专题03 相交线与平行线（考题猜想，10大题型）-2024-2025学年六年级数学下学期期末考点大串讲（鲁教版2024）

专题03 相交线与平行线（10大题型） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 题型一 几何图形中的角度计算 题型二 根据平行线的性质探究角的关系 题型三 根据平行线的性质求角的度数 题型四 平行线的性质在生活中的应用 题型五 根据平行线的性质与判定求角的度数 题型六 根据平行线的性质与判定证明 题型七 平行线与三角板综合 题型八 平行线与旋转综合 题型九 与平行线有关的定值问题 题型十 与平行线有关的热考模型 题型一 几何图形中的角度计算 1．（23-24六年级下·山东淄博·期末）如图，直线，相交于点O，，且平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数（用含α的代数式表示）． 2．（23-24七年级下·河北邢台·阶段练习）如图，直线，交于点O，，分别平分和． (1)若，求的度数． (2)在（1）的条件下，若，吗？请说明理由． 3．（21-22六年级下·山东威海·期末）已知：，直线过点，平分． (1)如图1，当在的外部时，若，则_______； (2)如图2，当经过的内部时，若，求的度数； (3)比较（1）（2），你有什么发现？______________． 4．（20-21六年级下·山东威海·期末）我们曾解决过这样的问题： 如图1，点O在直线AB上，OC，OD分别平分∠AOE，∠BOE，可求得∠COD＝90°．（不用求解）若点O在直线AB上，∠COD＝90°，OE平分∠BOC． (1)如图2，若∠AOC＝50°，求∠DOE的度数； (2)将图2中的∠COD按图3所示的位置进行放置，写出∠AOC与∠DOE度数间的等量关系，并写明理由． 题型二 根据平行线的性质探究角的关系 5．（23-24六年级下·山东烟台·期末）已知直线，点为平面上一点，连接与．    (1)如图①，点在直线、之间，说明：； (2)如图②，点在直线、之间，与的平分线相交于点，利用（1）中的结论，写出与之间的数量关系，并说明理由； (3)如图③，点落在与外，与的角平分线相交于点，（2）中与之间的数量关系是否仍然成立？并说明理由． 6．（23-24六年级下·山东烟台·期末）【阅读材料】 在利用平行线的性质解答角的问题时，有时需要添加辅助线来帮助解答．辅助线的添加既可以产生新的条件，又能将题目中的原有条件联系在一起． 例：如图①，，M，N分别为直线上的点，E为之间一点，连接得到．请说明． 解：过点E作． 因为，所以． 因为，所以． 所以． 因为，所以． 【问题解决】 如图，，M，N分别为直线上的点． (1)如图②，E为之间一点，锐角和钝角的角平分线所在的直线交于点F，与交于点G． ①若，，求，的度数； ②若，，求的度数（用含的代数式表示）； (2)如图③，E，F均为之间的点，，请直接写出的度数． 7．（23-24六年级下·山东济南·期末）如图，已知． (1)感知与探究： 如图1，已知请求出的度数； (2)问题迁移： 如图2，、分别是的角平分线，的反向延长线与相交于点F，猜想与之间的数量关系，并说明理由； (3)联想拓展： 在（2）的条件下，若，则的度数是_____________． 8．（23-24六年级下·山东东营·期末）【问题情境】 在综合实践课上，老师组织班上的同学开展了探究两角之间数量关系的数学活动，如图1，已知直线，点E、G分别为直线、上的点，点F是平面内任意一点，连接、． 【探索发现】 当时，求证：； 【深入探究】 （2）如图2点P、Q分别是直线CD上的点，且，直线，交于点K，“智胜小组”探究与之间的数量关系．请写出它们的关系，并说明理由； （3）如图3，在（2）的探究基础上，，“科创小组”探究与之间的数量关系．请直接写出它们的关系，不需要说明理由． 题型三 根据平行线的性质求角的度数 9．（23-24六年级下·山东烟台·期末）已知，，平分交于点G． (1)如图1，，判断与的位置关系，并说明理由； (2)如图2，，当时，求的度数． 10．（23-24六年级下·山东烟台·期末）探究：如图①，，，若，求的度数． 请将下面的解答过程补充完整，并填空． 解：因为， 根据______， 所以______． 因为， 根据______， 所以______． 所以． 因为， 所以______°． 应用：如图②，，， 若，求的度数．（不必注明理由） 11．（22-23六年级下·山东烟台·期末）如图，，点是射线上一动点(不与点重合)，分别平分和，交射线于两点．    (1)求的度数； (2)当点运动到使时，求的度数； (3)当点运动时，与的度数之比是否随之发生变化?若不变，求出与的度数之比；若变化，请说明变化规律． 题型四 平行线的性质在生活中的应用 12．（21-22六年级下·山东东营·期末）实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．如图1，一束光线m射到平面镜a上，被a反射后的光线为n，则入射光线m、反射光线n与平面镜a所夹的锐角． (1)利用这个规律人们制作了潜望镜，图2是潜望镜工作原理示意图，AB、CD是平行放置的两面平面镜．已知光线经过平面镜反射时，有，，请解释进入潜望镜的光线m为什么和离开潜望镜的光线是平行的？（请把证明过程补充完整） 理由：∵（已知）， ∴（① ）， ∵，（已知）， ∴（② ）， ∴，即：， ∴（③ ） (2)显然，改变两面平面镜AB、CD之间的位置关系，经过两次反射后，入射光线m与反射光线n之间的位置关系会随之改变，如图3，一束光线m射到平面镜AB上，被AB反射到平面镜CD上，又被CD反射．若被CD反射出的光线n和光线m平行，且，则∠6=______°，∠ABC=______°． (3)请你猜想：图3中，当两平面镜AB、CD的夹角∠ABC=______°时，可以使任何入射光线m经过平面镜AB、CD的两次反射后，与反射光线n平行、请说明理由． 13．（21-22七年级下·江苏泰州·阶段练习）光线照射到镜面会产生反射现象，由光学知识，入射光线与镜面的夹角与反射光线与镜面的夹角相等，例如：在图1中，有∠1＝∠2． (1)如图2，已知镜子MO与镜子ON的夹角∠MON＝90°，请判断入射光线AB与反射光线CD的位置关系，并说明理由； (2)如图3，有一口井，已知入射光线AO与水平线OC的夹角为50°，当平面镜MN与水平线OC的夹角为 °，能使反射光线OB正好垂直照射到井底； (3)如图4，直线EF上有两点A、C，分别引两条射线AB、CD．∠BAF＝120°，∠DCF＝40°，射线AB、CD分别绕A点、C点以3度/秒和1度/秒的速度同时逆时针转动，设时间为t秒，在射线AB转动一周的时间内，是否存在某时刻，使得CD与AB平行？若存在，求出所有满足条件的时间t． 14．（24-25七年级下·吉林·期中）在学习完《相交线与平行线》后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣，蔡老师围绕平行线的知识在班级开展课题学习活动，探究平行线的“等角转化”功能． (1)【问题初探】如图1，，，求证：． (2)【拓展探究】在（1）的条件下，试问与之间满足怎样的数量关系？并说明理由． (3)【迁移应用】 ① 路灯维护工程车的工作示意图如图2，工作篮底部与支撑平台平行，已知，则 ； ② 一种路灯的示意图如图3所示，其底部支架与吊线平行，灯杆与底部支架所成锐角，顶部支架与灯杆所成锐角，求与所成锐角的度数． 15．（22-23七年级下·辽宁营口·期中）货轮在南沙群岛发生故障，南沙海上搜救中心接到险情报告后立即派出海洋救助船前往执行任务，海洋救助船从O点出发向北偏西方向行驶到点A时，接到货轮因空载在飘移的消息，于是向左转继续航行．利用直尺画出大致方位图，并求出此时海洋救助船的航行方向是什么？ 题型五 根据平行线的性质与判定求角的度数 16．（23-24六年级下·山东烟台·期末）如图，点B在上，点C在外，连接，． (1)利用尺规，过点B作射线，使；（保留画图痕迹，作出所有符合条件的射线，不必写作法；不同的射线可用，，…来分别表示） (2)在（1）的条件下，若，请求出的度数． 17．（23-24六年级下·山东淄博·期末）如图，在四边形中，点，分别在边，上（点，不与顶点，，重合），连接，．已知，．    (1)试问与相等吗？请说明理由； (2)若，，求的度数． 18．（22-23六年级下·山东淄博·期末）如图1，，，，求的大小．小明的解题思路：过点P作，通过平行线的性质来求．    (1)按小明的解题思路，求度数； (2)如图2，已知直线，直线a，b分别与直线m，n相交于点B、D和点A、C．点P在线段BD上运动（不与B、D两点重合），记，，问与，之间有何数量关系？判断并说明理由． 19．（22-23六年级下·山东烟台·期末）课题学习：平行线的“等角转化”功能． (1)阅读理解：如图，已知点是外一点，连接、，求的度数．阅读并补充下面推理过程．    解：过点作，所以　　，　　， 又因为， 所以．    解题反思：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将、、“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决． (2)方法运用：如图1，已知，求的度数； (3)深化拓展：已知直线，点为平面内一点，连接、． ①如图2，已知，，请直接写出的度数； ②如图3，请判断、、之间的数量关系，并说明理由．    20．（20-21七年级下·山东济南·期中）如图1，，点A、C分别在射线和上，． (1)若，则 ； (2)小明同学发现：无论如何变化，的值始终为定值，并给出了一种证明该发现的辅助线作法：如图2，过作A作，交于M．请你根据小明同学提供的辅助线（或自己添加其它辅助线），确定该定值，并说明理由； (3)如图3，若把题干中的“改为“”，其它条件保持不变，试猜想与的数量关系，并说明理由． 题型六 根据平行线的性质与判定证明 21．（23-24六年级下·山东东营·期末）如图，点、分别在、上，于点，，与互余，求证：． 22．（23-24六年级下·山东威海·期末）如图，在四边形中，，延长至点E，连接，作，的角平分线，分别交于点F，G，且．试判断是否平行，并说明理由． 23．（23-24六年级下·山东济南·期末）如图，，相交于点，，．    (1)与平行吗？请说明理由； (2)若，求的度数． 24．（23-24六年级下·山东威海·期末）如图，点在上，，，．写出图中存在平行关系的线，并写出理由． 题型七 平行线与三角板综合 25．（22-23六年级下·山东东营·期末）如图，将一直角三角板放在两条平行线之间，可以求两角之和或两角之差．    (1)在图甲中，容易求得．则在图乙中，可以求得的度数为______； (2)在图丙中，请问，的数量关系式是什么？并说明理由； (3)在图丁中，请问，的数量关系式是什么？并说明理由． 26．（21-22六年级下·山东烟台·期末）如图把一个含有30°角的直角三角板的直角顶点放在直线上，，、两点在平面上移动，请根据如下条件解答： (1)如图1，若点在直线上，点在直线的下方，，求的度数． (2)如图2，若点在平行直线，内部，点在直线的下方，，求的度数． 27．（23-24七年级下·云南文山·阶段练习）小明对一副直角三角板在平行线间的位置进行研究，已知． (1)如图①，小明将含角的直角三角板中的点A落在直线上，若，则的度数为______； (2)如图②，小明将含角的直角三角板中的点D，F分别落在直线上，若平分，则是否平分？请说明理由． (3)小明将三角板与三角板按如图③所示方式摆放，点B与点F重合，求的度数． 28．（21-22六年级下·山东烟台·期末）如图，将一副直角三角尺（其中，）的直角顶点C叠放在一起．保持三角尺BCE不动，三角尺ACD的CD边与CB边重合，然后将三角尺ACD绕点C按逆时针方向转动，形成． (1)如图①，当时，吗？为什么？ (2)如图②，试说明与的大小关系． 题型八 平行线与旋转综合 29．（23-24六年级下·山东烟台·期末）如图，点A、B分别在直线上，，，平分，将射线绕点B以每秒的速度顺时针方向旋转，射线绕点A以每秒的速度顺时针方向应转，设旋转时间为，当与平行时，求旋转时间t的值． 30．（22-23七年级下·河北保定·阶段练习）如图所示是驱逐舰、巡洋舰两艘舰艇参与某次演练的情景，已知，． (1)已知驱逐舰在方向上航行，巡洋舰在方向上航行，假设在航行过程中各自航行方向保持不变，试判断这两艘舰艇会不会相撞？请说明理由； (2)已知驱逐舰到达点C后沿继续航行，巡洋舰到达点E后沿继续航行，且，．若驱逐舰在原航向上向左转动后，才能与巡洋舰航向相同，求的值． 31．（21-22七年级下·江苏常州·期末）去年汛期期间，防汛指挥部在某重要河流的一段危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看河水及两岸河堤的情况．如图1，灯A射线自AM顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线自BP顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是15度/秒，灯B转动的速度是5度/秒．假定这一带两岸河堤是平行的，即PQMN，且∠BAN=45°． (1)若灯B射线先转动4秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？ (2)如图2，两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前．若灯A射出的光束与灯B射出的光束交于点C，过C作CD⊥AC交PQ于点D，则在转动过程中，∠BAC与∠BCD的数量关系是否发生变化？若不变，请直接写出其数量关系；若改变，请说明理由． 题型九 与平行线有关的定值问题 32．（23-24七年级下·山东临沂·期末）已知，点M，N分别是、上的点，点G在、之间，连接、． (1)如图1．若，已知的平分线交的平分线于点H．求的度数； (2)如图2．若点P是下方一点，平分，平分，已知．证明：为定值． 33．（24-25七年级下·广东广州·期中）如图，已知射线，连接，点是射线上的一个动点（与点不重合），分别平分和，分别交射线于点． (1)当时，求的度数； (2)判断是否为定值？若是定值，请求出这个定值；若不是，请说明理由； (3)当时，求的度数． 34．（24-25七年级下·江苏南通·期中）已知直线，将一个含角的直角三板按如图1所示位置摆放，使分别在上，P在之间，设． (1)比较：_______（填“>”“<”或“=”）； (2)如图2，分别画的平分线，交于点Q，求的度数； (3)如图3，在（2）的条件下，若平分，交于点E，过点N作，交于点F．请在图3中补全图形，并判断的大小是否是一个定值？若是，请求出它的值；若不是，请说明理由． 题型十 与平行线有关的热考模型 35．（23-24六年级下·山东烟台·期末）【认识模型】 如图①，已知，我们发现．我们称这种模型为平行线的“猪脚模型”，我们怎么说明这个结论呢？ 张山同学：如图②，过点作，把分成与的和，然后分别说明，； 李思同学：如图③，过点作，则，再说明． 【探索模型】 （1）请按张山同学的思路，写出说明过程； （2）请按李思同学的思路，写出说明过程． 【应用模型】 （3）如图④，已知，平分，平分．若，请利用“猪脚模型”的结论，直接写出的度数______． 36．（24-25七年级下·河南商丘·阶段练习）图1为一幅动漫截图，图2是从图中抽象出的“青蛙模型”，已知，，，． (1)________；与的位置关系是________； (2)求的度数． 37．（24-25七年级下·山西晋中·期中）【阅读理解】 “两条平行线被第三条直线所截”是平行线中的一个重要的“基本图形”．与平行线有关的角都存在着这个“基本图形”中，当发现题目的图形“不完整”时要添加适当的辅助线将其补充完整．将“非基本图形”转化为“基本图形”这体现了转化思想． 【建立模型】 （1）如图①已知，点E在直线之间，则___________． （2）如图②已知，点E在直线之间，请写出与之间的关系，并说明理由． 【解决问题】 （3）奥运会过后掀起一股滑雪的热潮，很多同学纷纷来到滑雪场，想亲身感受一下奥运健儿在赛场上风驰电掣的感觉，但是第一次走进滑雪场的你，学会正确的滑雪姿势是最重要的，正确的滑雪姿势是上身挺直略前倾，与小腿平行，使脚的根部处于微微受力的状态，如图所示，，如果人的小腿与地面的夹角，求出身体与水平线的夹角的度数． 38．（23-24七年级下·江西景德镇·期中）【问题背景】同学们，我们一起观察小猪的猪蹄，你会发现一个我们熟悉的几何图形，我们就把这个图形形象的称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系． (1)如图①，，E为，之间一点，连接、，得到．试探究与、之间的数量关系，并说明理由． (2)【类比探究】请你利用上述“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的问题：如图②，若，点E、F为直线、之间两个点，连接、、，，求的值．并说明理由． (3)【拓展延伸】如图③，如图，，平分，平分，、的反向延长线相交于点H，，求的值．写出必要的求解过程． 39．（24-25七年级下·山东临沂·期中）问题情境： 找两根长度差不多的木棒和平行放置在桌面上并固定，用一根橡皮筋将两根木棒的一个端点连接起来，并在橡皮筋上打一个结，如图1，，点在上． 探究一：一组同学是这样进行操作的：将橡皮筋点向外拉，变成如图2，使点在的右侧，同学们称这种模型为“铅笔头模型”，探究，，之间的关系，同学们的思路是：如图3，过点作的平行线，通过平行线性质和判定，可得之和是________，请你在图3中作出图形，并说明理由． 探究二：二组同学的操作正好相反，将橡皮筋向里推，变成如图4，点在的左侧，同学们称这种模型为“猪脚模型”，仿照一组同学们的思路可得，，之间的数量关系是________． 同学们随后结合一、二两个小组的探究结论进行深度探究． 探究三：三组的同学同时进行把橡皮筋向外拉和向里推两种操作，变成如图5所示的图形，通过分析研究，它们提出了如下的问题：已知，，求的大小（用含有，的代数式表示）． 探究四：四组的同学不甘示弱，提出如下问题：如图6，的平分线与的平分线相交于点，且，，探究与之间的数量关系，请你直接写出结果：________． 40．（23-24七年级下·安徽芜湖·期末）【阅读理解】两条平行线间的拐点问题经常可以通过作一条直线的平行线进行转化． 已知直线，P为平面内一点，连接，． （1）如图1，已知，则的度数为______； （2）如图2，设，猜想α，β，之间的数量关系，并证明； （3）如图3，，，交于点O，，求的度数． $$专题03 相交线与平行线（10大题型） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 题型一 几何图形中的角度计算 题型二 根据平行线的性质探究角的关系 题型三 根据平行线的性质求角的度数 题型四 平行线的性质在生活中的应用 题型五 根据平行线的性质与判定求角的度数 题型六 根据平行线的性质与判定证明 题型七 平行线与三角板综合 题型八 平行线与旋转综合 题型九 与平行线有关的定值问题 题型十 与平行线有关的热考模型 题型一 几何图形中的角度计算 1．（23-24六年级下·山东淄博·期末）如图，直线，相交于点O，，且平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数（用含α的代数式表示）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查与角平分线相关的角的计算，垂直的定义，掌握角的和差运算、角平分线定义和垂超拔定义是解题的关键． （1）先求出，根据角平分线定义求出，根据对顶角相等求出，求出，即可得出答案； （2）先求出，根据角平分线定义求出，根据对顶角相等求出，求出，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵直线，相交于点O， ∴， ∵， ∴； 又∵平分， ∴， ∴（对顶角相等）； ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵直线，相交于点O， ∴， ∵， ∴； 又∵平分， ∴， ∴（对顶角相等）； ∵， ∴， ∴， ∴； 2．（23-24七年级下·河北邢台·阶段练习）如图，直线，交于点O，，分别平分和． (1)若，求的度数． (2)在（1）的条件下，若，吗？请说明理由． 【答案】(1)的度数为 (2)平行，理由见解析 【分析】本题考查了平行线的判定，角平分线的定义，对顶角相等，熟记平行线的判定方法是解题的关键． （1）先求出，进而求出，，然后求出，进而可求出的度数； （2）先证明，然后根据内错角相等两直线平行即可得证． 【详解】（1），， ． ， ，， ， 平分， ， ， 的度数为． （2）平行． 理由：由（1）可知． ， ， ． 3．（21-22六年级下·山东威海·期末）已知：，直线过点，平分． (1)如图1，当在的外部时，若，则_______； (2)如图2，当经过的内部时，若，求的度数； (3)比较（1）（2），你有什么发现？______________． 【答案】(1)20° (2)∠BOE=75° (3)∠BOE＝∠AOC 【分析】（1）已知∠AOB＝90°，则∠AOC＋∠BOD＝90°，根据∠AOC＝40°可求得∠DOB＝50°，再根据角平分线的定义求得∠DOE＝70°，则∠BOE可求； （2）首先根据已知求得∠AOD的度数，再求出∠BOD的度数，进一步求出∠BOE即可； （3）通过（1）（2）求出的∠BOE的结果可以发现：∠BOE＝∠AOC． 【详解】（1）解：（1）∵∠AOB＝90°， ∴∠AOC＋∠BOD＝90°， ∵∠AOC＝40°， ∴∠DOB＝50°， ∴∠AOD＝90°+50°=140°， ∵OE平分∠AOD， ∴∠DOE＝∠AOD＝70°， ∴∠BOE＝∠DOE−∠DOB＝70°−50°＝20°． 故答案为：20°． （2）解：∵∠AOC＝150°， ∴∠AOD＝30°， ∵OE平分∠AOD， ∴∠DOE＝∠AOD＝15°， ∵∠AOB＝90°， ∴∠BOD＝60°， ∴∠BOE＝∠DOE＋∠DOB＝15°＋60°＝75°． （3）解：通过（1）中求出的，，此时， 通过（2）求出的，，此时∠BOE＝∠AOC； 综上分析可知，∠BOE＝∠AOC． 【点睛】本题主要考查了角的计算以及角平分线的定义，解题的关键是根据垂直的定义和角平分线的定义，正确表示出各个角之间的关系． 4．（20-21六年级下·山东威海·期末）我们曾解决过这样的问题： 如图1，点O在直线AB上，OC，OD分别平分∠AOE，∠BOE，可求得∠COD＝90°．（不用求解）若点O在直线AB上，∠COD＝90°，OE平分∠BOC． (1)如图2，若∠AOC＝50°，求∠DOE的度数； (2)将图2中的∠COD按图3所示的位置进行放置，写出∠AOC与∠DOE度数间的等量关系，并写明理由． 【答案】(1)； (2)∠DOE=∠AOC． 【分析】（1）先求出∠COB，利用角平分线定义再求∠COE，最终求∠DOE的度数； （2）设∠AOC=，再根据（1）中的求解过程，用含的式子表示两个角的数量关系． 【详解】（1）解：∵∠COD=， ∴∠AOC+∠BOD=， ∵∠AOC=， ∴∠BOD=； ∴∠COB=∠COD+∠BOD=； ∵OE平分∠BOC， ∴∠COE=∠BOC==， ∴∠DOE=∠COD－∠COE==． （2）解：设∠AOC=，则∠BOC=； ∵OE平分∠BOC， ∴∠BOE=； ∵， ∴． ∴∠AOC与∠DOE等量关系为：． 【点睛】本题考查了角的和差，角的平分线，平角的性质，整式加减的应用，关键是弄清角之间的关系，利用数形结合的思想求解． 题型二 根据平行线的性质探究角的关系 5．（23-24六年级下·山东烟台·期末）已知直线，点为平面上一点，连接与．    (1)如图①，点在直线、之间，说明：； (2)如图②，点在直线、之间，与的平分线相交于点，利用（1）中的结论，写出与之间的数量关系，并说明理由； (3)如图③，点落在与外，与的角平分线相交于点，（2）中与之间的数量关系是否仍然成立？并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)；理由见解析 (3)成立；理由见解析 【分析】本题主要考查平行的性质，角之间的关系，角平分线的性质，熟练掌握平行的性质是解题的关键． （1）过点P作，根据平行的性质得到，即可证明结论； （2）根据，分别平分，，得到即可证明． （3）分别过点P，Q作，根据平行的性质得到，角平分线的性质得到，即可得到答案． 【详解】（1）说明：过点P作， ， ， ， ， ， ， ；    （2）解： 说明：由（1）知，， ，分别平分，， ，， ， 即； （3）解：成立 说明：分别过点P，Q作， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又与的角平分线相交于点Q， ，， ， 即．    6．（23-24六年级下·山东烟台·期末）【阅读材料】 在利用平行线的性质解答角的问题时，有时需要添加辅助线来帮助解答．辅助线的添加既可以产生新的条件，又能将题目中的原有条件联系在一起． 例：如图①，，M，N分别为直线上的点，E为之间一点，连接得到．请说明． 解：过点E作． 因为，所以． 因为，所以． 所以． 因为，所以． 【问题解决】 如图，，M，N分别为直线上的点． (1)如图②，E为之间一点，锐角和钝角的角平分线所在的直线交于点F，与交于点G． ①若，，求，的度数； ②若，，求的度数（用含的代数式表示）； (2)如图③，E，F均为之间的点，，请直接写出的度数． 【答案】(1)①；；② (2) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，三角形内角和定理，角平分线的定义，熟练掌握平行线的判定与性质，准确做出辅助线是解题关键 （1）如图，过点E作，根据平行线的判定与性质以及三角形内角和结合角平分线定义即可求出结果；过点E作，根据平行线的判定与性质以及三角形内角和结合角平分线定义即可求出结果； （2）过点作，过点F作，根据平行线的判定与性质以及三角形内角和即可求出结果； 【详解】（1）解：①如图，过点E作， ， ， ， ； ∵锐角和钝角的角平分线所在的直线交于点F ， ， ， ， ， ； ②如图，过点E作， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ，， ， ， ； （2）如图，过点作，过点F作， ， ， ，， ， ，， ， 7．（23-24六年级下·山东济南·期末）如图，已知． (1)感知与探究： 如图1，已知请求出的度数； (2)问题迁移： 如图2，、分别是的角平分线，的反向延长线与相交于点F，猜想与之间的数量关系，并说明理由； (3)联想拓展： 在（2）的条件下，若，则的度数是_____________． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】本题主要考查角平分线的性质、平行线的性质，熟记有关平行线的各种模型是解题关键 （1）过点C作，根据平行线的性质易得，以此即可求解． （2）过点F作，过点C作，由平行线的性质得，由角平分线的性质得，，于是，再由角平分线的性质得，以此可得，结合①②即可得． （3）利用（2）中的结论求解即可． 【详解】（1）如图，过点C作， 则， ∴， ∴， ∴． （2）．理由如下： 如图，过点F作，过点C作， 则， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由①②可得，即． （3）由（2）知，， ∵， ∴． 故答案为：． 8．（23-24六年级下·山东东营·期末）【问题情境】 在综合实践课上，老师组织班上的同学开展了探究两角之间数量关系的数学活动，如图1，已知直线，点E、G分别为直线、上的点，点F是平面内任意一点，连接、． 【探索发现】 当时，求证：； 【深入探究】 （2）如图2点P、Q分别是直线CD上的点，且，直线，交于点K，“智胜小组”探究与之间的数量关系．请写出它们的关系，并说明理由； （3）如图3，在（2）的探究基础上，，“科创小组”探究与之间的数量关系．请直接写出它们的关系，不需要说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）；理由见解析；（3），理由见解析 【分析】本题主要考查了利用平行线的性质探求角的度数及关系，根据图准确作出辅助线是解题关键． （1）过F作，可得，再根据两直线平行内错角相等，可推出，从而得出结果； （2）与之间的数量关系为，利用平行线的性质即可求证； （3）过点M作，设，利用平行线的性质即可求证． 【详解】证明：（1）如图所示，过F作， ， ， ∴，， ∴， ∵， ∴； （2）与之间的数量关系为，理由如下： 设， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （3）∵， ∴设， 过点M作， ； ， ， ∴， 根据解析（2）可知，， ∴， ∴， 又∵， ∴． 题型三 根据平行线的性质求角的度数 9．（23-24六年级下·山东烟台·期末）已知，，平分交于点G． (1)如图1，，判断与的位置关系，并说明理由； (2)如图2，，当时，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定定理和性质是解题的关键． （1）根据同位角相等两直线平行证明，进而求出，再根据角平分线的性质即可证明； （2）根据题意得到，根据平行线的性质结合角平分线的定义求解即可． 【详解】（1）解：， 理由如下：， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ． 10．（23-24六年级下·山东烟台·期末）探究：如图①，，，若，求的度数． 请将下面的解答过程补充完整，并填空． 解：因为， 根据______， 所以______． 因为， 根据______， 所以______． 所以． 因为， 所以______°． 应用：如图②，，， 若，求的度数．（不必注明理由） 【答案】两直线平行，同位角相等；；两直线平行，内错角相等；；． 【分析】本题考查了平行线的性质，根据平行线的性质求解即可得出答案． 探究：根据平行线的性质求解即可； 应用：根据平行线的性质求解即可． 【详解】解：探究： 因为， 根据两直线平行，同位角相等， 所以． 因为， 根据两直线平行，内错角相等， 所以． 所以． 因为， 所以； 应用： 因为，， 所以， 因为， 所以， 所以． 11．（22-23六年级下·山东烟台·期末）如图，，点是射线上一动点(不与点重合)，分别平分和，交射线于两点．    (1)求的度数； (2)当点运动到使时，求的度数； (3)当点运动时，与的度数之比是否随之发生变化?若不变，求出与的度数之比；若变化，请说明变化规律． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 【分析】（1）根据平行线的性质可得，再根据角平分线的定义可得即可； （2）根据三角形内角和定理得，再根据平行线的性质以及角平分线的定义可得，即可得结论； （3）根据平行线的性质以及角平分线的定义可得，，结合角平分线定义可得结论． 【详解】（1）解：，， ， ，分别平分和， ，， ， ； （2）当时， 又， ， ， ， ，， ， ， ； （3）当点运动时，：：， 理由：， ，， 平分， ， ：：：． 【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，角平分线的定义，其中理解题意，熟悉角之间的关系是解决问题的关键． 题型四 平行线的性质在生活中的应用 12．（21-22六年级下·山东东营·期末）实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．如图1，一束光线m射到平面镜a上，被a反射后的光线为n，则入射光线m、反射光线n与平面镜a所夹的锐角． (1)利用这个规律人们制作了潜望镜，图2是潜望镜工作原理示意图，AB、CD是平行放置的两面平面镜．已知光线经过平面镜反射时，有，，请解释进入潜望镜的光线m为什么和离开潜望镜的光线是平行的？（请把证明过程补充完整） 理由：∵（已知）， ∴（① ）， ∵，（已知）， ∴（② ）， ∴，即：， ∴（③ ） (2)显然，改变两面平面镜AB、CD之间的位置关系，经过两次反射后，入射光线m与反射光线n之间的位置关系会随之改变，如图3，一束光线m射到平面镜AB上，被AB反射到平面镜CD上，又被CD反射．若被CD反射出的光线n和光线m平行，且，则∠6=______°，∠ABC=______°． (3)请你猜想：图3中，当两平面镜AB、CD的夹角∠ABC=______°时，可以使任何入射光线m经过平面镜AB、CD的两次反射后，与反射光线n平行、请说明理由． 【答案】(1)①两直线平行，内错角相等；②等量代换；③内错角相等，两直线平行； (2)96，90 (3)当时，可以使任何入射光线m经过平面镜AB、CD的两次反射后，与反射光线n平行，理由见解析 【分析】（1）根据两直线平行内错角相等得，根据角之间的关系等量代换得，即可得，根据内错角相等两直线平行即可得； （2）由题意得，，，即可得，根据得，可得，即可得，根据三角形内角和定理即可得； （3）由（1）得，，，根据，得，即可得，等量代换得即，根据三角形内角和定理即可得． 【详解】（1）证明：∵（已知）， ∴（①两直线平行，内错角相等 ）， ∵，（已知）， ∴（②等量代换 ）， ∴，即：， ∴（③内错角相等，两直线平行 ） 故答案为：①两直线平行，内错角相等；②等量代换；③内错角相等，两直线平行； （2）解：由题意得，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：96，90． （3）当时，可以使任何入射光线m经过平面镜AB、CD的两次反射后，与反射光线n平行，理由如下： 解：由（1）得，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，解题的关键是理解题意，掌握平行线的判定与性质． 13．（21-22七年级下·江苏泰州·阶段练习）光线照射到镜面会产生反射现象，由光学知识，入射光线与镜面的夹角与反射光线与镜面的夹角相等，例如：在图1中，有∠1＝∠2． (1)如图2，已知镜子MO与镜子ON的夹角∠MON＝90°，请判断入射光线AB与反射光线CD的位置关系，并说明理由； (2)如图3，有一口井，已知入射光线AO与水平线OC的夹角为50°，当平面镜MN与水平线OC的夹角为 °，能使反射光线OB正好垂直照射到井底； (3)如图4，直线EF上有两点A、C，分别引两条射线AB、CD．∠BAF＝120°，∠DCF＝40°，射线AB、CD分别绕A点、C点以3度/秒和1度/秒的速度同时逆时针转动，设时间为t秒，在射线AB转动一周的时间内，是否存在某时刻，使得CD与AB平行？若存在，求出所有满足条件的时间t． 【答案】(1)ABCD，理由见解析 (2)70 (3)在射线AB转动一周的时间内，存在时间t，使得CD与AB平行，其t=10s或100s． 【分析】（1）计算∠ABC+∠BCD的值便可得出结论； （2）先计算出∠AOB，进而得∠AOM+∠BON的值，再根据入射光线与镜面的夹角与反射光线与镜面的夹角相等，得出结果； （3）分四种情况讨论：当0s≤t≤20s时，当20s＜t≤40s时，当40s＜t≤80s时，当80s＜t≤120s时，根据角度大小变化关系锁确ABCD时的t值． 【详解】（1）解： ABCD．理由如下： ∵∠1=∠2，∠3=∠4， ∴∠ABC=180°-∠1-∠2=180°-2∠2，∠BCD=180°-∠3-∠4=180°-2∠3， ∴∠ABC+∠BCD=360°-2（∠2+∠3）， ∵∠BOC=90°， ∴∠2+∠3=90°， ∴∠ABC+∠BCD=180°， ∴AB∥CD； （2）解：∵∠AOC=50°，∠BOC=90°， ∴∠AOM+∠BON=180°-90°-50°=40°， ∵∠AOM=∠BON， ∴∠AOM=∠BON=20°， ∴∠COM=20°+50°=70°，∠CON=20°+90°=110°， ∴当平面镜MN与水平线OC的夹角为70°时，能使反射光线OB正好垂直照射到井底， 故答案为：70； （3）解：①当0s≤t≤20s时，如下图， 若ABCD，则∠BAC=∠ACD， 即120+3t=140+t， 解得t=10， ∴当t=10s时ABCD； ②当20s＜t≤40s时，如下图， 有∠BAE＜90°＜∠ACD，则AB与CD不平行； ③当40s＜t≤80s时，如下图， 有∠BAC＜∠ACD，AB与CD不平行； ④当80s＜t≤120s时，如下图， 若ABCD，则∠BAC=∠DCF， 即3t-240=t-40， 解得t=100， ∴当t=100s时，ABCD； 综上可知，在射线AB转动一周的时间内，存在时间t，使得CD与AB平行，其t=10s或100s． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，关键是应用分类讨论思想解决问题． 14．（24-25七年级下·吉林·期中）在学习完《相交线与平行线》后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣，蔡老师围绕平行线的知识在班级开展课题学习活动，探究平行线的“等角转化”功能． (1)【问题初探】如图1，，，求证：． (2)【拓展探究】在（1）的条件下，试问与之间满足怎样的数量关系？并说明理由． (3)【迁移应用】 ① 路灯维护工程车的工作示意图如图2，工作篮底部与支撑平台平行，已知，则 ； ② 一种路灯的示意图如图3所示，其底部支架与吊线平行，灯杆与底部支架所成锐角，顶部支架与灯杆所成锐角，求与所成锐角的度数． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3)①；②与所成锐角的度数为 【分析】本题考查平行线的判定和性质，平行线的应用，掌握平行线的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）根据平行线的判定定理可得，再根据平行线的性质定理可得，结合可得，即可证明； （2）过点F作交于点G，则，根据平行线的性质即可证明； （3）①参照（2）中方法，构造平行线，利用平行线的性质求解；②过点E作，根据平行线的判定定理和性质定理求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：， 证明：过点F作交于点G， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴； （3）解：①如图，作，则， ，， ， 故答案为：； ② 过点E作， 由题意可知：，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即：与所成锐角的度数为． 15．（22-23七年级下·辽宁营口·期中）货轮在南沙群岛发生故障，南沙海上搜救中心接到险情报告后立即派出海洋救助船前往执行任务，海洋救助船从O点出发向北偏西方向行驶到点A时，接到货轮因空载在飘移的消息，于是向左转继续航行．利用直尺画出大致方位图，并求出此时海洋救助船的航行方向是什么？ 【答案】作图见解析，南偏西 【分析】本题考查了方向角的定义，平行线的性质，余角的定义，掌握平行线的性质是解题的关键． 根据平行线的性质，方向角的定义及余角的定义可得到正确的选项． 【详解】解：过点作东西方向的直线，如图， 根据题意可知：， ∴南偏西， 题型五 根据平行线的性质与判定求角的度数 16．（23-24六年级下·山东烟台·期末）如图，点B在上，点C在外，连接，． (1)利用尺规，过点B作射线，使；（保留画图痕迹，作出所有符合条件的射线，不必写作法；不同的射线可用，，…来分别表示） (2)在（1）的条件下，若，请求出的度数． 【答案】(1)见解析； (2)或． 【分析】（1）利用平行线的判定定理，作，注意射线包括两条； （2）利用平行线的性质求解即可． 【详解】（1）解：如图所示：射线和就是所要求做的射线. （2）解：当时，， 所以 当时，， 综上所述：为或． 【点睛】本题考查射线的定义，作一个角等于已知角，平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，注意射线有两条． 17．（23-24六年级下·山东淄博·期末）如图，在四边形中，点，分别在边，上（点，不与顶点，，重合），连接，．已知，．    (1)试问与相等吗？请说明理由； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)．理由见解析； (2)的度数为． 【分析】本题主要考查了平行线的判定及性质，熟练掌握平行线的判定及性质是解题的关键． （1）根据平行线的性质得，又由，得，从而根据平行线的判定及性质即可得解； （2）有平行线的性质得，再根据，得，，从而根据，，得，从而即可得解． 【详解】（1）解：．理由如下： 因为，， 所以，， 又因为，， 所以，， 所以，， 所以，； （2）解：因为，， 所以，， 因为，， 所以，， 所以，， 所以，， 因为，，， 所以，， 所以，． 所以，的度数为． 18．（22-23六年级下·山东淄博·期末）如图1，，，，求的大小．小明的解题思路：过点P作，通过平行线的性质来求．    (1)按小明的解题思路，求度数； (2)如图2，已知直线，直线a，b分别与直线m，n相交于点B、D和点A、C．点P在线段BD上运动（不与B、D两点重合），记，，问与，之间有何数量关系？判断并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】（1）利用平行线的判定和性质进行求解即可； （2）过P作交AC于E，利用平行线的判定和性质进行求解即可． 【详解】（1）解：过P作，如图：    所以， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以， 所以； （2），理由如下：过P作交AC于E，如图：    因为， 所以， 所以，， 所以． 【点睛】本题考查平行线的判定和性质，解题的关键是过拐点构造平行线． 19．（22-23六年级下·山东烟台·期末）课题学习：平行线的“等角转化”功能． (1)阅读理解：如图，已知点是外一点，连接、，求的度数．阅读并补充下面推理过程．    解：过点作，所以　　，　　， 又因为， 所以．    解题反思：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将、、“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决． (2)方法运用：如图1，已知，求的度数； (3)深化拓展：已知直线，点为平面内一点，连接、． ①如图2，已知，，请直接写出的度数； ②如图3，请判断、、之间的数量关系，并说明理由．    【答案】(1)； (2) (3)①；②，理由见解析 【分析】（1）根据两直线平行内错角相等即可得出结论； （2）过点作，根据两直线平行同旁内角互补得出，，即可得到最后结论； （3）①的度数为，过点作，根据平行线性质求得，，即可求得的度数；②，过点作，根据平行线性质得到，，即可退出最后结论． 【详解】（1）解：过点作， ，， 又因为， 所以；    （2）解：如图，过点作，   ， ， ， ， ， ， ； （3）解：①的度数为；    理由：过点作， ， ， ， ， ， ， ； ②，    理由：过点作， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，解答本题的关键是正确作出辅助线，利用平行线的性质进行推理． 20．（20-21七年级下·山东济南·期中）如图1，，点A、C分别在射线和上，． (1)若，则 ； (2)小明同学发现：无论如何变化，的值始终为定值，并给出了一种证明该发现的辅助线作法：如图2，过作A作，交于M．请你根据小明同学提供的辅助线（或自己添加其它辅助线），确定该定值，并说明理由； (3)如图3，若把题干中的“改为“”，其它条件保持不变，试猜想与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)．理由解解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定： （1）过点F作，如图，由已知，，根据平行线的性质可计算出的度数，由，可计算出的度数，由平行线的性质即可得出答案； （2）由已知条件，根据平行线的性质可得，计算出的度数，由平行线的性质可得，由即可得出答案； （3）过点A作与相交与点N，再同（2）求解即可． 【详解】（1）解：过点F作，如图所示， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：； （2）解：该定值为．理由如下： ∵，， ∴，． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴无论如何变化，的值始终为定值，且该定值为． （3）解：．理由如下： 过点A作，交于点N，如图所示， ∵，， ∴，． ∵， ∴． ∴． ∴． 题型六 根据平行线的性质与判定证明 21．（23-24六年级下·山东东营·期末）如图，点、分别在、上，于点，，与互余，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了垂直的定义，三角形内角和定理，互余的定义，平行线的证明与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据，推出，根据与互余，以及，推出，从而得到，再根据平行线的性质，得到． 【详解】证明： 与互余 22．（23-24六年级下·山东威海·期末）如图，在四边形中，，延长至点E，连接，作，的角平分线，分别交于点F，G，且．试判断是否平行，并说明理由． 【答案】，理由见解析 【分析】本题考查平行线的判定和性质，角平分线的定义，先根据角平分线的定义得到，，即可得到，然后根据平行线的性质得到，进而得到，即可得到结论． 【详解】解：，理由为： ∵、平分，， ∴，， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 23．（23-24六年级下·山东济南·期末）如图，，相交于点，，．    (1)与平行吗？请说明理由； (2)若，求的度数． 【答案】(1)平行，理由见解析 (2) 【分析】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键． （1）根据平行线的判定与性质求解即可； （2）根据平行线的性质及邻补角定义求解即可． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ， ， ， ∴； （2）解：∵，， ， ． 24．（23-24六年级下·山东威海·期末）如图，点在上，，，．写出图中存在平行关系的线，并写出理由． 【答案】，，见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，根据已知条件，结合平行线的性质与判定即可得出结论． 【详解】解：，． ①对于： ， ． ， ． ． ②对于： ， ． ． 题型七 平行线与三角板综合 25．（22-23六年级下·山东东营·期末）如图，将一直角三角板放在两条平行线之间，可以求两角之和或两角之差．    (1)在图甲中，容易求得．则在图乙中，可以求得的度数为______； (2)在图丙中，请问，的数量关系式是什么？并说明理由； (3)在图丁中，请问，的数量关系式是什么？并说明理由． 【答案】(1) (2)，详见解析 (3)，详见解析 【分析】（1）根据平角的性质可得，，由此即可求解； （2）如图所示：过三角板的直角顶点作的平行线，根据平行线的性质可得，，由此即可求解； （3）如图所示，过点作，根据平行线的性质可得，，，由此即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，    ∵，，且， ∴， ∴图乙中的度数为， 故答案为：． （2）解：，理由如下： 如图所示：过三角板的直角顶点作的平行线，    ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， ∴． （3）解：，理由如下：    如图所示，过点作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查平行线的性质，三角板的相关计算，掌握两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补；直角三角形中角度的数量关系等知识是解题的关键． 26．（21-22六年级下·山东烟台·期末）如图把一个含有30°角的直角三角板的直角顶点放在直线上，，、两点在平面上移动，请根据如下条件解答： (1)如图1，若点在直线上，点在直线的下方，，求的度数． (2)如图2，若点在平行直线，内部，点在直线的下方，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出，再根据平行线的性质求出∠3即可解决问题； （2）过点作，则，根据平行线的性质可得，，然后结合已知求出即可解决问题． 【详解】（1）解：如图1，由题意可知，，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）如图2，过点作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟知两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等是解题的关键． 27．（23-24七年级下·云南文山·阶段练习）小明对一副直角三角板在平行线间的位置进行研究，已知． (1)如图①，小明将含角的直角三角板中的点A落在直线上，若，则的度数为______； (2)如图②，小明将含角的直角三角板中的点D，F分别落在直线上，若平分，则是否平分？请说明理由． (3)小明将三角板与三角板按如图③所示方式摆放，点B与点F重合，求的度数． 【答案】(1) (2)平分，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了三角板中角度计算问题、平行线的性质、角平分线性质、三角形内角和定理： （1）先根据角度求出角度和，然后根据两直线平行，内错角相等即可得到结果； （2）先根据角平分线的性质得到，再根据两直线平行，内错角相等，可得到，即可求得； （3）先作辅助线，根据三角尺得到角度，根据两直线平行，同旁内角互补可得到，再根据三角形内角和可求得结果； 准确找到各个角度是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴ 故答案为：； （2）解：平分，理由如下： ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即平分； （3）解：延长交于点G，如图所示： ， 由题可得：，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即． 28．（21-22六年级下·山东烟台·期末）如图，将一副直角三角尺（其中，）的直角顶点C叠放在一起．保持三角尺BCE不动，三角尺ACD的CD边与CB边重合，然后将三角尺ACD绕点C按逆时针方向转动，形成． (1)如图①，当时，吗？为什么？ (2)如图②，试说明与的大小关系． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，说明见解析 【分析】（1）证出∠D＝∠BCD，由平行线的判定可得出结论； （2）由∠ACE＋∠ECD＋∠DCB＋∠DCE＝180°，∠ACE＋∠ECD＋∠DCB＝∠ACB可得出结论． 【详解】（1）解：． 理由如下： ，， ， ， ， 根据“内错角相等，两直线平行”可得； （2）解：． 说明如下： ， ， ， ． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，旋转的性质等知识．熟练掌握平行线的判定是解题的关键． 题型八 平行线与旋转综合 29．（23-24六年级下·山东烟台·期末）如图，点A、B分别在直线上，，，平分，将射线绕点B以每秒的速度顺时针方向旋转，射线绕点A以每秒的速度顺时针方向应转，设旋转时间为，当与平行时，求旋转时间t的值． 【答案】5或35 【分析】本题考查角平分线的定义、平行线的性质、解一元一次方程，分类讨论：当时，当时，当时，根据平行线的性质列方程求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， 当时，，如图， 此时，，， ∵， ∴，即， 解得； 当时，，如图， 此时，，， ∵， ∴，即， 解得（舍）， 当时，，如图， 此时，，， ∵， ∴，即， 解得， 故当与平行时，旋转时间t的值为5或35． 30．（22-23七年级下·河北保定·阶段练习）如图所示是驱逐舰、巡洋舰两艘舰艇参与某次演练的情景，已知，． (1)已知驱逐舰在方向上航行，巡洋舰在方向上航行，假设在航行过程中各自航行方向保持不变，试判断这两艘舰艇会不会相撞？请说明理由； (2)已知驱逐舰到达点C后沿继续航行，巡洋舰到达点E后沿继续航行，且，．若驱逐舰在原航向上向左转动后，才能与巡洋舰航向相同，求的值． 【答案】(1)不会，理由见解析 (2) 【分析】（1）根据平行线的判定证明，利用平行线的定义判断即可； （2）判断出若与巡洋舰航向相同，则，利用平行公理得到，求出，即可求出的值． 【详解】（1）解：不会，理由是： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴这两艘舰艇不会相撞； （2）如图，若要驱逐舰与巡洋舰航向相同， 则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，平行公理，解题的关键是读懂题意，了解实际情景的意义． 31．（21-22七年级下·江苏常州·期末）去年汛期期间，防汛指挥部在某重要河流的一段危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看河水及两岸河堤的情况．如图1，灯A射线自AM顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线自BP顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是15度/秒，灯B转动的速度是5度/秒．假定这一带两岸河堤是平行的，即PQMN，且∠BAN=45°． (1)若灯B射线先转动4秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？ (2)如图2，两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前．若灯A射出的光束与灯B射出的光束交于点C，过C作CD⊥AC交PQ于点D，则在转动过程中，∠BAC与∠BCD的数量关系是否发生变化？若不变，请直接写出其数量关系；若改变，请说明理由． 【答案】(1)2秒或17秒 (2)不变， 【分析】（1）设A灯转动x秒时两灯的光束互相平行，分两种情况进行讨论：①在灯A射线转到AN之前；②在灯A射线转到AN之后．分别求得x的值即可． （2）设灯A转动的时间为x秒，根据角的和差关系分别用含x的代数式表示出∠BAC和∠BCD，即可得到两角的数量关系． 【详解】（1）设A灯转动x秒时两灯的光束互相平行， ①当0＜x＜12时， 15x＝(x＋4)×5， 解得x＝2； ②12＜x＜24时， 180−15(x−12)＝(4＋x)×5， 解得x＝17； ③24＜x＜32时， 15(x−24)＝(4＋x)×5， 解得x＝38， 38＞32，不符合题意，舍去． 综上所述，当A灯转动2秒或17秒时两灯的光束互相平行． （2）设灯A转动的时间为x秒， 则∠MAC＝15x，∠PBC＝5x． ∴∠CAN＝180°−15x， ∴∠BAC＝45°−（180°−15x）＝15x−135°， ∵PQ∥MN， ∴∠BCA＝∠PBC＋∠CAN＝180°−10x． ∵∠ACD＝90°， ∴∠BCD＝90°−∠BCA＝10x−90°＝10（x−9°）， ∵∠BAC＝15x−135°＝15（x−9°）， ∴∠BAC：∠BCD＝3：2， 即2∠BAC＝3∠BCD． 【点睛】本题考查了平行线的性质及角的和差关系，分类讨论是解题的关键． 题型九 与平行线有关的定值问题 32．（23-24七年级下·山东临沂·期末）已知，点M，N分别是、上的点，点G在、之间，连接、． (1)如图1．若，已知的平分线交的平分线于点H．求的度数； (2)如图2．若点P是下方一点，平分，平分，已知．证明：为定值． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查平行的常见模型，对于平行的辅助线添加，可过转折点处作已知直线的平行线，再利用平行的性质求解．关于度数的定值问题，可以借助代数式求证． （1）过点作，利用平行线的性质得到，过点作，利用平行的性质得到对应的角度关系，进而求取的值； （2）根据角平分线的定义求出，，，设，求出，，相减即可证明． 【详解】（1）解：如图所示，过点作， ， ， ，， ， ， ． 过点作， ，，， 平分，平分， ， ， ，， ； （2）如图所示，将与的交点记作， 平分，且， ，， 平分， ， 设， ， 由（1）同理可得，， ， ， 在中，， ，即为定值． 33．（24-25七年级下·广东广州·期中）如图，已知射线，连接，点是射线上的一个动点（与点不重合），分别平分和，分别交射线于点． (1)当时，求的度数； (2)判断是否为定值？若是定值，请求出这个定值；若不是，请说明理由； (3)当时，求的度数． 【答案】(1) (2)为定值，这个定值为 (3)当时，的度数为 【分析】本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义，掌握以上知识，数形结合分析是关键． （1）根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，由此即可求解； （2）根据提议设，则，由此即可求解； （3）设，根据平行线的性质，角平分线的定义得到，，则，由此即可求解． 【详解】（1）解：， ， ∵分别平分和， ； （2）解：为定值， ∵平分， ∴设， ， ， ， 为定值，这个定值为2； （3）解：∵平分， ∴设， 由（2）知：， ， ，， ， ， ， ， 又， ． ∴当时，的度数为． 34．（24-25七年级下·江苏南通·期中）已知直线，将一个含角的直角三板按如图1所示位置摆放，使分别在上，P在之间，设． (1)比较：_______（填“>”“<”或“=”）； (2)如图2，分别画的平分线，交于点Q，求的度数； (3)如图3，在（2）的条件下，若平分，交于点E，过点N作，交于点F．请在图3中补全图形，并判断的大小是否是一个定值？若是，请求出它的值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的性质，平角的性质，通过平行线构造等角是解答本题的关键． （1）通过辅助线构造等角得出和，进而得出结论； （2）由平行线的性质得出，在平角中求出，进而求出 ，再同（1）可求出的大小； （3）根据题意补全图形，先由平行线的性质求出然后角平分线的性质求出，最后通过角的和差关系求得 ，结合（1）即可求出结果． 【详解】（1）解： 如图， 过点作平行于， 则， ， ， ， 故答案为：； （2）解：∵， ， ， ∴由（1）结论同理可得：， ， ； （3）解：根据题意补全图形如下： ∵， ， ， ， ， ∵平分， ， ∵平分 ， ， ， 由（1）知， ， 故的大小为定值，度数是 ． 题型十 与平行线有关的热考模型 35．（23-24六年级下·山东烟台·期末）【认识模型】 如图①，已知，我们发现．我们称这种模型为平行线的“猪脚模型”，我们怎么说明这个结论呢？ 张山同学：如图②，过点作，把分成与的和，然后分别说明，； 李思同学：如图③，过点作，则，再说明． 【探索模型】 （1）请按张山同学的思路，写出说明过程； （2）请按李思同学的思路，写出说明过程． 【应用模型】 （3）如图④，已知，平分，平分．若，请利用“猪脚模型”的结论，直接写出的度数______． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）． 【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）过点作，利用平行线的性质证明即可； （2）过点作交的延长线于．利用平行线的性质证明即可； （3）由角平分线的定义得出，，设，，则，由题意得出，由平行线的性质得出，由平角的定义得出，计算即可得出答案． 【详解】解：（1）如图②中，过点作， 因为，， 所以， 所以， 所以． （2）如图③中，过点作交的延长线于． 因为， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以， 所以． （3）如图④中， ∵平分，平分， ∴，， 设，，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即． 36．（24-25七年级下·河南商丘·阶段练习）图1为一幅动漫截图，图2是从图中抽象出的“青蛙模型”，已知，，，． (1)________；与的位置关系是________； (2)求的度数． 【答案】(1)115；平行 (2) 【分析】本题考查平行线的性质，平行公理的推论： （1）根据平行线的性质和平行公理的推论，作答即可； （2）根据平行线的性质，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴；； 故答案为：115；平行； （2）∵，， ∴， 由（1）知：， ∴． 37．（24-25七年级下·山西晋中·期中）【阅读理解】 “两条平行线被第三条直线所截”是平行线中的一个重要的“基本图形”．与平行线有关的角都存在着这个“基本图形”中，当发现题目的图形“不完整”时要添加适当的辅助线将其补充完整．将“非基本图形”转化为“基本图形”这体现了转化思想． 【建立模型】 （1）如图①已知，点E在直线之间，则___________． （2）如图②已知，点E在直线之间，请写出与之间的关系，并说明理由． 【解决问题】 （3）奥运会过后掀起一股滑雪的热潮，很多同学纷纷来到滑雪场，想亲身感受一下奥运健儿在赛场上风驰电掣的感觉，但是第一次走进滑雪场的你，学会正确的滑雪姿势是最重要的，正确的滑雪姿势是上身挺直略前倾，与小腿平行，使脚的根部处于微微受力的状态，如图所示，，如果人的小腿与地面的夹角，求出身体与水平线的夹角的度数． 【答案】（1）；（2）；见解析；（3） 【分析】本题主要考查了平行线的性质，理解题意，熟练掌握运用平行线的性质是解题的关键． （1）过点作，得，从而得，，进而求角度即可得解； （2）过点作，利用平行线的性质即可解答 （3）延长交直线于点，利用平行线的性质得出，再由两直线平行，内错角相等即可得出结果． 【详解】解：（1）如图，过点作， ，， ， ，， ， ，， ， 故答案为：； （2），理由如下： 如图②，过作直线， ， ， ， ； （3）解：如图，延长交直线于点， ， ， ， ． 38．（23-24七年级下·江西景德镇·期中）【问题背景】同学们，我们一起观察小猪的猪蹄，你会发现一个我们熟悉的几何图形，我们就把这个图形形象的称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系． (1)如图①，，E为，之间一点，连接、，得到．试探究与、之间的数量关系，并说明理由． (2)【类比探究】请你利用上述“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的问题：如图②，若，点E、F为直线、之间两个点，连接、、，，求的值．并说明理由． (3)【拓展延伸】如图③，如图，，平分，平分，、的反向延长线相交于点H，，求的值．写出必要的求解过程． 【答案】(1)，证明见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题考查的是角平分线的定义，平行公理的应用，平行线的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键； （1）过E作，根据平行线的性质求解即可； （2）如图，过作，过作，证明，可得，，，再结合角的和差关系可得答案． （3）如图，分别过作，的垂线，由（1）可得：，，证明，，，，可得，可得，过作的平行线，而，可得，从而可得答案． 【详解】（1）解：， 理由如下： 过E作，如图，    ∵， ∴， ∴， ∴， 即； （2）如图，过作，过作， ∵， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴． （3）如图，分别过作，的垂线，， ∴， ∵， ∴， 由（1）可得：，， ∵平分，平分， ∴，， ∴，，，， ∵ ∴， ∴， ∴， 过作的平行线，而， ∴， ∴，， ∴， ∴． 39．（24-25七年级下·山东临沂·期中）问题情境： 找两根长度差不多的木棒和平行放置在桌面上并固定，用一根橡皮筋将两根木棒的一个端点连接起来，并在橡皮筋上打一个结，如图1，，点在上． 探究一：一组同学是这样进行操作的：将橡皮筋点向外拉，变成如图2，使点在的右侧，同学们称这种模型为“铅笔头模型”，探究，，之间的关系，同学们的思路是：如图3，过点作的平行线，通过平行线性质和判定，可得之和是________，请你在图3中作出图形，并说明理由． 探究二：二组同学的操作正好相反，将橡皮筋向里推，变成如图4，点在的左侧，同学们称这种模型为“猪脚模型”，仿照一组同学们的思路可得，，之间的数量关系是________． 同学们随后结合一、二两个小组的探究结论进行深度探究． 探究三：三组的同学同时进行把橡皮筋向外拉和向里推两种操作，变成如图5所示的图形，通过分析研究，它们提出了如下的问题：已知，，求的大小（用含有，的代数式表示）． 探究四：四组的同学不甘示弱，提出如下问题：如图6，的平分线与的平分线相交于点，且，，探究与之间的数量关系，请你直接写出结果：________． 【答案】探究一：，理由见解析；探究二：；探究三：；探究四：或 【分析】本题主要考查了平行线的性质和角平分线、等分角的运用，解决问题的关键是作辅助线构造同旁内角以及内错角，依据平行线的性质进行推导计算，解题时注意类比思想的运用． 探究一：过点作，利用平行线的传递性和两直线平行同旁内角互补，即可得出结论； 探究二：过点作，利用平行线的传递性和两直线平行内错角相等，即可得出结论； 探究三：过点作，过点作，过点作，利用平行线的传递性和两直线平行内错角相等，即可得出结论； 探究四：过点作，过点作，利用平行线的传递性和两直线平行同旁内角互补得出，再利用角平分线得出，根据三等分角和两直线平行内错角相等得出． 【详解】解： 探究一：，理由如下， 如图所示，过点作， 又∵， ， ∴， 即， 故答案为：； 探究二：，理由如下， 如图所示，过点作， 又∵， ， ∴， 即； 探究三：，理由如下， 如图所示，过点作，过点作，过点作， 又∵， ， ， 即； 探究四：或，理由如下， 如图所示，过点作，过点作， 又∵， ， , ， ∵平分，平分， ， 又∵，， ， 故或． 40．（23-24七年级下·安徽芜湖·期末）【阅读理解】两条平行线间的拐点问题经常可以通过作一条直线的平行线进行转化． 已知直线，P为平面内一点，连接，． （1）如图1，已知，则的度数为______； （2）如图2，设，猜想α，β，之间的数量关系，并证明； （3）如图3，，，交于点O，，求的度数． 【答案】（1）；（2），证明见解析；（3） 【分析】本题考查了平行线的性质，垂线定义理解．注意掌握辅助线的作法，数形结合思想的应用． （1）过点P作，根据平行线的公理得出，根据平行线的性质得出，，最后求出； （2）过点P作，则，根据平行线的性质得出，，求出，得出，得出，即可得出答案； （3）根据，得出，求出，得出，根据，得出，即可得出答案． 【详解】解：（1）过点P作，如图所示： ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； （2）过点P作， ， ， ，， ，， ， ． （3）， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． $$