10.5分式方程 （在实际问题中的运用）练习2024-2025学年苏科版数学八年级下册

2024-2025学年苏科版数学八年级下册 10.5分式方程 （在实际问题中的运用） 【典型例题】 【例1】某文具厂加工一种学生画图工具套，在加工了套后，采用了新技术，使每天的工作效率是原来的倍，结果提前5天完成任务，若设该文具厂原来每天加工x套这种学生画图工具，则根据题意，可列方程（ ） A. B. C. D. 【例2】《千里江山图》是宋代王希孟的作品，如图，它的局部画面装裱前是一个长为2.4米，宽为1.4米的矩形，装裱后，整幅图画宽与长的比是8：13，且四周边衬的宽度相等，则边村的宽度应是多少米?设边衬的宽度为x米，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 【例3】周末，王芳和李华相约去图书馆看书．王芳家距离图书馆5千米．李华家距离图书馆8千米．王芳骑自行车前往．李华坐公交车前往，李华坐公交车的平均速度是王芳骑自行车平均速度的两倍，他们同时出发，且李华比王芳先3分钟到达图书馆．设王芳的速度为x千米/小时，则可列方程： ． 【例4】秦始皇统一度量衡意义重大，这一举措极大地方便了生产与生活．如图1和2，欣欣通过两把不同刻度的直尺说明了其中的原因，并进行如下探究：将两把尺子有刻度的一侧紧贴，则由两幅图可得方程 ． 【例5】某学校组织同学乘大巴车前往“研学旅行”基地开展爱国教育活动，基地离学校有90千米，队伍从学校出发．辅导员因有事请，从学校自驾小车以大巴车1.5倍的速度追赶，结果同时达到目的地．求大巴车与小车的平均速度各是多少？ 【例6】观音桥的某水果店花费6000元购进淡雪草莓，另花费1000元购进牛奶草莓，淡雪草莓的进价是牛奶草莓的进价的2倍，淡雪草莓的数量比牛奶草莓的数量多100千克． （1）求牛奶草莓每千克的进价； （2）该水果店第一周以40元/千克的价格售出牛奶草莓3m千克，第二周每千克售价降低了0.5m元，售出20千克，第三周售价在第一周的基础上打七折，购进的牛奶草莓剩余部分全部售罄、若购进的牛奶草莓总利润不低于796元，求m的最小值． 【举一反三】 【变式1】为了落实“双减”政策，进一步丰富文体活动，学校准备购进一批篮球和足球．已知每个篮球的价格比每个足球的价格多30元，用1800元购进篮球的数量比用900元购进足球的数量多4个．如果设每个足球的价格为x元，那么可列方程为（   ） A． B． C． D． 【变式2】算经之首《九章算术》中有这样一题：“今有邑方不知大小，各中开门，出北门二十步有木，出南门一十四步，折而西行一千七百七十五步见木．问邑方几何？”其大意为“今有正方形小城，不知其大小，东南西北城墙正中央各开有一城门．出北城门20步处有一棵树，出南城门14步，转而西行1775步恰好能看见那棵树．问正方形小城的边长是多少？”若设正方形小城的边长为步，则所列方程正确的是　　 A． B． C． D． 【变式3】绿水青山就是金山银山，为了创造良好的生态环境，防止水土流失，某村计划在荒坡上种树800棵，由于青年志愿者支援，实际每天种树的棵数是原计划的2倍，结果提前5天完成任务，则原计划每天种树多少棵．若原计划每天种树x棵，则可以列出方程为（　　） A． B． C． D． 【变式4】DeepSeek公司研发的两个AI模型R1和R2共同处理一批数据．已知R2单独处理数据的时间比R1少2小时．若两模型合作处理，仅需1.2小时即可完成．设R1单独处理需要x小时，则下列方程正确的是（　　） A． B． C． D．x+（x﹣2）＝1.2 【变式5】 某社区计划对固定区域进行绿化，经招标，甲、乙两个工程队中标，全部绿化工作由甲、乙两个工程队来完成，已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化面积的2倍，并且在独立完成面积为区域的绿化时，甲队比乙队少用4天．求甲工程队每天能完成绿化的面积． 【变式6】为了改善生态环境，防止水土流失，某村计划在荒坡上种树480棵．由于青年志愿者的支援，每天比原计划多种，结果不仅提前1天完成任务，还多种了48稞．实际每天种多少棵树？ 本题所列的方程可以是：①；②． （1）表示的实际意义是 　 　，表示的实际意义是 　　． （2）选择其中一种方程解答此题． 【巩固练习】 1.新楚大高速公路（楚雄到大理）通车运营，续写了“云南第一路”新篇章．小杰家到大理约240km，从新修道路自驾去大理的平均速度是原来的1.5倍，所需时间比原来缩短了1h，设原来小杰自驾去大理的平均速度是xkm/h，根据题意，下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 2.数学家斐波那契编写的《算经》中有如下问题：一组人平分10元钱，每人分得若干；若再加上6人，平分40元钱，则第二次每人所得与第一次相同，求第一次分钱的人数．设第一次分钱的人数为x人，则可列方程（　　） A． B． C． D． 3.在创建文明城市的进程中，某市为美化城市环境，计划种植树木50万棵，由于志愿者的加入，实际每天植树比原计划多，结果提前2天完成任务，设原计划每天植树万棵，由题意得到的方程是　　 A． B． C． D． 4.《九章算术》中有题如下：把一封信送到900里外的地方，若用慢马送，则晚1天送达；若用快马送，则早3天送达，已知快马的速度是慢马的2倍．甲、乙两人所列方程如下，甲：设规定时间为x天，则；乙：设慢马的速度为y里/天，则，则正确的是（　　） A．只有甲对 B．只有乙对 C．两人都对 D．两人都错 5.甲、乙两个工程队合修一条公路，已知甲工程队每天修，乙工程队每天修（其中），则甲工程队修所用时间是乙工程队修所用时间的 倍．（用含的式子表示） 6.三（1）班同学在“2024义卖”活动中表现特别突出，他们设计了甲乙两款纪念品．销售一件甲纪念品可获利：销售一件乙纪念品可获利；当销售量的比为时，总获利为．当销售量的比为时，总获利为 　　． 7. 某商店以元购进某种盒装茶叶，第一个月每盒按进价增加作为售价，售出盒，第二个月每盒以低于进价元作为售价，售完余下的茶叶，在整个买卖过程中盈利元，设每盒茶叶的进价为元，则可列方程为______． 8.小敏去超市购买某商品，第一次按原价购买，用了60元，几天后，正好遇上这种商品八折出售，他用80元又买了一些，两次一共购买了40公斤，请问这种商品的原价是多少元? 9.某校八军级准备购买一批笔记本奖励本学期进步大的学生，在购买时发现，每本笔记本可以打八折，用200元钱购买的笔记本，打折后购买的数量比打折前多25本，求打折前每本笔记本的售价是多少元？ 10.第九届亚洲冬季运动会于2025年2月7日在黑龙江省哈尔滨市开幕，吉祥物“滨滨”和“妮妮”均以东北虎为原型创作而成，两款毛绒玩具销售火爆．阅读下列素材解决问题． “滨滨”和“妮妮” 素材1 “滨宾”的单价比“妮妮”的单价少40元； 素材2 购买“滨滨”和“妮妮”的费用分别为8000元和5600元； 素材3 “滨滨”的数量是“妮妮”的数量的2倍． 问题解决 求吉祥物“滨滨”的单价． 11.某汽车网站对两款价格相同，续航里程相同的汽车做了一次评测，一款为燃油车，另一款为纯电新能源车．得到相关数据如下：（续航里程是指在最大的能源储备下可连续行驶的总里程.) 燃油车 新能源车 油箱容积：50升 电池电量：90千瓦时 油价：8元/升 电价：元/千瓦时 (1)设两款车的续航里程均为a千米，则燃油车的每千米行驶费用是________元，纯电新能源车的每千米行驶费用是________元；（请用含a的代数式表示） (2)若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元，则续航里程a的值为多少？ 12.某商店决定购进两种纪念品．已知每件A种纪念品的价格比每件B种纪念品的价格多5元，用800元购进A种纪念品的数量与用400元购进B种纪念品的数量相同． (1)求购进两种纪念品每件各需多少元？ (2)若该商店决定购进这两种纪念品共100件，且A种纪念品的件数不少于B种纪念品件数的，请设计出最省钱的购买方案，并求出最少费用． 答案解析 【典型例题】 【例1】某文具厂加工一种学生画图工具套，在加工了套后，采用了新技术，使每天的工作效率是原来的倍，结果提前5天完成任务，若设该文具厂原来每天加工x套这种学生画图工具，则根据题意，可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【例2】《千里江山图》是宋代王希孟的作品，如图，它的局部画面装裱前是一个长为2.4米，宽为1.4米的矩形，装裱后，整幅图画宽与长的比是8：13，且四周边衬的宽度相等，则边村的宽度应是多少米?设边衬的宽度为x米，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【例3】周末，王芳和李华相约去图书馆看书．王芳家距离图书馆5千米．李华家距离图书馆8千米．王芳骑自行车前往．李华坐公交车前往，李华坐公交车的平均速度是王芳骑自行车平均速度的两倍，他们同时出发，且李华比王芳先3分钟到达图书馆．设王芳的速度为x千米/小时，则可列方程： ． 【答案】 【例4】秦始皇统一度量衡意义重大，这一举措极大地方便了生产与生活．如图1和2，欣欣通过两把不同刻度的直尺说明了其中的原因，并进行如下探究：将两把尺子有刻度的一侧紧贴，则由两幅图可得方程 ． 【答案】 【例5】某学校组织同学乘大巴车前往“研学旅行”基地开展爱国教育活动，基地离学校有90千米，队伍从学校出发．辅导员因有事请，从学校自驾小车以大巴车1.5倍的速度追赶，结果同时达到目的地．求大巴车与小车的平均速度各是多少？ 【答案】， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴． 答：大巴车的速度为60千米/时，小车的速度为90千米/时． 【例6】观音桥的某水果店花费6000元购进淡雪草莓，另花费1000元购进牛奶草莓，淡雪草莓的进价是牛奶草莓的进价的2倍，淡雪草莓的数量比牛奶草莓的数量多100千克． （1）求牛奶草莓每千克的进价； （2）该水果店第一周以40元/千克的价格售出牛奶草莓3m千克，第二周每千克售价降低了0.5m元，售出20千克，第三周售价在第一周的基础上打七折，购进的牛奶草莓剩余部分全部售罄、若购进的牛奶草莓总利润不低于796元，求m的最小值． 【答案】（1）设牛奶草莓每千克的进价为x元，则淡雪草莓的进价为元， 根据题意，得，解得：， 经检验，是原分式方程的根，且符合题意． 答：牛奶草莓每千克的进价为20元． （2）解：购进牛奶草莓的质量为：(千克)， 根据题意，得， 解得， 答：m的最小值为6． 【举一反三】 【变式1】为了落实“双减”政策，进一步丰富文体活动，学校准备购进一批篮球和足球．已知每个篮球的价格比每个足球的价格多30元，用1800元购进篮球的数量比用900元购进足球的数量多4个．如果设每个足球的价格为x元，那么可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【变式2】算经之首《九章算术》中有这样一题：“今有邑方不知大小，各中开门，出北门二十步有木，出南门一十四步，折而西行一千七百七十五步见木．问邑方几何？”其大意为“今有正方形小城，不知其大小，东南西北城墙正中央各开有一城门．出北城门20步处有一棵树，出南城门14步，转而西行1775步恰好能看见那棵树．问正方形小城的边长是多少？”若设正方形小城的边长为步，则所列方程正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】D 【变式3】绿水青山就是金山银山，为了创造良好的生态环境，防止水土流失，某村计划在荒坡上种树800棵，由于青年志愿者支援，实际每天种树的棵数是原计划的2倍，结果提前5天完成任务，则原计划每天种树多少棵．若原计划每天种树x棵，则可以列出方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【变式4】DeepSeek公司研发的两个AI模型R1和R2共同处理一批数据．已知R2单独处理数据的时间比R1少2小时．若两模型合作处理，仅需1.2小时即可完成．设R1单独处理需要x小时，则下列方程正确的是（　　） A． B． C． D．x+（x﹣2）＝1.2 【答案】C 【变式5】 某社区计划对固定区域进行绿化，经招标，甲、乙两个工程队中标，全部绿化工作由甲、乙两个工程队来完成，已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化面积的2倍，并且在独立完成面积为区域的绿化时，甲队比乙队少用4天．求甲工程队每天能完成绿化的面积． 【答案】设乙工程队每天能完成绿化的面积为，则甲工程队每天能完成绿化的面积为， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ． 答：甲工程队每天能完成绿化的面积． 【变式6】为了改善生态环境，防止水土流失，某村计划在荒坡上种树480棵．由于青年志愿者的支援，每天比原计划多种，结果不仅提前1天完成任务，还多种了48稞．实际每天种多少棵树？ 本题所列的方程可以是：①；②． （1）表示的实际意义是 　 　，表示的实际意义是 　　． （2）选择其中一种方程解答此题． 【答案】解：（1）青年志愿者的支援，每天比原计划多种， 方程①中的表示的实际意义是原计划每天种树的棵数，表示的实际意义是实际每天种树的棵数； 青年志愿者的支援，提前1天完成任务， 方程②中的表示的实际意义是实际种树的天数，表示的实际意义是原计划种树的天数． 故答案为：原计划每天种树的棵数，实际种树的天数； （2）选择方程①， ， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， 实际每天种40棵树； 选择方程②， ， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， （棵， 实际每天种40棵树． 【巩固练习】 1.新楚大高速公路（楚雄到大理）通车运营，续写了“云南第一路”新篇章．小杰家到大理约240km，从新修道路自驾去大理的平均速度是原来的1.5倍，所需时间比原来缩短了1h，设原来小杰自驾去大理的平均速度是xkm/h，根据题意，下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 2.数学家斐波那契编写的《算经》中有如下问题：一组人平分10元钱，每人分得若干；若再加上6人，平分40元钱，则第二次每人所得与第一次相同，求第一次分钱的人数．设第一次分钱的人数为x人，则可列方程（　　） A． B． C． D． 【答案】A 3.在创建文明城市的进程中，某市为美化城市环境，计划种植树木50万棵，由于志愿者的加入，实际每天植树比原计划多，结果提前2天完成任务，设原计划每天植树万棵，由题意得到的方程是　　 A． B． C． D． 【答案】A 4.《九章算术》中有题如下：把一封信送到900里外的地方，若用慢马送，则晚1天送达；若用快马送，则早3天送达，已知快马的速度是慢马的2倍．甲、乙两人所列方程如下，甲：设规定时间为x天，则；乙：设慢马的速度为y里/天，则，则正确的是（　　） A．只有甲对 B．只有乙对 C．两人都对 D．两人都错 【答案】A 5.甲、乙两个工程队合修一条公路，已知甲工程队每天修，乙工程队每天修（其中），则甲工程队修所用时间是乙工程队修所用时间的 倍．（用含的式子表示） 【答案】 6.三（1）班同学在“2024义卖”活动中表现特别突出，他们设计了甲乙两款纪念品．销售一件甲纪念品可获利：销售一件乙纪念品可获利；当销售量的比为时，总获利为．当销售量的比为时，总获利为 　　． 【答案】 8. 某商店以元购进某种盒装茶叶，第一个月每盒按进价增加作为售价，售出盒，第二个月每盒以低于进价元作为售价，售完余下的茶叶，在整个买卖过程中盈利元，设每盒茶叶的进价为元，则可列方程为______． 【答案】 8.小敏去超市购买某商品，第一次按原价购买，用了60元，几天后，正好遇上这种商品八折出售，他用80元又买了一些，两次一共购买了40公斤，请问这种商品的原价是多少元? 【答案】设商品的原价元 根据题意可得： 解得： 检验：把代入得： ∴是原方程的解 答：这种商品的原价是4元． 9.某校八军级准备购买一批笔记本奖励本学期进步大的学生，在购买时发现，每本笔记本可以打八折，用200元钱购买的笔记本，打折后购买的数量比打折前多25本，求打折前每本笔记本的售价是多少元？ 【答案】设打折前每本笔记本的售价是x元， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的解， 答：打折前每本笔记本的售价是2元； 10.第九届亚洲冬季运动会于2025年2月7日在黑龙江省哈尔滨市开幕，吉祥物“滨滨”和“妮妮”均以东北虎为原型创作而成，两款毛绒玩具销售火爆．阅读下列素材解决问题． “滨滨”和“妮妮” 素材1 “滨宾”的单价比“妮妮”的单价少40元； 素材2 购买“滨滨”和“妮妮”的费用分别为8000元和5600元； 素材3 “滨滨”的数量是“妮妮”的数量的2倍． 问题解决 求吉祥物“滨滨”的单价． 【答案】“滨滨”的单价为元，则“妮妮”的单价为 元，由题意得： ， 解得：， 经检验，为原分式方程的解，且符合题意， 答：“滨滨”的单价为100元． 11.某汽车网站对两款价格相同，续航里程相同的汽车做了一次评测，一款为燃油车，另一款为纯电新能源车．得到相关数据如下：（续航里程是指在最大的能源储备下可连续行驶的总里程.) 燃油车 新能源车 油箱容积：50升 电池电量：90千瓦时 油价：8元/升 电价：元/千瓦时 (1)设两款车的续航里程均为a千米，则燃油车的每千米行驶费用是________元，纯电新能源车的每千米行驶费用是________元；（请用含a的代数式表示） (2)若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元，则续航里程a的值为多少？ 【答案】（1）解：燃油车每千米行驶费用为（元）， 纯电新能源车每千米行驶费用为（元）， 故答案为：，； （2）解：由题意得：， 解得：， 经检验，是分式方程的解，且符合题意， 答：续航里程a的值为692千米. 12.某商店决定购进两种纪念品．已知每件A种纪念品的价格比每件B种纪念品的价格多5元，用800元购进A种纪念品的数量与用400元购进B种纪念品的数量相同． (1)求购进两种纪念品每件各需多少元？ (2)若该商店决定购进这两种纪念品共100件，且A种纪念品的件数不少于B种纪念品件数的，请设计出最省钱的购买方案，并求出最少费用． 【答案】（1）解：设每件A纪念品的进价为x元，则每件B纪念品的进价为元． 根据题意，得．解得， 经检验是原方程的解 ∴答：每件A纪念品的进价为10元，每件B纪念品的进价为5元． （2）解：设购进A纪念品m件，购进A、B两种纪念品的总费用为W元．则购进B纪念品件，根据题意，得． ∵A种纪念品的件数不少于B种纪念品的件数的， ∴ ∴． ∴W随m的增大而增大． ∴当时，W最小． 此时． （元） 答：当购进A纪念品25件，B纪念品75件时，总费用最少为625元． ( 第 1 页 共 6 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$