精品解析：山东省淄博第五中学2024-2025学年高一下学期5月期中考试数学试题

高一数学 注意事项： 1．本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．第Ⅰ卷为选择题，共58分；第Ⅱ卷为非选择题，共92分;满分150分，考试时间为120分钟． 2．客观题请将选出的答案标号（A、B、C、D）涂在答题卡上，主观题用0.5mm黑色签字笔答题． 第Ⅰ卷（共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知平面向量，，若，则（ ） A. 1 B. C. 0 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量共线坐标表示计算可得. 【详解】由，，且，得，解得. 故选：D. 2. 若为实数，是纯虚数，则复数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的概念得出的值即可. 【详解】为实数，则， 是纯虚数，则， 则 故选：D 3. 如图所示的正方形中点的坐标为，则由斜二测画法画出的正方形的直观图中，顶点到轴的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】斜二测画法：原图中平行于轴的线段，直观图中平行于轴且长度不变；原图中平行于轴的线段，直观图中平行于轴且长度减半.由此可知，顶点到轴的距离为. 【详解】斜二测画法：原图中平行于轴的线段，直观图中平行于轴且长度不变； 原图中平行于轴的线段，直观图中平行于轴且长度减半，如图所示， ，，顶点到轴的距离为. 故选： 4. 的内角的对边分别为，若，，，则（ ） A. 15° B. 45° C. 105° D. 15°或105° 【答案】D 【解析】 【分析】根据正弦定理求解即可. 详解】由正弦定理可得，， 因为，所以或，经检验均符合题意， 所以或. 故选：D 5. 已知，设的夹角为，则在上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用投影向量的定义求解. 【详解】由，的夹角为，得， 所以在上的投影向量是. 故选：B 6. 如图1，这是雁鸣塔，位于贵州省遵义娄山关景区，塔身巍然挺拔，直指苍穹，登塔可众览娄山好风光．某数学兴趣小组成员为测量雁鸣塔的高度，在点O的同一水平面上的A，B两处进行测量，如图2．已知在A处测得塔顶P的仰角为30°，在B处测得塔顶P的仰角为45°，且米，，则雁鸣塔的高度（ ） A. 30米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】A 【解析】 【分析】设，用表示，再利用余弦定理列式计算即得. 【详解】设，依题意，，， 在中，由余弦定理得， 即，整理得，解得， 所以雁鸣塔的高度为30米. 故选：A 7. 某餐厅为了追求时间效率，推出一种液体“沙漏”免单方案（即点单完成后，开始倒转“沙漏”，“沙漏”漏完前，客人所点的菜需全部上桌，否则该桌免费用餐）.“沙漏”是由一个圆锥体和一个四棱柱相通连接而成.某次计时前如图1所示，已知圆锥体底面半径是6cm，高是6.75cm；四棱柱底面边长为6cm和2πcm，液体高是6.5cm.计时结束后如图2所示，此时液体所形成的上底面半径为2cm，下底面半径为6cm.求此时“沙漏”中液体的高度为（ ） A. 2cm B. 3cm C. 4cm D. 4.5cm 【答案】D 【解析】 【分析】根据体积公式，结合相似即可求解. 【详解】由已知可得：液体的体积为， 如图，易知，、两个相似的直角三角形， 因为圆锥的底面半径是，高是， 所以圆锥的体积为， 计时结束后，圆锥中没有液体的部分体积为， 设计时结束后，“沙漏”中液体高度为， 则， ，解得， 所以计时结束后.“沙漏”中液体的高度为. 故选：D. 8. 已知函数其中．若在区间上单调递增，则ω的取值范围是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由求出的范围，由函数在区间上单调递增，列出不等式，从而求得ω的范围，取的值得到结果. 【详解】当时，， 则， 即，解得， 当时，，又∵，则， 当时，， 当时，∵，此时无解， ∴. 故选：D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知为虚数单位，则以下四个说法中正确的是（ ） A. 复数的虚部为 B. C. 复数与分别对应向量与，则向量对应的复数为 D. 若复数z满足条件，则复数z对应点的集合是以原点为圆心，分别以和为半径的两个圆所夹的圆环，且包括圆环的边界 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，由复数的代数式可判断；对于B，利用复数的乘方运算求解可判断；对于C，结合向量的运算法则，即可求解可判断；对于D，结合复数的几何意义，即可求解判断． 【详解】对于A：对于复数的虚部为，故A错误； 对于B：，故B正确； 对于C：复数与分别表示向量与， 因为，所以表示向量的复数为，故C正确; 对于D：对于D，设复数，若复数满足条件， 则有，故复数对应点的集合是以原点为圆心， 分别以2和3为半径的两个圆所夹的圆环，且包括圆环的边界，故D正确. 故选：BCD. 10. 已知函数的部分图象如图所示，将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 函数为偶函数 D. 函数在区间上单调递减 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据函数图象求出的解析式，即可判断A、B ，再根据三角函数的变换规则得到解析式，再由正弦函数的性质判断C、D． 【详解】对于A，函数的部分图象， 可得，， ，则． 又，所以，， 所以，，又， ，，故A正确； 对于B，由， ， ，故B正确； 对于C，将函数的图象向左平移个单位长度得到， 则奇函数，故C错误； 对于D，当则，因为在上单调递减， 所以函数在区间上单调递减，故D正确， 故选：ABD． 11. 已知点在所在的平面内，且，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则为的垂心 C. 若且（，），则 D. 若，，，且，则的值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据平面向量数量积的几何意义可判断；易知点是的中点，从而得，再根据垂心的含义即可判断；由平面向量基本定理知，，三点共线，再利用三角形的面积公式；将两边分别同时乘以和，可得关于和的方程组，解之即可判断． 【详解】解：因为，所以点是外接圆的圆心， A．，即选项错误，不符合题意； B．若，则点是的中点，所以是圆的直径，即， 所以点是的垂心，即选项正确，符合题意； C．由知，，，三点共线，设的以为底边的高为，则，即，故选项正确，符合题意； D．由知，， 所以， 即， 整理得， 由知，， 同理可得， 联立解得，， 所以，即选项正确，符合题意． 故选：BCD． 第Ⅱ卷（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 如图，在△ABC中，，，，，则＝_____ 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，结合图形，利用向量线性运算求解. 【详解】在△ABC中，，，，， ． 故答案为：. 13. 记的内角的对边分别为a，b，c，，，，则边上的高为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据余弦定理求解,即可根据等面积法求解. 【详解】设边上的高为， 由余弦定理可得, 又，故， 故答案为： 14. 如图，已知正三棱柱中，，，若点P从点A出发，沿着正三棱柱的表面，经过棱运动到点，则点P运动的最短路程为______. 【答案】 【解析】 【分析】如图所示：将翻折到与共面，故点P运动的最短路程为，计算得到答案. 【详解】如图所示：将翻折到与共面，故点P运动的最短路程为. 在中，，故. 故答案为：. 【点睛】本题考查了立体几何中的最短距离，余弦定理，意在考查学生的计算能力和空间想象能力. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15 已知复数，． （1）若复数在复平面上对应的点在第三象限，求实数的取值范围． （2）若，求的共轭复数及的模． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）由题意求出，结合复数的几何意义和各象限的点的坐标特征即可． （2）利用复数的除法运算法则求出z，进而求出z的共轭复数和模． 【小问1详解】 因为，， 所以． 因为复数在复平面上对应的点在第三象限，所以 解得，即实数的取值范围为． 【小问2详解】 因为， 所以． ． 16. 在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，，，若． （1）求的值； （2）若，，求b的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由数量积为0得，结合余弦定理即可得解. （2）由平方关系以及两角和差公式、诱导公式依次求出，结合正弦定理即可得解. 【小问1详解】 由题意，整理得， 所以由余弦定理有. 【小问2详解】 因为，，，所以， 所以 ， 所以由正弦定理有. 17. 如图，三棱柱的侧棱垂直于底面，其高为2cm，底面三角形的边长分别为3cm，4cm，5cm. （1）以上、下底面的内切圆为底面，挖去一个圆柱，求剩余部分几何体的体积； （2）求该三棱柱的外接球的表面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出三棱柱的体积，得到的内切圆的半径，进而去除圆柱的体积，相减即可答案； （2）将三棱柱补形为长方体得到外接球半径，求出外接球的表面积. 【小问1详解】 因为底面三角形的边长分别为3cm，4cm，5cm， 所以底面三角形为直角三角形，两直角边分别为3cm，4cm， 又因为三棱柱的侧棱垂直于底面，其高为2cm， 所以. 设圆柱底面圆的半径为， 则， 圆柱体积. 所以剩下的几何体的体积. 【小问2详解】 由（1）直三棱柱可补形为棱长分别为3cm，4cm，2cm的长方体， 它的外接球的球半径满足，即. 所以，该直三棱柱的外接球的表面积为. 18. 已知函数． （1）若，的最小值为，求的对称中心； （2）已知，函数图象向右平移个单位得到函数的图象，若函数在（且）上恰好有12个零点，求的最小值． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）由题意，利用正弦函数的性质可求出的最小正周期为，从而可求出，则可求得解析式，然后可求出其对称中心； （2）将代入，由向右平移个单位，可得，则可求出的最小正周期，再利用正弦函数的零点和周期性可求得结果. 【小问1详解】 的最小正周期为， 又，的最小值为， 的最小正周期是， 故，解得， 当时，， 由， 的对称中心为； 当时，， 由， 的对称中心为， 综上所述，的对称中心为或． 【小问2详解】 函数图象向右平移个单位，得到函数的图象， ，最小正周期， 令，则， 即或， 解得或． 若函数在（且）上恰好有12个零点， 则， 要使最小，须，恰好为的零点， 故． 可得的最小值为． 19. 的内角、、的对边分别为、、，已知，且. （1）求； （2）若的面积为，角C的角平分线为，求的长； （3）若为锐角三角形，E为边的中点，求的取值范围. 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由条件，利用正弦定理化边为角化简可得，解方程求； （2）由条件结合三角形面积公式可求，再由关系结合三角形面积公式列方程求； （3）在中利用正弦定理结合条件求的范围，在中结合余弦定理求的范围，再求结论. 【小问1详解】 设的外接圆半径为， 由正弦定理可得，，， 因为， 所以， 又， 所以， 所以，又，故， 所以，因为，故， 所以，故， 所以； 【小问2详解】 因为的面积为，又的面积，， 由（1），所以， 因为为角的角平分线，故， 又， 所以，即， 所以； 所以的长为； 【小问3详解】 在中由正弦定理可得， 由（1），又，， 所以， 因为为锐角三角形，所以，， 所以，故， 所以， 在中由余弦定理可得， 又，，， 所以， 所以， 所以的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高一数学 注意事项： 1．本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．第Ⅰ卷为选择题，共58分；第Ⅱ卷为非选择题，共92分;满分150分，考试时间为120分钟． 2．客观题请将选出的答案标号（A、B、C、D）涂在答题卡上，主观题用0.5mm黑色签字笔答题． 第Ⅰ卷（共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知平面向量，，若，则（ ） A. 1 B. C. 0 D. 2. 若为实数，是纯虚数，则复数为（ ） A B. C. D. 3. 如图所示的正方形中点的坐标为，则由斜二测画法画出的正方形的直观图中，顶点到轴的距离为（ ） A. B. C. D. 4. 的内角的对边分别为，若，，，则（ ） A. 15° B. 45° C. 105° D. 15°或105° 5. 已知，设的夹角为，则在上的投影向量是（ ） A B. C. D. 6. 如图1，这是雁鸣塔，位于贵州省遵义娄山关景区，塔身巍然挺拔，直指苍穹，登塔可众览娄山好风光．某数学兴趣小组成员为测量雁鸣塔的高度，在点O的同一水平面上的A，B两处进行测量，如图2．已知在A处测得塔顶P的仰角为30°，在B处测得塔顶P的仰角为45°，且米，，则雁鸣塔的高度（ ） A. 30米 B. 米 C. 米 D. 米 7. 某餐厅为了追求时间效率，推出一种液体“沙漏”免单方案（即点单完成后，开始倒转“沙漏”，“沙漏”漏完前，客人所点的菜需全部上桌，否则该桌免费用餐）.“沙漏”是由一个圆锥体和一个四棱柱相通连接而成.某次计时前如图1所示，已知圆锥体底面半径是6cm，高是6.75cm；四棱柱底面边长为6cm和2πcm，液体高是6.5cm.计时结束后如图2所示，此时液体所形成的上底面半径为2cm，下底面半径为6cm.求此时“沙漏”中液体的高度为（ ） A. 2cm B. 3cm C. 4cm D. 4.5cm 8. 已知函数其中．若在区间上单调递增，则ω的取值范围是（    ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知为虚数单位，则以下四个说法中正确的是（ ） A. 复数的虚部为 B. C. 复数与分别对应向量与，则向量对应的复数为 D. 若复数z满足条件，则复数z对应点的集合是以原点为圆心，分别以和为半径的两个圆所夹的圆环，且包括圆环的边界 10. 已知函数的部分图象如图所示，将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 函数为偶函数 D. 函数在区间上单调递减 11. 已知点在所在的平面内，且，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则为的垂心 C. 若且（，），则 D. 若，，，且，则的值为 第Ⅱ卷（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 如图，△ABC中，，，，，则＝_____ 13. 记的内角的对边分别为a，b，c，，，，则边上的高为______． 14. 如图，已知正三棱柱中，，，若点P从点A出发，沿着正三棱柱表面，经过棱运动到点，则点P运动的最短路程为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知复数，． （1）若复数在复平面上对应的点在第三象限，求实数的取值范围． （2）若，求的共轭复数及的模． 16. 在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，，，若． （1）求的值； （2）若，，求b的值． 17. 如图，三棱柱侧棱垂直于底面，其高为2cm，底面三角形的边长分别为3cm，4cm，5cm. （1）以上、下底面的内切圆为底面，挖去一个圆柱，求剩余部分几何体的体积； （2）求该三棱柱的外接球的表面积. 18. 已知函数． （1）若，的最小值为，求的对称中心； （2）已知，函数图象向右平移个单位得到函数的图象，若函数在（且）上恰好有12个零点，求的最小值． 19. 的内角、、的对边分别为、、，已知，且. （1）求； （2）若的面积为，角C的角平分线为，求的长； （3）若为锐角三角形，E为边的中点，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$