（期末易错复习讲义）常考易错知识点专题突破（五大专题67个突破点）-2024-2025学年六年级下册数学期末备考总复习（人教版）

2024-2025学年六年级下册数学期末备考总复习 常考易错知识点专题突破（五大专题67个突破点） 目录 专题一负数 4 突破题型一正负数的概念和辨认 4 突破题型二正负数的读法和写法 6 突破题型三正负数在数轴上的表示 7 突破题型四温度的认识和比较 9 突破题型五温度在实际问题中的应用 10 突破题型六正负数的比较大小 12 突破题型七正负数解决简单的实际问题 14 突破题型八正负数在误差中的应用 15 突破题型九正负数的实际应用（稍微复杂问题） 16 突破题型十正负数填表（存款类型问题） 19 突破题型十一上下车问题 24 专题二百分数（二） 27 突破题型一折扣问题之求现价 27 突破题型二折扣问题之求原价 28 突破题型三折扣问题之求折扣 30 突破题型四分数小数百分数与成数的互化 32 突破题型五求增加或减少几成的问题 33 突破题型六根据成数反求单位“1” 35 突破题型七求应纳税额 36 突破题型八求税率或收入额 38 突破题型九求利息 39 突破题型十求利率或本金 40 突破题型十一利润问题 42 突破题型十二利润与折扣的综合 44 突破题型十三分段计算纳税问题 47 突破题型十四选择最佳的储蓄方案 51 专题三圆柱与圆锥 55 突破题型一圆柱的认识及特征 55 突破题型二圆柱的展开图 57 突破题型三圆柱的侧面积 58 突破题型四圆柱的表面积 59 突破题型五含圆柱组合体的表面积 61 突破题型六圆柱的体积 62 突破题型七圆柱的容积 64 突破题型八含圆柱立体图形的切拼 66 突破题型九圆锥的认识及特征 68 突破题型十圆柱与圆锥体积的关系 69 突破题型十一圆锥的体积或容积 71 突破题型十二体积的等积变形问题 73 突破题型十三含圆锥立体图形的切拼 74 突破题型十四组合体的体积 76 突破题型十五不规则物体的体积测量问题 78 突破题型十六表面积及组合体的表面积计算问题 80 突破题型十七圆柱及含圆柱组合体的体积计算问题 81 突破题型十八圆锥及含圆锥组合体的体积计算问题 83 专题四比例 85 突破题型一比与比例的区别和联系 85 突破题型二比例的意义 87 突破题型三比例的基本性质 89 突破题型四正比例的认识和辨认 90 突破题型五反比例的认识和辨认 91 突破题型六根据正反比例填表 93 突破题型七正比例的图形及简单应用 95 突破题型八比例尺的意义 97 突破题型九比例尺应用之求图上距离 98 突破题型十比例尺应用之求实际距离 99 突破题型十一图上距离和实际距离的换算 101 突破题型十二图形的放大和缩小 103 突破题型十三比例的应用 105 突破题型十四解比例 107 突破题型十五应用比例尺作图 109 突破题型十六作放大或缩小后的图形 112 突破题型十七应用比例尺解决实际问题 114 突破题型十八图形缩放问题及运动的综合作图 117 突破题型十九应用正比例解决实际问题 121 突破题型二十应用反比例解决实际问题 125 专题五数学广角—鸽巢问题 127 突破题型一鸽巢问题初步型 127 突破题型二鸽巢问题进阶型 129 突破题型三鸽巢问题（最不利原则） 131 突破题型四运用鸽巢原理解决实际问题 133 专题一负数 突破题型一正负数的概念和辨认 1．在8，﹣4，﹣11，﹢19，0，﹢43，﹣28中，正数有（ ），负数有（ ）。 【答案】8、﹢19、﹢43 ﹣4、﹣11、﹣28 【分析】数前面有“﹣”的都是负数，没有“﹣”的数都是正数（0除外），0既不是正数也不是负数，据此解答即可。 【解答】由分析可知，在8，﹣4，﹣11，﹢19，0，﹢43，﹣28中，正数有8、﹢19、﹢43，负数有﹣4、﹣11、﹣28。 2．在﹣1.2、5、﹣3.6、0、﹢、﹣中，（ ）是正数，（ ）是负数，（ ）既不是正数也不是负数。 【答案】5、 ﹣1.2、﹣3.6、 0 【分析】正数是比0大的数，写时在前面加一个“﹢”，也可以不加；负数是比0小的数，写时在前面加一个“﹣”；0既不是正数也不是负数。据此解答。 【解答】据分析可知： 5、是正数，﹣1.2、﹣3.6、是负数，0既不是正数也不是负数。 3．在﹣2、0、﹢2.3、、﹣4.5这些数中，正数有（ ）、（ ），负数有（ ）、（ ），既不是正数，也不是负数的是（ ）。 【答案】﹢2.3 ﹣2 ﹣4.5 0 【分析】大于0的数是正数，小于0的数是负数；0既不是正数也不是负数。据此解答即可。 【解答】由分析可知： 在﹣2、0、﹢2.3、、﹣4.5这些数中，正数有﹢2.3、，负数有﹣2、﹣4.5，既不是正数，也不是负数的是0。 4．106  ﹣7.3    0  ﹣19    2.5 （1）上面的数中，正数有（ ）个，负数有（ ）个。 （2）的分数单位是（ ），再加上（ ）个这样的分数单位就是最小的合数。 【答案】（1）3 3 （2） 25 【分析】（1）根据正、负数的意义，数的前面加有“﹢”号的数，就是正数，或者没有带正号的非0的数；数的前面加有“﹣”号的数，就是负数，0既不是正数也不是负数，据此判断即可。 （2）把单位“1”平均分成若干份取一份的数，叫做分数单位；分数的分子是几里面就有几个这样的分数单位。最小的合数是4，4＝，即32个这样的分数单位是最小的合数，再加上（32－7）个，即25个这样的分数单位就是最小的合数。 【解答】（1）正数有：106、、2.5； 负数有：﹣7.3、﹣19、； 上面的数中，正数有3个，负数有3个。 （2）的分数单位是，再加上25个这样的分数单位就是最小的合数。 突破题型二正负数的读法和写法 5．﹣0.48读作（ ），负四分之三写作（ ）。 【答案】负零点四八 ﹣ 【分析】负数的读法是：先读“负”，再读数，如﹣3读作：负三； 负数的写法是：先写“﹣”号，然后再写后面的数字，数字要用阿拉伯数字进行书写。 【解答】通过分析可得： ﹣0.48读作：负零点四八；负四分之三写作：﹣。 6．（ ）既不是正数也不是负数，零下8℃记作（ ）。 【答案】0 ﹣8℃ 【分析】比0大的数叫正数，比0小的数叫负数，负数的写法是：先写“﹣”号，然后再写后面的数字，数字要用阿拉伯数字进行书写。 【解答】0既不是正数也不是负数，零下8℃记作﹣8℃。 7．某同学向东走了10m，记作﹢10m，接着又向西走了3m，记作：（ ），该同学的位置应记作（ ）m。 【答案】﹣3m 7m 【分析】在一对相反意义的量中，规定一个为正，则另一个用负表示。 【解答】“正”和“负”是相对的， 因为东走10m记作﹢10m， 那么向西走3m记作﹣3m。 该同学的位置应记作7m。 8．﹣0.8读作（ ），正三点二五写作（ ），﹢0.74读作（ ）。 【答案】负零点八 ﹢3.25 正零点七四 【分析】正数的读法：先读“正”（如果“﹢”没有写，不需要读正字），数字部分按数的读法去读； 正数的写法：先写“﹢”（也可以不写），再写数； 负数的读法：先读“负”，数字部分按数的读法去读； 负数的写法：先写“﹣”，再写数。 【解答】﹣0.8读作：负零点八 正三点二五写作：﹢3.25 ﹢0.74读作：正零点七四 突破题型三正负数在数轴上的表示 9．观察数轴，点A处为0，如果点C表示的数是15，那么点D表示的数是（ ）；如果点C表示的数是，点B表示的数是（ ）。 【答案】﹣10 【分析】在数轴上，0的右边是正数，0的左边是负数；正数的数字前面的“﹢”可以省略不写；比0小的是负数，负数的数字前面的“﹣”不能省略。 从图中可知，点C在0的右边第3格处，已知点C表示的数是15，那么每格表示15÷3＝5；点D在0的左边第2格处，用每格表示的数乘2，再用负数表示点D表示的数； 如果点C表示的数是，AC平均分成3格，则每格表示，点B在第一格处，表示的，根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，求出点B表示的数。 【解答】15÷3×2 ＝5×2 ＝10 ×＝ 点D表示的数是﹣10，点B表示的数是。 10．数轴上A点表示的数是（ ），B点表示的数是（ ），C点表示的数写成小数是（ ），D点表示的数写成分数是（ ）。 【答案】﹣3 ﹣0.5 1.5 【分析】数轴上，在原点（0点）右边的点表示的数都是正数，左边的点所表示的数都是负数。正数的数字前面的“﹢”可以省略不写，负数的数字前面的“﹣”不能省略。 把一大格看作单位“1”，平均分成2份，每份用小数表示为0.5，用分数表示为。 【解答】A点在原点的左边，距离原点3个单位长度，表示的数是﹣3； B点在原点的左边，距离原点0.5个单位长度，表示的数是﹣0.5； C点在原点的右边，距离原点1.5个单位长度，表示的数写成小数是1.5； D点在原点的右边，距离原点3.5个单位长度，表示的数写成分数是。 填空如下： 数轴上A点表示的数是（﹣3），B点表示的数是（﹣0.5），C点表示的数写成小数是（1.5），D点表示的数写成分数是（）。 11．观察下面的数轴，A表示的数是（ ），B表示的数是（ ），C表示的数是（ ）。（说明：A、B填小数，C填分数） 【答案】﹣2.4 0.6 【分析】在数轴上，以0点为原点，向右为正，向左为负。从原点向左的每个单位长度分别是﹣1、﹣2、﹣3……；从原点向右的每个单位长度分别是1、2、3……；将一个单位长度平均分为5份，每份为或0.2，2份就是或0.4，3份是或0.6……。A点在0点左侧为负数，B、C两点在0点右侧为正数；正数的数字前面的“﹢”可以省略不写，负数的数字前面的“﹣”不能省略。据此解答。 【解答】根据分析可得： A表示的数是﹣2.4，B表示的数是0.6，C表示的数是。 12．观察这两条直线，点A表示的数是（ ），点（ ）表示的数是﹣0.5，点D表示的数是（ ）。 【答案】﹣1 B 【分析】在数轴上，原点（0）的左边为负数，右边为正数，A点在原点的左边为负数，从0~1，平均分成了2份，从0~A也平均分成了2份，所以A点表示的数是﹣1，B点表示﹣ 0.5，点D在原点的右边，0~被平均分成了3份，一份就表示的，即×＝。 【解答】由分析可得：点A表示的数是﹣1，点B表示的数是﹣0.5，点D表示的数是。 所以点A表示的数是﹣1，点B表示的数是﹣0.5，点D表示的数是。 突破题型四温度的认识和比较 13．某天的天气预报说今天的气温是﹣4℃～5℃，这表明这天的最高气温是（ ）℃，最低气温是（ ）℃，温差是（ ）℃。 【答案】5 ﹣4 9 【分析】比0℃高的温度叫零上温度，用正数表示，正数的数字越大，数值就越大； 比0℃低的温度叫零下温度，用负数表示，负号后面的数字越大，数值反而就越小。 【解答】﹣4℃＜5℃ ﹣4℃与0℃相差4℃； 5℃与0℃相差5℃； 则﹣4℃与5℃相差：4℃＋5℃＝9℃ 填空如下： 某天的天气预报说今天的气温是﹣4℃～5℃，这表明这天的最高气温是（5）℃，最低气温是（﹣4）℃，温差是（9）℃。 14．学校气象兴趣小组测得该地某天的最高气温是﹢3℃，最低气温是﹣3℃，这天的温差是（ ）℃。 【答案】6 【分析】正负数表示具有相反意义的两种量：气温0℃以上记为正，0℃以下为负，以0℃为分界点，计算最高气温与0℃相差的温度，最低气温与0℃相差的温度，两个温度相加即可。 【解答】已知最高气温是﹢3℃，最低气温是﹣3℃。温差＝最高气温＋最低气温＝3＋3＝6（℃） 所以学校气象兴趣小组测得该地某天的最高气温是﹢3℃，最低气温是﹣3℃，这天的温差是6℃。 15．2022年12月31日，中国国家主席习近平在新年贺词中宣布，“中国空间站全面建成”，由于没有大气层的保护，在太阳光线直射下，空间站表面温度最高可达零上150℃以上，记作150℃；在背阳面，温度最低可达零下100℃以下，记作（ ）℃；空间站表面的最高温度和最低温度之间的温差是（ ）℃。 【答案】﹣100 250 【分析】比0℃低的温度叫零下温度，通常在数字前面加“﹣”（负号）；比0℃高的温度叫零上温度，通常在数字前面加“﹢”（正号），也可以省略不写。 根据题意，空间站表面的最高温度可达零上150℃以上，150℃与0℃相差150℃；最低温度可达零下100℃以下，﹣100℃与0℃相差100℃；所以最高温度与最低温度之间相差（100＋150）℃。 【解答】100＋150＝250℃ 在背阳面，温度最低可达零下100℃以下，记作﹣100℃；空间站表面的最高温度和最低温度之间的温差是250℃。 16．2023年4月21日，春花邂逅雪花，房山区蒲洼东村下起了小雪，当天的温度如图所示，是（ ）℃。 【答案】﹣3 【分析】比0℃低的温度叫零下温度，通常在数字前加“﹣”表示。例如，﹣3℃表示零下3摄氏度。比0℃高的温度叫零上温度，在数字前加“﹢”表示，一般情况下“﹢”可省略不写。例如，﹢4℃表示零上4摄氏度，也可以写成4℃。 根据图示可知，温度计上一个小格表示1℃，此图表示当天的气温在0℃以下的3个小格处，即：当天的温度是﹣3℃，依此填空。 【解答】根据分析可知，当天的温度是﹣3℃。 突破题型五温度在实际问题中的应用 17．2024年2月21日，郴州市多地出现冰雹，全市的最低气温是﹣1℃，最高气温是6℃，这一天该市的最大温差是（ ）℃。 【答案】7 【分析】以0℃为标准，﹣1℃比0℃低1℃，6℃比0℃高6℃，将与0℃的两个温差相加即可。 【解答】1＋6＝7（℃） 这一天该市的最大温差是7℃。 18．南极温度指的是南极大陆上的温度。极端最高气温达零上18.3℃，可以记作（ ）℃；极端最低气温达零下94.2℃，可以记作（ ）℃，温差是（ ）℃。 【答案】﹢18.3 ﹣94.2 112.5 【分析】此题主要用正负数来表示具有意义相反的两种量：向零上温度记为正，则零下温度就记为负，直接得出结论即可。﹣94.2℃在0℃以下，和0℃相差94.2℃，﹢18.3℃在0℃以上，和0℃相差18.3℃，用94.2℃＋18.3℃即可求出﹣94.2℃和﹢18.3℃之间的温差。 【解答】94.2℃＋18.3℃＝112.5℃ 极端最高气温达零上18.3℃，可以记作﹢18.3℃；极端最低气温达零下94.2℃，可以记作﹣94.2℃，温差是112.5℃。 19．2024年4月22日，我国最北哨所的天气预报显示当地的气温是﹣4~13摄氏度，这一天的最低气温是（ ）摄氏度，温差是（ ）摄氏度。 【答案】﹣4 17 【分析】根据题意可知，﹣4~13摄氏度表示这一天的温度是在﹣4~13摄氏度之间，则我国最北哨所的最低气温是﹣4摄氏度；最低温度到0摄氏度相差4摄氏度，0摄氏度到最高温度相差13摄氏度，把它们相差温度相加，即可解答。 【解答】我国最北哨所的最低气温是﹣4摄氏度。 4＋13＝17（摄氏度） 2024年4月22日，我国最北哨所的天气预报显示当地的气温是﹣4~13摄氏度，这一天的最低气温是﹣4摄氏度，温差是17摄氏度。 20．受冷空气来袭，气温骤降，某地中午温度为8℃，到下午18：00温度下降了6℃，到24：00温度再下降10℃，这时的温度为（ ）℃。 【答案】﹣8 【分析】根据“某地中午温度为8℃，到下午18：00温度下降了6℃，到24：00温度再下降10℃”可知，由8℃下降6℃，就是（8－6＝2）℃，再下降10℃，可以看成为:由2℃下降2℃，就是0℃、由0℃下降（10－2）℃，就是﹣8℃。 【解答】8－6＝2（℃） 10－2＝8（℃） 则这时的温度为﹣8℃。 突破题型六正负数的比较大小 21．在11、﹣3、、和314%中，最小的数是（ ），最大的数是（ ）。 【答案】﹣3 11 【分析】根据正数＞0＞负数，可知负数一定比正数小；把化成小数，用分子除以分母；把314%化成小数，去掉百分号，小数点向左移动两位，最后根据多位小数比较大小的方法，即可得解。 【解答】… 314%＝3.14 因为﹣3＜3.14＜3.33…＜11，所以最小的数是﹣3，最大的数是11。 22．甲、乙两支队伍进行知识竞赛。抢答规则是答对一题加5分，记作﹢5分；答错一题扣5分，记作（ ）分。如果甲队最后得分是﹣20分，乙队最后得分是﹣10分，（ ）队的成绩好一些。 【答案】﹣5 乙 【分析】正数、负数表示相反意义的量，如果规定加分记作正，那么扣分就要记作负。比较两个负数的大小时，可以先不看负号，只比较数值，数值大的反而小。据此解答。 【解答】答对一题加5分，记作﹢5分；答错一题扣5分，记作﹣5分。 因为20＞10，所以﹣20＜﹣10。乙队的成绩好一些。 综上所述：抢答规则是答对一题加5分，记作﹢5分；答错一题扣5分，记﹣5分。如果甲队最后得分是﹣20分，乙队最后得分是﹣10分，乙队的成绩好一些。 23．北京气温是﹣17摄氏度，哈尔滨的气温是﹣23摄氏度，（ ）更冷些。广州的气温是15摄氏度，北京与广州的气温相差（ ）。 【答案】哈尔滨 32 【分析】根据负数的意义可得：表示气温时，零下气温可表示为：在气温数字之前加上“﹣”号，即可表示出零下气温。在数轴上负数在0点左边，正数在0点右边，零下温度比较大小时，数字越大气温反而越小，据此可得出答案。 【解答】北京气温是﹣17摄氏度，哈尔滨的气温是﹣23摄氏度，即﹣17＞﹣23，则哈尔滨的温度更冷些。北京与广州的气温相差：15＋17＝32（摄氏度）。 24．仔细观察并填空。 （1）如果“C”所表示的数是0.6，则“B”所表示的数是（ ）。如果“C”所表示的数是12，则“A”所表示的数是（ ）。 （2）将1、、、0.6这四个数在数轴上用点表示，其中离刻度“0”最近的数是（ ），在数轴最左边的数是（ ）。 【答案】（1）0.1 （2） 【分析】（1）观察数轴可知，数轴上左边的数比右边的数小。0的左边为负数，0的右边为正数。从“如果C所表示的数是0.6”可知，0和C之间有6个单位长度，用0.6÷6＝0.1，即可求出一个单位长度，B在0的右边一个单位长度的距离，用正数表示。从“C所表示的数是12”可知，，用12÷6＝2，即可求出一个单位长度，A在0的左边一个单位长度的距离，用负数表示。 （2）根据题意，将1、、、0.6这四个数在数轴上用点表示，分别写出每个数与0的距离，再进行比较，距离越小，说明离0越近。再将将1、、、0.6从小到大排列，最小的那个数就是最左边的数。据此解答即可。 【解答】（1）观察数轴可知： 一个单位长度：0.6÷6＝0.1 如果“C”所表示的数是0.6，则“B”所表示的数是0.1。 一个单位长度：  12÷6＝2 如果“C”所表示的数是12，则“A”所表示的数是。 （2）1与0的距离是1； ﹣2与0的距离是2； 与0的距离是； 0.6与0的距离是0.6。 因为2＞1＞0.6＞ 所以离刻度“0”最近的数是。 因为﹣2＜＜0.6＜1，数轴上左边的数比右边的数小， 所以在数轴最左边的数是。 突破题型七正负数解决简单的实际问题 25．一种袋装食品，超过标准净重的部分记为正数，不足部分记为负数。一袋食品净重104克，记为﹢4克，那么这种食品的标准净重是（ ）克：记为﹣3克的食品净重为（ ）克。 【答案】100 97 【分析】根据正负数表示一组相反意义的量，超过标准净重的部分记为正数，不足部分记为负数。已知净重104克，记为﹢4克，则超过标准量4克，因此用104减4可得标准净重。记为﹣3克即为负数，表示比标准净重少3克，所以用标准净重减3即可得解。 【解答】（克） （克） 一种袋装食品，超过标准净重的部分记为正数，不足部分记为负数。一袋食品净重104克，记为﹢4克，那么这种食品的标准净重是100克：记为﹣3克的食品净重97克。 26．在表示楼层时，如果把地面看作0，地上3层记作，那么，地上20层记作（ ），地下3层记作（ ）。 【答案】/20 【分析】负数与正数表示意义相反的量，因此地上为正，地下则为负，依此填空。 【解答】根据分析可知：地上20层记作﹢20，则地下3层记作﹣3。 27．小丽和小红同时从学校出发，小丽向东走60米，记作﹢60米，小红向西走80米，记作（ ）米，此时两人相距（ ）米。 【答案】﹣80 140 【分析】正负数表示具有意义相反的两种量：向东走记为正，则向西就记为负，据此写出即可；进而把80米和60米相加，就是此时两人相距的米数。 【解答】小丽向东走60米，记作﹢60米，小红向西走80米，记作﹣80米； 80＋60＝140（米） 所以小红向西走80米，记作﹣80米，此时两人相距140米。 28．足球比赛中，若胜一场记作3分，平一场记作1分，负一场记作分，则胜三场记作（ ）分，平一场负两场记作（ ）分。 【答案】9 ﹣3 【分析】正负数表示相反意义的量，规定哪一个量为正，，那么与它意义相反的量就为负；足球比赛，胜记作“﹢”，平记作“﹢”，负记作“﹣”；“﹢”号可以省略。据此分析解答。 【解答】3×3＝9（分） 2×2－1 ＝4－1 ＝3（分） 足球比赛中，若胜一场记作3分，平一场记作1分，负一场记作分，则胜三场记作9分，平一场负两场记作﹣3分。 突破题型八正负数在误差中的应用 29．一种饼干包装袋上标着：净重（250±10克），表示这种饼干的标准质量是250克，实际每袋最多是（ ）克。 【答案】260 【分析】根据净重（250±10克），实际每袋是（250＋10）克。 【解答】250＋10＝260（克） 所以，实际每袋最多是260克。 【点评】本题考查了正负数的意义及应用，负数表示和正数意义相反的量。 30．一包锅巴的包装袋上标有“净重：80克±2克”，表示这包锅巴的标准质量是（ ）克，实际每包最少不少于（ ）克。 【答案】80 78 【分析】此题主要用正负数来表示具有意义相反的两种量：把高于80克的部分记为正，低于80克的部分记为负，“净含量80克±2克”表示这种锅巴标准的重量是80克，实际每袋最多不超过（80＋2）克，最少必须不少于（80－2）克。 【解答】80－2＝78（克） 一包锅巴的包装袋上标有“净重：80克±2克”，表示这包锅巴的标准质量是80克，实际每包最少不少于78克。 【点评】此题首先要知道以80克为标准，规定超出标准的为正，低于标准的为负，由此用正负数解答问题。 31．某食品包装袋上标有“质量200±3g”，质检员抽检了5袋，请在不合格产品后面的括号里打“×”。 201g（    ）    198g（    ）    204g（    ）    199g（    ）   203g（    ） 【答案】204g（ × ） 【分析】正数、负数表示两种相反意义的量。“质量200±3g”的含义，即200g是这种食品的标准净重，实际每袋最多不超过（200＋3）g，最少不低于（200－3）g，据此解答。 【解答】200＋3＝203（g） 200－3＝197（g） 197＜201＜203，合格； 197＜198＜203，合格； 204＞203，不合格； 197＜199＜203，合格； 203＝203，合格。 201g（    ）  198g（    ）   204g（ × ）  199g（    ）  203g（    ） 【点评】掌握正负数的意义，理解“质量200±3g”的含义，求出这袋食品质量的取值范围是解题的关键。 32．如果下降5米记作﹣5米，那么上升4米记作（ ）米；一袋饼干的外包装上标有“净含量（500±5）克”，这袋饼干的净含量最少是（ ）克。 【答案】﹢4/4 495 【分析】如果下降记为负，那么上升记为正；“净含量（500±5）克”，表示净含量最少（500－5）克，最多（500＋5）克，据此分析。 【解答】500－5＝495（克） 如果下降5米记作﹣5米，那么上升4米记作﹢4米；一袋饼干的外包装上标有“净含量（500±5）克”，这袋饼干的净含量最少是495克。 【点评】关键是理解正负数的意义，正负数可以表示相反意义的量。 突破题型九正负数的实际应用（稍微复杂问题） 33．国庆节，明明一家去峨眉山景区游玩。爸爸告诉明明，可以用温差来估计山的高度。明明测得主峰山脚的气温是16℃，山顶的气温是－2℃，请你帮他算一算，峨眉山主峰的高度大约是多少米？ 【答案】3000米 【分析】山顶气温是一2℃表示零下2℃，山脚气温是16 ℃，表示零上 16 ℃。所以山顶和山脚的温差是16＋2＝18（℃）。因为海拔每升高 1000米，气温大约会下降6℃，所以只要求出18℃里有多少个6℃，就可以知道峨眉山主峰的高度里有多少个1000米。据此解答即可。 【解答】16＋2＝18（℃） 18÷6×1000 ＝3×1000 ＝3000（米） 答：峨眉山主峰的高度大约是3000米。 34．学校为了普及低碳环保知识，举行了知识竞赛，共10道抢答题。评分规则是答对一道题加20分，答错或不答一道题扣10分。如果把加20分记作﹢20分，那么扣10分应记作多少分呢？蓝蓝在本次竞赛中的得分是110分，她答对了几道题？ 【答案】﹣10分；7道 【分析】（1）在用正、负数表示两种具有相反意义的量时，要先规定哪种量为正（或负）。如果一种量用正数表示，那么另一种与它相反的量就用负数表示。据此解答即可。 （2）设她答对了x道题，则答错或不答（10－x）道题。答对一道题加20分，答对x道题加20x分；答错或不答一道题扣10分，答错或不答（10－x）道题扣10×（10－x）分。根据等量关系“加的总分－扣的总分＝110”列出方程。 【解答】把加20分记作﹢20分，即规定加分为正，那么扣分为负。所以扣10分应记作﹣10分。 解：设她答对了x道题。 20x－10×（10－x）＝110 20x－100＋10x＝110 30x－100＝110 30x＝110＋100 30x＝210 x＝210÷30 x＝7 答：扣10分应记作﹣10分。她答对了7道题。 【点评】在用正、负数表示两种具有相反意义的量时，一般用正数表示增加、上升、超出……用负数表示减少、下降、不足…… 35．一副扑克分别有13张红桃和13张黑桃，得一张黑桃记作：﹢10分，得一张红桃记作：﹣10分。 （1）小楠得了6张黑桃，4张红桃，共得多少分？ （2）小燕抓了14张牌，得了﹣20分，她抓了多少张红桃？多少张黑桃？ 【答案】（1）20分；（2）8张红桃，6张黑桃 【分析】（1）小楠得了6张黑桃得到6个10分，4张红桃失去4个10分，得到的分数减去失去的分数即为最后得分。 （2）小燕抓了14张牌，红桃与黑桃的数目都不清楚，可以设未知数，根据等量关系式“抓红桃失去的分数－抓黑桃得到的分数＝20分”列方程求解。 【解答】（1）6×10－4×10 ＝60－40 ＝20（分） 答：小楠得了6张黑桃，4张红桃，共得20分。 （2）设小燕抓了x张黑桃，则抓了（14－x）张红桃，列方程为： 10（14－x）－10x＝20 140－10x－10x＝20 20x＝120 x＝6 红桃：14－6＝8（张） 答：她抓了8张红桃，6张黑桃。 【点评】正负数表示相反意义的量，本题中正号、负号表示得分与失分，弄清楚得分还是失分是解题的关键。 36．悟空随师父扫完金光塔回来，累的唐僧满头大汗，八戒见状，忙端茶向前献勤，并关切的说道：“师父，你这是扫了多少地啊，累成这个样子”？还未等唐僧说话，悟空抢言道：“傻猪头，你算算吧，塔共六层，以100平方米为标准，每层超过的平方米数记为正数，不足的平方米数记为负数，记录如下：﹢30，﹢18，﹢10，0，﹣15，﹣25。”八戒看后傻了眼，嘟嘟囔囔地说：“这咋算？”请你帮八戒算出来。 【答案】618平方米 【分析】﹢30、﹢18、﹢10分别表示超过100平方米的平方米数，﹣15、﹣25分别表示不足100平方米的平方米数，用每层超过100平方米的平方米数的和减去低于100平方米的平方米数的和，加上6个100平方米即可。 【解答】30＋18＋10＋0－（15＋25） ＝48＋10－40 ＝58－40 ＝18（平方米） 100×6＋18 ＝600＋18 ＝618（平方米） 答：扫了618平方米。 突破题型十正负数填表（存款类型问题） 37．四（1）班原有班费60元，卖废纸收入20元，老师给同学们买小贴画花了15元，班里回收塑料瓶收入30元，买彩纸又花了33元。如果我们把收入的钱用正数表示，支出的钱用负数表示，你能帮老师在下表中记录班费的收支情况吗？ 内容 金额/元 原有班费 ﹢60 卖废纸 （    ） 买小贴画 （    ） 回收塑料瓶 （    ） 买彩纸 （    ） 【答案】见详解 【分析】用正负数来表示具有意义相反的两种量，可用正数和负数分别表示收入和支出，收入的钱用正数表示，花的钱用负数表示，据此解答即可。 【解答】 内容 金额/元 原有班费 ﹢60 卖废纸 （ ﹢20 ） 买小贴画 （ ﹣15   ） 回收塑料瓶 （ ﹢30   ） 买彩纸 （ ﹣33   ） 38．按要求作答。 3月8日：妈妈领工资3000元 3月10日：交水电费、管理费210元 3月12日：乐乐买衣服用去360元 3月15日：爸爸领工资4200元 3月18日：去公园玩用去280元 3月20日：妈妈买衣服用去270元 3月22日：爸爸买书报杂志用去130元 （1）请你用正负数填写表格 日期 收支情况/元 3月8日 3月10日 3月12日 3月15日 3月18日 3月20日 3月22日 （2）尝试计算乐乐家三月份的结余。 【答案】（1）﹢3000；﹣210；﹣360；﹢4200；﹣280；﹣270；﹣130 （2）5950元 【分析】（1）用正负数表示具有相反意义的量，规定收入用正数表示，则支出用负数表示； （2）分别求出收入和支出的钱数，再求出它们的差即可。 【解答】（1）表格如下： 日期 收支情况/元 3月8日 ﹢3000 3月10日 ﹣210 3月12日 ﹣360 3月15日 ﹢4200 3月18日 ﹣280 3月20日 ﹣270 3月22日 ﹣130 （2）收入：3000＋4200＝7200（元） 支出：210＋360＋280＋270＋130 ＝570＋280＋270＋130 ＝850＋270＋130 ＝1120＋130 ＝1250（元） 7200－1250＝5950（元） 答：乐乐家三月份的结余为5950元。 39．春节快到的时候，小明做了一个家庭月收支记录表。爸妈工资收入共9500元，春节给老人2000元，给小明和妹妹各100元压岁钱，交上个月的水电等费用400元，购买800元食品，4口人买新衣服需要1000元。请根据以上信息填写下表。你能算出小明家这个月的余额吗？ 项目 收支金额/元 爸妈工资收入 ﹢9500 春节给老人 给小明和妹妹压岁钱 交上个月水电等费用 购买食品 买新衣服 【答案】表格见详解；5100元 【分析】用正负数表示具有相反意义的量，若规定收入用正数表示，则支出用负数表示；用收入的钱数减去支出的钱数即可求出这个月的余额。 【解答】表格如下： 项目 收支金额/元 爸妈工资收入 ﹢9500 春节给老人 ﹣2000 给小明和妹妹压岁钱 ﹣200 交上个月水电等费用 ﹣400 购买食品 ﹣800 买新衣服 ﹣1000 9500－2000－200－400－800－1000 ＝7500－200－400－800－1000 ＝7300－400－800－1000 ＝6900－800－1000 ＝6100－1000 ＝5100（元） 答：小明家这个月的余额为5100元。 40．下面是亮亮妈妈记录的12月份家庭收支情况。 12月6日  爸爸工资收入4080元。 12月6日  妈妈工资收入3600元。 12月10日  订全年晚报支出280元。 12月11日  水电费支出300元。 12月15日  妈妈买衣服支出560元。亮亮买鞋支出270元。 12月16日  买书支出80元。 12月26日  给爷爷、奶奶、姥姥、姥爷买元旦礼物支出800元。购买节日食品支出120元。 12月28日  卖旧报纸收入22元。 12月30日  买茶叶支出60元。 12月31日  本月伙食费支出1500元。 用正数或负数把亮亮家12月份的收支情况记录在下面的表中。 日期 事由 收支金额（元） 【答案】见详解 【分析】负数表示和正数意义相反的量。一般而言，用正数表示收入，用负数表示支出。据此，用正数或负数把亮亮家12月份的收支情况记录到表格中即可。 【解答】 日期 事由 收支金额（元） 12月6日 爸爸工资收入 ﹢4080 12月6日 妈妈工资收入 ﹢3600 12月10日 订全年晚报支出 ﹣280 12月11日 水电费支出 ﹣300 12月15日 妈妈买衣服支出 ﹣560 12月15日 亮亮买鞋支出 ﹣270 12月16日 买书支出 ﹣80 12月26日 给爷爷等长辈买元旦礼物支出 ﹣800 12月26日 购买节日零食支出 ﹣120 12月28日 卖旧报纸收入 ﹢22 12月30日 买茶叶支出 ﹣60 12月31日 本月伙食费支出 ﹣1500 突破题型十一上下车问题 41．小红乘坐1路公交车上学，她上车时车上一共有15人，途中经过4个停靠站，第一站上车4人，下车1人；第二站上车5人，下车2人；第三站上车3人，下车6人；第四站上车7人，下车3人，到实验小学站下车，这一站上车0人，下车10人。 （1）如果上车人数用正数表示，请你根据以上停息，将这个过程记录在下表。    停靠站 第一站 第二站 第三站 第四站 实验小学站 上下车人数 （人） 上车 下车 上车 下车 上车 下车 上车 下车 上车 下车 （2）从小红上车到下车，1路公交车一共上车多少人？一共下车多少人？ （3）小红下车后，公交车开往下一站时，车上还有多少人？ 【答案】（1）见详解；（2）上车人数：19人；下车人数：22人；（3）12人 【分析】（1）由题意可得，第一站上车4人，下车1人；第二站上车5人，下车2人；第三站上车3人，下车6人；第四站上车7人，下车3人，到实验小学站下车，这一站上车0人，下车10人，据此填空即可； （2）分别将上车人数和下车人数单独加起来即可； （3）根据车到第一站的人数有15人，上车用加法，下车用减法计算即可。 【解答】（1）   停靠站 第一站 第二站 第三站 第四站 实验小学站 上下车人数 （人） 上车 下车 上车 下车 上车 下车 上车 下车 上车 下车 4 1 5 2 3 6 7 3 0 10 （2）上车人数：4＋5＋3＋7＋0＝19（人） 下车人数：1＋2＋6＋3＋10＝22（人） （3）15＋4－1＝18（人） 18＋5－2＝21（人） 21＋3－6＝18（人） 18＋7－3＝22（人） 22－10＝12（人） 答：1路公交车一共上车19人，1路公交车一共下车22人，车上还有12人。 【点评】此题考查了负数的意义，关键是明确车到每一站时车上的人数即可。 42．下面是地铁3号线在部分站点的上下车人数情况，其中正数表示上车人数，负数表示下车人数。 地铁站 起始站 三西庄 十二中 东里 团结潮 衡山路 上下车人数 ﹢68人 ﹣35人 ﹢38人 ﹣25人 ﹢19人 ﹣26人 ﹢19人 ﹣17人 ﹢48人 ﹣56人 ﹢52人 （1）地铁从东里站驶离时，车上一共有多少人？ （2）哪一站下车人数最多？哪一站下车人数最少？相差多少人？ 【答案】（1）58人；（2）衡山路；团结潮；39人 【分析】（1）起始站有68人，给68减三西庄、十二中、东里下车的人数，再加上车的人数，即可求出当地铁从东里站驶离时，车上共有多少人。 （2）把这5个站，在每个站下车的人数比较，根据比较结果即可知道哪个站下车人数最多，哪个站下车人数最少，再求出最多的与最少的数据差即可。 【解答】（1）68－35＋38 ＝33＋38 ＝71（人） 71－25＋19 ＝46＋19 ＝65（人） 65－26＋19 ＝39＋19 ＝58（人） 答：车上一共有58人。 （2）下车：56＞35＞26＞25＞17 56－17＝39（人） 答：衡山路下车人数最多，团结潮站下车人数最少，相差39人。 43．下表是粮仓库存大米在一个星期内的变化情况。 星期 日 一 二 三 四 五 六 出入库大米/袋 ﹢500 ﹣280 ﹢400 ﹣300 ﹢180 ﹣500 ﹢900 ﹣200 ﹣330 ﹢100 ﹣190 ﹢190 （1）星期一运进大米（    ）袋，运出大米（    ）袋。 （2）星期（    ）只运出大米而没有运进大米，星期（    ）运出和运进的大米一样多。 （3）星期五运出的大米比运进的大米多多少袋？ 【答案】（1）400；280     （2）四；六     （3）230袋 【分析】（1）正负数表示一组相反意义的量。﹢400表示运进400袋大米，﹣280则表示运出280袋大米。 （2）观察可知星期四只有负数，没有正数，所以说只运出大米而没有运进大米，而星期六是﹣190和﹢190，即运出和运进的大米一样多。 （3）求星期五运出的大米比运进的大米多多少袋，即去掉数字前的正负号，用两个数字相减即可得解。据此解答。 【解答】据分析可知： （1）星期一运进大米400袋，运出大米280袋。 （2）星期四只运出大米而没有运进大米，星期六运出和运进的大米一样多。 （3）330－100＝230（袋） 答：星期五运出的大米比运进的大米多230袋。 专题二百分数（二） 突破题型一折扣问题之求现价 1．“文墨”商店降价出售图书，图书统一打“八五折”出售。东东在“文墨”商店买了一本原价50元的百科书，需要支付( )元。 【答案】42.5 【分析】将原价看作单位“1”，几折就是百分之几十，原价×折扣＝需要支付的钱数，据此列式计算。 【解答】50×85% ＝50×0.85 ＝42.5（元） 需要支付42.5元。 2．一款手机标价a元，现在打八五折出售，打折后这部手机卖( )元。如果这款手机标价是3000元，那么打折后买它可以便宜( )元。 【答案】0.85a/a 450 【分析】打八五折出售，就是按原价的85%出售，根据求一个数的百分之几是多少，用乘法，求打折后这部手机卖多少元，用手机标价乘85%解答；如果这款手机标价是3000元，打折后便宜1－85%＝15%，用3000×15%列式计算即可解答。 【解答】八五折＝85% a×85%＝85%a＝0.85a（元） 3000×（1－85%） ＝3000×15% ＝450（元） 所以打折后这部手机卖0.85a元，打折后买它可以便宜450元。 3．一种商品打“八八折”销售，“八八折”就是原价的( )%。如果这种商品原价600元，现在买，便宜( )元。 【答案】88 72 【分析】打折就是按照折数低价出售商品。几折就是十分之几，也就是百分之几十。将原价看作单位“1”，原价×（1－折扣）＝便宜的钱数。 【解答】600×（1－88%） ＝600×0.12 ＝72（元） “八八折”就是原价的88%。如果这种商品的原价是600元，现在买，便宜了72元。 4．国庆期间，聪聪一家三口去电影院观看《万里归途》，他们上午去比晚上去一共节省了27元，每张电影票的原价是( )元。 优惠信息 上午场 下午场 夜场 七折 八折 九折 【答案】45 【分析】几折就表示十分之几，也就是百分之几十，七折就是70%，八折就是80%，九折就是90%，先用一共节省的27元除以人数3人，求出每人节约的钱数，再求出上午与晚上打折的差是（90－70%），再根据已知一个数的百分之几是多少，求这个数用除法，据此列式为27÷3÷（90%－70%）。 【解答】27÷3÷（90%－70%） ＝9÷0.2 ＝45（元） 所以每张电影票的原价是45元。 突破题型二折扣问题之求原价 5．一件商品打六折销售。“六折”表示销售价是原价的( )%。如果销售价是150元；那么销售价比原价便宜( )元。 【答案】60 100 【分析】打几折，表示现价是原价的百分之几十，则六折表示按原价的60%出售，已知一个数的百分之几是多少，求这个数用除法解答，据此用150÷60列式求出原价，再用原价减去150元就是销售价比原价便宜的钱数。 【解答】“六折”表示销售价是原价的60%； 150÷60%＝250（元） 250－150＝100（元） 所以“六折”表示销售价是原价的60%，销售价比原价便宜100元。 6．笑笑在书店“全场八折”的活动期间购买了一套《美丽的地球》丛书，花了96元。这套书原价( )元。 【答案】120 【分析】将原价看作单位“1”，“全场八折”是按原价的80%出售，花的钱数÷折扣＝原价，据此列式计算。 【解答】96÷80%＝96÷0.8＝120（元） 所以这套书原价120元。 7．某家电商场开展“双十一”惠民促销活动，对商场的所有商品实行相同折扣数的打折出售。于是李阿姨用900元就买到了原价1500元的电饭堡，同行的张阿姨花2880元买了一台平板电脑。这次活动，让张阿姨省下了( )元钱。 【答案】1920 【分析】先用现价÷原价×100%，求出现价是原价的百分之几十，也就是打几折，再用张阿姨花的钱数除以折扣，求原价，再用原价－现价，即可求出省下的钱数。 【解答】900÷1500×100% ＝0.6×100% ＝60% 2880÷60%－2880 ＝4800－2880 ＝1920（元） 让张阿姨省下1920元。 8．一件衣服原价320元，如果按“每满100元减20元”的优惠销售，那么实际价格为( )元；如果按“打八折”的优惠销售，那么实际价格为( )元。 【答案】260 256 【分析】第一个空，求出原价包含几个100元，就从原价减去几个25元是实际价格；第二个空，将原价看作单位“1”，几折就是百分之几十，原价×折扣＝实际价格，据此列式计算。 【解答】320÷100＝3……20（元） 320－3×20 ＝320－60 ＝260（元） 320×80%＝320×0.8＝256（元） 一件衣服原价320元，如果按“每满100元减20元”的优惠销售，那么实际价格为260元；如果按“打八折”的优惠销售，那么实际价格为256元。 突破题型三折扣问题之求折扣 9．红旗超市一个香粽礼盒标价400元，端午节超市做“满300元减100元”的优惠活动，这样一个香粽礼盒实际是打( )折出售。 【答案】七五 【分析】标价包含几个300元，就从标价减去几个100元是实际价格，400＞300，因此实际钱数是（400－100）元，将标价看作单位“1”，实际钱数÷标价＝实际钱数是标价的百分之几，根据几折就是百分之几十，确定折扣。 【解答】（400－100）÷400 ＝300÷400 ＝75% 75%即打七五折 这样一个香粽礼盒实际是打七五折出售。 10．梦幻奶茶屋开展“六一”促销活动：第2杯半价。笑笑买了两杯奶茶，相当于打( )折。 【答案】七五 【分析】根据题意，第2杯半价，即第1杯原价第2杯半价，可以设第1杯10元，则第2杯5元。用现在买2杯所需的钱数除以原来买2杯所需的钱数，即可求出现在买2杯所需的钱数是原来买2杯所需的钱数的百分之几，再根据折扣的意义，把百分数化成折数。 【解答】设第1杯10元，则第2杯5元。 （10＋5）÷（10＋10）×100% ＝15÷20×100% ＝0.75×100% ＝75% 75%＝七五折 笑笑买了两杯奶茶，相当于打七五折。 11．2024年的端午节期间，某超市粽子促销：粽子10元一个，第一个原价，第二个半价。妈妈购买了两个粽子，一共要花( )元，每个粽子相当于打了( )折。 【答案】15 七五 【分析】先求出第二个粽子的价钱，再求出两个粽子的总价；再算出每个粽子的单价，用现在粽子的单价÷原来的单价×100%＝折扣率。 【解答】10÷2＝5（元） 10＋5＝15（元） 15÷2＝7.5（元） 7.5÷10×100%＝75%＝七五折 所以一共花了15元，每个粽子相当于打了七五折。 12．一瓶饮料售价4元，现在“买四送一”，王军花了16元买这种饮料，相当于打了( )折，每瓶饮料的实际价格比售价便宜( )元。 【答案】八 0.8 【分析】根据数量＝总价÷单价，即可计算出16元原来可以购买的瓶数，再根据买四送一，确定现在可以购买的瓶数，然后根据单价＝总价÷数量，计算出买四送一后，现在的单价是多少，再根据折扣＝现价÷原价，计算出相当于打了几折，最后用减法计算出每瓶饮料的实际价格比售价便宜多少元。 【解答】16÷4＝4 （瓶） 4＋1＝5（瓶） 16÷5＝3.2（元） 3.2÷4＝80% 80%＝八折 4－3.2＝0.8 （元） 所以相当于打了八折，每瓶饮料的实际价格比售价便宜0.8元。 突破题型四分数小数百分数与成数的互化 13．0.75＝＝（    ）∶20＝（    ）％＝（    ）（成数）。 【答案】6；15；75；七成五 【分析】先把0.75化成最简分数为0.75＝＝。根据分数的基本性质，把的分子和分母同时乘2，得；根据分数与比的关系、分数的基本性质，把的分子和分母同时乘5，得＝＝15∶20；把0.75的小数点向右移动两位，再添上百分号，化成百分数为75%；75%就是七成五。 【解答】通过分析可得： 0.75＝＝15∶20＝75%＝七成五。 14．＝0.75＝（    ）∶24＝（    ）折＝（    ）（成数）。 【答案】6；18；七五；七成五 【分析】先将小数化成分母是100的分数分数的分子和分母，同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变，变成分母是8的分数； 分数的分子相当于比的前项，分母相当于比的后项，将分数化成比后，比的前项和后项同时乘或除以同一个不为零的数，比值不变，解答第二空； 小数化百分数，小数点向右移动两位，添上百分号即可，根据几折就是百分之几十，几成就是百分之几十，确定折数和成数。 【解答】0.75＝ ＝3∶4＝（3×6）∶（4×6）＝18∶24 0.75＝75%＝七五折＝七成五 ＝0.75＝18∶24＝七五折＝七成五 15．3÷( )＝( )( )折＝( )（填成数）。 【答案】4 18 七五 七成五 【分析】先把75%写成，根据分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变，把化成最简分数；分数与除法的关系：分数的分子相当于被除数，分母相当于除数；分数与比的关系：分数的分子相当于比的前项，分母相当于后项，分数值相当于比值；比基本性质：比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变；分数与折扣的关系：几折就是十分之几或百分之几十，百分之几十就是几折；百分数与成数的关系：几成几就是百分之几十几，百分之几十几就是几成几；几成就是百分之几十，百分之几十就是几成。据此解答。 【解答】75%＝ ＝ ＝3÷4 ＝3∶4＝（3×6）∶（4×6）＝18∶24 75%＝七五折 75%＝七成五 所以3÷4＝18∶24＝75%＝七五折＝七成五 16．＝12∶（    ）＝四成＝（    ）%＝（    ）（填小数）。 【答案】8；30；40；0.4 【分析】几成就是百分之几十，据此确定百分数，百分数化小数，去掉百分号，小数点向左移动两位即可；分数的分子相当于比的前项，分母相当于比的后项，分数的分子和分母，同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变，据此将小数化成分数，再根据分数与比的关系，以及它们通用的基本性质，进行填空。 【解答】四成＝40%＝0.4＝；20÷5×2＝8；12÷2×5＝30 ＝12∶30＝四成＝40%＝0.4 突破题型五求增加或减少几成的问题 17．张大妈家去年收玉米1500千克，今年收玉米2100千克，今年比去年增产( )（填成数）。 【答案】四成 【分析】将去年收玉米质量看作单位“1”，今年与去年收玉米质量的差÷去年收玉米质量＝今年比去年增产百分之几，根据几成就是百分之几十，确定成数。 【解答】（2100－1500）÷1500 ＝600÷1500 ＝0.4 ＝40% ＝四成 今年比去年增产四成。 18．王叔叔经营着一个家庭农场，今年小麦喜获丰收，产量达到9吨/公顷，比去年增产二成五，去年小麦的产量是( )吨/公顷。 【答案】7.2 【分析】已知今年小麦的产量达到9吨/公顷，比去年增产两成五，是把去年小麦的产量看作单位“1”，则今年小麦的产量是去年的（1＋25%），单位“1”未知，用今年小麦的产量除以（1＋25%），即可求出去年小麦的产量。 【解答】二成五＝25% 9÷（1＋25%） ＝9÷1.25 ＝7.2（吨/公顷） 去年小麦的产量是7.2吨/公顷。 19．李老师要买一套售价85万元的商品房，首付三成，首付要付款( )。 【答案】25.5万元 【分析】将售价看作单位“1”，几成就是百分之几十，售价×成数＝首付钱数，据此列式计算。 【解答】85×30%＝85×0.3＝25.5（万元） 首付要付款25.5万元。 20．某农场去年收成大豆240千克，今年收成比去年增收了一成五，今年收成( )千克。 【答案】276 【分析】已知今年收成比去年增收了一成五，把去年收成看作单位“1”，则今年收成是去年的（1＋15%），单位“1”已知，用去年收成乘（1＋15%），求出今年收成。 【解答】一成五＝15% 240×（1＋15%） ＝240×1.15 ＝276（千克） 今年收成276千克。 突破题型六根据成数反求单位“1” 21．某手机厂6月份生产了5万台手机，比5月份增产了两成五，5月份这个手机厂的产量是 ( )万台。 【答案】4 【分析】把5月份生产的汽车数量看作单位“1”，已知6月份的产量比5月份增加二成五，二成五表示25%，则6月份的产量是5月份的（1＋25%），单位“1”未知，根据百分数除法的意义求出5月份生产的汽车数量。 【解答】二成五＝25% 5÷（1＋25%） ＝5÷1.25 ＝4（万台） 所以，5月份这个手机厂的产量是4万台。 22．现如今“直播带货”已经成为促进经济增长的有效途径。王叔叔将收获的青椒通过直播形式销售后，12月青椒总销售量比11月提高了八成五，12月青椒总销售量是740千克，11月青椒总销售量是( )千克。 【答案】400 【分析】把11的辣椒销售量看作单位“1”，已知12月青椒总销售量比11月提高了八成五，即提高了85%，则11月的销售量乘（1＋85%）就是12月的销售量，又知12月的辣椒销售量是740千克，求11月的销售量，用12的销售量除以（1＋85%）即可解答。 【解答】八成五＝85% 740÷（1＋85%） ＝740÷1.85 ＝400（千克） 11月青椒总销售量是400千克。 23．某林场有一块精品茶园，今年共收特等茶叶42吨，比去年增产二成。这个林场去年共收特等茶叶( )吨。 【答案】35 【分析】比去年增产二成的意思就是比去年增产20%，以去年的产量为单位“1”，今年的产量是去年的（1＋20%），根据百分数除法的意义求出去年茶叶的产量即可。 【解答】二成＝20% 42÷（1＋20%） ＝42÷1.2 ＝35（吨） 这个林场去年共收特等茶叶35吨。 24．某商场一件上衣的原价是450元，现在打八折出售，打折后的售价是( )元。该商场五月份的销售额是199.2万元，比四月份增长了二成，四月份的销售额是( )万元。 【答案】360 166 【分析】根据现价＝原价×折扣，即可计算出打折后的售价是多少元。 把四月份的销售额看作单位“1”，增长了二成就是增长了20%，则五月份的销售额是四月份的（1＋20%），根据除法的意义，即可计算出四月份的销售额是多少万元。 【解答】八折＝80% 450×80%＝360（元） 199.2÷（1＋20%） ＝199.2÷1.2 ＝166（万元） 打折后的售价是360元，四月份的销售额是166万元。 突破题型七求应纳税额 25．便民水果超市6月份的营业额中应纳税部分为12000元。如果按应纳税部分的3%纳税，那么便民水果超市6月份应缴纳税款( )元。 【答案】360 【分析】将应纳税部分看作单位“1”，应纳税部分×税率＝应缴纳的税款，据此列式计算。 【解答】12000×3%＝12000×0.03＝360（元） 便民水果超市6月份应缴纳税款360元。 26．某旅店五月份的营业额约是42万元。如果按营业额的5%缴纳营业税，这家旅店五月份应缴纳营业税约( )万元。 【答案】2.1 【分析】已知五月份的营业额约是42万元，按营业额的5%缴纳营业税，根据求一个数的百分之几是多少，用营业额乘5%，即可求出应缴纳的营业税。 【解答】42×5% ＝42×0.05 ＝2.1（万元） 这家旅店五月份应缴纳营业税约2.1万元。 27．微信提现收费规则：每位注册用户享有1000元免费提现额度，超过部分收取0.1%的手续费，李老师是微信注册新用户，现在需要从微信钱包中提取现金1800元，需要支付( )元的手续费。 【答案】0.8 【分析】先算出李老师提现时超过免费额度的金额，再用超过免费额度的金额乘0.1%，即可求出李老师需要支付的手续费，据此解答。 【解答】（1800－1000）×0.1% ＝800×0.1% ＝0.8（元） 即需要支付0.8元的手续费。 28．王伯伯开了个超市，上个月营业额是30000元，按规定要按营业额的5%缴纳营业税，他上个月应缴( )元的营业税。 【答案】1500 【分析】应纳税额＝应纳税所得额×税率，用上个月营业额30000×5%解答即可。 【解答】30000×5%＝1500（元） 王伯伯开了个超市，上个月营业额是30000元，按规定要按营业额的5%缴纳营业税，他上个月应缴1500元的营业税。 突破题型八求税率或收入额 29．王叔叔买了一辆小轿车，按车价的9%缴纳车辆购置税1.8万元。这辆小轿车的车价是( )万元。 【答案】20 【分析】把这辆小轿车的车价看作单位“1”，按车价的9%缴纳车辆购置税1.8万元，根据已知一个数的百分之几是多少，求这个数，用百分数除法的意义求出这辆小轿车的车价。 【解答】1.8÷9% ＝1.8÷0.09 ＝20（万元） 这辆小轿车的车价是20万元。 30．刘阿姨为某杂志审稿获得一笔审稿费，为此她需要按照3%的税率缴纳个人所得税90元，刘阿姨获得的这笔审稿费是( )元。 【答案】3000 【分析】把这笔稿费看作单位“1”，按照3%的税率缴纳个人所得税，对应的90元，求单位“1”，用90÷3%，即可解答。 【解答】90÷3%＝3000（元） 刘阿姨为某杂志审稿获得一笔审稿费，为此她需要按照3%的税率缴纳个人所得税90元，刘阿姨获得的这笔审稿费是3000元。 31．张老师写了一页文章，交了5元钱的个人所得税后，收入稿费95元钱，个人所得税的税率是( )。 【答案】5% 【分析】缴纳的税款叫应纳税额。应纳税额与各种收入的比率叫税率。已知应纳税额是5元，各种收入是（95＋5）元，用5除以（95＋5）再乘100%即可求出个人所得税的税率 【解答】5÷（95＋5）×100% ＝5÷100×100% ＝0.05×100% ＝5% 即个人所得税的税率是5%。 【点评】此题的解题关键是理解税率的概念，掌握应纳税所得额、应纳税额、税率三者之间的数量关系，才能得出正确的结果。 32．某超市5月份缴纳了0.72万元的营业税，如果营业税是按照5%的税率缴纳的，那么这个超市5月份的营业额是( )万元。 【答案】14.4 【分析】根据题意，5月份按照5%的税率缴纳了0.72万元的营业税，即营业税额占5月份营业额的5%，把营业额看作单位“1”，根据已知一个数的百分之几是多少，求这个数，用除法计算，即可求出5月份的营业额。 【解答】0.72÷5% ＝0.72÷0.05 ＝14.4（万元） 这个超市5月份的营业额是14.4万元。 【点评】本题考查税率问题，找出单位“1”，单位“1”未知，根据百分数除法的意义解答。 突破题型九求利息 33．2024年8月，小明的妈妈把5万元存入某银行，定期2年，年利率是1.60%。到期时，妈妈能从银行取出利息( )元。 【答案】1600 【分析】已知5万元存入某银行，定期2年，年利率是1.60%，根据“利息＝本金×利率×存期”，代入数据计算，求出到期时可得到的利息。 【解答】5万元＝50000元 50000×1.6%×2 ＝50000×0.016×2 ＝800×2 ＝1600（元） 到期时，妈妈能从银行取出利息1600元。 34．王奶奶把10000元钱按年利率3.52%存入银行，存期三年，计算到期后她所得的利息应是( )元。 【答案】1056 【分析】到期取款时银行多支付的钱叫利息，根据利息＝本金×利率×存期，列式解答即可。 【解答】10000×3.52%×3 ＝10000×0.0352×3 ＝352×3 ＝1056（元） 到期后她所得的利息是1056元。 35．爷爷把3000元存入银行3年，年利率是2.75%，到期后，他可取出本息一共( )元。 【答案】3247.5 【分析】到期取款时银行多支付的钱叫利息，根据利息＝本金×利率×存期，求出利息，再加上本金即可。 【解答】3000×2.75%×3＋3000 ＝3000×0.0275×3＋3000 ＝247.5＋3000 ＝3247.5（元） 所以到期后，他可取出本息一共3247.5元。 36．2019年3月1日，冬冬把自己的2000元压岁钱存入银行，定期三年。如果按年利率2.75%计算，到期时，冬冬可以取回( )元。 【答案】2165 【分析】取回的钱包括本金和利息，利息＝本金×利率×存期，用本金＋利息＝取回的钱，据此分析。 【解答】2000×2.75%×3＋2000 ＝55×3＋2000 ＝165＋2000 ＝2165（元） 冬冬可以取回2165元。 突破题型十求利率或本金 37．妈妈将20000元钱存入银行，存期二年，到期获得利息840元，年利率是( )%。 【答案】2.1 【分析】此题应根据关系式“利率＝利息÷本金÷时间”列式，本金是20000元，存期二年，代入数据进行计算即可。 【解答】840÷20000÷2 ＝0.042÷2 ＝0.021 ＝2.1% 所以，年利率是2.1%。 38．李奶奶把4000元钱存入银行1年，到期的时候取回了4080元。王奶奶存入银行的本金是( )元，利息是( )元，银行1年期的利率是( )。 【答案】4000 80 2% 【分析】存入银行的钱叫做本金，取款时银行多付的钱叫做利息。取回的钱－本金＝利息，利率＝利息÷本金÷存期，据此分析。 【解答】4080－4000＝80（元） 80÷4000÷1＝0.02＝2% 王奶奶存入银行的本金是4000元，利息是80元，银行1年期的利率是2%。 39．王叔叔存入银行20000元，存期3年，到期时王叔叔取得本金和利息共22550元，年利率是( )。 【答案】4.25% 【分析】先根据“利息＝本息－本金”表示出王叔叔存款到期可以得到的利息，再利用“利率＝利息÷本金÷存期”求出年利率，据此解答。 【解答】（22550－20000）÷20000÷3 ＝2550÷20000÷3 ＝0.1275÷3 ＝0.0425 ＝4.25% 所以，年利率是4.25%。 【点评】灵活运用利息的计算公式是解答题目的关键。 40．王伯伯把8000元钱存入银行，定期存3年，得到的利息是924元，王伯伯当时的存款年利率是( )%。 【答案】3.85 【分析】根据利率＝利息÷本金÷时间，代入数据进行解答即可。 【解答】924÷8000÷3×100% ＝0.1155÷3×100% ＝0.0385×100% ＝3.85% 【点评】本题考查利率问题，关键熟记公式。 突破题型十一利润问题 41．某商店同时出售了两件商品，售价都是240元，一件亏损了20%，另一件盈利20%，对商家来说是赚了还是亏了？赚了（或亏了）多少？ 【答案】亏了；20元 【分析】盈利成本＝售价÷（1＋利润率），亏损成本＝售价÷（1－利润率），已知售价与利润率可以分别算出两件商品的成本，再用成本与售价进行比较即可。 【解答】240÷（1－20%） ＝240÷80% ＝240÷0.8 ＝300（元） 240÷（1＋20%） ＝240÷120% ＝240÷1.2 ＝200（元） 成本共：300＋200＝500（元） 售价共：240×2＝480（元） 500－480＝20（元） 答：亏了；亏了20元。 42．某商场售货员同时卖出两件上衣，每件都以135元售出，若按成本计算，其中一件盈利25%，另一件亏损25%，问这次售货员是赔了还是赚了？赚了或亏了多少元？ 【答案】赔了；18元 【分析】盈利的衣服原价＝售价÷（1＋利润率），亏损的衣服原价＝售价÷（1－利润率），求出两件衣服成本的和，与售价的和作对比即可。 【解答】135÷（1＋25%） ＝135÷125% ＝135÷1.25 ＝108（元） 135÷（1－25%） ＝135÷75% ＝135÷0.75 ＝180（元） 成本和：180＋108＝288（元） 售价和：135＋135＝270（元） 288＞270，成本大于售价，赔了 288－270＝18（元） 答：这次售货员是赔了，赔了18元。 43．某商店从江南皮革厂以每个80元的价格购进了60个皮箱，这些皮箱共卖了6300元。这个商店从这60个皮箱上共获得多少利润？利润率是多少？ 【答案】1500元；31.25% 【分析】先用80×60＝4800元，求出进价；再根据商品利润＝商品售价－商品进价，商品利润率＝商品利润÷商品进价×100%，代入数据，即可求出利润和利润率。 【解答】进价：80×60＝4800（元） 利润：6300－4800＝1500（元） 利润率：1500÷4800×100% ＝0.3125×100% ＝31.25% 答：这个商店从这60个皮箱上共获得1500元的利润，利润率是31.25%。 44．商品甲按的利润卖出，卖出价是240元，商品乙按的亏损卖出，卖出价是270元，如果把甲和乙两种商品合起来是赚了还是亏了，赚或亏了多少元？ 【答案】赚了；10元 【分析】利润率＝利润÷成本×100%，把原价看作单位“1”，列式：240÷（1＋20%），求出商品甲的成本；列式：270÷（1－10%），求出商品乙的成本。求出甲乙的成本和再与它们的售价之和比较，即可知道赚了还是亏了。 【解答】240÷（1＋20%） ＝240÷120% ＝200（元） 270÷（1－10%） ＝270÷90% ＝300（元） 200＋300＝500（元） 240＋270＝510（元） 500元＜510元，总成本小于总售价，所以是赚了。 510－500＝10（元） 答：如果把甲和乙两种商品合起来是赚了，赚了10元。 突破题型十二利润与折扣的综合 45．成本0.25元的练习本1200本，按40%的利润定价出售，结果只销掉80%的练习本，剩下的练习本打折扣出售，这样所获得的全部利润是预定利润的86%，问剩下的练习本出售时是按定价打了多少折扣？ 【答案】8折 【分析】从问题开始分析：①求剩下的练习本出售时的折扣，要先求出剩下练习本的售价和练习本的定价； ②剩下练习本的售价跟利润有关，于是先求出剩下的20%练习本的利润。 ③剩下练习本的利润＝所获得的全部利润－销掉练习本的利润 ④所获得的全部利润＝预定利润的86% 逐步分析，根据这个思路去解决问题。 “按40%的利润定价”，则每本练习本的定价为：0.25×（1＋40%）＝0.35（元），每本练习本的预定利润为：0.25×40%＝0.1（元），一共有1200本，那么预定总利润为：0.1×1200＝120（元）。 “销掉了80%的练习本”，这部分销掉练习本得到的利润为：1200×80%×0.1＝96（元）。 “所获得的全部利润是预定利润的86%”，即所获得的全部利润为120×86%＝103.2（元）。所以卖掉剩下20%的练习本需要获得利润：103.2－96＝7.2（元），剩下的20%的练习本数量为：1200×（1－80%）＝240（本）。则剩下练习本每本的利润为7.2÷240＝0.03（元），即剩下练习本每本的售价是0.25＋0.03＝0.28（元）。 0.28÷0.35＝0.8。所以剩下的练习本出售时是按定价打了八折。 【解答】每本练习本定价为：0.25×（1＋40%）＝0.35（元） 每本练习本预定利润：0.25×40%＝0.1（元） 预定的总利润为：1200×0.1＝120（元） 实际所获得的全部利润为：120×86%＝103.2元 剩下的20%的练习本每本的价格为： （103.2－120×80%）÷（1200×20%）＋0.25 ＝（103.2－96）÷240＋0.25 ＝7.2÷240＋0.25 ＝0.03＋0.25 ＝0.28（元） 0.28÷0.35×100%＝80% 答：剩下的练习本出售时按定价打了八折。 【点评】本题的关键是根据①售价÷定价＝折扣；②售价＝定价×（1＋利润率）等数学条件进行计算。 46．某服装店一件衣服打八折后的价格是220元，按这一价格出售能够获得10%的利润，若不打折按原价出售的利润率为多少？ 【答案】37.5% 【分析】打八折就是现价是原价的80％，原价＝售价÷折扣，先用220除以80%求出原价是多少； 成本＝售价÷（1＋利润率），用220÷（1＋10％）求出成本是多少； 利润率＝（原价－成本）÷成本×100%，代入数据计算求出不打折按原价出售的利润率。 【解答】原价：220÷80％ ＝220÷0.8 ＝275（元） 成本：220÷（1＋10％） ＝220÷110% ＝220÷1.1 ＝200（元） 利润率：（275－200）÷200×100％ ＝75÷200×100％ ＝0.375×100％ ＝37.5% 答：若不打折按原价出售的利润率为37.5%。 47．商店有成本140元的复读机80台，按的利润定价出售，当卖掉后，剩下的打折销售，结果销售额是定价的，剩下的复读机是按定价打了多少折出售的？ 【答案】 八折 【分析】根据题意，总价不变，设未知数，根据利润率的公式，定价×80×＋定价×80×（1－）×折扣＝80×定价×，代入数据计算。 【解答】设剩下的复读机按定价x折扣出售 140×80××＋140×（80×）×＝140×80×× 11200××＋140×16×＝11200×× 12544＋3136＝15052.8 3136＝2508.8 2580.8÷3136 答：剩下的复读机是按定价打了八折出售的。 【点评】本题主要考查的是求利润率的方法，解题关键在于根据公式，列出等式，再计算。 48．商场进了一批羊绒大衣，如果每件按标价卖出，每件可得利润80元，如果在标价的基础上打七折出售，则亏损25元。每件羊绒大衣的进价是多少元？ 【答案】270元 【分析】把每件羊绒大衣的进价设为未知数，标价＝进价＋80元，现价占标价的70%，现价＝标价×70%，等量关系式：标价×70%＝进价－25元，据此列方程解答。 【解答】七折＝70% 解：设每件羊绒大衣的进价是x元。 （x＋80）×70%＝x－25 （x＋80）×0.7＝x－25 0.7x＋80×0.7＝x－25 0.7x＋56＝x－25 56＋25＝x－0.7x 0.3x＝81 x＝81÷0.3 x＝270 答：每件羊绒大衣的进价是270元。 【点评】表示出商品的标价和现价并分析题意找出等量关系式是解答题目的关键。 突破题型十三分段计算纳税问题 49．我国税法规定，公民月收入超过1600元的部分，分段按比例缴纳个人所得税，具体纳税标准如下。 税率 5% 10% 15% 对应纳税额 不超过500元（含500元） 超过部分500－2000元（含2000元） 超过部分2000－3500元（含3500元） （1）贝贝的爸爸上月收入是2400元，应缴纳税款多少元？ （2）妈妈上月税后共得2705元，她的月收入额是多少元？ 【答案】（1）55元 （2）2800元 【分析】（1）用贝贝爸爸上月收入2400－1600＝800元；求出应缴税款的钱数，800＞500，分两部分；用500×5%，求出500元应缴纳税款；再用800－500＝300元，求出超出500元的钱数，再用超出部分的钱数×15%，求出超出500元应缴纳税款，再把它们相加，即可求出应缴纳税款。 （2）用妈妈上月税后的钱数－1600元，求出应缴税款后得到的钱数；2705－1600＝1105元；先用500×5%＝25元，1105＋25＝1130元；1130元＞500元，用1130－500，求出超出500元后，税后得到的钱数，即1105＋25－500＝630元；如果超出500元，收入是2000元，应缴税款是2000×10%＝200元，实际收入是：2000－200＝1800元；630元＜1800元，所以妈妈第二部分的收入小于2000元；把第二部分的没缴纳税款的钱数看作单位“1”，税率10%，缴纳税款后的钱数是没缴纳税款钱数的（1－10%），对应的是630元，求单位“1”，用630÷（1－10%），求出没缴纳税款的钱数，再把它们相加，即可求出她月收入多少元。 【解答】（1）2400－1600＝800（元） 800＞500，分两部分； 500×5%＝25（元） （800－500）×10% ＝300×10% ＝30（元） 25＋30＝55（元） 答：应缴纳税款55元。 （2）2705－1600＝1105（元） 500×5%＝25（元） 1105＋25＝1130（元） 1130元＞500元，她的收入超过500元。 1130－500＝630（元） 2000×（1－10%） ＝2000×90% ＝1800（元） 630元＜1800元，所以她收入不超过2000元。 630÷（1－10%） ＝630÷0.9 ＝700（元） 1600＋500＋700 ＝2100＋700 ＝2800（元） 答：她月收入2800元。 50．按《个人所得税法》规定，个人月工资收入超过5000元的部分，应缴纳个人所得税。应纳税所得额不超过3000元的部分，按税率3%缴纳；应纳税所得额超过3000元不超过12000元的部分，按税率10%缴纳。 （1）李叔叔每月的工资收入是8200元，他每月应向国家缴纳多少元的个人所得税？ （2）张阿姨每月工资收入7600元，缴纳个人所得税后的收入是多少元？ 【答案】（1）110元；（2）7522元 【分析】（1）将李叔叔月工资减去5000元，求出应纳税所得额。将应纳税所得额减去3000元，求出应纳税所得额超过3000元不超过12000元的部分。将3000元乘税率3%，再加上应纳税所得额超过3000元不超过12000元的部分乘10%，求出他每月应向国家缴纳多少元的个人所得税； （2）将张阿姨的工资减去5000元，求出应纳税所得额，再将应纳税所得额乘税率3%，求出应纳多少税。将工资减去税，求出缴纳个人所得税后的收入是多少元。 【解答】（1）8200－5000－3000＝200（元） 3000×3%＋200×10% ＝90＋20 ＝110（元） 答：他每月应向国家缴纳110元的个人所得税。 （2）（7600－5000）×3% ＝2600×3% ＝78（元） 7600－78＝7522（元） 答：缴纳个人所得税后的收入是7522元。 51．李林为一家公司设计平面广告图，公司付给他报酬5400元，按照规定超过1000元的部分应按的税率缴纳个人所得税。李林在这次设计工作中，实际获得报酬多少元？ 【答案】4520元 【分析】先用5400减去1000，计算出超过免税部分的收入，再根据应纳税额收入税率，计算出李林应缴纳的税款，最后用5400元减去应缴纳的税款，计算出实际获得报酬多少元。 【解答】 （元） 答：实际获得报酬4520元。 52．自2019年1月1日起，计算个人所得税应纳税所得额，在5000元基本减除费用扣除和“三险一金”等专项扣除外，还可享受子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或住房租金、赡养老人等专项附加扣除，即应纳税所得额＝月度收入－5000元（起征点）－专项扣除－专项附加扣除。丁丁爸爸月收入20000元，专项扣除3577.5元，首套房贷扣除1000元，子女教育扣除1000元，赡养老人扣除1000元。丁丁爸爸每月缴纳个人所得税多少钱？ 全月应纳税所得额（含税） 税率 不超过3000元部分 3% 超过3000元不超过12000元的部分 10% 超过12000元不超过25000元的部分 20% 【答案】632.25元 【分析】根据题意，首套房贷扣除1000元，子女教育扣除1000元，赡养老人扣除1000元，专项附加扣除共计元，全月应纳税所得额为元，分两部分缴税，不超过3000元部分税率为3%，超过3000元不超过12000元的部分税率为10%，求一个数的百分之几是多少，用乘法计算，再将两部分相加，即为丁丁爸爸每月应缴纳个人所得税的钱数。 【解答】 （元） （元） 答：丁丁爸爸每月缴纳个人所得税632.25元。 突破题型十四选择最佳的储蓄方案 53．小英有2000元钱，打算存入银行5年，有两种储存方式。第一种方式，五年期整存整取，当时年利率是5.25%；第二种方式，先存一年期的，当时年利率是3.25%，每年到期后把本金和利息取出来合在一起，再存入一年，这样一年一年地存下去，也共存5年。如果假设这5年内一年期的年利率保持不变，那么用哪种存法得到的利息较多？ 【答案】五年期整存整取 【分析】根据利息＝本金×利率×时间，求出存入银行5年到期的利息； 先求出存入一年到期的利息；再用本金＋利息，求出第二年存入的本金，再计算出第二年到期的利息；再用第二年的利息＋第二年存入的本金，求出第三年存入的本金；再计算出第三年到期的利息；再用第三年的本金＋第三年到期的利息，求出第四年存入的本金；再计算出第四年到期的利息；再用第四年利息＋第四年存入的利息，求出第五年存入的本金，再计算出第五年到期的利息，再把这五年的利息相加，求出一共五年得到的利息，再进行比较，即可解答。 【解答】存取5年： 2000×5.25%×5 ＝105×5 ＝525（元） 一年一存： 第一年：存入2000元： 2000×3.25%×1 ＝65×1 ＝65（元） 第二年：存入：2000＋65＝2065（元） 2065×3.25%×1 ≈67.11×1 ＝67.11（元） 第三年：存入：2065＋67.11＝2132.11（元） 2132.11×3.25%×1 ≈69.29×1 ＝69.29（元） 第四年：存入：2132.11＋69.29＝2201.4（元） 2201.4×3.25%×1 ≈71.55×1 ＝71.55（元） 第五年：存入：2201.4＋71.55＝2272.95（元） 2272.95×3.25%×1 ≈73.87×1 ＝73.87（元） 65＋67.11＋69.29＋71.55＋73.87 ＝132.11＋69.29＋71.55＋73.87 ＝201.4＋71.55＋73.87 ＝272.95＋73.87 ＝346.82（元） 525＞346.82，五年期整存整取利息高。 答：五年期整存整取利息高。 54．王叔叔和李阿姨准备到银行各存1万元，存期两年。按哪种方式存款，利息会多一些？（假设转存时年利率不变） 存期 一年 两年 年利率 1.75% 2.25% 王叔叔说：“我存定期两年。” 李阿姨说：“我先存定期一年，取出利息，连同本金再存一年，这样利息会多一些。” 【答案】王叔叔 【分析】王叔叔：根据利息＝本金×利率×时间，代入数据，求出王叔叔存定期两年的利息； 李阿姨：先计算存期一年到期的利息和本金；再计算出利息和本金存一年到期的利息，把两年得到的利息加起来，就是李阿姨得到的利息，再和王叔叔到期利息和本金比较，即可解答。 【解答】王叔叔： 10000×2.25%×2 ＝225×2 ＝450（元） 李阿姨： 10000×1.75%×1 ＝175×1 ＝175（元） （10000＋175）×1.75%×1 ＝10175×1.75%×1 ≈178.06×1 ＝178.06（元） 175＋178.06＝353.06（元） 450＞353.06，王叔叔的存款方式利息会多些。 答：王叔叔的存款方式利息会多些。 55．桐桐的姐姐在读研究生的第一学期获得奖学金8000元，经全家一致同意把这笔钱存入银行。谁的意见最合适呢？ 银行利率 一年：3.8% 二年：4.0% 三年：4.2% 【答案】爷爷 【分析】根据本金×利率×时间求出利息，爷爷建议存3年，则用奖学金＋奖学金×3年利率×3年即可求出爷爷的建议可得到的本息； 妈妈建议先存1年，到期时再连本带息存2年，则先用奖学金＋奖学金×1年利率×1年即可求出1年的本息，再用1年的本息＋1年的本息×2年利率×2年即可求出妈妈的建议可得到的本息； 桐桐建议存1年定期，每次到期后再连本带息存1年定期，共存3年，则先用奖学金＋奖学金×1年利率×1年即可求出第1年的本息，再用第1年的本息＋第1年的本息×1年利率×1年即可求出第2年的本息，然后用第2年的本息＋第2年的本息×1年利率×1年即可求出第3年的本息，也就是桐桐的建议可得到的本息。最后比较三种结果即可。 【解答】爷爷：8000＋8000×4.2%×3 ＝8000＋1008 ＝9008（元） 妈妈：8000＋8000×3.8%×1 ＝8000＋304 ＝8304（元） 8304＋8304×4.0%×2 ＝8304＋664.32 ＝8968.32（元） 桐桐：8000＋8000×3.8%×1 ＝8000＋304 ＝8304（元） 8304＋8304×3.8%×1 ＝8304＋315.552 ≈8619.55（元） 8619.55＋8619.55×3.8%×1 ＝8619.55＋327.5429 ≈8947.09（元） 8947.09＜8968.32＜9008 答：爷爷的意见最合适，因为爷爷的建议获得的利息最多。 56．今年银行的利率分别是：定期一年1.8%，定期两年2.15%，小明家要存20000元定期。爸爸妈妈有不同的方案。 （1）妈妈计划用20000元先存一年定期，到期后连本带利再存一年定期，两年一共可得多少利息？ （2）爸爸认为用20000元直接存两年的定期。到期可得利息多少？如果你是小明，你会支持谁的方案 【答案】（1）726.48元； （2）860元，支持爸爸 【分析】利息＝本金×时间×利率。本息＝本金＋利息。 （1）两年妈妈一共取得的利息＝第一年的本金和利息×时间×利率＋第一年的利息。 （2）根据公式，求出爸爸的利息，再与妈妈的利息相比较，即可解答。 【解答】（1）20000×1×1.8%＝360（元） 20000＋360＝20360（元） 20360×1×1.8%＝366.48（元） 360＋366.48＝726.48（元） 答：两年一共可得726.48元。 （2）20000×2×2.15%＝860（元） 860元＞726.48元，爸爸获得的利息高于妈妈获得的利息。 答：到期后可利息860元，如果我是小明，会支持爸爸的方案。 专题三圆柱与圆锥 突破题型一圆柱的认识及特征 1．圆柱的侧面是一个( )面，把它沿高展开，如果得到一个长方形，那么长方形的长等于圆柱的( )，宽等于圆柱的( )。 【答案】曲 底面周长 高 【解答】 如图所示：圆柱的侧面是一个曲面，把它沿高展开，如果得到一个长方形，那么长方形的长等于圆柱的底面周长，宽等于圆柱的高。 2．下图是一个蛋糕盒，盒上扎了一条漂亮的丝带，已知蛋糕盒底面周长是94.2cm，高是16cm，接头处用去20cm，这条丝带长( )m。 【答案】3.88 【分析】把这个蛋糕盒看作是一个圆柱，根据圆的周长＝πd，用圆的周长除以3.14计算出蛋糕盒底的直径；要求这条丝带的长度也就是求8条直径加上8条高加上接头处的长度总和。 【解答】蛋糕盒底的直径：94.2÷3.14＝30（cm） 30×8＋16×8＋20 ＝240＋128＋20 ＝388（cm） 388cm＝3.88m 因此这条丝带长3.88m。 3．如图，一个长方体纸箱，里面恰好可以装下6桶A种饮料。如果改装B种饮料，最多可以装( )桶。 【答案】20 【分析】长方体恰好可以装下6桶A种饮料，可计算出该长方体纸箱的长为（10×3）厘米，长方体的宽为（2×10）厘米，长方体的高为14厘米；如果按原来的方法将B种饮料直立摆放，长方体的长可以被充分利用，但长方体的宽和高都会存在较多的剩余空间；如果改成将B饮料桶的高沿着长方体的宽进行摆放，长和宽都可以被充分利用，且高剩余空间也比较小，能够保证纸箱的空间被充分利用。 【解答】纸箱长：3×10＝30（厘米） 纸箱宽：2×10＝20（厘米） 纸箱高：14厘米 将B种饮料的高沿长方体的宽进行摆放。 长可以摆放：30÷6＝5（桶） 宽可以摆放：20÷10＝2（桶） 高可以摆放：14÷6＝2（桶）……2（厘米） 最多可以装：5×2×2＝20（桶） 因此最多可以装20桶。 突破题型二圆柱的展开图 4．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，已知它的底面周长是31.4分米，则这个圆柱底面直径和高的比是( )。 【答案】50∶157 【分析】根据正方形的特征可知，圆柱的底面周长等于圆柱的高，所以根据圆周长公式：C＝πd，用31.4÷3.14即可求出底面直径，进而写出圆柱底面直径和高的比，再化简即可；化简比根据比的基本性质作答，即比的前项和后项同时乘或除以一个数（0除外），比值不变。 【解答】31.4÷3.14＝10（分米） 10∶31.4 ＝（10×5）∶（31.4×5） ＝50∶157 这个圆柱底面直径和高的比是50∶157。 5．如图，图（2）是图（1）的侧面展开图。一只昆虫沿着圆柱的侧面，从A点沿最短的距离爬到B点。B点在图（2）中( )的位置（填序号）。 【答案】③ 【分析】如图所示：要求昆虫爬行的距离最短，将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果。 【解答】据分析，从A点沿最短的距离爬到B点，B点在图（2）中③的位置。 6．圆柱的侧面沿一条高展开后是一个( )形，这个( )形的长等于圆柱的( )，宽等于圆柱的( )。 【答案】长方形 长方形 底面周长 高 【分析】圆柱的侧面展开图是一个长方形，这个长方形的长是圆柱的底面圆周长，宽是圆柱的高。据此可得出答案。 【解答】圆柱的侧面沿一条高展开后是一个长方形，这个长方形的长等于圆柱的底面圆周长，宽等于圆柱的高。 突破题型三圆柱的侧面积 7．一个圆柱的底面周长是3分米，高是3分米，侧面是( )，侧面积是( )平方分米。 【答案】长方形 9 【分析】圆柱沿高剪开，侧面是长方形，圆柱侧面积＝底面周长×高，据此解答即可。 【解答】侧面积：（平方分米） 所以侧面是长方形，侧面积是9平方分米。 8．一个压路机的前轮是圆柱形的，轮宽1.2米，半径是4分米。前轮滚动一周，压路的面积是( )平方米。 【答案】3.0144 【分析】求压路面的面积，就是求这个压路机的前轮的侧面积，因为前轮是圆柱形，所以根据圆柱的侧面积公式：侧面积＝底面周长×高，代入数据，即可解答，注意单位名数的统一。 【解答】4分米＝0.4米 3.14×0.4×2×1.2 ＝1.256×2×1.2 ＝2.512×1.2 ＝3.0144（平方米） 压路的面积是3.0144平方米。 9．有一个底面直径是3cm的圆柱形玩具，高8cm，滚动一周后前进了( )cm，压过的面积是( )cm2。 【答案】9.42 75.36 【分析】滚动一周前进的距离等于圆柱形玩具的底面周长，压过的面积相当于圆柱的侧面积，根据圆柱底面周长＝圆周率×底面直径，圆柱侧面积＝底面周长×高，列式计算即可。 【解答】3.14×3＝9.42（cm） 9.42×8＝75.36（cm2） 滚动一周后前进了9.42cm，压过的面积是75.36cm2。 突破题型四圆柱的表面积 10．一个蔬菜大棚（如图），长20m，横截面是一个半径为2m的半圆。搭成这个大棚至少需要塑料薄膜( )m2（取整数），大棚种植面积是( )m2。 【答案】139 80 【分析】根据题意可知，需要塑料薄膜的面积，就是求底面半径是2m，高是20m的圆柱的表面积的一班；根据圆柱的表面积公式：表面积＝底面积×2＋侧面积，代入数据，求出塑料薄膜的面积，保留整数应该采取进一法；大棚种植面积，就是一个长是20m，宽等底面直径的长方形面积，根据长方形面积公式：面积＝长×宽，代入数据，即可解答。 【解答】（3.14×22×2＋3.14×2×2×20）÷2 ＝（3.14×4×2＋6.28×2×20）÷2 ＝（12.56×2＋12.56×20）÷2 ＝（25.12＋251.2）÷2 ＝276.32÷2 ＝138.16 ≈139（m2） 20×2×2 ＝40×2 ＝80（m2） 搭成这个大棚至少需要塑料薄膜139m2，大棚种植面积是80m2。 11．一根圆柱形木料的底面半径是0.5米，长是2米。将它截成4段，这些木料的表面积之和比原木料的表面积增加了( )平方米。 【答案】4.71 【分析】将圆柱形木料截成4段，要截3次，每截1次增加2个圆柱的底面积，截3次表面积就增加了3×2＝6个底面积，根据圆的面积：S＝πr2，代入数据求出底面积，再用底面积×6即可。 【解答】（4－1）×2 ＝3×2 ＝6（个） 3.14×0.52×6 ＝3.14×0.25×6 ＝4.71（平方米） 这些木料的表面积之和比原木料的表面积增加了4.71平方米。 12．一顶帽子，上面是圆柱形，用黑布做；帽檐部分是圆环，用黄色布做（如图，单位：cm）。做这顶帽子所用的黑布与黄布相差( )cm2。 【答案】53.38 【分析】从图中可知，黑布的面积＝圆柱的侧面积＋圆柱的一个底面积，黄布的面积＝圆环的面积；根据圆柱的侧面积公式S侧＝πdh，圆柱的底面积公式S底＝πr2，圆环的面积公式S环＝π（R2－r2） ，代入数据计算，分别求出黑布与黄布的面积，再相减即可。 【解答】18÷2＝9（cm） 9＋8＝17（cm） 黑布的面积： 3.14×18×8＋3.14×92 ＝56.52×8＋3.14×81 ＝452.16＋254.34 ＝706.5（cm2） 黄布的面积： 3.14×（172－92） ＝3.14×（289－81） ＝3.14×208 ＝653.12（cm2） 相差：706.5－653.12＝53.38（cm2） 做这顶帽子所用的黑布与黄布相差53.38cm2。 突破题型五含圆柱组合体的表面积 13．如图，将三个圆柱叠在一起，表面积减少了( )平方分米。 【答案】31.4 【分析】通过观察图形可知，把三个小、中、大圆柱摞起来，表面积比原来减少了小、中圆柱的两个底面的面积，根据圆的面积公式：S＝πr2，把数据代入公式解答。 【解答】3.14×（2÷2）2×2＋3.14×（4÷2）2×2 ＝3.14×1×2＋3.14×4×2 ＝6.28＋25.12 ＝31.4（平方分米） 则表面积减少了31.4平方分米。 【点评】此题主要考查圆柱表面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 14．下图所示的物体是由一个正方体和一个圆柱体组成，正方体的棱长是，圆柱体的底面直径和高均为，那么这个物体的表面积是( )平方厘米。（取3.14） 【答案】2714 【分析】将圆柱上边底面平移到下边，就能组成完整的正方体表面积，这个物体的表面积包括完整的正方体表面积和圆柱的侧面积，据此列式计算即可。 【解答】20×20×6＋3.14×10×10 ＝2400＋314 ＝2714（平方厘米） 那么这个物体的表面积是2714平方厘米。 【点评】本题考查了组合体的表面积，圆柱侧面积＝底面周长×高。 15．有一个如图所示的箱子，其上半部分的形状是一个圆柱的一半，下半部分是以一个棱长为1米的正方体，已知每涂1平方米需要油漆0.5千克，那么要把这个箱子的外表面都涂上油漆，共需要油漆 千克。（π取3.14） 【答案】3.6775 【分析】根据题意可知，上半部分要涂色的面积是一个圆柱的表面积的一半，下半部分要涂色的面积是正方体的5个面的面积；根据圆柱的表面积公式：S＝2πr2＋πdh，代入数据再除以2即可求出上半部分涂色的面积；然后先用1×1求出正方体一个面的面积，再乘5即可求出下半部分涂色的面积；再用加法即可求出总面积，然后乘0.5千克，即可求出油漆的总千克数。 【解答】2×3.14×（1÷2）2＋3.14×1×1 ＝2×3.14×0.52＋3.14×1×1 ＝2×3.14×0.25＋3.14×1×1 ＝1.57＋3.14 ＝4.71（平方米） 4.71÷2＝2.355（平方米） 1×1×5＝5（平方米） 2.355＋5＝7.355（平方米） 7.355×0.5＝3.6775（千克） 共需要油漆3.6775千克。 【点评】本题考查了组合体表面积的计算，掌握相应的公式是解答本题的关键。 突破题型六圆柱的体积 16．如图，这是一个圆柱的表面展开图，它的侧面积是( )平方厘米，体积是( )立方厘米。 【答案】251.2 502.4 【分析】从图中可知，圆柱的侧面沿高展开是一个长方形，这个长方形的长等于圆柱的底面周长，长方形的宽等于圆柱的高； 圆柱的侧面积等于长方形的面积，根据长方形的面积公式S＝ab，求出它的侧面积； 根据圆的周长公式C＝2πr可知，r＝C÷π÷2，由此求出圆柱的底面半径； 根据圆柱的体积公式V＝πr2h，求出它的体积。 【解答】圆柱的侧面积：25.12×10＝251.2（平方厘米） 圆柱的底面半径：25.12÷3.14÷2＝4（厘米） 圆柱的体积： 3.14×42×10 ＝3.14×16×10 ＝502.4（立方厘米） 它的侧面积是251.2平方厘米，体积是502.4立方厘米。 17．把一个底面直径为4cm的圆柱切成两个半圆柱，表面积增加了48cm2，原来圆柱的表面积是( )cm2，体积是( )cm3。 【答案】100.48 75.36 【分析】一个圆柱切成两个半圆柱，增加了两个长方形的面积，长方形的宽是圆柱的底面直径，长方形的长是圆柱的高，圆柱的体积不变。原来圆柱的表面积＝2个底面面积＋圆柱的侧面积，圆柱的体积＝底面积×高，圆的面积＝圆周率×半径的平方，据此代入数据解答。 【解答】48÷2÷4＝6（cm） 3.14×22×2＋3.14×4×6 ＝3.14×4×2＋12.56×6 ＝25.12＋75.36 ＝100.48（cm2） 3.14×22×6 ＝3.14×4×6 ＝12.56×6 ＝75.36（cm3） 原来圆柱的表面积是100.48cm2，体积是75.36cm3。 18．一个半径3cm，高10cm圆柱的展开图如图所示，这个圆柱的侧面展开图的长是( )cm，宽是( )cm，这个圆柱的侧面积是( )cm2，表面积是( )cm2，体积是( )cm3。 【答案】18.84 10 188.4 244.92 282.6 【分析】圆柱的侧面展开图的长就是圆柱的底面周长，宽是圆柱的高，根据，，圆柱体积公式，代入数据计算即可得解。 【解答】底面周长：2×3.14×3 ＝6.28×3 ＝18.84（cm） 侧面积：18.84×10＝188.4（cm2） 表面积：3.14×3×3×2＋188.4 ＝56.52＋188.4 ＝244.92（cm2） 体积：3.14×32×10 ＝3.14×9×10 ＝28.26×10 ＝282.6（cm3） 这个圆柱的侧面展开图的长是18.84cm，宽是10cm，这个圆柱的侧面积是188.4cm2，表面积是244.92cm2，体积是282.6cm3。 突破题型七圆柱的容积 19．如图所示，一种饮料瓶，容积是200毫升，瓶身是圆柱形。将该瓶正放时饮料高20厘米，倒放时余部分高5厘米，瓶内的饮料是( )毫升。 【答案】160 【分析】如题中图所示，左图中20厘米高的饮料以上至瓶口部分的容积相当于右图中上面5厘米高的那部分的容积，饮料瓶的容积＝饮料的容积＋空余部分的容积，两部分底面积相同，容积比＝高之比，求出两部分的高度比为20∶5＝4∶1，也就是容积之比为4∶1；据此用200÷（4＋1）求出每份是多少，进而求出4份，也就是饮料的容积。 【解答】20∶5 ＝（20÷5）∶（5÷5） ＝4∶1 200÷（4＋1） ＝200÷5 ＝40（毫升） 40×4＝160（毫升） 瓶内的饮料是160毫升。 【点评】解答本题的关键是明确空余部分容积相当于右图中上面5厘米高的那部分的容积。 20．一整瓶水，喝去一部分后，剩余的如图所示，喝去( )mL水。 【答案】282.6 【分析】如右图所示，喝去的水也形成一个圆柱体，底面直径为6cm，高为30－20＝10cm。 根据圆柱的体积公式V＝πr2h，求出体积，再根据“1cm3＝1mL”换算单位即可。 【解答】3.14×（6÷2）2×（30－20） ＝3.14×32×10 ＝3.14×9×10 ＝28.26×10 ＝282.6（cm3） 282.6cm3＝282.6mL 喝去282.6mL水。 21．一个无盖的圆柱形铁皮水桶，底面半径2dm，高8dm，做这个水桶至少需要( )dm2的铁皮，这个水桶的容积是( )L。 【答案】113.04 100.48 【分析】求做无盖圆柱形铁皮水桶需要铁皮的面积，就是求这个无盖圆柱形铁皮水桶的表面积，根据圆柱的表面积公式：表面积＝底面积＋侧面积，代入数据，求出需要铁皮的面积；再根据圆柱的容积公式：容积＝底面积×高，代入数据，求出圆柱形铁桶的容积，注意单位名数的换算。 【解答】3.14×22＋3.14×2×2×8 ＝3.14×4＋6.28×2×8 ＝12.56＋12.56×8 ＝12.56＋100.48 ＝113.04（dm2） 3.14×22×8 ＝3.14×4×8 ＝12.56×8 ＝100.48（dm3） 100.48dm3＝100.48L 一个无盖的圆柱形铁皮水桶，底面半径2dm，高8dm，做这个水桶至少需要113.04dm2，这个水桶的容积是100.48L。 突破题型八含圆柱立体图形的切拼 22．一根圆柱形木料，底面积是75cm2，长是90cm，它的体积是( )cm3，如果把它平均锯成3段，需要锯( )次，它的表面积就会增加( )cm2。 【答案】6750 2 300 【分析】根据圆柱的体积＝底面积×高，代入数据求出木料的体积；根据题意，把圆柱形木料锯成3段，要锯2次；每锯一次增加2个截面，锯2次增加4个截面，即表面积会增加4个底面的面积，据此解答。 【解答】75×90＝6750（cm3） （3－1）×2 ＝2×2 ＝4（面） 4×75＝300（cm2） 一根圆柱形木料，底面积是75cm2，长是90cm，它的体积是6750cm3，如果把它平均锯成3段，需要锯2次，它的表面积就会增加300cm2。 23．将一个圆柱高5厘米，沿底面半径切成两个半圆柱，表面积增加了40平方厘米，这个圆柱的体积为( )立方厘米。 【答案】62.8 【分析】把圆柱体沿底面半径切割成两个半圆柱体，横截面是长方形，则表面积增加两个长方形的面积，两个长方形完全一样，长等于圆柱的高，宽等于圆柱的底面直径，则用增加的表面积除以2可得一个长方形的面积，再用一个长方形的面积除以圆柱的高，可得圆柱的底面直径，直径除以2得到半径，再根据圆柱体积公式代入计算即可得到圆柱的体积。 【解答】 （厘米） （立方厘米） 这个圆柱的体积为62.8立方厘米。 24．三个完全一样的圆柱能拼成一个长9厘米的圆柱，但表面积减少50.24平方厘米，原来一个圆柱的体积是( )。 【答案】37.68立方厘米/37.68cm3 【分析】根据题意，把三个完全一样的圆柱能拼成一个长9厘米的圆柱，那么表面积减少了4个圆柱的底面积；用减少的表面积除以4，即可求出圆柱的底面积； 拼成的圆柱的高是原来一个圆柱高的3倍，据此求出原来一个圆柱的高； 最后根据圆柱的体积公式V＝Sh，求出原来一个圆柱的体积。 【解答】圆柱的底面积： 50.24÷4＝12.56（平方厘米） 原来一个圆柱的高： 9÷3＝3（厘米） 原来一个圆柱的体积： 12.56×3＝37.68（立方厘米） 原来一个圆柱的体积是37.68立方厘米。 突破题型九圆锥的认识及特征 25．下面哪些立体图形是圆锥？是的在括号里画“√”，不是的在括号里画“×”。 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )  ( ) 发现：圆锥有( )个底面，且底面是一个( )，圆锥的侧面是一个( )面。 【答案】× × √ √ × × 1 圆 曲 【分析】圆锥底面是圆，上面是锥状体，圆锥的侧面是个曲面。据此判断。 【解答】     发现：圆锥有（1）个底面，且底面是一个（圆），圆锥的侧面是一个（曲）面。 26．如图，将直角三角形以一条直角边所在的直线为轴旋转一周，可以得到一个圆锥，圆锥的底面直径是( )cm，高是( )cm。 【答案】4 4 【分析】看图可知，圆锥的底面半径是2cm，根据半径与直径的关系确定直径；圆锥的高是4cm，据此填空。 【解答】（cm） 将直角三角形以一条直角边所在的直线为轴旋转一周，可以得到一个圆锥，圆锥的底面直径是4cm，高是4cm。 27．一个长方形A4纸，以长边为轴旋转360°后得到的图形是( )。以一个直角三角形的一条直角边为轴旋转360°后得到的图形是( )。 【答案】圆柱 圆锥 【解答】根据对图形的认识可知：    一个长方形A4纸，以长边为轴旋转360°后得到的图形是圆柱。以一个直角三角形的一条直角边为轴旋转360°后得到的图形是圆锥。 突破题型十圆柱与圆锥体积的关系 28．将一个体积是24立方分米的圆柱削成一个最大的圆锥，削去部分的体积是( )立方分米。 【答案】16 【分析】根据题意，把一个圆柱削成一个最大的圆锥，则圆锥和圆柱等底面积等高；根据V柱＝Sh，V锥＝Sh可知，等底等高的圆锥的体积是圆柱体积的，根据求一个数的几分之几是多少，用圆柱的体积乘，求出这个圆锥的体积；再用圆柱的体积减去圆锥的体积，求出削去部分的体积。 【解答】24－24× ＝24－8 ＝16（立方分米） 削去部分的体积是16立方分米。 29．如图所示绕木棒旋转后，甲、乙两部分所形成的立体图形的体积之比是( )。 【答案】1∶2 【分析】甲旋转后得到的立体图形是圆锥，乙旋转后得到的立体图形是等底等高的圆柱减去圆锥后剩余的部分，等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍，假设甲所形成的立体图形的体积为1，则乙所形成的立体图形的体积为2，据此解答即可。 【解答】假设甲所形成的立体图形的体积为1 1∶（3－1）＝1∶2 则甲、乙两部分所形成的立体图形的体积之比是1∶2。 30．一个圆柱和一个圆锥等底等高，已知圆柱体积比圆锥体积多32立方厘米，圆柱的体积是( )立方厘米。 【答案】48 【分析】等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍，把圆锥的体积看作1倍数，则圆柱的体积是3倍数，圆柱的体积比圆锥的体积多（3－1）倍数，对应的是32立方厘米，用32除以（3－1）求出1倍数，也就是圆锥的体积，再用圆锥的体积乘3即可求出圆柱的体积。 【解答】32÷（3－1）×3 ＝32÷2×3 ＝16×3 ＝48（立方厘米） 所以圆柱的体积是48立方厘米。 突破题型十一圆锥的体积或容积 31．如图，将10毫升酒装入一个圆锥形容器中，酒深正好占容器深的。请问：再添入( )毫升酒，可装满此容器？ 【答案】70 【分析】根据圆锥的体积公式：v＝sh，所以当高为原来的一半时，其底面圆的半径将为原来的一半，根据圆的面积公式则其底面积将为原来的四分之一，所以其体积将为原来的八分之一。因此，根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法求出容器的容积，再减去已有酒的体积，就得到还要添入酒的体积。 【解答】据分析可知，10毫升占容器容积的； （毫升） 将10毫升酒装入一个圆锥形容器中，酒深正好占容器深的。再添入70毫升酒，可装满此容器。 【点评】本题的关键是要找出容器容积与已有酒的体积的关系，根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法解答即可。 32．一个圆锥形钢铸零件，底面直径是4厘米，高是6厘米，每立方厘米钢重8克，这个钢铸零件重( )克。 【答案】200.96 【分析】根据圆锥的体积，代入数据计算得出圆锥的体积，再乘8即可。 【解答】 （立方厘米） 25.12×8＝200.96（克） 则这个钢铸零件重200.96克。 33．一个长方体水箱，高15分米，里面水深6分米，把一个圆柱体铁块完全浸没在水中后，这时水面高度是9.6分米，接着又把一个圆锥体铁块完全浸没在水中。已知圆柱体铁块与圆锥体铁块底面半径的比是，高的比是，现在水面的高度是( )分米。 【答案】10.4 【分析】根据题意，假设圆柱的底面半径为3，高为2，则圆锥的底面半径为2，高为3，根据圆柱的体积计算公式“”、圆锥的体积计算公式“”、代入数据即可求出圆柱铁块与圆锥铁块的体积，进而求出它们的体积之比，然后化简；放入物体的体积等于水上升部分的体积，根据底面积相同，体积之比等于高之比，所以体积之比9∶2也就是它们的上升的高度之比9∶2；把圆柱体铁块看作9份，圆锥体铁块看作2份，用水面升高的高度分米，除以圆柱体铁块的份数乘圆锥体铁块的份数就是此时水面上升的高度，再加上9.6分米即为现在的水面高度。 【解答】圆柱铁块的体积∶圆锥铁块的体积 （分米） （分米） 现在水面高度是10.4分米。 【点评】解答本题的关键是根据圆柱体积公式、圆锥体积公式及已知条件求出圆柱铁块与圆锥铁块的体积之比，再根据底面积相同，体积之比等于高之比，求出放入圆锥后对应升高的高度。 突破题型十二体积的等积变形问题 34．把一块体积是78.5立方厘米的长方体钢块，熔铸成一个底面周长是6.28厘米的圆锥。这个圆锥的高是( )厘米。（π取3.14） 【答案】75 【分析】把长方体钢块熔铸成一个圆锥，体积不变，即这个圆锥的体积是78.5立方厘米。圆锥的底面周长是6.28，根据圆的周长＝2πr，用6.28除以2π即可求出圆锥的底面半径，再根据圆的面积＝πr2即可求出圆锥的底面积。最后根据圆锥的体积＝底面积×高×，用78.5除以和底面积，即可求出圆锥的高。 【解答】6.28÷3.14÷2＝1（厘米） 3.14×12 ＝3.14×1 ＝3.14（平方厘米） 78.5÷÷3.14 ＝78.5×3÷3.14 ＝235.5÷3.14 ＝75（厘米） 则这个圆锥的高是75厘米。 35．一个圆柱的体积是36dm3，和它等底等高的圆锥的体积是( )dm3，如果把这个圆锥铸成一个高是4dm的长方体，那么长方体的底面积是( )dm2。 【答案】12 3 【分析】等底等高的圆柱体积是圆锥体积的3倍，据此求出圆锥的体积；把这个圆锥铸成一个高是4dm的长方体，长方体的体积和圆锥体积相等，再根据长方体体积＝底面积×高，求出长方体的底面积，据此解答即可。 【解答】圆锥体积：（dm3） 长方体底面积：（dm2） 【点评】本题考查圆柱、圆锥体积之间的关系、长方体的体积，解答本题的关键是掌握圆柱、圆锥体积之间的关系与长方体的体积计算公式。 36．小明把一个底面半径是5厘米，高是8厘米的圆柱形橡皮泥捏成一个圆锥形模型。这个模型的体积是( )立方厘米；如果这个模型的底面半径也是5厘米，则它的高是 ( )厘米。 【答案】628 24 【分析】根据题意，把一个圆柱形橡皮泥捏成一个圆锥形模型，这个橡皮泥的体积不变，即圆锥的体积等于圆柱的体积，根据圆柱的体积公式V＝πr2h，求出这个模型的体积； 已知圆柱和圆锥的底面半径都是5厘米，则它们的底面积相等；因为圆锥和圆柱等体积等底面积，那么圆锥的高等于圆柱高的3倍，据此解答。 【解答】橡皮泥的体积： 3.14×52×8 ＝3.14×25×8 ＝628（立方厘米） 圆锥的高：8×3＝24（厘米） 这个模型的体积是628（立方厘米），它的高是24厘米。 突破题型十三含圆锥立体图形的切拼 37．张师傅要将下面的正方体木块切割成一个最大的圆锥，切割成的圆锥的体积是( )cm3。 【答案】56.52 【分析】最大圆锥的底面直径等于正方体的棱长，高等于正方体的棱长，根据圆锥的体积＝πr2h，进行列式解答即可得到答案。 【解答】3.14×（6÷2）2××6 ＝3.14×9××6 ＝3.14×3×6 ＝3.14×18 ＝56.52（cm3） 切割成的圆锥的体积是56.52cm3。 38．一个木制圆锥形陀螺底面直径是6cm，高是4cm，沿底面直径把陀螺切成两个完全相同的两部分，表面积增加了( )，制作这个陀螺需要( )木料。 【答案】24cm2 37.68cm3 【分析】沿底面直径把陀螺切成两个完全相同的两部分，表面积增加了两个三角形的面积，三角形的底＝圆锥的底面直径＝6cm，三角形的高＝圆锥的高＝4cm，三角形的面积＝底×高÷2； 制作这个陀螺需要的材料大小即为圆锥的体积，圆锥的体积＝底面积×高÷3，据此代入数据进行解答。 【解答】6×4÷2×2＝24（cm2） 3.14×（6÷2）2×4÷3 ＝3.14×9×4÷3 ＝28.26×4÷3 ＝113.04÷3 ＝37.68（cm3） 所以，表面积增加了24cm2，制作这个陀螺需要37.68cm3木料。 39．有一块正方体木料的棱长是6分米。把它削成一个最大的圆锥体，要削去( )立方分米。 【答案】159.48 【分析】将正方体削成一个最大的圆锥体，圆锥的底面直径和高都等于正方体棱长，要削去的体积＝正方体体积－圆锥体积，正方体体积＝棱长×棱长×棱长，圆锥体积＝底面积×高÷3，据此列式计算。 【解答】6×6×6－3.14×（6÷2）2×6÷3 ＝216－3.14×32×6÷3 ＝216－3.14×9×6÷3 ＝216－56.52 ＝159.48（立方分米） 要削去159.48立方分米。 突破题型十四组合体的体积 40．下图是由一个圆柱与一个圆锥组成（单位：厘米），这个组合图形的体积是( )立方厘米。 【答案】160.14 【分析】根据圆锥的体积＝底面积×高÷3，可求得圆锥的体积； 根据圆柱的体积＝底面积×高求出圆柱的体积，再求和就是组合图形的体积。 【解答】组合图形的体积： （立方厘米） 所以这个组合图形的体积是160.14立方厘米。 【点评】本题考查圆柱、圆锥的体积，解答本题的关键是掌握圆柱、圆锥的体积计算公式。 41．整流罩是运载火箭的重要组成部分，位于运载火箭顶部，通常是由近似的圆柱和圆锥组成，起到有效保护的作用。下图是某型号运载火箭整流罩的示意图，这个整流罩的容积约是( )m3（得数保留整数，整流罩的厚度忽略不计）。 【答案】113 【分析】观察图形可知，这个整流罩的容积＝圆柱的容积＋圆锥的容积，根据圆柱的体积（容积）公式V＝πr2h，圆锥的体积（容积）公式V＝πr2h，代入数据计算，即可求解。 【解答】3.14×22×8＋×3.14×22×3 ＝3.14×4×8＋×3.14×4×3 ＝100.48＋12.56 ≈113（m3） 这个整流罩的容积约是113m3。 42．蒙古包也称“毡包”，是蒙古族的传统民居。如图，蒙古包可以看作是由一个圆柱和一个圆锥组成的。这个蒙古包内的空间大约是( )m3。 【答案】65.94 【分析】求这个蒙古包内的空间，也就是求圆柱和圆锥体积和，根据圆柱体积公式，和圆锥体积公式，将相关数据代入计算即可。 【解答】3.14×（6÷2）2×2＋×3.14×（6÷2）2×1 ＝3.14×9×2＋×3.14×9×1 ＝3.14×（18＋3） ＝65.94（） 所以，这个蒙古包内的空间大约是65.94。 突破题型十五不规则物体的体积测量问题 43．两个同样的量杯原来各盛有640mL水。现将两个等底等高的圆柱与圆锥零件分别放入这两个量杯中，圆柱放入后量杯水面刻度如图①所示，那么图②中圆锥放入后量杯水面刻度显示应是( )mL。 【答案】720 【分析】由图①可得，880mL＝原来水640mL＋圆柱的体积，因此用880－640即可求出圆柱的体积。等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍，据此用圆柱的体积除以3，求出圆锥的体积，最后用量杯原来的水的体积加圆锥的体积，可得出图②量杯水面刻度。 【解答】（880－640）÷3＋640 ＝240÷3＋640 ＝80＋640 ＝720（mL） 所以图②中圆锥放入后量杯水面刻度显示应是720mL。 44．有四个完全相同的圆柱体容器，先装入同样多的水，再分别往容器②、③、④中放入大小不同的两种钢球，水面高度变化如下图所示。现在容器④中的水面高度是( )厘米。 【答案】13 【分析】 由容器、可知，放入1个大球，水面上升了（12－8）厘米，由容器、可知，放入4个小球，水面上升的高度相当于放入1个大球水面上升的高度，那么只放入1个小球，水面上升的高度是放入1个大球水面上升高度的，所以用放入1个大球水面上升的高度除以4就是放入1个小球水面上升的高度，据此用容器水面的高度加上放入1个大球水面上升的高度，再加上放入1个小球水面上升的高度即可求解。 【解答】12－8＝4（厘米） 4÷4＝1（厘米） 8＋4＋1 ＝12＋1 ＝13（厘米） 所以现在容器④中的水面高度是13厘米。 45．如图，一个圆柱形容器的底面直径是40厘米，容器中水面的高度为10厘米，把底面直径为24厘米，高40厘米的铁块竖直放入后，铁块的上底面仍高于水面，这时水面升高了( )厘米。 【答案】5.625 【分析】根据圆柱的体积V＝πr2h可以求出容器内水的体积；放进去底面半径24厘米的圆柱体铁块后，铁块的上底面仍高于水面，说明这时候水的体积没变，但是水箱的底面积变小了，利用h＝V÷S，从而可以求出水此时的高度，最后用现在的水面高度减去原来的水面高度，由此解决问题。 【解答】3.14×（40÷2）2 ＝3.14×400 ＝1256（平方厘米） 1256×10＝12560（立方厘米） 3.14×（24÷2）2 ＝3.14×144 ＝452.16（平方厘米） 1256－452.16＝803.84（平方厘米） 12560÷803.84＝15.625（厘米） 15.625－10＝5.625（厘米） 这时水面升高5.625厘米。 【点评】抓住前后水的体积不变，原来底面积减少了圆柱体铁块的底面积部分，利用圆柱的体积公式即可求得底面积减少后的水深，由此即可解决问题。 突破题型十六表面积及组合体的表面积计算问题 46．求表面积。 【答案】196.25平方分米 【分析】由题可知，圆柱的高是10分米，直径是5分米，则半径为：5÷2＝2.5（分米），根据圆柱的表面积公式：S＝2πr2＋πdh，代入数据计算，即可求出圆柱的体积。 【解答】圆柱的表面积： 3.14×（5÷2）2×2＋3.14×5×10 ＝3.14×2.52×2＋3.14×5×10 ＝3.14×6.25×2＋15.7×10 ＝39.25＋157 ＝196.25（平方分米） 47．求下图所示几何体的表面积（单位：）。 【答案】168.84 【分析】观察图形可知，图形的表面积等于正方体表面积与圆柱侧面积之和，再根据正方体的表面积＝棱长×棱长×6，圆柱侧面积＝底面周长×高，进行解答即可。 【解答】正方体表面积： （cm2） 圆柱侧面积： （cm2） 几何体表面积： 48．求下面图形的表面积（单位：dm）。 【答案】210.24 【分析】由于长方体和圆柱体粘合在一起，所以圆柱体只需计算它的侧面积，正方体计算它的表面积，根据圆柱的侧面积＝底面周长×高，长方体的表面积公式：表面积＝长×宽×2＋长×高×2＋宽×高×2，把数据代入公式解答。 【解答】（10×5＋10×2＋5×2）×2 ＝（50＋20＋10）×2 ＝（70＋10）×2 ＝80×2 ＝160（dm2） 3.14×4×4 ＝12.56×4 ＝50.24（dm2） 160＋50.24＝210.24（dm2） 图形的表面积是210.24 dm2。 突破题型十七圆柱及含圆柱组合体的体积计算问题 49．求如图的体积。（π取3.14） 【答案】125.6 【分析】2个完全一样的原图立体图形可以拼成一个高为（12＋8）、底面直径是4的圆柱体，所以此图的体积是拼成的圆柱体积的一半；利用圆柱体的体积公式计算出体积即可。 【解答】 它的体积是125.6。 50．求图形的体积（单位：厘米）（π取3.14）。 【答案】214.2立方厘米 【分析】观察图形可知，图形的体积＝圆柱的体积×＋长方体的体积，根据圆柱的体积公式V＝πr2h，长方体的体积公式V＝abh，代入数据计算即可求解。 【解答】3.14×22×10×＋6×10×2 ＝3.14×4×10×＋60×2 ＝94.2＋120 ＝214.2（立方厘米） 图形的体积是214.2立方厘米。 51．求下面图形的体积。（单位：厘米） 【答案】66180立方厘米 【分析】由图可知，该图形的体积可由一个长70厘米，宽30厘米，高36厘米的长方体体积减去一个底面直径为20厘米，高为30厘米的圆柱体体积。根据及圆柱的体积公式代入数据解答。 【解答】 （立方厘米） （立方厘米） （立方厘米） 突破题型十八圆锥及含圆锥组合体的体积计算问题 52．计算如图图形的体积。 【答案】15.7cm3 【解答】根据圆柱的体积公式：V＝πr2h和圆锥的体积公式：V＝πr2h，代入公式计算。 【解答】3.14×（2÷2）2×4＋×3.14×（2÷2）2×3 ＝3.14×12×4＋×3.14×12×3 ＝3.14×1×4＋×3.14×1×3 ＝12.56＋3.14 ＝15.7（cm3） 图形的体积是15.7cm3。 53．求组合图形的体积。（单位：cm） 【答案】43.96cm3 【分析】观察图形可知，该组合图形的体积＝中间圆柱的体积＋两边的两个圆锥的体积，根据圆柱的体积公式：V＝πr2h，圆锥的体积公式：V＝πr2h，据此代入数值进行计算即可。 【解答】3.14×（2÷2）2×（18－3×2）＋×3.14×（2÷2）2×3×2 ＝3.14×12×（18－6）＋×3.14×12×3×2 ＝3.14×12×12＋×3.14×12×3×2 ＝3.14×1×12＋×3.14×1×3×2 ＝37.68＋6.28 ＝43.96（cm3） 54．求下列图形的体积。     【答案】圆柱：1130.4cm3；圆锥：753.6cm3 【分析】第一个图形是圆柱：根据圆柱的体积公式：体积＝底面积×高，代入数据，求出体积； 第二个图形是圆锥：根据圆锥的体积公式：体积＝底面积×高×，代入数据，即可解答。 【解答】3.14×62×10 ＝3.14×36×10 ＝113.04×10 ＝1130.4（cm3） 3.14×（12÷2）2×20× ＝3.14×62×20× ＝3.14×36×20× ＝113.04×20× ＝2260.8× ＝753.6（cm3） 圆柱的体积是1130.4cm3；圆锥的体积是753.6cm3。 专题四比例 突破题型一比与比例的区别和联系 1．一个比例的两个内项分别是8和6，两个比的比值都是，这个比例可能是（    ）。 A． B． C． 【答案】C 【分析】在比例中，两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项。比的前项除以后项所得商，叫做比值。据此解答即可。 【解答】A．在中，8和6是内项，16∶8＝16÷8＝2，2≠。所以A选项不符合题意。 B．在中，8是内项，6是外项，所以B选项不符合题意。 C．在中，8和6是内项，4∶8＝4÷8＝＝，6∶12＝6÷12＝＝，所以C选项符合题意。 故答案为：C 【点评】明确比例的各部分名称及比值的意义是解决此题的关键。 2．在8∶32，，这三个比中，能与16∶12组成比例的是（    ）。 A．8∶32 B． C． D．都不能 【答案】C 【分析】根据比例的意义：表示两个比相等的式子叫做比例，求出16∶12与选项中的各比的比值，据此解答。 【解答】16∶12＝ A．8∶32＝，与16∶12的比值不相等，所以16∶12和8∶32不能组成比例； B．＝4，与16∶12的比值不相等，所以16∶12和不能组成比例； C．＝，与16∶12的比值相等，能组成比例。 故答案为：C 【点评】本题主要考查比例的意义，注意判断能否组成比例可以用求比值的方法，求出比值，比值相等两个比就能组成比例。 3．下面（    ）中的两个比可以组成比例。 A．9∶12和6∶10 B．∶和∶ C．1.5∶3.5和0.9∶2.4 D．3.8∶2和19∶16 【答案】B 【分析】比的前项除以后项所得的商，叫做比值；表示两个比相等的式子叫做比例；比值相等的两个比可以组成比例。 分别算出四个选项中两个比的比值，比值相等的即可组成比例。 【解答】A．9∶12＝9÷12＝ 6∶10＝6÷10＝ 比值不相等，不能组成比例； B．∶＝÷＝×5＝ ∶＝÷＝×2＝ 比值相等，可以组成比例； C．1.5∶3.5＝1.5÷3.5＝ 0.9∶2.4＝0.9÷2.4＝ 比值不相等，不能组成比例； D．3.8∶2＝3.8÷2＝ 19∶16＝19÷16＝ 比值不相等，不能组成比例。 故答案为：B 【点评】本题考查判断两个比能否组成比例的方法，关键是掌握求比值的方法。 突破题型二比例的意义 4．用3、8、15、40四个数组成一个比例是（ ）。 【答案】3∶8＝15∶40（答案不唯一） 【分析】表示两个比相等的式子叫作比例，组成比例的四个数，叫作比例的项，两端的两项叫作比例的外项，中间的两项叫作比例的内项，最小数和最大数作为比例的外项，中间的两个数作为比例的内项，据此解答。 【解答】3∶8 ＝3÷8 ＝ 15∶40 ＝15÷40 ＝ 所以，用3、8、15、40四个数组成一个比例是3∶8＝15∶40。（答案不唯一） 5．红红用蜂蜜和水为家人调制了四杯蜂蜜水，蜂蜜和水的配比情况如下表所示。 第一杯 第二杯 第三杯 第四杯 蜂蜜（g） 12 12 15 18 水（g） 48 60 50 90 第（ ）杯和第（ ）杯的蜂蜜与水的质量比的比值相同，把它们组成一个比例是（ ）。 【答案】二 四 12∶60＝18∶90/18∶90＝12∶60 【分析】求比值：比的前项除以后项得到的商就是比值。可以是整数、小数或分数。 根据蜂蜜和水的配比情况及求比值的方法，分别求出蜂蜜与水的比值，再找出相同的，列出比例即可。 【解答】 12∶60＝18∶90或18∶90＝12∶60 第二杯和第四杯的蜂蜜与水的质量比的比值相同，把它们组成一个比例是12∶60＝18∶90（或18∶90＝12∶60）。 6．下图中小红身高与小树高的比是（ ），小红影长与小树影长的比是（ ），组成比例是（ ），还可以组成比例（ ）。             【答案】3∶4 3∶4 0.9∶1.2＝1.5∶2 1.5∶0.9＝2∶1.2 【分析】根据比的意义：两个量相除，叫做两个量的比。用小红的身高∶小树的高，小红影长∶小树影长，化简即可； 再根据比例的意义：表示两个比值相等的比，叫做比例，用小红的身高∶小树的高＝小红的影长∶小树的影长，也可以用小红的身高∶小红的影长＝小树的高∶小树的影长，据此解答（答案不唯一）。 【解答】1.5∶2 ＝（1.5×10）∶（2×10） ＝15∶20 ＝（15÷5）∶（20÷5） ＝3∶4 0.9∶1.2 ＝（0.9×10）∶（1.2×10） ＝9∶12 ＝（9÷3）∶（12÷3） ＝3∶4 0.9∶1.2＝1.5∶2 1.5∶0.9＝2∶1.2 小红身高与小树高的比是3∶4，小红影长与小树影长的比是3∶4，组成比例是0.9∶1.2＝1.5∶2，还可以组成比例1.5∶0.9＝2∶1.2。 突破题型三比例的基本性质 7．在一个比例中，两个内项的积是最小的质数，一个外项是5，则另一个外项是（ ）；16的因数有（ ）个，选取其中的四个组成比例是（ ）。 【答案】/0.4 5 2∶1＝16∶8 【分析】已知一个比例的两个内项的积是最小的质数即2，根据比例的基本性质，那么这个比例的两个外项的积也是2；用两个外项的积除以已知的一个外项，即可求出另一个外项。 先列举出16所有的因数，并数出个数；再根据比例的意义，从中找出两组比值相等的数，即可组成比例。 【解答】另一个外项是：2÷5＝ 16的因数：1，2，4，8，16；有5个。 2∶1＝2÷1＝2，16∶8＝16÷8＝2，比值相等，可以组成比例2∶1＝16∶8。 填空如下： 在一个比例中，两个内项的积是最小的质数，一个外项是5，则另一个外项是（）；16的因数有（5）个，选取其中的四个组成比例是（2∶1＝16∶8）。 （比例不唯一） 8．若7x＝8y（x和y都大于0），则x∶y等于（ ∶ ），若，则m×（ ）＝n×（ ）。 【答案】8 7 8 7 【分析】根据比例的基本性质：比例的两个内项之积等于两个外项之积，据此用比例的逆运算进行解答。 【解答】7x＝8y x∶y＝8∶7 ＝ m×6＝n×7 若7x＝8y（x和y都大于0），则x∶y等于8∶7，若＝，则m×6＝n×7。 9．在比例里，两个外项互为倒数，其中一个内项是，另一个内项是（ ）。 【答案】/0.4 【分析】如果两个数的乘积为1，我们就说这两个数互为倒数，则两个外项的乘积为1，在比例中，两个内项的乘积等于两个外项的乘积，则两个内项的乘积为1，所求内项＝1÷已知内项，据此解答。 【解答】分析可知，两个内项的乘积为1。 1÷ ＝1÷ ＝1× ＝ 所以，另一个内项是。 突破题型四正比例的认识和辨认 10．已知5＝（、均不为0），∶＝（ ），和成（ ）比例。 【答案】/0.05 正 【分析】比例的基本性质：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。 先根据比例的基本性质把5＝改写成比例式∶＝∶5，再根据求比值的方法求出∶的比值。因为和的比值一定，根据正比例意义的辨识方法，得出和成正比例。 正比例的意义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定（也就是商一定），这两种量成正比例关系。 【解答】由5＝可得： ∶＝∶5＝÷5＝×＝ 比值一定，则和成正比例。 填空如下： 已知5＝（、均不为0），∶＝（），和成（正）比例。 11．A÷5＝B（A、B都不等于0），那么A和B成（ ）比例关系。圆柱高一定，它的体积和（ ）成正比例。 【答案】正 底面积 【分析】可根据正比例的定义 “两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数比值一定，这两种量就叫做成正比例的量” 来进行分析。圆柱的体积＝底面积×高，则圆柱的高＝圆柱的体积÷底面积； 【解答】已知A÷5＝B（A、B都不等于0），可变形为A÷B＝5，也就是A和B相对应的比值一定，所以A和B成正比例关系。 根据圆柱的体积公式V＝S×h（其中V是体积，S是底面积，h是高），当圆柱的高h一定时，V÷S＝h（一定），即体积V和底面积S相对应的比值一定，所以它的体积和底面积成正比例。 即A÷5＝B（A、B都不等于0），那么A和B成正比例关系。圆柱高一定，它的体积和底面积成正比例。 12．若则x和y成 比例关系，x和y的大小关系是x y。（填“＞”“＜”或“＝”） 【答案】正 ＞ 【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，则成反比例；根据上一步求出的x、y的关系判断x、y的大小。 【解答】因为，所以，，（一定），商一定，所以x和y成正比例关系； 因为，所以x＞y。 突破题型五反比例的认识和辨认 13．如果和互为倒数，且＝，那么a＝（ ）。和成（ ）比例关系。 【答案】 反 【分析】根据倒数的意义可知，和互为倒数，则＝1；根据比例的基本性质把＝改写成两数相乘的形式，即＝6a，再把＝1代入式子中，计算出a的值。 判断两种相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值（商）一定，还是对应的乘积一定；如果是比值（商）一定，这两种相关联的量成正比例；如果是乘积一定，这两种相关联的量成反比例。据此得出和成什么比例关系。 【解答】由和互为倒数，可知＝1； 由＝可得出：＝6a； 把＝1代入＝6a中，即1＝6a，那么a＝。 因为＝1（一定），即乘积一定，所以和成反比例关系。 填空如下： 如果和互为倒数，且＝，那么a＝（）。和成（反）比例关系。 14．从家骑自行车到学校，车轮的直径和转动的圈数成（ ）比例关系，比值一定，比的前项和后项成（ ）比例关系。（均选填“正”或“反”） 【答案】反 正 【分析】判断两种相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值（商）一定，还是乘积一定；如果是比值（商）一定，则成正比例；如果是乘积一定，则成反比例，据此解答。 【解答】从家到学校的路程不变，车轮的直径××转动的圈数＝从家到学校的距离，则车轮的直径×转动的圈数＝从家到学校的距离÷（一定），因为乘积一定，所以从家骑自行车到学校，车轮的直径和转动的圈数成反比例关系；前项∶后项＝比值（一定），所以比值一定，比的前项和后项成正比例关系。 15．某商场所有物品都打同样的折扣销售。原价200元的衣服，现价140元。如果用a表示原价，b表示现价，用式子表示a和b之间的数量关系是（ ），a和b成（ ）比例关系。 【答案】a×70%＝b 正 【分析】用现价÷原价×100%，求出打几折；把原价看作单位“1”，用原价×折扣＝现价，据此用式子表示a和b之间的数量关系。判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。 【解答】140÷200×100% ＝0.7×100% ＝70% 70%就是七折。 a×70%＝b ＝70%（一定），则a和b成正比例。 某商场所有物品都打同样的折扣销售。原价200元的衣服，现价140元。如果用a表示原价，b表示现价，用式子表示a和b之间的数量关系是a×70%＝b，a和b成正比例关系。 突破题型六根据正反比例填表 16．表中，如果x和y成正比例，则？是（ ）；如果x和y成反比例，则？是（ ）。 x 3 4 y 2.4 ？ 【答案】3.2 1.8 【分析】乘积一定的两个量成反比例关系，比值（或商）一定的两个量成正比例关系。如果x和y成正比例，那么用2.4除以3，求出商，再将商乘4，即可求出第一空；如果x和y成反比例，那么先求出3和2.4的积，再除以4，即可求出第二空。 【解答】2.4÷3×4 ＝0.8×4 ＝3.2 3×2.4÷4 ＝7.2÷4 ＝1.8 所以如果x和y成正比例，则？是3.2；如果x和y成反比例，则？是1.8。 17．填空。 x 27 ？ y 3 9 （1）如果x和y成正比例，“？”处填 。 （2）如果x和y成反比例，“？”处填 。 【答案】（1）81 （2）9 【分析】（1）两个相关的量，如果它们的比值（商）一定，它们成正比例关系； （2）两个相关的量，如果它们的乘积一定，它们成反比例关系；据此解答。 【解答】（1）如果x和y成正比例，x和y的比值一定。 27∶3＝9，所以，x＝9×9＝81 x 27 81 y 3 9 即如果x和y成正比例，“？”处填81。 （2）如果x和y成反比例，x和y的乘积一定。 27×3＝81，所以，x＝81÷9＝9 x 27 9 y 3 9 即如果x和y成反比例，“？”处填9。 18．把相同体积的水倒入底面积不同的长方体容器中，变化情况如下表： 底面积/cm2 10 15 20 25 … 水高度/cm 45 30 22.5 18 … 如果长方体容器底面积用S表示，水的高度用h表示，S和h成（ ）比例；如果底面积30cm2，水高度是（ ）cm。 【答案】反 15 【分析】两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量成反比例关系。 先从表格中任意选取一组数据，根据V＝Sh求出水的体积，再根据h＝V÷S，求出底面积是30cm2时水的高度。 【解答】V＝Sh，体积一定，即乘积一定，则底面积S与高h成反比例； 10×45÷30 ＝450÷30 ＝15（cm） 如果长方体容器底面积用S表示，水的高度用h表示，S和h成反比例；如果底面积30cm2，水高度是15cm。 突破题型七正比例的图形及简单应用 19．某汽车行驶路程和耗油量的关系如图。 （1）该汽车的耗油量与（ ）成正比例关系，因为：（ ）。 （2）利用图像估计一下，该汽车行驶60千米的耗油量是（ ）。 【答案】（1）路程 耗油量与路程是两个相关联的量且比值一定 （2）8升/8L 【分析】（1）判断两种量成正比例还是成反比例时，关键看这两种相关联的量中相对应的两个数是比值一定还是乘积一定。如果比值一定，就成正比例；如果乘积一定，就成反比例；如果比值和乘积都不是定量，就不成比例。 耗油量÷路程＝每千米的耗油量（一定），所以该汽车的耗油量与路程成正比例关系；据此作答。 （2）根据统计图找出60千米对应的耗油量即可做出估计。 【解答】（1）该汽车的耗油量与路程成正比例关系，因为：耗油量与路程是两个相关联的量且比值一定。 （2）由图像可知，该汽车行驶60千米的耗油量是8升。 20．在弹性范围内，某种弹簧伸长的长度与所挂物体的质量情况如下图。 （1）如果挂4kg物体，弹簧伸长的长度是（ ）cm。 （2）弹簧伸长的长度与所挂物体的质量成（ ）比例。（填“正”或“反”） （3）当弹簧伸长的长度是0.7cm时，所挂物体的质量是（ ）kg。 【答案】（1）1.6 （2）正 （3）1.75 【分析】（1）挂上4kg的物体，弹簧长度会成比例伸长，那么弹簧伸长的长度＝物体的质量÷（1÷0.4），据此代入数据解答； （2）判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例； （3）由（2）可知，物体的质量＝弹簧伸长的长度×2.5，据此代入数据解答。 【解答】（1）1÷0.4＝2.5 4÷2.5＝1.6（cm） 如果挂4kg物体，弹簧伸长的长度是1.6cm。 （2）1∶0.4＝2∶0.8＝2.5（一定），即物体的质量∶弹簧伸长的长度＝2.5（一定），所以物体的质量与弹簧伸长的长度成正比例； （3）0.7×2.5＝1.75（kg） 当弹簧伸长的长度是0.7cm时，所挂物体的质量是1.75kg。 21．如下图表示一工程队修筑公路的长度与所用时间的关系，这个工程队修路长度与所用时间成（ ）比例，照这样计算，修长750米公路需要（ ）天。 【答案】正 7.5 【分析】横轴代表时间，纵轴代表修路长度，如果修路长度与所用时间的比值一定，它们成正比例关系；如果修路长度与所用时间的乘积一定，它们成反比例关系，据此解答即可。 【解答】100÷1＝100（米/天） 200÷2＝100（米/天） 300÷3＝100（米/天） 400÷4＝100（米/天） 500÷5＝100（米/天） …… 所以修路长度与所用时间的比值一定，它们成正比例关系。 修路的效率是平均每天修100米，则修长750米公路需要：750÷100＝7.5（天） 突破题型八比例尺的意义 22．一个手表零件长2毫米，画在一幅图上长4厘米，这幅图的比例尺是（ ）。 【答案】20∶1 【分析】分析题目，先根据1厘米＝10毫米把4厘米换算成毫米，再根据比例尺＝图上距离∶实际距离写出比例尺，最后根据比的基本性质化简成最简整数比即可。 【解答】4厘米＝40毫米 图上距离∶实际距离 ＝40毫米∶2毫米 ＝40∶2 ＝（40÷2）∶（2÷2） ＝20∶1 一个手表零件长2毫米，画在一幅图上长4厘米，这幅图的比例尺是20∶1。 23．一幅地图的比例尺是把它改写成数值比例尺是（ ）。 【答案】1∶3000000 【分析】观察线段比例尺可知，图上1厘米表示实际30千米，根据图上距离∶实际距离＝比例尺，转化成数值比例尺即可。要注意把30千米转化为以厘米为单位。 【解答】1厘米∶30千米＝1厘米∶3000000厘米＝1∶3000000 一幅地图的比例尺是把它改写成数值比例尺是1∶3000000。 24．把地面12千米的距离用6厘米的线段画在地图上。那么，这幅地图的比例尺是（ ）。 【答案】1∶200000/ 【分析】1千米＝100000厘米，据此先统一单位。比例尺＝图上距离∶实际距离，据此求出这幅地图的比例尺。 【解答】12千米＝1200000厘米 6∶1200000 ＝（6÷6）∶（1200000÷6） ＝1∶200000 所以这幅地图的比例尺是1∶200000。 突破题型九比例尺应用之求图上距离 25．在比例尺为1∶2000的地图上，1厘米的线段代表实际距离（ ）米，实际距离180米在图上要画（ ）厘米。 【答案】20 9 【分析】根据“图上距离∶实际距离＝比例尺”，可知比例尺1∶2000表示图上1厘米相当于实际距离2000厘米，再根据进率“1米＝100厘米”换算成以米作单位的数； 已知实际距离180米，根据“图上距离＝实际距离×比例尺”求出在图上要画的长度。 【解答】2000厘米＝20米 180米＝18000厘米 18000×＝9（厘米） 在比例尺为1∶2000的地图上，1厘米的线段代表实际距离（20）米，实际距离180米在图上要画（9）厘米。 26．比例尺1∶4000000表示图上1厘米代表实际（ ）千米；如果实际距离20千米，在图上要用（ ）厘米长的线段表示。 【答案】40 0.5/ 【分析】一幅图的图上距离和实际距离的比，叫做这幅图的比例尺。 根据比例尺的意义可知，比例尺1∶4000000表示图上1厘米代表实际4000000厘米，根据进率“1千米＝100000厘米”将4000000厘米换算成以“千米”作单位的数即可。 已知实际距离20千米，先根据进率将20千米换算成以“厘米”作单位的数，再根据“图上距离＝实际距离×比例尺”，即可求出20千米在图上对应的线段长度。 【解答】4000000厘米＝40千米 20千米＝2000000厘米 2000000×＝0.5（厘米） 比例尺1∶4000000表示图上1厘米代表实际（40）千米；如果实际距离20千米，在图上要用（0.5）厘米长的线段表示。 27．在比例尺的地图上，表示图上距离与实际距离的比是（ ），实际距离96km，在这幅图上用（ ）cm表示。 【答案】1∶800000 12 【分析】观察线段比例尺，可知图上1cm表示实际8km，据此写出图上距离与实际距离的比，化简即可；根据图上距离＝实际距离×比例尺，进行换算。 【解答】1cm∶8km＝1cm∶800000cm＝1∶800000 96km＝9600000cm 9600000×＝12（cm） 图上距离与实际距离的比是1∶800000，实际距离96km，在这幅图上用12cm表示。 突破题型十比例尺应用之求实际距离 28．丫丫在一本旅游地图上，看到上面标的线段比例尺是，将线段比例尺改写成数值比例尺是（ ）；她用直尺测量了地图上A、B两地的距离是4.5cm，那么A、B两地的实际距离是（ ）km。 【答案】1∶8000000 360 【分析】由线段比例尺可知图上1cm表示实际80km，根据比例尺＝图上距离÷实际距离，根据1km＝100000cm，把80km转化为以cm为单位，再代入数据计算比例尺即可；图上4.5cm即表示有4.5个80km，用乘法计算即可得解。 【解答】由线段比例尺可知图上1cm表示实际80km 80km＝8000000cm （km） 丫丫在一本旅游地图上，看到上面标的线段比例尺是，将线段比例尺改写成数值比例尺是1∶8000000；她用直尺测量了地图上A、B两地的距离是4.5cm，那么A、B两地的实际距离是360km。 29．把线段比例尺写成数值比例尺是（ ）。如果甲、乙两地图上距离是5厘米，那么甲、乙两地的实际距离是（ ）千米。 【答案】1∶5000000/ 250 【分析】观察线段比例尺可知，图上1厘米表示实际距离50千米，即5000000厘米，根据图上距离∶实际距离＝比例尺，即可写出数值比例尺；根据乘法的意义，用50乘5即可求出甲、乙两地的实际距离。 【解答】50千米＝5000000厘米，则这个线段比例尺写成数值比例尺是1∶5000000； 50×5＝250（千米），甲、乙两地的实际距离是250千米。 30．“商都”郑州到“文字之都”安阳的距离约170km，在一幅地图上，量得这两个城市的图上距离是3.4cm，这幅地图的比例尺是（ ）。在这幅地图上，量得郑州到“十三朝古都”洛阳的图上距离是2.2cm，郑州到洛阳的实际距离是（ ）km。 【答案】1∶5000000 110 【分析】图上距离∶实际距离＝比例尺，据此写出图上距离与实际距离的比，化简；根据实际距离＝图上距离÷比例尺，进行换算即可。 【解答】3.4cm∶170km ＝3.4cm∶17000000cm ＝34∶170000000 ＝（34÷34）∶（170000000÷34） ＝1∶5000000 2.2÷＝2.2×5000000＝11000000（cm）＝110（km） 这幅地图的比例尺是1∶5000000。郑州到洛阳的实际距离是110km。 突破题型十一图上距离和实际距离的换算 31．填写下表。 图上距离 4.5cm 15cm 实际距离 130km 300km 2mm 比例尺 1∶60000 1∶500000 16∶1 【答案】2.7km；26cm；1∶2000000；3.2cm 【分析】 根据比例尺的意义作答，即比例尺＝图上距离：实际距离，图上距离＝实际距离×比例尺，实际距离＝图上距离÷比例尺，据此代入数据即可求解。 【解答】4.5÷ ＝4.5×60000 ＝270000（cm） ＝2.7（km） 130km＝13000000（cm） 1300000×＝26（cm） 300km＝30000000cm 15÷30000000＝＝＝1∶2000000 2mm＝0.2cm 0.2×16＝3.2（cm） 如图： 图上距离 4.5cm 26cm 15cm 3.2cm 实际距离 2.7km 130km 300km 2mm 比例尺 1∶60000 1∶500000 1∶2000000 16∶1 32．根据比例尺、图上距离、实际距离之间的关系填写下表。 图上距离 3.4cm 42dm 42dm 实际距离 150km 比例尺 1∶3000000 1∶6 6∶1 【答案】5cm； 102km；252dm；7dm 【分析】根据比例尺的意义作答，即比例尺＝图上距离：实际距离，图上距离＝实际距离×比例尺，实际距离＝图上距离÷比例尺，据此代入数据即可求解。 【解答】3.4cm＝0.000034km 0.000034÷＝0.000034×3000000＝102（km） 15km＝1500000cm 15000000×＝5（cm） 42÷＝252（dm） 42÷6＝7（dm） 图上距离 3.4cm 5cm 42dm 42dm 实际距离 102km 150km 252dm 7dm 比例尺 1∶3000000 1∶6 6∶1 33．填表。 比例尺 图上距离 实际距离 1.8km 450km 15cm 【答案】见详解 【分析】根据比例尺的意义：比例尺＝图上距离∶实际距离；图上距离＝实际距离×比例尺；实际距离＝图上距离÷比例尺，代入数据，即可解答，注意单位名数的换算。 【解答】1.8km＝180000m 180000×＝3.6（cm） 450km＝45000000cm 45000000×＝22.5（cm） 15÷ ＝15×60000000 ＝900000000（cm） 900000000cm＝9000km 比例尺 图上距离 实际距离 3.6cm 1.8km 22.5cm 450km 15cm 9000km 突破题型十二图形的放大和缩小 34．把一张长2dm、宽8cm的长方形图纸按1∶4缩小，得到的新图纸面积是（ ）cm2。 【答案】10 【分析】一个长2dm，宽8cm的长方形按1∶4缩小，就是把这个长方形的长和宽都缩小到原来的，求出缩小后的长和宽，再根据长方形的面积＝长×宽，求出缩小后的图形面积。 【解答】2dm＝20cm （20×）×（8×） ＝5×2 ＝10（cm2） 所以，把一张长2dm、宽8cm的长方形图纸按1∶4缩小，得到的新图纸面积是10 cm2。 35．将一个正方体的每条棱的长度都按的比例缩小，那么，它的表面积会缩小到原来的（ ），体积会缩小到原来的（ ）。（填上合适的分数） 【答案】 【分析】把图形按照1∶n缩小，就是将图形的每一条边缩小到原来的，缩小后图形与原图形对应边长的比是1∶n。假设正方体的棱长是9厘米，计算出按缩小后的棱长，正方体表面积＝棱长×棱长×6，正方体体积＝棱长×棱长×棱长，分别计算出缩小前后的表面积和体积，将原来的表面积和体积看作单位“1”，缩小后的表面积÷原来的表面积＝它的表面积会缩小到原来的几分之几，缩小后的体积÷原来的体积＝体积会缩小到原来的几分之几。 【解答】假设正方体的棱长是9厘米。 9×＝3（厘米） （3×3×6）÷（9×9×6） ＝54÷486 ＝ ＝ （3×3×3）÷（9×9×9） ＝27÷729 ＝ ＝ 它的表面积会缩小到原来的，体积会缩小到原来的。 36．学校制作宣传栏表彰“阅读小达人”，如图是一位同学的二寸照片的尺寸，老师想按比例放大装进宣传栏，放大后照片的宽是22cm，长是（ ）cm。 【答案】32 【分析】根据题意可知，照片按比例放大后，原照片的长∶放大后照片的长＝原照片的宽∶放大后照片的宽，据此列出比例方程，并求解。 【解答】解：设放大后照片的长是cm。 4.8∶＝3.3∶22 3.3＝4.8×22 3.3＝105.6 ＝105.6÷3.3 ＝32 放大后照片的长是32cm。 突破题型十三比例的应用 37．王丹阳一家去曲阜尼山书院游玩，他们并排站着拍了一张全家福照片。王丹阳身高1.65米，照片上王丹阳的身高是5.5厘米。爸爸身高1.86米，照片上爸爸的身高是（ ）厘米。 【答案】6.2 【分析】分析题目，先根据1米＝100厘米把爸爸和王丹阳的实际身高都换算成以厘米为单位，再把照片上爸爸的身高设为x厘米，根据爸爸照片上的身高∶爸爸实际的身高＝王丹阳照片上的身高∶王丹阳实际的身高列出比例，最后根据比例的基本性质解出比例即可。 【解答】1.65米＝165厘米 1.86米＝186厘米 解：设照片上爸爸的身高是x厘米。 x∶186＝5.5∶165 165x＝186×5.5 165x＝1023 x＝1023÷165 x＝6.2 王丹阳一家去曲阜尼山书院游玩，他们并排站着拍了一张全家福照片。王丹阳身高1.65米，照片上王丹阳的身高是5.5厘米。爸爸身高1.86米，照片上爸爸的身高是6.2厘米。 38．成语“立竿见影”从数学的角度看，是应用了比例中同时同地竿高和影长成正比例关系的知识。身高1.6米的聪聪在阳光照射下的影子长2.8米，同时同地量得妹妹的影子长2.1米，妹妹的身高是（ ）米。 【答案】1.2// 【分析】根据题意知道，物体的长度和它的影子的长度的比值一定，即物体的长度和它的影子的长度成正比例，设妹妹的身高是x米，根据题意，聪聪的高度∶聪聪的影长＝妹妹的高度∶妹妹的影长，由此列比例解答即可。 【解答】设妹妹的身高是x米。 1.6∶2.8＝x∶2.1 2.8x＝2.1×1.6 2.8x＝3.36 2.8x÷2.8＝3.36÷2.8 x＝1.2 妹妹的身高是1.2米。 39．甲乙两个学校图书本数比是4∶3，两所学校同时捐给山区小学300本图书，这时甲乙两校图书本书比是7∶5，那么甲乙两校原来共有（ ）本图书。 【答案】4200 【分析】根据“甲乙两个学校图书本数比是4∶3”，可以设甲校原来有4本图书，乙校原来有3本图书；根据“两所学校同时捐给山区小学300本图书，这时甲乙两校图书本书比是7∶5”可得出等量关系：（甲校原有图书的本数－300）∶（乙校原有图书的本数－300）＝7∶5；据此列出比例方程，并求解，进而求出甲校、乙校原有图书的本数，再相加，即是两校原有图书的总本数。 【解答】解：设甲校原来有4本图书，乙校原来有3本图书。 （4－300）∶（3－300）＝7∶5 7（3－300）＝5（4－300） 21－2100＝20－1500 21－20＝2100－1500 ＝600 甲校原有：600×4＝2400（本） 乙校原有：600×3＝1800（本） 一共：2400＋1800＝4200（本） 那么甲乙两校原来共有4200本图书。 突破题型十四解比例 40．解方程或解比例。 2－＝1.5             ∶＝∶ 【答案】＝1.2；＝2 【分析】（1）先把方程化简成＝1.5，然后方程两边同时除以，求出方程的解； （2）先根据比例的基本性质将比例方程改写成＝×，然后方程两边同时除以，求出方程的解。 【解答】（1）2－＝1.5 解：＝1.5 ÷＝1.5÷ ＝1.5× ＝1.2 （2）∶＝∶ 解：＝× ÷＝÷ ＝×6 ＝2 41．求未知数。                           【答案】；； 【分析】（1）先把化成，根据等式的性质，方程两边先同时加上，再同时除以，求出方程的解； （2）先根据比例的基本性质将比例方程改写成，然后方程两边同时除以，求出方程的解； （3）先根据比例的基本性质将比例方程改写成，然后方程两边同时除以，求出方程的解。 【解答】（1） 解： （2） 解： （3） 解： 42．解比例。                  【答案】； 【分析】，根据比例的基本性质，先写成的形式，两边同时÷即可； ，根据比例的基本性质，先写成的形式，两边同时÷3即可。 【解答】 解： 解： 突破题型十五应用比例尺作图 43．小明家正北方向300米是科技馆，科技馆正东方向600米是动物园，动物园南偏西30°方向400米是书店。画出上述地点的平面图。（比例尺是1∶10000） 【答案】见详解 【分析】以图上的“上北下南，左西右东”为准，比例尺是1∶10000表示图上1厘米相当于实际距离100米。 在小明家正北方向上画300÷100＝3厘米长的线段即是科技馆； 在科技馆正东方向上画600÷100＝6厘米长的线段即是动物园； 在动物园南偏西30°方向上画400÷100＝4厘米长的线段即是书店。 【解答】10000厘米＝100米 比例尺1∶10000表示图上1厘米相当于实际距离100米。 300÷100＝3（厘米） 600÷100＝6（厘米） 400÷100＝4（厘米） 如图： 44．根据信息画一画。（比例尺1∶50000） （1）新华书店在广场北偏西60°方向1500米处，请在图上标出新华书店的位置。 （2）若要从新华书店修一条小路到新开路，画出新华书店到新开路最近的路线。 【答案】（1）（2）图见详解 【分析】（1）根据图上距离＝实际距离×比例尺，将新华书店与广场的实际距离按1∶50000换算成图上距离。再根据地图上方向的规定“上北下南，左西右东”，以广场为观测点，确定新华书店的位置即可。 （2）直线外一点与这条直线所有点的连线中，垂线段最短，所以只要做出新华书店到新开路的垂线段即可。 【解答】（1）1∶50000＝     1500米＝150000厘米 150000×＝3（厘米） 新华书店与广场的图上距离是3厘米。作图如下： （2）作出新华书店到新开路的垂线段就是最短路线，作图如下： 45．为与新冠病毒竞速，武汉市火速建设了雷神山、火神山医院，以集中收治肺炎患者。火神山医院的建成，可大大缓解北偏东50∘方向30千米处的金银潭医院的就诊压力，请在图中标出金银潭医院的位置。    【答案】见详解 【分析】根据图中线段比例尺，在火神山医院北偏东50∘方向截取30÷10＝3个单位长度，标出角度，终点处标注出金银潭医院的位置即可。 【解答】由分析可得：    【点评】本题考查比例尺，掌握根据方向、角度、距离确定位置的方法是解题的关键。 突破题型十六作放大或缩小后的图形 46． （1）画出把正方形按1∶2的比缩小后的图形。 （2）画出把平行四边形按3∶1的比扩大后的图形。 【答案】见详解 【分析】（1）把图形按照1∶n缩小，就是将图形的每一条边缩小到原来的，缩小后图形与原图形对应边长的比是1∶n； （2）把图形按照n∶1放大，就是将图形的每一条边放大到原来的n倍，放大后图形与原图形对应边长的比是n∶1。 【解答】（1）4×＝2（格） 缩小后的正方形边长2格，作图如下： （2）3×3＝9（格） 2×3＝6（格） 扩大后的平行四边形底9格，高6格，作图如下： 47．（1）按1∶2画出三角形缩小后的图形A。 （2）按2∶1画出梯形扩大后的图形B，并画出图形B的对称轴。 【答案】图见详解 【分析】三角形按1∶2缩小，也就是把三角形的底和高缩小到原来的，已知原来的三角形的底是6格，高是4格，分别用6÷2和4÷2即可求出缩小后的底和高；梯形按2∶1放大，也就是把梯形的上底、下底和高扩大到原来的2倍，已知原来的梯形的上底是4格，下底是2格，高是2格，分别用4×2、2×2和2×2即可求出放大后的上底、下底和高；据此作图。 【解答】作图如下： 48．把三角形A向右平移5格，得到三角形B，再将三角形B按2∶1放大，得到三角形C。 【答案】见详解 【分析】根据平移的特征：把三角形A的各个顶点分别向右平移5格，依次连接，即可得到平移后的图形B； 再根据图形放大与缩小的特征，把三角形B的各边分别扩大到原来的2倍，即可画出将三角形B按2∶1扩大得到三角形C。 【解答】如图： 突破题型十七应用比例尺解决实际问题 49．智能交通系统可以对事故发生地点精准定位。一天，某高速路上发生两车相撞事故，车祸发生后，救援工作迅速开展。在比例尺为1∶600000的地图上，量得事故现场与最近的派出所相距3.5厘米。最近的派出所与医院收到智能交通系统信号后分别同时派出了一辆警车和一辆救护车，警车经过10分钟到达现场。 （1）事故现场与最近的派出所实际相距多少千米？ （2）若警车与救护车速度之比为5∶6，救护车与警车同时到达事故现场，则事故现场与最近的医院实际相距多少千米？ 【答案】（1）21千米； （2）25.2千米 【分析】（1）根据实际距离＝图上距离÷比例尺，代入数据计算，再把单位转化为千米即可得解。 （2）根据，代入数据计算警车的速度，再根据比的意义，把警车的速度看作5份，救护车速度看作6份，用警车速度除以5再乘6即可得救护车的速度，再根据，代入数据计算即可得解。 【解答】（1）（厘米） 2100000厘米＝21千米 答：事故现场与最近的派出所实际相距21千米。 （2） （千米） 答：事故现场与最近的医院实际相距25.2千米。 50．“神州”九号载人飞船返回舱着陆在内蒙古的四子王旗，聪聪在第一张地图上量得四子王旗与北京的距离大约是3厘米，而在第二张地图上量得四子王旗与北京的距离大约是5厘米。 （1）老师说他量的数据都对，请你解释其中的原因。 （2）如果四子王旗到北京的距离大约是450千米，那么第一张地图的比例尺是多少？ 【答案】（1）实际距离一样，两幅图所用比例尺不一样，量的得图上距离就不一样。 （2）1∶15000000 【分析】（1）比例尺是地图上的距离与实际地理距离之间的比例关系。比例尺的计算公式为：，实际距离相同的情况下，如果两张地图的比例尺不同，那么图上距离就会不同。据此解答。 （2）根据比例尺的计算公式为：，代入数据计算，根据1千米＝1000米，1米＝100厘米，先把450千米转化为以厘米为单位再计算。 【解答】（1）答：实际距离一样，两幅图所用比例尺不一样，量的得图上距离就不一样，所以老师说他量的数据都对。 （2））3厘米∶450千米＝3厘米∶45000000厘米＝3∶45000000＝（3÷3）∶（45000000÷3）＝1∶15000000 答：第一张地图的比例尺是1∶15000000。 51．下面是小红家的平面示意图。 （1）这幅图的比例尺是1∶（ ）。 （2）小红放学后沿虚线所示的路线去书店买书，她从学校到书店实际走了（ ）米。 （3）小红在家写作业时发现钢笔坏了，于是步行去文具店买钢笔，她沿道路先向西走100米，再向北偏西80°方向走200米，点（ ）最有可能是文具店的位置。 【答案】（1）10000 （2）700 （3）A 【分析】（1）图中的线段比例尺的意义是图上1厘米表示实际的100米，根据1米＝100厘米，把100米化成10000厘米，再根据比例尺＝图上距离∶实际距离，得出数值比例尺； （2）首先量出图上虚线的长度是7厘米（以实际测量为准），然后根据实际距离＝图上距离÷比例尺，求出实际的路程； （3）根据地图上的方向：上北下南左西右东，以及描述的路线，找出文具店的大体位置，从而解决问题。 【解答】（1）100米＝10000厘米 1厘米∶10000厘米＝1∶10000 所以这幅图的比例尺是1∶10000。 （2）图上虚线的长度是7厘米； 7÷ ＝7×10000 ＝70000（厘米） 70000厘米＝700米 所以她从学校到书店实际走了700米。 （3）如图：她沿道路先向西走100米，再向北偏西80°方向走200米，点A最有可能是文具店的位置。 突破题型十八图形缩放问题及运动的综合作图 52．按要求完成三幅图，并填空。 ①画出圆向右平移3格，再向上平移4格后的图形，移动后圆心O的位置用数对表示为（  ，  ）。 ②画出平行四边形绕A点顺时针旋转90°后的图形。 ③画出正方形按2∶1扩大后的图形，扩大后的正方形面积是原来的（    ）倍。 【答案】见详解 【分析】①将圆心先向右平移3格，再向上平移4格，确定好圆心的位置，以半径为2个格子画圆；依据用数对表示位置的方法，括号内先写列再写行，中间用“，”隔开表示圆心的位置； ②将各个关键点按顺时针方旋转90°作出它们的对应点，再将对应点顺次连接即可； ③将正方形按照2∶1放大，就是将正方形的边放大到原来的2倍；正方形的面积＝边长×边长，用放大后的面积除以放大前的面积，求出扩大后的正方形面积是原来的几倍。 【解答】①移动后圆心0的位置用数对表示为（6，7）； ③扩大后的边长＝2×2＝4 扩大前的面积＝2×2＝4 扩大后的面积＝4×4＝16 16÷4＝4 扩大后的正方形面积是原来的4倍； ①②③图： 。 53．按要求画图并回答问题。 （1）画出三角形ABC绕B点顺时针旋转90°得到的图形。 （2）画出三角形ABC按2∶1放大后得到的图形，放大后的图形与原图的面积之比是（    ）。 （3）如果以AB边所在直线为轴快速旋转一周，三角形ABC转出来的立体图形是（    ），它的体积是（    ）。 【答案】（1）、（2）图见详解；4∶1； （3）圆锥；78.5立方厘米 【分析】（1）根据旋转的特征，三角形ABC绕点B顺时针旋转90°后，点B的位置不动，其余各部分均绕此点按相同方向旋转相同的度数，得到旋转后的图形； （2）根据放大和缩小的意义：把三角形各个边分别扩大到原来的2倍，据此画出扩大后的三角形（位置不唯一）；再根据三角形面积公式：面积＝底×高÷2，分别求出扩大后的三角形面积和原来三角形面积，再根据比的意义，用放大后三角形的面积∶原来三角形面积，即可解答； （3）根据圆锥的特征可知，AB边所在直线为轴快速旋转一周，得到一个圆锥，圆锥的高是3厘米，底面半径是5厘米，再根据圆锥的体积公式：体积＝底面积×高×，据此求出圆锥的以及； 【解答】（1）如图： （2）如图： 原来三角形底是5厘米，高是3厘米；扩大后三角形底是5×2＝10（厘米），高是3×2＝6（厘米） （10×6÷2）∶（5×3÷2） ＝（60÷2）∶（15÷2） ＝30∶7.5 ＝（30÷7.5）∶（7.5÷7.5） ＝4∶1 放大后的图形与原图的面积之比是4∶1。 （3）如果以AB边所在直线为轴快速旋转一周，三角形ABC转出来的立体图形是圆锥。 底面半径：5厘米，高：3厘米。 3.14×52×3× ＝3.14×25×3× ＝78.5×3× ＝78.5（立方厘米） 如果以AB边所在直线为轴快速旋转一周，三角形ABC转出来的立体图形是圆锥，它的体积是78.5立方厘米。 54．想一想，在方格中画一画。 （1）图中的平行四边形沿高分成了两部分，把其中的三角形向（    ）平移（    ）格，平行四边形就变成了长方形。 （2）把三角形ABC绕点A顺时针旋转90°，画出旋转后的图形。旋转后，点B的新位置用数对表示是（    ）。 （3）画出图中下方梯形的另一半，使它成为轴对称图形。再画出这个轴对称图形按照1∶2缩小后的图形。 【答案】（1）右；7 （2）画图见详解；（16，4） （3）见详解 【分析】 （1）决定平移后图形的位置的要素：一是平移的方向，二是平移的距离。如图，确定平移方向，数出平移的格数即可； （2）作旋转一定角度后的图形步骤：根据题目要求，确定旋转中心、旋转方向和旋转角；分析所作图形，找出构成图形的关键点；找出关键点的对应点：按一定的方向和角度分别作出各关键点的对应点；作出新图形，顺次连接作出的各点即可。 用数对表示位置时，通常把竖排叫列，横排叫行。一般情况下，确定第几列时从左往右数，确定第几行时从前往后数。表示列的数在前，表示行的数在后，中间用逗号“，”隔开，数对加上小括号。 （3）补全轴对称图形的方法：找出图形的关键点，依据对称轴画出关键点的对称点，再依据图形的形状顺次连接各点，画出最终的轴对称图形。 把图形按照1：n缩小，就是将图形的每一条边缩小到原来的，缩小后图形与原图形对应边长的比是1：n 【解答】（1）图中的平行四边形沿高分成了两部分，把其中的三角形向右平移7格，平行四边形就变成了长方形。 （2）作图如下；旋转后，点B的新位置用数对表示是（16，4）。 （3） 突破题型十九应用正比例解决实际问题 55．一种新型笔芯每支售价是0.8元。 数量/支 0 1 2 3 4 5 6 7 8 … 总价/元 0 0.8 1.6 … （1）把笔芯数量与总价相对应的点在图中描出来，并连线。 （2）买11支笔芯需要（    ）元。 （3）小丽买笔芯的钱是小华的3倍，小丽买笔芯的支数是小华的（    ）倍。 【答案】2.4；3.2；4.0；4.8；5.6；6.4 （1）图见详解 （2）8.8 （3）3 【分析】已知一种新型笔芯每支售价是0.8元，根据“单价×数量＝总价”，求出买不同数量的笔芯对应的总价，据此把表格补充完整。 （1）把笔芯数量与总价相对应的点在图中描出来，并连线。 （2）根据“单价×数量＝总价”，求出买11支笔芯需要的钱数。 （3）根据总价÷数量＝单价，单价一定，则总价与数量成正比例关系，据此解答。 【解答】0.8×3＝2.4（元） 0.8×4＝3.2（元） 0.8×5＝4.0（元） 0.8×6＝4.8（元） 0.8×7＝5.6（元） 0.8×8＝6.4（元） 数量/支 0 1 2 3 4 5 6 7 8 … 总价/元 0 0.8 1.6 2.4 3.2 4.0 4.8 5.6 6.4 … （1）如下图： （2）0.8×11＝8.8（元） 买11支笔芯需要8.8元。 （3）因为单价一定，总价与数量成正比例关系，所以小丽买笔芯的钱是小华的3倍，小丽买笔芯的支数是小华的3倍。 56．东东记录了某国产品牌电动汽车的仪表盘上显示的相关数据，整理结果如下： 行驶路程（千米） 100 120 130 140 150 耗电量（千瓦时） 15 18 19.5 21 22.5 （1）观察上表中的数据，电动汽车的行驶路程与耗电量成（    ）比例关系。 （2）当电动汽车行驶了600千米时，电动汽车将消耗多少千瓦时的电？（用比例解答） 【答案】（1）正 （2）90千瓦时 【分析】（1）判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，则成反比例。 （2）已知行驶路程与耗电量成正比例关系。设行驶 600千米时消耗x千瓦时的电。因为两者成正比例，所以它们的比值相等。即＝，这个比例方程可以求出消耗的电量的值。 【解答】（1）观察表格中行驶路程和耗电量的数据。计算它们的比值： ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ 可以看出，无论行驶路程和耗电量如何变化，其比值始终为，保持恒定。根据正比例关系的定义，当两个相关联的量比值一定时，这两个量成正比例关系。所以，电动汽车的行驶路程与耗电量成正比例关系。 （2）解：设电动汽车将消耗x千瓦时的电。 ＝ 解：100x＝15×600 100x＝9000 100x＝9000 100x÷100＝9000÷100 x＝90 答：电动汽车将消耗90千瓦时的电。 57．C919是中国首款按照国际通行适航标准，自行研制、具有自主知识产权的客机。下面是C919飞行时间和所行路程的变化情况。 飞行时间/时 0 1 3 5 6 所行路程/千米 0 900 2700 4500 5400 （1）因为（    ），所以所行路程和飞行时间成（    ）比例关系。 （2）根据上表，在下图中描出它的图像。 （3）利用图像判断C919飞机行驶1800千米用时（    ）小时；4小时行驶（    ）千米。 【答案】（1）所行路程：飞行时间＝速度（一定）；正 （2）见详解 （3）2；3600 【分析】（1）判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定还是对应的乘积一定。如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例； （2）根据表中数据，先描点再连线； （3）根据图像可知，当飞机行驶1800千米，所对应的时间是2小时；当飞机飞行时间是4小时，所对应的路程是3600千米。 【解答】（1），即所行路程和飞行时间的比值一定。 因为所行路程：飞行时间＝速度（一定），所以所行路程和飞行时间成正比例关系。 （2） （3）由分析可知： 利用图像判断C919飞机行驶1800千米用时2小时；4小时行驶3600千米。 突破题型二十应用反比例解决实际问题 58．某牛奶公司把一批牛奶进行灌装，如表给出了几种不同的灌装方案。 方案 一 二 三 每瓶容量/升 0.25 0.2 0.5 瓶数 800 1000 400 （1）这批牛奶的总量是（    ）升。 （2）（    ）没有变化，每瓶容量和灌装的瓶数成（    ）比例。 （3）如果将这批牛奶装入250个瓶子里，每瓶要装多少升？（用比例解） 【答案】（1）200 （2）这批牛奶的总量；反 （3）0.8升 【分析】（1）通过每瓶容量与瓶数的乘积可求出牛奶总量； （2）判断两种相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值（商）一定，还是对应的乘积一定；如果是比值（商）一定，这两种相关联的量成正比例；如果是乘积一定，这两种相关联的量成反比例。据此判断每瓶容量和灌装瓶数的关系； （3）利用牛奶总量不变，每瓶容量和灌装瓶数成反比例这一性质列方程求解。 【解答】（1）0.25×800＝200（升） 所以这批牛奶的总量是200升。 （2）这批牛奶的总量没有变，每瓶容量和灌装的瓶数成反比例。 （3）解：设每瓶要装x升。 250x＝0.25×800 250x＝200 250x÷250＝200÷250 x＝0.8 答：每瓶要装0.8升。 59．学校要给一间功能教室铺地砖，每块地砖的面积与所需地砖的数量如表。 每块地砖的面积/平方米 0.2 0.3 0.4 0.6 0.8 … 所需地砖的数量/块 600 400 300 200 150 … （1）每块地砖的面积和所需地砖的数量成（    ）比例关系。 （2）如果铺这一地面用了500块地砖，所用的地砖每块面积是多大？（用比例解答） 【答案】（1）反 （2）0.24平方米 【分析】（1）判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。据此解答即可。 （2）可假设所用的地砖每块面积是x平方米，根据每块地砖的面积和所需地砖的数量成反比例关系，据此即可列比例求解。 【解答】（1）0.2×600＝0.3×400＝0.4×300＝0.6×200＝0.8×150＝120（平方米） 因为每块地砖的面积×需要的块数＝铺地面积（一定），所以每块地砖的面积和所需地砖的数量成反比例关系。 （2）解：设所用地砖的面积为x平方米。 500x＝0.2×600 500x＝120 500x÷500＝120÷500 x＝0.24 答：所用的地砖每块面积是0.24平方米。 60．毕业，不止是一场告别，更是一次新的征程。为了给孩子们送上祝福，在心中留下美好的校园回忆，中心小学六年级的老师精心设计了一面长方形的照片墙，征集具有纪念意义的照片贴在墙上展览。每张照片的面积和所贴照片数量的关系如表： 每张照片的面积/ 4 9 16 … 所贴照片的数量/张 216 96 54 … （1）观察上表中的数据，每张照片的面积和所贴照片的数量成（    ）比例。 （2）如果采用面积是的照片来贴满这面长方形照片墙，需要多少张照片？（用比例解答） 【答案】（1）反 （2）36 【分析】（1）判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，则成反比例； （2）根据题意可知，照片墙的面积一定；所以每张照片的面积×所贴照片的数量＝24×所贴照片的数量，设需要x张照片；列比例：4×216＝24x，解比例，即可解答。 【解答】（1）4×216＝9×96＝16×54＝864（一定），每张照片的面积和所贴照片的数量成反比例。 （2）解：设需要x张照片。 4×216＝24x 24x＝864 24x÷24＝864÷24 x＝36 答：需要36张照片。 专题五数学广角—鸽巢问题 突破题型一鸽巢问题初步型 1．一副扑克牌去掉大小王共52张，至少要抽取（ ）张牌，才能保证其有2张同花色的牌。 【答案】5 【分析】扑克牌共有黑桃、红桃、梅花、方块4种花色，根据鸽巢原理考虑最不利的情况，前4张牌抽取4种花色各一张，此时再抽取一张牌，无论是什么花色，都必然与之前的某一种花色重复，所以至少要抽取5张，据此解答。 【解答】4＋1＝5（张） 所以，至少要抽取5张牌，才能保证其有2张同花色的牌。 2．口袋里有6个白球和3个黑球，它们只有颜色不同。要保证摸出2个白球，至少一次摸出（ ）个球；要保证摸出2个同色球，至少一次摸出（ ）个球。 【答案】5 3 【分析】把白、黑两种颜色看作2个抽屉，要保证摸出两个白球，考虑最差情况：3个黑球全部摸出，再摸出2个即可保证摸出2个白球；要保证摸出两个同色的球，摸3个球时，必有两球同色，因此至少需要摸3个球。据此作答。 【解答】3＋2＝5（个） 要保证摸出2个白球，至少一次摸出5个球。 2＋1＝3（个） 要保证摸出2个同色球，至少一次摸出3个球。 3．给8名同学分书，要保证一名同学至少分得5本，至少要准备（ ）本书。 【答案】33 【分析】 根据抽屉原理，如果8名同学平均每名同学已经分得了4本，再多1本无论分给谁，都可以保证一名同学至少分得5本。据此解答。 【解答】由分析可列式： 4×8＋1 ＝32＋1 ＝33（本） 所以，给8名同学分书，要保证一名同学至少分得5本，至少要准备33本书。 4．一副扑克牌54张，无论怎么抽，问至少抽多少张，一定会有4张牌点数相同？（不考虑大、小王） 【答案】40张 【分析】“一定”是关键词，考虑运气最差的情况，54张牌中有四种花色的A到K，每种花色有13张，在运气最差的情况下，先将一种花色的牌全部摸完，再将一种花色的牌全部抽完，只有2张牌的点数是相同的，继续运气差，又摸了13张剩下的花色，又3张牌的点数是一样的，最后无论在剩下的花色种随意抽一张牌，正好可以保证4张牌的点数是相同的。 【解答】13＋13＋13＋1＝40（张） 答：至少抽40张，一定会有4张牌点数相同。 【点评】这题最重要的是考虑最差的情况，最好的情况就是一下子4张正好是点数相同的牌，最差的情况是怎么样都摸不到相同的点数的牌。 突破题型二鸽巢问题进阶型 5．将60个乒乓球放在9个盒子里，每个盒子放的乒乓球个数都不相同，每个盒子至少放了一个乒乓球，那么放球最多的盒子里最少放了多少个乒乓球？ 【答案】11个 【分析】把9个盒子中分别放入1、2、3、…、9个乒乓球，共用去（1＋9）×9÷2＝45（个）乒乓球，还剩下60－45＝15（个）乒乓球，再每个盒子里放入1个球，15－9＝6（个）乒乓球，再把剩下的6个乒乓球放入较多的6个盒子中，放球最多的盒子里最少放9＋1＋1＝11（个）乒乓球，据此即可解答。 【解答】（1＋9）×9÷2 ＝10×9÷2 ＝50÷2 ＝45（个） 15－9＝6（个） 9＋1＋1 ＝10＋1 ＝11（个） 答：放球最多的盒子里最少放了11个乒乓球。 【点评】解答本题的关键是应使每个盒子的球数尽可能接近，再根据条件进行调整。 6．学校开设了书法、舞蹈、棋类、乐器四个课外学习班，每个学生最多可以参加两个（可以不参加）学习班。某班有52名同学，至少有几名同学参加课外学习班的情况完全相同？ 【答案】5人 【分析】本题同学参加情况共11种，不参加、书法、舞蹈、棋类、乐器、书法和舞蹈、书法和棋类、书法和乐器、舞蹈和棋类、舞蹈和乐器、棋类和乐器；这里可以把这11个情况看做11个抽屉，考虑最差情况，每个抽屉的人数尽量平均，52÷11＝4（人）……8（人），每个抽屉都有4人，还剩下8人，由此即可利用抽屉原理解决问题。 【解答】52÷11＝4（人）……8（人） 4＋1＝5（人） 答：至少有5名同学参加课外学习班的情况完全相同。 【点评】此题考查了抽屉原理在实际问题中的灵活应用；根据题干，找出学生参加学习班的所有可能情况，是解决本题的关键。 7．学校开设了画画、写作、书法3个兴趣班，四年级3班共40人，每个学生都报名了其中两个兴趣班，那么这个班至少有多少个学生报的兴趣班完全一样？ 【答案】14个 【分析】学生的报班情况可能有：画画和书法、画画和写作、写作和书法，共3种，看成3个抽屉，把40个学生看成40个苹果，根据抽屉原则二：如果把n个物体放在m个抽屉里，其中n＞m，那么必有一个抽屉至少有：（1）当n不能被m整除时，k＝[]＋1个物体；（2）当n能被m整除时，k＝个物体。 【解答】40÷3＝13……1 13＋1＝14（个） 答：这个班至少有14个学生报的兴趣班完全—样。 【点评】关键是构造物体和抽屉，也就是找到代表物体和抽屉的量，然后依据抽屉原则进行计算。 8．图书角有A、B、C、D四类书，六（1）班有42名学生，每名学生最多可借两本不同类型的书，最少借一本，至少有几名学生所借的书的类型完全相同？ 【答案】5名 【分析】因为每名学生最多可借两本不同类型的书，最少借一本，所以借书的情况有10种∶A、B、C、D、、、、、、。把这10种情况看作10个抽屉，（名）……2（名），把42名学生看作42个苹果，根据鸽巢原理，每个抽屉里放4个苹果，还剩2个，这2个无论放在哪个抽屉里，总有一个抽屉里至少有个苹果，即至少有5名学生所借的书的类型完全相同。 【解答】（种） （名）……2（名） （名） 答：至少有5名学生所借的书的类型完全相同。 【点评】本题考查了抽屉原理，抽屉原理的解答思路，准确地建立抽屉和确定元素的总个数，是解题关键。 突破题型三鸽巢问题（最不利原则） 9．把红、黄、蓝、黑四种颜色的筷子各4根混在一起。如果让你闭上眼睛，每次至少拿几根才能保证有4根颜色一致的筷子？ 【答案】13根 【分析】把四种颜色看作个抽屉，12根筷子看作12个元素，从最不利情况考虑，假设每一次取出的根筷子颜色都不相同，这样的情况连续取3次，每种颜色的筷子各有3根，此时再任意取一根筷子一定有根筷子是同色的，据此解答。 【解答】 ＝ ＝13（根） 答：每次至少拿13根才能保证有根颜色一致的筷子。 【点评】本题主要考查利用抽屉原理解决问题，从最不利情况分析问题是解答题目的关键。 10．某班有48位同学参加跳绳比赛，在规定的时间内，最多的同学跳了175次，最少的同学跳了160次，那么在该班中至少要挑出多少位同学，从中必能选出3位在规定的时间内跳绳次数相同的同学？ 【答案】33位 【分析】在160次到175次之间共有16种不同的跳绳次数，把每个跳绳次数看作1个抽屉，共有16个抽屉。最坏的情况是每个抽屉里放2个相同的跳绳次数，就必须选出16×2＝32（位）同学。如果再选一位同学，不管他跳其中哪种次数，放入相应的抽屉中，这个抽屉中便有3个相同的跳绳次数，所以至少要挑出33位同学，才能保证从中必能选出3位在规定的时间内跳绳次数相同的同学。 【解答】 （位） 答：在该班中至少要挑出33位同学，从中必能选出3位在规定的时间内跳绳次数相同的同学。 11．有规格尺寸相同的六种颜色的袜子各20只混装在箱内。 （1）黑暗中从箱内至少取出多少只才能保证有3双袜子？ （2）黑暗中从箱内至少取出多少只才能保证有3双同色袜子？ （3）黑暗中从箱内至少取出多少只才能保证有3双不同色袜子？ 【答案】（1）11只；（2）31只；（3）45只 【分析】（1）根据最不利原则考虑，先摸6只不同颜色的袜子，再摸4只就有2双袜子，最后多摸1只就有3双袜子； （2）根据最不利原则，每种颜色的袜子斗取5只，共30只，再取出1只才能保证有3双同色袜子； （3）根据最不利原则，把其中2种颜色的全部取出，共40只，再从剩下的4种颜色种取出4只袜子，都不是同色，最后多取1只，就能保证有3双不同色袜子。 【解答】（1）（只） 答：黑暗中从箱内至少取出11只才能保证有3双袜子。 （2） （只） 答：黑暗中从箱内至少取出31只才能保证有3双同色袜子。 （3） （只） 答：黑暗中从箱内至少取出45只才能保证有3双不同色袜子。 【点评】本题考查鸽巢问题，解答本题的关键是掌握鸽巢问题的计算方法。 12．一副扑克牌去掉大王和小王后共有52张，这些扑克牌有四种花色，每种花色有13张。 （1）一次至少要拿出（ ）张牌，才能保证至少有两张牌是同花色的。 （2）一次至少要拿出（ ）张牌，才能保证有4张牌是同一种花色。 （3）一次至少要拿出（ ）张牌，才能保证四种花色都有。 （4）一次至少要拿出（ ）张牌，才能保证至少有两张牌的数字是一样的。（直接写出答案） 【答案】（1）5 （2）13 （3）40 （4）14 【分析】（1）一副牌有4种花色，根据最不利原理，先拿出4张是不同的花色，再拿出1张，无论是什么花色都能保证这种花色有2张是同花色的； （2）从中任意抽牌，最不利情况是把每种花色抽出3张，即4×3＝12张，此时再抽出1张，一定保证有4张牌是同一种花色的； （3）每种花色都有13张，根据最不利原则，先拿出13×3＝39张， 把3种花色都拿出来了，再拿一张一定是第4种花色，由此求解； （4）一副牌有13种不同的数字，根据最不利原则，先拿出13张是不同的数字，再拿出1张，无论是数字几都能保证这种数字有2张。 【解答】（1）4＋1＝5（张） 则一次至少要拿出5张牌，才能保证至少有两张牌是同花色的。 （2）4×3＋1 ＝12＋1 ＝13（张） 则一次至少要拿出13张牌，才能保证有4张牌是同一种花色。 （3）13×3＋1 ＝39＋1 ＝40（张） 则一次至少要拿出40张牌，才能保证四种花色都有。 （4）13＋1＝14（张） 则一次至少要拿出14张牌，才能保证至少有两张牌的数字是一样的。 突破题型四运用鸽巢原理解决实际问题 13．一副扑克牌有54张，去掉大小王后，最少要抽取（    ）张牌，才能保证其中至少有2张牌的点数相同。 A．9 B．13 C．14 D．27 【答案】C 【分析】本题考查了抽屉原理，一副扑克牌有54张，去掉大小王后，还剩下54－2＝52（张）扑克牌；扑克牌有红桃、黑桃、方块、梅花四种花色，每种花色有52÷4＝13（张），相当于有13个抽屉，要保证其中至少有2张牌的点数相同，则每个抽屉放入一张扑克牌，最少再放入一张扑克牌即可。 【解答】（54－2）÷4 ＝52÷4 ＝13（张） 13＋1＝14（张） 一副扑克牌有54张，去掉大小王后，最少要抽取14张牌，才能保证其中至少有2张牌的点数相同。 故答案为：C 14．一个口袋里装有红、白、蓝三种不同颜色的小球各8个，至少要摸出（    ）个小球，其中肯定有8个颜色相同。 A．8 B．9 C．17 D．22 【答案】D 【分析】根据抽屉原理中最不利原则，需要颜色相同，则拿出的球都是不同的颜色，红球拿出7个，白球拿出7个，蓝球也拿出7个，就摸出7×3＝21个，那么再取出1个球，无论取的球是什么颜色的球都有8个颜色相同，据此解答。 【解答】7×3＋1 ＝21＋1 ＝22（个） 一个口袋里装有红、白、蓝三种不同颜色的小球各8个，至少要摸出22个小球，其中肯定有8个颜色相同。 故答案为：D 15．袋子里有红、黄、蓝三种颜色的球各5个，要保证摸出的球一定有两个颜色相同，至少要摸出（    ）个；要保证摸出的球一定有两个颜色不同，至少要摸出（    ）个。 A．4；6 B．6；10 C．10；11 D．11；6 【答案】A 【分析】由题意可知，有红、黄、蓝三种颜色的球，要保证至少有2个颜色相同，最坏的情况是每种颜色各取出1个，即取出3个，此时只要再任取一个，即取出3＋1＝4个就能保证至少有2个球颜色相同。红、黄、蓝三种颜色的球各5个，最坏的打算是取出5个，都是同一种颜色的，那再取一个，就能得到有2个球的颜色不相同，即5＋1＝6个，据此解答。 【解答】3＋1＝4（个） 所以要保证摸出的球一定有两个颜色相同，最少要摸出4个； 5＋1＝6（个） 要保证摸出的球一定有两个颜色不同，至少要摸出6个。 故答案为：A 【点评】此题考查了利用抽屉原理解决实际问题的灵活应用，关键是从最差情况考虑。 16．密封的纸盒里有60粒大小相同的珠子，每15粒是同一种颜色，为保证一次取出3粒颜色相同的珠子，至少要取出（    ）粒。 A．6 B．9 C．12 D．18 【答案】B 【分析】先用60除以15求出一共有4种颜色的珠子；把“摸珠子问题”与“鸽巢问题”联系起来，即把4种颜色看成4个鸽巢（同种颜色就是同一个鸽巢），把要摸出的珠子看成分放的物体。由“鸽巢原理”可推导出，（至少数－1）×鸽巢数＋1＝物体数，此题中至少数是3粒，鸽巢数是4个，据此可求出要摸出的珠子的粒数。 【解答】颜色数（鸽巢数）：60÷15＝4（种） 珠子的最少粒数：（3－1）×4＋1 ＝2×4＋1 ＝8＋1 ＝9（粒） 所以至少要取出9粒。 故答案为：B 【点评】此题考查了应用“鸽巢原理”解决实际问题。把实际问题转化成“鸽巢问题”关键要弄清“鸽巢”（“鸽巢是什么，有几个鸽巢）和分放的物体。 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年六年级下册数学期末备考总复习 常考易错知识点专题突破（五大专题67个突破点） 目录 专题一负数 4 突破题型一正负数的概念和辨认 4 突破题型二正负数的读法和写法 5 突破题型三正负数在数轴上的表示 5 突破题型四温度的认识和比较 6 突破题型五温度在实际问题中的应用 7 突破题型六正负数的比较大小 8 突破题型七正负数解决简单的实际问题 9 突破题型八正负数在误差中的应用 10 突破题型九正负数的实际应用（稍微复杂问题） 11 突破题型十正负数填表（存款类型问题） 12 突破题型十一上下车问题 15 专题二百分数（二） 16 突破题型一折扣问题之求现价 16 突破题型二折扣问题之求原价 17 突破题型三折扣问题之求折扣 18 突破题型四分数小数百分数与成数的互化 18 突破题型五求增加或减少几成的问题 19 突破题型六根据成数反求单位“1” 20 突破题型七求应纳税额 21 突破题型八求税率或收入额 21 突破题型九求利息 22 突破题型十求利率或本金 23 突破题型十一利润问题 24 突破题型十二利润与折扣的综合 25 突破题型十三分段计算纳税问题 26 突破题型十四选择最佳的储蓄方案 27 专题三圆柱与圆锥 29 突破题型一圆柱的认识及特征 29 突破题型二圆柱的展开图 29 突破题型三圆柱的侧面积 30 突破题型四圆柱的表面积 31 突破题型五含圆柱组合体的表面积 32 突破题型六圆柱的体积 33 突破题型七圆柱的容积 33 突破题型八含圆柱立体图形的切拼 34 突破题型九圆锥的认识及特征 35 突破题型十圆柱与圆锥体积的关系 36 突破题型十一圆锥的体积或容积 37 突破题型十二体积的等积变形问题 37 突破题型十三含圆锥立体图形的切拼 38 突破题型十四组合体的体积 39 突破题型十五不规则物体的体积测量问题 40 突破题型十六表面积及组合体的表面积计算问题 41 突破题型十七圆柱及含圆柱组合体的体积计算问题 42 突破题型十八圆锥及含圆锥组合体的体积计算问题 42 专题四比例 43 突破题型一比与比例的区别和联系 43 突破题型二比例的意义 44 突破题型三比例的基本性质 45 突破题型四正比例的认识和辨认 45 突破题型五反比例的认识和辨认 46 突破题型六根据正反比例填表 47 突破题型七正比例的图形及简单应用 48 突破题型八比例尺的意义 49 突破题型九比例尺应用之求图上距离 50 突破题型十比例尺应用之求实际距离 50 突破题型十一图上距离和实际距离的换算 51 突破题型十二图形的放大和缩小 52 突破题型十三比例的应用 53 突破题型十四解比例 53 突破题型十五应用比例尺作图 54 突破题型十六作放大或缩小后的图形 56 突破题型十七应用比例尺解决实际问题 57 突破题型十八图形缩放问题及运动的综合作图 58 突破题型十九应用正比例解决实际问题 60 突破题型二十应用反比例解决实际问题 61 专题五数学广角—鸽巢问题 63 突破题型一鸽巢问题初步型 63 突破题型二鸽巢问题进阶型 63 突破题型三鸽巢问题（最不利原则） 64 突破题型四运用鸽巢原理解决实际问题 66 专题一负数 突破题型一正负数的概念和辨认 1．在8，﹣4，﹣11，﹢19，0，﹢43，﹣28中，正数有（ ），负数有（ ）。 2．在﹣1.2、5、﹣3.6、0、﹢、﹣中，（ ）是正数，（ ）是负数，（ ）既不是正数也不是负数。 3．在﹣2、0、﹢2.3、、﹣4.5这些数中，正数有（ ）、（ ），负数有（ ）、（ ），既不是正数，也不是负数的是（ ）。 4．106  ﹣7.3    0  ﹣19    2.5 （1）上面的数中，正数有（ ）个，负数有（ ）个。 （2）的分数单位是（ ），再加上（ ）个这样的分数单位就是最小的合数。 突破题型二正负数的读法和写法 5．﹣0.48读作（ ），负四分之三写作（ ）。 6．（ ）既不是正数也不是负数，零下8℃记作（ ）。 7．某同学向东走了10m，记作﹢10m，接着又向西走了3m，记作：（ ），该同学的位置应记作（ ）m。 8．﹣0.8读作（ ），正三点二五写作（ ），﹢0.74读作（ ）。 突破题型三正负数在数轴上的表示 9．观察数轴，点A处为0，如果点C表示的数是15，那么点D表示的数是（ ）；如果点C表示的数是，点B表示的数是（ ）。 10．数轴上A点表示的数是（ ），B点表示的数是（ ），C点表示的数写成小数是（ ），D点表示的数写成分数是（ ）。 11．观察下面的数轴，A表示的数是（ ），B表示的数是（ ），C表示的数是（ ）。（说明：A、B填小数，C填分数） 12．观察这两条直线，点A表示的数是（ ），点（ ）表示的数是﹣0.5，点D表示的数是（ ）。 突破题型四温度的认识和比较 13．某天的天气预报说今天的气温是﹣4℃～5℃，这表明这天的最高气温是（ ）℃，最低气温是（ ）℃，温差是（ ）℃。 14．学校气象兴趣小组测得该地某天的最高气温是﹢3℃，最低气温是﹣3℃，这天的温差是（ ）℃。 15．2022年12月31日，中国国家主席习近平在新年贺词中宣布，“中国空间站全面建成”，由于没有大气层的保护，在太阳光线直射下，空间站表面温度最高可达零上150℃以上，记作150℃；在背阳面，温度最低可达零下100℃以下，记作（ ）℃；空间站表面的最高温度和最低温度之间的温差是（ ）℃。 16．2023年4月21日，春花邂逅雪花，房山区蒲洼东村下起了小雪，当天的温度如图所示，是（ ）℃。 突破题型五温度在实际问题中的应用 17．2024年2月21日，郴州市多地出现冰雹，全市的最低气温是﹣1℃，最高气温是6℃，这一天该市的最大温差是（ ）℃。 18．南极温度指的是南极大陆上的温度。极端最高气温达零上18.3℃，可以记作（ ）℃；极端最低气温达零下94.2℃，可以记作（ ）℃，温差是（ ）℃。 19．2024年4月22日，我国最北哨所的天气预报显示当地的气温是﹣4~13摄氏度，这一天的最低气温是（ ）摄氏度，温差是（ ）摄氏度。 20．受冷空气来袭，气温骤降，某地中午温度为8℃，到下午18：00温度下降了6℃，到24：00温度再下降10℃，这时的温度为（ ）℃。 突破题型六正负数的比较大小 21．在11、﹣3、、和314%中，最小的数是（ ），最大的数是（ ）。 22．甲、乙两支队伍进行知识竞赛。抢答规则是答对一题加5分，记作﹢5分；答错一题扣5分，记作（ ）分。如果甲队最后得分是﹣20分，乙队最后得分是﹣10分，（ ）队的成绩好一些。 23．北京气温是﹣17摄氏度，哈尔滨的气温是﹣23摄氏度，（ ）更冷些。广州的气温是15摄氏度，北京与广州的气温相差（ ）。 24．仔细观察并填空。 （1）如果“C”所表示的数是0.6，则“B”所表示的数是（ ）。如果“C”所表示的数是12，则“A”所表示的数是（ ）。 （2）将1、、、0.6这四个数在数轴上用点表示，其中离刻度“0”最近的数是（ ），在数轴最左边的数是（ ）。 突破题型七正负数解决简单的实际问题 25．一种袋装食品，超过标准净重的部分记为正数，不足部分记为负数。一袋食品净重104克，记为﹢4克，那么这种食品的标准净重是（ ）克：记为﹣3克的食品净重为（ ）克。 26．在表示楼层时，如果把地面看作0，地上3层记作，那么，地上20层记作（ ），地下3层记作（ ）。 27．小丽和小红同时从学校出发，小丽向东走60米，记作﹢60米，小红向西走80米，记作（ ）米，此时两人相距（ ）米。 28．足球比赛中，若胜一场记作3分，平一场记作1分，负一场记作分，则胜三场记作（ ）分，平一场负两场记作（ ）分。 突破题型八正负数在误差中的应用 29．一种饼干包装袋上标着：净重（250±10克），表示这种饼干的标准质量是250克，实际每袋最多是（ ）克。 30．一包锅巴的包装袋上标有“净重：80克±2克”，表示这包锅巴的标准质量是（ ）克，实际每包最少不少于（ ）克。 31．某食品包装袋上标有“质量200±3g”，质检员抽检了5袋，请在不合格产品后面的括号里打“×”。 201g（    ）    198g（    ）    204g（    ）    199g（    ）   203g（    ） 32．如果下降5米记作﹣5米，那么上升4米记作（ ）米；一袋饼干的外包装上标有“净含量（500±5）克”，这袋饼干的净含量最少是（ ）克。 突破题型九正负数的实际应用（稍微复杂问题） 33．国庆节，明明一家去峨眉山景区游玩。爸爸告诉明明，可以用温差来估计山的高度。明明测得主峰山脚的气温是16℃，山顶的气温是－2℃，请你帮他算一算，峨眉山主峰的高度大约是多少米？ 34．学校为了普及低碳环保知识，举行了知识竞赛，共10道抢答题。评分规则是答对一道题加20分，答错或不答一道题扣10分。如果把加20分记作﹢20分，那么扣10分应记作多少分呢？蓝蓝在本次竞赛中的得分是110分，她答对了几道题？ 35．一副扑克分别有13张红桃和13张黑桃，得一张黑桃记作：﹢10分，得一张红桃记作：﹣10分。 （1）小楠得了6张黑桃，4张红桃，共得多少分？ （2）小燕抓了14张牌，得了﹣20分，她抓了多少张红桃？多少张黑桃？ 36．悟空随师父扫完金光塔回来，累的唐僧满头大汗，八戒见状，忙端茶向前献勤，并关切的说道：“师父，你这是扫了多少地啊，累成这个样子”？还未等唐僧说话，悟空抢言道：“傻猪头，你算算吧，塔共六层，以100平方米为标准，每层超过的平方米数记为正数，不足的平方米数记为负数，记录如下：﹢30，﹢18，﹢10，0，﹣15，﹣25。”八戒看后傻了眼，嘟嘟囔囔地说：“这咋算？”请你帮八戒算出来。 突破题型十正负数填表（存款类型问题） 37．四（1）班原有班费60元，卖废纸收入20元，老师给同学们买小贴画花了15元，班里回收塑料瓶收入30元，买彩纸又花了33元。如果我们把收入的钱用正数表示，支出的钱用负数表示，你能帮老师在下表中记录班费的收支情况吗？ 内容 金额/元 原有班费 ﹢60 卖废纸 （    ） 买小贴画 （    ） 回收塑料瓶 （    ） 买彩纸 （    ） 38．按要求作答。 3月8日：妈妈领工资3000元 3月10日：交水电费、管理费210元 3月12日：乐乐买衣服用去360元 3月15日：爸爸领工资4200元 3月18日：去公园玩用去280元 3月20日：妈妈买衣服用去270元 3月22日：爸爸买书报杂志用去130元 （1）请你用正负数填写表格 日期 收支情况/元 3月8日 3月10日 3月12日 3月15日 3月18日 3月20日 3月22日 （2）尝试计算乐乐家三月份的结余。 39．春节快到的时候，小明做了一个家庭月收支记录表。爸妈工资收入共9500元，春节给老人2000元，给小明和妹妹各100元压岁钱，交上个月的水电等费用400元，购买800元食品，4口人买新衣服需要1000元。请根据以上信息填写下表。你能算出小明家这个月的余额吗？ 项目 收支金额/元 爸妈工资收入 ﹢9500 春节给老人 给小明和妹妹压岁钱 交上个月水电等费用 购买食品 买新衣服 40．下面是亮亮妈妈记录的12月份家庭收支情况。 12月6日  爸爸工资收入4080元。 12月6日  妈妈工资收入3600元。 12月10日  订全年晚报支出280元。 12月11日  水电费支出300元。 12月15日  妈妈买衣服支出560元。亮亮买鞋支出270元。 12月16日  买书支出80元。 12月26日  给爷爷、奶奶、姥姥、姥爷买元旦礼物支出800元。购买节日食品支出120元。 12月28日  卖旧报纸收入22元。 12月30日  买茶叶支出60元。 12月31日  本月伙食费支出1500元。 用正数或负数把亮亮家12月份的收支情况记录在下面的表中。 日期 事由 收支金额（元） 突破题型十一上下车问题 41．小红乘坐1路公交车上学，她上车时车上一共有15人，途中经过4个停靠站，第一站上车4人，下车1人；第二站上车5人，下车2人；第三站上车3人，下车6人；第四站上车7人，下车3人，到实验小学站下车，这一站上车0人，下车10人。 （1）如果上车人数用正数表示，请你根据以上停息，将这个过程记录在下表。    停靠站 第一站 第二站 第三站 第四站 实验小学站 上下车人数 （人） 上车 下车 上车 下车 上车 下车 上车 下车 上车 下车 （2）从小红上车到下车，1路公交车一共上车多少人？一共下车多少人？ （3）小红下车后，公交车开往下一站时，车上还有多少人？ 42．下面是地铁3号线在部分站点的上下车人数情况，其中正数表示上车人数，负数表示下车人数。 地铁站 起始站 三西庄 十二中 东里 团结潮 衡山路 上下车人数 ﹢68人 ﹣35人 ﹢38人 ﹣25人 ﹢19人 ﹣26人 ﹢19人 ﹣17人 ﹢48人 ﹣56人 ﹢52人 （1）地铁从东里站驶离时，车上一共有多少人？ （2）哪一站下车人数最多？哪一站下车人数最少？相差多少人？ 43．下表是粮仓库存大米在一个星期内的变化情况。 星期 日 一 二 三 四 五 六 出入库大米/袋 ﹢500 ﹣280 ﹢400 ﹣300 ﹢180 ﹣500 ﹢900 ﹣200 ﹣330 ﹢100 ﹣190 ﹢190 （1）星期一运进大米（    ）袋，运出大米（    ）袋。 （2）星期（    ）只运出大米而没有运进大米，星期（    ）运出和运进的大米一样多。 （3）星期五运出的大米比运进的大米多多少袋？ 专题二百分数（二） 突破题型一折扣问题之求现价 1．“文墨”商店降价出售图书，图书统一打“八五折”出售。东东在“文墨”商店买了一本原价50元的百科书，需要支付( )元。 2．一款手机标价a元，现在打八五折出售，打折后这部手机卖( )元。如果这款手机标价是3000元，那么打折后买它可以便宜( )元。 3．一种商品打“八八折”销售，“八八折”就是原价的( )%。如果这种商品原价600元，现在买，便宜( )元。 4．国庆期间，聪聪一家三口去电影院观看《万里归途》，他们上午去比晚上去一共节省了27元，每张电影票的原价是( )元。 优惠信息 上午场 下午场 夜场 七折 八折 九折 突破题型二折扣问题之求原价 5．一件商品打六折销售。“六折”表示销售价是原价的( )%。如果销售价是150元；那么销售价比原价便宜( )元。 6．笑笑在书店“全场八折”的活动期间购买了一套《美丽的地球》丛书，花了96元。这套书原价( )元。 7．某家电商场开展“双十一”惠民促销活动，对商场的所有商品实行相同折扣数的打折出售。于是李阿姨用900元就买到了原价1500元的电饭堡，同行的张阿姨花2880元买了一台平板电脑。这次活动，让张阿姨省下了( )元钱。 8．一件衣服原价320元，如果按“每满100元减20元”的优惠销售，那么实际价格为( )元；如果按“打八折”的优惠销售，那么实际价格为( )元。 突破题型三折扣问题之求折扣 9．红旗超市一个香粽礼盒标价400元，端午节超市做“满300元减100元”的优惠活动，这样一个香粽礼盒实际是打( )折出售。 10．梦幻奶茶屋开展“六一”促销活动：第2杯半价。笑笑买了两杯奶茶，相当于打( )折。 11．2024年的端午节期间，某超市粽子促销：粽子10元一个，第一个原价，第二个半价。妈妈购买了两个粽子，一共要花( )元，每个粽子相当于打了( )折。 12．一瓶饮料售价4元，现在“买四送一”，王军花了16元买这种饮料，相当于打了( )折，每瓶饮料的实际价格比售价便宜( )元。 突破题型四分数小数百分数与成数的互化 13．0.75＝＝（    ）∶20＝（    ）％＝（    ）（成数）。 14．＝0.75＝（    ）∶24＝（    ）折＝（    ）（成数）。 15．3÷( )＝( )( )折＝( )（填成数）。 16．＝12∶（    ）＝四成＝（    ）%＝（    ）（填小数）。 突破题型五求增加或减少几成的问题 17．张大妈家去年收玉米1500千克，今年收玉米2100千克，今年比去年增产( )（填成数）。 18．王叔叔经营着一个家庭农场，今年小麦喜获丰收，产量达到9吨/公顷，比去年增产二成五，去年小麦的产量是( )吨/公顷。 19．李老师要买一套售价85万元的商品房，首付三成，首付要付款( )。 20．某农场去年收成大豆240千克，今年收成比去年增收了一成五，今年收成( )千克。 突破题型六根据成数反求单位“1” 21．某手机厂6月份生产了5万台手机，比5月份增产了两成五，5月份这个手机厂的产量是 ( )万台。 22．现如今“直播带货”已经成为促进经济增长的有效途径。王叔叔将收获的青椒通过直播形式销售后，12月青椒总销售量比11月提高了八成五，12月青椒总销售量是740千克，11月青椒总销售量是( )千克。 23．某林场有一块精品茶园，今年共收特等茶叶42吨，比去年增产二成。这个林场去年共收特等茶叶( )吨。 24．某商场一件上衣的原价是450元，现在打八折出售，打折后的售价是( )元。该商场五月份的销售额是199.2万元，比四月份增长了二成，四月份的销售额是( )万元。 突破题型七求应纳税额 25．便民水果超市6月份的营业额中应纳税部分为12000元。如果按应纳税部分的3%纳税，那么便民水果超市6月份应缴纳税款( )元。 26．某旅店五月份的营业额约是42万元。如果按营业额的5%缴纳营业税，这家旅店五月份应缴纳营业税约( )万元。 27．微信提现收费规则：每位注册用户享有1000元免费提现额度，超过部分收取0.1%的手续费，李老师是微信注册新用户，现在需要从微信钱包中提取现金1800元，需要支付( )元的手续费。 28．王伯伯开了个超市，上个月营业额是30000元，按规定要按营业额的5%缴纳营业税，他上个月应缴( )元的营业税。 突破题型八求税率或收入额 29．王叔叔买了一辆小轿车，按车价的9%缴纳车辆购置税1.8万元。这辆小轿车的车价是( )万元。 30．刘阿姨为某杂志审稿获得一笔审稿费，为此她需要按照3%的税率缴纳个人所得税90元，刘阿姨获得的这笔审稿费是( )元。 31．张老师写了一页文章，交了5元钱的个人所得税后，收入稿费95元钱，个人所得税的税率是( )。 32．某超市5月份缴纳了0.72万元的营业税，如果营业税是按照5%的税率缴纳的，那么这个超市5月份的营业额是( )万元。 突破题型九求利息 33．2024年8月，小明的妈妈把5万元存入某银行，定期2年，年利率是1.60%。到期时，妈妈能从银行取出利息( )元。 34．王奶奶把10000元钱按年利率3.52%存入银行，存期三年，计算到期后她所得的利息应是( )元。 35．爷爷把3000元存入银行3年，年利率是2.75%，到期后，他可取出本息一共( )元。 36．2019年3月1日，冬冬把自己的2000元压岁钱存入银行，定期三年。如果按年利率2.75%计算，到期时，冬冬可以取回( )元。 突破题型十求利率或本金 37．妈妈将20000元钱存入银行，存期二年，到期获得利息840元，年利率是( )%。 38．李奶奶把4000元钱存入银行1年，到期的时候取回了4080元。王奶奶存入银行的本金是( )元，利息是( )元，银行1年期的利率是( )。 39．王叔叔存入银行20000元，存期3年，到期时王叔叔取得本金和利息共22550元，年利率是( )。 40．王伯伯把8000元钱存入银行，定期存3年，得到的利息是924元，王伯伯当时的存款年利率是( )%。 突破题型十一利润问题 41．某商店同时出售了两件商品，售价都是240元，一件亏损了20%，另一件盈利20%，对商家来说是赚了还是亏了？赚了（或亏了）多少？ 42．某商场售货员同时卖出两件上衣，每件都以135元售出，若按成本计算，其中一件盈利25%，另一件亏损25%，问这次售货员是赔了还是赚了？赚了或亏了多少元？ 43．某商店从江南皮革厂以每个80元的价格购进了60个皮箱，这些皮箱共卖了6300元。这个商店从这60个皮箱上共获得多少利润？利润率是多少？ 44．商品甲按的利润卖出，卖出价是240元，商品乙按的亏损卖出，卖出价是270元，如果把甲和乙两种商品合起来是赚了还是亏了，赚或亏了多少元？ 突破题型十二利润与折扣的综合 45．成本0.25元的练习本1200本，按40%的利润定价出售，结果只销掉80%的练习本，剩下的练习本打折扣出售，这样所获得的全部利润是预定利润的86%，问剩下的练习本出售时是按定价打了多少折扣？ 46．某服装店一件衣服打八折后的价格是220元，按这一价格出售能够获得10%的利润，若不打折按原价出售的利润率为多少？ 47．商店有成本140元的复读机80台，按的利润定价出售，当卖掉后，剩下的打折销售，结果销售额是定价的，剩下的复读机是按定价打了多少折出售的？ 48．商场进了一批羊绒大衣，如果每件按标价卖出，每件可得利润80元，如果在标价的基础上打七折出售，则亏损25元。每件羊绒大衣的进价是多少元？ 突破题型十三分段计算纳税问题 49．我国税法规定，公民月收入超过1600元的部分，分段按比例缴纳个人所得税，具体纳税标准如下。 税率 5% 10% 15% 对应纳税额 不超过500元（含500元） 超过部分500－2000元（含2000元） 超过部分2000－3500元（含3500元） （1）贝贝的爸爸上月收入是2400元，应缴纳税款多少元？ （2）妈妈上月税后共得2705元，她的月收入额是多少元？ 50．按《个人所得税法》规定，个人月工资收入超过5000元的部分，应缴纳个人所得税。应纳税所得额不超过3000元的部分，按税率3%缴纳；应纳税所得额超过3000元不超过12000元的部分，按税率10%缴纳。 （1）李叔叔每月的工资收入是8200元，他每月应向国家缴纳多少元的个人所得税？ （2）张阿姨每月工资收入7600元，缴纳个人所得税后的收入是多少元？ 51．李林为一家公司设计平面广告图，公司付给他报酬5400元，按照规定超过1000元的部分应按的税率缴纳个人所得税。李林在这次设计工作中，实际获得报酬多少元？ 52．自2019年1月1日起，计算个人所得税应纳税所得额，在5000元基本减除费用扣除和“三险一金”等专项扣除外，还可享受子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或住房租金、赡养老人等专项附加扣除，即应纳税所得额＝月度收入－5000元（起征点）－专项扣除－专项附加扣除。丁丁爸爸月收入20000元，专项扣除3577.5元，首套房贷扣除1000元，子女教育扣除1000元，赡养老人扣除1000元。丁丁爸爸每月缴纳个人所得税多少钱？ 全月应纳税所得额（含税） 税率 不超过3000元部分 3% 超过3000元不超过12000元的部分 10% 超过12000元不超过25000元的部分 20% 突破题型十四选择最佳的储蓄方案 53．小英有2000元钱，打算存入银行5年，有两种储存方式。第一种方式，五年期整存整取，当时年利率是5.25%；第二种方式，先存一年期的，当时年利率是3.25%，每年到期后把本金和利息取出来合在一起，再存入一年，这样一年一年地存下去，也共存5年。如果假设这5年内一年期的年利率保持不变，那么用哪种存法得到的利息较多？ 54．王叔叔和李阿姨准备到银行各存1万元，存期两年。按哪种方式存款，利息会多一些？（假设转存时年利率不变） 存期 一年 两年 年利率 1.75% 2.25% 王叔叔说：“我存定期两年。” 李阿姨说：“我先存定期一年，取出利息，连同本金再存一年，这样利息会多一些。” 55．桐桐的姐姐在读研究生的第一学期获得奖学金8000元，经全家一致同意把这笔钱存入银行。谁的意见最合适呢？ 银行利率 一年：3.8% 二年：4.0% 三年：4.2% 56．今年银行的利率分别是：定期一年1.8%，定期两年2.15%，小明家要存20000元定期。爸爸妈妈有不同的方案。 （1）妈妈计划用20000元先存一年定期，到期后连本带利再存一年定期，两年一共可得多少利息？ （2）爸爸认为用20000元直接存两年的定期。到期可得利息多少？如果你是小明，你会支持谁的方案 专题三圆柱与圆锥 突破题型一圆柱的认识及特征 1．圆柱的侧面是一个( )面，把它沿高展开，如果得到一个长方形，那么长方形的长等于圆柱的( )，宽等于圆柱的( )。 2．下图是一个蛋糕盒，盒上扎了一条漂亮的丝带，已知蛋糕盒底面周长是94.2cm，高是16cm，接头处用去20cm，这条丝带长( )m。 3．如图，一个长方体纸箱，里面恰好可以装下6桶A种饮料。如果改装B种饮料，最多可以装( )桶。 突破题型二圆柱的展开图 4．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，已知它的底面周长是31.4分米，则这个圆柱底面直径和高的比是( )。 5．如图，图（2）是图（1）的侧面展开图。一只昆虫沿着圆柱的侧面，从A点沿最短的距离爬到B点。B点在图（2）中( )的位置（填序号）。 6．圆柱的侧面沿一条高展开后是一个( )形，这个( )形的长等于圆柱的( )，宽等于圆柱的( )。 突破题型三圆柱的侧面积 7．一个圆柱的底面周长是3分米，高是3分米，侧面是( )，侧面积是( )平方分米。 8．一个压路机的前轮是圆柱形的，轮宽1.2米，半径是4分米。前轮滚动一周，压路的面积是( )平方米。 9．有一个底面直径是3cm的圆柱形玩具，高8cm，滚动一周后前进了( )cm，压过的面积是( )cm2。 突破题型四圆柱的表面积 10．一个蔬菜大棚（如图），长20m，横截面是一个半径为2m的半圆。搭成这个大棚至少需要塑料薄膜( )m2（取整数），大棚种植面积是( )m2。 11．一根圆柱形木料的底面半径是0.5米，长是2米。将它截成4段，这些木料的表面积之和比原木料的表面积增加了( )平方米。 12．一顶帽子，上面是圆柱形，用黑布做；帽檐部分是圆环，用黄色布做（如图，单位：cm）。做这顶帽子所用的黑布与黄布相差( )cm2。 突破题型五含圆柱组合体的表面积 13．如图，将三个圆柱叠在一起，表面积减少了( )平方分米。 14．下图所示的物体是由一个正方体和一个圆柱体组成，正方体的棱长是，圆柱体的底面直径和高均为，那么这个物体的表面积是( )平方厘米。（取3.14） 15．有一个如图所示的箱子，其上半部分的形状是一个圆柱的一半，下半部分是以一个棱长为1米的正方体，已知每涂1平方米需要油漆0.5千克，那么要把这个箱子的外表面都涂上油漆，共需要油漆 千克。（π取3.14） 【点评】本题考查了组合体表面积的计算，掌握相应的公式是解答本题的关键。 突破题型六圆柱的体积 16．如图，这是一个圆柱的表面展开图，它的侧面积是( )平方厘米，体积是( )立方厘米。 17．把一个底面直径为4cm的圆柱切成两个半圆柱，表面积增加了48cm2，原来圆柱的表面积是( )cm2，体积是( )cm3。 18．一个半径3cm，高10cm圆柱的展开图如图所示，这个圆柱的侧面展开图的长是( )cm，宽是( )cm，这个圆柱的侧面积是( )cm2，表面积是( )cm2，体积是( )cm3。 突破题型七圆柱的容积 19．如图所示，一种饮料瓶，容积是200毫升，瓶身是圆柱形。将该瓶正放时饮料高20厘米，倒放时余部分高5厘米，瓶内的饮料是( )毫升。 20．一整瓶水，喝去一部分后，剩余的如图所示，喝去( )mL水。 21．一个无盖的圆柱形铁皮水桶，底面半径2dm，高8dm，做这个水桶至少需要( )dm2的铁皮，这个水桶的容积是( )L。 突破题型八含圆柱立体图形的切拼 22．一根圆柱形木料，底面积是75cm2，长是90cm，它的体积是( )cm3，如果把它平均锯成3段，需要锯( )次，它的表面积就会增加( )cm2。 23．将一个圆柱高5厘米，沿底面半径切成两个半圆柱，表面积增加了40平方厘米，这个圆柱的体积为( )立方厘米。 24．三个完全一样的圆柱能拼成一个长9厘米的圆柱，但表面积减少50.24平方厘米，原来一个圆柱的体积是( )。 突破题型九圆锥的认识及特征 25．下面哪些立体图形是圆锥？是的在括号里画“√”，不是的在括号里画“×”。 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )  ( ) 发现：圆锥有( )个底面，且底面是一个( )，圆锥的侧面是一个( )面。 26．如图，将直角三角形以一条直角边所在的直线为轴旋转一周，可以得到一个圆锥，圆锥的底面直径是( )cm，高是( )cm。 27．一个长方形A4纸，以长边为轴旋转360°后得到的图形是( )。以一个直角三角形的一条直角边为轴旋转360°后得到的图形是( )。 突破题型十圆柱与圆锥体积的关系 28．将一个体积是24立方分米的圆柱削成一个最大的圆锥，削去部分的体积是( )立方分米。 29．如图所示绕木棒旋转后，甲、乙两部分所形成的立体图形的体积之比是( )。 30．一个圆柱和一个圆锥等底等高，已知圆柱体积比圆锥体积多32立方厘米，圆柱的体积是( )立方厘米。 突破题型十一圆锥的体积或容积 31．如图，将10毫升酒装入一个圆锥形容器中，酒深正好占容器深的。请问：再添入( )毫升酒，可装满此容器？ 32．一个圆锥形钢铸零件，底面直径是4厘米，高是6厘米，每立方厘米钢重8克，这个钢铸零件重( )克。 33．一个长方体水箱，高15分米，里面水深6分米，把一个圆柱体铁块完全浸没在水中后，这时水面高度是9.6分米，接着又把一个圆锥体铁块完全浸没在水中。已知圆柱体铁块与圆锥体铁块底面半径的比是，高的比是，现在水面的高度是( )分米。 突破题型十二体积的等积变形问题 34．把一块体积是78.5立方厘米的长方体钢块，熔铸成一个底面周长是6.28厘米的圆锥。这个圆锥的高是( )厘米。（π取3.14） 35．一个圆柱的体积是36dm3，和它等底等高的圆锥的体积是( )dm3，如果把这个圆锥铸成一个高是4dm的长方体，那么长方体的底面积是( )dm2。 36．小明把一个底面半径是5厘米，高是8厘米的圆柱形橡皮泥捏成一个圆锥形模型。这个模型的体积是( )立方厘米；如果这个模型的底面半径也是5厘米，则它的高是 ( )厘米。 突破题型十三含圆锥立体图形的切拼 37．张师傅要将下面的正方体木块切割成一个最大的圆锥，切割成的圆锥的体积是( )cm3。 38．一个木制圆锥形陀螺底面直径是6cm，高是4cm，沿底面直径把陀螺切成两个完全相同的两部分，表面积增加了( )，制作这个陀螺需要( )木料。 39．有一块正方体木料的棱长是6分米。把它削成一个最大的圆锥体，要削去( )立方分米。 突破题型十四组合体的体积 40．下图是由一个圆柱与一个圆锥组成（单位：厘米），这个组合图形的体积是( )立方厘米。 41．整流罩是运载火箭的重要组成部分，位于运载火箭顶部，通常是由近似的圆柱和圆锥组成，起到有效保护的作用。下图是某型号运载火箭整流罩的示意图，这个整流罩的容积约是( )m3（得数保留整数，整流罩的厚度忽略不计）。 42．蒙古包也称“毡包”，是蒙古族的传统民居。如图，蒙古包可以看作是由一个圆柱和一个圆锥组成的。这个蒙古包内的空间大约是( )m3。 突破题型十五不规则物体的体积测量问题 43．两个同样的量杯原来各盛有640mL水。现将两个等底等高的圆柱与圆锥零件分别放入这两个量杯中，圆柱放入后量杯水面刻度如图①所示，那么图②中圆锥放入后量杯水面刻度显示应是( )mL。 44．有四个完全相同的圆柱体容器，先装入同样多的水，再分别往容器②、③、④中放入大小不同的两种钢球，水面高度变化如下图所示。现在容器④中的水面高度是( )厘米。 45．如图，一个圆柱形容器的底面直径是40厘米，容器中水面的高度为10厘米，把底面直径为24厘米，高40厘米的铁块竖直放入后，铁块的上底面仍高于水面，这时水面升高了( )厘米。 突破题型十六表面积及组合体的表面积计算问题 46．求表面积。 47．求下图所示几何体的表面积（单位：）。 48．求下面图形的表面积（单位：dm）。 突破题型十七圆柱及含圆柱组合体的体积计算问题 49．求如图的体积。（π取3.14） 50．求图形的体积（单位：厘米）（π取3.14）。 51．求下面图形的体积。（单位：厘米） 突破题型十八圆锥及含圆锥组合体的体积计算问题 52．计算如图图形的体积。 53．求组合图形的体积。（单位：cm） 54．求下列图形的体积。     专题四比例 突破题型一比与比例的区别和联系 1．一个比例的两个内项分别是8和6，两个比的比值都是，这个比例可能是（    ）。 A． B． C． 2．在8∶32，，这三个比中，能与16∶12组成比例的是（    ）。 A．8∶32 B． C． D．都不能 3．下面（    ）中的两个比可以组成比例。 A．9∶12和6∶10 B．∶和∶ C．1.5∶3.5和0.9∶2.4 D．3.8∶2和19∶16 突破题型二比例的意义 4．用3、8、15、40四个数组成一个比例是（ ）。 5．红红用蜂蜜和水为家人调制了四杯蜂蜜水，蜂蜜和水的配比情况如下表所示。 第一杯 第二杯 第三杯 第四杯 蜂蜜（g） 12 12 15 18 水（g） 48 60 50 90 第（ ）杯和第（ ）杯的蜂蜜与水的质量比的比值相同，把它们组成一个比例是（ ）。 6．下图中小红身高与小树高的比是（ ），小红影长与小树影长的比是（ ），组成比例是（ ），还可以组成比例（ ）。             突破题型三比例的基本性质 7．在一个比例中，两个内项的积是最小的质数，一个外项是5，则另一个外项是（ ）；16的因数有（ ）个，选取其中的四个组成比例是（ ）。 8．若7x＝8y（x和y都大于0），则x∶y等于（ ∶ ），若，则m×（ ）＝n×（ ）。 9．在比例里，两个外项互为倒数，其中一个内项是，另一个内项是（ ）。 突破题型四正比例的认识和辨认 10．已知5＝（、均不为0），∶＝（ ），和成（ ）比例。 11．A÷5＝B（A、B都不等于0），那么A和B成（ ）比例关系。圆柱高一定，它的体积和（ ）成正比例。 12．若则x和y成 比例关系，x和y的大小关系是x y。（填“＞”“＜”或“＝”） 突破题型五反比例的认识和辨认 13．如果和互为倒数，且＝，那么a＝（ ）。和成（ ）比例关系。 14．从家骑自行车到学校，车轮的直径和转动的圈数成（ ）比例关系，比值一定，比的前项和后项成（ ）比例关系。（均选填“正”或“反”） 15．某商场所有物品都打同样的折扣销售。原价200元的衣服，现价140元。如果用a表示原价，b表示现价，用式子表示a和b之间的数量关系是（ ），a和b成（ ）比例关系。 突破题型六根据正反比例填表 16．表中，如果x和y成正比例，则？是（ ）；如果x和y成反比例，则？是（ ）。 x 3 4 y 2.4 ？ 17．填空。 x 27 ？ y 3 9 （1）如果x和y成正比例，“？”处填 。 （2）如果x和y成反比例，“？”处填 。 18．把相同体积的水倒入底面积不同的长方体容器中，变化情况如下表： 底面积/cm2 10 15 20 25 … 水高度/cm 45 30 22.5 18 … 如果长方体容器底面积用S表示，水的高度用h表示，S和h成（ ）比例；如果底面积30cm2，水高度是（ ）cm。 突破题型七正比例的图形及简单应用 19．某汽车行驶路程和耗油量的关系如图。 （1）该汽车的耗油量与（ ）成正比例关系，因为：（ ）。 （2）利用图像估计一下，该汽车行驶60千米的耗油量是（ ）。 20．在弹性范围内，某种弹簧伸长的长度与所挂物体的质量情况如下图。 （1）如果挂4kg物体，弹簧伸长的长度是（ ）cm。 （2）弹簧伸长的长度与所挂物体的质量成（ ）比例。（填“正”或“反”） （3）当弹簧伸长的长度是0.7cm时，所挂物体的质量是（ ）kg。 21．如下图表示一工程队修筑公路的长度与所用时间的关系，这个工程队修路长度与所用时间成（ ）比例，照这样计算，修长750米公路需要（ ）天。 突破题型八比例尺的意义 22．一个手表零件长2毫米，画在一幅图上长4厘米，这幅图的比例尺是（ ）。 23．一幅地图的比例尺是把它改写成数值比例尺是（ ）。 24．把地面12千米的距离用6厘米的线段画在地图上。那么，这幅地图的比例尺是（ ）。 突破题型九比例尺应用之求图上距离 25．在比例尺为1∶2000的地图上，1厘米的线段代表实际距离（ ）米，实际距离180米在图上要画（ ）厘米。 26．比例尺1∶4000000表示图上1厘米代表实际（ ）千米；如果实际距离20千米，在图上要用（ ）厘米长的线段表示。 27．在比例尺的地图上，表示图上距离与实际距离的比是（ ），实际距离96km，在这幅图上用（ ）cm表示。 突破题型十比例尺应用之求实际距离 28．丫丫在一本旅游地图上，看到上面标的线段比例尺是，将线段比例尺改写成数值比例尺是（ ）；她用直尺测量了地图上A、B两地的距离是4.5cm，那么A、B两地的实际距离是（ ）km。 29．把线段比例尺写成数值比例尺是（ ）。如果甲、乙两地图上距离是5厘米，那么甲、乙两地的实际距离是（ ）千米。 30．“商都”郑州到“文字之都”安阳的距离约170km，在一幅地图上，量得这两个城市的图上距离是3.4cm，这幅地图的比例尺是（ ）。在这幅地图上，量得郑州到“十三朝古都”洛阳的图上距离是2.2cm，郑州到洛阳的实际距离是（ ）km。 突破题型十一图上距离和实际距离的换算 31．填写下表。 图上距离 4.5cm 15cm 实际距离 130km 300km 2mm 比例尺 1∶60000 1∶500000 16∶1 32．根据比例尺、图上距离、实际距离之间的关系填写下表。 图上距离 3.4cm 42dm 42dm 实际距离 150km 比例尺 1∶3000000 1∶6 6∶1 33．填表。 比例尺 图上距离 实际距离 1.8km 450km 15cm 突破题型十二图形的放大和缩小 34．把一张长2dm、宽8cm的长方形图纸按1∶4缩小，得到的新图纸面积是（ ）cm2。 35．将一个正方体的每条棱的长度都按的比例缩小，那么，它的表面积会缩小到原来的（ ），体积会缩小到原来的（ ）。（填上合适的分数） 36．学校制作宣传栏表彰“阅读小达人”，如图是一位同学的二寸照片的尺寸，老师想按比例放大装进宣传栏，放大后照片的宽是22cm，长是（ ）cm。 突破题型十三比例的应用 37．王丹阳一家去曲阜尼山书院游玩，他们并排站着拍了一张全家福照片。王丹阳身高1.65米，照片上王丹阳的身高是5.5厘米。爸爸身高1.86米，照片上爸爸的身高是（ ）厘米。 38．成语“立竿见影”从数学的角度看，是应用了比例中同时同地竿高和影长成正比例关系的知识。身高1.6米的聪聪在阳光照射下的影子长2.8米，同时同地量得妹妹的影子长2.1米，妹妹的身高是（ ）米。 39．甲乙两个学校图书本数比是4∶3，两所学校同时捐给山区小学300本图书，这时甲乙两校图书本书比是7∶5，那么甲乙两校原来共有（ ）本图书。 突破题型十四解比例 40．解方程或解比例。 2－＝1.5             ∶＝∶ 41．求未知数。                           42．解比例。                  突破题型十五应用比例尺作图 43．小明家正北方向300米是科技馆，科技馆正东方向600米是动物园，动物园南偏西30°方向400米是书店。画出上述地点的平面图。（比例尺是1∶10000） 44．根据信息画一画。（比例尺1∶50000） （1）新华书店在广场北偏西60°方向1500米处，请在图上标出新华书店的位置。 （2）若要从新华书店修一条小路到新开路，画出新华书店到新开路最近的路线。 45．为与新冠病毒竞速，武汉市火速建设了雷神山、火神山医院，以集中收治肺炎患者。火神山医院的建成，可大大缓解北偏东50∘方向30千米处的金银潭医院的就诊压力，请在图中标出金银潭医院的位置。    突破题型十六作放大或缩小后的图形 46． （1）画出把正方形按1∶2的比缩小后的图形。 （2）画出把平行四边形按3∶1的比扩大后的图形。 47．（1）按1∶2画出三角形缩小后的图形A。 （2）按2∶1画出梯形扩大后的图形B，并画出图形B的对称轴。 48．把三角形A向右平移5格，得到三角形B，再将三角形B按2∶1放大，得到三角形C。 突破题型十七应用比例尺解决实际问题 49．智能交通系统可以对事故发生地点精准定位。一天，某高速路上发生两车相撞事故，车祸发生后，救援工作迅速开展。在比例尺为1∶600000的地图上，量得事故现场与最近的派出所相距3.5厘米。最近的派出所与医院收到智能交通系统信号后分别同时派出了一辆警车和一辆救护车，警车经过10分钟到达现场。 （1）事故现场与最近的派出所实际相距多少千米？ （2）若警车与救护车速度之比为5∶6，救护车与警车同时到达事故现场，则事故现场与最近的医院实际相距多少千米？ 50．“神州”九号载人飞船返回舱着陆在内蒙古的四子王旗，聪聪在第一张地图上量得四子王旗与北京的距离大约是3厘米，而在第二张地图上量得四子王旗与北京的距离大约是5厘米。 （1）老师说他量的数据都对，请你解释其中的原因。 （2）如果四子王旗到北京的距离大约是450千米，那么第一张地图的比例尺是多少？ 51．下面是小红家的平面示意图。 （1）这幅图的比例尺是1∶（ ）。 （2）小红放学后沿虚线所示的路线去书店买书，她从学校到书店实际走了（ ）米。 （3）小红在家写作业时发现钢笔坏了，于是步行去文具店买钢笔，她沿道路先向西走100米，再向北偏西80°方向走200米，点（ ）最有可能是文具店的位置。 突破题型十八图形缩放问题及运动的综合作图 52．按要求完成三幅图，并填空。 ①画出圆向右平移3格，再向上平移4格后的图形，移动后圆心O的位置用数对表示为（  ，  ）。 ②画出平行四边形绕A点顺时针旋转90°后的图形。 ③画出正方形按2∶1扩大后的图形，扩大后的正方形面积是原来的（    ）倍。 53．按要求画图并回答问题。 （1）画出三角形ABC绕B点顺时针旋转90°得到的图形。 （2）画出三角形ABC按2∶1放大后得到的图形，放大后的图形与原图的面积之比是（    ）。 （3）如果以AB边所在直线为轴快速旋转一周，三角形ABC转出来的立体图形是（    ），它的体积是（    ）。 54．想一想，在方格中画一画。 （1）图中的平行四边形沿高分成了两部分，把其中的三角形向（    ）平移（    ）格，平行四边形就变成了长方形。 （2）把三角形ABC绕点A顺时针旋转90°，画出旋转后的图形。旋转后，点B的新位置用数对表示是（    ）。 （3）画出图中下方梯形的另一半，使它成为轴对称图形。再画出这个轴对称图形按照1∶2缩小后的图形。 突破题型十九应用正比例解决实际问题 55．一种新型笔芯每支售价是0.8元。 数量/支 0 1 2 3 4 5 6 7 8 … 总价/元 0 0.8 1.6 … （1）把笔芯数量与总价相对应的点在图中描出来，并连线。 （2）买11支笔芯需要（    ）元。 （3）小丽买笔芯的钱是小华的3倍，小丽买笔芯的支数是小华的（    ）倍。 56．东东记录了某国产品牌电动汽车的仪表盘上显示的相关数据，整理结果如下： 行驶路程（千米） 100 120 130 140 150 耗电量（千瓦时） 15 18 19.5 21 22.5 （1）观察上表中的数据，电动汽车的行驶路程与耗电量成（    ）比例关系。 （2）当电动汽车行驶了600千米时，电动汽车将消耗多少千瓦时的电？（用比例解答） 答：电动汽车将消耗90千瓦时的电。 57．C919是中国首款按照国际通行适航标准，自行研制、具有自主知识产权的客机。下面是C919飞行时间和所行路程的变化情况。 飞行时间/时 0 1 3 5 6 所行路程/千米 0 900 2700 4500 5400 （1）因为（    ），所以所行路程和飞行时间成（    ）比例关系。 （2）根据上表，在下图中描出它的图像。 （3）利用图像判断C919飞机行驶1800千米用时（    ）小时；4小时行驶（    ）千米。 突破题型二十应用反比例解决实际问题 58．某牛奶公司把一批牛奶进行灌装，如表给出了几种不同的灌装方案。 方案 一 二 三 每瓶容量/升 0.25 0.2 0.5 瓶数 800 1000 400 （1）这批牛奶的总量是（    ）升。 （2）（    ）没有变化，每瓶容量和灌装的瓶数成（    ）比例。 （3）如果将这批牛奶装入250个瓶子里，每瓶要装多少升？（用比例解） 59．学校要给一间功能教室铺地砖，每块地砖的面积与所需地砖的数量如表。 每块地砖的面积/平方米 0.2 0.3 0.4 0.6 0.8 … 所需地砖的数量/块 600 400 300 200 150 … （1）每块地砖的面积和所需地砖的数量成（    ）比例关系。 （2）如果铺这一地面用了500块地砖，所用的地砖每块面积是多大？（用比例解答） 60．毕业，不止是一场告别，更是一次新的征程。为了给孩子们送上祝福，在心中留下美好的校园回忆，中心小学六年级的老师精心设计了一面长方形的照片墙，征集具有纪念意义的照片贴在墙上展览。每张照片的面积和所贴照片数量的关系如表： 每张照片的面积/ 4 9 16 … 所贴照片的数量/张 216 96 54 … （1）观察上表中的数据，每张照片的面积和所贴照片的数量成（    ）比例。 （2）如果采用面积是的照片来贴满这面长方形照片墙，需要多少张照片？（用比例解答） 专题五数学广角—鸽巢问题 突破题型一鸽巢问题初步型 1．一副扑克牌去掉大小王共52张，至少要抽取（ ）张牌，才能保证其有2张同花色的牌。 2．口袋里有6个白球和3个黑球，它们只有颜色不同。要保证摸出2个白球，至少一次摸出（ ）个球；要保证摸出2个同色球，至少一次摸出（ ）个球。 3．给8名同学分书，要保证一名同学至少分得5本，至少要准备（ ）本书。 4．一副扑克牌54张，无论怎么抽，问至少抽多少张，一定会有4张牌点数相同？（不考虑大、小王） 突破题型二鸽巢问题进阶型 5．将60个乒乓球放在9个盒子里，每个盒子放的乒乓球个数都不相同，每个盒子至少放了一个乒乓球，那么放球最多的盒子里最少放了多少个乒乓球？ 6．学校开设了书法、舞蹈、棋类、乐器四个课外学习班，每个学生最多可以参加两个（可以不参加）学习班。某班有52名同学，至少有几名同学参加课外学习班的情况完全相同？ 7．学校开设了画画、写作、书法3个兴趣班，四年级3班共40人，每个学生都报名了其中两个兴趣班，那么这个班至少有多少个学生报的兴趣班完全一样？ 8．图书角有A、B、C、D四类书，六（1）班有42名学生，每名学生最多可借两本不同类型的书，最少借一本，至少有几名学生所借的书的类型完全相同？ 突破题型三鸽巢问题（最不利原则） 9．把红、黄、蓝、黑四种颜色的筷子各4根混在一起。如果让你闭上眼睛，每次至少拿几根才能保证有4根颜色一致的筷子？ 10．某班有48位同学参加跳绳比赛，在规定的时间内，最多的同学跳了175次，最少的同学跳了160次，那么在该班中至少要挑出多少位同学，从中必能选出3位在规定的时间内跳绳次数相同的同学？ 11．有规格尺寸相同的六种颜色的袜子各20只混装在箱内。 （1）黑暗中从箱内至少取出多少只才能保证有3双袜子？ （2）黑暗中从箱内至少取出多少只才能保证有3双同色袜子？ （3）黑暗中从箱内至少取出多少只才能保证有3双不同色袜子？ 12．一副扑克牌去掉大王和小王后共有52张，这些扑克牌有四种花色，每种花色有13张。 （1）一次至少要拿出（ ）张牌，才能保证至少有两张牌是同花色的。 （2）一次至少要拿出（ ）张牌，才能保证有4张牌是同一种花色。 （3）一次至少要拿出（ ）张牌，才能保证四种花色都有。 （4）一次至少要拿出（ ）张牌，才能保证至少有两张牌的数字是一样的。（直接写出答案） 突破题型四运用鸽巢原理解决实际问题 13．一副扑克牌有54张，去掉大小王后，最少要抽取（    ）张牌，才能保证其中至少有2张牌的点数相同。 A．9 B．13 C．14 D．27 14．一个口袋里装有红、白、蓝三种不同颜色的小球各8个，至少要摸出（    ）个小球，其中肯定有8个颜色相同。 A．8 B．9 C．17 D．22 15．袋子里有红、黄、蓝三种颜色的球各5个，要保证摸出的球一定有两个颜色相同，至少要摸出（    ）个；要保证摸出的球一定有两个颜色不同，至少要摸出（    ）个。 A．4；6 B．6；10 C．10；11 D．11；6 16．密封的纸盒里有60粒大小相同的珠子，每15粒是同一种颜色，为保证一次取出3粒颜色相同的珠子，至少要取出（    ）粒。 A．6 B．9 C．12 D．18 学科网（北京）股份有限公司 $$