本章测试《第7章概率初步（续）》（1）同步配套分层练习-2025-2026学年高二数学教材解读与拓展（沪教版2020选择性必修第二册）

【沪教版2020】选择性必修第二册《第 8 章　成对数据的统计分析》【同步配套分层练习】 【原卷版】 本章测试《第7章 概率初步（续）》（1） 一、填空题（共10小题，每小题4分，满分40分） 1、现有7张卡片，分别写上数字1，2，2，3，4，5，6.从这7张卡片中随机抽取3张，记所抽取卡片上数字的最小值为X，则E(X)＝ 2、随机变量X的概率分布列规律为P(X＝n)＝(n＝1，2，3，4)，其中a是常数，则P的值 为 （用分数表示） 3、已知X是一个随机变量，若X～B，则P(X＝2)＝ （用分数表示） 4、从装有3个白球、4个红球的箱子中，随机取出了3个球，恰好是2个白球、1个红球的概率 是 （用分数表示） 5、现有语文、数学课本共7本(其中语文课本不少于2本)，从中任取2本，至多有1本语文课本的概率是，则语文课本共有 本 6、某导游团有外语导游10人，其中6人会说日语，现要选出4人去完成一项任务，则有2人会说日语的概率 为 （用分数表示） 7、某一供电网络有n个用电单位，每个单位在一天中使用电的机会是p，供电网络中一天平均用电的单位个数是 8、若随机变量X的分布列为，则P(|X|＝1)等于 （用分数表示） 9、设X是一个离散型随机变量，其分布列为，则q的值为 10、已知某次数学期末试卷中有8道4选1的单选题，学生小王能完整做对其中5道题，在剩下的3道题中，有2道题有思路，还有1道完全没有思路，有思路的题做对的概率为，没有思路的题只好从4个选项中随机选一个答案．小王从这8题中任选1题，则他做对的概率为________（用分数表示） 二、选择题（共4小题 每小题4分，满分16分） 11、袋中有3个白球、5个黑球，从中任取2个，可以作为随机变量的是（ ） A．至少取到1个白球 B．至多取到1个白球 C．取到白球的个数 D．取到球的个数 12、若随机变量X的分布列为 则当P(X<a)＝0.8时，实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，2] B．[1，2] C．(1，2] D．(1，2) 13、已知某公司生产的一种产品的质量X(单位：千克)服从正态分布N(90，64)．现从该产品的生产线上随机抽取10 000件产品，其中质量在区间(82，106)内的产品估计有(　 ) 附：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<X<μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－2σ<X<μ＋2σ)≈0.954 4. A．8 185件 B．6 826件 C．4 772件 D．2 718件 14、已知正态分布密度函数，，则分别是（ ） A．0和4 B．0和2 C．0和8 D．0和 三、解答题（共4小题，满分44分） 15.（本题8分） 已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束． （1）求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率； （2）已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X的分布列； 16.（本题10分） 　甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立． （1）求甲学校获得冠军的概率； （2）用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望． 17.（本题满分12分）． 甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别为和.假设两人射击是否击中目标相互之间没有影响，每人每次射击是否击中目标相互之间也没有影响． （1）求甲射击4次，至少有1次未击中目标的概率； （2）求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率． 18.（本题满分14分、第1小题满分4分、第2小题满分4分，第3小题满分6分） 甲、乙、丙三人参加竞答游戏，一轮三个题目，每人回答一题，为体现公平，制定如下规则： ①第一轮回答顺序为甲、乙、丙，第二轮回答顺序为乙、丙、甲，第三轮回答顺序为丙、甲、乙，第四轮回答顺序为甲、乙、丙，……，后面按此规律依次向下进行； ②当一人回答不正确时，竞答结束，最后一个回答正确的人胜出． 已知每次甲回答正确的概率为，乙回答正确的概率为，丙回答正确的概率为，三个人回答每个问题相互独立； （1）求一轮中三人全部回答正确的概率； （2）分别求甲在第一轮、第二轮、第三轮胜出的概率； （3）记Pn为甲在第n轮胜出的概率，Qn为乙在第n轮胜出的概率，求Pn与Qn，并比较Pn与Qn的大小． 第1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【沪教版2020】选择性必修第二册《第 8 章　成对数据的统计分析》【同步配套分层练习】 【解析版】 本章测试《第7章 概率初步（续）》（1） 一、填空题（共10小题，每小题4分，满分40分） 1、现有7张卡片，分别写上数字1，2，2，3，4，5，6.从这7张卡片中随机抽取3张，记所抽取卡片上数字的最小值为X，则E(X)＝ 【答案】 ； 【解析】“X＝2”即所抽取卡片上数字的最小值为2，分两种情况，①取到一个2，有CC种取法；②取到两个2，有CC种取法，所以P(X＝2)＝＝.因为P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝，P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝，所以E(X)＝1×＋2×＋3×＋4×＝； 2、随机变量X的概率分布列规律为P(X＝n)＝(n＝1，2，3，4)，其中a是常数，则P的值 为 （用分数表示） 【答案】 【解析】因为，P(X＝n)＝(n＝1，2，3，4)，所以，＋＋＋＝1，∴a＝， 所以，P＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝×＋×＝； 3、已知X是一个随机变量，若X～B，则P(X＝2)＝ （用分数表示） 【答案】； 【解析】由题意知n＝6，p＝，故P(X＝2)＝C×2×6－2＝C×2×4＝. 4、从装有3个白球、4个红球的箱子中，随机取出了3个球，恰好是2个白球、1个红球的概率 是 （用分数表示） 【答案】 ； 【解析】由题意可知，恰好是2个白球、1个红球的概率为P＝＝； 5、现有语文、数学课本共7本(其中语文课本不少于2本)，从中任取2本，至多有1本语文课本的概率是，则语文课本共有 本 【答案】4； 【解析】设语文书n本，则数学书有7－n本(2≤n<7)，则2本都是语文书的概率为＝，由组合数公式得n2－n－12＝0，解得n＝4. 6、某导游团有外语导游10人，其中6人会说日语，现要选出4人去完成一项任务，则有2人会说日语的概率 为 （用分数表示） 【答案】 【解析】有2人会说日语的概率为＝. 7、某一供电网络有n个用电单位，每个单位在一天中使用电的机会是p，供电网络中一天平均用电的单位个数是 【答案】np 【解析】供电网络中一天用电的单位个数服从二项分布，故所求为np. 8、若随机变量X的分布列为，则P(|X|＝1)等于 （用分数表示） 【答案】； 【解析】由随机变量X的分布列得P(|X|＝1)＝P(X＝－1)＋P(X＝1)＝a＋c＝1－＝. 9、设X是一个离散型随机变量，其分布列为，则q的值为 【答案】－ ； 【解析】由分布列的性质知，解得q＝－. 10、已知某次数学期末试卷中有8道4选1的单选题，学生小王能完整做对其中5道题，在剩下的3道题中，有2道题有思路，还有1道完全没有思路，有思路的题做对的概率为，没有思路的题只好从4个选项中随机选一个答案．小王从这8题中任选1题，则他做对的概率为________（用分数表示） 【答案】； 【解析】设小王从这8题中任选1题且做对为事件A，选到能完整做对的5道题为事件B，选到有思路的两道题为事件C，选到完全没有思路的题为事件D，则P(B)＝，P(C)＝＝，P(D)＝，由全概率公式可得P(A)＝P(B)P(A|B)＋P(C)·P(A|C)＋P(D)·P(A|D)＝×1＋×＋×＝. 二、选择题（共4小题 每小题4分，满分16分） 11、袋中有3个白球、5个黑球，从中任取2个，可以作为随机变量的是（ ） A．至少取到1个白球 B．至多取到1个白球 C．取到白球的个数 D．取到球的个数 【答案】C； 【解析】袋中有3个白球、5个黑球，从中任取2个，取到白球的个数为随机变量，故选C； 12、若随机变量X的分布列为 则当P(X<a)＝0.8时，实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，2] B．[1，2] C．(1，2] D．(1，2) 【答案】C ； 【解析】由X的分布列可知，P(X＝－2)＋P(X＝－1)＋P(X＝0)＋P(X＝1)＝0.1＋0.2＋0.2＋0.3＝0.8； 因为。P(X<a)＝0.8，所以，1<a≤2；故选C； 13、已知某公司生产的一种产品的质量X(单位：千克)服从正态分布N(90，64)．现从该产品的生产线上随机抽取10 000件产品，其中质量在区间(82，106)内的产品估计有(　 ) 附：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<X<μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－2σ<X<μ＋2σ)≈0.954 4. A．8 185件 B．6 826件 C．4 772件 D．2 718件 【答案】A； 【解析】依题意，产品的质量X(单位：千克)服从正态分布N(90，64)，得μ＝90，σ＝8， 所以，P(82<X<106)≈0.954 4－＝0.818 5， 质所以，量在区间(82，106)内的产品估计有10 000×0.818 5＝8 185件；故选A； 14、已知正态分布密度函数，，则分别是（ ） A．0和4 B．0和2 C．0和8 D．0和 【答案】B 【解析】因为，，所以， .故选：B. 三、解答题（共4小题，满分44分） 15.（本题8分） 已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束． （1）求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率； （2）已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X的分布列； 【解析】（1）记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A，则P(A)＝＝. （2）X的可能取值为200，300，400， 则P(X＝200)＝＝，P(X＝300)＝＝， P(X＝400)＝1－P(X＝200)－P(X＝300)＝1－－＝. 故X的分布列为：； 16.（本题10分） 　甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立． （1）求甲学校获得冠军的概率； （2）用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望． 【解析】（1）记甲学校获得冠军的事件为A，则P(A)＝0.5×0.4×(1－0.8)＋0.5×(1－0.4)×0.8＋(1－0.5)×0.4×0.8＋0.5×0.4×0.8＝0.6. （2）依题意，X的可能取值为0，10，20，30. 依题意，P(X＝0)＝0.5×0.4×0.8＝0.16， P(X＝10)＝0.5×0.4×(1－0.8)＋0.5×(1－0.4)×0.8＋(1－0.5)×0.4×0.8＝0.44， P(X＝20)＝0.5×(1－0.4)×(1－0.8)＋(1－0.5)×(1－0.4)×0.8＋(1－0.5)×0.4×(1－0.8)＝0.34， P(X＝30)＝(1－0.5)×(1－0.4)×(1－0.8)＝0.06， 所以X的分布列为： 所以X的期望E(X)＝0×0.16＋10×0.44＋20×0.34＋30×0.06＝13； 【说明】求离散型随机变量X的均值与方差的步骤 (1)理解X的意义，写出X可能的全部值． (2)求X取每个值的概率． (3)写出X的分布列． (4)由均值的定义求E(X)． (5)由方差的定义求D(X)． 17.（本题满分12分）． 甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别为和.假设两人射击是否击中目标相互之间没有影响，每人每次射击是否击中目标相互之间也没有影响． （1）求甲射击4次，至少有1次未击中目标的概率； （2）求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率． 【解析】（1）记“甲射击4次，至少有1次未击中目标”为事件A1则事件A1的对立事件1为“甲射击4次，全部击中目标”．由题意可知，射击4次相当于做了4重伯努利试验， 故P(1)＝C×4＝，所以P(A1)＝1－P(1)＝1－＝； 所以甲射击4次，至少有1次未击中目标的概率为； （2）记“甲射击4次，恰好击中目标2次”为事件A2，“乙射击4次，恰好击中目标3次”为事件B2， 则P(A2)＝C×2×2＝，P(B2)＝C×3×1＝； 由于甲、乙射击相互独立， 故P(A2B2)＝P(A2)P(B2)＝×＝； 所以两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率为。 【说明】n重伯努利试验的概率问题的求解策略： （1）在求n重伯努利试验中事件恰好发生k次的概率时，首先要确定好n和k的值，再准确利用公式求概率； （2）在根据伯努利试验求二项分布的有关问题时，关键是厘清事件与事件之间的关系，确定二项分布的试验次数n和变量的概率，然后再求所给事件的概率； 18.（本题满分14分、第1小题满分4分、第2小题满分4分，第3小题满分6分） 甲、乙、丙三人参加竞答游戏，一轮三个题目，每人回答一题，为体现公平，制定如下规则： ①第一轮回答顺序为甲、乙、丙，第二轮回答顺序为乙、丙、甲，第三轮回答顺序为丙、甲、乙，第四轮回答顺序为甲、乙、丙，……，后面按此规律依次向下进行； ②当一人回答不正确时，竞答结束，最后一个回答正确的人胜出． 已知每次甲回答正确的概率为，乙回答正确的概率为，丙回答正确的概率为，三个人回答每个问题相互独立； （1）求一轮中三人全部回答正确的概率； （2）分别求甲在第一轮、第二轮、第三轮胜出的概率； （3）记Pn为甲在第n轮胜出的概率，Qn为乙在第n轮胜出的概率，求Pn与Qn，并比较Pn与Qn的大小． 【解析】（1）设“一轮中三人全部回答正确”为事件M，则P(M)＝××＝. （2）甲在第一轮胜出的概率为×＝.甲在第二轮胜出，说明第一轮、第二轮中三人都回答正确，第三轮中丙回答错误，故甲在第二轮胜出的概率为××××＝2×＝. 同理，甲在第三轮胜出的概率为：××××＝3×＝. （3）由（2）知P1＝，P2＝2×＝，P3＝3×＝. 由题意，得P4＝3×P1＝3×＝4，P5＝3×P2＝5×，P6＝3×P3＝6×，P7＝6×P1＝7，…. 所以当n＝3k(k∈N，k≥1)时，Pn＝n×；当n＝3k＋1(k∈N)时，Pn＝n； 当n＝3k＋2(k∈N)时，Pn＝n×. 同理可得，当n＝3k(k∈N，N是自然数)时，Qn＝n×；当n＝3k＋1(k∈N)时，Qn＝n； 当n＝3k＋2(k∈N)时，Qn＝n－1×. 所以当n＝3k(k∈N，k≥1)时，Pn>Qn；当n＝3k＋1(k∈N)时，Pn＝Qn；当n＝3k＋2(k∈N)时，Pn<Qn. 第1页 学科网（北京）股份有限公司 $$