7.2.2 期望（同步课件，含交互动画）数学沪教版选择性必修第二册

7.2 随机变量的分布与特征 第七章 概率初步（续） 7.2.2 期望 沪教版选择性必修第二册·高二 学 习 目 标 1 2 3 通过生活中的实例，理解期望的概念. 经历写出一些简单随机变量的期望的过程，归纳总结分布的特征，发展数学运算、数学抽象等核心素养. 感悟随机变量的期望的含义. 1 某校积极响应国家“阳光体育运动”的号召，举办了跳绳、踢毽比赛，其中高三（1）班10名参赛同学的跳绳比赛成绩分别为（单位：次/分钟）： 110，120，125，130，125，120，135，140，125，130. 情境引入 情境 【问题1】这10名同学每分钟跳绳次数的平均数是多少？ 平均数= 1 某校积极响应国家“阳光体育运动”的号召，举办了跳绳、踢毽比赛，其中高三（1）班10名参赛同学的跳绳比赛成绩分别为（单位：次/分钟）： 110，120，125，130，125，120，135，140，125，130. 情境引入 情境 【问题2】若以X表示任取其中一名同学的每分钟的跳绳次数，计算随机变量X的分布. 可观察到，这10名同学每分钟跳绳次数的平均数即为随机变量X的可能取值关于其相应概率的加权平均. 2 新知讲授 随机变量的分布体现的是随机变量取值的概率分布． 把概率作为权重，对随机变量的相应取值进行加权平均后所得到的值， 称为随机变量的期望（expectation）： 1.期望的定义 定义 如果随机变量X 的分布是 那么它的期望定义为如下的加权平均： 2 新知讲授 1.期望的定义 【问题3】期望是一个变量还是一个确定的数，如何理解？ 期望是一个确定的数，它由随机变量X的取值和相应的概率确定. 期望实际上是由某个分布所确定的，所以也称为该分布的期望. 3 举例分析 例4 (1)掷一颗骰子，求掷得点数的期望； (2)掷两颗骰子，求掷得点数和的期望． 解: （1）掷一颗骰子，掷得点数X的期望是 操作说明： 点击引例.html打开交互式页面，最好将页面保存在U盘中，防止课上出现无法打开的现象. 3 举例分析 例4 (1)掷一颗骰子，求掷得点数的期望； (2)掷两颗骰子，求掷得点数和的期望． 解: （2）掷两颗骰子，掷得点数和 X 的分布为 其期望为 3 举例分析 例5 抛掷n枚硬币，用X表示正面朝上的硬币数．求它的分布及期望． 解: 抛掷n枚硬币是一个古典概率模型，其基本事件是 所以，抛掷n枚硬币的随机试验的样本空间中有个元素． 事件 X ＝ k 表示“出现 k 个正面朝上”，即其中有 k 个 H、（n－k）个T 的基本事件全体．用选择性必修课程第６章介绍的排列组合方法，X ＝ K 这个事件含有的基本事件数为在 n 个位置上取 k 个位置放置 H 的组合数 其中，括号里的每一个*表示每一枚硬币抛掷的结果： 正面朝（H）或者反面朝上（T）． 操作说明： 点击引例.html打开交互式页面，最好将页面保存在U盘中，防止课上出现无法打开的现象. 3 举例分析 例5 抛掷n枚硬币，用X表示正面朝上的硬币数．求它的分布及期望． 解: X 的取值范围是K＝０，１，２，…，n，有 有了 X 的分布，就可以得到 X 的期望，为 　当K ≥１时，有 3 举例分析 例5 抛掷n枚硬币，用X表示正面朝上的硬币数．求它的分布及期望． 解: 由选择性必修课程６．５节中所介绍的二项式定理，得所求的期望为　　 3 举例分析 例5 抛掷n枚硬币，用X表示正面朝上的硬币数．求它的分布及期望． 解: 　 掷一颗骰子，掷得点数的期望是３．５，甚至不是一个整数， 那么，期望到底有什么意义呢？实际上，期望的意义在多次重复试验中可以明显地体现出来．例如，重复掷一颗骰子n次，所得到的点数分别记为X１，X２，…，Xn ，那么，当 n 很大时，平均点数必定逼近于期望，即成立 这个结果类似于在必修课程１２．３节中所述的伯努利大数定律 4 新知讲授 随机变量的分布体现的是随机变量取值的概率分布． 把概率作为权重，对随机变量的相应取值进行加权平均后所得到的值， 称为随机变量的期望（expectation）： 1.期望的定义 2.期望的线性性质 １．如果X 是一个随机变量， a是一个实数，那么 E［ a X］＝ a E［X］． ２．如果 X、Y 是两个随机变量，那么 E［X＋Y］＝E［X］＋E［Y］． 4 新知讲授 2.期望的线性性质 １．如果X 是一个随机变量， a是一个实数，那么 E［ a X］＝ a E［X］． ２．如果 X、Y 是两个随机变量，那么 E［X＋Y］＝E［X］＋E［Y］． 性质１的证明是容易的，性质２的证明超出所学的知识范围．这两个性质的证明这里均略去，只列出它们的结论．为了方便，我们把一个确定的常数也看作一个随机变量，称为常数随机变量．常数随机变量是确定的，没有随机性，它的期望等于它本身. 4 新知讲授 2.期望的线性性质 １．如果X 是一个随机变量， a是一个实数，那么 E［ a X］＝ a E［X］． ２．如果 X、Y 是两个随机变量，那么 E［X＋Y］＝E［X］＋E［Y］． 例４（２）中求得点数之和的期望是７，这是通过分布来计算 的．更方便的方法是利用期望的性质来计算．用、 分别表 示掷第一颗及第二颗骰子得到的点数，那么就是两颗骰 子的点数之和．这样，根据期望的线性性质，并利用例４（１）的 结果，就得到 5 课本练习 1 抛掷４枚硬币，用 X 表示正面朝上的枚数．求 X 的期望． 2 从一个放有大小与质地相同的５个白球、４个黑球的罐子中不放回地摸３个球，用 X 表示摸到的白球数．求 X 的期望． 6 巩固练习 1 在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分. 如果某运 动员罚球命中的概率为0.8，那么他罚球1次的得分X的期望是多少? 由题意得，X的分布列为 即该运动员罚球1次的得分X的期望是0.8. 一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么 解: 7 巩固练习 2 抛掷一枚质地均匀的骰子， 设出现的点数为X，求X的期望. 由题意得，X的分布列为 即点数X的期望是3.5. 解: 7 巩固练习 3 盒子中装有编号为1，2，3，4，5，6的六个球. （1）从中任意取出两个球，求这两个球的编号之和为偶数的概率； （2）从中任意取出三个球，记X为编号为偶数的球的个数，求X的分布和期望. 解：（1）从编号为1，2，3，4，5，6的六个球任意取出两个球，共有种可能，取出的两球编号之和为偶数包含的基本事件有：(1，3)，(1,5) ，(3，5)， (2,4)，(2,6)，(4,6)共6个基本事件，因此从六个球中任意取出两个球求这两个球的编号之和为偶数的概率为； 7 巩固练习 3 盒子中装有编号为1，2，3，4，5，6的六个球. （2）从中任意取出三个球，记X为编号为偶数的球的个数，求X的分布和期望. （2）由题意，X的可能取值为0,1,2,3，则 X 0 1 2 3 P 则X的分布为： E(X)= 课堂小结 期望的定义 期望的线性性质 １．如果X 是一个随机变量， a是一个实数，那么 E［ a X］＝ a E［X］． ２．如果 X、Y 是两个随机变量，那么 E［X＋Y］＝E［X］＋E［Y］． 随机变量的分布体现的是随机变量取值的概率分布． 把概率作为权重，对随机变量的相应取值进行加权平均后所得到的值， 称为随机变量的期望（expectation）： 随机变量的期望 交互式探究 沪教版高中数学 选择性必修二 例题4 掷骰子期望 例题5 抛硬币期望 例题4：掷骰子的数学期望 题目： (1) 掷一颗骰子，求掷得点数的期望； (2) 掷两颗骰子，求掷得点数和的期望． (1) 单颗骰子试验 1 掷骰子 当前点数：1 理论期望：E(X) = 3.5 (2) 两颗骰子试验 1 1 掷两颗骰子 点数和：2 理论期望：E(X) = 7 🎯 核心结论： 1. 单骰子期望：E = (1+2+3+4+5+6)/6 = 3.5 2. 双骰子和期望：E = 3.5 + 3.5 = 7 ✅ 期望具有可加性，与是否独立无关！ 例题5：抛硬币的分布与期望 题目： 抛掷n枚硬币，用X表示正面朝上的硬币数．求它的分布及期望． 硬币数量 n = 设置硬币 抛掷硬币 正面朝上数量：0 期望公式：E(X) = n × 0.5 当前期望：2.5 🎯 核心结论： 1. 分布：二项分布 X ~ B(n, 0.5) 2. 期望：E(X) = n × P(正面) = n/2 ✅ n重伯努利试验的期望公式通用！ 随机变量的期望 交互式探究 沪教版高中数学 选择性必修二 例题4 掷骰子期望 例题5 抛硬币期望 例题4：掷骰子的数学期望 题目： (1) 掷一颗骰子，求掷得点数的期望； (2) 掷两颗骰子，求掷得点数和的期望． (1) 单颗骰子试验 1 掷骰子 当前点数：1 理论期望：E(X) = 3.5 (2) 两颗骰子试验 1 1 掷两颗骰子 点数和：2 理论期望：E(X) = 7 🎯 核心结论： 1. 单骰子期望：E = (1+2+3+4+5+6)/6 = 3.5 2. 双骰子和期望：E = 3.5 + 3.5 = 7 ✅ 期望具有可加性，与是否独立无关！ 例题5：抛硬币的分布与期望 题目： 抛掷n枚硬币，用X表示正面朝上的硬币数．求它的分布及期望． 硬币数量 n = 设置硬币 抛掷硬币 正面朝上数量：0 期望公式：E(X) = n × 0.5 当前期望：2.5 🎯 核心结论： 1. 分布：二项分布 X ~ B(n, 0.5) 2. 期望：E(X) = n × P(正面) = n/2 ✅ n重伯努利试验的期望公式通用！ $