专题02 相交平行三大类型压轴题探究　训练　-2024-2025学年人教版七年级数学下册　

同步高分必练专题02 相交平行压轴题探究（原卷版） （3大类型精选30题） 类型一：动态旋转类 类型二：探究拓展类 类型三：坐标系综合类 类型一：动态旋转类 1．（24-25七年级下·四川成都·期中）在数学综合与实践课上，老师让同学们以“平行线与动态三角板的变换”为主题展开探究．已知 ，两块直角三角板和． (1)当三角板按如图1摆放时，延长交于G，是的角平分线，则 °， °． (2)在（1）的条件下，将直角三角板 绕点D以每秒的速度顺时针旋转，设旋转时间为t秒． ①直角三角板 和固定不动，作平分，当时，求t的值； ②若直角三角板 旋转的同时直角三角板 也以每秒的速度绕点B逆时针旋转，当边与三角板的一条直角边平行时，直接写出所有满足条件的t的值． 2．（24-25七年级下·江苏常州·期中）一副三角板如图1摆放，，，，点在上，点在上，且平分，现将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转（当点落在射线上时停止旋转），设旋转时间为秒． (1)当 秒时，；当 秒时，； (2)在旋转过程中，与的交点记为，若有两个内角相等，求的值； (3)当边与边、分别交于点、时，如图2，连接，设，，，请求出的值． 3．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）如图，，的顶点，顶点分别在直线，直线上，点在直线与直线之间，平分． (1)如图（1），已知平分，，则_____； (2)如图（2），已知点为延长线上一点，且，求的度数； (3)在（2）间的条件下，将绕点顺时针以每秒的速度旋转得到，当落在射线上时停止旋转，求旋转过程中与的边平行时的值． 4．（24-25七年级下·重庆·阶段练习）如图，已知是直线，间的一点，于点，交于点，． (1) ． (2)如图2，射线从出发，以每秒的速度绕点按逆时针方向旋转，当垂直时，立刻按原速返回至后停止运动；射线从出发，以每秒的速度绕点按逆时针方向旋转至后停止运动，若射线，射线同时开始运动，设运动时间为秒． ①当时，请求出的度数； ②当时，请求出的值． 5．（24-25七年级下·上海闵行·阶段练习）【问题背景】同学们，我们一起观察小猪的猪蹄，你会发现一个我们熟悉的几何图形（如图1），我们就把这个图形形象的称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系． （1）如图（1），，为，之间一点，连接，，得到，试探究与，之间的数量关系，并说明理由． （2）如图（2），若在之间，，平分，，求与的数量关系； （3）如图（3），射线从开始，绕点以每秒的速度逆时针旋转，同时射线从开始，绕点以每秒的速度逆时针旋转，直线与直线交于，若直线与直线相交所夹的锐角为，直接写出运动时间秒的值． 6．（24-25七年级下·重庆·开学考试）如图，已知，直线交于点，交于点．点是线段上一点，，分别在射线，上，连接，． (1)如图1，若，，，则________，________． (2)如图2，的角平分线与的角平分线相交于点． ①求与之间的数量关系，并说明理由； ②若，，将直线绕点以每秒的速度顺时针旋转，同时射线绕点以每秒的速度逆时针旋转，当直线首次落到上时，整个运动停止．在运动过程中，经过秒后直线恰好平行于，请直接写出所有满足条件的的值． 7．（24-25七年级下·重庆万州·期中）已知直线，现将一个含的三角板按照如图1放置，使点，分别在直线，上，，，平分交直线于点，且． (1)求的度数； (2)将一个含有的三角板按照如图2所示放置，直角顶点与点重合，直角边与重合．若将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，设旋转时间为秒． ①若三角板保持不动，作的角平分线，当时，求的值； ②若三角板同时绕点以每秒的速度逆时针旋转，在旋转过程中，当边与三角板的一条直角边平行时，直接写出所有满足条件的的值． 8．（24-25七年级下·广东茂名·期中）如图1，已知直线，点A在直线上，点B在直线上． (1)如图1，点C在直线、之间，连接、，若，，则的度数为______； (2)如图2，点C在直线的上方，平分，平分，延长与交于点D，若，，求的度数： (3)如图3，点C在直线的上方，，，平分交于点F，将绕着点A以每秒的速度逆时针方向旋转得，旋转时间为t秒；同时将射线绕着点B以每秒的速度顺时针方向旋转得射线，当射线与射线首次重合时，和射线同时停止转动，在旋转过程中，作的角平分线，作的角平分线，请直接写出当时t的值． 9．（24-25七年级下·重庆·期中）已知直线，现将一个含的三角板按照如图放置，使点，分别在直线，上，，，平分交直线于点，且． (1)直接写出__________；__________． (2)将一个含有的三角板按照如图所示放置，直角顶点与点重合，直角边与重合．若将三角板绕点以每秒的速度逆时针旋转，设旋转时间为秒． ①若三角板保持不动，作的角平分线，当时，求的值； ②若三角板同时绕点以每秒的速度顺时针旋转，在旋转过程中，当边与三角板的一条直角边平行时，直接写出所有满足条件的的值． 10．（22-23七年级下·湖北宜昌·期末）已知． (1)如图1，点B为直线和之间一点，于B，直接写出与关系； (2)如图2，若，，点E在线段上，连接，且，试判断与的数量关系，并说明理由； (3)如图3，直线与直线、分别交于E、F两点，若、分别平分、，且，射线绕点E以每秒的速度逆时针旋转后停止，射线绕点F以每秒的速度顺时针旋转以后停止．设它们同时旋转t秒，当t为何值时，射线． 类型二：探究拓展类 11．（24-25七年级下·山西大同·期中）综合与探究 【问题情境】数学课上，李老师出示了这样一道题： 如图1，，点，分别在，上，点为直线上方一点，连接，，探究，与之间的数量关系． 经过思考后，勤奋小组交流了自己的想法： 勤奋小组：如图2，通过作，发现，，由此即可求出，与之间的数量关系． 【解决问题】 （1）请你根据勤奋小组的思路，探究，与之间的数量关系． 【迁移探究】 （2）听完勤奋小组的想法，创新小组突发奇想：如图3，当点在直线的下方，且在点的右侧时，（1）中的结论是否仍然成立？请帮助创新小组说明理由． 【拓展探究】 （3）如图4，，点，分别在，上，点是直线，之间一点，，平分，平分，与交于点，请直接写出的度数． 12．（24-25七年级下·江苏淮安·期中）【创设情境】在初一数学活动课上，老师带领学生用一副直角三角尺进行“玩转三角尺”的探究活动．老师让同学们将两把直角三角尺和（，，，），已知．如图①，把三角尺的直角顶点放在直线上，把三角尺的直角顶点放在直线上，经过点． （1）若，，求的度数； 【操作探究】 （2）如图②，绕点逆时针旋转三角尺，恰好可以使得点与点重合，此时测得，请你说明与之间的数量关系； 【深度探究】 （3）在（1）的条件下，将三角尺绕点以每秒的速度按逆时针方向，同时将三角尺绕点以每秒的速度按顺时针方向旋转，设旋转时间为（）．请直接写出当与的一边平行时的值． 13．（24-25七年级下·山东临沂·期中）综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们“借助两条平行线和一副直角三角板”开展数学探究活动．即：已知直线和一副直角三角板． 【操作判断】如图1，小华把一个三角板角的顶点分别放在直线上，请直接写出与的数量关系_______； 【迁移探究】如图2，小春把一个三角板角的顶点F放在直线上，若，求的度数； 【拓展应用】在图1的基础上，小明把三角板角的顶点，放在E处，即（如图3），与的平分线分别交于点，将含角的三角板绕点E转动，使始终在的内部，请问：的值是否发生变化？若不变，求出它的值；若变化，请说明理由． 14．（24-25七年级下·安徽·期中）【问题提出】小颖同学在学习中自主探究以下问题，请你解答她提出的问题： (1)如图1所示，已知，点为，之间一点，连接，，得到．请猜想与之间的数量关系，并说明理由； (2)【类比迁移】如图2所示，已知，点为之间一点，和的平分线相交于点，若，求的度数； (3)【变式挑战】小颖结合角平分线的知识将问题进行深入探究，如图3所示，已知：，点的位置移到上方，点在延长线上，且平分与的平分线相交于点，请直接写出与之间的数量关系． 15．（24-25七年级下·湖北宜昌·期中）课题学习：平行线的“等角转化”功能． 阅读理解：（1）如图1，已知点A是外一点，连接，求的度数．阅读并补充下面推理过程． 解：过点A作，_______，，，． 运用猜想：（2）如图2，已知，请直接写出的度数：_______； 拓展探究：（3）已知，点A、B在上，C、D在上，且点C在点D的右侧，，平分，平分，所在的直线交于点E，点E在直线与之间． ①如图3，点B在点A的左侧，若，求的度数． ②如图4，若，，时，请将图形补充完整，并求度数．（用含n的代数式表示） 16．（24-25七年级下·山东青岛·期中）【提出问题】 （1）如图1，将长方形纸片剪两刀，其中，则与、度数之间有何等量关系？请说明你的理由． 【类比探究】 （2）如图2，将长方形纸片剪四刀，其中，则、、、、的度数之间的等量关系是________． 【综合应用】 （3）如图3，直线，，，，，则_______． （4）如图4，直线，点、分别是上两点，点在之间，连接．点是下方一点，平分平分，已知，则______． 17．（18-19七年级下·重庆九龙坡·期中）已知：如图1，．求证：． 老师要求学生在完成这道题目证明后，尝试对图形进行变式，继续做拓展探究，看看有什么新发现？ (1)小颖首先完成了对这道题的证明，在证明过程中她用到了平行线的一条性质，小颖用到的平行线性质可能是 ； (2)接下来，小颖用《几何画板》对图形进行了变式，她先画了两条平行线，，然后在平行线间画了一点，连接，后，用鼠标拖动点，分别得到了图，，，小颖发现图正是上面题目的原型，于是她由上题的结论猜想到图和图中的，与之间也可能存在着某种数量关系．于是她利用《几何画板》的度量与计算功能，找到了这三个角之间的数量关系． 请你在小颖操作探究的基础上，继续完成下面的问题： ①猜想图中，与之间的数量关系并加以证明； ②利用图③探究，在拖动点至上方或的下方时，，与之间还存在其他数量关系，请直接写出、与之间的数量关系 （写出一种即可）； (3)一个小区大门栏杆的平面示意图如图所示，垂直地面于点．平行于地面，若，则的度数为 ． 18．（24-25七年级下·陕西榆林·阶段练习）【问题呈现】 如图，在四边形中，，的平分线交于点． （1）如图1，试说明； 【问题探究】 （2）如图2，线段上有一点，满足，过点A作交于点．若，试判断与是否互相垂直，并说明理由； 【问题解决】 （3）如图3，在（2）的条件下，在线段上取一点，连接并延长交于点，过点作．已知，求的值． 19．（24-25七年级上·河南洛阳·期末）如图1，在同一个平面上，已知点O为直线上一点，将三角板按如图所示放置，且直角顶点与O重合，点P在线段上，设． (1)【问题探究】已知：且，，通过计算说明：平分； (2)【类比探究】当三角板按图2放置时，平分，求的度数（结果用含α的代数式表示）； (3)【拓展应用】在（2）的条件下，请直接写出与存在的数量关系． 20．（23-24七年级下·山东滨州·期末）感知发现：（）在学习平行线中，“启智”兴趣小组发现了很多有趣的模型图，如图，当时，可以得到结论：．请你写出证明过程； 探索思考：（）那么如果把条件和结论互换一下是否还成立呢？于是“启智”兴趣小组想尝试证明：如图，，求证：．请你写出证明过程； 综合与实线：（）利用这个“模型结论”，我们可以解决很多问题．“启智”兴趣小组的同学们以“一个含角的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动，如图．已知两直线且，在直角中，，，．“启智”兴趣小组的同学们发现，说明理由； 实践探究：（）如图，当时，是上一点，平分，平分，试探究与之间的数量关系？并证明你的结论． 类型三：坐标系综合类 21．（24-25七年级下·广东广州·期中）已知，在平面直角坐标系中，轴于点，点满足．平移线段使点与原点重合，点的对应点为点． (1)直接写出点的坐标为______，点坐标为______，点坐标为______； (2)如图（），点是线段上的一个动点． ①连接，利用，，的面积关系，可以得到、满足一个固定的关系式，请求出这个关系式； ②过点作直线轴，在上取点，使得，若的面积为，请求出点的坐标． (3)如图（），以为边作，交线段于点，是线段上一动点，连接交于点，当点在线段上运动过程中，试说明的值是定值，并求出该定值． 22．（24-25七年级下·山东日照·期中）如图1，在平面直角坐标系中，，，将线段沿轴向右平移个单位得到线段，点为射线上一动点． (1)填空：点的坐标为__________，点的坐标为__________． (2)如图1，点是线段上一点（不与点、重合），当点在射线上运动时（点不与点重合），连接，请用等式表示，，之间满足的数量关系，直接写出答案； (3)如图2，点在轴上，且，连接，，，当的面积等于的面积时，请求出点的坐标． 23．（24-25七年级下·吉林·期中）如图，在平面直角坐标系中，点在轴上，坐标为，将线段沿轴正方向平移3个单位长度得到线段，点是线段上的一个动点（不与点、重合），平分，平分，与交于点．    (1)线段与之间的位置关系和数量关系分别是______；点的坐标为______； (2)若三角形的面积为6，求点的坐标； (3)若，则_____度； (4)当点（不与点、重合）在线段上运动时，猜想与有怎样的数量关系，并说明理由． 24．（24-25七年级下·重庆·期中）如图1，点，，且满足． (1)直接写出、的坐标：（0，______），（________，0）； (2)点以每秒2个单位长度从点向轴负半轴运动，同时，点以每秒3个单位长度从点向轴正半轴运动，直线，交于点，设点，运动的时间为秒． ①当时，求证：； ②如图2，当时，在线段上任取一点，连接．点为的角平分线上一点，连接，且满足．请将图2补全，直接写出、、之间的数量关系． 25．（20-21七年级下·重庆渝中·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点A（0，a）、C（b，0）满足+|b﹣2|＝0． （1）求点A、点C的坐标； （2）已知坐标轴上有两动点P、Q同时出发，P点从C点出发向左以1单位长度每秒的速度匀速移动，Q点从O点出发以2个单位长度每秒的速度向上移动，点D（1，2）是线段AC上一点，设运动时间为t（t＞0）秒，当S△ODQ＝2S△ODP时，此时是否存在点M（m，6），使得S△ODM＝3S△ODQ，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由； （3）点F是线段AC上一点，满足∠FOC＝∠FCO，点G是第二象限中一点，连接OG，使得∠AOG＝∠AOF，点E是线段OA上一动点，连接CE交OF于点H，当点E在线段OA上运动的过程中，直接写出的值． 26．（23-24七年级下·重庆江北·阶段练习）如图1，在平面直角坐标系中，已知，，，连接，并过点C作的平行线l．动点P、Q分别以每秒1个单位和每秒3个单位的速度，从A、C两点同时出发水平向左运动．运动过程中连接，当垂直于直线l时，点Q提速至每秒5个单位并继续向左运动．当点P运动到点B时，P、Q两点同时停止运动．设运动时间为t． (1)当时，点P的坐标为______，点Q的坐标为______； (2)连接、得到三角形，在整个运动过程中，是否存在某个时刻，使得三角形的面积为10？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由． (3)在点P、Q出发的同时，动点M从点O出发，以每秒1.5个单位的速度沿y轴正方向运动．当点P停止运动时，点M也随之停止运动．在运动过程中，连接、，分别在和的内部作射线、，使得，，直线、交于点N．请直接写出整个运动过程中、与的关系，标注t的取值范围；并选择其中一种情况，画图分析说明． 27．（24-25七年级下·江苏南通·阶段练习）如图1，点，且满足． (1)直接写出的坐标：（0，_____），(_____，0 )； (2)点以每秒2个单位长度从点向轴负半轴运动，同时，点以每秒3个单位长度从点向轴正半轴运动，直线交于点，设点运动的时间为秒． ①当时，求证：； ②如图2，当时，在线段上任取一点，连接．点为的角平分线上一点，连接，且满足．请将图2补全，直接写出之间的数量关系． 28．（21-22七年级下·江西新余·期中）如图1，在平面直角坐标系中，是x轴正半轴上一点，C是第四象限内一点，轴交y轴负半轴于，且，． (1)求点C的坐标． (2)如图2，设D为线段上一动点，当时，的角平分线与的角平分线的反向延长线交于点P，求的度数（点E在x轴的正半轴）． (3)如图3，当点D在线段上运动时，作交于M点，，的平分线交于N点，则点D在运动过程中，∠N的大小是否会发生变化？若不变化，求出其值；若变化，请说明理由． 29．（20-21七年级下·重庆忠县·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为，，且、满足，点C在x轴的负半轴上，连接AB、AC． （1）如图1，若的面积是面积的倍，求点C的坐标： （2）如图2，点D在AC上，点E在AB上，连接OD，过点E作轴于点F，若，求证：； （3）在（1）的条件下，点P从点O出发以每秒1个单位长度的速度沿OB方向移动，同时点Q从点A出发以每秒2个单位长度的速度在AO间往返移动，即先沿AO方向移动，到达点O反向移动．设移动的时间为t秒，四边形ACQB与的面积分别记为、，是否存在时间，使；若存在，求出值；若不存在，请说明理由． 30．（22-23七年级下·天津西青·期末）如图①，在平面直角坐标系中，为原点，已知，，且，满足关系式：，现同时将点，向上平移3个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到，的对应点，，连接，，．    (1)______，b=______，点C的坐标为_________，点D的坐标为_________； (2)连接 ，在轴上是否存在一点，使得三角形的面积等于三角形面积的？若存在，请求出点P的坐标：若不存在，请说明理由； (3)如图②，点是直线上一个动点连接，，当点在直线上运动时，请直接写出与，的数量关系． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 同步高分必练专题02 相交平行压轴题探究（解析版） （3大类型精选30题） 1．（24-25七年级下·四川成都·期中）在数学综合与实践课上，老师让同学们以“平行线与动态三角板的变换”为主题展开探究．已知 ，两块直角三角板和． (1)当三角板按如图1摆放时，延长交于G，是的角平分线，则 °， °． (2)在（1）的条件下，将直角三角板 绕点D以每秒的速度顺时针旋转，设旋转时间为t秒． ①直角三角板 和固定不动，作平分，当时，求t的值； ②若直角三角板 旋转的同时直角三角板 也以每秒的速度绕点B逆时针旋转，当边与三角板的一条直角边平行时，直接写出所有满足条件的t的值． 【答案】(1)120；30 (2)①或；②的值为，，， 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、角平分线的有关计算、根据平行线的性质求角的度数、三角形内角和定理的应用 【分析】（1）根据，，求出，根据角平分线定义求出；根据平行线的性质求出． （2）①分两种情况：当在右方时，当在左方时，分别画出图形进行求解即可； ②当时，分成两种情况和当时，分成两种情况，共四种情况分别讨论，结合平行线的性质，邻补角，一元一次方程的应用，三角形内角和即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵是的角平分线， ∴； ∵， ∴． （2）解：①当在右方时，如图所示： 根据旋转可知：， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 根据解析（1）可知：， ∴， ∴， 解得：； 当在左方时，如图所示： 根据旋转可知：， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 根据解析（1）可知：， ∴， ∴， 解得：； 综上分析可知：此时或； ②当时，第一种情况：延长交于点， ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得：； 第二种情况：延长交于点， ∵，，，， ∴，， ∵， ∴， 解得：， ∴当时，或； 当时，第一种情况：延长交于点， ∵，，，， ∴，， ∵， ∴， 解得：； 第二种情况：延长交于点， ∵，，，， ∴，， ∵， ∴， 解得：， ∴当时，或； ∴当边与三角板的一条直角边平行时，的值为，，，． 【点睛】本题考查了平行线的性质，邻补角，角平分线的定义，一元一次方程的应用，三角形内角和的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 2．（24-25七年级下·江苏常州·期中）一副三角板如图1摆放，，，，点在上，点在上，且平分，现将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转（当点落在射线上时停止旋转），设旋转时间为秒． (1)当 秒时，；当 秒时，； (2)在旋转过程中，与的交点记为，若有两个内角相等，求的值； (3)当边与边、分别交于点、时，如图2，连接，设，，，请求出的值． 【答案】(1)5，35 (2)10或25或40 (3)105 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线的性质求角的度数、三角形内角和定理的应用、根据旋转的性质求解 【分析】（1）由平行和垂直求出旋转角，结合旋转速度求出旋转时间； （2）画出图形，分类讨论，①；②；③，求出旋转角，再求出值； （3）找出与，，有关的数量关系，再把无关的角消去，得出结论． 【详解】（1）解：如图（1），当时，， 平分，， ， 又为的一个外角， ， ； 如图（2），当时，， ， ， ， ． 故答案为：5，35． （2）解：①如图（3），当时， ， ， ； ②如图（4），当时， ，， ， ； ③如图（5），当时， ， ， 综上所述：当为10或25或40时，有两个内角相等． （3）解：是的一个外角，是的一个外角， ，， 又，， ， ， ． 【点睛】本题以求三角形旋转时间为背景，考查了学生对图形的旋转变换、平行的性质、垂直的性质和求等腰三角形内角的掌握情况，第（2）问分情况讨论是解决问题的关键，第（3）问找到三个角之间的关系是解题的关键． 3．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）如图，，的顶点，顶点分别在直线，直线上，点在直线与直线之间，平分． (1)如图（1），已知平分，，则_____； (2)如图（2），已知点为延长线上一点，且，求的度数； (3)在（2）间的条件下，将绕点顺时针以每秒的速度旋转得到，当落在射线上时停止旋转，求旋转过程中与的边平行时的值． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算、根据平行线的性质求角的度数 【分析】（1）过点作，得到，推出，，，根据题意可求出，由平分，可得，即可求解； （2）过点作，得到，，根据平角的定义和角平分线的定义可得，由，推出，由可推出，即可求解； （3）先求出落在射线上的时间为，再分四种情况讨论：当第一次时，当时，当时，当第二次时，根据旋转的性质和平行线的性质列出等量关系求解即可． 【详解】（1）解：过点作，如图所示： ， ， ，，， ， ， 平分， ， 平分， ， ， ； （2）解：过点作，如图所示： ， ， ，， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：落在射线上的时间为：， 如图，当第一次时， ， 由旋转知，， ， 解得：； 如图，当时， 由（2）知，，， ， ， ， 由旋转知，， ， 解得：； 当时，， ， ， ， 由旋转知，， ， 解得：； 当第二次时，旋转角， 又， ， 解得：； 综上所述，或或或． 【点睛】本题考查了平行性的性质，旋转的性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用这些知识． 4．（24-25七年级下·重庆·阶段练习）如图，已知是直线，间的一点，于点，交于点，． (1) ． (2)如图2，射线从出发，以每秒的速度绕点按逆时针方向旋转，当垂直时，立刻按原速返回至后停止运动；射线从出发，以每秒的速度绕点按逆时针方向旋转至后停止运动，若射线，射线同时开始运动，设运动时间为秒． ①当时，请求出的度数； ②当时，请求出的值． 【答案】(1) (2)①或；②或 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、根据平行线判定与性质求角度 【分析】本题考查了平行线的判定和性质以及一元一次方程的应用，正确理解题意、熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． （1）过点P作，则，根据平行线的判定和性质以及垂直的定义可得，再利用角的和差即可求解； （2）①当时，分两种情况，当在和之间，当在和之间，计算出的运动时间t，根据运动时间可计算出，由已知可计算出的度数； ②分四种情况：当、、与，根据平行线的性质列出方程求解即可． 【详解】（1）解：过点P作，则， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴； （2）解：①当在和之间时，如图2， ∵，， ∴， ∴射线运动的时间秒， ∴射线旋转的角度， 又∵， ∴； 当在和之间时，如图3所示， ∵，， ∴， ∴射线ME运动的时间秒， ∴射线旋转的角度， 又∵， ∴； ∴的度数为或； ②当，即时，若，如图， 则，即， 解得：，不合题意，舍去；      当时，若，如图， 则，即， 解得：；      当时，若，如图， 则，即， 解得：；      当时，不存在互相平行的情况； 综上，当时，t的值是或． 5．（24-25七年级下·上海闵行·阶段练习）【问题背景】同学们，我们一起观察小猪的猪蹄，你会发现一个我们熟悉的几何图形（如图1），我们就把这个图形形象的称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系． （1）如图（1），，为，之间一点，连接，，得到，试探究与，之间的数量关系，并说明理由． （2）如图（2），若在之间，，平分，，求与的数量关系； （3）如图（3），射线从开始，绕点以每秒的速度逆时针旋转，同时射线从开始，绕点以每秒的速度逆时针旋转，直线与直线交于，若直线与直线相交所夹的锐角为，直接写出运动时间秒的值． 【答案】（1），理由见解析（2）（3）或或 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、角平分线的有关计算、根据平行线的性质探究角的关系 【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义、一元一次方程的应用，解题的关键是利用已知的结论和使用动态的思想求解． （1）过点作，根据平行线定理及性质得出，，再根据角的和差即可得出答案； （2）设，则，设，则， 由（1）知，，，可列出，再代入化简即可得出答案； （3）将直线将直线的点M平移与直线的N点重合，根据运动的角度为，结合题意将角度转化为、、角度差，结合题意列出对应的角度和差关系求解即可得出答案． 【详解】解：（1）过点作， ， ， ，， ， 即； （2）如图， 设，则，设，则， 由（1）知，， 同理可得， ， ， ， 由，得， 由，得， 将，代入， 可得； （3）将直线的点M平移与直线的N点重合，如图， 根据题意得，，， 则， 直线与直线相交所夹的锐角为， ， ， ， ； 根据题意得，，， 直线与直线相交所夹的锐角为， ， ， 即， ； 根据题意得，，， 直线与直线相交所夹的锐角为， ， ， 即， ； 综上所述，或或． 6．（24-25七年级下·重庆·开学考试）如图，已知，直线交于点，交于点．点是线段上一点，，分别在射线，上，连接，． (1)如图1，若，，，则________，________． (2)如图2，的角平分线与的角平分线相交于点． ①求与之间的数量关系，并说明理由； ②若，，将直线绕点以每秒的速度顺时针旋转，同时射线绕点以每秒的速度逆时针旋转，当直线首次落到上时，整个运动停止．在运动过程中，经过秒后直线恰好平行于，请直接写出所有满足条件的的值． 【答案】(1)100；80 (2)①；②或 【知识点】平行公理的应用、根据平行线的性质求角的度数、三角形内角和定理的应用 【分析】（1）根据平行线的性质和判定求解即可； （2）①延长交于点G，设、交于点H，设，则，根据可表示出，进而根据三角形内角和推论表示出，进而表示出，然后结合和内角和得出关系式，进一步得出结果； ②根据题意分两种情况讨论，然后分别表示出各角，然后利用平行线的性质列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴； 如图，过点E作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：①如图，延长交于点G，设、交于点H， 设， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ∵，，， ∴，即， ∴； ②∵，， ∴， ∵， ∴ ∵平分 ∴； 如图，当时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵直线绕点N以每秒的速度顺时针旋转，射线绕点P以每秒的速度逆时针旋转， ∴，， ∴，， ， ∴； 如图，当时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴． 综上所述，或． 【点睛】此题考查了平行线的性质和判定，角平分线的概念等知识，解题的关键是掌握以上知识点，注意进行分类讨论． 7．（24-25七年级下·重庆万州·期中）已知直线，现将一个含的三角板按照如图1放置，使点，分别在直线，上，，，平分交直线于点，且． (1)求的度数； (2)将一个含有的三角板按照如图2所示放置，直角顶点与点重合，直角边与重合．若将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，设旋转时间为秒． ①若三角板保持不动，作的角平分线，当时，求的值； ②若三角板同时绕点以每秒的速度逆时针旋转，在旋转过程中，当边与三角板的一条直角边平行时，直接写出所有满足条件的的值． 【答案】(1) (2)①或；②，，， 【知识点】根据平行线判定与性质求角度、几何问题(一元一次方程的应用)、角平分线的有关计算、三角形内角和定理的证明 【分析】（1）根据题意可得，由平行线的性质可得，再结合角平分线的定义，角的和差关系，可得的度数． （2）①根据题意分成在内部时，在外部时两种情况分别讨论，结合角平分线的定义，一元一次方程即可求解． ②当时，分成两种情况和当时，分成两种情况，共四种情况分别讨论，结合平行线的性质，邻补角，一元一次方程的应用，三角形内角和即可求解． 【详解】（1）解：∵，，三角板中含， ∴， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ． （2）解：①若在内部时，则， 又∵，是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ； 若在外部时，则， 又∵，是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ， 综上，或． ②当时，第一种情况：延长交于点， ∵，，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 解得：； 第二种情况：延长交于点， ∵，，，， ∴，， ∵， ∴， 解得：， ∴当时，或； 当时，第一种情况：延长交于点， ∵，，，， ∴，， ∵， ∴， 解得：； 第二种情况：延长交于点， ∵，，，， ∴，， ∵， ∴， 解得：， ∴当时，或； ∴当边与三角板的一条直角边平行时，的值为，，，． 【点睛】本题考查了平行线的性质，邻补角，角平分线的定义，一元一次方程的应用，三角形内角和的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 8．（24-25七年级下·广东茂名·期中）如图1，已知直线，点A在直线上，点B在直线上． (1)如图1，点C在直线、之间，连接、，若，，则的度数为______； (2)如图2，点C在直线的上方，平分，平分，延长与交于点D，若，，求的度数： (3)如图3，点C在直线的上方，，，平分交于点F，将绕着点A以每秒的速度逆时针方向旋转得，旋转时间为t秒；同时将射线绕着点B以每秒的速度顺时针方向旋转得射线，当射线与射线首次重合时，和射线同时停止转动，在旋转过程中，作的角平分线，作的角平分线，请直接写出当时t的值． 【答案】(1)64 (2) (3)18或90 【知识点】根据平行线判定与性质证明、角平分线的有关计算 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，平行线的判定与性质． （1）依据题意，过C作，又因为，从而，可得，又由，，最后可得，进而得解； （2）依据题意，平分，求出，根据角平分线的性质，平行线的性质，求解； （3）分情况讨论，列出关于t的式子，进行求解． 【详解】（1）解：过C作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：64； （2）解：∵平分，， ∴， ∵平分，， ∴， 过D作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：分两种情况进行讨论： ①当位于与之间时，如图①， 由得：， ∵，经过时间t， 有， 则 而， ∴， 又∵，平分， ∴， 而， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 则， 解得：； ②当位于下方时，如图②， ∵， ∴， 经过时间， 同理：， 则， 而， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴． 解得， 综上：或90． 9．（24-25七年级下·重庆·期中）已知直线，现将一个含的三角板按照如图放置，使点，分别在直线，上，，，平分交直线于点，且． (1)直接写出__________；__________． (2)将一个含有的三角板按照如图所示放置，直角顶点与点重合，直角边与重合．若将三角板绕点以每秒的速度逆时针旋转，设旋转时间为秒． ①若三角板保持不动，作的角平分线，当时，求的值； ②若三角板同时绕点以每秒的速度顺时针旋转，在旋转过程中，当边与三角板的一条直角边平行时，直接写出所有满足条件的的值． 【答案】(1)， (2)①或；②，． 【知识点】三角板中角度计算问题、根据平行线的性质求角的度数、三角形的外角的定义及性质、根据旋转的性质求解 【分析】（1）根据题意可得，由平行线的性质可得，再结合角平分线的定义，角的和差关系，可得的度数，根据平行线的性质可得的度数． （2）①根据题意分成在内部时，在内部时两种情况分别讨论，结合角平分线的定义，一元一次方程即可求解． ②分成两种情况分别讨论，结合平行线的性质，邻补角，一元一次方程的应用，三角形内角和即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：，． （2）解：①若在内部时，， 则， 又∵，是的角平分线， ∴， ∴， 解得：； 若在内部时，则， 又∵，是的角平分线， ∴， ∴， 解得：； 综上，或． ②当时，如图，设与交于点， ∵，， ∴， ∵， 又， ∴， ∴， 解得：； 如图所示，当时， ∴， ∵， ∴， 解得：； ∴当边与三角板的一条直角边平行时，的值为，． 【点睛】本题考查了平行线的性质，邻补角，角平分线的定义，一元一次方程的应用，三角形内角和的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 10．（22-23七年级下·湖北宜昌·期末）已知． (1)如图1，点B为直线和之间一点，于B，直接写出与关系； (2)如图2，若，，点E在线段上，连接，且，试判断与的数量关系，并说明理由； (3)如图3，直线与直线、分别交于E、F两点，若、分别平分、，且，射线绕点E以每秒的速度逆时针旋转后停止，射线绕点F以每秒的速度顺时针旋转以后停止．设它们同时旋转t秒，当t为何值时，射线． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)5秒或15秒 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、三角形的外角的定义及性质 【分析】（1）过点B作，根据平行线的性质得出，，根据垂线定义得出，即可得出答案； （2）根据解析（1）得出，根据，得出，即可得出，根据三角形外角的性质得出，根据平行线的性质得出，即可得出答案； （3）分两种情况进行讨论：当点在下方时，当点在上方时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】（1）解：过点B作，如图所示： ∵， ∴， ∴，， ∵于B， ∴， 即． （2）解：由（1）可得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∴， ∴． （3）解：当点在下方时，如图所示： 则，， ∵、分别平分、，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即， ∴． 当点在上方时，如图所示： 则，， ∵、分别平分、，， ∴，， ，， ∵， ∴， ∴， ∴． 综上所述，当它们同时旋转5秒和15秒时，射线． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，平行公理的应用，角平分线的定义，三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质，注意进行分类讨论． 11．（24-25七年级下·山西大同·期中）综合与探究 【问题情境】数学课上，李老师出示了这样一道题： 如图1，，点，分别在，上，点为直线上方一点，连接，，探究，与之间的数量关系． 经过思考后，勤奋小组交流了自己的想法： 勤奋小组：如图2，通过作，发现，，由此即可求出，与之间的数量关系． 【解决问题】 （1）请你根据勤奋小组的思路，探究，与之间的数量关系． 【迁移探究】 （2）听完勤奋小组的想法，创新小组突发奇想：如图3，当点在直线的下方，且在点的右侧时，（1）中的结论是否仍然成立？请帮助创新小组说明理由． 【拓展探究】 （3）如图4，，点，分别在，上，点是直线，之间一点，，平分，平分，与交于点，请直接写出的度数． 【答案】（1），见解析；（2）不成立，见解析；（3） 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线的性质求角的度数、根据平行线的性质探究角的关系 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． （1）利用平行线的性质即可解答； （2）作，利用平行线的性质即可解答； （3）过点作，利用平行线的性质和角平分线的计算即可解答． 【详解】（1），， ， ，， ； （2）不成立，理由如下： 如图，作， ，， ， ，， ，即； （3）如图，过点作， ， ， ， ， ， 平分，平分， ， 在四边形中，． 12．（24-25七年级下·江苏淮安·期中）【创设情境】在初一数学活动课上，老师带领学生用一副直角三角尺进行“玩转三角尺”的探究活动．老师让同学们将两把直角三角尺和（，，，），已知．如图①，把三角尺的直角顶点放在直线上，把三角尺的直角顶点放在直线上，经过点． （1）若，，求的度数； 【操作探究】 （2）如图②，绕点逆时针旋转三角尺，恰好可以使得点与点重合，此时测得，请你说明与之间的数量关系； 【深度探究】 （3）在（1）的条件下，将三角尺绕点以每秒的速度按逆时针方向，同时将三角尺绕点以每秒的速度按顺时针方向旋转，设旋转时间为（）．请直接写出当与的一边平行时的值． 【答案】（1）；（2）；（3）或或 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、根据旋转的性质求解、三角板中角度计算问题 【分析】本题考查平行线的性质，三角尺中的角度计算，角的和差定义等知识，熟练掌握平行线的性质是解题的关键； （1）求出，再利用平行线的性质求解即可； （2）如图②中，设，利用平行线的性质用表示出，可得结论； （3）根据（1）可得，，，进而分类讨论，分别表示出旋转秒后和的角度，根据平行线的性质，建立方程，解方程即可求解． 【详解】解：（1）如图①中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）结论：． 理由：如图②中，设． ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：由（1）可得，，， 当时，，当时， ①当时，如图，设直线分别交于点，过点作 ∵ ∴ ∴ 又∵，则 ∵ ∴ ∴ 解得： ②当时，如图， ∵， ∴ 当时，， ∴ 解得： ③当时，如图， 当时，， ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ 解得： 综上所述，或或 13．（24-25七年级下·山东临沂·期中）综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们“借助两条平行线和一副直角三角板”开展数学探究活动．即：已知直线和一副直角三角板． 【操作判断】如图1，小华把一个三角板角的顶点分别放在直线上，请直接写出与的数量关系_______； 【迁移探究】如图2，小春把一个三角板角的顶点F放在直线上，若，求的度数； 【拓展应用】在图1的基础上，小明把三角板角的顶点，放在E处，即（如图3），与的平分线分别交于点，将含角的三角板绕点E转动，使始终在的内部，请问：的值是否发生变化？若不变，求出它的值；若变化，请说明理由． 【答案】操作判断： 迁移探究： 拓展应用：不变， 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、根据平行线的性质求角的度数、角平分线的有关计算 【分析】本题考查平行线的性质，与角平分线有关的计算，过拐点构造平行线是解题的关键： [操作判断]：过点E作，则，从而，，进而可得与的数量关系； [迁移探究]：对顶角相等，结合（1）中结论进行求解即可； [拓展应用]：过点E作，可证，设，则，，然后根据角平分线的定义即可求解． 【详解】［操作判断］：如图1，过点E作 ， ，， ∵ ∴    故答案为： ［迁移探究］：如图2，由（1）可知： ，    ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； ［拓展应用］：不变， 理由如下：过点E作 ， ， 设，则， 、分别平分、 ， 14．（24-25七年级下·安徽·期中）【问题提出】小颖同学在学习中自主探究以下问题，请你解答她提出的问题： (1)如图1所示，已知，点为，之间一点，连接，，得到．请猜想与之间的数量关系，并说明理由； (2)【类比迁移】如图2所示，已知，点为之间一点，和的平分线相交于点，若，求的度数； (3)【变式挑战】小颖结合角平分线的知识将问题进行深入探究，如图3所示，已知：，点的位置移到上方，点在延长线上，且平分与的平分线相交于点，请直接写出与之间的数量关系． 【答案】(1)，理由见解析 (2) (3) 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线的性质探究角的关系、三角形的外角的定义及性质、多边形内角和问题 【分析】（1）如图：过E作，结合，根据平行线的性质、角的和差以及等量代换即可解答； （2）如图：延长交于点G，利用平行线性质、三角形外角性质、角的平分线定义，四边形内角和定理，解答即可． （3）如图：延长交于点M，然后利用平行线的判定和性质，三角形外角性质解答即可． 【详解】（1）解：，理由如下： 如图：过E作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴． （2）解：如图：延长交于点G， ∵， ∴， ∵和的平分线相交于点， ∴． ∵，， ∴， ∴． （3）解：，理由如下： 如图：延长交于点M， ∵， ∴， ∵分与的平分线相交于点， ∴，， 设，的交点为N， ∵，且，， ∴， ∴， ∴，即． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质、三角形外角性质、对等角相等、四边形内角和定理、角的平分线等知识点，熟练掌握平行线的性质和三角形外角性质是解题的关键． 15．（24-25七年级下·湖北宜昌·期中）课题学习：平行线的“等角转化”功能． 阅读理解：（1）如图1，已知点A是外一点，连接，求的度数．阅读并补充下面推理过程． 解：过点A作，_______，，，． 运用猜想：（2）如图2，已知，请直接写出的度数：_______； 拓展探究：（3）已知，点A、B在上，C、D在上，且点C在点D的右侧，，平分，平分，所在的直线交于点E，点E在直线与之间． ①如图3，点B在点A的左侧，若，求的度数． ②如图4，若，，时，请将图形补充完整，并求度数．（用含n的代数式表示） 【答案】（1）；；（2）；（3）①；②补全图形见解析， 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线判定与性质求角度、根据平行线判定与性质证明 【分析】（1）由“两直线平行，内错角相等”可得结果； （2）过作，利用“两直线平行，同旁内角互补”可以求得结果； （3）①过作，利用角平分线的概念求得，，再利用“两直线平行，内错角相等”导角即可；②过作，利用角平分线的概念求得，，再利用平行线的性质求角即可． 【详解】解：（1）， ，（两直线平行，内错角相等）； 故答案为：；； （2）过作， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （3）①过作， ， ， ， 平分， ， ， 平分， ， ， ， ； ②如图，过作， ， ， ， 平分，， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了平行线的性质、平行线的传递性以及角平分线的概念，作出辅助线构造平行线导角是解决本题的关键． 16．（24-25七年级下·山东青岛·期中）【提出问题】 （1）如图1，将长方形纸片剪两刀，其中，则与、度数之间有何等量关系？请说明你的理由． 【类比探究】 （2）如图2，将长方形纸片剪四刀，其中，则、、、、的度数之间的等量关系是________． 【综合应用】 （3）如图3，直线，，，，，则_______． （4）如图4，直线，点、分别是上两点，点在之间，连接．点是下方一点，平分平分，已知，则______． 【答案】（1），理由见解析；（2）；（3）；（4） 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线的性质探究角的关系、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查平行线的性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是添加辅助线利用平行线的性质解决问题． （1）如图1中，结论，作，利用平行线的性质即可证明． （2）如图2中，作，，结论，利用平行线的性质即可证明． （3）如图3中，作，，，利用平行线的性质即可解决． （4）如图4中，过点作，根据角平分线的定义得出，根据平行线的性质得出，根据（1）的结论可得，进而即可求解． 【详解】解：（1），理由如下： 如图1中，作， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 即． （2）如图2中， 如图2中，作，，， ∵， ∴， ∴，，，， ∴， 即． 故答案为：． （3）如图3中，作，，， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴，则， ∴． 故答案为：； （4）如图，过点作 ∴即， ∵，即 ∵平分平分， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ 由（1）可得 ∴ 故答案为：． 17．（18-19七年级下·重庆九龙坡·期中）已知：如图1，．求证：． 老师要求学生在完成这道题目证明后，尝试对图形进行变式，继续做拓展探究，看看有什么新发现？ (1)小颖首先完成了对这道题的证明，在证明过程中她用到了平行线的一条性质，小颖用到的平行线性质可能是 ； (2)接下来，小颖用《几何画板》对图形进行了变式，她先画了两条平行线，，然后在平行线间画了一点，连接，后，用鼠标拖动点，分别得到了图，，，小颖发现图正是上面题目的原型，于是她由上题的结论猜想到图和图中的，与之间也可能存在着某种数量关系．于是她利用《几何画板》的度量与计算功能，找到了这三个角之间的数量关系． 请你在小颖操作探究的基础上，继续完成下面的问题： ①猜想图中，与之间的数量关系并加以证明； ②利用图③探究，在拖动点至上方或的下方时，，与之间还存在其他数量关系，请直接写出、与之间的数量关系 （写出一种即可）； (3)一个小区大门栏杆的平面示意图如图所示，垂直地面于点．平行于地面，若，则的度数为 ． 【答案】(1)两直线平行，同旁内角互补 (2)①，证明见解析；②或（写出一种即可）； (3) 【知识点】垂线的定义理解、根据平行线的性质探究角的关系、平行线的性质在生活中的应用、根据平行线判定与性质证明 【分析】本题主要考查了平行线的性质， （1）根据平行线的性质进行填空即可； （2）①过D作，进而根据平行线的性质进行角度的计算即可；②在拖动点至的上方或的下方两种情况下，分别过点D作，进而根据平行线的性质进行角度的计算即可； （3）过点B作，进而根据平行线的性质进行角度的计算即可． 【详解】（1）证明：∵ ∴（两直线平行，同旁内角互补） ∵ ∴（两直线平行，同旁内角互补） 故答案为：两直线平行，同旁内角互补． （2）① 证明：如下图，过D作 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴； ②当拖动点至的上方时，如下图，过点D作 ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴； 当拖动点至的下方时，如下图，过点D作 ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴； 故答案为：或（写出一种即可）． （3） 过点B作 ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∵， ∴ ∴， 故答案为：． 18．（24-25七年级下·陕西榆林·阶段练习）【问题呈现】 如图，在四边形中，，的平分线交于点． （1）如图1，试说明； 【问题探究】 （2）如图2，线段上有一点，满足，过点A作交于点．若，试判断与是否互相垂直，并说明理由； 【问题解决】 （3）如图3，在（2）的条件下，在线段上取一点，连接并延长交于点，过点作．已知，求的值． 【答案】（1）见解析：（2），理由见解析：（3） 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查平行线的判定与性质，角平分线的定义，角度的四则计算． （1）根据平行线的性质角平分线的定义即可说明结论； （2）设，则，，，由平行线的性质推出，再根据角平分线的定义得到，由（1）得，根据，即可得到结论； （3）由（2）得，求出，根据，得，证明，得，即得． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2） 解：，理由如下： 如图，设， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 由（1）得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：由（2）得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故的值为． 19．（24-25七年级上·河南洛阳·期末）如图1，在同一个平面上，已知点O为直线上一点，将三角板按如图所示放置，且直角顶点与O重合，点P在线段上，设． (1)【问题探究】已知：且，，通过计算说明：平分； (2)【类比探究】当三角板按图2放置时，平分，求的度数（结果用含α的代数式表示）； (3)【拓展应用】在（2）的条件下，请直接写出与存在的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【知识点】三角板中角度计算问题、角平分线的有关计算、根据平行线的性质求角的度数 【分析】此题主要考查了角平分线的定义，平行线的判定和性质，角的计算，准确识图，理解角平分线的定义，熟练掌握平行线的判定和性质，角的计算是解决问题的关键． （1）先由，得进而得，则，继而得，再根据即可得出，由此根据角平分线的定义可得出平分； （2）由得，再由得，根据角平分线的定义得，即，由此可得的度数； （3）由（2）得，即，再根据邻补角的定义得，进而得，由此可得和存在的数量关系． 【详解】（1）解：，， ， ， ， ， ， ， ， ， 平分； （2）解：， ， ， ， 平分， ， 即， ； （3）解：与存在的数量关系为：． 由（2）得：， ， ， 又，， ， ， 与存在的数量关系为：． 20．（23-24七年级下·山东滨州·期末）感知发现：（）在学习平行线中，“启智”兴趣小组发现了很多有趣的模型图，如图，当时，可以得到结论：．请你写出证明过程； 探索思考：（）那么如果把条件和结论互换一下是否还成立呢？于是“启智”兴趣小组想尝试证明：如图，，求证：．请你写出证明过程； 综合与实线：（）利用这个“模型结论”，我们可以解决很多问题．“启智”兴趣小组的同学们以“一个含角的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动，如图．已知两直线且，在直角中，，，．“启智”兴趣小组的同学们发现，说明理由； 实践探究：（）如图，当时，是上一点，平分，平分，试探究与之间的数量关系？并证明你的结论． 【答案】（）证明见解析；（）证明见解析；（）证明见解析；（），证明见解析． 【知识点】角平分线的有关计算、利用邻补角互补求角度、平行公理推论的应用、根据平行线判定与性质证明 【分析】（）过点作，由平行公理的推论得，即得，，据此即可求证； （）过点作，由平行线的性质可得，进而可得，得到，再根据平行线的判定可得； （）由（）可得，再把代入即可求证； （）过点作，过点作，同理（）可得，根据平行线的性质和角平分线的定义推导即可求解； 本题考查了平行线的性质和判定，平行公理的推论，邻补角的性质，角平分线的定义，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（）证明：过点作， ，， ∴， ，， ， （）证明：过点作， ， ， ，， ， ， ∵， ∴； （）证明：如图，由（）可得，， ∵， ， ； （）解：，理由如下： 如图所示，过点作，过点作， 同（）可得， ，，，，， 平分，平分， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． 21．（24-25七年级下·广东广州·期中）已知，在平面直角坐标系中，轴于点，点满足．平移线段使点与原点重合，点的对应点为点． (1)直接写出点的坐标为______，点坐标为______，点坐标为______； (2)如图（），点是线段上的一个动点． ①连接，利用，，的面积关系，可以得到、满足一个固定的关系式，请求出这个关系式； ②过点作直线轴，在上取点，使得，若的面积为，请求出点的坐标． (3)如图（），以为边作，交线段于点，是线段上一动点，连接交于点，当点在线段上运动过程中，试说明的值是定值，并求出该定值． 【答案】(1)，， (2)①；② (3)的值是定值，定值为 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、利用平移的性质求解、坐标系中的平移、坐标与图形综合 【分析】（）利用非负数的性质可得，，进而可得点的坐标，再根据平移可求出点坐标； （）①如图（），过点分别作轴于点，轴于点，根据列出关系式即可；②分点在点的左侧和右侧两种情况，分别画出图形解答即可； （）过、分别作，，可得，再根据平行线的性质解答即可； 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∴， ∵轴于点， ∴， ∵平移线段使点与原点重合，点的对应点为点， ∴点坐标为，即， 故答案为：，，； （2）解：①如图（），过点分别作轴于点，轴于点， 连接，由题可知，， 轴于点，且点三点的坐标分别为，，， ，，，， ， 又， ， ， 、满足的关系式为； ②当点在点的左侧时，如图，设直线交轴于，连接，，设， ， ， ， ， 解得，     ； 当点在点的右侧时，如图，，连接、， ∵， 此时不存在符合题意的点； 综上所述，满足条件的点的坐标为； （3）解：∵线段是由线段平移得到， 过、分别作，， 则， 设，则， ， ， 同理可证，， ，， ， ∴的值是定值，定值为． 【点睛】本题考查了非负数的性质，坐标与图形，图形的平移，平行线的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． 22．（24-25七年级下·山东日照·期中）如图1，在平面直角坐标系中，，，将线段沿轴向右平移个单位得到线段，点为射线上一动点． (1)填空：点的坐标为__________，点的坐标为__________． (2)如图1，点是线段上一点（不与点、重合），当点在射线上运动时（点不与点重合），连接，请用等式表示，，之间满足的数量关系，直接写出答案； (3)如图2，点在轴上，且，连接，，，当的面积等于的面积时，请求出点的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)或， 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、由平移方式确定点的坐标、坐标与图形综合 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，坐标系中的几何面积关系，注意分类讨论是解题的关键． （1）根据坐标平移的规律，即可解答； （2）根据点为射线上一动点，当点在点右边时，当点在点左边时，利用平行线的性质进行解答即可； （3）根据点在轴正半轴或负半轴两种情况，再考虑点在点A左边或者右边，利用的面积等于的面积列方程即可解答． 【详解】（1）解：，，将线段沿轴向右平移12个单位得到线段， ， 故答案为：； （2）解：当点在点右边时，如图， 过点作 ∴ ∵平移， ∴ ∴ ∴ ， ∴， ∴ ∴ ∵ ∴ 即 当点在点左边时，如图， 同理可得，， ∴ 即 综上所述，或 （3）解：∵，， ∴ ， ∵ ∴，， ∵ ∴ ①点在点右边，在正半轴时，如图， 可得， 设，则 可得方程， 解得， ； 在负半轴时，点在的下方时，如图， 可得， 设， 可列方程， 解得， ∴ ④点在点右边，点在的上方时如图，连接， 可得， 设， 可列方程， 解得， ， 综上，点的坐标为或，． 23．（24-25七年级下·吉林·期中）如图，在平面直角坐标系中，点在轴上，坐标为，将线段沿轴正方向平移3个单位长度得到线段，点是线段上的一个动点（不与点、重合），平分，平分，与交于点．    (1)线段与之间的位置关系和数量关系分别是______；点的坐标为______； (2)若三角形的面积为6，求点的坐标； (3)若，则_____度； (4)当点（不与点、重合）在线段上运动时，猜想与有怎样的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)、； (2) (3)35 (4)，理由见解析 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线判定与性质求角度、利用平移的性质求解、由平移方式确定点的坐标 【分析】本题考查了平面直角坐标系、平移的性质、平行线的性质与判定，结合图形添加平行线求出角度之间的关系是解题的关键． （1）根据平移的性质得到，，结合点的坐标即可得出点的坐标； （2）根据平移的性质得到，再利用三角形的面积公式求出的长，结合点的坐标即可得出点的坐标； （3）过点作，过点作，利用平行线的性质与判定得到，，根据角平分线的定义得到，，结合，即可求出的度数； （4）由（3）中的结论得，，，，再根据角度之间的等量代换即可得出答案． 【详解】（1）解：线段沿轴正方向平移3个单位长度得到线段， ，， 又， ， 线段与之间的位置关系和数量关系分别是、，点的坐标为． 故答案为：、；． （2）解：由平移的性质得，， ， ， ， 三角形的面积为6， ， 解得：， 又，点在线段上， 点的坐标为． （3）解：如图，过点作，过点作，   ， ， ，， ， ， ， 同理可得，， 平分，平分， ，， ， 度． 故答案为：35． （4）解：，理由如下： 由（3）得，，，，， ， ． 24．（24-25七年级下·重庆·期中）如图1，点，，且满足． (1)直接写出、的坐标：（0，______），（________，0）； (2)点以每秒2个单位长度从点向轴负半轴运动，同时，点以每秒3个单位长度从点向轴正半轴运动，直线，交于点，设点，运动的时间为秒． ①当时，求证：； ②如图2，当时，在线段上任取一点，连接．点为的角平分线上一点，连接，且满足．请将图2补全，直接写出、、之间的数量关系． 【答案】(1) (2)①证明见解析；②图见解析，或 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、根据平行线的性质探究角的关系、坐标与图形综合 【分析】本题考查的是非负数的性质，坐标与图形，三角形的面积的计算，平行线的性质，平行公理的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键． （1）由非负数的性质可得：，，从而可得答案； （2）利用三角形的面积公式证明，再进一步可得答案； （3）先根据题意补全图形，设，设，则，再证明，，再进一步可得答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ∴，， 解得：，， ∴点， 故答案为：； （2）①当时，，， ∴，， ∴， ∴， ∴； ②如图，补全图形如下： 当点在上方时， ∵点为的角平分线上一点， ∴设， ∵， 设，则， 如图，∵， ∴， 过作， ∴， ∴，， ∴， 过作，而， ∴， ∴，， ∴， 而， ∴， ∴， ∴； 当点在下方时， ∵点为的角平分线上一点， ∴设， ∵， 设，则， ∵， ∴， 过作， ∴， ∴，， ∴， 过作，而， ∴， ∴，， ∴， 而， ∴， ∴， ∴． 25．（20-21七年级下·重庆渝中·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点A（0，a）、C（b，0）满足+|b﹣2|＝0． （1）求点A、点C的坐标； （2）已知坐标轴上有两动点P、Q同时出发，P点从C点出发向左以1单位长度每秒的速度匀速移动，Q点从O点出发以2个单位长度每秒的速度向上移动，点D（1，2）是线段AC上一点，设运动时间为t（t＞0）秒，当S△ODQ＝2S△ODP时，此时是否存在点M（m，6），使得S△ODM＝3S△ODQ，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由； （3）点F是线段AC上一点，满足∠FOC＝∠FCO，点G是第二象限中一点，连接OG，使得∠AOG＝∠AOF，点E是线段OA上一动点，连接CE交OF于点H，当点E在线段OA上运动的过程中，直接写出的值． 【答案】（1）A（0，4），C（2，0）；（2）存在，M（7，6）、M（-1，6）、M（15，6）或M（-9，6）；（3）2． 【知识点】根据平行线判定与性质证明、坐标与图形、利用算术平方根的非负性解题、绝对值非负性 【分析】（1）根据非负性求得a、b值即可； （2）分两种情形当点P在线段OC上时；当点P在线段CO延长线上时，分别构建方程求出点P坐标，根据S△ODM＝3S△ODQ，再次分别构建方程即可解决问题； （3）过H点作AC的平行线，交x轴于P，先判定OG∥AC，再根据角的和差关系以及平行线的性质，得出∠PHO=∠GOF=∠1+∠2，∠OHC=∠OHP+∠PHC=∠GOF+∠4=∠1+∠2+∠4，最后代入进行计算即可． 【详解】（1）∵+|b﹣2|＝0 ∴a-2b=0，b-2=0． 求得：a=4，b=2， ∴A（0，4），C（2，0）． 故答案为A（0，4），C（2，0）． （2）当点P在线段OC上时，由题意： ，解得t=． 当点P在CO的延长线上时，由题意： ，解得t=4． 故当t=或4时，S△ODQ＝2S△ODP． 如图，当点P在线段OC上时，P（，0），Q（0，）， ∵S△ODM=3S△ODQ， ∴， 或者 解得：m=7，m=-1 ∴M（7，6）或M（-1，6）． 如图，当点P在CO的延长线上时，P（-2，0），Q（0，8）， 此时，， 或者 解得：m=-9，m=15 ∴M（-9，6）或M（15，6）． 综上所述：存在点M（7，6）、M（-1，6）、M（15，6）或M（-9，6）使得条件成立． （3） ∵∠2+∠3=90°， 又∵∠1=∠2，∠3=∠FCO， ∴∠GOC+∠ACO=180°， ∴OG∥AC， ∴∠1=∠CAO， ∴∠OEC=∠CAO+∠4=∠1+∠4， 如图，过H点作AC的平行线，交x轴于P，则∠4=∠PHC，PH∥OG， ∴∠PHO=∠GOF=∠1+∠2， ∴∠OHC=∠OHP+∠PHC=∠GOF+∠4=∠1+∠2+∠4， ∴． 故答案为：=2． 【点睛】本题考查三角形的综合，涉及坐标与图形性质、非负性的性质、三角形的面积公式、平行线的性质，解答的关键是学会添加常用添加辅助线，学会用转化的思想解决问题，属于中考压轴题． 26．（23-24七年级下·重庆江北·阶段练习）如图1，在平面直角坐标系中，已知，，，连接，并过点C作的平行线l．动点P、Q分别以每秒1个单位和每秒3个单位的速度，从A、C两点同时出发水平向左运动．运动过程中连接，当垂直于直线l时，点Q提速至每秒5个单位并继续向左运动．当点P运动到点B时，P、Q两点同时停止运动．设运动时间为t． (1)当时，点P的坐标为______，点Q的坐标为______； (2)连接、得到三角形，在整个运动过程中，是否存在某个时刻，使得三角形的面积为10？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由． (3)在点P、Q出发的同时，动点M从点O出发，以每秒1.5个单位的速度沿y轴正方向运动．当点P停止运动时，点M也随之停止运动．在运动过程中，连接、，分别在和的内部作射线、，使得，，直线、交于点N．请直接写出整个运动过程中、与的关系，标注t的取值范围；并选择其中一种情况，画图分析说明． 【答案】(1)， (2)存在，点P的坐标为或 (3)时，，时，画图分析说明见解析 【知识点】根据平行线判定与性质求角度、根据平行线的性质探究角的关系、坐标与图形、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】（1）设直线l与y轴交于点F，直线与y轴交于点E，则，根据题意，当时，，由此列出方程求解即可，再根即此时运动的时间即可得到点Q的坐标； （2）设直线l与y轴交于点F，直线与y轴交于点E，分点Q运动到点F之前，和点Q运动到点F之后，且点P运动到点E之前，及点Q运动到点F之后，且点P运动到点E之后，三种情况讨论即可； （3）设直线l与y轴交于点S，直线与y轴交于点R，过点N作直线平行线，交y轴交于点T，根据运动时间和距离分情况画出图形分析解答即可． 【详解】（1）解：如图1，设直线l与y轴交于点F，直线与y轴交于点E，则， ，， ， ，， ， ， ， 解得：， 此时，， ，即， 故答案为：，； （2）解：如图，设直线l与y轴交于点F，直线与y轴交于点E，则， 点Q运动到垂直于直线l前，此时， 此时，， ， ， 当时， 解得：，符合题意， 此时， ； 当点Q运动到垂直于直线l时，，故在垂直于直线l以后，在点Q运动到点F之前，点P运动到点E之前三角形的面积不能是10； 如图2，当点Q运动过点F且点P运动到点E之前，过点作，垂足为H，交x轴与点G，此时， 此时，， ， ， ， ， ， ， ， ， 当时， 解得：，符合题意， 此时， ； 如图3，点Q运动到点F之后，且点P运动到点E之后，此时， 此时，， ， ， 当时， 解得：，不符合题意； 综上，三角形的面积为10时，存在点P的坐标为或； （3）解：设直线l与y轴交于点S，直线与y轴交于点R，过点N作直线平行线，交y轴交于点T， 如图4，当时，点M在上运动，此时，点Q和点在上运动，直线的交点N在y轴右侧， ， ， ， ， ， ， ，， ，， ， ， ，， ， ， 即； 如图5，当时，直线m与直线重合，点Q和点在上运动，直线的交点N在y轴右侧， 此时， ， ，即； 如图6，当，点Q和点P在上运动，且点Q与点O重合，直线的交点N在y轴右侧， 同理可得：； 如图7，当时，点Q在点S左侧运动，点P在上运动，直线的交点N在y轴右侧， 此时，， ， ， ，即， ， ，， ， ， ， ， ， ； 如图8，当时，点Q在点S左侧运动，点P在上运动，直线的交点N在y轴左侧， 同理可得：； 综上，时，，时，． 【点睛】本题考查平行线的性质综合应用，动点问题，几何中角度的计算，平面直角坐标系，正确画出图形，熟练掌握分类讨论的思想是解题的关键． 27．（24-25七年级下·江苏南通·阶段练习）如图1，点，且满足． (1)直接写出的坐标：（0，_____），(_____，0 )； (2)点以每秒2个单位长度从点向轴负半轴运动，同时，点以每秒3个单位长度从点向轴正半轴运动，直线交于点，设点运动的时间为秒． ①当时，求证：； ②如图2，当时，在线段上任取一点，连接．点为的角平分线上一点，连接，且满足．请将图2补全，直接写出之间的数量关系． 【答案】(1)； (2)①见解析；②图形见解析，或 【知识点】构造二元一次方程组求解、写出直角坐标系中点的坐标、角平分线的有关计算、根据平行线判定与性质证明 【分析】（1）首先根据非负数的性质解得的值，可确定点的坐标，即可获得答案； （2）①当时，可有，易得，，进而可计算出，结合，即可获得答案；②首先根据题意补画图形，设，，然后分G点在平行线之间和G点在平行线之外两种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，解得， ∴． 故答案为：； （2）①当时，可有， ，， ∴，， ， ， 即； ②根据题意，将图2补全，如下图所示， 设，， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 可分两种情况讨论， ①如下图，当G点在平行线之间时，过点作，过点作， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； ②如下图，当G点在平行线之外时，过点作，过点作， 则， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 综上所述，之间的数量关系为或． 【点睛】本题主要考查了非负数的性质、二元一次方程的应用、坐标与图形、平行的判定与性质等知识，综合性强，难度较大，解题关键是熟练掌握相关知识，运用分类讨论的思想分析问题． 28．（21-22七年级下·江西新余·期中）如图1，在平面直角坐标系中，是x轴正半轴上一点，C是第四象限内一点，轴交y轴负半轴于，且，． (1)求点C的坐标． (2)如图2，设D为线段上一动点，当时，的角平分线与的角平分线的反向延长线交于点P，求的度数（点E在x轴的正半轴）． (3)如图3，当点D在线段上运动时，作交于M点，，的平分线交于N点，则点D在运动过程中，∠N的大小是否会发生变化？若不变化，求出其值；若变化，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【知识点】绝对值非负性、坐标与图形、角平分线的有关计算、根据平行线判定与性质求角度 【分析】（1）根据实数的非负性，结合图形的面积，点所在象限，计算点C的坐标即可． （2）根据角的平分线定义，直角三角形的性质，三角形内角和定理计算即可． （3）过点D作，过点N作，利用平行线的判定和性质，角的平分线的定义，解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得， ∴． ∴． ∵， ∴， 解得． ∵C在第四象限， ∴． （2）解：∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴． （3）如图，，大小不会发生变化，理由如下： 如图，过点D作，过点N作，则． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵平分，平分， ∴，， ∴， 同理：， ∴． 【点睛】本题考查了实数的非负性，平行线的判定和性质，垂直的应用，角的平分线的定义，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 29．（20-21七年级下·重庆忠县·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为，，且、满足，点C在x轴的负半轴上，连接AB、AC． （1）如图1，若的面积是面积的倍，求点C的坐标： （2）如图2，点D在AC上，点E在AB上，连接OD，过点E作轴于点F，若，求证：； （3）在（1）的条件下，点P从点O出发以每秒1个单位长度的速度沿OB方向移动，同时点Q从点A出发以每秒2个单位长度的速度在AO间往返移动，即先沿AO方向移动，到达点O反向移动．设移动的时间为t秒，四边形ACQB与的面积分别记为、，是否存在时间，使；若存在，求出值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）存在，或 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、几何问题(一元一次方程的应用)、坐标与图形、同位角相等两直线平行 【分析】（1）根据绝对值与算术平方根的非负性可得，进而解方程组即可求得，，最后再根据列出方程求解即可求得答案； （2）根据轴可得，再结合，可得，最后根据同位角相等两直线平行即可得证； （3）先根据题意求得点P到达点B时，点Q到达点O、点A时的时间，由此可对时间t分类讨论，在每种情况中根据列出方程求解，进而即可求得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵轴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （3）解：由题意得：当时，点Q第一次到达点O， 当时，点P到达点B， 当时，点Q到达点A， 当秒，点Q第二次到达点O， ∴当时，，， ∵， ∴， 解得：（符合题意）； 当时，，， ∵， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）； 当时，，， ∵， ∴， 解得（符合题意）； 当时，，， ∵， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）； 当时，的最大值为，的最小值为，不存在能使． 综上所述，存在或时，使． 【点睛】本题考查了几何图形在平面直角坐标系中的应用，绝对值与算术平方根的非负性，平行线的判定，动点问题的分类讨论，读懂题意，学会运用相关知识解决问题是解题的关键，也考查了一元一次方程的解法． 30．（22-23七年级下·天津西青·期末）如图①，在平面直角坐标系中，为原点，已知，，且，满足关系式：，现同时将点，向上平移3个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到，的对应点，，连接，，．    (1)______，b=______，点C的坐标为_________，点D的坐标为_________； (2)连接 ，在轴上是否存在一点，使得三角形的面积等于三角形面积的？若存在，请求出点P的坐标：若不存在，请说明理由； (3)如图②，点是直线上一个动点连接，，当点在直线上运动时，请直接写出与，的数量关系． 【答案】(1)，2，， (2)存在，或， (3)见解析 【知识点】由平移方式确定点的坐标、根据平行线的性质探究角的关系、坐标与图形、利用算术平方根的非负性解题 【分析】（1）根据算术平方根和绝对值的意义得没从而得出，的值，根据平移的性质，进一步得出结果； （2）根据，得出，结合，得出，进一步得出结果； （3）分为：当点在上时，可延长，交轴于，可推出，，从而；当点在的延长线上时，设交于，可推出，，从而得出；当点在的延长线时，设交于，可推出，，从而． 【详解】（1）解：由题意得， ， ， ，， ，，， ，， 故答案为：，2，，； （2）由题意得， ， ， ， ， ， ，， ，或； （3）如图，    当点在上时，延长，交轴于， ， 由平移可得， ， ， 如图2，    当点在的延长线上时，设交于， ， ， ， ， 如图3，    当点在的延长线时，设交于， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了算术平方根和绝对值的意义，平行线的性质，平面直角坐标系点的坐标平移的特征等知识，解决问题的关键是分类讨论． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$