专题17【学案】长方体和正方体

扇学科同·阻子学 www.zxxk.com 让学习更高效 【学案·专题17】长方体和正方体 【思维导图】 【考点一】长、正方体的展开与折叠 【考点二】长、正方体表面积 【考点三】长、正方体体积 长方体和正方体 【考点四】染色问题 【考点五】等体积转化 【考点六】挖洞问题 【考点七】浸水问题 面积 名称 图形 特征 体积 侧面积 表面积 8个顶点、6个面（对面 Sa=2 (a+b)h 长方体 S最=2(ab+ah+bh) V-abh 面积相等)、12条棱 Ss=ab 正方体 8个顶点、6个面（全相 S-4a2 S最=6a2 V✉3 等)、12条棱（全相等） 核心知识点 【考点一】长、正方体的展开与折叠 【例1】 下面的展开图中，可以围成正方体的共有( P中即中 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 1 扇学科同·随子学 www.zxxk.com 让学习更高效 【思路分析】 第一个图形不属于正方体展开图，不能围成正方体 第二个图形、第四个图形都属于正方体展开图的“1一4-1”型，能围成正方体 第三个图形属于正方体展开图的“2-3-1”型，能围成正方体 【解答】C 技巧点拨 解题方法： 1正方体展开图共有11种 “141型 (6种) 口站中何4个一透电，两边务输使成 231 (3种) 口此三三紧连一个，三一连便 33 “2-22型 (1种) 口块三个尚推一对苏 (1种) 口块：两两相连各螺 2.展开图相对面 (1)同行或同列相隔一个面，为相对面 (2)“z”字两端，为相对面 【例2】一块长方形铁皮，长25厘米，宽15厘米，从四个角分别剪去边长厘米的小正方形， 然后把四周折起来，做成没有盖子的铁盒，请你帮忙计算一下：做这样一个盒子至少需要多少 铁皮？铁盒的容积是多少？ 2里米 15厘米 25里米 扇学科网·顺子学 www.zxxk.com 让学习更高效 【思路分析】 1“做盒子需要多少铁皮”→求无盖铁盒的表面积 ①原始铁皮面积：25×15=375（平方厘米） ②剪去部分面积：4×2×2=16（平方厘米） ③无盖铁盒的表面积：375-16=359（平方厘米） 2铁盒的容积 长：25-2×2=21（厘米） 宽：15-2×2=11（厘米）高：2厘米 容积：21×11×2=462（立方厘米） 技巧点拨 解题方法： 1求无盖容器表面积时，用原始图形面积减去剪掉部分的面积 2.求容积时，要根据“剪去的小正方形边长”确定容器的长、宽、高，再用公式计算 【考点二】长、正方体表面积 【例3】沿着一个长方体长的方向切掉一个小正方体，剩下的长方体的表面积比原来减少24 平方厘米。所切下的正方体的表面积是多少平方厘米？ 【思路分析】 1长方体减少的表面积一小正方体的4个面（上、下、前、后） 小正方体一个面的面积是24÷4仁6（平方厘米） 2.正方体表面积：6×6=36（平方厘米） 3 扇学科网·顺子学 www.zxxk.com 让学习更高效 技巧点拨 解题方法： 1.切割成两个物体时，表面积会发生变化，要知道是增加或减少几个面 ①减少4个面（上、下、前、后） ②增加2个面（左、右）》 一 2拼接：减少2个面 【考点三】长、正方体体积 【例4】一个长方体，如果长增加2厘米，则体积增加40立方厘米；如果宽增加3厘米，则 体积增加90立方厘米；如果高增加4厘米，则体积增加96立方厘米。长方体的体积是多少立 方厘米？ 【思路分析】 1.长增加2厘米，体积增加40立方厘米 增加的体积是一个以原长方体的宽和高为底面边长、2厘米为高的小长方体体积 求出宽×高：40+2=20(cm) 2宽增加3厘米，体积增加90立方厘米 增加的体积是一个以原长方体的长和高为底面边长、3厘米为高的小长方体体积 求出长×高：90-3=30(cm) 3高增加4厘米，体积增加96立方厘米 增加的体积是一个以原长方体的长和宽为底面边长、4厘米为高的小长方体体积 帝学科网·阻子学 www.zxxk.com 让学习更高效 求出长×宽：96-4-24cm) 4原长方体体积： 把三个数连续乘起来就是（长×宽×高）2 20×30×24=14400 120×120=14400 所以长×宽×高=120（立方厘米） 技巧点拨 解题方法： 1长方体某一维度增加导致体积变化的问题，利用“增加的体积÷增加的长度”，分别求出 另外两个维度的乘积 2.三个数连乘时=体积3，在解的时候不要把结果硬算出来，要学会分解因数，把数写成两组 一模一样的数就得到体积了，如20×30×24=2×10×3×10×4×6=(2×6×10)×（3×10×4) 【考点四】涂色问题 【例5】将一个长6厘米、宽4厘米、高3厘米的长方体的六个表面都涂上红色，然后把这 个长方体切割成一个个边长为1厘米的小正方体，这些小正方体中，恰好有两个面涂上红色的 有多少个？ 【思路分析】 两个面涂色的小正方体在长方体的棱长上（非顶点处） 1每条棱去掉两端顶点后中间部分的个数 每条长棱上两个面涂色的个数，62=4（个）】 每条宽棱上两个面涂色的个数：4-2=2（个】 每条高棱上两个面涂色的个数：3-2=1（个） 2.计算，总数：(4+2+1)×4=28（个） 5 扇学科网·顺子学 www.zxxk.com 让学习更高效 技巧点拨 解题方法： 1.三面涂色：8个顶点(8个) 2两面涂色：12条棱上 长方体：（长+宽+高6）×4 正方体：（边长2）×12 3.一面涂色：6个面中 长方体：[长-2)×（宽-2+（高-2）×（宽-2+长2）×（高-2]×2 正方体：（边长2）2×6 4没有涂色：最中心的正方体 长方体：（长-2）×宽-2)×高-2) 正方体：（边长-2）3 【考点五】等体积转化 【例6】把一块棱长为9cm的正方体铁块熔铸成一个底面半径为9m的圆锥形铁块。这个圆 锥形铁块的高是多少cm?(取3.14，得数保留一位小教) 【思路分析】 熔铸前后，铁块的体积不变：V功=V 正方体体积：9×9×9=729（立方厘米） 圆锥形铁块的高：729÷（1×3.14×9) 3 =729÷84.78 ≈8.6（厘米） 技巧点拨 解题方法： 1确定体积不变量：分析题目中形状变化但体积不变的部分 2选择合适的几何体与公式 3抓住不变量，灵活转换 扇学科同·阻子学 www.zxxk.com 让学习更高效 【考点六】挖洞问题 【例7】如图，长方体的长是3cm,宽和高均为2cm。将它挖掉一个棱长为1cm的正方体后， 表面积为( )cm2,体积比原来减少了( )%。 【思路分析】 1挖掉棱长为1cm的正方体后，原长方体减少2个（1×1=1cm)面，但正方体露出4个面， 实际增加2个面 原来表面积：(3×2+3×2+2×2)×2 =16×2 =32(平方厘米) 增加的表面积：1×1×2=2（平方厘米） 挖掉一个棱长为1cm的正方体后，表面积为：32+2=34（平方厘米） 2挖掉棱长为1m的正方体后，体积减少1个棱长为1cm的正方体的体积 原长方体体积：3×2×2=12（立方厘米） 减少的百分比：(1÷12)×100%≈8.3% 【解答】34 8.3 技巧点拨 解题方法： 1分析挖洞后增减的面：挖洞时，注意内部新增面与外部减少面的差异 2挖洞后，总体积一定减少，减少的体积等于被挖去部分（如小正方体、小长方体等）的体积 【考点七】浸水问题 【例8】在一个长24分米、宽9分米、高8分米的长方体容器内注入6分米深的水，然后放 入一个棱长为6分米的正方体铁块，则水面上升了多少分米？ 扇学科同·随子学 www.zxxk.com 让学习更高效 【思路分析】 放入铁块后，水上升的体积等于铁块的体积 1正方体铁块体积：6×6×6=216（立方分米) 2放入铁块后水的底面积：24×9-6×6 =216-36 =180(平方分米) 3水面上升高度：216÷180=1.2（分米） 技巧点拨 解题方法： 1抓住不变量：不管容器里怎么变化，只要没有增加或减少水，水的体积始终保持不变 2底面积变化：当有物体放入容器中，要注意水的底面积的改变 3验证结果合理性：算出结果后，要看看这个结果符不符合实际情况 8