高一下学期期末考模拟卷（第一、二册综合）（提升）- 《温故知新》2024-2025学年高一数学下学期复习课（人教A版2029必修第二册）

高一下学期期末考模拟卷（第一、二册综合）（提升） 考试内容：必修第一册、必修第二册 考试时间：150分钟 1、 单选题(每题5分，每题只有一个选项为正确答案，8题共40分) 1．（25-26高一上·全国·课后作业）下列命题中，为假命题的是（   ） A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的充分条件 C．“”的充要条件是“” D．“”是“”的必要条件 2．（25-26高一上·全国·课后作业）设集合．若，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C．或 D． 3．（24-25高一下·广西·期中）已知是定义在上的奇函数，且当时，，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25海南省）已知，，则（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·上海·期中）下列函数图像所对应的函数解析式可能为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·天津·期中）坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素.如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是全等的等腰三角形，底面ABCD为矩形.若，，且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面与平面的夹角的正切值均为 ，则该五面体的体积为（    ） A．312 B．304 C．192 D．184 7．（24-25山东烟台·期中）某公司有甲，乙两个部门，每个部门各有7名员工，其中甲部门有5名经验丰富的员工和2名新员工，乙部门有4名经验丰富的员工和3名新员工，现从甲部门和乙部门各随机选出一名员工进行交换，交换完成后，再从甲部门随机选出一名员工，则该员工是经验丰富的员工的概率为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高一下·重庆万州·期中）在锐角中，角，，的对边分别为，，，为的面积，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题（每题至少有两个选项为正确答案，少选且正确得2分，每题5分。4题共20分） 9．（24-25高一下·辽宁大连·期中）已知向量，满足，，，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C．与夹角为 D． 10．（24-25高一下·吉林延边·期中）在复平面内，下列说法正确的是（   ） A．若复数中，i为虚数单位，则 B．已知，其中i是虚数单位，a为实数，则或 C．若，则 D．复数是方程在复数范围内的一个解 11．（24-25吉林省）如图，一个带有盖子的密闭圆台形铁桶中装有两个实心球（桶壁的厚度忽略不计），其中一个球恰为铁桶的内切球（与圆台的上，下底面及每条母线都相切的球），E为该球与母线BC的切点.AB，CD分别为铁桶上，下底面的直径，且，，F为的中点，则（  ） A．铁桶的母线长为3 B．铁桶的侧面积为 C．过D，E，F三点的平面与桶盖的交线与直线CD所成角的正切值为 D．桶中另一个球的半径的最大值为 三、填空题(每题5分，4题共20分) 12．（24-25高一下·吉林长春·期中）已知非零向量，满足，，若，则在方向上的投影向量的坐标为 ． 13．（24-25高一下·上海奉贤·期中）如图1，西安航天基地揽月阁是一座融合了古代文化与现代科技的标志性建筑，可近似的视为一个正四棱台，现有一个揽月阁模型（如图2）、下底面边长为，上底面边长为，侧棱长为，则该模型的高为 ．       图1                   图2 14．（24-25高一下·广东·期中）已知等腰中，，点D满足，且，则BD的最小值为 . 四、解答题（17题10分，其余每题12分，6题共70分） 15．（24-25北京·阶段练习）某地区教育研究部门为了解当前本地区中小学教师在教育教学中运用人工智能的态度、经验、困难等情况，从该地区2000名中小学教师中随机抽取100名进行了访谈.在整理访谈结果的过程中，统计他们对“人工智能助力教学”作用的认识，得到的部分数据如下表所示： 没有帮助 有一些帮助 很有帮助 合计 性别 男 2 10 20 女 35 40 80 年龄 40岁以下（含40岁） 1 35 40岁以上 6 26 45 假设用频率估计概率，且每位教师对“人工智能助力教学”作用的认识相互独立. (1)估计该地区中小学教师中认为人工智能对于教学“没有帮助”的人数； (2)现按性别进行分层抽样，从该地区抽取了5名教师，求这5名教师中恰有1人认为人工智能对于教学“很有帮助”的概率； (3)对受访教师关于“人工智能助力教学”的观点进行赋分：“没有帮助”记0分，“有一些帮助”记2分，“很有帮助”记4分.统计受访教师的得分，将这100名教师得分的平均值记为，其中年龄在40岁以下（含40岁）教师得分的平均值记为，年龄在40岁以上教师得分的平均值记为，通过计算比较的大小关系. 16．（24-25高一下·山东青岛·期中）在中，角，，所对的边分别为，，，已知. (1)求角的大小； (2)若，当的周长取最大值时，求的面积. 17．（24-25高一上·重庆·期中）已知函数是定义在上的奇函数，满足，当时，有 (1)求函数的解析式； (2)判断的单调性，并利用定义证明； (3)若对，都有对恒成立，求实数的取值范围． 18．（24-25高一下·天津滨海新·期中）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，，F为CP上的点，且平面. (1)求证：平面平面； (2)求直线PC与平面所成角的正弦值； (3)在棱PD上是否存在一点G，使平面，若存在，求PG的长；若不存在，说明理由. 19．（24-25高一下·四川南充·阶段练习）已知函数 (1)求函数的最小正周期和单调递减区间； (2)将函数的图像向左平移单位长度，再将所得图像上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图像，求在上的值域． (3)若函数在上有三个不同零点，求实数取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高一下学期期末考模拟卷（第一、二册综合）（提升） 考试内容：必修第一册、必修第二册 考试时间：150分钟 1、 单选题(每题5分，每题只有一个选项为正确答案，8题共40分) 1．（25-26高一上·全国·课后作业）下列命题中，为假命题的是（   ） A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的充分条件 C．“”的充要条件是“” D．“”是“”的必要条件 【答案】D 【解析】因为，所以“”是“”的必要条件，A是真命题；因为，所以“”是“”的充分条件，B是真命题；因为，C是真命题；因为，所以“”是“”的充分条件，D是假命题． 2．（25-26高一上·全国·课后作业）设集合．若，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【解析】由 ，得，即．因为，所以或，解得或，即实数a的取值范围是或． 3．（24-25高一下·广西·期中）已知是定义在上的奇函数，且当时，，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由对数函数和一次函数的单调可得是增函数，且， 所以当时，的解集为， 因为是奇函数，易知是偶函数，当时，可得， 根据偶函数知：当时，可得， 故选：A. 4．（24-25海南省）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由可得，即， 由题意可得，解得， 所以. 因此. 故选：D. 5．（24-25高一下·上海·期中）下列函数图像所对应的函数解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】对于A：函数的定义域为，又，， 所以，且当时，而， 所以，当或时，所以，则， 又，所以为奇函数，函数图象关于原点对称，符合题意，故A正确； 对于B：函数的定义域为，故排除B； 对于C：函数的定义域为， 且，所以为非奇非偶函数， 且当或时，所以，故排除C； 对于D：函数的定义域为， 且，所以为非奇非偶函数， 且当或时，所以，故排除D； 故选：A 6．（24-25高一下·天津·期中）坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素.如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是全等的等腰三角形，底面ABCD为矩形.若，，且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面与平面的夹角的正切值均为 ，则该五面体的体积为（    ） A．312 B．304 C．192 D．184 【答案】D 【解析】 如图，过作平面，垂足为，过分别作，，垂足分别为，，连接，， 因为平面，平面，所以， 因为，，平面，， 所以平面，因为平面，所以， 同理，， 则可知等腰梯形所在的面、等腰三角形所在的面与底面夹角分别为和， 所以． 又，故四边形是矩形， 所以由得，所以，所以， 即，所以， 所以该五面体的体积为 故选：D. 7．（24-25山东烟台·期中）某公司有甲，乙两个部门，每个部门各有7名员工，其中甲部门有5名经验丰富的员工和2名新员工，乙部门有4名经验丰富的员工和3名新员工，现从甲部门和乙部门各随机选出一名员工进行交换，交换完成后，再从甲部门随机选出一名员工，则该员工是经验丰富的员工的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】从甲部门和乙部门各随机选出一名员工进行交换，有以下四种情况： 第一种，甲部门经验丰富的员工与乙部门经验丰富的员工交换，则概率为， 第二种，甲部门新员工与乙部门新员工交换，则概率为， 第三种，甲部门经验丰富的员工与乙部门新员工交换，则概率为， 第四种，甲部门新员工与乙部门经验丰富的员工交换，则概率为， 第一种与第二种甲部门有5名经验丰富的员工和2名新员工，则随机选出一名员工，为经验丰富的员工的概率为， 第三种甲部门有4名经验丰富的员工和3名新员工，则随机选出一名员工，为经验丰富的员工的概率为， 第四种甲部门有6名经验丰富的员工和1名新员工，则随机选出一名员工，为经验丰富的员工的概率为， 故甲部门随机选出一名员工，则该员工是经验丰富的员工的概率为. 故选：C. 8．（24-25高一下·重庆万州·期中）在锐角中，角，，的对边分别为，，，为的面积，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】在中，由余弦定理得，且的面积， 由，得，化简得， 又，，联立解得，， 所以， 为锐角三角形，有，，得， 则有，可得，所以. 故选：C 二、多选题（每题至少有两个选项为正确答案，少选且正确得2分，每题5分。4题共20分） 9．（24-25高一下·辽宁大连·期中）已知向量，满足，，，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C．与夹角为 D． 【答案】BCD 【解析】∵，∴， ∴，即， ∴，选项B正确. ∵， ∴不成立，选项A错误. ∵，， ∴与夹角为，选项C正确. ∵， ∴，选项D正确. 故选：BCD. 10．（24-25高一下·吉林延边·期中）在复平面内，下列说法正确的是（   ） A．若复数中，i为虚数单位，则 B．已知，其中i是虚数单位，a为实数，则或 C．若，则 D．复数是方程在复数范围内的一个解 【答案】ACD 【解析】对于A，，所以，故A正确； 对于B，由，可得，即， 所以，解得，故B错误； 对于C，设，因为，所以，所以 所以，故C正确； 对于D，因为， 所以复数是方程在复数范围内的一个解，故D正确. 故选：ACD. 11．（24-25吉林省）如图，一个带有盖子的密闭圆台形铁桶中装有两个实心球（桶壁的厚度忽略不计），其中一个球恰为铁桶的内切球（与圆台的上，下底面及每条母线都相切的球），E为该球与母线BC的切点.AB，CD分别为铁桶上，下底面的直径，且，，F为的中点，则（  ） A．铁桶的母线长为3 B．铁桶的侧面积为 C．过D，E，F三点的平面与桶盖的交线与直线CD所成角的正切值为 D．桶中另一个球的半径的最大值为 【答案】ACD 【解析】 由题，铁桶的轴截面是上底为4,下底为2的等腰梯形且有内切圆，如上图， 设内切圆半径为，则梯形两腰长为， 梯形面积公式可以用两种方式表示为 ， 故铁桶的母线长为3，A正确； 对于选项B，侧面积公式为，故B不正确； 对于选项C.连接DE交AB于G，连接FG交圆O于M，则FM即为过D，E，F三点的平面与桶盖的交线.，则即为所求角.,所以E为BC的三等分点且靠近C， 由，求得.在中，. 对于选项D.当球与球、桶盖、桶壁均相切时，球的半径最大，设为， 如下图，在轴截面ABCD中，由， 则， 可求得另一个球半径的最大值为. 故选：ACD. 三、填空题(每题5分，4题共20分) 12．（24-25高一下·吉林长春·期中）已知非零向量，满足，，若，则在方向上的投影向量的坐标为 ． 【答案】 【解析】由已知可得，. 因为， 所以， 解得或（舍去）， 所以，， 所以，向量在向量方向上的投影向量为，坐标为. 故答案为：. 13．（24-25高一下·上海奉贤·期中）如图1，西安航天基地揽月阁是一座融合了古代文化与现代科技的标志性建筑，可近似的视为一个正四棱台，现有一个揽月阁模型（如图2）、下底面边长为，上底面边长为，侧棱长为，则该模型的高为 ．       图1                   图2 【答案】 【解析】由为正四棱台，，，， 连接，得，， 过作，过作， 所以，， 在直角三角形中，， 所以正四棱台的高. 故答案为：. 14．（24-25高一下·广东·期中）已知等腰中，，点D满足，且，则BD的最小值为 . 【答案】 【解析】取中点，连接， 因为，所以， 因为，所以， 又，故， 且，所以≌， 设， 则，，， 如图，要使最小，应在同侧， 故， 在中，由余弦定理知 ， 其中 ， 于是 ， 当且仅当，即时，取得最小值. 故答案为： 四、解答题（17题10分，其余每题12分，6题共70分） 15．（24-25北京·阶段练习）某地区教育研究部门为了解当前本地区中小学教师在教育教学中运用人工智能的态度、经验、困难等情况，从该地区2000名中小学教师中随机抽取100名进行了访谈.在整理访谈结果的过程中，统计他们对“人工智能助力教学”作用的认识，得到的部分数据如下表所示： 没有帮助 有一些帮助 很有帮助 合计 性别 男 2 10 20 女 35 40 80 年龄 40岁以下（含40岁） 1 35 40岁以上 6 26 45 假设用频率估计概率，且每位教师对“人工智能助力教学”作用的认识相互独立. (1)估计该地区中小学教师中认为人工智能对于教学“没有帮助”的人数； (2)现按性别进行分层抽样，从该地区抽取了5名教师，求这5名教师中恰有1人认为人工智能对于教学“很有帮助”的概率； (3)对受访教师关于“人工智能助力教学”的观点进行赋分：“没有帮助”记0分，“有一些帮助”记2分，“很有帮助”记4分.统计受访教师的得分，将这100名教师得分的平均值记为，其中年龄在40岁以下（含40岁）教师得分的平均值记为，年龄在40岁以上教师得分的平均值记为，通过计算比较的大小关系. 【答案】(1)140 (2) (3) 【解析】（1）根据表格中数据，完善表格， 没有帮助 有一些帮助 很有帮助 合计 性别 男 2 10 8 20 女 5 35 40 80 年龄 40岁以下（含40岁） 1 19 35 55 40岁以上 6 26 13 45 可以得到100名教师中，认为人工智能对于教学“没有帮助”的频率为， 用频率估计概率，估计该地区中小学教师中认为人工智能对于教学“没有帮助”的人数为； （2）男女比例为，故抽取的5名教师，有1名男教师，4名女教师， 用频率估计概率，估计该地区中小学教师中男教师认为对于教学“很有帮助”的概率为， 女教师认为对于教学“很有帮助”的概率为， 抽取的5名教师中，恰有1人认为人工智能对于教学“很有帮助”， 则1名男教师认为人工智能对于教学“很有帮助”的概率为， 1名女教师认为人工智能对于教学“很有帮助”的概率为， 故这5名教师中恰有1人认为人工智能对于教学“很有帮助”的概率为； （3）， ， ， 因为，所以. 16．（24-25高一下·山东青岛·期中）在中，角，，所对的边分别为，，，已知. (1)求角的大小； (2)若，当的周长取最大值时，求的面积. 【答案】(1) (2) 【解析】（1）因为，由正弦定理得， 因为，所以， 又因为，且，所以， 又因为，， 所以，即. （2）在中，由余弦定理， 得，即， 所以，当且仅当时取等号， 所以周长的最大值为， 此时面积. 17．（24-25高一上·重庆·期中）已知函数是定义在上的奇函数，满足，当时，有 (1)求函数的解析式； (2)判断的单调性，并利用定义证明； (3)若对，都有对恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)在上为增函数，证明见解析 (3) 【解析】（1）函数是定义在上的奇函数， 则，即，解得， 又因为，即，解得， 经检验可得，符合题意． 所以当时，， 令则， 所以， 则当 综上所述，； （2）函数在上是增函数． 证明如下： 任取，且， 则 ， 因为， 所以，， 则，即， 故在上为增函数； （3）由（2）可知，函数在区间上单调递增， 所以， 由于对恒成立， 则对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 构造函数，其中， 所以，即， 解得或或， 所以实数的取值范围是. 18．（24-25高一下·天津滨海新·期中）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，，F为CP上的点，且平面. (1)求证：平面平面； (2)求直线PC与平面所成角的正弦值； (3)在棱PD上是否存在一点G，使平面，若存在，求PG的长；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明过程见解析 (2) (3) 【解析】（1）因为平面，平面，所以， 又因为，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 又因为底面是边长为2的正方形，所以， 且平面， 所以平面， 又因为平面， 所以平面平面； （2） 作，垂足为，连接， 因为平面平面，平面，平面平面， 所以平面，所以为直线与平面所成的角， 因为，，，所以， 因为平面，平面，所以， 所以在直角三角形中，由勾股定理可得， 所以； （3） 作，交于，连接， 因为，，所以， 因为平面，平面，所以平面， 因为平面，平面，所以， 因为，， 所以，解得，所以， 因为平面，平面，所以， 又因为，所以， 又因为，所以. 19．（24-25高一下·四川南充·阶段练习）已知函数 (1)求函数的最小正周期和单调递减区间； (2)将函数的图像向左平移单位长度，再将所得图像上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图像，求在上的值域． (3)若函数在上有三个不同零点，求实数取值范围． 【答案】(1)，单调递减区间为，； (2) (3) 【解析】（1）因为， 所以的最小正周期为， 令，，解得，， 所以函数的单调递减区间为，． （2）由（1）知，， 将函数的图象向左平移个单位长度，可得的图象， 再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到的图象， ∵，则， ∴，则， ∴在上的值域为． （3）由（1）知， 由，可得， 令，则，， 若函数在有三个零点， 即在有三个不相等的实数根， 又的图象如图， 所以关于t的方程在区间有一个实根，另一个实根在上，或一个实根是1，另一个实根在， 当一个根在，另一个实根在，令， 所以，即，解得， 当一个根为0时，即，所以，此时方程为，所以，不合题意， 当一个根是，即，解得，所以， 令，得另一根，所以符合题意， 当一个根是1，另一个实根在，由得， 此时方程为，解得或，这两个根都不属于，不合题意， 综上a的取值范围是． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$