第09讲 条件概率与相关公式（3大知识点+4大必考题型+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年高二数学同步学与练（沪教版2020选择性必修第二册）

第9讲 条件概率与相关公式 课程标准 学习目标 1.会判断条件概率，掌握条件概率的基本求法，能解决与条件概率相关的问题: 2.会利用全概率公式求解事件概率，会利用贝叶斯公式进行简单的计算，解决简单的应用问题。 1.结合古典概型，了解条件概率的定义. 2.掌握条件概率的计算方法. 3.利用条件概率公式解决一些简单的实际问题． 3.了解事件的独立性与条件概率的关系，掌握概率的乘法公式. 4.会求互斥事件的条件概率，理解条件概率的性质． 5.了解利用概率的加法公式和乘法公式推导全概率公式. 6.理解全概率公式，并会利用全概率公式计算概率. 7.了解贝叶斯公式，并会简单应用． 知识点01 相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式 1．相互独立事件：事件A（或B）是否发生，对事件B（或A）发生的概率没有影响，这样两个事件叫做相互独立事件． 2．相互独立事件同时发生的概率公式： 将事件A和事件B同时发生的事件即为A•B，若两个相互独立事件A、B同时发生，则事件A•B发生的概率为： P（A•B）＝P（A）•P（B） 推广：一般地，如果事件A1，A2，…，An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率之积，即： P（A1•A2…An）＝P（A1）•P（A2）…P（An） 3．区分 互斥事件和相互独立事件是两个不同的概念： （1）互斥事件：两个事件不可能同时发生； （2）相互独立事件：一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响． 【即学即练1】（23-24高二下·上海·期中）一个盒子中装有4张卡片，卡片上分别写有数字1、2、3、4.现从盒子中随机抽取卡片. (1)若一次抽取3张卡片，事件A表示“3张卡片上数字之和大于7”，求； (2)若第一次抽取1张卡片，放回后再抽取1张卡片，事件B表示“两次抽取的卡片上数字之和大于6”，求； (3)若一次抽取2张卡片，事件C表示“2张卡片上数字之和是3的倍数”，事件D表示“2张卡片上数字之积是4的倍数”，验证C、D是独立的. 【答案】(1) (2) (3)验证过程见解析 【知识点】计算古典概型问题的概率、独立事件的判断、独立事件的乘法公式 【分析】（1）利用古典概型的概率求解； （2）利用古典概型的概率求解；    （3）利用古典概型的概率分别求得，，判断. 【详解】（1）若一次抽取张卡片，共包含、、、共个基本事件. 其中事件包含个基本事件   所以； （2）若第一次抽取张卡片，放回后再抽取张卡片，共包含个基本事件， 其中事件包含3个基本事件   所以 （3）一次抽取张卡片,共包含个基本事件， 事件， 所以 事件，所以   当同时发生，即张卡片上数字之和是的倍数同时积是的倍数，只有一种取法， 所以   因为，                                所以事件与事件是独立的． 知识点02 条件概率 1. 概念：在古典概率模型中，事件发生之后，随机现象的结果就剩下事件中的基本事件，所以事件变成了样 本空间．这个样本空间仍然是等可能的，这时事件发生的概率称为事件基于条件的概率，或在事件发生的条件下，事件发生的概率，或已知事件发生，事件发生的概率，记为 . 2. 公式：（适用于古典概率）； （适用于一般情况）. 3. 乘法公式：，若与独立，则，此时. 这说明在两个事件独立的情况下，条件概率等于概率．反之，若条件概率等于概率，则两 个事件是独立的. 4.利用定义计算条件概率的步骤 分别计算概率P(AB)和P(A)． 将它们相除得到条件概率P(B|A)＝，这个公式适用于一般情形，其中AB表示A，B同时发生． 5.利用缩小样本空间法求条件概率的方法 缩：将原来的基本事件全体Ω缩小为事件A，原来的事件B缩小为AB. 数：数出A中事件AB所包含的基本事件． 算：利用P(B|A)＝求得结果． 【即学即练2】（23-24高二下·上海·期中）某校甲、乙两名女生进行乒乓球比赛，约定“七局四胜制”，即先胜四局者获胜．若每一局比赛乙获胜的概率为，事件表示“乙获得比赛胜利”，事件表示“比赛进行了七局”，则 ． 【答案】 【知识点】计算条件概率 【分析】根据题意，结合条件概率的计算公式，即可求解. 【详解】由事件表示“乙获得比赛胜利”， 可得 事件表示“比赛进行了七局”，可得， 所以. 故答案为：. 知识点03 全概率公式 一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P（Ai）＞0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有 两个事件的全概率问题求解策略 (1)拆分：将样本空间拆分成互斥的两部分如A1，A2(或A与)． (2)计算：利用乘法公式计算每一部分的概率． (3)求和：所求事件的概率P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)． 【即学即练3】（23-24高二下·上海杨浦·期中）某工厂有甲、乙、丙三条生产线同时生产同一产品，这三条生产线生产产品的次品率分别为，，，假设这三条生产线产品产量的比为，现从这三条生产线上随机任意选取1件食品为次品的概率为 . 【答案】0.047/ 【知识点】利用全概率公式求概率 【分析】借助全概率公式计算即可得. 【详解】记事件：选取的产品为次品， 记事件：此件次品来自甲生产线， 记事件：此件次品来自乙生产线， 记事件：此件次品来自丙生产线， 由题意可得， ，，， 由全概率的公式可得 ， 从这三条生产线上随机任意选取1件产品为次品数的概率为0.047. 故答案为：0.047. 题型一：计算条件概率 1.（23-24高二上·上海·阶段练习）已知一个二胎家庭中有一个男孩，则这个家庭中有女孩的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据列举法及古典概型的计算公式求得和，然后再由条件概率的定义即可求解. 【详解】一个家庭中有两个小孩只有四种可能：(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)， 记事件为“其中一个是男孩”，事件为“其中一个是女孩”， 则事件包含(男，女)，(女，男)，(男，男)，三种情况， 事件包含(男，女)，(女，男)，(女，女)，三种情况， 事件包含(男，女)，(女，男)，两种情况， 于是可知，, 则. 故选C. 2.（21-22高二下·上海金山·期末）从编号为的20张卡片中依次不放回地抽出两张，记：第一次抽到数字为6的倍数，：第二次抽到的数字小于第一次，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件概率公式直接求解即可. 【详解】记事件：第一次抽到的数字为的倍数；事件：第二次抽到的数字小于第一次； 则数字为的倍数的数有：，所以， 第二次抽到的数字小于第一次的情况分为： 第一次抽到的数字为，第二次则抽到，共5种； 第一次抽到的数字为12，第二次则抽到，共11种； 第一次抽到的数字为18，第二次则抽到，共17种. 则， . 故选：B. 3．（22-23高二下·上海松江·期中）小智和电脑连续下两盘棋，已知小智第一盘获胜的概率是0.5，小智连续两盘都获胜的概率是0.4，那么小智在第一盘获胜的条件下，第二盘也获胜的概率是 . 【答案】0.8/ 【分析】利用条件概率公式求解. 【详解】设小智第一盘获胜为事件，第二盘获胜为事件，则 ， 则， 故答案为：0.8 4．（22-23高二下·上海浦东新·期中）把一颗质地均匀的骰子连续抛掷两次，记事件为“所得点数之和是偶数”，记事件为“至少有一次点数是4”，则 ． 【答案】 【分析】列举出事件A的所有基本事件，然后从其中找出满足事件B的基本事件，利用古典概型概率公式可得. 【详解】事件有下列可能：，，，，，，，，，，，，，，，，，共18种； 满足条件有：，，，，，共5种，所以 故答案为： 5．（22-23高三上·上海长宁·期中）某企业将生产出的芯片依次进行智能检测和人工检测两道检测工序，经智能检测为次品的芯片会被自动淘汰，合格的芯片进入流水线并由工人进行人工检验；已知某批芯片智能自动检测显示合格率为90%，最终的检测结果的次品率为，则在智能自动检测结束并淘汰了次品的条件下，人工检测一枚芯片恰好为合格品的概率为 . 【答案】 【分析】根据已知条件，结合条件概率的公式，即可求解. 【详解】设该芯片智能自动监测合格为事件A,人工监测一枚芯片恰好合格为事件B， ，则在智能自动检测结束并淘汰了次品的条件下，人工检测一枚芯片恰好为合格品的概率. 故答案为： 6．（23-24高二下·上海·期末）已知一个二胎家庭中有一个男孩，则这个家庭中有女孩的概率为 ． 【答案】 【分析】根据列举法及古典概型的计算公式求得和，然后再由条件概率的定义即可求解. 【详解】一个家庭中有两个小孩只有四种可能：(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)， 记事件为“其中一个是男孩”，事件为“其中一个是女孩”， 则事件包含(男，女)，(女，男)，(男，男)，三种情况， 事件包含(男，女)，(女，男)，(女，女)，三种情况， 事件包含(男，女)，(女，男)，两种情况， 于是可知，, 则. 故答案为：. 7．（23-24高三上·上海普陀·期末）某公司员工小明上班选择自驾、坐公交车、骑共享单车的概率分别为、、，而他自驾、坐公交车、骑共享单车迟到的概率分别为、、，结果今天他迟到了，在此条件下，他自驾去上班的概率为 ． 【答案】 【分析】设小明迟到为事件，小明自驾为事件，求出，，利用条件概率公式计算即可求出结果. 【详解】设小明迟到为事件，小明自驾为事件， 则，， 所以在小明迟到的条件下，他自驾去上班的概率为. 故答案为：. 8．（24-25高三上·上海·期末）一袋中装有除颜色外完全相同的4个黑球和3个红球，从袋中任取3球.已知取出的球中有红球，则取出的3个球都是红球的概率为 . 【答案】 【分析】先求出取出的3球中有红球的基本事件的个数，再求出取出的3个球都是红球的基本事件个数，最后根据古典概型及条件概率的概率公式解之即可． 【详解】从袋中任取3球， 取出的3球中有红球，共有种基本事件， 3个球都是红球共有种基本事件， 已知取出的3球中有红球，则取出的两个球都是黑球的概率为， 故答案为： 9．（25-26高三上·上海·单元测试）在一个盒子中有大小与质地相同的20个球，其中有10个红球和10个白球．若无放回地依次从中摸出1个球，则第一次摸出红球且第二次摸出白球的概率为 ． 【答案】 【分析】根据条件概率的定义即可求解. 【详解】第一次摸出红球,则第二次摸球时，盒子里有9个红球，10个白球， 故第二次摸出白球的概率为, 故答案为： 10．（25-26高三上·上海·单元测试）100件产品中有93件产品的长度合格，90件产品的质量合格，85件产品的长度及质量都合格．现在任取一件产品，若已知它的质量合格，则它的长度合格的概率是多少？ 【答案】 【分析】根据条件，利用古典概率公式及条件概率公式，即可求出结果. 【详解】设事件为“产品的长度合格”，事件为“产品的质量合格”，则事件为“产品的长度、质量都合格”， 又，，， 所以 题型二：独立事件的乘法公式 1．（23-24高二上·上海松江·期末）四个村庄A、B、C、D之间建有四条路AB、BC、CD、DA.在某个月的30天里，每逢奇数日开放AB、CD，封闭BC、DA；每逢偶数日开放BC、DA，封闭AB、CD. 游客小明起初住在村庄A，在该月第k天，他以的概率沿当天开放的道路去往相邻村庄投宿，以的概率留在当前村庄，设小明在30天内的选择相互独立，则第30天结束时，小明在村庄B的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先设两种情况的概率，再列出函数，最后根据函数写出小明在村庄B的概率即可. 【详解】对，用表示该游客恰有天通过道路或的概率， 表示该游客恰有天通过道路或的概率. 考虑函数. 据条件知为的次项系数，为的次项系数. 第30天结束时，游客住在村庄当且仅当他通过道路或的总天数为奇数， 且通过道路或的总天数为偶数. 于是，这样的情况发生的概率为： . 注意到， . ，，故. 故选：C. 2．（23-24高三上·上海·期中）“”是“事件A与事件互相独立”（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据事件互斥，对立，独立的关系得出即可. 【详解】因为对于任意两个事件，如果，则事件与事件相互独立，若事件与事件相互独立，则事件A与事件也互相独立，所以充分性成立； 若事件A与事件互相独立，则事件与事件也相互独立，则成立，所以必要性成立； 故选：C 3．（24-25高二上·上海金山·期末）甲乙两射手独立地射击同一目标，他们的命中率分别为0.8和0.6，则目标被甲乙同时击中的概率为 . 【答案】0.48/ 【分析】根据独立事件的概率公式计算即可. 【详解】记事件为甲击中目标，事件为乙击中目标， 由题意得，与相互独立，且，. 则目标被甲乙同时击中的概率. 故答案为：0.48. 4．（24-25高二上·上海长宁·期末）甲乙两人下棋，每局两人获胜的可能性一样.某一天两人要进行一场五局三胜的比赛，最终胜者赢得1000元奖金.甲连胜两局后，因为有其他要事而中止比赛.甲应分 元奖金才公平. 【答案】875 【分析】先算出甲赢的概率，再用这个概率乘以1000即可. 【详解】甲连胜两局后， 乙最后获胜的情况为后面三局必须乙胜，其概率为：， 即甲最终获胜的概率为，乙最终获胜的概率为， 故甲分得奖金元才公平. 故答案为：875. 5．（24-25高二上·上海·期末）已知A，B为两个独立事件，且，，则 ． 【答案】0.28/ 【分析】应用独立事件乘法公式计算即可. 【详解】因为A，B为两个独立事件，且，， 则． 故答案为：. 6．（24-25高二上·上海松江·阶段练习）在某道路A，B两处设有红灯、绿灯交通信号，汽车在A，B两处通过（即通过绿灯）的概率分别是和，某辆汽车在这条道路上匀速行驶，则两处都不停车的概率为 . 【答案】 【分析】利用独立事件的概率乘法公式可求得所求事件的概率. 【详解】因为汽车在A，B两处通过（即通过绿灯）的概率分别是和， 所以两处都不停车的概率为， 故答案为： 7.（24-25高二上·上海·期末）证明：如果两个事件A与B独立，那么事件A与也独立． 【答案】证明过程见解析 【分析】根据得，结合事件A与B独立，得到，从而得到. 【详解】因为， 根据互斥事件的概率加法公式，可得， 因为两个事件A与B独立，所以， 所以 ， 故事件A与独立. 8．（24-25高三上·上海·阶段练习）小明从家到学校的上学的路上要经过个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，每个路口遇到红灯的概率都是． (1)求小明在上学路上第一个路口未遇到红灯，而在第二个路口遇到红灯的概率； (2)求小明在上学路上至少遇到一次红灯的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用独立事件的概率乘法公式可求得所求事件的概率； （2）由题意可知，事件“小明在上学路上至少遇到一次红灯”的对立事件为，利用独立事件和对立事件的概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】（1）记事件明在上学路上第个路口遇到红灯，则、、两两相互独立， 则， 所以，小明在上学路上第一个路口未遇到红灯，而在第二个路口遇到红灯为事件， 由独立事件的概率乘法公式可得. （2）事件“小明在上学路上至少遇到一次红灯”的对立事件为， 所以，小明在上学路上至少遇到一次红灯的概率为. 9．（24-25高二上·上海普陀·阶段练习）如果从甲口袋中摸出一个红球的概率是，从乙口袋中摸出一个红球的概率是，求下列事件的概率： (1)2个球不都是红球； (2)2个球至少有1个红球； (3)2个球中恰好有1个红球. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）（2）（3）利用独立事件概率公式和对立事件的概率公式分别计算即可． 【详解】（1）设事件表示“从甲口袋中摸出一个红球”，则， 事件表示“乙口袋中摸出一个红球”，则， 显然事件与事件相互独立， 则2个球不都是红球的概率为：； （2）由题意，2个球至少有1个红球的概率为； （3）由题意，2个球中恰好有1个红球的概率为： 题型三：利用全概率公式求概率 1．（24-25高三·上海·随堂练习）某工厂有四条流水线生产同一产品，已知这四条流水线的产量分别占总产量的和．又知，这四条流水线的产品不合格率依次为及．现从该厂的这一产品中任取一件，则抽到不合格品的概率是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由全概率公式求解． 【详解】设“任取一件这种产品，结果是不合格品”， “任取一件这种产品，结果是第k条流水线的产品”，， 可用全概率公式，可得，，，， ，，，． 得． 故选：C 2．（24-25高三·上海·随堂练习）盒中有a个红球，b个黑球，今随机地从中取出一个，观察其颜色后放回，并加上同色球c个，再从盒中第二次抽取一球，则第二次抽出的是黑球的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，，根据， 由全概率公式计算可得结果. 【详解】设，，则， 由全概率公式， 由题意，，，． 所以． 故选：A. 3．（23-24高二下·上海·期中）此时此刻你正在做这道选择题，假设你会做的概率是，当你会做的时候，又能选对正确答案的概率为100%，而当你不会做这道题时，你选对正确答案的概率是0.25，那么这一刻，你答对题目的概率为（    ） A．0.625 B．0.75 C．0.5 D．0 【答案】A 【分析】结合条件概率公式和互斥事件的概率加法公式求解即可. 【详解】设“考生答对题目”为事件，“考生知道正确答案”为事件， 则， 所以， 故选：A. 4．（23-24高二下·上海·期中）建平中学高二年级进行篮球比赛，甲、乙、丙、丁四个班级进入半决赛.规定首先甲与乙比、丙与丁比，这两场比赛的胜利者再争夺冠军.通过小组赛获奖统计估计出他们之间相互获胜的概率如下： 甲 乙 丙 丁 甲获胜概率 0.3 0.3 0.7 乙获胜概率 0.7 0.6 0.3 丙获胜概率 0.7 0.4 0.4 丁获胜概率 0.3 0.7 0.6 则甲夺冠的概率为（    ） A．0.15 B．0.162 C．0.3 D．0.25 【答案】B 【分析】分丙、丁的输赢情况，结合独立事件的乘法公式与全概率公式即可得解. 【详解】设为甲赢乙的概率，为甲赢丙的概率，为甲赢丁的概率， 分别为丙赢丁和丁赢丙的概率，为甲夺冠的概率， 则. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于甲夺冠可以分别在丙和丁输赢的情况下. 5．（21-22高二下·上海松江·期末）盒中有个红球，个黑球，今随机地从中取出一个，观察其颜色后放回，并加上同色球个，再从盒中抽取一球，则第二次抽出的是红球的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设事件“第一次抽出的红球”为A，事件“第二次抽出的是红球”为B，则，再利用全概率公式求解. 【详解】解：设事件“第一次抽出的红球”为A，事件“第二次抽出的是红球”为B， 则， 由全概率公式得， 由题意得， ， 所以， 故选：B 6．（25-26高三上·上海·单元测试）若10张彩票中有2张有奖，两位顾客按照先后顺序各抽一张，则第二位顾客中奖的概率为 ． 【答案】/ 【分析】根据第一位顾客抽中和没有抽中两种情况，结合全概率公式即可求解. 【详解】分为第一位顾客抽中和没抽中两种情况， 所以第二位顾客中奖的概率为． 故答案为： 7．（23-24高二下·上海·期末）某张试卷由两位陈老师、一位张老师共同命制，其中第8题从三位老师中随机抽取一位进行命题. 已知若由张老师命题，学生答对这道题的概率是；若由（任意一位）陈老师命题，学生答对这道题的概率是. 那么学生答对第8题的概率是 . 【答案】 【分析】根据条件概率与全概率公式计算即可求解. 【详解】设事件：张老师出题；事件：陈老师出题；事件：学生答对第8题. 则 所以. 故答案为： 8．（23-24高三下·上海浦东新·期中）某校面向高一全体学生共开设3门体育类选修课，每人限选一门.已知这三门体育类 选修课的选修人数之比为，考核优秀率分别为20%、16%和12%，现从该年级所有选择体育类选修课的同学中任取一名，其成绩是优秀的概率为 . 【答案】0.18 【分析】根据给定条件，利用全概率公式列式计算即得. 【详解】设事件“任取一名同学，成绩为优秀”，“抽取的选修第门选修课的同学”（）， 则，且两两互斥，依题意，， ， 所以成绩是优秀的概率为 . 故答案为：0.18 9.（23-24高二下·上海·阶段练习）设有两个罐子，罐中放有4个白球、2个黑球，罐中放有6个白球.现在从两个罐子中各摸一个球交换，求这样交换2次后，罐中仅剩下1个黑球的概率. 【答案】 【分析】讨论所有情况后利用概率公式计算即可得. 【详解】若第一次从罐中取出白球，其概率为，第一次从罐中只能取出白球， 此时罐中依然放有4个白球、2个黑球，罐中依然放有6个白球， 则第二次必须从罐中取出黑球，其概率为，第二次从罐中只能取出白球， 这种情况下的概率为， 若第一次从罐中取出黑球，其概率为，第一次从罐中只能取出白球， 此时罐中依然放有5个白球、1个黑球，罐中依然放有5个白球，1个黑球， 第二次可能从罐中取出白球，其概率为，则从罐中必须取出白球，其概率为， 第二次可能从罐中取出黑球，其概率为，则从罐中必须取出黑球，其概率为， 这两种情况的概率为， 则有，即这样交换2次后，罐中仅剩下1个黑球的概率为. 10．（23-24高二上·上海·阶段练习）某工厂有四条流水线生产同一产品，已知这四条流水线的产量分别占总产量的和，又知这四条流水线的产品不合格率依次为和. (1)每条流水线都提供了两件产品放进展厅，一名客户来到展厅后随手拿起了两件产品，求这两件产品来自同一流水线的概率； (2)从该厂的这一产品中任取一件，抽取不合格品的概率是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据古典概型的概率公式计算得解； （2）设A表示“任取一件产品，抽到不合格品”，表示“任取一件产品，结果是第条流水线的产品”，结合条件概率和全概率公式，即可求解. 【详解】（1）这两件产品来自同一流水线的概率为. （2）设A表示“任取一件产品，抽到不合格品”，表示“任取一件产品，结果是第条流水线的产品”，， 由题，，，，， 且，，，， 从该厂的这一产品中任取一件，抽取不合格品的概率是： . 11.（23-24高二下·上海青浦·期中）盒子中有5个乒乓球，其中2个次品，3个正品．现从中随机摸取2个小球． (1)若采用有放回摸球，用表示摸出的2个小球中次品的个数，求的分布与数学期望； (2)若采用不放回摸球，记“第二次摸出的小球是正品”为事件，求证：． 【答案】(1)分布见解析， (2)证明过程见解析 【分析】（1）由二项分布的概率公式即可求得分布列以及数学期望； （2）由全概率公式即可得证. 【详解】（1）的所有可能取值为0，1，2， ， 的分布为 0 1 2 数学期望为. （2）设第一次摸出正品为事件，第一次摸出次品为事件， 则， 在第一次摸出正品、次品的条件下，第二次摸出的小球是正品分别为事件， 则， 由题意事件，即第二次摸出的小球是正品的概率为. 题型四：利用贝叶斯求概率 1．（25-26高三上·上海·单元测试）某仓库有同样规格的产品12箱，其中6箱、4箱、2箱依次是由甲、乙、丙三个厂生产的，且三个厂的次品率分别为、、．现从这12箱中任取一箱，再从取得的一箱中任意取出一个产品．若已知取得一个产品是次品，则这个次品是乙厂生产的概率是 ． 【答案】 【分析】记事件“取得一个产品是次品”，“取得的一箱是甲厂的”，“取得的一箱是乙厂的”，“取得的一箱是丙厂的”，先由已知条件结合全概率公式求得，再由贝叶斯公式即可得解. 【详解】记事件“取得一个产品是次品”，“取得的一箱是甲厂的”， “取得的一箱是乙厂的”，“取得的一箱是丙厂的”， 则由题，，， ，，， 所以由全概率公式得 ， 所以由贝叶斯公式若已知取得一个产品是次品，则这个次品是乙厂生产的概率是 . 故答案为：. 2.（25-26高三上·上海·单元测试）某商店从三个厂购买了一批灯泡，甲厂占25%，乙厂占35%，丙厂占40%，各厂的次品率分别为5%、4%、2%． (1)求消费者买到一只次品灯泡的概率； (2)若消费者买到一只次品灯泡，则它是哪个厂家生产的可能性最大？ 【答案】(1)0.0345 (2)买到乙厂产品的可能性最大 【分析】（1）直接由全概率公式即可求解； （2）直接由贝叶斯公式即可求解. 【详解】（1）记事件表示“消费者买到一只次品灯泡”，、、分别表示“买到的灯泡是甲、乙、丙厂生产的灯泡”， 根据题意得，，，， ，，． 所以； （2）， ， ， 所以买到乙厂产品的可能性最大． 一、单选题 1．（24-25高三·上海·随堂练习）某学校有甲、乙两家餐厅，学生张小明第1天午餐时随机选择一家餐厅用餐．如果他第1天去甲餐厅，那么第2天去甲餐厅的概率为0.6；如果他第1天去乙餐厅，那么第2天去甲餐厅的概率为0.8，则张小明第2天去甲餐厅的概率为（    ）． A．0.4 B．0.6 C．0.7 D．0.9 【答案】C 【分析】第2天去哪家餐厅的概率受第一天去哪家餐厅的影响，所以可先标记“第一天去甲餐厅”和 “第一天去乙餐厅”这两个互斥事件，则第2天去甲餐厅是两个互斥事件的并，接着利用全概率公式即可求解. 【详解】设“第一天去甲餐厅”，“第一天去乙餐厅”，“第2天去甲餐厅”， 由题意得，，， 所以由全概率公式. 故选：C. 2．（23-24高二下·上海金山·阶段练习）将三颗骰子各掷一次，记事件 “三个点数都不同”， “至少出现一个6点”，则条件概率等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由古典概型分别求出，代入条件概率公式即可. 【详解】由题意，事件即为“三个点数都不同且至少出现一个6点”， ， ， ． 故选：A． 3．（24-25高三上·上海·期中）已知事件与相互独立，且，则下列选项不一定成立的是（    ） A．； B．； C．； D．. 【答案】B 【分析】根据相互独立事件的乘法公式和条件概率公式，结合对立事件的定义逐一判断即可. 【详解】因为与相互独立，所以与、与、与也相互独立， A选项，，故A一定成立； B选项，， 而，所以，故B不成立； C选项，， 故C一定成立； D选项，， 故D一定成立. 故选：B. 4．（24-25高二上·上海·期末）上师大附中闵分-宝分高二年级进行篮球比赛，甲、乙、丙、丁四个班级进入半决赛.规定首先甲与乙比、丙与丁比，这两场比赛的胜利者再争夺冠军.通过小组赛获奖统计估计出他们之间相互获胜的概率如下：则甲夺冠的概率为（   ） 甲 乙 丙 丁 甲 0.3 0.3 0.7 乙 0.7 0.6 0.3 丙 0.7 0.4 0.4 丁 0.3 0.7 0.6 A．0.15 B．0.162 C．0.3 D．0.25 【答案】B 【分析】分丙、丁的输赢情况，结合独立事件的乘法公式与全概率公式即可得解. 【详解】设为甲赢乙的概率，为甲赢丙的概率，为甲赢丁的概率， 分别为丙赢丁和丁赢丙的概率，为甲夺冠的概率， 则. 故选：B. 二、填空题 5．（23-24高二上·上海奉贤·期末）已知事件A与事件B相互独立，如果，，则 . 【答案】0.56/ 【分析】根据独立事件和对立事件的概率公式计算可得答案. 【详解】由事件与事件相互独立，则事件与事件相互独立， 又，， 则. 故答案为：． 6．（23-24高三上·上海长宁·期中）从这个连续正整数中不放回地任取2个数，设“第一次取到的是质数”为事件A，又设“第二次取到的不是质数”为事件，且，则的所有可能值的和为 . 【答案】15 【分析】根据条件概率得出在中质数比不是质数的数多一个，由质数合数的定义判断可得的可能值，再求和即得． 【详解】由知在中质数比不是质数的数多一个，因此只可能为3，5，7共3个，而． 故答案为：15. 7．（23-24高二下·上海·期中）箱子中装有6个大小相同的小球，其中4个红球、2个白球，从中随机抽出2个球，在已知抽到红球的条件下，2个球都是红球的概率为 . 【答案】 【分析】记事件A：随机抽到2个球中有红球，记事件B：随机抽到的个球都是红球，利用条件概率公式可求得的值. 【详解】记事件A：随机抽到2个球中有红球，记事件B：随机抽到的个球都是红球， ， 所以， 故答案为： 8．（23-24高二下·上海·期中）春天是鼻炎和感冒的高发期，学生小李鼻炎发作的概率是，鼻炎和感冒同时发作的概率是，则小李在鼻炎发作的条件下感冒的概率是 ． 【答案】/0.75 【分析】记小李鼻炎发作为事件，小李感冒为事件，利用条件概率公式计算可得. 【详解】记小李鼻炎发作为事件，小李感冒为事件， 依题意，， 所以，即小李在鼻炎发作的条件下感冒的概率是. 故答案为： 9．（24-25高三上·上海·阶段练习）某饮料厂生产两种型号的饮料，已知这两种饮料的生产比例分别为，，且这两种饮料中的碳酸饮料的比例分别为，，若从该厂生产的饮料中任选一瓶，则选到非碳酸饮料的概率为 ． 【答案】 【分析】根据全概率公式可求得，由对立事件概率公式可求得结果. 【详解】从该厂生产的饮料中任选一瓶，记事件为：选到的为型号饮料；则事件为：选到的为型号的饮料； 记事件为：选到的饮料为碳酸饮料；则事件为：选到的饮料为非碳酸饮料； 由题意知：，，，， ， . 故答案为：. 10．（22-23高二下·上海嘉定·期中）现从甲乙口袋各摸出一个球，如果从甲口袋中摸出一个红球的概率是 ，从乙口袋中摸出一个红球的概率是 ，则摸出的两个球至少有1个红球的概率为 (请用分数表示) 【答案】 【分析】先求出至少有1个红球的对立事件的概率，然后利用对立事件概率的性质计算即可. 【详解】至少有1个红球的对立事件是两个都不是红球，那么求出两个都不是红球的概率即可； 两个都不是红球的概率为，至少有1个红球的概率. 故答案为：. 11．（22-23高二上·上海嘉定·期中）投掷一颗均匀的骰子，设事件：点数大于等于3；事件：点数为奇数．则 ． 【答案】 【分析】由事件的运算可得，确定、、，再利用条件概率公式求，进而可得结果. 【详解】由题意，事件A的基本事件为{3,4,5,6}，事件B的基本事件为{1,3,5}， 而，且，，， 所以，则. 故答案为： 12．（23-24高二下·上海·期中）某地区气象台统计，该地区下雨的概率是，刮风的概率为，在下雨天里，刮风的概率为，则既刮风又下雨的概率为 ． 【答案】/0.1 【分析】利用条件概率的计算公式求解即可 【详解】记“下雨”，“刮风”，“刮风又下雨”， 则， 所以. 故答案为： 13．（22-23高二下·上海浦东新·期末）人群中患肺癌的概率约为0.1%，在人群中有10%是吸烟者，他们患肺癌的概率约为0.5%，则不吸烟者中患肺癌的概率是 .（用分数表示） 【答案】 【分析】设患肺癌为事件A，吸烟为事件B，由题有，即可得答案. 【详解】设患肺癌为事件A，吸烟为事件B，则 ，不吸烟者中患肺癌的概率为. 又由全概率公式有， 则，解得． 故答案为：. 14．（23-24高二下·上海·期末）设甲、乙两个地区爆发了某种流行病，且两个地区感染此病的比例分别为 、  ，若从这两个地区中任选一个地区选择一个人，则此人感染此疾病的概率是 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用全概率公式列式计算即得. 【详解】设事件分别表示“此人来自甲地区和乙地区”；事件表示“感染此疾病”， ，， 因此 故答案为： 15．（23-24高二上·上海·期末）某校中学生篮球队集训前共有6个篮球，其中3个是新球（即没有用过的球），3个是旧球（即至少用过一次的球）.每次训练都从中任意取出2个球，用完后放回.已知第一次训练时用过的球放回后都当作旧球，则第二次训练时恰好取到1个新球的概率为 . 【答案】 【分析】求出第一次取到0个、1个、2个新球的概率，再结合条件概率及全概率公式列式计算即得. 【详解】用表示第一次取到个新球的事件，用表示第二次训练时恰好取到1个新球的事件， 则，且两两互斥，， ， 因此， 所以第二次训练时恰好取到1个新球的概率为. 故答案为： 16．（24-25高三上·上海杨浦·期末）某校高二有人报名足球俱乐部，人报名乒乓球俱乐部，人报名足球或乒乓球俱乐部，若已知某人报足球俱乐部，则其报乒乓球俱乐部的概率为 ． 【答案】/ 【分析】记事件某人报足球俱乐部，记事件某人报乒乓球俱乐部，根据题意求出的值，再利用条件概率公式可求得的值. 【详解】记事件某人报足球俱乐部，记事件某人报乒乓球俱乐部， 因为，即，解得， 则. 故答案为：. 三、解答题 17．（21-22高二下·上海徐汇·期中）设某工厂有甲、乙、丙3个车间生产同一批彩电. (1)假设100台彩电中有10台次品，现采用不放回抽样从中依次抽取3次，每次抽1台，求第3次才抽到合格品的概率； (2)若甲、乙、丙3个车间的产量依次占全厂的、、，且各车间的次品率分别为、、，.现从一批产品中检查出1个次品，求该次品来自甲、乙、丙车间的概率分别是多少? 【答案】(1)； (2)甲车间，乙车间，丙车间． 【分析】（1）根据分步乘法计数原理，可直接求解； （2）求出各种产量的数量，然后根据全概率公式求出次品率，然后根据条件概率求解即可. 【详解】（1）第3次才抽到合格品的概率. （2）设“从一批产品中检查出1个次品”，“零件为甲车间加工”，“零件为乙车间加工”，“零件为丙车间加工”.则，且两两互斥. 由题意可知，，，， ，，. 由全概率公式可得，. 则该次品来自甲车间的概率 ， 该次品来自乙车间的概率 ， 该次品来自丙车间的概率 . 18．（22-23高二下·上海浦东新·期中）甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击，三人击中的概率分别为，，．飞机恰被一人击中而击落的概率为，恰被两人击中而击落的概率为，若三人都击中，飞机必定被击落． (1)求飞机恰被一人击中的概率； (2)求飞机被击落的概率； (3)已知飞机被击落，求三人都击中飞机的概率． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】(1)(2)根据独立事件概率乘法公式可得; (3)根据条件概率公式求解即可. 【详解】（1）设“飞机被击落”，“飞机被i人击中”，，，，则， 依题意，，，． 由全概率公式， 为求，设“飞机被第i人击中”，，，， 将数据代入计算得 （2） 于是 ． （3）． 19．（23-24高二下·上海浦东新·期中）先后抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记向上的点数分别为x，y，将事件“为整数”记为A，将事件“为偶数”记为B，将事件“为奇数”记为C； (1)试判断事件B与事件C是否相互独立？并说明理由； (2)求的值. 【答案】(1)事件B与事件C相互独立，理由见解析； (2). 【分析】（1）列举所有的基本事件，再由古典概型的概率公式，相互独立事件的定义判断事件B与事件C是否相互独立； （2）结合条件概率的概率公式计算可得. 【详解】（1）先后两次抛掷一枚质地均匀的骰子，得到向上的点数分别为，， 则基本事件总数为，，，，，， ，，，，，， ，，，，，， ，，，，，， ，，，，，， ，，，，，，共36种情况， 满足事件的有，，，，，， ，，，，，，， ，，，，，，共个， 故； 满足事件的有，，，，，， ，，，，，， ，，，，，，共个， 故， 满足事件的有，，， ，，， ，，，共个， 所以， 所以事件与事件相互独立， （2）满足事件的有，，，，，，，共种， 所以， 所以， 20．（24-25高三上·上海·阶段练习）放行准点率是衡量机场运行效率和服务质量的重要指标之一．已知年该机场飞往地，地及其他地区（不包含，两地）航班放行准点率的估计值分别为和，年该机场飞往地，地及其他地区的航班比例分别为，和. 试解决一下问题： (1)现在从年在该机场起飞的航班中随机抽取一个，求该航班准点放行的概率； (2)若年某航班在该机场准点放行，判断该航班飞往地，地、其他地区等三种情况中的哪种情况的可能性最大，说明你的理由． 【答案】(1) (2)该航班飞往其他地区的可能性最大． 【分析】（1）首先设"该航班飞往地"， "该航班飞往地"， "该航班飞往其他地区"，"该航班准点放行"，根据题中信息把相关事件的概率表示清楚，然后利用全概率公式求即可； （2）利用贝叶斯公式求解，，，再比较大小，即可判断航班飞往哪种情况的可能性最大. 【详解】（1）设"该航班飞往地"， "该航班飞往地"， "该航班飞往其他地区"，"该航班准点放行"， 则，，， ，，， 由全概率公式得， ， 所以该航班准点放行的概率为. （2）， ， ， 因为，所以该航班飞往其他地区的可能性最大． 21．（24-25高三上·上海·期中）为迎接我校校庆，文创中心组织师生共同准备了书签及明信片这两种校庆纪念品，每种纪念品均分为手绘款和普通款两类．校庆当日，志愿者小江负责在弦歌台服务点发放纪念品．在做准备工作时，小江清点了服务点已有的各类纪念品的份数，发现缺失手绘款明信片，准备向文创中心申请补领，其余纪念品的份数如下表所示： 书签 明信片 手绘款 40 普通教 150 120 (1)设每位抵达的校友可以随机抽取1份纪念品，小江补领了手绘款明信片40张．记事件A：首位抵达的校友抽到手绘款纪念品，事件：首位抵达的校友没有抽到明信片，分别计算、，并判断事件A，是否独立； (2)设每位抵达的校友可以随机抽取2份纪念品．若小江希望事件“首位抵达的校友恰好抽到一张明信片，且恰好抽到一份手绘款纪念品”发生概率大于0.2，且考虑到纪念品总数有限，希望补领的手绘款明信片的张数尽可能地少，则他应该申请补领多少张手绘款明信片？ 【答案】(1)，，事件A，不独立 (2)59 【分析】（1）根据概率公式求出、，根据相互独立事件的概率公式判断是否独立； （2）表示出首位抵达的校友恰好抽到一张明信片，且恰好抽到一份手绘款纪念品的概率，解不等式求解即可. 【详解】（1）依题意， 书签 明信片 手绘款 40 40 普通教 150 120 ， ， ， 因为， 所以事件A，不独立. （2）设手绘款明信片的张数为，首位抵达的校友恰好抽到一张明信片，且恰好抽到一份手绘款纪念品为事件C， 则，解得， 考虑到纪念品总数有限，希望补领的手绘款明信片的张数尽可能地少，且为整数， 所以手绘款明信片的张数为59. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第9讲 条件概率与相关公式 课程标准 学习目标 1.会判断条件概率，掌握条件概率的基本求法，能解决与条件概率相关的问题: 2.会利用全概率公式求解事件概率，会利用贝叶斯公式进行简单的计算，解决简单的应用问题。 1.结合古典概型，了解条件概率的定义. 2.掌握条件概率的计算方法. 3.利用条件概率公式解决一些简单的实际问题． 3.了解事件的独立性与条件概率的关系，掌握概率的乘法公式. 4.会求互斥事件的条件概率，理解条件概率的性质． 5.了解利用概率的加法公式和乘法公式推导全概率公式. 6.理解全概率公式，并会利用全概率公式计算概率. 7.了解贝叶斯公式，并会简单应用． 知识点01 相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式 1．相互独立事件：事件A（或B）是否发生，对事件B（或A）发生的概率没有影响，这样两个事件叫做相互独立事件． 2．相互独立事件同时发生的概率公式： 将事件A和事件B同时发生的事件即为A•B，若两个相互独立事件A、B同时发生，则事件A•B发生的概率为： P（A•B）＝P（A）•P（B） 推广：一般地，如果事件A1，A2，…，An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率之积，即： P（A1•A2…An）＝P（A1）•P（A2）…P（An） 3．区分 互斥事件和相互独立事件是两个不同的概念： （1）互斥事件：两个事件不可能同时发生； （2）相互独立事件：一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响． 【即学即练1】（23-24高二下·上海·期中）一个盒子中装有4张卡片，卡片上分别写有数字1、2、3、4.现从盒子中随机抽取卡片. (1)若一次抽取3张卡片，事件A表示“3张卡片上数字之和大于7”，求； (2)若第一次抽取1张卡片，放回后再抽取1张卡片，事件B表示“两次抽取的卡片上数字之和大于6”，求； (3)若一次抽取2张卡片，事件C表示“2张卡片上数字之和是3的倍数”，事件D表示“2张卡片上数字之积是4的倍数”，验证C、D是独立的. 知识点02 条件概率 1. 概念：在古典概率模型中，事件发生之后，随机现象的结果就剩下事件中的基本事件，所以事件变成了样 本空间．这个样本空间仍然是等可能的，这时事件发生的概率称为事件基于条件的概率，或在事件发生的条件下，事件发生的概率，或已知事件发生，事件发生的概率，记为 . 2. 公式：（适用于古典概率）； （适用于一般情况）. 3. 乘法公式：，若与独立，则，此时. 这说明在两个事件独立的情况下，条件概率等于概率．反之，若条件概率等于概率，则两个事件是独立 的. 4.利用定义计算条件概率的步骤 分别计算概率P(AB)和P(A)． 将它们相除得到条件概率P(B|A)＝，这个公式适用于一般情形，其中AB表示A，B同时发生． 5.利用缩小样本空间法求条件概率的方法 缩：将原来的基本事件全体Ω缩小为事件A，原来的事件B缩小为AB. 数：数出A中事件AB所包含的基本事件． 算：利用P(B|A)＝求得结果． 【即学即练2】（23-24高二下·上海·期中）某校甲、乙两名女生进行乒乓球比赛，约定“七局四胜制”，即先胜四局者获胜．若每一局比赛乙获胜的概率为，事件表示“乙获得比赛胜利”，事件表示“比赛进行了七局”，则 ． 知识点03 全概率公式 一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P（Ai）＞0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有 两个事件的全概率问题求解策略 (1)拆分：将样本空间拆分成互斥的两部分如A1，A2(或A与)． (2)计算：利用乘法公式计算每一部分的概率． (3)求和：所求事件的概率P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)． 【即学即练3】（23-24高二下·上海杨浦·期中）某工厂有甲、乙、丙三条生产线同时生产同一产品，这三条生产线生产产品的次品率分别为，，，假设这三条生产线产品产量的比为，现从这三条生产线上随机任意选取1件食品为次品的概率为 . 题型一：计算条件概率 1.（23-24高二上·上海·阶段练习）已知一个二胎家庭中有一个男孩，则这个家庭中有女孩的概率为（    ） A． B． C． D． 2.（21-22高二下·上海金山·期末）从编号为的20张卡片中依次不放回地抽出两张，记：第一次抽到数字为6的倍数，：第二次抽到的数字小于第一次，则=（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高二下·上海松江·期中）小智和电脑连续下两盘棋，已知小智第一盘获胜的概率是0.5，小智连续两盘都获胜的概率是0.4，那么小智在第一盘获胜的条件下，第二盘也获胜的概率是 . 4．（22-23高二下·上海浦东新·期中）把一颗质地均匀的骰子连续抛掷两次，记事件为“所得点数之和是偶数”，记事件为“至少有一次点数是4”，则 ． 5．（22-23高三上·上海长宁·期中）某企业将生产出的芯片依次进行智能检测和人工检测两道检测工序，经智能检测为次品的芯片会被自动淘汰，合格的芯片进入流水线并由工人进行人工检验；已知某批芯片智能自动检测显示合格率为90%，最终的检测结果的次品率为，则在智能自动检测结束并淘汰了次品的条件下，人工检测一枚芯片恰好为合格品的概率为 . 6．（23-24高二下·上海·期末）已知一个二胎家庭中有一个男孩，则这个家庭中有女孩的概率为 ． 7．（23-24高三上·上海普陀·期末）某公司员工小明上班选择自驾、坐公交车、骑共享单车的概率分别为、、，而他自驾、坐公交车、骑共享单车迟到的概率分别为、、，结果今天他迟到了，在此条件下，他自驾去上班的概率为 ． 8．（24-25高三上·上海·期末）一袋中装有除颜色外完全相同的4个黑球和3个红球，从袋中任取3球.已知取出的球中有红球，则取出的3个球都是红球的概率为 . 9．（25-26高三上·上海·单元测试）在一个盒子中有大小与质地相同的20个球，其中有10个红球和10个白球．若无放回地依次从中摸出1个球，则第一次摸出红球且第二次摸出白球的概率为 ． 10．（25-26高三上·上海·单元测试）100件产品中有93件产品的长度合格，90件产品的质量合格，85件产品的长度及质量都合格．现在任取一件产品，若已知它的质量合格，则它的长度合格的概率是多少？ 题型二：独立事件的乘法公式 1．（23-24高二上·上海松江·期末）四个村庄A、B、C、D之间建有四条路AB、BC、CD、DA.在某个月的30天里，每逢奇数日开放AB、CD，封闭BC、DA；每逢偶数日开放BC、DA，封闭AB、CD. 游客小明起初住在村庄A，在该月第k天，他以的概率沿当天开放的道路去往相邻村庄投宿，以的概率留在当前村庄，设小明在30天内的选择相互独立，则第30天结束时，小明在村庄B的概率是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高三上·上海·期中）“”是“事件A与事件互相独立”（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（24-25高二上·上海金山·期末）甲乙两射手独立地射击同一目标，他们的命中率分别为0.8和0.6，则目标被甲乙同时击中的概率为 . 4．（24-25高二上·上海长宁·期末）甲乙两人下棋，每局两人获胜的可能性一样.某一天两人要进行一场五局三胜的比赛，最终胜者赢得1000元奖金.甲连胜两局后，因为有其他要事而中止比赛.甲应分 元奖金才公平. 5．（24-25高二上·上海·期末）已知A，B为两个独立事件，且，，则 ． 6．（24-25高二上·上海松江·阶段练习）在某道路A，B两处设有红灯、绿灯交通信号，汽车在A，B两处通过（即通过绿灯）的概率分别是和，某辆汽车在这条道路上匀速行驶，则两处都不停车的概率为 . 7.（24-25高二上·上海·期末）证明：如果两个事件A与B独立，那么事件A与也独立． 8．（24-25高三上·上海·阶段练习）小明从家到学校的上学的路上要经过个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，每个路口遇到红灯的概率都是． (1)求小明在上学路上第一个路口未遇到红灯，而在第二个路口遇到红灯的概率； (2)求小明在上学路上至少遇到一次红灯的概率． 9．（24-25高二上·上海普陀·阶段练习）如果从甲口袋中摸出一个红球的概率是，从乙口袋中摸出一个红球的概率是，求下列事件的概率： (1)2个球不都是红球； (2)2个球至少有1个红球； (3)2个球中恰好有1个红球. 题型三：利用全概率公式求概率 1．（24-25高三·上海·随堂练习）某工厂有四条流水线生产同一产品，已知这四条流水线的产量分别占总产量的和．又知，这四条流水线的产品不合格率依次为及．现从该厂的这一产品中任取一件，则抽到不合格品的概率是（    ）． A． B． C． D． 2．（24-25高三·上海·随堂练习）盒中有a个红球，b个黑球，今随机地从中取出一个，观察其颜色后放回，并加上同色球c个，再从盒中第二次抽取一球，则第二次抽出的是黑球的概率为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·上海·期中）此时此刻你正在做这道选择题，假设你会做的概率是，当你会做的时候，又能选对正确答案的概率为100%，而当你不会做这道题时，你选对正确答案的概率是0.25，那么这一刻，你答对题目的概率为（    ） A．0.625 B．0.75 C．0.5 D．0 4．（23-24高二下·上海·期中）建平中学高二年级进行篮球比赛，甲、乙、丙、丁四个班级进入半决赛.规定首先甲与乙比、丙与丁比，这两场比赛的胜利者再争夺冠军.通过小组赛获奖统计估计出他们之间相互获胜的概率如下： 甲 乙 丙 丁 甲获胜概率 0.3 0.3 0.7 乙获胜概率 0.7 0.6 0.3 丙获胜概率 0.7 0.4 0.4 丁获胜概率 0.3 0.7 0.6 则甲夺冠的概率为（    ） A．0.15 B．0.162 C．0.3 D．0.25 5．（21-22高二下·上海松江·期末）盒中有个红球，个黑球，今随机地从中取出一个，观察其颜色后放回，并加上同色球个，再从盒中抽取一球，则第二次抽出的是红球的概率是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高三上·上海·单元测试）若10张彩票中有2张有奖，两位顾客按照先后顺序各抽一张，则第二位顾客中奖的概率为 ． 7．（23-24高二下·上海·期末）某张试卷由两位陈老师、一位张老师共同命制，其中第8题从三位老师中随机抽取一位进行命题. 已知若由张老师命题，学生答对这道题的概率是；若由（任意一位）陈老师命题，学生答对这道题的概率是. 那么学生答对第8题的概率是 . 8．（23-24高三下·上海浦东新·期中）某校面向高一全体学生共开设3门体育类选修课，每人限选一门.已知这三门体育类 选修课的选修人数之比为，考核优秀率分别为20%、16%和12%，现从该年级所有选择体育类选修课的同学中任取一名，其成绩是优秀的概率为 . 9.（23-24高二下·上海·阶段练习）设有两个罐子，罐中放有4个白球、2个黑球，罐中放有6个白球.现在从两个罐子中各摸一个球交换，求这样交换2次后，罐中仅剩下1个黑球的概率. 10．（23-24高二上·上海·阶段练习）某工厂有四条流水线生产同一产品，已知这四条流水线的产量分别占总产量的和，又知这四条流水线的产品不合格率依次为和. (1)每条流水线都提供了两件产品放进展厅，一名客户来到展厅后随手拿起了两件产品，求这两件产品来自同一流水线的概率； (2)从该厂的这一产品中任取一件，抽取不合格品的概率是多少？ 11.（23-24高二下·上海青浦·期中）盒子中有5个乒乓球，其中2个次品，3个正品．现从中随机摸取2个小球． (1)若采用有放回摸球，用表示摸出的2个小球中次品的个数，求的分布与数学期望； (2)若采用不放回摸球，记“第二次摸出的小球是正品”为事件，求证：． 题型四：利用贝叶斯求概率 1．（25-26高三上·上海·单元测试）某仓库有同样规格的产品12箱，其中6箱、4箱、2箱依次是由甲、乙、丙三个厂生产的，且三个厂的次品率分别为、、．现从这12箱中任取一箱，再从取得的一箱中任意取出一个产品．若已知取得一个产品是次品，则这个次品是乙厂生产的概率是 ． 2.（25-26高三上·上海·单元测试）某商店从三个厂购买了一批灯泡，甲厂占25%，乙厂占35%，丙厂占40%，各厂的次品率分别为5%、4%、2%． (1)求消费者买到一只次品灯泡的概率； (2)若消费者买到一只次品灯泡，则它是哪个厂家生产的可能性最大？ 一、单选题 1．（24-25高三·上海·随堂练习）某学校有甲、乙两家餐厅，学生张小明第1天午餐时随机选择一家餐厅用餐．如果他第1天去甲餐厅，那么第2天去甲餐厅的概率为0.6；如果他第1天去乙餐厅，那么第2天去甲餐厅的概率为0.8，则张小明第2天去甲餐厅的概率为（    ）． A．0.4 B．0.6 C．0.7 D．0.9 2．（23-24高二下·上海金山·阶段练习）将三颗骰子各掷一次，记事件 “三个点数都不同”， “至少出现一个6点”，则条件概率等于（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·上海·期中）已知事件与相互独立，且，则下列选项不一定成立的是（    ） A．； B．； C．； D．. 4．（24-25高二上·上海·期末）上师大附中闵分-宝分高二年级进行篮球比赛，甲、乙、丙、丁四个班级进入半决赛.规定首先甲与乙比、丙与丁比，这两场比赛的胜利者再争夺冠军.通过小组赛获奖统计估计出他们之间相互获胜的概率如下：则甲夺冠的概率为（   ） 甲 乙 丙 丁 甲 0.3 0.3 0.7 乙 0.7 0.6 0.3 丙 0.7 0.4 0.4 丁 0.3 0.7 0.6 A．0.15 B．0.162 C．0.3 D．0.25 二、填空题 5．（23-24高二上·上海奉贤·期末）已知事件A与事件B相互独立，如果，，则 . 6．（23-24高三上·上海长宁·期中）从这个连续正整数中不放回地任取2个数，设“第一次取到的是质数”为事件A，又设“第二次取到的不是质数”为事件，且，则的所有可能值的和为 . 7．（23-24高二下·上海·期中）箱子中装有6个大小相同的小球，其中4个红球、2个白球，从中随机抽出2个球，在已知抽到红球的条件下，2个球都是红球的概率为 . 8．（23-24高二下·上海·期中）春天是鼻炎和感冒的高发期，学生小李鼻炎发作的概率是，鼻炎和感冒同时发作的概率是，则小李在鼻炎发作的条件下感冒的概率是 ． 9．（24-25高三上·上海·阶段练习）某饮料厂生产两种型号的饮料，已知这两种饮料的生产比例分别为，，且这两种饮料中的碳酸饮料的比例分别为，，若从该厂生产的饮料中任选一瓶，则选到非碳酸饮料的概率为 ． 10．（22-23高二下·上海嘉定·期中）现从甲乙口袋各摸出一个球，如果从甲口袋中摸出一个红球的概率是 ，从乙口袋中摸出一个红球的概率是 ，则摸出的两个球至少有1个红球的概率为 (请用分数表示) 11．（22-23高二上·上海嘉定·期中）投掷一颗均匀的骰子，设事件：点数大于等于3；事件：点数为奇数．则 ． 12．（23-24高二下·上海·期中）某地区气象台统计，该地区下雨的概率是，刮风的概率为，在下雨天里，刮风的概率为，则既刮风又下雨的概率为 ． 13．（22-23高二下·上海浦东新·期末）人群中患肺癌的概率约为0.1%，在人群中有10%是吸烟者，他们患肺癌的概率约为0.5%，则不吸烟者中患肺癌的概率是 .（用分数表示） 14．（23-24高二下·上海·期末）设甲、乙两个地区爆发了某种流行病，且两个地区感染此病的比例分别为 、  ，若从这两个地区中任选一个地区选择一个人，则此人感染此疾病的概率是 ． 15．（23-24高二上·上海·期末）某校中学生篮球队集训前共有6个篮球，其中3个是新球（即没有用过的球），3个是旧球（即至少用过一次的球）.每次训练都从中任意取出2个球，用完后放回.已知第一次训练时用过的球放回后都当作旧球，则第二次训练时恰好取到1个新球的概率为 . 16．（24-25高三上·上海杨浦·期末）某校高二有人报名足球俱乐部，人报名乒乓球俱乐部，人报名足球或乒乓球俱乐部，若已知某人报足球俱乐部，则其报乒乓球俱乐部的概率为 ． 三、解答题 17．（21-22高二下·上海徐汇·期中）设某工厂有甲、乙、丙3个车间生产同一批彩电. (1)假设100台彩电中有10台次品，现采用不放回抽样从中依次抽取3次，每次抽1台，求第3次才抽到合格品的概率； (2)若甲、乙、丙3个车间的产量依次占全厂的、、，且各车间的次品率分别为、、，.现从一批产品中检查出1个次品，求该次品来自甲、乙、丙车间的概率分别是多少? 18．（22-23高二下·上海浦东新·期中）甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击，三人击中的概率分别为，，．飞机恰被一人击中而击落的概率为，恰被两人击中而击落的概率为，若三人都击中，飞机必定被击落． (1)求飞机恰被一人击中的概率； (2)求飞机被击落的概率； (3)已知飞机被击落，求三人都击中飞机的概率． 19．（23-24高二下·上海浦东新·期中）先后抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记向上的点数分别为x，y，将事件“为整数”记为A，将事件“为偶数”记为B，将事件“为奇数”记为C； (1)试判断事件B与事件C是否相互独立？并说明理由； (2)求的值. 20．（24-25高三上·上海·阶段练习）放行准点率是衡量机场运行效率和服务质量的重要指标之一．已知年该机场飞往地，地及其他地区（不包含，两地）航班放行准点率的估计值分别为和，年该机场飞往地，地及其他地区的航班比例分别为，和. 试解决一下问题： (1)现在从年在该机场起飞的航班中随机抽取一个，求该航班准点放行的概率； (2)若年某航班在该机场准点放行，判断该航班飞往地，地、其他地区等三种情况中的哪种情况的可能性最大，说明你的理由． 21．（24-25高三上·上海·期中）为迎接我校校庆，文创中心组织师生共同准备了书签及明信片这两种校庆纪念品，每种纪念品均分为手绘款和普通款两类．校庆当日，志愿者小江负责在弦歌台服务点发放纪念品．在做准备工作时，小江清点了服务点已有的各类纪念品的份数，发现缺失手绘款明信片，准备向文创中心申请补领，其余纪念品的份数如下表所示： 书签 明信片 手绘款 40 普通教 150 120 (1)设每位抵达的校友可以随机抽取1份纪念品，小江补领了手绘款明信片40张．记事件A：首位抵达的校友抽到手绘款纪念品，事件：首位抵达的校友没有抽到明信片，分别计算、，并判断事件A，是否独立； (2)设每位抵达的校友可以随机抽取2份纪念品．若小江希望事件“首位抵达的校友恰好抽到一张明信片，且恰好抽到一份手绘款纪念品”发生概率大于0.2，且考虑到纪念品总数有限，希望补领的手绘款明信片的张数尽可能地少，则他应该申请补领多少张手绘款明信片？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$