第15讲 最值问题-六年级数学思维拓展精编讲义（通用版）

前言 成为"学霸"，是每一个学生的梦想，学霸之路上最重要的便是思维的灵活性，而奥数则是训练思维的绝好方式。奥数并非高不可攀，它亦存在方法，满是技巧。"小学数学思维拓展精编讲义"系列正是希望把奥数的方法、技巧告诉大家。我们根据小学生学习奥数的特点，总结出4点巧思，这4点巧思完全融入书中，希望能帮助学生认识奥数、走近奥数。 《六年级数学思维拓展精编讲义「2025版」》，它基于教材知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为专题概述、重点例题、培优拔尖、答案解析、强化试卷篇等五个部分。 1.专题概述，重点突出：在每讲的开头部分，我对本专题知识进行简明梳理，并将重点知识、原理、公式加色提示，以便于读者理解记忆，形成系统的知识网络。 2.重点例题，举一反三：每讲之后的"培优拔尖"题目，既考核学生对本专题知识中的重点、难点、考点的掌握情况，又可以帮助学生冲刺奥数竞赛进行备练。本栏目的题目难度较高，富有挑战性，可有效提升学生的奥数思维能力，加强实战性。 3.培优拔尖，能力提升：每讲之后的"培优拔尖"题目，既考核学生对本专题知识中的重点、难点、考点的掌握情况，又可以帮助学生冲刺奥数竞赛进行备练。本栏目的题目难度较高，富有挑战性，可有效提升学生的奥数思维能力，加强实战性。 4.强化训练，巩固新知：学完本讲知识后，笔者针对本讲内容有针对性的挑选强化练习，学生学完新知识后课有针对性的进行强化练习，巩固所学的知识点加深理解达到融汇贯通的目的               最值问题 第15讲     专题概述 小学奥数的题型中有很多关于求最大、最小、最多、最少等方面的问题，这类问题统称为最大值、最小值问题，简称最值问题。 解决最值问题，涉及的知识面很广，题目也复杂多样，只有很少的题目可利用一定的模式解决，而大部分题目没有固定的解题模式，需要我们根据题目所给的条件去分析，灵活解答。 解决最值问题的一般方法和规律有： 1.校举法。如果计算量不大，我们可以把所有符合题目条件的结果都一一列举出来，通过比较，得出最大值或最小值。 2.找规律。例如：两个数的和一定，则差越小，积越大；两个数的积一定，则差越小，和越小；两点之间，直线段最短；把一个数拆成若干个自然数之和，若使这些自然数乘积最大，则这些自然数应全是2或3，且2的个数不超过2个。 3.考虑极端情形。俗话说，具体问题具体分析。如果我们从最特殊情况入手，就很可能求出该问题的最大值或最小值。 重点例题1 【例1】小米是个集邮迷，也是个数学迷。这一天，她给数学兴趣小组的同学们出了这样一道题：我有面值为8分、1角和2角的邮票三种，如果总面值为1元4角2分，那么我最多可能有多少张邮票呢？你会做这道题吗？ 【思维点拨】根据常识，我们知道，面值最小的邮票越多，则总张数就越多。这就是我们解答本题的突破口。也就是说，我们可以从8分邮票入手分析这道题。因为总面值的末尾是2分，可以确定8分邮票的张数可能是 或 或 ，所以应取14张8分面值的邮票。又因为 ，所以面值1角的邮票、面值2角的邮票各取1张。总数即 。 答：小米最多可能有16张邮票，即14张8分邮票、1张1角邮票、1张2角邮票。 培优拔尖1 1.桌子上有10个小球，把它们分成三堆，每堆至少一个。问：最多有多少种不同的方法？ 2.有五个连续的自然数，它们的和是200。请问：最大的数是多少？最小的数又是多少？ 3.有五个数0, 1, 2, 4, 5, 7，若从中选出四个数，组成能被2, 3, 5整除的四位数，其中最大的数是多少？ 重点例题2 【例2】有一根长36厘米的铁丝，用它作为棱，围成一个长方体。问：长、宽、高各是多少厘米时，这个长方体的体积最大？ 【思维点拨】我们知道，长方体的全部棱由四条长、四条宽和四条高组成。已知棱长总和为36厘米，我们不难得出一组长、宽、高的值，即 （厘米）。再通过列表法，分别写出它们的长、宽、高。列表如下： 长（厘米） 宽（厘米） 高（厘米） 体积（立方厘米） 1 1 7 7 1 2 6 12 1 3 5 15 3 3 3 27 所以，当长方体的长、宽、高分别是3厘米时，体积最大。提示：正方体是特殊的长方体。 培优拔尖2 1.有三个数，它们的和是48。要使这三个数的乘积最大，这三个数分别是多少？乘积是多少？ 2.一个长方体的长、宽、高之和是18分米。要使得长方体的体积最大，其长、宽、高分别是多少？ 3.有三个自然数，各不相同，它们的和为15。要使它们的乘积最大，这三个数分别是多少？最大的数是多少？ 重点例题3 【例3】在质检员小王的桌子上，有25个乒乓球，其中只有一个乒乓球是次品，而次品比正品略轻一些。小王想利用一个天平，称量最少的次数，找到这个次品。请问，他最少要称量多少次？ 【思维点拨】本题可用分组筛选的方式解答。我们可以把所有25个乒乓球分为三组，即：（9, 9, 7）或（9, 8, 8）。我们以（9, 9, 7）这组为例进行说明：在天平两端分别放9个乒乓球，若天平平衡，则次品在7个乒乓球当中；再将7个乒乓球分成三组（2, 2, 3），天平两端分别放2个乒乓球，若天平平衡，则次品在3个乒乓球中；最后将3个乒乓球再分成三组（1, 1, 1），天平两端分别放1个，若天平平衡，则次品是另一个。所以，最少需要称3次可以找到次品。 答：小王最少要称量3次就可以找到次品。 培优拔尖3 1.请从1～9这些自然数中，选出8个数，填写在下面的小方框中，使这个算式的结果尽可能大，并写出这个最大的结果。 2.有四个秀才结伴踏青出行，他们的平均年龄是30岁，而且四人中没有小于21岁的。请问：四人中年龄最大的可能是多少岁？ 3.某班有6名同学参加一次数学竞赛（满分为100分），他们在这次竞赛中的平均分是91分。这6名同学的得分互不相同，其中一人得了65分。请问：得分排在第三名的同学至少得了多少分？ 重点例题4、5 【例4】在12345678987654321的所有因数中，除去它本身之外，因数中最大的是多少？ 【思维点拨】本题可利用逆向思维进行解答。如果我们直接去求此数的最大因数，可能会无从下手。所以，我们不妨转换一下思路：先求其最小因数（1除外），则问题就会变得非常简单。我们用数去试验，就会发现3是能整除该数的最小质因数。我们再观察会发现，该数的各位数字之和是3的倍数，所以，我们用原数除以3，就可以得出除它本身之外的最大因数，即4115226329218107。 【例5】把14拆成几个自然数的和，要使这些数的乘积最大，最大的乘积是多少？ 【思维点拨】一般来讲，把一个给定的自然数拆分成若干个自然数的和，只有当这些自然数中全是2或3，并且2至多为2个时，它的积才是最大的。下面，我们以本题为例，解释一下其中的道理。 首先，所拆分的数中不能有1，因为有1时，积不是最大的，只要将1并入其他某个数，积将增加，所以这些自然数只可能是2、3、4……；其次，当这些自然数中出现5、6等数时，积也不是最大的，比如5=2+3，而2<2×3；同样也不能是4，因为4=2×2，而4=2+2，即可以将4改写成2个2的和；当然积最大时，2的个数不能多于2个，因为2+2+2=3+3，而2×2×2<3×3。综上可知，把14拆成3+3+3+3+2，这时积是最大的，即3×3×3×3×2=162。 培优拔尖4 1.在2356784的所有因数中，除去它本身之外，因数中最大的是多少？ 2.有两个自然数，它们的和为15，这两个自然数的积最大是多少？ 3.16可以拆分成几个自然数的和，要使这些自然数的乘积最大，最大的积是多少？ 重点例题6 【例6】在下面的各个方框中，分别填上1、2、3、4、5、6、7、8、9中的一个数字，要求数字不能重复，使这个带分数算式的差值最大。 【思维点拨】要使得这个算式的差值最大，就要让被减数最大，同时减数最小。这是一个带分数算式，我们先考虑整数部分。很显然，在1～9的9个数字中，被减数的整数部分应填写最大的数字，即98；减数的整数部分应填写最小的数字，即12。还剩下五个数字3、4、5、6、7，填入分数部分。为了使五个数字组成的两个分数的差异更大，可先把这三个数值组成的各分数，按分母相同，分子从大到小的顺序列出来，不难得出：的值最大。符合题意的带分数算式为： 培优拔尖5 1.在下面的各个方框中，分别填上1、2、3、4、5、6、7、8、9中的一个数字，要求数字不能重复，使这个带分数算式的值最小。 2.有三个各不相同的最简单分数，它们的分子都是质数，分母都是小于20的合数。要使这三个分数的和尽可能大，这三个分数各是什么？ 3.已知：2不大于A，A小于B，B不大于7，A和B都是整数。求分式 的最小值。 重点例题7 【例7】有三条线段a、b、c，其中a的长度为2.12米，b的长度为2.71米，c的长度为3.53米。以它们为上底、下底和高，可以做出三种梯形如图所示。问：第几个梯形的面积最大？ 【思维点拨】要比较这三个梯形面积的大小，我们要知道梯形面积的公式，即梯形面积 = 。我们只要比较""就可以了。注意，在计算时，我们要着重比较面积的大小，而不是计算出它们的面积值，以避免不必要的计算。 解：如图所示，第一个梯形的面积的2倍为；第二个梯形的面积的2倍为；第三个梯形的面积的2倍为。 先比较第一个梯形与第二个梯形的面积的2倍的大小：两个式子中，等号右边都有，但另一个乘积显然有，所以第一个梯形的面积大于第二个梯形的面积。再比较第一个梯形与第三个梯形的面积的2倍的大小：两个式子中，等号右边都有，但另一个乘积显然有。 所以第三个梯形的面积大于第一个梯形的面积，因此，第三个梯形的面积最大。 培优拔尖6 1.设计师张先生要在自家的一道院墙（假设院墙足够长）旁建一个长方形的花园，另外三边（三边均为整数）砌成长36米的砖墙。砌成的花园的最大面积是多少平方米？ 2.木匠们师傅在修建一栋房屋时犯了难：在修建窗口时，如果窗口的周长相等，采用什么形状最好呢？（备选形状：长方形、正方形、圆形） 3.用一条长60米的长绳子，沿着一道墙围出长方形的三个边（如图所示，墙是长方形的另一边）。请问：这条绳子所能围出的最大面积是多少？ 第15讲 最值问题 强化训练 1.有三个连续的自然数，后两个自然数的积与前两个自然数的积之差是78。问：这三个数中，最小的数是多少？ 2.有一个数字，能组成六个不同的三位数。已知这六个三位数的和是19%，求所有这样的六个三位数中最小的三位数。 3.从前500个自然数中，选出两个不同的自然数和，且，求：的最大值；的最小值。 4.10101可以拆成若干个自然数的和，如果使这些自然数的乘积最大，应该怎样拆分？ 5.有五个人，年龄分别为, , , , ，已知： 问：这五个人的年龄总和最小是多少？ 6.凌云大厦的高宽为26.5米，如果小明同学把一张足够大、厚度均匀且厚度为0.01厘米的纸，进行如下操作"对折——裁开——叠放整齐"，问：至少这样操作几次，纸片的叠放高度将超过凌云大厦？ 7.养鸡专业户老王准备在自家院子里建造鸡舍，原有材料可建50米篱笆，他打算利用已有的墙，沿着墙基同样大的4间鸡舍，问：怎样建造，才能使得同鸡舍的面积最大，最大的面积是多少平方米？ 8.某工厂加工某种零件，需要三道工序。专做第一、二、三道工序的工人，每小时分别能做48个、32个、28个。问：要使得每小时三道工序完成的个数相同，至少要安排多少名工人？ 9.一辆公共汽车，从起点站开往终点站，中途共有9个停车站。如果这辆公共汽车从起点站开出，除了终点站，每一站上车的乘客中，从这一站到以后的每一站正好各有一位乘客下车。为了让每位乘客都有座位，那么这辆公共汽车至少应设多少座位？ 10.一个多位数"12345678910111213…484950"，如果画掉80个数字，使剩下的数字（顺序不变）组成一个多位数，最大是多少？ 11.某协会共有120名会员选举会长，有甲、乙、丙三个候选人，每个会员只能选其中一人，且不能弃权。如果前100票中，甲得45票，乙得20票，丙得35票，甲要当选会长，至少还需要多少张选票？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 前言 成为"学霸"，是每一个学生的梦想，学霸之路上最重要的便是思维的灵活性，而奥数则是训练思维的绝好方式。奥数并非高不可攀，它亦存在方法，满是技巧。"小学数学思维拓展精编讲义"系列正是希望把奥数的方法、技巧告诉大家。我们根据小学生学习奥数的特点，总结出4点巧思，这4点巧思完全融入书中，希望能帮助学生认识奥数、走近奥数。 《六年级数学思维拓展精编讲义「2025版」》，它基于教材知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为专题概述、重点例题、培优拔尖、答案解析、强化试卷篇等五个部分。 1.专题概述，重点突出：在每讲的开头部分，我对本专题知识进行简明梳理，并将重点知识、原理、公式加色提示，以便于读者理解记忆，形成系统的知识网络。 2.重点例题，举一反三：每讲之后的"培优拔尖"题目，既考核学生对本专题知识中的重点、难点、考点的掌握情况，又可以帮助学生冲刺奥数竞赛进行备练。本栏目的题目难度较高，富有挑战性，可有效提升学生的奥数思维能力，加强实战性。 3.培优拔尖，能力提升：每讲之后的"培优拔尖"题目，既考核学生对本专题知识中的重点、难点、考点的掌握情况，又可以帮助学生冲刺奥数竞赛进行备练。本栏目的题目难度较高，富有挑战性，可有效提升学生的奥数思维能力，加强实战性。 4.强化训练，巩固新知：学完本讲知识后，笔者针对本讲内容有针对性的挑选强化练习，学生学完新知识后课有针对性的进行强化练习，巩固所学的知识点加深理解达到融汇贯通的目的               最值问题 第15讲     专题概述 小学奥数的题型中有很多关于求最大、最小、最多、最少等方面的问题，这类问题统称为最大值、最小值问题，简称最值问题。 解决最值问题，涉及的知识面很广，题目也复杂多样，只有很少的题目可利用一定的模式解决，而大部分题目没有固定的解题模式，需要我们根据题目所给的条件去分析，灵活解答。 解决最值问题的一般方法和规律有： 1.校举法。如果计算量不大，我们可以把所有符合题目条件的结果都一一列举出来，通过比较，得出最大值或最小值。 2.找规律。例如：两个数的和一定，则差越小，积越大；两个数的积一定，则差越小，和越小；两点之间，直线段最短；把一个数拆成若干个自然数之和，若使这些自然数乘积最大，则这些自然数应全是2或3，且2的个数不超过2个。 3.考虑极端情形。俗话说，具体问题具体分析。如果我们从最特殊情况入手，就很可能求出该问题的最大值或最小值。 重点例题1 【例1】小米是个集邮迷，也是个数学迷。这一天，她给数学兴趣小组的同学们出了这样一道题：我有面值为8分、1角和2角的邮票三种，如果总面值为1元4角2分，那么我最多可能有多少张邮票呢？你会做这道题吗？ 【思维点拨】根据常识，我们知道，面值最小的邮票越多，则总张数就越多。这就是我们解答本题的突破口。也就是说，我们可以从8分邮票入手分析这道题。因为总面值的末尾是2分，可以确定8分邮票的张数可能是 或 或 ，所以应取14张8分面值的邮票。又因为 ，所以面值1角的邮票、面值2角的邮票各取1张。总数即 。 答：小米最多可能有16张邮票，即14张8分邮票、1张1角邮票、1张2角邮票。 培优拔尖1 1.桌子上有10个小球，把它们分成三堆，每堆至少一个。问：最多有多少种不同的方法？ 【答案】 8种 【分析】 本题可用枚举法解答。第一堆，可放1,2,3,4；确定了第一堆，再依次排出第二堆和第三堆。注意，这是一道关于组合的数学题，因此有些分法是一样的，如（1,1,8）（1,8,1）（8,1,1）其实是同一种分法。 共有8种不同的分法：（1,1,8），（1,2,7），（1,3,6），（1,4,5），（2,2,6），（2,3,5），（2,4,4），（3,3,4）。 2.有五个连续的自然数，它们的和是200。请问：最大的数是多少？最小的数又是多少？ 【答案】 最大数是42，最小数是38。 【分析】 本题可用列方程的方法解答。设中间数为x，则这五个数从小到大依次是x-2、x-1、x、x+1、x+2。依照题意，则 最大数： 最小数： 3.有五个数0, 1, 2, 4, 5, 7，若从中选出四个数，组成能被2, 3, 5整除的四位数，其中最大的数是多少？ 【答案】 7410 【分析】 因为是求最大的四位数，所以千位数应该是五个数中最大的数，即7。又因为这个四位数能同时被2和5整除，所以末位数只能是0。最后确定十位数和百位数。要求四位数能被3整除，也就是四位数中各个位数的和能被3整除，通过试数，得出这个四位数是7410。 重点例题2 【例2】有一根长36厘米的铁丝，用它作为棱，围成一个长方体。问：长、宽、高各是多少厘米时，这个长方体的体积最大？ 【思维点拨】我们知道，长方体的全部棱由四条长、四条宽和四条高组成。已知棱长总和为36厘米，我们不难得出一组长、宽、高的值，即 （厘米）。再通过列表法，分别写出它们的长、宽、高。列表如下： 长（厘米） 宽（厘米） 高（厘米） 体积（立方厘米） 1 1 7 7 1 2 6 12 1 3 5 15 3 3 3 27 所以，当长方体的长、宽、高分别是3厘米时，体积最大。提示：正方体是特殊的长方体。 培优拔尖2 1. 有三个数，它们的和是48。要使这三个数的乘积最大，这三个数分别是多少？乘积是多少？ 【答案】 三个数都是16，乘积是4096。 【分析】 （略） 2. 一个长方体的长、宽、高之和是18分米。要使得长方体的体积最大，其长、宽、高分别是多少？ 【答案】 长、宽、高都是6分米时体积最大，最大体积为216立方分米。 【分析】 （略） 3. 有三个自然数，各不相同，它们的和为15。要使它们的乘积最大，这三个数分别是多少？最大的数是多少？ 【答案】 三个数分别是4,5,6时，乘积最大。 最大的数是6。 【分析】 （略） 重点例题3 【例3】在质检员小王的桌子上，有25个乒乓球，其中只有一个乒乓球是次品，而次品比正品略轻一些。小王想利用一个天平，称量最少的次数，找到这个次品。请问，他最少要称量多少次？ 【思维点拨】本题可用分组筛选的方式解答。我们可以把所有25个乒乓球分为三组，即：（9, 9, 7）或（9, 8, 8）。我们以（9, 9, 7）这组为例进行说明：在天平两端分别放9个乒乓球，若天平平衡，则次品在7个乒乓球当中；再将7个乒乓球分成三组（2, 2, 3），天平两端分别放2个乒乓球，若天平平衡，则次品在3个乒乓球中；最后将3个乒乓球再分成三组（1, 1, 1），天平两端分别放1个，若天平平衡，则次品是另一个。所以，最少需要称3次可以找到次品。 答：小王最少要称量3次就可以找到次品。 培优拔尖3 1.请从1～9这些自然数中，选出8个数，填写在下面的小方框中，使这个算式的结果尽可能大，并写出这个最大的结果。 【答案】 【分析】 要想使得算式的结果最大，就要使前面小括号内的结果（被减数）最大，后面小括号内的结果最小（减数），因此要使被除数尽可能大，除数尽可能小。也就是说，要使乘号后面的两个加数尽可能大，后面小括号内的乘积尽可能小。据此解答，即可得出结果。 2. 有四个秀才结伴踏青出行，他们的平均年龄是30岁，而且四人中没有小于21岁的。请问：四人中年龄最大的可能是多少岁？ 【答案】 57岁 【分析】 根据四个秀才的平均年龄是30岁，可得出四人岁数总和是30 4 = 120（岁）。因为四人中没有小于21岁的，当某人的年龄最大时，另外三人的年龄最小都是21岁。所以，年龄最大的人可能是120-21 3 = 57（岁）。 3. 某班有6名同学参加一次数学竞赛（满分为100分），他们在这次竞赛中的平均分是91分。这6名同学的得分互不相同，其中一人得了65分。请问：得分排在第三名的同学至少得了多少分？ 【答案】 95分 【分析】 已知一名同学得了65分，其余五名同学的总得分就是91 6 - 65 = 481（分）。因为第三名的得分等于481分减去其余四名同学得分，要使排名第三的同学得分尽可能少（"至少"），就要使其他四名同学得分尽可能多（"至多"）。也就是说，第一名、第二名得分要尽可能高（分别得100分和99分），而且另外两人的得分又要尽可能与第三名接近，所以第三名至少得（481 - 100 - 99）÷ 3 + 1 = 95（分）。 重点例题4、5 【例4】在12345678987654321的所有因数中，除去它本身之外，因数中最大的是多少？ 【思维点拨】本题可利用逆向思维进行解答。如果我们直接去求此数的最大因数，可能会无从下手。所以，我们不妨转换一下思路：先求其最小因数（1除外），则问题就会变得非常简单。我们用数去试验，就会发现3是能整除该数的最小质因数。我们再观察会发现，该数的各位数字之和是3的倍数，所以，我们用原数除以3，就可以得出除它本身之外的最大因数，即4115226329218107。 【例5】把14拆成几个自然数的和，要使这些数的乘积最大，最大的乘积是多少？ 【思维点拨】一般来讲，把一个给定的自然数拆分成若干个自然数的和，只有当这些自然数中全是2或3，并且2至多为2个时，它的积才是最大的。下面，我们以本题为例，解释一下其中的道理。 首先，所拆分的数中不能有1，因为有1时，积不是最大的，只要将1并入其他某个数，积将增加，所以这些自然数只可能是2、3、4……；其次，当这些自然数中出现5、6等数时，积也不是最大的，比如5=2+3，而2<2×3；同样也不能是4，因为4=2×2，而4=2+2，即可以将4改写成2个2的和；当然积最大时，2的个数不能多于2个，因为2+2+2=3+3，而2×2×2<3×3。综上可知，把14拆成3+3+3+3+2，这时积是最大的，即3×3×3×3×2=162。 培优拔尖4 1. 在2356784的所有因数中，除去它本身之外，因数中最大的是多少？ 【答案】 1178392 【分析】 利用逆向思维方式解题。先求此数除去1以外的最小因数，然后用此数除以这个最小因数，即得出最大因数。观察可知，此数的末尾数字是偶数4，因此此数一定能被2整除。2356784 ÷ 2 = 1178392，所以最大因数是1178392。 2. 有两个自然数，它们的和为15，这两个自然数的积最大是多少？ 【答案】 56 【分析】 15=7+8，积最大是7×8=56。 3.16可以拆分成几个自然数的和，要使这些自然数的乘积最大，最大的积是多少？ 【答案】 324 【分析】 16=2+2+3+3+3+3+3 重点例题6 【例6】在下面的各个方框中，分别填上1、2、3、4、5、6、7、8、9中的一个数字，要求数字不能重复，使这个带分数算式的差值最大。 【思维点拨】要使得这个算式的差值最大，就要让被减数最大，同时减数最小。这是一个带分数算式，我们先考虑整数部分。很显然，在1～9的9个数字中，被减数的整数部分应填写最大的数字，即98；减数的整数部分应填写最小的数字，即12。还剩下五个数字3、4、5、6、7，填入分数部分。为了使五个数字组成的两个分数的差异更大，可先把这三个数值组成的各分数，按分母相同，分子从大到小的顺序列出来，不难得出：的值最大。符合题意的带分数算式为： 培优拔尖5 1.在下面的各个方框中，分别填上1、2、3、4、5、6、7、8、9中的一个数字，要求数字不能重复，使这个带分数算式的值最小。 【答案】12 【分析】 同例题6。 2.有三个各不相同的最简单分数，它们的分子都是质数，分母都是小于20的合数。要使这三个分数的和尽可能大，这三个分数各是什么？ 【答案】 ，， 【分析】 根据分母都是小于20的合数，列举出符合这一点的分母，即18,16,15,14,12,10,9,8,6,4。因为这是三个真分数，因此，分子一定比分母小；另外，要使这三个分数的和尽可能大，则每个分数也尽可能大，根据真分数的分子和分母越接近（二者差值越小），其分数值越大的规律，选填相应的数。符合题意的分子，最大的质数有17,13,11；符合题意的分母，最大的合数有18,14,12。因此，符合题意的【答案】是 。 3. 已知：2不大于A，A小于B，B不大于7，A和B都是整数。求分式 的最小值。 【答案】 【分析】 根据已知条件"2不小于A，A小于B，B不大于7，A和B都是整数"，不难得出取值范围为A≤2，A＜B≤7。通过试数，即可得出 重点例题7 【例7】有三条线段a、b、c，其中a的长度为2.12米，b的长度为2.71米，c的长度为3.53米。以它们为上底、下底和高，可以做出三种梯形如图所示。问：第几个梯形的面积最大？ 【思维点拨】要比较这三个梯形面积的大小，我们要知道梯形面积的公式，即梯形面积 = 。我们只要比较""就可以了。注意，在计算时，我们要着重比较面积的大小，而不是计算出它们的面积值，以避免不必要的计算。 解：如图所示，第一个梯形的面积的2倍为；第二个梯形的面积的2倍为；第三个梯形的面积的2倍为。 先比较第一个梯形与第二个梯形的面积的2倍的大小：两个式子中，等号右边都有，但另一个乘积显然有，所以第一个梯形的面积大于第二个梯形的面积。再比较第一个梯形与第三个梯形的面积的2倍的大小：两个式子中，等号右边都有，但另一个乘积显然有。 所以第三个梯形的面积大于第一个梯形的面积，因此，第三个梯形的面积最大。 培优拔尖6 1.设计师张先生要在自家的一道院墙（假设院墙足够长）旁建一个长方形的花园，另外三边（三边均为整数）砌成长36米的砖墙。砌成的花园的最大面积是多少平方米？ 【答案】 162平方米 【分析】 36=18+9+9， 最大面积=18×9=162（平方米）。 2.木匠们师傅在修建一栋房屋时犯了难：在修建窗口时，如果窗口的周长相等，采用什么形状最好呢？（备选形状：长方形、正方形、圆形） 【答案】 圆形 【分析】 在周长相等的情况下，圆的面积最大，而且采光效果最好。 3.用一条长60米的长绳子，沿着一道墙围出长方形的三个边（如图所示，墙是长方形的另一边）。请问：这条绳子所能围出的最大面积是多少？ 【答案】 450平方米 【分析】 解法一：如果我们把绳子沿墙翻折到墙的另一边，本题就相当于同一根长120米的绳子，围成一个长方形的最大面积是多少。因为长方形为正方形时面积最大，所以最大值为 （平方米）。 解法二：因为两个数的和一定时，差越小，积越大。我们可以直接设左右边为x米，则下边长为60-2x米，面积为 。其中，2x与(60-2x)的和为60，所以当x=15时，乘积最大，为450平方米。 第15讲 最值问题 强化训练 1.有三个连续的自然数，后两个自然数的积与前两个自然数的积之差是78。问：这三个数中，最小的数是多少？ 【答案】 38 【分析】 设三个连续自然数中间的那个数为x，则这三个连续的自然数为x-1，x，x+1。根据题意，得 最小的自然数为x-1，即38。 2. 有一个数字，能组成六个不同的三位数。已知这六个三位数的和是19%，求所有这样的六个三位数中最小的三位数。 【答案】 126 【分析】 三个数字在不同的数位上都出现了两次，因此这三个数字的和是1998÷222=9，而9可以拆成1、2、6，所以最小的三位数是126。 3. 从前500个自然数中，选出两个不同的自然数和，且，求：的最大值；的最小值。 【答案】 最大值为999，最小值为 。 【分析】 要取得最大值，则分子（两数之和）尽量最大，而前500个自然数中最大的两个数是500和499；分母（两数之差）尽量最小，差只能是1，故取前500个自然数中相邻的两个数即可。综上所述，最大值即 因为此式子中的分子（x+y），一定大于分母（x-y），要取得最小值，则分子和分母的比值越接近1（实际略大于1），才符合题意。当取两端的数字时，这个比值最小。综上所述，最小值即 4.10101可以拆成若干个自然数的和，如果使这些自然数的乘积最大，应该怎样拆分？ 【答案】 10101=3×3367，拆成3367个3。 5.有五个人，年龄分别为, , , , ，已知： 问：这五个人的年龄总和最小是多少？ 【答案】 27 【分析】 根据题意，得a=2b=3c=4d=6e，则 当a取12时，a+b+c+d+e的最小值是27。 6.凌云大厦的高宽为26.5米，如果小明同学把一张足够大、厚度均匀且厚度为0.01厘米的纸，进行如下操作"对折——裁开——叠放整齐"，问：至少这样操作几次，纸片的叠放高度将超过凌云大厦？ 【答案】 19次 【分析】 纸片的总厚度要达到26.5米的高度，至少要叠放2650÷0.01=265000（层）。每折叠纸张一次，相当于对2进行一次乘方，因为 , ，所以至少要进行19次这样的操作 7.养鸡专业户老王准备在自家院子里建造鸡舍，原有材料可建50米篱笆，他打算利用已有的墙，沿着墙基同样大的4间鸡舍，问：怎样建造，才能使得同鸡舍的面积最大，最大的面积是多少平方米？ 【答案】 31.25平方米 【分析】 如图所示，每间鸡舍的长为a米，宽为b米，由图可知，4a+5b=50，当4a=5b时，每间鸡舍的面积最大，4a=25，a=6.25，5b=25，b=5，所以，每间鸡舍的最大面积是6.25×5=31.25（平方米）。 8.某工厂加工某种零件，需要三道工序。专做第一、二、三道工序的工人，每小时分别能做48个、32个、28个。问：要使得每小时三道工序完成的个数相同，至少要安排多少名工人？ 【答案】 59名 【分析】 第一、二、三道工序所需的工人人数之比为 所以至少要安排14+21+24=59（名）工人。 9. 一辆公共汽车，从起点站开往终点站，中途共有9个停车站。如果这辆公共汽车从起点站开出，除了终点站，每一站上车的乘客中，从这一站到以后的每一站正好各有一位乘客下车。为了让每位乘客都有座位，那么这辆公共汽车至少应设多少座位？ 【分析】 根据题意，列表如下： 站次 起点 2 3 4 5 6 7 8 9 10 终点 上车人数 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 下车人数 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 座位 10 18 24 28 30 30 28 24 18 10 0 10.一个多位数"12345678910111213…484950"，如果画掉80个数字，使剩下的数字（顺序不变）组成一个多位数，最大是多少？ 【答案】 99997484950 【分析】 题目所给出的多位数一共有 （个）数字。画掉80个数字，剩下的是一个11位数。要使剩下的多位数最大，应该保证较大的数字在较高的数位上，因此组成的多位数是99997484950。 11.某协会共有120名会员选举会长，有甲、乙、丙三个候选人，每个会员只能选其中一人，且不能弃权。如果前100票中，甲得45票，乙得20票，丙得35票，甲要当选会长，至少还需要多少张选票？ 【答案】 6张 【分析】 前100张选票显示，能当选的仅为甲、丙两人，从最不利的情况考虑，甲再得5票，丙再得15票，则两人得票都为50张，所以甲要当选会长，至少还要6张选票。 学科网（北京）股份有限公司 $$前言 成为"学霸"，是每一个学生的梦想，学霸之路上最重要的便是思 维的灵活性，而奥数则是训练思维的绝好方式。奥数并非高不可攀， 它亦存在方法，满是技巧。"小学数学思维拓展精编讲义"系列正是希 望把奥数的方法、技巧告诉大家。我们根据小学生学习奥数的特点， 总结出 4 点巧思，这 4 点巧思完全融入书中，希望能帮助学生认识奥 数、走近奥数。 《六年级数学思维拓展精编讲义「2025 版」》，它基于教材知识 和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为专题概述、重点例题、 培优拔尖、答案解析、强化试卷篇等五个部分。 1.专题概述，重点突出：在每讲的开头部分，我对本专题知识进 行简明梳理，并将重点知识、原理、公式加色提示，以便于读者理解 记忆，形成系统的知识网络。 2.重点例题，举一反三：每讲之后的"培优拔尖"题目，既考核学 生对本专题知识中的重点、难点、考点的掌握情况，又可以帮助学生 冲刺奥数竞赛进行备练。本栏目的题目难度较高，富有挑战性，可有 效提升学生的奥数思维能力，加强实战性。 3.培优拔尖，能力提升：每讲之后的"培优拔尖"题目，既考核学 生对本专题知识中的重点、难点、考点的掌握情况，又可以帮助学生 冲刺奥数竞赛进行备练。本栏目的题目难度较高，富有挑战性，可有 效提升学生的奥数思维能力，加强实战性。 4.强化训练，巩固新知：学完本讲知识后，笔者针对本讲内容有 针对性的挑选强化练习，学生学完新知识后课有针对性的进行强化练 习，巩固所学的知识点加深理解达到融汇贯通的目的 小学奥数的题型中有很多关于求最大、最小、最多、最少等方面的问 题，这类问题统称为最大值、最小值问题，简称最值问题。 解决最值问题，涉及的知识面很广，题目也复杂多样，只有很少的题 目可利用一定的模式解决，而大部分题目没有固定的解题模式，需要 我们根据题目所给的条件去分析，灵活解答。 解决最值问题的一般方法和规律有： 1.校举法。如果计算量不大，我们可以把所有符合题目条件的结 果都一一列举出来，通过比较，得出最大值或最小值。 2.找规律。例如：两个数的和一定，则差越小，积越大；两个数 的积一定，则差越小，和越小；两点之间，直线段最短；把一 个数拆成若干个自然数之和，若使这些自然数乘积最大，则这 些自然数应全是 2或 3，且 2的个数不超过 2个。 最值问题第 15讲 专题概述 3.考虑极端情形。俗话说，具体问题具体分析。如果我们从最特 殊情况入手，就很可能求出该问题的最大值或最小值。 【例 1】小米是个集邮迷，也是个数学迷。这一天，她给数学兴趣 小组的同学们出了这样一道题：我有面值为 8分、1角和 2角的邮 票三种，如果总面值为 1元 4角 2分，那么我最多可能有多少张邮 票呢？你会做这道题吗？ 【思维点拨】根据常识，我们知道，面值最小的邮票越多，则总张 数就越多。这就是我们解答本题的突破口。也就是说，我们可以从 8分邮票入手分析这道题。因为总面值的末尾是 2分，可以确定 8 分 邮 票 的 张 数 可 能 是 8 × 4 = 32 或 8 × 9 = 72 或 8 × 14 = 112，所以应取 14 张 8 分面值的邮票。又因为 142−112 = 30 = 1 × 20 + 1 × 10，所以面值 1角的邮票、面 值 2角的邮票各取 1张。总数即 14 + 1 + 1 = 16。 答：小米最多可能有 16张邮票，即 14张 8分邮票、1张 1角邮票、 1张 2角邮票。 重点例题 1 1.桌子上有 10个小球，把它们分成三堆，每堆至少一个。问：最多 有多少种不同的方法？ 2.有五个连续的自然数，它们的和是 200。请问：最大的数是多少？ 最小的数又是多少？ 3.有五个数 0, 1, 2, 4, 5, 7，若从中选出四个数，组成能被 2, 3, 5整除的四位数，其中最大的数是多少？ 【例 2】有一根长 36厘米的铁丝，用它作为棱，围成一个长方体。 问：长、宽、高各是多少厘米时，这个长方体的体积最大？ 【思维点拨】我们知道，长方体的全部棱由四条长、四条宽和四条 高组成。已知棱长总和为 36 厘米，我们不难得出一组长、宽、高 的值，即 36 ÷ 4 = 9（厘米）。再通过列表法，分别写出它们的 长、宽、高。列表如下： 长（厘米）宽（厘米）高（厘米）体积（立方厘米） 1 1 7 7 1 2 6 12 培优拔尖 1 重点例题 2 1 3 5 15 3 3 3 27 所以，当长方体的长、宽、高分别是 3厘米时，体积最大。提示： 正方体是特殊的长方体。 1.有三个数，它们的和是 48。要使这三个数的乘积最大，这三个数 分别是多少？乘积是多少？ 2.一个长方体的长、宽、高之和是 18分米。要使得长方体的体积最 大，其长、宽、高分别是多少？ 3.有三个自然数，各不相同，它们的和为 15。要使它们的乘积最大， 这三个数分别是多少？最大的数是多少？ 【例 3】在质检员小王的桌子上，有 25 个乒乓球，其中只有一个 乒乓球是次品，而次品比正品略轻一些。小王想利用一个天平，称 量最少的次数，找到这个次品。请问，他最少要称量多少次？ 培优拔尖 2 重点例题 3 【思维点拨】本题可用分组筛选的方式解答。我们可以把所有 25 个乒乓球分为三组，即：（9, 9, 7）或（9, 8, 8）。我们以（9, 9, 7）这组为例进行说明：在天平两端分别放 9个乒乓球，若天平 平衡，则次品在 7 个乒乓球当中；再将 7 个乒乓球分成三组（2, 2, 3），天平两端分别放 2 个乒乓球，若天平平衡，则次品在 3 个 乒乓球中；最后将 3个乒乓球再分成三组（1, 1, 1），天平两端分 别放 1个，若天平平衡，则次品是另一个。所以，最少需要称 3次 可以找到次品。 答：小王最少要称量 3次就可以找到次品。 1.请从 1～9这些自然数中，选出 8个数，填写在下面的小方框中， 使这个算式的结果尽可能大，并写出这个最大的结果。 2.有四个秀才结伴踏青出行，他们的平均年龄是 30 岁，而且四人中 没有小于 21岁的。请问：四人中年龄最大的可能是多少岁？ 3.某班有 6名同学参加一次数学竞赛（满分为 100分），他们在这次 竞赛中的平均分是 91分。这 6名同学的得分互不相同，其中一人得 了 65分。请问：得分排在第三名的同学至少得了多少分？ 培优拔尖 3 【例 4】在 12345678987654321的所有因数中，除去它本身之外， 因数中最大的是多少？ 【思维点拨】本题可利用逆向思维进行解答。如果我们直接去求此 数的最大因数，可能会无从下手。所以，我们不妨转换一下思路： 先求其最小因数（1 除外），则问题就会变得非常简单。我们用数 去试验，就会发现 3是能整除该数的最小质因数。我们再观察会发 现，该数的各位数字之和是 3的倍数，所以，我们用原数除以 3， 就可以得出除它本身之外的最大因数，即 4115226329218107。 【例 5】把 14 拆成几个自然数的和，要使这些数的乘积最大，最 大的乘积是多少？ 【思维点拨】一般来讲，把一个给定的自然数拆分成若干个自然数 的和，只有当这些自然数中全是 2或 3，并且 2至多为 2个时，它 的积才是最大的。下面，我们以本题为例，解释一下其中的道理。 首先，所拆分的数中不能有 1，因为有 1时，积不是最大的，只要 将 1并入其他某个数，积将增加，所以这些自然数只可能是 2、3、 重点例题 4、5 4……；其次，当这些自然数中出现 5、6等数时，积也不是最大的， 比如 5=2+3，而 2<2×3；同样也不能是 4，因为 4=2×2，而 4=2+2，即可以将 4 改写成 2 个 2 的和；当然积最大时，2 的个数 不能多于 2 个，因为 2+2+2=3+3，而 2×2×2<3×3。综上可知， 把 14拆成 3+3+3+3+2，这时积是最大的，即 3×3×3×3×2=162。 1.在2356784的所有因数中，除去它本身之外，因数中最大的是多少？ 2.有两个自然数，它们的和为 15，这两个自然数的积最大是多少？ 3.16可以拆分成几个自然数的和，要使这些自然数的乘积最大，最 大的积是多少？ 【例 6】在下面的各个方框中，分别填上 1、2、3、4、5、6、7、 8、9 中的一个数字，要求数字不能重复，使这个带分数算式的差 值最大。 培优拔尖 4 重点例题 6 【思维点拨】要使得这个算式的差值最大，就要让被减数最大，同 时减数最小。这是一个带分数算式，我们先考虑整数部分。很显然， 在 1～9的 9个数字中，被减数的整数部分应填写最大的数字，即 98；减数的整数部分应填写最小的数字，即 12。还剩下五个数字 3、4、5、6、7，填入分数部分。为了使五个数字组成的两个分数 的差异更大，可先把这三个数值组成的各分数，按分母相同，分子 从大到小的顺序列出来，不难得出： 5 6 − 3 7 的值最大。符合题意的带 分数算式为： 98 5 6 −12 3 7 1.在下面的各个方框中，分别填上 1、2、3、4、5、6、7、8、9中的 一个数字，要求数字不能重复，使这个带分数算式的值最小。 培优拔尖 5 2.有三个各不相同的最简单分数，它们的分子都是质数，分母都是小 于 20的合数。要使这三个分数的和尽可能大，这三个分数各是什么？ 3.已知：2不大于 A，A小于 B，B不大于 7，A和 B都是整数。求分 式 A + B A × B 的最小值。 【例 7】有三条线段 a、b、c，其中 a的长度为 2.12米，b的长度 为 2.71米，c的长度为 3.53米。以它们为上底、下底和高，可以 做出三种梯形如图所示。问：第几个梯形的面积最大？ 【思维点拨】要比较这三个梯形面积的大小，我们要知道梯形面积 的公式，即梯形面积 = 上底 + 下底 2 × 高。我们只要比较" (上底 + 下底) × 高"就可以了。注意，在计算时，我们要着重比 较面积的大小，而不是计算出它们的面积值，以避免不必要的计算。 解：如图所示，第一个梯形的面积的 2 倍为 (2.12 + 3.53) 重点例题 7 × 2.71 = 2.12 × 2.71 + 3.53 × 2.71；第二个梯形的面积 的 2 倍 为 (2.71 + 3.53) × 2.12 = 2.71 × 2.12 + 3.53 × 2.12；第三个梯形的面积 的 2 倍 为 (2.12 + 2.71) × 3.53 = 2.12 × 3.53 + 2.71 × 3.53。 先比较第一个梯形与第二个梯形的面积的2倍的大小：两个式子中， 等 号 右 边 都 有 2.12 × 2.71， 但 另 一 个 乘 积 显 然 有 3.53 × 2.71 > 3.53 × 2.12，所以第一个梯形的面积大于第二 个梯形的面积。再比较第一个梯形与第三个梯形的面积的 2倍的大 小：两个式子中，等号右边都有3.53 × 2.71，但另一个乘积显然 有2.12 × 3.53 > 2.12 × 2.71。 所以第三个梯形的面积大于第一个梯形的面积，因此，第三个梯形 的面积最大。 1.设计师张先生要在自家的一道院墙（假设院墙足够长）旁建一个长 方形的花园，另外三边（三边均为整数）砌成长 36米的砖墙。砌成 的花园的最大面积是多少平方米？ 培优拔尖 6 2.木匠们师傅在修建一栋房屋时犯了难：在修建窗口时，如果窗口的 周长相等，采用什么形状最好呢？（备选形状：长方形、正方形、圆 形） 3.用一条长 60米的长绳子，沿着一道墙围出长方形的三个边（如图 所示，墙是长方形的另一边）。请问：这条绳子所能围出的最大面积 是多少？ 第 15 讲 最值问题 强化训练 1.有三个连续的自然数，后两个自然数的积与前两个自然数的积之差 是 78。问：这三个数中，最小的数是多少？ 2.有一个数字，能组成六个不同的三位数。已知这六个三位数的和是 19%，求所有这样的六个三位数中最小的三位数。 3.从前 500 个自然数中，选出两个不同的自然数x和y，且x > y，求： x + y x−y 的最大值； x + y x−y 的最小值。 4.10101可以拆成若干个自然数的和，如果使这些自然数的乘积最大， 应该怎样拆分？ 5. 有 五 个 人 ， 年 龄 分 别 为 a, b, c, d, e， 已 知 ： a = 2b = 3c = 4d = 6e 问：这五个人的年龄总和最小是多少？ 6.凌云大厦的高宽为 26.5 米，如果小明同学把一张足够大、厚度均 匀且厚度为 0.01厘米的纸，进行如下操作"对折——裁开——叠放整 齐"，问：至少这样操作几次，纸片的叠放高度将超过凌云大厦？ 7.养鸡专业户老王准备在自家院子里建造鸡舍，原有材料可建 50 米 篱笆，他打算利用已有的墙，沿着墙基同样大的 4间鸡舍，问：怎样 建造，才能使得同鸡舍的面积最大，最大的面积是多少平方米？ 8.某工厂加工某种零件，需要三道工序。专做第一、二、三道工序的 工人，每小时分别能做 48个、32个、28个。问：要使得每小时三道 工序完成的个数相同，至少要安排多少名工人？ 9.一辆公共汽车，从起点站开往终点站，中途共有 9个停车站。如果 这辆公共汽车从起点站开出，除了终点站，每一站上车的乘客中，从 这一站到以后的每一站正好各有一位乘客下车。为了让每位乘客都有 座位，那么这辆公共汽车至少应设多少座位？ 10.一个多位数"12345678910111213…484950"，如果画掉 80 个数字， 使剩下的数字（顺序不变）组成一个多位数，最大是多少？ 11.某协会共有 120名会员选举会长，有甲、乙、丙三个候选人，每 个会员只能选其中一人，且不能弃权。如果前 100 票中，甲得 45 票， 乙得 20票，丙得 35票，甲要当选会长，至少还需要多少张选票？