专题04 图形的相似（考题猜想，15大题型）-2024-2025学年八年级数学下学期期末考点大串讲（鲁教版）

专题04 图形的相似（15大题型） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 题型一 利用相似多边形的性质求解 题型二 构造平行线利用平行线分线段成比例求解 题型三 相似三角形的性质与判定综合 题型四 证明三角形对应线段成比例 题型五 相似三角形与函数综合 题型六 与相似三角形有关的动点问题 题型七 相似三角形的实际应用 题型八 与相似三角形有关的新定义问题 题型九 几何模型— 子母型 题型十 几何模型— 一线三等角 题型十一 几何模型— 手拉手模型 题型十二 几何模型— 十字架模型 题型十三 几何模型— 半角模型 题型十四 几何模型— 三角形内接四边形模型 题型十五 几何模型--- 射影定理 题型一 利用相似多边形的性质求解 1．（20-21八年级下·山东淄博·期末）如图，四边形四边形，且，，，，，，．    (1)请直接写出：　　度； (2)求边和的长． 2．（24-25九年级上·甘肃张掖·阶段练习）如图，把一个矩形划分成三个全等的小矩形． (1)若，，每个小矩形与矩形相似吗？请说明理由； (2)如果两个多边形仅有对应角分别相等，那么它们______；（填“相似”或“不一定相似”） (3)若长，宽，且每个小矩形与矩形相似，求与应满足的关系式． 3．（23-24九年级下·全国·课后作业）在的矩形花坛四周修筑小路． (1)如图①，如果四周小路的宽均相等，且宽度为x，那么矩形和矩形相似吗？请说明理由； (2)如图②，如果互相平行的两条小路的宽相等，且宽度分别为，试问：当两条小路的宽x与y的比值为多少时，矩形和矩形相似？请说明理由． 题型二 构造平行线利用平行线分线段成比例求解 4．（2023·河北石家庄·模拟预测）阅读材料： 角平分线分线段成比例定理：如图1，在中，平分，则． 下面是这个定理的部分证明过程： 证明：如图2，过点C作，交的延长线于点E．…… 解决问题： (1)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余过程； (2)如图3，在中，是角平分线，，，，求的长． 5．（23-24八年级下·山东聊城·期末）如图，正方形边长为3，G，F是对角线的三等分点，点E在边上，，连接． (1)求的长． (2)试判断与之间的位置关系，并说明理由． 6．（24-25九年级上·山东济南·期末）某校数学兴趣小组的同学在学习了“图形的相似”后，利用相关知识进行了深入研究． （一）合作探究 （1）如图1，在中，平分交于点．兴趣小组的同学得出．如图2，理由如下： 过点作，交的延长线于点． ① ， 平分 ② 请完成填空：①________________；②___________________； （二）内化迁移 （2）已知：如图3，为的边延长线上一点，连接，为边延长线上一点，． 求证：平分． （三）问题解决 （3）如图4，正方形边长为9，为边上一点，为延长线上一点．为正方形内部一动点，连接并延长交于点，连接，若，平分交于点，为中点，，连接，．求的最小值． 7．（24-25九年级上·山东济南·阶段练习）如图，为边上的中线，为上的点，连接并延长，交于． (1)若是的中点，则______； (2)若，则______； (3)若，则______； (4)若，猜想______，并证明． 题型三 相似三角形的性质与判定综合 8．（23-24八年级下·山东淄博·期末）如图，在平行四边形中，点在边上，交于点，． (1)求证：； (2)如果． ①求的长； ②若，求的长． 9．（23-24八年级下·山东威海·期末）如图，已知四边形是平行四边形，延长至点E，使得，连接交于点F，连接．过点E作交的延长线于点G，连接． (1)判断四边形的形状，并说明理由． (2)若，判断四边形的形状，并说明理由． (3)若四边形是正方形，则需要满足 ． 10．（23-24八年级下·山东威海·期末）如图，，，． (1)如图1，不添加辅助线，请写出图中所有相似三角形； (2)如图2，若点E落在边上，求证：； (3)如图3，若点H，I，J分别为，，中点，判断与的数量关系及夹角度数（锐角）． 11．（23-24八年级下·山东烟台·期末）如图，在中，，D是上一点，，连接． (1)如图①，求证：； (2)如图②，若，，当点D移动到使时，求的长度； (3)如图③，作交的延长线于点F，求证：． 题型四 证明三角形对应线段成比例 12．（23-24八年级下·山东烟台·期末）如图，在四边形中，，与交于点，． (1)求证：； (2)若，求的值． 13．（2024·山东泰安·三模）已知：如图，在菱形中，点E是边上的任意一点（不与点D、C重合），交对角线于F，过点E作．交于点G． (1)问题探究：求证：； (2)迁移运用：当时，求证：． 14．（22-23八年级下·山东泰安·期末）如图，在中，平分交于点，过点作交于点．    (1)求证：； (2)若，，求． 题型五 相似三角形与函数综合 15．（23-24八年级下·山东烟台·期末）请阅读下面的研究材料： 如图①，直线与双曲线交于、，与坐标轴交于、，则． 证明：如图，过，作坐标轴的垂线交于点，连接． 易知轴，轴，且， 故． ，即． 又，， ． ，四边形和都是平行四边形， ． 请根据以上阅读，解答下列问题： (1)如图②，直线与双曲线交于、两点，与坐标轴交于、两点．请根据上面方法的理解，求证：； (2)如图②，若一次函数关系式是，且，请用上述研究的结论求的值． 16．（22-23八年级下·山东德州·期末）如图，直线l：与轴交于点，与轴交于点． (1)求点与点的坐标； (2)直线与直线平行，且与轴交于点，与轴交于点，若使，求直线的解析式． 17．（22-23八年级下·山东烟台·期末）平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点，，直线l：经过A，B两点，直线l分别交x轴，y轴于D，C两点．    (1)求反比例函数与一次函数的解析式； (2)当直线l向下平移b个单位时，与的图象有唯一交点，求b的值； (3)在y轴上是否存在一点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 18．（20-21八年级下·山东烟台·期末）如图，正比例函数与反比例函数的图象有一个交点轴于点B，平移直线，使其经过点B，得到直线． （1）求直线的函数表达式； （2）如果直线与反比例函数相交于点C，作轴于点D．求证：点B是线段OD的黄金分割点． 题型六 与相似三角形有关的动点问题 19．（22-23八年级下·山东烟台·期中）如图，在中，，，．点、分别在、上，且点以的速度由点向点运动，同时点以的速度由点向点运动，当其中一点到达终点时运动停止，设运动时间为（）．    (1)当时，求的值； (2)在运动过程中，是否存在一个时刻，使线段的长度为？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由． 20．（22-23八年级下·山东东营·期末）如图，在中，，，，点从点A出发沿方向以的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以的速度向点A匀速运动，设点、运动的时间是秒，过点作于点，连接，．    (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当为何值时，四边形为菱形？说明理由； (3)当为何值时，与相似？说明理由． 21．（21-22八年级下·山东青岛·期末）如图，在四边形ABCD中，，．点P从A点出发，沿AB向点B匀速运动，同时点Q从B点出发，沿BC向点C匀速运动，运动速度均为的速度，当其中一点到达终点时，两点都停止运动．设运动时间为． (1)求线段AB的长度； (2)t为何值时，以B、P、Q为顶点的三角形与相似？ (3)是否存在某一时刻t，使得四边形的面积等于？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由． (4)是否存在某一时刻t，使？若存在，直接写出此时t的值；若不存在，说明理由． 题型七 相似三角形的实际应用 题22．（23-24八年级下·山东烟台·期末）如图，有一块锐角三角形的余料，它的边，，要把它加工成菱形零件，使菱形的一边在上，其余的两个顶点分别在，上．若于点，交于点，，求的长度． 23．（23-24八年级下·山东威海·期末）某学校数学课外活动小组测量校园内一棵树的高度．采用的方法如下：如图，首先把支架放在离树适当距离的水平地面上点处，再把镜子水平放置在支架上点处，然后观测者沿着直线后退至点处，这时恰好在镜子里看到树的顶端．用皮尺分别测得，．若观测者目高为，支架的高为，求这棵树的高度． 24．（23-24九年级上·贵州贵阳·期末）在学习了光的反射定律后，数学综合实践小组想利用光的反射定律（反射角等于入射角）测量池塘对岸一棵树的高度，测量步骤如下： ①如图，在地面上的点E处放置一块平面镜（镜子大小忽略不计），小阳站在的延长线上，当小阳从平面镜中刚好看到树的顶点A时，测得小阳到平面镜的距离m，小阳的眼睛点C到地面的距离m； ②将平面镜从点E沿的延长线移动6m放置到点H处，小阳从点D处移动到点G，此时小阳的眼睛点F又刚好在平面镜中看到树的顶点A，这时测得小阳到平面镜的距离m．请根据以上测量过程及数据求出树的高度． 25．（22-23八年级下·山东威海·期末）如图，嘉嘉同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡在点处，手电筒的光从平面镜上点处反射后，恰好经过木板的边缘点，落在墙上的点处，点到地面的高度，点到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，墙到木板的水平距离为．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点、、、在同一水平面上．求灯泡到地面的高度．      题型八 与相似三角形有关的新定义问题 26．（22-23八年级下·山东东营·期末）定义：如图①，若点P在的边上，且满足，则称点P为的“理想点”．    (1)如图②，若点D是的边的中点，，，试判断点D是不是的“理想点”，并说明理由． (2)在中，，，，若点D在边上，且是的“理想点”，求的长． 27．（23-24九年级上·山东青岛·期中）【模型定义】 如果正方形的一边落在三角形的一边上，其余两个顶点分别在三角形的另外两条边上，则这样的正方形叫做三角形的内接正方形． 【问题探究】 （1）如图①，在中，，边上的高，是的内接正方形，设正方形的边长是x，求证：；    （2）在中，，，，请在图②，图③中分别画出可能的内接正方形，并根据计算回答哪个内接正方形的面积最大；    【拓展延伸】 （3）在锐角中，，，，且，请问这个三角形的内接正方形中哪个面积最大？并说明理由． 28．（24-25九年级上·山东济南·阶段练习）新定义：若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，则称这个三角形为比例三角形．例如：三边的长分别为，，．因为，所以是比例三角形． 【问题提出】 （1）已知中，，， 判断是否为比例三角形． 【问题探究】 （2）如图1，P是矩形的边上的一动点，平分，交边于点Q，． ①求证：； ②求证：是比例三角形． 【问题延伸】 （3）如图2，在（2）的条件下，当，时，点C与点Q能否重合？若能，求出的值；若不能，请说明理由． 题型九 几何模型— 子母型 29．（2023九年级上·浙江·专题练习）如图，在三角形中，点D在边上，点E在边上，且， (1)求证：； (2)若，求的长． 30．（23-24九年级上·甘肃白银·期末）如图，点D，E分别在的边，上，．求证：． 题型十 几何模型— 一线三等角 31．（23-24八年级上·山东青岛·期中）如图，在中，，点从运动到，且． (1)求证：； (2)若，，求当长为多少时，． 32．（23-24八年级下·山东淄博·期末）如图，在正方形中，点E，F分别在边上，于点E； (1)求证：． (2)若，求的值． 33．（23-24八年级下·山东济南·期末）如图，四边形是矩形，，，点在第四象限． (1)求的长； (2)求点的坐标． 34．（23-24八年级下·山东东营·期末）（1）如图①，在矩形中，E为边上一点，连结过点E作交于点F． ①求证：． ②若，，E为的中点，求的长． （2）如图②，在中，，，，为边上一点（点不与点A、B重合），连结，过点E作交于点F，当为等腰三角形时，的长为多少？    35．（23-24八年级下·山东东营·阶段练习）（1）问题：如图1，在四边形中，点P为上一点，当时，求证：． （2）探究：若将角改为锐角或钝角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？请说明理由． （3）应用：如图3，在中，，，以点A为直角顶点作等腰．点D在上，点E在上，点F在上，且，则的长． 题型十一 几何模型— 手拉手模型 36．（23-24八年级下·山东烟台·期末）【问题呈现】 （1）如图1，和是两个有公共顶点A的等边三角形，连接，．求的值． 【类比探究】 （2）如图2，和是两个有公共顶点A的等腰直角三角形，，连接，．求证：． （3）如图3，和是两个有公共顶点A的直角三角形，，连接，．若能，请直接写出此时与的数量关系． 37．（23-24九年级下·山东烟台·期末）【基础巩固】 （1）如图 1，和是直角三角形，一锐角顶点重合于点 A，，，求证：； 【尝试应用】 （2）如图2，在和中，直角顶点重合于点C，，点D在上，，且，连接，若，求的长； 【拓展提高】 （3）如图3，在中，，点D为边上一点，，E为延长线上一点，，过点A作，交的延长线于点Q．请直接写出的值． 38．（21-22八年级下·山东烟台·期末）问题呈现：（1）如下图，和都是等边三角形，连接，，求证：； 类比探究：（2）如下图，和都是等腰直角三角形，，连接，，求的值； 拓展提升：（3）如下图，和都是直角三角形，，且，连接，，直接写出的值． 题型十二 几何模型— 十字架模型 39．（2023·江西上饶·模拟预测）综合与探究    (1)如图1，在正方形中，点E，F分别在边上，且，则线段与的之间的数量关系为_____________； (2)【类比探究】如图2，在矩形中，，点E，F分别在边，上，且，请写出线段与的数量关系，并证明你的结论． (3)【拓展延伸】如图3，在中，，D为上一点，且，连接，过点B作于点F，交于点E，求的长． 40．（21-22九年级下·吉林长春·开学考试）【问题呈现】如图，是矩形的边上的一点，于点，，，，证明，并计算点到直线的距离（结果保留根号）．    (1)结合图①，完成解答过程． (2)【拓展探究】在图①的基础上，延长线段交边于点，如图②，求的长． (3)如图③，，是矩形的边，上的点，连接，将矩形沿翻折，使点的对称点与点重合，点的对称点为点．若，，求的长． 41．（2024·山东聊城·三模）【实践探究】 （1）如图1，在矩形中，，，交于点E，则的值是________； 【变式探究】 （2）如图2，在平行四边形中，，，，交于点E，求的值； 【灵活应用】 （3）如图3，在矩形中，，点E，F分别在，上，以为折痕，将四边形翻折，使得的对应边恰好经过点D，交于点I，过点D作交于点P．若，且与的面积比为，求的值．    42．（21-22九年级下·广东揭阳·阶段练习）某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究：    ［观察与猜想］ (1)如图①，在正方形中，点、分别是、上的两点，连接、、，则的值为__________． (2)如图②，在矩形中，，，点是上的一点，连接、，且，则的值为__________________． [类比探案] (3)如图③，在四边形中，，点为上一点，连接，过点作的垂线交的延长线于点，交的延长线于点，求证：． 题型十三 几何模型— 半角模型 43．（2024·江西九江·三模）课本再现 （1）将两个等腰直角三角形（，）按如图1所示的方式摆放（图中所有的点、线都在同一平面内），则与相似的三角形有 ．（填序号） ①；②；③． 类比迁移 （2）将两个等腰直角三角形（）按如图2所示的方式摆放，点D在边上． ①求证：． ②如图3，若D是的中点，与交于点G，与交于点H，，连接，求的长． 拓展应用 （3）如图4，在中，，点D，E分别在边上，且，若，，求的长． 题型十四 几何模型— 三角形内接四边形模型 44．（2024·江西吉安·模拟预测）一块材料的形状是锐角三角形，下面分别对这块材料进行课题探究： 课本再现： （1）在图1中，若边，高，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在，上，这个正方形零件的边长是多少? 类比探究 （2）如图2，若这块锐角三角形材料可以加工成3个相同大小的正方形零件，请你探究高与边的数量关系，并说明理由． 拓展延伸 （3）①如图3，若这块锐角三角形材料可以加工成图中所示的4个相同大小的正方形零件，则的值为_______（直接写出结果）； ②如图4，若这块锐角三角形材料可以加工成图中所示的相同大小的正方形零件，求的值． 45．（2023九年级上·全国·专题练习）如图，在中，，高，正方形一边在上，点分别在上，交于点，求的长． 46．（20-21九年级上·山东潍坊·期末）如图，矩形内接于（矩形各顶点在三角形边上），，在上，，分别在，上，且于点，交于点． （1）求证：； （2）若，，设，矩形的面积为，求出与之间的函数表达式，并写出自变量的取值范围． 题型十五 几何模型--- 射影定理 47．（2023·山东日照·一模）操作与研究：如图，被平行于的光线照射，于D，在投影面上． (1)指出图中线段的投影是______，线段的投影是______． (2)问题情景：如图1，中，，，我们可以利用与相似证明，这个结论我们称之为射影定理，请证明这个定理． (3)【结论运用】如图2，正方形的边长为15，点O是对角线的交点，点E在上，过点C作，垂足为F，连接， ①试利用射影定理证明； ②若，求的长． 48．（23-24九年级上·湖南邵阳·期中）材料阅读：直角三角形射影定理又称“欧几里德定理”．定理的内容是：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项：每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．这一定理可以描述如下： 如图，在中，满足条件：，是斜边上的高，则有如下结论成立：①    ②    ③    ④    (1)自主探究：请证明结论③ 已知：在中，是斜边上的高，求证： (2)直接运用：运用射影定理解决下面的问题： 如图，在中，，是斜边上的高，若，求的长． $$专题04 图形的相似（15大题型） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 题型一 利用相似多边形的性质求解 题型二 构造平行线利用平行线分线段成比例求解 题型三 相似三角形的性质与判定综合 题型四 证明三角形对应线段成比例 题型五 相似三角形与函数综合 题型六 与相似三角形有关的动点问题 题型七 相似三角形的实际应用 题型八 与相似三角形有关的新定义问题 题型九 几何模型— 子母型 题型十 几何模型— 一线三等角 题型十一 几何模型— 手拉手模型 题型十二 几何模型— 十字架模型 题型十三 几何模型— 半角模型 题型十四 几何模型— 三角形内接四边形模型 题型十五 几何模型--- 射影定理 题型一 利用相似多边形的性质求解 1．（20-21八年级下·山东淄博·期末）如图，四边形四边形，且，，，，，，．    (1)请直接写出：　　度； (2)求边和的长． 【答案】(1)83 (2)， 【分析】（1）根据相似多边形的对应角相等以及四边形内角和360度解决问题即可． （2）利用相似多边形的对应边成比例，解决问题即可． 【详解】（1）解：∵四边形四边形， ∴， ∴， 故答案为：83． （2）解：∵四边形四边形， ∴， ∴， ∴，． 【点睛】本题考查相似多边形的性质，四边形内角和定理等知识，解题的关键是掌握相似多边形的性质，灵活运用所学知识解决问题． 2．（24-25九年级上·甘肃张掖·阶段练习）如图，把一个矩形划分成三个全等的小矩形． (1)若，，每个小矩形与矩形相似吗？请说明理由； (2)如果两个多边形仅有对应角分别相等，那么它们______；（填“相似”或“不一定相似”） (3)若长，宽，且每个小矩形与矩形相似，求与应满足的关系式． 【答案】(1)不相似；理由见解析 (2)不一定相似 (3) 【分析】本题考查了相似多边形的性质， （1）根据划分后小矩形的长为，宽为，可得，进而可判断结论； （2）根据相似多边形的定义，即可求解． （3）根据划分后小矩形的长为，宽为，再根据每个小矩形与原矩形相似，可得，从而可得与的关系式． 【详解】（1）解：不相似．理由如下： ∵原矩形的长，宽， ∴划分后小矩形的长为，宽为， 又∵，即原矩形与每个小矩形的边不成比例， ∴每个小矩形与原矩形不相似． （2）因为两个边数相同的多边形的角对应相等，边对应成比例，则这两个多边形相似， 所以如果两个多边形仅有对应角分别相等，那么它们不一定相似， 故答案为：不一定相似． （3）∵原矩形的长，宽，把一个矩形划分成三个全等的小矩形． ∴划分后小矩形的长为，宽为， 又∵每个小矩形与原矩形相似， ∴ ∴，即． 3．（23-24九年级下·全国·课后作业）在的矩形花坛四周修筑小路． (1)如图①，如果四周小路的宽均相等，且宽度为x，那么矩形和矩形相似吗？请说明理由； (2)如图②，如果互相平行的两条小路的宽相等，且宽度分别为，试问：当两条小路的宽x与y的比值为多少时，矩形和矩形相似？请说明理由． 【答案】(1)不相似，见解析 (2)，见解析 【分析】此题考查了相似多边形的判定．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用． （1）首先设四周的小路的宽为x，易得，则可判定：小路四周所围成的矩形和矩形不相似； （2）由相似多边形的性质可得：当时，小路四周所围成的矩形和矩形相似，继而求得答案． 【详解】（1）解：不相似，理由如下： 如果四周的小路的宽均相等，那么小路四周所围成的矩形和矩形不相似； 设四周的小路的宽为x， ∵，， ∴， ∴小路四周所围成的矩形和矩形不相似； （2）解：当小路的宽x与y的比值为时， 矩形和矩形相似． 理由如下： 当矩形和矩形相似时，解得 所以当小路的宽x与y的比值为时，矩形和矩形相似． 题型二 构造平行线利用平行线分线段成比例求解 4．（2023·河北石家庄·模拟预测）阅读材料： 角平分线分线段成比例定理：如图1，在中，平分，则． 下面是这个定理的部分证明过程： 证明：如图2，过点C作，交的延长线于点E．…… 解决问题： (1)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余过程； (2)如图3，在中，是角平分线，，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，角平分线的定义，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解决问题的关键． （1）过点作，交的延长线于点，由，可求证，，，可得，即可求解； （2）根据（1）中的结论即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴，，． ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵是角平分线， ∴． ∵，，， ∴，解得，经检验符合题意． 故的长为． 5．（23-24八年级下·山东聊城·期末）如图，正方形边长为3，G，F是对角线的三等分点，点E在边上，，连接． (1)求的长． (2)试判断与之间的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查正方形的判定和性质，勾股定理，平行线分线段成比例定理，勾股定理的逆定理等： （1）过点F作于点M，于点N，先证四边形为正方形，根据得出，最后由勾股定理解即可求解； （2）利用勾股定理的逆定理证明为直角三角形，即可得出． 【详解】（1）解：过点F作于点M，于点N， ∵四边形为正方形， ∴， ∴ 又∵， ∴四边形为正方形， ∴， ∵点F为三等分点， ∴， ∴， 又∵G为中点，， ∴， ∴， 在中，． （2）解：， 理由：连接， 在中，， 由（1）知， ∴， 在中，， ∴， ∴为直角三角形， ∴． 6．（24-25九年级上·山东济南·期末）某校数学兴趣小组的同学在学习了“图形的相似”后，利用相关知识进行了深入研究． （一）合作探究 （1）如图1，在中，平分交于点．兴趣小组的同学得出．如图2，理由如下： 过点作，交的延长线于点． ① ， 平分 ② 请完成填空：①________________；②___________________； （二）内化迁移 （2）已知：如图3，为的边延长线上一点，连接，为边延长线上一点，． 求证：平分． （三）问题解决 （3）如图4，正方形边长为9，为边上一点，为延长线上一点．为正方形内部一动点，连接并延长交于点，连接，若，平分交于点，为中点，，连接，．求的最小值． 【答案】（1）①；②；（2）证明见解析；（3） 【分析】（1）根据平行线分线段成比例可得①的答案，根据等腰三角形的性质可得②的答案； （2）如图，过作，交于，可得，，，证明，可得，进一步可得结论； （3）如图，连接，，，求解，可得，，，，，当最小时，即最小；结合，当共线时，，此时最小，由（2）的结论可得：平分，而平分，再进一步可得结论． 【详解】解：过点作，交的延长线于点． ① ，， 平分 ② ． （2）如图，过作，交于， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴平分； （3）如图，连接，，， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∵为中点，正方形边长为9， ∴，，，， ∴最小时，即最小； ∵，当共线时，，此时最小， ∵， 由（2）的结论可得：平分，而平分， ∴， ∵， ∴， 而， ∴的最小值为， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查的是角平分线的定义，平行线分线段成比例，正方形的性质，三角形的三边关系的应用，理解题意，确定最小值时的位置是解本题的关键． 7．（24-25九年级上·山东济南·阶段练习）如图，为边上的中线，为上的点，连接并延长，交于． (1)若是的中点，则______； (2)若，则______； (3)若，则______； (4)若，猜想______，并证明． 【答案】(1) (2) (3) (4)，理由见解析 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，三角形中位线定理，解题的关键是： （1）取中点G，连接，根据三角形中位线定理得出，根据平行线分线段成比例得出，然后根据比例的性质求解即可； （2）仿照（1）求解即可； （3）仿照（1）求解即可； （4）仿照（1）求解即可． 【详解】（1）解：取中点G，连接，则， ∵为边上的中线， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， 又 ∴， 即， 故答案为：； （2）解：取中点G，连接，则， ∵为边上的中线， ∴， ∴， ∵ ∴， 又 ∴， 即， 故答案为：； （3）解：取中点G，连接，则， ∵为边上的中线， ∴， ∴， ∵ ∴， 又 ∴， 即， 故答案为：； （4）解： 理由：取中点G，连接，则， ∵为边上的中线， ∴， ∴， ∵ ∴， 又 ∴， 即， 故答案为：； 题型三 相似三角形的性质与判定综合 8．（23-24八年级下·山东淄博·期末）如图，在平行四边形中，点在边上，交于点，． (1)求证：； (2)如果． ①求的长； ②若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【分析】本题考查了平行四边形性质，相似三角形性质与判定，平行线分线段成比例，解题的关键是根据平行四边形得到相似三角形的条件． （1）根据平行四边形的性质，知道，，结合，先证明，然后根据相似三角形对应边成比例，得证； （2）①先证明，得到，再证明，得到，解得的长度，最后利用即可求得的长度； ②通过平行线分线段成比例，，算得的长度，再通过，得到，从而算得的长度． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ，， ， ， ， ． ，即； （2）解：①， ， ， ， ， ， ， ， ，即， ，， ， ， ， 解得：（舍去负值）， ； ②， ， ， ， ， ， ，， ， ． 9．（23-24八年级下·山东威海·期末）如图，已知四边形是平行四边形，延长至点E，使得，连接交于点F，连接．过点E作交的延长线于点G，连接． (1)判断四边形的形状，并说明理由． (2)若，判断四边形的形状，并说明理由． (3)若四边形是正方形，则需要满足 ． 【答案】(1)四边形是平行四边形，理由见解析 (2)四边形是矩形，理由见解析 (3)矩形且 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，矩形的判定和正方形的判定，掌握矩形的判定定理是解题的关键． （1）利用证明，即可得到对角线互相平分，证明结论； （2）根据平行四边形的性质得到，则，进而得到，即可得到矩形； （3）根据对角线互相垂直的矩形是正方形解题即可． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形，理由为： ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：四边形是矩形，理由为： ∵四边形是平行四边形， ∴ ∴， ∴，即， 又∵， ∴ ∴， 又∵四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形； （3）解：若四边形是正方形，则需要满足是矩形且， ∵是矩形， ∴， ∵， ∴由（2）知，四边形是矩形， ∴四边形是正方形． 10．（23-24八年级下·山东威海·期末）如图，，，． (1)如图1，不添加辅助线，请写出图中所有相似三角形； (2)如图2，若点E落在边上，求证：； (3)如图3，若点H，I，J分别为，，中点，判断与的数量关系及夹角度数（锐角）． 【答案】(1)，， (2)见解析 (3)，与的夹角度数为 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． （1）根据两个角相等的两个三角形相似解题即可； （2）根据可得，即可得到，然后根据勾股定理得到即可解题； （3）设，，然后根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似得到，即可求出，，然后利用四边形的内角和解题即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， 又∵， ∴， 同理可得：，； （2）证明：∵，， ∴， ∴，即， 又∵，， ∴； （3）解：连接，设直线和交于点K， ∴， ∴， 设，，则，， ∵点H，I，J分别为，，中点， ∴，，， ∴，，即， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． 11．（23-24八年级下·山东烟台·期末）如图，在中，，D是上一点，，连接． (1)如图①，求证：； (2)如图②，若，，当点D移动到使时，求的长度； (3)如图③，作交的延长线于点F，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)； (3)见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质． （1）根据相似三角形的性质，以及比例线段的性质，得到，，即可得证； （2）证明，得到，代值计算即可； （3）根据，推出，证明，推出，进而得到，即可得出结论． 【详解】（1）解：证明：∵ ∴，， ∴，， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （3）证明：∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵交的延长线于点F， ∴， ∴． ∴，即； ∴， ∴． 题型四 证明三角形对应线段成比例 12．（23-24八年级下·山东烟台·期末）如图，在四边形中，，与交于点，． (1)求证：； (2)若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（）证明可得，进而由即可求证； （）设，则，，由（）得，可得，再根据相似三角形的性质即可求解； 本题考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：设，由得，，， 由（）得，，即， 解得或（不合，舍去）， ∵， ∴． 13．（2024·山东泰安·三模）已知：如图，在菱形中，点E是边上的任意一点（不与点D、C重合），交对角线于F，过点E作．交于点G． (1)问题探究：求证：； (2)迁移运用：当时，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判断，菱形的性质： （1）证明，得到，证明得到，则可得，即； （2）如图所示，连接交于O，由菱形的性质得到，，则，证明，得到，即可得到，即． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图所示，连接交于O， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴ 14．（22-23八年级下·山东泰安·期末）如图，在中，平分交于点，过点作交于点．    (1)求证：； (2)若，，求． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由平分交于点，，可证得，，然后由相似三角形的对应边成比例，证得； （2）根据相似三角形的性质解答即可． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴． ∵， ∴， ∴． ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质、平行线的性质以及等腰三角形的判定，注意掌握数形结合思想的应用． 题型五 相似三角形与函数综合 15．（23-24八年级下·山东烟台·期末）请阅读下面的研究材料： 如图①，直线与双曲线交于、，与坐标轴交于、，则． 证明：如图，过，作坐标轴的垂线交于点，连接． 易知轴，轴，且， 故． ，即． 又，， ． ，四边形和都是平行四边形， ． 请根据以上阅读，解答下列问题： (1)如图②，直线与双曲线交于、两点，与坐标轴交于、两点．请根据上面方法的理解，求证：； (2)如图②，若一次函数关系式是，且，请用上述研究的结论求的值． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题主要考查了反比例函数与几何综合，相似三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，一次函数与几何综合： （1）过、分别作坐标轴的垂线交于点，连接，由反比例函数的性质可得，则，据此可得，再证明推出，则可证明四边形和都是平行四边形．进而可证明． （2）先推出，再证明，得到．求出，，得到，，则，，进而可得，则． 【详解】（1）证明：如图，过、分别作坐标轴的垂线交于点，连接， ∴轴，轴，且， ∴， ，即． 又∵， ， ． ， ∴四边形和都是平行四边形． ． （2）解：同（1）过分别作坐标轴的垂线交于点，连接，如图， ，， ∴， ∵， ∴， ． 在中，当时，，当时，， ∴，， ∴， ，， ∴， ， ． 16．（22-23八年级下·山东德州·期末）如图，直线l：与轴交于点，与轴交于点． (1)求点与点的坐标； (2)直线与直线平行，且与轴交于点，与轴交于点，若使，求直线的解析式． 【答案】(1)； (2)或 【分析】本题考查了两条直线相交或平行问题和相似三角形的判定与性质，解题的关键是根据两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解；若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即值相同． （1）利用坐标轴上点的坐标特征求点和点的坐标； （2）先证明，再利用相似的性质得到，则，所以，然后根据两直线平行的问题可写出直线的解析式． 【详解】（1）解：当时，； 当时，， ；； （2）解：， ， ， ， ， 或， 直线的解析式为或． 17．（22-23八年级下·山东烟台·期末）平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点，，直线l：经过A，B两点，直线l分别交x轴，y轴于D，C两点．    (1)求反比例函数与一次函数的解析式； (2)当直线l向下平移b个单位时，与的图象有唯一交点，求b的值； (3)在y轴上是否存在一点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为； (2)b的值为； (3)存在，点Q的坐标为或． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）由题意得，由即可求解； （3）根据题意，分析出符合题意的情况并求解即可． 【详解】（1）解：将代入中得，， 解得：， ∴； 将代入中得，， ∴， 将、代入得， ，解得：， ∴； （2）解：平移后的表达式为：， 由题意可得， 则， ， ∴（舍去）； ∴b的值为； （3）解：如图：    当时， 轴， ∴， 当时， 将代入得， 将代入得， ∴， ∵， ∵， ∴，即， ∴， ∴， 综上，点Q的坐标为或． 【点睛】本题主要考查反比例函数和一次函数的综合应用、三角形的相似，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键． 18．（20-21八年级下·山东烟台·期末）如图，正比例函数与反比例函数的图象有一个交点轴于点B，平移直线，使其经过点B，得到直线． （1）求直线的函数表达式； （2）如果直线与反比例函数相交于点C，作轴于点D．求证：点B是线段OD的黄金分割点． 【答案】（1）；（2）见解析． 【分析】（1）根据反比例函数解析式求出m，确定点A的坐标，求出正比例函数的解析式，设直线的函数表达式为，根据已知条件计算即可； （2）根据已知条件求出点C的横坐标，求出BD，再根据黄金分割的定义计算即可； 【详解】（1）∵反比例函数的图象经过点 ∴， ∴， ∵正比例函数的图象经过点， ∴， 设直线的函数表达式为， ∵直线平行于直线， 直线 的函数表达式为， ∵轴于点B， 点B坐标为（2，0）， ∵直线经过点B， ， ， 直线的函数表达式为； （2）∵直线与反比例函数相交于点C， ， 解得：（舍负）， 点C的横坐标为， ， ， 点B是线段OD的黄金分割点． 【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数的综合、黄金分割率的知识点，准确计算是解题的关键． 题型六 与相似三角形有关的动点问题 19．（22-23八年级下·山东烟台·期中）如图，在中，，，．点、分别在、上，且点以的速度由点向点运动，同时点以的速度由点向点运动，当其中一点到达终点时运动停止，设运动时间为（）．    (1)当时，求的值； (2)在运动过程中，是否存在一个时刻，使线段的长度为？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，，理由见解析 【分析】（1）证，根据相似三角形的性质得出，即可求解； （2）由勾股定理得，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：由题意可知， ， ， ， ，，， ， ， 即 解得：， （2）存在，理由如下： ， ， 即 整理得：， 解得：（舍去） 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用、勾股定理以及相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质和勾股定理是解题的关键． 20．（22-23八年级下·山东东营·期末）如图，在中，，，，点从点A出发沿方向以的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以的速度向点A匀速运动，设点、运动的时间是秒，过点作于点，连接，．    (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当为何值时，四边形为菱形？说明理由； (3)当为何值时，与相似？说明理由． 【答案】(1)详见解析 (2)当时，四边形为菱形，详见解析 (3)①秒；②秒或秒时与相似，详见解析 【分析】（1）由题意知、，根据中得、，由知、，从而得出，据此可得证； （2）由即可得； （3）分∽、∽两种情况，根据相似三角形的性质列出比例式，代入计算即可． 【详解】（1）证明：由题意知，，， 则，， ，，， ，，即． ， ， 四边形是平行四边形； （2）解：四边形是平行四边形，且，， 当，即时，四边形是菱形． 解得， 故当时，四边形为菱形； （3）解：当时，∽， ， ， 秒； 当时，∽， ． ． 秒． 秒或秒时与相似． 【点睛】本题属于相似综合题，主要考查的是菱形的判定、相似三角形的性质、直角三角形的性质，掌握相似三角形的性质定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． 21．（21-22八年级下·山东青岛·期末）如图，在四边形ABCD中，，．点P从A点出发，沿AB向点B匀速运动，同时点Q从B点出发，沿BC向点C匀速运动，运动速度均为的速度，当其中一点到达终点时，两点都停止运动．设运动时间为． (1)求线段AB的长度； (2)t为何值时，以B、P、Q为顶点的三角形与相似？ (3)是否存在某一时刻t，使得四边形的面积等于？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由． (4)是否存在某一时刻t，使？若存在，直接写出此时t的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)AB=25cm (2)或时，以B、P、Q为顶点的三角形与相似 (3)当t=1时，四边形DPQC的面积等于144cm (4)存在，使，理由见解析 【分析】（1）首先利用勾股定理求出AC=15，再利用△ACB∽△CDA，得出求解即可； （2）由（1）知，∠B=∠DAC，分△BPQ∽△ADC时或△BPQ∽△ACD时，分别根据对应边成比例求解即可； （3）作QH⊥AB于H，根据四边形DPQC的面积=S梯形ABCD-S△ADP-S△BPQ，列出方程解方程即可； （4）利用△DAP∽△PHQ，得，化简得一元一次方程，求解即可． 【详解】（1）， ∴由勾股定理得，， ， ∴∠ACB=90°， ∴∠ACB=∠ADC， ， ∴∠ACD=∠CAB， ∴△ACB∽△CDA， ，即， ∴AB=25cm； （2）由题意知，BP=25-5t，BQ=5t， 由（1）知，∠B=∠DAC， 当△BPQ∽△ADC时， ，即， 解得； 当△BPQ∽△ACD时， ，即， 解得； 综上，或时，以B、P、Q为顶点的三角形与相似； （3）过点Q作QH⊥AB于点H， ∵BQ=5t，则QH=3t， ∴四边形DPQC的面积=S梯形ABCD-S△ADP-S△BPQ ， 整理得， 解得t1=1，t2=8(舍去)， ∴当t=1时，四边形DPQC的面积等于144cm2； （4）当DP⊥PQ时， ∴∠DPQ=90°， ∴∠DPA+∠QPH=90， ∵∠APD+∠ADP=90°， ∴∠ADP=∠QPH， ∵∠DAP=∠QHP， ∴△DAP∽△PHQ， ，即， 解得， 存在，使． 【点睛】本题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，一元二次方程的解法等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键，同时注意分类讨论思想的运用． 题型七 相似三角形的实际应用 题22．（23-24八年级下·山东烟台·期末）如图，有一块锐角三角形的余料，它的边，，要把它加工成菱形零件，使菱形的一边在上，其余的两个顶点分别在，上．若于点，交于点，，求的长度． 【答案】为． 【分析】本题考查了相似三角形的应用，主要利用了相似三角形对应边成比例和相似三角形对应高的比等于相似比的性质，菱形的性质．设菱形的边长为，根据菱形的对边平行可得，然后求出，利用相似三角形对应边成比例列式求出，再根据相似三角形对应高的比等于相似比列式计算即可得解． 【详解】解：设菱形的边长为， 菱形对边， ， ， 即， 解得， ， ， 即， 解得， 答：的高为． 23．（23-24八年级下·山东威海·期末）某学校数学课外活动小组测量校园内一棵树的高度．采用的方法如下：如图，首先把支架放在离树适当距离的水平地面上点处，再把镜子水平放置在支架上点处，然后观测者沿着直线后退至点处，这时恰好在镜子里看到树的顶端．用皮尺分别测得，．若观测者目高为，支架的高为，求这棵树的高度． 【答案】． 【分析】本题考查的是相似三角形的应用及矩形的判定及性质，通过作辅助线构造相似三角形，并利用相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键．过点作水平线交于点，交于点，根据镜面反射的性质求出，再根据对应边成比例解答即可． 【详解】解：过点作水平线交于点，交于点，由是水平线，都是铅垂线，则四边形是矩形，四边形是矩形，如图， ，，， ， 又根据题意，得，， ， ，即， 解得：， ， 答：这棵树的高度为． 24．（23-24九年级上·贵州贵阳·期末）在学习了光的反射定律后，数学综合实践小组想利用光的反射定律（反射角等于入射角）测量池塘对岸一棵树的高度，测量步骤如下： ①如图，在地面上的点E处放置一块平面镜（镜子大小忽略不计），小阳站在的延长线上，当小阳从平面镜中刚好看到树的顶点A时，测得小阳到平面镜的距离m，小阳的眼睛点C到地面的距离m； ②将平面镜从点E沿的延长线移动6m放置到点H处，小阳从点D处移动到点G，此时小阳的眼睛点F又刚好在平面镜中看到树的顶点A，这时测得小阳到平面镜的距离m．请根据以上测量过程及数据求出树的高度． 【答案】树的高度为． 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质．证明，列出比例式进行求解即可．解题的关键是证明三角形相似． 【详解】解：由题意可知， ， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 解得，， ∴， 答：树的高度为． 25．（22-23八年级下·山东威海·期末）如图，嘉嘉同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡在点处，手电筒的光从平面镜上点处反射后，恰好经过木板的边缘点，落在墙上的点处，点到地面的高度，点到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，墙到木板的水平距离为．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点、、、在同一水平面上．求灯泡到地面的高度．      【答案】 【分析】根据相似三角形的性质列方程即可求解． 【详解】证明：， 故，即， ， ， ， 光在镜面反射中的入射角等于反射角， ， 又， ， ， ， 解得：， 灯泡到地面的高度为． 【点睛】本题考查相似三角形的应用，由相似得到对应线段成比例是解题的关键． 题型八 与相似三角形有关的新定义问题 26．（22-23八年级下·山东东营·期末）定义：如图①，若点P在的边上，且满足，则称点P为的“理想点”．    (1)如图②，若点D是的边的中点，，，试判断点D是不是的“理想点”，并说明理由． (2)在中，，，，若点D在边上，且是的“理想点”，求的长． 【答案】(1)是，证明见解析 (2) 【分析】（1）由已知可得，从而，，可证点是的“理想点”； （2）由是的“理想点”，当在上时，证明是边上的高，根据面积法可求长度． 【详解】（1）解：点是的“理想点”，理由如下： 是中点，， ，， ， ， ， ， ， ， ， 点是的“理想点”； （2）在上时，如图：    是的“理想点”， 或， 当时， ， ， ，即是边上的高， 当时，同理可证，即是边上的高， 在中，，，， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了相似三角形、勾股定理等知识，解题的关键是理解“理想点”的定义． 27．（23-24九年级上·山东青岛·期中）【模型定义】 如果正方形的一边落在三角形的一边上，其余两个顶点分别在三角形的另外两条边上，则这样的正方形叫做三角形的内接正方形． 【问题探究】 （1）如图①，在中，，边上的高，是的内接正方形，设正方形的边长是x，求证：；    （2）在中，，，，请在图②，图③中分别画出可能的内接正方形，并根据计算回答哪个内接正方形的面积最大；    【拓展延伸】 （3）在锐角中，，，，且，请问这个三角形的内接正方形中哪个面积最大？并说明理由． 【答案】（1）见详解（2）见详解（3）见详解 【分析】（1）由，可得，再根据相似三角形对应高的比等于相似比，求出结果； （2）问哪个内接正方形的面积最大，即看哪个内接正方形的边最长，由（1）可知结果； （3）正方形的一边落在三角形的最短一边上的内接正方形的面积最大． 【详解】解：（1）∵是的内接正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， 则， 即， 故 ∴； （2）根据（1）的结果， 当图②的情况，， 由等面积法，得 即， 此时正方形的边长是； 当图③时，正方形的边长是， 因为，且正方形的面积等于边长的平方， 故图③的情况面积大． （3）根据（1）的结果，设三角形的面积是S，是指三角形的任意一条边，是该边上的高， 即 则， ∵在锐角中，，，，且， ∴当正方形的一边落在三角形的最短一边上时，即最小， 则最大， ∵正方形的面积等于边长的平方， 此时内接正方形的面积最大． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，正方形的性质，新定义内容，难度适中，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 28．（24-25九年级上·山东济南·阶段练习）新定义：若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，则称这个三角形为比例三角形．例如：三边的长分别为，，．因为，所以是比例三角形． 【问题提出】 （1）已知中，，， 判断是否为比例三角形． 【问题探究】 （2）如图1，P是矩形的边上的一动点，平分，交边于点Q，． ①求证：； ②求证：是比例三角形． 【问题延伸】 （3）如图2，在（2）的条件下，当，时，点C与点Q能否重合？若能，求出的值；若不能，请说明理由． 【答案】（1）是比例三角形；（2）①证明见解析；②证明见解析；（3）能， 【分析】本题考查了新定义，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程． （1）根据比例三角形的概念判断即可； （2）①利用两角对应相等，证明即可； ②利用角平分线的定义证明角相等，推出，再利用得到对应边成比例，即可求解； （3）证明，利用相似三角形的性质，列出一元二次方程，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵，，，， ∴ ∴是比例三角形， （2）①证明：四边形是矩形， ， ， 又， ； ②证明：由①知， ，即． ∵， ， 平分， ， ， ， ， 是比例三角形； （3）能， 当点C与点Q重合时，， ， ， ， ， ， ，， ； 在中，，即， 解得或（舍去）， ． 题型九 几何模型— 子母型 29．（2023九年级上·浙江·专题练习）如图，在三角形中，点D在边上，点E在边上，且， (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，证明相似三角形是关键． （1）由可得，即，即可求证； （2）根据题意求出，结合即可求解； 【详解】（1）证明：∵， ∴， 即： ∵ ∴ （2）解：∵， ∴ ∵， ∴ ∴， 解得：（负值舍去）， ∴ 30．（23-24九年级上·甘肃白银·期末）如图，点D，E分别在的边，上，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据同角的补角相等可得，结合为公共角，根据两角对应相等的两个三角形相似即可证明； 【详解】证明：，， ， 在和中， ，， ． 题型十 几何模型— 一线三等角 31．（23-24八年级上·山东青岛·期中）如图，在中，，点从运动到，且． (1)求证：； (2)若，，求当长为多少时，． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定，证明． （1）先根据得出，证明，得出，根据相似三角形性质得出，即可证明结论； （2）根据平行线的性质得出，证明，得出，根据，，求出，即可得出当时，． 【详解】（1）证明：，， ， ，， ， ∴， ， ． （2）解：若， ， 又， ∴， ， ，， ， ， 即当时，． 32．（23-24八年级下·山东淄博·期末）如图，在正方形中，点E，F分别在边上，于点E； (1)求证：． (2)若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，证明相似三角形是解题的关键． （1）由正方形的性质及，易得，，即可得； （2）利用相似三角形的性质及已知，即可求解． 【详解】（1）证明：在正方形中，， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴； ∵，， ∴， ∴． 33．（23-24八年级下·山东济南·期末）如图，四边形是矩形，，，点在第四象限． (1)求的长； (2)求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查矩形的性质、勾股定理和相似三角形的判定和性质， 过点作轴，垂足为，即可求得，结合矩形的性质得，利用勾股定理即可； 过点作轴，垂足为，利用矩形的性质可证明，则有，即可求得和． 【详解】（1）解：过点作轴，垂足为，如图， 在中，， ， ， ， ， ∵， ∴在中，； （2）过点作轴，垂足为，如图， 矩形中，， ， 又， ． ， ， ， ，， ． 34．（23-24八年级下·山东东营·期末）（1）如图①，在矩形中，E为边上一点，连结过点E作交于点F． ①求证：． ②若，，E为的中点，求的长． （2）如图②，在中，，，，为边上一点（点不与点A、B重合），连结，过点E作交于点F，当为等腰三角形时，的长为多少？    【答案】（1）①见解析；②;（2）或 【分析】本题考查了相似三角形的常见模型-“一线三等角”，熟悉相关模型的构成及求证是解题关键． （1）①根据可得即可求证；②根据可得，即可求解；（2）证得，分类讨论，，两种情况即可求解； 【详解】（1）①证明：由题意得： ∴ ∴ ∴ ②解：∵， ∴ ∵E为的中点， ∴ ∴ ∴ （2）解：∵，， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵，， ∴ ∵为等腰三角形且 ∴若，则； 若，则， ∴； 综上所述：或 35．（23-24八年级下·山东东营·阶段练习）（1）问题：如图1，在四边形中，点P为上一点，当时，求证：． （2）探究：若将角改为锐角或钝角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？请说明理由． （3）应用：如图3，在中，，，以点A为直角顶点作等腰．点D在上，点E在上，点F在上，且，则的长． 【答案】（1）见解析；（2）成立；理由见解析；（3）4 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形外角的性质，证明相似是解题的关键． （1）由可得，即可证到，然后运用相似三角形的性质即可解决问题； （2）由可得，即可证到，然后运用相似三角形的性质即可解决问题； （3）证明，得出，根据是等腰直角三角形，得出，根据，求出即可． 【详解】解：（1）证明：， ， ， ， ， 又， ， ， ； （2）结论仍成立；理由如下： ， 又， ， ， ， 又， ， ， ； （3）， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ． 题型十一 几何模型— 手拉手模型 36．（23-24八年级下·山东烟台·期末）【问题呈现】 （1）如图1，和是两个有公共顶点A的等边三角形，连接，．求的值． 【类比探究】 （2）如图2，和是两个有公共顶点A的等腰直角三角形，，连接，．求证：． （3）如图3，和是两个有公共顶点A的直角三角形，，连接，．若能，请直接写出此时与的数量关系． 【答案】（1）；（2）见解析；（3） 【分析】（1）根据等边三角形的性质，证明，再根据全等三角形的性质即可解答即可； （2）根据等腰直角三角形的性质、直角边与斜边的关系可证明，再根据相似三角形的性质对应边的比等于相似比即可解答； （3）根据、，可证，可得，在中，求出，在中，求出，再证，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：（1）∵和都是等边三角形， ∴， ∴， ∴在和中，， ∴， ∴，即． （2）∵和是两个有公共顶点A的等腰直角三角形，， ∴， ∵， ∴，且， ∴， ∴， ∴． （3）∵，， ∴， ∴，即， ∴， 设， 在中，， 同理，在中，设，则， ∴，，即， ∴， ∴，即． 【点睛】本题主要考查等边三角形、等腰直角三角形、直角三角形、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识点，掌握三角形全等的判定和性质，相似三角形的判定和性质是解题的关键． 37．（23-24九年级下·山东烟台·期末）【基础巩固】 （1）如图 1，和是直角三角形，一锐角顶点重合于点 A，，，求证：； 【尝试应用】 （2）如图2，在和中，直角顶点重合于点C，，点D在上，，且，连接，若，求的长； 【拓展提高】 （3）如图3，在中，，点D为边上一点，，E为延长线上一点，，过点A作，交的延长线于点Q．请直接写出的值． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形，综合性强，难度大，属于压轴题．解题的关键是添加辅助线，构造特殊三角形和相似三角形． （1）先由已知条件证明，由相似三角形的性质得出，，进一步可得出，，即可证明． （2）先由已知条件证明，由相似三角形的性质得出，进一步可得出，，即可证明．再由相似三角形的性质得出，设，，由勾股定理求出，代入即可得出答案． （3）在上截取，连接，由已知条件得出，由含直角三角形的性质可求，，再判定是等边三角形，由等边三角形的判定以及性质得出，再求出，通过证明，可求的长，即可求解． 【详解】证明：（1）∵，， ∴， ∴，， ∴ ∴， ∴； （2）∵，， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴设，， 在中，由勾股定理得∶， 即 ∴， ∴ ∴ （3）解：如图3，在上截取，连接， ∵， ∴， 设，则， ∴， ， ，， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ∴， ， ， ， ， 38．（21-22八年级下·山东烟台·期末）问题呈现：（1）如下图，和都是等边三角形，连接，，求证：； 类比探究：（2）如下图，和都是等腰直角三角形，，连接，，求的值； 拓展提升：（3）如下图，和都是直角三角形，，且，连接，，直接写出的值． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了相似三角形的综合题； （1）证明，即可得； （2）证明，可推导出，再证明，可得，设，则，在中，求出，则； （3）由已知可证，则，再证，即可得． 熟练掌握三角形全等的判定及性质，三角形相似的判定及性质是解题的关键． 【详解】解：（1）证明：和都是等边三角形， ，，， ， 即． ， ； （2）解：和都是等腰直角三角形，， ， ， ， ， ， ， 即， ， ， 设，则， 在中，由勾股定理得，， ； （3），， ， ，， ， ， ． 题型十二 几何模型— 十字架模型 39．（2023·江西上饶·模拟预测）综合与探究    (1)如图1，在正方形中，点E，F分别在边上，且，则线段与的之间的数量关系为_____________； (2)【类比探究】如图2，在矩形中，，点E，F分别在边，上，且，请写出线段与的数量关系，并证明你的结论． (3)【拓展延伸】如图3，在中，，D为上一点，且，连接，过点B作于点F，交于点E，求的长． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】（1）由“”可证，可得； （2）通过证明，利用相似三角形的性质，即可求解； （3）过点作的垂线，过点作的垂线，两垂线交于点，延长交于点，勾股定理求得，根据（2）知，求得，证明，利用相似三角形的性质，即可求解． 【详解】（1）解：结论：，理由如下： 设与相交于点P，如图1中，    ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）结论：，理由如下： ∵， ∴． 在矩形中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）如图3，过点A作的垂线，过点C作的垂线，两垂线交于点G，延长交于点H． ∴ ∵，      ∴四边形是矩形． ∵， ∴， ∴， 由（2）知， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，添加恰当辅助线构造相似三角形是本题的关键． 40．（21-22九年级下·吉林长春·开学考试）【问题呈现】如图，是矩形的边上的一点，于点，，，，证明，并计算点到直线的距离（结果保留根号）．    (1)结合图①，完成解答过程． (2)【拓展探究】在图①的基础上，延长线段交边于点，如图②，求的长． (3)如图③，，是矩形的边，上的点，连接，将矩形沿翻折，使点的对称点与点重合，点的对称点为点．若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析，点到直线的距离为， (2) (3) 【分析】本题主要考查了矩形与折叠问题，相似三角形的性质与判定，勾股定理等等： （1）利用矩形的性质得到，，则由勾股定理得到，再证明，．即可证明，则，即，即可求出； （2）证明，得，即，求出，则； （3）如图③，作于，设，则，由折叠的性质可得，进而推出，则，勾股定理得，解得，，，近而得到，在中，可由勾股定理得到． 【详解】（1）解：四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ． ， ，即， ∴， 点到直线的距离为 （2）解：四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ，得，即， ， ； （3）解：如图③，作于，设，则， 将矩形沿翻折，使点的对称点与点重合， ， ， ， ， ， 在中，根据勾股定理得，， ， ，   ，， ， 在中，，． 41．（2024·山东聊城·三模）【实践探究】 （1）如图1，在矩形中，，，交于点E，则的值是________； 【变式探究】 （2）如图2，在平行四边形中，，，，交于点E，求的值； 【灵活应用】 （3）如图3，在矩形中，，点E，F分别在，上，以为折痕，将四边形翻折，使得的对应边恰好经过点D，交于点I，过点D作交于点P．若，且与的面积比为，求的值．    【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）根据题意证明出，即可得到； （2）作于M，交的延长线于N，由得到，勾股定理求出，然后解直角三角形求出，进而求解即可； （3）解法一：过点E作，垂足为Q，勾股定理求出，得到的面积为．的面积为24，然后证明出，同理可证，设，，，求出，然后由，得到； 解法二：延长、交于点M，，由，得到，勾股定理求出，得到的面积为．的面积为24，然后求出，，设，则，列方程得到，然后由相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）∵四边形是平行四边形 ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴； （2）作于M，交的延长线于N， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴．即． 由题意得，， ，． ∴，． ∴．    （3）解法一： 过点E作，垂足为Q， ∵翻折， ∴，，，，， ∴，解得． ∴的面积为．的面积为24． ∵ ∴，， ∵， ∴， ∵ ∴，同理可证． ∴设，，． ∴． ∴．    ∴． ∴，解得，（舍）． ∴． 由，得． 解法二： 延长、交于点M，，    则，即． ∵翻折， ∴，，，，， ∴，解得． ∴的面积为．的面积为24． ∵， ∴． ∴，． 设，则． ∴．解得，（舍）． ∴． 由，得． 【点睛】此题考查了四边形综合题，解直角三角形，相似三角形的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 42．（21-22九年级下·广东揭阳·阶段练习）某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究：    ［观察与猜想］ (1)如图①，在正方形中，点、分别是、上的两点，连接、、，则的值为__________． (2)如图②，在矩形中，，，点是上的一点，连接、，且，则的值为__________________． [类比探案] (3)如图③，在四边形中，，点为上一点，连接，过点作的垂线交的延长线于点，交的延长线于点，求证：． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】（1）先根据正方形的性质得到，，再根据直角三角形的性质可得，然后根据三角形全等的判定定理与性质可得，得到答案． （2）先根据矩形的性质得到，再根据直角三角形的性质得到，然后根据相似三角形的判定与性质得到． （3）先根据矩形的判定与性质可得，，再根据直角三角形的性质得到，从而证明三角形相似，得到证明． 【详解】（1）解：如图，      设与的交点为， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 故答案为． （2）如图，    设与交于点， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为． （3）证明：如图，过点作交的延长线于点，   ，， 四边形为矩形， ， ， ， 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的性质，直角三角形的性质，三角形全等的判定与性质，相似三角形的判定与定理，利用相似三角形的判定与性质，得到相应线段的比例关系是解答本题的关键． 题型十三 几何模型— 半角模型 43．（2024·江西九江·三模）课本再现 （1）将两个等腰直角三角形（，）按如图1所示的方式摆放（图中所有的点、线都在同一平面内），则与相似的三角形有 ．（填序号） ①；②；③． 类比迁移 （2）将两个等腰直角三角形（）按如图2所示的方式摆放，点D在边上． ①求证：． ②如图3，若D是的中点，与交于点G，与交于点H，，连接，求的长． 拓展应用 （3）如图4，在中，，点D，E分别在边上，且，若，，求的长． 【答案】（1）②③；（2）①证明见详解，②5；（3）8 【分析】（1）由和都是等腰直角三角形，得，继而利用“两角对应相等，两三角形相似”得，； （2）①证明，则，即；②由，得到，求得，可求，再运用勾股定理可求； （3）在上取一点F，连接，使，由，求得， 再证明，得到，则有，即可求解． 【详解】（1）解：∵和都是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， 同理可证：， 故答案为：②③； （2）①证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②解：同①可证：， ∴，即， ∵， ∴， 解得：（舍负）， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：在上取一点F，连接，使， ∵是的等腰直角三角形，， ∴， 同上可证：， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴ ∴， 解得：或（舍）， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形的相关计算，三角形的外角定理，等腰三角形的性质，解题的关键在于发现“一线三等角”的相似，正确添加辅助线是解题的关键． 题型十四 几何模型— 三角形内接四边形模型 44．（2024·江西吉安·模拟预测）一块材料的形状是锐角三角形，下面分别对这块材料进行课题探究： 课本再现： （1）在图1中，若边，高，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在，上，这个正方形零件的边长是多少? 类比探究 （2）如图2，若这块锐角三角形材料可以加工成3个相同大小的正方形零件，请你探究高与边的数量关系，并说明理由． 拓展延伸 （3）①如图3，若这块锐角三角形材料可以加工成图中所示的4个相同大小的正方形零件，则的值为_______（直接写出结果）； ②如图4，若这块锐角三角形材料可以加工成图中所示的相同大小的正方形零件，求的值． 【答案】【小问1】 【小问2】，理由见解析 【小问3】①；② 【分析】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解此题的关键． （1）设正方形零件的边长为，则，证明，得到，代入计算即可得出答案； （2）设每个正方形的边长为，证明得出，从而得到，证明，推出，即可得证； （3）①设每个正方形的边长为．证明得出，从而得到，证明，推出，即可得解；②设每个正方形的边长为．证明得出，证明，推出，即可得解． 【详解】解：（1）设正方形零件的边长为，则， ∵， ∴． ∴， ∴， 解得． ∴正方形零件的边长为．         （2）．理由如下：如图． 设每个正方形的边长为． ∵， ∴． ∴， ∴． ∴． ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∴．           （3）①如图， ， 设每个正方形的边长为． ∵， ∴． ∴， ∴． ∴． ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∴； ②如图，设每个正方形的边长为． ∵， ∴． ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴， ． 45．（2023九年级上·全国·专题练习）如图，在中，，高，正方形一边在上，点分别在上，交于点，求的长． 【答案】 【分析】设正方形的边长，易证四边形是矩形，则，根据正方形的性质得出，推出，根据相似三角形的性质计算即可得解． 【详解】解：设正方形的边长， 四边形是正方形， ， ， 是的高， ， 四边形是矩形， ， ， （相似三角形对应边上的高的比等于相似比）， ， ， ， 解得：， ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质．解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质的运用，注意：矩形的对边相等且平行，相似三角形的对应高的比等于相似比． 46．（20-21九年级上·山东潍坊·期末）如图，矩形内接于（矩形各顶点在三角形边上），，在上，，分别在，上，且于点，交于点． （1）求证：； （2）若，，设，矩形的面积为，求出与之间的函数表达式，并写出自变量的取值范围． 【答案】（1）见解析；（2）． 【分析】（1）由四边形是矩形，可得，即可证明； （2）由可表示出的长度，再由矩形的面积，即可求出与之间的函数表达式． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∵， ∴， ∵， ∴， （2）解：∵四边形是矩形， ∴， 又∵， ∴四边形是矩形，设，AN⊥HG ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵矩形的面积， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的性质表示出的长度是解决本题的关键． 题型十五 几何模型--- 射影定理 47．（2023·山东日照·一模）操作与研究：如图，被平行于的光线照射，于D，在投影面上． (1)指出图中线段的投影是______，线段的投影是______． (2)问题情景：如图1，中，，，我们可以利用与相似证明，这个结论我们称之为射影定理，请证明这个定理． (3)【结论运用】如图2，正方形的边长为15，点O是对角线的交点，点E在上，过点C作，垂足为F，连接， ①试利用射影定理证明； ②若，求的长． 【答案】(1)， (2)见解析； (3)①见解析；②． 【分析】（1）根据题意，即可解答； （2）通过证明得到，然后利用比例性质即可得到； （3）①根据射影定理得，，则，即，加上，于是可根据相似三角形的判定得到结论； （2）②先计算出，，，再利用（1）中结论得到，代入数据即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，图中线段的投影是，线段的投影是． 故答案为：，； （2）证明：如图， ∵，， ∴， 而， ∴， ∴， ∴； （3）①证明：如图， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 而， ∴； ②∵， 而， ∴， 在中，， 在中，， ∵， ∴，即， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质和正方形的性质．也考查了射影定理：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项． 48．（23-24九年级上·湖南邵阳·期中）材料阅读：直角三角形射影定理又称“欧几里德定理”．定理的内容是：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项：每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．这一定理可以描述如下： 如图，在中，满足条件：，是斜边上的高，则有如下结论成立：①    ②    ③    ④    (1)自主探究：请证明结论③ 已知：在中，是斜边上的高，求证： (2)直接运用：运用射影定理解决下面的问题： 如图，在中，，是斜边上的高，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，解一元二次方程，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． （1）利用三角形相似证明结论； （2）设长为x，则，根据射影定理可得，求出长，再根据射影定理求出结果即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：设长为x，则， 根据射影定理可知， 即， 解得：，（舍去）， ∴， 又∵， ∴． $$