7.3 常用分布（教材解读）-2025-2026学年高二数学教材解读与拓展（沪教版2020选择性必修第二册）

【解析版】 7.3 常用分布 选择性必修第二册 第7章 概率初步（续） 本章作为概率初步（必修课程第12章）的续篇，将重点介绍条件概率、概率的乘法公式以及全概率公式．条件概率表示所考察的事件在其他事件发生的条件下的概率，是概率论中的一个重要概念．由条件概率可以得到全概率公式和贝叶斯公式等重要公式，它们是计算概率的重要方法，并进一步展示了概率的直观含义；本章还将介绍随机变量的概念及其分布，以及它们的期望与方差，最后简单地介绍几个重要而基本的概率模型与正态分布； 【本章教材目录】第7章 概率初步（续） 7.1 条件概率与相关公式 7.1.1 条件概率；7.1.2 全概率公式；7.2.3 贝叶斯公式*； 7.2 随机变量的分布与特征 7.2.1 随机变量的分布与特征；7.2.2 期望；7.2.3 方差； 7.3 常用分布 7.3.1 二项分布；7.3.2 超几何分布；7.3.3 正态分布*； 【本章内容提要】 1、条件概率公式： 2、全概率公式： *3、贝叶斯公式： ， 4、设随机变量X的分布如上，那么其期望定义为 其方差定义为： 5、期望的线性性质： （1）如果是一个随机变量，是一个实数，那么 （2）如果、是两个随机变量，那么 6、方差的性质： （1）如果是一个随机变量，是一个实数，那么； （2）如果犡、犢分别是两个独立的随机变量，那么； 7、二项分布：独立地重复—个成功概率为狆的伯努利试验次，其成功次数的分布 称为二项分布（binomial distribution），亦称成功次数服从二项分布； 8、超几何分布：从—个装有大小与质地相同的犪个白球、犫个黑球的袋子中随机且不 放回地取个球，其中的白球的分布称为超几何分布（hyper-geometric distribution）； 9、正态分布：由钟形曲线，x∈R，其中μ∈R，σ>0为参数，则称随机变量X服从正态分布，记为X～N(μ，σ2)．所刻画的分布称为正态分布； 【要点方法解读】 解读点001 二项分布 1、n重伯努利试验 只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验；将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验． 【理解】 （1）n重伯努利试验：我们把只包含两个可能结果的试验叫做n重伯努利试验； （2）定义：将一个伯努利实验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利实验； （3）特征：（1）同一个伯努利实验重复做n次；（2）各次试验的结果相互独立。 注意点：在相同条件下，n重伯努利试验是有放回地抽样试验； 2、二项分布 独立地重复一个成功概率为的伯努利试验次，其成功次数的分布称为二项分布，亦称成功次数 服从二项分布 一般地，在重伯努利试验中，设每次试验中事件发生的概率为，用表示事件发生的次数，则的分布列为，； 如果随机变量的分布列具有上式的形式，则称随机变量服从二项分布，记作； 【理解】 （1）二项分布：一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为，用X表示事件发生的次数，则的分布列为，；如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量服从二项分布，记作， 且有，； （2）n次独立重复试验中恰好发生k次的概率与第k次才发生的概率计算公式分别是 与. （3）的分布列可表示为 （4）从这个角度可以证明二项式定理，这是这个分布被称为二项分布的理由； 3、确定一个二项分布模型的步骤 （1）明确伯努利试验及事件A的意义，确定事件A发生的概率p； （2）确定重复试验的次数，并判断各次试验的独立性； （3）设的次独立重复试验中事件发生的次数，则（有些资料上，记着 例1、判断下列试验是不是n重伯努利试验： （1）依次投掷四枚质地不同的硬币，3次正面向上； （2）某人射击，击中目标的概率是稳定的，他连续射击了10次，其中6次击中； （3）口袋中装有5个白球，3个红球，2个黑球，依次从中抽取5个球，恰好抽出4个白球． 【解析】（1）由于试验的条件不同(质地不同)，因此不是n重伯努利试验； （2）某人射击且击中的概率是稳定的，因此是n重伯努利试验； （3）每次抽取，试验的结果有三种不同的颜色，且每种颜色出现的可能性不相等，因此不是n重伯努利试验； 【说明】n重伯努利试验的判断依据： （1）要看该试验是不是在相同的条件下可以重复进行； （2）每次试验相互独立，互不影响； （3）每次试验都只有两种结果，即事件发生、不发生； 例2、在100件产品中有5件次品，采用放回的方式从中任意抽取10件，设X表示这10件产品中的次品数，则（ ） A．X～B(100,0.05) B．X～B(10,0.05) C．X～B(100,0.95) D．X～B(10,0.95) 【答案】B； 【解析】有放回地抽取，每次抽到次品的概率都是0.05，相当于10重伯努利试验，所以X～B(10，0.05)； 例3、（1）某次抽奖活动中，参与者每次抽中奖的概率均为，现甲参加3次抽奖，则甲恰好有一次中奖的概率为（ ） A． B． C． D． （2）某同学上学的路上有4个红绿灯路口，假如他走到每个红绿灯路口遇到绿灯的概率为，则该同学在上学的路上至少遇到2次绿灯的概率为(　 ) A． B． C． D． 【答案】（1）C ；（2）D； 【解析】（1）因为参与者每次抽中奖的概率均为，则甲参加3次抽奖， 甲恰好有一次中奖的概率为P＝C××2＝；故选C； （2）4次均不是绿灯的概率为4＝，3次不是绿灯的概率为C×3×＝， 所以，至少遇到2次绿灯的概率为1－－＝，故选D； 【说明】n重伯努利试验概率求解的策略： （1）首先判断问题中涉及的试验是否为n重伯努利试验，判断时注意各次试验之间是否相互独立，并且每次试验的结果是否只有两种，在任何一次试验中，某一事件发生的概率是否都相等，全部满足n重伯努利试验的要求才能用相关公式求解； （2）解此类题时常用互斥事件概率加法公式，相互独立事件概率乘法公式及对立事件的概率公式； 例4、甲、乙两人进行射击比赛，每次比赛中，甲､乙各射击一次，甲､乙每次至少射中8环.根据统计资料可知，甲击中8环､9环､10环的概率分别为，乙击中8环､9环､10环的概率分别为，且甲､乙两人射击相互独立. （1）在一场比赛中，求乙击中的环数少于甲击中的环数的概率； （2）若独立进行三场比赛，其中X场比赛中甲击中的环数多于乙击中的环数，求的分布列与数学期望； 【答案】（1）0.2；（2）数学期望为0.6； 【解析】（1）设乙击中的环数少于甲击中的环数为事件， 则事件包括：甲击中9环乙击中8环，甲击中10环乙击中8环，甲击中10环乙击中9环， 则. （2）由题可知的所有可能取值为， 由（1）可知，在一场比赛中，甲击中的环数多于乙击中的环数的概率为0.2， 则， 所以， ， 故的分布列为： 所以； 解读点002 超几何分布 4、超几何分布 从一个装有大小与质地相同的个白球、个黑球的袋中随机且不放回地取个球，其中的白球数的分布称为超几何； 【理解】 一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件（不放回），用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为，，，，，. 其中n，N，，，，，. 如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布； 例5、有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件，若X表示取得次品的个数，则P(X<2)等于(　　) A． B． C． D．1 【答案】C； 【解析】由题意知，X取0,1,2，X服从超几何分布， P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝， 于是P(X<2)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝＋＝； 【说明】判断一个随机变量是否服从超几何分布： （1）总体是否可分为两类明确的对象； （2）是否为不放回抽样； （3）随机变量是否为样本中其中一类个体的个数； 例6、在含有3件次品的10件产品中，任取4件，X表示取到的次品数，则P(X＝2)＝________. 【答案】； 【解析】由题意，X服从超几何分布，其中N＝10，M＝3，n＝4，故P(X＝2)＝＝； 【说明】切忌混淆二项分布与超几何分布； 例7、 （多选题）袋中有6个大小相同的黑球，编号为1,2,3,4,5,6，还有4个同样大小的白球，编号为7,8,9,10，现从中任取4个球，则下列结论正确的是（ ） A．取出的最大号码X服从超几何分布 B．取出的黑球个数Y服从超几何分布 C．取出2个白球的概率为 D．若取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，则总得分最大的概率为 【答案】BD； 【解析】对于A，根据超几何分布的定义，要把总体分为两类，再依次选取，由此可知取出的最大号码X不符合超几何分布的定义，无法用超几何分布的数学模型计算概率，故A错误；对于B，取出的黑球个数Y符合超几何分布的定义，将黑球视作第一类，白球视作第二类，可以用超几何分布的数学模型计算概率，故B正确；对于C，取出2个白球的概率为＝，故C错误；对于D，若取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，则取出四个黑球的总得分最大，所以总得分最大的概率为＝，故D正确； 【说明】超几何分布的特点和应用条件 超几何分布的两个特点 ①超几何分布是不放回抽样问题； ②随机变量表示抽到的某类个体的个数 超几何分布的应用条件 ①两类不同的对象(物品、人或事)； ②已知各类对象的个数； ③从中抽取若干个个体 例8、已知盒子内有大小相同的10个球，其中红球有个，已知从盒子中任取2个球都是红球的概率为. （1）求的值； （2）现从盒子中任取3个球，记取出的球中红球的个数为，求的分布列和数学期望. 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）已知盒子内有大小相同的10个球，其中红球有个， 因为从盒子中任取2个球都是红球的概率为，所以，所以， 所以，解得或（舍去）； （2）由题意可能的取值为0，1，2，3， 则，，，， 故的分布列为： 所以，的数学期望为； 解读点003 正态分布* 设是一个取实数值的随机变量；如果对任何给定的实数与（），落在区间上的概率等于三条直线：、、与正态密度函数图像所围的区域面积（或者简称作此函数在该区间上的面积，如图所示）， 那么，服从正态分布； 或更准确地说，服从参数为的正态分布，记为； 【理解】 （1）若随机变量X的概率分布密度函数为，x∈R，其中μ∈R，σ>0为参数，则称随机变量X服从正态分布，记为X～N(μ，σ2)． （2）正态曲线的特点 ①曲线位于x轴上方，与x轴不相交．当|x|无限增大时，曲线无限接近于x轴． ②曲线与x轴之间的区域的面积为1． ③曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称． ④曲线在x＝μ处达到峰值(最大值)． ⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移． （3）正态分布的均值与方差 若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝μ，D(X)＝σ2. （4）正态曲线的几何意义 随机变量X落在区间(a，b]的概率为P(a<X≤b)，即由正态曲线过点(a，0)和点(b，0)的两条x轴的垂线及x轴所围成的平面图形的面积． 如图所示，X取值不超过x 的概率P(X≤x)为图中区域A的面积，而P(a≤X≤b)为区域B的面积． 例9、已知随机变量服从正态分布，其正态曲线如图所示，则总体的均值μ＝ ，方差σ2＝ . 【答案】20；2； 【解析】从给出的正态曲线可知，该正态曲线关于直线x＝20对称，最大值是， 所以μ＝20，＝，解得σ＝，因此总体的均值μ＝20，方差σ2＝()2＝2. 【说明】利用正态曲线的特点求参数μ，σ： （1）正态曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称，由此特点结合图象求出μ； （2）正态曲线在x＝μ处达到峰值，由此特点结合图象可求出σ； 例10、为了保障人民群众生命安全和身体健康，C市某质检部门从药店随机抽取了100包某种品牌的口罩，检测其质量指标. 质量指标 [0,10) [10,20) [20,30) [30,40) [40,50] 频数 10 20 30 25 15 （1）求所抽取的100包口罩质量指标值的样本平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)； （2）①已知口罩的质量指标值Z服从正态分布，利用该正态分布N(μ， σ2)，求Z落在(26.5, 50.4)内的概率； ②将频率视为概率，若某人从某药店购买了3包这种品牌的口罩，记这3包口罩中质量指标值位于(30, 50)内的包数为X，求X的分布列和方差． 附：①计算得所抽查的这100包口罩的质量指标的标准差为σ＝≈11.95； ②若Z～N(μ， σ2)，则P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.954 4. 【解析】 （1）所抽取的100包口罩质量指标值的样本平均数 ＝×(5×10＋15×20＋25×30＋35×25＋45×15)＝26.5. （2）①∵Z服从正态分布N(μ， σ2)，且μ＝26.5，σ≈11.95， P(26.5<Z<50.4)＝P(26.5<Z<26.5＋2×11.95)＝×0.954 4＝0.477 2， 所以，Z落在(26.5, 50.4)内的概率是0.477 2. ②根据题意得X～B， P(X＝0)＝3＝， P(X＝1)＝C××2＝， P(X＝2)＝C×2×＝， P(X＝3)＝C3＝. 所以，X的分布列为： D(X)＝3××＝； 【真题体验】 例11、（2021·新高考全国Ⅱ）某物理量的测量结果服从正态分布N(10，σ2)，下列结论中不正确的是(　　) A．σ越小，该物理量在一次测量中在(9.9,10.1)的概率越大 B．σ越小，该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5 C．σ越小，该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等 D．σ越小，该物理量在一次测量中落在(9.9，10.2)与落在(10,10.3)的概率相等 【提示】注意理解正态分布 【答案】D 【解析】对于A，σ2为数据的方差，所以σ越小，数据在μ＝10附近越集中，所以测量结果落在(9.9,10.1)内的概率越大，故A正确； 对于B，由正态分布密度曲线的对称性可知，该物理量一次测量大于10的概率为0.5，故B正确； 对于C，由正态分布密度曲线的对称性可知，该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等，故C正确； 对于D，因为该物理量一次测量结果落在(9.9,10.0)的概率与落在(10.2,10.3)的概率不同，所以一次测量结果落在(9.9,10.2)的概率与落在(10,10.3)的概率不同，故D错误． 【说明】解决正态分布问题有三个关键点：(1)对称轴x＝μ；(2)标准差σ；(3)分布区间．利用对称性可求指定范围内的概率值；由μ，σ，分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为3σ特殊区间，从而求出所求概率．注意只有在标准正态分布下对称轴才为x＝0； 例12、（2022·新高考Ⅱ卷）已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，且P(2<X≤2.5)＝0.36， 则P(X>2.5)＝________. 【答案】0.14 【解析】因为X～N(2，σ2)，所以P(X>2)＝0.5， 所以P(X>2.5)＝P(X>2)－P(2<X≤2.5)＝0.5－0.36＝0.14； 【说明】解决正态分布问题有三个关键点： （1）对称轴x＝μ； （2）标准差σ； （3）分布区间.利用对称性可求指定范围内的概率值；由μ，σ及分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为3σ特殊区间，从而求出所求概率.注意只有在标准正态分布下对称轴才为x＝0； 【针对性即时练】 1、随机变量X～B，则P(X＝2)等于 （用分数表示） 【答案】； 【解析】随机变量X～B，则P(X＝2)＝C24＝. 2、某档深受观众喜爱的综艺节目采用组团比赛的方式进行，参赛选手需要全部参加完五场公开比赛，其中五场中有四场获胜，就能取得参加决赛的资格．若某参赛选手每场比赛获胜的概率是，则这名选手能参加决赛的概率是 （用分数表示） 【答案】； 【解析】由题意可知五场中获胜的场次X～B， 所求选手能参加决赛的概率P＝C·4·＋C·5·0＝. 3、盒中有4个白球，5个红球，从中任取3个球，则恰好取出2个红球的概率是 （用分数表示） 【答案】； 【解析】设取出红球的个数为X，易知X服从超几何分布．∴P(X＝2)＝＝. 4、设有一正态总体，它的正态曲线是函数f(x)的图象，且f(x)＝，则这个正态总体的数学期望是 与标准差是 【答案】10；2； 【解析】由正态密度函数的定义可知，总体的均值μ＝10，方差σ2＝4，即σ＝2. 5、已知随机变量ξ～B(12，p)，且E(2ξ－3)＝5，则D(3ξ)＝________. 【答案】24； 【解析】因为E(2ξ－3)＝2E(ξ)－3＝2×12p－3＝5，解得p＝，所以D(3ξ)＝32D(ξ)＝9×12××＝24； 6、某校1000名学生参加数学期末考试，每名学生的成绩服从，成绩不低于120分为优秀，依此估计优秀的学生人数约为 附：若，则. 【答案】159 【解析】由，得， 则， 估计优秀的学生人数约为. 7、唐代诗人张若虚在《春江花月夜》中曾写道：“春江潮水连海平，海上明月共潮生．”潮水的涨落和月亮的公转运行有直接的关系，这是一种自然现象．根据历史数据，已知某沿海地区在某个季节中每天出现大潮的概率均为，则该地在该季节连续三天内，至少有两天出现大潮的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】A； 【解析】该地在该季节连续三天内，至少有两天出现大潮包括两天或三天出现大潮， 有两天出现大潮概率为C×2×＝， 有三天出现大潮概率为C×3＝， 所以至少有两天出现大潮的概率为＋＝. 8、某工厂有甲、乙两条生产线生产同一型号的机械零件，产品的尺寸分别记为X，Y，已知X，Y均服从正态分布，X～N(μ1，σ)，Y～N(μ2，σ)，其正态分布密度曲线如图所示，则下列结论中正确的是(　　) A．甲生产线产品的稳定性高于乙生产线产品的稳定性 B．甲生产线产品的稳定性低于乙生产线产品的稳定性 C．甲生产线的产品尺寸平均值大于乙生产线的产品尺寸平均值 D．甲生产线的产品尺寸平均值小于乙生产线的产品尺寸平均值 【答案】A； 【解析】由图知甲、乙两条生产线的平均值相等，甲的正态分布密度曲线较瘦高，所以甲生产线产品的稳定性高于乙生产线产品的稳定性． 【说明】利用正态曲线的特点求参数μ，σ （1）正态曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称，由此特点结合图象求出μ. （2）正态曲线在x＝μ处达到峰值，由此特点结合图象可求出σ. 9、已知某单位招聘程序分两步：第一步是笔试，笔试合格才能进入第二步面试；面试合格才算通过该单位的招聘.现有，，三位毕业生应聘该单位，假设，，三位毕业生笔试合格的概率分别是，，；面试合格的概率分别是，，. （1）求，两位毕业生中有且只有一位通过招聘的概率； （2）记随机变量为，，三位毕业生中通过招聘的人数，求的分布列与数学期望. 【答案】（1）；(（2） 【解析】（1）记“，两位毕业生中有且只有一位通过招聘”为事件. 通过招聘的概率为，通过招聘的概率为， 所以，. 即，两位毕业生有且只有一位通过招聘的概率为. （2）随机变量可能的取值为0，1，2，3. 通过招聘的概率为， 由（1）得，两位毕业生通过招聘的概率均为. 所以，，，三位毕业生通过招聘的人数. 则， ， ， ， 随机变量的分布列为： 数学期望. 10、“石头、剪刀、布”是一种广泛流传于我国民间的古老游戏，其规则是：用三种不同的手势分别表示石头、剪刀、布；两个玩家同时出示各自手势1次记为1次游戏，“石头”胜“剪刀”，“剪刀”胜“布”，“布”胜“石头”；双方出示的手势相同时，不分胜负．现假设玩家甲、乙双方在游戏时出示三种手势是等可能的． （1）求在1次游戏中玩家甲胜玩家乙的概率； （2）若玩家甲、乙两方共进行了3次游戏，其中玩家甲胜玩家乙的次数记作随机变量X，求X的分布列． 【解析】（1）玩家甲、乙双方在1次游戏中出示手势的所有可能结果是(石头，石头)，(石头，剪刀)，(石头，布)，(剪刀，石头)，(剪刀，剪刀)，(剪刀，布)，(布，石头)，(布，剪刀)，(布，布)，共9个基本事件．玩家甲胜玩家乙的基本事件分别是(石头，剪刀)，(剪刀，布)，(布，石头)，共有3个． 所以在1次游戏中玩家甲胜玩家乙的概率P＝. （2）由题意知，X＝0，1，2，3； 因为P(X＝0)＝C·3＝， P(X＝1)＝C·1·2＝， P(X＝2)＝C2·1＝， P(X＝3)＝C·3＝. 所以X的分布列如下： 6 科网（北京）股份有限公司7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【原卷版】 7.3 常用分布 选择性必修第二册 第7章 概率初步（续） 本章作为概率初步（必修课程第12章）的续篇，将重点介绍条件概率、概率的乘法公式以及全概率公式．条件概率表示所考察的事件在其他事件发生的条件下的概率，是概率论中的一个重要概念．由条件概率可以得到全概率公式和贝叶斯公式等重要公式，它们是计算概率的重要方法，并进一步展示了概率的直观含义；本章还将介绍随机变量的概念及其分布，以及它们的期望与方差，最后简单地介绍几个重要而基本的概率模型与正态分布； 【本章教材目录】第7章 概率初步（续） 7.1 条件概率与相关公式 7.1.1 条件概率；7.1.2 全概率公式；7.2.3 贝叶斯公式*； 7.2 随机变量的分布与特征 7.2.1 随机变量的分布与特征；7.2.2 期望；7.2.3 方差； 7.3 常用分布 7.3.1 二项分布；7.3.2 超几何分布；7.3.3 正态分布*； 【本章内容提要】 1、条件概率公式： 2、全概率公式： *3、贝叶斯公式： ， 4、设随机变量X的分布如上，那么其期望定义为 其方差定义为： 5、期望的线性性质： （1）如果是一个随机变量，是一个实数，那么 （2）如果、是两个随机变量，那么 6、方差的性质： （1）如果是一个随机变量，是一个实数，那么； （2）如果犡、犢分别是两个独立的随机变量，那么； 7、二项分布：独立地重复—个成功概率为狆的伯努利试验次，其成功次数的分布 称为二项分布（binomial distribution），亦称成功次数服从二项分布； 8、超几何分布：从—个装有大小与质地相同的犪个白球、犫个黑球的袋子中随机且不 放回地取个球，其中的白球的分布称为超几何分布（hyper-geometric distribution）； 9、正态分布：由钟形曲线，x∈R，其中μ∈R，σ>0为参数，则称随机变量X服从正态分布，记为X～N(μ，σ2)．所刻画的分布称为正态分布； 【要点方法解读】 解读点001 二项分布 1、n重伯努利试验 只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验；将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验． 【理解】 （1）n重伯努利试验：我们把只包含两个可能结果的试验叫做n重伯努利试验； （2）定义：将一个伯努利实验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利实验； （3）特征：（1）同一个伯努利实验重复做n次；（2）各次试验的结果相互独立。 注意点：在相同条件下，n重伯努利试验是有放回地抽样试验； 2、二项分布 独立地重复一个成功概率为的伯努利试验次，其成功次数的分布称为二项分布，亦称成功次数 服从二项分布 一般地，在重伯努利试验中，设每次试验中事件发生的概率为，用表示事件发生的次数，则的分布列为，； 如果随机变量的分布列具有上式的形式，则称随机变量服从二项分布，记作； 【理解】 （1）二项分布：一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为，用X表示事件发生的次数，则的分布列为，；如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量服从二项分布，记作， 且有，； （2）n次独立重复试验中恰好发生k次的概率与第k次才发生的概率计算公式分别是 与. （3）的分布列可表示为 （4）从这个角度可以证明二项式定理，这是这个分布被称为二项分布的理由； 3、确定一个二项分布模型的步骤 （1）明确伯努利试验及事件A的意义，确定事件A发生的概率p； （2）确定重复试验的次数，并判断各次试验的独立性； （3）设的次独立重复试验中事件发生的次数，则（有些资料上，记着 例1、判断下列试验是不是n重伯努利试验： （1）依次投掷四枚质地不同的硬币，3次正面向上； （2）某人射击，击中目标的概率是稳定的，他连续射击了10次，其中6次击中； （3）口袋中装有5个白球，3个红球，2个黑球，依次从中抽取5个球，恰好抽出4个白球． 例2、在100件产品中有5件次品，采用放回的方式从中任意抽取10件，设X表示这10件产品中的次品数，则（ ） A．X～B(100,0.05) B．X～B(10,0.05) C．X～B(100,0.95) D．X～B(10,0.95) 例3、（1）某次抽奖活动中，参与者每次抽中奖的概率均为，现甲参加3次抽奖，则甲恰好有一次中奖的概率为（ ） A． B． C． D． （2）某同学上学的路上有4个红绿灯路口，假如他走到每个红绿灯路口遇到绿灯的概率为，则该同学在上学的路上至少遇到2次绿灯的概率为(　 ) A． B． C． D． 例4、甲、乙两人进行射击比赛，每次比赛中，甲､乙各射击一次，甲､乙每次至少射中8环.根据统计资料可知，甲击中8环､9环､10环的概率分别为，乙击中8环､9环､10环的概率分别为，且甲､乙两人射击相互独立. （1）在一场比赛中，求乙击中的环数少于甲击中的环数的概率； （2）若独立进行三场比赛，其中X场比赛中甲击中的环数多于乙击中的环数，求的分布列与数学期望； 解读点002 超几何分布 4、超几何分布 从一个装有大小与质地相同的个白球、个黑球的袋中随机且不放回地取个球，其中的白球数的分布称为超几何； 【理解】 一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件（不放回），用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为，，，，，. 其中n，N，，，，，. 如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布； 例5、有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件，若X表示取得次品的个数，则P(X<2)等于(　　) A． B． C． D．1 例6、在含有3件次品的10件产品中，任取4件，X表示取到的次品数，则P(X＝2)＝________. 例7、 （多选题）袋中有6个大小相同的黑球，编号为1,2,3,4,5,6，还有4个同样大小的白球，编号为7,8,9,10，现从中任取4个球，则下列结论正确的是（ ） A．取出的最大号码X服从超几何分布 B．取出的黑球个数Y服从超几何分布 C．取出2个白球的概率为 D．若取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，则总得分最大的概率为 例8、已知盒子内有大小相同的10个球，其中红球有个，已知从盒子中任取2个球都是红球的概率为. （1）求的值； （2）现从盒子中任取3个球，记取出的球中红球的个数为，求的分布列和数学期望. 解读点003 正态分布* 设是一个取实数值的随机变量；如果对任何给定的实数与（），落在区间上的概率等于三条直线：、、与正态密度函数图像所围的区域面积（或者简称作此函数在该区间上的面积，如图所示）， 那么，服从正态分布； 或更准确地说，服从参数为的正态分布，记为； 【理解】 （1）若随机变量X的概率分布密度函数为，x∈R，其中μ∈R，σ>0为参数，则称随机变量X服从正态分布，记为X～N(μ，σ2)． （2）正态曲线的特点 ①曲线位于x轴上方，与x轴不相交．当|x|无限增大时，曲线无限接近于x轴． ②曲线与x轴之间的区域的面积为1． ③曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称． ④曲线在x＝μ处达到峰值(最大值)． ⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移． （3）正态分布的均值与方差 若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝μ，D(X)＝σ2. （4）正态曲线的几何意义 随机变量X落在区间(a，b]的概率为P(a<X≤b)，即由正态曲线过点(a，0)和点(b，0)的两条x轴的垂线及x轴所围成的平面图形的面积． 如图所示，X取值不超过x 的概率P(X≤x)为图中区域A的面积，而P(a≤X≤b)为区域B的面积． 例9、已知随机变量服从正态分布，其正态曲线如图所示，则总体的均值μ＝ ，方差σ2＝ . 例10、为了保障人民群众生命安全和身体健康，C市某质检部门从药店随机抽取了100包某种品牌的口罩，检测其质量指标. 质量指标 [0,10) [10,20) [20,30) [30,40) [40,50] 频数 10 20 30 25 15 （1）求所抽取的100包口罩质量指标值的样本平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)； （2）①已知口罩的质量指标值Z服从正态分布，利用该正态分布N(μ， σ2)，求Z落在(26.5, 50.4)内的概率； ②将频率视为概率，若某人从某药店购买了3包这种品牌的口罩，记这3包口罩中质量指标值位于(30, 50)内的包数为X，求X的分布列和方差． 附：①计算得所抽查的这100包口罩的质量指标的标准差为σ＝≈11.95； ②若Z～N(μ， σ2)，则P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.954 4. 【真题体验】 例11、（2021·新高考全国Ⅱ）某物理量的测量结果服从正态分布N(10，σ2)，下列结论中不正确的是(　　) A．σ越小，该物理量在一次测量中在(9.9,10.1)的概率越大 B．σ越小，该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5 C．σ越小，该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等 D．σ越小，该物理量在一次测量中落在(9.9，10.2)与落在(10,10.3)的概率相等 例12、（2022·新高考Ⅱ卷）已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，且P(2<X≤2.5)＝0.36， 则P(X>2.5)＝________. 【针对性即时练】 1、随机变量X～B，则P(X＝2)等于 （用分数表示） 2、某档深受观众喜爱的综艺节目采用组团比赛的方式进行，参赛选手需要全部参加完五场公开比赛，其中五场中有四场获胜，就能取得参加决赛的资格．若某参赛选手每场比赛获胜的概率是，则这名选手能参加决赛的概率是 （用分数表示） 3、盒中有4个白球，5个红球，从中任取3个球，则恰好取出2个红球的概率是 （用分数表示） 4、设有一正态总体，它的正态曲线是函数f(x)的图象，且f(x)＝，则这个正态总体的数学期望是 与标准差是 5、已知随机变量ξ～B(12，p)，且E(2ξ－3)＝5，则D(3ξ)＝________. 6、某校1000名学生参加数学期末考试，每名学生的成绩服从，成绩不低于120分为优秀，依此估计优秀的学生人数约为 附：若，则. 7、唐代诗人张若虚在《春江花月夜》中曾写道：“春江潮水连海平，海上明月共潮生．”潮水的涨落和月亮的公转运行有直接的关系，这是一种自然现象．根据历史数据，已知某沿海地区在某个季节中每天出现大潮的概率均为，则该地在该季节连续三天内，至少有两天出现大潮的概率为（ ） A． B． C． D． 8、某工厂有甲、乙两条生产线生产同一型号的机械零件，产品的尺寸分别记为X，Y，已知X，Y均服从正态分布，X～N(μ1，σ)，Y～N(μ2，σ)，其正态分布密度曲线如图所示，则下列结论中正确的是(　　) A．甲生产线产品的稳定性高于乙生产线产品的稳定性 B．甲生产线产品的稳定性低于乙生产线产品的稳定性 C．甲生产线的产品尺寸平均值大于乙生产线的产品尺寸平均值 D．甲生产线的产品尺寸平均值小于乙生产线的产品尺寸平均值 9、已知某单位招聘程序分两步：第一步是笔试，笔试合格才能进入第二步面试；面试合格才算通过该单位的招聘.现有，，三位毕业生应聘该单位，假设，，三位毕业生笔试合格的概率分别是，，；面试合格的概率分别是，，. （1）求，两位毕业生中有且只有一位通过招聘的概率； （2）记随机变量为，，三位毕业生中通过招聘的人数，求的分布列与数学期望. 10、“石头、剪刀、布”是一种广泛流传于我国民间的古老游戏，其规则是：用三种不同的手势分别表示石头、剪刀、布；两个玩家同时出示各自手势1次记为1次游戏，“石头”胜“剪刀”，“剪刀”胜“布”，“布”胜“石头”；双方出示的手势相同时，不分胜负．现假设玩家甲、乙双方在游戏时出示三种手势是等可能的． （1）求在1次游戏中玩家甲胜玩家乙的概率； （2）若玩家甲、乙两方共进行了3次游戏，其中玩家甲胜玩家乙的次数记作随机变量X，求X的分布列． 6 科网（北京）股份有限公司7 学科网（北京）股份有限公司 $$