期末压轴题60题（考题猜想，10大题型）-2024-2025学年八年级数学下学期期末考点大串讲（湘教版）

期末压轴题60题 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 勾股定理在折叠问题中的应用 · 题型二 勾股定理逆定理的拓展应用 · 题型三 角平分线的性质定理的综合应用 · 题型四 四边形折叠问题 · 题型五 (特殊)平行四边形的动点问题 · 题型六 四边形中的线段最值问题 · 题型七 四边形的综合问题 · 题型八 点坐标规律探索 · 题型九 一次函数的规律探究问题 · 题型十 一次函数与几何综合 题型一 勾股定理在折叠问题中的应用 1．如图，在纸片中，，，折叠纸片，使点落在的中点处，折痕为，则的面积为 ． 2．如图，已知，线段上有一点P（不与B、C重合），连接，将沿翻折，得到，连接、，当为等腰三角形时，的长为 ． 3．如图1，是两个全等的直角三角形（直角边分别为，，斜边为）    (1)用这样的两个三角形构造图2的图形，你能利用这个图形证明出结论吗？如果能，请写出证明过程； (2)当，时，将其中一个直角三角形放入平面直角坐标系中，使直角顶点与原点重合，两直角边，分别与轴、轴重合（如图3中的位置）．点为线段上一点，将沿着直线翻折，点恰好落在轴上的处， 请写出、两点的坐标； 若为等腰三角形，点在轴上，请求出符合条件的所有点的坐标． 4．如图，将长方形纸片折叠，使点C与点A重合，点D落在点处，折痕为． (1)求证：； (2)若，，求的长． 题型二 勾股定理逆定理的拓展应用 5．如图，已知Rt△ABD≌Rt△BAC，AD＝3，AB＝4，∠DAB＝∠CBA＝90°，点P在这两个三角形的边上运动，若，则PA的长为 ． 6．如图，在等边中取点使得，，的长分别为3， 4， 5，则 ． 7．观察：①3、4、5，②5、12、13，③7、24、25，……，发现这些勾股数的“勾”都是奇数，且从3起就没断过．根据以上规律，请写出第8组勾股数： ． 8．阅读下列内容：设是一个三角形的三条边的长，且c是最长边，则利用a，b，c三边间的关系可判断这个三角形的形状； ①若，则该三角形是直角三角形； ②若，则该三角形是钝角三角形； ③若，则该三角形是锐角三角形． 例如一个三角形的三边长分别为4，5，6，则最大边为6，由于c2，故由上面③可知该三角形是锐角三角形． 请解答以下问题： （1）若一个三角形的三边长分别为3、4、6，试说明这个三角形的形状； （2）若一个三角形的三边长分别为5，12，x，且这个三角形是直角三角形，求x的值； （3）若一个三角形的三边长分别为（m＞n，m、n是正整数），请判断这个三角形的形状，并写出你的判断过程． 9．把三根长为3cm、4cm和5cm的细木棒首尾相连，能搭成一个直角三角形. (1)如果把这三根细木棒的长度分别扩大为原来的a倍（a>1），那么所得的三根细木棒能不能搭成一个直角三角形， 为什么？ (2)如果把这三根细木棒的长度分别延长x cm（x>0），那么所得的三根细木棒还能搭成一个三角形吗？为什么？如果能，请判断这个三角形的形状（锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形），并说明理由. 题型三 角平分线的性质定理的综合应用 10．如图，在中，和的平分线，相交于，交于，交于，过点作于，下列结论中：①；②当时，；③；④若，，则，正确的是（   ） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④ 11．如图，在等边中，以为直角顶点作等腰直角，连接交于点，分别交、于点、、为线段上一动点，为线段上一动点，且．连接、．以下个结论：①；②；③；④当的值最小时，．正确的是（   ） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④ 12．如图，在中，，于点D，的平分线交于点E，交于点F，于M，的延长线交于点N，下列四个结论：①；②；③；④连接，若，，则，其中正确的结论有 ． 13．【综合实践】根据以下素材，探索完成任务： 小江和小南在做物理实验时发现：当光发生反射时，反射光线与平面镜的夹角总是等于入射光线与平面镜的夹角．于是，他们想进一步探究转动的平面镜对光线反射的影响．如图1，点O为水平放置的平面镜上一点，将一块三角板的直角顶点摆放在O处，满足斜边，．现有一束光线经平面镜反射后沿射出，当光发生反射时，总是等于．若使光线从与重合处开始绕着点O以每秒的速度顺时针旋转，设旋转时间为t秒． 【探究1】当时，请用无刻度的直尺和圆规在图2中画出此时入射光线和反射光线所在位置； 【探究2】当，且时，求出满足条件的t的值； 【探究3】若在光线开始转动的同时，平面镜也绕点O以每秒的速度逆时针旋转，当时，请直接写出和之间的数量关系． 14．在中，，，D是上一动点（D不与A、B两点重合），连接． (1)如图1，当平分时，若，求的长； (2)如图2，将绕点D顺时针旋转，得到，连接，取中点F，连． ①猜想与的数量关系，并证明你的猜想； ②如图3，点H在边上，且，连接．当取最小值时，直接写出的值． 题型四 四边形折叠问题 15．如图，中，，，，点D是的中点，将沿翻折得到，连接，，则线段的长等于（   ） A． B． C． D．2 16．如图，矩形中，，，点、分别在、边上，，将沿翻折至，沿翻折至，恰好落在线段上，则到的距离为 ． 17．如图，有一张平行四边形纸片，其中，点，分别是边，上的动点（不与端点重合）．将平行四边形纸片沿直线折叠，点落在点处，点落在点处，连接，，，，，．若与相交，交点为，连接． 给出下面四个结论： ①四边形一定是平行四边形； ②当时，四边形是矩形； ③当点落在平行四边形的边上时，四边形是菱形； ④当点固定，点在边上运动时，四边形的面积不变． 上述结论中，所有正确结论的序号是 ． 18．如图，将正方形纸片ABCD对折，使AD与BC重合，得到折痕EF，再把纸片展平，点是边上一点，将沿折叠，使点的对应点恰好落在上，延长交边于点，交延长线于点． （1）的度数为 ； （2）的值为 ． 19．如图所示，将边长为的正方形纸片折叠，使点落在边中点处，点落在点处，折痕为，则的长为 ． 20．如图，正方形的边长为，点E，G分别为边的中点，连接，将沿翻折至同一平面得到．边上有一点H，连接，又将沿翻折至同一平面得到，若点P恰好落在上，则此时折痕的长为 ． 21．【数学活动】：如图，用一张正方形的纸片按如下方式折叠：先将纸片对折得到折痕，再沿过点的直线翻折纸片，得到折痕，使点落在上的点处，连接、，与交于点．则下列结论：①；②为等边三角形；③；④．其中正确的序号为 ． 22．综合与探究 问题情境：折叠问题的实质是图形的轴对称变化，找出对应相等的元素是解题的关键．如图，在矩形中，，，为射线上一动点，连接，将沿折叠得到，点的对应点为． 问题解决： (1)如图当点落在对角线上时，求线段的长． (2)如图，当时，求线段的长． (3)在点运动的过程中，当三点共线时，请直接写出线段的长． 23．【问题情境】 在矩形中，，，E为边上的一点，连接．将矩形沿直线折叠，点B的对应点为F． 【问题解决】 （1）如图1，当点F落在边上时． ①求的长； ②如图2，连接，交于点G，过点B作于点N，交于点M，试判断与的数量关系，并说明理由； 【深入探究】 （2）如图3，当点F落在上方时，交于点P，交AD于点Q，连接．若为等腰三角形，请直接写出的长． 24．综合与探究 已知在菱形中，为锐角，E为的中点，连接． 【动手操作】 第一步：如图①，将四边形沿折叠，得到四边形，点B的对应点为点M，点C的对应点为点N． 第二步：如图②，连接． 【问题解决】 （1）如图①，若，则的度数是_________； （2）如图②，判断的形状，并说明理由； 【拓广探索】 （3）如图②，若，，在线段上存在点P，使是以为顶角的等腰三角形，直接写出的长度． 25．整体思想是中学数学解题的重要方法之一，贯穿于数学学习的全过程，对于问题1，樊老师给出了如下的提示：连接，利用与面积之和是菱形面积的，可求出的值． (1)如图1，在菱形中，对角线，的长分别为6和8，点为对角线上一动点（不与点、重合），过点分别作和的垂线，垂足为点和，求的值，请你写出求解过程． (2)如图2，若为矩形，点，分别在边，上，将矩形沿直线折叠，使点恰好与点重合，点落在点处．点为线段上一动点（不与点，重合），过点分别作直线，的垂线，垂足分别为和，以，为邻边作平行四边形，若，，求平行四边形的周长； (3)如图3，当点P是等边外一点时，过点分别作直线，，的垂线，垂足分别为点，，，若，请求出的面积，并写出推理过程． 题型五 （特殊）平行四边形的动点问题 26．如图，在四边形中，，，，，，点从点出发，以的速度沿线段向点运动；同时点从点出发，以 的速度沿向点运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设、运动时间为秒，回答下列问题： (1)求为何值时，四边形是矩形? (2)求为何值时，？ (3)是否存在的值，使得是以为腰的等腰三角形？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 27．在四边形中，，，，，，P，Q同时沿着四边形的边逆时针运动，点P从点D出发，以的速度运动，点Q从点B出发，以的速度运动，设运动时间为t秒． (1)______； (2)若点Q运动到点C时就停止，点P也随之停止运动，用含t的代数式表示四边形的面积； (3)若其中一个动点回到其出发点时，另一个动点也随之停止运动，则当_____时，以点P、Q与点A、B、C、D中的任意两个点为顶点的四边形为平行四边形． 28．如图，在四边形中，，，，动点P，Q分别从A，C同时出发，点P以的速度由A向D运动，点Q以的速度由C向B运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点随之停止运动．设运动时间为． (1)___________cm，___________cm；（分别用含t的式子表示） (2)当点P，Q与四边形的任意两个顶点所形成的四边形为平行四边形时，求t的值； (3)在（2）的条件下，若，（2）中的平行四边形为菱形时，直接写出的长：___________． 29．如图1，在平行四边形中，，，，M是一动点，从点D出发，沿运动，以4个单位每秒的速度向终点C点运动；N是从点C出发的另一动点，沿运动，以2个单位每秒的速度向终点D点运动，点M和点N同时出发，运动时间为t秒（M，N两点中如有一个点到达终点时，所有运动即终止）． (1)若M、N出发t秒后，四边形为平行四边形，求t； (2)若的面积为8，请求出t的值； (3)如图2，点F是线段中点，E是直线上另一动点（位于N点右边），且线段在移动过程中始终保持长度为2不变，请探究并直接写出的最小值． 题型六 四边形中的线段最值问题 30．如图，中，，点D是与点B不重合的动点，以为一边作正方形，连接，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 31．如图，已知正方形的边长为a，点是边上一动点，连接，将绕点顺时针旋转到，连接，，则当之和取最小值时，的周长为 ．（用含a的代数式表示）    32．【问题情境】 （1）同学们我们曾经研究过这样的问题：已知正方形，点E在的延长线上，以为一边构造正方形，如图1所示，则和的数量关系为 ，位置关系为 ． 【继续探究】 （2）若正方形的边长为4，点E是边上的一个动点，以为一边在的右侧作正方形，如图2所示． ①请判断线段与有怎样的数量关系和位置关系，并说明理由； ②连接，若，求线段长．爱动脑筋的小丽同学是这样做的：过点G作，你能按照她的思路做下去吗？请写出你的求解过程． 【拓展提升】 （3）在（2）的条件下，点E在边上运动时，则的最小值为 ． 33．如图1，已知为等腰直角三角形，，点D是的中点，作正方形，使点，分别在边和上，连接，．    (1)探索线段与的数量关系，直接写出你的结论______； (2)将正方形绕点D按逆时针方向旋转一定角度（旋转角大于，小于或等于）时（如图2），（1）的结论是否仍然成立？说明理由； (3)已知，，在（2）的旋转过程中，当为最大值时，求的值． 34．如图①．已知是等腰直角三角形，，点D是的中点，作正方形，使点，分别在和上，连接，．      (1)试猜想线段和的数量关系，并证明你得到的结论； (2)将正方形绕点D逆时针方向旋转一定角度后（旋转角度大于，小于或等于），如图②，通过观察或测量等方法判断（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由； (3)若，在（2）的旋转过程中， ①当为最大值时，则___________． ②当为最小值时，则___________． 35．如图，正方形中，点P是线段上的动点． (1)当交于E时， ①如图1，求证：． ②如图2，连接交于点O，交于点F，试探究线段、、之间用等号连接的数量关系，并说明理由； (2)如图3，已知M为的中点，为对角线上一条定长线段，若正方形边长为4，随着P的运动，的最小值为，求线段的长． 题型七 四边形的综合问题 36．情景呈现： 小明同学在研究平行四边形对角线的长度与边长的联系． （I）提出问题：当平行四边形的形状发生变化，对角线的长度与边长是否存在等量关系？ （II）探究问题：首先通过举例计算特殊的平行四边形对角线长度： ①正方形的边长为，则______； ②矩形中，，，则_______； ③在菱形中，，，则_______； 再通过几何图形一般化具体分析找规律： ④如图1，在正方形中，，则　　；（请用含a的代数式表示） ⑤如图3，在矩形中，，，则　　．（请用含a、b的代数式表示） （III）猜想并证明： 如图4，在中，，，大胆猜想与、的数量关系为_____，如何用已学的数学知识证明呢？小明通过询问人工智能了解到有两种方法可以解决：第一是采用几何法，利用勾股定理证明；第二是建立平面直角坐标系，数形结合解决．请选择其中一种方法写出证明过程． （IV）解决问题：如图4，在中，，，，将线段绕点旋转，在旋转的过程中，当时，请直接写出此时线段的长． 37．我们可以用对称的眼光研究一些几何问题． (1)如图①，在中，与交于点O，点E在边上，延长交于点G， ①求证：； ②将绕点O旋转，使点E落在上的F处，延长交于点H，请画出四边形，并证明四边形是矩形． (2)如图2，在菱形中，正方形的顶点E，G分别在边上，且，F，H两点在菱形的内部（包括边界）． ①在图3中用直尺和圆规作面积最小的正方形（保留作图痕迹，不写作法）； ②若，则正方形面积的最大值为______； 38．综合与实践课上，者师让同学们以“正方形”为主题开展数学活动．将直角的顶点E放在正方形的对角线上（点E不与A、C重合），其中直角边与交于点F，直角边与交于点G． (1)发现：如图①，当与垂直时，判断与的数量关系，并证明． (2)探究：如图②，当与不垂直时，请判断与之间的数量关系是否发生变化？若变化，请说明理由，若不变，请给出证明； (3)拓展：当与不垂直时，以为邻边构造矩形，连接，请直接写出的度数． 39．定义：对于一个四边形，我们把依次连结它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”． 概念理解：下列四边形中一定是“中方四边形”的是______． A．平行四边形；    B．矩形；    C．菱形；    D．正方形． 性质探究：如图1，四边形是“中方四边形”，观察图形，写出关于四边形的结论： ①______；②______． 问题解决：如图2，以锐角的两边，为边长，分别向外侧作正方形和正方形，连结，，． （1）连结，，问，的数量关系和位置关系是什么？请说明理由． （2）四边形______“中方四边形”（此空填“是”或“不是”） 拓展应用：如图3，已知四边形是“中方四边形”，，分别是，的中点． （3）试探索与的数量关系，并说明理由． （4）若的最小值是，则的长度为______．（不需要解答过程） 40．在矩形中，，，点、分别是、边上的动点，以为边作平行四边形，点落在边上，点落在矩形内或其边上． (1)如图，当，，且时， 求证：四边形是正方形； 连接，直接写出的面积______ ； (2)如图，当且时，若，连接， ______ ；用含的代数式表示 求面积的取值范围； (3)如图，当与的长度之比为：，且时，在点从点运动到点的过程中，直接写出点运动的路线长______ ． 题型八 点坐标规律探索 41．如图，在平面直角坐标系中，风车图案的四个叶片为完全相同的平行四边形，其中一个叶片上的点A、C的坐标分别为，将风车绕点O逆时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束时，点B的坐标为（   ） A． B． C． D． 42．如图，在平面直角坐标系中，将沿轴向右变换到的位置，再变换到的位置，依次进行下去，若已知点，，，则点的坐标为 ． 43．如图，、关于原点O对称的点分别为C、D，点M从点B出发，按顺时针方向绕四边形的边运动，点N从点A出发，按逆时针方向绕四边形的边运动，若点M的速度是点N的速度的2倍，则点M和点N第2025次相遇时，点M的坐标为 ． 44．如图，在平面直角坐标系中，，正六边形的顶点，的坐标分别为，，点 是正六边形 的边上一动点，连接 ， 将绕点顺时针旋转，得到， 连接 ．点 从点出发，按照顺时针的方向 即以每秒个单位长度的速度 运动，则第秒时点的坐标为 ． 45．平面直角坐标系中，给定个不同的点，，⋯⋯，，若存在一点，使得满足的点和的点的个数相等，且满足的点和的点的个数也相等，则称点为的平分点．例如，点是，和的一个平分点． (1)已知点，，，，则点________（填“是”或“不是”），，，的平分点，________（填“是”或“不是”），，，的平分点； (2)已知的顶点坐标为，，， ①若，，线段以1个单位/秒的速度向右运动．当，，，，不存在平分点时，运动时间的取值范围是________； ②已知正方形的顶点坐标分别为，，，，要使点，，，，，，有且仅有一个平分点，请直接写出的值． 题型九 一次函数的规律探究问题 46．正方形，，按如图的方式放置，…和点…分别在直线和x轴上，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 47．如图，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线，，过点作x轴的垂线交于点，过点作y轴的垂线交于点，过点作x轴的垂线交于点，过点作y轴的垂线交于点，…，依次进行下去，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 48．如图，在平面直角坐标系中，点在直线上，过点作，交轴于点；过点作轴，交直线于点；过点作，交轴于点；过点作轴，交直线于点，…，按此作法进行下去，则的面积为 ． 49．如图．在平面直角坐标系中，直线l经过原点，且与y轴正半轴所夹的锐角为60°，过点作y轴的垂线交直线l于点B，过点B作直线l的垂线交y轴于点，以，BA为邻边作；过点作y轴的垂线交直线l于点，过点作直线l的垂线交y轴于点，以，为邻边作……按此作法继续下去，则点的坐标是 ． 50．如图，已知直线，直线和点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，按此作法进行下去，则点的坐标为 ． 51．如图，在平面直角坐标系中，直线：与直线交于点，过作x轴的垂线，垂足为，过作的平行线交于，过作轴的垂线，垂足为，过作的平行线交于，过作轴的垂线，垂足为按此规律，则点的纵坐标为 ． 52．已知直线：和直线：，其中k为不小于2的自然数．当时，直线，的交点坐标为 ，此时直线，与x轴围成的三角形的面积 ；当，3，4，…，2024时，设直线，与x轴围成的三角形的面积分别为，，，…，，则 ． 53．如图，在平面直角坐标系中，点，，，……都在x轴上，点，，……都在同一条直线上，，，，，……都是等腰直角三角形，且，则点的坐标是 ． 54．如图，已知，是轴上的点，且，分别过点 作轴的垂线交直线于点，连接 ，依次相交于点，，的面积依次为，则为 ． 题型十 一次函数与几何综合 55．如图，平行四边形在平面直角坐标系中， ， ，．若点M在平面直角坐标系内，点F在直线上（不在坐标轴上），且以A，C，F，M为顶点的四边形为菱形，则所有符合条件的点F的坐标为 ． 56．如图，在平面直角坐标系中，的顶点A在x的负半轴上，点B在y的正半轴上，点C在x的正半轴上，，，． (1)求的长； (2)点D为线段上一点，且，点P从点C出发沿线段向终点B运动，速度为每秒5个单位长度，过点P作轴，交射线于点Q．设点P的运动时间为t秒，的长为m，求m与t的函数关系式，并直接写出t的取值范围； (3)在（2）的条件下，当的面积为15时，平面内是否存在点R，使以B、P、Q、R为顶点的四边形为平行四边形，若存在，求出R点坐标，若不存在，请说明理由． 57．如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A，交y轴于点B，点C为y轴负半轴上一点，且，直线经过A，C两点． (1)求直线的解析式； (2)如图1，将直线向上平移个单位长度得到直线，与直线交于点Q，与x轴，y轴分别交于点D，点E．点P是直线上位于第四象限内的一点，点M，N分别在直线，上．若点N在点M左侧，且，连接，，，当时，求点P的坐标以及的最小值； (3)如图2，将绕点O逆时针旋转得到，在旋转过程中，直线与x轴于交点G，与直线交于点H，在平面内确定一点K，使得四边形为菱形，请直接写出所有符合条件的点K的坐标． 58．如图，直线图象与轴、轴分别交于两点，点分别是射线、射线上一动点（点与点不重合），且，． (1)求点坐标； (2)点在线段、上时（不与端点重合），设的长度为，用含的代数式表示的面积，并写出的取值范围； (3)若为坐标平面内的一点，当以为顶点的四边形为菱形时，直接写出的坐标． 59．如图，直线图象与轴、轴分别交于、两点，点、分别是射线、射线上一动点点与点不重合，且． (1)求点、坐标和度数； (2)点、在线段、上时不与端点重合，设的长度为，用含的代数式表示的面积； (3)若为坐标平面内的一点，当以、、、为顶点的四边形为菱形时，直接写出的坐标． 60．在平面直角坐标系中，给出如下定义：P为图形M上任意一点，如果点P到直线的距离等于图形M上任意两点距离的最大值时，那么点P称为直线的“伴随点”．例如：如图①，已知点，，在线段上，则点P是直线：x轴的“伴随点”． (1)如图②，已知点，，P是线段上一点，直线与x轴的夹角，，当点P是直线的“伴随点”时，点P的坐标为_____； (2)如图③，x轴上方有一等边三角形，轴，顶点A在y轴上且在上方，，点P是上一点，且点P是直线轴的“伴随点”，当点P到x轴的距离最小时，求等边的边长； (3)如图④，以，，为顶点的正方形上始终存在点P，使得点P是直线：的“伴随点”，请直接写出b的取值范围． $$期末压轴题60题 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 勾股定理在折叠问题中的应用 · 题型二 勾股定理逆定理的拓展应用 · 题型三 角平分线的性质定理的综合应用 · 题型四 四边形折叠问题 · 题型五 (特殊)平行四边形的动点问题 · 题型六 四边形中的线段最值问题 · 题型七 四边形的综合问题 · 题型八 点坐标规律探索 · 题型九 一次函数的规律探究问题 · 题型十 一次函数与几何综合 题型一 勾股定理在折叠问题中的应用 1．如图，在纸片中，，，折叠纸片，使点落在的中点处，折痕为，则的面积为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了翻折变换以及勾股定理、等腰三角形的性质等知识，正确得出的长是解题关键． 过点作的垂线，垂足为，过作的垂线，垂足为，过作的垂线，垂足为， 分别求出和的面积，利用可得结果． 【详解】解：过点作的垂线，垂足为， ∵， ∴，， ∴，， 设， 则， 在中，，即， 解得：， ∴， 过作的垂线，垂足为，过作的垂线，垂足为， ∵， ∴，， ∴， 设， 则，，， 则有，即， 解得：， 则， ∴ ， 故答案为：． 2．如图，已知，线段上有一点P（不与B、C重合），连接，将沿翻折，得到，连接、，当为等腰三角形时，的长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，中垂线的性质，等腰三角形的性质，分和两种情况，根据折叠的性质，中垂线的性质，勾股定理，进行求解即可，熟练掌握相关知识点，利用分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 【详解】解：①当时，如图，设交于点， ∵折叠， ∴垂直平分， ∴， ∴， 设，则：， 在中，， 在中，， ∴，即：， 解得：， ∴； ②当时，如图，过点作，则：， ∵， ∴四边形为长方形， ∴， ∵折叠， ∴，垂直平分， ∴， 在中，， ∴， 设，则：， 在中，由勾股定理，得：， 解得：； ∴； 综上：或； 故答案为：或 3．如图1，是两个全等的直角三角形（直角边分别为，，斜边为）    (1)用这样的两个三角形构造图2的图形，你能利用这个图形证明出结论吗？如果能，请写出证明过程； (2)当，时，将其中一个直角三角形放入平面直角坐标系中，使直角顶点与原点重合，两直角边，分别与轴、轴重合（如图3中的位置）．点为线段上一点，将沿着直线翻折，点恰好落在轴上的处， 请写出、两点的坐标； 若为等腰三角形，点在轴上，请求出符合条件的所有点的坐标． 【答案】(1)能；证明见解析 (2) ，    、、、 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，勾股定理，折叠的性质，是三角形的的综合题，解题的关键是分情况讨论思想的运用． （1）根据四边形的面积的两种表示方法即可证明； （2）根据翻折的性质和勾股定理即可求解； 根据等腰三角形的性质分四种情况求解即可． 【详解】（1）解：能，证明见下： 连接， 如图：  ， ， ， ； （2）解：设，则，又， 根据翻折可知： ，， ， 在中，根据勾股定理，得， 解得， ，， 所以、两点的坐标为，； 如图：    当点在轴正半轴上且时， 设，则， 在中，由勾股定理得：，解得， ， ； 当点在轴正半轴上且时， ， ， ； 当点在轴负半轴上且时， ， ； 当点在轴负半轴上且时， ， ； 综上，符合条件的所有点的坐标为：、、、． 4．如图，将长方形纸片折叠，使点C与点A重合，点D落在点处，折痕为． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)的长为． 【分析】（1）利用全等判定方法证明全等三角形即可； （2）过点F作交于G，先用勾股定理求出，设，用x表示出的长，进而在中用勾股定理列出方程，最后利用即可求解． 【详解】（1）证明：四边形是长方形， ， 由折叠知，， ， ， ， 在和中， ， ； （2）解：如图，过点F作交于G， 又 ， ∴四边形是矩形， ，， 在中，， ， ， 设，则， ， ， ， 在中，， ， 即， 解得：， ． 的长为． 【点睛】本题考查了翻折变换，勾股定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握翻折变换的性质、全等三角形的判定和性质，学会作垂直辅助线构造直角三角形，以及在直角三角形中运用勾股定理是解题的关键． 题型二 勾股定理逆定理的拓展应用 5．如图，已知Rt△ABD≌Rt△BAC，AD＝3，AB＝4，∠DAB＝∠CBA＝90°，点P在这两个三角形的边上运动，若，则PA的长为 ． 【答案】1或或． 【分析】根据勾股定理求出AC，再分三种情况：当点P在这AB边上时，当点P在这AD边上时，当点P在这AC边上时，进行讨论即可求解． 【详解】∵Rt△ABD≌Rt△BAC，AD＝3，AB＝4， ∴AC＝BD＝＝5， 当点P在这AB边上时，∵，AB＝4， ∴PA＝1； 当点P在这AD边上时，∵， ∴PA2+42＝PB2，即PA2+42＝（3PA）2， 解得PA＝； 当点P在这AC边上时， PE＝AP，AE＝AP，BE＝4﹣AP， ∵， ∴， ∴5PA2+4PA﹣10＝0， 解得PA＝（舍去），PA＝． 故PA的长为1或或． 故答案为：1或或． 【点睛】此题考查了勾股定理，勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．注意分类思想的应用． 6．如图，在等边中取点使得，，的长分别为3， 4， 5，则 ． 【答案】 【分析】把线段AP以点A为旋转中心顺时针旋转60得到线段AD，由旋转的性质、等边三角形的性质以及全等三角形的判定定理SAS证得△ADB≌△APC，连接PD，根据旋转的性质知△APD是等边三角形，利用勾股定理的逆定理可得△PBD为直角三角形，∠BPD＝90，由△ADB≌△APC得S△ADB＝S△APC，则有S△APC＋S△APB＝S△ADB＋S△APB＝S△ADP＋S△BPD，根据等边三角形的面积为边长平方的倍和直角三角形的面积公式即可得到S△ADP＋S△BPD＝×32＋×3×4＝． 【详解】将线段AP以点A为旋转中心顺时针旋转60得到线段AD，连接PD ∴AD＝AP，∠DAP＝60， 又∵△ABC为等边三角形， ∴∠BAC＝60，AB＝AC， ∴∠DAB＋∠BAP＝∠PAC＋∠BAP， ∴∠DAB＝∠PAC， 又AB=AC，AD=AP ∴△ADB≌△APC ∵DA＝PA，∠DAP＝60， ∴△ADP为等边三角形， 在△PBD中，PB＝4，PD＝3，BD＝PC＝5， ∵32＋42＝52，即PD2＋PB2＝BD2， ∴△PBD为直角三角形，∠BPD＝90， ∵△ADB≌△APC， ∴S△ADB＝S△APC， ∴S△APC＋S△APB＝S△ADB＋S△APB＝S△ADP＋S△BPD＝×32＋×3×4＝． 故答案为：． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质与判定，解题的关键是熟知旋转的性质作出辅助线进行求解． 7．观察：①3、4、5，②5、12、13，③7、24、25，……，发现这些勾股数的“勾”都是奇数，且从3起就没断过．根据以上规律，请写出第8组勾股数： ． 【答案】17，144，145 【分析】由题意观察题干这些勾股数，根据所给的勾股数找出三个数之间的关系即可． 【详解】解：因为这些勾股数的“勾”都是奇数，且从3起就没断过，所以从3、5、7…依次推出第8组的“勾”为17， 继续观察可知弦-股=1，利用勾股定理假设股为m，则弦为m+1， 所以有，解得，，即第8组勾股数为17，144，145. 故答案为17，144，145. 【点睛】本题属规律性题目，考查的是勾股数之间的关系，根据题目中所给的勾股数及勾股定理进行分析即可． 8．阅读下列内容：设是一个三角形的三条边的长，且c是最长边，则利用a，b，c三边间的关系可判断这个三角形的形状； ①若，则该三角形是直角三角形； ②若，则该三角形是钝角三角形； ③若，则该三角形是锐角三角形． 例如一个三角形的三边长分别为4，5，6，则最大边为6，由于c2，故由上面③可知该三角形是锐角三角形． 请解答以下问题： （1）若一个三角形的三边长分别为3、4、6，试说明这个三角形的形状； （2）若一个三角形的三边长分别为5，12，x，且这个三角形是直角三角形，求x的值； （3）若一个三角形的三边长分别为（m＞n，m、n是正整数），请判断这个三角形的形状，并写出你的判断过程． 【答案】（1）钝角三角形；（2）13或；（3）直角三角形，过程见解析 【分析】（1）由32+42＜62，即可得出结论； （2）分两种情况：①当x为斜边时；②当x为直角边时，斜边为12；由勾股定理即可求出x的值； （3）由勾股定理的逆定理即可得出结论． 【详解】解：（1）若一个三角形的三条边长分别是3，4，6，则该三角形是钝角三角形；理由如下： ∵32+42＜62， ∴该三角形是钝角三角形； （2）分两种情况： ①当x为斜边时，x=； ②当x为直角边时，斜边为12，x=， 综上所述：x的值为13或； （3）若一个三角形的三边长分别为（m＞n，m、n是正整数）， 则，， ， ∴这个三角形是直角三角形． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理；熟练掌握勾股定理的逆定理，并能计算推理论证与计算是解决问题的关键． 9．把三根长为3cm、4cm和5cm的细木棒首尾相连，能搭成一个直角三角形. (1)如果把这三根细木棒的长度分别扩大为原来的a倍（a>1），那么所得的三根细木棒能不能搭成一个直角三角形， 为什么？ (2)如果把这三根细木棒的长度分别延长x cm（x>0），那么所得的三根细木棒还能搭成一个三角形吗？为什么？如果能，请判断这个三角形的形状（锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形），并说明理由. 【答案】（1）能搭成直角三角形；理由见解析；（2）能搭成一个三角形，且为锐角三角形. 理由见解析. 【分析】（1）利用勾股定理的逆定理，即可得到结论； （2）根据三角形的三边关系，即可判断等搭成一个三角形，由三角形两短边的平方和大于最长边的平方，可判断是锐角三角形，即可得到结论. 【详解】解：（1）把这三根细木棒的长度分别扩大为原来的a倍（a>1）， ∴，， ∴， ∴边长扩大为原来的a倍，仍能搭成一个直角三角形； （2）把这三根细木棒的长度分别延长x cm， ∵（3+x）+（4+x）=7+2x， ∵x>0， ∴7+2x>5+x， ∴（3+x）+（4+x）>5+x； ∴以（3+x）、（4+x）、（5+x）为边，能搭成一个三角形； ∵，， 又∵， ∴， ∴， ∴这个三角形为锐角三角形. 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，以及三角形的三边关系，解题的关键是熟练利用勾股定理的逆定理判断三角形是直角三角形. 题型三 角平分线的性质定理的综合应用 10．如图，在中，和的平分线，相交于，交于，交于，过点作于，下列结论中：①；②当时，；③；④若，，则，正确的是（   ） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④ 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的性质定理、三角形全等的判定与性质、三角形的内角和定理等知识，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．先根据角平分线的定义可得，，再根据三角形的内角和定理即可判断①正确；在上取一点，使得，连接，先证出，根据全等三角形的性质可得，再证出，根据全等三角形的性质可得，由此即可判断②正确；假设，过点作于点，作于点，先证出，根据全等三角形的性质可得，则，由此即可判断③错误；过点作于点，作于点，连接，根据和可得，由此即可判断④正确． 【详解】解：∵和的平分线，相交于， ∴，， ∴ ，则结论①正确； ∵， ∴， ∴， 如图，在上取一点，使得，连接， ∵和的平分线，相交于， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，则结论②正确； 如图，过点作于点，作于点， ∵和的平分线，相交于，， ∴，，， 假设， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴，由已知条件不能得出这个结论， ∴假设不成立，即结论③错误； 如图，过点作于点，作于点，连接， ∵，，，， ∴， 由上已得：， ∴，即， ∵， ∴， ∴，则结论④正确； 综上，结论正确的是①②④， 故选：D． 11．如图，在等边中，以为直角顶点作等腰直角，连接交于点，分别交、于点、、为线段上一动点，为线段上一动点，且．连接、．以下个结论：①；②；③；④当的值最小时，．正确的是（   ） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】①根据是等边三角形，是等腰直角三角形，得出，进而求出，，即可判断；②求出，即可判断；③在上截取，连接，通过证明，为等边三角形，即可判断；④过点作，使，连接，证明，则，作点关于的对称点，连接，交于点，此时最小，求出，则，得出在的角平分线上，进而根据角平分线的性质结合三角形的面积公式，即可判断． 【详解】解：①∵是等边三角形，是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故①正确； ②∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 又∵， ∴ ∴故②正确； ③在上截取，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形，则， ∵， ∴，故③正确； ④过点B作，使，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， 作点Q关于的对称点，连接，交于点N， 此时最小， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴在的角平分线上， 则到的距离相等，设到的距离为， ∵ ∴ ∴故④不正确； 综上：正确的有①②③，共3个， 故选：A． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质与判定，勾股定理，线段最值问题，解题的关键是熟练掌握相关性质定理，正确画出辅助线． 12．如图，在中，，于点D，的平分线交于点E，交于点F，于M，的延长线交于点N，下列四个结论：①；②；③；④连接，若，，则，其中正确的结论有 ． 【答案】①③④ 【分析】此题重点考查直角三角形的两个锐角互余、同角的余角相等、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，推导出，进而证明是解题的关键． 由平分，于M，可证明，则，可判断①正确；因为是任意直角三角形，所以不一定等于，可判断②错误；因为垂直平分，所以，则，得，所以，可判断③正确；连接，证明，得，求出，由，求得，则，，由，求得，则，所以，求得，可判断④正确，于是得到问题的答案． 【详解】解：，于点D， ， ， 平分， ， ， ， 于M，的延长线交于点N， ， ， ， 故①正确； 是任意直角三角形， 不一定等于， 故②错误； ，， 垂直平分， ，， ， ， 故③正确； 连接， 在和中， ， ∴， ，， ， ，，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 故④正确， 故答案为：①③④． 13．【综合实践】根据以下素材，探索完成任务： 小江和小南在做物理实验时发现：当光发生反射时，反射光线与平面镜的夹角总是等于入射光线与平面镜的夹角．于是，他们想进一步探究转动的平面镜对光线反射的影响．如图1，点O为水平放置的平面镜上一点，将一块三角板的直角顶点摆放在O处，满足斜边，．现有一束光线经平面镜反射后沿射出，当光发生反射时，总是等于．若使光线从与重合处开始绕着点O以每秒的速度顺时针旋转，设旋转时间为t秒． 【探究1】当时，请用无刻度的直尺和圆规在图2中画出此时入射光线和反射光线所在位置； 【探究2】当，且时，求出满足条件的t的值； 【探究3】若在光线开始转动的同时，平面镜也绕点O以每秒的速度逆时针旋转，当时，请直接写出和之间的数量关系． 【答案】探究1：见解析；探究2：或；探究3：当时，；当时， 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，平行线的性质，角平分线的尺规作图，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 探究1：作的角平分线，再作，则入射光线和反射光线即为所求 探究2：分，和，三种情况分别用含t的式子表示出的度数，再根据建立方程求解即可； 探究3：分如图3-1，3-2，3-3，3-4四种情况讨论求解即可． 【详解】解：探究1：如图所示，作的角平分线，再作，则入射光线和反射光线即为所求； 由平行线的性质可得，由题意得； 探究2：当时，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 解得； 当时，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 解得； 当时，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 解得（舍去）； 综上所述，或； 探究3：如图3-1所示，当射线恰好经过点B时， 由题意得， ∴，， ∴， 解得； 如图3-2所示，当时， 由题意得， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴； 如图3-3所示，当射线和重合时，则， 解得； 如图3-4所示，当时， 同理可得， ∴， ∵， ∴，， ∴； 综上所述，当时，；当时，． 14．在中，，，D是上一动点（D不与A、B两点重合），连接． (1)如图1，当平分时，若，求的长； (2)如图2，将绕点D顺时针旋转，得到，连接，取中点F，连． ①猜想与的数量关系，并证明你的猜想； ②如图3，点H在边上，且，连接．当取最小值时，直接写出的值． 【答案】(1)； (2)①，证明见解析；②． 【分析】（1）过点D作于点G，由角平分线的性质得，再证，由勾股定理即可得出结论； （2）①连接并延长至H，使，连接，证，得，，再证，得，，然后证是等腰直角三角形，进而得是等腰直角三角形，即可得出结论； ②连接，证，当时，的值最小，F、D、H三点共线，设，则，，则，再证，，过F点作交于点N，则，然后由勾股定理求出的长，即可解决问题． 【详解】（1）解：如图1，过点D作于点G， ∵平分，， ∴， ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴； （2）解：①，证明如下： 如图2，连接并延长至H，使，连接， ∵F是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 由旋转的性质可知，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴； ②连接，如图4， 由①可知，是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， 当时，的值最小， ∴F、D、H三点共线， ∵， ∴， 设，则，， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 过F点作交于点N， ∴， ∴， ∴， ∵F是的中点， ∴， 在中，， ∴． 【点睛】本题是几何变换综合题目，考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、平行线的判定与性质以及勾股定理等知识，本题综合性强，熟练掌握旋转的性质和等腰直角三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型． 题型四 四边形折叠问题 15．如图，中，，，，点D是的中点，将沿翻折得到，连接，，则线段的长等于（   ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】延长交于点,作,垂足为，首先证明垂直平分线段是直角三角形，求出的长，在中，利用勾股定理即可解决问题． 【详解】解：如图，延长交于点,作,垂足为， 在中，, ， 为的中点， , ， ,解得， 由翻折的性质可知, ,， ， ， ， ， , , , 为直角三角形， ， 故选：． 【点睛】本题主要考查了翻折变换、直角三角形的斜边中线的性质、垂直平分线的判定和性质、勾股定理等知识，能灵活运用面积法求高是解决此题的关键． 16．如图，矩形中，，，点、分别在、边上，，将沿翻折至，沿翻折至，恰好落在线段上，则到的距离为 ． 【答案】或 【分析】过作垂直于的延长线与G，连接交与，连接，由矩形的性质及折叠的性质得 ，由矩形的判定方法得四边形是矩形，设，则，，由勾股定理得 ， ， ，，求出的长， ①当时，由，求出，由勾股定理得，即可求解；②当时，同理可求． 【详解】解：如图，过作垂直于的延长线与G，连接交与，连接， 在矩形中，，， ∴， ， ， ∵， ∴， ∵将沿翻折至，沿翻折至，恰好落在线段上， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， 设，则，， ， ， ， ， ， ， 解得：，， ①当时， ， ， ， ， ， 解得：， ， ； ②当时， 同理可求：． 综上，到的距离为或． 【点睛】本题主要考查了点到直线的距离，折叠的性质，勾股定理，矩形的判定及性质等，掌握点到直线的距离，折叠的性质矩形的判定及性质，能熟练利用勾股定理进行求解是解题的关键． 17．如图，有一张平行四边形纸片，其中，点，分别是边，上的动点（不与端点重合）．将平行四边形纸片沿直线折叠，点落在点处，点落在点处，连接，，，，，．若与相交，交点为，连接． 给出下面四个结论： ①四边形一定是平行四边形； ②当时，四边形是矩形； ③当点落在平行四边形的边上时，四边形是菱形； ④当点固定，点在边上运动时，四边形的面积不变． 上述结论中，所有正确结论的序号是 ． 【答案】②③④ 【分析】本题考查了图形与折叠，平行四边形的判定与性质，菱形的判定，矩形的判定，三角形的面积，熟练掌握以上知识点是解题的关键．①当时，，，但没有足够理由证明点是中点，故不一定成立；②根据折叠，可知垂直平分和，，，，可证明四边形是平行四边形，从而推出，，从而得到，，从而证明出四边形是平行四边形，接着证明即可；③根据折叠，，，，然后利用平行四边形的性质，可证，从而得到四边相等；④根据折叠，可知 ，由，可证为定值，故得出答案． 【详解】解：①不一定成立，当时，如图所示： 将平行四边形纸片沿直线折叠，点落在点处，点落在点处， ， 但没有足够理由证明点是中点 不一定等于 四边形不一定是平行四边形； ②当时， 将平行四边形纸片沿直线折叠，点落在点处，点落在点处， 垂直平分和，，， ， 四边形是平行四边形 ， ， 四边形是平行四边形 又 四边形是平行四边形 ， 四边形是矩形； ③当点落在平行四边形的边上时，如图所示， 将平行四边形纸片沿直线折叠，点落在点处，点落在点处， ，， 四边形是平行四边形 四边形是菱形； ④根据折叠的性质可知，， ， ， 点固定，即为定值，且以为底边时，高为平行四边形的高， 的面积不变， 四边形的面积不变，故④正确． 故答案为：②③④． 18．如图，将正方形纸片ABCD对折，使AD与BC重合，得到折痕EF，再把纸片展平，点是边上一点，将沿折叠，使点的对应点恰好落在上，延长交边于点，交延长线于点． （1）的度数为 ； （2）的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，直角三角形的性质和勾股定理等． （）利用正方形的性质可得，利用折叠的性质可证，即得，进而得到，即可求解； （）设，则，得到，进而可得，即得，代入计算即可求解． 【详解】解：（）∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 由折叠得，，，，，， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （）设，则， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 19．如图所示，将边长为的正方形纸片折叠，使点落在边中点处，点落在点处，折痕为，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了折叠问题，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 过点作于点，连接交于点，由勾股定理可得，由翻折的性质易得，进而可证，可得． 【详解】解：如图，过点作于点，连接交于点， 由题意可知，，， ∴， 由折叠的性质可知， ∴， 又∵，， ∴， 在和中，， ∴， ∴， 故答案为：． 20．如图，正方形的边长为，点E，G分别为边的中点，连接，将沿翻折至同一平面得到．边上有一点H，连接，又将沿翻折至同一平面得到，若点P恰好落在上，则此时折痕的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了正方形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识并掌握特殊化思想成为解题的关键．由正方形的性质以及题意可得；再根据折叠的性质可得、；如图：延长交于K，连接，则，易证可得，设，则有，根据勾股定理列方程可得，即；连接, 根据等边对等角、三角形内角和定理可得, 再根据折叠的性质可得，H是线段的中点，最后由勾股定理求解即可． 【详解】解：∵正方形的边长为，点E，G分别为边的中点，连接， ∴， ∵将沿翻折至同一平面得到．边上有一点H，连接，又将沿翻折至同一平面得到， ∴, 如图：延长交于K，连接，则， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则有， 在中，, ∴，解得：， ∴， 如图：连接, ∵， ∴， 同理：， ∵， ∴, ∵将沿翻折至同一平面得到， ∴垂直平分， ∴，； ∵， ∴， ∴， 即H是线段的中点， ∴； 在中，由勾股定理得． 故答案为：． 21．【数学活动】：如图，用一张正方形的纸片按如下方式折叠：先将纸片对折得到折痕，再沿过点的直线翻折纸片，得到折痕，使点落在上的点处，连接、，与交于点．则下列结论：①；②为等边三角形；③；④．其中正确的序号为 ． 【答案】①②③ 【分析】由折叠得：，垂直平分，，故，那么为等边三角形，即可判断①②；由四边形是正方形得到，那么，由三角形内角和定理可得，故③正确；对于和，通过勾股定理计算说明不相等即可． 【详解】解：由折叠得：，垂直平分， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴； 故①②正确， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴，故③正确； ∵为等边三角形，，， ∴，， 设，则， 由勾股定理得：， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴在中，， 而， ∴，故④错误， 故正确的有：①②③； 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，折叠的性质，三角形的内角和定理等知识点，综合性较强，难度较大． 22．综合与探究 问题情境：折叠问题的实质是图形的轴对称变化，找出对应相等的元素是解题的关键．如图，在矩形中，，，为射线上一动点，连接，将沿折叠得到，点的对应点为． 问题解决： (1)如图当点落在对角线上时，求线段的长． (2)如图，当时，求线段的长． (3)在点运动的过程中，当三点共线时，请直接写出线段的长． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（）利用勾股定理得，由折叠的性质得，，，即得，设，则，在中利用勾股定理解答即可求解； （）在上取一点，使得，连接，可证是等腰直角三角形，得到，即得，进而得，即得到，据此即可求解； （）分点在和点在延长上，分别画出图形，利用矩形和折叠的性质分别解答即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由折叠的性质可得，， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴； （2）解：如图所示，在上取一点，使得，连接， 由折叠的性质可得，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图所示，当点在上时， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 由折叠的性质可得，， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得，， ∴， ∴； 如图所示，当点在延长上时， 同理可证明， ∴， 在中，由勾股定理得，， ∴， ∴； 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质等，正确作出辅助线是解题的关键． 23．【问题情境】 在矩形中，，，E为边上的一点，连接．将矩形沿直线折叠，点B的对应点为F． 【问题解决】 （1）如图1，当点F落在边上时． ①求的长； ②如图2，连接，交于点G，过点B作于点N，交于点M，试判断与的数量关系，并说明理由； 【深入探究】 （2）如图3，当点F落在上方时，交于点P，交AD于点Q，连接．若为等腰三角形，请直接写出的长． 【答案】（1）①   ②，理由见解析 （2） 【分析】（1）①根据矩形的性质得，，，由折叠得，，利用勾股定理求得长，设，则，再次利用勾股定理即可求得； ②根据三角形的面积即可得到结论； （2）根据题意可知只有满足题意，证明，有，设，然后表示和，在中利用勾股定理即可求得x值即可解题． 【详解】解：（1）①∵是矩形， ∴，，， 由折叠可得，， ∴， ∴， 设，则， 在中，，即， 解得：，即； ②，理由为： ∵，， ∴； （2）∵点落在上方， ， ， 为等腰三角形， ， ， ， ， 设，则， 在中，即 ， 解得 则． 【点睛】本题主要考查矩形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理和等腰三角形的性质，解题的关键是熟悉折叠的性质和全等三角形的应用． 24．综合与探究 已知在菱形中，为锐角，E为的中点，连接． 【动手操作】 第一步：如图①，将四边形沿折叠，得到四边形，点B的对应点为点M，点C的对应点为点N． 第二步：如图②，连接． 【问题解决】 （1）如图①，若，则的度数是_________； （2）如图②，判断的形状，并说明理由； 【拓广探索】 （3）如图②，若，，在线段上存在点P，使是以为顶角的等腰三角形，直接写出的长度． 【答案】（1）；（2）直角三角形，见解析；（3） 【分析】（1）菱形的性质，求出的度数，折叠得到，即可得出结果； （2）根据折叠和中点，得到，等边对等角结合三角形的内角和定理，求出，即可得出结论； （3）先证明，得到，作，根据含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求出的长，三线合一求出的长，勾股定理求出的长，再利用线段的和差关系，进行求解即可． 【详解】解：（1）∵菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵折叠， ∴； 故答案为：； （2）为直角三角形，理由如下： ∵翻折， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴为直角三角形； （3）∵折叠， ∴垂直平分， 由（2）可知：， ∴， ∴， ∵菱形， ∴， ∵为的中点， ∴， 作，则：， ∴， ∵是以为顶角的等腰三角形， ∴， ∴， 在中，由勾股定理，得：， ∴． 【点睛】本题考查菱形的性质，折叠的性质，等边对等角，含30度角的直角三角形，勾股定理，熟练掌握菱形的性质，折叠的性质，是解题的关键． 25．整体思想是中学数学解题的重要方法之一，贯穿于数学学习的全过程，对于问题1，樊老师给出了如下的提示：连接，利用与面积之和是菱形面积的，可求出的值． (1)如图1，在菱形中，对角线，的长分别为6和8，点为对角线上一动点（不与点、重合），过点分别作和的垂线，垂足为点和，求的值，请你写出求解过程． (2)如图2，若为矩形，点，分别在边，上，将矩形沿直线折叠，使点恰好与点重合，点落在点处．点为线段上一动点（不与点，重合），过点分别作直线，的垂线，垂足分别为和，以，为邻边作平行四边形，若，，求平行四边形的周长； (3)如图3，当点P是等边外一点时，过点分别作直线，，的垂线，垂足分别为点，，，若，请求出的面积，并写出推理过程． 【答案】(1) (2)24 (3)3 【分析】（1）连接，利用与面积之和是菱形面积的，可求出的值； （2）连接，，，过点作于点，，交于点，利用折叠的性质，矩形的性质，菱形的判定与性质和直角三角形的性质求得，，再利用（1）的方法解答即可； （3）连接，，，过点作于点，设等边三角形的边长为，则，利用（1）的方法求得值，再利用三角形的面积公式解答即可得出结论． 【详解】（1）解：连接，，与交于点，如图， 四边形为菱形， ，，，，菱形的面积． ， ，， ， 的面积是菱形面积的， ， ． （2）解：连接，，，过点作于点，，交于点，如图， 将矩形沿直线折叠，使点恰好与点重合，点落在点处， 垂直平分，，．， ，， 四边形为矩形， ， ． 在和中， ， ∴， ， 四边形为平行四边形， ， 四边形为菱形， ， ， ，， 四边形为矩形， ， ，， 由（1）的方法可得：， ， ， 平行四边形的周长． （3）解：的面积． 连接, ，,过点A作于点K，如图， 设等边三角形的边长为a，则， ∵， ∴， ∵等边， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的面积． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，平行四边形的性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，直角三角形的边角关系定理，三角形的面积公式，本题是阅读型，熟练掌握题干中的方法并熟练运用是解题的关键． 题型五 （特殊）平行四边形的动点问题 26．如图，在四边形中，，，，，，点从点出发，以的速度沿线段向点运动；同时点从点出发，以 的速度沿向点运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设、运动时间为秒，回答下列问题： (1)求为何值时，四边形是矩形? (2)求为何值时，？ (3)是否存在的值，使得是以为腰的等腰三角形？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)存在，的值为或或． 【分析】（1）由，，可得：四边形是矩形，只需，即，即可求解； （2）根据，有两种情况：①若四边形为平行四边形，由可得方程，即可求解；②若四边形为等腰梯形，作于，于，可得四边形和四边形都是矩形，推出，，进而得到，证明可得，得到，由列方程即可求得答案； （3）分两种情况讨论：当时，过作于；当时，过作于；根据矩形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：如图： 由题意得：，， ， ，， 要使四边形是矩形，只需，即， 解得：； （2）解：若，分两种情况： ①当四边形是平行四边形时，．如图： ，即， 解得：， 即当时，四边形是平行四边形，； ②当四边形是等腰梯形时，．如图： 根据题意得：，， ， 作于，于， 又 ，， ， 四边形和四边形都是矩形， ，，， ， 在和中， ， ， ， ， 由得：， 解得：， 时，四边形为等腰梯形，． 综上，当或时，； （3）解：存在，理由如下： ①当时，过作于，如图： ，，， 四边形是矩形， ，， ，， ， ， ， ， ， 解得：或（不合题意，舍去）； ②当时，过作于，如图： 同理可得：四边形是矩形， ，， ， ， ， ， 解得：或； 综上所述，存在的值，使得是以为腰的等腰三角形，的值为：或或． 【点睛】本题主要考查动点问题，涉及平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理定理，全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟悉平行四边形、矩形、等腰三角形的判定定理，灵活运用勾股定理，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用． 27．在四边形中，，，，，，P，Q同时沿着四边形的边逆时针运动，点P从点D出发，以的速度运动，点Q从点B出发，以的速度运动，设运动时间为t秒． (1)______； (2)若点Q运动到点C时就停止，点P也随之停止运动，用含t的代数式表示四边形的面积； (3)若其中一个动点回到其出发点时，另一个动点也随之停止运动，则当_____时，以点P、Q与点A、B、C、D中的任意两个点为顶点的四边形为平行四边形． 【答案】(1)20 (2)或 (3)当或或或时，以点、与点、、、中的任意两个点为顶点的四边形为平行四边形 【分析】（1）过点D作交于点E，证出四边形为矩形，得出，，根据勾股定理即可求出． （2）若点Q运动到点C时就停止，点P也随之停止运动，分为当点P在上运动，即时，运用求解，和当点P在上运动，即时，运用即可求解； （3）分为①当时，②当时，③当时，④当时，分别画图求解即可计算； 【详解】（1）解：过点D作交于点E， ∵，， ∴， 则四边形为矩形， ∴， ∴， ∴． 故答案为：20． （2）若点Q运动到点C时就停止，点P也随之停止运动， 如图1，当点P在上运动，即时， 则， ； 如图2，当点P在上运动，即时， 则， ； 综上，或； （3）如图，①当时，， 此时，四边形是平行四边形； ②当时，， 此时，四边形为平行四边形； ③当时，四边形是平行四边形， ， 此时； ④当时，， 此时，四边形为平行四边形； 综上所述，当或或或时，以点、与点、、、中的任意两个点为顶点的四边形为平行四边形． 【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的性质，矩形的性质和判定，勾股定理等知识；本题综合性强，解本题的关键是分类讨论的思想解决问题，是一道中考常考题． 28．如图，在四边形中，，，，动点P，Q分别从A，C同时出发，点P以的速度由A向D运动，点Q以的速度由C向B运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点随之停止运动．设运动时间为． (1)___________cm，___________cm；（分别用含t的式子表示） (2)当点P，Q与四边形的任意两个顶点所形成的四边形为平行四边形时，求t的值； (3)在（2）的条件下，若，（2）中的平行四边形为菱形时，直接写出的长：___________． 【答案】(1)；； (2)2或或4； (3)4或 或． 【分析】（1）设运动时间为t秒，则，， （2）设秒后四边是平行四边形；分情况讨论，根据平行四边形的性质列出方程解方程即可求解． （3）根据（2）的三种不同情况根据菱形四边相等，分别画出图形利用等腰直角三角形性质和勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：∵点P以的速度由A向D运动，点Q以的速度由C向B运动， ∴设运动时间为t秒，则， ∵，， ∴； 故答案为：；； （2）①当时，四边形是平行四边形，则：，解得， ②当时，四边形是平行四边形，则：，解得， ③当时，四边形是平行四边形，，解得， ④当时，，这种情况不可能． 综上所述，综上所述，t的值为2或或4； （3）①当，四边形是菱形时，如图： 即：， ②当，四边形是菱形时，即：，， ∴ 过点作， ∵， ∴， ∴，，故此时不存在使四边形是菱形， ③当四边形是菱形时，即：，，， 过点D作，过点K作垂足为H，当在内部时，如图③-1 ∵， ∴四边形使平行四边形． ∴，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∵在中，， ∴， 当在外部时，如图③-2， 此时， 综上所述：CD长为或 或． 【点睛】本题考查了四边形动点问题，平行四边形的性质与判定，分类讨论、构造直角三角形利用勾股定理求解是解题的关键． 29．如图1，在平行四边形中，，，，M是一动点，从点D出发，沿运动，以4个单位每秒的速度向终点C点运动；N是从点C出发的另一动点，沿运动，以2个单位每秒的速度向终点D点运动，点M和点N同时出发，运动时间为t秒（M，N两点中如有一个点到达终点时，所有运动即终止）． (1)若M、N出发t秒后，四边形为平行四边形，求t； (2)若的面积为8，请求出t的值； (3)如图2，点F是线段中点，E是直线上另一动点（位于N点右边），且线段在移动过程中始终保持长度为2不变，请探究并直接写出的最小值． 【答案】(1)2 (2),或 (3) 【分析】本题考查矩形的性质，平行四边形的判定与性质； （1）根据平行四边形的性质可得，，，，得到M应在线段上，N应在线段上，再根据运动速度表示、，列方程求解即可； （2）根据点M在不同边上分类讨论，根据三角形面积公式计算即可； （3）将向左平移到，作关于对称的线段，.当三点共线时有最小值． 【详解】（1）∵四边形为平行四边形， ∴，，，， ∴动点M应在线段上，N应在线段上，. ∵在平行四边形中，，， ∴． 由题意得t秒后，，． ∴． ∴． （2）①当点M在上时，， ∵的面积为8，， ∴． ∴． ②当点M在上时，， ∵的面积为8，， ∴． ∴． ③当点M在上时，， ∵的面积为8，， ∴． ∴． ∴综上可知,或． （3）如图将向左平移到，作FN关于对称的线段，则,， ∴.， ∴当、、三点共线时有最小值． ∵，， ∴ ∴有最小值． 题型六 四边形中的线段最值问题 30．如图，中，，点D是与点B不重合的动点，以为一边作正方形，连接，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质定理，勾股定理，等腰直角三角形正方形的性质，根据正方形的性质和全等三角形的判定和性质得出，进而解答即可． 【详解】解：中，，如图，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∴，即， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， 当A、D、E、C在同一直线上时，最小即为， ∵中，， ∴， ∴最小即为， 故选：A． 31．如图，已知正方形的边长为a，点是边上一动点，连接，将绕点顺时针旋转到，连接，，则当之和取最小值时，的周长为 ．（用含a的代数式表示）    【答案】 【分析】连接，过点作交延长线于点，先证明，即可得到点在的角平分线上运动，作点关于的对称点，当点，，三点共线时，最小，根据勾股定理求出的最小值为，即可求出此时的周长为． 【详解】解：连接，过点作交延长线于点，    将绕点顺时针旋转到， ，， ， ， 又， ， ，， ， 即， ， 即点在的角平分线上运动， 作点关于的对称点， 点在的延长线上， 当点，，三点共线时，最小． 在中，，， ， 的最小值为， 此时的周长为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查旋转，全等三角形的判定与性质，轴对称最短路线问题，熟练掌握轴对称解决最短路径是本题的关键． 32．【问题情境】 （1）同学们我们曾经研究过这样的问题：已知正方形，点E在的延长线上，以为一边构造正方形，如图1所示，则和的数量关系为 ，位置关系为 ． 【继续探究】 （2）若正方形的边长为4，点E是边上的一个动点，以为一边在的右侧作正方形，如图2所示． ①请判断线段与有怎样的数量关系和位置关系，并说明理由； ②连接，若，求线段长．爱动脑筋的小丽同学是这样做的：过点G作，你能按照她的思路做下去吗？请写出你的求解过程． 【拓展提升】 （3）在（2）的条件下，点E在边上运动时，则的最小值为 ． 【答案】（1）；；（2）①；，理由见解析；②，过程见解析；（3） 【分析】（1）延长交于J．证明，即可； （2）①延长，交的延长线于点H，证明，即可；②过点G作，证明，可得，再由勾股定理，即可求解； （3）作点D关于直线的对称点T，连接，设交直线于点M，则，根据题意可得点G的运动轨迹是直线，直线与直线之间的距离为4，从而得到，在中，根据勾股定理可得的长，由（2）得：，从而得到，进而得到，即可求解． 【详解】解：（1）如图1中，延长交于J． ∵四边形是正方形，四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 故答案为：；． （2）①结论：；．理由： 如图，延长，交的延长线于点H， ∵四边形是正方形，四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ②如图3，过点G作， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）如图4中，作点D关于直线的对称点T，连接，设交直线于点M，则， 由（2）得：可知，，， ∴， ∴点G的运动轨迹是直线，直线与直线之间的距离为4， 即， ∴， ∴， 在中，∵， ∴， 由（2）得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为， 故答案为∶． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，轴对称最短问题等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用轴对称解决最值问题，属于中考压轴题． 33．如图1，已知为等腰直角三角形，，点D是的中点，作正方形，使点，分别在边和上，连接，．    (1)探索线段与的数量关系，直接写出你的结论______； (2)将正方形绕点D按逆时针方向旋转一定角度（旋转角大于，小于或等于）时（如图2），（1）的结论是否仍然成立？说明理由； (3)已知，，在（2）的旋转过程中，当为最大值时，求的值． 【答案】(1) (2)成立，理由见解析 (3)5 【分析】（1）根据等腰直角三角形和正方形的性质推出条件判定，根据全等三角形的性质即可推出线段与的数量关系； （2）连接，判定，根据全等三角形的性质即可推出（1）中的结论仍然成立； （3）当旋转角是时，、、三点共线，取得最大值，根据的最大值，用勾股定理即可求出的值． 【详解】（1）解：是等腰直角三角形，点是的中点， ∴，， 是等腰直角三角形，， ， 四边形是正方形， ， ， ． 故答案为：； （2）如图2，连接，    由（1）得：， 根据旋转可得：， ， 又，， ， ． 即（1）中的结论仍然成立； （3）如图3，    当、、三点共线，，取得最大值， ， ， 又， ， 在中，，， ， 当为最大值时，的值为5． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查正方形的性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质和全等三角形的判定和性质等知识点，深入理解题意是解决问题的关键． 34．如图①．已知是等腰直角三角形，，点D是的中点，作正方形，使点，分别在和上，连接，．      (1)试猜想线段和的数量关系，并证明你得到的结论； (2)将正方形绕点D逆时针方向旋转一定角度后（旋转角度大于，小于或等于），如图②，通过观察或测量等方法判断（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由； (3)若，在（2）的旋转过程中， ①当为最大值时，则___________． ②当为最小值时，则___________． 【答案】(1)，证明见解析 (2)成立，证明见解析 (3)①；② 【分析】（1）由等腰直角三角形的性质及正方形的性质可以得出，进而得出结论； （2）如图2，连接，由等腰直角三角形的性质及正方形的性质可以得出，进而得出结论； （3）①如图③，当旋转角为时，，此时的值最大．②利用三角形的三边关系确定的最小值，此时如图③中，，，共线． 【详解】（1）解：结论：． 理由：如图1，延长交于．     是等腰直角三角形，，点是的中点， ，， ． 四边形是正方形， ． 在和中， ， ， ； （2）（1）中的结论仍然成立，，．理由如下： 如图②，连接，延长交于，交于．      在中，为斜边中点， ，， ． 四边形为正方形， ，且， ， ． 在和中， ， ， ，， ， ， ． （3）①如图③，当旋转角为时，，此时的值最大．     ， ． ． 在中，由勾股定理，得 ， ． 故答案为：； ②如图④中，连接．    如图②中，在中，，， ， 的最小值为1，此时如图④中，，，共线， 在中，． 故答案为：． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了旋转的性质的运用，等腰直角三角形的性质的运用，勾股定理的运用，全等三角形的判定及性质的运用，正方形的性质的运用，解答时证明三角形全等是关键． 35．如图，正方形中，点P是线段上的动点． (1)当交于E时， ①如图1，求证：． ②如图2，连接交于点O，交于点F，试探究线段、、之间用等号连接的数量关系，并说明理由； (2)如图3，已知M为的中点，为对角线上一条定长线段，若正方形边长为4，随着P的运动，的最小值为，求线段的长． 【答案】(1)①见解析；② (2) 【分析】（1）①连接，根据证明，得到，，再求出，进一步证明得到，等量代换可得结果；②先根据得到，得到，结合勾股定理得到； （2）连接交于点O，先根据正方形的性质得到，，进一步得到当点P与点O重合时，的最小值，的最小值，以及此时，，最后根据M为中点得到Q为中点，即可求解． 【详解】（1）解：①如图1，连接， ∵四边形是正方形， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 又， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②如图，，理由是： ∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）如图，连接交于点O， ∵四边形是正方形，边长为4， ∴，， ∴当点P与点O重合时，的最小值为， ∵的最小值为， ∴的最小值为， ∴当点P与点O重合时，，如图， ∴， ∵M为中点， ∴Q为中点， ∴． 【点睛】本题考查了四边形综合题，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，面积法，勾股定理，最值问题，有一定难度，解题的关键是数形结合，利用正方形的性质添加辅助线． 题型七 四边形的综合问题 36．情景呈现： 小明同学在研究平行四边形对角线的长度与边长的联系． （I）提出问题：当平行四边形的形状发生变化，对角线的长度与边长是否存在等量关系？ （II）探究问题：首先通过举例计算特殊的平行四边形对角线长度： ①正方形的边长为，则______； ②矩形中，，，则_______； ③在菱形中，，，则_______； 再通过几何图形一般化具体分析找规律： ④如图1，在正方形中，，则　　；（请用含a的代数式表示） ⑤如图3，在矩形中，，，则　　．（请用含a、b的代数式表示） （III）猜想并证明： 如图4，在中，，，大胆猜想与、的数量关系为_____，如何用已学的数学知识证明呢？小明通过询问人工智能了解到有两种方法可以解决：第一是采用几何法，利用勾股定理证明；第二是建立平面直角坐标系，数形结合解决．请选择其中一种方法写出证明过程． （IV）解决问题：如图4，在中，，，，将线段绕点旋转，在旋转的过程中，当时，请直接写出此时线段的长． 【答案】（II）①64；②50；③100；④，⑤； （III），证明见解析，（IV）或． 【分析】（II）利用正方形、矩形、菱形的性质结合勾股定理求解即可． 根据菱形的性质，得，，根据勾股定理得，变形得，整理得． （III）方法一：过点A作于，过点D作交延长线于，利用平行四边形的性质，矩形判定和性质，勾股定理证明即可．方法二：如图，四边形为平行四边形，以点为原点，以边所在直线为轴，建立平面直角坐标系，根据两点之间的距离公式计算即可． （IV）根据题意，得到，证明，再根据前面的结论得，求出得到，旋转时，当时，当对应点在点上方和下方时两种情况计算，构造直角三角形求解即可． 【详解】（II）解：①如图①， ∵正方形的边长为，， ∴，， ∴； ②如图③∵矩形中， ∴，，， ∴，， ∴； ③如图②，∵在菱形中，，， ∴，， 根据勾股定理得， ∴， ∴， ④如图①， ∵正方形的边长为，，， ∴， ∴； ⑤如图③∵矩形中， ∴，，，， ∴， ∴； （III）结论：，理由如下： 方法一：采用几何法： 如图，过点A作于，过点D作交延长线于， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∴， ∴ 设，则，， ∵，， ∴ 同理可得：， ∴． 方法二：如图，四边形为平行四边形，以点为原点，以边所在直线为轴，建立平面直角坐标系， 则， 由平行四边形性质，点C的坐标为： ∴，，， ∴ （IV）解：∵在中，，，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 根据前面的结论得， ∴， ∴， ∴，（不合题意舍去）， ∴， 点B绕点O旋转，当对应点在点上方时，设点B的对应点为， ∴， 过点D作于点H， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴； 当对应点在点下方时，设点B的对应点为， 同理可得： ∴， ∴； 综上所述，的长为或． 【点睛】本题主要考查了勾股定理以及勾股定理逆定理，矩形的性质与判定，菱形的性质，平行四边形的性质，难度较大，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 37．我们可以用对称的眼光研究一些几何问题． (1)如图①，在中，与交于点O，点E在边上，延长交于点G， ①求证：； ②将绕点O旋转，使点E落在上的F处，延长交于点H，请画出四边形，并证明四边形是矩形． (2)如图2，在菱形中，正方形的顶点E，G分别在边上，且，F，H两点在菱形的内部（包括边界）． ①在图3中用直尺和圆规作面积最小的正方形（保留作图痕迹，不写作法）； ②若，则正方形面积的最大值为______； 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)①见解析；② 【分析】（1）①利用平行四边形的性质得到，结合对顶角，证明，即可得出结论；②根据题意即可作出图形，同理①得：，得到，由①知，由旋转的性质得，得到，求出，即，即可证明； （2）①在图2中，连接，证明，推出，进而得到三点共线，正方形对角线过点O，根据题意：当有最小值时，正方形的边长最小，此时正方形的面积最小，即当时，正方形的面积最小，则过点O作的垂线，交于点E，延长交于点G，再过点O作的垂线，以为圆心，的长为半径画圆，交垂线于两点，连接即可；②由①知正方形的面积随的增大而增大，当点分别落在上，正方形的面积最大，设交于点Q，交于点P，设正方形边长为，则，，根据，列出方程求出x的值即可解答． 【详解】（1）①证明：在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴； ②证明：如图， 同理①得：， ∴， 由①知， 由旋转的性质得：， ∴， ∴，即， ∴四边形是矩形（对角线相等且平分）； （2）①解：在图2中，连接， 在菱形中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴三点共线， ∴正方形对角线过点O， 根据题意：当有最小值时，正方形的边长最小，此时正方形的面积最小， 即当时，正方形的面积最小， 如图所示为所求： ②由①知正方形的面积随的增大而增大，如图，当点分别落在上时，正方形的面积最大，设交于点Q，交于点P， ∵在菱形中，，， ∴，， 设正方形边长为，则，， ∴， 则， 整理得：， 解得：， ∴正方形的面积最大为， 故答案为：9． 【点睛】本题考查四边形综合问题，涉及平行四边形的性质，矩形的判定，菱形的性质，正方形的性质，尺规作图，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练平行四边形的性质，菱形的性质是解题的关键． 38．综合与实践课上，者师让同学们以“正方形”为主题开展数学活动．将直角的顶点E放在正方形的对角线上（点E不与A、C重合），其中直角边与交于点F，直角边与交于点G． (1)发现：如图①，当与垂直时，判断与的数量关系，并证明． (2)探究：如图②，当与不垂直时，请判断与之间的数量关系是否发生变化？若变化，请说明理由，若不变，请给出证明； (3)拓展：当与不垂直时，以为邻边构造矩形，连接，请直接写出的度数． 【答案】(1)，证明见解析 (2)不变，证明见解析 (3)的度数为或 【分析】（1）由正方形的性质得到，平分，又，，得到四边形是矩形，因此，根据角平分线的性质可得； （2）过点作于点，作于点．由正方形得到，平分，因此四边形是矩形，．进而有，从而，进而证得，得证； （3）分情况讨论：过点作于点，作，交的延长线于点，证得，得到，根据角平分线的判定得到平分；连接，过点作于点，过点作交延长线于点，，矩形是正方形，即可作答． 【详解】（1）解：，证明如下： 四边形是正方形， ，平分， ，， ， 四边形是矩形， ； （2）解：的结论不变，理由如下： 过点作于点，作于点， ， 四边形是正方形， ，平分， 四边形是矩形，， ， ， ， 即， ， ； （3）解：过点作于点，作，交的延长线于点， 则， 由（2）有，且四边形是矩形， 四边形是正方形， ，， 在四边形中，， 即， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 平分， 四边形是正方形， ， ， ， 的度数为； 如图，连接，过点作于点，过点作交延长线于点， ， 四边形是矩形， 又， ， ， ， 又，， ， ， 矩形是正方形， 是对角线， ， 的度数为或． 【点睛】本题是正方形综合题，考查正方形的判定及性质，角平分线的判定，全等三角形的判定及性质，解题的关键是正确作出辅助线，综合运用相关知识． 39．定义：对于一个四边形，我们把依次连结它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”． 概念理解：下列四边形中一定是“中方四边形”的是______． A．平行四边形；    B．矩形；    C．菱形；    D．正方形． 性质探究：如图1，四边形是“中方四边形”，观察图形，写出关于四边形的结论： ①______；②______． 问题解决：如图2，以锐角的两边，为边长，分别向外侧作正方形和正方形，连结，，． （1）连结，，问，的数量关系和位置关系是什么？请说明理由． （2）四边形______“中方四边形”（此空填“是”或“不是”） 拓展应用：如图3，已知四边形是“中方四边形”，，分别是，的中点． （3）试探索与的数量关系，并说明理由． （4）若的最小值是，则的长度为______．（不需要解答过程） 【答案】概念理解：D  性质探究： 问题解决：（1） （2）原四边形是“中方四边形”  拓展应用：（3）   （4） 【分析】概念理解：根据三角形中位线定理，以及正方形判定和性质可得答案； 性质探究：由中位线的性质可得：，结合正方形的性质可得结论； 问题解决：（1）如图，取四边形各边中点分别为并顺次连接成四边形， 连接交于， 连接交于，利用三角形中位线定理可证得四边形是平行四边形，再证得 ，推出是菱形， 再由可得菱形是正方形，即可证得结论； 拓展应用：（3）如图， 记的中点分别为，可得四边形是正方形，再根据等腰直角三角形性质与三角形的中位线的性质即可证得结论； （4）如图， 记的中点分别为，连接交于， 连接， 当点在上 (即共线) 时，最小，最小值为的长，再结合性质探究与拓展应用（3）的结论即可求得答案. 【详解】概念理解：∵在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，正方形的对角线相等且互相垂直， ∴一定是“中方四边形”的是正方形； 故答案为：； 性质探究：∵四边形是“中方四边形”， ∴四边形是正方形， ， ， ∵分别是的中点， ， ， 故答案为：； 问题解决：（1）证明： 如图， 设四边形的边的中点分别为， 连接交于， 连接交于， ∵四边形各边中点分别为， ∴分别是 的中位线， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形和四边形都是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 又∵ ∴， ∴平行四边形是菱形， ∵， ∴. 又∵， ∴， ∴，即， 又∵， ∴. ∴菱形是正方形，即原四边形是“中方四边形”. 拓展应用：（3）； 理由如下： 如图3， 记的中点分别为， 连接， ∵四边形是“中方四边形”， 分别是的中点， ∴四边形是正方形， ， ， ∵分别是的中点， ， ； （4）如图， 令与的交点为， 连接， 当点在上 (即共线) 时， 最小，最小值为的长， 的最小值， 由性质探究知： 又∵分别是的中点， ， ， 的最小值， 由拓展应用（3）知：， ； ． 故答案为： 【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，三角形的中位线的性质，正方形的判定和性质，勾股定理，两点之间线段最短等知识，理解“中方四边形”的定义并运用是本题的关键. 40．在矩形中，，，点、分别是、边上的动点，以为边作平行四边形，点落在边上，点落在矩形内或其边上． (1)如图，当，，且时， 求证：四边形是正方形； 连接，直接写出的面积______ ； (2)如图，当且时，若，连接， ______ ；用含的代数式表示 求面积的取值范围； (3)如图，当与的长度之比为：，且时，在点从点运动到点的过程中，直接写出点运动的路线长______ ． 【答案】(1)①详见解析；② (2)①；② (3) 【分析】（1）①在中，，为矩形，，，，，，，矩形为正方形， ②过作于，则，，，，，； （2）①连接，过点向作垂线交于点，求出，，，； ②，，为菱形，连接，，，又，，，又， ，，，，当取最小值时，有最大值40，当点与点重合时，点在上，即，面积的取值范围即可求得； （3）解：当点与点重合时，点位置如图，当点与点重合时，点在点处，点在点处，点的运动路线为线段，由题意知：，，． 【详解】（1）①证明：在中．， 为矩形， 若 则， 在矩形中， ， ， ， ， 又， ， ， 矩形为正方形； ②解：过作于，则，如图1， ，， ， 又 ， 又由， ， ， ， 故答案为：32； （2）解：①连接，过点向作垂线交于点，如图2， 若，则， ， ， ， 又：， ， 故答案为：； ②， 则， 当时，为菱形，连接， ， ， 又， ， ， ， 又， ， ， ， ， 当取最小值时，有最大值40， 当点与点重合时，点在上， 即， 面积的取值范围为：； （3）解：当点与点重合时，点位置如图，根据瓜豆原理，主动点的轨迹是线段，则从动点轨迹也是线段，则点的运动路线为线段， 由题意知：， ， 所以点的运动路线长为． 【点睛】本题考查动点，矩形，菱形，正方形的综合问题，解题的关键是对以上知识的熟练掌握． 题型八 点坐标规律探索 41．如图，在平面直角坐标系中，风车图案的四个叶片为完全相同的平行四边形，其中一个叶片上的点A、C的坐标分别为，将风车绕点O逆时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束时，点B的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，坐标与平面，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 先根据平行四边形的性质得到，然后找到规律得到第2025次旋转结束相当于第9次旋转结束，当于顺时针旋转了，此时点对应点记为点，过点分别作轴的垂线，垂足为点，则，证明即可求解． 【详解】解：∵平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵将风车绕点O逆时针旋转，每次旋转，， ∴12次为一个周期， ∵， ∴第2025次旋转结束相当于第9次旋转结束， ∵， ∴第9次逆时针旋转了，则相当于顺时针旋转了，此时点对应点记为点， 过点分别作轴的垂线，垂足为点，则， 由旋转得， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴则第2025次旋转结束时，点B的坐标为， 故选：B． 42．如图，在平面直角坐标系中，将沿轴向右变换到的位置，再变换到的位置，依次进行下去，若已知点，，，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了点的坐标变化规律问题，由已知可得，即得，据此可得，进而即可求解，找到点的坐标变化规律是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 43．如图，、关于原点O对称的点分别为C、D，点M从点B出发，按顺时针方向绕四边形的边运动，点N从点A出发，按逆时针方向绕四边形的边运动，若点M的速度是点N的速度的2倍，则点M和点N第2025次相遇时，点M的坐标为 ． 【答案】 【分析】先证明四边形是菱形，利用勾股定理求出菱形边长为，利用行程问题中的相遇问题，根据两个点的速度，求得每一次相遇的地点，找出规律即可解答． 【详解】解：∵、关于原点O对称的点分别为C、D， ∴， ∵， ∴四边形是菱形， ∴， ∴菱形的周长为， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 根据题意设点N的速度为x，则点M的速度为， ∴点M和点N第1次相遇时，经过时间为，此时点M运动的路程为，则点M在点上，坐标为； 点M和点N第2次相遇时，经过时间为，此时点M运动的路程为， ∵， ∴点M在点的三等分点上，且靠近点C， 如图，设相遇点为，过点作轴的垂线，垂足为，则， ∴， ∴， ∴， ∴， 点M和点N第3次相遇时，同理得经过时间为，此时点M运动的路程为，点M在点的三等分点上，且靠近点A， 如图，设相遇点为，同理得， 点M和点N第4次相遇时，同理得经过时间为，此时点M运动的路程为，点M在点上， ； 则点M和点N相遇点依次为， ∵， ∴点M和点N第2025次相遇时，相遇位置为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系中点的规律，勾股定理，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质及菱形的判定与性质，找到规律是解题的关键． 44．如图，在平面直角坐标系中，，正六边形的顶点，的坐标分别为，，点 是正六边形 的边上一动点，连接 ， 将绕点顺时针旋转，得到， 连接 ．点 从点出发，按照顺时针的方向 即以每秒个单位长度的速度 运动，则第秒时点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正六边形的性质，坐标与图形，旋转的性质，根据题意得出正六边形的边长为，则运动一圈的时间为秒，进而得出第秒时，点运动到点的位置，根据旋转的性质求得点的坐标，即可求解． 【详解】解：正六边形的顶点，的坐标分别为，， ∴， ∴正六边形的边长为 点运动一圈的路程为， ∵点 以每秒个单位长度的速度运动， ∴运动一圈的时间为秒， （圈）， 第秒时，点运动到点的位置， ∴ ∵将绕点顺时针旋转，得到， ∴ 故答案为：． 45．平面直角坐标系中，给定个不同的点，，⋯⋯，，若存在一点，使得满足的点和的点的个数相等，且满足的点和的点的个数也相等，则称点为的平分点．例如，点是，和的一个平分点． (1)已知点，，，，则点________（填“是”或“不是”），，，的平分点，________（填“是”或“不是”），，，的平分点； (2)已知的顶点坐标为，，， ①若，，线段以1个单位/秒的速度向右运动．当，，，，不存在平分点时，运动时间的取值范围是________； ②已知正方形的顶点坐标分别为，，，，要使点，，，，，，有且仅有一个平分点，请直接写出的值． 【答案】(1)不是，是 (2)①且；②或 【分析】本题考查平分点的定义，点的横纵坐标特点，解题的关键在于理解平分点的定义． （1）根据平分点的概念进行判断，即可解题； （2）①根据平分点定义，分别分析，，，，的横纵坐标特点，即可得到运动时间的取值范围； ②根据平分点定义，分别分析，，，，，，的横纵坐标特点，根据横纵坐标特点找出满足横坐标或纵坐标能平分的的取值，进而讨论另一种坐标是否能被平分，即可解题． 【详解】（1）解：， 点不是，，，的平分点， ，， 是，，，的平分点， 故答案为：不是，是． （2）①解：当运动时间为时，，， ， 即当纵坐标为时，能平分，，，，的纵坐标， ，，，，不存在平分点时， ，，，，的横坐标不能平分， ， 且时，，，，，的横坐标不能平分， 故答案为：且； ②解： ，，，，，，有且仅有一个平分点， 又横坐标中，， 纵坐标中，， 当且仅当或（即）时，能够平分横坐标， 此时，当时，纵坐标，不能平分，舍去； 当时，纵坐标，即纵坐标为且只能为时，能平分； 又当且仅当（即）或（即）时，能够平分纵坐标， 此时，当时，横坐标，即横坐标为且只能为时，能平分； 当时，横坐标，不能平分，舍去； 综上所述，或时，点，，，，，，有且仅有一个平分点． 题型九 一次函数的规律探究问题 46．正方形，，按如图的方式放置，…和点…分别在直线和x轴上，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的性质和一次函数图象上点的坐标特点，找到规律是解题的关键. 根据一次函数图象上点的坐标特点和正方形的性质依次求出，，，找到规律，可得点的坐标是，即可求解. 【详解】解：对于直线，当时，， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，即， 当时，， ∴，即， ∵四边形是正方形， ∴，即，即， 当时，， ∴，即， ∵四边形是正方形， ∴，即，即， 以此类推，可得点的坐标是； 点的坐标是； 故选：A. 47．如图，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线，，过点作x轴的垂线交于点，过点作y轴的垂线交于点，过点作x轴的垂线交于点，过点作y轴的垂线交于点，…，依次进行下去，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、正比例函数的图象以及规律型中点的坐标，根据坐标的变化找出变化规律是解题的关键．根据一次函数图象上点的坐标特征可得出点、、、、、、、、等的坐标，根据坐标的变化找出变化规律“，，，（n为自然数）”，依此规律结合即可找出点的坐标． 【详解】解：当时，， 点的坐标为； 当时，， 点的坐标为； 同理可得：，，，，，，， ∴，，，（n为自然数）， ∵， 点的坐标为，即． 故选：C． 48．如图，在平面直角坐标系中，点在直线上，过点作，交轴于点；过点作轴，交直线于点；过点作，交轴于点；过点作轴，交直线于点，…，按此作法进行下去，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形、坐标规律、等腰三角形的性质等知识点，解题的关键在于能够发现点坐标的规律． 根据题目所给的解析式，求出对应的坐标，然后根据规律求出的坐标，再根据等腰三角形的判定与性质求得，最后根据三角形的面积即可解答． 【详解】解：如图，过点作轴于M， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴的坐标为， 同理可得：的坐标为，； 的坐标为，， …… 的坐标为，， ∴的坐标为，， ∴的面积为． 故答案为：． 49．如图．在平面直角坐标系中，直线l经过原点，且与y轴正半轴所夹的锐角为60°，过点作y轴的垂线交直线l于点B，过点B作直线l的垂线交y轴于点，以，BA为邻边作；过点作y轴的垂线交直线l于点，过点作直线l的垂线交y轴于点，以，为邻边作……按此作法继续下去，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】先求出直线的解析式为，设点坐标为，根据直线经过点，求出点坐标为，解，得出，由平行四边形的性质得出，则点的坐标为，即；根据直线经过点，求出点坐标为，解，得出，由平行四边形的性质得出，则点的坐标为，即；同理，可得点的坐标为，即；进而得出规律，求得的坐标是即可得到答案． 【详解】解：∵直线经过原点，且与轴正半轴所夹的锐角为， ∴直线的解析式为． ∵轴，点， ∴设点坐标为， 将代入，得，解得， ∴点坐标为， 则． 在中，， ∴， ∵在中，， ∴点的坐标为，即； 由，解得， ∴点坐标为， 则． 在中，， ∴， ∵在中，， ∴点的坐标为，即； 同理，可得点的坐标为，即； 以此类推，则的坐标是， 的坐标． 故答案为：． 【点睛】本题考查了坐标规律，涉及图形与坐标、平行四边形的性质、勾股定理解直角三角形以及一次函数的综合应用，先分别求出点的坐标，从而发现规律是解题的关键． 50．如图，已知直线，直线和点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，按此作法进行下去，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，首先根据点的变化规律分别求出点、、、的坐标，根据它们的横坐标变化规律，得到点的横坐标，再根据点在直线上求出纵坐标． 【详解】解：点的坐标为，点在直线上， 点的坐标是， 轴， 点的纵坐标是， 又点在上， 解方程， 解得：， 点的坐标是， 轴， 点的横坐标是， 又点在直线上， 点的坐标是， 轴， 点的纵坐标是， 又点在直线上， 可得方程， 解得：， 点的坐标是， 根据规律可得：的横坐标为，的横坐标为， 的横坐标为，的横坐标为， 的横坐标为，的横坐标为， ， 的横坐标为， ， 的横坐标为， 又点在上， 可得：， 点的坐标为 故答案为： ． 51．如图，在平面直角坐标系中，直线：与直线交于点，过作x轴的垂线，垂足为，过作的平行线交于，过作轴的垂线，垂足为，过作的平行线交于，过作轴的垂线，垂足为按此规律，则点的纵坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标规律探究，两直线的交点，一次函数图象性质．总结归纳出点A纵坐标变化规律是解题的关键． 联立直线与直线的表达式并解得：，，故，依次求出：点的纵坐标为、的纵坐标为，…，的纵坐标为即可求解． 【详解】解：联立直线与直线的表达式并解得：，，故； 则点，则直线的表达式为：， 将点坐标代入上式并解得：直线的表达式为：， 将表达式与直线的表达式联立并解得：，，即点的纵坐标为； 同理可得的纵坐标为， 的纵坐标为 按此规律，则点的纵坐标为， 故答案为：． 52．已知直线：和直线：，其中k为不小于2的自然数．当时，直线，的交点坐标为 ，此时直线，与x轴围成的三角形的面积 ；当，3，4，…，2024时，设直线，与x轴围成的三角形的面积分别为，，，…，，则 ． 【答案】 1 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及规律型中图形的变化类，利用一次函数图象上点的坐标特征求出两直线与x轴交点间的距离是解题的关键． 先求出两个函数与轴的交点坐标，从而求出的值，代入，可得出的值，利用三角形的面积公式可求出的值；分别代入求出、值，将其相加即可得出结论． 【详解】解：当时，有， 解得：， ∴直线与轴的交点坐标为， 同理，可得出：直线与轴的交点坐标为 ， ∴两直线与轴交点间的距离 ． 联立直线成方程组， 得：， 解得：， ∴直线的交点坐标为． 当时，， 当时，； 当时，； 当时，； ， 故答案为：；1；． 53．如图，在平面直角坐标系中，点，，，……都在x轴上，点，，……都在同一条直线上，，，，，……都是等腰直角三角形，且，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，一次函数等知识，解题的关键用列举法找到规律后再解答．先求出直线解析式，再根据题意分别求出，，，……的纵坐标，再代入函数表达式中，求出横坐标，即可得到答案． 【详解】解：平面直角坐标系中的直线过点，， 函数表达式为． ，，，，……都是等腰直角三角形，且， ∴的纵坐标为1， 的纵坐标为， 的纵坐标为， …… 的纵坐标为， 把的纵坐标为代入中， 解得， 点的坐标是． 故答案为： 54．如图，已知，是轴上的点，且，分别过点 作轴的垂线交直线于点，连接 ，依次相交于点，，的面积依次为，则为 ． 【答案】 【分析】此题考查的知识点是一次函数的综合应用，同时也考查了学生对数字规律问题的分析归纳的能力由已知可以得到，，，点的坐标分别为：，，，，则点，，，的坐标分别为，，，，由此可推出点，，，的坐标为，，，，．由函数图象和已知可知要求的的坐标是直线和直线的交点．在这里可以根据推出的四点求出两直线的方程，从而求出点，再跟进从而求得结果． 【详解】解：由已知得，，，的坐标为：，，，， ∵分别过点 作轴的垂线交直线于点， ∴点，，，的坐标分别为，，，． 由此可推出，，，四点的坐标为，，，，． 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 同理可得直线的解析式为， 联立， 解得：， ∴点， ∴ ， 故答案为： ． 题型十 一次函数与几何综合 55．如图，平行四边形在平面直角坐标系中， ， ，．若点M在平面直角坐标系内，点F在直线上（不在坐标轴上），且以A，C，F，M为顶点的四边形为菱形，则所有符合条件的点F的坐标为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查的是平行四边形的性质、坐标与图形及菱形的判定，分情况：①是邻边，点F在射线上时；②是邻边，点F在射线上时；③是对角线时，作垂直平分线交射线于点；④是对角线时，的垂直平分线经过点，分别求出即可． 【详解】解：连接， 在中，， ， ，， ， ， 设直线的解析式为，把， 代入， ， 解得：， 直线的解析式为， ①是邻边，点F在射线上时，， 所以点F与B重合， 即，由题意舍去 ②是邻边，点F在射线上时， ∴M在射线上，且垂直平分， ∴， ∴； ③是对角线时，作垂直平分线交射线于点， 设 的中点 在中， ， 解得：， ④是对角线时，的垂直平分线经过点， 设 的中点 在中， ， 解得：或（不合题意舍去） 综上所述，所有符合条件的点F的坐标为或或或． 故答案为：或或 56．如图，在平面直角坐标系中，的顶点A在x的负半轴上，点B在y的正半轴上，点C在x的正半轴上，，，． (1)求的长； (2)点D为线段上一点，且，点P从点C出发沿线段向终点B运动，速度为每秒5个单位长度，过点P作轴，交射线于点Q．设点P的运动时间为t秒，的长为m，求m与t的函数关系式，并直接写出t的取值范围； (3)在（2）的条件下，当的面积为15时，平面内是否存在点R，使以B、P、Q、R为顶点的四边形为平行四边形，若存在，求出R点坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】本题考查了一次函数与几何综合，平行四边形的性质，勾股定理，正确画出图形，利用分类讨论的思想是解题的关键． （1）利用勾股定理即可解答； （2）求得点的坐标，再求直线的解析式，利用面积法得到点的纵坐标，可求得点的坐标，即可解答； （3）求得点的坐标，利用分类讨论，即分别为对角线，逐一解答即可． 【详解】（1）解：，，， ； （2）解：如图，连接， ， 根据三角形面积公式可得， ， ， ， ， ， ，， 根据题意可得， ， 根据面积法可得点的纵坐标比点的纵坐标等于， 点的纵坐标为， 设直线的解析式为， 把代入可得， 解得， 所以直线的解析式为， ， 解得， ， 设直线的解析式为， 把代入可得， 解得， 所以直线的解析式为， 轴， 点横坐标为， ， ， ； （3）解：如图， ，， 解得， 则， 当为平行四边形的对角线时，如图， ， 此时， ， ； 当为平行四边形的对角线时，如图， ， 此时， ， 当为平行四边形的对角线时，即为平行四边形的对角线时，如图， ， 此时的中点为， 设， ， 解得， ， 综上所述，点的坐标为或或． 57．如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A，交y轴于点B，点C为y轴负半轴上一点，且，直线经过A，C两点． (1)求直线的解析式； (2)如图1，将直线向上平移个单位长度得到直线，与直线交于点Q，与x轴，y轴分别交于点D，点E．点P是直线上位于第四象限内的一点，点M，N分别在直线，上．若点N在点M左侧，且，连接，，，当时，求点P的坐标以及的最小值； (3)如图2，将绕点O逆时针旋转得到，在旋转过程中，直线与x轴于交点G，与直线交于点H，在平面内确定一点K，使得四边形为菱形，请直接写出所有符合条件的点K的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）先求出，得出，结合题意可得，从而得出，再利用待定系数法求解即可； （2）先求出，，设，结合，得出，求出，从而求出，求出直线的解析式为，，，，，作交于，则四边形为平行四边形，为等边三角形，，作交于，求出，，利用平移得出，则，，证明四边形为平行四边形，得出，作点关于直线的对称点，连接交于，连接，则，，求出，由轴对称的性质可得，从而可得，即的最小值为，求出的值即可得解； （3）分两种情况：四边形第一次为菱形时，过点作轴于点，过点作轴于点，利用含角的直角三角形的性质求出点和点的坐标，再利用菱形中，是平移来的，结合点到点的平移方式，即可求出点的坐标；当四边形第二次为菱形时，过点作轴于点，此时点与点重合，得出点坐标，利用含角的直角三角形的性质求出点的坐标，再利用菱形中，是平移来的，结合点到点的平移方式，即可求出点的坐标． 【详解】（1）解：∵直线交x轴于点A， ∴当时，， 解得，即， ∴， ∵， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入解析式， 得：， 解得：， ∴直线的解析式为； （2）解：在中，当时，，即， ∴， ∴， 由（1）可得， ∴， ∵点P是直线上位于第四象限内的一点， ∴设， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∵将直线向上平移个单位长度得到直线，直线的解析式为， ∴直线的解析式为，，， ∴， 当时，，即， 当时，，解得，即， ∴，，， ∴， 如图，作交于， 则四边形为平行四边形，， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形，， 作交于，则， ∴， 将点沿方向平移单位长度得到点（即向左平移个单位长度，向上平移个单位长度）， 则，即， 则，， ∴四边形为平行四边形， ∴， 作点关于直线的对称点，连接交于，连接，则，，过点作轴于点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 由轴对称的性质可得， ∴， ∴的最小值为， ∵， ∴的最小值为， ∴的最小值； （3）解：如图，四边形第一次为菱形时，过点作轴于点，过点作轴于点， 此时为等腰三角形，且， ∴， ∴， 由旋转知，， ∴， ∵轴， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∵四边形为菱形， ∴， ∴，， ∴， ∴， 由菱形中，，， ∴是平移来的， ∵点到点的平移方式是水平向右平移个单位长度， ∴点为点水平向右平移个单位长度， ∴点的坐标为， 即； 如图，四边形第二次为菱形时，过点作轴于点， 此时为等腰三角形，且， ∴，， 由旋转知，即， ∴点与点重合， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 同上平移方法可得点为点水平向右平移个单位长度， ∴点的坐标为， 即； 综上所述，或． 【点睛】本题考查一次函数与几何综合，涉及待定系数法求一次函数解析式，特殊角的三角函数值，菱形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理赵桥铺路与将军饮马最值问题，熟练掌握这些性质与方法是解题的关键． 58．如图，直线图象与轴、轴分别交于两点，点分别是射线、射线上一动点（点与点不重合），且，． (1)求点坐标； (2)点在线段、上时（不与端点重合），设的长度为，用含的代数式表示的面积，并写出的取值范围； (3)若为坐标平面内的一点，当以为顶点的四边形为菱形时，直接写出的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)当以为顶点的四边形为菱形时，的坐标为或或 【分析】（1）根据直线与坐标轴交点的计算方法求解即可； （2）根据题意，，设的长度为，，是等边三角形，，过点作轴于点，可得，由，即可求解； （3）根据菱形的性质，分类讨论：第一种情况，如图所示，四边形是菱形，则第二种情况，如图所示，四边形是菱形，；第三种情况，如图所示，四边形是菱形，，连接交于点；数形结合分析即可求解． 【详解】（1）解：直线图象与轴、轴分别交于两点， 当时，，则， 当时，， 解得，，则； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴，则， 设的长度为， ∴， ∵， ∴是等边三角形，， ∴， 如图所示，过点作轴于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点在线段、上时（不与端点重合）， ∴， ∴； （3）解：以点为顶点的四边形为菱形， 第一种情况，如图所示，四边形是菱形，则， ∴，则， ∵， ∴点与点重合，则； 第二种情况，如图所示，四边形是菱形，， ∴， 由上述证明可得，， ∴， ∴； 第三种情况，如图所示，四边形是菱形，，连接交于点， ∴，且， ∴，是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，当以为顶点的四边形为菱形时，的坐标为或或． 【点睛】本题主要考查一次函数与坐标轴的交点，一次函数与几何图形面积的计算，等边三角形的判定和性质，勾股定理，一次函数与菱形性质的综合，掌握以上知识，数形结合分析是关键． 59．如图，直线图象与轴、轴分别交于、两点，点、分别是射线、射线上一动点点与点不重合，且． (1)求点、坐标和度数； (2)点、在线段、上时不与端点重合，设的长度为，用含的代数式表示的面积； (3)若为坐标平面内的一点，当以、、、为顶点的四边形为菱形时，直接写出的坐标． 【答案】(1)点的坐标为；点的坐标为， (2) (3)当以、、、为顶点的四边形为菱形时，点的坐标为或或 【分析】（1）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点，的坐标及，的长度，在中，利用勾股定理可求出的长度，由 取的中点，连接，可得是等边三角形，进而求出的度数； （2）过点作轴，垂足为点，由，的长度可得出，由，，可得出为等边三角形，利用等边三角形的性质及勾股定理可得出的长度，再利用三角形的面积公式即可得出关于的函数关系式； （3）分，及三种情况考虑：①当时，点与点重合或点与点重合，进而可得出点的坐标；②当时，由可求出的长度，结合是等边三角形可得出的长度，由可求出的长度，进而可得出点的坐标；③当时，过点作直线，垂足为点，通过解直角三角形可求出的长度，由等腰三角形的性质及的长度可求出的长度，结合为等边三角形可得出的长度，由可求出的长度，进而可得出点的坐标．综上，此题得解． 【详解】（1）解：当时， ，点的坐标为； 当时， 解得： 点的坐标为， 在中，， 如图，取的中点，连接， 是等边三角形， （2）在图中，过点作轴，垂足为点． ，， ， ，， 为等边三角形， （3）∵以、、、为顶点的四边形为菱形， 分三种情况考虑，如图所示． ①当时，点与点重合， 点的坐标为； ②当时， 是等边三角形， ③当时，过点作直线，垂足为点， 在中，，， ， ， ． 为等边三角形， ， ， 点的坐标为． 综上所述：当以、、、为顶点的四边形为菱形时，点的坐标为或或或． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、勾股定理、解含30度角的直角三角形、等边三角形的判定与性质、三角形的面积以及等腰三角形的性质，掌握以上知识分类讨论，是解题的关键． 60．在平面直角坐标系中，给出如下定义：P为图形M上任意一点，如果点P到直线的距离等于图形M上任意两点距离的最大值时，那么点P称为直线的“伴随点”．例如：如图①，已知点，，在线段上，则点P是直线：x轴的“伴随点”． (1)如图②，已知点，，P是线段上一点，直线与x轴的夹角，，当点P是直线的“伴随点”时，点P的坐标为_____； (2)如图③，x轴上方有一等边三角形，轴，顶点A在y轴上且在上方，，点P是上一点，且点P是直线轴的“伴随点”，当点P到x轴的距离最小时，求等边的边长； (3)如图④，以，，为顶点的正方形上始终存在点P，使得点P是直线：的“伴随点”，请直接写出b的取值范围． 【答案】(1) (2)2 (3)或 【分析】（1），根据新定义得出，过点作于点，根据已知得出，则，即可求解； （2）边上任意两点的距离的最大值即为的边长，当点在线段上，到轴的距离最小时，则点P到x轴的距离为的长；设与y轴交于点D，则，由勾股定理可得，解方程即可得到答案； （3）由正方形的边长为1，即可求出P到的距离为，从而可得P既在正方形的边上，也在到距离为的直线上，求出直线恰好经过点A和点C时b的值，再求出直线经过点A时，在直线下方与其平行，且与直线的距离为的直线解析式，直线经过点C时，在直线上方与其平行，且与直线的距离为的直线解析式即可得到答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴线段上任意两点的距离的最大值为， 如图所示，过点作于点，过点Q作轴于H，      ∵点是直线的“伴随点”， ∴点到直线的距离为2，即， ∵， ∴在中，， ∵， ∴， ∴， ∴点P的坐标为； （2）解：∵是等边三角形， ∴边上任意两点的距离的最大值即为的边长， ∵轴，即轴， ∴当点在线段上，到轴的距离最小时， ∵点是直线：轴的“伴随点”，且点到轴的距离最小， ∴点P到x轴的距离为的长； 如图所示，设与y轴交于点D， ∵轴，且点A在y轴上， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∴或（舍去）， ∴等边三角形的边长为； （3）解：∵，， ∴， ∴正方形的边长为1， ∵正方形四条边上任意两点的距离最大值为其对角线的长， ∴正方形上任意两点距离的最大值为， ∵正方形上始终存在点，使得点是直线：的“伴随点”， ∴正方形上始终存在点P，使得点P到的距离为． 当直线恰好经过点A时，则，解得， 当直线恰好经过点C时，则，解得； 如图所示，作直线交y轴于T， 由正方形的性质可得， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴，， 设直线与y轴交于I，则， ∴， ∴， ∴，即， 如图所示，作直线平行于直线，则直线与直线的距离为， ∵当点P与点A重合时，点P到直线的距离最小为，此时刚好存在点P满足题意， 当直线向下平移时，点P到直线的距离一定会大于，故此时不符合题意； 而当直线向上平移至直线的过程中，始终存在点P，满足点P到直线的距离为， 把代入中得， ∴当时，正方形上始终存在点，使得点是直线：的“伴随点”； ∵直线与直线的距离为（直线向上平移2个单位得到直线）， ∴直线与直线的距离为（直线向上平移2个单位得到直线）， 同理可得当时，正方形上始终存在点，使得点是直线：的“伴随点”； 综上，当或时，正方形上始终存在点，使得点是直线：的“伴随点”． 【点睛】本题主要考查了一次函数与几何综合，正方形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，理解新定义是解题的关键． $$