第三章《概率初步》知识点管理及考点复习 2024-2025学年北师大版（2024）七年级 数学下册

第三章 概率初步 目录：知识点管理 考点管理 备考策略 （解析版） （一）知识点管理 思维导图 二、基本概念及公式 知识点梳理 （一）事件的分类 1.必然事件：在一定条件下，一定会发生的事件，其发生的概率为 1。 示例：太阳从东方升起。 2.不可能事件：在一定条件下，一定不会发生的事件，其发生的概率为 0。 示例：掷骰子出现点数 7。 3.随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，其发生的概率在 0 到 1 之间。 示例：掷硬币正面朝上。 ​ 事件类型​ 定义​ 概率值​ 核心特征​ 典型例子​ 必然事件​ 在一定条件下，事先能肯定一定会发生的事件​ ​ P=1​ 确定性：结果必然出现​ 1 抛一枚石子，石子下落； ② 任意三角形内角和为180∘ 不可能事件​ 在一定条件下，事先能肯定一定不会发生的事件​ ​ P=0​ 确定性：结果必然不出现​ ① 在标准大气压下，20∘C的水结冰； ②从装有 5 个红球的袋子中摸出白球​ 随机事件​ 在一定条件下，事先无法肯定会不会发生的事件​ ​ 0<P<1 ​ 不确定性：结果可能发生也可能不发生​ ① 掷一枚骰子，朝上点数为偶数；② 明天本地降雨量超过 50 毫米​ ​ （二）频率与概率的深度解析 概率的概念：刻画事件发生可能性大小的数值，用 (P(A) 表示事件 A 发生的概率。 频率与概率的关系： 频率：在 n 次重复试验中，事件 A 发生的次数 m 与试验总次数 n 的比值。 频率稳定性：当试验次数足够大时，频率会稳定在某个常数附近，该常数即为事件的概率。 联系：频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值。 频率的统计意义​ 试验案例：抛硬币试验中，随着试验次数增加（如 10 次、100 次、1000 次），正面朝上的频率会逐渐稳定在 0.5 附近（如下表）：​ ​ 试验次数​ 正面朝上次数​ 频率（正面朝上）​ 10​ 6​ 0.6​ 100​ 48​ 0.48​ 1000​ 502​ 0.502​ ​ 结论：频率是概率的 “试验近似值”，试验次数越多，频率越接近概率。 频率与概率的对比表​ ​ 项目​ 频率​ 概率​ 本质​ 试验统计值（随试验次数变化）​ 理论值（事件固有属性）​ 获取方式​ 通过重复试验计算 通过逻辑分析或公式推导 如等可能事件：​ 联系​ 大量重复试验时，频率趋近于概率（大数定律）​ 概率是频率稳定性的理论依据​ ​ （三）等可能事件的概率计算 基本公式：若一个试验有种等可能的结果，事件 A 包含其中的 种结果，则 。 典型模型 等可能事件模型: 摸球问题：袋中共有个球，其中个红球，随机摸出一个球是红球的概率为。 掷骰子问题：掷一枚均匀骰子，点数为奇数的概率为 转盘概率模型: 转盘问题：转盘被等分为 个区域，其中 个红色区域，指针落在红色区域的概率为 。 转盘问题三种等价计算方式： 面积比：若转盘被分成不同面积的扇形； 份数比：若转盘被等分成份； 角度比：若已知扇形圆心角为​ 几何概型模型： 概率与 “区域度量” 成比例（长度、面积、体积）。 （4） 游戏公平性 判断步骤： ① 列出所有可能结果； ② 计算双方获胜的概率； ③ 对比概率：若相等则公平，否则不公平。​ 设计公平游戏的三原则： 1 . 结果等可能性：如转盘各区域面积相等、摸球时每个球被摸到的概率相同； 2 . 概率对称：双方获胜的概率均为； 3 . 可操作性：规则清晰，无歧义（如明确 “放回” 或 “不放回” 摸球）。 （二）考点管理 考点 1：事件类型的判断 考查方式：给出具体事件，判断属于必然事件、不可能事件或随机事件。 例1． （1）下列事件中，属于必然事件的是（　　） A．13个人中至少有两个人出生月份相同 B．掷一枚骰子，向上一面的点数一定大于3 C．射击运动员射击一次，命中靶心 D．2025年有366天 （2）下列事件是必然事件的是（　　） A．太阳从东方升起 B．任意掷一枚质地均匀的骰子，向上的一面的点数是偶数 C．明天是晴天 D．同一平面内三条直线两两相交，交点个数是3个 版权所有 （3）下列事件是必然事件的是（　　） A．两个不同温度的物体靠在一起，发生热传递 B．买彩票中奖 C．守株待兔 D．天崩地裂 （4）“翻开北师大版数学七年级下册课本，恰好翻到第100页”，则这个事件是（　　） A．必然事件 B．随机事件 C．不可能事件 D．确定事件 （5）中国文化中的“四君子”指的是梅、兰、竹、菊．小明从四幅主题分别为梅、兰、竹、菊的国画中选择一幅进行临摹，选择的图画是“梅”这个事件是（　　） A．随机事件 B．确定性事件 C．必然事件 D．不可能事件 （6）下列事件中，是必然事件的是（　　） A．将一副新买的扑克牌洗匀后，任意抽取一张牌是红桃5 B．篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中 C．经过公共汽车站时，刚好遇到公共汽车进站 D．在所有的奇数中任选两个奇数，其乘积是奇数 例2． （1） 杜牧《清明》诗中写道“清明时节雨纷纷”，从数学的观点看，诗句中描述的事件 是 　 　 （填“必然”或“随机”）事件． 版权所有 （2）“八月十五云遮月，正月十五雪打灯”是一句谚语，你认为农谚说的是 　 　 （填写“必然事件”或“不可能事件”或“随机事件”）． 版权所有 （3）成语“刻舟求剑”描述的事件是　 　 事件．（填“随机”“不可能”或“必然”） 考点 2：概率的简单计算（公式应用） 考查方式 直接计算单一事件概率（如摸球、掷骰子）。 结合实际情境（如抽奖、转盘游戏）计算概率。 例3． （1）从一个装有6个红球、4个蓝球、2个白球和1个黑球的袋子中，随机摸出一个球（除颜色外其余的均相同）．下列事件中发生可能性最小的是（　　） A．摸出红球 B．摸出蓝球 C．摸出白球 D．摸出黄球 版权所有 （2）每年中考的理化生实验都是学生津津乐道的话题，考试时学生随机从三科中抽取一科，抽到物理、化学、生物的可能性完全相同．小明同学不太擅长物理，则小明同学没抽到物理的概率是（　　） A． B． C． D．1 版权所有 （3）嘉嘉同学要从网络流行语“数智化、情绪价值、松弛感”3个词语中随机抽取1个进行“表演猜词语”，嘉嘉同学抽中“松弛感”的概率为（　　） A． B． C． D． （4）不透明袋子中只装有2个红球和3个白球，这些球除颜色外无其他差别．从中随机摸出一个球，则摸出红球的概率是（　　） A． B． C． D． 例4． （1）一个不透明的袋子中装有10个小球，其中7个红球、3个白球，这些小球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出一个小球，则摸出的小球是红球的概率为 　 　 ． 版权所有 （2）如图所示的是一个可以自由转动的转盘．转动转盘，当转盘停止时，指针落在蓝色区域的概率是 　　 ． （3）小芳抛一枚质地均匀的硬币10次，有6次正面朝上，当她抛第11次时，正面朝上的概率为　 　 ． 例5．某商场文具卖场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘（转盘被等分成20个扇形），并规定：顾客每购买100元的商品，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准红色、黄色或绿色扇形区域（见扇形内的汉字注明），顾客就可以分别获得相应的奖品（如表）．小明和妈妈购买了125元的商品，可以获得一次转盘的机会，请解答下列问题： 颜色 奖品 红色 笔袋 黄色 中性笔 绿色 橡皮 （1）小明获得中性笔的概率是多少？ （2）小明获得奖品的概率是多少？ （3）为了吸引更多顾客，商家决定将获得奖品的概率提高为，则需要在原转盘的基础上将空白扇形涂色，那么需要再将几个空白扇形涂上颜色？ 考点 3：频率估计概率 考查方式：通过大量重复试验的频率数据，估计事件发生的概率。 例6． （1）学了概率的相关知识后，某综合实践小组利用计算机模拟抛掷一枚图钉的试验，研究落地后针尖朝上的概率，记录的试验数据如表： 累计抛掷次数 100 1000 2000 3000 4000 5000 6000 针尖朝上频率 0.500 0.610 0.600 0.594 0.625 0.614 0.618 随着试验次数的增大，估计“针尖朝上”的概率接近于（　　）（精确到0.01） A．0.50 B．0.59 C．0.62 D．0.63 （2）为推动农业现代化进程，某农科所在相同条件下开展农作物种子发芽率的试验，试验数据如表： 种子个数 100 400 600 700 900 1000 发芽种子个数 94 337 530 664 858 951 发芽种子频率 0.940 0.844 0.883 0.949 0.954 0.951 由此估计这种农作物种子在此条件下发芽的概率（精确到0.01）约为（　　） A．0.94 B．0.84 C．0.88 D．0.95 例7．（1）从某玉米种子中抽取6批，在同一条件下进行发芽试验，得到数据如下表： 种子粒数 100 400 800 1000 2000 5000 发芽种子粒数 85 298 652 793 1604 4000 发芽频率 0.850 0.745 0.815 0.793 0.802 0.800 根据以上数据可以估计，该玉米种子发芽的概率约为　 　 （精确到0.1）． 版权所有 （2）体育课篮球项目中，“投篮命中率”是一项重要的考核指标．如图是小强在平时运动过程中的投篮记录，请结合图示，估计现阶段小强随机投篮一次正好命中的概率约为　 ． 版权所有 例8．篮球运动员为了评估自己的投篮命中率，通常会进行一系列的训练测试．下表是某篮球运动员在相同的训练条件下，得到的一组测试数据： 投篮的次数 10 50 x 200 300 400 500 命中的次数 7 40 81 164 237 328 z 命中的频率 0.70 0.80 0.81 0.82 y 0.82 0.83 （1）填空：x＝　100　 ，y＝　0.79　 ，z＝　415　 ； （2）根据上表，该运动员任意投出一球，能投中的概率是　0.8　 （精确到0.1）； （3）根据估计的概率，若该运动员投篮150次，则他命中的次数大约是　120　 次； （4）如果该运动员重新投篮500次评估自己的投篮命中率，对比上表记录下数据，两表的结果会一样吗？为什么？ 例9．在一个不透明的盒子里装有红、白两种颜色的球共20个，这些球除颜色外其余完全相同．实践小组的同学做摸球试验，搅匀后，从盒子里随机摸出一只球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程，如表是实验中的部分统计数据： 摸球的次数n 10 20 50 100 200 500 800 1000 3000 摸到白球的次数m 4 7 10 28 50 127 196 252 744 摸到白球的频率 0.400 0.350 0.200 0.280 0.250 0.254 0.245 0.252 0.248 （1）请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近　0.25　 （精确到0.01）； （2）试估算盒子里白球有　5　 个； （3）某小组进行“用频率估计概率”的试验，符合（1）中结果的试验最有可能的是　①④　 （填写所有正确结论的序号）． ①从一副扑克牌（不含大小王）中任意抽取一张，这张牌是“红桃”． ②掷一个质地均匀的正方体骰子（面的点数分别为1到6），落地时面朝上点数“小于3”． ③投掷一枚均匀的硬币，落到桌面上恰好是正面朝上． ④甲、乙、丙、丁四人用抽签的方式产生一名幸运观众，正好抽到甲． 考点 4：游戏公平性分析 考查方式 判断现有游戏规则是否公平。 设计公平的游戏规则。 例10．如图，一个均匀转盘被平均分成10等份，分别标有1，2，…，10这10个数字，转动转盘，当转盘停止转动时，指针指向的数字即为转出的数字（若指针指向分界处则无效，需重新转动）．两人进行猜数游戏：甲猜“是大于6的数”，乙猜“不是大于6的数”。 （1） 这个游戏公平吗？谁赢得这个游戏的可能性更大？请说明理由． （2） 如果要想游戏公平，应该怎样设计游戏？ 版权所有 例11．小明和小亮利用质地均匀的骰子做游戏，规则如下： ●两人同时做游戏，各自掷一枚骰子，每人可以只掷一次骰子，也可以连续地掷几次骰子． ●当一人掷出的点数和不超过10时，如果决定停止掷，那么此人的得分就是他所掷出的点数之和；当一人掷出的点数和超过10时，必须停止掷，并且得分为0． ●比较两人的得分，谁的得分高谁就获胜． 根据下面这个表格中的数据记录回答： 游戏次序 游戏者 第1次点数 第2次点数 第3次点数 得分 第一次 小明 2 3 2 小亮 3 4 6 第二次 小明 4 1 小亮 3 5 （1）在第一次游戏中，小明的最终得分是 　7　 分，小亮的最终得分是 　0　 分，所以获胜的是 　小明　 （填小明或小亮）； （2）在第二次游戏中，如果小明继续掷第三次，试计算他最终得分为0的概率； （3）在第二次游戏中，如果你是小亮，在不知道小明最终得分的情况下，你会继续掷第三次吗？请说明你的理由． 考点 5：几何概率（面积 / 长度模型） 考查方式：通过图形面积或长度的比例计算概率。 例12． （1）如图，飞镖游戏板由9个全等的小正方形组成，任意向飞镖游戏板投掷飞镖一次，则飞镖击中阴影部分的概率是（　　） A． B． C． D． （2）如今我们生活在数字时代，很多场合都要用到二维码．小郑帮妈妈打印了一个收款二维码，如图所示，该二维码的面积为16cm2，他在该二维码内随机掷点，经过大量的重复试验发现，点落在白色区域的频率稳定在0.4左右，则据此估计该二维码中黑色区域的面积为（　　） A．6.4cm2 B．8cm2 C．9.6cm2 D．11.2cm2 例13．如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同．小亮每次投掷飞镖均扎在该飞镖游戏板上，且扎在飞镖板上任意点处的机会是均等的．则小亮随机投掷一次飞镖，飞镖扎在阴影区域的概率是 　 　 ． 例14．如图，在两个同心圆中，三条直径把大、小圆都分成相等的六个部分，若随意向圆中投球，求球落在阴影区域的概率． 版权所有 例15．某校为了解“阳光体育”活动的开展情况，从全校2000名学生中，随机抽取部分学生进行问卷调查（每名学生只能填写一项自己喜欢的活动项目），并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）被调查的学生共有　100　 人，并补全条形统计图； （2）在扇形统计图中，m＝　30　 ，n＝　10　 ，表示区域C的圆心角是　144°　 ； （3）小明是被问卷调查的同学，那么他参加了哪项活动的可能性最大？ （三）备考策略 （一）基础巩固 1. 概念辨析：明确必然事件、不可能事件、随机事件的区别，理解概率的意义（概率为 0.5 表示事件发生的可能性为 50%，而非必然发生一半次数）。 2. 公式熟记：掌握 的应用条件（等可能结果），区分频率与概率的联系与区别。 （二）专题突破 1. 计算专题：针对摸球、掷骰子、转盘等典型问题，反复练习概率计算，注意 “放回” 与 “不放回” 对结果的影响。 2. 公平性设计：通过例题总结公平性判断的步骤（计算双方概率→比较大小→得出结论），尝试设计不同规则的公平游戏。 （三）易错点强化 1. 常见错误 混淆频率与概率（如认为 “掷 10 次硬币 5 次正面朝上，概率就是 0.5”，需强调频率是实验值，概率是理论值）。 忽略等可能条件（如计算非均匀骰子的概率时误用公式）。 计算错误（如遗漏总结果数或事件包含结果数）。 2. 纠错练习：整理错题，针对错误类型专项训练，如几何概率中面积比例的计算。 （四）应试技巧 1. 审题技巧：圈画关键词（如 “必然”“随机”“等可能”），明确问题所求（概率、公平性、设计方案）。 2. 解题步骤：解答题需写出公式 ，并说明  和  的含义（。 3. 检查方法：计算概率后验证是否在 0 到 1 之间，公平性问题确保双方概率计算无误。 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三章 概率初步 目录：知识点管理 考点管理 备考策略 （解析版） （一）知识点管理 思维导图 二、基本概念及公式 知识点梳理 （一）事件的分类 1.必然事件：在一定条件下，一定会发生的事件，其发生的概率为 1。 示例：太阳从东方升起。 2.不可能事件：在一定条件下，一定不会发生的事件，其发生的概率为 0。 示例：掷骰子出现点数 7。 3.随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，其发生的概率在 0 到 1 之间。 示例：掷硬币正面朝上。 ​ 事件类型​ 定义​ 概率值​ 核心特征​ 典型例子​ 必然事件​ 在一定条件下，事先能肯定一定会发生的事件​ ​ P=1​ 确定性：结果必然出现​ 1 抛一枚石子，石子下落； ② 任意三角形内角和为180∘ 不可能事件​ 在一定条件下，事先能肯定一定不会发生的事件​ ​ P=0​ 确定性：结果必然不出现​ ① 在标准大气压下，20∘C的水结冰； ②从装有 5 个红球的袋子中摸出白球​ 随机事件​ 在一定条件下，事先无法肯定会不会发生的事件​ ​ 0<P<1 ​ 不确定性：结果可能发生也可能不发生​ ① 掷一枚骰子，朝上点数为偶数；② 明天本地降雨量超过 50 毫米​ ​ （二）频率与概率的深度解析 概率的概念：刻画事件发生可能性大小的数值，用 (P(A) 表示事件 A 发生的概率。 频率与概率的关系： 频率：在 n 次重复试验中，事件 A 发生的次数 m 与试验总次数 n 的比值。 频率稳定性：当试验次数足够大时，频率会稳定在某个常数附近，该常数即为事件的概率。 联系：频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值。 频率的统计意义​ 试验案例：抛硬币试验中，随着试验次数增加（如 10 次、100 次、1000 次），正面朝上的频率会逐渐稳定在 0.5 附近（如下表）：​ ​ 试验次数​ 正面朝上次数​ 频率（正面朝上）​ 10​ 6​ 0.6​ 100​ 48​ 0.48​ 1000​ 502​ 0.502​ ​ 结论：频率是概率的 “试验近似值”，试验次数越多，频率越接近概率。 频率与概率的对比表​ ​ 项目​ 频率​ 概率​ 本质​ 试验统计值（随试验次数变化）​ 理论值（事件固有属性）​ 获取方式​ 通过重复试验计算 通过逻辑分析或公式推导 如等可能事件：​ 联系​ 大量重复试验时，频率趋近于概率（大数定律）​ 概率是频率稳定性的理论依据​ ​ （三）等可能事件的概率计算 基本公式：若一个试验有种等可能的结果，事件 A 包含其中的 种结果，则 。 典型模型 等可能事件模型: 摸球问题：袋中共有个球，其中个红球，随机摸出一个球是红球的概率为。 掷骰子问题：掷一枚均匀骰子，点数为奇数的概率为 转盘概率模型: 转盘问题：转盘被等分为 个区域，其中 个红色区域，指针落在红色区域的概率为 。 转盘问题三种等价计算方式： 面积比：若转盘被分成不同面积的扇形； 份数比：若转盘被等分成份； 角度比：若已知扇形圆心角为​ 几何概型模型： 概率与 “区域度量” 成比例（长度、面积、体积）。 （4） 游戏公平性 判断步骤： ① 列出所有可能结果； ② 计算双方获胜的概率； ③ 对比概率：若相等则公平，否则不公平。​ 设计公平游戏的三原则： 1 . 结果等可能性：如转盘各区域面积相等、摸球时每个球被摸到的概率相同； 2 . 概率对称：双方获胜的概率均为； 3 . 可操作性：规则清晰，无歧义（如明确 “放回” 或 “不放回” 摸球）。 （二）考点管理 考点 1：事件类型的判断 考查方式：给出具体事件，判断属于必然事件、不可能事件或随机事件。 例1． （1）下列事件中，属于必然事件的是（　　） A．13个人中至少有两个人出生月份相同 B．掷一枚骰子，向上一面的点数一定大于3 C．射击运动员射击一次，命中靶心 D．2025年有366天 【解答】解：13个人中至少有两个人出生月份相同是必然事件； 掷一枚骰子，向上一面的点数一定大于3，射击运动员射击一次，命中靶心是随机事件； 2025年有366天是不可能事件； 故选：A． （2）下列事件是必然事件的是（　　） A．太阳从东方升起 B．任意掷一枚质地均匀的骰子，向上的一面的点数是偶数 C．明天是晴天 D．同一平面内三条直线两两相交，交点个数是3个 版权所有 【解答】解：A、太阳从东方升起，是必然事件，符合题意； B、任意掷一枚质地均匀的骰子，向上的一面的点数是偶数，是随机事件，不符合题意； C、明天是晴天，是随机事件，不符合题意； D、同一平面内三条直线两两相交，交点个数是3个，是随机事件，不符合题意； 故选：A． （3）下列事件是必然事件的是（　　） A．两个不同温度的物体靠在一起，发生热传递 B．买彩票中奖 C．守株待兔 D．天崩地裂 【解答】解：A、两个不同温度的物体靠在一起，发生热传递，是必然事件，符合题意； B、买彩票中奖，是随机事件，不符合题意； C、守株待兔，是随机事件，不符合题意； D、天崩地裂，是不可能事件，不符合题意； 故选：A． （4）“翻开北师大版数学七年级下册课本，恰好翻到第100页”，则这个事件是（　　） A．必然事件 B．随机事件 C．不可能事件 D．确定事件 【解答】解：“翻开北师大版数学七年级下册课本，恰好翻到第100页”，这个事件是随机事件， 故选：B． （5）中国文化中的“四君子”指的是梅、兰、竹、菊．小明从四幅主题分别为梅、兰、竹、菊的国画中选择一幅进行临摹，选择的图画是“梅”这个事件是（　　） A．随机事件 B．确定性事件 C．必然事件 D．不可能事件 【解答】解：小明从四幅主题分别为梅、兰、竹、菊的国画中选择一幅进行临摹，可能选择的图画是“梅”，也可能不是“梅”， 则该事件是随机事件， 故选：A． （6）下列事件中，是必然事件的是（　　） A．将一副新买的扑克牌洗匀后，任意抽取一张牌是红桃5 B．篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中 C．经过公共汽车站时，刚好遇到公共汽车进站 D．在所有的奇数中任选两个奇数，其乘积是奇数 【解答】解：A、将一副新买的扑克牌洗匀后，任意抽取一张牌是红桃5，是随机事件，不符合题意； B、篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中，是随机事件，不符合题意； C、经过公共汽车站时，刚好遇到公共汽车进站，是随机事件，不符合题意； D、在所有的奇数中任选两个奇数，其乘积是奇数，是必然事件，符合题意； 故选：D． 例2． （1） 杜牧《清明》诗中写道“清明时节雨纷纷”，从数学的观点看，诗句中描述的事件 是 　 　 （填“必然”或“随机”）事件． 版权所有 【解答】解：“清明时节雨纷纷”从数学的观点看，诗句中描述的事件是随机事件． 故答案为：随机． （2）“八月十五云遮月，正月十五雪打灯”是一句谚语，你认为农谚说的是 　 　 （填写“必然事件”或“不可能事件”或“随机事件”）． 版权所有 【解答】解：“八月十五云遮月，正月十五雪打灯”是一句谚语随机事件， 故答案为：随机事件． （3）成语“刻舟求剑”描述的事件是　 　 事件．（填“随机”“不可能”或“必然”） 【解答】解：由题意可知，题中描述的事件是不可能事件， 故答案为：不可能． 考点 2：概率的简单计算（公式应用） 考查方式 直接计算单一事件概率（如摸球、掷骰子）。 结合实际情境（如抽奖、转盘游戏）计算概率。 例3． （1）从一个装有6个红球、4个蓝球、2个白球和1个黑球的袋子中，随机摸出一个球（除颜色外其余的均相同）．下列事件中发生可能性最小的是（　　） A．摸出红球 B．摸出蓝球 C．摸出白球 D．摸出黄球 版权所有 【解答】解：∵袋子中没有黄球， ∴摸出黄球的概率为0，概率最小． 故选：D． （2）每年中考的理化生实验都是学生津津乐道的话题，考试时学生随机从三科中抽取一科，抽到物理、化学、生物的可能性完全相同．小明同学不太擅长物理，则小明同学没抽到物理的概率是（　　） A． B． C． D．1 版权所有 【解答】解：考试时学生随机从三科中抽取一科有3种等可能结果，其中小明同学没抽到物理的有2种结果， 所以小明同学没抽到物理的概率是， 故选：C． （3）嘉嘉同学要从网络流行语“数智化、情绪价值、松弛感”3个词语中随机抽取1个进行“表演猜词语”，嘉嘉同学抽中“松弛感”的概率为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：∵共有“数智化、情绪价值、松弛感”3个词语， ∴随机抽取1个进行“表演猜词语”，嘉嘉同学抽中“松弛感”的概率为． 故选：A． （4）不透明袋子中只装有2个红球和3个白球，这些球除颜色外无其他差别．从中随机摸出一个球，则摸出红球的概率是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：∵不透明袋子中只装有2个红球和3个白球， ∴从中随机摸出一个球，摸出红球的概率． 故选：B． 例4． （1）一个不透明的袋子中装有10个小球，其中7个红球、3个白球，这些小球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出一个小球，则摸出的小球是红球的概率为 　 　 ． 版权所有 【解答】解：由题意可得， 从袋子中随机摸出一个小球，则摸出的小球是红球的概率是， 故答案为：． （2）如图所示的是一个可以自由转动的转盘．转动转盘，当转盘停止时，指针落在蓝色区域的概率是 　　 ． 【解答】解：∵蓝色区域的圆心角为120°， ∴指针落在蓝色区域的概率是， 故答案为：． （3）小芳抛一枚质地均匀的硬币10次，有6次正面朝上，当她抛第11次时，正面朝上的概率为　 　 ． 【解答】解：∵抛硬币正反出现的概率是相同的，不论抛多少次出现正面或反面的概率是一致的， ∴正面向上的概率为， 故答案为：． 例5．某商场文具卖场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘（转盘被等分成20个扇形），并规定：顾客每购买100元的商品，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准红色、黄色或绿色扇形区域（见扇形内的汉字注明），顾客就可以分别获得相应的奖品（如表）．小明和妈妈购买了125元的商品，可以获得一次转盘的机会，请解答下列问题： 颜色 奖品 红色 笔袋 黄色 中性笔 绿色 橡皮 （1）小明获得中性笔的概率是多少？ （2）小明获得奖品的概率是多少？ （3）为了吸引更多顾客，商家决定将获得奖品的概率提高为，则需要在原转盘的基础上将空白扇形涂色，那么需要再将几个空白扇形涂上颜色？ 【解答】解：（1）， ∴小明获得中性笔的概率是； （2）， ∴小明获得奖品的概率是； （3）∵获得奖品的概率提高为， ∴涂色的区域一共有个， ∵12﹣1﹣2﹣4＝5， ∴需要再将5个空白扇形涂上颜色． 考点 3：频率估计概率 考查方式：通过大量重复试验的频率数据，估计事件发生的概率。 例6． （1）学了概率的相关知识后，某综合实践小组利用计算机模拟抛掷一枚图钉的试验，研究落地后针尖朝上的概率，记录的试验数据如表： 累计抛掷次数 100 1000 2000 3000 4000 5000 6000 针尖朝上频率 0.500 0.610 0.600 0.594 0.625 0.614 0.618 随着试验次数的增大，估计“针尖朝上”的概率接近于（　　）（精确到0.01） A．0.50 B．0.59 C．0.62 D．0.63 【解答】解：由表中数据可得：随着实验次数的增大，“针尖朝上”的频率稳定在0.62左右， ∴“针尖朝上”的概率接近0.62， 故选：C． （2）为推动农业现代化进程，某农科所在相同条件下开展农作物种子发芽率的试验，试验数据如表： 种子个数 100 400 600 700 900 1000 发芽种子个数 94 337 530 664 858 951 发芽种子频率 0.940 0.844 0.883 0.949 0.954 0.951 由此估计这种农作物种子在此条件下发芽的概率（精确到0.01）约为（　　） A．0.94 B．0.84 C．0.88 D．0.95 【解答】解：∵观察表格，发现大量重复试验发芽的频率逐渐稳定在0.95左右， ∴估计这种农作物种子在此条件下发芽的概率约为0.95． 故选：D． 例7．（1）从某玉米种子中抽取6批，在同一条件下进行发芽试验，得到数据如下表： 种子粒数 100 400 800 1000 2000 5000 发芽种子粒数 85 298 652 793 1604 4000 发芽频率 0.850 0.745 0.815 0.793 0.802 0.800 根据以上数据可以估计，该玉米种子发芽的概率约为　 　 （精确到0.1）． 版权所有 【解答】解：∵大量的重复试验，发现“该玉米种子发芽“出现的频率越来越稳定于0.8， ∴该玉米种子发芽的概率约为0.8． 故答案为：0.8． （2）体育课篮球项目中，“投篮命中率”是一项重要的考核指标．如图是小强在平时运动过程中的投篮记录，请结合图示，估计现阶段小强随机投篮一次正好命中的概率约为　 ． 版权所有 【解答】解：投篮一次，投中的概率约为0.60． 故答案为：0.60． 例8．篮球运动员为了评估自己的投篮命中率，通常会进行一系列的训练测试．下表是某篮球运动员在相同的训练条件下，得到的一组测试数据： 投篮的次数 10 50 x 200 300 400 500 命中的次数 7 40 81 164 237 328 z 命中的频率 0.70 0.80 0.81 0.82 y 0.82 0.83 （1）填空：x＝　100　 ，y＝　0.79　 ，z＝　415　 ； （2）根据上表，该运动员任意投出一球，能投中的概率是　0.8　 （精确到0.1）； （3）根据估计的概率，若该运动员投篮150次，则他命中的次数大约是　120　 次； （4）如果该运动员重新投篮500次评估自己的投篮命中率，对比上表记录下数据，两表的结果会一样吗？为什么？ 【解答】解：（1）x＝81÷0.81＝100，y＝237÷300＝0.79，z＝500×0.83＝415， 故答案为：100、0.79、415； （2）根据上表，该运动员任意投出一球，能投中的概率是0.8， 故答案为：0.8； （3）根据估计的概率，若该运动员投篮150次，则他命中的次数大约是150×0.8＝120（次）， 故答案为：120； （4）不一样，因为表格中计算的是命中的频率，“实验频率”与“概率”意义不同，随着实验次数的增加，“实验频率”越来越稳定在某个常数附近，这个常数叫做概率，因此，重新再投篮500次，得到的结果与原来不一定相同． 例9．在一个不透明的盒子里装有红、白两种颜色的球共20个，这些球除颜色外其余完全相同．实践小组的同学做摸球试验，搅匀后，从盒子里随机摸出一只球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程，如表是实验中的部分统计数据： 摸球的次数n 10 20 50 100 200 500 800 1000 3000 摸到白球的次数m 4 7 10 28 50 127 196 252 744 摸到白球的频率 0.400 0.350 0.200 0.280 0.250 0.254 0.245 0.252 0.248 （1）请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近　0.25　 （精确到0.01）； （2）试估算盒子里白球有　5　 个； （3）某小组进行“用频率估计概率”的试验，符合（1）中结果的试验最有可能的是　①④　 （填写所有正确结论的序号）． ①从一副扑克牌（不含大小王）中任意抽取一张，这张牌是“红桃”． ②掷一个质地均匀的正方体骰子（面的点数分别为1到6），落地时面朝上点数“小于3”． ③投掷一枚均匀的硬币，落到桌面上恰好是正面朝上． ④甲、乙、丙、丁四人用抽签的方式产生一名幸运观众，正好抽到甲． 【解答】解：（1）由表可知，若从盒子里随机摸出一只球，则摸到白球的频率将会接近0.25； 故答案为：0.25； （2）根据题意得：20×0.25＝5（个）， 故答案为：5； （3）①从一副扑克牌中任意抽取一张，这张牌是“红桃”的概率为，故此选项符合题意； ②掷一个质地均匀的正六面体骰子（面的点数标记分别为1到6），落地时面朝上的点数小于3的概率为，故不符合题意； ③投掷一枚均匀的硬币，落到桌面上恰好是正面朝上的概率为，不符合题意； ④甲、乙、丙、丁四人用抽签的方式产生一名幸运观众，正好抽到甲的概率为，故此选项符合题意． 故答案为：①④． 考点 4：游戏公平性分析 考查方式 判断现有游戏规则是否公平。 设计公平的游戏规则。 例10．如图，一个均匀转盘被平均分成10等份，分别标有1，2，…，10这10个数字，转动转盘，当转盘停止转动时，指针指向的数字即为转出的数字（若指针指向分界处则无效，需重新转动）．两人进行猜数游戏：甲猜“是大于6的数”，乙猜“不是大于6的数”。 （1） 这个游戏公平吗？谁赢得这个游戏的可能性更大？请说明理由． （2） 如果要想游戏公平，应该怎样设计游戏？ 版权所有 【解答】解：（1）这个游戏不公平。乙猜“不是大于6的数”获胜的可能性更大．理由如下： 共有10种等可能出现的结果数，其中“是大于6的数”的有4种，“不是大于6的数”的有6种，因此“是大于6的数”可能性是40%，“不是大于6的数”的可能性是60%， 因此，乙猜“不是大于6的数”获胜的可能性更大． （2）游戏规则可改为：甲猜“不小于6的数”，乙猜“不大于5的数”。 例11．小明和小亮利用质地均匀的骰子做游戏，规则如下： ●两人同时做游戏，各自掷一枚骰子，每人可以只掷一次骰子，也可以连续地掷几次骰子． ●当一人掷出的点数和不超过10时，如果决定停止掷，那么此人的得分就是他所掷出的点数之和；当一人掷出的点数和超过10时，必须停止掷，并且得分为0． ●比较两人的得分，谁的得分高谁就获胜． 根据下面这个表格中的数据记录回答： 游戏次序 游戏者 第1次点数 第2次点数 第3次点数 得分 第一次 小明 2 3 2 小亮 3 4 6 第二次 小明 4 1 小亮 3 5 （1）在第一次游戏中，小明的最终得分是 　7　 分，小亮的最终得分是 　0　 分，所以获胜的是 　小明　 （填小明或小亮）； （2）在第二次游戏中，如果小明继续掷第三次，试计算他最终得分为0的概率； （3）在第二次游戏中，如果你是小亮，在不知道小明最终得分的情况下，你会继续掷第三次吗？请说明你的理由． 【解答】解：（1）根据规则，第一次游戏中，小明的最终得分是2+3+2＝7（分）， ∵3+4+6＞10， ∴小亮的最终得分是0分， ∴小明获胜； 故答案为：7，0，小明； （2）在第二次游戏中，小明前两次点数和为5，继续掷第三次，则第三次可能出现1，2，3，4，5，6共6种情况，其中出现6时，他最终得分为0， ∴他最终得分为0的概率为； （3）小亮不会继续掷第三次，理由如下： 前两次点数和为8，继续掷第三次，则第三次可能出现1，2，3，4，5，6共6种情况，其中出现3，4，5，6时，他最终得分都为0， ∴继续掷第三次，最后得分为0的概率为，得分不为0的概率为， ∵， ∴小亮不会继续掷第三次． 考点 5：几何概率（面积 / 长度模型） 考查方式：通过图形面积或长度的比例计算概率。 例12． （1）如图，飞镖游戏板由9个全等的小正方形组成，任意向飞镖游戏板投掷飞镖一次，则飞镖击中阴影部分的概率是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：∵镖游戏板由9个全等的小正方形组成，阴影部分占5块， ∴任意向飞镖游戏板投掷飞镖一次，飞镖击中阴影部分的概率为． 故选：C． （2）如今我们生活在数字时代，很多场合都要用到二维码．小郑帮妈妈打印了一个收款二维码，如图所示，该二维码的面积为16cm2，他在该二维码内随机掷点，经过大量的重复试验发现，点落在白色区域的频率稳定在0.4左右，则据此估计该二维码中黑色区域的面积为（　　） A．6.4cm2 B．8cm2 C．9.6cm2 D．11.2cm2 【解答】解：经过大量重复试验，发现点落在白色区域的频率稳定在0.4左右， 则1﹣0.4＝0.6， ∴点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右， 据此可以估计黑色部分的面积为16×0.6＝9.6（cm2）， 故选：C． 例13．如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同．小亮每次投掷飞镖均扎在该飞镖游戏板上，且扎在飞镖板上任意点处的机会是均等的．则小亮随机投掷一次飞镖，飞镖扎在阴影区域的概率是 　 　 ． 【解答】解：设小正方形的面积为a， ∵飞镖游戏板由大小相等的9个小正方形格子构成， ∴飞镖游戏板由大小相等的面积为9a，阴影区域的面积为3a， ∴随意投掷一个飞镖，击中阴影区域的概率为：． 故答案为：． 例14．如图，在两个同心圆中，三条直径把大、小圆都分成相等的六个部分，若随意向圆中投球，求球落在阴影区域的概率． 版权所有 【解答】解：由图可知阴影区域与白色区域的面积相等，故球落在阴影区域的概率是． 例15．某校为了解“阳光体育”活动的开展情况，从全校2000名学生中，随机抽取部分学生进行问卷调查（每名学生只能填写一项自己喜欢的活动项目），并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）被调查的学生共有　100　 人，并补全条形统计图； （2）在扇形统计图中，m＝　30　 ，n＝　10　 ，表示区域C的圆心角是　144°　 ； （3）小明是被问卷调查的同学，那么他参加了哪项活动的可能性最大？ 【解答】解：（1）观察统计图知：喜欢乒乓球的有20人，占20%， 故被调查的学生总数有20÷20%＝100人， 喜欢跳绳的有100﹣30﹣20﹣10＝40人， 条形统计图为： （2）∵A组有30人，D组有10人，共有100人， ∴A组所占的百分比为：30%，D组所占的百分比为10%， ∴m＝30，n＝10； 表示区域C的圆心角为360°＝144°； （3）根据踢毽子的概率为，喜欢乒乓球的概率为，喜欢跳绳的概率为，喜欢篮球的概率为， 故喜欢跳绳的可能性大． 故答案为100，30，10，144°． （三）备考策略 （一）基础巩固 1. 概念辨析：明确必然事件、不可能事件、随机事件的区别，理解概率的意义（概率为 0.5 表示事件发生的可能性为 50%，而非必然发生一半次数）。 2. 公式熟记：掌握 的应用条件（等可能结果），区分频率与概率的联系与区别。 （二）专题突破 1. 计算专题：针对摸球、掷骰子、转盘等典型问题，反复练习概率计算，注意 “放回” 与 “不放回” 对结果的影响。 2. 公平性设计：通过例题总结公平性判断的步骤（计算双方概率→比较大小→得出结论），尝试设计不同规则的公平游戏。 （三）易错点强化 1. 常见错误 混淆频率与概率（如认为 “掷 10 次硬币 5 次正面朝上，概率就是 0.5”，需强调频率是实验值，概率是理论值）。 忽略等可能条件（如计算非均匀骰子的概率时误用公式）。 计算错误（如遗漏总结果数或事件包含结果数）。 2. 纠错练习：整理错题，针对错误类型专项训练，如几何概率中面积比例的计算。 （四）应试技巧 1. 审题技巧：圈画关键词（如 “必然”“随机”“等可能”），明确问题所求（概率、公平性、设计方案）。 2. 解题步骤：解答题需写出公式 ，并说明  和  的含义（。 3. 检查方法：计算概率后验证是否在 0 到 1 之间，公平性问题确保双方概率计算无误。 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $$