米，现在要长方形绿地中修建两个形状大小相同的长方形花坛（即图中阴影部分），每个长方形花坛的长为米，宽为米．除去修建花坛的地方，其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为30元/平方米的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？    33．（22-23八年级下·山东聊城·期末）如图是一个滑梯示意图，若将滑梯水平放置，则刚好与一样长，已知滑梯的高度为4米，为1米．    (1)求滑道的长度； (2)若把滑梯改成滑梯，使，求出的长．（精确到0.1米，参考数据：） 34．（22-23八年级下·山东青岛·期末）宽与长的比是的矩形叫黄金矩形，如图①，已知矩形的宽    将图①中的矩形裁剪掉一个以边的正方形，得到新的矩形，已知矩形为黄金矩形，计算点D到线段的距离． 35．（22-23八年级上·山东济南·期末）我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透． 某校数学兴趣小组，在学习完勾股定理和实数后，进行了如下的问题探索与分析 【提出问题】已知，求的最小值 【分析问题】由勾股定理，可以通过构造直角三角形的方法，来分别表示长度为和的线段，将代数求和转化为线段求和问题． 【解决问题】 (1)如图，我们可以构造边长为1的正方形，P为边上的动点．设，则．则______+______的线段和； (2)在（1）的条件下，已知，求的最小值； (3)【应用拓展】应用数形结合思想，求的最大值． 题型十 与二次根式有关的新定义问题 36．（24-25八年级上·山东枣庄·期中）定义：我们将与称为一对“对偶式”，因为=，可以有效的去掉根号，所以有一些问题可以通过构造“对偶式”来解决． 例如：已知，求的值，可以这样解答： 因为 所以 (1)已知：，求的值； (2)结合已知条件和第（1）问的结果，解方程： 37．（23-24八年级上·江苏淮安·阶段练习）我们规定用表示有序数对．给出如下定义：记，，其中，，将与称为有序数对的一对“对称数对”．例如；的一对“对称数对”为和． (1)有序数对的一对“对称数对”是＿＿＿； (2)若有序数对的一对“对称数对”相同，则y的值为＿＿＿； (3)若有序数对的一个“对称数对”是，则x的值为＿＿＿； (4)若有序数对的一个“对称数对”是，求的值． 38．（23-24八年级下·河南信阳·阶段练习）我们新定义一种三角形：两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形．例如，某三角形的三边长分别是2，4和，因为，所以这个三角形是奇异三角形． (1)若的三边长分别是2，和，判断此三角形是否是奇异三角形，说明理由． (2)若Rt是奇异三角形，直角边的长为a，b（），斜边长为c，写出a和b的等量关系式． 39．（23-24八年级下·山东菏泽·期末）任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义，若无理数，（其中为连续的整数），则称无理数的“臻美区间”为，如，所以的“臻美区间”为． (1)无理数的“臻美区间”是______． (2)若一个无理数的“臻美区间”为，且满足，其中是关于的二元一次方程的一组正整数解，求的值． (3)实数满足如下关系式：，求的算术平方根的“臻美区间”． 40．（23-24八年级下·山东威海·期末）定义：若两个二次根式，满足，且为有理数，则称与是关于的共轭二次根式． (1)与是关于______的共轭二次根式； (2)若与是关于2的共轭二次根式，则______； (3)若与是关于12的共轭二次根式，求的值． 题型十一 与二次根式有关的阅读材料类问题 41．（24-25八年级上·山东青岛·期中）阅读材料：黑白双雄，纵横江湖，双剑合璧，天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其意指两个人合在一起，取长补短，威力无比，在二次根式中也有这样相辅相成的例子．如： ；，它们的积是有理数，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式．于是，二次根式除法可以这样解：如；，像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或根号中的分母化去，叫做分母有理化，解决问题： (1)的有理化因式是_______，分母有理化得________； (2)比较大小：__________（用“”“”或“”填空）； (3)计算：． 42．（23-24八年级下·山东聊城·期末）【综合与实践】某校数学课外活动小组的同学，针对两个正数之和与这两个正数之积的算术平方根的两倍之间的关系进行了探究，请阅读以下探究过程并解决问题． 【探究发现】 【猜想结论】 如果，那么存在（当且仅当时，等号成立）． 【证明结论】（补全横线上的说理过程） 因为， 所以①当且仅当，即时， ，所以； ②当，即时，______． 综合上述可得：若，则成立（当且仅当时，等号成立）． 【应用结论】 （1）对于函数，当取何值时，函数的值最小？最小值是多少？ （2）对于函数，当取何值时，函数的值最小？最小值是多少？ 【拓展应用】（3）如图，学校计划一边靠墙，其余边用篱笆围成三小块面积均为的矩形苗圃，中间用两道篱笆隔断，设每小块苗圃垂直于墙的一边长为米，求为何值时，所用篱笆的总长度最短？最短长度是多少？ 43．（24-25八年级上·山东烟台·期末）阅读下列一段文字，回答问题． 【材料阅读】平面内两点，则由勾股定理可得，这两点间的距离． 例如，如图1，，则． 【直接应用】 (1)已知，求P、Q两点间的距离； (2)如图2，在平面直角坐标系中，与x轴正半轴的夹角是． ①求点B的坐标； ②试判断的形状． 44．（24-25八年级下·湖南益阳·期末）阅读材料1： 在不等式领域，有一个叫基本不等式的工具，表述如下：对于任意的正数a、b，都有，当且仅当时等号成立，它是解决最值问题的有力工具． 例如：在的条件下，，当且仅当时，即时等号成立，从而有最小值2． 阅读材料2： 我们知道，假分数可以写成一个整数与一个真分数的和，如，当分式的分母次数小于分子的次数时，也有类似的变换，如： （1）， （2）． 请根据阅读材料解答下列问题： (1)若为正数，则的最小值为______，此时，______； (2)若为正数，则的最小值为______，此时，______； (3)求下列分式在给定的的取值范围内的最小值，并指出取得最小值时对应的的值． ①                 ② 45．（23-24八年级下·山东济宁·期中）【阅读材料】 （材料一）细心观察图形，认真分析各式，总结其中蕴含的规律． ，（是的面积）； ，（是的面积）； ，（是的面积）； （材料二）化简：． 解：． 【问题解决】利用你总结的规律，解答下面的问题： (1)填空： _________， _________； (2)求的值． $$专题02 二次根式（11大题型） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 题型一 二次根式有意义的条件 题型二 利用二次根式的性质化简 题型三 复合二次根式的化简 题型四 二次根式的混合运算 题型五 分母有理化 题型六 已知字母的值，化简求值 题型七 已知条件式，化简求值 题型八 比较二次根式的大小 题型九 二次根式的实际应用 题型十 与二次根式有关的新定义问题 题型十一 与二次根式有关的阅读材料类问题 题型一 二次根式有意义的条件 1．（24-25八年级上·山东滨州·期末）【阅读材料】 配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指把形如的二次三项式或（其一部分）配成完全平方式的方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即，配方法在解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等问题中都有着广泛应用． 例：求代数式的最小值． 解：， ，． 当时，的最小值为1． 【类比探究】 （1）按照上述方法，用配方法求代数式最小值； 【灵活运用】 （2）试说明：无论取何实数，二次根式都有意义． 【答案】（1）5；（2）见解析 【分析】本题考查了配方法的应用、二次根式有意义的条件，熟练掌握完全平方公式是解此题的关键． （1）仿照题干所给例子求解即可； （2）仿照题干所给例子求出当时，的最小值为5，再根据二次根式有意义的条件判断即可得解． 【详解】（1）解：， ， ， 当时，的最小值是5； （2）无论取何实数，二次根式都有意义，理由如下： ， ， 当时，的最小值为5． 又， 无论取何实数，二次根式都有意义． 2．（2025八年级下·全国·专题练习）阅读下面的解题过程，并回答问题．化简： ． 解：由，得， ， ∴原式． 按照上面的解法，解决下列问题． (1)． (2)若满足，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，绝对值的性质，整式的化简，解方程，代数式求值，熟练掌握二次根式有意义的条件，绝对值的性质是解题的关键． （1）根据二次根式有意义的条件及性质，绝对值的性质化简即可； （2）结合已知条件，根据二次根式有意义的条件及性质计算即可． 【详解】（1）解：由题意可得且， 则， ， 原式 ； （2）解：由题意可得， ， ， 原方程化为 ， 两边同时平方得：， ． 3．（23-24八年级下·山东滨州·期末）如图，矩形的边在轴的正半轴上，点坐标为，，，且满足．问取何值时是直角三角形？ 【答案】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，勾股定理，矩形的性质． 先根据二次根式的被开方数为非负数求出a的值，进而得到b的值，从而得到，，根据勾股定理即可求出，根据点B的坐标表示出，的长．当是直角三角形时，只能，根据勾股定理有，代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴，解得， ∴， ∴，， ∵在矩形中，， ∴， ∵在轴的正半轴上，点坐标为， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴在中，， 当是直角三角形时，只能， ∴， 即， 解得：． 4．（23-24八年级下·山东济宁·期末）二次根式的双重非负性是指被开方数，其化简的结果，利用的双重非负性解决以下问题： (1)已知，则的值为_______； (2)若为实数，且，求的值； (3)若实数满足，求的值． 【答案】(1) (2)或 (3)9901 【分析】本题考查二次根式的双重非负性，二次根式的双重非负性是指被开方数，其化简的结果，根据题意，利用的双重非负性灵活运用是解决问题的关键． （1）利用二次根式非负性，，，当时，只有才能满足题意，解出代入代数式即可得到答案； （2）由二次根式有意义的条件得到，从而确定，将代入代数式即可得到答案； （3）由二次根式有意义的条件得到，从而可化为，即，两边同时平方即可得到答案． 【详解】（1）解：，，， ，解得， ， 故答案为：； （2）解：中；中； ，则，即， 当时，；当时，； （3）解：中， ， 可化为，即， 将两边同时平方可得，则． 题型二 利用二次根式的性质化简 5．（23-24八年级下·山东烟台·期中）阅读理解： 我们解决某些数学题的时候，经常会遇到题目中的条件比较含糊，它们常常巧妙地隐蔽在题设的背后，不易被发现和运用，导致我们解题受阻，因此，挖掘题设中的隐含条件，应该成为我们必备的一种能力．请阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件，并依次解决所给的问题． 化简： 解：由题意可知隐含条件解得：， ∴， ∴． 启发应用： （1）按照上面的解法，化简：； 类比迁移： （2）已知的三边长分别为，，，请求出的周长．（用含有的代数式表示，结果要求化简） 拓展延伸： （3）若，请直接写出的取值范围． 【答案】（1）2；（2）；（3） 【分析】本题考查了二次根式的性质和二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的性质和二次根式有意义的条件是解题的关键； （1）先根据二次根式有意义的条件求出m的范围，再根据二次根式的性质化简即可； （2）先根据二次根式有意义的条件求出的范围，再根据二次根式的性质化简即可； （3）先根据二次根式有意义的条件求出x的范围，再分类讨论，根据二次根式的性质化简即可； 【详解】解：（1）由题意可知隐含条件解得：， ∴， ∴， （2）由题意可知隐含条件解得：， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为；               （3）由题意可知隐含条件，解得：， 当时，， 则，符合题意， 当时，， 则，不符合题意， 综上所述，的取值范围为． 6．（24-25八年级下·山东德州·期中）阅读下列例题． 在学习二次根式性质时我们知道； 例题求的值． 解：设，两边平方得：，即，， ． ，． (1)则的值是______． (2)请利用上述方法，求的值． (3)若，求n的值． 【答案】(1) (2) (3)32 【分析】本题考查二次根式的运算和性质，理解题中运算方法是解答的关键． （1）利用二次根式的性质求解即可； （2）仿照题干方法，利用二次根式的运算法则和性质求解即可； （3）仿照题干方法，给等式两边乘方，再利用二次根式的运算法则和性质求解即可． 【详解】（1）解：由二次根式性质得， 故答案为：； （2）解：设，两边平方得：， 即，， ． ∵， ； （3）解：给两边平方， 得， ∴， 整理，得， ∴，解得． 7．（24-25八年级下·山东泰安·期中）数学老师在课堂上提出一个问题：“通过探究知道：……，它是个无限不循环小数，也叫无理数，它的整数部分是1，那么有谁能说出它的小数部分是多少”，小明举手回答：它的小数部分我们无法全部写出来，但可以用来表示它的小数部分，吴老师夸奖小明真聪明，肯定了他的说法：现请你根据小明的说法解答： (1)的整数部分是__________，小数部分是__________． (2)a为的小数部分，b为的整数部分，求的值． (3)已知，其中x是一个正整数，，求的值． 【答案】(1)的整数部分为3，小数部分为： (2) (3)19 【分析】本题主要考查了无理数的估算，化简二次根式，实数的运算，熟知无理数的估算方法是解题的关键． （1）估算出的范围即可得到答案； （2）估算出，的范围，进而确定a、b的值，再代值计算即可得到答案； （3）估算出的范围得到x、y的值，再代值计算即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴的整数部分为3，小数部分为：； （2）解：∵， ∴， a为的小数部分，b为的整数部分， ，， ∴； （3）解：∵， ∴， ，其中x是一个正整数，， ，， ． 8．（24-25八年级上·山东青岛·期中）已知． (1)计算：当时，___________，___________； 当时，___________，___________； 当时，___________，___________； (2)猜想：无论为任何非负数时，___________始终成立（填“”，“”，“”，“”或“”）； (3)请说明（）中猜想的合理性． 【答案】(1)，；，；， (2) (3)证明见解析 【分析】（）把的值分别代入计算即可求解； （）根据（）所得结果即可判断求解； （）分别求出，再利用作差法比较出的大小，进而即可求证； 本题考查了二次根式运算和性质，掌握二次根式的运算是解题的关键． 【详解】（1）解：当时，，， 故答案为：，； 当时，，， 故答案为：，； 当时，，； 故答案为：，； （2）解：猜想：无论为任何非负数时，， 故答案为：； （3）证明：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴． 9．（24-25八年级上·山东青岛·期中）【激活经验】 小明在学习有理数运算时，通过具体运算发现： ，，，… 在学习二次根式运算时，小明根据学习有理数运算积累的活动经验，类比探究了二次根式的运算规律，请将探究过程补充完整： 特例1：； 特例2：； 特例3： ______（填写一个符合上述运算特征的式子）． 【发现规律】 ______（，且n为整数） 【应用规律】 （1）______； （2）如果的小数部分是，那么整数部分为______． 【答案】激活经验：；发现规律：；应用规律：（1）；（2）5 【分析】激活经验：由二次根式的运算规律即可得出答案； 发现规律：由二次根式的运算规律即可得出一般性的规律； 应用规律：（1）根据规律计算出结果即可； （2）先根据规律得出原式为，再根据结果的小数部分求出的值，再求出结果的整数部分即可． 【详解】解：激活经验：由二次根式的运算规律可得： ； 发现规律：由二次根式的运算规律可得， ， 证明：左边 右边； 应用规律： （1） ； （2） ， ∵结果的小数部分，即， ∴ 解得：， 经检验，是该分式方程的解， ∴结果的整数部分为． 【点睛】本题考查二次根式的混合运算，数字的变化类，掌握二次根式的混合运算的方法以及所列举代数式所呈现的规律是正确解答的关键． 题型三 复合二次根式的化简 10．（24-25八年级上·湖南邵阳·期末）阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数．形如，如果你能找到两个数、，使，且，则可变形为．从而达到化去一层根号的目的．例如化简： 且，． (1)填上适当的数：｜__________｜__________； (2)当时，化简． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的性质与化简，正确应用完全平方公式，掌握完全平方公式的特征是解题的关键． （1）将写成，将写成，然后将被开方数变形成完全平方公式的形式，即可得出答案． （2）将写成，然后将被开方数变形成完全平方公式的形式，即可得出答案． 【详解】（1）解：，， ， 故答案为：，，； （2）， ． 11．（21-22八年级下·山东济宁·期中）先阅读材料，然后回答问题： 小张同学在研究二次根式的化简时，遇到了个问题：化简，经过思考，小张解决这个问题的过程 如下： (1)在上述化简过程中，第 步出现了错误，化简的正确结果为 ； (2)请根据你从上述材料中得到的启发，化简； 【答案】(1)④， (2) 【分析】本题考查了二次根式的性质和化简，掌握被开方数化成完全平方的形式，利用二次根式的性质进行化简是解题的关键． （1）根据二次根式的性质即可求解； （2）根据（1）中的材料化简即可． 【详解】（1）解：①， ②， ③， ④， 在上述化简过程中，第④步出现了错误，化简的正确结果为：； （2）解：原式 ． 12．（23-24八年级下·北京西城·开学考试）观察，思考，解答：，反之，，即．所以． (1)仿照上列，化简 ； (2)已知，求值．（结果需化为最简的二次根式） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的化简求值、分式的混合运算，解答本题的关键是明确题意，利用题目中的例题解答问题． （1）根据题目中的例题可以解答本题； （2）根据题目中的例题，可以将变形，然后再将分式进行化简，代入求值即可． 【详解】（1）解：； 故答案为：． （2）解：， ． 13．（21-22八年级下·山东潍坊·期中）先阅读下面两段材料，然后解答问题： 材料一：在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如，，，一样的式子，分母中含有根号，其实我们还可以将其进一步化简：；；．以上这种化简的过程叫分母有理化． 解答问题： (1)化简：__________；__________；__________； (2)利用上面所提供的解法，请化简：． 材料二：形如的化简，只要我们找到两个正数a，b，使，使得，，那么便有： 例如：化简 解：首先把化为，这里，由于，即： ， 所以． 解答问题： (3)填空：__________，__________； (4)化简：（请写出化简过程）． 【答案】(1) (2)9 (3)； (4) 【分析】（1）根据分母有理化，即可求解； （2）每个二次根式分母有理化，进而即可求解； （3）先把根号内化为完全平方形式，进而即可求解； （4）先把根号内化为完全平方形式，进而即可求解． 【详解】（1）解：=；=；=； 故答案为：； （2）解：原式 ； （3）解：， ， 故答案为：；； （4）解：． 【点睛】本题主要考查二次根式的性质，分母有理化，完全平方公式，熟练掌握二次根式的性质是关键． 题型四 二次根式的混合运算 14．（24-25八年级上·山东济南·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)-7 (3) (4) 【分析】（1）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可； （2）根据二次根式的除法法则和乘法法则运算； （3）根据二次根式的除法法则和乘法法则运算； （4）利用平方差公式和完全平方公式计算． 本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 15．（22-23八年级下·山东济宁·期末）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是二次根式的混合运算，掌握运算顺序是解本题的关键； （1）先计算括号内二次根式的加减运算，再计算除法运算即可； （2）先计算二次根式的乘法运算，再计算加减运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； 16．（22-23八年级下·山东聊城·期末）计算下列各题： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算． （1）先根据二次根式性质进行化简，然后根据二次根式加减运算法则进行计算即可； （2）根据二次根式乘除运算法则进行计算即可； （3）根据二次根式混合运算法则，结合完全平方公式和平方差公式进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 题型五 分母有理化 17．（23-24九年级下·山东烟台·期末）在解决问题“已知，求的值”时，小明是这样分析与解答的： 因为；所以， 所以，；所以， 所以． 请你根据小明的分析和解答过程，解决如下问题： (1)化简：（结果的分母中不含根号）； (2)若，求的值 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的化简，代数式求值，对于（1），分子和分母都乘以，再计算化简即可； 对于（2），先化简求出a，进而得出，然后平方化简得，最后整体代入求值即可． 【详解】（1）； （2）因为，所以， 所以，即，所以， 所以． 18．（23-24八年级下·山东烟台·期末）【例题呈现】化简：． 思路点拨：将原式的分子、分母同乘一个代数式，使得分母不含根号，实现分母有理化． 解：将分子、分母同乘，得． 【类比应用】 (1)化简：； (2)宽与长的比为的矩形叫做黄金矩形．如图，已知黄金矩形的边，剪掉一个以为边的正方形后，得到新的矩形． ①求的长； ②通过计算说明矩形是否为黄金矩形． 【答案】(1) (2)①；②见解析 【分析】（1）按照题目中的过程进行计算即可； （2）①根据黄金矩形的定义，并结合进行计算即可； ②根据正方形的性质求得，再计算的值，即可求证． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：①∵宽与长的比为的矩形叫做黄金矩形，， ； ②∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴矩形是黄金矩形． 【点睛】本题考查分母有理化、矩形的性质、正方形的性质，综合运用相关知识是解题的关键． 19．（23-24九年级下·辽宁鞍山·期中）教材明确指出①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．二次根式运算中，要把计算结果化为最简二次根式 (1)化简：______； (2)我们思考“如何化简”的问题．为了使分母之中不含根号，我们想到平方差公式“”，其特点是先平方后作差，既可以把运算为整数，又不产生新的无理数：． 这样的计算过程数学上称之为“分母有理化”． 请你化简： (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次根式的性质、分母有理化、二次根式的混合运算等知识点，熟练掌握相关性质和运算法则是解题关键． （1）分子、分母同时乘以，计算即可得答案； （2）利用平方差公式，分子、分母同时乘以，即可得答案； （3）先通过分母有理化化简，然后再运用二次根式的混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解：． 故答案为： （2） ． （3） ． 题型六 已知字母的值，化简求值 20．（23-24八年级下·山东淄博·期末）已知，，求下列各式的值： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值： （1）先求出，再根据进行求解即可； （2）先求出，再根据进行求解即可． 【详解】（1）解：，， ， ； （2）解：，， ； ． 21．（23-24八年级上·山东滨州·期末）阅读材料，并解决问题：定义：将分母中的根号化去的过程叫做分母有理化． 如：将分母有理化，解：原式． 运用以上方法解决问题： 已知：，． (1)化简m，n； (2)求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查分母有理化，二次根式的混合运算，掌握分母有理化的方法，是解题的关键． （1）根据分母有理化的方法，进行化简即可； （2）根据二次根式的混合运算法则，进行计算即可． 【详解】（1）解：； ； （2）原式 ． 22．（22-23八年级下·山东烟台·期末）求代数式的值，其中．如图是小明和小颖的解答过程：    (1)填空：_______________的解法是错误的； (2)求代数式的值，其中． 【答案】(1)小明 (2) 【分析】（1）由于当，，由此可知小明的解法是错误的； （2）仿照题意中小颖的解法求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，小明的解法是错误的，因为小明在化简二次根式的时候没有注意符号问题，当，， 故答案为：小明 （2）解： ， 当时，， ∴原式． 【点睛】本题主要考查了二次根式的化简求值，熟知是解题的关键． 23．（24-25八年级下·山东德州·阶段练习）（1）已知，求下列各式的值： ① ②；③． ④ （2）已知，求代数式的值； 【答案】（1）①；②1；③14；④；（2） 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，代数式求值，配方法，掌握平方差公式、完全平方公式的各种变形是解题的关键． （1）①代入计算即可； ②代入计算即可； ③利用完全平方公式即可解答； ④先通分，再计算即可； （2）根据配方法把化为，再计算即可． 【详解】解：（1）①； ②； ③； ④； （2） ， 把代入可得． 24．（21-22八年级下·山东泰安·期末）问题解决： 已知，求代数式的值． 小敏的做法是：根据得， ∴，得：． 把作为整体代入：得． 即：把已知条件适当变形，再整体代入解决问题． 迁移应用： 已知，求代数式的值； 【答案】 【分析】按照题中方法进行解答即可． 【详解】解：∵， ∴， 则原式 ． 【点睛】本题考查二次根式的运算，解题的关键是读懂题意运用整体思想． 题型七 已知条件式，化简求值 25．（20-21八年级下·山东烟台·期末）先化简，再求值：已知y=，求的值． 【答案】-，- 【分析】根据二次根式性质得到x=，y=，再根据完全平方差公式和二次根式的性质化简原式，最后将x，y的值代入求解即可． 【详解】解：根据已知，得1-3x≥0且3x-1≥0， ∴x=，y=， ∵ =2x-+y-（2x+y） =2x-+y-2x-y = - ∴当x=，y=，原式= -=-2． 【点睛】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的性质：是解题的关键． 26．（23-24八年级下·山东烟台·期末）已知，先化简再求的值． 【答案】， 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，非负数的性质，先根据非负数的性质求出，再根据二次根式乘除法法则把所给代数式化简，再把代入计算即可． 【详解】解：由题意得， 解得， 原式 ， 当，时， 原式 27．（24-25八年级下·山东威海·期中）已知实数x，y满足． (1)探究：x与y之间存在怎样的数量关系？并证明你的结论； (2)计算：求代数式的值． 【答案】(1)；证明见解析 (2) 【分析】本题是二次根式的化简和求值．本题利用巧解将已知式变成两式，相加后得出结论． （1）将式子变形后，再分母有理化得①式：，同理得②式：，将两式相加可得结论； （2）将代入原式或①式得：，代入所求式子即可． 【详解】（1）解：． ∴． ∴① 同理得：② 得：， ∴； （2）解：把代入①，得， ∴． 则 ． 题型八 比较二次根式的大小 28．（24-25八年级上·四川成都·期末）阅读下列材料，然后回答问题． 学习数学，最重要的是学习数学思想，其心一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知，求我们可以把和看成是一个整体，令，则这样，我们不用求出a，b，就可以得到最后的结果． (1)计算： (2)m是正整数，，，且，求m． (3)已知，求的值． 【答案】(1)26 (2)； (3)． 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，分母有理化，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）先把每一个二次根式进行分母有理化，然后再进行计算即可解答； （2）先利用分母有理化化简，从而求出，，然后根据已知可得，再利用完全平方公式进行计算即可解答； （3）利用完全平方公式，进行计算即可解答． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵，， ∴， ， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∵，， ∴． 29．（22-23八年级上·山东青岛·期末）观察下列一组等式，然后解答问题： ， ， ， …… (1)观察以上规律，请写出第个等式：___________（为正整数）； (2)利用上面的规律，计算：； (3)请利用上面的规律，比较与的大小． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题干，观察规律，即可得到第个等式； （2）先将各项分母有理化，在进行有理数计算即可得到答案； （3）根据平方差公式，可化成分子相同的数，根据相同的分子，分母越大的数越小进行比较，即可得到答案． 【详解】（1）解：通过观察可知，， 故答案为：； （2）解：原式 ， ； （3）解：，， ， ． 【点睛】本题考查了二次根式混合运算和大小比较，主要运用分母有理化和分子有理化，熟练掌握相关的运算法则是解题的关键． 30．（24-25八年级下·山东淄博·期中）像，（，），两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为“有理化因式”，例如，（与、与，与等都是互为“有理化因式”，进行二次根式计算时，利用“有理化因式”可以化去分母中的根号． (1)化简：①______；②______． (2)计算：． (3)已知，，，试比较a，b，c的大小，并说明理由． 【答案】(1)①   ② (2) (3)，理由见解析 【分析】本题考查了分母有理化，平方差公式，二次根式的混合运算．熟练掌握分母有理化，平方差公式，二次根式的混合运算法则是解题的关键． （1）①根据，计算求解即可；②根据，计算求解即可； （2）先将括号中的每一项分母有理化，进一步计算求解即可； （3）由题意得，同理：，，则，进而可得． 【详解】（1）解：①， 故答案为：； ②， 故答案为：； （2）解： ． （3）解：， 同理：， ， ， ． 题型九 二次根式的实际应用 31．（22-23八年级下·山东威海·期末）古希腊的几何学家海伦在他的《度量》一书中给出了利用三角形的三边求三角形面积的“海伦公式”：如果一个三角形的三边长分别为、、，设，则三角形的面积．我国南宋著名的数学家秦九韶，曾提出利用三角形的三边求面积的“秦九韶公式”（三斜求积术）：如果一个三角形的三边长分别为、、，则三角形的面积．依据上述公式解决下列问题： (1)若一个三角形的三边长分别是5，6，7，则这个三角形的面积等于______； (2)若一个三角形的三边长分别是，3，，求这个三角形的面积． 【答案】(1) (2)3 【分析】（1）把三角形的三边的长代入p，然后代入S，计算即可得解； （2）把三角形的三边的长代入S，计算即可得解． 【详解】（1）解：， ； 故答案为：； （2）解： ． 【点睛】本题属于材料阅读题，创新题型，主要考查了二次根式的应用，难点在于对各项整理利用算术平方根的定义计算． 32．（22-23八年级下·山东烟台·期末）某居民小区有块形状为长方形绿地，长为米，宽为米，现在要长方形绿地中修建两个形状大小相同的长方形花坛（即图中阴影部分），每个长方形花坛的长为米，宽为米．除去修建花坛的地方，其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为30元/平方米的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？    【答案】元 【分析】先计算出通道的面积，再根据“通道上要铺上造价为30元/平方米的地砖”即可求出购买地砖需要的花费． 【详解】解： （平方米）， 则（元）， ∴要铺完整个通道，则购买地砖需要花费元． 【点睛】此题主要考查二次根式的混合运算的实际应用，根据题意求出通道的面积是解题的关键． 33．（22-23八年级下·山东聊城·期末）如图是一个滑梯示意图，若将滑梯水平放置，则刚好与一样长，已知滑梯的高度为4米，为1米．    (1)求滑道的长度； (2)若把滑梯改成滑梯，使，求出的长．（精确到0.1米，参考数据：） 【答案】(1)米 (2)5.2米 【分析】（1）由题意设滑道的长度为x米，则米，米，然后在中，根据勾股定理列出方程求解即可； （2）先根据勾股定理求出的长，然后结合（1）的结果利用线段的和差求解即可． 【详解】（1）由题意可得：是直角三角形，， ∵， ∴， 设滑道的长度为x米，则米， 米， 在中，由勾股定理得：， 解得：， 答：滑道的长度为米； （2）由，可设米，则米， ∴（米）， ∴， 解得：， ∴（米）， 由（1）可知， （米）， ∴（米）． 答：的长约为5.2米． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，正确理解题意、利用勾股定理列出方程是解题的关键． 34．（22-23八年级下·山东青岛·期末）宽与长的比是的矩形叫黄金矩形，如图①，已知矩形的宽    将图①中的矩形裁剪掉一个以边的正方形，得到新的矩形，已知矩形为黄金矩形，计算点D到线段的距离． 【答案】 【分析】根据正方形的性质和黄金矩形的性质即可求出，再根据即可求出． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴ ， ∵矩形是黄金矩形， ∴， 过D作于G，    在中，， ∴由勾股定理得， ∵，， ∴由得 ， 即点D到线段的距离为． 【点睛】本题考查点到直线的距离，涉及到新定义黄金矩形和面积相等法求线段长度，正确理解题意是关键． 35．（22-23八年级上·山东济南·期末）我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透． 某校数学兴趣小组，在学习完勾股定理和实数后，进行了如下的问题探索与分析 【提出问题】已知，求的最小值 【分析问题】由勾股定理，可以通过构造直角三角形的方法，来分别表示长度为和的线段，将代数求和转化为线段求和问题． 【解决问题】 (1)如图，我们可以构造边长为1的正方形，P为边上的动点．设，则．则______+______的线段和； (2)在（1）的条件下，已知，求的最小值； (3)【应用拓展】应用数形结合思想，求的最大值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据题意将式子转化为线段长度之和即可； （2）作点关于的对称点，连接，则的最小值即为的长，利用勾股定理求出的长即可； （3）构造图形，使得则，则当点、、三点共线时，的最大值为，延长，交于，作于，利用勾股定理求出即可． 【详解】（1）解：由题意可得： 的线段和； （2）作点关于的对称点，连接， 则， 则的最小值即为的长， 在中，由勾股定理得，， 即的最小值为； 故答案为：； （3）， 如图，，，，，， 设， 则， 当点、、三点共线时，的最大值为， 延长，交于，作于， 可得，， 由勾股定理得，， 的最大值为． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了轴对称最短路线问题，勾股定理等知识，解题的关键是利用数形结合思想，学会利用转化思想解决问题． 题型十 与二次根式有关的新定义问题 36．（24-25八年级上·山东枣庄·期中）定义：我们将与称为一对“对偶式”，因为=，可以有效的去掉根号，所以有一些问题可以通过构造“对偶式”来解决． 例如：已知，求的值，可以这样解答： 因为 所以 (1)已知：，求的值； (2)结合已知条件和第（1）问的结果，解方程： 【答案】(1)2 (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，二次根式有意义的条件、二次根式的性质、平方差公式的应用等知识点，掌握二次根式的运算法则为解题的关键． （1）运用平方差公式进行变形，然后整体代入计算即可； （2）根据（1）构成方程组求解，然后再检验即可． 【详解】（1）解：∵， ∴． （2）解：由题意可得：，则， 解得：， 经检验，是方程的根． ∴方程的解为． 37．（23-24八年级上·江苏淮安·阶段练习）我们规定用表示有序数对．给出如下定义：记，，其中，，将与称为有序数对的一对“对称数对”．例如；的一对“对称数对”为和． (1)有序数对的一对“对称数对”是＿＿＿； (2)若有序数对的一对“对称数对”相同，则y的值为＿＿＿； (3)若有序数对的一个“对称数对”是，则x的值为＿＿＿； (4)若有序数对的一个“对称数对”是，求的值． 【答案】(1)和 (2) (3) (4)6或 【分析】本题主要考查了新定义，解方程，二次根式的性质，理解和应用新定义是解本题的关键． （1）根据新定义即可得出结论； （2）根据新定义，列等式，解方程进而得出结论； （3）根据新定义，列等式，解方程进而得出结论； （4）根据新定义，列方程或，解方程进而得出结论． 【详解】（1）解：， 有序数对的一对“对称数对”是和， 故答案为：和； （2）解：有序数对的一对“对称数对”相同， ， ， 故答案为：； （3）解：有序数对的一个“对称数对”是， ， ， 故答案为：； （4）解：有序数对的一个“对称数对”是， 或， 或， 或． 即的值为6或． 38．（23-24八年级下·河南信阳·阶段练习）我们新定义一种三角形：两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形．例如，某三角形的三边长分别是2，4和，因为，所以这个三角形是奇异三角形． (1)若的三边长分别是2，和，判断此三角形是否是奇异三角形，说明理由． (2)若Rt是奇异三角形，直角边的长为a，b（），斜边长为c，写出a和b的等量关系式． 【答案】(1)此三角形是奇异三角形，理由见解析 (2) 【分析】考查了直角三角形的性质、勾股定理； （1）根据勾股定理、奇异三角形的定义计算即可． （2）由勾股定理得出①，由是奇异三角形，且，得出②，由①②得出，即可得出结论． 熟练掌握奇异三角形的定义、勾股定理是解题的关键． 【详解】（1）解：此三角形是奇异三角形；理由如下： ， 是奇异三角形， （2）中，， ， ， ，， 是奇异三角形， ， ， ， ， 39．（23-24八年级下·山东菏泽·期末）任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义，若无理数，（其中为连续的整数），则称无理数的“臻美区间”为，如，所以的“臻美区间”为． (1)无理数的“臻美区间”是______． (2)若一个无理数的“臻美区间”为，且满足，其中是关于的二元一次方程的一组正整数解，求的值． (3)实数满足如下关系式：，求的算术平方根的“臻美区间”． 【答案】(1) (2)37 (3) 【分析】（1）先估算的大小，然后再估算的大小，然后根据无理数的“臻美区间”进行解答即可； （2）先根据已知条件，求出满足题意的，的值，从而求出，，然后根据二元一次方程解的定义，把、、和的值分别代入，求出即可； （3）先根据二次根式的非负性，求出，从而得到，再根据偶次方的非负性，列出关于，的两个含有字母参数的二元一次方程，从而求出的值，然后估算的算术平方根的大小，求出的“臻美区间”即可． 【详解】（1）解：， ， ， 无理数的“臻美区间”是， 故答案为：； （2）解：、为连续的整数，是关于，的二元一次方程的一组正整数解， 是正整数，， 一个无理数的“臻美区间”为， ， ， 当，即时，不存在，舍去； 当，即时，不满足不等式，舍去； 当，即时，满足不等式，则； 当，即时，不存在，舍去； 满足题意的，的值为， ，则； （3）解：，，， ， ， ， ， ，， ①，②， ①②得，则，即，解得， ，即， 的算术平方根的“臻美区间”为． 【点睛】本题主要考查了无理数的估算和新定义，涉及二元一次方程的解、非负数的性质-算术平方根、二次根式有意义的条件、非负数的性质-偶次方、估算无理数的大小等知识，解题关键是熟练掌握正确估算无理数的大小和理解新定义的含义． 40．（23-24八年级下·山东威海·期末）定义：若两个二次根式，满足，且为有理数，则称与是关于的共轭二次根式． (1)与是关于______的共轭二次根式； (2)若与是关于2的共轭二次根式，则______； (3)若与是关于12的共轭二次根式，求的值． 【答案】(1)1； (2)； (3)． 【分析】此题主要考查了新定义共轭二次根式的理解和应用，并会利用二次根式的性质进行计算． （1）根据共轭二次根式的定义，即可得解； （2）根据共轭二次根式的定义，列出等式求得的值即可； （3）根据共轭二次根式的定义，列出等式求得的值即可； 【详解】（1）解：， ∴ 与是关于1的共轭二次根式， 故答案为：1； （2）解：∵与是关于2的共轭二次根式， ∴ ∴， 故答案为：； （3）解：∵与是关于12的共轭二次根式， ∴ ∴， ∴． 题型十一 与二次根式有关的阅读材料类问题 41．（24-25八年级上·山东青岛·期中）阅读材料：黑白双雄，纵横江湖，双剑合璧，天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其意指两个人合在一起，取长补短，威力无比，在二次根式中也有这样相辅相成的例子．如： ；，它们的积是有理数，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式．于是，二次根式除法可以这样解：如；，像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或根号中的分母化去，叫做分母有理化，解决问题： (1)的有理化因式是_______，分母有理化得________； (2)比较大小：__________（用“”“”或“”填空）； (3)计算：． 【答案】(1)，； (2)； (3)． 【分析】（）根据题中的步骤进行有理化因式，分母有理化即可求解； （）将和进行分母有理化，然后作差值即可比较大小； （）将原式分母有理化，化简即可求解； 本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化，掌握分母有理化的方法是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意得，的有理化因式是：； ， 故答案为：，； （2）解：，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解： ． 42．（23-24八年级下·山东聊城·期末）【综合与实践】某校数学课外活动小组的同学，针对两个正数之和与这两个正数之积的算术平方根的两倍之间的关系进行了探究，请阅读以下探究过程并解决问题． 【探究发现】 【猜想结论】 如果，那么存在（当且仅当时，等号成立）． 【证明结论】（补全横线上的说理过程） 因为， 所以①当且仅当，即时， ，所以； ②当，即时，______． 综合上述可得：若，则成立（当且仅当时，等号成立）． 【应用结论】 （1）对于函数，当取何值时，函数的值最小？最小值是多少？ （2）对于函数，当取何值时，函数的值最小？最小值是多少？ 【拓展应用】（3）如图，学校计划一边靠墙，其余边用篱笆围成三小块面积均为的矩形苗圃，中间用两道篱笆隔断，设每小块苗圃垂直于墙的一边长为米，求为何值时，所用篱笆的总长度最短？最短长度是多少？ 【答案】【证明结论】；【应用结论】（1）当时，函数的值最小，最小值是2；（2）当时，函数的值最小，最小值是7；【拓展应用】（3）米，米 【分析】本题考查了完全平方公式、算术平方根、利用平方根解方程、解分式方程等知识点，熟练掌握完全平方公式和算术平方根是解题关键，规律的总结和应用，能够结合实际问题熟练应用规律是解决本题的关键． 证明结论：根据题目中思路解答即可； 应用结论：（1）根据题目中给的结论将函数式进行变式，即可求出最小值； （2）先将函数式边变形为易于计算的形式，再按照题目中所给结论进行计算，求出最值； （3）由题意得：篱笆的总长度为米，先将函数式边变形为易于计算的形式，再按照题目中所给结论进行计算，求出最值，可求出钢丝网的最短长度． 【详解】解：证明结论： 因为， 所以，所以． 所以①当且仅当，即时， ，所以； ②当，即时，所以． 综合上述可得：若，则成立（当且仅当时，等号成立）． 故答案为：； 应用结论： （1）根据结论可知， 所以函数的最小值为2， 此时， 解得：或（舍去）， 所以，当时，函数的值最小，最小值是2． （2）根据结论可知， 所以函数的最小值为7， 此时，，解得，或4（舍去）， 所以当时，函数的值最小，最小值是7． （3）由题意得：篱笆的总长度为米． 因为， 所以蓠笆总长度最短为米， 此时，， 所以， 答：为米时，所用篱笆总长度最短，最短长度为米． 43．（24-25八年级上·山东烟台·期末）阅读下列一段文字，回答问题． 【材料阅读】平面内两点，则由勾股定理可得，这两点间的距离． 例如，如图1，，则． 【直接应用】 (1)已知，求P、Q两点间的距离； (2)如图2，在平面直角坐标系中，与x轴正半轴的夹角是． ①求点B的坐标； ②试判断的形状． 【答案】(1) (2)①；②直角三角形 【分析】本题主要考查勾股定理及逆定理，两点间的距离等知识，解题的关键是理解题意，准确计算并熟练掌握勾股定理及逆定理． （1）根据题意，把两点坐标代入到公式中计算即可； （2）①过点作轴于点，根据题意得出，即可得到最终结果；②根据题意，计算出的长，从而得出，即可得到最终结论． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：①过点B作轴于点F， ∵与x轴正半轴的夹角是， ∴， ∵， ∴， ∴； ②∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴是直角三角形． 44．（24-25八年级下·湖南益阳·期末）阅读材料1： 在不等式领域，有一个叫基本不等式的工具，表述如下：对于任意的正数a、b，都有，当且仅当时等号成立，它是解决最值问题的有力工具． 例如：在的条件下，，当且仅当时，即时等号成立，从而有最小值2． 阅读材料2： 我们知道，假分数可以写成一个整数与一个真分数的和，如，当分式的分母次数小于分子的次数时，也有类似的变换，如： （1）， （2）． 请根据阅读材料解答下列问题： (1)若为正数，则的最小值为______，此时，______； (2)若为正数，则的最小值为______，此时，______； (3)求下列分式在给定的的取值范围内的最小值，并指出取得最小值时对应的的值． ①                 ② 【答案】(1)6，3 (2)， (3)①时，原式有最小值4，②时，原式有最小值5 【分析】本题考查了分式的化简求值、二次根式的应用，熟练掌握运算法则，理解题干所给例子是解此题的关键． （1）由题意可得的最小值为，此时，计算即可得解； （2）由题意可得的最小值为，此时，计算即可得解； （3）①仿照题干所给例子，计算即可得解；②仿照题干所给例子，计算即可得解． 【详解】（1）解：∵对于任意的正数a、b，都有，当且仅当时等号成立， ∴为正数，则的最小值为，此时， 解得：或（不符合题意，舍去）； （2）解：∵对于任意的正数a、b，都有，当且仅当时等号成立， ∴为正数，则的最小值为，此时， 解得：或（不符合题意，舍去）； （3）解：① 当且仅当时取等号，得 或，即或， 又， 时取等号，即时，原式有最小值4． ② 当且仅当时取等号，得 或，即或， 又， ∴当时取等号，即时，原式有最小值5． 45．（23-24八年级下·山东济宁·期中）【阅读材料】 （材料一）细心观察图形，认真分析各式，总结其中蕴含的规律． ，（是的面积）； ，（是的面积）； ，（是的面积）； （材料二）化简：． 解：． 【问题解决】利用你总结的规律，解答下面的问题： (1)填空： _________， _________； (2)求的值． 【答案】(1)5， (2) 【分析】本题考查了数学中的阅读能力，规律问题，还有二次根式的化简，分母有理化，关键是理解新定义和有关二次根式的化简运算． （1）根据题意找到规律，，即可得到答案； （2）根据题意将原式进行分母有理化进行求解即可． 【详解】（1）解：，（是的面积）； ，（是的面积）； ，（是的面积）； ……， 以此类推，可知，， ；， （负值舍去）； 故答案为：，； （2）解：， ． $$