精品解析：天津市第一百中学、咸水沽第一中学2024-2025学年高二下学期5月期中联考数学试题

2024~2025 学年度第二学期期中联考 高二数学 本试卷满分150分，考试用时120分钟． 一、选择题（共9小题，每小题5分，共计 45 分．每小题有且仅有一项符合题目要求） 1. 已知函数则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2. 在一次数学复习课上，黑板上从左至右分别为直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线5道题．现有6名学生去黑板上作答，甲乙同学先后作答同一道题，丙同学作答的题目不能与甲乙作答的题目相邻，则6名学生的答题方案有（ ） A. 60种 B. 72种 C. 120种 D. 144种 3. 设随机变量的分布列如下表格，且随机变量的数学期望，则（ ） 0 1 2 A. B. C. D. 4. 若函数，则的一个单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 5. 甲罐中有3个红球、2个黑球乙罐中有4个红球、2个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐．以表示事件“由甲罐取出的球是红球”，再从乙罐中随机取出两个球，以表示事件“由乙罐取出的两个球均是红球”，则（ ） A. B. C. D. 6. ，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 7. 设，则下列结论中正确的个数为（ ） ① ② ③ ④ A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 8. 千里烟尘书香近，异乡耕耘报国情．离家辛勤育人梦，天下繁花桃李红．越来越多的大学生选择毕业后支教边远山区，这项活动不仅是对孩子们未来的投资，也是这些年轻志愿者自身成长与蜕变的旅程．现有5名大学生，每人从甘肃、贵州、云南地区选择一个地区支教，则至少有2人都选择贵州地区支教的概率为（ ） A. B. C. D. 9. 已知函数 对于 恒有 则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共6小题，每小题5分，共计 30分） 10. 在 的展开式中，的系数为_________（用数字作答）． 11. 曲线在处切线的一般式方程为__________． 12. 在一次高二数学联考中，某校数学成绩X近似服从正态分布．已知，则从该校高二学生中任选一名学生，其数学成绩为120分以上的概率为_________． 13. 2025年，上海合作组织峰会、2025夏季达沃斯论坛双主场齐聚天津！现需将6名工作人员安排到“内宾接待”、“会议保障”、“媒体宣传”三项工作，每人必须安排且只能安排一项工作，若“内宾接待”安排2名工作人员，“会议保障”、“媒体宣传”至少安排1名工作人员，则不同的安排方法有______种（用数字作答）；若三项工作各安排2人，则甲和乙安排相同工作的概率为_______． 14. 已知函数及其导函数的定义域均为R， 是偶函数， 函数的图象是一条连续不断的曲线， 且，则不等式 的解集为______． 15. 已知函数，函数若方程恰有4个不相等的实数根，则实数m的取值范围是_____． 三、解答题（本题共5小题，共75分．解答需写出必要的文字说明、推理过程或计算步骤，只有结果的不给分） 16. 已知函数 （1）求函数的极值； （2）若方程在上有两个不相等的实数根， 求实数的取值范围． 17. 为提高天津市的整体旅游服务质量，市旅游局举办了天津市旅游知识竞赛，参赛单位为本市内各旅游协会，参赛选手为持证导游．现有来自甲旅游协会的导游5名，其中高级导游4名；乙旅游协会的导游5名，其中高级导游2名、从这10名导游中随机选择4人参加比赛． （1）设A为事件“选出的4人中恰有2名高级导游，且这2名高级导游来自同一个旅游协会”，求事件A发生的概率； （2）设ξ为选出的4人中高级导游的人数，求随机变量ξ的分布列和数学期望 18. 在如图所示的几何体中，四边形是菱形，，四边形是矩形，平面，，，点E为的中点． （1）求证平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）在直线上存在动点P，使得直线与平面所成角的余弦值为求线段的长． 19. 已知函数 （1）讨论的单调性； （2）当时， ， 求实数 的最大值． （3）当时， 设的极大值为， 求证： 20. 已知函数，，（其中）． （1）当时，直线是曲线的一条切线，求实数的值； （2）当时，若，使得，求实数的取值范围； （3）若方程有两个不同的实数根，证明： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025 学年度第二学期期中联考 高二数学 本试卷满分150分，考试用时120分钟． 一、选择题（共9小题，每小题5分，共计 45 分．每小题有且仅有一项符合题目要求） 1. 已知函数则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】对函数求导并直接代入计算可得结果. 【详解】易知， 则. 故选：A 2. 在一次数学复习课上，黑板上从左至右分别为直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线5道题．现有6名学生去黑板上作答，甲乙同学先后作答同一道题，丙同学作答的题目不能与甲乙作答的题目相邻，则6名学生的答题方案有（ ） A. 60种 B. 72种 C. 120种 D. 144种 【答案】D 【解析】 【分析】法一利用插空法即可；法二根据甲乙同学先后作答同一道题分类应用乘法原理结合排列数计算求解. 【详解】法一：先将甲乙看作一个整体，要求其与丙不相邻，先排列其余三人共有种，再将甲乙整体和丙插入个空隙中有种， 最后将甲乙排序有种， 则共有答题方案有种. 法二：甲乙同学先后作答同一道题是直线或抛物线，丙同学作答的题目是椭圆，其他人作答其他剩下的题，共有； 甲乙同学先后作答同一道题是圆、椭圆、双曲线，丙同学作答的题目是椭圆，其他人作答其他剩下的题，共有； 所以共有答题方案有种. 故选：D. 3. 设随机变量的分布列如下表格，且随机变量的数学期望，则（ ） 0 1 2 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用分布列性质以及期望值性质计算可得结果. 【详解】易知，解得； 因此. 故选：D 4. 若函数，则的一个单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】对函数进行求导，令即可求解 【详解】由可得， 令，解得， 所以的单调递增区间是， 故选：B 5. 甲罐中有3个红球、2个黑球乙罐中有4个红球、2个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐．以表示事件“由甲罐取出的球是红球”，再从乙罐中随机取出两个球，以表示事件“由乙罐取出的两个球均是红球”，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用条件概率公式直接计算可得结果. 【详解】易知，； 所以. 故选：C 6. ，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】构造函数，并利用导数研究其单调性，再通过函数单调性比较大小． 【详解】解：设，，则，， 当时，；当时，， 在上单调递增，在上单调递减， ，，，中最大， 又，，而， ，， 故， 故选：B． 7. 设，则下列结论中正确的个数为（ ） ① ② ③ ④ A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】根据展开式的通项可判断①；利用赋值法可判断②，③；对原式求导后再赋值可判断④. 【详解】展开式的通项为，， 所以 ，故①正确； 令，可得， 令，可得，（1） 所以，故②正确； 令，可得，（2） （1）（2）可得， 所以，故③正确； 对两边求导， 可得， 令，可得，故④正确； 所以结论中正确的个数为个. 故选：. 8. 千里烟尘书香近，异乡耕耘报国情．离家辛勤育人梦，天下繁花桃李红．越来越多的大学生选择毕业后支教边远山区，这项活动不仅是对孩子们未来的投资，也是这些年轻志愿者自身成长与蜕变的旅程．现有5名大学生，每人从甘肃、贵州、云南地区选择一个地区支教，则至少有2人都选择贵州地区支教的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用对立事件的概率关系求解. 【详解】由题，“至少有2人都选择贵州地区支教”的对立事件为只有1人选择贵州地区支教和没有人选择贵州地区支教， 只有1人选择贵州地区支教的情况有种，没有人选择贵州地区支教的情况有种， 所以至少有2人都选择贵州地区支教的概率. 故选：B. 9. 已知函数 对于 恒有 则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先由单调递增去掉不等式中的绝对值，再转化为，而后构造函数，恒成立问题转化为求函数值域问题. 【详解】解：求导可得， 由的范围可知，即在区间上单调递增，故 ， 则原不等式可化为. 又， 不妨设，由可得，且. 令，，则有且，原不等式可化为 ， 即， 即在上恒成立. 设，可知在上单调递增， 则在上恒成立，故. 令，则， 因为，， 故在上单调递减，在上单调递增， ，即， 故选：. 【点睛】关键点点睛：首先根据单调递增去掉不等式中的绝对值，而后变形构造函数，这是本题的关键. 二、填空题（本题共6小题，每小题5分，共计 30分） 10. 在 的展开式中，的系数为_________（用数字作答）． 【答案】 【解析】 【分析】先写出展开式的通项，然后令的指数为，即可求解. 【详解】的展开式的通项为， 令，则，所以的系数为. 故答案为：. 11. 曲线在处切线的一般式方程为__________． 【答案】 【解析】 【分析】对函数求导并利用导数的几何意义即可求出切线方程. 【详解】易知， 则，又， 因此切线方程为， 即切线的一般式方程为. 故答案为： 12. 在一次高二数学联考中，某校数学成绩X近似服从正态分布．已知，则从该校高二学生中任选一名学生，其数学成绩为120分以上的概率为_________． 【答案】 【解析】 【分析】利用正态分布的对称性计算即可得出结果. 【详解】易知正态分布关于90对称， 所以， 可得. 故答案为：. 13. 2025年，上海合作组织峰会、2025夏季达沃斯论坛双主场齐聚天津！现需将6名工作人员安排到“内宾接待”、“会议保障”、“媒体宣传”三项工作，每人必须安排且只能安排一项工作，若“内宾接待”安排2名工作人员，“会议保障”、“媒体宣传”至少安排1名工作人员，则不同的安排方法有______种（用数字作答）；若三项工作各安排2人，则甲和乙安排相同工作的概率为_______． 【答案】 ①. 210 ②. ## 【解析】 【分析】根据分组分配先将6人分成三组，再进行分配即可求得不同的安排方法；再利用古典概型计算可得所求概率. 【详解】根据题意可将6名工作人员分成三组，符合题意的分组为2，1，3或2，2，2； 因此不同的安排方法有种； 若三项工作各安排2人，共有种， 则甲和乙安排相同工作的方法有种， 所以甲和乙安排相同工作的概率为. 故答案为：210，. 14. 已知函数及其导函数的定义域均为R， 是偶函数， 函数的图象是一条连续不断的曲线， 且，则不等式 的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】求导，得到，根据条件推出当时，，当时，，得到的单调性，变形得到，结合的奇偶性得到不等式，求出答案. 【详解】， 又， 故， 即， 当时，， 当时，， 又，故当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 其中， ， 则， 又为偶函数，故， 所以，故，解得. 故答案为： 15. 已知函数，函数若方程恰有4个不相等的实数根，则实数m的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】分段讨论方程，当时，利用分离变量法求解参数的范围，当时，利用一元二次函数的根求解即可.总共的解个数是四个，分大于零两个解，小于零两个解，从而得到最终的结果. 【详解】当时，由，得，整理得 设，则，由，得， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 故在时取得极大值，则极大值为. 由图象可知，当时，方程有两个解；当或时，方程有一个解；当时，方程无解. 当时，由得方程为， 整理为： 解为或二次方程， 二次方程根为 由韦达定理，根一正一负，故时总有一个负根，加上，共两个解， 所以当时，方程有两个解， 综上当时，方程恰有4个不相等的实数根，. 故答案为： 三、解答题（本题共5小题，共75分．解答需写出必要的文字说明、推理过程或计算步骤，只有结果的不给分） 16. 已知函数 （1）求函数的极值； （2）若方程在上有两个不相等的实数根， 求实数的取值范围． 【答案】（1）极小值，无极大值 （2） 【解析】 【分析】（1）求导，令和，得出函数的单调性，结合极值的概念即可求解； （2）将问题转化为函数图象与直线在上有两个交点，结合（1）即可求解. 【小问1详解】 ． （）， 令，则，令，则， 在单调递减，在单调递增． 极小值为，无极大值． 【小问2详解】 方程在上有两个不相等的实数根， 即函数图象与直线在上有两个交点. 由（1）可知在单调递减，在上单调递增, 且，，, , 故实数的取值范围为 17. 为提高天津市的整体旅游服务质量，市旅游局举办了天津市旅游知识竞赛，参赛单位为本市内各旅游协会，参赛选手为持证导游．现有来自甲旅游协会的导游5名，其中高级导游4名；乙旅游协会的导游5名，其中高级导游2名、从这10名导游中随机选择4人参加比赛． （1）设A为事件“选出的4人中恰有2名高级导游，且这2名高级导游来自同一个旅游协会”，求事件A发生的概率； （2）设ξ为选出的4人中高级导游的人数，求随机变量ξ的分布列和数学期望 【答案】（1） （2）分布列见解析；期望为 【解析】 【分析】（1）根据组合数的计算以及古典概型概率问题的计算公式求得事件发生的概率； （2）由题意得的所有可能取值为0，1，2，3，4，然后根据超几何分布的知识求出相应的概率，从而可求得分布列和数学期望. 【小问1详解】 由已知条件知，当两名高级导游来自甲旅游协会时，有种不同选法， 当两名高级导游来自乙旅游协会时，有种不同选法， 则； 【小问2详解】 随机变量的所有可能取值为0，1，2，3，4， ，， ，， ， 随机变量的分布列为 0 1 2 3 4 随机变量的数学期望为. 18. 在如图所示的几何体中，四边形是菱形，，四边形是矩形，平面，，，点E为的中点． （1）求证平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）在直线上存在动点P，使得直线与平面所成角的余弦值为求线段的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）通过线线平行证明线面平行即可； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求解夹角问题； （3）设，利用线面角的余弦值求出正弦值，利用空间向量建立等式求出，再利用空间两点间的距离公式进行求解． 【小问1详解】 设与交于点，连接 四边形是菱形，是矩形， 所以且，且， 则且， 四边形是平行四边形，则是的中点． 是的中点， ，平面，平面， 平面． 【小问2详解】 连接，由四边形是菱形，， 为正三角形， 又是的中点，得，即， 平面，、平面， ，， 以为原点，所在的直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示 则，，，，， 得，，， 设平面的一个法向量为 则 令，得，， 平面的一个法向量为， 令，得，，， 得， 平面与平面所成角的余弦值为； 【小问3详解】 设，且， 由（2）知平面的法向量为， 设直线与平面的所成角为，则， 所以， 解得或， 或． 19. 已知函数 （1）讨论的单调性； （2）当时， ， 求实数 的最大值． （3）当时， 设的极大值为， 求证： 【答案】（1）答案见解析 （2）3 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求出函数及其导数，再分类讨论求出的单调区间. （2）等价变形给定不等式分离参数，构造函数，利用导数探讨其最小值即可. （3）由（1）求出，再分类并结合导数证明不等式. 【小问1详解】 函数定义域为R，， ①当时，令，； ， 函数在上单调递增，在上单调递减； ②当时，令，或；，， 函数在和上单调递增，在上单调递减； ③当时，，函数在上单调递增； ④当时，令，或；，； 函数在和上单调递增，在单调递减， 所以当时，函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，函数在和上单调递增，在上单调递减； 当时，函数在上单调递增； 当时，函数在和上单调递增，在单调递减. 【小问2详解】 ，不等式恒成立， 令，求导得， 令，求导得，在上递增， 而，，则使得，即， 当时，，此时；当时，，此时， 在上递减，在上递增， ，， 所以的最大整数值为3． 【小问3详解】 由（1）知，当时，的极大值等于； 当时，，单调递增，无极大值； 当时，当时，，当时，， 函数的极大值等于， 令，求导得， 在上，在上，， 因此在上单调递减，在上单调递增，故， 综上可得：. 20. 已知函数，，（其中）． （1）当时，直线是曲线的一条切线，求实数的值； （2）当时，若，使得，求实数的取值范围； （3）若方程有两个不同的实数根，证明： 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线方程表达式即可得的值； （2）根据不等式有解，构造函数并求得函数的最大值即可求得实数的取值范围； （3）由方程根的个数利用同构思想令，结合其单调性可得，又因为的两实数根，令并求出其单调性并由换元法可证明，可得出结论. 【小问1详解】 易知 由，可得． 又，设切点为 则，解得或（舍） 因此，即切点， 将切点代入，所以可得． 【小问2详解】 ，，使得， 即能成立， 因此在能成立，即， 令，，， 令，， 在上单调递减，， 因为，时，，此时 当时，，此时； 在单调递增，在单调递减， 可得， 因此实数的取值范围为. 【小问3详解】 由，得， 若有两个不同的实数解，则，， 两式相减得，即，所以． 不妨设，，则， 所以在上单调递增，此时，所以． 所以，即，所以① 由，得有两个不同的实数解， 令，， 当时，，单调递增，当时，单调递减， 由，，所以，． 令，则方程有两个不同的实数解，． ， 当时，；当时，； 所以在上单调递增，在上单调递减，则． 所以，则有． 设，，则， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 此时，即，故， 当且仅当时等号成立． 不妨设直线与直线，交点的横坐标分别为，， 则， 所以．②． 综上． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $