高一下学期期末考模拟卷（提升）- 《温故知新》2024-2025学年高一数学下学期复习课（人教A版2029必修第二册）

高一下学期期末考模拟卷（提升） 考试内容：必修第二册 考试时间：150分钟 1、 单选题(每题5分，每题只有一个选项为正确答案，8题共40分) 1．（24-25吉林·阶段练习）杭州亚运会的三个吉祥物分别取名“琮琮”“宸宸”“莲莲”，如图，现将三张分别印有“琮踪”“宸宸”“莲莲”图案的卡片（卡片的形状､大小和质地完全相同）放入盒子中.若从盒子中依次有放回地取出两张卡片，则一张为“琮琮”，一张为“宸宸”的概率是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·北京·期中）如图，在平行四边形ABCD中，M是AB的中点，DM与AC交于点N，设，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·河北邢台·期中）已知点，向量，则在方向上的投影向量的坐标是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·广东深圳·期中）若复数满足，则（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·广东江门·期中）奏唱中华人民共和国国歌需要．某校周一举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度为看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为和，第一排和最后一排的距离为（如图所示），旗杆底部与第一排在同一个水平面上．要使国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶部，则升旗手升旗的速度应为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·广东湛江·期中）如图所示，在棱长为1的正方体中，设分别是线段、上的动点，若平面，则线段长的最小值为（　　） A．1 B． C．2 D． 7．（24-25高一上·陕西·期末）连续抛掷两次一枚质地均匀的硬币，分别记录下每次抛掷的结果，记事件“正面向上的次数大于反面向上的次数”，事件“第次抛掷的结果为正面向上”（其中），则有（    ） A．事件与事件是互斥事件 B．事件与事件是相互对立事件 C． D． 8．（24-25高一下·广东·期中）在中，分别是内角的对边，若（其中表示的面积），且，则的形状是（    ） A．有一个角是30°的等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．有一个角是30°的直角三角形 D．等边三角形 二、多选题（每题至少有两个选项为正确答案，少选且正确得2分，每题5分。4题共20分） 9．（24-25高一下·广东江门·期中）若复数，则下列说法正确的是（   ） A． B．的虚部是 C．在复平面内，所对应的点在第四象限 D．在复数范围内，是方程的根 10．（24-25高一下·江西南昌·阶段练习）近日，数字化构建社区服务新模式成为一种时尚．某社区为优化数字化社区服务，问卷调查调研数字化社区服务的满意度，满意度采用计分制（满分100分），统计满意度绘制成如下频率分布直方图，图中，则下列结论正确的是（    ） A． B．满意度计分的众数为75分 C．满意度计分的75%分位数是85分 D．满意度计分的平均分是76 11．（24-25高一下·广东湛江·期中）如图，正方体的棱长为分别是的中点，点是底面内一动点，则下列结论正确的为（ ） A．不存在点，使得//平面 B．过三点的平面截正方体所得截面面积是 C．三棱锥的体积不为定值 D．三棱锥的外接球表面积为 三、填空题(每题5分，4题共20分) 12．（24-25高二下·河北沧州·阶段练习）甲、乙、丙三人进行扳手腕比赛，累计负两场者淘汰，甲、乙两人先进行比赛，丙轮空，每次比赛的胜者与轮空者进行比赛，负者轮空，直到有1人被淘汰，剩余两人继续比赛，直到其中1人淘汰，另1人最终获胜，比赛结束.假设每场比赛没有平局，甲、乙比赛，甲获胜的概率为，甲、丙比赛，甲获胜的概率为，乙、丙比赛，乙获胜的概率为，则甲与乙比赛负1场且最终甲获胜的概率为 . 13．（24-25高一下·福建莆田·期中）如图1，某广场上放置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的正三棱锥得到的，它的所有边长均相同，数学上我们称之为半正多面体（semiregular solid），亦称为阿基米德多面体，如图2，设，则该多面体的体积为 ，过A、Q、G三点的平面截该多面体所得的截面面积为 14．（24-25高一下·山西·期中）在中，内角的对边分别是，若，则的最大值是 ． 四、解答题（17题10分，其余每题12分，6题共70分） 15．（24-25高一下·福建泉州·期中）中，角、、的对边分别为、、，. (1)求角； (2)若为边上一点，，且，求的周长. 16．（24-25高一下·江西·阶段练习）某企业以“庆祝春节，迎接新年”为主题的职工歌手大赛决赛如期举行，满分100分，共有100人参赛，将参赛歌手的成绩分成如下五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，得到如图所示的频率分布直方图. (1)根据频率分布直方图，求的值及参赛歌手的平均成绩（同一组数据用该组区间的中点值作代表）； (2)根据频率分布直方图，求参赛歌手成绩的分位数； (3)从参赛成绩在和的歌手中，采用分层随机抽样方法抽取6名歌手，再从抽取的这6名歌手中随机抽取2名歌手，求这2名歌手比赛成绩在和内各1人的概率. 17．（24-25高一下·河北·期末）在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为，收到1的概率为．现有两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码（例如，若收到1，则译码为1，若收到0，则译码为0）；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到，则译码为1，若依次收到，则译码为1）． (1)已知． ①若采用单次传输方案，重复发送信号0两次，求至少收到一次0的概率； ②若采用单次传输方案，依次发送，证明：事件“第三次收到的信号为1”与事件“三次收到的数字之和为2”相互独立． (2)若发送1，采用三次传输方案时译码为0的概率大于采用单次传输方案时译码为0的概率，求的取值范围． 18．（24-25高一下·天津和平·期中）如图，在四棱锥中， PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，，. (1)求证： 平面； (2)求证： 平面 (3)求直线EC与平面PAC 所成角的正弦值. 19．（24-25高一下·广东·期中）已知是锐角三角形，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，在所在平面内以AC为边向外作如图所示，，，.    (1)求B； (2)求的内切圆半径r； (3)求的面积的取值范围. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高一下学期期末考模拟卷（提升） 考试内容：必修第二册 考试时间：150分钟 1、 单选题(每题5分，每题只有一个选项为正确答案，8题共40分) 1．（24-25吉林·阶段练习）杭州亚运会的三个吉祥物分别取名“琮琮”“宸宸”“莲莲”，如图，现将三张分别印有“琮踪”“宸宸”“莲莲”图案的卡片（卡片的形状､大小和质地完全相同）放入盒子中.若从盒子中依次有放回地取出两张卡片，则一张为“琮琮”，一张为“宸宸”的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】记印有“琮琮”“宸宸”“莲莲”图案的卡片分别为， 代表依次摸出的卡片，， 则基本事件分别为：， 其中一张为“琮琮”，一张为“宸宸”的共有两种情况：， 所以从盒子中依次有放回地取出两张卡片， 则一张为“琮琮”，一张为“宸宸”的概率是. 故选：B. 2．（24-25高一下·北京·期中）如图，在平行四边形ABCD中，M是AB的中点，DM与AC交于点N，设，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】平行四边形ABCD中，M是AB的中点，故， 则，所以， . 故选：A 3．（24-25高一下·河北邢台·期中）已知点，向量，则在方向上的投影向量的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】在方向上的投影向量是． 故选：B 4．（24-25高一下·广东深圳·期中）若复数满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，得， 解得， 所以. 故选：B. 5．（24-25高一下·广东江门·期中）奏唱中华人民共和国国歌需要．某校周一举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度为看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为和，第一排和最后一排的距离为（如图所示），旗杆底部与第一排在同一个水平面上．要使国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶部，则升旗手升旗的速度应为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图，由题意可得，， ∴， 在中由正弦定理，，即，解得． ∴，则（）． 故选：B． 6．（24-25高一下·广东湛江·期中）如图所示，在棱长为1的正方体中，设分别是线段、上的动点，若平面，则线段长的最小值为（　　） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【解析】过点分别作交于点，交于点，连接， 要想平面， 则四边形为平行四边形，故， 设，则，故， 由勾股定理得， 其中， 当且仅当时，等号成立，故. 故选：B. 7．（24-25高一上·陕西·期末）连续抛掷两次一枚质地均匀的硬币，分别记录下每次抛掷的结果，记事件“正面向上的次数大于反面向上的次数”，事件“第次抛掷的结果为正面向上”（其中），则有（    ） A．事件与事件是互斥事件 B．事件与事件是相互对立事件 C． D． 【答案】D 【解析】根据题意，试验的结果有：正正，正反，反反，反正. 则事件包含：正正，事件：正正，正反，事件：正正，反正. 对于A，事件与事件不是互斥事件， 它们有可能同时发生，故A错误； 对于B，试验结果除了和外，还有其它结果如反反，所以事件与事件不是相互对立事件，故B错误； 对于C，， ， 所以，故C错误； 对于D，，，所以，故D正确. 故选：D. 8．（24-25高一下·广东·期中）在中，分别是内角的对边，若（其中表示的面积），且，则的形状是（    ） A．有一个角是30°的等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．有一个角是30°的直角三角形 D．等边三角形 【答案】D 【解析】，又， 所以，解得，因为，所以. 又，由，可得，， 则， 如图所示，在边、上分别取点、，使，， 以，为邻边作平行四边形，则四边形为菱形， 连接，，，且， ，，，又， ，且，，即， 又，是等边三角形. 故选：D. 二、多选题（每题至少有两个选项为正确答案，少选且正确得2分，每题5分。4题共20分） 9．（24-25高一下·广东江门·期中）若复数，则下列说法正确的是（   ） A． B．的虚部是 C．在复平面内，所对应的点在第四象限 D．在复数范围内，是方程的根 【答案】ACD 【解析】因为复数，可知， 对于选项A：因为， 所以，故A正确； 对于选项B：的虚部是，故B错误； 对于选项C：所对应的点为，在第四象限，故C正确； 对于选项D：因为，则，解得， 所以是方程的根，故D正确； 故选：ACD. 10．（24-25高一下·江西南昌·阶段练习）近日，数字化构建社区服务新模式成为一种时尚．某社区为优化数字化社区服务，问卷调查调研数字化社区服务的满意度，满意度采用计分制（满分100分），统计满意度绘制成如下频率分布直方图，图中，则下列结论正确的是（    ） A． B．满意度计分的众数为75分 C．满意度计分的75%分位数是85分 D．满意度计分的平均分是76 【答案】ABC 【解析】对于A，，解得，故A正确； 对于B，由图可知，70－80段的频率/组距值最大，所以众数为，故B正确； 对于C，前三组的频率之和为0.1+0.15+0.35=0.6＜0.75，前四组的频率之和为0.6+0.3=0.9＞0.75，则75%分位数，故，所以C正确； 对于D，，故D错误； 故选：ABC. 11．（24-25高一下·广东湛江·期中）如图，正方体的棱长为分别是的中点，点是底面内一动点，则下列结论正确的为（ ） A．不存在点，使得//平面 B．过三点的平面截正方体所得截面面积是 C．三棱锥的体积不为定值 D．三棱锥的外接球表面积为 【答案】BD 【解析】 对于A，当为中点时，由中位线可得， 因为平面，平面，所以平面，故A错误； 对于B，由中位线可得，在正方体中，易证，所以， 又因为，所以截面为等腰梯形，，故B正确； 对于C，，为定值，故C不正确； 对于D，三棱锥的外接球可以补形为长方体外接球，半径， 所以表面积，故D正确. 故选：BD. 三、填空题(每题5分，4题共20分) 12．（24-25高二下·河北沧州·阶段练习）甲、乙、丙三人进行扳手腕比赛，累计负两场者淘汰，甲、乙两人先进行比赛，丙轮空，每次比赛的胜者与轮空者进行比赛，负者轮空，直到有1人被淘汰，剩余两人继续比赛，直到其中1人淘汰，另1人最终获胜，比赛结束.假设每场比赛没有平局，甲、乙比赛，甲获胜的概率为，甲、丙比赛，甲获胜的概率为，乙、丙比赛，乙获胜的概率为，则甲与乙比赛负1场且最终甲获胜的概率为 . 【答案】 【解析】设甲乙比赛中甲胜乙负为事件，甲负乙胜为事件；甲丙比赛中甲胜丙负为事件，甲负丙胜为事件;乙丙比赛中乙胜丙负为事件，乙负丙胜为事件. 设甲与乙比赛负1场且最终甲获胜为事件， 则 故答案为： 13．（24-25高一下·福建莆田·期中）如图1，某广场上放置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的正三棱锥得到的，它的所有边长均相同，数学上我们称之为半正多面体（semiregular solid），亦称为阿基米德多面体，如图2，设，则该多面体的体积为 ，过A、Q、G三点的平面截该多面体所得的截面面积为 【答案】 ； 【解析】该多面体的体积为原正方体的体积去掉8个相同的三棱锥的体积， 注意到该多面体的原正方体边长为， 所以； 根据平面性质知，过A、Q、G三点的平面截得的截面图形是一个边长为1的正六边形ABGPQE， 故截面面积为. 故答案为：； 14．（24-25高一下·山西·期中）在中，内角的对边分别是，若，则的最大值是 ． 【答案】4 【解析】由正弦定理，所以， 即，可得． 因为，所以． 由余弦定理， 得，可化为， 由基本不等式可得， 解得，当且仅当时等号成立， 所以的最大值是4． 故答案为：4 四、解答题（17题10分，其余每题12分，6题共70分） 15．（24-25高一下·福建泉州·期中）中，角、、的对边分别为、、，. (1)求角； (2)若为边上一点，，且，求的周长. 【答案】(1) (2) 【解析】（1）由正弦定理及可得， 即， 所以， 因为、，所以，可得，故，则. （2）如下图所示： 由题意可知，，即，可得， 所以， 即， 又因为， 所以，整理得， 因为，所以， 由余弦定理得，即， 故的周长为. 16．（24-25高一下·江西·阶段练习）某企业以“庆祝春节，迎接新年”为主题的职工歌手大赛决赛如期举行，满分100分，共有100人参赛，将参赛歌手的成绩分成如下五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，得到如图所示的频率分布直方图. (1)根据频率分布直方图，求的值及参赛歌手的平均成绩（同一组数据用该组区间的中点值作代表）； (2)根据频率分布直方图，求参赛歌手成绩的分位数； (3)从参赛成绩在和的歌手中，采用分层随机抽样方法抽取6名歌手，再从抽取的这6名歌手中随机抽取2名歌手，求这2名歌手比赛成绩在和内各1人的概率. 【答案】(1)， (2) (3) 【解析】（1）第一至第五组对应的频率分别为；； ；；， 所以，解得， 所以参赛歌手的平均成绩为分. （2）由，， 得参赛歌手成绩的分位数为分. （3）由，得这6人中参赛成绩在的人数为人，分别记为，，，； 在的人数为人，分别记为，. 在这6个人中抽取2个人，共，，，，，，，，，，，，，，，15个基本事件， 这2名歌手比赛成绩在和内各1人，共，，，，，，，，8个基本事件， 故这2名歌手比赛成绩在和内各1人的概率为. 17．（24-25高一下·河北·期末）在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为，收到1的概率为．现有两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码（例如，若收到1，则译码为1，若收到0，则译码为0）；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到，则译码为1，若依次收到，则译码为1）． (1)已知． ①若采用单次传输方案，重复发送信号0两次，求至少收到一次0的概率； ②若采用单次传输方案，依次发送，证明：事件“第三次收到的信号为1”与事件“三次收到的数字之和为2”相互独立． (2)若发送1，采用三次传输方案时译码为0的概率大于采用单次传输方案时译码为0的概率，求的取值范围． 【答案】(1)① ；②证明见解析 (2) 【解析】（1）①记事件为“至少收到一次0”，则． ②证明：记事件为“第三次收到的信号为1”，则． 记事件为“三次收到的数字之和为2”， 则． 因为， 所以事件“第三次收到的信号为1”与事件“三次收到的数字之和为2”相互独立． （2）记事件为“采用三次传输方案时译码为0”，则． 记事件为“采用单次传输方案时译码为0”，则． 根据题意可得，即， 因为，所以， 解得，故的取值范围为． 18．（24-25高一下·天津和平·期中）如图，在四棱锥中， PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，，. (1)求证： 平面； (2)求证： 平面 (3)求直线EC与平面PAC 所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【解析】（1）如图：取的中点，连接， 则，且，又且， 所以且， 所以四边形为平行四边形， 所以，又平面，平面， 所以平面. （2）因为平面，平面，所以， 由题设易知为直角梯形，且， 则，所以， 因为，，所以， 在中，由余弦定理可得， 所以，即， 因为，平面，所以平面. （3）如图：取的中点，连接， 则，由（2）知平面，则平面， 所以为直线与平面所成的角. 又平面，所以， 因为，又， 所以. 所以直线与平面所成角的正弦值为. 19．（24-25高一下·广东·期中）已知是锐角三角形，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，在所在平面内以AC为边向外作如图所示，，，.    (1)求B； (2)求的内切圆半径r； (3)求的面积的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【解析】（1）由及正弦定理，得， 又由余弦定理，得，所以，得. 因为，所以. （2）在中，，得，① 又，得.② 联立①②得，因为，所以，. 由余弦定理得，得. 又，解得. （3）由（2）知，所以的外接圆半径， 所以，， 所以的面积 ， 因为是锐角三角形，所以得， 所以，， 所以， 所以面积的取值范围是. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$