（期末复习讲义）常考知识清单（五大专题19类考点典型题）-2024-2025学年六年级下册数学期末备考总复习（人教版）

2024-2025学年六年级下册数学期末备考总复习 常考知识清单（五大专题19类考点典型题） 目录 专题一负数 3 【考点一】负数的意义及初步认识 3 【考点二】负数在生活中的实际应用 4 专题二百分数（二） 5 【考点一】折扣 5 【考点二】成数 6 【考点三】税率 7 【考点四】利率 8 专题三圆柱与圆锥 9 【考点一】圆柱的认识 9 【考点二】圆柱的表面积 10 【考点三】圆柱的体积 11 【考点四】圆锥的认识 12 【考点五】圆锥的体积 13 专题四比例 14 【考点一】比例的意义和基本性质 14 【考点二】解比例 15 【考点三】正比例 15 【考点四】反比例 17 【考点五】比例尺 18 【考点六】图形的放大和缩小 19 【考点七】用比例解决问题 21 专题五数学广角—鸽巢问题 22 【考点一】鸽巢问题 22 专题一负数 【考点一】负数的意义及初步认识 【典例一】﹣2.5、﹢6、0、﹣、18、﹢3.6，其中正数有（    ）个。 A．2 B．3 C．4 【典例二】2024年5月3日17时27分，“嫦娥六号”成功发射，开启了世界首次月球背面采样返回之旅。从地球到月球最远的远地点平均距离为405500千米，横线上的数省略万位后面的尾数求它的近似数约为( )万千米。在之前的“嫦娥探月”中，实测月球背面最低气温为零下一百九十六度，可记作( )℃。 【典例三】“好滋味”美食店今年1～4月份收支情况如下，将下表补充完整（收支栏用正数或负数表示，其中收入记为正）。 项目 收支/元 进货共26000元 销售收回资金52000元 支付各种费用3600元 营业员工资12000元 说一说“好滋味”美食店今年1～4月份是盈利，还是亏损。 【考点二】负数在生活中的实际应用 【典例一】如图，玲玲一开始站在小树的位置，她向东走用正数表示，向西走用负数表示，她先走了﹢3米，又走了﹣5米。现在她的位置在（    ）处。 A．A B．B C．C D．D 【典例二】下表是某超市库存大米在本周的变化情况。入库部分用正数表示，出库部分用负数表示。 星期 一 二 三 四 五 六 日 出、入库大米质量 （1）星期三有( )大米入库，有( )大米出库。 （2）星期( )没有大米入库。 （3）若在本周星期日结束时，该超市库存大米还有，则上周星期日结束时，该超市库存大米有( )。 【典例三】小王在网店上销售文旦，计划每天销售100千克，但实际每天销售量与计划销售量相比有增减，超过计划量记为正，不足计划量记为负，如表是小王第一周文旦的销售情况：（文旦是一种水果） 星期 一 二 三 四 五 六 日 文旦销售超过或不足计划量情况 （单位：千克） ﹢3 ﹣5 ﹣2 ﹢11 ﹣7 ﹢13 ﹢5 （1）小王第一周销售文旦最多的一天比最少的一天多销售多少千克？ （2）小王第一周实际销售文旦的总量是多少千克？ （3）若文旦售价为8元/千克，包装及快递费为3元/千克，则小王这一周文旦销售收入共多少元？ 专题二百分数（二） 【考点一】折扣 【典例一】如图是某影城的宣传海报。方方一家三人去看电影《我和我的祖国》，购买电影票共花了163.2元。他们看的是（    ）。 A．上午场 B．中午场 C．下午场 D．晚场 【典例二】商店卖一种书包，如果每个售价为150元，那么售价的60%是进价，售价的40%就是利润。现在要搞促销活动，为保证一个书包利润为30元，折扣应该确定为( )折。 【典例三】某商家预测一种应季衬衫能畅销市场，就用13200元购进了一批这种衬衫，面市后果然供不应求，商家又用28800元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价贵了10元。 （1）该商家购进的第一批衬衫是多少件？ （2）若两批衬衫按相同的标价销售，最后剩下50件按八折优惠卖出，如果两批衬衫全部售完利润率为25%（不考虑其他因素），那么每件衬衫的标价应该是多少元？ 【考点二】成数 【典例一】兴义市万峰林旅游集团旗下景区2023年接待旅游总人数约为385万人次，比上一年增长四成。兴义市万峰林旅游集团旗下景区2022年接待旅游总人数约为（    ）万人次。 A．154 B．275 C．231 D．95 【典例二】现如今“直播带货”已经成为促进经济增长的有效途径。王叔叔将收获的青椒通过直播形式销售后，12月青椒总销售量比11月提高了八成五，12月青椒总销售量是740千克，11月青椒总销售量是( )千克。 【典例三】走进最美乡村。 （1）星星村有一个周长62.8米的圆形草坪，现准备为它安装自动旋转喷水龙头进行喷灌，现有射程为20米、15米、10米的三种装置。你认为应选哪种射程的装置比较合适？ （2）村里有一个直径为16米的圆形花圃，在它的周围环绕着一条2米宽的走道，走道面积是多少？ （3）致富带头人张叔叔果园里去年产了4500千克的苹果，今年因为气候好，比去年增产了2成，今年产了多少千克苹果？ 【考点三】税率 【典例一】星星书店本月营业额中应纳税的部分是18000元，如果按应纳税部分的4%缴纳增值税，该书店本月应缴纳增值税（    ）元。 A．720 B．72 C．7200 D．72000 【典例二】某饭店上月的营业额是20万元，如果按营业额的5%缴纳营业税，饭店上月应缴营业税( )万元。厨师长的工资是7000元，超过5000元的部分按3%缴纳个人所得税，厨师长应缴个人所得税( )元。 【典例三】王叔叔根据最新个人所得税政策，除了每月扣除5000元的个人免征额后，每月还可享受专项附加扣除项（如下表），剩余部分按3%的税率缴税。王叔叔5月份工资为9500元，这个月需缴纳多少元个人所得税？ 【考点四】利率 【典例一】下表是某银行存款利率，张爷爷将6000元存入这个银行，存期两年，到期时一共可取回多少钱？正确的列式为（    ）。 存期 一年 二年 三年 年利率 1.70% 1.90% 2.35% A．6000×2.35%×2 B．6000×1.90%×2 C．6000＋6000×1.90%×2 【典例二】婷婷把3000元压岁钱存入银行，定期2年，年利率为2.10%，到期后婷婷把这笔钱全部取出，并用这笔钱的5%给妈妈买礼物，婷婷买礼物花了( )元。 【典例三】淘气爸爸有50000元，要存入银行两年，下表是年利率的情况。现在有两年种储蓄方法：方法一：淘气爸爸先存款一年，到期后用本金和利息合在一起，再存一年；方法二：一次存两年。哪种储蓄方法好？说明理由。 一年 2.1% 二年 2.7% 专题三圆柱与圆锥 【考点一】圆柱的认识 【典例一】一个圆柱体，它的侧面展开图是正方形，底面半径是2厘米，它的高是（    ）。 A．6.28厘米 B．9.42厘米 C．12.56厘米 D．15.7厘米 【典例二】下图这个圆柱的底面周长是( )分米，把这个圆柱的侧面沿高剪开，展开可以得到一个( )形。 【典例三】怎样选择下面的材料制作一个水桶，最多有几种方案？并说一说每一种方案的理由。 【考点二】圆柱的表面积 【典例一】下图是个茶杯，中间的装饰带是防烫伤的，它的面积是（    ）平方厘米。 A．15×6π B．5×（6÷2）2π C．5×6π D．（15－5）×6π 【典例二】一台压路机的前轮是圆柱形，轮宽2米，直径1.2米。前轮转动一周，压路机前进( )米，压路的面积是( )平方米。 【典例三】母亲节时，小明送给妈妈一只茶杯（如图）。茶杯中部的一圈装饰带很漂亮，那是小明怕烫伤妈妈的手特意贴上的，这条装饰带宽5厘米，做装饰带至少用料多少平方厘米？（接头处忽略不计） 【考点三】圆柱的体积 【典例一】一根圆柱形输油管的内直径是2分米，油在管内的流速是5分米/秒，这根油管每秒可以流出（       ）升油。 A．6.28 B．15.7 C．31.4 【典例二】有大、小两种玻璃球，放入盛有同样多水的圆柱形容器里中（单位：cm），用“排水法”测量玻璃球体积。一个大玻璃球的体积是( )；一个小玻璃球和一个大玻璃球的体积比是( )。 【典例三】一个密封的长方体容器装了一些水。当横着放入一个圆柱体铁块时，恰好完全浸没在水中，水深2厘米（如下左图）。如果把这个容器如下右图放置，圆柱体铁块的刚好露出水面，且水深5.5厘米。 （1）当把这个容器如下右图放置时，占地面积是多少？ （2）这个圆柱体铁块的体积是多少立方厘米？ 【考点四】圆锥的认识 【典例一】直角三角形ABC（如下图），以直角边AB为轴旋转360°后得到的是（    ）。 A．底面半径是8cm，高是6cm的圆锥 B．底面半径是6cm，高是8cm的圆锥 C．底面直径是6cm，高是8cm的圆锥 【典例二】说出下面各圆锥的高。（单位：cm） 第一个高( )cm；第二个高( )cm；第三个高( )cm。 【典例三】将一个底面直径是、高是的圆锥形木块分成形状、大小完全相同的两个木块后，表面积比原来增加了多少平方厘米？ 【考点五】圆锥的体积 【典例一】如图，把一个体积是72dm3的圆柱形木块，削成两个顶点相连的完全相同的圆锥形木块，形成“沙漏”状，则每个圆锥的体积是（    ）。 A．12dm3 B．18dm3 C．24dm3 D．36dm3 【典例二】一个底面半径为6cm的圆柱形容器中装有一定量的水，若向容器中放入一个底面半径为4.5cm的圆锥形铁块（完全浸没，无水溢出），这时水面上升了1.5cm，圆锥形铁块的高是( )cm。 【典例三】如图一个蒙古包由一个圆柱和一个圆锥组成。 （1）这个蒙古包的占地面积是多少平方米？ （2）这个蒙古包所占的空间是多少立方米？ 专题四比例 【考点一】比例的意义和基本性质 【典例一】下面能与∶组成比例的是（    ）。 A．3∶4 B．∶ C．∶ D．4∶3 【典例二】4，3，2，6这四个数中，( )是最小的质数，( )是最小的合数，用这四个数组成的比例是( )。 【典例三】如果比例的内项4增加8，那么外项3应该增加( )，比例才能成立。 【考点二】解比例 【典例一】某炼钢厂有一堆铁矿石，用去，又运进210吨。这时炼钢厂里的铁矿石与原来铁矿石的质量比恰好是2∶9，原来铁矿石有（    ）吨。 A．1680 B．945 C．2400 D．2160 【典例二】写出比例，并求出未知数。 光明小学为了预防新冠肺炎病毒传播，按照消毒液和水的比为1∶110的比例，配制消毒水进行教室消毒。现有y毫升的消毒液，需要水165毫升。 【典例三】教室前方的国旗长是60cm，宽是40cm。操场旗杆上的国旗和它形状相同，长和宽的比是( )。操场上国旗的长是2m40cm，宽应是( )m。 【考点三】正比例 【典例一】小明去超市购买鸡蛋，已知鸡蛋的价格为10元/千克。他把大家购买不同数量的情况画成了图。下面哪幅图正确表示了总价和数量之间的关系？（    ） A． B． C． D． 【典例二】某汽车行驶的时间和路程如下表。 时间/时 1 2 3 （    ） 5 （    ） …… 路程/km 60 120 180 240 300 360 …… （1）完成表格，路程与时间成（    ）比例；路程用S表示，时间用t来表示，请用式子表示出S，t和汽车速度之间关系（    ）。 （2）在图中描出表示路程和相应时间的点，然后把它们按顺序连起来。并估计一下行驶330千米大约要用（    ）小时。 【典例三】如图表示的是一辆汽车所行驶的路程与时间的变化情况。 （1）图中的A点表示1小时行驶80千米，B点表示2小时行驶160千米，C、F两点分别表示什么？ （2）汽车行驶的路程与时间成什么比例？为什么？ （3）根据图像判断：这辆汽车2.5小时行驶了（    ）千米；行驶360千米需要（    ）小时。 【考点四】反比例 【典例一】下面说法正确的是（    ）。 A．一个人的年龄和身高成正比例 B．路程一定，速度和时间成正比例 C．总价一定，单价和数量成反比例 D．和一定，两个加数成反比例 【典例二】某工厂有一批煤，每天烧煤的质量和可烧的时间关系如下表。 每天烧煤的质量/吨 0 3 6 9 15 20 … 可烧的时间/天 0 30 15 10 6 4.5 … （1）判断每天烧煤的质量和可烧的时间是不是成反比例，并说明理由。 （2）如果该工厂平均每天烧煤的质量是5吨，那么这批煤可烧多少天？ 【典例三】把5千克糖果平均分装在n个盒子里，每个盒子里糖果重( )千克，分装盒子的个数和每个盒子里的糖果质量成( )比例。 【考点五】比例尺 【典例一】小明在一幅地图上量得上虞到杭州的距离是6.8厘米，而两地的实际距离是68千米，那么，小明用的这幅地图的比例是（    ）。 A．1∶100000 B．1∶1000000 C．1∶10000000 【典例二】（1）市政府到儿童公园的实际距离是1050米，图中量得两地的图上距离为1.5厘米，这幅图的比例尺是（    ）。 （2）北山公园在市政府北偏东35°方向1750米处，在这幅地图上，市政府到北山公园的图上距离是（    ）厘米。 （3）在图中画出北山公园的位置。 【典例三】同学们参加军训，从军营到射击场路线如下所示： 请用1∶20000的比例尺在方框中画出同学们的行军路线图。 【考点六】图形的放大和缩小 【典例一】把三角形X按1∶2缩小后得到的图形是（    ）。 A．A B．B C．C 【典例二】 （1）把三角形ABC按2∶1放大，画在如图的方格里。 （2）如果三角形ABC的顶点A用（3，4）表示，那么顶点B用（    ）表示，顶点C用（    ）表示。 （3）画出三角形ABC绕A点顺时针旋转90°的图形。 【典例三】一个直角三角形的三条边的长度分别是3厘米、4厘米、5厘米，它的面积是( )平方厘米。如果把这个三角形按照3∶1放大，得到的图形的面积是( )平方厘米。 【考点七】用比例解决问题 【典例一】把一根木头锯成3段要用8分钟，若锯成10段要用x分钟？正确的比例是（    ）。 A．3∶8＝x∶10 B．3∶8＝（10－1）∶x C．8∶（3－1）＝（10－1）∶x D．（3－1）∶8＝（10－1）∶x 【典例二】某物流公司将120t蔬菜运往上海，如果要一次把所有货物全部运出，每辆车的载质量与所需车辆数量如下表。 每辆车的载质量/t 2.5 3 5 10 所需车辆数量/辆 48 40 24 12 （1）每辆车的载质量与所需车辆数量成（    ）比例关系。 （2）如果用15辆相同的车来运，每辆车的载质量是多少吨？ 【典例三】某物流公司将120t蔬菜运往上海，如果要一次把所有货物全部运出，每辆车的载质量与所需车辆数量如下表。 每辆车的载质量/t 2.5 3 5 10 所需车辆数量/辆 48 40 24 12 （1）每辆车的载质量与所需车辆数量成（    ）比例关系。 （2）如果用15辆相同的车来运，每辆车的载质量是多少吨？ 专题五数学广角—鸽巢问题 【考点一】鸽巢问题 【典例一】一副扑克牌有4种花色（大小王除外），每种花色有13张，从中任意抽牌，最少要抽（ ）张牌，才能保证有4张牌是同一花色的。 【典例二】六三班同学有8人都订阅了三种报刊中的一种或几种，那么，这8人中至少有（ ）个人所订的报刊种类完全相同。 【典例三】一次数学竞赛出了10道选择题，评分标准为：基础分10分，每道题答对得3分，答错扣1分，不答不得分，问：要保证至少有4人得分相同，至少需要多少人参加竞赛？ 【典例四】学校开设了书法、舞蹈、棋类、乐器四个课外学习班，每个学生最多可以参加两个（可以不参加）学习班。某班有52名同学，至少有几名同学参加课外学习班的情况完全相同？ 【典例五】班上共有60位同学，生日记为某月某号，问每个同学两个问题：班上有几个人与你生日的月份相同，班上有几个人与你生日的号数相同（比如生日为1月12日与12月12日的号数是相同的）。结果发现，所得到的回答中包含了由0到14的所有整数，那么，该班至少有多少个同学生日相同？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年六年级下册数学期末备考总复习 常考知识清单（五大专题19类考点典型题） 目录 专题一负数 3 【考点一】负数的意义及初步认识 3 【考点二】负数在生活中的实际应用 4 专题二百分数（二） 6 【考点一】折扣 6 【考点二】成数 9 【考点三】税率 10 【考点四】利率 11 专题三圆柱与圆锥 13 【考点一】圆柱的认识 13 【考点二】圆柱的表面积 15 【考点三】圆柱的体积 17 【考点四】圆锥的认识 19 【考点五】圆锥的体积 20 专题四比例 22 【考点一】比例的意义和基本性质 22 【考点二】解比例 24 【考点三】正比例 26 【考点四】反比例 29 【考点五】比例尺 31 【考点六】图形的放大和缩小 33 【考点七】用比例解决问题 36 专题五数学广角—鸽巢问题 37 【考点一】鸽巢问题 37 专题一负数 【考点一】负数的意义及初步认识 【典例一】﹣2.5、﹢6、0、﹣、18、﹢3.6，其中正数有（    ）个。 A．2 B．3 C．4 【分析】0既不是正数也不是负数。比0大的是正数，正数的数前面的“﹢”可以省略不写；比0小的是负数，负数的数前面的“﹣”不能省略。 【解答】﹣2.5、﹢6、0、﹣、18、﹢3.6，其中正数是：﹢6、18、﹢3.6，所以正数有3个。 故答案为：B 【典例二】2024年5月3日17时27分，“嫦娥六号”成功发射，开启了世界首次月球背面采样返回之旅。从地球到月球最远的远地点平均距离为405500千米，横线上的数省略万位后面的尾数求它的近似数约为( )万千米。在之前的“嫦娥探月”中，实测月球背面最低气温为零下一百九十六度，可记作( )℃。 【分析】省略“万”以后的尾数求近似数，根据千位上数字数字是4或者比4小，就把尾数去掉。如果千位上的数是5或者比5大，就把尾数舍去并且在它的前一位进“1”； 通常用正负数表示具有相反意义的两种量，零下温度用负数表示，零上温度用正数表示，据此写出气温即可。 【解答】由分析可得： 405500千米≈41万千米 零下一百九十六度可记作﹣196℃。 综上所述：从地球到月球最远的远地点平均距离为405500千米，横线上的数省略万位后面的尾数求它的近似数约为41万千米。在之前的“嫦娥探月”中，实测月球背面最低气温为零下一百九十六度，可记作﹣196℃。 【典例三】“好滋味”美食店今年1～4月份收支情况如下，将下表补充完整（收支栏用正数或负数表示，其中收入记为正）。 项目 收支/元 进货共26000元 销售收回资金52000元 支付各种费用3600元 营业员工资12000元 说一说“好滋味”美食店今年1～4月份是盈利，还是亏损。 【分析】正数、负数表示两种相反意义的量。如果规定收入记为正，那么支出就记为负，据此把表格补充完整。 把各项支出相加，求出总支出，再与收入进行比较，如果收入大于支出，则盈利；如果收入小于支出，则亏损。 【解答】填表如下： 项目 收支/元 进货共26000元 ﹣26000 销售收回资金52000元 ﹢52000 支付各种费用3600元 ﹣3600 营业员工资12000元 ﹣12000 共支出：26000＋3600＋12000＝41600（元） 52000＞41600，收入大于支出，盈利。 答：“好滋味”美食店今年1～4月份是盈利。 【考点二】负数在生活中的实际应用 【典例一】如图，玲玲一开始站在小树的位置，她向东走用正数表示，向西走用负数表示，她先走了﹢3米，又走了﹣5米。现在她的位置在（    ）处。 A．A B．B C．C D．D 【分析】正负数是表示具有意义相反的两种量。由题意可知，向东走用正数表示，向西走用负数表示。她先走了﹢3米，又走了﹣5米，就是她从小树的位置先向东走3米，又向西走了5米。则相当于玲玲从小树的位置向西走了5－3＝2米，据此解答即可。 【解答】5－3＝2（米） 则现在她的位置在B处。 故答案为：B 【典例二】下表是某超市库存大米在本周的变化情况。入库部分用正数表示，出库部分用负数表示。 星期 一 二 三 四 五 六 日 出、入库大米质量 （1）星期三有( )大米入库，有( )大米出库。 （2）星期( )没有大米入库。 （3）若在本周星期日结束时，该超市库存大米还有，则上周星期日结束时，该超市库存大米有( )。 【分析】（1）先在题中找到星期三的出、入库记录，分别是和。入库部分用正数表示，出库部分用负数表示，所以表示有大米出库，表示有大米入库。 （2）入库部分用正数表示，出库部分用负数表示，出、入库记录中只有星期四没有正数，所以星期四没有大米入库。 （3）这一个星期入库大米的总数是，出库大米的总数是，相当于只入库大米。由题意可知本周星期日结束时，超市库存大米还有，减去本周净入库的，得出上周星期日结束时，该超市库存大米有。 【解答】由分析得： （1）星期三有350大米入库，有100大米出库。 （2）星期四没有大米入库。 （3）若在本周星期日结束时，该超市库存大米还有，则上周星期日结束时，该超市库存大米有300。 【点评】正负数意义的实际应用，前两问较为简单，在解答第三问时，先要分别计算总入库和总出库的重量，然后依据正负数的意义求出净入库的重量，最后结合本周库存量求出上周日结束时的库存量。 【典例三】小王在网店上销售文旦，计划每天销售100千克，但实际每天销售量与计划销售量相比有增减，超过计划量记为正，不足计划量记为负，如表是小王第一周文旦的销售情况：（文旦是一种水果） 星期 一 二 三 四 五 六 日 文旦销售超过或不足计划量情况 （单位：千克） ﹢3 ﹣5 ﹣2 ﹢11 ﹣7 ﹢13 ﹢5 （1）小王第一周销售文旦最多的一天比最少的一天多销售多少千克？ （2）小王第一周实际销售文旦的总量是多少千克？ （3）若文旦售价为8元/千克，包装及快递费为3元/千克，则小王这一周文旦销售收入共多少元？ 【分析】（1）文旦销售最多的一天是﹢13千克，销售最少的一天是﹣7千克，因此用最多的减最少的即可； （2）先找到文旦销售实际是超过还是不足多少千克，然后再加上计划销售的总量； （3）先找到文旦销售后一千克的实际收入，然后再乘销售的数量即可求出销售收入。 【解答】（1）13−（﹣7）＝13＋7＝20（千克） 故小王第一周销售文旦最多的一天比最少的一天多销售20千克； （2）3＋（﹣5）＋（﹣2）＋11＋（﹣7）＋13＋5＋100×7＝18＋700＝718（千克） 故小王第一周实际销售文旦的总量是718千克； （3） （8－3）×718 ＝5×718 ＝3590（元） 故小王这一周文旦销售收入共3590元。 专题二百分数（二） 【考点一】折扣 【典例一】如图是某影城的宣传海报。方方一家三人去看电影《我和我的祖国》，购买电影票共花了163.2元。他们看的是（    ）。 A．上午场 B．中午场 C．下午场 D．晚场 【分析】先用163.2元除以3求出购买一张电影票的实际钱数，再除以原价68元即可求出是几折优惠，然后确定看的场次。 【解答】163.2÷3÷68 ＝54.4÷68 ＝0.8 ＝80% ＝八折 他们看的是上午场。 故答案为：A 【点评】本题考查了折扣问题，解答本题需熟练掌握原价、现价与折扣的关系。 【典例二】商店卖一种书包，如果每个售价为150元，那么售价的60%是进价，售价的40%就是利润。现在要搞促销活动，为保证一个书包利润为30元，折扣应该确定为( )折。 【分析】根据题意，售价的60%是进价，把原来的售价看作单位“1”，用原来的售价乘60%求出这种书包的进价；然后用进价加上至少要赚的钱，求出实际售价；根据折扣＝实际售价÷原价×100%，即可求出这种书包的折扣。 【解答】150×60%＝90（元） 90＋30＝120（元） 120÷150×100% ＝0.8×100% ＝80% ＝八折 即折扣应该确定为八折。 【点评】本题考查折扣问题，百分之几十就是几折；掌握进价、原价、售价、折扣之间的关系是解题的关键。 【典例三】某商家预测一种应季衬衫能畅销市场，就用13200元购进了一批这种衬衫，面市后果然供不应求，商家又用28800元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价贵了10元。 （1）该商家购进的第一批衬衫是多少件？ （2）若两批衬衫按相同的标价销售，最后剩下50件按八折优惠卖出，如果两批衬衫全部售完利润率为25%（不考虑其他因素），那么每件衬衫的标价应该是多少元？ 【分析】（1）设商家购进的第一批衬衫是x件，第二批衬衫是2x件，数量关系式：第二批衬衫的单价－第一批衬衫的单价。单价＝总价÷数量，列出方程求出方程的解。 （2）两批衬衫全部售完利润率为25%，就是售完的价格比本钱多20%，也就是售完的钱是本钱的（1＋20%）。第一批和第二批的总共购进了360件，其中的310件是按照标价卖出，50件是按照标价的80%售出，即数量关系式：310×标价＋50×标价的80%＝本钱的125%。设每件衬衫的标价应该是y元列出方程求出方程的解。 【解答】（1）解：设商家购进的第一批衬衫是x件，第二批衬衫是2x件。 答：该商家购进的第一批衬衫是120件。 （2）2×120＝240（件） 设：每件衬衫的标价应该是y元。 答：每件衬衫的标价应该是150元。 【考点二】成数 【典例一】兴义市万峰林旅游集团旗下景区2023年接待旅游总人数约为385万人次，比上一年增长四成。兴义市万峰林旅游集团旗下景区2022年接待旅游总人数约为（    ）万人次。 A．154 B．275 C．231 D．95 【分析】据题意可知，把兴义市万峰林旅游集团旗下景区2022年接待旅游总人数看作单位“1”，几成就是百分之几十，比上一年增长四成，就是占上一年的，根据已知一个数的百分之几是多少，求这个数用除法计算，用兴义市万峰林旅游集团旗下景区2023年接待旅游总人数除以其对应的百分数，计算即可得解。 【解答】 （万人次） 兴义市万峰林旅游集团旗下景区2022年接待旅游总人数约为275万人次。 故答案为：B 【典例二】现如今“直播带货”已经成为促进经济增长的有效途径。王叔叔将收获的青椒通过直播形式销售后，12月青椒总销售量比11月提高了八成五，12月青椒总销售量是740千克，11月青椒总销售量是( )千克。 【分析】把11的辣椒销售量看作单位“1”，已知12月青椒总销售量比11月提高了八成五，即提高了85%，则11月的销售量乘（1＋85%）就是12月的销售量，又知12月的辣椒销售量是740千克，求11月的销售量，用12的销售量除以（1＋85%）即可解答。 【解答】八成五＝85% 740÷（1＋85%） ＝740÷1.85 ＝400（千克） 11月青椒总销售量是400千克。 【典例三】走进最美乡村。 （1）星星村有一个周长62.8米的圆形草坪，现准备为它安装自动旋转喷水龙头进行喷灌，现有射程为20米、15米、10米的三种装置。你认为应选哪种射程的装置比较合适？ （2）村里有一个直径为16米的圆形花圃，在它的周围环绕着一条2米宽的走道，走道面积是多少？ （3）致富带头人张叔叔果园里去年产了4500千克的苹果，今年因为气候好，比去年增产了2成，今年产了多少千克苹果？ 【分析】（1）根据圆的半径＝周长÷π÷2，求出草坪半径，即为喷水龙头射程，据此分析； （2）走道是个圆环，先确定大圆和小圆半径，根据圆环面积＝π（R2－r2），列式解答即可； （3）将去年产量看作单位“1”，今年比去年增产了2成，今年产量是去年产量的1＋20%，去年产量×今年对应百分率＝今年产量。 【解答】（1）62.8÷3.14÷2＝10（米） 答：选射程10米的装置比较合适。 （2）16÷2＝8（m） 8＋2＝10（m） （平方米） 答：走道面积是113.04平方米。 （3）4500×（1＋20%） ＝4500×1.2 ＝5400（千克） 答：今年产了5400千克苹果。 【点评】关键是掌握圆的周长和圆环面积公式，整体数量×部分对应百分率＝部分数量。 【考点三】税率 【典例一】星星书店本月营业额中应纳税的部分是18000元，如果按应纳税部分的4%缴纳增值税，该书店本月应缴纳增值税（    ）元。 A．720 B．72 C．7200 D．72000 【分析】用营业额中应纳税部分的钱数×税率，即可解答。 【解答】18000×4%＝720（元） 星星书店本月营业额中应纳税的部分是18000元，如果按应纳税部分的4%缴纳增值税，该书店本月应缴纳增值税720元。 故答案为：A 【典例二】某饭店上月的营业额是20万元，如果按营业额的5%缴纳营业税，饭店上月应缴营业税( )万元。厨师长的工资是7000元，超过5000元的部分按3%缴纳个人所得税，厨师长应缴个人所得税( )元。 【分析】营业税＝营业额×5%，根据百分数乘法计算得出答案；厨师长应缴所得税＝工资减去5000元，再乘3%，可计算得出答案。 【解答】饭店上月应缴营业税为：（万元）； 厨师长应缴个人所得税： （元） 【典例三】王叔叔根据最新个人所得税政策，除了每月扣除5000元的个人免征额后，每月还可享受专项附加扣除项（如下表），剩余部分按3%的税率缴税。王叔叔5月份工资为9500元，这个月需缴纳多少元个人所得税？ 【分析】工资－免征额－子女教育和赡养老人的专项附加＝缴税部分，将缴税部分看作单位“1”，缴税部分×税率＝缴纳的个人所得税，据此列式解答。 【解答】 （元） （元） 答：这个月需缴纳45元个人所得税。 【考点四】利率 【典例一】下表是某银行存款利率，张爷爷将6000元存入这个银行，存期两年，到期时一共可取回多少钱？正确的列式为（    ）。 存期 一年 二年 三年 年利率 1.70% 1.90% 2.35% A．6000×2.35%×2 B．6000×1.90%×2 C．6000＋6000×1.90%×2 【分析】根据题意可知，存期两年，年利率是1.90%。根据取回的钱数＝本金＋本金×利率×存期，据此代入数值进行计算即可。 【解答】6000＋6000×1.90%×2 ＝6000＋228 ＝6228（元） 则到期时一共可取回6228元。 故答案为：C 【典例二】婷婷把3000元压岁钱存入银行，定期2年，年利率为2.10%，到期后婷婷把这笔钱全部取出，并用这笔钱的5%给妈妈买礼物，婷婷买礼物花了( )元。 【分析】根据利息＝本金×利率×时间，代入数据，求出到期的利息，再加上本金，求出婷婷到期取出的钱数；再把这笔钱看作单位“1”，用这笔钱的5%给妈妈买礼物，用这笔钱×5%，即可求出婷婷买礼物花的钱数。 【解答】（3000×2.10%×2＋3000）×5% ＝（63×2＋3000）×5% ＝（126＋3000）×5% ＝3126×5% ＝156.3（元） 婷婷把3000元压岁钱存入银行，定期2年，年利率为2.10%，到期后婷婷把这笔钱全部取出，并用这笔钱的5%给妈妈买礼物，婷婷买礼物花了156.3元。 【典例三】淘气爸爸有50000元，要存入银行两年，下表是年利率的情况。现在有两年种储蓄方法：方法一：淘气爸爸先存款一年，到期后用本金和利息合在一起，再存一年；方法二：一次存两年。哪种储蓄方法好？说明理由。 一年 2.1% 二年 2.7% 【分析】方法一：根据“利息＝本金×利率×存期”求出第一年的利息，即50000×2.1%×1，再与本金相加，即可求出第二年存款的本金，再乘利率和存期即可求出第二年的利息，最后与第一年的利息相加，据此求出第一种方法获得的总利息；第二种方法直接用50000×2.7%×2求出利息即可；看两种方式哪种利息多，按照储蓄方法就好。 【解答】方法一：50000×2.1%×1 ＝1050×1 ＝1050（元）； （1050＋50000）×2.1%×1 ＝1072.05×1 ＝1072.05（元）； 1072.05＋1050＝2122.05（元）； 方法二：50000×2.7%×2 ＝1350×2 ＝2700（元）； 2700＞2122.05； 答：第二种储蓄方法好，因为获得的利息多。 【点评】明确利息、本金、利率、存期之间的关系并能灵活利用是解答本题的关键；第一种方式要注意，第二年的本金为原来的本金加第一年的利息。 专题三圆柱与圆锥 【考点一】圆柱的认识 【典例一】一个圆柱体，它的侧面展开图是正方形，底面半径是2厘米，它的高是（    ）。 A．6.28厘米 B．9.42厘米 C．12.56厘米 D．15.7厘米 【分析】根据圆柱侧面展开图的特征，圆柱的侧面沿高展开后是一个长方形，这个长方形的长等于圆柱的底面周长，宽等于圆柱的高，当圆柱的侧面展开图是正方形时，这个圆柱的底面周长和高相等。根据圆的周长公式：C＝2πr，把数据代入公式解答。 【解答】2×3.14×2 ＝6.28×2 ＝12.56（厘米） 故答案为：C 【点评】此题考查的目的是理解掌握圆柱侧面展开图的特征及应用，圆的周长公式及应用，关键是熟记公式。 【典例二】下图这个圆柱的底面周长是( )分米，把这个圆柱的侧面沿高剪开，展开可以得到一个( )形。 【分析】圆柱的底面是一个圆，圆的周长公式：C＝πd；圆柱的侧面展开会得到一个长方形，，据此进行解答。 【解答】（1）3.14×5＝15.7（分米） （1）把这个圆柱的侧面沿高剪开，展开可以得到一个长方形。 【点评】此题考查对圆柱底面和侧面的认识，要掌握圆的周长公式。 【典例三】怎样选择下面的材料制作一个水桶，最多有几种方案？并说一说每一种方案的理由。 【分析】如果做出来的水桶是圆柱，根据圆柱侧面展开图的特征，圆柱的侧面沿高展开是一个长方形，这个长方形的长等于圆柱的底面周长，长方形的宽等于圆柱的高，再根据圆的周长公式：C＝，把数据代入公式求出两个圆的周长，然后与长方形的长、宽比较即可。 如果做出来的水桶是长方体，根据长方体的特征，利用正方形的周长公式，分别计算右边两块正方形的周长，再与左边的大长方形的长或宽比较即可。 【解答】给题图按从左到右，从上到下的顺序分别标上序号①②③④⑤。 方案一选择①号材料和②号材料，制作成圆柱形水桶。 3.14×20＝62.8（厘米） 制作方法：用②号材料作水桶的底面；用①号材料作水桶的侧面，并且用①号材料的长作水桶的底面周长，用①号材料的宽作水桶的高。 方案二选择①号材料和③号材料，制作成圆柱形水桶。 3.14×10＝31.4（厘米） 制作方法：用③号材料作水桶的底面；用①号材料作水桶的侧面，并且用①号材料的宽作水桶的底面周长，用①号材料的长作水桶的高。 方案三选择①号材料和④号材料，制作成长方体形状的水桶。 15.7×4＝62.8（厘米） 制作方法：用④号材料作水桶的底面；用①号材料作水桶的侧面，并且用①号材料的长作水桶的底面周长，用①号材料的宽作水桶的高。 方案四选择①号材料和⑤号材料，制作成长方体形状的水桶。 7.85×4＝31.4（厘米） 制作方法：用⑤号材料作水桶的底面；用①号材料作水桶的侧面，并且用①号材料的宽作水桶的底面周长，用①号材料的长作水桶的高。 【点评】解答此题时经历了“问题想象选择计算问题解决”的过程，即“立体平面立体”的过程。 【考点二】圆柱的表面积 【典例一】下图是个茶杯，中间的装饰带是防烫伤的，它的面积是（    ）平方厘米。 A．15×6π B．5×（6÷2）2π C．5×6π D．（15－5）×6π 【分析】中间的装饰带相当于圆柱的一部分侧面积，可利用圆柱的侧面积公式：S＝，代入数据，即可求出它的面积。 【解答】3.14×6×5 ＝18.84×5 ＝94.2（平方厘米） 3.14用π表示的话，上述式子可写成5×6×π。 故答案为：C 【点评】此题的解题关键是灵活运用圆柱的侧面积公式求解。 【典例二】一台压路机的前轮是圆柱形，轮宽2米，直径1.2米。前轮转动一周，压路机前进( )米，压路的面积是( )平方米。 【分析】求压路机前轮转动一周所前进的米数，根据前轮的直径可以直接求出，所压的面是一个长方形的平面，它的长就是压路机前进的米数，宽2米（已知），根据长方形面积计算公式，即可求出所压的面积。 【解答】3.14×1.2＝3.768（米） 3.768×2＝7.536（平方米） 【点评】解答此题的关键是求前轮的周长和长方形的面积。 【典例三】母亲节时，小明送给妈妈一只茶杯（如图）。茶杯中部的一圈装饰带很漂亮，那是小明怕烫伤妈妈的手特意贴上的，这条装饰带宽5厘米，做装饰带至少用料多少平方厘米？（接头处忽略不计） 【分析】圆柱的侧面展开图是一个长方形，宽是5厘米，长是圆柱底面周长。 【解答】3.14×6×5 ＝3.14×30 ＝94.2（平方厘米） 答：做装饰带至少用料94.2平方厘米。 【点评】本题主要考查了学生对圆柱表面积的展开图的理解，及他们想象能力。 【考点三】圆柱的体积 【典例一】一根圆柱形输油管的内直径是2分米，油在管内的流速是5分米/秒，这根油管每秒可以流出（       ）升油。 A．6.28 B．15.7 C．31.4 【分析】实际要求的是圆柱的体积，底面直径为2分米，高是5分米，利用圆柱的体积公式来计算。 【解答】3.14×（2÷2）²×5 ＝3.14×1×5 ＝15.7（立方分米） ＝15.7（升） 故答案为：B 【点评】本题考查圆柱体的体积公式。 【典例二】有大、小两种玻璃球，放入盛有同样多水的圆柱形容器里中（单位：cm），用“排水法”测量玻璃球体积。一个大玻璃球的体积是( )；一个小玻璃球和一个大玻璃球的体积比是( )。 【分析】通过观察图形可知，把一个大玻璃球放入容器中，上升部分水的体积就等于这个玻璃球的体积，4个小玻璃组的体积等于1个大玻璃球的体积，根据圆柱的体积计算公式： ，把数据代入公式即可分别求出一个大玻璃球和一个小玻璃球的体积，再用一个小玻璃球的体积比一个大玻璃球的体积即可。 【解答】3.14×（6÷2）2×（6－4） ＝3.14×32×2 ＝3.14×9×2 ＝56.52（） 56.52÷4＝14.13（） 14.13∶56.52＝1∶4 所以，一个大玻璃球的体积是56.52；一个小玻璃球和一个大玻璃球的体积比是1∶4。 【点评】此题主要考查圆柱体积公式的灵活运用，比的意义及化简，关键是熟记公式。 【典例三】一个密封的长方体容器装了一些水。当横着放入一个圆柱体铁块时，恰好完全浸没在水中，水深2厘米（如下左图）。如果把这个容器如下右图放置，圆柱体铁块的刚好露出水面，且水深5.5厘米。 （1）当把这个容器如下右图放置时，占地面积是多少？ （2）这个圆柱体铁块的体积是多少立方厘米？ 【分析】（1）占地面积指的是底面积，根据长方形面积＝长×宽，列式解答即可。 （2）圆柱露出水面的体积＝第一个图长×宽×水深－第二个图长×宽×水深，将圆柱体积看作单位“1”，露出水面的体积÷对应分率＝圆柱体积，据此列式解答。 【解答】（1）5×4＝20（平方厘米） 答：占地面积是20平方厘米。 （2）12×5×2－5×4×5.5 ＝120－110 ＝10（立方厘米） 10÷＝40（立方厘米） 答：这个圆柱体铁块的体积是40立方厘米。 【点评】关键是掌握并灵活运用长方体表面积和体积公式，理解分数除法的意义。 【考点四】圆锥的认识 【典例一】直角三角形ABC（如下图），以直角边AB为轴旋转360°后得到的是（    ）。 A．底面半径是8cm，高是6cm的圆锥 B．底面半径是6cm，高是8cm的圆锥 C．底面直径是6cm，高是8cm的圆锥 【分析】根据题意，以一个直角三角形的直角边AB为轴旋转360°后得到的是圆锥，那么这条直角边AB是圆锥的高，另一条直角边BC是圆锥的底面半径。 【解答】以直角边AB为轴旋转360°后得到的是底面半径是6cm，高是8cm的圆锥。 故答案为：B 【点评】掌握圆锥的特征以及应用是解题的关键。 【典例二】说出下面各圆锥的高。（单位：cm） 第一个高( )cm；第二个高( )cm；第三个高( )cm。 【分析】从圆锥的顶点到底面圆心之间的距离是圆锥的高，据此解答即可。 【解答】第一个高4cm； 第二个高10cm； 第三个高15cm 【点评】明确圆锥的高的含义是解答本题的关键。 【典例三】将一个底面直径是、高是的圆锥形木块分成形状、大小完全相同的两个木块后，表面积比原来增加了多少平方厘米？ 【分析】要把圆锥形木块分成形状、大小完全相同的两个木块，应沿着圆锥的高切开，得到两个切面，切面是两个相同的等腰三角形。切开后，表面积比原来增加的部分为两个等腰三角形的面积。等腰三角形的高是圆锥的高，等腰三角形的底是圆锥的底面直径。根据三角形的面积＝底×高÷2可求出两个等腰三角形的面积，也就是表面积比原来增加的部分。 【解答】26×6÷2×2 ＝78×2 ＝156（平方厘米） 答：表面积比原来增加了。 【点评】本题考查圆锥的认识和立体图形的切拼，理解把圆锥分成完全相同的两部分后，表面积增加了两个等腰三角形的面积是解题的关键。 【考点五】圆锥的体积 【典例一】如图，把一个体积是72dm3的圆柱形木块，削成两个顶点相连的完全相同的圆锥形木块，形成“沙漏”状，则每个圆锥的体积是（    ）。 A．12dm3 B．18dm3 C．24dm3 D．36dm3 【分析】结合图示可知：两个圆锥形木块顶点相连，完全相同，故可先把这个圆柱一分为二，求出圆柱一半的体积，再根据等底等高的圆锥的体积是圆柱的，再用圆柱一半的体积乘，可得每个圆锥的体积。 【解答】72×× ＝36× ＝12（dm3） 故答案为：A 【点评】需要明确等底等高的圆锥的体积与圆柱的体积的关系，也要充分结合图示，确定两个圆锥的高分别是圆柱的高的一半。 【典例二】一个底面半径为6cm的圆柱形容器中装有一定量的水，若向容器中放入一个底面半径为4.5cm的圆锥形铁块（完全浸没，无水溢出），这时水面上升了1.5cm，圆锥形铁块的高是( )cm。 【分析】根据题意，放入圆锥形铁块后水面上升了1.5cm，那么水上升部分的体积等于圆锥形铁块的体积；水上升部分是一个底面半径为6cm，高为1.5cm的圆柱，根据圆柱的体积公式V＝πr2h，求出水上升部分的体积，也就是圆锥形铁块的体积； 根据圆的面积公式S＝πr2，求出圆锥形铁块的底面积，再根据圆锥的体积公式V＝Sh可知，圆锥的高h＝3V÷S，代入数据计算，求出圆锥形铁块的高。 【解答】水上升部分的体积（圆锥的体积）： 3.14×62×1.5 ＝3.14×36×1.5 ＝113.04×1.5 ＝169.56（cm3） 圆锥的底面积： 3.14×4.52 ＝3.14×20.25 ＝63.585（cm2） 圆锥的高： 169.56×3÷63.585 ＝508.68÷63.585 ＝8（cm） 【点评】本题考查圆柱、圆锥体积计算公式的灵活运用，明确放入物体的体积等于水上升部分的体积是解题的关键。 【典例三】如图一个蒙古包由一个圆柱和一个圆锥组成。 （1）这个蒙古包的占地面积是多少平方米？ （2）这个蒙古包所占的空间是多少立方米？ 【分析】（1）这个蒙古包的占地面是一个圆形，根据圆的面积公式即可求出它的占地面积； （2）根据圆柱和圆锥的体积公式，分别求出这个蒙古包上下两部分的体积，再相加求出它的总体积。 【解答】（1）3.14×（6÷2）2 ＝3.14×9 ＝28.26（平方米） 答：这个蒙古包的占地面积是28.26平方米。 （2）28.26×2＋×28.26×（3－2） ＝56.52＋×28.26×1 ＝56.52＋9.42 ＝65.94（立方米） 答：这个蒙古包所占的空间是65.94立方米。 【点评】本题考查了圆柱和圆锥的体积。圆柱体积＝底面积×高，圆锥体积＝×底面积×高。 专题四比例 【考点一】比例的意义和基本性质 【典例一】下面能与∶组成比例的是（    ）。 A．3∶4 B．∶ C．∶ D．4∶3 【分析】表示两个比相等的式子叫做比例；根据比例的意义可知，比值相等的两个比可以组成比例；据此解答。 【解答】∶ ＝÷ ＝×3 ＝ A．3∶4＝ 比值相同，能与∶组成比例； B．∶ ＝÷ ＝×8 ＝ 比值不相同，不能与∶组成比例； C．∶ ＝÷ ＝×4 ＝ 比值不相同，不能与∶组成比例； D．4∶3＝ 比值不相同，不能与∶组成比例； 故答案为：A 【点评】掌握判定两个比能否组成比例的方法以及求比值是解题的关键。 【典例二】4，3，2，6这四个数中，( )是最小的质数，( )是最小的合数，用这四个数组成的比例是( )。 【分析】一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数，最小的质数是2；一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数，最小的合数是4；表示两个比相等的式子叫做比例，找出比值相等的两个比，据此解答。 【解答】分析可知，4，3，2，6这四个数中，2是最小的质数，4是最小的合数，用这四个数组成的比例是2∶4＝3∶6。（答案不唯一） 【点评】掌握质数、合数、比例的意义是解答题目的关键。 【典例三】如果比例的内项4增加8，那么外项3应该增加( )，比例才能成立。 【分析】根据比的基本性质，比的前项和后项同时乘或除以一个不为0的数，比值不变，据此填空即可。 【解答】（4＋8）÷4 ＝12÷4 ＝3 3×3－3 ＝9－3 ＝6 则外项3应该增加6，比例才能成立。 【点评】本题考查比例的意义，明确两组比的比值相等，则它们可以组成比例是解题的关键。 【考点二】解比例 【典例一】某炼钢厂有一堆铁矿石，用去，又运进210吨。这时炼钢厂里的铁矿石与原来铁矿石的质量比恰好是2∶9，原来铁矿石有（    ）吨。 A．1680 B．945 C．2400 D．2160 【分析】原来铁矿石有x吨，根据数量关系：（原来铁矿石的质量－用去的质量＋210吨）∶原来铁矿石的质量＝2∶9，列出方程，解出未知数。 【解答】解：设原来铁矿石有x吨。 [x×（1－）＋210]∶x＝2∶9 [x＋210]∶x＝2∶9 2x＝x×9＋210×9 2x－x＝1890 ÷＝1890÷ x＝2160 故答案为：D 【点评】解答此题的关键是找到题目中所蕴含的等量关系，进一步列方程、解方程。 【典例二】写出比例，并求出未知数。 光明小学为了预防新冠肺炎病毒传播，按照消毒液和水的比为1∶110的比例，配制消毒水进行教室消毒。现有y毫升的消毒液，需要水165毫升。 【分析】表示两个比相等的式子叫做比例，根据消毒液和水的比写出比例，再利用比例的基本性质求出未知数的值，据此解答。 【解答】y∶165＝1∶110 解：110y＝165 y＝165÷110 y＝1.5 答：1.5毫升的消毒液需要水165毫升。 【点评】掌握比例的意义和解比例的方法是解答题目的关键。 【典例三】教室前方的国旗长是60cm，宽是40cm。操场旗杆上的国旗和它形状相同，长和宽的比是( )。操场上国旗的长是2m40cm，宽应是( )m。 【分析】国旗的长与宽的比是一定的，根据教室前方的国旗的长和宽求出长和宽的比，再用比例的知识求出操场上国旗的宽。 【解答】60∶40 ＝（60÷20）∶（40÷20） ＝3∶2 2m40cm＝2.4m 解：设操场上国旗的宽为xm，得： 3∶2＝2.4∶x 3x＝2×2.4 3x＝4.8 3x÷3＝4.8÷3 x＝1.6 【点评】求两个数的比，要化为最简整数比；解比例时，要根据等式的基本性质。 【考点三】正比例 【典例一】小明去超市购买鸡蛋，已知鸡蛋的价格为10元/千克。他把大家购买不同数量的情况画成了图。下面哪幅图正确表示了总价和数量之间的关系？（    ） A． B． C． D． 【分析】根据图示可知，当单价一定，数量与总价成正比例关系，总价随着数量的变化而变化，且总价与数量的比的比值一定是10元，据此分析解答。 【解答】根据图示分析： A．第一幅图不管买多少鸡蛋都是10元，所以第一幅图不是小明画的； B．第二幅图只是总价发生了变化，数量没变，所以也不是小明画的； C．第三幅图可知：10÷1＝10（元）90÷9＝10（元），说明鸡蛋的单价是一定的，所以第三幅图是小明画的； D．从第四幅图可以看出当买1千克鸡蛋时价格小于10元，所以第三幅图不是小明画的。 故答案为：C。 【点评】本题考查了正比例的意义及图象的特点。 【典例二】某汽车行驶的时间和路程如下表。 时间/时 1 2 3 （    ） 5 （    ） …… 路程/km 60 120 180 240 300 360 …… （1）完成表格，路程与时间成（    ）比例；路程用S表示，时间用t来表示，请用式子表示出S，t和汽车速度之间关系（    ）。 （2）在图中描出表示路程和相应时间的点，然后把它们按顺序连起来。并估计一下行驶330千米大约要用（    ）小时。 【分析】（1）因60÷1＝60，120÷2＝60，60是一定的数，代表速度，速度（一定），所以路程和时间成正比例，设要填的数为x，列出比例，求出x的值即可，同样求出其它要填的数。根据路程÷时间＝速度，速度一定，路程用S表示，时间用t来表示，代入字母即可用式子表示出它们之间的关系。 （2）描出表示路程和相应时间的点，然后把它们按顺序连起来。速度（一定），所以路程和时间成正比例，要估计一下行驶330千米大约要用的时间，观察完成后的折线图上的数据，即可得解。 【解答】 解：设行驶240千米需要x小时， 解：设行驶360千米需要x小时， 完成表格如下： 时间/时 1 2 3 4 5 6 …… 路程/km 60 120 180 240 300 360 …… （1）通过上面的计算可知，路程与时间的比值一定，所以路程与时间成正比例；用式子表示出S，t和汽车速度之间关系：。 （2）作图如下： 从图中可以看出，当路程是330千米时，对应的横轴上的时间正好是5.5小时。所以行驶330千米大约要用5.5小时。 【点评】此题考查正比例的意义，即相关联的两个量，如果比值一定，这两个量成正比例关系。 【典例三】如图表示的是一辆汽车所行驶的路程与时间的变化情况。 （1）图中的A点表示1小时行驶80千米，B点表示2小时行驶160千米，C、F两点分别表示什么？ （2）汽车行驶的路程与时间成什么比例？为什么？ （3）根据图像判断：这辆汽车2.5小时行驶了（    ）千米；行驶360千米需要（    ）小时。 【分析】（1）分别观察C、F点所对应的横轴上和纵轴上的数，即可求解； （2）判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例；据此解答即可； （3）根据速度×时间＝路程，即可求出这辆汽车2.5小时行驶了多少千米；根据时间＝路程÷速度，即可求出行驶360千米需要多少小时。 【解答】（1）C点表示3小时行驶240千米，F点表示6小时行驶480千米； （2）路程与时间的比值是速度，速度是不变的，所以汽车行驶的路程与时间成正比例； （3）2.5×80＝200（千米） 360÷80＝4.5（小时） 【点评】本题主要考查根据统计图获取信息并解决问题的能力。 【考点四】反比例 【典例一】下面说法正确的是（    ）。 A．一个人的年龄和身高成正比例 B．路程一定，速度和时间成正比例 C．总价一定，单价和数量成反比例 D．和一定，两个加数成反比例 【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。据此解答。 【解答】A．通常在生长期，人的身高是随着年龄的增长而增长，但是生长期过了后，骨膜会闭合，停止长高；即人的身高与年龄的比值是不一定的，所以一个人的年龄和身高不成比例； B．根据“路程＝速度×时间”，路程一定，速度和时间的乘积一定，符合反比例的意义，所以速度和时间成反比例； C．根据“总价＝单价×数量”，总价一定，单价和数量的乘积一定，符合反比例的意义，所以单价和数量成反比例； D．一个加数＋另一个加数＝和，和一定，两个加数不成比例。 故答案为：C 【点评】此题属于辨识成正、反比例的量，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再做判断。 【典例二】某工厂有一批煤，每天烧煤的质量和可烧的时间关系如下表。 每天烧煤的质量/吨 0 3 6 9 15 20 … 可烧的时间/天 0 30 15 10 6 4.5 … （1）判断每天烧煤的质量和可烧的时间是不是成反比例，并说明理由。 （2）如果该工厂平均每天烧煤的质量是5吨，那么这批煤可烧多少天？ 【分析】（1）根据每天烧煤的质量和可烧的时间的乘积，结合反比例的意义判断。 （2）用这批煤的总质量除以每天烧煤的质量就是烧的天数。 【解答】（1）3×30＝6×15＝9×10＝15×6＝20×4.5＝90（一定） 每天烧煤的质量和可烧的时间的乘积一定，所以每天烧煤的质量和可烧的时间成反比例。 （2）30×3÷5 ＝90÷5 ＝18（天） 答：这批煤可烧18天。 【点评】本题考查了成反比例关系的判定及根据成反比例关系解决问题，关键是对题目中数量关系的分析。 【典例三】把5千克糖果平均分装在n个盒子里，每个盒子里糖果重( )千克，分装盒子的个数和每个盒子里的糖果质量成( )比例。 【分析】用糖果的总重量除以盒子的数量等于每个盒子里的糖果重量，因为总重量＝每个盒子里的糖果质量×盒子的个数，乘积一定，可判断出分装盒子的个数和每个盒子里的糖果质量成反比例。 【解答】（千克） 把5千克糖果平均分装在n个盒子里，每个盒子里糖果重千克，分装盒子的个数和每个盒子里的糖果质量成反比例。 【点评】此题属于辨识两种相关联的量成什么比例，就看这两种量是对应的乘积一定还是比值一定，再做出判断。 【考点五】比例尺 【典例一】小明在一幅地图上量得上虞到杭州的距离是6.8厘米，而两地的实际距离是68千米，那么，小明用的这幅地图的比例是（    ）。 A．1∶100000 B．1∶1000000 C．1∶10000000 【分析】根据比例尺的意义，用图上距离比实际距离就可以求出比例尺，要先统一单位，再计算。 【解答】68千米＝6800000厘米 6.8∶6800000＝1∶1000000 故答案为：B 【点评】已知图上距离和实际距离，求比例尺的方法：用图上距离比实际距离就可以求出比例尺，但要注意统一单位。 【典例二】（1）市政府到儿童公园的实际距离是1050米，图中量得两地的图上距离为1.5厘米，这幅图的比例尺是（    ）。 （2）北山公园在市政府北偏东35°方向1750米处，在这幅地图上，市政府到北山公园的图上距离是（    ）厘米。 （3）在图中画出北山公园的位置。 【分析】（1）比例尺＝图上距离∶实际距离，把题中数据代入计算； （2）根据“图上距离＝实际距离×比例尺”求出市政府到北山公园的图上距离； （3）先把数值比例尺转化为线段比例尺，70000厘米＝700米，图上1厘米代表实际距离700米，再以市政府为观测点，在市政府北偏东35°方向截取1750÷700＝2.5个单位长度，标出角度，终点处标注北山公园，据此解答。 【解答】（1）1.5厘米∶1050米＝1.5厘米∶105000厘米＝1.5∶105000＝（1.5÷1.5）∶（105000÷1.5）＝1∶70000 （2）1750×＝0.025（米） 0.025米＝2.5厘米 所以，市政府到北山公园的图上距离是2.5厘米。 （3） 【点评】掌握比例尺的意义以及图上距离和实际距离换算的方法是解答题目的关键。 【典例三】同学们参加军训，从军营到射击场路线如下所示： 请用1∶20000的比例尺在方框中画出同学们的行军路线图。 【分析】先把数值比例尺转化为线段比例尺，1∶20000表示图上1cm代表实际距离20000cm，20000cm＝200m，画出1cm的线段代表200m，再根据“上北下南，左西右东”确定方向，先确定军营的位置，在军营正东方向上截取600÷200＝3个单位长度，终点处标注小河边，然后在小河边正南方向上截取400÷200＝2个单位长度，终点处标注小树林，最后在小树林正北偏东60°方向上截取800÷200＝4个单位长度，标出角度，终点处标注射击场，据此作图。 【解答】分析可知： 【点评】本题主要考查应用比例尺画图，掌握根据方向、角度、距离画路线图的方法是解答题目的关键。 【考点六】图形的放大和缩小 【典例一】把三角形X按1∶2缩小后得到的图形是（    ）。 A．A B．B C．C 【分析】三角形按1∶2缩小，则每条边都缩小到原来的一半，据此判断即可。 【解答】根据分析得： A．只有一条边缩小到原来的一半，不正确； B．三条边都缩小到原来的一半，正确； C．只有一条边缩小到原来的一半，不正确。 故答案为：B 【点评】本题主要考查图形的放大和缩小，要注意每条边都需要按一定的比例放大或者缩小，角不变。 【典例二】 （1）把三角形ABC按2∶1放大，画在如图的方格里。 （2）如果三角形ABC的顶点A用（3，4）表示，那么顶点B用（    ）表示，顶点C用（    ）表示。 （3）画出三角形ABC绕A点顺时针旋转90°的图形。 【分析】（1）把图形按照n∶1放大，就是将图形的每一条边放大到原来的n倍，放大后图形与原图形对应边长的比是n∶1。 （2）用数对表示位置时，通常把竖排叫列，横排叫行。一般情况下，确定第几列时从左往右数，确定第几行时从前往后数。表示列的数在前，表示行的数在后，中间用逗号“，”隔开，数对加上小括号。 （3）作旋转一定角度后的图形步骤：根据题目要求，确定旋转中心、旋转方向和旋转角；分析所作图形，找出构成图形的关键点；找出关键点的对应点：按一定的方向和角度分别作出各关键点的对应点；作出新图形，顺次连接作出的各点即可。 【解答】（1）把三角形ABC的三边同时扩大到原来的2倍，画在右边的方格图里。 （2）如果三角形ABC的顶点A用（3，4）表示，那么顶点B用（5，6）表示，顶点C用（6，4）表示。 （3）A点位置不变，确定出B点和C点绕A点顺时针旋转90°后的位置，再依次连线。 【点评】图形放大或缩小是指对应边放大或缩小；用有顺序的两个数表示出一个确定的位置就是数对；决定旋转后图形的位置的要素：一是旋转中心或轴，二是旋转方向（顺时针或逆时针），三是旋转角度。 【典例三】一个直角三角形的三条边的长度分别是3厘米、4厘米、5厘米，它的面积是( )平方厘米。如果把这个三角形按照3∶1放大，得到的图形的面积是( )平方厘米。 【分析】（1）先依据直角三角形中斜边最长，确定出两条直角边的长度分别是3厘米，4厘米，再依据三角形的面积公式S＝ah÷2，求出这个三角形的面积；（2）根据图形放大与缩小的意义，先计算按3∶1放大后的三角形的高与底，再根据三角形的面积公式S＝ah÷2，求放大后得到的三角形的面积。 【解答】三角形的面积： 4×3÷2 ＝12÷2 ＝6（平方厘米） （4×3）×（3×3）÷2 ＝12×9÷2 ＝54（平方厘米） 【点评】解答本题的关键是先判断出两条直角边的长度，再根据图形放大的意义，求出放大后对应的高与底，最后利用三角形的面积公式S＝ah÷2，代入相应数值计算即可。 【考点七】用比例解决问题 【典例一】把一根木头锯成3段要用8分钟，若锯成10段要用x分钟？正确的比例是（    ）。 A．3∶8＝x∶10 B．3∶8＝（10－1）∶x C．8∶（3－1）＝（10－1）∶x D．（3－1）∶8＝（10－1）∶x 【分析】由题意可知，锯木头的次数＝锯木头的段数－1，锯一次需要的时间相同，则锯木头一共用的时间和锯木头的次数成正比例关系，一共用的时间÷锯木头的次数＝锯一次用的时间（一定），把题中数据代入关系式计算即可。 【解答】x∶（10－1）＝8∶（3－1） 解：x∶9＝8∶2 2x＝8×9 2x＝72 x＝72÷2 x＝36 所以，若锯成10段要用36分钟。 由比例的基本性质可知，8∶（3－1）＝x∶（10－1），（3－1）∶8＝（10－1）∶x。 故答案为：D 【点评】本题主要考查用比例解决问题，理解两种相关联的量成正比例关系是解答题目的关键。 【典例二】某物流公司将120t蔬菜运往上海，如果要一次把所有货物全部运出，每辆车的载质量与所需车辆数量如下表。 每辆车的载质量/t 2.5 3 5 10 所需车辆数量/辆 48 40 24 12 （1）每辆车的载质量与所需车辆数量成（    ）比例关系。 （2）如果用15辆相同的车来运，每辆车的载质量是多少吨？ 【分析】（1）蔬菜的总质量不变，说明每辆车的载质量与所需车辆数量乘积不变，则每辆车的载质量与所需车辆数量成反比例关系； （2）用蔬菜质量除以所需车辆数量，求出每辆车的载质量即可。 【解答】（1）每辆车的载质量与所需车辆数量成反比例关系； （2）（吨） 答：每辆车的载质量是8吨。 【点评】本题考查反比例，解答本题的关键是掌握成反比例关系的概念。 【典例三】某物流公司将120t蔬菜运往上海，如果要一次把所有货物全部运出，每辆车的载质量与所需车辆数量如下表。 每辆车的载质量/t 2.5 3 5 10 所需车辆数量/辆 48 40 24 12 （1）每辆车的载质量与所需车辆数量成（    ）比例关系。 （2）如果用15辆相同的车来运，每辆车的载质量是多少吨？ 【分析】（1）蔬菜的总质量不变，说明每辆车的载质量与所需车辆数量乘积不变，则每辆车的载质量与所需车辆数量成反比例关系； （2）用蔬菜质量除以所需车辆数量，求出每辆车的载质量即可。 【解答】（1）每辆车的载质量与所需车辆数量成反比例关系； （2）（吨） 答：每辆车的载质量是8吨。 【点评】本题考查反比例，解答本题的关键是掌握成反比例关系的概念。 专题五数学广角—鸽巢问题 【考点一】鸽巢问题 【典例一】一副扑克牌有4种花色（大小王除外），每种花色有13张，从中任意抽牌，最少要抽（ ）张牌，才能保证有4张牌是同一花色的。 【分析】把4种花色看作4个抽屉，利用抽屉原理1即可解答。 【解答】解：建立抽屉：4种花色看作4个抽屉， 考虑最差情况：抽出12张扑克牌，每个抽屉都有3张，那么在任意摸出1张，无论放在哪个抽屉都会出现一个抽屉里有4张牌， 所以（张 答：至少要抽13张牌，才能保证有4张牌是同一花色的。 故答案为：13。 【点评】此题考查了抽屉原理的灵活运用，这里要注意考虑最差情况。 【典例二】六三班同学有8人都订阅了三种报刊中的一种或几种，那么，这8人中至少有（ ）个人所订的报刊种类完全相同。 【分析】在此类抽屉问题中，至少数被分配的物体数除以抽屉数的商（有余的情况下）。在本题中，被分配的物体数是8，抽屉数是7，据此计算即可。 【解答】解：（种（种 （种 答：这8个人少有2个人所订的报刊种类完全相同。 故答案为：2。 【点评】抽屉原理问题的解答思路是：要从最不利情况考虑，准确地建立抽屉和确定元素的总个数，然后根据“至少数元素的总个数抽屉的个数（有余数的情况下）”解答。 【典例三】一次数学竞赛出了10道选择题，评分标准为：基础分10分，每道题答对得3分，答错扣1分，不答不得分，问：要保证至少有4人得分相同，至少需要多少人参加竞赛？ 【分析】按这种记分方法，最高可得（40分），最低是倒扣（10分），得分，共有（种不同分数．对1题加3分，答错1题扣1分，答对与答错之间的分数差为分；答对一题和空一题之间相差3分，所以最高分40分，对9道题的情况下，最高分为分，最低分为（分，中间的38分和39分都不会出现；后面对8道题的情况下，最多得分，最少得分，35分不会出现，因此一共有种分数，为了保证至少有4人得分相同，那么参加竞赛的学生至少有人，据此解答． 【解答】解：因为最高可得（分，最低是倒扣：（分，得分，共有（种不同分数． 答对与答错之间的分数差为分；答对一题和空一题之间相差3分，所以最高分40分，对9道题的情况下，最高分为分，最低分为（分，中间的38分和39分都不会出现，后面对8道题的情况下，最多得分，最少得分，中间的35分不会出现，因此一共有种分数； 为了保证至少有4人得分相同，那么参加竞赛的学生至少有：（人． 答：要保证至少有4人得分相同，至少需要115人参加竞赛． 【点评】本题关键是得出得分的范围和不可能出现的2个分数． 【典例四】学校开设了书法、舞蹈、棋类、乐器四个课外学习班，每个学生最多可以参加两个（可以不参加）学习班。某班有52名同学，至少有几名同学参加课外学习班的情况完全相同？ 【分析】本题同学参加情况共11种，不参加、书法、舞蹈、棋类、乐器、书法和舞蹈、书法和棋类、书法和乐器、舞蹈和棋类、舞蹈和乐器、棋类和乐器；这里可以把这11个情况看做11个抽屉，考虑最差情况，每个抽屉的人数尽量平均，52÷11＝4（人）……8（人），每个抽屉都有4人，还剩下8人，由此即可利用抽屉原理解决问题。 【解答】52÷11＝4（人）……8（人） 4＋1＝5（人） 答：至少有5名同学参加课外学习班的情况完全相同。 【点评】此题考查了抽屉原理在实际问题中的灵活应用；根据题干，找出学生参加学习班的所有可能情况，是解决本题的关键。 【典例五】班上共有60位同学，生日记为某月某号，问每个同学两个问题：班上有几个人与你生日的月份相同，班上有几个人与你生日的号数相同（比如生日为1月12日与12月12日的号数是相同的）。结果发现，所得到的回答中包含了由0到14的所有整数，那么，该班至少有多少个同学生日相同？ 【分析】回答中包含了由0到14的所有整数，因此有1~15人在同月份或同日期 日期＋月份的总数一共有（种） 因此恰好有1~15人，每种情况出现一次且有60个月份＋60个日期。 若无人同生日，设从1月到12月人数依次减少，1日到31日人数依次减少，那么1日最多有12个人，否则1日必定有人同生日。而此时12个人生日在1日，那么说明每个月的1日都有人，月份至少为，而，因此1~12月里面最多只能有10个月有人在1日过生日，日期中最多10人相同，1~15又都要出现，因此，11，12，13，14，15均为同月出现的回答，但此时，月份依然超过了最高限制，因此矛盾，不可能无人同一天生日。据此解答。 【解答】答案的数量：（个） 日期＋月份的总数一共有：（种） 因此恰好有1~15人，每种情况出现一次且有60个月份＋60个日期。 若无人同生日，月份至少为，而 11，12，13，14，15均为同月出现的回答，但此时，月份依然超过了最高限制，因此矛盾，不可能无人同一天生日。 答：该班至少有2个同学生日相同。 学科网（北京）股份有限公司 $$