7.2 随机变量的分布与特征（教材解读）-2025-2026学年高二数学教材解读与拓展（沪教版2020选择性必修第二册）

【解析版】 7.2 随机变量的分布与特征 选择性必修第二册 第7章 概率初步（续） 本章作为概率初步（必修课程第12章）的续篇，将重点介绍条件概率、概率的乘法公式以及全概率公式．条件概率表示所考察的事件在其他事件发生的条件下的概率，是概率论中的一个重要概念．由条件概率可以得到全概率公式和贝叶斯公式等重要公式，它们是计算概率的重要方法，并进一步展示了概率的直观含义；本章还将介绍随机变量的概念及其分布，以及它们的期望与方差，最后简单地介绍几个重要而基本的概率模型与正态分布； 【本章教材目录】第7章 概率初步（续） 7.1 条件概率与相关公式 7.1.1 条件概率；7.1.2 全概率公式；7.2.3 贝叶斯公式*； 7.2 随机变量的分布与特征 7.2.1 随机变量的分布与特征；7.2.2 期望；7.2.3 方差； 7.3 常用分布 7.3.1 二项分布；7.3.2 超几何分布；7.3.3 正态分布*； 【本章内容提要】 1、条件概率公式： 2、全概率公式： *3、贝叶斯公式： ， 4、设随机变量X的分布如上，那么其期望定义为 其方差定义为： 5、期望的线性性质： （1）如果是一个随机变量，是一个实数，那么 （2）如果、是两个随机变量，那么 6、方差的性质： （1）如果是一个随机变量，是一个实数，那么； （2）如果犡、犢分别是两个独立的随机变量，那么； 7、二项分布：独立地重复—个成功概率为狆的伯努利试验次，其成功次数的分布 称为二项分布（binomial distribution），亦称成功次数服从二项分布； 8、超几何分布：从—个装有大小与质地相同的犪个白球、犫个黑球的袋子中随机且不 放回地取个球，其中的白球的分布称为超几何分布（hyper-geometric distribution）； 9、正态分布：由钟形曲线，x∈R，其中μ∈R，σ>0为参数，则称随机变量X服从正态分布，记为X～N(μ，σ2)．所刻画的分布称为正态分布； 【要点方法解读】 解读点001 随机变量的分布与特征 1、随机变量 我们总是假设样本空间是有限的；这时，以样本空间作为定义域的一个函数称为一个随机变量，即对样本空间中任意给定的元素，都有唯一的实数与之对应； 【说明】一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量； 【注意】随机变量的特征：（1）可以用数值表示；（2）试验之前可以判断其可能出现的所有值，但不能确定取何值；（3）试验结果能一一列出； 2、随机变量的分布： 随机变量所有可能的取值以及相应的概率，称为随机变量的分布； （其中：；且） 【说明】（1）尽管随机变量的名字中用了“变量”这两个字，但实际上它是一个函数；随机变量的取值在随机现象发生前是随机的，且其取某一具体值这一事件的概率是该随机变量在该值上的分布； （2）随机变量：可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，我们称之为离散型随机变量； （3）“三步法”判定离散型随机变量 ①明确随机试验的所有可能结果； ②将随机试验的试验结果数量化； ③确定实验结果所对应的实数是否可按一定次序一一列出，如果能一一列出，则该随机变量是离散型随机变量，否则不是。 ④随机变量的分布列的其他表示方法 一般地，设离散型随机变量X的可能取值为，我们称X取每一个的概率，为X的概率分布列，简称分布列． 离散型随机变量的分布列可以用表格表示： X … … 3、随机变量分布列的意义和作用 （1）随机变量的分布列不仅能清楚地反映其所取的一切可能值，而且也能看出取每一个值的概率的大小，从而反映出随机变量在随机试验中取值的分布情况，是进一步研究随机试验数量特征的基础。 （2）离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各值的概率之和。 4、随机变量的分布列的性质 （1）；（2） 5、等可能分布 当随机变量取所有值的概率均相等时，称它是等可能分布或均匀分布的； 如：（其中：） 6、伯努利分布 只取两个值的随机变量称为伯努利型，其分布称为伯努利分布； 如：（其中：） 【说明】（1）又名“0-1分布”； 对于只有两个可能结果的随机试验，用表示“成功”，表示“失败”， 定义如果，则，那么X的分布列如表所示． X 0 1 我们称X服从两点分布或0－1分布． 【注意】（1）随机变量X只取0和1，才是两点分布，否则不是． （2）伯努利分布的适用范围 ①研究只有两个结果的随机试验的概率分布规律； ②研究某一随机事件是否发生的概率分布规律。 如抽取的彩票是否中奖；买回的一件产品是否为正品；新生婴儿的性别；投篮是否命中等，都可以用两点分布来研究。 例1、下列变量中，哪些是随机变量，哪些是离散型随机变量？并说明理由． ①某机场一年中每天运送乘客的数量； ②某单位办公室一天中接到电话的次数； ③明年5月1日到10月1日期间所查酒驾的人数； ④一瓶果汁的容量为500±2 mL. 【解析】①某机场一年中每天运送乘客的数量可能为0，1，2，3，…，是随机变化的，因此是随机变量，也是离散型随机变量； ②某单位办公室一天中接到电话的次数可能为0，1，2，3，…，是随机变化的，因此是随机变量，也是离散型随机变量． ③明年5月1日到10月1日期间，所查酒驾的人数可能为0，1，2，3，…，是随机变化的，因此是随机变量，也是离散型随机变量． ④由于果汁的容量在498 mL～502 mL之间波动，是随机变量，但不是离散型随机变量； 【说明】判断离散型随机变量的方法： 1、明确随机试验的所有可能结果； 2、将随机试验的结果数量化； 3、确定试验结果所对应的实数是否可以一一列出，若能一一列出，则该随机变量是离散型随机变量，否则不是； 例2、设随机变量X的分布列为P＝ak(k＝1，2，3，4，5)；则： （1）a＝________； （2）P＝________； （3）P＝________. 【答案】（1）；（2）；（3）； 【解析】（1）由分布列的性质，得P＋P＋P＋P＋P(X＝1)＝a＋2a＋3a＋4a＋5a＝1，所以a＝； （2）P＝P＋P＋P(X＝1)＝3×＋4×＋5×＝.； （3）P＝P＋P＋P＝＋＋＝＝； 例3、从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个自然数中，任取3个不同的数．设X为所取的3个数中奇数的个数，求：随机变量X的分布列． 【解析】根据题意，X＝0，1，2，3， P(X＝0)＝＝＝， P(X＝1)＝＝＝， P(X＝2)＝＝＝， P(X＝3)＝＝＝， 所以X的分布列为：； 【说明】本题属于分布列的求法；求离散型随机变量的分布列的关键： （1）明确随机变量的取值；（2）求每一个取值所对应的概率；（3）用所有概率之和是否为1来检验； 离散型随机变量分布列的性质的应用： （1）利用“所有概率之和为1”可以求相关参数的取值范围或值； （2）利用“离散型随机变量在一范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率； （3）可以根据性质判断所得分布列结果是否正确； 例4、已知随机变量X的概率分布为P(X＝n)＝(n＝1，2，3，…，10)，则实数a＝________. 【答案】 【解析】P(X＝n)＝＝a(n＝1，2，3，…，10)， 所以P(X＝n)＝a(1－＋－＋－＋…＋－)＝a＝1，得a＝； 【说明】本题主要考查分布列的性质；离散型随机变量的分布列的性质： （1）ωi≥0(i＝1，2，…，n)；（2）p1＋p2＋…＋pn＝1. 解读点002 期望 1、随机变量的期望 随机变量的分布体现的是随机变量取值的概率分布；把概率作为权重，对随机变量的相应取值进行加权平均后所得到的值，称为随机变量的期望： 定义：如果随机变量的分布是 那么，它的期望定义为如下的加权平均：； 【说明】数学期望或均值 一般地，若离散型随机变量的分布列为 则称为随机变量的均值或数学期望；它反映了离散型随机变量取值的平均水平． 2、期望的线性性质 （1）如果是一个随机变量，是一个实数，那么，； （2）如果、是两个随机变量，那么，； 例5、在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分.如果某运动员罚球命中的概率为0.8，那么他罚球1次的得分X的随机变量的数学期望为 【答案】C； 【解析】某运动员罚球1次的得分为X，X的取值可能为0，1， P(X＝0)＝1－0.8＝0.2，P(X＝1)＝0.8， E(X)＝0×0.2＋1×0.8＝0.8； 【说明】随机变量的数学期望：一般地，若离散型随机变量X的分布列如表所示， 则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＝ipi为随机变量X的数学期望或均值，数学期望简称期望； 【注意】分布列只给了随机变量取所有可能值的概率，而数学期望却反映了随机变量取值的平均水平； 例6、某地最近出台一项机动车驾照考试规定：每位考试者一年之内最多有4次参加考试的机会，一旦某次考试通过，便可领取驾照，不再参加以后的考试，否则就一直考到第4次为止． 如果李明决定参加驾照考试，设他每次参加考试通过的概率依次为0.6，0.7，0.8，0.9， 求：在一年内李明参加驾照考试次数X的分布列和X的均值，并求李明在一年内领到驾照的概率． 【解析】X的取值分别为1，2，3，4. X＝1，表明李明第一次参加驾照考试就通过了，故P(X＝1)＝0.6. X＝2，表明李明在第一次考试未通过，第二次通过了，故P(X＝2)＝(1－0.6)×0.7＝0.28. X＝3，表明李明在第一、二次考试未通过，第三次通过了，故 P(X＝3)＝(1－0.6)×(1－0.7)×0.8＝0.096. X＝4，表明李明第一、二、三次考试都未通过， 故P(X＝4)＝(1－0.6)×(1－0.7)×(1－0.8)＝0.024. 故X的分布列为： 所以，均值E(X)＝1×0.6＋2×0.28＋3×0.096＋4×0.024＝1.544； 李明在一年内领到驾照的概率为1－(1－0.6)×(1－0.7)×(1－0.8)×(1－0.9)＝0.997 6； 【说明】求随机变量X的数学期望的方法和步骤 1、理解随机变量X的意义，写出X所有可能的取值． 2、求出X取每个值的概率P(X＝k)． 3、写出X的分布列． 4、利用数学期望的定义求E(X)； 特殊的两点分布的数学期望：一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么E(X)＝0×(1－p)＋1×p＝p； 例7、已知随机变量X满足P(X＝1)＝0.3，P(X＝0)＝0.7，则E(X)等于（ ） A．0.3 B．0.7 C．0.21 D．1 【提示】注意特殊分布； 【答案】A 【解析】根据题意知随机变量X服从两点分布，所以E(X)＝0.3； 例8、某射手射击所得环数X的分布列如下： X 7 8 9 10 P x 0.1 0.3 y 已知X的数学期望E(X)＝8.9，则y的值为（ ） A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8 【答案】B 【解析】由题意可知 解得故选B. 解读点003 方差 1、方差 数学上用什么指标来衡量随机变量的分散度呢？按照上面的分析，对随机变量而言，我们用与其期望的偏差的平方的期望，即 来衡量随机变量的分散度，称为的方差，记为； 定义：随机变量的方差定义为： 【说明】（1）更方便使用的方差公式．事实上，根据期望的线性性质，并注意到是一个常数， 就有或D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn （2）为随机变量X的标准差，记为σ(X)． （3）随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度越大，表明平均偏离程度越大，的取值越分散.反之，越小，的取值越集中在附近； （4）方差也是一个常数，它不具有随机性，方差的值一定是非负实数； （5） 数学期望与方差的性质与常用结论 ①若Y＝aX＋b，其中X是随机变量，a，b是常数，随机变量X的均值是E(X)，方差是D(X)． 则E(Y)＝E(aX＋b)＝aE(X)＋b；D(Y)＝D＝a2D(X)．(a，b为常数)； ②E(k)＝k，D(k)＝0，其中k为常数； ③E(X1＋X2)＝E(X1)＋E(X2)； ④)D(X)＝E(X2)－(E(X))2； ⑤若X1，X2相互独立，则E(X1X2)＝E(X1)·E(X2)； 例9、有10张卡片，其中8张标有数字2，2张标有数字5，从中随机地抽取3张卡片，设3张卡片数字之和为X，求E(X)和D(X)． 【解析】这3张卡片上的数字之和为X，X的可能取值为6，9，12. X＝6表示取出的3张卡片上均标有2， 则P(X＝6)＝＝； X＝9表示取出的3张卡片上两张标有2，一张标有5， 则P(X＝9)＝＝； X＝12表示取出的3张卡片上一张标有2，两张标有5， 则P(X＝12)＝＝. 所以，X的分布列为 X 6 9 12 P 所以，E(X)＝6×＋9×＋12×＝7.8， D(X)＝(6－7.8)2×＋(9－7.8)2×＋(12－7.8)2×＝3.36. 【说明】求离散型随机变量方差的步骤 （1）理解随机变量X的意义，写出X的所有取值． （2）求出X取每个值的概率． （3）写出X的分布列． （4）计算E(X)． （5）计算D(X)． 例10、某投资公司在2021年年初准备将1000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择： 项目一：新能源汽车．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损15%，且这两种情况发生的概率分别为和. 项目二：通信设备．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能损失30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为，和. 针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由． 【解析】若按“项目一”投资，设获利为X1万元，则X1的分布列为 X1 300 －150 P 所以，E(X1)＝300×＋(－150)×＝200， D(X1)＝(300－200)2×＋(－150－200)2×＝35000. 若按“项目二”投资，设获利为X2万元，则X2的分布列为 X2 500 －300 0 P ∴E(X2)＝500×＋(－300)×＋0×＝200， D(X2)＝(500－200)2×＋(－300－200)2×＋(0－200)2×＝140000. 所以，E(X1)＝E(X2)，D(X1)＜D(X2)， 这说明虽然项目一、项目二期望获利相等，但项目一更稳妥． 综上所述，建议该投资公司选择项目一投资； 【说明】利用数学期望、方差进行决策的两个方略 1、当数学期望不同时，两个随机变量取值的平均水平不同，可对问题作出判断； 2、若两随机变量数学期望相同或相差不大，则可通过分析两变量的方差来研究随机变量的离散程度或者稳定程度，进而进行决策； 【真题体验】 例11、（2021·新高考Ⅰ卷）某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束．A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分，已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关． （1）若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列； （2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由． 【解析】（1）由题可知，X的所有可能取值为0，20，100. P(X＝0)＝1－0.8＝0.2； P(X＝20)＝0.8×(1－0.6)＝0.32； P(X＝100)＝0.8×0.6＝0.48. 所以X的分布列为 X 0 20 100 P 0.2 0.32 0.48 （2）由（1）知，E(X)＝0×0.2＋20×0.32＋100×0.48＝54.4. 若小明先回答B类问题，记Y为小明的累计得分，则Y的所有可能取值为0，80，100. P(Y＝0)＝1－0.6＝0.4； P(Y＝80)＝0.6×(1－0.8)＝0.12； P(Y＝100)＝0.8×0.6＝0.48. 所以E(Y)＝0×0.4＋80×0.12＋100×0.48＝57.6. 因为54.4<57.6，所以小明应选择先回答B类问题； 【说明】随机变量的数字特征是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据，所以应该从整体和全局上作出科学合理解释，以此对方案选择、评价和决策作出有效判断．一般先比较均值，若均值相同(或相近)，再用方差来决定； 例12、（2019·全国Ⅰ卷）为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得－1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得－1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X. （1）求X的分布列； （2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，pi(i＝0，1，…，8)表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则p0＝0，p8＝1，pi＝api－1＋bpi＋cpi＋1(i＝1，2，…，7)，其中a＝P(X＝－1)，b＝P(X＝0)，c＝P(X＝1)．假设α＝0.5，β＝0.8. ①证明：{pi＋1－pi}(i＝0，1，2，…，7)为等比数列； ②求p4，并根据p4的值解释这种试验方案的合理性． 【解析】（1）X的所有可能取值为－1，0，1. P(X＝－1)＝(1－α)β， P(X＝0)＝αβ＋(1－α)(1－β)， P(X＝1)＝α(1－β)． 所以X的分布列为 X －1 0 1 P (1－α)β αβ＋(1－α)(1－β) α(1－β) （2）①证明：由(1)得a＝0.4，b＝0.5，c＝0.1， 因此pi＝0.4pi－1＋0.5pi＋0.1pi＋1， 故0.1(pi＋1－pi)＝0.4(pi－pi－1)， 即pi＋1－pi＝4(pi－pi－1)． 又因为p1－p0＝p1≠0，所以{pi＋1－pi}(i＝0，1，2，…，7)是公比为4，首项为p1的等比数列． ②由①可得 p8＝p8－p7＋p7－p6＋…＋p1－p0＋p0 ＝(p8－p7)＋(p7－p6)＋…＋(p1－p0) ＝p1. 由于p8＝1，故p1＝， 所以p4＝(p4－p3)＋(p3－p2)＋(p2－p1)＋(p1－p0)＝p1＝. p4表示最终认为甲药更有效的概率； 由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8时， 认为甲药更有效的概率为p4＝≈0.0039， 此时得出错误结论的概率非常小，说明这种试验方案合理； 【针对性即时练】 1、已知随机变量X的分布列为P(X＝k)＝，k＝3，6，9，则D(X)等于 【答案】6 ； 【解析】由题意得E(X)＝3×＋6×＋9×＝6， D(X)＝(3－6)2×＋(6－6)2×＋(9－6)2×＝6； 2、设离散型随机变量X的分布列为 X 1 2 3 4 P 则D(X)等于 （用分数表示） 【答案】. D. 【答案】由题意知，E(X)＝1×＋2×＋3×＋4×＝， 故D(X)＝2×＋2×＋2×＋2×＝. 3、设随机试验的结果只有A发生和A不发生，且P(A)＝m，令随机变量X＝则X的方差D(X)等于 【答案】m(1－m) 【解析】由题意P(X＝1)＝m，P(X＝0)＝1－m，所以E(X)＝m， 所以D(X)＝(0－m)2(1－m)＋(1－m)2m＝m(1－m)； 4、设X是一个离散型随机变量，其分布列为 X －1 0 1 P 1－q q－q2 则q＝________. 【答案】 【解析】由离散型随机变量分布列的性质得 解得q＝. 5、设随机变量X的分布列如表，且E(X)＝1.6，则a－b等于 X 0 1 2 3 P 0.1 a b 0.1 【答案】－0.2 【解析】易知a，b∈[0，0.8]， 由0.1＋a＋b＋0.1＝1，得a＋b＝0.8.① 又由E(X)＝0×0.1＋1×a＋2×b＋3×0.1＝1.6， 得a＋2b＝1.3，② 由①②，解得a＝0.3，b＝0.5，则a－b＝－0.2. 6、学校要从10名候选人中选2名同学进入学生会，其中高二(1)班有4名候选人，假设每名候选人都有相同的机会被选到，若X表示选到高二(1)班的候选人的人数，则E(X)等于 【答案】 【解析】X的可能取值有0，1，2， 且P(X＝0)＝＝， P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝， 则E(X)＝0×＋1×＋2×＝. 7、下列叙述中，X不可以做离散型随机变量的是（ ） A．某座大桥一天经过的车辆数X B．某无线电寻呼台一天内收到的寻呼次数X C．一天之内的温度X D．一位射击手对目标进行射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，用X表示该射击手在一次射击中的得分 【答案】C 【解析】A，B，D中的X可以取的值可以一一列举出来，而C中的X可以取某一区间内的一切值，属于连续型的； 8、下列说法正确的有（ ） A．离散型随机变量X的方差与标准差的单位相同 B．离散型随机变量X的均值E(X)反映了X取值的波动水平 C．离散型随机变量X的均值E(X)与样本的平均值相同 D．离散型随机变量X的方差D(X)反映了X取值的波动水平 【答案】D； 【解析】单位不同，方差的单位是随机变量单位的平方，故A错误； 因为离散型随机变量X的圴值E(X)反映了X取值的平均水平，故B错误； 常用样本的平均值估计均值E(X)，但不代表两者相同，故C错误； 因为离散型随机变量的方差D(X)反映了X取值的波动水平，D正确； 9、在班级联欢晚会上，某班设计了一个摸球表演节目的游戏：在一个纸盒中装有红球、黄球、白球、黑球各1个，这些球除颜色外完全相同，同学不放回地每次摸出1个球，若摸到黑球，则停止摸球，否则就要将纸盒中的球全部摸出才停止.规定摸到红球表演两个节目，摸到白球或黄球表演1个节目，摸到黑球不用表演节目. （1）求a同学摸球三次后停止摸球的概率； （2）记X为a同学摸球后表演节目的个数，求随机变量X的分布列和数学期望、方差. 【解析】（1）设“a同学摸球三次后停止摸球”为事件E， 则P(E)＝＝， 故a同学摸球三次后停止摸球的概率为. （2）随机变量X的可能取值为0，1，2，3，4. P(X＝0)＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＋＝， P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝. 所以随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝2， 方差D(X)＝(0－2)2×＋(1－2)2×＋(2－2)2×＋(3－2)2×＋(4－2)2×＝.10、连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，用X表示掷出的点数之和，试求X的分布列． 解　用(i，j)表示抛掷的结果，其中i表示第一次掷出的点数，j表示第二次掷出的点数． 于是，连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，共有36种结果，结果如表： 　第二次 第一次 1 2 3 4 5 6 1 (1，1) (1，2) (1，3) (1，4) (1，5) (1，6) 2 (2，1) (2，2) (2，3) (2，4) (2，5) (2，6) 3 (3，1) (3，2) (3，3) (3，4) (3，5) (3，6) 4 (4，1) (4，2) (4，3) (4，4) (4，5) (4，6) 5 (5，1) (5，2) (5，3) (5，4) (5，5) (5，6) 6 (6，1) (6，2) (6，3) (6，4) (6，5) (6，6) 显然，这36种结果发生的概率是相同的，都是. 由上表，X的可能取值为2，3，…，12， 使X＝2有1种：(1，1)，则P(X＝2)＝. 使X＝3有2种：(1，2)，(2，1)，则P(X＝3)＝. 使X＝4有3种：(1，3)，(2，2)，(3，1)， 则P(X＝4)＝. 使X＝5有4种：(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)， 则P(X＝5)＝. 使X＝6有5种：(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)，则P(X＝6)＝. 使X＝7有6种：(1，6)，(2，5)，(3，4)，(4，3)，(5，2)，(6，1)，则P(X＝7)＝. 使X＝8有5种：(2，6)，(3，5)，(4，4)，(5，3)，(6，2)，则P(X＝8)＝. 使X＝9有4种：(3，6)，(4，5)，(5，4)，(6，3)， 则P(X＝9)＝. 使X＝10有3种：(4，6)，(5，5)，(6，4)， 则P(X＝10)＝. 使X＝11有2种：(5，6)，(6，5)， 则P(X＝11)＝. 使X＝12有1种：(6，6)， 则P(X＝12)＝. 故X的分布列如下． X 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 P 　甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量X与η，且X，η的分布列如下表所示． X 1 2 3 P a 0.1 0.6 η 1 2 3 P 0.3 b 0.3 （1）求a，b的值； （2）计算X，η的数学期望与方差，并以此分析甲、乙的技术状况． 【解析】（1）由离散型随机变量的分布列的性质可知 a＋0.1＋0.6＝1，∴a＝0.3. 同理0.3＋b＋0.3＝1，∴b＝0.4. （2）E(X)＝1×0.3＋2×0.1＋3×0.6＝2.3， E(η)＝1×0.3＋2×0.4＋3×0.3＝2， D(X)＝(1－2.3)2×0.3＋(2－2.3)2×0.1＋(3－2.3)2×0.6＝0.81， D(η)＝(1－2)2×0.3＋(2－2)2×0.4＋(3－2)2×0.3＝0.6. 由于E(X)>E(η)，说明在一次射击中，甲的平均得分比乙高，但D(X)>D(η)，说明甲得分的稳定性不如乙，因此甲、乙两人技术水平都不够全面，各有优劣； 6 科网（北京）股份有限公司7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【原卷版】 7.2 随机变量的分布与特征 选择性必修第二册 第7章 概率初步（续） 本章作为概率初步（必修课程第12章）的续篇，将重点介绍条件概率、概率的乘法公式以及全概率公式．条件概率表示所考察的事件在其他事件发生的条件下的概率，是概率论中的一个重要概念．由条件概率可以得到全概率公式和贝叶斯公式等重要公式，它们是计算概率的重要方法，并进一步展示了概率的直观含义；本章还将介绍随机变量的概念及其分布，以及它们的期望与方差，最后简单地介绍几个重要而基本的概率模型与正态分布； 【本章教材目录】第7章 概率初步（续） 7.1 条件概率与相关公式 7.1.1 条件概率；7.1.2 全概率公式；7.2.3 贝叶斯公式*； 7.2 随机变量的分布与特征 7.2.1 随机变量的分布与特征；7.2.2 期望；7.2.3 方差； 7.3 常用分布 7.3.1 二项分布；7.3.2 超几何分布；7.3.3 正态分布*； 【本章内容提要】 1、条件概率公式： 2、全概率公式： *3、贝叶斯公式： ， 4、设随机变量X的分布如上，那么其期望定义为 其方差定义为： 5、期望的线性性质： （1）如果是一个随机变量，是一个实数，那么 （2）如果、是两个随机变量，那么 6、方差的性质： （1）如果是一个随机变量，是一个实数，那么； （2）如果犡、犢分别是两个独立的随机变量，那么； 7、二项分布：独立地重复—个成功概率为狆的伯努利试验次，其成功次数的分布 称为二项分布（binomial distribution），亦称成功次数服从二项分布； 8、超几何分布：从—个装有大小与质地相同的犪个白球、犫个黑球的袋子中随机且不 放回地取个球，其中的白球的分布称为超几何分布（hyper-geometric distribution）； 9、正态分布：由钟形曲线，x∈R，其中μ∈R，σ>0为参数，则称随机变量X服从正态分布，记为X～N(μ，σ2)．所刻画的分布称为正态分布； 【要点方法解读】 解读点001 随机变量的分布与特征 1、随机变量 我们总是假设样本空间是有限的；这时，以样本空间作为定义域的一个函数称为一个随机变量，即对样本空间中任意给定的元素，都有唯一的实数与之对应； 【说明】一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量； 【注意】随机变量的特征：（1）可以用数值表示；（2）试验之前可以判断其可能出现的所有值，但不能确定取何值；（3）试验结果能一一列出； 2、随机变量的分布： 随机变量所有可能的取值以及相应的概率，称为随机变量的分布； （其中：；且） 【说明】（1）尽管随机变量的名字中用了“变量”这两个字，但实际上它是一个函数；随机变量的取值在随机现象发生前是随机的，且其取某一具体值这一事件的概率是该随机变量在该值上的分布； （2）随机变量：可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，我们称之为离散型随机变量； （3）“三步法”判定离散型随机变量 ①明确随机试验的所有可能结果； ②将随机试验的试验结果数量化； ③确定实验结果所对应的实数是否可按一定次序一一列出，如果能一一列出，则该随机变量是离散型随机变量，否则不是。 ④随机变量的分布列的其他表示方法 一般地，设离散型随机变量X的可能取值为，我们称X取每一个的概率，为X的概率分布列，简称分布列． 离散型随机变量的分布列可以用表格表示： X … … 3、随机变量分布列的意义和作用 （1）随机变量的分布列不仅能清楚地反映其所取的一切可能值，而且也能看出取每一个值的概率的大小，从而反映出随机变量在随机试验中取值的分布情况，是进一步研究随机试验数量特征的基础。 （2）离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各值的概率之和。 4、随机变量的分布列的性质 （1）；（2） 5、等可能分布 当随机变量取所有值的概率均相等时，称它是等可能分布或均匀分布的； 如：（其中：） 6、伯努利分布 只取两个值的随机变量称为伯努利型，其分布称为伯努利分布； 如：（其中：） 【说明】（1）又名“0-1分布”； 对于只有两个可能结果的随机试验，用表示“成功”，表示“失败”， 定义如果，则，那么X的分布列如表所示． X 0 1 我们称X服从两点分布或0－1分布． 【注意】（1）随机变量X只取0和1，才是两点分布，否则不是． （2）伯努利分布的适用范围 ①研究只有两个结果的随机试验的概率分布规律； ②研究某一随机事件是否发生的概率分布规律。 如抽取的彩票是否中奖；买回的一件产品是否为正品；新生婴儿的性别；投篮是否命中等，都可以用两点分布来研究。 例1、下列变量中，哪些是随机变量，哪些是离散型随机变量？并说明理由． ①某机场一年中每天运送乘客的数量； ②某单位办公室一天中接到电话的次数； ③明年5月1日到10月1日期间所查酒驾的人数； ④一瓶果汁的容量为500±2 mL. 例2、设随机变量X的分布列为P＝ak(k＝1，2，3，4，5)；则： （1）a＝________； （2）P＝________； （3）P＝________. 例3、从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个自然数中，任取3个不同的数．设X为所取的3个数中奇数的个数，求：随机变量X的分布列． 例4、已知随机变量X的概率分布为P(X＝n)＝(n＝1，2，3，…，10)，则实数a＝________. 解读点002 期望 1、随机变量的期望 随机变量的分布体现的是随机变量取值的概率分布；把概率作为权重，对随机变量的相应取值进行加权平均后所得到的值，称为随机变量的期望： 定义：如果随机变量的分布是 那么，它的期望定义为如下的加权平均：； 【说明】数学期望或均值 一般地，若离散型随机变量的分布列为 则称为随机变量的均值或数学期望；它反映了离散型随机变量取值的平均水平． 2、期望的线性性质 （1）如果是一个随机变量，是一个实数，那么，； （2）如果、是两个随机变量，那么，； 例5、在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分.如果某运动员罚球命中的概率为0.8，那么他罚球1次的得分X的随机变量的数学期望为 例6、某地最近出台一项机动车驾照考试规定：每位考试者一年之内最多有4次参加考试的机会，一旦某次考试通过，便可领取驾照，不再参加以后的考试，否则就一直考到第4次为止． 如果李明决定参加驾照考试，设他每次参加考试通过的概率依次为0.6，0.7，0.8，0.9， 求：在一年内李明参加驾照考试次数X的分布列和X的均值，并求李明在一年内领到驾照的概率． 例7、已知随机变量X满足P(X＝1)＝0.3，P(X＝0)＝0.7，则E(X)等于（ ） A．0.3 B．0.7 C．0.21 D．1 例8、某射手射击所得环数X的分布列如下： X 7 8 9 10 P x 0.1 0.3 y 已知X的数学期望E(X)＝8.9，则y的值为（ ） A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8 解读点003 方差 1、方差 数学上用什么指标来衡量随机变量的分散度呢？按照上面的分析，对随机变量而言，我们用与其期望的偏差的平方的期望，即 来衡量随机变量的分散度，称为的方差，记为； 定义：随机变量的方差定义为： 【说明】（1）更方便使用的方差公式．事实上，根据期望的线性性质，并注意到是一个常数， 就有或D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn （2）为随机变量X的标准差，记为σ(X)． （3）随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度越大，表明平均偏离程度越大，的取值越分散.反之，越小，的取值越集中在附近； （4）方差也是一个常数，它不具有随机性，方差的值一定是非负实数； （5） 数学期望与方差的性质与常用结论 ①若Y＝aX＋b，其中X是随机变量，a，b是常数，随机变量X的均值是E(X)，方差是D(X)． 则E(Y)＝E(aX＋b)＝aE(X)＋b；D(Y)＝D＝a2D(X)．(a，b为常数)； ②E(k)＝k，D(k)＝0，其中k为常数； ③E(X1＋X2)＝E(X1)＋E(X2)； ④)D(X)＝E(X2)－(E(X))2； ⑤若X1，X2相互独立，则E(X1X2)＝E(X1)·E(X2)； 例9、有10张卡片，其中8张标有数字2，2张标有数字5，从中随机地抽取3张卡片，设3张卡片数字之和为X，求E(X)和D(X)． 例10、某投资公司在2021年年初准备将1000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择： 项目一：新能源汽车．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损15%，且这两种情况发生的概率分别为和. 项目二：通信设备．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能损失30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为，和. 针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由． 【真题体验】 例11、（2021·新高考Ⅰ卷）某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束．A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分，已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关． （1）若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列； （2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由． 例12、（2019·全国Ⅰ卷）为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得－1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得－1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X. （1）求X的分布列； （2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，pi(i＝0，1，…，8)表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则p0＝0，p8＝1，pi＝api－1＋bpi＋cpi＋1(i＝1，2，…，7)，其中a＝P(X＝－1)，b＝P(X＝0)，c＝P(X＝1)．假设α＝0.5，β＝0.8. ①证明：{pi＋1－pi}(i＝0，1，2，…，7)为等比数列； ②求p4，并根据p4的值解释这种试验方案的合理性． 【针对性即时练】 1、已知随机变量X的分布列为P(X＝k)＝，k＝3，6，9，则D(X)等于 2、设离散型随机变量X的分布列为 X 1 2 3 4 P 则D(X)等于 （用分数表示） 3、设随机试验的结果只有A发生和A不发生，且P(A)＝m，令随机变量X＝则X的方差D(X)等于 4、设X是一个离散型随机变量，其分布列为 X －1 0 1 P 1－q q－q2 则q＝________. 5、设随机变量X的分布列如表，且E(X)＝1.6，则a－b等于 X 0 1 2 3 P 0.1 a b 0.1 6、学校要从10名候选人中选2名同学进入学生会，其中高二(1)班有4名候选人，假设每名候选人都有相同的机会被选到，若X表示选到高二(1)班的候选人的人数，则E(X)等于 7、下列叙述中，X不可以做离散型随机变量的是（ ） A．某座大桥一天经过的车辆数X B．某无线电寻呼台一天内收到的寻呼次数X C．一天之内的温度X D．一位射击手对目标进行射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，用X表示该射击手在一次射击中的得分 8、下列说法正确的有（ ） A．离散型随机变量X的方差与标准差的单位相同 B．离散型随机变量X的均值E(X)反映了X取值的波动水平 C．离散型随机变量X的均值E(X)与样本的平均值相同 D．离散型随机变量X的方差D(X)反映了X取值的波动水平 9、在班级联欢晚会上，某班设计了一个摸球表演节目的游戏：在一个纸盒中装有红球、黄球、白球、黑球各1个，这些球除颜色外完全相同，同学不放回地每次摸出1个球，若摸到黑球，则停止摸球，否则就要将纸盒中的球全部摸出才停止.规定摸到红球表演两个节目，摸到白球或黄球表演1个节目，摸到黑球不用表演节目. （1）求a同学摸球三次后停止摸球的概率； （2）记X为a同学摸球后表演节目的个数，求随机变量X的分布列和数学期望、方差. 10、连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，用X表示掷出的点数之和，试求X的分布列． 解　用(i，j)表示抛掷的结果，其中i表示第一次掷出的点数，j表示第二次掷出的点数． 于是，连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，共有36种结果，结果如表： 　第二次 第一次 1 2 3 4 5 6 1 (1，1) (1，2) (1，3) (1，4) (1，5) (1，6) 2 (2，1) (2，2) (2，3) (2，4) (2，5) (2，6) 3 (3，1) (3，2) (3，3) (3，4) (3，5) (3，6) 4 (4，1) (4，2) (4，3) (4，4) (4，5) (4，6) 5 (5，1) (5，2) (5，3) (5，4) (5，5) (5，6) 6 (6，1) (6，2) (6，3) (6，4) (6，5) (6，6) 显然，这36种结果发生的概率是相同的，都是. 由上表，X的可能取值为2，3，…，12， 使X＝2有1种：(1，1)，则P(X＝2)＝. 使X＝3有2种：(1，2)，(2，1)，则P(X＝3)＝. 使X＝4有3种：(1，3)，(2，2)，(3，1)， 则P(X＝4)＝. 使X＝5有4种：(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)， 则P(X＝5)＝. 使X＝6有5种：(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)，则P(X＝6)＝. 使X＝7有6种：(1，6)，(2，5)，(3，4)，(4，3)，(5，2)，(6，1)，则P(X＝7)＝. 使X＝8有5种：(2，6)，(3，5)，(4，4)，(5，3)，(6，2)，则P(X＝8)＝. 使X＝9有4种：(3，6)，(4，5)，(5，4)，(6，3)， 则P(X＝9)＝. 使X＝10有3种：(4，6)，(5，5)，(6，4)， 则P(X＝10)＝. 使X＝11有2种：(5，6)，(6，5)， 则P(X＝11)＝. 使X＝12有1种：(6，6)， 则P(X＝12)＝. 故X的分布列如下． X 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 P 　甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量X与η，且X，η的分布列如下表所示． X 1 2 3 P a 0.1 0.6 η 1 2 3 P 0.3 b 0.3 （1）求a，b的值； （2）计算X，η的数学期望与方差，并以此分析甲、乙的技术状况． 6 科网（北京）股份有限公司7 学科网（北京）股份有限公司 $$