第18讲 简便运算（二）-六年级数学思维拓展精编讲义（通用版）

前言 成为"学霸"，是每一个学生的梦想，学霸之路上最重要的便是思维的灵活性，而奥数则是训练思维的绝好方式。奥数并非高不可攀，它亦存在方法，满是技巧。"小学数学思维拓展精编讲义"系列正是希望把奥数的方法、技巧告诉大家。我们根据小学生学习奥数的特点，总结出4点巧思，这4点巧思完全融入书中，希望能帮助学生认识奥数、走近奥数。 《六年级数学思维拓展精编讲义「2025版」》，它基于教材知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为专题概述、重点例题、培优拔尖、答案解析、强化试卷篇等五个部分。 1.专题概述，重点突出：在每讲的开头部分，我对本专题知识进行简明梳理，并将重点知识、原理、公式加色提示，以便于读者理解记忆，形成系统的知识网络。 2.重点例题，举一反三：每讲之后的"培优拔尖"题目，既考核学生对本专题知识中的重点、难点、考点的掌握情况，又可以帮助学生冲刺奥数竞赛进行备练。本栏目的题目难度较高，富有挑战性，可有效提升学生的奥数思维能力，加强实战性。 3.培优拔尖，能力提升：每讲之后的"培优拔尖"题目，既考核学生对本专题知识中的重点、难点、考点的掌握情况，又可以帮助学生冲刺奥数竞赛进行备练。本栏目的题目难度较高，富有挑战性，可有效提升学生的奥数思维能力，加强实战性。 4.强化训练，巩固新知：学完本讲知识后，笔者针对本讲内容有针对性的挑选强化练习，学生学完新知识后课有针对性的进行强化练习，巩固所学的知识点加深理解达到融汇贯通的目的               简便运算（二） 第18讲     专题概述 这一讲主要讲述几种利用公式的简便算法。 一、裂项法：也叫拆分法、拆项法。运用裂项法解题，可使拆开后的一些分数相互抵消，达到简化运算的目的。一般地，对于形如 的分数，可以拆分成 ；对于形如 的分数，可以拆分成 ；对于形如 的分数，可以拆分成 ；等等。 二、等差数列求和公式：， 。其中， 是前 项之和， 是公差， 是首项， 是末项， 是项数。 三、错位相减法：先将原式扩大到原来的整数倍，再与原式错位相减，最后除以扩大到的倍数与1的差。 重点例题1、2、3 【例1】计算： 。 【思维点拨】通过观察我们发现，在这个式子中，分母都是相邻的两个整数的乘积，因此我们可以考虑用分数的裂项公式 进行求解。 解：由裂项公式可得 ， ， ， 所以，原式 【例2】计算： 【思维点拨】通过观察，我们发现所有小分式的分子都是1，而分母是相差为2的两个数的乘积，根据裂项公式二，很快就能计算出结果。 原式 = 【例3】计算： 【思维点拨】根据裂项公式，可将算式中的每一项先扩大2倍后，再分裂成两个数的差，求出算式的和，最后把求得的和再乘以 即可。 原式 = 培优拔尖1 1. 简便计算： 【答案】 【分析】 原式 = = 2. 简便计算： 【答案】 【分析】 原式 = 3. 简便计算： 【答案】 【分析】 重点例题4 【例4】计算： 【思维点拨】解法一：观察可知，各个加数能够组成公差为 的等差数列。 项数 ，和 解法二：我们可以把每四个数分为一组，则有 观察每组对应项的特点，很容易计算出结果。 原式 = 培优拔尖2 1. 简便计算： 【答案】 665 【分析】 3994 2. 计算： 【答案】 【分析】 3. 计算： 【答案】 【分析】 原式 = 1 - 4. 计算： 【答案】 【分析】 原式 = 1 - 重点例题5、6、7 【例5】计算： 【思维点拨】将某个复杂的算式换成含有字母的式子，再进行计算，这种方法可使计算简化。 设 则 原式 = = = = = 【例6】计算： 【思维点拨】经过观察，式子中有若干项相同，因此，本题也适合用代数法解决。在设数时要注意，两个未知数相乘的一项最好能消去，这样计算起来就简单了。 设 , ，则 原式 = = = 【例7】求 的值。 【思维点拨】本题前两项，是两个数的立方之差，因此可以利用立方差公式 来解题。 原式= - 解法二： 有了解法一的铺垫，我们不难发现，这是一个关于2006的计算式。因此，我们不妨设 ，则计算起来相当简便。 原式= 培优拔尖3 1.计算：。 【答案】 【分析】 设 , , 原式= 2.计算：。 【答案】 【分析】 设 , , 原式= 3. 计算：。 【答案】 1 【分析】 设 , , , 原式= 重点例题8、9 【例8】计算：。 【思维点拨】观察可知，式子中的分母都呈现出2倍的关系，因此本题需要运用错位相减法。也就是说，将原式扩大2倍，再减去原式，可依次消除若干相同的项，从而达到简便运算的目的。 式子二减式子一，得 【例9】计算：。 【思维点拨】题目中分数分母（1除外）都呈现出3倍的关系，故不妨将原式扩大3倍，再减去原式，最后除以2，即可得出原式的结果。设原式为S。 用式子二减去式子一，得 ，则 。 培优拔尖4 1.计算：的值。 【答案】 【分析】 原式 2.计算：的值。 【答案】 【分析】 原式 第18讲 简便运算（二）强化训练 1.计算：的值。 【答案】 【分析】 前面三个分数的分母可以写成三个连续正整数的乘积。 原式[( - )] 2.计算：的值。 【答案】 【分析】 原式 = - + - + - + - = - = 3.计算： 【答案】 【分析】 设 则原式 = 所以原式 = . 4.计算： 【答案】 【分析】 因为 所以原式 5.计算： 【答案】 102 【分析】 原式 6.计算： 【答案】：0 【分析】 设 原式 = 7.计算： 【答案】 【分析】 原式 = + - = = 学科网（北京）股份有限公司 $$第18讲 简便运算（二） 六年级数学思维拓展精编 专题概述 2 例题 思路点拨 例题 思路点拨 例题 思路点拨 例题 思路点拨 思路点拨 例题 思路点拨 例题 思路点拨 例题 思路点拨 思路点拨 例题 思路点拨 例题 思路点拨 第18讲 简便运算（二） 六年级数学思维拓展精编 这一讲主要讲述几种利用公式的简便算法。一、裂项法：也叫拆分法、拆项法。运用裂项法解题，可使拆开后的一些分数相互抵消，达到简化运算的目的。一般地，对于形如 的分数，可以拆分成 ；对于形如 的分数，可以拆分成 ；对于形如 的分数，可以拆分成 ；等等。二、等差数列求和公式：， 。其中， 是前 项之和， 是公差， 是首项， 是末项， 是项数。三、错位相减法：先将原式扩大到原来的整数倍，再与原式错位相减，最后除以扩大到的倍数与1的差。 【例1】计算： 。 通过观察，我们发现所有小分式的分子都是1，而分母是相差为2的两个数的乘积，根据裂项公式二，很快就能计算出结果。 原式 = 【例2】计算： 通过观察，我们发现所有小分式的分子都是1，而分母是相差为2的两个数的乘积，根据裂项公式二，很快就能计算出结果。 原式 = 【例3】计算： 根据裂项公式，可将算式中的每一项先扩大2倍后，再分裂成两个数的差，求出算式的和，最后把求得的和再乘以 即可。 原式 = 【例4】计算： 解法一：观察可知，各个加数能够组成公差为 的等差数列。 项数 ，和 解法二：我们可以把每四个数分为一组，则有 观察每组对应项的特点，很容易计算出结果。 原式 = 【例5】计算： 将某个复杂的算式换成含有字母的式子，再进行计算，这种方法可使计算简化。 设 则 原式 = = = = = 【例6】计算： 经过观察，式子中有若干项相同，因此，本题也适合用代数法解决。在设数时要注意，两个未知数相乘的一项最好能消去，这样计算起来就简单了。 设 , ，则 原式 = = = 【例7】求 的值。 本题前两项，是两个数的立方之差，因此可以利用立方差公式 来解题。 原式= - 解法二： 有了解法一的铺垫，我们不难发现，这是一个关于2006的计算式。因此，我们不妨设 ，则计算起来相当简便。 原式= 【例8】计算：。 观察可知，式子中的分母都呈现出2倍的关系，因此本题需要运用错位相减法。也就是说，将原式扩大2倍，再减去原式，可依次消除若干相同的项，从而达到简便运算的目的。 式子二减式子一，得 【例9】计算：。 题目中分数分母（1除外）都呈现出3倍的关系，故不妨将原式扩大3倍，再减去原式，最后除以2，即可得出原式的结果。设原式为S。 用式子二减去式子一，得 ，则 $$ 前言 成为"学霸"，是每一个学生的梦想，学霸之路上最重要的便是思维的灵活性，而奥数则是训练思维的绝好方式。奥数并非高不可攀，它亦存在方法，满是技巧。"小学数学思维拓展精编讲义"系列正是希望把奥数的方法、技巧告诉大家。我们根据小学生学习奥数的特点，总结出4点巧思，这4点巧思完全融入书中，希望能帮助学生认识奥数、走近奥数。 《六年级数学思维拓展精编讲义「2025版」》，它基于教材知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为专题概述、重点例题、培优拔尖、答案解析、强化试卷篇等五个部分。 1.专题概述，重点突出：在每讲的开头部分，我对本专题知识进行简明梳理，并将重点知识、原理、公式加色提示，以便于读者理解记忆，形成系统的知识网络。 2.重点例题，举一反三：每讲之后的"培优拔尖"题目，既考核学生对本专题知识中的重点、难点、考点的掌握情况，又可以帮助学生冲刺奥数竞赛进行备练。本栏目的题目难度较高，富有挑战性，可有效提升学生的奥数思维能力，加强实战性。 3.培优拔尖，能力提升：每讲之后的"培优拔尖"题目，既考核学生对本专题知识中的重点、难点、考点的掌握情况，又可以帮助学生冲刺奥数竞赛进行备练。本栏目的题目难度较高，富有挑战性，可有效提升学生的奥数思维能力，加强实战性。 4.强化训练，巩固新知：学完本讲知识后，笔者针对本讲内容有针对性的挑选强化练习，学生学完新知识后课有针对性的进行强化练习，巩固所学的知识点加深理解达到融汇贯通的目的               简便运算（二） 第18讲     专题概述 这一讲主要讲述几种利用公式的简便算法。 一、裂项法：也叫拆分法、拆项法。运用裂项法解题，可使拆开后的一些分数相互抵消，达到简化运算的目的。一般地，对于形如 的分数，可以拆分成 ；对于形如 的分数，可以拆分成 ；对于形如 的分数，可以拆分成 ；等等。 二、等差数列求和公式：， 。其中， 是前 项之和， 是公差， 是首项， 是末项， 是项数。 三、错位相减法：先将原式扩大到原来的整数倍，再与原式错位相减，最后除以扩大到的倍数与1的差。 重点例题1、2、3 【例1】计算： 。 【思维点拨】通过观察我们发现，在这个式子中，分母都是相邻的两个整数的乘积，因此我们可以考虑用分数的裂项公式 进行求解。 解：由裂项公式可得 ， ， ， 所以，原式 【例2】计算： 【思维点拨】通过观察，我们发现所有小分式的分子都是1，而分母是相差为2的两个数的乘积，根据裂项公式二，很快就能计算出结果。 原式 = 【例3】计算： 【思维点拨】根据裂项公式，可将算式中的每一项先扩大2倍后，再分裂成两个数的差，求出算式的和，最后把求得的和再乘以 即可。 原式 = 培优拔尖1 1. 简便计算： 2. 简便计算： 3. 简便计算： 重点例题4 【例4】计算： 【思维点拨】解法一：观察可知，各个加数能够组成公差为 的等差数列。 项数 ，和 解法二：我们可以把每四个数分为一组，则有 观察每组对应项的特点，很容易计算出结果。 原式 = 培优拔尖2 1. 简便计算： 2. 计算： 3. 计算： 4. 计算： 重点例题5、6、7 【例5】计算： 【思维点拨】将某个复杂的算式换成含有字母的式子，再进行计算，这种方法可使计算简化。 设 则 原式 = = = = = 【例6】计算： 【思维点拨】经过观察，式子中有若干项相同，因此，本题也适合用代数法解决。在设数时要注意，两个未知数相乘的一项最好能消去，这样计算起来就简单了。 设 , ，则 原式 = = = 【例7】求 的值。 【思维点拨】本题前两项，是两个数的立方之差，因此可以利用立方差公式 来解题。 原式= - 解法二： 有了解法一的铺垫，我们不难发现，这是一个关于2006的计算式。因此，我们不妨设 ，则计算起来相当简便。 原式= 培优拔尖3 1.计算：。 2.计算：。 3.计算：。 重点例题8、9 【例8】计算：。 【思维点拨】观察可知，式子中的分母都呈现出2倍的关系，因此本题需要运用错位相减法。也就是说，将原式扩大2倍，再减去原式，可依次消除若干相同的项，从而达到简便运算的目的。 式子二减式子一，得 【例9】计算：。 【思维点拨】题目中分数分母（1除外）都呈现出3倍的关系，故不妨将原式扩大3倍，再减去原式，最后除以2，即可得出原式的结果。设原式为S。 用式子二减去式子一，得 ，则 。 培优拔尖4 1.计算：的值。 2.计算：的值。 第18讲 简便运算（二）强化训练 1.计算：的值。 2.计算：的值。 3.计算： 4.计算： 5.计算： 6.计算： 7.计算： 8.计算： 学科网（北京）股份有限公司 $$前言 成为"学霸"，是每一个学生的梦想，学霸之路上最重要的便是思 维的灵活性，而奥数则是训练思维的绝好方式。奥数并非高不可攀， 它亦存在方法，满是技巧。"小学数学思维拓展精编讲义"系列正是希 望把奥数的方法、技巧告诉大家。我们根据小学生学习奥数的特点， 总结出 4 点巧思，这 4 点巧思完全融入书中，希望能帮助学生认识奥 数、走近奥数。 《六年级数学思维拓展精编讲义「2025 版」》，它基于教材知识 和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为专题概述、重点例题、 培优拔尖、答案解析、强化试卷篇等五个部分。 1.专题概述，重点突出：在每讲的开头部分，我对本专题知识进 行简明梳理，并将重点知识、原理、公式加色提示，以便于读者理解 记忆，形成系统的知识网络。 2.重点例题，举一反三：每讲之后的"培优拔尖"题目，既考核学 生对本专题知识中的重点、难点、考点的掌握情况，又可以帮助学生 冲刺奥数竞赛进行备练。本栏目的题目难度较高，富有挑战性，可有 效提升学生的奥数思维能力，加强实战性。 3.培优拔尖，能力提升：每讲之后的"培优拔尖"题目，既考核学 生对本专题知识中的重点、难点、考点的掌握情况，又可以帮助学生 冲刺奥数竞赛进行备练。本栏目的题目难度较高，富有挑战性，可有 效提升学生的奥数思维能力，加强实战性。 4.强化训练，巩固新知：学完本讲知识后，笔者针对本讲内容有 针对性的挑选强化练习，学生学完新知识后课有针对性的进行强化练 习，巩固所学的知识点加深理解达到融汇贯通的目的 这一讲主要讲述几种利用公式的简便算法。 一、裂项法：也叫拆分法、拆项法。运用裂项法解题，可使拆开后的 一些分数相互抵消，达到简化运算的目的。一般地，对于形如 1 a × (a + 1) 的分数，可以拆分成 1 a − 1 a + 1 ；对于形如 1 a × (a + n) 的 分数，可以拆分成 1 n ( 1 a − 1 a + n )；对于形如 a + b a × b 的分数，可以拆分 成 1 a + 1 b ；等等。 二、等差数列求和公式：Sn = n(a1 + an) 2 ， d = (an−a1) n−1 。其中， Sn 是前 n 项之和， d 是公差， a1 是首项， an 是末项， n 是项数。 三、错位相减法：先将原式扩大到原来的整数倍，再与原式错位相减， 最后除以扩大到的倍数与 1的差。 简便运算（二）第 18讲 专题概述 【例 1】计算： 1 1 × 2 + 1 2 × 3 + 1 3 × 4 +⋯ + 1 2017 × 2018 。 【思维点拨】通过观察我们发现，在这个式子中，分母都是相邻的 两个整数的乘积，因此我们可以考虑用分数的裂项公式 1 a × (a + 1) = 1 a − 1 a + 1 (a > 0) 进行求解。 解：由裂项公式可得 1 1 × 2 = 1− 1 2 ， 1 2 × 3 = 1 2 − 1 3 ， 1 3 × 4 = 1 3 − 1 4 ， ⋯ 所以，原式 = 1− 1 2 + 1 2 − 1 3 + 1 3 − 1 4 + ⋯ + 1 2017 − 1 2018 = 1− 1 2018 = 2017 2018 【例 2】计算： 1 1 × 3 + 1 3 × 5 + 1 5 × 7 +⋯ + 1 19 × 21 + 1 21 × 23 【思维点拨】通过观察，我们发现所有小分式的分子都是 1，而分 母是相差为 2的两个数的乘积，根据裂项公式二，很快就能计算出 重点例题 1、2、3 结果。 原式 = 1 2 × (1− 1 3 ) + 1 2 × ( 1 3 − 1 5 ) + 1 2 × ( 1 5 − 1 7 ) + ⋯ + 1 2 × ( 1 19 − 1 21 ) + 1 2 × ( 1 21 − 1 23 ) = 1 2 × (1− 1 3 + 1 3 − 1 5 + 1 5 − 1 7 + ⋯ + 1 19 − 1 21 + 1 21 − 1 23 ) = 1 2 × (1− 1 23 ) = 11 23 【例 3】计算： 1 2 × 4 + 1 4 × 6 + 1 6 × 8 +⋯ + 1 48 × 50 【思维点拨】根据裂项公式，可将算式中的每一项先扩大 2倍后， 再分裂成两个数的差，求出算式的和，最后把求得的和再乘以 1 2 即可。 原式 = ( 2 2 × 4 + 2 4 × 6 + 2 6 × 8 +⋯ + 2 48 × 50 ) × 1 2 = [( 1 2 − 1 4 ) + ( 1 4 − 1 6 ) + ⋯ + ( 1 48 − 1 50 )] × 1 2 = ( 1 2− 1 50) × 1 2 = 24 50 × 1 2 = 6 25 1. 简便计算： 1 1 × 2 + 1 2 × 3 + 1 3 × 4 + 1 4 × 5 + 1 5 × 6 2. 简便计算： 2 1 × 3 + 2 3 × 5 + 2 5 × 7 +⋯ + 2 97 × 99 3. 简便计算：1 + 2 1 6 +3 1 12 +4 1 20 +5 1 30 +6 1 42 +7 1 56 +8 1 72 【例 4】计算：1 + 1 1 4 +1 1 2 +1 3 4 +2 + 2 1 4 +2 1 2 +2 3 4 +⋯ + 10 【思维点拨】解法一：观察可知，各个加数能够组成公差为 1 4 的 等差数列。 项数 𝑛 = (10−1) ÷ 1 4 +1 = 37，和 𝑆 = (1 + 10) × 37 2 = 407 2 = 203 1 2 解法二：我们可以把每四个数分为一组，则有 (1 + 1 1 4 +1 1 2 +1 3 4) + (2 + 2 1 4 +2 1 2 +2 3 4) + ⋯ + (9 + 9 1 4 +9 1 2 +9 3 4 ) + 10 观察每组对应项的特点，很容易计算出结果。 原式 = 培优拔尖 1 重点例题 4 (1 + 1 1 4 +1 1 2 +1 3 4) + (2 + 2 1 4 +2 1 2 +2 3 4) + ⋯ + (9 + 9 1 4 +9 1 2 +9 3 4 ) + 10 = (1 + 2 + 3 + ⋯ + 9) × 4 + ( 1 4 + 3 4 + 1 2) × 9 + 10 = (1 + 9) × 9 2 × 4 + 3 2 × 9 + 10 = 180 + 13 1 2 +10 = 203 1 2 1. 简便计算： 1 2 × 5 + 1 5 × 8 + 1 8 × 11 +⋯ + 1 1991 × 1994 + 1 1994 × 1997 2. 计算： 1 1 × 5 + 1 5 × 9 + 1 9 × 13 + 1 13 × 17 + 1 17 × 21 3. 计算：1− 1 5− 1 45− 1 117− 1 221− 1 357 4. 计算：1− 5 6 + 7 12− 9 20 + 11 30− 13 42 + 15 56− 17 72 【例 5】计算：(1 + 1 2 + 1 3 + 1 4) × ( 1 2 + 1 3 + 1 4 + 1 5)−(1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + 1 5) × ( 1 2 + 1 3 + 1 4) 【思维点拨】将某个复杂的算式换成含有字母的式子，再进行计算 培优拔尖 2 重点例题 5、6、7 ，这种方法可使计算简化。 设1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 = 𝑎, 1 2 + 1 3 + 1 4 = 𝑏, 则 原式 = 𝑎 × (𝑏 + 1 5)−(𝑎 + 1 5) × 𝑏 = 𝑎𝑏 + 1 5𝑎−𝑎𝑏− 1 5𝑏 = 1 5𝑎− 1 5𝑏 = 1 5(𝑎−𝑏) = 1 5 【例 6】计算：(1 + 1 1999 + 1 2000 + 1 2001) × ( 1 1999 + 1 2000 + 1 2001 + 1 2002)−(1 + 1 1999 + 1 2000 + 1 2001 + 1 2002) × ( 1 1999 + 1 2000 + 1 2001) 【思维点拨】经过观察，式子中有若干项相同，因此，本题也适合 用代数法解决。在设数时要注意，两个未知数相乘的一项最好能消 去，这样计算起来就简单了。 设 1 + 1 1999 + 1 2000 + 1 2001 = 𝑎, 1 1999 + 1 2000 + 1 2001 = 𝑏，则 原式 = 𝑎 × (𝑏 + 1 2002)−(𝑎 + 1 2002) × 𝑏 = 𝑎 × 1 2002− 1 2002 × 𝑏 = 1 2002 【例 7】求 20073−20053−6 × 20062 的值。 【思维点拨】本题前两项，是两个数的立方之差，因此可以利用立 方差公式 𝑎3−𝑏3 = (𝑎−𝑏)(𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑏2) 来解题。 原式=(2007−2005) × (20072 +2007 × 2005 + 20052)−6 × 20062 = 2 × [(2006 + 1)2 + (2006 + 1)(2006−1) + (2006−1)2]−6 × 20062 = 2 × [20062 +2 × 2006 + 1 + 20062−1 + 20062−2 × 2006 + 1] -6 × 20062 = 2 × (3 × 20062 + 1)−6 × 20062 = 2 解法二： 有了解法一的铺垫，我们不难发现，这是一个关于 2006的计算式。 因此，我们不妨设 𝑎 = 2006，则计算起来相当简便。 原式=(𝑎 + 1)3−(𝑎−1)3−6𝑎2 = (𝑎3 + 3𝑎2 + 3𝑎 + 1)−(𝑎3−3𝑎2 + 3𝑎−1)−6𝑎2 = 2 1.计算：( 5 12 + 7 32 + 3 17) × ( 7 32 + 3 17 + 4 13)−( 5 12 + 7 32 + 3 17 + 4 13 ) × ( 7 32 + 3 17)。 2.计算：(1 + 1 3 + 1 5 + 1 7) × ( 1 3 + 1 5 + 1 7 + 1 9)−(1 + 1 3 + 1 5 + 1 7 + 1 9 ) × ( 1 3 + 1 5 + 1 7)。 3.计算：( 531 135 + 579 357 + 753 975) × ( 579 357 + 753 975 + 135 531)−( 531 135 + 579 357 + 753 975 + 135 531) × ( 579 357 + 753 975)。 【例 8】计算： 1 2 + 1 4 + 1 8 + 1 31 + 1 62 + 1 124 + 1 248 + 1 496。 【思维点拨】观察可知，式子中的分母都呈现出 2倍的关系，因此 本题需要运用错位相减法。也就是说，将原式扩大 2倍，再减去原 式，可依次消除若干相同的项，从而达到简便运算的目的。 S = 1 2 + 1 4 + 1 8 + 1 31 + 1 62 + 1 124 + 1 248 + 1 496 (式子一) 2S = 1 + 1 2 + 1 4 + 1 31 + 1 62 + 1 124 + 1 248 (式子二) 培优拔尖 3 重点例题 8、9 式子二减式子一，得 S = 1 + 2 31 − 1 8 − 1 496 = 33 31 − 1 8 − 1 496 = 264−31 248 − 1 496 = 233 248 − 1 496 = 465 496 − 15 16 【例 9】计算：1 + 1 3 + 1 32 + 1 33 +⋯ + 1 399 + 1 3100 。 【思维点拨】题目中分数分母（1除外）都呈现出 3倍的关系，故 不妨将原式扩大 3倍，再减去原式，最后除以 2，即可得出原式的 结果。设原式为 S。 S = 1 + 1 3 + 1 32 + 1 33 +⋯ + 1 399 + 1 3100 (式子一) 3S = 3 + 1 + 1 3 + 1 32 + 1 33 +⋯ + 1 398 + 1 399 (式子二) 用式子二减去式子一，得 2S = 3− 1 3100 ，则 S = 1 2 × (3− 1 3100 )。 1.计算： 1 2 + 1 22 + 1 23 + 1 24 + 1 25 的值。 2.计算： 1 4 + 1 42 + 1 43 + 1 44 + 1 45 + 1 46 的值。 培优拔尖 4 第 18 讲 简便运算（二）强化训练 1.计算： 1 6 + 1 24 + 1 60 + 1 40 的值。 2.计算： 1 6 + 1 12 + 1 20 + 1 30 + 1 42 的值。 3.计算： (1 + 1 2 + 1 4 + 1 8 ) × ( 1 2 + 1 4 + 1 8 + 1 16 )−(1 + 1 2 + 1 4 + 1 8 + 1 16 ) × ( 1 2 + 1 4 + 1 8 ) 4.计算：7 5 6 −6 7 12 +5 9 20 −4 11 30 +3 13 42 −2 15 56 +1 17 72 5.计算：1.25 × 88 6 15 × 8 + 8 × 1 3 × 1− 125 4 × 78 2 3 × 8 + 2 5 × 3 1 3 6.计算： 238 375 × ( 465 587 − 627 731 ) + 465 587 × ( 627 731 − 238 375 ) + 627 731 × ( 238 375 − 465 587 ) 7.计算： 1 1 × 4 + 1 4 × 7 + 1 7 × 10 + 1 10 × 13 + 1 13 × 16 8.计算： 1 1 × 2 × 3 + 1 2 × 3 × 4 + 1 3 × 4 × 5 +⋯ + 1 98 × 99 × 100