1.2.4 绝对值 暑假预习讲义（六大题型） 2024-2025学年人教版数学七年级上册

1.2.4 绝对值 1.绝对值的几何定义： 一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做a的绝对值，记作|a|． 2.绝对值的代数定义： ①一个正数的绝对值是它本身； ②一个负数的绝对值是它的相反数； ③0的绝对值是0． 即： 或 ． 3.绝对值的性质： ①，即有最小值； ②若几个非负数的和为零，则每一个非负数都为零； ③若|x|=a（a>0），则x=±a． 类型一、绝对值的概念 ( 典型例题 ) 【典型例题1】﹣2023的绝对值等于（　　） A．﹣2023 B．2023 C．±2023 D．2022 【典型例题2】（2025•惠城区模拟）-3的绝对值等于（　　） A．-3 B．3 C．±3 D．0 ( 巩固练习 ) 1.（2025•湖南模拟）计算下列各组数，结果不等于-5的是（ ） A．-（+5） B．+（-5） C．-|-5| D．-（-5） 2.（2025春•中山市校级期中）|-2024|的相反数是（ ） A．2024 B．-2024 C． D． 类型二、绝对值的几何意义 ( 典型例题 ) 【典型例题3】（2025•思明区校级模拟）若一个数的绝对值是2，则这个数是（ ） A．2 B．-2 C．±2 D．0 【典型例题4】（2024秋•辽中区期末）在数轴上，点A，B在原点O的两侧，分别表示数a,2，将点A向右移动3个单位长度，得到点C，若CO=BO，则a的值为 ( 巩固练习 ) 3.（2023秋•金平区校级期中）在数轴上表示数a的点到原点的距离为7，则a+|-a|= 4.大家知道|5|=|5-0|，它在数轴上的意义是：表示5的点与原点（即表示0的点）之间的距离．又如式子|6-3|，它在数轴上的意义是：表示6的点与表示3的点之间的距离．类似地，式子|a-（-5）|在数轴上的意义是 类型三、绝对值的化简 ( 典型例题 ) 【典型例题5】（2024秋•昭平县期末）已知a＜0，则计算|2-a|=（ ） A．2+a B．2-a C．a-2 D．2 【典型例题6】（2024秋•冠县期末）若|a+2|=11，|b|=17，且|a+b|=-（a+b），求a-b的值． ( 巩固练习 ) 5.（2025•三河市一模）化简-|-4|的结果为（ ） A．-4 B．4 C． D． 6.（2024秋•平泉市期末）若|-x|=5，则x= 7.（2024秋•蒸湘区校级月考）有理数a、b、c在数轴上的位置如图： （1）判断正负，用“＞”或“＜”填空：b-c 0，a+b 0，c-a 0． （2）化简：|b-c|+|a+b|-|c-a|． 8.（2024秋•利津县期中）若|a|=5，|b|=3． （1）若ab＜0，求a+b的值； （2）若|a+b|=a+b,求a-b的值． 类型四、0+0=0模型 ( 典型例题 ) 【典型例题7】（2024秋•东西湖区校级月考）已知|x-3|+|y+6|=0，求（x+y）（x-y）的值． ( 巩固练习 ) 9.（2024秋•宝应县月考）若|x-2|+|y+7|+|z-9|=0，计算： （1）x,y,z的值． （2）求|x|+|y|+|z|的值． 10.（2024秋•富县月考）已知|x|=3，|y|=7． （1）若x＞0，y＜0，求x,y的值； （2）若x＜y,求x,y的值． 11.（2024秋•浦东新区校级期中）若（a+b）6+|b-2|=b-2，且|a-b+1|=3，求a,b的值． 类型五、最值问题 ( 典型例题 ) 【典型例题9】（2024秋•贵港期末）如果x为有理数，式子|x+1|-2025存在最小值，则这个最小值是（ ） A．-2025 B．-2024 C．-2023 D．-2022 【典型例题10】（2024秋•洪雅县期末）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： （1）数轴上表示3和2的两点之间的距离是 ；表示-2和1两点之间的距离是 ；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m-n|． （2）如果|x+1|=2，那么x= ； （3）若|a-3|=4，|b+2|=3，且数a、b在数轴上表示的数分别是点A、点B，则A、B两点间的最大距离是 ，最小距离是 ． （4）若数轴上表示数a的点位于-3与5之间，则|a+3|+|a-5|= ． （5）当a= 时，|a-1|+|a+5|+|a-4|的值最小，最小值是 ． ( 巩固练习 ) 12.（2024秋•上杭县期中）大家知道|5|=|5-0|，它在数轴上表示5的点与原点（即表示0的点）之间的距离．又如式子|6-3|，它在数轴上的意义是表示6的点与表示3的点之间的距离．即点A、B在数轴上分别表示数a、b,则A、B两点的距离可表示为：|AB|=|a-b|．根据以上信息，回答下列问题： （1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ；数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是 ； （2）点A、B在数轴上分别表示实数x和-1． ①用代数式表示A、B两点之间的距离； ②如果|AB|=2，求x的值． （3）直接写出代数式|x+1|+|x-4|的最小值及相应的x的取值范围． 13.（2024秋•浦东新区期中）阅读理解：对于有理数a、b,|a|的几何意义为：数轴上表示数a的点到原点的距离；|a-b|的几何意义为：数轴上表示数a的点与表示数b的点之间的距离．如：|x-2|的几何意义即数轴上表示数x的点与表示数2的点之间的距离，请根据你的理解解答下列问题： （1）我们知道|x+2|=|x-（-2）|，根据几何意义，若|x+2|=3，那么x的值是 ． （2）利用数轴分析|x+2|+|x-3|的几何意义，|x+2|+|x-3|的最小值是 ． （3）|x+1|+|x|+|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-24|的最小值是 ． 类型六、实际应用 ( 典型例题 ) 【典型例题11】（2025•郑州一模）检测4个篮球，其中超过标准的克数记为正数，不足的克数记为负数．从轻重的角度看，下列数据更接近标准的是（ ） A．-2.5 B．-0.7 C．+3.2 D．+0.8 【典型例题12】（2025•秦皇岛一模）一批零件超过规定长度记为正数，短于规定长度记为负数，越接近规定长度质量越好．检查其中四个零件，结果如下：第一个为-0.02mm,第二个为0.06mm,第三个为-0.04mm,第四个为0.01mm.则这四个零件中质量最差的是（ ） A．第一个 B．第二个 C．第三个 D．第四个 ( 巩固练习 ) 14.（2024秋•遵义期末）某市的地铁站牌每一个站名上方都有一个对应数字，将上、下站名所对应数字相减的差的绝对值作为乘车路程，根据乘车路程所在区段计算票价．乘车路程区段与对应票价（部分）如下表： 另外，学生乘车实行5折优惠，若一名学生上车时站名对应数字是4，下车时站名对应数字是23，则该学生乘车的费用为 元． 15.（2024秋•海淀区期末）对于一组互不相等的正有理数，若对于其中任意两个数a,b,a+b与|a-b|两数中至少有一个在这组数中，则称这组有理数是“好数组”． （1）2，3，5 “好数组”，1，2，3，5 “好数组”；（填“是”或“不是”） （2）若2，4，8，x是“好数组”，求出x的所有可能值； （3）若含2025的5个正有理数是“好数组”，直接写出所有符合条件的“好数组”． 参考答案 类型一、绝对值的概念 ( 典型例题 ) 【典型例题1】﹣2023的绝对值等于（　　） A．﹣2023 B．2023 C．±2023 D．2022 【分析】本题考查绝对值的含义．即：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数．利用绝对值的意义求解． 【答案】B 【解析】因为负数的绝对值等于它的相反数；所以，﹣2023的绝对值等于2023．故选B． 【典型例题2】（2025•惠城区模拟）-3的绝对值等于（　　） A．-3 B．3 C．±3 D．0 【分析】根据绝对值的性质解答即可． 【解答】解：|-3|=3．故选：B． 【点评】此题考查了绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0． ( 巩固练习 ) 1.（2025•湖南模拟）计算下列各组数，结果不等于-5的是（ ） A．-（+5） B．+（-5） C．-|-5| D．-（-5） 【分析】逐项进行化简判断即可． 【解答】解：根据化简多重符号和绝对值的计算法则，逐项进行化简判断如下： A、-（+5）=-5，故该选项不符合题意； B、+（-5）=-5，故该选项不符合题意； C、-|-5|=-5，故该选项不符合题意； D、-（-5）=5，故该选项符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了化简多重符号和绝对值，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 2.（2025春•中山市校级期中）|-2024|的相反数是（ ） A．2024 B．-2024 C． D． 【分析】根据相反数、绝对值的定义解答即可求得答案． 【解答】解：|-2024|=2024，2024的相反数是-2024．故选：B． 【点评】本题考查了相反数、绝对值，掌握相反数、绝对值的定义是解答此题的关键． 类型二、绝对值的几何意义 ( 典型例题 ) 【典型例题3】（2025•思明区校级模拟）若一个数的绝对值是2，则这个数是（ ） A．2 B．-2 C．±2 D．0 【分析】根据绝对值的定义进行计算即可． 【解答】解：一个数的绝对值是2，即在数轴上表示这个数的点到原点的距离为2，所以这个数是2或-2， 故选：C． 【点评】本题考查绝对值，理解绝对值的定义是正确解答的关键． 【典型例题4】（2024秋•辽中区期末）在数轴上，点A，B在原点O的两侧，分别表示数a,2，将点A向右移动3个单位长度，得到点C，若CO=BO，则a的值为 【分析】先用含a的式子表示出点C，根据CO=BO列出方程，求解即可． 【解答】解：由题意知：A点表示的数为a,B点表示的数为2，C点表示的数为a+3 因为CO=BO， 所以|a+3|=2， 解得a=-5或-1 故答案为：-5或-1 【点评】本题考查了数轴和绝对值方程的解法，用含a的式子表示出点C，是解决本题的关键． ( 巩固练习 ) 3.（2023秋•金平区校级期中）在数轴上表示数a的点到原点的距离为7，则a+|-a|= 【分析】根据数轴表示数的方法得到a=7或-7，然后分别代入计算即可． 【解答】解：∵数轴上表示数a的点到原点的距离为7， ∴a=7或-7， ∴a+|-a|=7+|-7|=7+7=14或a+|-a|=-7+|-（-7）|=-7+7=0． 故答案为：0或14． 【点评】本题考查绝对值、数轴，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 4.大家知道|5|=|5-0|，它在数轴上的意义是：表示5的点与原点（即表示0的点）之间的距离．又如式子|6-3|，它在数轴上的意义是：表示6的点与表示3的点之间的距离．类似地，式子|a-（-5）|在数轴上的意义是 【分析】根据题目信息与数轴的知识解答即可． 【解答】解：|a-（-5）|在数轴上的意义是：表示a的点与表示-5的点之间的距离．故答案为：表示a的点与表示-5的点之间的距离． 【点评】本题考查了绝对值，数轴，读懂题目信息是解题的关键． 类型三、绝对值的化简 ( 典型例题 ) 【典型例题5】（2024秋•昭平县期末）已知a＜0，则计算|2-a|=（ ） A．2+a B．2-a C．a-2 D．2 【分析】先判断2-a＞0，再去绝对值符号即可得解． 【解答】解：根据题意可知，2-a＞0， ∴|2-a|=2-a.故选：B． 【点评】本题主要考查了绝对值，掌握绝对值的定义是关键． 【典型例题6】（2024秋•冠县期末）若|a+2|=11，|b|=17，且|a+b|=-（a+b），求a-b的值． 【分析】利用绝对值的定义确定a、b的可能取值，再计算a-b的值． 【解答】解：∵|a+2|=11，|b|=17， ∴a+2=±11，a=9或-13，b=±17， ∵|a+b|=-（a+b）， ∴a+b＜0， ∴a=9时，b=-17，a-b=9-（-17）=9+17=26， a=-13时，b=-17，a-b=-13-（-17）=-13+17=4， ∴a-b的值为26或4． 【点评】本题考查了绝对值，解题的关键是掌握绝对值的定义． ( 巩固练习 ) 5.（2025•三河市一模）化简-|-4|的结果为（ ） A．-4 B．4 C． D． 【分析】根据绝对值的定义解答即可． 【解答】解：根据绝对值的定义可得：-|-4|=-4，故选：A． 【点评】该题考查了绝对值，熟练掌握该知识点是关键． 6.（2024秋•平泉市期末）若|-x|=5，则x= 【分析】直接根据绝对值的意义求解． 【解答】解：∵|-x|=5， ∴-x=±5， ∴x=±5．故答案为±5． 【点评】本题考查了绝对值：若a＞0，则|a|=a；若a=0，则|a|=0；若a＜0，则|a|=-a. 7.（2024秋•蒸湘区校级月考）有理数a、b、c在数轴上的位置如图： （1）判断正负，用“＞”或“＜”填空：b-c 0，a+b 0，c-a 0． （2）化简：|b-c|+|a+b|-|c-a|． 【分析】（1）根据数轴判断出a、b、c的正负情况，然后分别判断即可；（2）去掉绝对值号，然后合并同类项即可． 【解答】解：（1）由图可知，a＜0，b＞0，c＞0且|b|＜|a|＜|c|， 所以，b-c＜0，a+b＜0，c-a＞0； 故答案为：＜，＜，＞； （2）|b-c|+|a+b|-|c-a|=（c-b）+（-a-b）-（c-a）=c-b-a-b-c+a=-2b. 【点评】本题考查了绝对值的性质，数轴，熟记性质并准确识图观察出a、b、c的正负情况是解题的关键． 8.（2024秋•利津县期中）若|a|=5，|b|=3． （1）若ab＜0，求a+b的值； （2）若|a+b|=a+b,求a-b的值． 【分析】（1）若ab＜0，则a、b异号，求出a、b的值，再把它们相加即可．（2）若|a+b|=a+b,则a+b≥0，求出a、b的值，再把它们相减即可． 【解答】解：∵|a|=5，|b|=3， ∴a=±5，b=±3， （1）若ab＜0，则a=5，b=-3或a=-5，b=3， ①a=5，b=-3时，a+b=5-3=2． ②a=-5，b=3时，a+b=-5+3=-2． （2）若|a+b|=a+b,则a+b≥0， ∴a=5，b=-3或3， ∴a-b=5-（-3）=8，或a=5，b=3时，a-b=5-3=2． 故a-b=8或2． 【点评】此题主要考查了绝对值的含义和求法，考查了分类讨论思想的应用，解答此题的关键是分别求出a、b的值各是多少． 类型四、0+0=0模型 ( 典型例题 ) 【典型例题7】（2024秋•东西湖区校级月考）已知|x-3|+|y+6|=0，求（x+y）（x-y）的值． 【分析】代数式求值，先根据|x-3|+|y+6|=0，求出x=3，y=-6，然后再代入求值即可． 【解答】解：由条件可知x-3=0，y+6=0，解得：x=3，y=-6， ∴原式=（3-6）×[3-（-6）]=（-3）×（3+6）=-3×9=-27． 【点评】本题主要考查了绝对值的非负性，熟练掌握非负数的性质是关键． 【典型例题8】（2024秋•垦利区校级月考）已知|x+1|+|y-3|=0，求x和y的值． 【分析】根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可． 【解答】解：∵|x+1|+|y-3|=0， ∴x+1=0，y-3=0， ∴x=-1，y=3． 【点评】本题考查了非负数的性质：掌握几个非负数的和为0，则这几个非负数分别等于0，并正确得出未知数的值是解题的关键． ( 巩固练习 ) 9.（2024秋•宝应县月考）若|x-2|+|y+7|+|z-9|=0，计算： （1）x,y,z的值． （2）求|x|+|y|+|z|的值． 【分析】（1）根据非负数的性质“三个非负数相加，和为0，这三个非负数的值都为0”列出方程，即可解出x、y、z的值；（2）将（1）中求出的x、y、z的值分别代入，先根据绝对值的性质去掉绝对值的符号，再运用有理数加法法则计算即可． 【解答】解：（1）∵|x-2|+|y+7|+|z-9|=0， 解得x=2，y=-7，z=9； （2）当x=2，y=-7，z=9时，原式=|2|+|-7|+|9|=2+7+9=18． 【点评】本题主要考查了非负数的性质，有理数加法运算，初中阶段有三种类型的非负数：（1）绝对值；（2）偶次方；（3）二次根式（算术平方根）．当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0．根据这个结论可以求解这类题目． 10.（2024秋•富县月考）已知|x|=3，|y|=7． （1）若x＞0，y＜0，求x,y的值； （2）若x＜y,求x,y的值． 【分析】（1）根据正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数进行求解即可；（2）先根据绝对值的意义得到x=±3，y=±7，再由x＜y,可得x=±3，y=7． 【解答】解：（1）∵|x|=3，|y|=7， ∴x=±3，y=±7， 又∵x＞0，y＜0， ∴x=3，y=-7； （2）∵|x|=3，|y|=7，x＜y, ∴x=±3，y=7． 【点评】本题主要考查了绝对值，掌握绝对值的定义是关键． 11.（2024秋•浦东新区校级期中）若（a+b）6+|b-2|=b-2，且|a-b+1|=3，求a,b的值． 【分析】根据绝对值及偶次方的非负性进行计算即可． 【解答】解：由题知，因为（a+b）6+|b-2|=b-2，且（a+b）6≥0，|b-2|≥0， 所以b-2≥0， 则（a+b）6=0， 所以a+b=0， 则a=-b. 又因为|a-b+1|=3， 所以a-b+1=±3． 当a-b+1=3时，-b-b+1=3， 解得b=-1（舍去）． 当a-b+1=-3时，-b-b+1=-3， 解得b=2，则a=-2， 所以a=-2，b=2． 综上所述，a的值为-2，b的值为2． 【点评】本题主要考查了绝对值，熟知绝对值的性质及巧用分类讨论的数学思想是解题的关键． 类型五、最值问题 ( 典型例题 ) 【典型例题9】（2024秋•贵港期末）如果x为有理数，式子|x+1|-2025存在最小值，则这个最小值是（ ） A．-2025 B．-2024 C．-2023 D．-2022 【分析】根据|x+1|≥0得出当x=-1时，式子|x+1|-2025存在最小值． 【解答】解：由绝对值的非负性可得|x+1|≥0， ∴当x=-1时，式子|x+1|-2025存在最小值，这个最小值是-2025，故选：A． 【点评】本题考查了绝对值的意义，熟练掌握绝对值性质是关键． 【典型例题10】（2025•凤凰县模拟）若m为任意实数，则|m+2019|的最小值是 【分析】根据绝对值具有非负性可得答案． 【解答】解：|m+2019|的最小值是0，故答案为：0． 【点评】此题主要考查了绝对值，关键是掌握绝对值性质：①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数-a；③当a是零时，a的绝对值是零． 【典型例题10】（2024秋•洪雅县期末）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： （1）数轴上表示3和2的两点之间的距离是 ；表示-2和1两点之间的距离是 ；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m-n|． （2）如果|x+1|=2，那么x= ； （3）若|a-3|=4，|b+2|=3，且数a、b在数轴上表示的数分别是点A、点B，则A、B两点间的最大距离是 ，最小距离是 ． （4）若数轴上表示数a的点位于-3与5之间，则|a+3|+|a-5|= ． （5）当a= 时，|a-1|+|a+5|+|a-4|的值最小，最小值是 ． 【分析】（1）根据数轴，观察两点之间的距离即可解决； （2）根据绝对值可得：x+1=±3，即可解答； （3）根据绝对值分别求出a,b的值，再分别讨论，即可解答； （4）根据|a+3|+|a-5|表示数a的点到-3与5两点的距离的和即可求解； （5）分类讨论，即可解答． 【解答】解：（1）数轴上表示3和2的两点之间的距离是：3-2=1；表示-2和1两点之间的距离是：1-（-2）=3； （2）|x+1|=2，x+1=2或x+1=-2，x=1或x=-3． （3）∵|a-3|=4，|b+2|=3， ∴a=7或-1，b=1或b=-5， 当a=7，b=-5时， 则A、B两点间的最大距离是12， 当a=1，b=-1时， 则A、B两点间的最小距离是2， 则A、B两点间的最大距离是12，最小距离是2； （4）若数轴上表示数a的点位于-3与5之间，|a+3|+|a-5|=（a+3）+（5-a）=8． （5）当a≥4时，原式=a+5+a-1+a-4=3a,这时的最小值为3×4=12 当1≤a＜4时，原式=a+5+a-1-a+4=a+8，这时的最小值为1+8=9 当-5≤a＜1时，原式=a+5-a+1-a+4=-a+10，这时的最小值接近为1+8=9 当a≤-5时，原式=-a-5-a+1-a+4=-3a,这时的最小值为-3×（-5）=15 综上可得当a=1时，式子的最小值为9 故答案为：（1）1；3；（2）1或-3；（3）12；2；（4）8；（5）1；9． 【点评】此题考查数轴上两点之间的距离的算法：数轴上两点之间的距离等于相应两数差的绝对值，应牢记且会灵活应用． ( 巩固练习 ) 12.（2024秋•上杭县期中）大家知道|5|=|5-0|，它在数轴上表示5的点与原点（即表示0的点）之间的距离．又如式子|6-3|，它在数轴上的意义是表示6的点与表示3的点之间的距离．即点A、B在数轴上分别表示数a、b,则A、B两点的距离可表示为：|AB|=|a-b|．根据以上信息，回答下列问题： （1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ；数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是 ； （2）点A、B在数轴上分别表示实数x和-1． ①用代数式表示A、B两点之间的距离； ②如果|AB|=2，求x的值． （3）直接写出代数式|x+1|+|x-4|的最小值及相应的x的取值范围． 【分析】（1）根据题意，可得数轴上表示2和5的两点之间的距离是：|5-2|=3；数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是：|（-2）-（-5）|=3．（2）①根据点A、B在数轴上分别表示实数x和-1，可得表示A、B两点之间的距离是|x-（-1）|=|x+1|．②如果|AB|=2，则|x+1|=2，据此求出x的值是多少即可．（3）根据题意，可得代数式|x+1|+|x-4|表示数轴上有理数x所对应的点到4和-1所对应的两点距离之和，所以当-1≤x≤4时，代数式|x+1|+|x-4|的最小值是表示4的点与表示-1的点之间的距离，即代数式|x+1|+|x-4|的最小值是5． 【解答】解：根据分析，可得（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是：|5-2|=3；数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是：|（-2）-（-5）|=|-2+5|=|3|=3． （2）①|AB|=|x-（-1）|=|x+1|． ②如果|AB|=2，则|x+1|=2，x+1=2或x+1=-2， 解得x=1或x=-3． （3）∵代数式|x+1|+|x-4|表示数轴上有理数x所对应的点到4和-1所对应的两点距离之和， ∴当-1≤x≤4时，代数式|x+1|+|x-4|的最小值是：|4-（-1）|=5， 即代数式|x+1|+|x-4|的最小值是5，x的取值范围是-1≤x≤4． 故答案为：5，-1≤x≤4． 【点评】（1）此题主要考查了绝对值的含义和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数-a；③当a是零时，a的绝对值是零．（2）解答此题的关键是要明确：|x-a|既可以理解为x与a的差的绝对值，也可理解为x与a两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 13.（2024秋•浦东新区期中）阅读理解：对于有理数a、b,|a|的几何意义为：数轴上表示数a的点到原点的距离；|a-b|的几何意义为：数轴上表示数a的点与表示数b的点之间的距离．如：|x-2|的几何意义即数轴上表示数x的点与表示数2的点之间的距离，请根据你的理解解答下列问题： （1）我们知道|x+2|=|x-（-2）|，根据几何意义，若|x+2|=3，那么x的值是 ． （2）利用数轴分析|x+2|+|x-3|的几何意义，|x+2|+|x-3|的最小值是 ． （3）|x+1|+|x|+|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-24|的最小值是 ． 【解答】解：（1）|x+2|的几何意义：数轴上表示x的点与表示-2的点之间的距离， 若|x+2|=3，即x+2=3或x+2=-3， 解得x=1或x=-5，则x的值是1或-5， 故答案为：1或-5； （2）|x+2|+|x-3|的几何意义：数轴上表示x的点与表示-2的点之间的距离与数轴上表示x的点与表示3的点之间的距离之和， 当-2≤x≤3时，|x+2|+|x-3|的最小值是为3-（-2）=5，故答案为：5； （3）∵|x+1|+|x|+|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+⋯+|x-24|表示x到-1，0，1，2，3，•••24的点的距离的和， ∴当11≤x≤12时，|x+1|+|x|+|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+⋯+|x-24|最小，最小值为（1+2+3++10+11+12）×2+（24-11）=169， 故答案为：169． 【点评】本题考查数轴、绝对值，理解绝对值的定义，掌握数轴表示数的方法是正确解答的关键． 类型六、实际应用 ( 典型例题 ) 【典型例题11】（2025•郑州一模）检测4个篮球，其中超过标准的克数记为正数，不足的克数记为负数．从轻重的角度看，下列数据更接近标准的是（ ） A．-2.5 B．-0.7 C．+3.2 D．+0.8 【分析】由已知和要求，只要求出超过标准的克数和低于标准的克数的绝对值，绝对值小的则是最接近标准的球． 【解答】解：通过求4个数的绝对值得：|-2.5|=2.5，|-0.7|=0.7，|+3.2|=3.2，|+0.8|=0.8，-0.7的绝对值最小．所以第2个球是最接近标准的球．故选：B． 【点评】此题考查学生对正负数及绝对值的意义掌握，解答此题首先要求出四个球标准的克数和低于标准的克数的绝对值进行比较． 【典型例题12】（2025•秦皇岛一模）一批零件超过规定长度记为正数，短于规定长度记为负数，越接近规定长度质量越好．检查其中四个零件，结果如下：第一个为-0.02mm,第二个为0.06mm,第三个为-0.04mm,第四个为0.01mm.则这四个零件中质量最差的是（ ） A．第一个 B．第二个 C．第三个 D．第四个 【分析】根据绝对值最大的是质量最差的可得答案． 【解答】解：∵|0.06|=0.06＞|-0.04|=0.04＞|-0.02|=0.02＞|0.01|=0.01， ∴0.06＞0.04＞0.02＞0.01， ∴0.06mm的误差最大， ∴这四个零件中质量最差的是第二个． 故选：B． 【点评】本题考查了正数和负数，绝对值，掌握相应的定义是关键． ( 巩固练习 ) 14.（2024秋•遵义期末）某市的地铁站牌每一个站名上方都有一个对应数字，将上、下站名所对应数字相减的差的绝对值作为乘车路程，根据乘车路程所在区段计算票价．乘车路程区段与对应票价（部分）如下表： 另外，学生乘车实行5折优惠，若一名学生上车时站名对应数字是4，下车时站名对应数字是23，则该学生乘车的费用为 元． 【分析】利用乘法的费用等于票价乘以路程，列出算式进行求解即可． 【解答】解：根据题意可知，23-4=19，4.6×0.5=2.3（元）．故答案为：2.3． 【点评】本题考查了绝对值，掌握绝对值的定义是关键． 15.（2024秋•海淀区期末）对于一组互不相等的正有理数，若对于其中任意两个数a,b,a+b与|a-b|两数中至少有一个在这组数中，则称这组有理数是“好数组”． （1）2，3，5 “好数组”，1，2，3，5 “好数组”；（填“是”或“不是”） （2）若2，4，8，x是“好数组”，求出x的所有可能值； （3）若含2025的5个正有理数是“好数组”，直接写出所有符合条件的“好数组”． 【解答】解：（1）在2，3，5中，对于2，3，2+3=5，5在这组数中，对于2，5，|5-2|=3，3在这组数中，对于3，5，|5-3|=2，2在这组数中， ∴2，3，5这组有理数是“好数组”，在1，2，3，5中，对于1，5，1+5=6，|5-1|=4，6和4都不在这组数中， ∴.1，2，3，5不是“好数组”， 故答案为：是，不是； （2） ∵2，4，8，x是“好数组”， ∴2+8或|2-8|，即10或6至少一个在这个数组中， ∴x=10或 x=6， 当 x=10 时，对于4，10，4+10或|4-10|均不在这个数组中，与已知矛盾； 当 x=6时，|2-4|，|2-6|，|2-8|，|4-8|，|4-6|，|8-6|均在这个数组中， ∴2，4，8，6是“好数组”， ∴x的值为6； （3） 由（2）的解析过程，大胆猜想：由五个正有理数组成的“好数组”，能且仅能表示成a,2a,3a,4a,5a（a是正有理数）， 如果5a=2025，这五个正有理数组成的“好数组”为：405、810、1215、1620、2025； 如果4a=2025，这五个正有理数组成的“好数组”为506.25、1012.5、1518.75、2025、2531.25； 如果3a=2025，这五个正有理数组成的“好数组”为675、1350、2025、2700、3375； 如果2a=2025，这五个正有理数组成的“好数组”为1012.5、2025、3037.5、4050、5062.5； 如果a=2025，这五个正有理数组成的“好数组”为2025、4050、6075、8100、10125． 【点评】本题考查了新定义下的数字规律，绝对值的意义，有理数的加减法等知识，掌握相关知识是解题的关键． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$