专题06 反比例函数（考题猜想，14大题型）-2024-2025学年八年级数学下学期期末考点大串讲（浙教版）

专题06 反比例函数（14大题型） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 题型一 待定系数法求反比例函数解析式 题型二 判断/画反比例函数图象 题型三 已知双曲线分布象限，求参数 题型四 已知反比例函数增减性求参数 题型五 比较反比例函数值或自变量的大小 题型六 已知比例系数求特殊图形面积 题型七 根据特殊图形的面积求比例系数 题型八 反比例函数与一次函数交点问题 题型九 与反比例函数有关的新定义问题 题型十一 与反比例函数有关的最值问题 题型十二 与反比例函数有关的存在性问题 题型十三 反比例函数与实际问题 题型十四 与反比例函数有关的跨学科问题 题型一 待定系数法求反比例函数解析式 1．（2025·贵州黔南·一模）如图，平行于y轴的直尺（一部分）与双曲线交于点A和点C，与x轴交于点B和点D，点A，B的刻度分别为，，直尺的宽度为，．（注：平面直角坐标系的1个单位长度为） (1)求点A的坐标及双曲线 的函数关系式； (2)求点C的坐标． 2．（22-23八年级下·浙江·期末）如图，反比例函数的图像经过点． (1)求点的坐标． (2)若点先向左平移个单位，再向下平移个单位，仍落在该反比例函数的图像上，求的值． 3．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）在直角坐标系中，设． (1)已知点都在该函数的图象上． ①求k的值； ②若，求n的值． (2)当时，；当时，，求k的值． 4．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）已知反比例函数的图象经过点． (1)请判断点是否在此反比例函数图象上，并说明理由． (2)已知点和点是反比例函数图象上的两点，， ①若，求的取值范围． ②若，求时，y的取值范围． 题型二 判断/画反比例函数图象 5．（20-21八年级下·江苏南京·期末）问题：我们已经知道反比例函数的图象是双曲线，那么函数y＝的图象是怎样的呢？ 【经验】（1）我们在研究反比例函数的图象和性质的时候是从以下两个方面来探究的： ①由数想形：先根据表达式中x、y的数量关系，初步估计图象的基本概貌．如：形状（直线或曲线）；位置（所在区域、与直线或坐标轴的交点情况）；趋势（上升、下降）；对称性等． ②描点画图：根据已有的函数画图的经验，利用描点画图． （2）我们知道，函数y＝的图象是如图1所示的两条曲线，一支在过点(﹣1，0)且平行于y轴的直线的右侧且在x轴的上方，另一支在过点(﹣1，0)且平行于y轴的直线的左侧且在x轴的下方． 【探索】请你根据以上经验，研究函数y＝的图象和性质并解决相关问题． （1）由数想形： ； （请你写出两条）． （2）描点画图： ①列表：如表是x与y的几组对应值，其中a＝ ；b＝ ； x … ﹣7 ﹣6 ﹣5 ﹣4 ﹣2 ﹣1 0 1 2 4 5 6 7 … y … a 2 3 6 ﹣6 ﹣3 b ﹣3 ﹣6 6 3 2 … ②描点：根据表中各组对应值(x，y)，在平直角坐标系中描出各点． ③连线：用平滑的曲线顺次连接备点，请你把图象（如图2）补充完整． 【应用】 观察你所画的函数图象，解答下列问题： （3）若点A(a，c)，B(b，c)为该函数图象上不同的两点，则a+b＝ ； （4）直接写出当≥﹣2时，x的取值范围为 ． 6．（20-21九年级下·浙江·期末）参照学习函数的过程与方法，探究函数的图象与性质．因为所以我们对比函数来探究．经过列表、描点、连线． （1）观察图象可知，的图象由的图象向______平移______个单位得到． （2）当时，y随x的增大而_______（填“增大”或“减小”）:对于任意的实数x，y的取值范围是________． （3）探究：设是函数图象上的两点，且，求的值． 7．（22-23九年级上·浙江金华·期末）如图，在并联电路中，电源电压为，根据“并联电路分流不分压”的原理得到：．已知为定值电阻，当R变时，路电流也会发生变化，且干路电流与R之间满足如下关系：． (1)【问题理解】定值电阻的阻值为________Ω． (2)【数学活动】根据学习函数的经验，参照研究函数的过程与方法，对比反比例函数来探究函数的图象与性质． ①列表：下表列出与R的几组对应值，请写出m的值：________； R … 3 4 5 6 … … 2 1.5 1.2 1 … … 3 m 2.2 2 … ②描点、连线：在平面直角坐标系中，以①给出的R的取值为横坐标，以相对应的值为纵坐标，描出相应的点，并将各点用光滑曲线顺次连接起来． (3)【数学思考】 观察图象发现：函数的图象是由的图象向________平移________个单位而得到． (4)【数学应用】 若关于x的方程在实数范围内恰好有两个解，直接写出k的值． 8．（21-22八年级下·浙江舟山·期末）背景：点A在反比例函数的图象上，轴于点B，轴于点C，分别在射线上取点D，E，使得四边形为正方形．如图1，点A在第一象限内，当时，小李测得． 探究：通过改变点A的位置，小李发现点D，A的横坐标之间存在函数关系．请有助小李解决下列问题． (1)求k的值． (2)设点A，D的横坐标分别为x，z，将z关于x的函数称为“Z函数”．如图2，小李画出了时“Z函数”的图象． ①求这个“Z函数”的表达式． ②补画时“Z函数”的图象，并写出这个函数的性质（两条即可）． 题型三 已知双曲线分布象限，求参数 9．（21-22九年级上·陕西汉中·阶段练习）已知反比例函数的图象位于第一、三象限． (1)求k的取值范围； (2)若，反比例函数的图象过点，求m的值． 10．（24-25九年级上·陕西宝鸡·期末）已知y关于x的反比例函数的表达式为． (1)若反比例函数的图象在第二、四象限内，求m的取值范围； (2)若，当点在反比例函数的图象上，求A点的坐标． 11．（2023八年级下·浙江·专题练习）已知常数a（a为整数）满足下面两个条件： ①关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根； ②反比例函数的图象在二、四象限． (1)求a的值； (2)根据自己所画的图象直接写出： ①当时，y的取值范围； ②当时，x的取值范围． 题型四 已知反比例函数增减性求参数 12．（21-22八年级下·浙江温州·阶段练习）已知是反比例函数图像上的一点，将点A(a，4)先向右平移3个单位，再向下平移2个单位后与反比例函数图像上的点B重合． (1)求反比例函数的表达式． (2)当时，记函数的最大值为，最小值为m，求m的值． 13．（20-21八年级下·浙江杭州·期末）设函数． （1）若函数的图象经过点，求的函数表达式． （2）若函数与的图象关于轴对称，求的函数表达式． （3）当，函数的最大值为，函数的最小值为，求与的值． 14．（23-24八年级下·浙江嘉兴·期末）平面直角坐标系中，，，是反比例函数图象上的三点，且． (1)若，求k的值； (2)若，求证：． 题型五 比较反比例函数值或自变量的大小 15．（23-24八年级下·浙江丽水·期末）已知反比例函数． (1)若反比例函数的图象经过点，求的值． (2)若点，在函数的图象上，比较，，的大小． (3)反比例函数，如果，且，函数的最大值比函数的最大值大，函数的最小值比函数的最小值大，试证明． 16．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）已知反比例函数． (1)若点，都在该反比例函数图象上， ①求的值； ②当时，求的取值范围； (2)若点，都在该反比例函数图象上，且，，，小浙同学说“此时不能判断与的大小关系”，小江同学说“结合所给条件，可以得到”，你认为谁的说法正确，请说明理由． 17．（21-22八年级下·浙江杭州·期末）已知正比例函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，其中点A的横坐标为2． (1)求证：； (2)求点B的横坐标； (3)当时，对于实数m，当时，；当时，，直接写出m的取值范围． 题型六 已知比例系数求特殊图形面积 18．（23-24八年级下·浙江金华·阶段练习）课题学习： 项目主题 反比例函数的几何意义之三角形面积 项目情境 已知矩形的两邻边、分别落在正半轴与正半轴上，反比例函数的图象经过点，的图象分别与、交于点、． 活动任务一 （1）如图（1），若顶点的坐标是，，求反比例函数的解析式； 驱动问题一 （2）在（1）的条件下，直接写出的面积； 活动任务二 （3）如图（2），当，时，求的面积； 驱动问题二 （4）通过观察、思考上题的计算方法、结果，猜想到的面积有何规律或特征吗？请你用含，的代数式，表示的面积（写出推理过程）． 19．（2025·江西南昌·一模）如图，在平面直角坐标系中，过反比例函数（）图象上一点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足为M，N，直线分别与x轴、线段，，y轴交于点A，D，C，B. (1)直接写出的值； (2)①求证： ②设，，试求m与n的函数关系式. 20．（24-25八年级下·全国·单元测试）如图，P是反比例函数图象上一动点，过点P分别作x轴、y轴的垂线，分别交x轴、y轴于A、B两点，交反比例函数且的图象于点E、F． (1)图①中，四边形的面积______（用含、的式子表示）． (2)图②中，设点P的坐标为． ①______； ②点E的坐标为（______，______），点F的坐标为（______，______）（用含的式子表示）； ③若，求的面积． 21．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，反比例函数与长方形在第一象限相交于、两点，，，连接、、．记、的面积分别为、． (1)填空： ①点B坐标为___________； ②___________（填“”、“”、“”）； (2)当时，求：k的值及点D、E的坐标；试判断的形状，并求的面积． 题型七 根据特殊图形的面积求比例系数 22．（20-21八年级下·浙江温州·期末）如图，点和点B在反比例函数的图象上，过点A作轴交x轴于点C，过点B作轴交直线于点D，．    (1)若，求k的值． (2)连结，若四边形的面积为6，求点B的坐标． 23．（2023·浙江·一模）如图，已知A的坐标是，轴于点B，反比例函数的图象分别交，于点C，D，连接，的面积为2． (1)求k的值和点C的坐标． (2)若点在该反比例函数图象上，且在的内部（包括边界），求b的取值范围． 24．（20-21八年级下·浙江湖州·期末）如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与轴平行，且直线分别与反比例函数和的图象交于点，点． （1）求点的坐标； （2）若的面积为7，求的值． 25．（24-25九年级上·辽宁鞍山·期末）如图，平面直角坐标系中，函数经过点，过点A作轴交函数的图象于点B，点A关于原点对称的对称点为C； (1)求的函数解析式； (2)若的面积为8，求m的值． 题型八 反比例函数与一次函数交点问题 26．（24-25八年级下·浙江·阶段练习）如图，为等边三角形，边长为8，过点的直线交于点，交于点，且点在反比例函数的图象上， (1)求直线的解析式； (2)记的面积为，的面积为，试判断和的大小关系， 并说明理由． 27．（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）如图，已知直线和反比例函数 的图象交于第一象限的，两点． (1)填空∶当时，n=__________；直线的函数表达式为__________． (2)若把点先向左平移3个单位，再向下平移6个单位后得到的点D也在反比例函数的图象上，试求m和n的值． (3)直接写出满足 的的取值范围． 28．（22-23八年级下·浙江宁波·期末）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点 ，与轴交于点，与轴交于点． (1)求的值； (2)观察函数图象，直接写出不等式的解集； (3)连接，求的面积． 题型九 与反比例函数有关的新定义问题 29．（24-25八年级下·浙江·阶段练习）在平面直角坐标系中，点的“对称点”Q定义如下：当时，P与Q关于直线对称；当时，P与Q关于y轴对称． (1)点的“对称点”坐标是 ，点的“对称点”坐标是 ； (2)已知点C在反比例函数的图象上，点C的“对称点”为点D，若点D的坐标为，求m的值； (3)一次函数的图象上所有点的“对称点”组成一个新的图形G．若直线与图形G无交点，求实数m的取值范围． 30．（22-23八年级下·浙江金华·期中）定义：把横、纵坐标均为整数的点称为整点．如图，反比例函数与正比例函数相交于整点A，与一次函数相交于整点B、C，正比例函数与一次函数相交于点D，线段与线段上的整点个数之比记作．    (1)当时，求D点的坐标和m值． (2)当线段BC上的整点个数为7，时，求t的值． (3)当时，请直接写出t与m之间的关系式． 31．（22-23八年级下·浙江金华·期末）定义：在平面直角坐标系中，过点P，Q分别作x轴，y轴的垂线所围成的矩形，叫做P，Q的“关联矩形”，如图所示．    (1)已知点 ①若点B的坐标为，则点A，B的“关联矩形”的周长为______． ②若点C在直线上，且点A，C的“关联矩形”为正方形，求直线的解析式． (2)已知点，点，若使函数的图象与点M，N的“关联矩形”有公共点，求k的取值范围． 32．（22-23八年级下·浙江宁波·期末）定义：把能被一条对角线分成两个全等直角三角形的四边形叫做勾股四边形． (1)矩形______勾股四边形（填“是”或“不是”）． (2)如图在直角坐标系中，直线与双曲线相交于A，B两点，点在x轴负半轴上，Q为直角坐标平面上一点．    ①分别求出A、B两点的坐标． ②当四边形是平行四边形时，如图，请证明是勾股四边形． (3)在（2）的条件下，当以A、B、P、Q为顶点的四边形是勾股四边形时，请直接写出Q点的坐标． 题型十一 与反比例函数有关的最值问题 33．（23-24八年级下·浙江嘉兴·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点，与轴交于点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)根据图象直接写出不等式的解集； (3)设为线段上的一个动点（不与重合），过点作轴交反比例函数图象于点，当的面积最大时，求点的坐标，并求出面积的最大值． 34．（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）如图，在坐标系中有一矩形，满足，，点为上一点，关于折叠得到，点落于边上．      (1)求的长度； (2)若关于的反比例函数图象经过点，与另一交点记为点； ①求该反比例函数解析式； ②在上有一动点，当点坐标为多少时，的周长最小？ 35．（23-24八年级下·浙江湖州·期末）如图1，将矩形纸片放置在如图所示的平面直角坐标系内，点与坐标原点重合，点的坐标为，折叠纸片使点落在轴上的点处，折痕为，过点作轴的平行线交于点，连接． (1)求证：四边形为菱形； (2)如图2，当点与点重合时，求点的坐标； (3)如图3，在(2)的条件下，点是线段上一动点，点是线段上一动点，过点的反比例函数的图象与线段相交于点，连接，，，，当四边形的周长最小时，求点，点的坐标． 36．（23-24八年级下·浙江金华·期末）如图，在第一象限内，，轴，点在的上方，点的坐标为，，，点在内（含边界），反比例函数的图象经过点． (1)当时 ①点在点处时，求的值． ②分别求出的最小值与最大值． (2)的最大值与最小值之差记作，求出关于的函数表达式及的取值范围． 题型十二 与反比例函数有关的存在性问题 37．（23-24八年级下·浙江温州·阶段练习）如图1，在平面直角坐标系中，在平面直角坐标系中，反比例函数（为常数，）的图象经过矩形的顶点，顶点分别在轴，轴的正半轴上，点为线段上的一个动点，点在直线上一点，点在反比例图象上． (1)求反比例函数表达式． (2)如图1，若点为对角线的中点时，且四边形是平行四边形，求长． (3)在坐标平面内，是否存在点，使得四边形为正方形，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 38．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）如图1，在平面直角坐标系中，点，过函数图象上一点作轴的平行线交直线于点，且．         (1)①求的长度（用含有的代数式表示）； ②求的值，并写出的解析式； (2)过函数图象上任意一点，作轴的平行线交直线于点，是否总有成立？请说明理由； (3)如图2，若是函数图象上的动点，过点作轴的垂线交直线于点，分别过点作的垂线交轴于点，问是否存在点，使得矩形的周长取得最小值？若存在，请求出此时点的坐标及矩形的周长；若不存在，请说明理由． 39．（21-22八年级下·浙江金华·期末）如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，轴于，轴于，，，有一反比例函数图象刚好过点． (1)分别求出过点的反比例函数和过，两点的一次函数的表达式． (2)动点在射线（不包括点）上，过点作直线轴，交反比例函数图象于点．是否存在这样的点，使得以点，，，为顶点的四边形为菱形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 40．（23-24九年级上·湖南娄底·期末）如图，已知，是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点． (1)求反比例函数的解析式； (2)求△AOB的面积； (3)在坐标轴上是否存在一点P，使△AOP是等腰三角形？直接写出点P的坐标． 41．（2024八年级下·浙江·专题练习）如图，四边形是矩形，，，反比例函数的图象过点．    (1)求的值． (2)点为反比例图象上的一点，作直线，轴，当四边形是正方形时，求点的坐标． (3)点为坐标平面上的一点，在反比例函数的图象上是否存在一点，使得以、、、为顶点组成的平行四边形面积为14？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 42．（2022·山东泰安·二模）如图，正比例函数的图像与反比例函数的图像交于、两点．    (1)求反比例函数的解析式和点的坐标． (2)点为第一象限内反比例函数图像上一点，过点作轴的平行线，交直线于点，连接，如果的面积为，求点的坐标． (3)点在轴上，反比例函数图像上是否存在一点，使是以为直角边的等腰直角三角形，如果存在，直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 43．（22-23八年级下·浙江湖州·期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A和点B在x轴的负半轴上，，，以线段AB为边向上作正方形ABCD，反比例函数的图象经过顶点C，且与边AD相交于点E．    (1)当时，求k的值及点E的坐标； (2)连接OC，CE，OE． ①若的面积为，求该反比例函数的表达式； ②是否存在某一位置，使得．若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由． 44．（2023·四川内江·一模）如图，双曲线：与直线在第一象限交于点． (1)求双曲线与直线的解析式； (2)曲线 是反比例函数在第四象限的分支，点B是上的一点，且是等腰直角三角形，，求的解析式； (3)是否在x轴上存在一点P，使的值最大，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由． 45．（22-23八年级下·江苏无锡·期中）如图1，已知反比例函数的图像与一次函数的图像相交于，两点． (1)求反比例函数的表达式及，两点的坐标； (2)是轴上一点，是轴上一点，若以，，，为顶点的四边形是以为边的平行四边形，求点的坐标； (3)如图2，反比例函数的图像上有，两点，点的横坐标为，点的横坐标与点P的横坐标互为相反数，连接，，，．是否存在这样的使得的面积与的面积相等，若存在，求出的值：若不存在，请说明理由． 46．（22-23九年级上·重庆大渡口·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点两点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)连接并延长交双曲线于点C，点D为y轴上一动点，点E为直线上一动点，连接，求当最小时点D的坐标； (3)在（2）的条件下，连接，点M为双曲线上一动点，平面内是否存在一点N，使以点B，D，M，N为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 47．（22-23九年级上·贵州铜仁·阶段练习）如图1，一次函数的图像与y轴交于点A，与反比例函数的图像交于点，连接． (1)___________，___________． (2)若点P在第三象限内，是否存在点P使得是以为直角边的等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． (3)如图2，C是线段上一点（不与点A，B重合），过点C且平行于y轴的直线l交该反比例函数的图像于点D，连接，，．若四边形的面积为3，求点C的坐标． 题型十三 反比例函数与实际问题 48．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）如图是海洋公园娱乐设施“水上滑梯”的侧面图，建立如图坐标系．其中为水面，滑梯段可看成是反比例函数图象的一段，矩形为向上攀爬的梯子，梯子高为6米，宽为1米，出口点到的距离为4米，求： (1)段所在的反比例函数关系式是什么？ (2)点到轴的距离长是多少？ (3)若滑梯上有一个小球，距水面的高度不高于3米，则到的距离至少多少米？ 49．（23-24八年级下·浙江温州·期末）综合与实践：探索某款冷柜的日耗电量． 素材1：图1是某款冷柜，耗电功率为0.15千瓦．当内部温度为时，冷柜运行，当温度下降到时，停止运行，温度上升，到时，冷柜再次运行，如此循环． 素材2：冷柜内部温度与时间的关系如图2所示． 当时，是的一次函数；当时，是的反比例函数． 链接：冷柜每天耗电量（度）耗电功率（千瓦）每天运行时间（小时）． 任务1：求时，关于的函数表达式． 任务2：求该冷柜一天的耗电量． 50．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）视力表中蕴含着很多数学知识，如：每个“E”形图都是正方形结构，同一行的“E”是全等图形且对应着同一个视力值，不同的检测距离需要不同的视力表． 素材1  国际通用的视力表以5米为检测距离，任选视力表中7个视力值n，测得对应行的“E”形图边长b（），在平面直角坐标系中描点如图1． 探究1  当检测距离为5米时，根据图1中数据，求出视力值n关于“E”形图边长b（）的函数表达式，并求视力值1.2所对应行的“E”形图边长b．    素材2  图2为标准视力对照表，在检测视力时，眼睛能看清的最小“E”形图所对应的视力值n往往可以判断视力情况，近年来，随着电子产品的普及化，我国青少年近视现象越来越普遍，视力测试中大多青少年的视力值n低于1.0，属于视力不良． 探究2  视力测试中，当检测距离为5米时，低度近视区的视力值n的范围为，根据函数增减性直接写出低度近视的人眼睛能看清的最小“E”形图的边长范围．    素材3  图3为视网膜成像示意图，在检测视力时，眼睛能看清最小“E”形图所成的角叫做分辨视角θ．如图4，当θ确定时，在A处用边长为的Ⅰ号“E”测得的视力与在B处用边长为的Ⅱ号“E”测得的视力相同． 探究3  若检测距离为2.5米，求视力值1.2所对应行的“E”形图边长．    题型十四 与反比例函数有关的跨学科问题 51．（22-23九年级上·福建福州·期末）已知电源电压且保持不变，试验用到的定值电阻的阻值为5Ω，10Ω，15Ω，20Ω，25Ω；滑动变阻器．在确保电路安全无故障的情况下，李老师开始实验，多次更换定值电阻，调节滑动变阻器的滑片，使电压表示数保持不变，记录下电流表的示数，得到下表． （单位：Ω） 5 10 15 20 25 （单位：A） 0．4 (1)从你学过的函数中，选择合适的函数类型刻画电流随电阻的变化规律，请直接写出与的函数关系式 ； (2)在（1）的条件下，直接写出，的值，并画出该函数在第一象限的图象； (3)已知该滑动变阻器允许通过的最大电流为1A，记其电阻为．将定值电阻更换为一电阻箱，根据物理知识可知电源电压．在（1）的条件下，当电阻箱可调电阻的取值范围为时，为保证电路安全，取值范围是 ． 52．（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）电学知识告诉我们：用电器的功率P（单位：W）、两端的电压U（单位：V）及用电器的电阻R（单位∶Ω）有如下关系： ．现有一个电阻可调节的用电器，其范围为．已知电压为，这个用电器的电路图如图所示．    (1)写出功率P关于电阻R的函数关系式． (2)这个用电器功率的范围是多少？ 53．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）综合实践：自制密度秤测量液体密度． 问题情境：实验小组利用天平制作了一台密度秤．如图，支点固定不变，左侧托盘固定在点，，托盘上放置质量为的砝码；右侧托盘点在上滑动，，托盘上放置纸杯，实验时分别向杯中倒入的不同液体，滑动点，使天平保持平衡．（杠杆原理：砝码的质量杯中液体的质量．液体的质量液体的密度体积，） 问题解决： (1)设右侧托盘液体的密度为，的长为，若，求关于的函数表达式．并求出的取值范围． (2)若在纸杯中倒入的水时，滑动点，当点到达点处时，天平保持平衡：若向纸杯中倒入等体积的某种液体后，点从点向右滑动至点处，天平保持平衡．刻度显示：点处的读数正好是点处的读数的，求这种液体的密度． 54．（2024·浙江杭州·一模）根据以下素材，探索完成任务 探索铁块放在桌面上，桌子能否承受？ 素材1 如图，把铁块放在桌面上，则桌面所承受的压力与铁块的重力相等． 素材2 重力=质量×重力系数；密度；压强． 铁的密度为，重力系数． 素材3 假设桌面所能承受的最大压强为． 长方体铁块的长、宽、高分别为． 问题解决 任务1 求铁块的重力为多少N？ 任务2 直接写出铁块对桌面的压强关于受力面积的函数表达式． 任务3 利用函数的性质判断能否把这个铁块放在这张桌面上？ $$专题06 反比例函数（14大题型） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 题型一 待定系数法求反比例函数解析式 题型二 判断/画反比例函数图象 题型三 已知双曲线分布象限，求参数 题型四 已知反比例函数增减性求参数 题型五 比较反比例函数值或自变量的大小 题型六 已知比例系数求特殊图形面积 题型七 根据特殊图形的面积求比例系数 题型八 反比例函数与一次函数交点问题 题型九 与反比例函数有关的新定义问题 题型十一 与反比例函数有关的最值问题 题型十二 与反比例函数有关的存在性问题 题型十三 反比例函数与实际问题 题型十四 与反比例函数有关的跨学科问题 题型一 待定系数法求反比例函数解析式 1．（2025·贵州黔南·一模）如图，平行于y轴的直尺（一部分）与双曲线交于点A和点C，与x轴交于点B和点D，点A，B的刻度分别为，，直尺的宽度为，．（注：平面直角坐标系的1个单位长度为） (1)求点A的坐标及双曲线 的函数关系式； (2)求点C的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式，求反比例函数值，正确利用待定系数法求出对应的函数解析式是解题的关键． （1）先根据题意求出，进而求出点A的坐标，再利用待定系数法求出反比例函数解析式即可； （2）先求出，则点C的横坐标为2，据此求出点C的坐标即可． 【详解】（1）解；∵点A和B的刻度分别为和， ∴， ∵轴， ∴， 把代入得，， 解得， ∴反比例函数解析式为； （2）解：∵直尺的宽度为，， ∴， ∴点C的横坐标为2， 当时， ， ∴点C的坐标为． 2．（22-23八年级下·浙江·期末）如图，反比例函数的图像经过点． (1)求点的坐标． (2)若点先向左平移个单位，再向下平移个单位，仍落在该反比例函数的图像上，求的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）待定系数法求反比例函数解析式，代入点A，求a； （2）将点A平移后所得点的坐标代入函数解析式求m． 本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式和点的平移变化．主要利用求m的值， 要注意m的取值范围． 【详解】（1）解：把点代入得：， ， （2）解：将点先向左平移个单位，再向下平移个单位后得点：，把点代入，得：， 解得：（舍），或， ． 3．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）在直角坐标系中，设． (1)已知点都在该函数的图象上． ①求k的值； ②若，求n的值． (2)当时，；当时，，求k的值． 【答案】(1)①6；② (2)12 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，函数图象上点的坐标特征，解一元二次方程等知识；掌握函数图象上点的坐标特征是关键． （1）①利用待定系数法即可得出k的值； ②把代入函数的解析式即可求得n的值； （2）利用反比例函数系数得出，解关于m的方程求得m的值，进一步即可求得k的值． 【详解】（1）解：①∵点该反比例函数图象上， ， ∴； ②由①知，反比例函数解析式为； 在函数的图象上， ， 解得或（舍去）， ∴n的值为； （2）解：∵当时，；当时，， ， 即， 解得或， 时，，不合题意，舍去， ， ． 4．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）已知反比例函数的图象经过点． (1)请判断点是否在此反比例函数图象上，并说明理由． (2)已知点和点是反比例函数图象上的两点，， ①若，求的取值范围． ②若，求时，y的取值范围． 【答案】(1)不在，见解析 (2)①；②或 【分析】本题考查了反比例函数解析式，反比例函数的图象与性质，一元一次不等式组的应用等知识．熟练掌握反比例函数解析式，反比例函数的图象与性质，一元一次不等式组的应用是解题的关键． （1）由反比例函数的图象经过点，可得，可求，即，当时，，可知点不在此反比例函数图象上； （2）①由，可知的图象第二、四象限，在各象限随着的增大而增大，由，，可知点在第二象限，点在第四象限，即，求解作答即可；②由，可得，由，可得 ，可求，，则，当时，，进而可求当时，y的取值范围． 【详解】（1）解：点不在此反比例函数图象上，理由如下； ∵反比例函数的图象经过点， ∴， 解得，， ∴， 当时，， ∴点不在此反比例函数图象上； （2）①解：∵， ∴的图象第二、四象限，在各象限随着的增大而增大， ∵，， ∴点在第二象限，点在第四象限， ∴， 解得，； ②解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得，， ∴， ∴， 当时，， 由反比例函数图象可知，当时，y的取值范围是或． 题型二 判断/画反比例函数图象 5．（20-21八年级下·江苏南京·期末）问题：我们已经知道反比例函数的图象是双曲线，那么函数y＝的图象是怎样的呢？ 【经验】（1）我们在研究反比例函数的图象和性质的时候是从以下两个方面来探究的： ①由数想形：先根据表达式中x、y的数量关系，初步估计图象的基本概貌．如：形状（直线或曲线）；位置（所在区域、与直线或坐标轴的交点情况）；趋势（上升、下降）；对称性等． ②描点画图：根据已有的函数画图的经验，利用描点画图． （2）我们知道，函数y＝的图象是如图1所示的两条曲线，一支在过点(﹣1，0)且平行于y轴的直线的右侧且在x轴的上方，另一支在过点(﹣1，0)且平行于y轴的直线的左侧且在x轴的下方． 【探索】请你根据以上经验，研究函数y＝的图象和性质并解决相关问题． （1）由数想形： ； （请你写出两条）． （2）描点画图： ①列表：如表是x与y的几组对应值，其中a＝ ；b＝ ； x … ﹣7 ﹣6 ﹣5 ﹣4 ﹣2 ﹣1 0 1 2 4 5 6 7 … y … a 2 3 6 ﹣6 ﹣3 b ﹣3 ﹣6 6 3 2 … ②描点：根据表中各组对应值(x，y)，在平直角坐标系中描出各点． ③连线：用平滑的曲线顺次连接备点，请你把图象（如图2）补充完整． 【应用】 观察你所画的函数图象，解答下列问题： （3）若点A(a，c)，B(b，c)为该函数图象上不同的两点，则a+b＝ ； （4）直接写出当≥﹣2时，x的取值范围为 ． 【答案】（1）函数的图象关于y轴对称；图象与y轴的交点为(0，﹣2)；（2）①，﹣2；②见解析；③见解析；（3）0；（4）x＜﹣3或x＝0或x＞3 【分析】（1）根据函数解析式可得函数的图象关于轴对称；图象与轴的交点为； （2）通过列表、描点和连线化函数图象； （3）观察函数图象得到函数的图象关于轴对称，而点与点关于轴对称，所以与互为相反数； （4）观察函数图象，找出函数值大于或等于所对应的自变量的值或取值范围． 【详解】解：探索：（1）由数想形：函数的图象关于轴对称；图象与轴的交点为， 故答案为函数的图象关于轴对称；图象与轴的交点为； （2）描点画图： ①列表：把代入得，， ， 把入得，， ， 故答案为，； ②描点：根据表中各组对应值，在平直角坐标系中描出各点． ③连线：用平滑的曲线顺次连接备点，请你把图象补充完整如图． 应用： （3）函数的图象关于轴对称， 而点，为该函数图象上两对称点， 所以； 故答案为0； （4）由图象可知，当时，的取值范围为或或， 故答案为或或． 【点睛】本题考查了反比例函数图象的性质；会利用描点法画反比例函数图象，数形结合是解题的关键． 6．（20-21九年级下·浙江·期末）参照学习函数的过程与方法，探究函数的图象与性质．因为所以我们对比函数来探究．经过列表、描点、连线． （1）观察图象可知，的图象由的图象向______平移______个单位得到． （2）当时，y随x的增大而_______（填“增大”或“减小”）:对于任意的实数x，y的取值范围是________． （3）探究：设是函数图象上的两点，且，求的值． 【答案】（1）上，1；（2）增大，y≠1；（3）5 【分析】（1）画出两个函数的图像，观察图象即可解决问题； （2）观察图象即可解决问题； （3）根据图象上点的坐标特征得到，，代入中，利用分式的运算法则变形，即可求出值． 【详解】解：（1）如图，分别画出和的图像， 由图可知：的图象由的图象向上平移1个单位得到； （2）由图可知： 当时，y随x的增大而增大， 对于任意的实数x，y的取值范围是y≠1； （3）， ∵是函数图象上的两点， ∴，， ∵， ∴ = = = =5． 【点睛】本题考查反比例函数的性质、反比例函数的图象与几何变换，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 7．（22-23九年级上·浙江金华·期末）如图，在并联电路中，电源电压为，根据“并联电路分流不分压”的原理得到：．已知为定值电阻，当R变时，路电流也会发生变化，且干路电流与R之间满足如下关系：． (1)【问题理解】 定值电阻的阻值为________Ω． (2)【数学活动】 根据学习函数的经验，参照研究函数的过程与方法，对比反比例函数来探究函数的图象与性质． ①列表：下表列出与R的几组对应值，请写出m的值：________； R … 3 4 5 6 … … 2 1.5 1.2 1 … … 3 m 2.2 2 … ②描点、连线：在平面直角坐标系中，以①给出的R的取值为横坐标，以相对应的值为纵坐标，描出相应的点，并将各点用光滑曲线顺次连接起来． (3)【数学思考】 观察图象发现：函数的图象是由的图象向________平移________个单位而得到． (4)【数学应用】 若关于x的方程在实数范围内恰好有两个解，直接写出k的值． 【答案】(1) (2)①；②见解析 (3)上；1 (4)0或或 【分析】（1）由题意中和代入求值即可． （2）①观察图表，利用计算即可；②根据图表的数据，利用描点法画图即可． （3）利用函数解析式的变化规律与函数图像的平移规律解答即可． （4）利用函数与方程的关系，结合图像分析根的情况，最后利用一元二次方程根的判别式计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴ （2）①解：当时， ∴， ∴ ②先描出点，，，，再顺次连接这些点即可画出所求函数图象 （3）解：当，， 当时，， 当时，， 结合图像，所以函数的图象是由的图象向上平移1个单位． （4）解：由函数与方程的关系可知， 当时，的函数图像在第一象限恰有一个交点时满足恰有两个实数解； ∴ 化简得： ∴ 当时，的函数图像在第二象限恰有一个交点时满足恰有两个实数解； ∴ 化简得： ∴ 当时，的图像恰好有两个交点． ∴或或． 【点睛】本题主要考查函数图像的平移，利用函数与方程的关系解方程，掌握描点法画图以及函数与方程的关系，根的判别式是解决本题的关键． 8．（21-22八年级下·浙江舟山·期末）背景：点A在反比例函数的图象上，轴于点B，轴于点C，分别在射线上取点D，E，使得四边形为正方形．如图1，点A在第一象限内，当时，小李测得． 探究：通过改变点A的位置，小李发现点D，A的横坐标之间存在函数关系．请有助小李解决下列问题． (1)求k的值． (2)设点A，D的横坐标分别为x，z，将z关于x的函数称为“Z函数”．如图2，小李画出了时“Z函数”的图象． ①求这个“Z函数”的表达式． ②补画时“Z函数”的图象，并写出这个函数的性质（两条即可）． 【答案】(1)k=2； (2)①；②作图见解析，函数性质：1．x>0时，y随x的增大而增大； 2．x<0时，y随x的增大而增大． 【分析】（1）根据正方形的性质求出AB得到点A的坐标即可； （2）①求出点A的坐标，再代入反比例函数的解析式即可；②利用描点法画出图象；根据函数图象可得结论. 【详解】（1）解：∵四边形ABED为正方形，且AC＝4，， ∴AD=AB=AC-CD=0.5， ∴A（4，0.5）， ∵点A在反比例函数y＝（k＞0）的图象上， ∴k=2； （2）解：①由题意得A（x，x-z）， ∴x（x-z）=2， ∴； ②图象如图： 性质1：x>0时，y随x的增大而增大； 性质2：x<0时，y随x的增大而增大． 【点睛】此题考查待定系数法求反比例函数解析式，画函数图象，函数的性质，熟练掌握各知识点并应用解决问题是解题的关键． 题型三 已知双曲线分布象限，求参数 9．（21-22九年级上·陕西汉中·阶段练习）已知反比例函数的图象位于第一、三象限． (1)求k的取值范围； (2)若，反比例函数的图象过点，求m的值． 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）根据反比例函数图象位于第一、三象限即可得到，由此进行求解即可； （2）直接把点代入中进行求解即可． 【详解】（1）由题意，， 解得：； （2）∵， ∴反比例函数的表达式为， 把点代入，得：， ∴． 【点睛】本题主要考查了反比例函数图象与其比例系数之间的关系，求反比例函数解析式，解题的关键在于能够熟练掌握反比例函数图象与比例系数之间的关系． 10．（24-25九年级上·陕西宝鸡·期末）已知y关于x的反比例函数的表达式为． (1)若反比例函数的图象在第二、四象限内，求m的取值范围； (2)若，当点在反比例函数的图象上，求A点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． （1）根据反比例函数的图象在第二、四象限内的比例系数为负数，列出不等式求解即可； （2）先写出反比例函数的解析式，再将点代入求解即可． 【详解】（1）解：反比例函数的图象在第二、四象限， ， 解得； （2）解：， 反比例函数的表达式为， 把点代入，得， A点的坐标为． 11．（2023八年级下·浙江·专题练习）已知常数a（a为整数）满足下面两个条件： ①关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根； ②反比例函数的图象在二、四象限． (1)求a的值； (2)根据自己所画的图象直接写出： ①当时，y的取值范围； ②当时，x的取值范围． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式以及反比例函数的性质得出关于的不等式组，解不等式组求得的取值范围，即可求得整数的值； （2）画出反比例函数的图象，根据函数图象即可得． 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， 且， 解得且， ∵反比例函数的图象在二、四象限， ， 解得， ， 又为整数， ． （2）解：由（1）可知，反比例函数的解析式为，画出图象如下： 当时，， 当时，， 则由函数图象可知，①当时，， ②当时，或． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式、反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题关键． 题型四 已知反比例函数增减性求参数 12．（21-22八年级下·浙江温州·阶段练习）已知是反比例函数图像上的一点，将点A(a，4)先向右平移3个单位，再向下平移2个单位后与反比例函数图像上的点B重合． (1)求反比例函数的表达式． (2)当时，记函数的最大值为，最小值为m，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据平移得到点B的坐标，然后再根据反比例函数图像上的点列出关于a、k的二元一次方程组求得k即可； （2）先根据反比例函数解析式确定函数图像在每一象限内，y随x的增大而减小，然后再根据最值列出关于m、b的二元一次方程组求解即可． 【详解】（1）解：点向右平移3个单位，再向下平移2个单位后与反比例函数图像上的点B重合 ∴点 ∵点A、B在反比例函数图像上 ∴，，解得：k=12 ∴． （2）解：∵，   ∴在每一象限内，y随x的增大而减小 当时，函数取最大值，即，则 当时，函数取最小值m，即，则． 解得． 【点睛】本题主要考查了反比例函数图像上的点、反比例函数的性质、二元一次方程组等知识点，掌握反比例函数的性质成为解答本题的关键． 13．（20-21八年级下·浙江杭州·期末）设函数． （1）若函数的图象经过点，求的函数表达式． （2）若函数与的图象关于轴对称，求的函数表达式． （3）当，函数的最大值为，函数的最小值为，求与的值． 【答案】（1），；（2），；（3）m=6、k=6或m=、k= 【分析】（1）根据待定系数法求得即可； （2）根据关于轴对称的点的坐标特征得到，即可求得的值，从而求得，的函数表达式． （3）分三种情况讨论，根据题意得到关于、的方程组，解方程组即可求得． 【详解】解：（1）函数的图象经过点， ， ， ， ，； （2）函数与的图象关于轴对称， ， ， ，． （3）当时，函数，的图象在第一、三象限， 根据题意，当时，函数有最大值，当时，函数有最小值， ， 解得； 当时，函数，的图象在第二、四象限， 根据题意，当时，函数有最大值，当时，函数有最小值， ， 解得； 当时，函数图象在二、四象限，函数的图象在第一、三象限， 根据题意，当时，函数有最大值，当时，函数有最小值， ，不合题意， 故与的值为6、6或、． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，关于y轴对称的点的坐标特征，分类讨论是解题的关键． 14．（23-24八年级下·浙江嘉兴·期末）平面直角坐标系中，，，是反比例函数图象上的三点，且． (1)若，求k的值； (2)若，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查反比例函数的图象上点的坐标特征，掌握反比例函数图象性质是解题的关键． （1）先根据，得出，把代入，得到，，把代入，得，从而得出 ，再根据，即可求解； （2）先根据，得出，再根据，，得出．然后把代入即可得出结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， 把代入，得， ∴，， 把代入，得， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴， ∵，是反比例函数图象上的点， ∴，， ∴． ∵， ∴． 题型五 比较反比例函数值或自变量的大小 15．（23-24八年级下·浙江丽水·期末）已知反比例函数． (1)若反比例函数的图象经过点，求的值． (2)若点，在函数的图象上，比较，，的大小． (3)反比例函数，如果，且，函数的最大值比函数的最大值大，函数的最小值比函数的最小值大，试证明． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】本题是反比例函数综合题，考查了待定系数法确定函数解析，反比例函数的性质， （1）将点坐标代入求出即可； （2）根据反比例函数图像上点的坐标特征及反比例函数性质解答即可； （3）由反比例函数的性质可得的最大值为，最小值为，的最大值为，最小值为，由题意列出两个方程构成方程组，即可求解； 根据题意列出二元一次方程组是解题的关键． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图像经过点， ∴， 解得：， ∴的值为； （2）∵中， ∴反比例函数图像的两个分支分别在第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小， ∵， ∴，，， ∴； （3）证明：∵反比例函数， ∴该图像的两个分支分别在第二、四象限，在每个象限内，随的增大而增大， ∵，且， ∴的最大值为，最小值为， ∵反比例函数图像的两个分支分别在第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小， ∵，且， ∴的最大值为，最小值为， ∵函数的最大值比函数的最大值大，函数的最小值比函数的最小值大， ∴，， ∴， ②－①，得：， ∴． 16．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）已知反比例函数． (1)若点，都在该反比例函数图象上， ①求的值； ②当时，求的取值范围； (2)若点，都在该反比例函数图象上，且，，，小浙同学说“此时不能判断与的大小关系”，小江同学说“结合所给条件，可以得到”，你认为谁的说法正确，请说明理由． 【答案】(1)；； (2)小江同学说法正确，理由见解析． 【分析】（）根据点，都在该反比例函数图象上可以求出的值，从而得出的值； 时，，故可以根据反比例函数的性质得到当时，的取值范围是； （）利用反比例函数的性质得出当时，的取值范围是，当时，的取值范围是，即可求得； 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 【详解】（1）∵点 ，都在该反比例函数图象上， ∴， ∴， ∴反比例函数图象过点， ∴， ②∵ ∴反比例函数的图象在一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小， ∵时，， ∴当时，的取值范围是； （2）小江同学说法正确，理由： ∵， ∴反比例函数的图象在一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小， ∴当时，的取值范围是， ∵，， ∴， ∴当时，的取值范围是， ∴． 17．（21-22八年级下·浙江杭州·期末）已知正比例函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，其中点A的横坐标为2． (1)求证：； (2)求点B的横坐标； (3)当时，对于实数m，当时，；当时，，直接写出m的取值范围． 【答案】(1)，详见解析； (2)，详见解析； (3)或，详见解析． 【分析】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的对称性等知识点， （1）把交点A的横坐标分别代入正比例函数、反比例函数的解析式得到，变形得到； （2）根据正比例函数、反比例函数的中心对称性即可求得； （3）根据正比例函数、反比例函数的性质借助图象即可得到关于m的不等式组，解不等式组即可求得； 熟练掌握其性质，数形结合是解决此题的关键． 【详解】（1）∵正比例函数的图象与反比例函数的图象交于两点，其中点A的横坐标为2， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）∵正比例函数的图象与反比例函数的图象交于两点，其中点A的横坐标为2， ∴点B的横坐标为； （3）∵点A的横坐标为2，点B的横坐标为， ∴当时，对于实数m，当时，；当时，，m的取值范围是或， 解得或． 题型六 已知比例系数求特殊图形面积 18．（23-24八年级下·浙江金华·阶段练习）课题学习： 项目主题 反比例函数的几何意义之三角形面积 项目情境 已知矩形的两邻边、分别落在正半轴与正半轴上，反比例函数的图象经过点，的图象分别与、交于点、． 活动任务一 （1）如图（1），若顶点的坐标是，，求反比例函数的解析式； 驱动问题一 （2）在（1）的条件下，直接写出的面积； 活动任务二 （3）如图（2），当，时，求的面积； 驱动问题二 （4）通过观察、思考上题的计算方法、结果，猜想到的面积有何规律或特征吗？请你用含，的代数式，表示的面积（写出推理过程）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义； （1）根据题意得出，代入反比例函数解析式，即可求解； （2）先求得，根据，即可求解； （3）根据题意设，则，，进而根据三角形的面积公式，即可求解； （4）设，则，，同（3）的方法，即可求解． 【详解】解：（1）∵的坐标是，，四边形是矩形， ∴， ∵在上， ∴， ∴； （2）∵的坐标是，，在上， ∴的纵坐标为， ∵在上， ∴的横坐标， ∴， ∴， ∵的坐标是， ∴， ∴ ； （3）∵，， 设，则，， ∴，， ∴； （4）设，则，， ∴，， ∴； 即． 19．（2025·江西南昌·一模）如图，在平面直角坐标系中，过反比例函数（）图象上一点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足为M，N，直线分别与x轴、线段，，y轴交于点A，D，C，B. (1)直接写出的值； (2)①求证： ②设，，试求m与n的函数关系式. 【答案】(1)4 (2)①见解析；② 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，矩形的判定和性质，一次函数的性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． （1）设点，由轴，轴，得到，，根据点P在反比例函数图象上，于是得到； （2）①在中，令，则；令，则，于是得到，，求得，根据等腰直角三角形的性质得到； ②由①知是等腰直角三角形，得到，过C作轴于E，轴于F，则四边形是矩形，是等腰直角三角形，求得，，根据题意列方程即可得到结论． 【详解】（1）解：设点， ∵轴，轴， ∴，， ∵点P在反比例函数图象上， ∴； （2）解：①证明：∵在中，令，则；令，则， ∴，， ∴， ∵， ∴； ②由①知是等腰直角三角形， ∴， 过C作轴于E，轴于F， 则四边形是矩形，是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴． ∴m与n的函数关系式为. 20．（24-25八年级下·全国·单元测试）如图，P是反比例函数图象上一动点，过点P分别作x轴、y轴的垂线，分别交x轴、y轴于A、B两点，交反比例函数且的图象于点E、F． (1)图①中，四边形的面积______（用含、的式子表示）． (2)图②中，设点P的坐标为． ①______； ②点E的坐标为（______，______），点F的坐标为（______，______）（用含的式子表示）； ③若，求的面积． 【答案】(1) (2)①6；②，；③ 【分析】本题主要查了反比例函数比例系数的几何意义，利用数形结合思想解答是解题的关键． （1）根据反比例函数比例系数的几何意义可得，，再根据四边形的面积，即可求解； （2）①把点P的坐标代入，即可求解；②根据轴，轴，可得点E的横坐标为2，点F的纵坐标为3，即可求解；③根据题意可得，再由，即可求解． 【详解】（1）解：∵点E，F在反比例函数的图象上，点P在反比例函数图象上，且轴，轴， ∴，， ∴四边形的面积； 故答案为： （2）解：①∵点P的坐标为，且点P在反比例函数图象上， ∴， ∴； 故答案为：6 ②∵轴，轴，点P的坐标为， ∴点E的横坐标为2，点F的纵坐标为3， ∵点E，F在反比例函数的图象上， ∴点E的坐标为，点F的纵坐标为； 故答案为：， ③∵点E的坐标为，点F的纵坐标为，点P的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∵点P的坐标为，且点P在反比例函数图象上， ∴， ∴． 21．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，反比例函数与长方形在第一象限相交于、两点，，，连接、、．记、的面积分别为、． (1)填空： ①点B坐标为___________； ②___________（填“”、“”、“”）； (2)当时，求：k的值及点D、E的坐标；试判断的形状，并求的面积． 【答案】(1)①，②= (2)，D的坐标为，E的坐标为，直角三角形， 【分析】本题考查勾股定理逆定理，以及反比函数系数k的几何意义，图形与坐标，熟记反比函数系数k的几何意义是解题的关键． （1）①根据矩形的性质得故可得点B的坐标；②根据反比函数系数k的几何意义可得结论； （2）由且可求出，得，根据求出，可得点D的坐标，进而求出解析式；同理可求出点E的坐标． 分别求出，，，再根据勾股定理逆定理判断是直角三角形，再根据面积公式可得结论． 【详解】（1）解：①∵四边形是矩形，，， ∴， 则点坐标为， 反比例函数与长方形在第一象限相交于、两点， ∴，， ； 故答案为：；； （2）解：当时， ， ， ， ， ∴， ∴． ， ， ∴， ，， ，， ，，， ， 是直角三角形， ， ， ， ， 的面积为：． 题型七 根据特殊图形的面积求比例系数 22．（20-21八年级下·浙江温州·期末）如图，点和点B在反比例函数的图象上，过点A作轴交x轴于点C，过点B作轴交直线于点D，．    (1)若，求k的值． (2)连结，若四边形的面积为6，求点B的坐标． 【答案】(1)3 (2) 【分析】（1）根据点A的坐标可得进而得出，由可得点A与点B的横坐标的差，进而求出m的值，确定点A的坐标即可； （2）表示出点B的坐标，利用含有m的代数式表示四边形的面积求出m即可． 【详解】（1）如图，过点B作轴于E，    ∵点， ∴， 又∵． ∴， ∴， ∴点， ∴， 解得， ∴点， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， （2）由（1）可知点，点，即，，则， 由于四边形的面积为6， ∴， 解得， ∴点． 【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数k的几何意义，理解反比例函数系数k的几何意义，掌握反比例函数图象上点的坐标特征是正确解答的前提． 23．（2023·浙江·一模）如图，已知A的坐标是，轴于点B，反比例函数的图象分别交，于点C，D，连接，的面积为2． (1)求k的值和点C的坐标． (2)若点在该反比例函数图象上，且在的内部（包括边界），求b的取值范围． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据反比例函数的k值意义，求出k的值即可；先求出正比例函数解析式，联立正比例函数解析式和反比例函数解析式，求出点C的坐标即可； （2）先求出点D的坐标，然后根据点C和D的坐标，求出b的取值范围即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴反比例函数为①， 设直线解析式为， 将代入得，， ∴， ∴直线解析式为②， 由①②得， ∴（不合题意，舍去），， ∴C为． （2）解：将代入，得， ∴点D的坐标为， ∵点在该反比例函数图象上，且在的内部（包含边界），且C的坐标为  ∴由图象得． 【点睛】本题主要考查了求反比例函数解析式，求正比例函数解析式，反比例函数与正比例函数图象的交点坐标，解题的关键是熟练掌握反比例函数中k的几何意义． 24．（20-21八年级下·浙江湖州·期末）如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与轴平行，且直线分别与反比例函数和的图象交于点，点． （1）求点的坐标； （2）若的面积为7，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）求出P点的纵坐标，再代入函数解析式，即可求出答案； （2）根据，列出方程，求解即可求出答案． 【详解】解：（1）∵轴， ∴点的纵坐标为2， 把代入得， ∴点坐标为； （2）∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式和反比例函数图象上点的坐标特征等知识点，能灵活运用知识点进行计算是解此题的关键． 25．（24-25九年级上·辽宁鞍山·期末）如图，平面直角坐标系中，函数经过点，过点A作轴交函数的图象于点B，点A关于原点对称的对称点为C； (1)求的函数解析式； (2)若的面积为8，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式，反比例函数的性质，中心对称，解题的关键是求出反比例函数的解析式． （1）用待定系数法求出反比例函数解析式即可； （2）先求出点C的坐标为，点B的坐标为，得出，根据的面积为8，得出，求出m的值即可． 【详解】（1）解：∵函数经过点， ∴， ∴的函数解析式为； （2）解：∵点A关于原点对称的对称点为C， ∴点C的坐标为， ∵过点A作轴交函数的图象于点B， ∴点B的坐标为， ∴， ∵的面积为8， ∴， 解得：． 题型八 反比例函数与一次函数交点问题 26．（24-25八年级下·浙江·阶段练习）如图，为等边三角形，边长为8，过点的直线交于点，交于点，且点在反比例函数的图象上， (1)求直线的解析式； (2)记的面积为，的面积为，试判断和的大小关系， 并说明理由． 【答案】(1)； (2)，理由见解析 【分析】本题是反比例函数综合题，涉及到直角三角形的判定与性质、等边三角形的性质、三角形的面积等有关知识，综合性较强． （1）设，，，求得，由点在反比例函数的图象上，求得，再利用待定系数法求解即可； （2）先求得，，据此即可证明结论成立． 【详解】（1）解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点， ∵为等边三角形，边长为8，点的坐标为，， 设，，， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴将E点代入反比例函数，解得，（舍）， ； 设直线的解析式为，将C和E点代入解析式得， 解得， 解得：； （2）解：比较与的面积大小，可转化为比较与的面积大小， ∴， ， ∴， ∴． 27．（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）如图，已知直线和反比例函数 的图象交于第一象限的，两点． (1)填空∶当时，n=__________；直线的函数表达式为__________． (2)若把点先向左平移3个单位，再向下平移6个单位后得到的点D也在反比例函数的图象上，试求m和n的值． (3)直接写出满足 的的取值范围． 【答案】(1)， (2)， (3)或 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数的解析式.也考查了待定系数法求函数的解析式以及观察图象的能力． （1）根据题意，把代入得；由也在该反比例函数图象上，得，再把分别代入，利用待定系数法可得结论； （2）如图，根据题意可得点平移后的点也在该反比例函数图象上，所以，解得.将代入解析式可得，； （3）直线与关于原点对称，所以直线和反比例函数的图象交于第三象限的两点，结合图象可知满足不等式的x的取值范围 【详解】（1）解：若，则， 根据题意，把代入得． ∵也在该反比例函数图象上， ∴， 解得．        再把，分别代入， 得∶ ， 解得∶ ． ∴． （2）解：如图，根据题意可得点平移后的点也在该反比例函数图象上， ∴， 解得． ∴，解得 ． （3）解：∵， 移项可得， 如图，直线与关于原点对称， ∴直线和反比例函数的图象交于第三象限的两点， 结合图象可知满足不等式的的取值范围是或． 28．（22-23八年级下·浙江宁波·期末）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点 ，与轴交于点，与轴交于点． (1)求的值； (2)观察函数图象，直接写出不等式的解集； (3)连接，求的面积． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题主要考查一次函数与反比例函数的综合题型，掌握待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式，根据解析式求点坐标是解题的关键． （1）将代入中，即可求出m的值，再代入即可求得n的值； （2）观察函数图象，即可得出的解集； （3）采用待定系数法求得直线的解析式，再令，即可求出，根据即可求出的面积． 【详解】（1）解：将代入中， 得： 解得： 将代入， 得： 解得：． （2）解：根据图象可得，的解集为：或． （3）解：将、代入 得： 解得： ∴直线的解析式为： 将代入得   ∴，即， 连接， ∴． 题型九 与反比例函数有关的新定义问题 29．（24-25八年级下·浙江·阶段练习）在平面直角坐标系中，点的“对称点”Q定义如下：当时，P与Q关于直线对称；当时，P与Q关于y轴对称． (1)点的“对称点”坐标是 ，点的“对称点”坐标是 ； (2)已知点C在反比例函数的图象上，点C的“对称点”为点D，若点D的坐标为，求m的值； (3)一次函数的图象上所有点的“对称点”组成一个新的图形G．若直线与图形G无交点，求实数m的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查坐标与轴对称，一次函数的综合应用，反比例函数与几何的综合应用，熟练掌握新定义，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键： （1）根据新定义，点的“对称点”与点关于对称，点的“对称点”与点关于轴对称，进行求解即可； （2）设点，当时，关于直线对称，当时，关于轴对称，分别求出点的坐标，代入反比例函数解析式，进行求解即可； （3）设一次函数的图象上的点，分别求出和时，点的对称点所在的直线，进而确定图形，利用数形结合的思想，找到直线与图形恰好没有交点时的值，即可得出结果． 【详解】（1）解：∵，， ∴点的“对称点”与点关于对称， 连接，分别作轴，轴，则：，， ∵对称， ∴， ∵直线为一，三象限的角平分线， ∴， ∴，即：， ∴， ∴， ∴； ∵，， ∴点的“对称点”与点关于轴对称， ∴； 故答案为：， （2）∵设点， ①当时，则：关于直线对称， 由（1）可知：关于直线对称的点的特点为横纵坐标位置互换， ∵， ∴，此时， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴，符合题意； ②当时，则：关于轴对称， ∴，此时，即：， ∴， ∴，符合题意； 综上：； （3）设一次函数的图象上的点， 当时，即：时，点的对应点为：， 令，，则：， 即此时点的对应点在直线上， 当，即：时，点的对应点为：， 同法，可知：点的对应点在直线上， ∵， ∴当时，， 如图， 当经过时，， 此时直线恰好与图形没有交点， 当直线向上移动时，直线恰好与图形有交点， 当直线向下移动时，直线与图形没有交点， 故的范围为：． 30．（22-23八年级下·浙江金华·期中）定义：把横、纵坐标均为整数的点称为整点．如图，反比例函数与正比例函数相交于整点A，与一次函数相交于整点B、C，正比例函数与一次函数相交于点D，线段与线段上的整点个数之比记作．    (1)当时，求D点的坐标和m值． (2)当线段BC上的整点个数为7，时，求t的值． (3)当时，请直接写出t与m之间的关系式． 【答案】(1)D（）， (2)10 (3)当时，；当时， 【分析】（1）联立方程组求解可得，根据点为整点，可得，代入，求得，与联立，可求得，再通过联立求解可得，，即可得出答案； （2）根据题意可得，必为整点，即为偶数，由，可得，，进而推出，，建立方程求解即可得出答案； （3）当时，线段上有2个整点：设D（d，d），， ，进而得出，建立方程求解即可求得；当时，线段上只有1个整点，设，则线段上有个整点，线段上有个整点，得出，，可推出，再把点的坐标代入，即可得出． 【详解】（1）， ， 由，解得：， ， 点为整点，且点的横坐标是小于2的正整数， 点的横坐标为1， ， 把代入，得， 解得：， ， 联立得，解得：，， ， 由，解得：， ，， 线段上整点有1个：，线段上整点有4个：，，，． ； （2）线段上的整点个数为7，，必为整点， 为偶数， ， ，， ， 线段上有3个整点， ，， ， ， 解得：； （3）当时，线段AD上整点个数为2，即A、D两点， ∴线段BC上整点个数为2m，由对称可知，BD上整点个数为， 设D（d，d），则， 又∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 当时，线段AD上只有一个整点A， ∴线段BC上整点个数为m， 由对称BD上整点个数为，设A（a，a），则B， ∴， ∴， ∴，即； 综上，当时，；当时， 【点睛】本题考查的是反比例函数与一次函数的综合应用，抓住图象中的交点及其他特殊点的坐标和性质是解决问题的关键． 31．（22-23八年级下·浙江金华·期末）定义：在平面直角坐标系中，过点P，Q分别作x轴，y轴的垂线所围成的矩形，叫做P，Q的“关联矩形”，如图所示．    (1)已知点 ①若点B的坐标为，则点A，B的“关联矩形”的周长为______． ②若点C在直线上，且点A，C的“关联矩形”为正方形，求直线的解析式． (2)已知点，点，若使函数的图象与点M，N的“关联矩形”有公共点，求k的取值范围． 【答案】(1)①14；②直线的解析式为或； (2)且 【分析】（1）①由“关联矩形”的定义，可求“关联矩形”的边长，即可求解； ②先求出点 C 坐标，利用待定系数法可求解析式； （2）先求出反比例函数的图象与点 M 、 N 的“关联矩形”有1个公共点时， k 的值，即可求解． 【详解】（1）解：①∵，点B的坐标为， ∴点A，B的“关联矩形”的边长为5和2， ∴点A，B的“关联矩形”的周长为， 故答案为：14； ②设， ∵，点A，C的“关联矩形”为正方形， ∴， 解得：或， ∴或， 设直线的解析式为， 若过，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 若过，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 综上所述，直线的解析式为或； （2）解：如图：    当的图象过点时，函数的图象与点M，N的“关联矩形”有公共点， ∴， 当的图象过点时，函数的图象与点M，N的“关联矩形”有公共点， ∴， ∴当且时，函数的图象与点M，N的“关联矩形”有公共点． 【点睛】本题是反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，一次函数的性质，矩形的性质，理解新定义是解题的关键． 32．（22-23八年级下·浙江宁波·期末）定义：把能被一条对角线分成两个全等直角三角形的四边形叫做勾股四边形． (1)矩形______勾股四边形（填“是”或“不是”）． (2)如图在直角坐标系中，直线与双曲线相交于A，B两点，点在x轴负半轴上，Q为直角坐标平面上一点．    ①分别求出A、B两点的坐标． ②当四边形是平行四边形时，如图，请证明是勾股四边形． (3)在（2）的条件下，当以A、B、P、Q为顶点的四边形是勾股四边形时，请直接写出Q点的坐标． 【答案】(1)是 (2)①点A的坐标为，点B的坐标为；②证明见解析； (3)，或或 【分析】（1）根据矩形的性质证明全等三角形，即可得到答案； （2）①联立直线与双曲线，求出和的值，即可得到答案； ②先利用勾股定理的逆定理，得到，再利用平行四边形的性质，证明，进而即可证明结论； （3）设点Q的坐标为，分情况讨论：①当时，利用全等三角形的性质和平移的性质，即可求得点的坐标；②当时，利用全等三角形的性质和平移的性质，即可求得点的坐标；③当时， 设直线与轴交于点C，过点A作轴于点E，作轴，过点Q作于点F，先证明是等腰直角三角形，再证明，得到，，即可即可求得点的坐标；④当时，利用全等三角形的性质和平移的性质，即可求得点的坐标． 【详解】（1）解：四边形是矩形， ，，， 在和中， ， ， 矩形是勾股四边形， 故答案为：是；    （2）解：①直线与双曲线相交于A，B两点， 联立，解得：，， 当时，；当时，， 点A在第二象限，点B在第四象限， 点A的坐标为，点B的坐标为； ②证明：，，， ，，， ， ， 四边形是平行四边形， ，，， ， 在和中， ， ， 四边形是勾股四边形；    （3）解：由（2）可知，，，， 设点Q的坐标为， ①如图，当时，   ，， ，解得：， ； ②如图，当时，   ，， ，解得：， ； ③如图，当时， 设直线与轴交于点C，过点A作轴于点E，作轴，过点Q作于点F，则，     ，， 直线， 令，则，解得：， ， ，轴， ， ，，， 是等腰直角三角形， ， 轴， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ，解得：， ， ④如图，当时，   ，， ，解：， ， 综上所述，平面内还存在点Q，使得以A，B，P，Q为顶点的四边形是勾股四边形，Q点的坐标为或或或． 【点睛】本题是反函数综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，反比例函数与一次函数交点问题，勾股定理，平移的性质等知识，运用数形结合的思想和分类讨论的思想解决问题是解题关键． 题型十一 与反比例函数有关的最值问题 33．（23-24八年级下·浙江嘉兴·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点，与轴交于点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)根据图象直接写出不等式的解集； (3)设为线段上的一个动点（不与重合），过点作轴交反比例函数图象于点，当的面积最大时，求点的坐标，并求出面积的最大值． 【答案】(1)， (2)或 (3)，4 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式，二次函数的图象性质以及待定系数法求解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）由点坐标可得反比例函数解析式，由反比例函数解析式可得点坐标，可得一次函数解析式； （2）运用数形结合思想，根据函数的两个交点坐标，即可作答． （3）根据题意，设，表示出即可求解． 【详解】（1）∵在反比例函数的图象上 ∴ ∴反比例函数的解析式为 ∵在反比例函数的图象上 ∴，解得： ∴ ∵在一次函数的图象上 ∴，解得 ∴一次函数的解析式为； （2）根据图象可得不等式的解集为：或； （3）由（1）可知，， 设，则， ∴ ∴ ∴当时，的面积最大为4， ∴． 34．（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）如图，在坐标系中有一矩形，满足，，点为上一点，关于折叠得到，点落于边上．      (1)求的长度； (2)若关于的反比例函数图象经过点，与另一交点记为点； ①求该反比例函数解析式； ②在上有一动点，当点坐标为多少时，的周长最小？ 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）由四边形是矩形，所以，，，由折叠可知，，，所以； （2）①由折叠可知，，在中，由勾股定理可得，，所以，解之可得，将点代入反比例函数解析式可得，； ②由待定系数法可得，，令，解得或，则；由折叠可知，，如图，延长至点，使得，则，连接交于点，点即为所求；利用待定系数法可得，，及直线的解析式，令，解得，则，时，的周长最小． 【详解】（1）解：，， ，， 四边形是矩形， ，，， ，， 关于折叠得到， ，， ； （2）①，， ， 由折叠可知，， 在中，， ， ， ， 关于的反比例函数图象经过点， ， 该反比例函数解析式为； ②设直线的解析式为：， ，， ， 解得， ， 令，解得或， ； ； 由折叠可知，， 如图，延长至点，使得，则， 连接交于点，点即为所求；    设直线的解析式为：， ，解得， ， 同理可得直线的解析式为：， 令，解得， ， ， 即时，的周长最小． 【点睛】本题属于反比例函数与一次函数交点问题，涉及待定系数法求函数解析式，矩形的性质，勾股定理，折叠问题，轴对称求最值问题等相关知识，熟练掌握待定系数法是解题关键． 35．（23-24八年级下·浙江湖州·期末）如图1，将矩形纸片放置在如图所示的平面直角坐标系内，点与坐标原点重合，点的坐标为，折叠纸片使点落在轴上的点处，折痕为，过点作轴的平行线交于点，连接． (1)求证：四边形为菱形； (2)如图2，当点与点重合时，求点的坐标； (3)如图3，在(2)的条件下，点是线段上一动点，点是线段上一动点，过点的反比例函数的图象与线段相交于点，连接，，，，当四边形的周长最小时，求点，点的坐标． 【答案】(1)详见解析 (2) (3)点的坐标为，点的坐标为 【分析】（1）由题意得出，推出，由折叠的性质得出，，从而得出，推出四边形是平行四边形，结合，即可得证； （2）由折叠可得，由勾股定理可得，推出，设，则，，再由勾股定理计算即可得解； （3）由(2)得坐标为，设点坐标为，根据反比例函数的性质得出坐标为，作点关于轴的对称点，点关于轴的对称点，则，，连结，，得出，，四边形的周长，推出当四点共线时四边形的周长最小，待定系数法求出直线的解析式为：，即可得解． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形，且轴 折叠纸片使点落在轴上点处，折痕为， ，， ∴ 四边形是平行四边形 又 四边形为菱形． （2）解：点与点重合， 设，则，， 在中，，即， 解得， 点的坐标为； （3）解：由(2)得坐标为， 设点坐标为， 点都在反比例函数的图象上， ，， 即：， 解得， 坐标为， 作点关于轴的对称点，点关于轴的对称点，则，， 连结， ，， 四边形的周长， 当四点共线时四边形的周长最小， 设直线的解析式为，把，，代入，得 ， 解得， 直线的解析式为：， 令，即，得， 点的坐标为，点的坐标为． 【点睛】本题考查了折叠的性质、矩形的性质、菱形的判定定理、勾股定理、反比例函数的图象与性质、一次函数的应用、坐标与图形等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 36．（23-24八年级下·浙江金华·期末）如图，在第一象限内，，轴，点在的上方，点的坐标为，，，点在内（含边界），反比例函数的图象经过点． (1)当时 ①点在点处时，求的值． ②分别求出的最小值与最大值． (2)的最大值与最小值之差记作，求出关于的函数表达式及的取值范围． 【答案】(1)①；②的最小值为，最大值为 (2) 【分析】本题考查反比例函数性质、待定系数法求一次函数解析式及一元二次方程根的判别式，熟练掌握相关知识点是解题关键． （1）①根据求出点坐标，代入求出值即可；②先求出直线的解析式，根据反比例函数经过点时有最小值，当反比例函数与直线只有一个交点时有最大值，联立反比例函数和直线解析式，利用一元二次方程根的判别式求出得出最大值，把代入求出最小值即可； （2）根据得出，用表示点坐标，利用待定系数法用表示直线解析式，联立反比例函数和直线解析式，利用一元二次方程根的判别式用表示出的最大值，进而得出关于的函数表达式． 【详解】（1）解：①∵， ∴， ∵，轴，点的坐标为，， ∴，， ∵点在点处，反比例函数的图象经过点， ∴． ②点在内（含边界），反比例函数的图象经过点， ∴反比例函数经过点时有最小值，当反比例函数与直线只有一个交点时有最大值， 设直线的解析式为， ∵，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立反比例函数和直线解析式得， ∴， 整理得：， ∵反比例函数与直线只有一个交点时有最大值， ∴， 解得：， 当反比例函数经过点时，， ∴的最小值为，最大值为． （2）∵，轴，点的坐标为，，， ∴，，， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立反比例函数和直线解析式得， ∴， 整理得：， ∵反比例函数与直线只有一个交点时有最大值， ∴， 解得：， 由（1）可知：的最小值为， ∵的最大值与最小值之差记作， ∴． 题型十二 与反比例函数有关的存在性问题 37．（23-24八年级下·浙江温州·阶段练习）如图1，在平面直角坐标系中，在平面直角坐标系中，反比例函数（为常数，）的图象经过矩形的顶点，顶点分别在轴，轴的正半轴上，点为线段上的一个动点，点在直线上一点，点在反比例图象上． (1)求反比例函数表达式． (2)如图1，若点为对角线的中点时，且四边形是平行四边形，求长． (3)在坐标平面内，是否存在点，使得四边形为正方形，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，求反比例函数解析式，正方形的性质与平行四边形的性质； （1）把代入，即可求解； （2）设，，根据，，为对角线，利用中点坐标公式，即可求解； （3）根据矩形的性质可得，，得出直线的解析式为，分两种情况讨论，当在点右侧时，当在点左侧时，设，根据正方形的性质，全等三角形的性质，得出的坐标，进而代入解析式即可求解． 【详解】（1）解：∵在的图象上， ∴， ∴ （2）解：∵矩形的顶点，点为对角线的中点时， ∴为的中点，则， ∵点在直线上一点，点在反比例图象上，四边形是平行四边形， ∴， 设， ∵，，为对角线 ∴ 解得： ∴ ∴ （3）解：∵矩形的顶点， ∴， 直线的解析式为， 将，代入得 解得： ∴直线的解析式为， 如图所示，当在点右侧时，过点作，于点，过点作于点， ∴ ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴ ∴ ∵点为线段上的一个动点， 设，则,， ∴， ∴ ∵在上， ∴ 解得： ∴ 如图所示，当在点左侧时， 同理可得， ∴ 设， ∴ ∴ ∵在上， ∴ 解得：（舍去）或 ∴ 综上所述， 38．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）如图1，在平面直角坐标系中，点，过函数图象上一点作轴的平行线交直线于点，且．         (1)①求的长度（用含有的代数式表示）； ②求的值，并写出的解析式； (2)过函数图象上任意一点，作轴的平行线交直线于点，是否总有成立？请说明理由； (3)如图2，若是函数图象上的动点，过点作轴的垂线交直线于点，分别过点作的垂线交轴于点，问是否存在点，使得矩形的周长取得最小值？若存在，请求出此时点的坐标及矩形的周长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①；②，解析式为： (2)成立，理由见详解 (3)存在点P，且为，此时周长最小值为4 【分析】（1）用a的代数式表示出、，根据求出的值，然后利用待定系数法求出的值即可； （2）设，则，根据两点间距离公式求出的长即可； （3）设直线交轴于点，连接，，结合（2）可知，当且仅当、、三点共线时，矩形的周长取到最小值． 【详解】（1）解：①∵轴， ∴， ∴时，， ∴， ②∵， ∴， 解得：， ∴， 将点A代入得：， ∴解析式为：； （2）解：成立， 设，则， ， ∴ 而， ∴ ． （3）解：存在点P，使得矩形的周长取得最小值， 设直线交轴于点，连接，，由（2）得，， ∵矩形的周长， ， 当且仅当、、三点共线时，矩形的周长取到最小值， ∴，将代入得， ∴此时，点的坐标为． 【点睛】本题考查了反比例函数综合题，涉及两点间距离公式、垂线段最短、存在性问题，综合性很强，要灵活处理，同时注意从多角度解题． 39．（21-22八年级下·浙江金华·期末）如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，轴于，轴于，，，有一反比例函数图象刚好过点． (1)分别求出过点的反比例函数和过，两点的一次函数的表达式． (2)动点在射线（不包括点）上，过点作直线轴，交反比例函数图象于点．是否存在这样的点，使得以点，，，为顶点的四边形为菱形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)或或 【分析】本题主要考查反比例函数的综合题，熟练掌握待定系数法求解析式，一次函数的性质，反比例函数的性质，菱形的性质等知识是解题的关键． （1）根据题意分别求出点，点和点的坐标，然后用待定系数法求出函数解析式即可； （2）根据函数解析式设出点和点的坐标，若以点，，，为顶点的四边形为菱形则点在直线上，且，据此等量关系列方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，，，， 设过点的反比例函数解析式为， 代入点坐标得，， 解得， 过点的反比例函数的解析式为， 设直线的解析式为， 代入点和点坐标得，， 解得， 过，两点的一次函数的表达式为； （2）存在， 设，则， ①若以点，，，为顶点的四边形为菱形，则点在直线上，且， ， 整理得， 解得或， 当时，， 此时， 即； 当时，， 此时， 即； ②若以点，，，为顶点的四边形为菱形，则点在直线上，且与互相垂直平分， 则点的纵坐标为3，且， 解得， ， ， ， 综上所述，若以点，，，为顶点的四边形为菱形，则点的坐标为或或． 40．（23-24九年级上·湖南娄底·期末）如图，已知，是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点． (1)求反比例函数的解析式； (2)求△AOB的面积； (3)在坐标轴上是否存在一点P，使△AOP是等腰三角形？直接写出点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先把代入求得m的值即可； （2）把代入反比例函数的解析式求得n，最后把A，B两点代入即可求得一次函数解析式，再利用一次函数的解析式求得点C的坐标，利用即可求解； （3）分三种情况求解：①当时，②当时，③当时． 【详解】（1）∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的解析式为， （2）∵点在上， ∴， ∵，都在一次函数的图象上，代入得： ， 解得， ∴一次函数的解析式为； ∵直线与x轴交于点C，如图1， ∴， ∴， ∵A的坐标为，B的坐标为， ∴ ； （3）①当时， ∵， ∴， ∴； ②当时， 作轴于点E，则． ∵， ∴， ∴， ∴． 同理可求； ③当时 设， 则， 解得， ∴． 同理可求． 综上可知，点P的坐标为． 【点睛】此题考查了待定系数法，一次函数与反比例函数的交点，一次函数与坐标轴的交点，三角形的面积公式，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，用分类讨论和方程思想解决问题是解本题的关键． 41．（2024八年级下·浙江·专题练习）如图，四边形是矩形，，，反比例函数的图象过点．    (1)求的值． (2)点为反比例图象上的一点，作直线，轴，当四边形是正方形时，求点的坐标． (3)点为坐标平面上的一点，在反比例函数的图象上是否存在一点，使得以、、、为顶点组成的平行四边形面积为14？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)12 (2)点坐标为或 (3)点的坐标为或或或或或 【分析】本题是反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，待定系数法求解析式，正方形的性质，平行四边形的性质，中点坐标公式，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键． （1）先求出点坐标，代入解析式可求解； （2）分两种情况讨论，由正方形的性质可求解； （3）由平行四边形的面积为14，可求点坐标，再分为边和对角线两种情况讨论，由平行四边形的性质和中点坐标公式可求解． 【详解】（1）解：，， 点，点，点， 反比例函数的图象过点， ； （2）， 反比例函数解析式为：， 设点， 四边形是正方形， ， 当点在第一象限时， ， ，（舍去）， 点； 当点在第三象限， ， （舍去），， 点； 综上所述：点坐标为或； （3）设点坐标为， 若为边， 以、、、为顶点组成的平行四边形面积为14， ， ，， 点或， 以、、、为顶点组成的四边形是平行四边形， ，， 点或或或； 若为对角线， 设点， 以、、、为顶点组成的四边形是平行四边形， 与互相平分， ，或，， ，，或，， 点或， 综上所述：点的坐标为或或或或或． 42．（2022·山东泰安·二模）如图，正比例函数的图像与反比例函数的图像交于、两点．    (1)求反比例函数的解析式和点的坐标． (2)点为第一象限内反比例函数图像上一点，过点作轴的平行线，交直线于点，连接，如果的面积为，求点的坐标． (3)点在轴上，反比例函数图像上是否存在一点，使是以为直角边的等腰直角三角形，如果存在，直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)或 (3)存在，或或 【分析】（1）将代入，可得点坐标，将代入，可得的值，再根据点、关于原点对称，得出点的坐标； （2）设，则，根据，即可得出的方程； （3）分或，分别根据型全等，表示出点坐标，从而解决问题． 【详解】（1）解：将代入，得， 解得：， ∴， 将代入，得， 解得：， ∴反比例函数的解析式为， ∵点和点关于原点对称， ∴． （2）如图，过点作轴于点，交于， 设，则， ∵， ∴， 当时， 解得：或（负值不符合题意，舍去） 当时， 解得：或（负值不符合题意，舍去） ∴或， ∴点的坐标为或．    （3）存在，当时， 当点在轴正半轴时， 过点作轴，过点作于点， ∴， ∵是以为直角边的等腰直角三角形， ∴，，， ∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， 设， ∵ ∴， ∴， 解得：或（舍去）， ∴；    当点在轴负半轴时，如图， 过点作轴，过点作于点，过点作于点， 同样可得， ∴，， 设， ∵ ∴， ∴， 解得：或（舍去）， ∴；    当时， 当点在第一象限时， 过点作轴，过点作于点，过点作于点， 同样可得， ∴，， 设， ∵ ∴， 解得：， ∴；    当点在第三象限时， 过点作轴，过点作于点，过点作于点， 同样可得， ∴，， 设， ∵ ∴， 解得：， ∴， 综上所述，点的坐标为或或．    【点睛】本题反比例函数综合题，考查待定系数法求函数解析式，图形与坐标的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，构造型全等是解题的关键． 43．（22-23八年级下·浙江湖州·期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A和点B在x轴的负半轴上，，，以线段AB为边向上作正方形ABCD，反比例函数的图象经过顶点C，且与边AD相交于点E．    (1)当时，求k的值及点E的坐标； (2)连接OC，CE，OE． ①若的面积为，求该反比例函数的表达式； ②是否存在某一位置，使得．若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)存在，当时， 【分析】（1）当时，求得，，所以，则，再把代入求得即可得点E坐标； （2）①由题意得，，，所以，从而可求得 当，再根据，即，求解即可得，从而得，所以，即可求解； ②由，，则，，，当时，则，即，化简整理，得，求解即可． 【详解】（1）解：∵正方形ABCD，， ∴， ∵， 当时， ∴，， ∴； ∴， 令，则 ∴； （2）解：①，， ∴，，， ∴ 当时，， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴； ②由①知，， ∴，，， 当时，， ∴ 化简整理，得， 解得：，（舍去） ∴存在，当时，． 【点睛】本题考查正方形的性质，坐标与图形，求反比例函数解析式，反比例函数图象的性质，勾股定理．熟练掌握用待定系数法求反比例函数解析式和反比例函数图象的性质是解题的关键． 44．（2023·四川内江·一模）如图，双曲线：与直线在第一象限交于点． (1)求双曲线与直线的解析式； (2)曲线 是反比例函数在第四象限的分支，点B是上的一点，且是等腰直角三角形，，求的解析式； (3)是否在x轴上存在一点P，使的值最大，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在， 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）过点，点分别作轴，轴，可证，进而求得点，再利用待定系数法求解即可； （3）作关于轴的对称点，连接，，可得，，则，当，，在同一直线上时取等号，即此时取最大值，亦即此时点为直线与的交点，利用待定系数法求得直线解析式为：，令，求得得，可得． 【详解】（1）解：将点代入，可得，即：， ∴直线的解析式为：， 将点代入，可得，即：， ∴双曲线的解析式为：， （2）过点，点分别作轴，轴，则， ∵， ∴，， ∵，则 ∴， 又∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴，， 则， 将点代入，可得，即：， ∴的解析式为； （3）作关于轴的对称点，连接，，，可得， 则，当，，在同一直线上时取等号，即此时取最大值，亦即此时点为直线与的交点， 设直线解析式为：，将，代入， 可得：，解得：， ∴直线解析式为：， 当时，，得， ∴． 【点睛】本题考查待定系数法求解函数解析式，全等三角形的判定即性质，三角形的三边关系的应用，作出图形，利用数形结合是解决问题的关键． 45．（22-23八年级下·江苏无锡·期中）如图1，已知反比例函数的图像与一次函数的图像相交于，两点． (1)求反比例函数的表达式及，两点的坐标； (2)是轴上一点，是轴上一点，若以，，，为顶点的四边形是以为边的平行四边形，求点的坐标； (3)如图2，反比例函数的图像上有，两点，点的横坐标为，点的横坐标与点P的横坐标互为相反数，连接，，，．是否存在这样的使得的面积与的面积相等，若存在，求出的值：若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；，， (2)点坐标为或 (3)不存在，理由见解析 【分析】（1）将，代入一次函数解析式，求出值，再求出反比例函数的解析式，代入，求出点坐标； （2）根据平行四边形的性质，对边平行且相等，利用平移思想进行求解即可； （3）分别用含的式子表示出，的面积，再利用的面积与的面积相等，列式计算即可． 【详解】（1）解：反比例函数的图像与一次函数的图像相交于，两点， 将，代入，得：， ∴， ∴， ∴， 将代入得， 解得， ∴； （2）解：设，， ∵，， ∴点是由点先向左平移个单位，再向下平移个单位得到的； ∵以，，，为顶点的四边形是以为边的平行四边形， ①将点先向左平移3个单位，再向下平移3个单位，得到， 则：，即：，， ∴； ②将点先向左平移3个单位，再向下平移3个单位，得到， 则：，，即：， ∴； 综上：当点坐标为或时，以A，B，M，N为顶点的四边形是以为边的平行四边形； （3）如图，过点作轴交于点，过点作轴交于点， 由题意，可知：， 设直线的解析式为， 将，代入，则： 解得： 则直线的解析式为 当时，，则； ∵ ∴， ∴ ； 设直线的解析式为 将， 代入得： 解得： 则直线的解析式为 当时，则：， ∵， ∴， ； ∵， ∴， 解得：， 经检验原方程无解． 故不存在． 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用，反比例函数与几何的综合应用．正确的求出函数解析式，利用数形结合，分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 46．（22-23九年级上·重庆大渡口·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点两点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)连接并延长交双曲线于点C，点D为y轴上一动点，点E为直线上一动点，连接，求当最小时点D的坐标； (3)在（2）的条件下，连接，点M为双曲线上一动点，平面内是否存在一点N，使以点B，D，M，N为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)一次函数的解析式为；反比例函数解析式为 (2) (3)或或或 【分析】（1）根据点在反比例函数的图象上，可求出反比例函数解析式为，从而得到点B的坐标，再把点A、B的坐标代入一次函数，即可求解； （2）作点C关于y轴的对称点G，连接，过点G作于点F，连接交y轴于点J，设直线交y轴于点H，交x轴于点L，则，可得当点E与点F重合时，最小，最小值为的长，再根据双曲线的对称性可得点，从而得到点G的坐标，再证得是等腰直角三角形，可得点F与点L重合，从而得到此时点D与点J重合，即可求解； （3）分两种情况讨论：当以为边时，，且互相平分；当以为对角线时，，且互相平分，即可求解． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数解析式为， 把点代入得：， ∴点， 把点，代入得： ，解得：， ∴一次函数的解析式为； （2）解：如图，作点C关于y轴的对称点G，连接，过点G作于点F，连接交y轴于点J，设直线交y轴于点H，交x轴于点L，则， ∴， 即当点E与点F重合时，最小，最小值为的长， 对于， 当时，，当时，， ∴， ∴， ∵连接并延长交双曲线于点C，点， ∴点， ∴点， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴点F在的垂直平分线上， 即点F与点L重合， ∴此时点D与点J重合， ∴当最小时点D的坐标为； （3）解：设点，， 当以为边时，，且互相平分，即 ，解得：或， 经检验：是原方程组的解，且符合题意， ∴点N的坐标为或； 当以为对角线时，，且互相平分，即 ，解得：或， 经检验：是原方程组的解，且符合题意； ∴点N的坐标为或； 综上所述，点N的坐标为或或或． 【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数的交点问题，矩形的性质，熟练掌握一次函数与反比例函数的图象和性质，矩形的性质，利用数形结合思想解答是解题的关键． 47．（22-23九年级上·贵州铜仁·阶段练习）如图1，一次函数的图像与y轴交于点A，与反比例函数的图像交于点，连接． (1)___________，___________． (2)若点P在第三象限内，是否存在点P使得是以为直角边的等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． (3)如图2，C是线段上一点（不与点A，B重合），过点C且平行于y轴的直线l交该反比例函数的图像于点D，连接，，．若四边形的面积为3，求点C的坐标． 【答案】(1)1， (2)或 (3) 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）分两种情况讨论：①当点O为直角顶点时；②当点B为直角顶点时；分别求解即可； （3）由，即可求解． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图像上， ∴，即． ∵一次函数的图像过点， ∴，解得． 故答案为：1，； （2）解：存在．理由如下： 若是以为直角边的等腰直角三角形，则需要分两种情况讨论： ①当点O为直角顶点时， 如图，过点O作且，分别过点B、作y轴的垂线，垂足分别为E、F， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴ ②当点B为直角顶点时， 如图，过点B作，且，连接， ∴四边形是正方形， ∴，， ∴． 综上，点P的坐标为或． （3）解：∵点C在线段AB上（不与点A，B重合）， ∴设点， 则点， 则， 解得，（舍去）， 故点C的坐标为． 【点睛】此题是一道反比例函数与一次函数的综合题，主要考查了待定系数法、三角形全等的判定与性质、图形的面积计算等知识，熟练掌握并灵活运用相关知识、添加辅助线构造全等三角形与分类讨论的思想是解答此题的关键． 题型十三 反比例函数与实际问题 48．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）如图是海洋公园娱乐设施“水上滑梯”的侧面图，建立如图坐标系．其中为水面，滑梯段可看成是反比例函数图象的一段，矩形为向上攀爬的梯子，梯子高为6米，宽为1米，出口点到的距离为4米，求： (1)段所在的反比例函数关系式是什么？ (2)点到轴的距离长是多少？ (3)若滑梯上有一个小球，距水面的高度不高于3米，则到的距离至少多少米？ 【答案】(1) (2)米 (3)至少1米 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，正确求出点的坐标，得出反比例函数解析式是解题的关键． （1）设段所在的反比例函数关系式为，根据、的长，得出点坐标，代入关系式可求出，根据可求出的取值范围； （2）把的长代入关系式即可； （3）根据距水面的高度不高于米得出，即可得出的取值范围，进而可得出到的最小距离，可得答案． 【详解】（1）解：设段所在的反比例函数关系式为， ∵， ∴， 解得：， ∵出口点到的距离为米， ∴， ∴段所在的反比例函数关系式为； （2）解：∵， 当时，， ∴点到轴的距离长为米； （3）解：∵距水面的高度不高于米， ∴， 即， 解得：， ∴， ∴到的距离至少米． 49．（23-24八年级下·浙江温州·期末）综合与实践：探索某款冷柜的日耗电量． 素材1：图1是某款冷柜，耗电功率为0.15千瓦．当内部温度为时，冷柜运行，当温度下降到时，停止运行，温度上升，到时，冷柜再次运行，如此循环． 素材2：冷柜内部温度与时间的关系如图2所示． 当时，是的一次函数；当时，是的反比例函数． 链接：冷柜每天耗电量（度）耗电功率（千瓦）每天运行时间（小时）． 任务1：求时，关于的函数表达式． 任务2：求该冷柜一天的耗电量． 【答案】任务1：；任务2：每天耗电量为度 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，解题的关键是根据点的坐标，利用待定系数法求出函数关系式． 任务1：设时，关于的函数表达式为，将点代入，利用待定系数法求解即可； 任务2：结合任务1，可解得冷柜每20分钟为一个循环，然后根据“冷柜每天耗电量（度）耗电功率（千瓦）每天运行时间（小时）”求解即可． 【详解】任务1：设时，关于的函数表达式为， 将点代入，可得 ， ∴时，关于的函数表达式为； 任务2：当时，可有，解得， ∵冷柜每20分钟为一个循环， ∴每天共有循环个数：（个）， ∴冷柜每天运行的时间为分钟， ∴每天耗电量为：（度）． 50．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）视力表中蕴含着很多数学知识，如：每个“E”形图都是正方形结构，同一行的“E”是全等图形且对应着同一个视力值，不同的检测距离需要不同的视力表． 素材1  国际通用的视力表以5米为检测距离，任选视力表中7个视力值n，测得对应行的“E”形图边长b（），在平面直角坐标系中描点如图1． 探究1  当检测距离为5米时，根据图1中数据，求出视力值n关于“E”形图边长b（）的函数表达式，并求视力值1.2所对应行的“E”形图边长b．    素材2  图2为标准视力对照表，在检测视力时，眼睛能看清的最小“E”形图所对应的视力值n往往可以判断视力情况，近年来，随着电子产品的普及化，我国青少年近视现象越来越普遍，视力测试中大多青少年的视力值n低于1.0，属于视力不良． 探究2  视力测试中，当检测距离为5米时，低度近视区的视力值n的范围为，根据函数增减性直接写出低度近视的人眼睛能看清的最小“E”形图的边长范围．    素材3  图3为视网膜成像示意图，在检测视力时，眼睛能看清最小“E”形图所成的角叫做分辨视角θ．如图4，当θ确定时，在A处用边长为的Ⅰ号“E”测得的视力与在B处用边长为的Ⅱ号“E”测得的视力相同． 探究3  若检测距离为2.5米，求视力值1.2所对应行的“E”形图边长．    【答案】探究1：视力值n关于“E”形图边长b（mm）的函数表达式为；视力值1.2所对应行的“E”形图边长； 探究2：视力值n的范围为时，“E”形图的边长范围为 探究3：若检测距离为2.5米，视力值1.2所对应行的“E”形图边长 【分析】（1）由图象中的点的坐标规律得到n与b成反比例关系，由待定系数法可得，将代入得：； （2）根据反比例函数的增减性求解即可； （3）由素材可知，当某人的视力确定时，其分辨视角也是确定的，可得，即可解得答案． 【详解】探究1：由图象中的点的坐标规律得到n与b成反比例关系， 设 将代入得：，解得： ∴，将其余各点一一代入验证，都符合关系式， 将代入得： ∴视力值n关于“E”形图边长b（）的函数表达式为；视力值1.2所对应行的“E”形图边长； 探究2：由探究1得： 当时，；当时，； ∴视力值n的范围为时，“E”形图的边长范围为； 探究3：由素材可知，当某人的视力确定时，其分辨视角也是确定的， ∴ 由探究1得： ∴ ，解得： ∴若检测距离为2.5米，视力值1.2所对应行的“E”形图边长 【点睛】本题考查反比例函数的综合应用，涉及待定系数法，函数图象上点坐标的特征等知识，解题的关键是读懂题意，能将生活中的问题转化为数学问题加以解决． 题型十四 与反比例函数有关的跨学科问题 51．（22-23九年级上·福建福州·期末）已知电源电压且保持不变，试验用到的定值电阻的阻值为5Ω，10Ω，15Ω，20Ω，25Ω；滑动变阻器．在确保电路安全无故障的情况下，李老师开始实验，多次更换定值电阻，调节滑动变阻器的滑片，使电压表示数保持不变，记录下电流表的示数，得到下表． （单位：Ω） 5 10 15 20 25 （单位：A） 0．4 (1)从你学过的函数中，选择合适的函数类型刻画电流随电阻的变化规律，请直接写出与的函数关系式 ； (2)在（1）的条件下，直接写出，的值，并画出该函数在第一象限的图象； (3)已知该滑动变阻器允许通过的最大电流为1A，记其电阻为．将定值电阻更换为一电阻箱，根据物理知识可知电源电压．在（1）的条件下，当电阻箱可调电阻的取值范围为时，为保证电路安全，取值范围是 ． 【答案】(1) (2)，函数图象见解析 (3) 【分析】（1）根据欧姆定律进行求解即可； （2）根据（1）所求的关系式代值计算，再画出对应的图形即可； （3）分别求出通过滑动变阻器的最大电流和最小电流，根据（1）所求关系求出对应的电阻即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，电压表的度数为， ∴由欧姆定律得， 故答案为：； （2）解：当时，，当时，， 函数图象如下所示； （3）解：由题意得， ∴， ∵， ∴， ∴； 又∵定值电阻的电压固定为， ∴电流的最小值为， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的实际应用，画反比例函数图象，一元一次不等式组的实际应用，正确理解题意是解题的关键． 52．（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）电学知识告诉我们：用电器的功率P（单位：W）、两端的电压U（单位：V）及用电器的电阻R（单位∶Ω）有如下关系： ．现有一个电阻可调节的用电器，其范围为．已知电压为，这个用电器的电路图如图所示．    (1)写出功率P关于电阻R的函数关系式． (2)这个用电器功率的范围是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将代入中，即可得P与 R的函数关系式为； （2）根据R的范围，将R的最小值和最大值分别代入中，即可求出P的最大值和最小值，由此可得P的范围． 本题主要考查了反比例函数的定义和性质，利用反比例函数解决实际问题．熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 【详解】（1）解∶根据电学知识，当时，由得． （2）解：将电阻的最小值代入， 得 ． 将电阻的最大值代入， 得． 所以用电器功率的范围是． 53．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）综合实践：自制密度秤测量液体密度． 问题情境：实验小组利用天平制作了一台密度秤．如图，支点固定不变，左侧托盘固定在点，，托盘上放置质量为的砝码；右侧托盘点在上滑动，，托盘上放置纸杯，实验时分别向杯中倒入的不同液体，滑动点，使天平保持平衡．（杠杆原理：砝码的质量杯中液体的质量．液体的质量液体的密度体积，） 问题解决： (1)设右侧托盘液体的密度为，的长为，若，求关于的函数表达式．并求出的取值范围． (2)若在纸杯中倒入的水时，滑动点，当点到达点处时，天平保持平衡：若向纸杯中倒入等体积的某种液体后，点从点向右滑动至点处，天平保持平衡．刻度显示：点处的读数正好是点处的读数的，求这种液体的密度． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，解题的关键是理解题意，根据杠杆平衡条件列出等式． （1）根据杠杆平衡条件，列出函数解析式，根据，求出的取值范围即可； （2）设点处的读数为，则点N处的读数为，根据杠杆平衡条件得出，根据，求出． 【详解】（1）解：根据杠杆平衡原理可得：， 即， ∴， ∵， ∴； （2）解：设点处的读数为，则点N处的读数为， 即，， 根据杠杆平衡条件得：， ， ∴， 即， ∵， ∴． 54．（2024·浙江杭州·一模）根据以下素材，探索完成任务 探索铁块放在桌面上，桌子能否承受？ 素材1 如图，把铁块放在桌面上，则桌面所承受的压力与铁块的重力相等． 素材2 重力=质量×重力系数；密度；压强． 铁的密度为，重力系数． 素材3 假设桌面所能承受的最大压强为． 长方体铁块的长、宽、高分别为． 问题解决 任务1 求铁块的重力为多少N？ 任务2 直接写出铁块对桌面的压强关于受力面积的函数表达式． 任务3 利用函数的性质判断能否把这个铁块放在这张桌面上？ 【答案】任务1：；任务2：；任务3：只有将铁块最大面长，宽，放在桌面上，桌面才能承受 【分析】本题考查了反比例函数的应用； 任务1：根据重力质量重力系数；密度，列式计算即可求解； 任务2：压强，即可求解； 任务3：根据反比例函数的性质可得随的增大而减小，根据桌面所能承受的最大压强为，分别计算三个侧面分别放置在桌面上时的压强，即可求解． 【详解】解：任务1：依题意， 任务2：依题意， 任务3：∵随的增大而减小， ∴当时， ∵. ∴只有将铁块最大面长，宽，放在桌面上，桌面才能承受 $$